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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

CAPÍTULO 9. LA CIRCUNFERENCIA

Introducción

La caracterización de esta figura y la de los primeros conjuntos asociados: interior, exterior y

círculo, como el establecimiento de las relaciones entre la recta y esta nueva figura, permiten

destacar un papel protagónico a las nociones de distancia entre dos puntos y distancia entre un

punto y una recta. En el desarrollo de la construcción de la teoría en torno a la circunferencia

aparecen también como apoyos centrales las propiedades de los triángulos isósceles y de los

segmentos notables en este triángulo, así mismo las relaciones métricas asociadas a las

desigualdades en esta misma figura. Es un lugar ideal para desarrollar una pequeña geometría y

repasar propiedades anteriores. Por característica como lugar geométrico de puntos de un plano

equidistantes de otro se constituye en un recurso importante en la solución de importantes

problemas así mismo en las construcciones y determinación de lugares geométricos de interés en

la teoría y en situaciones prácticas.

Objetivos Específicos.

1. Precisar la circunferencia como lugar geométrico en el plano y los primeros

conjuntos asociados, destacando el papel rector que corresponde a la noción de

distancia entre dos puntos.

2. Definir con precisión las nociones: segmento radial, radio, cuerda, cuerda

diametral, arco de circunferencia, semicircunferencia, ángulo central, sector

circular, segmento circular, recta tangente y recta secante a una circunferencia.

3. Establecer las condiciones en términos de distancias que caracterizan las

posiciones relativas de una recta y una circunferencia coplanarias y así mismo de

dos circunferencias coplanarias.

4. Definir la medida de los arcos desde el punto de vista del ángulo central,

estableciendo una función de medida, de esta manera se establecen relaciones

directas entre las medidas de los ángulos centrales, los arcos interceptados y las

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cuerdas que los subtienden siempre y cuando se trate de circunferencias

congruentes.

5. Presentar la noción de ángulo inscrito en un arco, determinar su medida y en

función de ésta, definir y caracterizar el ángulo semiinscrito en una circunferencia

y su medida.

6. Precisar las nociones de ángulos con vértice en el interior, y en el exterior de una

circunferencia y determinar sus medidas en función de las medidas de los ángulos

inscrito y semiinscrito.

7. Caracterizar los polígonos convexos inscritos y circunscritos a una circunferencia

y partiendo del caso ya conocido del triángulo plantear y resolver el problema

sobre las condiciones requeridas para que un cuadrilátero convexo se pueda

inscribir en una circunferencia, dando lugar a los dos primeros criterios que

garantizan esta situación.

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9.1 NOCIONES BÁSICAS

Definición 39. Circunferencia de centro en O y radio r en un plano 𝝅.

Es el conjunto (lugar geométrico) de todos los puntos de un plano , que equidistan de

un punto dado O, llamado centro, una distancia r.

Al segmento determinado entre el centro y un punto cualquiera de la circunferencia, lo

llamaremos segmento radial y su medida se denomina radio.

Simbólicamente, denotaremos por a la circunferencia que tiene su centro en el

punto O y radio r. (Ver figura 141).

Figura 141.

Podemos definir este conjunto por comprensión así: .

Definición 40. Interior de una circunferencia.

Es el conjunto de puntos del plano , tales que su distancia al centro es menor que el

radio.

Este conjunto lo designamos por y se tiene en consecuencia que:

𝐼𝑛𝑡(𝑂, 𝑟) = {𝑋/0𝑋 < 𝑟, 𝑋, 𝑂 ∈ 𝜋}

Definición 41. Exterior de una circunferencia.

Es el conjunto de puntos del plano , tales que la distancia al centro es mayor que el radio.

rOC ,

XOrOXXrOC , ;/,

rOInt ,

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𝐸𝑥𝑡(𝑂, 𝑟) = {𝑋/0𝑋 > 𝑟, 𝑋, 𝑂 ∈ 𝜋}

Sean: puntos en el mismo plano de ; (Ver figura 142)

De acuerdo a lo anterior se tiene que:

es un punto interior a ya que .

está sobre la circunferencia puesto que .

es un punto exterior a la circunferencia dado que .

Figura 142.

Definición 42. Círculo.

Es la unión de la circunferencia y su interior.


𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 (𝑂, 𝑟) = {𝑋/0𝑋 ≤ 𝑟, 𝑋, 𝑂 ∈ 𝜋}

Definición 43. Cuerda.

Es un segmento de recta, cuyos extremos son dos puntos diferentes de la circunferencia. Si el

centro de la circunferencia es un punto interior de la cuerda, entonces dicha cuerda se

denomina cuerda diametral y su longitud se denomina diámetro.

El diámetro es igual al doble del radio. (Ver figura 143).

rOExt ,

321 ,, MMM rOC ,

1M rOC , rOM 1

2M rOM 2

3M rOM 3

rOCirculo ,

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Figura 143.

Definición 44. Recta secante.

Una recta del plano que intersecta a la circunferencia en dos puntos se llama secante.

En la figura 143; el segmento es una cuerda y la recta es una secante.

Definición 45. Recta tangente.

Una recta del plano que intersecta a la circunferencia en un solo punto se llama

tangente. Este punto se llama punto de tangencia.

En la figura 143; es tangente a la circunferencia en el punto P.

Definición 46. Arco de una circunferencia.

El subconjunto de la circunferencia, limitado por los extremos de una cuerda incluidos

ambos puntos, se llama arco. Toda cuerda subtiende dos arcos distintos. Así, la cuerda

subtiende los arcos y . (Ver figura 144).

A su vez, decimos que estos arcos están subtendidos por la cuerda .

CD

CD

QP

AB BCA

BEA

AB

: Diámetro

: Cuerda

: Secante

: Tangente

AB

CD

CD

PQ

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Figura 144.

Definición 47. Ángulo central.

Un ángulo central de una circunferencia es un ángulo, cuyo vértice es el centro de la

circunferencia, siendo el ángulo y la circunferencia coplanares. (Ver figura 145a).

Se dice que intersecta el arco𝐴�̂�𝐵 y que el arco𝐴�̂�𝐵 subtiende el ángulo central

.

Figura 145a. Figura 145c. Figura 145b.

Definición 48. Segmento circular.

Se llama segmento circular al subconjunto del círculo limitado por un arco y la cuerda que lo

subtiende incluyendo ambos límites. En la figura 145b, la región coloreada corresponde al

segmento circular limitado por el arco 𝐴�̂�𝐵 y la cuerda .

AOB

AOB

AB

M

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Definición 49. Sector circular.

Es el subconjunto del círculo limitado entre un arco y el ángulo central que lo intersecta

incluyendo ambos límites. En la figura 145c, la región coloreada corresponde al sector

circular limitado por el arco y el ángulo central. Este conjunto lo notamos 𝑠𝑒𝑐𝑡 𝑂𝐴𝑀𝐵.

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9.2 PROPOSICIONES FUNDAMENTALES

Demostración

Probemos inicialmente la existencia.

Sean A, B, C tres puntos no alineados; m y m’ las mediatrices de los segmentos y

respectivamente. Estas mediatrices se cortan en un punto O. ¿Porqué?

Figura 146.

Como el punto O está sobre m, entonces y por estar sobre m’; .

En consecuencia, ; es decir, O es el centro de la circunferencia que pasa por

los puntos A, B, C.

Probemos ahora la unicidad.

Veamos que esta circunferencia es única.

Supongamos que los puntos A, B, C determinan otra circunferencia , luego los

triángulos: y son isósceles y en consecuencia las mediatrices m y m’

concurren en el punto O’; por tanto O y O’ coinciden, entonces es la misma

AB BC

OBOA OCOB

OCOBOA

)','( rOC

BCO' ABO'

)','( rOC ),( rOC

TEOREMA 56. Determinación de la circunferencia

Tres puntos distintos y no colineales determinan una circunferencia y solo una a la cual

pertenecen.

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Figura 147.

Observación: El siguiente teorema se deja como ejercicio.

Demostración:

Sean: L una recta secante a y A, B los extremos de la cuerda determinada.

Veamos que no existe otro punto de L sobre la circunferencia.

Razonemos por reducción al absurdo.

Supongamos que hay otro punto de L sobre la circunferencia ; entonces este punto

sería interior al segmento o exterior como D. (Ver figura 148).

),( rOC

),( rOC

AB

TEOREMA 57.

La mediatriz de toda cuerda, coplanaria con la circunferencia pasa por el centro de la

circunferencia y recíprocamente, si una recta pasa por el centro y es perpendicular a una

cuerda entonces es mediatriz de la cuerda.

TEOREMA 58.

Sean L una recta y una circunferencia en un plano , entonces L tiene como

máximo dos puntos comunes con .

),( rOC

),( rOC

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Figura 148.

El es isósceles (OA y OB radios); determinemos el segmento perpendicular a

, y en consecuencia es mediatriz de .

En el caso en el cual C sea el otro punto de L sobre , entonces C puede ser el punto

M o un punto interior al segmento o al segmento . Ahora, si C coincide con M,

como es perpendicular y oblicua, y por tanto M es interior a .

Absurdo.

En forma análoga razonamos si C es interior a .

Si D es el punto de L sobre ; entonces por tanto y en

consecuencia, D es exterior a . Absurdo.

AOB OM

AB OM AB

),( rOC

AM MB

OM OB OBOM ),( rOC

AM

),( rOC MDMB ODOB

),( rOC

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9.3 POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

COPLANARIAS.

Sean: L una recta y una circunferencia situadas en el mismo plano. (Ver figura 149).

Si la distancia de O a la recta L es menor que r; la recta es secante a .

Si la distancia de O a la recta L es igual a r; la recta es tangente a .

Si la distancia de O a la recta L es mayor que r; la recta es exterior a .

Figura 149.

es secante a .

es tangente a en P.

es exterior a .

Demostración:

Sea L tangente a en A.

Veamos que .

Razonemos Por reducción al absurdo

Supongamos que no es perpendicular a L; entonces existe un punto B de L tal que

.

),( rOC

),( rOC

),( rOC

),( rOC

1L ),( rOC

2L ),( rOC

3L ),( rOC

),( rOC

LOA

OA

LOB

TEOREMA 59.

Toda recta situada en el mismo plano de una circunferencia y tangente a ella, es

perpendicular al radio trazado al punto de tangencia. (Ver figura 150). Materia

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Sea C un punto de L tal que B está entre A y C y tal que . Luego (L-A-

L) y por tanto . En consecuencia, C es un punto de . Luego L no es

tangente a la circunferencia. Absurdo.

Figura 150.

Demostración:

Sea , .

Luego es una oblicua respecto a y por tanto ; de donde se desprende

que B es exterior a la circunferencia y en consecuencia, el único punto de L que pertenece

a es A. Es decir, L es tangente a en A.

BCAB OBCOAB

OCOA ),( rOC

LB AB

OB OA OBOA

),( rOC ),( rOC

TEOREMA 60.

Si una recta coplanaria con una circunferencia es perpendicular a un radio en

el extremo de éste sobre la circunferencia, en el punto A, entonces la recta es tangente a

la circunferencia en dicho punto. (Ver figura151).

),( rOC

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Figura 151.

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9.4 POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS COPLANARIAS

Definición 50. Circunferencias exteriores.

Dos circunferencias coplanarias son exteriores cuando sus respectivos círculos no tienen

ningún punto en común. (Ver figura 152).

Figura 152.

Si designamos por d la distancia entre los centros, entonces:

.

y .

Definición51. Circunferencias tangentes.

Dos circunferencias coplanarias son tangentes, si cada una es tangente a la misma recta en

el mismo punto.

La tangencia puede ser:

Exteriormente: Cuando los centros de las dos circunferencias están en semiplanos

opuestos con respecto a la tangente común. (Ver figura 153).

''' OAAAOAd

'' rAArd 0'AA

'rrd

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Figura 153.

Si designamos por d, la distancia entre los centros, se tiene:

. Interiormente: Cuando los centros de las dos circunferencias están en el mismo semiplano

con respecto a la tangente común. (Ver figura 154).

Figura 154.


'AOOAd

'rrd

'OOd

AOOAd '

'rrd

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Definición 52. Circunferencias secantes.

Dos circunferencias son secantes si tienen una recta secante común y en los mismos

puntos. (Ver figura 155).


y aplicando la desigualdad triangular al

Figura 155.

Definición 53. Circunferencias interiores.

Una circunferencia es interior a una circunferencia cuando

está contenida en el interior de . (Ver figura 156).

Figura 156

Designando por d, la distancia entre los centros, se tiene:

'OOd 'AOO

''' AOOAOOAOOA

'' rrdrr

)','( rOC ),( rOC

)','( rOC ),( rOC

''' AOAAOAd

'' rAArd

'rrd

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Si ; las circunferencias tienen el mismo centro y se dice que son concéntricas.

Enunciamos a continuación, dos propiedades que se desprenden de las relaciones anteriores.

1. Si dos circunferencias son secantes, el segmento que une los centros es

perpendicular a la cuerda común en su punto medio. (Ver figura 157).

Figura 157.

2. Si dos circunferencias son tangentes, su punto de contacto está sobre el segmento

que une los centros. (Ver figura 158).

Figura 158.

Demuestre estas dos propiedades.

0d

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9.5 MEDIDA DE ARCOS.

La unidad para medir arcos, es el arco subtendido por un ángulo central de un grado. A esta

unidad también la llamaremos arco unitario. Sabemos que dos rectas perpendiculares se

cortan formando 4 ángulos rectos, cada uno de medida igual a 90°. Ahora, cada ángulo recto

subtiende un arco equivalente a la cuarta parte de la circunferencia. En consecuencia, la

medida de una circunferencia corresponde a 360.

Notas:

No debe confundirse la medida de un arco desde el punto de vista angular, con la longitud

del arco concepto que estudiaremos posteriormente. El arco medido desde el punto de

vista de ángulo central, no es una unidad de longitud.

Definición 39. Medida desde el punto de vista del ángulo central de un arco.

La medida de un arco denotada por se define así: (Ver figura 159).

1. Si es el arco intersectado por el ángulo central ; entonces es

numéricamente igual a la medida del ángulo central . Esto, lo indicamos así:

.

Figura 159.

El signo significa: numéricamente igual al valor absoluto de la medida en grados del

ángulo central intersectado.

ACB

ACBm

ACB

AOB

ACBm

AOB

ACBm

AOBmACBmo

o

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2. Si es el otro arco determinado por los puntos A y B (Ver figura 160)

entonces: .

Figura 160.

Postulado de adición de arcos.

Si y son dos arcos intersectados par ángulos centrales adyacentes, entonces:

y .

Definición 54. Circunferencias congruentes.

Dos circunferencias son congruentes sí y sólo si tienen el mismo radio.

Definición 55. Arcos congruentes.

Dos arcos son congruentes si estando contenidos en circunferencias congruentes, tienen la

misma medida.

ACB

ACBmBACm 360'

AMB

BNC

ABCBNCAMB

ABCmBNCmAMBm

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9.6 ARCOS Y CUERDAS

Demostración:

Sean cuerda diametral y una cuerda, no diametral.

(1)

pero .

En el tenemos: por la desigualdad triangular.

Luego (2)

Figura 161.

Reemplazando (1) en (2) concluimos que .

Demostración:

El punto considerado puede ser interior o exterior a la circunferencia .

1. Sean: A un punto interior a , OB un radio que pasa por A y C otro punto

cualquiera sobre . Veamos que .

AB CD

rOBOAAB 2

ODOCr

OCD CDODOC

CDr 2

CDAB

),( rOC

),( rOC

),( rOC ACAB

TEOREMA 61.

El diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia. (Ver figura 161).

TEOREMA 62.

La distancia más corta de un punto a una circunferencia, es la parte del radio o de su

prolongación, comprendida entre el punto y la circunferencia. (Ver figura 162). Materia

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Figura 162.

En el ; ; pero ; luego, ; de donde

se concluye que, .

2. Sean: un punto exterior a ; el radio cuya prolongación pasa por y

un punto cualquiera de . Veamos que .

En el ; (Desigualdad Triangular) (1)

Pero ; luego en (1); ; de donde se concluye que,

.

Intuitivamente diremos que: a mayor ángulo central, mayor arco intersectado.

OAC ACOAOC ABOAOBOC ACOAABOA

ACAB

'A ),( rOC 'OB 'A

'C ),( rOC '''' CABA

''OCA OCCAOA ''''

'''' ABOBOA '''''' OCCAABOB

'''' CAAB

TEOREMA 63.

En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes:

1. Dos ángulos centrales congruentes, intersectan arcos congruentes. (Figura 163).

2. Si los ángulos no son congruentes, el arco intersectado por el ángulo mayor, es mayor

que el arco intersectado por el ángulo menor. (Figura 164).

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Figura 163.

Figura 164.

Demostración:

1. Sean y ángulos centrales de las circunferencias congruentes y

; tales que: .

Veamos que: .

En efecto, como ; entonces . Además,

y ; de donde; y en

consecuencia .

AOB

''' BOA ),( rOC

),'( rOC

''' BOAAOB

'' BAAB

''' BOAAOB

''' BOAmAOBm

ABmAOBmo

'''''o

BAmBOAm

'' BAmABm

'' BAAB

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2. Supongamos ; demostremos que . Podemos

construir interior a con radio de y tal que ;

luego .

Como ; entonces ; por tanto,

y en consecuencia, .

DCOmAOBm '

CDmABm

ECO'

DCO' EO' ),'( rOC

ECOAOB '

CEmABm

CDEDCE

CDmEDmCEm

CDmCEm

CDmABm

TEOREMA 64.


1. Si dos arcos son congruentes, sus correspondientes ángulos centrales son congruentes.

2. Si dos arcos no son congruentes, el arco mayor es intersectado por el ángulo mayor.

TEOREMA 65.


1. Si dos cuerdas son congruentes, entonces los arcos subtendidos por ellas son

congruentes. (Ver figura 165).

2. Si las cuerdas no son congruentes, entonces la mayor de las cuerdas subtiende el

mayor de los arcos. (Ver figura 166). Materia

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Figura 165.

Demostración:

1. Sean y cuerdas de la circunferencia , tales que: .

El arco es el arco subtendido por la cuerda y el ángulo central .

El arco es el arco subtendido por la cuerda y el ángulo central .

Los triángulos: y son congruentes (L-L-L). En consecuencia,

. Luego, por el Teorema 63, .

Figura 166.

2. Sean y tales que . En los triángulos: y tenemos:

; entonces; . Luego, .

AB CD ),( rOC CDAB

AB AB

AOB

CD CD

COD

AOB COD

CODAOB

CDAB

AB CD CDAB AOB COD

COAO

ODOB

CDAB

CODmAOBm

CDmABm

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Demostración:

Sean; una cuerda y un radio perpendicular a en C.

Veamos que: y.

El es isósceles y , luego C es el punto medio de y por tanto;

.

Figura 167.

Ahora como es también bisectriz de ; entonces y en

consecuencia .

AB OD AB

CBAC

DBAD

AOB ABOC AB

CBAC

OC

AOB

BODAOD

DBAD

COROLARIO.

Todo radio que biseca una cuerda y al arco respectivo, es perpendicular a la cuerda.

TEOREMA 67.

Todo radio perpendicular a una cuerda, divide a la cuerda (respectivamente el arco

subtendido) en dos segmentos (respectivamente dos arcos) congruentes. (Ver Figura

167).

TEOREMA 66.

En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes.

1. Arcos congruentes son subtendidos por cuerdas congruentes.

2. Si los arcos no son congruentes, el mayor de los arcos es subtendido por la mayor

de las cuerdas.

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Demostración:

Sean: y dos circunferencias distintas.

Supongamos que y tienen tres puntos en común A, B, C; entonces:

1. Si A, B, C son colineales, tenemos que la recta que pasa por ellas corta a y a

en tres puntos. Absurdo (Teorema 58).

2. Si A, B, C no son colineales, entonces existe una única circunferencia que pasa por A, B

y C. (Teorema 57); en consecuencia y son la misma circunferencia.

Absurdo.

Figura 168. Figura 169.

Demostración:

1. Sean: y cuerdas tales que y , las distancias de O a las

cuerdas y respectivamente.

Veamos que .

),( rOC )','( rOC

),( rOC )','( rOC

),( rOC

)','( rOC

),( rOC )','( rOC

AB CD CDAB OE OG

AB CD

OGOE

TEOREMA 68.

Dos circunferencias diferentes no pueden tener en común más de dos puntos.

TEOREMA 69.


1. Cuerdas congruentes equidistan del centro. (Ver figura 168).

2. De dos cuerdas no congruentes, la mayor de las cuerdas, es la que dista menos del

centro. (Ver figura 169).

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En efecto, (L-L-L) y por tanto; .

Luego, (L-A-L) y en consecuencia, .

2. Sean: y cuerdas tales que y , las distancias de a

las cuerda y respectivamente. Veamos que .

En efecto, ya que , (Teorema 65).

Sea y la distancia de a . Ahora la perpendicular es

menor que la oblicua , en consecuencia es menor que . Por tanto:

(Teorema 13-1) y . Conclusión: .

Demostración:

Analicemos las siguientes posibilidades:

Figura 170.

CODAOB

GCOEAO

GCOEAO OGOE

'' BA '' DC '''' DCBA '' EO ''GO 'O

'' BA '' DC '''' GOEO

'''' DCBA

'''' NDCMBA

''' BAFC HO' 'O FC' ''GO

IO' HO'

''' EOHO ''' GOHO '''' GOEO

TEOREMA 70.


1. Cuerdas equidistantes del centro son congruentes.

2. Dadas dos cuerdas, la que dista menos del centro es la mayor.

TEOREMA 71.

Los arcos de una misma circunferencia comprendidos entre rectas paralelas, son

congruentes. (Ver figura 170).

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1. Las rectas paralelas son secantes. Sean los arcos y ; comprendidos entre las

cuerdas paralelas y . Tracemos el radio OI perpendicular a y en

consecuencia a . El punto I es el punto medio del arco y del arco

(Teorema 67). Y en consecuencia:

Luego por diferencia: ; de donde .

2. Las rectas paralelas son: una tangente y una secante. Sean la cuerda paralela a la

tangente . El radio es perpendicular a y por tanto a . Luego el arco

es igual al arco .

3. Las rectas paralelas son tangentes. (Se deja como ejercicio).

AC

BD

AB CD AB

CD

AIB

CID

IBmIAm

IDmICm

BDmACm

BDAC

CD

EF OI

EF CD

CI

ID

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9.7 ARCOS Y ÁNGULOS

Definición 56. Ángulo inscrito en un arco.

Un ángulo está inscrito en un arco si:

1. El vértice del ángulo es un punto no extremo de dicho arco. (Ver figura 171).

2. Cada extremo del arco está sobre un lado del ángulo.

Así, en la figura está inscrito en o también es .

A su vez, del arco decimos que en el arco intersectado por el ángulo inscrito.

Figura 171.

Demostración:

Consideremos tres casos, según la posición del centro de la circunferencia.

1. Cuando el centro está sobre uno de los lados del ángulo. (Ver figura 172).

Demostración:

Sea inscrito en , . Veamos que .

CBA ˆ CBA

CQA

CMA

ABC ),( rOC BCO

AMCmABCm2

1o

TEOREMA 72.

La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco intersectado.

(Ver figura 172).

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Tracemos el radio OA. El es isósceles con , es exterior al . Luego

; ahora como es un ángulo central, entonces ; por tanto

y ; esto es: .

Figura 172.

2. Cuando el centro es interior al ángulo. (Ver figura 173).

Demostración:

Tracemos el diámetro BD; se tiene así que .

Por la primera parte del teorema podemos afirmar que: y

Luego, .

.

Figura 173.

AOB

AOB

2

AMCmo

AMCmo

2

AMCmo

2

1

AMCmABCm2

1o

ABCm

CFDm2

1o

DGAm2

1o

DGAmCFDm2

1o

ADCmABCm2

1oo

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3. El centro de la circunferencia es exterior al ángulo. (Se deja como ejercicio).

Demostración de 1.

Probemos inicialmente la existencia de al menos dos tangentes.

Figura 174.

Determinemos y designemos por M su punto medio; tenemos ahora . OS MOrMC ,

COROLARIO 1.

Todos los ángulos inscritos en un mismo arco son congruentes.

COROLARIO 2.

Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

TEOREMA 73.

1. Desde un punto S exterior y coplanario con se pueden trazar dos y solo

dos rectas tangentes a .

2. Los segmentos determinados entre S y los puntos de tangencias son congruentes.

3. La semirrecta es bisectriz del ángulo determinado por las tangentes.

rOC ,

rOC ,

SO

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Afirmemos que con , por lo establecido en el

teorema 70 y las posiciones relativas de dos circunferencias coplanarias.

. A su vez y son rectos por el Corolario 2

del teorema 72.

Lo que nos permite afirmar que y y en consecuencia que y

son tangentes a por lo establecido en el teorema 59.

Demostremos a continuación que no puede existir más de dos tangentes.


Supongamos que es posible trazar otra recta , tangentes a en el punto T,

y .

puede estar en el interior ó en el exterior del .

Si está en el interior de , entonces intercepta, en un punto único H, a

(Teorema de la Barra Transversal); por lo tanto tiene puntos interiores a .

Absurdo.

Si está en el exterior de , como es tangente en T a , entonces,

y por lo tanto (¿por qué?); lo que nos permite

afirmar que . En consecuencia ó (Axioma de

construcción del ángulo).

Esto nos conduce a afirmar que ó . Absurdo.

Concluimos finalmente que existen únicamente dos rectas tangentes desde S a .

BAMOrMCrOC ,,, BA

¿porqué? rMOMOrMO SAO ˆ SBO ˆ

SAOA SBOB SA SB

rOC ,

ST rOC ,

SAST SBST

ST BSA ˆ

ST BSA ˆ AB

ST rOC ,

ST BSA ˆ ST rOC ,

OTOBOA SOTSOBSOA

TSOBSOASO ˆˆˆ STSA STSB

STSA STSB

rOC ,

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Demostración de 2 y 3.

De lo demostrado en 1 podemos concluir que (Hipotenusa-Cateto) y en

consecuencia y , esto último nos permite afirmar que es la

bisectriz de

Definición 57. Ángulo semiinscrito.

Designemos en esta forma, cada uno de los ángulos determinados entre una cuerda y la recta

tangente a un extremo de la cuerda. Así en la figura 175, y son ángulos

semiinscritos; y son los arcos intersectados por ellos respectivamente.

Demostración:

Sea tangente a en A y una cuerda.

Veamos que .

Pueden presentarse tres casos; como uno de ellos es inmediato, nos dedicaremos a los

otros dos.

OBSOAS

SBSA BSOASO ˆˆ SO

BSA ˆ

CAB ˆ 'ˆCAB

BMA

DNA

AC ),( rOC AB

AMBmBACm2

1o

TEOREMA 74.

La medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida del arco

intersectado. (Ver figuras 175 y 176).

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Figura 175.

1. El ángulo es agudo. (Ver figura 175).

Tracemos por B una paralela a , luego .

Ahora, (Teorema A.I) y como ; entonces

.

2. El ángulo es obtuso. (Ver figura 176).

Tracemos por B una paralela a , .

Ahora: y .

Figura 176.

Luego: .

BAC

BD

AC

ANDAMB

BACABD

ANDmABDm2

1o

AMBmBACm2

1o

BAC

BD

AC

DABmCADmCABm

AMDmCADm2

1o

DLBmDABm2

1o

DLBmAMDmCABm2

1

2

1o

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Por tanto, .

Demostración:

Sea el ángulo cuyo vértice está en el interior de , prolongamos los lados y

y tracemos la cuerda . El ángulo es exterior al , luego .

Como y entonces

.

Figura 177.

ADBmCABm2

1o

),( rOC CA

BA DB

ADB

BMCm2

1o

DNEm2

1o

ENDmCMBmDNEmBMCm

2

1

2

1

2

1o

TEOREMA 75.

La medida de un ángulo que tiene su vértice en el interior de una circunferencia y

coplanario con ella, es igual a la semisuma de los arcos intersectados entre el ángulo y

su opuesto por el vértice. (Ver figura 177).

TEOREMA 76.

El ángulo formado por dos secantes que se intersectan en un punto exterior de la

circunferencia, tiene por medida la semi-diferencia de los arcos intersectados. (Ver

figura 178).

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Demostración:

Sea el ángulo formado por las secantes y ; tracemos la cuerda . El ángulo

es exterior al , luego ó . Ahora y

.

Figura 178.

Por tanto .

AB

AC BD

ADB

BMCm2

1o

DNEm2

1o

ENDmCMBmDNEmBMCm

2

1

2

1

2

1o

COROLARIO 1.

El ángulo formado por las tangentes trazadas desde un punto exterior a tiene

por medida la semidiferencia de los arcos intersectados.

),( rOC

COROLARIO 2.

El ángulo formado por una secante y una tangente que se intersectan en el exterior de

una circunferencia, es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos

intersectados.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


9.8 POLÍGONOS CONVEXOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS EN UNA

CIRCUNFERENCIA

Definición 58. Polígono convexo inscrito en una circunferencia.

Es aquel polígono que tiene todos sus vértices sobre la circunferencia.

De la circunferencia se dice que esta circunscrita al polígono.

Definición 59. Polígono convexo circunscrito a una circunferencia.

Es aquel polígono en el cual todos sus lados son tangentes a la circunferencia.

De la circunferencia se dice que esta inscrita en el polígono.

Revisemos estos conceptos para el caso particular del triángulo.

Como se analizo en los temas de los puntos notables del triángulo y en la determinación de la

circunferencia; podemos afirmar que:

1. Todo triángulo está inscrito en una circunferencia, donde el centro de la

circunferencia circunscrita es el circuncentro. (Ver figuras 179 a y 179 b).

Figura 179 a. Figura 179 b.

2. Todo triángulo está circunscrito a una circunferencia, donde el centro de la

circunferencia inscrita es el Incentro. (Ver figura 180 a y 180 b).

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Figura 180 a. Figura 180 b.

Podemos ahora plantearnos una pregunta como parte de un proceso inductivo, y es la

siguiente:

¿Dado cualquier cuadrilátero convexo, es posible inscribirlo en una circunferencia?

(Analice esta pregunta y trata de encontrar una respuesta).

Para dar respuesta a la pregunta anterior veamos las siguientes nociones.

Definición 60. Cuadrilátero convexo cíclico (Inscribible).

Un cuadrilátero convexo se denomina cíclico, si está inscrito en una circunferencia.

Demostración:

“ ”

Supongamos: El cuadrilátero ABCD es cíclico

Esto es: A, B, C, D están en

Luego : Inscritos en el mismo arco . En forma

análoga para los demás ángulos.

),( rOC

ADBACB

ADB

TEOREMA 77. (Primer criterio para la determinación de un cuadrilátero convexo

cíclico)

Un cuadrilátero ABCD es cíclico sii ó ó ó

.

BDABCA ˆˆ BACCDB ˆˆ DACDBC ˆˆ

ACDABD ˆˆ Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Figura 181.

“ ”

Supongamos que en el cuadrilátero convexo ABCD, se cumple que ó

ó ó . Hipótesis.

Analicemos por el Método de casos.

Sabemos por un Teorema que existe una circunferencia única que contiene a los puntos A,

B, y C. designemos esta circunferencia por .

Probemos que .


Supongamos que . Hipótesis auxiliar 2. Reducción al absurdo.

Como A, B, C y D son coplanarios (¿Por qué?); entonces, ó

Si . Ver figura 182 a.

BDABCA ˆˆ

CABCDB ˆˆ DACDBC ˆˆ ACDABD ˆˆ

CBAC ,,

CBACD ,,

CBACD ,,

CBAIntCD ,,

CBAExtCD ,,

CBAIntCD ,,

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Figura 182 a Figura 182 b.

Designemos por el opuesto por el vértice al . Ver figura 182 b.

Luego, . (Teorema Medida del ángulo inscrito);

. (Teorema. Medida de un ángulo con vértice en el

interior de la circunferencia); lo que nos permite afirmar que ; pero de la

Hipótesis auxilia1, tenemos que . Absurdo.

Pruebe que si se concluye también una contradicción.

Esto nos permite concluir, en consecuencia, que , es decir que el

cuadrilátero convexo ABCD es cíclico.

En forma análoga se procede con los demás proposiciones que integran la disyunción

asociada a la Hipótesis general.

'ˆ' ADB BDA ˆ

BMAmBCAm

2

1ˆ

'''2

1ˆ AMBmBMAmBDAm

BDABCA ˆˆ

BDABCA ˆˆ

CBAExtCD ,,

CBACD ,,

TEOREMA 78. Segundo criterio para la determinación de un cuadrilátero convexo

cíclico.

Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si sus ángulos opuestos son suplementarios.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Demostración.

“ ”

Supongamos: El cuadrilátero ABCD es cíclico

Esto es: A, B, C, D están en

y son inscritos, de la hipótesis ;

(Teorema. Medida del ángulo inscrito).

. Postulado adición de arcos. Definición de medida

arco de la circunferencia.

, del numeral anterior, por suma de los ángulos interiores de un

polígono.

“ ” (Se propone como ejercicio).

La demostración se propone como ejercicio.

Definición 61. Apotema de un polígono regular.

La distancia a desde el centro de la circunferencia circunscrita de un polígono regular, a

cada uno de los lados se llama apotema del polígono. (Ver figura 183).

),( rOC

DAB

DCB

DCBmDABm2

1o

DABmDCBm2

1o

DABmDCBmDCBmDABm2

1

nciacircunfere la de arco medida2

1

1803602

1

180BmDm

TEOREMA 79.

Todo polígono regular es inscribible. Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


El perímetro del polígono lo denotamos por p. Obviamente ; siendo e la longitud

de un lado y n el número de lados del polígono.

Así: : Apotema del polígono.

Figura 183.

nep

OM

21PPe

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


9.9 EJERCICIOS PROPUESTOS

Temas: Nociones básicas.

Proposiciones fundamentales.

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia coplanarias.

1. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones cuales son verdaderas y cuales son

falsas, justificando su determinación.

1.1 El conjunto de todos los puntos del espacio tales que su distancia a un punto A es

igual a t, (t>0), corresponden a .

1.2 La circunferencia con radio r>0, es un figura convexa.

1.3 C(0, r) círculo(0, r)

1.4 Una circunferencia y una de sus cuerdas diametrales se intersectan en 3 puntos

distintos.

1.5 Si C(0, r), entonces, Int C(0, r)

1.6 Si C(0, r), entonces círculo(0, r)

1.7 Toda recta que intersecta a una circunferencia en un solo punto es necesariamente

tangente a la circunferencia.

1.8 Todo ángulo con vértice en el centro de una circunferencia un ángulo central de la

circunferencia.

1.9 El subconjunto de la circunferencia limitado por un ángulo central y el arco

intersectado incluyendo ambos limites, corresponde exactamente al arco intersectado.

1.10 Una semicircunferencia es cada uno de los arcos subtendidos por una cuerda

diametral.

1.11 En alguna situación particular un segmento circular y un sector circular pueden

representar el mismo conjunto.

1.12 Un semicírculo es un sector circular limitado por un ángulo central llano.

1.13 Tres puntos distintos determinan una circunferencia única a la cual pertenecen.

1.14 Toda recta coplanaria con una circunferencia y perpendicular a un radio de ésta,

es tangente a la circunferencia.

),( tAC

,BA BA, )(ABIntAB

,BA BA, BAAB ,

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


1.15 Si la intersección de dos circunferencias coplanarias es el conjunto vacío,

entonces, necesariamente ellas son exteriores.

1.16 Si dos circunferencias son tangentes, entonces, la intersección de sus círculos es

necesariamente un conjunto de un solo punto.

1.17 Si dos círculos coplanarios tienen intersección no vacía, entonces, es posible que

las circunferencias sean secantes.

2. Sean C(0, r =12), C(0’, r’) coplanarias tales que ; r> r’ .

Determine todos los valores posibles del radio r’ tales que:

2.1 C(0’, r’) es interior a C(0, r).

2.2 C(0’, r’) es tangente interior a C(0, r).

2.3 C(0’, r’) es secante a C(0, r ).

2.4 C(0’, r’) es tangente exterior a C(0, r).

3. Sean C(0, r =9), C(0’, r’) coplanarias tales que ; r> r’ .

Determine todos los valores posibles de r’ tales que:

3.1 C(0’, r’) es interior a C(0, r).

3.2 C(0’, r’) es tangente interior a C(0, r).

3.3 C(0’, r’) es secante a C(0, r).

3.4 C(0’, r’) es tangente exterior a C(0, r).

3.5 C(0’, r’) es exterior a C(0, r).



Sean C(0, r), C(0, r’) y C(0’’, r’’) con r r ‘ r’’, como se indica en la figura.

8)'0,0( d

16)'0,0( d

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


4.1

4.2

4.3 Si , entonces ,

4.4 Si , entonces ,

4.5

4.6 Si , entonces,

4.7

4.8

4.9 Si , entonces,

4. 10 Si , entonces C(0, r) C(0’, r’)

4.11 Si , entonces,

5. Demuestre:

Si , todos ellos pertenecientes a una misma circunferencia con

, entonces, .

6. Demuestre:


, entonces, .

7. Demuestre que todo trapecio que tiene todos sus vértices sobre una misma circunferencia

es isósceles.

8. Demuestre:


, , entonces, ABCD es un trapecio isósceles.

)'''()( BMAmAMBm

''' BMAAMB

'''''' BOAAOB ''''''

BMAAMB

)''''''()( BMAmAMBm

'''''' BOAAOB

)'''()'''( BOAmBMAm

'''''' BOAAOB '''' BAAB

)()( ABmAMBm

)()''()()'''()(

AOBmBAmABmBMAmAMBm

'''' BAAB

'''''' BOAAOB

'''''' BOAAOB

'''' BAAB ''''''

BMAAMB

DCBA

CDAB // BCAD

DCBA

BCAD CDAB //

DCBA

CBADAB ˆˆ BCAD //

Materia

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o

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9. Dada C(0, r) con cuerda diametral, pertenecientes a esta circunferencia,

. Demuestre que y .

10. Dada C(0, r) con cuerda diametral, pertenecientes a esta circunferencia,

. Demuestre que y .



Sea C(0, r) con tangente, cuerda

diametral, , y

los elementos indicados en la figura.

11. 1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

12. Demuestre: Si , pertenecientes a C(0, r) con bisectriz de , I el

incentro del ΔABD, entonces , .

13. Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos segmentos tangentes. Los

puntos de tangencia determinan dos áreas cuyas medidas están en la razón de 5 a 2,

Calcular:

13.1 La medida de los arcos subtendidos por las dos tangentes.

AB CD

ADOC //

CNBDMC DBOC

AB CD

DBOC

CNBDMC ADOC //

AB TK

OKSH DBSAH

SHAB //

HA ˆˆ

)()( MGKmTDNm

KOMS ˆˆ

SKMKOM ˆˆ

HTKM ˆˆ

BTOKMT ˆˆ

PONPDN ˆˆ

MKTN

DCBA AC DAB ˆ

CDCICB

Materia

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o

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comerc

ial


13.2 La medida del ángulo central que se forma al trazar los segmentos radiales a

los puntos de tangencia.

13.3 La medida del ángulo determinado por las dos tangentes.

13.4 Las medidas de los ángulos semiinscritos que se forman al trazar la cuerda

que une los puntos de tangencia.

14. Se inscribe un ΔABC isósceles con en C(0, r). es bisectriz de , con

C(0, r ). Demuestre que pasa por O y que es recto.

15. Dada C(0, r), el ΔABC está inscrito en ella, ; . Demuestre que es

bisectriz de .

16. Dada C(0, r) con las relaciones métricas indicadas en la figura:

i)

ii)

iii)

iv) cuerda diametral.

Calcular:

16.1

16.2

16.3 )

16.4

16.5 ;

ACAB AX

BAC

X AX

ABX

ACAB

BMCX XA

BXC

º75)(

COGm

º50)(

AGHm

DWHCBT

DG

)ˆ( CTBm

)ˆ( DMBm

)ˆ( GACm

)ˆ( DCAm

)ˆ( HDGm

Materia

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o

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ial


16.6 Si , calcule .

17. Sean C(0, r) y C(0’, r’) exteriores se trazan las dos rectas tangentes interiores a ellas, como

se indica en la gráfica; con

Demuestre que:

a)

b) O, P, O’ son colineales.

18. Sean C(0, r) y C(0’, r’) exteriores y no congruentes, se trazan las dos rectas tangentes

exteriores a ellas, y como se indica en la gráfica.

EBGCH )ˆ( GEHm

PTTTT '' 2211

'' 2211 TTTT

'11TT '22TT

Materia

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o

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ial


Demuestre que:

18.1 . Sugerencia: Razone por reducción al absurdo.

18.2

18.3 P, O’, O son colineales.

19. Sean C(0, r) y C(0’, r’) no congruentes y tangentes exteriormente en un punto T.

C(0, r) . C(0’, r’); y .

Demuestre que .

20. En las condiciones del problema 19 si ambas circunferencias son tangentes interiormente,

demuestre la misma tesis.

21. La recta es secante a C(0, r) en los puntos A y B. Por el punto B se traza la cuerda

. Demuestre que la cuerda diametral paralela a biseca a todo segmento

cuyos extremos son el punto C y cualquier punto de .

22. Demuestre que todo paralelogramo inscrito en una circunferencia, es un rectángulo.

23. Demuestre que la medida del lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia,

es igual al radio de la circunferencia.

24. Demuestre que en todo cuadrilátero convexo circunscrito a una circunferencia la suma de

las medidas de dos lados opuestos, es igual a la suma de las medidas de los otros dos

lados.

25. Demuestre que todo rombo circunscrito en una circunferencia, es un cuadrado.

26. Demuestre que el radio de C(0, r), inscrita en un triángulo rectángulo de catetos con

medidas X, Y y con hipotenusa de medida Z, es igual a .

PTTTT '' 2211

'' 2211 TTTT

CA,

DB, TCDAB

BDAC //

AB

ABBC AB

AB

ZYX 2

1

Materia

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o

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27. Un rectángulo está inscrito en C(0, r). Por los vértices del rectángulo se trazan las

tangentes a C(0, r) que se intersectan dos a dos. Demuestre que el cuadrilátero convexo

con vértices en los puntos de la intersección de las tangentes es un rombo.

28. Desde el punto medio M de un arco

en C(0, r) se determinan las

cuerdas y que intersectan a

en los puntos H y K

respectivamente. Demuestre que es

HKDC es inscriptible.

29. ABCD está inscrito en C(0, r);

; . Demuestre que el punto de intersección de las

bisectrices de y , pertenece a la circunferencia de diámetro .

Sugerencia: Si designamos por k el punto de intersección de las bisectrices, pruebe que

es recto.

30. El ΔABC está inscrito en C(0, r). es la altura correspondiente a y H es el

ortocentro. N, Q, P son los puntos medios de , y respectivamente. Demuestre

que OPNQ es un paralelogramo.

Sugerencia: Determine las otras alturas y trace los radios que pasan por respectivamente.

Tenga en cuenta la propiedad del radio que biseca a una cuerda y utilice el teorema de la

paralela media.

31. Con relación a C(0, r), es secante,

es secante y contiene la cuerda

diametral , r. Demuestre

que .

AMB

MC MD

AB

PBCAD QDCAB

APB

BQC PQ

PKQ

AD BC

AH AB AC

PA

PD

DH AP

3

Materia

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32. Con relación a C(0, r), y son

tangentes, S está entre P y A. G está entre

P y B, tangente a C(0, r) en T .

Demuestre que si , entonces el

perímetro del ΔPSG .

33. La longitud de la cuerda común de dos circunferencias secantes mide unidades. Si los

radios de las circunferencias miden y unidades respectivamente, calcule la distancia

entre los centros.

34. Con relación a la circunferencia, P es

exterior, S está entre P y T, A está entre P

y B; ; . Calcule

el valor de .

35. Una circunferencia está inscrita en un triángulo de lados con magnitudes 11, 16 y 21

respectivamente, si el punto de tangencia divide al lado mayor en dos segmentos de

longitudes y con ; entonces determine la razón .

36. En C(0, r) , es una cuerda diametral, C(0, r), y , cuerda tal que

, bisectriz de tal que C(0, r) . Demuestre que

.

PA PB

SG

aPAm

a2

7

15 9

78

DMTm

82

BGDm

SDAmPm ˆˆ

a b ba b

a

AB P AP BP PD

ABPD PW OPD ˆ PW K

KBKA

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9.10 EJERCICIOS RESUELTOS

Ilustración N° 1

Si 𝐴 ≠ 𝐵 ≠ 𝐶 ≠ 𝐷 todos ellos pertenecientes a una misma circunferencia con 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ,

entonces, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ .

i. 𝐴 ≠ 𝐵 ≠ 𝐶 ≠ 𝐷

Hipótesis ii. 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝜖 𝐶(𝑂, 𝑅)

iii. 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅

Tesis 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ̅ ∥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅

Demostración.

1. Determinemos 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , definición de segmento.

2. Designemos

AMDy

BNC , definición de arcos.

3. 𝑚 ( CAB

) ≗ 1

2 𝑚 (

BNC ), teorema medida del ángulo inscrito.

4. 𝑚 (

ACD ) ≗

1

2 𝑚 (

AMD), razón anterior.

5.

AMD

BNC , de iii) teorema relaciones cuerdas versus arcos.

6. 𝑚 (

AMD) = 𝑚 (

BNC ) , de 5 definición arcos

congruentes.

7. 𝑚 ( CAB

) = 𝑚 (

ACD ), transitividad 6,3 y 4.

8. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , de 7, teorema de los ángulos alternos

internos.

𝑁𝑜𝑡𝑎. Resolver el problema anterior bajo la

siguiente situación desde luego con las mismas

hipótesis.

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Ilustración N° 2

Si 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un trapecio con 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝜖 𝐶(𝑂, 𝑅), entonces, 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un trapecio

isósceles.

i. 𝐴𝐵𝐶𝐷 trapecio.

Hipótesis ii. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅

iii. 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝜖 𝐶(𝑂, 𝑅)

Tesis 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅

Demostración.

1. Determinemos

AQD y

BSC , designación de arcos.

2. 𝐴𝐵 ⃡ ∥ 𝐷𝐶 ⃡ , de ii).

3.

AQD

BSC , teorema arcos comprendidos entre rectas paralelas.

4. 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , teorema relaciones arcos versus cuerdas.

5. 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un trapecio isósceles, de i) y 4 definición trapecio isósceles.

Ilustración N° 3

Demuestre que todo paralelogramo inscrito en una circunferencia es un rectángulo

i. 𝐶(𝑂, 𝑅) ⊂ 𝜋

Hipótesis ii. 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo.

iii. . 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝜖 𝐶(𝑂, 𝑅)

Materia

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o

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Tesis: 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un rectángulo.

Demostración.

1.

A

C y

B

D ; de ii) propiedad por equivalencia del paralelogramo.

2. 𝑚 (

A ) + 𝑚 (

C ) = 180° ; de ii) y iii) segundo criterio para un cuadrilátero cíclico.

3. 𝑚 (

B ) + 𝑚 (

D ) = 180°; la misma razón anterior.

4. 2𝑚 (

A ) = 180° ; sustitución de 1 en 2.

5. 𝑚 (

A ) = 90°; despejando en 4.

6. 𝑚 (

B ) = 90°; procedimiento análogo de 1 y 3.

7. 𝑚 (

C ) = 90°; de 5 y 6 en 1.

8. 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un rectángulo; de 5,6, y 7 propiedad por equivalencia del rectángulo.

Ilustración N° 4

Demuestre que si 𝐶(𝑂, 𝑅) ≇ 𝐶(𝑂′, 𝑅′) tangentes en 𝑇; 𝐴, 𝐶 𝜖 𝐶(𝑂, 𝑅) y 𝐵, 𝐷 𝜖 𝐶(𝑂′, 𝑅′); 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∩

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = {𝑇}, entonces, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ∥ 𝐵𝐷.̅̅ ̅̅ ̅

i. 𝐶(𝑂, 𝑅) ≇ 𝐶(𝑂′, 𝑅′); 𝐶(𝑂, 𝑅), 𝐶(𝑂′, 𝑅′) ⊂ 𝜋

ii. 𝐶(𝑂, 𝑅) ∩ 𝐶(𝑂′, 𝑅′) = {𝑇}

Hipótesis iii.𝐴, 𝐶 𝜖 𝐶(𝑂, 𝑅)

iv. 𝐵, 𝐷 𝜖 𝐶(𝑂, 𝑅)

v. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∩ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = {𝑇}

Tesis: 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ∥ 𝐵𝐷.̅̅ ̅̅ ̅

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Demostración.

1. Existe 𝑇𝑊 ⃡ única, 𝑇𝑊 ⃡ ⊂ 𝜋 , 𝑇𝑊 ⃡ ⊥ 𝑂𝑂′ ⃡ ; perpendicularidad única levantada por un

punto de una recta en un plano dado.

2. Determinamos 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ ; definición de segmento.

3. 𝑚 (

ACT ) ≗

1

2 𝑚 (

ANT ); teorema medida ángulo inscrito.

4. 𝑚 (

BDT ) ≗

1

2 𝑚 (

TMB); la misma razón anterior.

5. Existe al menos 𝑍, tal que 𝑇 esta entre 𝑊 y 𝑍; ¿por qué?

6.

ATW

BTZ ; ¿por qué?

7. 𝑚 (

ATW ) ≗

1

2 𝑚 (

ANT ); teorema medida ángulo semi-inscrito en 𝐶(𝑂, 𝑅).

8. 𝑚 (

BTZ ) ≗

1

2 𝑚 (

TMB); misma razón anterior en 𝐶(𝑂′, 𝑅′).

9. 1

2𝑚 (

ANT ) =1

2𝑚 (

TMB); 6, 7 y 8 transitividad.

10. 𝑚 (

ACT ) = 𝑚 (

BDT ); 9, 3 y 4 transitividad.

11. 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ∥ 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ ; de 10 propiedad de la medida y teorema ∡𝑠 A.I.

Ilustración N° 5

Demuestre que si desde el punto medio 𝑀 de un arco

AB se trazan dos cuerdas 𝑀𝐶̅̅̅̅̅ y 𝑀𝐷̅̅ ̅̅ ̅

que intersecan a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ en los puntos 𝐻 y 𝐾 respectivamente, entonces 𝐻𝐾𝐷𝐶 es inscriptible.

i. 𝐶(𝑂, 𝑅) ⊂ 𝜋

ii. 𝐴, 𝐵 𝜖 𝐶(𝑂, 𝑅)

Hipótesis iii. 𝑀 punto medio de

AB

iv. 𝑀𝐶̅̅̅̅̅, 𝑀𝐷̅̅ ̅̅ ̅ cuerdas

v. 𝑀𝐶̅̅̅̅̅ ∩ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = {𝐻}

vi. 𝑀𝐷̅̅ ̅̅ ̅ ∩ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = {𝐾}

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Tesis: 𝐻𝐾𝐷𝐶 está inscrito en una circunferencia.

Demostración.

1.

AM

MB ; de iii) definición punto medio de un arco.

2. Determinemos 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ; definición de segmento.

3. 𝑚 (

CDM ) ≗

1

2 𝑚 (

MAC); teorema medida ángulo inscrito en un arco.

4. 𝑚 (

CHB ) ≗

1

2 [𝑚 (

CDB ) + 𝑚 (

AM )]; teorema medida ángulo con un vértice en

el interior de la circunferencia.

5. 𝑚 (

CDM ) + 𝑚 (

CHB ) ≗

1

2 [𝑚 (

MAC) + 𝑚 (

CDB ) + 𝑚 (

AM )]; suma de 3 y

4.

6. 1

2 [𝑚 (

MAC) + 𝑚 (

CDB ) + 𝑚 (

AM )] =1

2 [𝑚 (

MAC) + 𝑚 (

CDB ) + 𝑚 (

MB )] ;

sustitución de 1 en 5.

7. 1

2 [𝑚 (

MAC) + 𝑚 (

CDB ) + 𝑚 (

MB )] =1

2[𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐶(𝑂, 𝑅) ] ;

postulado suma medida de arcos.

8. 1

2[𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐶(𝑂, 𝑅) ] =

1

2(360) = 180

9. 𝑚 (

CDM ) + 𝑚 (

CHB ) = 180°; transitividad 5, 6, 7 y 8.

10. 𝐻𝐾𝐷𝐶 es inscriptible; de 9 teorema segundo criterio de inscriptibilidad en un

cuadrilátero convexo.

Ilustración N° 6

En una circunferencia de centro 𝑂 se traza una cuerda 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ de longitud igual al radio y paralela

al diámetro 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Por 𝐷se traza una perpendicular que corta a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ en 𝐸 y a la circunferencia en

𝐹. Se une 𝐹 al punto medio 𝐹 de 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ cortando a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ en 𝐾. Demostrar que:

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a) El arco

DB es congruente con el arco

BF

b) 𝐸 es el punto medio de 𝑂𝐵̅̅ ̅̅

c) 𝐾 es el punto medio de 𝐹𝐻̅̅ ̅̅

1) Como toda recta que pasa por el centro de una

circunferencia y es perpendicular a una cuerda, biseca la

cuerda y al arco entonces:

DB

BF

𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅

2)𝐹𝐷̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ porque 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝑂𝐻̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ porque toda recta que pasa por el centro de una circunferencia y por el punto medio

de una cuerda, es perpendicular a la cuerda.

HOED es un rectángulo por ser un cuadrilátero equiángulo, ¿por qué?.

𝐻𝐷 = 𝑂𝐸 =𝐶𝐷

2=

𝑟

2 por que son lados opuestos del rectángulo y de la hipótesis. Luego 𝐸 es

punto medio de 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑟

3) 𝐻𝑂̅̅ ̅̅ = 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ por ser lados opuestos de HOED.

∆ 𝐻𝑂𝐾 ≅ ∆ 𝐹𝐸𝐾. ¿Por qué? 𝐻𝐾̅̅ ̅̅ ≅ 𝐾𝐹̅̅ ̅̅ por ser lados homólogos en triángulos congruentes.

Luego 𝐾 es punto medio de 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ . ¿Lo es de 𝑂𝐸̅̅ ̅̅ ?

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