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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
12.2 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS CONVEXOS
Destacamos en los poliedros convexos dos clasificaciones importantes que corresponden
a los prismas y las pirámides que entramos a estudiar en detalle. Previamente enunciaremos
dos teoremas “duales” a los respectivos asociados para el plano y un teorema exclusivo al
espacio.
Definición 82. Recta perpendicular a un plano
Una recta es perpendicular a un plano si todo plano que la contiene es perpendicular al
plano.
Figura 226
TEOREMA 114.
Por un punto P del espacio que no pertenece a un plano , se puede determinar una recta
única perpendicular al plano . Ver figura 226.
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Nota:
Designamos distancia del punto P al plano , y lo notamos a la medida de .
Esto es 𝑑(𝑃, ) = 𝑚(𝑃𝐻̅̅ ̅̅ ).
Definición 83. Planos paralelos
Dos planos y son paralelos si .
Figura 227
,d P PH
1 2 1 2
TEOREMA 115.
Si dos planos distintos son paralelos, entonces, la distancia desde un punto cualquiera de uno
de ellos al otro plano es constante. Este valor se designa como “la distancia entre dos planos
paralelos”. Ver figura 227.
TEOREMA 116.
Si una recta es perpendicular a un plano, entonces, es perpendicular a toda recta
contenida en el plano y que pasa por el pie de la recta perpendicular. Ver figura 228.
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Figura 228
12.2.1 Prismas
Definición 84. Prisma
Es un poliedro convexo que satisface dos condiciones:
1. Dos de sus caras son congruentes y están contenidas en planos paralelos.
2. Las demás caras son paralelogramos.
Ver figura 229. Materia
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Figura 229
Notas:
En un prisma identificamos los siguientes elementos:
Bases: Son las caras contenidas en los planos paralelos, así para el prisma de la figura
229a sus bases son y
Aristas Laterales: Son aquellas que no se encuentran sobre las bases, así para el prisma
de la figura 229b estas corresponden a , , y . Las aristas laterales son
todas congruentes
Altura: Es la distancia entre los planos que contienen las bases, así en los prismas de
la figuras corresponden a sus alturas respectivas.
Área Lateral: Es la suma de las áreas de las caras laterales.
Área total: Es la suma del área lateral más las áreas de las bases.
Notación:
Usualmente designamos un prisma utilizando los vértices asociados a sus bases,
siguiendo la convención ya fijada para designar polígonos. Así para el prisma de la figura 229d
podemos designarlo por prisma ABCDEFGHIJKL ó prisma LGHIJKDEFABC, etc.
En forma general podemos referirnos a un prisma según el número de lados de su base,
así en la figura 229 tenemos:
El prisma de la figura 229a es triangular, el 229b es cuadrangular, el 229c es pentagonal y
el 229d es hexagonal.
ABC EFD
AF BG CH DE
1 2 3 4, , y h h h h
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Definición 85. Prisma recto
Es aquel en el cual las aristas laterales son perpendiculares a las bases. En este caso las
caras laterales son rectángulos. Así el prisma de la figura 229c es recto.
Si las aristas laterales no son perpendiculares a las bases el prisma se denomina oblicuo.
Las figuras 229a, 229b y 229d corresponden a prismas oblicuos.
Definición 86. Prisma regular
Es aquel prisma recto en el cual sus bases son polígonos regulares.
Definición 87. Paralelepípedo
Es aquel prisma cuyas bases son paralelogramos.
Así en la figura 229b el prisma es un paralelepípedo.
Notas:
Designamos como paralelepípedo recto o también ortoedro al paralelepípedo de
aristas laterales perpendiculares a las bases.
Designamos como paralelepípedo rectángulo a un paralelepípedo recto cuyas bases
son rectángulos.
Designamos como cubo a un paralelepípedo rectángulo en el cual todas sus aristas son
iguales. El cubo se denomina también hexaedro regular. Ver figuras 230.
Figura 230
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El paralelepípedo de la figura 230a es recto y el de la figura 230b es rectángulo.
Figura 231
Demostración
Sea el paralelepípedo de la figura 241 rectángulo, determinemos diagonal del
paralelepípedo, una diagonal de una cara.
El triángulo EDB es rectángulo con recto por la hipótesis y el teorema 3
Luego (1) Teorema de Pitágoras en el .
A su vez el es rectángulo con recto por la hipótesis y en consecuencia
(2) Teorema de Pitágoras en el .
Sustituyendo la ecuación (2) en la (1) concluimos que
Para las demás diagonales el procedimiento es análogo y el valor es el mismo.
EB
DB
ˆEDB
2 2 2EB ED DB EDB
DAB ˆDAB
2 2 2DB DA AB DAB
2 2 2 2EB ED DA AB
TEOREMA 117.
En todo paralelepípedo rectángulo las cuatro diagonales son iguales y el cuadrado de una
cualquiera de ellas es igual a la suma de los cuadrados de las tres dimensiones del
paralelepípedo.
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12.2.2 Pirámides
Definición 88. Pirámide.
Es un poliedro convexo en el cual una de sus caras es un polígono convexo cualquiera y las
otras son triángulos que tiene un vértice común y en cada triángulo el lado opuesto a ese
vértice es un lado del polígono convexo cualquiera que este sea. Ver figura 232.
Figura 232
Notas:
En una pirámide identificamos los siguientes elementos:
Base: Es el polígono convexo al cual no pertenece el vértice común, así en la figura 232
el pentágono ABCDE es la base y el plano se denomina plano de la base.
Vértice o cúspide: Es el vértice común a los triángulos, así en la figura corresponde al
punto V.
Caras laterales: Son los triángulos de vértice común, así en la figura 232 corresponden
a , , , y .
ABV BCV CDV DEV EAV
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Aristas laterales: Son los lados de los triángulos con vértice común y distintos a los
lados de la base, así en la figura 232 , , , y son las aristas
laterales.
Altura: Es la distancia del vértice al plano de la base, así en la figura 232 es la
altura de la pirámide.
Área Lateral: Es la suma de las áreas de las caras laterales.
Área total: Es la suma del área lateral más el área de la base.
Notación:
Usualmente designamos una pirámide iniciando con la letra asociada al vértice y
continuando con el polígono de la base, así para la pirámide la figura 232 podemos designarla
como .
En forma general podemos referirnos a una pirámide según el número de lados del
polígono de la base, en consecuencia una pirámide puede ser triangular, cuadrangular,
pentagonal, hexagonal, etc.
La pirámide de la figura 232 es pentagonal.
Una pirámide triangular se llama también tetraedro.
Definición 89. Pirámide regular.
Es una pirámide en la cual la base es un polígono regular y el pie de la altura es el centro
de la circunferencia circunscrita al polígono de la base.
Notas:
En una pirámide regular se tiene como consecuencia de su definición:
Las caras laterales son triángulos isósceles congruentes.
La altura de cada cara, asociada a la cúspide, se denomina apotema de la pirámide
regular.
AV BV CV DV EV
VH
V ABCDE
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Observación:
Como lo veremos posteriormente el tetraedro en particular juega en la geometría de los
poliedros convexos un papel análogo al del triángulo en los polígonos convexos.
Dejo para ser justificados por el lector las siguientes proposiciones:
Definición 90. Sección transversal de un prisma
Designamos de esta manera al polígono determinado por la intersección no vacía de un
plano con el prisma.
Notas:
Si el plano que intercepta al prisma es perpendicular a las aristas laterales, entonces,
la intersección se denomina sección recta del prisma. Ver figura 233a.
a. b.
Figura 233
TEOREMA 118.
1. Todo prisma no triangular se puede particionar en prismas triangulares en un
número finito y todos ellos con la misma altura.
2. Toda pirámide no triangular se puede particionar en un número finito de tetraedros
todos ellos de la misma altura.
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El es una sección transversal del prisma en la figura 233a.
Si el plano que intercepta a la pirámide es paralelo a la base, la sección se denomina
sección recta de la pirámide. El cuadrilátero es una sección transversal de la
pirámide enm la figura 233b.
MNT
KLMN
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