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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

CAPÍTULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y AXIOMAS DE ORDEN

Introducción

Presento los elementos geométricos que enmarcan específicamente la Geometría Euclidiana en

su desarrollo como una teoría Axiomática deductiva. Se indican explícitamente los términos y las

relaciones primitivas, y los dos primeros grupos de Axiomas que surgen para expresar los

primeros resultados en términos de las relaciones primitivas de pertenencia para el primer

grupo y la relación estar entre para el segundo.

Puede observarse como surgen de una manera natural las definiciones para caracterizar las

propiedades establecidas en los Axiomas y para darle nombre a los conjuntos nuevos que se

originan siempre en la función de símbolos abreviadores para facilitar el manejo y comprensión

de la teoría. Prevalece a partir de este punto la dualidad permanente y característica del

método: la definición y la demostración.

Objetivos Específicos.

1. Presentar las primeras relaciones entre los términos primitivos: punto, recta,

plano y espacio y caracterizar los tres últimos como conjuntos.

2. Diferenciar claramente la relación de inclusión como una relación definida y como

se cumple en la práctica entre los conjuntos definidos.

3. Precisar la definición de figura geométrica como una noción generalizadora y

determinante en la orientación de toda la teoría. Lo propio con las notaciones de

cada conjunto definido.

4. Establecer en particular como la relación estar entre, permite relacionar todos los

puntos de una misma recta con respecto a un punto cualquiera de ella, surgiendo

así el conjunto correspondiente a la semirrecta. En forma análoga como toda recta

contenida en un plano relaciona los demás puntos de ese plano, surgiendo el

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conjunto designado como semiplano y finalmente como todo plano separa el

espacio generando el conjunto designado como semiespacio.

5. Caracterizar el segmento y los conjuntos asociados y como este conjunto permite

introducir la primera clasificación entre las figuras como convexas y cóncavas.

6. Definir una de las figuras primordiales y otros conjuntos asociados a él como es el

ángulo y una primera clasificación que surge de la misma definición, y que

corresponde a los ángulos llano y nulo respectivamente.

7. Analizar detalladamente los contenidos, la estructura lógica y el alcance en la

teoría que apenas se inicia de los teoremas, señalando como algunas

proposiciones que intuitivamente podrían creerse que deberían ser Axiomas se

demuestran como teoremas. Se destaca inicialmente la importancia que tendrá en

adelante el Teorema de la Barra transversal.

En este capítulo, comienzo dando los términos y relaciones primitivas de la geometría, y su

conexión por medio de los axiomas. A medida que se van presentando los axiomas, se deducen

los teoremas que se desprenden de ellos, como también las definiciones necesarias para

caracterizar los nuevos objetos.

En la formulación que adelantaré, asumiré el manejo de la lógica y de la teoría de conjuntos,

aunque en algunos puntos haré hincapié en el proceso lógico de las demostraciones.

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2.1 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS.

2.1.1 Términos primitivos: Punto, recta, plano, espacio.

2.1.2 Relaciones primitivas: Estar en (pertenencia), estar entre, congruente. Estos

términos y relaciones primitivas, se pueden relacionar mediante enunciados tales como:

El punto A está en la recta l.

El punto B está entre los puntos A y C en la recta l.

2.1.3 Axiomas: Los axiomas se dividen en cinco grupos a saber:

Grupo I. Axiomas de incidencia.

Grupo II: Axiomas de orden.

Grupo III. Axiomas de congruencia.

Grupo IV. Axiomas de continuidad.

Grupo V. Axiomas de paralelismo.

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2.2 GRUPO I. AXIOMAS DE INCIDENCIA.

I.1 Dos puntos distintos determinan una recta y solo una a la cual pertenecen. Por un

punto pasa por lo menos una recta. (Se identifican dos proposiciones distintas en este

axioma).

I.2 A toda recta pertenecen al menos dos puntos distintos.

I.3 Dada una recta, existe al menos un punto del espacio que no está en la recta.

Definición 1.

Puntos colineales son aquellos que están en una misma recta.

I.4 Tres puntos que no están en una misma recta, determinan un plano y solo uno al cual

pertenecen.

I.5 A todo plano pertenecen al menos tres puntos no colineales.

I.6 Si dos puntos de una recta están en un plano, la recta está contenida en el plano.

I.7 Si dos planos diferentes se cortan, su intersección es una recta.

Observación. El axioma I.7 establece que si dos planos tienen un punto en común, tiene un

segundo punto en común y en consecuencia, una recta común.

I.8 Dado un plano, existe por lo menos un punto del espacio que no está en el plano.

Definición 2.

Puntos coplanares son aquellos que están en un mismo plano.

Notación.

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TEOREMA 1.

Si dos rectas diferentes se intersectan, su intersección es solo un punto.

i. Para designar puntos, utilizaremos letras latinas mayúsculas individuales.

ii. Para A, B puntos distintos, notaremos por 𝐴𝐵 ó 𝐵𝐴 la recta a la cual pertenecen

estos puntos, ó también por letras minúsculas latinas individuales.

Así, por ejemplo, nos referimos a la recta 𝐴𝐵 ó la recta l. (Ver figura 5).

Figura 5

Demostración.

Sean l y m dos rectas diferentes que se cortan. (Razonemos por reducción al absurdo).

Supongamos que las rectas se cortan en dos puntos distintos A y B, por el axioma I.1 por los

puntos A y B pasa una recta única. Luego, l y m son la misma recta. Contradicción, ya que l y m

son rectas diferentes.

Figura 6

Demostración.

TEOREMA 2.

Si dos rectas diferentes se intersectan, existe un plano único que las contiene.

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Sean l y m dos rectas diferentes con intersección no vacía. Sea A el punto de intersección

(teorema 1). Por el axioma I.2 existe otro punto B diferente de A en l y otro punto C diferente

de A en m. Por el teorema 1, A, B, C son no colineales ya que B no está en la recta m y C no está

en la recta l. Entonces por el axioma I.4 A, B, C determinan un plano único. Por el axioma I.6 las

rectas l y m están contenidas en ese plano. Este es el único plano que contiene a ambas. Si

existiera otro, A, B y C estarían en él. Contradicción con el axioma I.4.

Figura 7

Demostración.

Por el axioma I.2 la recta l tiene al menos dos puntos diferentes B y C. Por el axioma I.4 los tres

puntos son no colineales A, B y C determinan un plano único. A está en ese plano y por el

axioma I.6 la recta l está contenida en el plano.

Figura 8

TEOREMA 3.

Si l es una recta y A un punto que no pertenece a ella, existe un plano único que

contiene a la recta y al cual el punto pertenece.

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Este plano es único, si no, los tres puntos A, B y C estarían en otro plano. Contradicción con el

axioma I.4.

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2.3 GRUPO II. AXIOMAS DE ORDEN.

Intuitivamente en Geometría, el orden establece la forma como se relacionan tres puntos

distintos pertenecientes a una misma recta, esta relación es la que hemos denominado dentro

de las relaciones primitivas, “estar entre”. Nos indica también a su vez como se relacionan los

puntos de un mismo plano con respecto a una recta contenida en dicho plano y finalmente

como se relacionan los puntos en el espacio con respecto a cualquier plano contenido en éste.

II.1 Si el punto B se encuentra entre el punto A y el punto C, entonces A, B y C son puntos

diferentes de una misma recta, y B se encuentra así mismo, entre C y A. (Ver figura 9).

Figura 9

Convención: Si B está entre el punto A y el punto C lo notamos A-B-C ó C-B-A.

II.2 Dados dos puntos distintos A y C, existe al menos un punto B sobre 𝐴𝐶 , tal que B está

entre A y C. (Ver figura 10).

Figura 10

II.3 Dados dos puntos distintos A y C, existe al menos un punto D sobre 𝐴𝐶 , tal que C está

entre A y D. (Ver figura 11).

Figura 11

II.4 Dados tres puntos distintos de una recta, uno y solo uno de ellos está entre los otros

dos.

Observación. El axioma II.4, establece que por ejemplo, si A está entre B y C entonces B no está

entre A y C y, C no está entre A y B.

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Definición 3.

Sea A y B dos puntos. Al conjunto formado por A y B y todos los puntos entre A y B se

le llama segmento AB y se nota AB ó BA .

A y B se llaman extremos del segmento y se dice que ellos determinan al segmento. Los puntos

que están entre A y B se llaman puntos interiores del segmento AB . Los demás puntos de

AB se llaman puntos exteriores.

En consecuencia: 𝐴𝐵 = {𝐴, 𝐵} ∪ {𝑥 𝑥⁄ 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 𝑦 𝐵}. 𝐿𝑜𝑠 puntos

interiores a AB lo denotamos por ABInt ; por tanto

By A entre está que puntoun es x

xABInt . Si A y B representan el mismo punto diremos

que AB es un segmento nulo.

II.5 Si D está entre A y C y X está entre D y C, entonces X está entre A y C. (Ver figura 12).

Figura 12

Observación.

De los axiomas II.2 y II.5 se sigue que un segmento no nulo tiene infinitos puntos, y lo propio

para una recta teniendo en cuenta además el axioma II.3.

Definición 4.

Un conjunto no vació de puntos se denomina figura.

Definición 5.

Diremos que una figura es convexa, si dados dos puntos cualesquiera de ella, el segmento

determinado por estos puntos, está contenido en la figura. En caso de no cumplirse el

enunciado, diremos que la figura es no convexa o cóncava. (Ver figuras 13 y 14).

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TEOREMA 4.

La intersección no vacía de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo.

Figura 13 Figura convexa

Figura 14 Figura no convexa

Demostración.

Sean A y B conjuntos convexos.

Sean BAYX, . Probemos que BAXY .

Sea XYZ ; esto es: Z es X ó Z es Y ó Z está entre X y Y.

Si Z es X ó Z es Y entonces BAZ .

Si Z está entre X y Y, como BAYX, , AYX , luego AXY ya que A es convexo; en

consecuencia AZ .

En forma análoga podemos concluir que BZ .

Luego BAZ ; por tanto BAXY .

Observación. La unión de dos conjuntos convexos, no necesariamente es un conjunto convexo.

Veamos un contraejemplo.

Sean A, B, C, D cuatro puntos distintos sobre una recta l; tales que:

CDAB (Ver figura 15).

CDABCB , y CDABBC .

Luego CDAB es no convexo.

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Figura 15

Definición 6.

Sea O un punto de la recta l, A, B otros dos puntos diferentes de la misma. Si O no está

entre A y B, diremos que los puntos A y B están sobre l a un mismo lado del punto O. Si O

está entre A y B diremos que los puntos A y B están sobre la recta l en lados diferentes con

respecto al punto O. (Ver Figuras 16 y 17).

Figura 16

Figura 17

II.6 Axioma de separación de la recta.

Un punto O de una recta l divide a todos los demás puntos de ésta en dos conjuntos no

vacíos, de modo que dos puntos cualesquiera de l pertenecientes al mismo conjunto están

a un mismo lado O, mientras que dos puntos pertenecientes a distintos conjuntos se

encuentran en lados diferentes respecto al O.

Ilustración: (Ver Figura 18).

i. A, B están a un mismo lado de O. C, D están en un mismo lado de O.

ii. B, C están en lados diferentes de O. Lo propio para: A y C; A y D; B y D.

iii. A y B pertenecen a un conjunto distinto al conjunto que contiene a C y D.

Figura 18

Definición 7.

Decimos que un punto O de una recta l, conjuntamente con algún otro punto A de la

misma, determinan la semirrecta OA, que notaremos 𝑂𝐴 ; los puntos que están del mismo

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lado que A con respecto a O incluyendo además el punto A, se llaman puntos de la

semirrecta OA. (Ver Figura 19).

Figura 19

En consecuencia:

𝑂𝐴 Xy O entre está que puntoun es Ay O entre está que puntoun es A

xAx

x

Observaciones.

i. El axioma 2.6 nos permite, dada la recta l, O y A puntos distintos, establecer una

partición de la recta en tres conjuntos convexos y disjuntos así: (Ver Figura 20).

Xy A entre está O

xOAOl

Figura 20

ii. Si O, A, B son puntos de una recta y O está entre A y B diremos que 𝑂𝐴 y 𝑂𝐵 son

semirrectas opuesta. (Ver Figura 21).

Figura 21

iii. Definimos el rayo 𝑂𝐴 y lo notamos 𝑂𝐴 = {𝑂} ∪ 𝑂𝐴

II.7 Axioma de separación del plano.

Cada recta l contenido en un plano Π , divide los puntos de este plano que no le

pertenecen, en dos conjuntos no vacíos, de manera tal que dos puntos cualesquiera A y A’

de conjuntos diferentes determinan un segmento AA’ que contienen algún punto de la

recta l, mientras que dos puntos arbitrarios A y A’’ de un mismo conjunto determinan un

segmento AA’’, dentro del cual no hay ningún punto de l. (Ver figura 22).

𝑥}

𝑥}

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Figura 22

Observaciones.

i. Dados: 𝐴𝐵 ⊂ Π, 𝑄 ∈ Π; 𝑄 ∉ 𝐴𝐵 entonces el axioma II.7 nos permite definir dos

conjuntos no vacíos que denominaremos semiplanos y que notaremos así: (Ver figura

22a).

Π𝐴𝐵 : 𝑄 o 𝐴𝐵 𝑄⁄ y que leeremos: Semiplano de borde 𝐴𝐵 y que contiene al punto Q.

Π𝐴𝐵 : ∼ 𝑄 o 𝐴𝐵 ~𝑄⁄ y que leeremos: Semiplano de borde 𝐴𝐵 y que no contiene al punto

Q.

ii. Con las condiciones establecidas en i. el axioma II.7 nos permite establecer una

partición del plano Π en tres conjuntos convexos y disjuntos así:

Π = Π𝐴𝐵 : 𝑄 ∪ 𝐴𝐵 ∪ Π𝐴𝐵 : ~𝑄 ó Π = 𝐴𝐵 𝑄⁄ ∪ 𝐴𝐵 ∪ 𝐴𝐵

~𝑄⁄

Figura 22a.

II.8.Axioma de separación del espacio.

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Todo plano Π divide los puntos del espacio que no le pertenecen en dos conjuntos no

vacíos, de manera tal que dos puntos cualesquiera A y B de conjuntos diferentes,

determinan un segmento AB dentro del cual hay algún punto del plano Π , mientras que

dos puntos cualesquiera A y A’ de un mismo conjunto, determinan un segmento AA’

dentro del cual no hay puntos comunes con el plano Π .

Observaciones.

i. Los conjuntos definidos por el axioma II.8 se denominan semiespacios y los

notamos 𝐸𝜋: 𝐴 y 𝐸𝜋: ~𝐴 ; que se leen respectivamente semiespacio de borde en

el plano 𝜋 al cual el punto A pertenece y semiespacio de borde en el plano 𝜋 al cual

el punto A no pertenece.

ii. El axioma II.8 establece una partición del espacio en tres conjuntos convexos y

disjuntos.

Definición 8.

El conjunto formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen, incluyendo este

punto, se llama ángulo. Si las dos semirrectas coinciden, entonces el ángulo que

determinan se llama nulo. Si las dos semirrectas son opuestas, el ángulo se llama llano.

Notación.

Si 𝑂𝐴 y 𝑂𝐵 son dos semirrectas distintas, entonces el ángulo que forman se denotará por

cualquiera de los símbolos:

BOA ˆ ó AOB ˆ ; AOB ó BOA

OBOA , ó OAOB , .

(Ver Figura 23).

En consecuencia, BOA ˆ =𝑂𝐴 ∪ 𝑂𝐵 ∪ {𝑂}

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Figura 23

OA y OB se denominan lados del ángulo.

O se denomina vértice del ángulo.

Definición 9.

Un ángulo no-nulo y no-llano divide a los demás puntos del plano que lo contiene, en dos

regiones de tal manera que en una y sólo una de las regiones, cualesquiera dos puntos

siempre pueden unirse por un segmento que no intersecta el ángulo. La región que posee

esta propiedad se llama interior del ángulo y la otra región se llama exterior del ángulo.

(Ver Figura 24).

Figura 24

Observaciones.

i. De acuerdo con la definición 9, podemos concluir que el interior del ángulo es

un conjunto convexo.

ii. El interior de BOA ˆ lo notaremos: BOAInt ˆ .

iii. A

OBB

OABOAInt .

iv. Ext(𝐴��𝐵) = 𝜋𝐴,𝑂,𝐵−(𝐼𝑛𝑡 (𝐴��𝐵)∪(𝐴��𝐵))

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Figura 25

Demostración.

Sea Π el plano determinado por l y Q y sea T un punto de la semirrecta PQ distinto de P y Q.

Claramente T es un punto del plano Π .

Veamos que T está en el semiplanoΠ𝑙: 𝑄.

Razonando por reducción al absurdo:

Supongamos que T está en el semiplanoΠ𝑙~𝑄. Por consiguiente la recta TQ pasa por el

punto P’ de l; tal que P’ está entre T y Q (Axioma de separación del plano) y como además T

está en la recta PQ , entonces las rectas PQ y TQ coinciden y por lo tanto, P y P’ son el

mismo punto; de lo cual se sigue que P está entre T y Q, o sea que T no está en la semirrecta

PQ en contradicción con el supuesto inicial. Lo anterior nos permite concluir que T está en el

semiplano Π𝑙: 𝑄 como se quería demostrar.

TEOREMA 5.

Si P es un punto sobre la recta l y Q es un punto que no está en dicha recta, entonces la

semirrecta está contenida en . (Ver figura 25).

PQ Q:lΠ

COROLARIO.

La semirrecta que tiene su origen en el vértice de un ángulo no nulo y un punto en el

interior de dicho ángulo, está contenida en el interior del ángulo. (Ver figura 26).

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Figura 26

Demostración.

Sea BOAIntD ˆ .

Veamos que la semirrecta OD está contenida en BOAInt ˆ .

Está claro por la hipótesis que D es un punto del semiplano Π𝑂𝐴 : 𝐵. y también, es un punto del

semiplano Π𝑂𝐵 : 𝐴.

Por el Teorema 5 la semirrecta OD está contenida enΠ𝑂𝐵 : 𝐴; esto es OD está contenida en

BOAInt ˆ .

Figura 27

Demostración.

Supongamos que D es un punto del interior CB .

TEOREMA 6.

Dado el ángulo no nulo y no llano , los puntos interiores del segmento están

en el interior de dicho ángulo. (Ver Figura 27)

CAB ˆ BC

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Vamos a demostrar que D es un punto interior al ángulo CAB ˆ .

De la hipótesis tenemos que D está entre B y C; por lo tanto, estos dos puntos están en lados

distintos respecto a D y en consecuencia BDC . Afirmamos que 𝐵𝐷 ∩ 𝐴𝐶 = ∅, puesto que

BCBD y CACBC , y como BDC queda sustentado lo afirmado. Por tanto:

𝐵𝐷 ⊂ Π𝐴𝐶 : 𝐵 1 .

De la hipótesis también se infiere que DCB y afirmamos que ABDC , puesto que

BCDC y BABBC ; pero DCB . En consecuencia:

𝐵𝐷 ⊂ Π𝐴𝐶 : 𝐶 2 .

De 1 y 2 podemos concluir que 𝐷 𝜖 Π𝐴𝐶 : 𝐶 ∩ Π𝐴𝐶 : 𝐵 esto es: D pertenece al interior del

ángulo CAB ˆ .

Figura 28

Demostración.

Esta consistirá en demostrar que el segmento BF no tiene puntos en la recta AD .

Dividirernos la prueba en tres partes, a saber:

i. Veremos que el punto A no puede estar en el segmento FB .

TEOREMA 7.

Sea un ángulo no nulo y no llano; D un punto interior a dicho ángulo. Si F es un

punto tal que A está entre F y C, entonces los puntos B y F están en el mismo semiplano

determinado por la recta . (Ver Figura 28).

CAB ˆ

AD

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ii. Veremos que ningún punto de FB está en la semirrecta AD .

iii. Veremos que ningún punto de FB está en la semirrecta AG , siendo G un

punto en la semirrecta opuesta a AD .

La prueba de estas tres partes permite afirmar que FB no corta a la recta AD y por tanto,

que los puntos F y B están en un mismo semiplano respecto de la recta AD .

Para probar i) comencemos por afirmar que la hipótesis del enunciado garantiza que A es un

punto distinto de B y F.

Razonando por reducción al absurdo, supongamos que A es un punto en el interior de FB .

Puesto que F se tomó en la recta AC , las rectas AC y FB tienen en común los puntos A y F

y por tanto dichas rectas coinciden (axioma I.1), de donde se concluye que el punto B está en

la recta AC , lo cual lleva a la contradicción con la hipótesis de que el ángulo CAB ˆ es no nulo

y no llano. En esta forma queda demostrada la parte i).

Para probar las partes ii) y iii) se debe tener en cuenta que la semirrecta AD está contenida

en el interior del ángulo CAB ˆ , (Corolario) y por tanto, esta contenida en el semiplano Π𝐴𝐵 : 𝐶

como también en el semiplano Π𝐴𝐶 : 𝐵.

Para probar ii) afirmamos que los puntos F y C están en semiplanos opuestos respecto a la

recta AB , ya que A está entre F y C y estos puntos no están en AB . Según lo anterior F está

en el semiplano C:~ABΠ y por el teorema 5, es claro que el segmento FB está en el

semiplanoΠ𝐴𝐵 : ~𝐶 . Por otra parte, ya se afirmó que la semirrecta AD esta en el

semiplanoΠ𝐴𝐵 : ~𝐶.

Siendo disjuntos los semiplanos Π𝐴𝐵 : ~𝐶 yΠ𝐴𝐵 : 𝐶, se sigue que ningún punto de FB está en

la semirrecta AD .

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Para demostrar la parte iii) tomamos en consideración que las semirrectas opuestas AD ,

AG están en semiplanos opuestos respecto de la recta AC y como AD está en el semiplano

Π𝐴𝐶 : 𝐵, entonces AG está en el semiplanoΠ𝐴𝐶 : 𝐵. Por otra parte, como F está en AC y B es

un punto que no está en AC , por el teorema 5, se sigue que el segmento FB está en el

semiplano Π𝐴𝐶 : 𝐵 Siendo disjuntos los semiplanos Π𝐴𝐶 : ~𝐵 yΠ𝐴𝐶 : 𝐵, se concluye que el

segmento FB no tiene puntos en la semirrecta AG .

Demostración.

Razonando por reducción al absurdo.

Supongamos que BCAD .

Figura 29

En consecuencia, B y C están en el mismo semiplano con respecto a la recta AD (Axioma de

separación del plano). Tomemos ACF tal que A está entre F y C, por tanto ADFB

por el teorema 7; esto es, F y B están en el mismo semiplano respecto a la recta AD ,

concluyéndose por tanto que F y C están en el mismo semiplano respecto a AD ; esto es

contradictorio puesto que A está entre F y C.

Conclusión: 𝐴𝐷 ∩ 𝐵𝐶 = ∅

TEOREMA 8. Teorema de la barra transversal.

Si D es un punto que está en el interior del , entonces intersecta a . (Ver

Figura 29).

CAB ˆ AD BC

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2.4 EJERCICIOS PROPUESTOS

Temas: La geometría Euclidiana como una teoría deductiva.

Axiomas de Incidencia.

Axiomas de Orden.

1. En la geometría Euclidiana como una teoría deductiva, indique para cada uno de los

términos que se presentan a continuación, si corresponden a términos primitivos o a

términos definidos.

1.1 Recta

1.2 Semirrecta

1.3 Segmento

1.4 Ángulo

1.5 Triángulo

1.6 Plano

1.7 Cuadrado

1.8 Semiplano

1.9 Punto

1.10 Paralelogramo

1.11 Circunferencia

1.12 Espacio

2. En la Geometría euclidiana como una teoría deductiva, indique si cada uno de los

siguientes enunciados es verdadero o falso.

2.1 Es posible definir cada término geométrico, empleando términos geométricos

más sencillos.

2.2 Los teoremas se demuestran solamente utilizando definiciones y términos

primitivos.

2.3 Cualquier teorema puede demostrarse, utilizando el Método directo.

2.4 Si se está dispuesto a describir todos los pasos, cada teorema puede deducirse de

axiomas y términos primitivos, sin hacer referencia a otros teoremas.

2.5 Todo enunciado que parece ser verdadero, puede tomarse como axioma.

3. En el desarrollo de la Geometría como una teoría deductiva solo una de las siguientes

afirmaciones no es verdadera. Indíquela.

3.1 Algunas proposiciones son aceptadas sin demostración.

3.2 En ocasiones hay varias maneras diferentes y correctas de demostrar ciertas

proposiciones.

3.3 Cada uno de los términos empleados en una demostración debe haber sido

definido previamente.

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3.4 Es posible mediante argumentos o razonamientos válidos llegar a una conclusión

verdadera si la hipótesis contiene una afirmación falsa.

4. Sean: A, B puntos distintos de un plano Π

𝑙 una recta contenida en el plano Π

AB y l tienen en común el punto S, AS y BS .

Coloque en los espacios la relación correcta entre (pertenencia) y (inclusión) o sus

negaciones de acuerdo a las condiciones establecidas y a los conjuntos determinados por los

axiomas.

4.1 A _____ Π 4.6 S _____ AB 4.11 A _____ BS

4.2 A _____ AB 4.7 l _____ Π 4.12 B _____ AS

4.3 B _____ l 4.8 AB _____ Π 10.13 AS _____ Π

4.4 S _____ Π 4.9 S _______ A,lΠ 10.14 BS _____ A,lΠ

4.5 S _____ l 4.10 A _____ B,lΠ 10.15 AS _____ BS

5. Suponga que el espacio tiene al menos un punto A. Justifique, utilizando únicamente los

Axiomas de Incidencia, que se puede probar la existencia de al menos otros tres puntos

distintos y diferentes al punto A.

6. Cuántas rectas distintas determinan 2, 3, 4, 5, 6, 7 puntos distintos tales que tres

cualesquiera de ellos no son colineales. Generalice esta situación a n puntos en las

mismas condiciones.

7. Sean A, B y C tres puntos distintos y no colineales. Indique de acuerdo al Axioma de

determinación del plano y de los teoremas que se relacionan con su determinación,

cuatro formas diferentes para designar el mismo plano, con sus notaciones respectivas.

8. Si G, H, K son puntos colineales y distintos, cuáles de los siguientes enunciados pueden

ser ciertos.

8.1 K está entre G y H y H está entre G y K

8.2 H está entre K y G y H está entre G y K

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8.3 H y K están del mismo lado respecto de G y G y H están del mismo lado respecto

de K.

8.4 G y H están del mismo lado de K y G y K no están del mismo lado respecto de H.

9. Si M, N, R son tres puntos distintos tales que R está entre M y N, cuáles de los siguientes

enunciados son ciertos:

9.1 M, N, R son colineales

9.2 φRNRM

9.3 NRM

9.4 MNIntR

10. Si tres puntos están en una recta, cuántos de ellos no están entre los otros dos.

11. Si A, B, C son puntos distintos, no colineales, ¿Cuántas rectas determinan? Identifíquelas.

12. Si C está entre A y D; ¿Cuántas semirrectas determinan? Identifíquelas.

13. Si C está entre A y B y E está entre C y B; ¿Cuántas semirrectas determinan?

Identifíquelas.

14. Dados A, B, C puntos distintos. Cuántos segmentos determinan, en los siguientes casos:

14.1 Si son colineales

14.2 Si no lo son.

15. Sean A, B puntos distintos. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si son

verdaderas o falsas, justificando su respuesta.

15.1 BAAB

15.2 BAAB

15.3 ________

BAAB

15.4 ABAB____

15.5 BAAB____

15.6 ABAB____

16. Si A, B, C, D son puntos distintos, determinar los siguientes conjuntos:

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16.1 ____

ABAB 16.5 ABAB

16.2 ____

ABAB 16.6 BAAB

16.3 DCCD 16.7 DCCD

16.4 DCCD 16.8 CDCD____

17. Si A, B, C, D son puntos distintos tales que AC tiene a B como elemento y a la vez C es

elemento de BD .

17.1 Verifique que dichos puntos están alineados.

17.2 Cuáles de los siguientes enunciados son ciertos:

a) B está entre A y C d) C,BBDAC

b) BCA e) φBCAD

c) BDAC f) AC y DB son opuestos

18. Si P y Q son puntos distintos 1 , lQP , 2 , lQP ¿Qué puede afirmarse de 1l y 2l ?

19. Si 1l y 2l son rectas distintas tales que 1lP , 2lP , 1lQ y 2lQ . ¿Qué puede

afirmarse acerca de P y Q?

20. Sean M, N puntos distintos. Si

AB y el plano Π tienen los puntos comunes M y N;

¿qué puede afirmarse de

AB y Π ?

21. Sean

ABM ,

ABN ,

ABK . ¿Qué puede afirmarse sobre K,B,AΠ y K,N,MΠ ?

22. Sean 1l y 2l rectas distintas: 11 l , 22 l , Pll 21 , PQ , 1lQ , 2Q ,

PR , 2lR , 1R . ¿Qué puede afirmarse sobre π1 y π2 ?

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23. Sea K una figura: KA , KB . Si KAB entonces puede afirmarse que K es una

figura convexa?

24. ¿Es todo plano una figura convexa? ¿Lo es cualquier semiplano?

25. ¿Un ángulo es una figura convexa?

26. Sean: Π : plano dado

M, N, Q, R puntos distintos y pertenecientes al plano Π .

MNQ ,

MNR ,

MNRQ____

Bajo estas condiciones, cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

26.1 𝑅 ∈ Π𝑀𝑁 : ~𝑄

26.2 𝑄 ∈ Π𝑀𝑁 : 𝑅

26.3 𝑁 ∈ Π𝑄𝑅 : ~𝑀

26.4 𝑀𝑄 ∈ Π𝑀𝑁 : ~𝑅

26.5 Π𝑀𝑁 : 𝑅 ∪ Π𝑀𝑁 : 𝑄 = Π

26.6 Si 𝑀𝑄 ∩ 𝑅𝑁 = ∅ entonces 𝑄 ∈ Π𝑅𝑁 : 𝑀

26.7 RQMN

27. Sean: A, B puntos distintos; l una recta.

Demostrar: ABl si y sólo si lBA , .

28. Sean: A, B, C puntos distintos.

Demostrar: Si ABC entonces ABCA y ABCB .

29. Sean: A, B, O puntos distintos.

Demostrar: Si OAB entonces OAOB .

Sugerencia: Emplee el Método de reducción al absurdo.

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2.5 EJERCICIOS RESUELTOS

Ilustración N°1

Demuestre la siguiente proposición, utilizando únicamente los axiomas de incidencia.

Si 𝐴 es un punto perteneciente al espacio, entonces, existen al menos 4 puntos

distintos pertenecientes al espacio.

Demostración

1. Supongamos: 𝐴 pertenece al espacio. Hipótesis auxiliar.

2. Por 𝐴 pasa al menos una recta . De 1 por Axioma I.1(2)

3. En la recta hay al menos otro De 2 por Axioma I.2

punto 𝐵 , siendo 𝐵 ≠ 𝐴.

4. Existe al menos un punto𝐶 De 2 por Axioma I.3

en el espacio y 𝐶𝜀

5. 𝐴 ≠ 𝐵 ≠ 𝐶 y no colineales De 3 y 4.

6. Existe 𝜋𝐴,𝐵,𝐶 De 5 por Axioma I.4

7. Existe al menos un punto 𝐷 De 6 por Axioma I.8

en el espacio, 𝐷𝜀𝜋𝐴,𝐵,𝐶

8. 𝐴 ≠ 𝐵 ≠ 𝐶 ≠ 𝐷 De 5, 6 y 7

9. Si 𝐴 es un punto perteneciente al espacio, entonces, existen al menos 4 puntos distintos

pertenecientes al espacio. ¿Por qué?

Ilustración N°2

Demuestre la siguiente proposición, utilizando únicamente los axiomas de orden.

Si 𝐴 y𝐵 son puntos distintos, entonces, entre𝐴 y 𝐵 existen infinitos puntos.

Demostración

1. Supongamos: 𝐴y 𝐵 son puntos distintos. Hipótesis auxiliar.

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2. Existe al menos un punto 𝑘 De 1 por Axioma II.2

𝑘 ∈ 𝐴𝐵 , tal que 𝑘 está entre

𝐴y𝐵.

3. Existe al menos un punto 𝑋1, De 2 por Axioma II.2 y Axioma II.1

𝑋1 ∈ 𝐴𝐵 tal que𝑋1 está entre

𝐴y𝑘.

4. 𝑋1está entre 𝐴 y 𝐵. De 2 y 3 por Axioma II.5

5. Existe al menos un punto𝑋2, De 2 por Axioma II.2 y Axioma II.1

𝑋2 ∈ 𝐴𝐵 tal que 𝑋2está entre

𝑘 y 𝐵.

6. 𝑋2está entre Ay 𝐵. De 2 y 5 por Axioma II.5

7. 𝑋1, 𝑋2 y 𝑘 son puntos distintos De 2, 4 y 6. 3 y 5.

que están entre Ay 𝐵.

8. Continuando un proceso análogo al utilizado para probar que se tienen al

menos3 puntos distintos, entre Ay 𝐵; se puede probar “encajando” puntos

entre Ay 𝐵 , que existen infinitos puntos mediante un procedimiento

inductivo.

9. Si A y 𝐵 son puntos distintos, entonces, entre Ay 𝐵 existen infinitos puntos. Método

dcto.

Ilustración N°3

Demuestre la siguiente proposición.

Si 𝐴𝐵 es no nulo, entonces, 𝐴𝐵 tiene infinitos puntos. La demostración es inmediata

aplicando la proposición demostrada en la ilustración 2.

Ilustración N°4

Demuestre utilizando los axiomas de orden y los axiomas de incidencia necesarios, la

siguiente proposición.

Si designa una recta, entonces, tiene infinitos puntos.

Demostración

1. Supongamos: es una recta. Hipótesis auxiliar.

2. Existen al menos dos puntos De 1 por Axioma I.2

distintos 𝐴 y 𝐵;𝐴 ∈ y𝐵 ∈

3. Determinamos 𝐴𝐵 . Definición de segmento .

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4. 𝐴𝐵 ¿por qué?

5. 𝐴𝐵 tiene infinitos puntos Proposición de la Ilustración 3.

6. Existe al menos un punto 𝑊1 tal que De 2 por Axioma II.3

𝐵 está entre 𝐴 y 𝑊1.

7. Determinamos 𝐵𝑊1 Definición de segmentos.

8. 𝐵𝑊1 tiene infinitos puntos ¿por qué?

9. 𝐴𝑊 𝑡iene infinitos puntos ¿por qué?

10. Existe al menos un punto 𝑍1 tal que De 2 por Axioma II.3

𝐴 está entre 𝑍1 y 𝐵

11. Determinamos 𝑍1𝐴 ¿por qué?

12. 𝑍1𝐴 tiene infinitos puntos ¿por qué?

13. 𝑍1𝑊1 tiene infinitos puntos ¿por qué?

14. En forma análoga se “amplia” la existencia de puntos laterales en ambos

sentidos de la recta y mediante un proceso inductivo se establece la infinitud

de la recta.

15. Si designa una recta, entonces, Método directo.

tiene infinitos puntos.

Ilustración N°5

Si 𝑇está entre 𝑆 y 𝑊 ¿cuántas semirrectas determinan?. Identifíquelas.

Indiquemos una situación gráfica que describe las condiciones dadas.

Es obvio que 𝑆, 𝑇, W son distintos y colineales.¿por qué?

Con origen en 𝑇 se tienen 𝑇𝑊 y su opuesta𝑇𝑆 .

Con origen en 𝑆 se tienen 𝑆𝑇 y su opuesta que podemos definir como{𝑋/ 𝑆 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑋 𝑦 𝑇}.

Con origen en 𝑊 se tienen 𝑊𝑇 y su opuesta que podemos definir como {𝑋/

𝑊 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑋 𝑦 𝑇}.

Tenemos en consecuencia seis semirrectas distintas puesto que cada punto perteneciente a la

recta la particiona en dos semirrectas opuestas.

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Ilustración N°6

Si 𝐴 y 𝐵son puntos distintos, determinar y dar una interpretación gráfica de los

siguientes conjuntos:

1. 𝐴𝐵 ∩ 𝐵𝐴 2. 𝐴𝐵 − 𝐴𝐵 3. 𝐴𝐵 − 𝐴𝐵

Para 1.

Elaborando una representación gráfica de ambos conjuntos en la 𝐴𝐵 , y poniendo toda la

atención en las características de la operación de intersección se tiene:

𝐴𝐵 ∩ 𝐵𝐴 = 𝐼𝑛𝑡(𝐴𝐵 )

Para 2.

En forma análoga al caso anterior pero para la operación diferencia, se tiene:

𝐴𝐵 − 𝐴𝐵 = {𝑋 𝐵 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑋 𝑦 𝐴⁄ }

= Semirrecta opuesta a 𝐵𝐴

Para 3.

𝐴𝐵 − 𝐴𝐵 = {𝐴}

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Ilustración N°7

Sean 𝐴, 𝐵puntos distintos; una recta.

Demostrar: = 𝐴𝐵 si y solo si{𝐴, 𝐵}

Probemos la implicación de izquierda a derecha, inicialmente.

1. Supongamos:𝐴 y 𝐵puntos distintos; una recta. Hipótesis general.

2. Supongamos: = 𝐴𝐵 Hipótesis auxiliar.

3. Existe 𝐴𝐵 única con 𝐴 ∈ 𝐴𝐵 De 1, Axioma de determinación

y 𝐵 ∈ 𝐴𝐵 de la recta.

4. 𝐴 ∈ y 𝐵 ∈ De 2 y 3 por sustitución en la

igualdad.

5. {𝐴, 𝐵 } De 4 definición relación de

inclusión en conjuntos.

6. Si = 𝐴𝐵 , entonces, {𝐴, 𝐵 } Método directo.

Se deja al estudiante la prueba de la implicación recíproca.

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capÍtulo 2. axiomas de incidencia y axiomas de...

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