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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

CAPÍTULO 11. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Introducción

La noción de área, que se formaliza en la teoría como una función de medida, en su génesis

histórica tiene un papel similar y paralelo o quizás más relevante que la relación de semejanza,

porque la medición de las extensiones de las tierras, para calcular así mismo las partes que

serian anegadas por los ríos en las temporadas de lluvias y que posteriormente serian las más

fértiles, se convertían en un problema real de supervivencia de la población como ocurría con el

pueblo Egipcio. Su presentación como una función de medida para polígonos simples permite

una vez más mostrar la arquitectura magnífica que subyace en la Geometría como una teoría

Axiomática; puesto que con tres propiedades de definición, que caracterizan a esta función,

permite finalmente determinar el área de cualquier polígono simple. Son en consecuencia

muchas las razones que me llevan a considerar que un tema de tanta importancia no puede

reducirse al aspecto totalmente mecánico y marginal de reducir este tema a la memorización de

unas fórmulas.

Objetivos específicos.

1. Presentar el área como una función de medida con dominio en el conjunto de polígonos

simples definidos en un plano dado y el conjunto de los números reales positivos.

2. Construir en forma coherente y precisa la determinación de las áreas en su orden de los

siguientes polígonos convexos: rectángulo, paralelogramo, triángulo, trapecio y rombo.

3. Destacar como la distancia de un punto a una recta y que en este contexto particular se

designa genéricamente como altura, tiene un papel determinante y unificador en la aplicación

de la función área.

4. Concluir como el área del triángulo se convierte nuevamente en la piedra angular en la

determinación del área de cualquier polígono convexo, utilizando la partición en triángulos y

aplicando la fórmula de Herón, procedimiento que en la actualidad subsiste para el cálculo del

área en polígonos de este tipo.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


5. Estudiar el problema de la cuadratura de un polígono convexo, aprovechando este

importante teorema que recoge elementos básicos de la función área como de la

proporcionalidad.

6. Mostrar cómo se induce desde la geometría, pero que finalmente es en el cálculo donde

se resuelve, la determinación de la longitud de la circunferencia, el área del círculo y el

surgimiento del número Pi.

Materia

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o

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11.1 LA FUNCIÓN ÁREA

Definición 67. Área.

Designamos por .

Definimos una función A de P en que llamaremos área así:

Con las siguientes propiedades:

i.)El área de un cuadrado de lado l es igual a .

ii.)Si un polígono simple p se particiona en n polígonos simples: entonces

.

Esta propiedad se designa como el Postulado de adición de Áreas.

iii.)Si dos polígonos son congruentes entonces tienen la misma área.

Notación: Dado un polígono de vértices indicaremos su área por:

ó ó .

Estas designaciones corresponden respectivamente a las iniciales en mayúsculas de las

palabras: Área, Superficie y en minúcula de medida.

Cuando un polígono simple p se particiona en n polígonos simples, deben cumplirse dos

condiciones: la unión de los n polígonos generados en la partición, incluyendo sus

interiores debe ser igual al polígono inicial y la intersección de dos polígonos cualesquiera

generados en la partición puedes ser únicamene: el conjunto vacio, un punto, un segmento

o una poligonal.

Definición 68. Área Unitaria.

Es el área correspondiente a un cuadrado de lado igual a uno. En consecuencia su área

es una unidad.

Definición 69. Polígonos equivalentes.

Diremos que dos polígonos son equivalentes si tienen la misma área.

planoun en simple polígonoun es / ppP

R

)(

:

pAp

RPA

2l

nppp ,,, 21

)()()()()( 21

1

n

n

i

i pApApApApA

nAAA ,,, 21

nAAAA 21 nAAAS 21 nAAAm 21

Materia

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Convención: Para indicar que los polígonos p y p’ son equivalentes, lo notamos .

Observación. Si entonces y .

Demostración:

Sea: ABCD: rectángulo; con , .

Construyamos un cuadrado de lado .

Particionemos el cuadrado en 5 polígonos simples como se indica en la figura; en

consecuencia se tiene:

Figura 204

Condición. (i) de la definición de área.

. Condición (ii) de la definición de área

'pp

'pp '~ pp 'pp

aAB bBC

ba

2)( baMNRTA

54321 pApApApApA

514 pApA

𝑝5

𝑝3

𝑝4

TEOREMA 101

El área de un rectángulo de lados a y b es .

ba

Materia

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. Condición (i) de la definición de área.

Luego y .

2

14 bapA

2

1

24 bapAba bapA 1

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11.2 ÁREAS DE LOS POLÍGONOS BÁSICOS

Demostración:

Sean: ABCD paralelogramo,

Tracemos por B;

Figura 205

El (Hipotenusa – ángulo agudo)

En consecuencia (1’)

condición (ii) de la definición de área.

condición (iii) a partir de (1)

condición (ii)

Teorema 1, para

.

Observación.

El teorema anterior también se enuncia así: “El área de un paralelogramo es igual al producto de

la longitud de un lado por la altura relativa a ese lado”. Entendiéndose por altura el segmento

perpendicular trazado desde un punto cualquiera del lado opuesto, al lado en mención.

DCAH

DCBH'

'BCHADH

'CHDH

ABCHAADHAABCDA )(

ABCHABCHA '

'ABHHA

HAHH ' DCDHHCCHHCHH ''

HADC

TEOREMA 102

El área de un paralelogramo es igual al producto de la longitud de uno de sus lados

por la distancia al lado opuesto.

Materia

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o

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Demostración:

Sea , con .

Tracemos por A, (V.P.E.)

Tracemos por C, (V.P.E.)

Designemos por P la intersección de y ; en consecuencia ABCP es un

paralelogramo. (1)

(L-L-L) de (1). (2)

Figura 206

Teorema 2 de (1)

Condición (ii) de la definición de área. (1)

ABC BCAH

BCAK ||

ABCT ||

AK

CT

APCABC

))(()( AHBCABCPA

)()( APCAABCA

Corolario 1.

Si dos paralelogramos tienen un lado respectivamente congruente y la altura asociada a

esos lados, respectivamente congruentes, entonces son equivalentes.

TEOREMA 103

El área de un triángulo es igual al semiproducto de la longitud de uno cualquiera de sus

lados por la longitud de la altura relativa a ese lado.

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o

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Condición (iii) de la definición de área. De (2)

Luego .

Figura 207

)(2 ABCA

2

))(()(

AHBCABCA

Corolario 1.

Si dos triángulos tienen un lado respectivamente congruente y la altura a ese lado también

congruente, entonces los triángulos son equivalentes.

Corolario 2.

Dado ∆ 𝐴𝐵𝐶; 𝐴𝐽 ∥ 𝐵𝐶 , 𝑋 ∈ 𝐴𝐽 , entonces . )()( XBCAABCA

Corolario 3.

En un triángulo rectángulo el área es el semiproducto de las longitudes de los catetos.

Corolario 4.

En un triángulo equilátero de lado a el área es .

4

32a

TEOREMA 104. Fórmula de Herón

Sea ∆ 𝐴𝐵𝐶, como se indica en la figura 208. 𝑎, 𝑏, 𝑐 las medidas de los lados. Si se designa,

𝑝 =𝑎+𝑏+𝑐

2, entonces, .

cpbpappABCΔA

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Demostración:

Sea: , con .

Teorema 103.

Teorema de Pitágoras

Figura 208

Resolviendo para x se tiene: y sustituyendo en (1).

y Sustituyendo en la formula inicial se tiene:

ABC BCAH 1

2

))(()( 1AHBC

ABCA

222

1

222

1

)( )1(

)1(

xabAH

xcAH

2

222

4a

bcax

221

22

2222

1

2

222222

1

2

2222222222

1

4

4

2222222

44

4

22

4

4

2

a

cpbpapp

a

apcpbppAH

a

cabcabbcabca

a

cabbcaAH

a

bcaacbcaacAH

a

bcaca

a

bcacAH

cpbpappa

AH 2

1

cpbpappABCΔA

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Demostración:

Figura 209

Sean: ABCD trapecio; , .

Construyamos la diagonal y tracemos por A, (V.P.E).

Luego ADBK es un paralelogramo.

Condición ii. Definición de área.

Pero Corolario 2. Teorema 103.

También y en consecuencia .

Así .

Sustituyendo en la expresión se tiene:

BC//AD BCDH

BD BD//AK

DBCΔAABDΔABCDΔA

ADKΔAABDΔA

KBDΔADKΔ KBDΔADKΔ

KBDΔAABDΔA

DHBCADDHBCKBDHKCKCDΔABCDΔA

DCBΔAKBDΔABCDΔA

2

1

2

1

2

1

TEOREMA 105.

El área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura; entendiéndose la

altura como la distancia entre las bases.

Corolario 1.

El área de un trapecio es igual al producto de la altura por la paralela media.

TEOREMA 106.

El área de un rombo es igual al semiproducto de sus diagonales

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La demostración se deja al lector.

Demostración:

Sean∆ 𝐴𝐵𝐶~∆ 𝐴′𝐵′𝐶′ con:

De la hipótesis y

corolario 3 del Teorema 88

(Semejanza).

Figura 210

Así:

k'C'A

AC

'C'B

BC

'B'A

AB

BCAH

'C'B'H'A

k'H'A

AH

2

2

12

1

kk.k'H'A'C'B

AHBC

'H'A'C'B

AHBC

'C'B'AΔA

ABCΔA

TEOREMA 107.

Si dos triángulos son semejantes, la razón de sus áreas es igual al cuadrado de la razón de

semejanza.

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11.3 ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR

Demostración:

Sea :𝐴1𝐴2𝐴3 ⋯ 𝐴𝑛 polígono regular.

a: apotema

𝑝 = 𝐴1𝐴2 + 𝐴2𝐴3 + ⋯ + 𝐴𝑛𝐴1; perímetro.

𝐴(𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴𝑛) = 𝐴(∆𝑂𝐴1𝐴2) + ⋯ + 𝐴(∆𝑂𝐴𝑛𝐴1)

𝐴(𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴𝑛) = 𝑛(∆𝑂𝐴1𝐴2) = 𝑛1

2(𝐴1𝐴2)(𝑎) =

𝑝𝑎

2

Figura 211

TEOREMA 108.

El área de un polígono regular es igual al semiproducto del perímetro por la longitud de

su apotema.

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11.4 LA CUADRATURA DE UN POLÍGONO CONVEXO DE N LADOS

Observaciones

La demostración de este teorema se desarrolla en (𝑛 ≥ 4) dos fases así:

i. Probar que todo polígono convexo de n lados es equivalente a un polígono de

lados y en esta forma se llega en consecuencia; a probar que todo polígono convexo de n

lados (𝑛 ≥ 4) es equivalente a un triángulo. (Inducción sobre n).

ii. Probar que todo triángulo es equivalente a un cuadrado.

De i. y de ii. se concluye por lo tanto que todo polígono convexo es equivalente a un

cuadrado.

Ilustración: Dado el polígono determinar un cuadrado equivalente.

Fase 1.

Trazamos (diagonal entre los vértices adyacentes a ) en esta forma “aislamos el

vértice ”.

Figura 212

1n

54321 AAAAA

41AA5A

5A

TEOREMA 109. Cuadratura de un polígono convexo de n lados.

Todo polígono convexo es equivalente a un cuadrado.

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Por trazamos . Sea la intersección de con .

Tracemos .

Corolario 2. Teorema 3. (1)

𝐴(𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴5) = 𝐴(𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4) + 𝐴(𝐴1𝐴5𝐴4) Condición ii. Definición de área.

𝐴(𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴5) = 𝐴(𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4) + 𝐴(𝐴1𝐴4𝑃1) Condición ii. Definición de área de (1).

𝐴(𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴5) = 𝐴(𝐴1𝐴2𝐴3𝑃1) Definición de área.

En forma análoga se procede y se concluye que , esto es:

.

Fase 2.

Veamos que ; siendo OMRS cuadrado.

Si designamos por X lado del cuadrado equivalente se tiene: ; esto es;

X es media proporcional entre y .

Esta situación nos lleva a apoyarnos en el Teorema 13 (Semejanza) que establece “La

altura asociada a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que

determinan en ella”; para determinar el lado X es la siguiente construcción.

Sea

O: Punto medio de donde .

Trazamos .

Levantamos por , . Designamos por T la intersección de con

.

es rectángulo, y en consecuencia por el teorema 13 (de semejanza)

; luego .

5A 415 AA//kA1P 43AA kAs

11PA

141541 PAAΔAAAAΔA

22154321 PAAΔAAAAAAA

22154321 PAAΔAAAAA

OMRSAPAAΔA 221

2

2212

1XHPAA

212

1AA HP2

2

2212

1XHPAA

21MM HPAAMM 22112

1

1OM,OC

2A 212 MMWA WA2

1OM,OC

21TMMΔ

HPAA

TA 2212

22

TAX 2

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Figura 213.

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11.5 LONGITUD Y ÁREA DE LA CIRCUNFERENCIA. EL NÚMERO 𝝅. ÁREA

DE UN SECTOR CIRCULAR.

Se expone a continuación un teorema, cuyo resultado es una consecuencia inmediata de uno

de los casos de semejanza; pero por su relación inmediata con el tema a desarrollar; se ha

incluido en esta sección.

La demostración se propone al lector.

Conceptos introductorios.

Consideremos e inscribamos un polígono regular de n lados 𝐴1𝐴2𝐴3 ⋯ 𝐴𝑛 .

Designemos por: : este polígono; : lado del polígono; ; apotema; : perímetro;

: Área del polígono; siendo ; .

Figura 214

r,OC

nP nl na np nPA

2

nnn

apPA ln.npn

TEOREMA 110.

Dos polígonos regulares de igual número de lados son semejantes.

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Si duplicamos el número de lados del polígono anterior, obtenemos otro polígono regular

de 2n lados; cuyos elementos designamos así:

: Lado del nuevo polígono.

𝑎2𝑛: Apotema.

: Perímetro.

: Área; con (¿Por qué?)

(¿Por qué?) y .

Si duplicamos de nuevo, el número de lados del último polígono; obtenemos otro polígono

regular de lados.

Podemos continuar en esta forma el proceso constructivo de polígonos regulares por

duplicación de los lados para obtener los polígonos: 𝑃𝑛, 𝑃2𝑛, 𝑃22𝑛 ⋯ 𝑃2𝑘𝑛 ⋯ y las sucesiones

monótonas crecientes:

{𝑎𝑛, 𝑎2𝑛, 𝑎22𝑛 ⋯ 𝑎2𝑘𝑛 ⋯ } con: 𝑎𝑛 < 𝑎2𝑛 < 𝑎22𝑛 < ⋯ < 𝑎2𝑘𝑛 < ⋯

{𝑝𝑛, 𝑝2𝑛, 𝑝22𝑛 ⋯ 𝑝2𝑘𝑛 ⋯ } con: 𝑝𝑛 < 𝑝2𝑛 < 𝑝22𝑛 < ⋯ < 𝑝2𝑘𝑛 < ⋯

{𝐴(𝑃𝑛), 𝐴(𝑃2𝑛), 𝐴(𝑃22𝑛) ⋯ 𝐴(𝑃2𝑘𝑛) ⋯ } con: 𝐴(𝑃𝑛) < 𝐴(𝑃2𝑛) < 𝐴(𝑃22𝑛) ⋯ < 𝐴(𝑃2𝑘𝑛) < ⋯

Definición 70. Longitud de .

La notamos por L y se define como:

Definición 71. Límite de las apotemas.

Observaciones:

La longitud es el límite de los perímetros de los polígonos regulares inscritos o

circunscritos, cuando el número de lados del polígono aumenta indefinidamente.

En este caso el radio es el límite de las apotemas de dichos polígonos.

nP2

nl2

nP2

nPA 2 nn aa 2

nn pp 2 nn pApA 2

n22

r,OC

nkkpLimL

2

nkkaLimr

2

r,OC

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Demostración:

Figura 215

Sean: ; .

Inscribimos en cada circunferencia un polígono regular de n lados.

Teorema 69 y en consecuencia .𝐴′1 𝐴′2𝐴′3 … 𝐴′𝑛

Luego y ; esto es:

(2’)

Multiplicando por n en (2’) se tiene: que corresponde a

(2”)

Cuando n crece indefinidamente (paso al límite) se tiene:

)r,O(C )'r,'O(C

nAAAA 321

nn 'A'A'A~AAA 2121 2121 'A'A'OΔ~AOAΔ

'r

'A'A

r

AA 2121

'r

'A'An

r

AAn 2121

'r

'p

r

p

TEOREMA 111.

La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es constante.

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El valor de esta constante corresponde al número , .

Demostración:

Sea .

Inscribimos en un polígono regular de n lados.

En los conceptos introductorios (página 374) se estableció que al duplicar k veces el

número de lados del polígono inicial se tiene:

(Teorema 108)

En consecuencia:

Propiedad de límite.

Pero Corolario Teorema 11 y Definición.

En consecuencia .

Este límite lo definimos como el área del círculo (𝑂, 𝑟) y en consecuencia:

Área del círculo (𝑂, 𝑟) = 𝜋𝑟2.

'r

'L

r

L

k'r

'L

r

L

22

14163,π *Qπ

)r,O(C

)r,O(C

2

22

2

nn

n

kk

k

appA

2

22

2

nn

knk

kk

k

apLimpALim

nknknk

kkk aLimpLimpALim222 2

1

rπpLimnk

k 22

raLimnk

k 2

2

22

2

1rπrrπpALim

nkk

Corolario

La longitud de una circunferencia de radio r es igual a 2 𝜋𝑟.

TEOREMA 112. Área del círculo.

Convención: Dada ; designemos por el conjunto unión entre

y su interior. Dicho conjunto lo llamaremos círculo de centro O y radio r.

El área del círculo es .

)r,O(C )r,O(Θ )r,O(C

)r,O(Θ 2rπ

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Corolario.

Si el ángulo central está dado en radianes se tiene:

i) Longitud del arco .

ii) Área del .

θrAMB

θrOBMASect 2

2

1

TEOREMA 113.

Dada ; : ángulo central en grados, : arco subtendido por el ángulo ; entonces:

i) Longitud del arco

ii) Área del sector circular OBMA lo

designamos por

.

iii) Área del segmento circular AMB la

designamos por

)r,O(C

θ

AMB

θ

360

2 θrπAMB

OBMASect

360

2θrπOBMASect

AMBSg

OABΔAOAMBSectAMBSg

Figura 216

216

Figura 217

216

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11.6 EJERCICIOS PROPUESTOS

Temas: Función área.

1. Señale para cada enunciado si es verdadero o es falso, justificando su determinación.

1.1. El área de un polígono simple siempre es un número entero y positivo.

1.2. El área de un polígono simple puede ser un número real cualquiera.

1.3. Con relación a los polígonos señalados en las figuras siguientes:

1.3.1 A(A1A2A3A4A5A6)= A(ΔA1A2A3) + A(ΔA1A3A5) + A(ΔA1A5A6) +

A(ΔA3A4A5)

1.3.2 A(B1B2B3B4B5B6)= A(ΔB1SB6) + A(ΔB6B5T) + A(ΔB1B2S) +

A(B2STKWB4B3) + A(B4B5KW)

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1.3.3. A(C1C2C3C4C5C6)= A(ΔC3C4C5) + A(ΔC3C5C6) + A(ΔC2C3C6) +

A(ΔC1C2C3)

1.3.4 A(D1D2D3D4D5D6D7)= A(D1D2D3D4) + A(ΔD1D4D7) + A(ΔD6D7F) +

A(D4D5D6S)

1.4 Si dos polígonos son semejantes, entonces, son equivalentes.

1.5 Si dos polígonos son congruentes, entonces, son equivalentes.

1.6 Si dos polígonos son equivalentes, entonces, son congruentes.

1.7 El área de un rectángulo es igual al producto de la medida de un lado cualquiera

por la distancia al lado opuesto.

1.8 El área de un rombo es igual al producto de la medida de un lado cualquiera por

la distancia al lado opuesto.

1.9 El área de un paralelogramo es igual al producto de la medida de un lado

cualquiera por la distancia al lado opuesto.

1.10 Un polígono convexo de 15 lados es equivalente a un polígono convexo de 8

lados.

2 Para cada uno de los polígonos siguientes, determine un cuadrado equivalente.

3 Calcule el área para cada uno de los polígonos siguientes.

3.1. ΔABC rectángulo,

ABCrecto,

BH altura.

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3.2. ABCD rombo, 7.1),( DCOd

3.3. ABCDE representa un terreno, las

longitudes de los lados están en metros, calcule

el área del terreno.

Sugerencia: Particione el polígono en

triángulos, utilice ley de cosenos y de senos.

4 Calcule el área sombreada en cada una de las figuras

siguientes, teniendo en cuenta las hipótesis

respectivas.

4.1. El ΔABC es equilátero, inscrito en C(0, r), AH

altura. Calcule el área sombreada en términos del radio r.

Sugerencia: Tenga presente las propiedades de los

segmentos notables en el triángulo isósceles.

4.2. Las tres circunferencias son congruentes

de radio r y tangentes entre sí. Calcule

el área sombreada en términos de r.

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4.3. ABCD es un cuadrado de lado . Con

centros en cada vértice y radio igual a

la mitad de la diagonal, se trazan al

interior del cuadrado los arcos:

21OPP ,

43OPP

65OPP

87OPP . Calcule el área

sombreada en términos del lado .

Sugerencia: Calcule inicialmente el área

de un aspa de la cruz.

4.4. En la figura ΔPQT es equilátero,

C (0,r) está inscrita en este triángulo, AB

cuerda diametral, SMQTAB //// ; AK y

WB tangentes a C(0, r); S entre A y K, M

entre B y W. SMWK cuadrado, O’ punto de

intersección de las diagonales de este

cuadrado,

GFL semicircunferencia inscrita

en SMLG.

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Calcule el área sombreada en términos de r.

4.5. ABCD es un cuadrado de lado . Los arcos

se han construido en la forma descrita en el

literal 4.3. Calcule el área sombreada en

términos de .

5 En el paralelogramo ABCD de la figura M es el

punto medio de BC y N lo es de

CD . Demuestre que ΔABM

ΔADN.

Sugerencia: Determine AC .

Compare ΔABM y

ΔACM; compare ΔADN

y ΔACN.

6 En el ΔABC de la figura O es el baricentro,

1AM , 2BM , 3CM medianas. Demuestre

que : ΔOBM1 ΔOM1C ΔOCM2

ΔOAM2 ΔOAM3 ΔOM3B

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7 Lúnulas de Hipócrates

En la figura ΔABC es rectángulo y está inscrito en la semicircunferencia de cuerda

diametral AB .

Tomando como cuerda diametral cada cateto se traza una semicircunferencia en el

exterior del triángulo. Las regiones sombreadas se denominan lúnulas.

Demuestre que la suma de las regiones sombreadas es igual al área del ΔABC.

8 En la figura ABCD es un

paralelogramo, P es un punto

cualquiera de la diagonal BD . Se

determinan PA y PC .

Demuestre que ΔAPD ΔCPD y

ΔAPB ΔCPB.

9 En el trapecio ABCD de la figura,

DCAB // ; M1 y M2 puntos medios de AD

y BC respectivamente. Demuestre que

ΔAM2D ΔBM1C.

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10 En cada uno de los numerales siguientes, calcular la razón o el incremento pedido.

10.1. Si el radio de una circunferencia se incrementa en una unidad, entonces, calcule la

razón de la longitud de la nueva circunferencia respecto al nuevo diámetro.

10.2. Si el diámetro de una circunferencia se incrementa en unidades, entonces, calcule

el incremento en la longitud de la nueva circunferencia.

10.3. Si el radio de una circunferencia se incrementa en el 100%, entonces, calcule el

incremento de la nueva área del círculo.

11 Si el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles es igual a k2 , calcule, en función de k ,

el área del triángulo.

12 El área de un círculo es igual 64 unidades de área. Calcule el área del exágono regular

circunscrito a este círculo.

13 En la circunferencia C(0, r) de la figura, AB es

cuerda diametral, TBAT y 4

1)(

DMFm

medida del arco total de la circunferencia.

Calcule A )( ATB /A )( DOF .

14 Si se designa por L el perímetro de un triángulo

equilátero inscrito en una circunferencia, calcules el área del círculo en función de L.

15 Dados dos cuadrados cualesquiera de lados de longitudes a y b unidades

respectivamente, construya:

15.1. Un cuadrado equivalente a la suma de las áreas de los dos cuadrados.

15.2. Un cuadrado equivalente a la diferencia de las áreas de los dos cuadrados

16 Generalice el problema anterior en su literal 15.1. Sean los cuadrados de lados cuyas

longitudes corresponden a 1a ,

2a ,3a ,…,

na unidades. Construya un cuadrado equivalente a

la suma de las áreas de los n cuadrados.

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17 Demuestre ilustrando con una construcción precisa que el cuadrado construido sobre la

diferencia de dos segmentos, es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre

ellos menos el doble del rectángulo construido con estos mismos segmentos.

(Demostración geométrica de una propiedad algebraica)

18 Demuestre ilustrando con una construcción precisa que la diferencia entre los cuadrados

construidos sobre dos segmentos es equivalente al rectángulo una de cuyas dimensiones

es la suma de ellos y la otra dimensión es la diferencia de los mismos. (Demostración

geométrica de una propiedad algebráica)

19 El diámetro de una toronja es de 10 centímetros y la cáscara tiene mm6 de espesor. Si se

corta un trozo de cáscara tangente a la pulpa interior, como se indica en la figura, calcule

el diámetro y la longitud de la circunferencia del trozo que se ha cortado.

20 El perímetro de un triángulo es el doble del perímetro de la circunferencia inscrita en él. Si

el área del círculo es 212m , calcule el área del triángulo. ¿Puede obtenerse una

generalización del problema planteado y concluirse un teorema?

21 En un rombo una de las diagonales mide el doble de la otra. Si el área del rombo se

designa por A en unidades de área, calcule la dimensión del lado del rombo en función de

A .

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22 En la figura ABCD es un cuadrado

de área 25 unidades de área, P un

punto arbitrario, BCP .Por A

se levanta APAT ;

QATCD . Deteminamos

QP . Si el área del ΔPAQ es igual

a 15,125 unidades de área,

calcule QD.

23 En el paralelogramo ABCD, M es el punto medio de la diagonal BD , BCK tal que

BCBK3

1 . Demuestre que (A )( BMK /A )(MKCD )= 1/5

24 El ΔABC de la figura es rectángulo, con

A

recto, M es el punto medio de BC ,

BCMK . Si 12B unidades y 2,6

unidades, calcule el área del cuadrilátero

ACMK.

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H

25. En el ΔABC de la figura, ACAP3

11 , CBAP

3

12 , BABP

3

13 ; 2AP , 1BP y 3CP se

intersectan como se indica. Demuestre que A )( STW = 7

1A )( ABC .

26 En el ΔABC de la figura los lados son tangentes a las circunferencias y estas son a su vez

tangentes entre sí r 17 y r’ 10 unidades respectivamente, calcule el área del ΔABC.

Sugerencia: 1) Pruebe que ΔABC es isósceles y en

consecuencia 𝐴𝐻 es mediatriz de BC .

2)Determine los radios asociados a los

puntos de tangencia sobre los lados

AB y AC y considere los triángulos

semejantes.

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27 En la figura ABCDEF es regular, ABHH 21 ,

EDHH 21 y H1, O, H2 son colineales, H1H2=50

unidades.

ST es una cuerda diametral con ST =

16 unidades. Calcule el área de la figura

sombreada.

28 En la figura el círculo C(0’, r’) está contenido en el

círculo C(0, r). Si el área del círculo mayor es igual

al valor del área de la región sombreada

multiplicada por el término b

a , pruebe que r / r ‘

ba

a

.

29 Si un arco intersectado por un ángulo central de 60º en un círculo C(O1, r1) tiene la

misma longitud que un arco intersectado por un ángulo central de 45º en un círculo

C(O2, r2) , calcule la razón entre las áreas

del primer círculo al segundo.

30 En la figura AB no nulo cualquiera, se

determina la semicircunferencia de centro

en O y diámetro AB . P un punto

cualquiera, )(ABIntP . En el mismo

semiplano de la circunferencia se trazan

dos semicircunferencia de diámetros AP y

PB respectivamente. Por P se levanta el segmento perpendicular que intersecta el arco

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en K. Con centro en P se determina la circunferencia de radio PK . Demuestre que la

razón entre el área sombreada y el área del círculo de centro en P y radio PK es igual a

4

1.

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11.7 EJERCICIOS RESUELTOS

Ilustración N° 1

En la figura las tres circunferencias son

congruentes y tangentes dos a dos. Calcule

el área de la región rayada en términos del

radio común 𝑅.

Procedimiento.

1. Determinemos el ∆ 𝑂1𝑂203;

definición de triángulo.

2. ∆ 𝑂1𝑂203 es equilátero; ¿por qué?

3. 𝑚 )( 1

O = 𝑚 )( 2

O = 𝑚 )( 3

O = 60°; de 2 consecuencia por equivalencia.

4. Designamos por 𝑇1, 𝑇2, 𝑇3 los puntos de tangencia.

5.

21TT ≅

32TT ≅;

31TT teorema de relaciones ángulos vs arcos, de las premisas y 3.

6. Sect 𝑂1𝑇1𝑇3 ≡ sect 𝑂2𝑇1𝑇2 ≡ sect 𝑂3𝑇2𝑇3; de 3 y 5.

7. 𝐴 (región rayada) = 𝐴(∆ 𝑂1𝑂203 ) − 3𝐴 (sector 𝑂1𝑇1𝑇3 ); de 6.

8. 𝐴(∆ 𝑂1𝑂203) = (2 𝑅)2√3

4 ; ¿por qué?

9. 𝐴 (sect 𝑂1𝑇1𝑇3) =𝜋𝑅2×60°

360° ; teorema área del sector circular y 3.

10. 𝐴 (sect 𝑂1𝑇1𝑇3) =𝜋𝑅2

6 unidades de área; de 6.

11. 𝐴 (región rayada) = 𝑅2 √3 −𝜋𝑅2

2; sustitución 8 y 6 en 7.

= 𝑅2 (√3 − 𝜋

2) = 0.16 𝑅2 unidades de área.

Ilustración N° 2

Teorema de las Lúnulas de Hipócrates.

Se designan como Lúnulas de Hipócrates, las dos figuras comprendidas entre las

circunferencias construidas sobre la hipotenusa de un triángulo como cuerda diametral y las

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construidas sobre los catetos como cuerdas diametrales, respectivamente. En la figura se

determinan como las regiones rayadas.

Demuestre que la suma de las áreas de las dos Lúnulas es igual al área del ∆ 𝐴𝐵𝐶.

Demostración

1. 𝐴(𝐿1) + 𝐴(𝐿2) = 1

2 𝜋 (

𝐴𝐵

2)

2+

1

2 𝜋 (

𝐴𝐶

2)

2− [

1

2𝜋 (

𝐵𝐶

2)

2− 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶)]

*Observemos que los dos primeros sumandos de la derecha en la igualdad

corresponden a las áreas de los dos semicírculos con cuerdas diametrales sobre cada uno

de los catetos. Por tanto para determinar exactamente la suma de las áreas de las Lúnulas

debemos restarle las áreas de los segmentos circulares con cuerdas sobre cada cateto y

arcos en los arcos inferiores que delimitan cada una de las Lúnulas.

La suma de estas áreas de los dos segmentos circulares con iguales a la diferencia entre el

área del semicírculo de cuerda diametral sobre la hipotenusa y el área del ∆ 𝐴𝐵𝐶.

2. 𝐴(𝐿1) + 𝐴(𝐿2) = 1

8 𝜋. 𝐴𝐵2 +

1

8 𝜋. 𝐴𝐶2 −

1

8 𝜋. 𝐵𝐶2 + 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶); ¿por qué?

3. 𝐴(𝐿1) + 𝐴(𝐿2) =𝜋

8 (𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 − 𝐵𝐶2) + 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶); ¿por qué?

4. 𝐴(𝐿1) + 𝐴(𝐿2) = 𝜋

8 (0) + 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶); ¿por qué?

5. 𝐴(𝐿1) + 𝐴(𝐿2) = 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶); de 4.

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Ilustración N° 3

En la figura ABCD es un cuadrado, de lado

a, con centro en cada uno de los vértices

y radio 𝑅 =1

2𝐴𝐶 se trazan los arcos:

,FOE

,HOG

,JOI

.LOK

Calcule el área de la figura rayada.

Procedimiento.

Este tipo de ejercicios se constituye en un problema donde las relaciones espaciales juegan un

papel tan importante como las mismas herramientas de la geometría. Por ello es necesario

analizar con detalle las relaciones que presentan en sí mismas las figuras, en cuanto a su

distribución, antes de tratar de ensayar cualquier cálculo, esto es diseñar una estrategia para

abordar la solución del problema.

1. Consideremos en esta figura una cruz que se aproxima a la cruz de Malta y calculemos

el área correspondiente a la mitad del aspa total.

En particular señalemos el área de la región limitada por 𝐸𝑂𝐹𝐽𝑂𝐼.

2. 𝐴(mitad de un aspa) = 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) − 𝐴 (semicirculo de centro en A y radio 𝐴𝐹 )

= 𝐴 (∆ 𝐷𝐸𝐼) − 𝐴(∆𝐹𝐵𝐽) ; ¿por qué?

3. = 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) − 𝐴 (semicirculo de centro en A y radio 𝐴𝐹 )

= 𝐴(cuadrado de lado 𝐹𝐵 ); ¿por qué?

4. 𝐴 (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝑎2; área del cuadrado.

5. 𝐴𝐹 = 1

2𝐴𝐶 =

1

2√2𝑎2 =

𝑎√2

2; ¿por qué?

6. 𝐴(semicirculo de centro en A y radio 𝐴𝐹 ) =1

2 𝜋 (

𝑎√2

2)

2

; teorema área del círculo.

7. 𝐹𝐵 = 𝑎 − 𝐴𝐹 = 𝑎 − 𝑎√2

2; propiedad de la medida y sustitución de 5.

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8. 𝐴(cuadrado de lado 𝐹𝐵 ) = (𝑎 −𝑎√2

2)

2

; área del cuadrado y sustitución de 7.

9. 𝐴(mitad del aspa) = 𝑎2 −1

2𝜋

𝑎2

2− (𝑎 −

𝑎√2

2)

2

; sustitución de 4, 6, 7 en 3.

= 𝑎2 −𝜋

4𝑎2 − 𝑎2 (1 −

√2

2)

2

= 𝑎2 [1 −𝜋

4− (1 −

√2

2)

2

]

= 0.13 𝑎2

10. 𝐴(de la cruz) = 2 × 0.13 𝑎2

= 0.26 𝑎2 en unidades de área.

Ilustración N° 4

Construya un cuadrado equivalente a:

1. La suma de dos cuadrados dados.

2. La diferencia de dos cuadrados dados.

Procedimiento.

1. Sean 𝐴𝐵𝐶𝐷 y 𝑃𝑄𝑅𝑆 dos cuadrados dados de lados de longitudes a y b en unidades de

longitud respectivamente.

2. Si designamos por el lado del cuadrado correspondiente a la solución en el primer

caso; se debe cumplir la siguiente relación: 𝐴 (𝐴𝐵𝐶𝐷) + 𝐴(𝑃𝑄𝑅𝑆) = 2 ; teorema área

del cuadrado.

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3. 𝑎2 + 𝑏2 =2 ; sustitución de 1 en 2.

4. En consecuencia corresponde a la medida de la hipotenusa de un triángulo

rectángulo de catetos de longitudes a y b respectivamente; ¿por qué?

5. En el segundo caso; si designamos por m la medida del cuadrado equivalente a la

diferencia de las áreas dadas; se debe cumplir que: 𝐴 (𝐴𝐵𝐶𝐷) − 𝐴(𝑃𝑄𝑅𝑆) = 𝑚2.

6. 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑚2; sustitución de 1 en 5.

7. 𝑎2 = 𝑚2+ 𝑏2; despejando en 6.

8. En consecuencia m corresponde a la medida de un cateto en un triángulo rectángulo

de hipotenusa de medida a y un cateto de medida b; ¿por qué?

Ilustración N° 5

Si el perímetro de un triángulo es el doble de la longitud de una circunferencia inscrita en él, y

el área del círculo es de 12 m2 calcule el área del triángulo.

𝑖. 𝐶(𝑂, 𝑅) inscrito en ∆ 𝐴𝐵𝐶

𝑖𝑖. Perímetro del ∆ 𝐴𝐵𝐶 = 2 longitud de 𝐶(𝑂, 𝑅)

𝑖𝑖𝑖. Área (círculo (𝑂, 𝑅)) = 12𝑚2

Hipótesis Materia

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Tesis: calcular 𝐴 (∆ 𝐴𝐵𝐶)

1. Si designamos por 𝐻1, 𝐻2, 𝐻3 los puntos de tangencia de 𝐶(𝑂, 𝑅) con los lados

𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 y 𝐴𝐶 respectivamente, entonces, 𝑂𝐻1 ⊥ 𝐴𝐵 , 𝑂𝐻2

⊥ 𝐵𝐶 y 𝑂𝐻3 ⊥ 𝐴𝐶 ; ¿por qué?

2. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 2(2𝜋𝑅); de ii.

3. 𝜋𝑅2 = 12 𝑚2; de iii. y área del círculo.

4. 𝑅 = √12

𝜋= 1.95 𝑚; despejando en 3.

5. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 4 × 𝜋 × 1.95 𝑚; sustitución de 4 en 2.

= 24.5 𝑚

6. Determinamos 𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 y 𝑂𝐶 ; definición de segmentos.

7. 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶) = 𝐴( ∆𝑂𝐴𝐵) + 𝐴(∆𝑂𝐵𝐶) + 𝐴(∆𝐴𝑂𝐶); propiedad función área.

8. 𝐴( ∆𝑂𝐴𝐵) = 1

2 𝐴𝐵. 𝑂𝐻1; teorema área del triángulo.

9. 𝐴(∆𝑂𝐵𝐶) = 1

2 𝐵𝐶. 𝑂𝐻2; teorema área del triángulo.

10. 𝐴(∆𝐴𝑂𝐶) =1

2 𝐴𝐶. 𝑂𝐻3; teorema área del triángulo.

11. 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶) =1

2 𝐴𝐵. 𝑂𝐻1 +

1

2 𝐵𝐶. 𝑂𝐻2 +

1

2 𝐴𝐶. 𝑂𝐻3; sustitución de 8, 9 y 10 en 7.

= 1

2 𝑅 (𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶); factorizando.

= 1

2 × 1.95 × 24.5 𝑚2; sustitución de 4 y 5.

= 23.9

Ilustración N° 6

En la figura las circunferencias de radios 5 cm y

13 cm respectivamente, son tangentes entre si y

tangentes, como indica de la figura al ∆ 𝐴𝐵𝐶.

Calcule el área del ∆ 𝐴𝐵𝐶

1. Designamos por 𝐻´, 𝐻 y 𝐾 los puntos de

tangencia de las circunferencias con los

lados 𝐴𝐶 y 𝐵𝐶 respectivamente; 𝐹´ y 𝐹

los puntos de tangencia de las mismas

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con 𝐴𝐵 ; 𝑇 el punto de tangencia entre las dos circunferencias.

2. 𝐴𝐹 ≅ 𝐴𝐻 , 𝐵𝐹 ≅ 𝐵𝐾 , 𝐶𝐻 ≅ 𝐶𝐾 . Teorema rectas tangentes a una circunferencia

desde un punto exterior a ella.

3. Determinamos 𝐴𝑂′ ; definición de semirrecta.

4. 𝐴𝑂′ ; bisectriz de ;

BAC teorema rectas tangentes a una circunferencia desde un punto

exterior a ella.

5. 𝑂′ ∈ 𝐴𝑂 , 𝐾 ∈ 𝐴𝑂 ; ¿por qué?

6. 𝑂𝐾 ⊥ 𝐵𝐶 ; de 1, propiedad de los radios asociados a los puntos de tangencia (teorema).

7. 𝐴𝐾 es bisectriz y altura en el ∆ 𝐴𝐵𝐶; de 4, 5 y 6.

8. ∆ 𝐴𝐵𝐶 es isósceles con 𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝐶 ; de 7 por teorema reciproco de las propiedades de los

segmentos notables del triángulo isósceles.

9. 𝐴 (∆ 𝐴𝐵𝐶) = 𝐵𝐶.𝐴𝐾

2; teorema área del ∆ 𝐴𝐵𝐶.

10. 𝐴𝐾 = 𝐴𝐺 + 𝐺𝐾 = 𝐴𝐺 + 36 𝑐𝑚

11. Determinemos los radios 𝑂′𝐻′ y 𝑂𝐻 , definición de segmentos.

12. 𝑂′𝐻′ ⊥ 𝐴𝐶 y 𝑂𝐻 ⊥ 𝐴𝐶 ; de 1, ¿por qué?

13. ∆ 𝐴𝑂′𝐻′~ ∆ 𝐴𝑂𝐻 , (A-A); ¿por qué?

14. 𝐴𝑂′

𝐴𝑂=

𝑂′𝐻′

𝑂𝐻; consecuencia de 13.

15. 𝐴𝐺+5

𝐴𝐺+23=

5

13; sustitución en 14.

16. 𝐴𝐺 = 6.25 𝑐𝑚; despejando en 15.

17. 𝐴𝐾 = 42.25 𝑐𝑚; sustitución 16 en 10.

18. ∆ 𝐴𝐾𝐶 ~ ∆ 𝐴𝑂′𝐻′ (A-A); ¿por qué?

19. 𝐾𝐶

𝑂′𝐻′ =𝐴𝑂′

𝐴𝐶=

𝐴𝐾

𝐴𝐻′; consecuencia de 18.

20. 𝐾𝐶

5=

42.25

𝐴𝐻′ ; transitividad en 19 y sustitución.

21. 𝐴𝐻′ = √𝐴𝑂′2 − 𝑂′𝐻′2; teorema de Pitágoras, en el ∆ 𝐴𝑂′𝐻′.

= √(11.25)2 − 25 = 10.07𝑐𝑚

22. 𝐾𝐶 =5×42.25

10.07 𝑐𝑚; de 20 y 21.

= 20.97 𝑐𝑚

23. 𝐾𝐶 =𝐶𝐵

2; ¿por qué?

24. 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶) = 20.97 × 42.25 𝑐𝑚2; sustitución 17 y 22 en 9.

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= 885.98 𝑐𝑚2.

Ilustración N°7

En un trapecio ABCD, las diagonales 𝐶𝐴 y 𝐵𝐷 se cortan en 𝑂. Si los triángulos formados tienen

las áreas indicadas:

𝐴 (∆𝐴𝑂𝐷) = a 1 ; 𝐴(∆𝐷𝑂𝐶) = a 2; 𝐴(∆𝐵𝑂𝐶) = a 3 ; 𝐴(∆𝐵𝑂𝐴) = a 4

Demostrar que el área del trapecio ABCD está dada por :

Á𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵𝐶𝐷 = (√a2 + √a4)2

Demostración

1. 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴((∆ 𝐴𝑂𝐷) +

𝐴(∆𝐷𝑂𝐶) + 𝐴(∆𝐶𝑂𝐵) +

𝐴(∆𝐵𝑂𝐴). ¿Por qué?

2. 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ; de 1.

3. El área del ∆ 𝐴𝐷𝐶 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 ∆ 𝐵𝐶𝐷. ¿Por qué?

4. a 1 + a 2 = a 2 + a 3, luego a 1 = a 3 ; de 3.

5. 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = a 2 + a 4 + 2a 1; de 4 en 2.

6. Aplicando una relación entre las áreas de dos triángulos obtenemos:

a 1a 2

=𝑂𝐴. 𝑂𝐷

𝑂𝐷. 𝑂𝐶=

𝑂𝐴

𝑂𝐶

siendo el ∡ 𝐴𝑂𝐷 y ∡𝐷𝑂𝐶 suplementarios.

¿Son estas las únicas relaciones? ¿Cuáles otras se podrían plantear? ¿Cuáles de ellas nos

llevan a la solución?

Continuemos con el problema:

7. De 6, a 1

a 2=

a 4

a 3 , pero a 1 = a 3, entonces, (a 1)2 = a 2. a 4 y sustituyendo en 5 se tiene:

𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = a 2 + a 4 + 2√a 2. a 4. Luego: 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = (√a 2 + √a 4)2 ¿Por qué?

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Ilustración N°8

ABCD es un cuadrado de lado a. Desde cada vértice como centro y con radio a se trazan arcos

de circunferencia que se cortan en 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄. Hallar el área de la región sombreada.

i. 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrado.

ii.

DMB

CNA

BPD

AQC

Tesis: Hallar el área sombreada.

Demostración.

1. Determinemos 𝑀𝐴 y 𝑀𝐵 .

2. El área a determinar es cuatro veces el

área sombreada 𝐷𝑀𝐶. ¿Por qué?

3. Hallemos el área sombreada 𝐷𝑀𝐶

𝐴(𝐷𝑀𝐶) = 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) − 𝐴(𝑠𝑒𝑐𝑡(𝐴𝐷𝑀)) − 𝐴(𝑠𝑒𝑐𝑡(𝐵𝐶𝑀)) − 𝐴(∆ 𝐴𝑀𝐵)

Ahora: 𝑚 (∡𝑀𝐴𝐵) = 𝑚 (∡𝑀𝐵𝐴) = 60°. ¿Por qué?

4.𝑚 (∡𝐷𝐴𝑀) = 𝑚 (∡𝐶𝐵𝑀) = 30°. ¿Por qué?

5. AM = MB = AB = r = a

6. Entonces el área del 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴𝐷𝑀 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐷𝐶𝑀

7. 𝐴(𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 𝐷𝑀𝐶) = 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) − 2𝐴(𝑠𝑒𝑐𝑡 𝐴𝐷𝑀) − 𝐴(∆ 𝐴𝑀𝐵)

= (𝐴𝐵)2 − 2 [1

2𝑟2𝜃] −

1

2𝐴𝐵. ℎ

= a2 − a2.𝜋

6−

1

2a(

a√3

2)

Hipótesis

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=a2

12(12 − 2𝜋 − 3√3)

8. Área sombreada = 4 𝐴(𝐷𝑀𝐶) =a2

3(12 − 2𝜋 − 3√3)

NOTA: consultar el concepto de simetría.

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capÍtulo 11. Áreas de figuras...

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