INS Miramar 2n BAT – Matemàtiques aplicades CS – pàg 1

INS Miramar 2n BAT – Matemàtiques aplicades CS – pàg 2

INS Miramar 2n BAT – Matemàtiques aplicades CS – pàg 3

INS Miramar 2n BAT – Matemàtiques aplicades CS – pàg 4

Àlgebra lineal Pàg

1. Plantejament i resolució d’un sistema per reducció i substitució.

2. Mètode de Gauss.

2.1. Resolució d’un sistema matricialment.

2.2. Estudi de la resolució un cop realitzat Gauss.

3. Operacions amb matrius.

3.1 Operacions bàsiques

3.2 Sistemes de matrius

3.3 Potències de matrius

4. Càlcul de determinants:

4.1. Determinant d’una matriu d’ordre dos.

4.2. Determinant d’una matriu d’ordre tres.

4.3. Desenvolupament de determinants.

4.4. Inversa d’una matriu.

4.5. Equacions amb matrius

4.6. Rang d’una matriu.

4.7. Estudi de sistemes amb determinants.

4.8. Resolució d’un sistema compatible per determinants.

5. Àlgebra a selectivitat

7

9

12

17

33

INS Miramar 2n BAT – Matemàtiques aplicades CS – pàg 5

x 3

x (-2)

1.- Plantejament i resolució d’un sistema per reducció i substitució.

Considerem el següent problema:

Una compra de dos quilos de taronges i cinc de pomes costen set euros i mig. Un al tre dia , amb els mateixos preus, 3 quilos de taronges i 4 de pomes em surt per vuit euros amb 10. Esbrina el preu del quilo de cada fruita.

Pas 1: Posem nom a les incògnites:

x= preu d’un quilo de tarongesy= preu d’un quilo de pomes

Pas 2: Plantegem el sistema:

Pas 3: Arreglem el sistema (treure decimals o fraccions multiplicant tota una equació pel que s’escaigui, dividir per un mateix nombre,.....)

multipliquem per 10:

Pas 4: El resolem una incògnita amb el mètode de reducció:

Pas 5: Trobem la segona incògnita substituïnt a la primera equació:

Pas 6: Interpretem el resultat:

- el preu del quilo de taronges és 1€ i mig i el de pomes 90 cèntims.

Problemes

1) En una caixa s’han d’enviar 144 paquets de diferent pes. Podem posar paquets

d’un quart de quilo i paquets de mig quilo, però el contingut total de la caixa ha de ser

de 51 quilos. Quants n’ha d’haver de cada tipus?

2) Una refineria compra petroli1 a dos països A i B. Comprant 500 barrils al país A i

15500 al B resulta un preu mitjà de 19875 dòlars. Comprant 1000 barrils a A i 1000 a

B el preu mig es de 18000 dòlars el barril. Quant costa un barril de petroli de cada

pais?

3) Per tancar un camp d’oliveres rectangular hem utilitzat 600 metres de filferro. Si

sabem que té 60 metres més de llarg que d’ample, calcula les seves dimensions.

4) Invertim 6500 € en dos tipus d’accions A i B. Al cap d’un any A s’ha devaluat en

un 20% i B ha pujat un 15 %. Si ara tinc 6600 €, que havia invertit en A i B ?

5) Disposem de dues urnes amb boles A i B. Si treiem dues boles de A i les posem a

B, aleshores B en tindrà el doble que A. Si en treiem 6 de cada urna també B en

tindrà el doble que A. Quantes boles tinc a cada urna?

3·1a - 2·2a

3·1a - 2·2a

2a - 2·1a

3a – 3·1a 3·a + 4·2a

2. Mètode de Gauss:

A l’exemple anterior el mètode de resolució es posa de manifest en els passos 4 i 5. Resumim-los:

- Hem arribat a d’on treiem ‘y’.- Hem sustituït a d’on treïem ‘x’.

que es resol fàcilment.

2.1.Resolució d’un sistema matricialment:

Prenem notació matricial (només considerem els coeficients).

Obtenim zeros per sota la diagonal.

Aquest mètode ens serveix per resoldre sistemes amb més incògnites. Apliquem el

mètode de Gauss al següent sistema:

que acabem resolent:

Exercicis:

6) Resol per Gauss els següents sistemes

2.2. Estudi de la resolució un cop realitzat Gauss:

Cas 1: Surt una igualtat impossible, no té solució:

0 = 63 !! Sistema incompatible

Cas 2: Perdem una equació i tenim més incògnites que equacions:

té infinites solucions: Sistema compatible indeterminat

Cas 3: Després de Gauss ens queden tantes equacions com incògnites:

Sistema compatible determinat

7)

3. Operacions amb matrius

3.1 Operacions bàsiques:

Suma de matrius: Nomes es poden sumar matrius amb iguals dimensions. Sumem element a element.

Multiplicació(divisió) per un nombre: Es multipliquen tots els elements de la matriu.

que és el que farem si hem de restar matrius.

Multiplicació de matrius: Cada fila per totes les columnes. Cal que coincideixin les files de la primera matriu amb les columnes de la segona matriu.

No és commutativa!!!!

Transposta d’una matriu: Posem les files en forme de columnes.

Matriu ‘0’ i matriu identitat:

Exercicis

7) Donades les matrius:

Calcula, si es possible:

a) 2A · B c) AT·B

b) - A · BT d) B· AT

8) Donades les matrius següents:

a) Calculeu A2 + 2AB + B2.

( Observació: A2 es calcula A · A)

b) Calculeu (A + B) 2.

c) Per què no donen el mateix?

9) Volem una matriu A que compleixi:

a) Quantes files i quantes columnes ha de tenir A?

b) Calcula A.

3.2 Sistemes de matrius:

Resol el següent sistema:

Si fem: 1a equació

- 2·2a equació

0 · A + 5

i ara podem trobar A desde una de les dues equacions:

3.3 Potències de matrius:

Donada

Matrius recurrents:

Donada

· = - Id

i aleshores:

10) Resol el següents sistemes:

a) b)

11) Calcula:

a) amb c)

b) amb d)

e) amb f) amb

4. Càlcul de determinants:

Anem a donar una eina per estudiar les solucions d’un sistema abans de resoldre’l.

Associem a una matriu quadrada (nombre de columnes = nombre de files) un nombre que ens dona informació sobre que passa si combinem files i columnes.

Si el resultat és zero voldra dir que existeix una combinació entre les files i perdriem una filera si apliquessim Gauss.

Notacions: Sigui A una matriu quadrada

Determinant d’A = det(A) = |A|

4.1. Determinant d’una matriu d’ordre dos:

Exemples:

. Sabries justificar perquè dona zero?.Comprova

la teva justificació amb uns quants exemples més.

4.2. Determinant d’una matriu d’ordre tres:

Regla de Sarrus:

=aei+dhc+gbf-(gec+ahf+dbi)

Alternativa de càlcul: Tornem a copiar les dues primeres files i fem les tres diagonals:

Exemple:

Exercicis:

8) Calcula els següents determinants:

9) Sabries justificar perquè el determinant b) val zero?

10) Estudia els valors dels parametres de c) i e) per a que valguin zero. Substitueix els resultats que has trobat i justifica perquè t’ha donat zero.

11) Calcula els següents determinants:

4.3. Desenvolupament d’un determinant:

Menor complementari: determinant de la matriu que queda al suprimir la fila i la columna de l’element.

menor de l’element a23 (el 3):

Matriu de signes: Comencem amb ‘+’ i anem alternant ‘-‘ i ‘+’ .

Adjunt d’un element: (Menor complementari) x (signe de la matriu de signes)

l’adjunt de l’element a23 = -24

Càlcul d’un determinant per desenvolupament: El determinant d’una matriu quadrada s’obté sumant els resultats de multiplicar cada un dels elements d’una columa o fila pel seu adjunt.

Donat el determinant escollim la fila o columna més facil ( la primera

columna té un zero i la resta són uns) i el desenvolupem:

Ara podem calcular determinants de qualsevol ordre. Veiem un d’ordre 4: desenvolupem per l’ultima columna.

Observa que el 0 no cal fer-lo. Podem utilitzar Gauss per fer zeros i simplificar càlculs.

Exercicis:

12) Calcula els següents determinants:

4.4. Inversa d’una matriu:

Donada una matriu A la inversa d’A la denotem per A-1. Existeix si det A 0Compleix A-1 ·A =A· A-1= Identitat

Es calcula

on adjunts d’A és la matriu resultant de canviar el lloc dels elements pels adjunts.

1.- det(A) = , podem calcular-li la inversa.

2.- Adjunts:

, etc... i ens dona

la matriu d’adjunts:

3.- Transposem aquesta matriu:

4.- Matriu inversa:

13) Calcula la inversa de les següents matrius:

a)

A = B = C = D =

b) Donada la matriu: M = Determinar per a quins valors del paràmetre

la matriu M no té inversa.

c) Calcula lña inversa de M quan = 2

4.5 Equacions amb matrius:

Donat el sistema obtenim:

A · X = B

passem A a l’altre costat i obtenim X = A-1B (A-1 correspon a la matriu anterior)

Cas general: A X +B = C

AX = C-B

A-1 AX = A-1·(C - B)

X = A-1·(C - B)

Observació A és a l’esquerra de X i aleshores A-1 també és posa a l’esquerra, si és a la dreta va al revés:

AX = B A ,és a l’esquerra d’X XA = B A és a la dreta d’X

A-1AX = A-1 B XA A-1= B A-1

X = A-1B A-1 és a l’esquerra de B X = BA-1 A-1 és a la dreta de B

14) Calcula la matriu X que compleix:

a)

b) M·X+N = P amb

c) X ·

d)

e)

4.6. Rang d’una matriu

És el nombre de files linealment independents =ordre del determinant 0(columnes)

Exemples:

té rang 3 : 0

té rang<3 :

i com un menor aleshores té rang 2.

aqui es poden formar fins a quatre determinants d’ordre tres

combinant les columnes: 123, 134, 124, 234. Utilitzarem el següent teorema:

Si un determinant d’ordre inferior és diferent de zero, només cal estudiar els superiors que es formen fixant les columnes o files corresponents:

Com que podem fixar les columnes 1 i 2 i només cal

estudiar els determinants formats per les columnes 123 i 124:

; i podem afirmar que té rang dos.

Activitats:

15) Troba el rang de les següents matrius:

a) b)

c) d)

e) f)

4.7.Estudi de sistemes amb determinants:

Definicions: Donat un sistema definim com a matriu del sistema a la matriu que formen els coeficients de les incògnites del sistema i com a matriu ampliada aampliar aquesta matriu amb la columna de valors del sistema:

matriu del sistema: M =

matriu ampliada : MA =

Teorema de Rouché-Frobenius:

Donat un sistema qualsevol pot passar:

Cas 1: rang M rang MA Sistema incompatible

Cas 2: rang M = rang MA = nombre d’incògnites Sistema compatible determinat

Cas3: rang M = rang MA < nombre d’incògnites Sistema compatible indeterminat

Exemple: Donat el sistema

Considerem la matriu del sistema

Tindrà rang<3 si , és a dir: (0+2t+t)-(0+t2+0) = 3t – t2 =0 t = 0, 3.

És a dir per t 0, 3 rang M = 3 = rangMA(que és el màxim):

Sistema compatible determinat

Estudiem MA per t = 3:

MA =

Com que només cal ampliar-lo amb l’ultima columna :

(amb la tercera sabem que és zero)

rang MA = 3

i com rang M =2 obtenim per t =3 un sistema INCOMPATIBLE

Estudiem per t = 0:

també tenim aquí que , l’ampliem:

rang MA = 2

i com rang M =2 obtenim per t =0 un sistema COMPATIBLE, però amb 3 incògnites

serà INDETERMINAT, que el resoldrem utilitzant les equacions del determinant de

rang 2.

Exercicis:

16) Discutiu, segons els valors del paràmetre t els següents sistemes:

4.8. Resolució d’un sistema compatible per determinants.

Regla de Cramer:

Considerem una matriu de la forma MA ( x y z | b), aleshores:

és a dir substituim la columna de la incògnita pel terme independent i calculem determinants.

Exemple:

matricialment resulta

17) Resol els següents sistemes pel mètode de Cramer

a) b) c)

d) e)

f) g)

5. Àlgebra a selectivitat

1) La Joana i la Mercè tenien 20000 € cadascuna per invertir. Cadascuna d’elles fa la mateixa distribució dels seus diners en tres parts P, Q i R, i les porta a una entitat financera. Al cap d’un any, a la Joana li han donat un 4% d’interès per la part P, un 5% per la part Q i un 4% per la part R i a la Mercè li han donat un 5% per la part P, un 6% per la part Q i un 4% per la part R. La Joana ha rebut en total 850 € d’interessos, mentre que la Mercè n’ha rebut 950 € . De quants euros constava cadascuna de les parts P, Q i R?

2) Tres germans tenen edats diferents, però sabem que la suma de les edats dels tres germans és de 37 anys, i la suma de l’edat del gran més el doble de l’edat del mitjà més el triple de l’edat del petit és de 69 anys.

a) Expresseu les edats dels tres germans en funció de l’edat del germà petit.b) És possible que el germà petit tingui 5 anys? I 12 anys? Raoneu la resposta.c) Calculeu l’edat dels tres germans.

3) Un venedor té un salari mensual que està determinat per un sou fix més un cert percentatge sobre el volum de vendes que ha fet durant el mes. Si ven per valor de 2000 € , el seu salari és de 1200 € i, si ven per valor de 2500 € , el salari és de 1300 € . Trobeu el percentatge que guanya sobre el total de vendes i el sou fix.

4) En estudiar un sistema lineal dependent del paràmetre k pel mètode de Gauss, hem arribat a la matriu ampliada següent:

. Discutiu el sistema en funció del paràmetre k.

5) Tenim dues caixes de llibres A i B. Si passem 12 llibres de la caixa A a la B, totes dues caixes tindran la mateixa quantitat de llibres. Si passem 12 llibres de la B a la A, la caixa A tindrà el triple de llibres que la caixa B. Quants llibres conté cada caixa?

6) Discutiu i, si escau, resoleu el sistema següent: 4x 6y –8z 26x 9y –12z 3x 2y z 10

7) Considereu un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i amb coeficients reals. És possible que el sistema tingui exactament dues solucions? I exactament tres solucions? Justifiqueu les respostes.

8) En un determinat poble es representen tres espectacles que anomenarem E1 , E2 i E3 respectivament, cada un amb un preu diferent. Calculeu el preu de cada espectacle si sabem el següent:

– Si assistíssim dues vegades a E1 , una vegada a E2 i també una vegada a E3

ens costaria 34 € .– Si anéssim tres vegades a l'espectacle E1 i una a E2 ens costaria 46,5 € .– En el cas d'assistir només una vegada a cada un dels tres espectacles enscostaria 21,5 €.

9) A les rebaixes d'estiu una botiga anuncia que tots els articles estan rebaixats un 20%.

a) Si un article rebaixat ens ha costat 40 €, quant costava abans de lesrebaixes?

b) Acabades les rebaixes, el botiguer pensa que, apujant el preu de tots elsproductes un 20%, tornarà al preu d'abans de les rebaixes. Creieu que ésaixí? Quina variació percentual es produeix disminuint el 20% el preuoriginal i després augmentant un 20% el preu rebaixat?

c) Quin ha de ser l'augment de preu que hauria d'aplicar als productesrebaixats per tornar al preu d'abans de les rebaixes?

10) Determineu per a quin valor del paràmetre el sistema: x –3y 5z 2 2x –4y 2z 1 5x –11y 9z

és compatible i, en aquest cas, resoleu-lo.

11) Considereu el sistema d’equacions següent:

a) Trobeu els valors de a per als quals el sistema no és compatible determinat.b) Trobeu el valor de a per al qual el valor de x és 2. Determineu també els valors de y i de z en aquest cas.

12) Un trajecte de 200 km s’ha de fer combinant taxi, ferrocarril i autobús. El cost del taxi és de 5 €/km; el del ferrocarril, de 2 €/km, i el de l’autobús, de 3 €/km. El recorregut ens ha costat 500 €, per haver fet el doble de kilòmetres amb ferrocarril que amb taxi i autobús junts.

Determineu les distàncies que hem recorregut amb cada mitjà de transport.

14) Una persona va invertir 6 000 € comprant accions de dos empreses, A i B. Al cap d’un any, el valor de les accions de l’empresa A ha pujat un 5 % i, en canvi, el valor de les accions de l’empresa B ha baixat un 10 %. Tot i això, si vengués ara les accions guanyaria 150 €. Determineu quants diners va invertir en accions de cada empresa.

15) Considereu el sistema d’equacions lineals següent:

a) Discutiu el sistema en funció del paràmetre k.

b) Determineu la solució del sistema per al valor de k que fa que el sistema sigui indeterminat.

c) Trobeu la solució per a k = 1.

16) Un botiguer compra deu televisors i sis equips de música. D’acord amb el preu marcat hauria de pagar 10 480 €. Com que paga al comptat, li fan un descompte del 5% en cada televisor i del 10 % en cada equip de música, i només ha de pagar 9 842 €.Quin és el preu marcat de cada televisor i de cada equip de música?

17) Considereu el sistema d’equacions següent:

a) Digueu per quins valors del paràmetre a el sistema és incompatible.

b) Resoleu el sistema per al valor de a per al qual el sistema és compatible, i trobeu-ne una solució entera.18) Fa un any, una persona va invertir 12 000 €en accions de tres empreses, que anomenarem A, B i C. Ara, les accions de l’empresa A han augmentat de valor en un 25%, les de l’empresa B han

augmentat en un 10 % i, en canvi, les de l’empresa C han perdut un 15 % del seu valor. Si ara vengués totes les accions, no obtindria ni pèrdues ni beneficis. Sabent que va invertir en les accions de l’empresa C el mateix que en les altres dues juntes, calculeu la quantitat de diners que va invertir en accions de cada empresa.

19) Digueu si un sistema de dues equacions amb tres incògnites pot ser incompatible. Justifiqueu la resposta i, si escau, exemplifiqueu-ho.

20) Considereu el sistema d’equacions següent:

a) Expliqueu, raonadament, quantes solucions té.

b) Trobeu una solució amb z = 5.

21) Una botiga ha venut 225 llapis de memòria de tres models diferents, que anomenarem A, B i C, i ha ingressat un total de 10500 €. El llapis A costa 50 €, i els models B i C són, respectivament, un 10 % i un 40 % més barats que el model A. La suma total de llapis venuts dels models B i C és la meitat que la de llapis venuts del model A. Calculeu quants exemplars s’han venut de cada model.

22) En una botiga de queviures hem comprat ampolles d’aigua a 0,5 € cadascuna, de llet a 1 € i de suc de fruita a 1,5 € . En arribar a la caixa ens adonem que portem 40 ampolles, el cost total de les quals és de 38 €. També observem que si les ampolles d’aigua que portem fossin de llet i les de llet fossin d’aigua, la compra ens sortiria 4 €més barata. Determineu el nombre d’ampolles de cada beguda que hem comprat.

23) Considereu les matrius:

a) Comproveu si aquestes compleixen (A + B)2 = A2

+ 2AB + B2.

b) Si P i Q són matrius quadrades qualssevol d’ordre 3, quina condició s’ha de produir perquè es compleixi (P + Q) 2

= P 2 + 2P · Q +

Q 2 ?

24) Donat el sistema d’equacions següent:

a) Determineu-ne la solució general, en funció de z.

b) Calculeu la solució particular segons la qual z = 2.

25) Donades les matrius següents:

a) Calculeu A–1 i B–1.

b) Determineu X perquè es compleixi l’equació A · X · B = 2C.

26) Considereu les matrius següents:

a) Determineu la matriu X perquè X + BC = A2.

b) Calculeu les matrius C6 i C7.

27) Una empresa compra tres immobles per un valor total de 2 milions d’euros. En vendre’ls, espera obtenir uns guanys del 20%, del 50 % i del 25%, respectivament, que li reportaran uns beneficis totals de 600 000 euros. En el moment de posar-los a la venda, però, aconsegueix uns guanys del 80%, del 90 % i del 85%, respectivament, cosa que li reporta uns beneficis totals d’1,7 milions d’euros. Quant havia pagat percada immoble?28) Considereu la matriu

a) Una matriu B, la primera fila de la qual és (1, 0), té dues columnes i compleix que

. Completeu-la.

b) Feu els càlculs pertinents per a comprovar que (A·B) t=B t ·A t.

29) Considereu les matrius

a) Calculeu les matrius inverses de A i de B.b) Determineu una matriu X de manera que A·X·B=C.

30) Considereu el sistema

a) Comproveu que té infinites solucions. Determineu-les.

b) Determineu, si és possible, una solució en què la suma de les tres incògnites sigui 5.

31) Considereu la matriu

a) Una matriu B, la primera fila de la qual és (2, 1), té dues columnes icompleix que

Completeu-la.b) Calculeu (A·B) -1.

32)Una botiga ven llaunes de beguda a 0,6 € la llauna, però si comprem un paquet de sis llaunes ens cobren 3€.

a)Quin és el percentatge d’estalvi en comprar un paquet respecte a la compra de sis llaunes soltes?

b) En una setmana, la botiga ha venut 240 llaunes i ha ingressat 132,6 €. Quanta paquets de sis llaunes ha venut?

33)Considerem les matrius , i .

a) Trobeu una matriu X que compleixi que A·B+X=C.

b) Calculeu C3.

34)Considerem les matrius i

a) Justifiqueu si és possible efectuar A·B o B·A. En cas afirmatiu, calculeu-ho.

b) Calculeu B2 i B3

35) En Joan, en Pere i en Marc tenen, entre els tres, seixanta-tres anys. Si en Joan tingués tres anys menys, la seva edat seria el doble de les edats d’en Pere i en Marc junts. Si en Pere tingués un any més, la seva edat seria la meitat de la d’en Marc. Quina és l’edat actual de cadascun d’ells?

36) Una empresa cinematogràfica disposa de tres sales, A, B i C. Els preus d’entrada a aquestes sales són de 7€, 8€ i 9€, respectivament. Un dia determinat, la recaptació conjunta de les tres sales va ser de 1 520€, i el nombre total d’espectadors va ser 200.Si s’haguessin intercanviat els espectadors de les sales A i B, la recaptació total s’hauria incrementat en 20€. Calculeu el nombre d’espectadors que va acudir a cada una de les sales.

37) Siguin les matrius i .

a) Determineu les matrius X i Y que compleixin que X– 2Y=A i 2X–Y=B.

b) Calculeu (A+2·Id)2, on Id és la matriu identitat.