12.3 la funciÓn volumen material...
TRANSCRIPT
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
12.3 LA FUNCIÓN VOLUMEN
Definición 91. Volumen de un poliedro convexo
Sea el conjunto de todos los poliedros convexos del espacio , esto es es
un poliedro convexo, .
Definimos una función que llamaremos volumen y que designaremos por V, con dominio
en el conjunto y codominio en el conjunto IR+ (números reales positivos) con las siguientes
propiedades:
IR+ “el volumen del poliedro ”
Esta función satisface cuatro propiedades así:
P1. A todo cubo de arista con longitud igual a l se le asigna como volumen . En particular
a un cubo de arista con longitud igual a 1 unidad de longitud, su volumen corresponde a
esto es a una unidad cúbica. En este caso decimos que el cubo es unitario.
P2. Si dos poliedros convexos son congruentes, entonces tienen el mismo volumen.
P3. Si un poliedro convexo se particiona en un número finito n de poliedros convexos
, entonces . Esta propiedad se designa
también como Postulado de adición del volumen.
Nota:
La intersección de dos poliedros cualesquiera de la partición es el conjunto vacío, un
punto, un segmento (arista) ó un polígono.
P4. Sean y dos poliedros convexos, un plano dado. Si todo plano paralelo a y
que interseca a y a determina en esto secciones transversales de igual área, entonces
. Esta propiedad se llama también el Postulado de Cavalieri.
P XXP /
EX
P
PV : donde ( ) se leeV
)(XVX
3l
31
1 2, ,......, n 1 2 ...... nV V V V
´
´
´V V
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Nota:
Utilizamos también los términos “capacidad” o “medida de un poliedro convexo” para
indicar su volumen. Así dado un poliedro convexo designamos ó
ó su volumen.
Definición 92. Poliedros convexos equivalentes
Son aquellos poliedros convexos que tiene el mismo volumen.
Convención. Si , esto lo notaremos
Observación:
A continuación presentamos los teoremas que nos precisan los volúmenes de los
poliedros convexos en las dos categorías establecidas para su clasificación, todos ellos se
pueden demostrar utilizando básicamente las cuatro propiedades de la función volumen, en
forma análoga al procedimiento que empleamos en su momento para demostrar las áreas de
los polígonos convexos, utilizando únicamente las propiedades de la función área.
Por las razones indicadas previamente solo procederemos a la demostración de algunos
teoremas, pero el orden lógico propuesto, permite la demostración de todos y cada uno de
ellos.
Figura 234
1 2.... kA A A 1 2.... kV A A A
1 2.... kC A A A 1 2.... km A A A
´V V X
Corolario 1.
El volumen de un cubo es igual al producto del área de una cualquiera de sus caras por la
distancia a la cara opuesta.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Demostración
Sea el cubo de vértices ABCDEFGH como se indica en la figura 234 de longitud de arista l.
Hipótesis
El volumen de este cubo es igual a por propiedad P1 de la función volumen y la
hipótesis, esto es .
A su vez por propiedad asociativa del producto, pero
por el teorema correspondiente al área de un cuadrado y , siendo AE la distancia entre
las caras opuestas ABCD y EFGH por definición de cubo. En consecuencia
distancia entre estas dos caras opuestas.
Se designan como dimensiones del paralelepípedo rectángulo las longitudes de dos aristas
adyacentes de la base y una arista lateral, estas usualmente se denominan también: largo,
ancho y alto.
3l
3V ABCDEFGH l
3 2 .l l l 2cuadradoA ABCD l
l AE
cuadradoV ABCDEFGH A ABCD
Corolario 3. Volumen de un paralelepípedo rectángulo
El volumen de un paralelepípedo rectángulo es igual al producto de sus tres dimensiones.
TEOREMA 119.
El volumen de un paralelepípedo rectángulo es igual al producto del área de la base por
la altura.
.
Corolario 2.
El volumen de un cubo es igual al área de la base por la altura.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 235
Demostración
Sea el paralelepípedo rectángulo de vértices ABCDEFGH de aristas en la base de longitudes
a y b, y de arista lateral de medida c, como se indica en la figura 235. Hipótesis.
Consideremos el caso más simple en el cual a, b, c ℤ (positivos).
Podemos particionar el rectángulo ABCD en un total de a b cuadrados unitarios, y dividir
el segmento en c segmentos unitarios y por cada una de estas divisiones trazamos un
plano paralelo a la base ABCD.
De esta manera podemos particionar el paralelepípedo rectángulo en un total de a b c
cubos unitarios y por la propiedad P3 de la función volumen, tenemos que
En el caso general se toman segmentos unitarios más pequeños que permitan determinar
finalmente un cubo unitario y llegar a la misma expresión.
AF
Por la propiedad asociativa en producto
Área
Área de la base por la altura
V ABCDEFGH a b c
a b c
ABCD c
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Este tema tiene que ver con la teoría de la medida y la expresión de un número real como
una aproximación de números racionales, en el capítulo 4 correspondiente a los axiomas de
medida se puede analizar este proceso.
Figura 236
Demostración
Sea el paralelepípedo ABCDEFGH de la figura 236a recto, con aristas adyacentes a la base
de dimensiones a y b, con dimensión c. Hipótesis.
Por los vértices A y B de la base determinemos y . Figura 236b.
Por los vértices E y F de las bases determinemos y .
Los triángulos rectángulos: por el caso hipotenusa
cateto, a partir de la hipótesis y en consecuencia el prisma triangular
, de donde se desprende que ,
figura 236b.
'AD DC 'BC DC
'EH HG 'FG HG
' ' ' 'ADD BCC EHH FG G
' ' ' 'BC CFGG ADD EHH ' ' ' 'BC CFGG ADD EHH
TEOREMA 120. Volumen de un paralelepípedo recto (Ortoedro).
El volumen de un paralelepípedo recto es igual al producto del área de la base por la
medida de la altura.
.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Ahora por la propiedad P3, a
su vez:
por propiedad P2, pero
nuevamente por la
propiedad P3, pero ABC’D’EFG’H’ es un paralelepípedo rectángulo y en consecuencia
por el corolario del teorema 119, las
congruencias anteriores establecidas para los triángulos y nos permite
afirmar que y por lo tanto y
finalmente por la transitividad .
Figura 237
Demostración
Sea el paralelepípedo ABCDEFGH de base con aristas de magnitud a y b, con arista lateral
de medida c y altura de medida h como se indica en la figura 237a. Hipótesis.
En el mismo plano que contiene la base ABCD, construyamos la base del
paralelepípedo A’B’C’D’E’F’G’H’ recto, esta base es congruente al paralelogramos ABCD y en
' ' ' 'V ABCDEFGH V ABC DEFG H V BC CFG G
' ' ' 'V ABCDEFGH V ABC DEFG H V ADD EHH
' ' ' ' ' ' ' ' 'V ABC DEFG H V ADD EFG H V ABC D EFG H
' ' ' Área ' 'V ABC D EFG H ABC D AE
'BC C 'ADA
' 'ABC D ABCD ' ' ' ' ÁreaV ABC D EFG H ABCD AE
ÁreaV ABCDEFGH ABCD AE
TEOREMA 121. Volumen de un paralelepípedo
El volumen de un paralelepípedo es igual al producto del área de la base por la medida de
la altura.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
consecuencia de aristas con dimensiones a y b, la arista lateral de este último igual a h y por
consiguiente su altura también tiene como medida h.
En obvio que todo plano paralelo a y que intercepta a ambos paralelepípedos lo hace
determinando secciones transversales equivalentes (paralelogramos congruentes a ABCD y a
A’B’C’D’ respectivamente) por lo tanto por la propiedad P4 (Postulado de Cavalieri) ambos
paralelepípedos son equivalentes y concluimos que:
.
Demostración
Sea el prisma triangular recto ABCDEF como se indica en la figura 238a.
Figura 238
ÁreaV ABCDEFGH ABCD h
TEOREMA 122. Volumen de un prisma triangular recto
El volumen de un prisma triangular recto es igual al producto del área de la base por la
altura.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Construyamos el prisma triangular recto ACT’DFQ’ congruente con el prisma ABCDEF
como se indica en la figura 248b, luego por la propiedad P2 de la
función volumen.
A su vez el poliedro ABCT’DEFQ’ es un paralelepípedo recto y en consecuencia tenemos
por el Teorema 120.
por la propiedad P3 de la función volumen y la
equivalencia de volúmenes establecida.
Pero
Esto es
Nota:
Para su demostración utilice el Teorema 122, Corolario 1. Ver la figura 239.
' 'ABCDEF ACT DFQ
' ' Área 'V ABCT DEFQ ABCT AD
' ' 2V ABCT DEFQ V ABCDEF
1
2 Área ABCT'2
V ABCDEF AD
Área ABCV ABCDEF AD
Área de la baseV ABCDEF altura
Corolario 1. Volumen de un prisma triangular cualquiera
El volumen de todo prisma triangular es igual al producto del área de la base por la
medida de su altura
Corolario 2. Volumen de un prisma cualquiera
El volumen de todo prisma, cualquiera que sea su base, es igual al producto del área de
la base por la medida de su altura.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 239
Sea la pirámide triangular D-ABC como se muestra en la figura 240a con altura de medida h.
Figura 240
Teorema 123. Volumen de una pirámide triangular (tetraedro)
El volumen de una pirámide triangular es igual a la tercera parte del volumen de un
prisma triangular de la misma base y de la misma altura
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
La demostración se puede desarrollar en dos etapas así:
1. Se demuestra que dos tetraedros que tienen la misma base e igual altura son
equivalentes, en las figuras 240a y 240b se ilustran dos tetraedros con estas
condiciones.
2. Se construye el prisma de base en el a partir del tetraedro D-ABC como se
indica en la figura 240a y se particiona este prisma en los tetraedros D-ABC, C-DTS y
D-ACS, como se muestra en las figuras 241a y 241b y se prueban que estos tetraedros
son equivalentes.
Se concluye en consecuencia que , esto es,
Téngase en cuenta que la altura del tetraedro D-ABC es la misma que la del prisma
ABCSDT (distancia entre dos planos paralelos)
Figura 241
ABC
1
3V D ABC V ABCSDT
1
Área3
V D ABC ABC h
Corolario
El volumen de una pirámide de base triangular es igual a la tercera parte del área de la
base por la medida de su altura.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Demostración
Consideremos dos casos generales así:
Caso 1. Pirámide de base triangular.
Esta situación se consideró en el teorema 123, volumen del tetraedro.
Caso 2. Pirámide de base no triangular.
Sea la pirámide V-ABCDEFG de altura con medida h. (Hipótesis) como se indica en la figura
242a.
Figura 242
Particionemos la pirámide V-ABCDEFG en los cinco tetraedros de vértice común en el
punto V, V-AFG, V-AEF, V-ADE, V-ACD y V-ABC respectivamente como se indica en la figura
242b.
Por la propiedad P3 de la función volumen.
A su vez tenemos para cada uno de los tetraedros anteriores:
V V ABCDEFG V V AFG V V AEF V V ADE V V ACD V V ABC
Teorema 124. Volumen de la pirámide
El volumen de una pirámide cualquiera que sea su base es igual a un tercio del área de la
base por la medida de su altura.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Teorema 123, volumen del tetraedro
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1) a (5) obtenemos:
11
3
12
3
13
3
14
3
15
3
V V AFG A AFG h
V V AEF A AEF h
V V ADE A ADE h
V V ACD A ACD h
V V ABC A ABC h
1 =
3
1 =
3
V V AFG V V ADE V V ACD V V ABC
A AFG A AEF A ADE A ACD A ABC h
A ABCDEFG h
Corolario
Dos pirámides con bases equivalentes y de igual medida en sus alturas son
equivalentes.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial