capÍtulo 8. poligonales y...

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

CAPÍTULO 8. POLIGONALES Y POLÍGONOS

Introducción.

Aprovecho este tema para realimentar el proceso constructivo desarrollado hasta el momento.

Específicamente las clasificaciones que se crean desde la noción de poligonal, polígono, su

clasificación en simples y no simples, y luego la clasificación de los simples en cóncavos y

convexos, para solamente señalar las taxonomías iniciales, permiten abrir el espacio de

preguntas sobre estas figuras como ningún otro tema, contando con elementos aparentemente

sencillos de la teoría. Así se logra presentar como polígonos, una gama muy amplia que

normalmente el estudiante nunca ha considerado y que le permiten reflexionar sobre sus

características y propiedades, muchas de las cuales riñen posiblemente con su intuición sobre

este tipo de figuras, enriqueciendo su conocimiento.

La introducción posterior en los polígonos convexos de los cuadriláteros y las clasificaciones que

allí se establecen, potencializan la aplicación de los últimos resultados trabajados en las

relaciones de paralelismo y perpendicularidad.

Objetivos Específicos.

1. Presentar un cuadro sinóptico de todas las clasificaciones que se presentan en la

teoría desde la definición de poligonal hasta terminar en el cuadrado, para

facilitar una buena comprensión por parte del estudiante, de los conceptos y

propiedades que se estudiarán durante todo el desarrollo de los temas.

2. Hacer énfasis en las cadenas de inclusiones que se presentan y aprovecharlas

para realimentar el trabajo del lenguaje de la lógica en las proposiciones

correspondientes al condicional y sus recíprocas

3. Destacar en particular las propiedades del triángulo como el polígono convexo

del menor número de lados y como se inscribe como caso particular en este tipo

de figuras.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

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4. Señalar el paralelogramo con sus propiedades por equivalencia como una figura

importante en la Geometría Euclidiana y en particular en la geometría vectorial.

5. Presentar el rectángulo, el rombo y el cuadrado como casos particulares del

paralelogramo, aprovechando sus propiedades para desplegar en su mejor

ejercicio, las herramientas consolidadas en la teoría reciente, mostrándole como

el dominio de los últimos resultados estudiados lo proveen de herramientas más

refinadas que le permiten abordar los problemas propuestos con mayores

facilidades para llegar a su solución y con argumentos cada vez más cortos.

Materia

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8.1 POLIGONAL

Definición 33.

Sean en el plano los puntos ; , con la condición de que tres puntos

consecutivos cualesquiera no son colineales.

La unión de los segmentos se llama POLIGONAL. (Figura 123 a).

Los puntos se llaman VERTICES DE LA POLIGONAL.

Los segmentos se llaman LADOS DE LA POLIGONAL.

Notación: Designemos por Poligonal ; la poligonal de vértices en los puntos

.

Dada la poligonal .

A la figura correspondiente a: Poligonal se le denomina una poligonal

cerrada o POLÍGONO (Figura 123 b,....g).

Los lados del polígono constituyen EL CONTORNO Ó LA FRONTERA DEL POLÍGONO.

Los ángulos se llaman ANGULOS DEL POLÍGONO.

La suma de las medidas de los lados del polígono se llama PERÍMETRO DEL POLÍGONO.

Notación: Designaremos por polígono ; el polígono de vértices en los puntos

.

Figura 123 a. Figura 123 b.

nAAA ,....,, 21 3n

nn AAAAAA 13221 ,....,,

nAAA ,....,, 21

nn AAAAAA 13221 ,....,,

nAAA ....21

nAAA ....,, 21

nAAA ....21

nAAA ....21

1AAn

21321ˆ,....,ˆ AAAAAA n

nAAA ....21

nAAA ....,, 21Materia

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Uso no

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Figura 123 c. Figura 123 d.

Figura 123 e. Figura 123 f.

Figura 123 g.

Materia

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o

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8.2 POLÍGONO SIMPLE

Definición 33

Un polígono se llama SIMPLE si:

i). Todos los vértices son distintos. (La Figura 123 d no lo es).

ii). Los lados se intersectan solamente en los vértices. (La Figura 123 c no lo es).

iii). Ningún vértice está en el interior de un lado. (La Figura 123 b no lo es).

Nota: A no ser que se especifique la contrario, en adelante usaré la palabra polígono en

lugar de polígono simple.

Materia

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8.3 DIAGONAL DE UN POLÍGONO

Definición 34

i). Al segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono se le llama

DIAGONAL DEL POLÍGONO.

ii). Los ángulos que forman un par lineal con los ángulos de un polígono se llaman

ÁNGULOS EXTERIORES DEL POLÍGONO. Así, en la Figura 124, y son

diagonales; , , , , son ángulos exteriores.

Figura 124.

AD EC

KAE ˆ DCT ˆ FAB ˆ HDE ˆ

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8.4 INTERIOR Y EXTERIOR DE UN POLÍGONO

Definición 35

i). Un punto P no perteneciente al polígono y coplanario con él se denomina PUNTO

INTERIOR de un polígono de n vértices si toda semirrecta con origen en P y contenida

en el plano del polígono, intersecta al polígono. (Figura 125).

Figura 125.

ii). El conjunto de puntos interiores se llama EL INTERIOR DEL POLÍGONO.

iii). Un punto Q se denomina PUNTO EXTERIOR DEL POLÍGONO si siendo coplanario

con él no pertenece al polígono y si existe al menos una semirrecta de origen en Q

contenida el plano del polígono y que no intersecta al polígono. (Figura 126).

Figura 126.

iv). El conjunto de puntos exteriores se llama EXTERIOR DEL POLÍGONO.

Materia

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8.5 POLÍGONO CONVEXO Y POLÍGONO CÓNCAVO

Definición 36

i). Un polígono se llama CONVEXO si para cada dos puntos interiores cualesquiera P y

Q, está contenido en el interior del polígono (Figura 127a).

ii). Un polígono de n vértices no convexo, se llama CÓNCAVO (Figura 127b).

Polígono convexo Polígono cóncavo

Figura 127a. Figura 127b.

PQ

Materia

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8.6 POLÍGONO REGULAR

Definición 37

Un polígono que tiene sus ángulos y lados respectivamente congruentes se llama

REGULAR. (Figura 128a).

Si no cumple alguna de estas condiciones se llama IRREGULAR. (Figura 128 b y 128 c).

128 a. Polígono Regular. 128 b. Polígono Irregular. 128 c. Polígono

Irregular

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8.7 DESIGNACIÓN DE ALGUNOS POLÍGONOS SEGÚN EL NÚMERO DE

LADOS

NOMBRE DE ALGUNOS POLÍGONOS.

Nombre. Número de lados.

Triángulo 3

Cuadrilátero 4

Pentágono 5

Hexágono 6

Heptágono 7

Octogono 8

Nonágono 9

Decágono 10

Endodecágono 11

Dodecágono 12

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8.8 NÚMERO DE DIAGONALES DE UN POLÍGONO CONVEXO

Demostración.

Por cada vértice P de un polígono de n vértices se pueden trazar diagonales. Como

hay n vértices se obtienen en total diagonales. Además cada diagonal se cuenta

dos veces, por lo tanto se tiene .

Ejemplos.

Figura 129.

3n

3nn

2

3nn

5

2

355

5

d

n

14

2

377

7

d

n

TEOREMA 49

El número de diagonales de un polígono convexo de n lados es:

2

3

nnd

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8.9 SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO CONVEXO

DE n LADOS

Demostración.

Número de triángulos de vértice .

Figura 130.

Total: triángulos.

Luego suma de los ángulos interiores del polígono: .

0P

120

430

320

210

nn PPP

PPP

PPP

PPP

2n

2180...... 12210 nPPPPP nn

TEOREMA 50

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados, es

igual a tantas veces dos rectos como lados tiene el polígono menos dos. Es decir, si n es

el número de lados del polígono, entonces:

. 2180 nS

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COROLARIO 1.

Si un polígono convexo de n lados, es equiángulo, entonces el valor de un ángulo

interior es: 180(𝑛−2)

𝑛

COROLARIO 2.

En un polígono convexo de n lados, la suma de los ángulos exteriores tomados en un

mismo sentido es igual a cuatro rectos.

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8.10 CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS.

1. Según sus lados:

a. ISOSCELES: Tiene al menos dos lados congruentes.

b. EQUILÁTERO: Tiene tres lados congruentes.

c. ESCALENO: No tiene lados congruentes.

2. Según sus ángulos:

a. EQUIÁNGULO: Sus tres ángulos son congruentes.

b. RECTÁNGULO: Tiene un ángulo recto.

c. ACUTÁNGULO: Tiene sus tres ángulos agudos.

d. OBTUSÁNGULO: Uno de sus ángulos es obtuso.

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8.11 CUADRILÁTEROS CONVEXOS ESPECIALES

Definición 38.

a. TRAPEZOIDE: Es un cuadrilátero convexo que no presenta lados opuestos

paralelos.(figura 131a).

b. TRAPECIO: Es un cuadrilátero convexo con un único par de lados paralelos.

(Figura 131b).

c. PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero convexo con dos pares de lados paralelos

(Fígura 131 c).

d. RECTÁNGULO: Cuadrilátero convexo que tiene sus cuatro ángulos congruentes

(Figura 131d).

e. ROMBO: Cuadrilátero convexo que tiene sus lados congruentes (Figura 131 e).

f. CUADRADO: Cuadrilátero convexo que es equiángulo y equilátero a la vez (Figura

131 f)

Figura 131.

El significado de la figura anterior es el siguiente: de acuerdo a las definiciones anteriores el

trapecio y el paralelogramo solo tienen en común ser cuadriláteros convexos, ahora las

propiedades del paralelogramo las heredan el rectángulo, el rombo y así sucesivamente.

a

b

c

e

d

f

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Figura 132.

Demostraremos que todo rombo es paralelogramo. Se deja al lector la demostración de que

todo rectángulo es paralelogramo.

Sea ABCD un rombo, luego: por definición.

Tracemos la diagonal , entonces: (L-L-L). De donde:

(1).

(2).

Según (1), y según (2), , luego el rombo es un paralelogramo.

Cuadrilateros

TrapeciosParalelogramos

Rectangulos Rombos

Cuadrados

DACDBCAB

DB BDCBDA

DBCBDA ˆˆ

DBABDC ˆˆ

BCAD // DCAB //

TEOREMA 51.

Todo rectángulo y todo rombo son paralelogramos.

Cuadrilateros convexos

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Figura 133.

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8.12 PROPIEDADES POR EQUIVALENCIA DEL PARALELOGRAMO

Figura 134.

Nota: Identifique cada caso.

La demostración de este teorema consiste en probar la siguiente cadena de implicaciones,

así:

.

Haremos aquí la prueba de la primera y la última implicación.

i).

17.......321

21

1 2

3

4

5

1 1

6

1 1

7

1 1

TEOREMA 52. Propiedades por equivalencia del paralelogramo.

Los siguientes enunciados son equivalentes:

1. Un cuadrilátero convexo es un paralelogramo.

2. Un par de lados del cuadrilátero son paralelos y congruentes.

3. Los lados opuestos del cuadrilátero son congruentes.

4. Las diagonales del cuadrilátero se bisecan.

5. Los ángulos opuestos del cuadrilátero son congruentes.

6. Un par de lados del cuadrilátero son paralelos y un par de ángulos opuestos son

congruentes.

7. Dos ángulos, adyacentes a un lado cualquiera, son suplementarios.

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Figura 135.

Sea ABCD un paralelogramo con y .

Se traza la diagonal y se obtienen dos triángulos congruentes y por tener:

(Alternos internos entre paralelas).

(Alternos internos entre paralelas).

(Lado común).

Luego y (por hipótesis).

En la misma figura se concluye también que:

y (por hipótesis).

ii). .

Figura 136.

BDAC // CDAB //

AD DBA

ACD

BDADAC ˆ

BADDAC ˆ

AD

BDAC BDAC //

CDAB CDAB //

17 Materia

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Supongamos que en el cuadrilátero convexo ABCD los ángulos adyacentes y

son suplementarios, es decir:

(1).

Sea X un punto en la prolongación de y por tanto:

(2).

De (1) y (2) , de donde:

y por ser alternos internos se concluye que .

En la misma forma se toma Y en la prolongación de y se llega a la conclusión de que

y por la misma razón se concluye que , luego la figura es un

paralelogramo.

DAB ˆ CDA ˆ

rectos. 2ˆˆ CDAmDABm

BA

rectos. 2ˆˆ DABmXADm

DABmXADmCDAmDABm ˆˆˆˆ

XADCDA ˆˆ CDAB //

CB

BADYBA ˆˆ BCAD //

COROLARIO.

i). El rectángulo es un paralelogramo equiángulo.

ii). El rombo es un paralelogramo equilátero.

iii). El cuadrado es rectángulo y rombo a la vez.

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8.13 PROPIEDADES POR EQUIVALENCIA DEL RECTÁNGULO

Demostremos que y que .

i). .

Figura 137.

Por hipótesis tenemos que .

Como resulta entonces que:

.

ii). .

Figura 138.

Tenemos por hipótesis que:

.

21 13

21

360

90

13

ODOCOBOA

TEOREMA 53. Propiedades por equivalencia del rectángulo.


1. Un cuadrilátero es un rectángulo.

2. Todos sus ángulos son rectos.

3. Las diagonales son congruentes y se bisecan.

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Si (L-A-L) resulta que y .

Si (L-A-L) resulta que y .

Sumando: y

Resulta entonces que y .

Pero como y se concluye que

Se deja al lector la prueba de que .

DOCBOA

22ˆˆ CA 22

ˆˆ DB

BOCDOA

11ˆˆ BD 11

ˆˆ CA

1212ˆˆˆˆ CmCmAmAm 2121

ˆˆˆˆ BmBmDmDm

BCDBAD ˆˆ CBACDA ˆˆ

1111ˆˆ BCAD 2222

ˆˆˆˆ DCBA

CBACDABCDBAD ˆˆˆˆ

32

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8.14 PROPIEDADES POR EQUIVALENCIA DEL ROMBO

Demostremos que y que .

i). .

Figura 139.

Por hipótesis tenemos que ABCD es paralelogramo con

Como por L-A-L y por L-A-L.

Resulta: , , , , ¿Por qué?.

ii). .

21 14

21

.DACDBCAB

ABCBCD

CBACDA

ADOODC ˆˆ OBAOBC ˆˆ CADCAB ˆˆ ACBACD ˆˆ

14

TEOREMA 54. Propiedades por equivalencia del rombo.


1. Un paralelogramo es un rombo.

2. Las diagonales del paralelogramo bisecan los ángulos opuestos.

3. Las diagonales del paralelogramo son perpendiculares.

4. Dos lados adyacentes del paralelogramo son congruentes.

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Tenemos por hipótesis que es paralelogramo y que . Entonces, por ser

paralelogramo se tiene: y , resulta así que:

ABCD ABAD

ABCD BCAD ABDC .DACDBCAB

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8.15 PROPIEDADES DEL TRAPECIO

Figura 140.

Por hipótesis , y .

Demostremos que:

y .

Si unimos D con E y prolongamos hasta encontrar la semirrecta tal que B está entre A

y F, resulta que por A-L-A, entonces y .

En se tiene y , por lo tanto , esto es, y

.

ABDC // KADK EBCE

ABKE // ABDCKE 2

1

AB

EBFECD

EFDE BFDC

DAF KAKD EFDE AFKE // ABKE //

DCABAFKE 2

1

2

1

TEOREMA 55. Propiedades del trapecio.

i). La base media de un trapecio (segmento que une los puntos medios de los lados no

paralelos de un trapecio) es paralela a las bases y su medida es la semisuma de las

medidas de las bases.

ii). El segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es paralelo

a las bases y su medida es la semidiferencia de las medidas de las bases

(Demostrarlo).

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iii). En un trapecio isósceles, el cual tiene los lados no paralelos congruentes, las

diagonales son congruentes, los ángulos de la base mayor son congruentes, los

ángulos de la base menor son congruentes. El punto de intersección de las

diagonales, los puntos medios de las bases y el punto de intersección de las rectas

que contienen los lados no paralelos, están alineados. Las mediatrices de las bases

coinciden (Demostrarlo).

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8.16 EJERCICIOS PROPUESTOS

Temas: Poligonal.

Polígonos.

Cuadriláteros convexos.

1. En las figuras siguientes B está entre A y C; K, está entre S y M; D, H, V, T son colineales. O

está entre P y Q y O está entre L y F.

Determine, si es posible, una designación adecuada, de tal forma que las respectivas

figuras corresponden a polígonos. Indique los lados respectivos de cada uno de ellos.

2. De acuerdo a lo determinado en el numeral anterior, ¿alguno de los polígonos es simple?.

Justifique su respuesta.

3. De los polígonos siguientes, determine cuáles son simples y cuáles no lo son. Justifique su

respuesta.

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4. De los polígonos del numeral anterior, determine cuales son convexos y cuales son

cóncavos, señale en cada uno su interior.

5. En cada uno de los polígonos siguientes determine: sus diagonales, sus ángulos exteriores.

6. Determine, si es posible, el número de lados de un polígono convexo que tenga: 15, 19, 51,

90 diagonales respectivamente.

7. Determine para cada una de las afirmaciones siguientes si es verdadera o falsa. Justifique

su respuesta. En el caso de que la afirmación sea falsa, construya un contraejemplo

adecuado.

7.1. Todo cuadrilátero con únicamente un par de lados paralelos es un trapecio.

7.2. Todo cuadrilátero con un par de lados paralelos y congruentes, es un

paralelogramo.

7.3. Todo cuadrilátero con un par lados paralelos y un par de lados congruentes

es un paralelogramo.

7.4. Todo cuadrilátero equiángulo es un rectángulo.

7.5. Todo cuadrilátero convexo con un par de lados paralelos y congruentes es

un paralelogramo.

7.6. Todo cuadrilátero convexo con diagonales perpendiculares es un rombo.

7.7. Todo cuadrilátero convexo con un par de ángulos adyacentes a un lado,

congruentes y suplementarios, es un paralelogramo.

7.8. Todo cuadrilátero convexo, con diagonales que se bisecan, es un

paralelogramo.

7.9. En un trapecio isósceles las diagonales se bisecan.

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7.10. En todo paralelogramo, las diagonales son congruentes.

7.11. Todo paralelogramo con diagonales congruentes es equiángulo.

7.12. En todo paralelogramo los ángulos opuestos son respectivamente

congruentes.

7.13. En todo cuadrado las diagonales son perpendiculares y congruentes.

7.14. Existe un rombo que es a la vez rectángulo.

7.15. Un paralelogramo en el cual las diagonales bisecan los ángulos

respectivos es un rombo.

7.16. En todo rombo las diagonales son congruentes.

7.17. En un rectángulo las diagonales bisecan los ángulos respectivos.

7.18. Un paralelogramo con diagonales congruentes y que bisecan los

ángulos respectivos es un cuadrado.

7.19. Todo cuadrilátero convexo con sus cuatro lados congruentes es un

cuadrado.

7.20. Todo cuadrilátero convexo con un par de lados paralelos y un par de

lados congruentes, es un paralelogramo.

8. De las condiciones siguientes que se enuncian acerca de un cuadrilátero convexo, ¿cuáles

son suficientes para definir: un paralelogramo, un rombo, un rectángulo, un cuadrado, un

trapecio isósceles?

8.1. Cada par de ángulos opuestos son congruentes.

8.2. Las diagonales son congruentes.

8.3. Es equiángulo y equilátero.

8.4. Cada dos ángulos consecutivos son suplementarios.

8.5. Tres de sus ángulos interiores son rectos.

8.6. Sus diagonales son mediatrices unas de otras.

8.7. La suma de sus ángulos interiores es igual a 360º.

8.8. Sus diagonales se bisecan.

8.9. Solo un par de lados son paralelos y sus diagonales son congruentes.

8.10. Dos de sus ángulos son rectos y sus lados son congruentes.

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9. Los lados de un polígono regular de n lados, n>4, se prolongan hasta formar una estrella.

Calcule la medida en grados de cada uno de los ángulos interiores en las puntas de las

estrellas.

Demostrar las siguientes proposiciones:

10. Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero convexo, son los vértices de un

paralelogramo.

11. Los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo y los puntos medios

de sus diagonales, son los vértices de un paralelogramo; o se reducen a tres puntos

colineales.

12. Los puntos medios de los lados de un rectángulo, son los vértices de un rombo.

13. Los puntos medio de los lados de un rombo, son los vértices de un rectángulo.

14. Las bisectrices de los ángulos interiores de un paralelogramo, al intersectarse, forman un

rectángulo.

15. Las bisectrices de los ángulos interiores de un rectángulo al intersectarse forman un

cuadrado.

16. Si por el punto de intersección de las diagonales de un rombo se trazan perpendiculares a

los lados del rombo, entonces, los puntos de intersección de dichas perpendiculares con

los lados, son los vértices de un rectángulo.

17. Las bisectrices de los ángulos que forman las diagonales de un rombo, intersectan los

lados del rombo en cuatro puntos que son los vértices de un cuadrado.

18. En un rombo se trazan las alturas de los cuatro triángulos que determinan las diagonales.

Demostrar que los pies de estas alturas son los vértices de un rectángulo.

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19. Por el punto de intersección de las diagonales de un cuadrado, se trazan dos rectas

perpendiculares que intersectan dos a dos los lados del cuadrado. Demostrar que estos

puntos de intersección son los vértices de un cuadrado.

20. Si se trisecan los tres lados de un triángulo equilátero, estos puntos son los vértices de un

exágono regular.

21. El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. es bisectriz de y es bisectriz de

, y . Demostrar que: ADNM es un rombo.

22. Las diagonales de un pentágono regular son congruentes y al intersectarse forman un

pentágono regular.

23. En un trapecio isósceles, las diagonales son congruentes, los ángulos de la base mayor son

congruentes, los ángulos de la base menor son congruentes, el punto de intersección de las

diagonales, los puntos medios de las bases y el punto de intersección de las rectas que

contienen los lados no paralelos, están alineados. (Esta última afirmación para cualquier

trapecio).

24. La base media de un trapecio biseca a las diagonales.

25. Suponga que: ABCD es un paralelogramo.

es bisectriz de .

es bisectriz de .

D, A, M son colineales.

B, C, N son colineales.

M, P, C son colineales.

A, Q, N son colineales.

Demuestre que AMCN es paralelogramo.

26. El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. M

AN

DAB DM

CDA ABM CDN

AN

DAB

CM

BCDMateria

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y N son los puntos medios de y respectivamente. Demostrar que y

trisecan la diagonal .

27. En un cuadrilátero convexo ABCD, , , y .

Demostrar que ABCD es trapecio isósceles.

28. ABCD es un rectángulo. y son las bisectrices de A y D respectivamente. y

son las bisectrices de y respectivamente. Demuestre que .

29. En un paralelogramo ABCD, se prolonga y se toma . Se prolonga y se

toma . Demostrar que F, C y E son colineales.

30. Dado ABCD paralelogramo

: recta cualquiera

, ,

Demostrar que:

Sugerencia: Trace

31. En un rombo ABCD se trazan , , y . Estas

perpendiculares se cortan en E y F. Demostrar que BEDF es un rombo y que sus ángulos

son congruentes a los ángulos del rombo dado.

32. En cuadrado ABCD se prolongan los lados en sentidos opuestos y sobre dichas

prolongaciones se toman ; ; y . Demostrar que

y que .

33. Suponiendo que:

AB CD DM BN

AC

OBDAC BCAD OBAO ODCO

AX DX BY

CY

B

C CDXYABYX

AB BCBE AD

DCDF

D

AN BM CP

CPANBM

//AK

ADBN CDBM ABDR BCDQ

ABBM CDDN BCCF ADAQ

PQMN PQMN

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C, O, M son colineales.

A, O, N son colineales.

C, N, B son colineales.

N: punto medio de

y , calcular CM.

Sugerencia: Trace y tenga en cuenta el teorema de la paralela media.

34. El triángulo ABC, tiene . y son puntos exteriores al triángulo ABC, tales

que es mediatriz de y es mediatriz de . Demostrar que es

trapecio isósceles.

35. En un paralelogramo ABDE, BD es el doble de AB y C es el punto medio de . Demostrar

que el ángulo es recto.

36. Demuestre que cualquier segmento que pase por el punto de intersección de las

diagonales de un paralelogramo queda bisecado por dicho punto.

37. Dado ABCE rectángulo

bisectriz de

Hallar

38. Demuestre:

38.1. Todo paralelogramo es un cuadrado si sus diagonales son congruentes y

perpendiculares entre sí.

BC

ABAM3

1

xOM 5 12 xON 113 xAO

CMNK //

ACAB B C

AB CC AC BB CBBC

BD

ACE

BEAF

AD

OAF

ADEmMate

rial e

duca

tivo

Uso no

comerc

ial


38.2. Todo paralelogramo es un cuadrado si sus diagonales son congruentes y una

de ellas biseca a un ángulo del paralelogramo.

39. Se dá un cuadrado ABCD y se construye en el interior del cuadrado el triángulo

equilátero ABF y en el exterior del cuadrado el triángulo equilátero ADE. Demostrar que

C, F y E son colineales.

40. Por los vértices de un cuadrado se trazan paralelas a las diagonales. Demostrar que los

puntos de intersección de estas rectas son los vértices de un cuadrado cuyas diagonales

se cortan en el punto de intersección de las diagonales del cuadrado dado.

41. El polígono ABCDEFGH es un octógono regular. Demostrar que las diagonales , ,

y forman un cuadrado al intersectarse.

42. En un triángulo rectángulo, el ángulo formado por la altura y la mediana correspondiente

a la hipotenusa mide . Calcular los valores de los ángulos agudos en función de .

43. Demostrar que en un triángulo rectángulo, el pie de la bisectriz correspondiente al

ángulo recto está en el interior y es bisectriz del ángulo formado por la altura y la

mediana correspondiente al mismo ángulo.

44. En el cuadrilátero convexo, ABFE la diagonal es mediatriz de . ,

. Demostrar que .

45. En un triángulo ABC, se trazan las medianas y . Por N, se traza una paralela a

y por C, una paralela a . Estas dos rectas se cortan en P. Si D es el punto medio

de , demostrar que .

46. En un triángulo ABC, , y son las medianas. Por , se traza y

. Demostrar que .

AD HE

BG CF

AF BE CEFAB

DBFAE BECD //

AM BN

BC BN

PN MNABCD ////

AA BB CC A BBDA

BBDA // DACC

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8.17 EJERCICIOS RESUELTOS

Ilustración N° 1

Demuestre que en un paralelogramo las bisectrices de los ángulos interiores al intersectarse,

determinan un rectángulo.

i. 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo

ii. 𝐴𝑃1 bisectriz de

DAB

iii. 𝐷𝑃1 bisectriz de

ADC

iv. 𝐶𝑃3 bisectriz de

DCB

v. 𝐵𝑃3 bisectriz de

ABC

vi. 𝐷𝑃1 ∩ 𝐶𝑃3

= {𝑃2}

vii. 𝐴𝑃3 ∩ 𝐵𝑃3

= {𝑃4}

Tesis: 𝑃1𝑃2𝑃3𝑃4 es un rectángulo.

Demostración.

1. 𝛼1 = 𝛼1′ = 𝛼2 = 𝛼2

′; de ii) y iv) y propiedad por equivalencia del paralelogramo de i.

2. 𝛽1 = 𝛽1′ = 𝛽2 = 𝛽2

′; de iii) y v) y propiedad por equivalencia del paralelogramo.

3. 𝑚 (

BAD) + 𝑚 (

ADC) = 180°; de i) propiedad por equivalencia del paralelogramo.

4. 𝛼1 + 𝛼1′ + 𝛽1 + 𝛽1

′ = 180°; sustitución en 3.

5. 2𝛼1 + 2𝛽1 = 180°; sustitución de 1 y 2 en 4.

6. 𝛼1 + 𝛽1 = 90°; factorizando y despejando en 5.

7. 𝑚 (

DAP1) = 90°; de 6, suma ∡ interiores en ∆ 𝐴𝑃1𝐷

8. 𝑚 (

412 PPP ) = 90°; de 7, teorema ángulos opuestos por el vértice.

∗∗∗ Hemos demostrado así este teorema:

“En todo paralelogramo las bisectrices de los ángulos interiores al intersectarse, lo

hacen perpendicularmente.”

Hipót

esis

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9. En forma exactamente análoga a la seguida para llegar a la conclusión en el numeral 8,

se concluye que: 𝑚 (

321 PPP ) = 𝑚 (

432 PPP ) = 𝑚 (

143 PPP ) = 90°.

10. 𝑃1𝑃2𝑃3𝑃4 es un rectángulo, de 8 y 9 definición de rectángulo.

Ilustración N° 2

Si por el punto de intersección de las diagonales de un rombo se trazan perpendiculares a los

lados del rombo, entonces, los puntos de intersección de estas perpendiculares con los lados,

son los vértices de un rectángulo.

i. 𝐴𝐵𝐶𝐷 rombo

ii. 𝐷𝐵 y 𝐴𝐶 diagonales

iii. 𝐴𝐶 ∩ 𝐷𝐵 = {𝑂}

Hipótesis iv. 𝑂𝑃1 ⊥ 𝐴𝐵

v. 𝑂𝑃2 ⊥ 𝐵𝐶

vi. 𝑂𝑃3 ⊥ 𝐶𝐷

vii. 𝑂𝑃4 ⊥ 𝐴𝐷

Tesis: 𝑃1𝑃2𝑃3𝑃4 es un rectángulo.

Demostración

1. 𝐷𝐵 biseca los ángulos

ADCy

ABD; de i) propiedad por equivalencia del rombo.

2. 𝐴𝐶 biseca los ángulos

DAB y

DCB ; por la misma razón anterior.

3. 𝑂𝑃3 ≅ 𝑂𝑃4

, de 1, ii), vi) y vii) teorema. Propiedades de la bisectriz.

4. 𝑂𝑃1 ≅ 𝑂𝑃2

, de 1, ii), vi) y v) teorema. Propiedades de la bisectriz.

5. 𝑂𝑃1 ≅ 𝑂𝑃4

, de 2, ii), vi) y vii) teorema. Propiedades de la bisectriz.

6. 𝑂𝑃1 ≅ 𝑂𝑃2

≅ 𝑂𝑃3 ≅ 𝑂𝑃4

, transitividad 4 y 5.

∗∗ La prueba se orienta a continuación, a demostrar que 𝑃1 − 𝑂 − 𝑃3 y en

consecuencia que 𝑃1𝑃3 es diagonal de 𝑃1𝑃2𝑃3𝑃4 y lo propio para 𝑃2𝑃4.

7. Supongamos que 𝑃1, 𝑂, 𝑃3 no son colineales.

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Como 𝑂𝑃3 ⊥ 𝐷𝐶 de iv) y 𝐷𝐶 ∥ 𝐴𝐵 ¿por qué?; entonces 𝑂𝑃3 ⊥ 𝐴𝐵 y por lo

tanto 𝑂𝑃3 ∩ 𝐴𝐵 = {𝑄}, 𝑄 ≠ 𝑃1; ¿por qué? De esto se concluye que por un punto 𝑂 se

“bajan” dos rectas distintas y perpendiculares a 𝐴𝐵 . Absurdo. ¿por qué?.

8. 𝑃1, 𝑂, 𝑃3 son colineales, de 7. Método de reducción al absurdo.

9. 𝑃2, 𝑂, 𝑃4 son colineales. Procedimiento análogo al que permite la conclusión 8.

10. 𝑃1𝑃3 y 𝑃2𝑃4

son diagonales de 𝑃1𝑃2𝑃3𝑃4;de 8 y 9.

11. 𝑃1𝑃3 ≅ 𝑃2𝑃4

, de 6, adicción de segmentos respectivamente congruentes.

12. 𝑃1𝑃2𝑃3𝑃4 es un rectángulo, de 6,11 y 10. Propiedades por equivalencia del rectángulo.

Ilustración N°3

Si 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo con 𝐴𝑁 bisecando a

DAB y 𝐷𝑀 bisecando a

CDA ;

𝑀 𝜖 𝐴𝐵 y N ϵ 𝐶𝐷 , entonces, 𝐴𝐷𝑁𝑀 es un rombo.

i. 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo

ii. 𝐴𝑁 biseca a

DAB

iii. 𝐷𝑀 biseca a

ADC

iv. 𝑀 𝜖 𝐴𝐵 , N ϵ 𝐶𝐷

Tesis 𝐴𝐷𝑁𝑀 es un rombo.

Demostración

1. 𝐴𝑁 ∩ 𝐷𝑀 = {𝑃}, designación.

2. 𝐴𝑁 ⊥ 𝐷𝑀 , de i), ii) y iii) de la Ilustración 1, capitulo 8.

3. 𝐴𝑃 es altura en el ∆ 𝐷𝐴𝑀,de 2 definiciones de altura.

4. 𝐴𝑃 es bisectriz en el ∆ 𝐷𝐴𝑀, de ii) definición bisectriz del triángulo.

5. ∆ 𝐷𝐴𝑀 es isósceles con 𝐴𝑀 ≅ 𝐴𝐷, de 3 y 4 teorema recíproco propiedades de los

segmentos notables en el triángulo isósceles.

6. 𝐷𝑃 es altura en el ∆ 𝐴𝐷𝑁,de 2 definiciones de altura.

7. 𝐷𝑃 es bisectriz en el ∆ 𝐴𝐷𝑁, de ii) definición bisectriz del triángulo.

Hipótesis

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8. ∆ 𝐴𝐷𝑁 es isósceles con 𝐴𝐷 ≅ 𝐷𝑁, de 6 y 7 teorema recíproco propiedades de los

segmentos notables en el triángulo isósceles.

9. 𝐴𝑀 ≅ 𝐷𝑁, transitividad de 5 y 8.

10. 𝐴𝑀𝑁𝐷 es un paralelogramo, de i) y 9. Propiedad 2 por equivalencia del

paralelogramo.

11. 𝐴𝐷𝑁𝑀 es un rombo, de 10 y 2. Propiedad 3 por equivalencia del rombo.

Ilustración N°4

Si 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo, con 𝑀 y 𝑁 puntos medios de 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 respectivamente,

entonces, 𝐷𝑀 y 𝐵𝑁 trisecan la diagonal 𝐴𝐶 .

𝑖. 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo

ii. 𝑀 punto medio de 𝐴𝐵

iii. 𝑁 punto medio de 𝐶𝐷

iv. 𝐷𝑀 ∩ 𝐴𝐶 = {𝑇}

v. 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝑁 = {𝐾}

Tesis 𝐴𝑇 ≅ 𝑇𝐾 ≅ 𝐾𝐶

DemostraciónDeterminemos 𝐷𝐵 , definición de segmento.

1. 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝑁 = {𝑂} designación.

2. 𝑂 es punto medio de 𝐴𝐶 y de

𝐵𝐷 , de i) propiedad por

equivalencia del paralelogramo.

3. En el ∆ 𝐵𝐴𝐷 , 𝐴𝑂 y 𝐷𝑀 son

medianas, de ii) y 3 definición

de mediana.

4. En el ∆ 𝐷𝐵𝐶 , 𝐵𝑁 y 𝐶𝑂 son

medianas, de iii) y 3 definición

de mediana.

5. 𝑇 es baricentro en el ∆ 𝐴𝐵𝐷, de 4, definición de baricentro.

Hipótesis

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6. 𝐾 es baricentro en el ∆ 𝐵𝐷𝐶, de 5, definición de baricentro.

7. 𝐴𝑇 =2

3𝐴𝑂, de 6 propiedad del baricentro de un triángulo.

8. 𝐴𝑂 =1

2𝐴𝐶, de 3 propiedad de la medida.

9. 𝐴𝑇 =1

3𝐴𝐶, sustitución de 9 en 8.

10. Con una argumentación similar se demuestra en el ∆ 𝐵𝐷𝐶 que 𝐾𝐶 =1

3𝐴𝐶, aplicando la

propiedad del baricentro 𝐾 sobre la mediana 𝐶𝑂 .

11. 𝐴𝐶 = 𝐴𝑇 + 𝑇𝐾 + 𝐾𝐶, propiedad de la medida.

12. 𝑇𝐾 = 𝐴𝐶 − 𝐴𝑇 − 𝐾𝐶, despejando en 12.

13. 𝑇𝐾 = 𝐴𝐶 −1

3𝐴𝐶 −

1

3𝐴𝐶, sustitución de 10 y 11 en 13.

14. 𝑇𝐾 =1

3𝐴𝐶; simplificando en 14.

15. 𝐴𝑇 ≅ 𝑇𝐾 ≅ 𝐾𝐶 , de 10,11 y 15 y propiedad de la medida.

Ilustración N° 5

Si en un paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷, sobre la semirrecta opuesta a 𝐵𝐴 se toma 𝐵𝐸 ≅ 𝐵𝐶 y sobre la

semirrecta opuesta a 𝐷𝐴 se toma 𝐷𝐹 ≅ 𝐷𝐶 , entonces, 𝐹, 𝐶 y 𝐸 son colineales.

i. 𝐴𝐵𝐶𝐷es un paralelogramo

ii. 𝐴 − 𝐵 − 𝐸 ; 𝐴 − 𝐷 − 𝐹

iii. 𝐵𝐸 ≅ 𝐵𝐶

iv. 𝐷𝐹 ≅ 𝐷𝐶

Tesis 𝐹, 𝐶 y 𝐸 son colineales

Hipótesis

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Demostración

1. Determinemos 𝐹𝐶 y CE , por definición de segmentos.

*Comentario: Una forma de probar que 𝐹 − 𝐶 − 𝐸, esto es que 𝐶 esta entre

𝐹 y 𝐸 y en consecuencias que estos tres puntos son colineales, es demostrando que

𝑚 (

FCE ) = 180°, esto es que

FCE es llano. Esta es la orientación que tiene esta

prueba.

2. 𝑚 (

FCE ) = 𝛼′ + 𝜃′ + 𝛽′, suma de ángulos, propiedad de la medida.

3. ∆ 𝐷𝐹𝐶 y ∆ 𝐵𝐶𝐸 son isósceles, de iv) y iii) definición de triangulo isósceles.

4. 𝛼 ≅ 𝛼 ′ y 𝛽 ≅ 𝛽′ de 3 consecuencia por equivalencia.

5. 𝜃 ≅ 𝜃 ′; de i) propiedad por equivalencia del paralelogramo.

6.

ADC≅

ABC de i) por la razón anterior.

7. 𝑚 (

ADC) = 𝛼 + 𝛼′ = 2𝛼′, teorema ángulo exterior en ∆ 𝐷𝐹𝐶 y de 4.

8. 𝑚 (

ABC) = 𝛽 + 𝛽′ = 2𝛽′, teorema ángulo exterior en ∆ 𝐵𝐶𝐸 y de 4.

9. 𝛼′ = 𝛽′, transitividad 6,7, 8 y propiedad cancelativa.

10. 𝑚 (

ABC) = 𝜃′ = 180°, de i) propiedad por equivalencia del paralelogramo.

11. 𝛼 + 𝛼′ + 𝜃′ = 180°, sustitución de 7 en 10.

12. 𝛼′ + 𝜃′ + 𝛽′ = 180°, sustitución de 9 en 11.

13. 𝑚 (

FCE ) = 180°, transitividad 2 y 12.

14.

FCEes llano, de 13 consecuencia de la medida.

15. 𝐶𝐹 y 𝐶𝐸 son opuestas, de 14, definición de ángulo llamo.

16. 𝐹 − 𝐶 − 𝐸 de 15.

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capÍtulo 8. poligonales y...

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