introducción educativo objetivos específicos....

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

CAPÍTULO 7. DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO

Introducción

Avanzando sobre las propiedades que rodean al triángulo, se han destacado hasta el momento

las que se derivan fundamentalmente de la congruencia. Ahora se pasa a revisar todas las

propiedades que tienen que ver con las relaciones de desigualdad entre sus elementos, bien en

un mismo triángulo, bien en triángulos diferentes. Debo agregar que el estudiante puede percibir

un grado de dificultad mayor a aquel que se maneja en los conceptos de congruencia, pero esta

situación es normal puesto que nuestras estructuras mentales están mejor adaptadas para

percibir con mayor facilidad las primeras.

Objetivos Específicos.

1. Presentar los resultados que se verifican, para un mismo triángulo en las

relaciones métricas de desigualdad entre ángulos y lados y sus recíprocos. Mostrar

con contraejemplos que estás relaciones solo pueden cumplirse en un mismo

triángulo a diferencia de aquellas (teorema de la bisagra y su recíproco) que se

verifican en triángulos distintos.

2. Destacar la importancia del teorema de la desigualdad triangular y su aplicación en

las condiciones métricas de construcción de triángulos.

3. Mostrar en los ejercicios propuestos, aplicaciones concretas de este tema en la

determinación de rutas mínimas.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


7.1 RELACIONES LADOS VERSUS ÁNGULOS EN UN MISMO TRIÁNGULO

Figura 114.

Hipótesis: , .

Tesis: , �� < ��.

Demostración.

Razonemos por reducción al absurdo.

Supongamos que , entonces el triángulo es isósceles y por tanto .

Absurdo. Luego .

Como , existe D entre B y C tal que (Figura 115).

Figura 115.

BCAB BCmABm

CA ˆˆ

CA ˆˆ CBA

BCAB

CA ˆˆ

BCmABm ABBD

TEOREMA 43.

Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos

lados no son congruentes y el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Por tanto es isósceles y esto es .

Como el ángulo es exterior al triángulo , , luego .

Ahora, como D está entre B y C, entonces está en el interior del ángulo y T.B.T.. Luego

y en consecuencia .

ABD ADBDAB ˆˆ

CDA

AD

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


7.2 RELACIONES ÁNGULOS VERSUS LADOS EN UN MISMO TRIÁNGULO

De otro modo: En cualquier triángulo , si entonces: . (Figura

116).

Demostración.


Sea y supongamos que . Si entonces el triángulo

es isósceles y por tanto . ¡Absurdo!.

Figura 116.

Si entonces, por el teorema anterior, . ¡Absurdo!.

Luego, .

Observación.

Los teoremas 43 y 44 nos dicen que en un mismo triángulo a mayor lado se opone mayor

ángulo y viceversa.

CBA

ACmABm

ACmABm ACmABm

ABC

ACmABm

ACmABm

TEOREMA 44.

Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, entonces los lados opuestos a ellos

no son congruentes y el lado mayor es el opuesto al ángulo mayor.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


7.3 RELACIONES PERPENDICULAR VERSUS OBLICUAS

Definición 32: Rectas Oblicuas.

Se designan en esta forma a dos rectas distintas que se intersectan sin formar ángulos

rectos.

Demostración.

i). Sea Q el pie de la perpendicular desde el punto P a la recta L, y sea R cualquier otro

punto de L. Veamos que:

.

Figura 117.

PRmPQm

TEOREMA 45.

Si desde un punto exterior a una recta se trazan un segmento perpendicular y dos

segmentos oblicuos, entonces:

i). El segmento perpendicular es el de menor longitud.

ii). De los segmentos oblicuos es mayor el que se aparta más del pie de la

perpendicular.

iii). Si los dos segmentos oblicuos no tienen la misma longitud, el de mayor

longitud se aparta más del pie de la perpendicular.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


En efecto, sea S un punto de L, tal que Q esté entre S y R. Entonces es exterior a el

triángulo , luego . Como , entonces y por el teorema 44,

.

Los numerales ii) y iii) se dejan al lector.

Observaciones.

El teorema anterior nos permite afirmar que la distancia de un punto a una recta es el

segmento de menor medida que se puede trazar entre el punto y la recta.

Análogamente queda demostrado que en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa es

mayor que cada uno de los catetos ¿por qué?

SQP ˆ

RQP

PQmPRm

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


7.4 TEOREMA DE LA DESIGUALDAD TRIÁNGULAR

Demostración.

Sea

Figura 118.

Tomemos un punto D sobre la recta , tal que B esté entre D y C y .

Como entonces, (1).

Además, (2) ya que B está en el interior de .

Como es isósceles, por (2) y (3) y, en consecuencia en ,

(4) (Teorema 44).

De (1 ) y (4) se deduce que:

.

ABC

BC ABDB

BCmDBmDCm BCmABmDCm

CAD ˆ

DAB CDA

DCmACm

BCABAC

TEOREMA 46. (Desigualdad Triangular).

La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la

longitud del tercer lado.

COROLARIO 1.

La longitud de un lado cualquiera de un triángulo es mayor que la diferencia de las

longitudes de los otros dos lados.

En efecto, como entonces, . BCmABmACm ABmACmBCm

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Figura 119.

COROLARIO 2.

Sea M un punto interior del triángulo . Entonces,

.

CBA

BCmABmMCmAMm

Materia

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o

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7.5 TEOREMA DE LA BISAGRA (CHARNELA)

Figura 120.

Hipótesis: . Tesis: .

.

.

Demostración.

Como existe un punto Q interior a tal que . (Ver Figura 121).

Figura 121.

Sobre tomemos un punto K tal que .

El triángulo (L-A-L)

DEAB EFmBCm

DFAC

FDEQAC ˆˆ

AQ DEAK

FEDCKA

TEOREMA 47.

Si dos lados de un triángulo son congruentes respectivamente con dos lados de un

segundo triángulo, y el ángulo comprendido en el primer triángulo es mayor que el

ángulo comprendido en el segundo, entonces el lado opuesto del primer triángulo es

mayor que el lado opuesto del segundo.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Por tanto: . (1).

Tracemos la bisectriz de , sea M el punto donde la bisectriz corta al lado . Ya que

y , entonces . Luego, (L-A-L) y en

consecuencia, (2).

En el triángulo , . (Teorema 46).

De (1) y (2) .

Pero, , entonces:

.

EFCK

KAB ˆ BC

DEAB DEAK AKAB MKAMBA

MKBM

CKM MCmMKmCKm

MCmBMmEFm

BCmMCmBMm

BCmEFm

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


7.6 TEOREMA DUAL DE LA BISAGRA

Hipótesis: Tesis:

Figura 122.

Demostración.


Supongamos que .

Si entonces (L-A-L) y en consecuencia . ¡Absurdo!.

Si, entonces . ¡Absurdo!.

Luego, > .

DFAC

DEAB

EFmBCm

FEDCBA

EFBC

EFmBCm

BCm EFm

TEOREMA 48.

Si dos lados de un triángulo son congruentes respectivamente con dos lados de un

segundo triángulo, y el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer lado del

segundo triángulo, entonces el ángulo comprendido en el primer triángulo es mayor

que el ángulo comprendido en el segundo.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


7.7 EJERCICIOS PROPUESTOS

Temas: Desigualdades en el triángulo.

1. Determinar cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles son falsas.

1.1 En todo triángulo el valor de cualquier ángulo es menor que la suma de los

otros dos.

1.2 En todo triángulo la medida de un lado es mayor que la diferencia de las

medidas de los otros dos lados.

1.3 Si un triángulo tiene dos lados no congruentes entonces no puede ser

isósceles.

1.4 Dados: y .

i. Si y entonces .

ii. Si entonces y .

iii. Si y entonces .

iv. Si entonces .

v. Si y entonces .

vi. Si y y entonces

.

vii. Si y , entonces, .

viii. Si entonces .

ix. Si entonces .

x. Si y entonces .

2. En la figura se tiene:

i. .

ii. .

iii. .

ABC ''' CBA

ACBC

ACAB BCAB

ABAC BCAB ˆˆ

' ''CBBC

'ˆˆ 'ˆˆ '

''BAAB ''CBBC ACCA ''

'

''BAAB 'ˆˆ '

'''' CBBABCAB ''CAAC

'' '

''BAAB ''CAAC ''CBBC

ABCIntP

ABAP

AHHB

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Bajo la hipótesis anterior, indicar para cada una de las afirmaciones siguientes si es verdadera,

falsa o no es posible afirmar nada por falta de información.

2.1 .

2.2 .

2.3 .

2.4 .

2.5 .

2.6 .

2.7 .

2.8 .

2.9 .

2.10 .

3. Demostrar:

3.1 Si un punto no pertenece a la mediatriz de un segmento, dicho punto no

equidista de los extremos del segmento.

3.2 Si un punto no equidista de los extremos de un segmento, dicho punto no

pertenece a la mediatriz del segmento.

3.3 Si un punto interior a un ángulo no pertenece a la bisectriz del ángulo, dicho

punto no equidista de los lados del ángulo.

3.4 Reciproco del literal anterior.

4. En un triángulo , es la mediana asociada a y es la altura

correspondiente a . Si C está entre M y H demostrar que:

4.1 .

4.2

4.3 .

4.4

5. En un triángulo ABC, las bisectrices de y se cortan en D; y

Demostrar:

5.1 .

5.2 .

6. En la figura se tiene que: A, B, C son colineales . Demostrar.

6.1 .

6.2 .

6.3 .

PBAB

BPABAP ˆˆ

PBAP

ABAC

CBPA ˆˆ

PBAPCBAC

BACABC ˆˆ

PBABPA ˆˆ

BAPABC ˆˆ

AHPH

ABC AM BC AH

BC

ABAM

ACAM

ACAB

CMAmBMAm ˆˆ

B C ACAD BCDH

CDBD

CHBH

CDBDAB

BDADBA ˆˆ

DCAD

BCAD

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


7. Demostrar que la altura asociada a la hipotenusa en un triángulo rectángulo es menor

que la hipotenusa.

8. En la figura se tiene que: D está entre A y C, ; . Demostrar que:

es escaleno.

9. En la figura se tiene que: D está entre A y B, F está entre A y C, .

, . Demostrar que:

9.1 .

9.2

10. Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triángulo está

comprendida entre el semiperímetro y el perímetro del triángulo.

DBAD ADAB ABC

0 BFCD

ACAB FCBD

CDBF

3

ˆ FODm

Materia

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o

Uso no

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11. Demostrar que la suma de las medidas de las medianas de un triángulo está

comprendida en el semiperímetro y el perímetro del triángulo.

12. Sean: . Determinar un punto P, ; tal que sea mínima. Demuestre

que P es único.

13. Sean: A, B puntos interiores de . Localizar los puntos P y Q sobre y

respectivamente de tal manera que sea mínima.

BA lP PBAP

YOX ˆ OX OY

QBPQAP

Materia

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cativ

o

Uso no

comerc

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7.8 EJERCICIOS RESUELTOS

Ilustración N° 1

Demuestre que en un triángulo rectángulo, la altura asociada a la hipotenusa es menor que la

hipotenusa.

i. ∆𝐴𝐵𝐶

ii. recto.

iii. 𝐴𝐻 𝐵𝐶

Tesis: 𝐴𝐻 < 𝐵𝐶

Demostración

1. 𝐵𝐴 < 𝐵𝐶 ; de ii. Teorema relaciones perpendicular vs oblicuas.

2. 𝐴𝐻 < 𝐴𝐵 ; de iii. Teorema relaciones perpendicular vs oblicuas.

3. 𝐴𝐻 < 𝐵𝐶 ; de 1 y 2 transitividad.

Ilustración N° 2

En la figura se tiene:

i. ∆𝐴𝐵𝐶

ii. 𝐷 está entre 𝐴 y 𝐵

BACHipótesis

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


iii. 𝐹 está entre 𝐴 y 𝐶

iv. 𝐵𝐹 ∩ 𝐶𝐷 = {𝑂}

v. 𝐴𝐵 > 𝐴𝐶

vi. 𝐵𝐷 ≅ 𝐹𝐶

Demuestre: 1. 𝐵𝐹 > 𝐶𝐷

2.𝑚 >𝛼+𝛽+𝜃

3

Demostración

1. > ; de 5 Teorema relaciones lados vs ángulos en el ∆𝐴𝐵𝐶

2. 𝐵𝐹 > 𝐶𝐷 de vi. Y 1 Teorema de la bisagra en los ∆𝐵𝐶𝐹 y ∆𝐵𝐶𝐷

3. 𝑚 > ; Teorema Ext en ∆𝑂𝐵𝐷

4. 𝑚 > ; Teorema Ext en ∆𝑂𝐶𝐹

5. 𝑚 > 𝑚 ; Teorema Ext en ∆𝑂𝐶𝐹

6. 𝑚 > 𝑚 ; Teorema Ext en ∆𝐴𝐵𝐹

7. 𝑚 > 𝑚 ; transitividad 5 y 6.

8. 3𝑚 > 𝑚 +𝑚 + 𝑚 sumando miembro a miembro 7, 3, 4.

9. 𝑚 >𝛼+𝛽+𝜃

3; despejando en 8.

)(DOF

ACB

ABC

)(DOF

)(DOF

)(DOF

)(OFC

)(OFC

)(

)(DOF

)(

)(DOF

)(

)(

)(

)(DOF

Materia

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o

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comerc

ial


Ilustración N° 3

Demuestre que la suma de las medidas de las medianas de un triángulo está comprendida

entre el semiperímetro y el perímetro del triangulo.

i. ∆𝐴𝐵𝐶

ii. 𝐴𝑀1 mediana.

iii. 𝐵𝑀2 mediana.

iv. 𝐶𝑀3 𝑚ediana.

Tesis: 𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶

2< 𝐴𝑀1 + 𝐵𝑀2 + 𝐶𝑀3 < 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶

Demostración

1. 𝐴𝑀1 > 𝐴𝐵 − 𝐵𝑀1 ; Teorema desigualdad triangular en

∆𝐴𝐵𝑀1

2. 𝐴𝑀1 > 𝐴𝐶 − 𝐶𝑀1 ; Teorema desigualdad triangular en

∆𝐴𝐶𝑀1

3. 2𝐴𝑀1 > 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 − (𝐵𝑀1 + 𝐶𝑀1) ; sumando miembro

a miembro 1 y 2.

4. 2𝐴𝑀1 > 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 − 𝐵𝐶 ; propiedad de la medida en 3.

Este resultado es en consecuencia un teorema

que podemos aplicar a las otras dos medianas, así:

5. 2𝐵𝑀2 > 𝐵𝐴 + 𝐵𝐶 − 𝐴𝐶; Teorema

6. 2𝐶𝑀3 > 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 − 𝐴𝐵 ; Teorema

Hipótesis

Materia

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o

Uso no

comerc

ial


7. 2(𝐴𝑀1 + 𝐵𝑀2 + 𝐶𝑀3) > 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 ; sumando miembro a miembro 4, 5 y 6.

8. 𝐴𝑀1 + 𝐵𝑀2 + 𝐶𝑀3 >𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶

2 ; despejando en 7.

Para determinar la cota superior se requiere de una construcción auxiliar así:

9. En la semirrecta opuesta a 𝑀1𝐴 , construimos 𝑀1𝑃 ≅ 𝑀1𝐴 . Axioma construcción del

segmento.

10. Determinamos 𝐶𝑃 ; definición segmento.

11. ≅ ; Teorema propiedad ángulos opuestos por el vértice.

12. ∆𝐴𝑀1𝐵 ≅ ∆𝑃𝑀1𝐶 (L-A-L); de ii.

Consecuencias: 𝐴𝐵 ≅ 𝑃𝐶⏟ 12′

13. 𝐴𝑃 < 𝐴𝐶 + 𝑃𝐶 ; Teorema de la desigualdad triangular en ∆𝐴𝐶𝑃

14. 2𝐴𝑀1 < 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 ; sustitución de 9 y 12’ en 13.

Este resultado se constituye también en otro teorema que se aplica a las otras

dos medianas así:

15. 2𝐵𝑀2 < 𝐵𝐴 + 𝐵𝐶 Teorema

16. 2𝐶𝑀3 < 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 Teorema

17. 2(𝐴𝑀1 + 𝐵𝑀2 + 𝐶𝑀3) < 2(𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶) ; sumando miembro a miembro 14, 15 y

16.

18. 𝐴𝑀1 + 𝐵𝑀2 + 𝐶𝑀3 < 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 ; ley cancelativa en 17.

19. 𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶

2< 𝐴𝑀1 + 𝐵𝑀2 + 𝐶𝑀3 < 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶; de 8 y 18.

Ilustración N°4

Sea 𝑃 un punto interior cualquiera del triángulo 𝐴𝐵𝐶. Demostrar que 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 < 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵.

BAM1

PCM1

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i. Sea ∆𝐴𝐵𝐶

ii. 𝑃 𝜖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 ∆𝐴𝐵𝐶

Tesis: 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 < 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵.

Demostración.

1. 𝐴𝑃 ∩ 𝐵𝐶 = {𝑀}; teorema de la barra transversal.

2. 𝐴𝑀 < 𝐴𝐶 + 𝐶𝑀 ; por desigualdad triangular.

3. 𝑃𝐵 < 𝐵𝑀 + 𝑀𝑃 ; razón de 2.

4. (𝐴𝑀 + 𝑃𝐵) < 𝐴𝐶 + 𝐶𝑀 + 𝐵𝑀 + 𝑀𝑃 ; propiedad de los reales.

5. (𝐴𝑃 + 𝑃𝑀 + 𝑃𝐵) < 𝐴𝐶 + 𝐶𝑀 + 𝐵𝑀 + 𝑀𝑃 ; de la figura: 𝐴𝑀 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑀.

6. 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 < 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵; propiedad de la medida y 𝐶𝑀 + 𝑀𝐵 = 𝐶𝐵.

IlustraciónN°5

En un triángulo 𝐴𝐵𝐶 se da 𝐴 − 𝐷 − 𝐵 tal que 𝐶𝐵 ≅ 𝐶𝐷 ≅ 𝐷𝐴 .

Demostrar que: 𝐴𝐶 > 𝐶𝐷 , > ; 𝐴𝐶 > 𝐷𝐵 .

i. ∆ 𝐴𝐵𝐶

ii. 𝐴 − 𝐷 − 𝐵

iii. 𝐶𝐵 ≅ 𝐶𝐷 ≅ 𝐷𝐴

Tesis: 𝐴𝐶 > 𝐶𝐷 , > ; 𝐴𝐶 > 𝐷𝐵 .

Demostración.

1. 𝐴𝐵 > 𝐴𝐷 ; de la relación 𝐴 − 𝐷 − 𝐵.

2. 𝐴𝐵 > 𝐶𝐵 ; sustitución de iii) en 1.

3. ∡𝐴𝐶𝐵 > ∡𝐴; de 2; relación lados versus ángulos en ∆𝐴𝐵𝐶.

ACB

A

ACB

A

Hipót

esis

Hipótesis

Materia

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comerc

ial


4. ∡𝐴𝐷𝐶 > ∡𝐵; ∡𝐴𝐷𝐶 es exterior al ∆ 𝐵𝐶𝐷.

5. ∡𝐴𝐷𝐶 > ∡𝐶𝐷𝐵 ; sustitución en 4 de ∡ 𝐵 y ∡𝐶𝐷𝐵.

6. ∡𝐶𝐷𝐵 > ∡𝐴 ; ∡CDB es exterior al ∆𝐴𝐵𝐶.

7. ∡ADC > ∡A; de 5 y 6; transitividad.

8. 𝐴𝐶 > 𝐶𝐷 ; de 7; relación ángulos versus lados en ∆𝐴𝐷𝐶.

9. 𝐶𝐵 ≅ 𝐶𝐷 ≅ 𝐷𝐴 ; hipótesis iii.

10. ∡ADC > ∡DCB; ∡ADC es exterior al ∆𝐷𝐶𝐵.

11. 𝐴𝐶 > 𝐷𝐵 ; de 9 y 10; teorema de la bisagra.

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