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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Introducción

En la orientación axiomática que he elegido por las razones ampliamente señaladas, para el

trabajo de este texto, hasta el momento el estudio se ha centrado fundamentalmente en la

Geometría del plano, si bien los axiomas de Incidencia nos han permitido fundamentar las

relaciones básicas entre los elementos primitivos: punto, recta, plano, espacio, nos dedicaremos

en está unidad al estudio de las relaciones de los puntos, las rectas y los planos con relación al

espacio.

Estableceremos teoremas duales, a algunos de los ya estudiados, pero referidos al espacio, así

mismo determinaremos nuevas figuras y estableceremos finalmente una función de medida que

denominaremos volumen.

Continuando con el desarrollo axiomático nos fundamentamos en sus dos principios básicos: la

definición y la demostración. Sin embargo dado el grado de dominio que se tiene del ámbito

demostrativo en este nivel del curso, solo se demostrarán los teoremas más relevantes, para

hacer más dinámico el trabajo en el curso, en este sentido es importante que el lector repase

antes de iniciar el estudio del contenido de esta unidad, los Axiomas de Incidencia y de Orden.

Objetivos específicos.

1. Presentar las nociones de ángulo diedro, ángulo rectilíneo asociado a un ángulo diedro,

medida de un ángulo diedro y ángulo poliedro convexo.

2. Definir poliedro convexo, poliedro convexo regular y los únicos existentes en esta

última clasificación.

3. Señalar los teoremas duales a los trabajados en el plano pero generalizados al espacio

en su contexto respectivo y aprovechar las analogías válidas cuando correspondan.

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4. Introducir una clasificación particular entre los polígonos convexos compuesta por los

prismas y las pirámides, aclarando que no es exhaustiva en los poliedros.

5. Adelantar un estudio a fondo de los prismas con las clasificaciones respectivas.

6. Análogo para las pirámides.

7. Definir el volumen como una función de medida en este caso para los poliedros

convexos, con cuatro propiedades de definición

8. Destacar nuevamente, (como ocurre con la función área) como en un proceso

constructivo y coherente se plantean los volúmenes de los prismas y de las pirámides,

mediadas desde luego por una serie de clasificaciones internas dentro de cada una de estas

dos categorías principales mayores.

9. Introducir las nociones de superficie de revolución y cuerpos redondos.

10. Definir dentro de la categoría de los cuerpos redondos, el cilindro, el cono y la esfera.

11. Inducir desde el volumen del prisma regular, pero finalmente utilizando el cálculo,

calcular el volumen del cilindro circular recto y su área lateral.

12. Análogamente partiendo del volumen de la pirámide regular, calcular el volumen del

cono circular recto y su área lateral.

13. Calcular el volumen de la esfera y el área de la superficie esférica.

14. Aprovechar las variadas y precisas clasificaciones que se presentan en este tema para

enriquecer el espacio de las preguntas, el análisis y la obligatoria participación de los

estudiantes.

15. Invitar a los estudiantes para que empleen los mapas conceptuales, los cuadros

sinópticos y todas aquellas herramientas que les permitan efectuar las taxonomías más

eficientes para abordar de manera eficiente y sistemática toda la información que se maneja

en este tema.

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12.1 NOCIONES BÁSICAS

Definición 72. Ángulo diedro.

Sean , distintos, , , , , .

Definimos el ángulo diedro que notamos a la figura .

Esto es . Ver figura 218.

Figura 218

Notas:

Dado el ángulo diedro designaremos los siguientes términos:

se denomina arista del ángulo diedro.

y se llaman las caras del ángulo diedro, o también, lados del

ángulo diedro.

Si y , entonces, y se

denominan ángulos diedros opuestos por la arista.

1 21 2 AB 1P P AB 2Q Q AB

QABP : : AB AB

P Q AB

ABQPQABPABAB

::21

QABP

AB

PAB

:1

QAB

:2

PPAB

:~´1

QQAB

:~´2

QABP ´´ QABP

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Definición 73. Ángulo rectilíneo asociado al ángulo diedro.

Sean un ángulo diedro, , , , ,

.

Definimos como el ángulo rectilíneo asociado al ángulo diedro . Ver

figura 219.

Figura 219

Definición 74. Medida de un ángulo diedro.

La medida de un ángulo diedro es igual a la medida del ángulo rectilíneo asociado. En este

sentido hablaremos de ángulos diedros agudos, rectos, obtusos.

Nota:

Diremos que dos planos son perpendiculares si sus ángulos diedros determinados al

intersectarse son rectos.

QABP O AB OK AB1OK OW AB

2OW

ˆKOW QABP

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Definición 75. Ángulo poliedro convexo.

Sean , ,…., tales que 3 cualesquiera de ellas no sean coplanarias y todas

distintas.

Definimos como ángulo poliedro convexo que notamos a la figura

.

Esto es . Ver figura 220.

Figura 220

Notas:

Dado el ángulo poliedro convexo designaremos los siguientes términos:

O se llama vértice del ángulo poliedro convexo

, ,…., se llaman aristas del ángulo poliedro convexo.

, , …….., son las caras del ángulo poliedro convexo.

Puede concluirse a partir de las condiciones de la definición, que dada una cara cualquiera

del ángulo poliedro convexo, todos los puntos de la figura siempre están contenidas en el

mismo semiespacio con respecto al plano de la cara.

1OA 2OA nOA

1 2.... nO A A A

1 2 .... nOA OA OA O

1 2.... nO A A A 1 2 .... nOA OA OA O

1 2.... nO A A A

1OA 2OA nOA

1 2, ,O A A 2 3, ,O A A 1, ,nO A AMate

rial e

duca

tivo

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Definición 76. Sección plana de un ángulo poliedro convexo.

Sean un ángulo poliedro convexo, un plano que intercepta a cada una de

las aristas del ángulo poliedro así: , , …….,

entonces el polígono lo designamos como una sección plana del ángulo poliedro

convexo en el plano . Ver figura 221.

Figura 221

Definición 77. Ángulos diedros de un ángulo poliedro convexo.

Designamos de esta forma cada uno de los ángulos diedros con arista en cada una de las

aristas del ángulos poliedro convexo. Los notaremos mediante los dos puntos que indican sus

aristas. Así en la figura 222 designaremos los tres ángulos diedros del ángulo poliedro

convexo como el diedro OA, el diedro OB, el diedro OC.

1 2.... nO A A A

1 1 OA A 2 2

OA A n nOA A

1 2 ....... nA A A

1 2.... nO A A A

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Figura 222

Definición 78. Ángulo triedro.

Designamos de esta forma el ángulo poliedro determinado por tres semirrectas. Ver figura

223.

Notas:

Un ángulo triedro que tiene un ángulo diedro recto se denomina ángulo triedro

rectángulo.

Un ángulo triedro que tiene dos ángulos diedros rectos se denomina ángulo triedro

birrectángulo

Un ángulo triedro que tiene tres ángulos diedros rectos se denomina ángulo triedro

trirrectángulo. En la figura 223 se indica un ángulo triedro trirrectángulo.

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Figura 223

Definición 79. Poliedro convexo.

Designamos de esta forma a la figura determinada por la unión de un número finito de

polígonos convexos que satisface estas tres condiciones:

1. Cada lado del polígono es exactamente el lado de otro polígono

2. La intersección de dos polígonos cualesquiera es el conjunto vacío, un punto o un lado.

3. Toda la figura está contenida en el mismo subespacio con relación a cada plano que

contiene a cada polígono

En la figura 224 se ilustran algunos poliedros convexos.

Figura 224

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Notas:

Dado un poliedro convexo destacamos los siguientes elementos:

Caras del poliedro son los polígonos que los determinan

Aristas del poliedro son los lados de las caras, es decir los lados del polígono

Vértices del poliedro son los puntos de intersección de tres o más caras del poliedro

Ángulos del poliedro son los ángulos poliedros convexos, con vértice en cada uno de

los vértices del poliedro

Diagonales del poliedro son los segmentos determinados por dos vértices

cualesquiera no contenidos en la misma cara

Área del poliedro es la suma de las áreas de todas las caras del poliedro

Convención. Designamos a un poliedro por medio de sus vértices. Así en la figura 224

tenemos: el poliedro , poliedro , poliedro .

Definición 80. Poliedro convexo regular.

Un poliedro convexo es regular si sus caras son polígonos regulares congruentes y sus

ángulos tienen el mismo número de caras.

Notas:

La definición anterior es equivalente a la siguiente proposición: “Un poliedro convexo

es regular si todas sus caras son polígonos regulares congruentes y todos sus ángulos

poliedros convexos son congruentes”

Existen únicamente cinco poliedros convexos regulares cuyos nombres indican el

número de sus caras respectivas así: Ver figuras 225.

1 2 3 4A A A A 1 2 3 4 5 6 7 8B B B B B B B B 1 2 10.....C C C

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Número de caras Polígono asociado a la cara Nombre

4 Triángulo equilátero Tetraedro

6 Cuadrado Hexaedro

8 Triángulo equilátero Octaedro

12 Pentágono regular Dodecaedro

20 Triángulo equilátero Icosaedro

a.

b.

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c.

d.

e.

Figura 225

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PROBLEMA

Demuestre que no existe otro poliedro convexo regular distinto a los enunciados.

Definición 81. Poliedros convexos Arquimedianos.

Designamos de esta manera a todos los poliedros convexos cuyas caras son polígonos

regulares y todos sus ángulos poliedros son congruentes.

Notas:

Se concluye de las dos últimas definiciones que todo poliedro convexo regular es un

poliedro convexo Arquimediano, pero su recíproco no es verdadero.

Los poliedros Arquimedianos son en total 13.

PROBLEMA

Consulte las características y los nombres de los ochos poliedros convexos Arquimedianos

restantes.

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12.2 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS CONVEXOS

Destacamos en los poliedros convexos dos clasificaciones importantes que corresponden

a los prismas y las pirámides que entramos a estudiar en detalle. Previamente enunciaremos

dos teoremas “duales” a los respectivos asociados para el plano y un teorema exclusivo al

espacio.

Definición 82. Recta perpendicular a un plano

Una recta es perpendicular a un plano si todo plano que la contiene es perpendicular al

plano.

Figura 226

TEOREMA 114.

Por un punto P del espacio que no pertenece a un plano , se puede determinar una recta

única perpendicular al plano . Ver figura 226.

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Nota:

Designamos distancia del punto P al plano , y lo notamos a la medida de .

Esto es 𝑑(𝑃, ) = 𝑚(𝑃𝐻̅̅ ̅̅ ).

Definición 83. Planos paralelos

Dos planos y son paralelos si .

Figura 227

,d P PH

1 2 1 2

TEOREMA 115.

Si dos planos distintos son paralelos, entonces, la distancia desde un punto cualquiera de uno

de ellos al otro plano es constante. Este valor se designa como “la distancia entre dos planos

paralelos”. Ver figura 227.

TEOREMA 116.

Si una recta es perpendicular a un plano, entonces, es perpendicular a toda recta

contenida en el plano y que pasa por el pie de la recta perpendicular. Ver figura 228.

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Figura 228

12.2.1 Prismas

Definición 84. Prisma

Es un poliedro convexo que satisface dos condiciones:

1. Dos de sus caras son congruentes y están contenidas en planos paralelos.

2. Las demás caras son paralelogramos.

Ver figura 229. Materia

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Figura 229

Notas:

En un prisma identificamos los siguientes elementos:

Bases: Son las caras contenidas en los planos paralelos, así para el prisma de la figura

229a sus bases son y

Aristas Laterales: Son aquellas que no se encuentran sobre las bases, así para el prisma

de la figura 229b estas corresponden a , , y . Las aristas laterales son

todas congruentes

Altura: Es la distancia entre los planos que contienen las bases, así en los prismas de

la figuras corresponden a sus alturas respectivas.

Área Lateral: Es la suma de las áreas de las caras laterales.

Área total: Es la suma del área lateral más las áreas de las bases.

Notación:

Usualmente designamos un prisma utilizando los vértices asociados a sus bases,

siguiendo la convención ya fijada para designar polígonos. Así para el prisma de la figura 229d

podemos designarlo por prisma ABCDEFGHIJKL ó prisma LGHIJKDEFABC, etc.

En forma general podemos referirnos a un prisma según el número de lados de su base,

así en la figura 229 tenemos:

El prisma de la figura 229a es triangular, el 229b es cuadrangular, el 229c es pentagonal y

el 229d es hexagonal.

ABC EFD

AF BG CH DE

1 2 3 4, , y h h h h

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Definición 85. Prisma recto

Es aquel en el cual las aristas laterales son perpendiculares a las bases. En este caso las

caras laterales son rectángulos. Así el prisma de la figura 229c es recto.

Si las aristas laterales no son perpendiculares a las bases el prisma se denomina oblicuo.

Las figuras 229a, 229b y 229d corresponden a prismas oblicuos.

Definición 86. Prisma regular

Es aquel prisma recto en el cual sus bases son polígonos regulares.

Definición 87. Paralelepípedo

Es aquel prisma cuyas bases son paralelogramos.

Así en la figura 229b el prisma es un paralelepípedo.

Notas:

Designamos como paralelepípedo recto o también ortoedro al paralelepípedo de

aristas laterales perpendiculares a las bases.

Designamos como paralelepípedo rectángulo a un paralelepípedo recto cuyas bases

son rectángulos.

Designamos como cubo a un paralelepípedo rectángulo en el cual todas sus aristas son

iguales. El cubo se denomina también hexaedro regular. Ver figuras 230.

Figura 230

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El paralelepípedo de la figura 230a es recto y el de la figura 230b es rectángulo.

Figura 231

Demostración

Sea el paralelepípedo de la figura 241 rectángulo, determinemos diagonal del

paralelepípedo, una diagonal de una cara.

El triángulo EDB es rectángulo con recto por la hipótesis y el teorema 3

Luego (1) Teorema de Pitágoras en el .

A su vez el es rectángulo con recto por la hipótesis y en consecuencia

(2) Teorema de Pitágoras en el .

Sustituyendo la ecuación (2) en la (1) concluimos que

Para las demás diagonales el procedimiento es análogo y el valor es el mismo.

EB

DB

ˆEDB

2 2 2EB ED DB EDB

DAB ˆDAB

2 2 2DB DA AB DAB

2 2 2 2EB ED DA AB

TEOREMA 117.

En todo paralelepípedo rectángulo las cuatro diagonales son iguales y el cuadrado de una

cualquiera de ellas es igual a la suma de los cuadrados de las tres dimensiones del

paralelepípedo.

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12.2.2 Pirámides

Definición 88. Pirámide.

Es un poliedro convexo en el cual una de sus caras es un polígono convexo cualquiera y las

otras son triángulos que tiene un vértice común y en cada triángulo el lado opuesto a ese

vértice es un lado del polígono convexo cualquiera que este sea. Ver figura 232.

Figura 232

Notas:

En una pirámide identificamos los siguientes elementos:

Base: Es el polígono convexo al cual no pertenece el vértice común, así en la figura 232

el pentágono ABCDE es la base y el plano se denomina plano de la base.

Vértice o cúspide: Es el vértice común a los triángulos, así en la figura corresponde al

punto V.

Caras laterales: Son los triángulos de vértice común, así en la figura 232 corresponden

a , , , y .

ABV BCV CDV DEV EAV

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Aristas laterales: Son los lados de los triángulos con vértice común y distintos a los

lados de la base, así en la figura 232 , , , y son las aristas

laterales.

Altura: Es la distancia del vértice al plano de la base, así en la figura 232 es la

altura de la pirámide.

Área Lateral: Es la suma de las áreas de las caras laterales.

Área total: Es la suma del área lateral más el área de la base.

Notación:

Usualmente designamos una pirámide iniciando con la letra asociada al vértice y

continuando con el polígono de la base, así para la pirámide la figura 232 podemos designarla

como .

En forma general podemos referirnos a una pirámide según el número de lados del

polígono de la base, en consecuencia una pirámide puede ser triangular, cuadrangular,

pentagonal, hexagonal, etc.

La pirámide de la figura 232 es pentagonal.

Una pirámide triangular se llama también tetraedro.

Definición 89. Pirámide regular.

Es una pirámide en la cual la base es un polígono regular y el pie de la altura es el centro

de la circunferencia circunscrita al polígono de la base.

Notas:

En una pirámide regular se tiene como consecuencia de su definición:

Las caras laterales son triángulos isósceles congruentes.

La altura de cada cara, asociada a la cúspide, se denomina apotema de la pirámide

regular.

AV BV CV DV EV

VH

V ABCDE

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Observación:

Como lo veremos posteriormente el tetraedro en particular juega en la geometría de los

poliedros convexos un papel análogo al del triángulo en los polígonos convexos.

Dejo para ser justificados por el lector las siguientes proposiciones:

Definición 90. Sección transversal de un prisma

Designamos de esta manera al polígono determinado por la intersección no vacía de un

plano con el prisma.

Notas:

Si el plano que intercepta al prisma es perpendicular a las aristas laterales, entonces,

la intersección se denomina sección recta del prisma. Ver figura 233a.

a. b.

Figura 233

TEOREMA 118.

1. Todo prisma no triangular se puede particionar en prismas triangulares en un

número finito y todos ellos con la misma altura.

2. Toda pirámide no triangular se puede particionar en un número finito de tetraedros

todos ellos de la misma altura.

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El es una sección transversal del prisma en la figura 233a.

Si el plano que intercepta a la pirámide es paralelo a la base, la sección se denomina

sección recta de la pirámide. El cuadrilátero es una sección transversal de la

pirámide enm la figura 233b.

MNT

KLMN

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12.3 LA FUNCIÓN VOLUMEN

Definición 91. Volumen de un poliedro convexo

Sea el conjunto de todos los poliedros convexos del espacio , esto es es

un poliedro convexo, .

Definimos una función que llamaremos volumen y que designaremos por V, con dominio

en el conjunto y codominio en el conjunto IR+ (números reales positivos) con las siguientes

propiedades:

IR+ “el volumen del poliedro ”

Esta función satisface cuatro propiedades así:

P1. A todo cubo de arista con longitud igual a l se le asigna como volumen . En particular

a un cubo de arista con longitud igual a 1 unidad de longitud, su volumen corresponde a

esto es a una unidad cúbica. En este caso decimos que el cubo es unitario.

P2. Si dos poliedros convexos son congruentes, entonces tienen el mismo volumen.

P3. Si un poliedro convexo se particiona en un número finito n de poliedros convexos

, entonces . Esta propiedad se designa

también como Postulado de adición del volumen.

Nota:

La intersección de dos poliedros cualesquiera de la partición es el conjunto vacío, un

punto, un segmento (arista) ó un polígono.

P4. Sean y dos poliedros convexos, un plano dado. Si todo plano paralelo a y

que interseca a y a determina en esto secciones transversales de igual área, entonces

. Esta propiedad se llama también el Postulado de Cavalieri.

P XXP /

EX

P

PV : donde ( ) se leeV

)(XVX

3l

31

1 2, ,......, n 1 2 ...... nV V V V

´

´

´V V

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Nota:

Utilizamos también los términos “capacidad” o “medida de un poliedro convexo” para

indicar su volumen. Así dado un poliedro convexo designamos ó

ó su volumen.

Definición 92. Poliedros convexos equivalentes

Son aquellos poliedros convexos que tiene el mismo volumen.

Convención. Si , esto lo notaremos

Observación:

A continuación presentamos los teoremas que nos precisan los volúmenes de los

poliedros convexos en las dos categorías establecidas para su clasificación, todos ellos se

pueden demostrar utilizando básicamente las cuatro propiedades de la función volumen, en

forma análoga al procedimiento que empleamos en su momento para demostrar las áreas de

los polígonos convexos, utilizando únicamente las propiedades de la función área.

Por las razones indicadas previamente solo procederemos a la demostración de algunos

teoremas, pero el orden lógico propuesto, permite la demostración de todos y cada uno de

ellos.

Figura 234

1 2.... kA A A 1 2.... kV A A A

1 2.... kC A A A 1 2.... km A A A

´V V X

Corolario 1.

El volumen de un cubo es igual al producto del área de una cualquiera de sus caras por la

distancia a la cara opuesta.

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Demostración

Sea el cubo de vértices ABCDEFGH como se indica en la figura 234 de longitud de arista l.

Hipótesis

El volumen de este cubo es igual a por propiedad P1 de la función volumen y la

hipótesis, esto es .

A su vez por propiedad asociativa del producto, pero

por el teorema correspondiente al área de un cuadrado y , siendo AE la distancia entre

las caras opuestas ABCD y EFGH por definición de cubo. En consecuencia

distancia entre estas dos caras opuestas.

Se designan como dimensiones del paralelepípedo rectángulo las longitudes de dos aristas

adyacentes de la base y una arista lateral, estas usualmente se denominan también: largo,

ancho y alto.

3l

3V ABCDEFGH l

3 2 .l l l 2cuadradoA ABCD l

l AE

cuadradoV ABCDEFGH A ABCD

Corolario 3. Volumen de un paralelepípedo rectángulo

El volumen de un paralelepípedo rectángulo es igual al producto de sus tres dimensiones.

TEOREMA 119.

El volumen de un paralelepípedo rectángulo es igual al producto del área de la base por

la altura.

.

Corolario 2.

El volumen de un cubo es igual al área de la base por la altura.

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Figura 235

Demostración

Sea el paralelepípedo rectángulo de vértices ABCDEFGH de aristas en la base de longitudes

a y b, y de arista lateral de medida c, como se indica en la figura 235. Hipótesis.

Consideremos el caso más simple en el cual a, b, c ℤ (positivos).

Podemos particionar el rectángulo ABCD en un total de a b cuadrados unitarios, y dividir

el segmento en c segmentos unitarios y por cada una de estas divisiones trazamos un

plano paralelo a la base ABCD.

De esta manera podemos particionar el paralelepípedo rectángulo en un total de a b c

cubos unitarios y por la propiedad P3 de la función volumen, tenemos que

En el caso general se toman segmentos unitarios más pequeños que permitan determinar

finalmente un cubo unitario y llegar a la misma expresión.

AF

Por la propiedad asociativa en producto

Área

Área de la base por la altura

V ABCDEFGH a b c

a b c

ABCD c

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Este tema tiene que ver con la teoría de la medida y la expresión de un número real como

una aproximación de números racionales, en el capítulo 4 correspondiente a los axiomas de

medida se puede analizar este proceso.

Figura 236

Demostración

Sea el paralelepípedo ABCDEFGH de la figura 236a recto, con aristas adyacentes a la base

de dimensiones a y b, con dimensión c. Hipótesis.

Por los vértices A y B de la base determinemos y . Figura 236b.

Por los vértices E y F de las bases determinemos y .

Los triángulos rectángulos: por el caso hipotenusa

cateto, a partir de la hipótesis y en consecuencia el prisma triangular

, de donde se desprende que ,

figura 236b.

'AD DC 'BC DC

'EH HG 'FG HG

' ' ' 'ADD BCC EHH FG G

' ' ' 'BC CFGG ADD EHH ' ' ' 'BC CFGG ADD EHH

TEOREMA 120. Volumen de un paralelepípedo recto (Ortoedro).

El volumen de un paralelepípedo recto es igual al producto del área de la base por la

medida de la altura.

.

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Ahora por la propiedad P3, a

su vez:

por propiedad P2, pero

nuevamente por la

propiedad P3, pero ABC’D’EFG’H’ es un paralelepípedo rectángulo y en consecuencia

por el corolario del teorema 119, las

congruencias anteriores establecidas para los triángulos y nos permite

afirmar que y por lo tanto y

finalmente por la transitividad .

Figura 237

Demostración

Sea el paralelepípedo ABCDEFGH de base con aristas de magnitud a y b, con arista lateral

de medida c y altura de medida h como se indica en la figura 237a. Hipótesis.

En el mismo plano que contiene la base ABCD, construyamos la base del

paralelepípedo A’B’C’D’E’F’G’H’ recto, esta base es congruente al paralelogramos ABCD y en

' ' ' 'V ABCDEFGH V ABC DEFG H V BC CFG G

' ' ' 'V ABCDEFGH V ABC DEFG H V ADD EHH

' ' ' ' ' ' ' ' 'V ABC DEFG H V ADD EFG H V ABC D EFG H

' ' ' Área ' 'V ABC D EFG H ABC D AE

'BC C 'ADA

' 'ABC D ABCD ' ' ' ' ÁreaV ABC D EFG H ABCD AE

ÁreaV ABCDEFGH ABCD AE

TEOREMA 121. Volumen de un paralelepípedo

El volumen de un paralelepípedo es igual al producto del área de la base por la medida de

la altura.

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consecuencia de aristas con dimensiones a y b, la arista lateral de este último igual a h y por

consiguiente su altura también tiene como medida h.

En obvio que todo plano paralelo a y que intercepta a ambos paralelepípedos lo hace

determinando secciones transversales equivalentes (paralelogramos congruentes a ABCD y a

A’B’C’D’ respectivamente) por lo tanto por la propiedad P4 (Postulado de Cavalieri) ambos

paralelepípedos son equivalentes y concluimos que:

.

Demostración

Sea el prisma triangular recto ABCDEF como se indica en la figura 238a.

Figura 238

ÁreaV ABCDEFGH ABCD h

TEOREMA 122. Volumen de un prisma triangular recto

El volumen de un prisma triangular recto es igual al producto del área de la base por la

altura.

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ial


Construyamos el prisma triangular recto ACT’DFQ’ congruente con el prisma ABCDEF

como se indica en la figura 248b, luego por la propiedad P2 de la

función volumen.

A su vez el poliedro ABCT’DEFQ’ es un paralelepípedo recto y en consecuencia tenemos

por el Teorema 120.

por la propiedad P3 de la función volumen y la

equivalencia de volúmenes establecida.

Pero

Esto es

Nota:

Para su demostración utilice el Teorema 122, Corolario 1. Ver la figura 239.

' 'ABCDEF ACT DFQ

' ' Área 'V ABCT DEFQ ABCT AD

' ' 2V ABCT DEFQ V ABCDEF

1

2 Área ABCT'2

V ABCDEF AD

Área ABCV ABCDEF AD

Área de la baseV ABCDEF altura

Corolario 1. Volumen de un prisma triangular cualquiera

El volumen de todo prisma triangular es igual al producto del área de la base por la

medida de su altura

Corolario 2. Volumen de un prisma cualquiera

El volumen de todo prisma, cualquiera que sea su base, es igual al producto del área de

la base por la medida de su altura.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Figura 239

Sea la pirámide triangular D-ABC como se muestra en la figura 240a con altura de medida h.

Figura 240

Teorema 123. Volumen de una pirámide triangular (tetraedro)

El volumen de una pirámide triangular es igual a la tercera parte del volumen de un

prisma triangular de la misma base y de la misma altura

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

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ial


La demostración se puede desarrollar en dos etapas así:

1. Se demuestra que dos tetraedros que tienen la misma base e igual altura son

equivalentes, en las figuras 240a y 240b se ilustran dos tetraedros con estas

condiciones.

2. Se construye el prisma de base en el a partir del tetraedro D-ABC como se

indica en la figura 240a y se particiona este prisma en los tetraedros D-ABC, C-DTS y

D-ACS, como se muestra en las figuras 241a y 241b y se prueban que estos tetraedros

son equivalentes.

Se concluye en consecuencia que , esto es,

Téngase en cuenta que la altura del tetraedro D-ABC es la misma que la del prisma

ABCSDT (distancia entre dos planos paralelos)

Figura 241

ABC

1

3V D ABC V ABCSDT

1

Área3

V D ABC ABC h

Corolario

El volumen de una pirámide de base triangular es igual a la tercera parte del área de la

base por la medida de su altura.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

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Demostración

Consideremos dos casos generales así:

Caso 1. Pirámide de base triangular.

Esta situación se consideró en el teorema 123, volumen del tetraedro.

Caso 2. Pirámide de base no triangular.

Sea la pirámide V-ABCDEFG de altura con medida h. (Hipótesis) como se indica en la figura

242a.

Figura 242

Particionemos la pirámide V-ABCDEFG en los cinco tetraedros de vértice común en el

punto V, V-AFG, V-AEF, V-ADE, V-ACD y V-ABC respectivamente como se indica en la figura

242b.

Por la propiedad P3 de la función volumen.

A su vez tenemos para cada uno de los tetraedros anteriores:

V V ABCDEFG V V AFG V V AEF V V ADE V V ACD V V ABC

Teorema 124. Volumen de la pirámide

El volumen de una pirámide cualquiera que sea su base es igual a un tercio del área de la

base por la medida de su altura.

Materia

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Teorema 123, volumen del tetraedro

Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1) a (5) obtenemos:

11

3

12

3

13

3

14

3

15

3

V V AFG A AFG h

V V AEF A AEF h

V V ADE A ADE h

V V ACD A ACD h

V V ABC A ABC h

1 =

3

1 =

3

V V AFG V V ADE V V ACD V V ABC

A AFG A AEF A ADE A ACD A ABC h

A ABCDEFG h

Corolario

Dos pirámides con bases equivalentes y de igual medida en sus alturas son

equivalentes.

Materia

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o

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12.4 CUERPOS REDONDOS

Designamos en general como cuerpos redondos el conjunto de puntos del espacio

obtenido cuando una figura gira alrededor de una recta, de tal forma que cada punto de la

figura conserva, al rotar, su distancia a la recta. Nuestro trabajo se centrará básicamente en

tres cuerpos redondos a saber: el cilindro, el cono y la esfera.

Definición 93. Superficie de revolución

Es el conjunto de puntos del espacio generado cuando una figura gira alrededor de una

recta llamada eje. En la rotación cada punto de la figura que gira mantiene constante su

distancia al eje.

Los puntos de la figura que rota, constituyen la generatriz y cada uno de ellos describe una

circunferencia de centro en el eje y contenida en un plano perpendicular a éste. Ver figura

243.

Figura 243

En la figura 243a se indica la figura correspondiente a la generatriz señalándose en

particular cuatro puntos A1, B1, C1 y D1 pertenecientes a ella, como también el eje.

En la figura 243b puede observarse la superficie de revolución generada, en ella se indican

las circunferencias descritas por los puntos anteriormente señalados al rotar alrededor del eje

Materia

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l, estas circunferencias tienen sus centros en O1, O2, O3 y O4 respectivamente pertenecientes a l

y el plano que contiene a cada circunferencia es perpendicular al eje l y en consecuencia todos

estos planos son paralelos entre sí.

12.4.1 El cilindro

Definición 94. Superficie cilíndrica de revolución

Es la generada por una recta paralela al eje. Ver figura 244a.

Definición 95. Cilindro de revolución o cilindro circular recto

Es el conjunto de puntos del espacio limitado por una superficie cilíndrica de revolución y

dos círculos correspondientes a la intersección de la superficie cilíndrica con dos planos

perpendiculares al eje, incluyendo estos límites. Ver figura 244b.

Figura 244

Notas:

En un cilindro circular recto identificamos los siguientes elementos:

Bases: Son los dos círculos que limitan el cilindro

Altura: Es la distancia entre las bases, en la figura 244b la designamos por h

Radio: Es el radio del círculo asociado a las bases

Área lateral: Es el área de la superficie cilíndrica que lo limita

Área total: Es la suma del área lateral y las áreas de los dos círculos correspondientes a

las bases

Materia

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El cilindro circular recto puede también obtenerse mediante la rotación completa de un

rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Observación:

En forma análoga a la empleada para calcular el área del círculo, en términos de los límites

de las áreas de los polígonos regulares inscritos ó circunscritos en la circunferencia, cuando el

número de lados tiende a infinito, procedemos al cálculo de los volúmenes en los tres cuerpos

redondos fundamentales.

Como el volumen del prisma es el producto del área de la base por la altura, entonces, en

el paso al límite tenemos que el volumen del cilindro es igual al área de la base por la altura,

esto es . Ver figura 245b.

Como el área lateral del prisma es igual al perímetro de la base por la arista lateral, en el

paso al límite tenemos que el área lateral del cilindro es igual a la longitud de la circunferencia

de la base por la altura. Ver figura 245a.

Esto es .

2r h

2 r h

TEOREMA 125. Volumen del cilindro circular recto

Es el límite del volumen de un prisma regular inscrito en el cilindro cuando el número de

lados de la base tiende a infinito.

TEOREMA 126. Área lateral del cilindro circular recto

Es el límite del área lateral de un prisma regular inscrito en el cilindro, cuando el número

de lados de la base tiende a infinito.

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Figura 245

12.4.2 El cono

Definición 96. Superficie cónica de revolución

Es la generada por una semirrecta con origen en el eje y que determina un ángulo agudo

con éste que permanece constante durante toda la rotación. Ver figura 246a.

Corolario. Área total del cilindro circular recto

El área total del cilindro circular recto es igual a la suma de las áreas lateral y la de las

dos bases.

Esto es, Área total

22 2r h r

2 r h r

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Figura 246

Definición 97. Cono circular recto

Es el conjunto de puntos del espacio limitado por una superficie cónica de revolución y un

círculo correspondiente a la intersección de la superficie cónica con un plano perpendicular al

eje, incluyendo ambos límites. Ver figura 246b. El origen de la generatriz se denomina vértice.

Notas:

En un cono circular recto identificamos los siguientes elementos:

Base: Es el circulo que limita al cono.

Altura: Es la distancia del vértice a la base.

Radio: Es el radio de la base.

Área lateral: Es el área de la superficie cónica que lo limita.

Área total: Es la suma del área lateral y el área del círculo de la base.

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Como el volumen de la pirámide es un tercio del área de la base por la altura, entonces, en

el paso al límite tenemos que el volumen del cono es igual a un tercio del área de la base por la

altura, esto es .

Como el área lateral de la pirámide es igual al semiperímetro de la base por la altura de

una cara lateral trazada desde el vértice, puesto que la pirámide es regular, en el paso al límite

tenemos que el volumen del cono es igual al semiperímetro de la base por la medida de la

generatriz. Ver figura 247.

Esto es

Figura 247

21

3r h

1

22

r l rl

TEOREMA 127. Volumen del cono circular recto

Es el límite del volumen de una pirámide regular inscrita en el cono cuando el número de

los lados de la base tiende a infinito.

TEOREMA 128. Área lateral del cono circular recto

Es el límite del área lateral de una pirámide regular inscrita en el cono, cuando el número

de los lados de la base tiende a infinito.

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Figura 248

12.4.3 La esfera

Definición 98. Superficie esférica de revolución

Es la generada por una semicircunferencia que rota alrededor de un eje que pasa por su

diámetro.

Definición 99. Esfera

Es el conjunto de puntos del espacio limitado por una superficie esférica de revolución

incluyendo este límite.

Corolario. Área total del cono circular recto

El área total del cono circular recto es igual a la suma de las áreas lateral y la de la base.

Esto es, Área total

2rl r

r l r

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Notas:

Definimos también la superficie esférica de centro en un punto O y radio r como el

conjunto de todos los puntos del espacio tales que su distancia al punto O es igual a r.

Interior de la superficie esférica de centro en O y radio r es el conjunto de todos los

puntos del espacio tales que su distancia al punto O es menor que r.

Esfera de centro en O y radio r es el conjunto de todos los puntos del espacio tales que

su distancia al punto O es menor o igual a r. en consecuencia la esfera es la unión de la

superficie esférica con su interior. Ver figura 249.

Figura 249

Demostración

Determinemos el cilindro circunscrito a la esfera y con sus bases tangentes a la esfera. Ver

figuras 250.

TEOREMA 129. Volumen de la esfera

El volumen de una esfera de centro en O y radio en r es igual a

34

3rMate

rial e

duca

tivo

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Figura 250

Designemos por: Ve: El volumen de la esfera

Vc: El volumen del cilindro circunscrito a la esfera

Vd: El volumen de la figura comprendida entre la esfera y el

cilindro.

En consecuencia Ve = Vc – Vd

Utilicemos la propiedad P4 (Principio de Cavalieri) de la función volumen para calcular a

partir de lo anterior el volumen de la esfera.

Intersectamos la figura inicial por planos paralelos a las bases del cilindro, de esta manera

se obtienen coronas circulares. Ver figura 250b.

El área de esta corona corresponde a la expresión general:

Por el teorema de Pitágoras en el . Ver figura 251a siendo h la distancia del centro

O de la esfera al plano paralelo.

2 2 2 2' 'r r r r

2 h

AOB

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Figura 251

Tomemos ahora los dos conos congruentes y por tanto equivalentes de vértice en O y

bases en los círculos del cilindro. Ver figura 251b.

El área de la sección circular determinada por la intersección del plano, paralelo a la base

y a una distancia h desde el centro O de la esfera es igual a , donde es el radio del

circulo correspondiente a esta sección.

A su vez (Ángulo-ángulo) y en consecuencia tenemos: luego

.

Esto significa que el área de la corona circular y el área de la sección del cono

son iguales.

Aplicando ahora, como ya lo mencionamos, el Postulado de Cavalieri o la propiedad P4 de

la función volumen de la figura Vd (comprendida entre la esfera y el cilindro), es igual a la

suma de los volúmenes de los dos conos descritos.

2''r ''

OCMOFT ~''h r

r r

''h r

2h 2''rMateria

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El volumen de cada cono es ; en consecuencia el volumen de ambos

conos es: .

En consecuencia el volumen de la esfera es:

Figura 252

La demostración de este teorema corresponde al Cálculo. Se presenta a continuación una idea

intuitiva como se ha indicado en otras demostraciones recurriendo desde luego a la noción de

límite. Para ello sugiero revisar nuevamente la unidad 11.5.

Se considera una semicircunferencia que gira alrededor de su diámetro, y se inscribe un

polígono regular; en el paso al límite cuando el número de lados tiende a infinito se obtiene

que la proyección del polígono es el diámetro , la apotema tiende al radio y en

2 31 1

3 3r r

32

3r

3 3

3

= -

2 2

3

4

3

e c dV V V

r r

r

r2

TEOREMA 130. Área de la superficie esférica

El área de una superficie esférica de centro en el punto O y radio r es igual a . Ver

figura 252.

24 r

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consecuencia el área corresponde a la superficie esférica. Luego el área de la superficie

esférica es igual a

22 2 4r r r

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12.5 EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En la figura se tiene:

AB 21 , CD31 , EF 32 , 1,, IHG ,

2,, LKJ ,

3,, POM .

Indique todos los ángulos diedros determinados en la figura.

2.

Indique las secciones planas que cada ángulo poliedro determina en el plano .

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3. Dado un ángulo poliedro convexo MSCFHD-V y un plano tal que GVM ,

AVS , TVC , BVF , UVH , IVD .Dibuje una

figura que muestre claramente la sección plana determinada. Determine cada uno de los

ángulos diedros del ángulo poliedro convexo.

4. Dibuja un ángulo triedro rectángulo, un ángulo triedro birrectángulo, un ángulo triedro

trirrectángulo.

5. Indique de las figuras siguientes cuales representan poliedros convexos. En los poliedros

convexos utilice una notación adecuada para su designación e identifique sus caras y sus

ángulos poliedros convexos. Presta mucha atención en la figura 5-i.

6. Complete el cuadro siguiente que nos permite resumir una información importante sobre

los polígonos convexos regulares.

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Nº

Elementos

Nombre

Caras Aristas Vértices Ángulos

diedros

Ángulos

poliedros

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Verifique de acuerdo a los resultados obtenidos en el cuadro anterior la siguiente relación:

2 AVC

Esta relación fue establecida por el matemático Euler, en ella se designan:

C : número de caras.

V : número de vértices.

A : número de aristas.

7. Determina si los poliedros convexos Arquimedianos satisfacen la relación de Euler.

8. Se puede afirmar que todos los poliedros convexos se pueden clasificar como prismas o

como pirámides. Justifique su respuesta.

9. Para cada una de las afirmaciones siguientes indique si es falsa o verdadera, sustentando

su respuesta.

9.1. Un prisma solo tiene un par de caras situadas en planos paralelos. 9.2. En un prisma la altura es igual a la medida de una arista lateral. 9.3. Si la altura de un prisma es igual a la media de una arista lateral, entonces, el

prisma es recto. 9.4. Si un prisma es recto, entonces, sus bases son rectángulos. 9.5. Si un prisma tiene todas sus aristas congruentes, entonces, es regular. 9.6. Si un prisma es regular, entonces, todas sus aristas son congruentes. 9.7. Si un paralelepípedo tiene como bases rectángulos, entonces, es un paralelepípedo

rectángulo. 9.8. Si un paralelepípedo es recto, entonces, sus bases son rectángulos. 9.9. Si las bases de un paralelepípedo son cuadrados, entonces, el paralelepípedo es

regular. 9.10. Si las bases de un paralelepípedo son cuadrados y todas sus aristas son

congruentes, entonces, el paralelepípedo es un cubo.

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9.11. Un cubo es un prisma regular. 9.12. Si todas las caras de un paralelepípedo son polígonos convexos equiláteros y congruentes, entonces, el paralelepípedo es regular.

10. Complete la información del cuadro para prismas con las siguientes bases:

Nº

Elementos

Bases

Caras Aristas Vértice Ángulos

diedros

Ángulos

poliedros

Triangular

Cuadrangular

Pentagonal

Hexagonal

¿Satisface todo prisma la relación de Euler?

11. Para cada una de las afirmaciones siguientes indique si es falsa o verdadera, sustentando

su respuesta.

11.1. Una pirámide puede tener un total de cinco caras correspondientes a triángulos.

11.2. En una pirámide la altura de ésta puede coincidir con la altura de una de sus caras

laterales.

11.3. Si la base de una pirámide es un polígono convexo regular, entonces, la pirámide es

regular.

11.4. En una pirámide la altura de ésta puede coincidir con una arista lateral.

11.5. En una pirámide todas sus caras pueden ser triángulos rectángulos.

11.6. En una pirámide todas sus caras laterales pueden ser triángulos rectángulos.

11.7. Dos pirámides pueden tener sus bases congruentes, la misma altura y no ser

congruentes.

11.8. Si el pie de la altura de una pirámide coincide con el centro de la circunferencia

circunscrita al polígono de la base, entonces, la pirámide es regular.

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12. Complete la información del cuadro para pirámides con las siguientes bases.

Nº

Elementos

Bases

Caras Aristas Vértice Ángulos

diedros

Ángulos

poliedros

Triangular

Cuadrangular

Pentagonal

Hexagonal

¿Satisface toda pirámide la relación de Euler?

13. Demuestre que el polígono determinado por la intersección de una sección recta de un

prisma, con el prisma, es congruente con las bases.

14. Demuestre que el polígono determinado por la intersección de una sección recta de una

pirámide, con la pirámide es semejante a la base.

15. Si dos poliedros convexos son equivalentes, entonces, ellos son congruentes. Determine si

la afirmación es verdadera o falsa justificando su respuesta.

16. Si dos poliedros convexos tiene la misma área total, entonces, necesariamente son

equivalentes. Determine si la afirmación es verdadera o falsa justificando su respuesta.

17. Si los poliedros convexos tienen el mismo volumen, entonces, necesariamente tienen la

misma área total. Determine si la afirmación es cierta o es falsa justificando su respuesta.

18. La diagonal de un cubo mide cm18 . Calcule el volumen del cubo.

19. Si el área total de un cubo es igual a 2150cm , calcule el volumen del cubo.

20. Si designamos por d la medida de la diagonal de un cubo, calcule el volumen del cubo en

función de .

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21. Si un paralelepípedo rectángulo tiene una diagonal de medida √101 𝑐𝑚 y dos de sus

aristas miden cm6 y cm4 , calcula su volumen y el área total.

22. Calcule el área total de un cubo equivalente a un ortoedro de área de la base igual a

257cm y altura cm5,7 .

23. Si el largo de un paralelepípedo rectángulo es el doble que l ancho y el ancho es el doble de

su altura, con diagonal igual a cm21 de longitud, calcule el área total.

24. Se tiene un prisma de base pentagonal, el prisma es regular y su altura mide h. Si r es el

radio de la circunferencia circunscrita a la base y el lado del pentágono es igual a , calcula

el volumen del prisma y el área total en función de , r y h.

25. Se tiene una pirámide regular de base hexagonal con altura de medida cm15 . Si el lado del

hexágono mide cm9 , calcule el área lateral y su volumen.

26. Se tiene una pirámide regular cuya base es un cuadrado de lado cm11 y sus caras laterales

son triángulos equiláteros. Calcule su volumen y el área total.

27. Un tanque tiene la forma de un prisma recto de bases correspondientes a un trapecio

isósceles. Su altura es igual a m15 y las dimensiones de las bases se indican en la figura.

Calcule el volumen del tanque.

Si el tanque contiene agua y el nivel del

agua está a una distancia de m20,1 de la base

mayor, calcule el volumen de la cantidad de agua.

Si el tanque es abierto en su cara lateral

superior, que tiene como una de sus aristas la base

mayor del trapecio, calcule el área total del tanque.

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28. Una piscina tiene la forma de un prisma recto de bases correspondientes a un trapecio

como se indica en la figura y con las dimensiones señaladas. Calcule el volumen de la

misma y su área total.

Si la piscina está forrada en todas sus

caras con baldosines cuadrados de cm15 de

lado, calcule el número aproximado de

baldosines que se emplearon en la piscina.

29. Se tiene una pecera de forma correspondiente a un prisma

rectangular con las dimensiones señaladas y con agua hasta

una altura de cm20 . Si se introduce una piedra en la pecera el

nivel del agua sube cm8.0 . Calcule el volumen de la piedra.

30. Para cada uno de los enunciados siguientes indique si es verdadero o falso justificando su

respuesta.

30.1. Si dos pirámides son equivalentes, entonces, sus alturas son necesariamente

iguales.

30.2. Si dos pirámides son equivalentes y sus bases son equivalentes, entonces, sus

alturas son iguales.

30.3. Si dos pirámides son equivalentes, entonces, son congruentes.

30.4. Si una pirámide tiene base triangular, entonces, nunca puede ser equivalente a una

pirámide de base cuadrada.

30.5. Si dos pirámides son equivalentes y tienen la misma altura, entonces, sus bases son

polígonos congruentes.

31. Las pirámides de las figuras tienen bases equivalentes y la relación anotada entre sus

alturas. Calcule la relación entre sus volúmenes.

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32. Las pirámides de la figura son regulares de base cuadrada y hexagonal respectivamente y

con las dimensiones indicadas, calcular sus volúmenes y sus áreas totales.

33. El triángulo rectángulo de catetos cm3 y cm5 respectivamente se rota alrededor de cada

uno de sus catetos generando los dos conos de la figura. Calcule la razón entre los

volúmenes y entre las áreas laterales.

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34. Calcule el volumen correspondiente a la diferencia de los volúmenes del cono circular

recto y el cilindro circular recto. Calcule el volumen de “cono truncado” que tiene como

bases las dos circunferencias asociadas a las bases de ambos conos y su área lateral y total.

35. La sección recta de un cable de forma cilíndrica muestra la

composición del cable, siendo su núcleo de cobre, la capa

siguiente de un material aislante A y la última capa un

protector térmico B. Si r1 cm4,0 y r2 cm7,0 y

r3 cm2,1 , y en una obra se utilizaron m500,1 , determine

el volumen empleado de cada una de las componentes del

alambre.

36. La esfera de centro en O y Radio cm10 se intersecta en el

punto medio del radio por un plano perpendicular al

radio. Calcule el radio de la sección circular determinada

y el volumen del cono con vértice en O y base en la

sección circular. Calcule el volumen de la diferencia entre

el volumen de la esfera y el volumen del cono.

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37. El cono inicial se ha intersectado con un plano paralelo a la base del cono determinando

un “cono truncado”. Calcule el volumen del cono truncado, su área lateral y el área total.

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12.6 EJERCICIOS RESUELTOS

Ilustración N° 1

Si dos poliedros convexos son equivalentes, entonces, ellos son congruentes.

Determine si la proposición anterior es verdadera o falsa, justifique su respuesta.

Procedimiento.

La proposición es falsa. Para probarlo veamos si el siguiente contraejemplo.

Sea el cubo de volumen 𝑉1 = 64 𝑚3 y en consecuencia su arista tiene medida 4𝑚.

Tomemos ahora un prisma rectangular de base con dimensiones 8𝑚, 2𝑚 y altura 4𝑚; luego

su volumen 𝑉2 = 64 𝑚3.

Estos poliedros son equivalentes más no son congruentes.

Ilustración N° 2

Si dos poliedros convexos tienen la misma área total, entonces, necesariamente son

equivalentes. Determine si la proposición anterior es verdadera o falsa, justifique su

respuesta.

Procedimiento

La proposición es falsa. Para probarlo veamos el siguiente contraejemplo.

Tenemos un cubo de área total = 160 𝑚2, lo que conlleva a que su arista lateral 𝑎, lo podemos

determinar así:

6. 𝑎2 = 160 𝑚2; luego 𝑎 = 5.16𝑚 y su volumen 𝑉1 = 𝑎3𝑚3 esto es 𝑉1 = 137.8 𝑚3.

Tomemos un prisma rectángulo de dimensiones 4𝑚, 4𝑚 y altura 8𝑚.

Su área total es 32 × 4 + 16 × 2 = 160 𝑚2; y su volumen es igual a𝑉2 = 4 × 4 × 6 = 128 𝑚3

Esto es, los poliedros analizados tienen igual área total pero diferente volumen, y en

consecuencia no son equivalentes.

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Ilustración N° 3

Si se designa por d, en unidades de longitud, la medida de la diagonal de un cubo, calcule el

volumen del cubo.

Procedimiento.

1. En el cubo de la figura determinemos 𝑃𝑄̅̅ ̅̅

una diagonal del cubo, designamos por a la

medida de una arista cualquiera.

2. Determinamos 𝑂𝑄̅̅ ̅̅ una diagonal de una de

las caras del cubo.

3. Volumen del cubo = 𝑎3 unidades de

volumen; teorema volumen del cubo.

4. 𝑂𝑄2 = 2𝑎2; ¿por qué?

5. 𝑃𝑄 = √𝑂𝑃2 + 𝑂𝑄2; ¿por qué?

6. 𝑃𝑄 = √𝑎2 + 2𝑎2; sustitución 4 en 5 y de 1.

7. 𝑃𝑄 = √3𝑎2; de 6.

8. 𝑑 = √3𝑎2; de 1 y las hipótesis.

9. 𝑎 =𝑑

√3; de 8.

10. Volumen del cubo= (𝑑

√3)

2unidades de volumen; sustitución 9 en 3.

= 𝑑3

3√3 unidades de volumen.

Ilustración N° 4

Se tiene una pirámide regular de base pentagonal y altura h.

Si R es el radio de la circunferencia circunscrita a la base y el lado del

pentágono es igual a , calcule el volumen de la pirámide y el área total

en función de ℓ, 𝒽 y R.

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cativ

o

Uso no

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Procedimiento.

1. Volumen de la pirámide = 1

3Á𝑟𝑒𝑎 (𝐴𝐵𝐶𝐷). 𝓀; teorema volumen de la pirámide.

2. Á𝑟𝑒𝑎 (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 5. 2 𝐻𝐻′

2; teorema área de un polígono convexo.

3. 𝐻𝐻′ = √𝑅2 −2

4; teorema de Pitágoras ∆ 𝐻𝐶𝐻′.

= √4𝑅2 − 2

2

4. Volumen de la pirámide = 1

3(

5 √4𝑅2−2

4) × 𝓀; sustitución de

2 y 3 en 1.

= 5

12 . 𝓀. √4𝑅2 − 2 en unidades de volumen.

5. Calculamos la arista 𝑉𝐵.

𝑉𝐵 = √𝒽2 + 𝑅2; teorema de Pitágoras en el ∆𝑂𝐵𝑉.

6. Calculamos 𝑉𝐻′.

𝑉𝐻′ = √(𝑉𝐵)2 −2

4 ; teorema de Pitágoras en el ∆ 𝑉𝐵𝐻′ .

7. 𝑉𝐻′ =√4𝒽2+4𝑅2−

2

2; sustitución 5 en 6.

8. Área lateral de la pirámide = 5 𝐴 (𝑉𝐵𝐶); teorema área lateral de la pirámide.

= 5 (1

2. 𝐵𝐶. 𝑉𝐻′);teorema área del triángulo.

= 5

2(√4𝒽2+4𝑅2−

2

2) ; sustitución 6 en 8.

9. Área total de la pirámide = 5 √4𝑅2−

2

2+

5

4√4𝒽2 + 4𝑅2 − 2 en unidades de área.

Ilustración N° 5

Un tanque tiene la forma de un prisma recto de bases correspondiente a un trapecio isósceles.

Su altura es igual a 15 𝑚 y las dimensiones de las bases se indican en la figura.

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Calcule el volumen del tanque.

Si el tanque contiene agua y el nivel del agua está a una distancia de 1.20 𝑚 de la base

mayor, calcule el volumen de la cantidad de agua.

Si el tanque es abierto en su cara lateral superior, que tiene como una de sus aristas la

base mayor del trapecio, calcule el área total del tanque.

Procedimiento.

1. Volumen del tanque= Á𝑟𝑒𝑎 (𝐴𝐵𝐶𝐷) × 𝐴𝐴′; teorema volumen del prisma.

2. Á𝑟𝑒𝑎 (𝐴𝐵𝐶𝐷) = (7+4)

2× 4𝑚2; teorema área del trapecio.

3. Volumen del tanque = (11 × 2) × 15𝑚3; sustitución de 2 en 1.

= 330𝑚3.

* Para el cálculo del volumen

de agua, con las condiciones

establecidas, procedemos así,

puesto que se requiere

determinar el área del

trapecio que corresponde al

prisma que contiene

exactamente el volumen del

agua a calcular.

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En la figura del trapecio 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑀 y 𝑀′ son puntos medios de las bases 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅

respectivamente.

4. ∆ 𝐶𝐾𝐷 ~ ∆ 𝐶𝑆𝑇 (A-A); ¿por qué?

5. 𝐾𝐷

𝑆𝑇=

𝐶𝐾

𝐶𝑆 consecuencia de 4.

6. 1.5

𝑆𝑇=

4.0

2.8; sustitución a partir de la información suministrada en el problema.

7. 𝑆𝑇 = 1.5×2.8

4.0𝑚; 𝑆𝑇 = 1.05𝑚

8. Si designamos como 𝑇𝑇′̅̅ ̅̅ ̅ la base mayor del trapecio 𝑇𝐶𝐵𝑇′ y que corresponde al nivel

superior del agua en el tanque, entonces, 𝑇′𝑇 = 6.1𝑚; ¿por qué?

9. Volumen del agua contenida en el tanque = (6.1+4.0

2) × 2.8 × 15 𝑚3; ¿por qué?

= 212.1 𝑚3

10. Área total del tanque = 2 𝐴 (𝐴𝐵𝐶𝐷) + (15 × 4) + 2(15 × 𝐶𝐷)𝑚2; ¿por qué?

11. 𝐶𝐷 = √𝐾𝐶2 + 𝐾𝐷2; teorema de Pitágoras en el ∆ 𝐶𝐾𝐷.

= √16 + 1.52 = 4.27 𝑚2

12. Área total del tanque = 44 + 60 + 128.1 𝑚2; sustitución de 2 y 11 en 10.

= 232.1𝑚2.

Ilustración N° 6

Calcule el volumen correspondiente a la

diferencia de los volúmenes del cono

circular recto y el cilindro circular recto.

Calcule el volumen del “como truncado”

que tiene como bases las dos

circunferencias asociadas a las bases de

ambos conos y sus áreas laterales y

total.

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Procedimiento.

1. Volumen del como de vértice V y base en 𝐶 (𝑂, 𝑅 = 9) = 1

3(𝜋 × 81) × 40 𝑐𝑚3; teorema

volumen del cono.

= 3392,92𝑐𝑚3.

2. Volumen del cilindro de bases en 𝐶(𝑂′, 𝑅 = 3)y 𝐶(𝑂, 𝑅 = 3) = 𝜋 × 9 × 21 𝑐𝑚3 ;

teorema volumen del cilindro.

= 593.76 𝑐𝑚3

3. Volumen de la diferencia = 3392.92 − 593.76 𝑐𝑚3; de 1 y 2.

4. Volumen del cono de vértice V y base en 𝐶(𝑂′, 𝑅 = 3) = 1

3(𝜋 × 9) × 19 𝑐𝑚3; teorema

volumen del cono.

= 179 𝑐𝑚3

5. Volumen del cono truncado = volumen del cono con vértice V y base en 𝐶(𝑂, 𝑅 =

9) − volumen del cono con vértice V y base en 𝐶(𝑂′, 𝑅 = 3)

= 3392.92 − 179𝑐𝑚3

= 3213.92 𝑐𝑚3

6. Área lateral del cono truncado = área lateral del cono con vértice V y base en

𝐶(𝑂, 𝑅 = 9) − área lateral del cono con vértice V y base en 𝐶(𝑂′, 𝑅 = 3)

= 𝜋 × 9 × − π × 3 × ℓ′ 𝑐𝑚2

= 𝜋 × 9 × 41 − 𝜋 × 3 × 19.2 𝑐𝑚2

= 978,24 𝑐𝑚2

* =√402 + 81 = 41𝑐𝑚

*ℓ′=√192 + 8 = 19.2 𝑐𝑚 Materia

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capÍtulo 12. geometrÍa del...

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