capÍtulo 5. la relaciÓn de paralelismo....

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

CAPÍTULO 5. LA RELACIÓN DE PARALELISMO. RESULTADOS

PREVIOS AL V POSTULADO DE EUCLIDES

Introducción

Al introducirse la definición de rectas paralelas y los primeros teoremas que se relacionan con

ella, se incursiona en uno de los temas cruciales en la Geometría Euclidiana y que diera lugar a

las polémicas históricas más perdurables en el tiempo y posteriormente a los resultados de

mayor relevancia en las matemáticas. Se completan ya todos los resultados de la geometría

Euclidiana que no se derivan del postulado de las paralelas. Mantiene su importancia el Método

de Reducción al absurdo como una estrategia importante cuando se trata de la demostración de

teoremas de trascendencia, como es el caso en este tema del teorema de los Ángulos alternos

internos y el teorema del Ángulo exterior en su primera versión entre otros.

Objetivos Específicos.

1. Presentar en forma clara y precisa la noción de rectas paralelas en su forma más

general mostrando como la condición de intersección vacía no es suficiente para el

paralelismo.

2. Enriquecer el trabajo didáctico mostrando como en este punto de la teoría, se

pueden formular múltiples problemas cuya solución puede abordarse por el

Método de Reducción al absurdo, contrastando como elemento de validez, el

Teorema de los Ángulos alternos internos.

3. Aprovechar el nivel de desarrollo teórico para plantear que no es posible

demostrar algo que parece tan simple como lo es el teorema recíproco de los

Ángulos alternos internos, e ir ambientando la necesidad del Postulado de la

Paralela única.

4. Plantear como problema a resolver el hecho de que en la demostración del

teorema donde se prueba la existencia de una recta paralela a una recta dada por

un punto exterior a ella, que pasa con la unicidad dado que en el teorema no se

Materia

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menciona. Así se inicia un tránsito más natural hacia la necesidad del Postulado V

de Euclides.

5. Probar señalando claramente porque puede hacerse en este nivel de la teoría y no

antes que un triángulo rectángulo tiene un único ángulo recto y hacer lo propio

con el cuarto caso de congruencia de triángulos (L-A-A).

6. Mostrar una síntesis de los casos generales de congruencia y señalar algunas

designaciones particulares en los triángulos rectángulos, presentando además el

caso Hipotenusa-cateto, aprovechando la distribución de sus elementos para abrir

la discusión sobre la razón por la cual el caso L-L-A no conduce en general a

congruencia de triángulos.

Materia

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5.1 LA RELACIÓN DE PARALELISMO

Definición 27. Rectas Paralelas.

Sean 𝑙 y r dos rectas dadas contenidas en un mismo plano. Decimos que l es paralela a r, y

lo denotamos como si:

i. l es la misma recta r ó

ii. l es diferente a r y .

Consecuencia: Sean 𝑙 y 𝑟 dos rectas contenidas en un mismo plano.

𝑙 ∦ 𝑟 si y solo si 𝑙 ≠ 𝑟 y 𝑙 ∩ 𝑟 ≠ ∅

De otra forma:

𝑙 ∦ 𝑟 si y solo si 𝑙 ∩ 𝑟 = {𝑃} , donde 𝑃 es único.

Definición 28. Recta secante a otras dos rectas.

Sean ≠ ; , ⊂ 𝜋 ; , , , entonces se dice que la

recta 𝑡 es secante las rectas y . (Ver figura 77).

Figura 77.

Definición 29. Tercera clasificación angular. Criterio: Posición relativa de los ocho

ángulos determinados por una secante con las dos rectas intersectadas.

Dadas dos rectas cualesquiera cortadas por una secante, se llaman ángulos alternos

internos aquellos que:

1. Tienen exactamente un segmento común.

2. Sus interiores no se intersectan.

rl //

rl

1l 2l 1l 2l Atl 1 Btl 2 BA

1l 2l

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3. No son adyacentes.

Figura 78.

En la Figura 78: los ángulos y 𝐵′��𝐶 son alternos internos. y también lo

son.

Los ángulos y son alternos externos; 𝐷′��′𝐶′ y también lo son.

Los ángulos y 𝐵𝐵′𝐶′ son correspondientes, 𝐷′��′𝐶′ y 𝐵′��𝐶 , y 𝐴′��′𝐵 , y

𝐴′��′𝐷′también lo son.

Los ángulos y son colaterales interiores, 𝐶��𝐵′ y 𝐶𝐵′𝐵 también lo son.

Los ángulos y 𝐷′��′𝐶′ son colaterales exteriores, y también lo son.

BBA 'ˆ' BBC 'ˆ' 'ˆBBA

''ˆ' DBA DBC ˆ DBA ˆ

''ˆ' CBD DBA ˆ 'ˆBBA

BBA 'ˆ' 'ˆBBA

CBD ˆ DBA ˆ ''ˆ' DBA

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5.2 PRIMER CRITERIO DEL PARALELISMO. TEOREMA DE LOS ÁNGULOS

ALTERNOS INTERNOS. (PRIMERA VERSIÓN).

Demostración.

Sean l y r las rectas coplanares dadas, l diferente de r y sea t una recta que corta a l y r en los

puntos B y B' respectivamente y de modo que:

.

Figura 79.

Vamos a demostrar que o lo que es lo mismo .

Razonemos por reducción al absurdo, esto es, supongamos que los ángulos alternos internos

son congruentes y que l no es paralela a r.

Entonces se cortarán en un punto D. Podemos suponer que se cortan en el mismo semiplano

respecto a t en que están C y C' (Ver Figura 79).

Consideremos el triángulo . Como (hipótesis) entonces,

(1). (Teorema 24).

'ˆ'ˆ' BBCBBA

rl // rl

DBB '

'ˆ'ˆ' BBCBBA ABBDBB ˆ''ˆ

TEOREMA 25. Teorema de los ángulos alternos internos. ( ).

Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella una pareja de ángulos

alternos internos congruentes, entonces dichas rectas son paralelas.

IAT ..

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Ahora, por el axioma de construcción de segmentos, existe E en la semirrecta tal que

.

Unamos B con E. los triángulos y son congruentes (L-A-L), de donde:

pero por (1 ).

Luego .

Y como y están en el mismo semiplano respecto a t, por el axioma de construcción del

ángulo , lo que nos dice a la vez que , es decir E pertenece a la recta l.

Pero también . Luego y como la recta es la misma r, se tiene finalmente que

.

Contradicción con la hipótesis ya que habíamos supuesto que l y r eran dos rectas diferentes.

Demostración.

Sean y , . Demostremos que .

'' AB

BDEB '

DBB '

EBB '

DBBBBE 'ˆ'ˆ

ABBDBB ˆ''ˆ

ABBBBE ˆ''ˆ

BE BA

BABE BAE

lD DEl DE

lr

tl tr trl ,, rl //

COROLARIO 1.

Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella ángulos

correspondientes congruentes, entonces, dichas rectas son paralelas.

COROLARIO 2.

Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella ángulos alternos

externos congruentes, entonces dichas rectas son paralelas.

COROLARIO 3.

Si dos rectas son perpendiculares a una tercera, todas ellas coplanarias, entonces las

dos primeras son paralelas entre sí. Materia

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Figura 80.

Como , entonces es recto.

Como entonces es recto y por la tanto su ángulo adyacente es recto. Así

que por ser ambos rectos. Se sigue entonces que la secante t hace con las rectas 1

y r ángulos alternos internos congruentes, luego por el teorema de los ángulos alternos

internos, .

Definición 30. Ángulo exterior de un triángulo.

En un triángulo todo ángulo que hace par lineal con algún ángulo interior del triángulo, se

llama ángulo exterior del triángulo.

tl 'ˆBBA

tr BBA 'ˆ' BBC 'ˆ'

BBCBBA 'ˆ''ˆ

rl //

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5.3 TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR. (PRIMERA VERSIÓN).

Demostración.

En un triángulo consideremos el ángulo exterior 𝐴��𝐷 . Dicho ángulo es adyacente al

ángulo 𝐴��𝐵 del triángulo.

Figura 81.

Vamos a demostrar:

i. .

ii. .

Veamos i). Basta demostrar que no puede darse que:

y .

a. Supongamos que . Entonces existe una semirrecta en el interior de y

tal que .

Ahora como está en el interior de , por el T.B.T., corta a en un punto

G, G entre B y C.

CBA

DCAA ˆˆ

DCAB ˆˆ

ADCA ˆˆ ADCA ˆ

ADCA ˆˆ AM CAB ˆ

MACDCA ˆˆ

AM CAB ˆ AM BC

TEOREMA 26. Teorema del ángulo exterior. ( ).

Todo ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos interiores

no adyacentes a el.

ET .

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Consideremos las rectas , y la secante . Como y y son

ángulos alternos internos, entonces por el T. de A. I., ∥ , contradicción ya

que y se cortan en G.

b. Supongamos ahora que . Si consideremos las rectas y y la secante ,

como , por T. A. I. se tendría que: . Contradicción,, ya que y

se cortan en B.

Figura 82.

Con a. y b. queda demostrado i).

ii) La prueba de que es completamente similar y se deja como ejercicio.

Demostración.

es un ángulo exterior del triángulo . Luego pero , de donde se

concluye que: .

Figura 83.

AG CD AC GACDCA ˆˆ DCA ˆ GAC ˆ

CD AG

CD AG

ADCA ˆˆ AB CD AC

ADCA ˆˆ CDAB // AB CD

DCAB ˆˆ

DBA ˆ CBA

DBAC ˆˆ CBADBA ˆˆ

CBAC ˆˆ

COROLARIO.

En todo triángulo rectángulo, los ángulos interiores diferentes del ángulo recto son agudos.

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De la misma manera se demuestra que el ángulo .

Queda probado en consecuencia que todo triángulo rectángulo tiene únicamente un ángulo

recto.

CBAA ˆˆ

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5.4 EXISTENCIA ÚNICA DE LA PERPENDICULAR A UNA RECTA, POR UN

PUNTO EXTERIOR A ELLA.

Demostración.

1. Existencia.

Sea . Tomemos A y B en l, unimos P con A y consideremos el ángulo .

Por el axioma de construcción del ángulo, existe y tal que:

(1).

Figura 84.

Con puede ocurrir:

i. Que sea opuesta a .

ii. Que no sea opuesta a .

i. Si es opuesta a entonces el ángulo es recto ya que y hacen

par lineal y son congruentes. Por lo tanto y pasa por P.

lP BAP ˆ

PlAM :~

MABBAP ˆˆ

AM

AP

AP

AM AP BAP ˆ BAP ˆ MAB ˆ

lAP

TEOREMA 27.

Por un punto exterior a una recta 𝑙 se puede trazar una perpendicular a la recta y sólo

una.

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Figura 85.

ii. Supongamos ahora que no es opuesta a (Figura 84). Tomemos sobre el

punto T de modo que . Es claro que P y T están en semiplanos distintos

respecto a la recta l. Por tanto, corta a l en Q

Ahora, (L-A-L). Luego y por opuestos por el

vértice. O sea que: . De donde es recto, entonces se tiene que la recta es

perpendicular a la recta l.

2. Unicidad.

Supongamos que por P se pueden trazar dos perpendiculares y a 1. Consideremos

el triángulo . Como y son rectos, entonces, . Contradicción ya

que por el T. E. .

Definición 31.

1. La longitud del segmento perpendicular trazado desde un punto a una recta es

llamada distancia del punto a la recta.

2. El segmento trazado desde el vértice de un triángulo y perpendicular a la recta

que contiene al lado opuesto es llamado altura del triángulo.

AM AP AM

APAT

PT

QATQAP

AQTAQP ˆˆ BQPAQT

BQPAQP ˆˆ BQP ˆ PT

PQ PR

RQP

MRP ˆ RQP ˆ RQPMRP ˆˆ

MRPRQP ˆˆ

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5.5 EXISTENCIA DE LA PARALELA A UNA RECTA, POR UN PUNTO

EXTERIOR A ELLA.

Nota: Obsérvese que la proposición asegura que se puede trazar al menos una paralela a la

recta dada. Acerca de la unicidad o sea que esa paralela sea única o no, la proposición no

afirma nada.

Demostración.

Sea . Demostremos que existe una recta r que pasa por P y tal que .

Sea t la perpendicular a l bajada por P.

Figura 86.

Por P trazamos la recta r perpendicular única a t y contenida en el plano . Entonces

ya que r y l forman con t una pareja de ángulos A.I. congruentes.

Es importante una pregunta que podemos plantearnos al respecto de este resultado. Si como

hemos observado, la demostración se fundamenta en dos teoremas de existencia única.

¿No podríamos garantizar que la demostración “hereda la unicidad” y esta no puede también

afirmarse?

¿Podría explorarse la demostración de la unicidad por el Método de Reducción al absurdo?

lP lr //

Pl, lr //

TEOREMA 28.

Por un punto exterior a una recta l se puede trazar una paralela a la recta.

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Trate de plantearlo y muestre si llega a una contradicción.

Posteriormente tendremos la oportunidad de observar, la importancia que tiene este

planteamiento.

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5.6 CUARTO CASO GENERAL DE CONGRUENCÍA DE TRIÁNGULOS (L-A-A)

Figura 87.

Demostración.

Bastará con demostrar que ya que de aquí se concluye que (L-A-

L).

Razonemos por reducción al absurdo.

Supongamos que no es congruente a . Entonces:

i) ó

ii) .

Veamos que en cualquiera de los casos se llega a una contradicción.

i) Si entonces existe un M entre A y B de modo que . Por tanto,

de donde . Pero por hipótesis , luego y se

DEAB FEDCBA

AB DEABDE

DEAB

ABDE

DEAB DEAM

FEDCMA

EAMC ˆ

EB ˆˆ BAMC ˆ

TEOREMA 29. Caso Lado-Ángulo-Ángulo ( L-A-A).

Sean los triángulos y tales que: y . Si

ó entonces:

CBA

FED

FDECAB ˆˆ FEDABC ˆˆ

DFAC FECB

FEDCBA

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tiene en el triángulo que el ángulo exterior es congruente con el ángulo ,

donde es ángulo interior en contradicción con el T. . E.

ii) Un razonamiento similar para el caso en que conduce de nuevo a una

contradicción.

BMC

AMC

B

B

ABDE

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5.7 LA CONGRUENCIA EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Demostración.

Sean y tal que y . Como (por ser rectos),

(L-A-L).

Figura 88.

Demostración.

En efecto, en un caso se tiene congruencia por A-L-A y en el otro caso, se tiene congruencia por

L-A-A.

Figura 89. Figura 90.

CBA

FED

DEAC DFAB DA ˆˆ

EDFCAB

TEOREMA 30. Los cuatro casos de congruencia de triángulos rectángulos.

i) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes sus catetos, son congruentes.

ii) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes un cateto y un ángulo agudo, son

congruentes (el cateto puede ser adyacente o no al ángulo agudo).

iii) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo,

son congruentes.

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Figura 91.

Demostración.

En efecto, sean los triángulos rectángulos y tales que:

y .

Figura 92.

Tomemos de modo que B esté entre G y C y además . Entonces

(catetos congruentes) (1). De donde (hip.). Luego, , de

aquí se sigue que y por lo tanto:

(L-A-L) (2).

De (1) y (2) se concluye que .

Es importante anotar que la estructura que presenta este caso con relación a los elementos

respectivamente congruentes, se puede identificar como L-L-A. Surge entonces una pregunta

CBA

FDE

DEAB DFAC

BCG EFBG

FEDGBA

AGDF AGAC

CG ˆˆ

GBACBA

FEDCBA

iv) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes la hipotenusa y un cateto, son

congruentes.

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obligada: ¿Es la situación planteada en este caso L-L-A un caso general de congruencia de

triángulos? . La respuesta es no. Dejo al lector la construcción de un contraejemplo.

Nota: Decimos, en este caso, que la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de todos

los puntos que equidistan de los lados del ángulo.

Demostración.

Basta aplicar los casos iii) y iv) de congruencia de triángulos rectángulos.

Figura 93.

COROLARIO.

Dado un ángulo , cualquier punto de su bisectriz equidista de los lados del ángulo,

e inversamente, cualquier punto en el interior del ángulo que equidista de los lados

pertenece a la bisectriz del ángulo.

BOA ˆ

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5.8 EJERCICIOS PROPUESTOS

Temas: Paralelismo (Resultados previos al V.P.E)

Perpendicularidad.

Congruencia de triángulos.

Primeras consecuencias del V.P.E.

1. En la figura sean t secante a y a respectivamente.

Determinar cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales son falsas.

1.1 y son ángulos correspondientes.

1.2 Si entonces .

1.3 Si entonces .

1.4 conlleva necesariamente a .

1.5 Si y entonces .

1.6 Si entonces .

1.7 Si entonces .

1l 2l

' '

'ˆ'ˆ 21 // ll

'ˆˆ 21 // ll

21 // ll

' 21 // ll

21 // ll

'ˆ'ˆ 21 // ll

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2. En la figura dada, t es secantes a las rectas y .

2.1 Demostrar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son

falsas.

2.1.1 Si entonces .

2.1.2. Si entonces .

2.1.3. Si entonces y .

2.1.4. Si y entonces .

2.2 Cada uno de los siguientes grupos de premisas conllevan a una contradicción

con alguna propiedad establecida en la figura. Partiendo de las premisas

dadas, elaborar una prueba breve que concluya con una contradicción.

2.2.1 Premisas: .

2.2.2 Premisas: y .

2.2.3 Premisas: .

2.2.4 Premisas: es bisectriz de , .

1l 2l

DBABAC ˆˆ 2lBD

LBKDABKAD ˆ'ˆˆ 21 // ll

ABLKAC ˆ1lt 2lt

ADCA DBAABC ˆˆ 21 // ll

DBABAC ˆˆ

BDCA ADCB

BDABAC ˆˆ

BA BDC ˆ DAKKACABC ˆˆˆ Materia

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3. En la figura se tiene:

i. .

ii. .

iii. M: punto medio de

.

iv. .

v. : bisectriz de .

Demostrar:

3.1 .

3.2 .

3.3 es obtuso.

4. En la figura se tiene:

i. .

ii. .

iii. A está entre K y C, T entre P y C.

Demostrar:

4.1. .

4.2. Si entonces .

4.3. Si entonces .

5. Demostrar el siguiente teorema:

5.1 En un triángulo isósceles las alturas asociadas a los lados congruentes, son

congruentes.

5.2 Demuestre el reciproco del punto 1.

PSBAQ

APAB

BP

SRQABH ˆˆ

QT RQP ˆ

MBARTQ ˆˆ

QTAM //

SRQ ˆ

ABC

CBAIntBL ˆ

CCTL ˆˆ

PABLTP ˆˆ TLPBAK ˆˆ

BAKLPA ˆˆ 3

ˆˆˆˆ CABmBCAmCBAmLPAm

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6. Demostrar: Si en los triángulos y se tiene ; y la

altura desde C es congruente con la altura desde F, entonces

7. Demostrar: Si es una mediana en el , entonces los segmento “bajados”

desde B y C a , perpendiculares a esta semirrecta, son congruentes.

8. Si A, B, C, D, E son colineales, , , , probar que

9. Sean: l, k, m, n rectas coplanares, si , , , probar que . ¿Es

posible demostrar que la tesis pedida sin recurrir al V.P.E?

10. En la figura K, L, M son colineales, , , biseca a

. Demostrar que

11. En la figura: F es un punto medio de , E es punto medio de , ,

. Demostrar que .

ABC DEF DEAB EFBC

DEFABC

AM ABC

AM

EFBC BEAD DFAC

EFBC //

ml // ln mk kn //

NLKL NmKmNLMm ˆˆˆ LQ

LNM ˆ KNLQ//

CD AB BA ˆˆ

BCAD ABCD //

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12. Demostrar que toda recta paralela a la base de un triángulo isósceles pasando por

un vértice, biseca al ángulo exterior asociado al vértice.

13. Demostrar el teorema del ángulo exterior (Versión 2). La medida de cualquiera de

los ángulos exteriores de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos

ángulos interiores no adyacentes.

14. Utilizando el teorema del punto interior, demostrar: la suma de los ángulos

interiores de todo triángulo es 180°.

Nota: Como puede observarse los teoremas 13 y 14 son consecuencias del V.P.E.

similarmente buena parte de los problemas siguientes, requieren de estos dos teoremas.

Indique en cuales de los problemas siguientes, se requieren necesariamente

consecuencias del V.P.E.

15. En la figura se tiene , , . Calcular .

16. En la figura se tiene: , . Demostrar que .

'ˆˆ 'ˆˆ 130Dm Cm ˆ

BA ˆˆ ABDE Eˆ

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17. En la figura , . Demostrar que .

18. En la figura , biseca a , biseca a . Demostrar que

.

19. En la figura es isósceles, , , , .

Demostrar que .

ACBC ABDC ˆˆ

CDAB // FG EFB ˆ EG FED ˆ

GFEG

ABC BCAC ABIntF ACDF BCEF

EFBDFA ˆˆ

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20. En la figura , . Demostrar que .

BCAC ECFC ABDE

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5.9 EJERCICIOS RESUELTOS

Ilustración N° 1

En la figura 𝑡 es secante a las rectas 1y a 2

Cada uno de los siguientes grupos de premisas conlleva a una contradicción con alguna

propiedad establecida en la figura; cuando se anexan a ésta.

Partiendo de las premisas dadas, elaborar una prueba breve que concluya con una

contradicción.

i. 𝐶𝐴 ≅ 𝐵𝐷

ii. 𝐶𝐵 ≅ 𝐴𝐷

1. Agregamos las premisas

dadas a la gráfica en

consideración.

2. ∆𝐶𝐴𝐵 ≅ ∆𝐾𝐷𝐵(L-L-L);de i. ,

ii. y figura.

Consecuencias: ≅⏟ 2′

CAB

KBD

Premisas

1

2

𝑡

1

2

𝑡

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3. 1//𝐵𝐷 ; de 2´ y T A.I, pero esto es absurdo porque 1∩ 𝐵𝐷 = {𝐷} de acuerdo a la

figura.

Ilustración N° 2

En la figura se tiene: 𝐴𝐷 bisectriz de ; 𝐵𝐷 bisectriz de ; 𝑚 = 130°.

Calcule 𝑚 .

1. 𝛼 = 𝛼′; de la hipótesis definición de bisectriz.

2. 𝛽 = 𝛽′; de la hipótesis definición de bisectriz.

3. 𝛼 + 𝑚 + 𝛽 = 180°; Teorema suma ángulos interiores en el ∆𝐴𝐷𝐵.

4. (𝛼 + 𝛼′) + 𝑚 + (𝛽 + 𝛽′) = 180°; Teorema suma ángulos interiores ∆𝐴𝐶𝐵.

5. 2𝛼 + 𝑚 + 2𝛽 = 180°; sustitución de la hipótesis de 1 y 2 en 4.

6. 𝛼 + 𝛽 = 180° − 130° = 50°; sustitución de la hipótesis en 3 y despeja.

7. 𝑚 = 180° − 100° = 80°; de 6 y 5, ¿por qué?

Ilustración N° 3

En la figura se tiene:

i. 𝐴𝐵 //𝐶𝐷 .

ii. 𝐹𝐺 es bisectriz de

iii. 𝐸𝐺 es bisectriz de

CAB

CBA

)(ADB

)(C

)(ADB

)(C

)(C

)(C

BFE

DEF

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Demuestre que 𝐸𝐺 𝐺𝐹

Demostración

1. 𝛼 = 𝛼′; de ii. definición de bisectriz.

2. 𝛽 = 𝛽′; de iii. definición de bisectriz.

3. ≅ ; de i. teorema recíproco A.I.

4. 𝑚 = 𝑚 ; de 3 consecuencia de la medida angular.

5. 𝑚 = 2𝛼; de suma angular y 2.

6. 𝑚 = 𝑚 ; propiedad ángulos suplementarios.

7. 𝑚 = 2𝛽; de suma angular y 2.

8. 𝑚 = 2𝛼; transitividad 4 y 5.

9. 2𝛼 + 2𝛽 = 180°; sustitución 7 y 8 en 6.

10. 𝛼 + 𝛽 = 90°; despejando en 9.

11. 𝑚 = 90°; suma interiores en∆𝐹𝐺𝐸 y 10.

12. es recto; de 11 consecuencia de la medida.

13. 𝐹𝐺 𝐸𝐺 ; de 12 definición general de rectas perpendiculares.

BFE

FEC

)(BFE

)(FEC

)(BFE

)(FEC

)(FED

)(FED

)(FEC

)(FGE

FGE

Materia

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ial


Hipótesis

Hipótesis

Ilustración N° 4

En un ∆ 𝐴𝐵𝐶 rectángulo en 𝐴 se dan los puntos 𝐴 − 𝐹 − 𝐵; 𝐴 − 𝐷 − 𝐶; 𝐵 − 𝐸 − 𝐶, tales que

𝐶𝐷 ≅ 𝐶𝐸 , 𝐵𝐹 ≅ 𝐵𝐸 . Hallar la medida del ángulo DEF.

i.∆ 𝐴𝐵𝐶, recto.

ii. 𝐶𝐷 ≅ 𝐶𝐸 , 𝐵𝐹 ≅ 𝐵𝐸

iii.𝐶 − 𝐷 − 𝐴; 𝐴 − 𝐹 − 𝐵; 𝐵 − 𝐸 − 𝐶.

Tesis: determinar 𝑚 ( )

Demostración

1. 𝛼 = 𝛽, 𝜆 = 𝜃; de 𝐶𝐷 = 𝐶𝐸 ; 𝐵𝐹 = 𝐵𝐸

2. 𝛽 + 𝜔 + 𝜃 = 180°; de y son complementarios.

3. 𝑚 ( ) + 𝑚 ( ) = 90°; de suma de ángulos interiores en ∆ 𝐶𝐴𝐵 y de i.

4. 180° − 𝛼 − 𝛽 + 180° − 𝜆 − 𝜃 = 90°; de 𝑚 ( ) = 180° − 𝛼 − 𝛽¿Por qué?

𝑚 ( ) = 180° − 𝜆 − 𝜃. ¿Por qué?

5. 270° = 2(𝛽 + 𝜃); de sustitución de 1 en 4 y simplificación.

𝛽 + 𝜃 = 135°

6. 135° + 𝜔 = 180° ; sustitución de 5 en 2.

7. 𝜔 = 45°; de 6 simplificación.

A

DEF

C

B

C

B

C

BMateria

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial

capÍtulo 5. la relaciÓn de paralelismo....

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