tema 4 potències i arrels - instituto de enseñanza secundaria … · 2018-10-26 · tema 4:...

Bloc I. Nombres i mesures. Tema 4: Potències i arrels. Ús de la calculadora. TEORIA

IES L’ASUMPCIÒ d’Elx http://w w w.ieslaasuncion.org MATEMÀTIQUES 2º ESO

1

1. POTÈNCIES.

* Una potència és una multiplicació de factors iguals. S’escriu

!

an i indica que el número “a” es multiplica

per si mateix “n” vegades. El número “a” s’anomena base i el nombre natural “n” s’anomena exponent.

Si l’exponent és 2, es llig al quadrat; si és 3, al cub; si és 4, a la quarta; si és 5, a la quinta; etc.

* Quan la base “a” és un nombre negatiu cal tancar-l’ho entre parèntesis. Per exemple,

!

"2( )4 , significa

que el nombre 2! es multiplica per si mateix quatre vegades i per tant el seu valor és 16. En canvi en la potència

!

"24 , la base és 2 i per tant el seu valor és

!

"16 al tindre un menys davant.

Observa que (núm. negatiu)parell = positiu , en canvi, (núm. negatiu)imparell = negatiu

* La base de la potència pot ser qualsevol nombre real. Per exemple

!

2

3

"

# $ %

& '

2

=2

3(2

3, és a dir, és

!

4

9.

Exemples:

Exemples:

!

"5( )2

= ("5) # ("5) = 25 però " 52 = "5 # 5 = "25

"5( )3

= ("5) # ("5) # ("5) = "125 i " 53 = "5 # 5 # 5 = "125

2. POTÈNCIES D’EXPONENT NEGATIU O ZERO. LA NOTACIÓ CIENTÍFICA

* Es defineix

!

a0

=1 per a qualsevol base “a” diferent de zero, per exemple:

!

70

=1

* Es defineixen les potències d’exponent negatiu així:

!

a"n

=1

an

. Per exemple,

!

2"3

=1

23

, és a dir,

!

2"3

=1

8.

* Es verifica que

!

a

b

"

# $ %

& '

(n

=b

a

"

# $ %

& '

n

. Per exemple,

!

3

2

"

# $ %

& '

(2

=2

3

"

# $ %

& '

2

=4

9.

* Observa que una potència de base 10 és igual a la unitat seguida de tants zeros com indique l’exponent si este és positiu o anteposant tants zeros (serà un decimal) com indique l’exponent si este és negatiu.

Observa els exemples:

!

103

=1000, 10"3

=1

103

=1

1000= 0,001



2

* Escriure un nombre en notació científica és expressar-l’ho de la forma

!

a "10n sent

!

"a" un nombre enter o decimal major o igual que 1 i menor que 10 i

!

"n" un nombre enter. La notació científica s’utilitza per a expressar números molt grans o molt xicotets. Observa els exemples on passem un nombre a notació científica o viceversa:

!

4205 = 4,205 "103; 0,0009503 = 9,503 "10

#4; 325,12 = 3,2512 "10

2; 7 "10

6= 7000000; 2,1"10

#2= 0,021

ERV: 1,2,3 i 4

3. PROPIETATS DE LES POTÈNCIES.

* Per a multiplicar dos potències de la mateixa base, se sumen els exponents:

* Per a dividir dos potències de la mateixa base, es resten els exponents:

* La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors:

* La potència d’un quocient és igual al quocient entre les potències del dividend i del divisor:

* Per a elevar una potència a una altra potència, es multipliquen els exponents:

!

am" a

n= a

m+n

!

am: a

n= a

m"n

!

am

an

= am"n

!

(a " b)n

= an" b

n

!

a : b( )n

= an: b

n

!

a

b

"

# $

%

& '

n

=an

bn

!

am( )

n

= am "n



3

Exemples:

Exemples:

!

a) 24 " 34 = (2 " 3)4 = 64 = 6 " 6 " 6 " 6 =1296

b)63

23

=6

3

#

$ % &

' (

3

= (6 : 2)3 = 33 = 3 " 3 " 3 = 27

c) 25 " 23 = 25+3 = 28 = 256

d) 25 " 2)3 = 25+()3) = 25)3 = 22 = 4

e) 2)5 " 2)3 = 2)5+()3) = 2)5)3 = 2)8 =

1

28

=1

256

f ) 25: 2

3 = 25)3 = 22 = 4

g) 25: 2

)3 = 25)()3) = 25+3 = 28 = 256

h) 2)5: 2

3 = 2)5)3 = 2)8 =1

28

=1

256

i) 2)5: 2

)3 = 2)5)()3) = 2)5+3 = 2)2 =1

22

=1

4

j) 22( )3

= 22"3 = 26 = 64

k) 22( ))3

= 22"()3) = 2)6 =1

26

=1

64

l) 2)2( )

)3= 2()2)"()3) = 26 = 64

!

m)5

6

"

# $ %

& '

3

(3

5

"

# $ %

& '

3

=5

6(3

5

"

# $

%

& '

3

=15

30

"

# $

%

& '

3

=1

2

"

# $ %

& '

3

=1

8

n)3

10

"

# $

%

& '

2

:6

5

"

# $ %

& '

2

=3

10:6

5

"

# $

%

& '

2

=15

60

"

# $

%

& '

2

=1

4

"

# $ %

& '

2

=1

16

o)2

5

"

# $ %

& '

3

(2

5

"

# $ %

& '

4

=2

5

"

# $ %

& '

3+4

=2

5

"

# $ %

& '

7

p)2

5

"

# $ %

& '

3

(2

5

"

# $ %

& '

)5

=2

5

"

# $ %

& '

3+()5)

=2

5

"

# $ %

& '

3)5

=2

5

"

# $ %

& '

)2

=

=5

2

"

# $ %

& '

2

=25

4

q)2 ( 24 ( (23))2

2)3 ( 25

=2 ( 24 ( 23(()2)

2)3+5

=2 ( 24 ( 2)6

22

=

=21+4)6

22

=2)1

22

= 2)1)2

= 2)3

=1

23

=1

8

r)24 ( (32))5 ( 62

2)2 ( 35

=24 ( 3)10 ( (2 ( 3)2

2)2 ( 35

=

=24 ( 3)10 ( 22 ( 32

2)2 ( 35

=24+2 ( 3)10+2

2)2 ( 35

=26 ( 3)8

2)2 ( 35

=

= 26+2 ( 3)8)5 = 2

8 ( 3)13 =28

313

4. ERRORS HABITUALS.

* No és igual

!

an que

!

a " n . Per exemple, estaria mal dir que

!

35 és igual a

!

3 " 5 ja que

!

35

= 3 " 3 " 3 " 3 " 3 = 243 i en canvi

!

3 " 5 =15.

* No és igual

!

("a)n que

!

"an . Per exemple, estaria mal dir que

!

"3( )2 és igual a

!

"32 ja que

!

"3( )2

= ("3) # ("3) = 9 i en canvi

!

"32

= "3 # 3 = "9 .

* No és igual

!

(a + b)n que

!

an

+ bn . Per exemple, estaria mal dir que

!

2 + 3( )2 és igual a

!

22

+ 32 ja que

!

2 + 3( )2

= 52 = 25 i en canvi

!

22

+ 32

= 4 + 9 =13.

* No és igual

!

a"n que

!

"an . Per exemple, estaria mal dir que

!

2"3 és igual a

!

"23 ja que

!

2"3

=1

23

=1

8 i en

canvi

!

"23

= "2 # 2 # 2 = "8.

ERV: 5, 6, 7, 8, 9 I 10



4

5. ARRELS.

* L’arrel d’índex "n" del nombre "a" (radicand) és el nombre "b" tal que

!

bn

= a , és a dir:

* Quan l’índex és 2 s’anomena arrel quadrada, quan l’índex és 3 s’anomena arrel cúbica.

* Es diuen quadrats perfectes als quadrats dels nombres enters. Es diuen cubs perfectes als cubs dels nombres enters.

* Observa que: – Si el radicand és positiu i l’índex és parell aleshores hi ha dos arrels.

– Si el radicand és negatiu i l’índex és parell aleshores no hi ha arrels.

– Quan l’índex és imparell sempre hi ha una única arrel siga quin siga el radicand.

Exemples:

Exemples:

!

49 = 7 ja que 72

= 49

Però 30 no és exacta, aleshores calculem l"arrel entera :

52

= 25 < 30

62

= 36 > 30

# $ % & 5 < 30 < 6& 30 ' 5

ERV: 11, 12, 13, 14, 15 i 16

6. ALGUNES PROPIETATS DE LES ARRELS.

* De forma semblant a les potències, les arrels tenen propietats que ens permeten simplificar expressions. Durant este curs estudiem només dos:

1)

!

a " bn = an " b

n

2)

!

a

b

n =a

n

bn

ÍNDEX

RADICAND



5

Exemples:

Exemples:

!

3 " 12 = 3 "12 = 36 = 6

243

33

=24

3

3 = 83 = 2

ERV: 17

7. JERARQUIA DE LES OPERACIONS I ÚS DEL PARÈNTESI.

* La jerarquia de les operacions i l’ús del parèntesi diu que quan es tenen distintes operacions combinades s’ha de seguir l’orde:

a) Parèntesi.

b) Potències i arrels.

c) Multiplicacions i divisions.

d) Sumes i restes.

e) Si les operacions tenen el mateix nivell, es comença per l’esquerra.

Exemples:

Exemples:

!

164 " (2 " 3)5" 3

2# 49 =

= 2 " ("1)5" 9 # 7 =

= 2 " ("1) " 63 =

= 2 +1" 63 =

= 3" 63 =

= "60

ERV: 18



6

8. ÚS DE LA CALCULADORA. * Per mitjà de diversos exemples estudiem l’ús de la calculadora marca CASIO més comú.

Nota: La tecla i són equivalents, però s’utilitza la segona quan operem amb fraccions.

1) 4232 !="! 2 3 2

2) 5)2(:)37( !=!+ 7 3 2 o 7 3 2

3) 3)1(4 !=!!! 4 1

4) 15)1)13(32(2 =!!!"+!" 2 2 3 3 1 1 5

5) 2123

28=

!"

+ 8 2 3 2 1

6) L2831,712 =+!" 2 1

7) Simplifica 9

6 (fracció pròpia) 6 9

8) Simplifica 6

9 (fracció impròpia) 9 6

9) 2

1

6

1

3

2=! 2 3 1 6

10) 3

11

6

25

5

22 =!+ 2 2 5 25 6

11) 15

26

5

3

5

3:

5

22 =!"

#

$%&

'! 2 2 5 3 5 3 5

12) 45352=! 5 3

13) 13253=+ 5 2

14) 11)2(3 3!=!+! 3 2

15) 3225= 2 5

16) 16

81

2

34

=!"

#$%

& 3 2 4



7

17) 16

3

2

3

4= 3 2 4

18) 5,021=

! 2 1

19) 13131210533,31001,31023,5 !=!+! 5 23 12 3 01 13

20) 57423,11001,31023,51312=!!!

" 5 23 12 3 01 13

21) 13851005,51001,1105

!!!"=""" 5 5 1 01 8

22) 4

5

5)710(

32

2

1324

!=!!

"!

+ 3 1 2 4 2 3

10 7 5

23) 39 = 9

24) 283 !=! 8

25) 2164 = 4 16

26) L036,2355 !=! 5 35

27) ( )11

2

52332

=!!"+ 3 3 2 5 2 1

28) 132

)2()2315(3 322

!=!

!+"! 15 3 2 2

2 3

ERV: 19, 20 i 21

9. PROBLEMES AMB POTÈNCIES I ARRELS.

ERV: del 22 al 38

Bloc I. Nombres i mesures. Tema 4: Potències i arrels. Ús de la calculadora. EXERCICIS RESOLTS EN VÍDEO EN www.josejaime.com/videosdematematicas


8

EXERCICIS Potències

1. (1r ESO) a) Calcula 32 , 5

1 , 23,0 ,

3

3

5!"

#$%

& , 07 , 4

0 , ( )42! , 42! , ( )51! , 4

10 , 105

(l’últim amb la calculadora o amb wiris ) b) Troba els quadrats i els cubs perfectes menors de 200. c) Passa a notació científica els nombres 570400000 i 0,000021 d) Passa a notació decimal els nombres 3

107,2!

" i 5101402,3 !

e) Tenim una finca quadrada el costat de la qual mesura 23 m. Quin és el preu de venda si cada 2m val 20 €?

f) Calcula el volum d’un cub de 4 m d’aresta.

2. Calcula pas a pas: a) 32 4)715(2 !!" b) 54 )532(23 !"!" c) 7:)5253( 32

!"! d) 22 6:)52(8 ! e) 32:)]35(2[1 23

!! f) 42 2])7(3[ !!!!

3. a) Escriu com a fracció:

a1) 23! ; a2) 3

2! ; a3) 3)2( !

! ; a4) 2)3( !! ; a5) 2

10! ; a6)

3

3

2!"

#$%

& ; a7) 3

3

2!"

#$%

&' ; a8)

3

3

2!

"#

$%&

' ; a9) 3

3

2!

"#

$%&

'!

b) Escriu en forma de potència sent la base un nombre primer:

b1) 25

1 b2) 16

1 b3)81

1

4. Efectua les operacions següents: a) 533

052 +!" b) 30113 )1(45622052 !!!++

!!! c) 42231 )3(21 !!!"! d) 2)5,2( !

!

Propietats de les potències 5. (1r ESO) a) Expressa el resultat en forma d’una única potència.

a1) 2733 ! a2) 26

2:2 a3) ( )325 a4) 4423 ! a5) 55

2:6 a6) ( ) 2542: xxx !

b) Quines expressions són certes i quines són falses? b1) 377

3!= b2) ( ) 33

55 !=! b3) ( ) 222

3232 !=! b4) ( ) 222

3232 +=+ b5) ( ) 22

532 =+

6. Escriu el resultat en forma d’una sola potència aplicant les propietats de les potències:

a) 4255 ! b)

3

9

5

5 c) 9

3

5

5 d) ( )235 e) 3375 ! f)

4

4

7

5 g) 9

38

5

55 !

7. Substituïx cada un dels requadros □ pel signe = o ! en les expressions següents: a) 27 □14 b) 2)3(! □ 2

3! c) 3)3(! □ 33! d) 2)32( + □ 2

5

e) 2)35( ! □ 2235 ! f) 2)32( ! □ 22

32 ! g) 2

2

5!"

#$%

& □2

2

2

5 h) ( )323 □ 53

8. Escriu el resultat en forma d’una sola potència de base un nombre primer o fracció irreductible, aplicant les propietats de les potències:

a) 33

5

3

6

5!"

#$%

&'!

"

#$%

& b) 22

5

6:

100

3!"

#$%

&!"

#$%

& c) 3

3

4

12 d) 4

4

10

5 e) 3

3

4

3)4( !

"

#$%

&'( f) 3

4



9

9. Escriu com una única potència de base un nombre primer: a) 33

24 ! b) 558:16 c) 64

33!

" d) 8125:5! e) 43)2( ! f) 45

7:7!! g) 4:8)2( 343 !

"

10. Simplifica i calcula utilitzant les propietats de les potències:

a) ( )25

434

22

22

!

! b) ( ) ( )22

4324

aa

aaa

!

!! c) ( )

( )322

42

baa

bbba

!!

!!!

"

"

d)2732

8142

44

235

!!

!!"

"

e)

124

25

642

3982

!!

!!

""

"""

Arrels.

11. (1r ESO) a) Calcula mentalment 25 , 0 i 4! b) Calcula l’arrel quadrada per defecte i per excés de 90. Troba-la amb la calculadora o amb wiris. c) Realitza les següents operacions sense calculadora

( )( ) ( ) ( )16:4164921815:507233224

!+!!"+!"""! d) Un terreny quadrat té 2

625 m d’àrea. Quin és el seu perímetre?

12. (1r ESO) a) Troba sense calculadora 94864 i comprova el resultat b) Troba sense calculadora 697 . Comprova que residuarrelradicand +=

2 . Troba 697 amb dos decimals. c) Un tauler de fusta de forma quadrada té una superfície de 2

242,9 m . Calcula el que mesura cada costat arredonint als centímetres. I si la superfície fóra de 2

8649,0 m ?

13. Calcula, si existix, l’arrel quadrada: (en alguns casos hauràs d’utilitzar l’algoritme del càlcul de l’arrel quadrada que vas estudiar en cursos anteriors) a) 1 b) 0 c) 25 d) 100! e) 484 f) 237 g) 3,1805

14. Calcula, si existix, l’arrel cúbica. Quan no siga un cub perfecte has de trobar entre què dos nombres enters es troba l’arrel cúbica. a) 3 1 b) 3 0 c) 3 8 d) 3 27! e) 3 1000 f) 3 16 g) 3 50!

15. (1r ESO) Calcula el valor de x en cada cas: a) 162 =

x b) x=23 c) 8

3!=x d) 125

3=x e) 7±=x f) x=81

g) x=0 h) 1±=x i) x1001,5501 != j) x

10202,0 != k) x42222 =!!!

16. Calcula les arrels descomponent prèviament els números del radicand:

a) 6 64 b) 3 216 c) 6 4096 d) 5 243! e) 664

1 f) 3216

64 g) 31000

3375!

Propietats de les arrels. 17. Aplicant les propietats de les arrels i de les potències, calcula:

a) b) 3

3

3

81 c) d) e)



10

Jerarquia de les operacions. 18. Realitza les següents operacions tenint molt en compte la jerarquia i els parèntesis: a) 2

32 ! b) 2)32( ! c)( ) 12:52332

!!"+ d)

!

(15 " 3 # 22)2

+ ("2)33 : (2 " 3)

Ús de la calculadora. 19. Realitza amb la calculadora les operacions següents. Per a poder corregir l’activitat has d’escriure les tecles que polses i l’orde en què ho fas. Comprova el resultat amb wiris:

a) 52 )1(3523 !+!"+ b) ( ) 24

3523 !"+ c)32

53

!

+ d)( )

8

35232

!"+

e) 3382 !" + 4

16 f) 4

3

2

1

6

5

8

1 !+

!++

! g)

6

11

4

1

3

1

!

!

h)

14

3

2

1

110

3

5

2

4

1

7

2

!

!

!

!

20. (1r ESO) Fes les operacions amb la calculadora i arredonix el resultat a dos decimals. ( ) ( )43444532

23!+!"

21. Realitza amb la calculadora les operacions següents de números escrits en notació científica. Per a poder corregir l’activitat has d’escriure les tecles que polses i l’orde en què ho fas. a) 1310

1001,31023,1 !"! b) 451001,71023,2

!""" c) 47

1001,3102!!

"""!

Problemes amb potències o arrels. 22. (1r ESO) En una illa de cases hi ha 6 cases, cada una té 6 pisos i cada pis 6 vivendes i en cada vivenda hi ha una mitjana de 6 persones. Expressa en forma de potència el número mitjà de persones que hi viuen i troba el aquest número.

23. (1r ESO) Alba veu una notícia en la televisió i, quan arriba a classe, en cinc minuts li ho conta a 5 amics, cada un d’estos li ho conta cada 5 minuts a altres 5, i així successivament. Si el centre on estudia té 750 alumnes, quant de temps tarden a assabentar-se tots els alumnes del centre?

24. (1r ESO) Es desitja tancar una finca que té forma quadrangular i l’àrea de la qual és de 5776 2m . Si el

metre de tanca costa a 12 €, quant costa tancar-la? 25. (1r ESO) Una paret d’un bany és quadrada i té en total 144 taulellets quadrats. Si cada taulellet mesura 25 cm, quant mesura de longitud la paret? 26. (1r ESO) Escriu en forma de potència el nombre de besiaios que té cada persona, i calcula el resultat.

27. (1r ESO) Deixem caure una pilota des d’1 m d’altura. Cada bot puja d’alt els 3/4 de l’anterior. Escriu en forma de potència l’altura que aconseguirà al tercer bot, i troba el resultat.

28. (1r ESO) Un llibre de matemàtiques mesura de grossor m2

105,1!

" i té 280 pàgines. Calcula el grossor de cada full en metres i notació científica. 29. (1r ESO) Calcula en notació científica el nombre de segons que té un any bixest.

30. (1r ESO) Un cine té el mateix nombre de files que de columnes. Venen totes les entrades per a una sessió, obtenint 675 €. Si han venut cada entrada a 3 €, quantes files té el cine?



11

31. (1r ESO) Volem posar taulells en el sòl d’una habitació quadrada, i en cada costat caben 12 taulells. Si cada taulell costa 1,5 €, quant costen tots els taulells que necessitem? 32. (1r ESO) En quines xifres pot acabar un quadrat perfecte?

33. (1r ESO) Troba el nombre, l'arrel quadrada sencera del qual és 27 i dóna 15 de residu. 34. (1r ESO) Tenim una habitació quadrada de 4,5 m de costat i volem entaulellar-la amb taulells de 35 cm de costat. Quants taulells hem de comprar? 35. (1r ESO) Per a embalar calcetins, introduïm cada parell en una caixa xicoteta de forma cúbica. Alhora, fiquem les caixes xicotetes dins caixes més grans, de manera que caben 36 caixes xicotetes de calcetins en el fons d’una caixa gran i 6 caixes en cada columna. Escriu en forma de potència el nombre total de caixes de calcetins. Si cada caixa de calcetins costa 5 €, quin serà el valor de la caixa gran que conté les caixes xicotetes amb els parells de calcetins?

36. En una ciutat hi ha 25 centres educatius. Cada centre educatiu té 25 aules, i cada aula té 25 alumnes. Expressa en forma de potència de base el menor nombre enter possible el nombre total d’alumnes que té la ciutat, i troba el nombre d’alumnes. 37. El disc dur d’un ordinador té 1000 Gb de capacitat. Si 1 Gb = 210 Mb, 1 Mb = 210 Kb i 1 Kb = 210 bytes, quina és la capacitat del disc dur en bytes i notació científica?. Nota: És habitual considerar, per exemple, que 1000 bytes és 1 Kb en compte de 1000:1024=0.97656 Kb, ja que s’arredonix; d’ací que en el mercat un disc dur de 1000 Gb té 1.000.000.000.000 bytes en lloc del nombre calculat en l’exercici.

38. Una parcel·la és quadrada, i la mesura de la seua àrea és 6400 m2. Troba l'àrea d'una altra parcel·la, el costat de la qual siga el doble.

39. Es té un metre cúbic ple d’aigua destil·lada. Entre quantes persones podran alçar-ho si cada una pot amb 125 kg?



12

SOLUCIONS DELS EXERCICIS

1. Veure video.

2. Veure video. a) 64; b) 1; c) 5; d) 2; e) 2; f) 30 3. Veure video.

4. Veure video. a) 125/8; b) 3/8; c) 77/81; d) 4/25 5. Veure video.

6. Veure video. 7. Veure video.

8. Veure video. 9. Veure video.

10. Veure video. a) 29; b) a17; c) a/b7; d) 323! ; e) 3/2

11. Veure video.

12. Veure video. a) 308; b) 26,40; c) 3,04 m; 0,93 m 13. Veure video. a) 1± , b) 0; c) 5± ; d) No existeix;

e) 22; f) 15 aprox.; g) 42,48 14. Veure video. a) 1; b) 0; c) 2; d) –3; e) 10; f)

31623 << ; g) 3504

3 !<!<!

15. Veure video. a) 4; b) 9; c) –2; d) 5; e) 49; f) 9± ; g) 0; h) 1; i) 2; j) –2; k) 2

16. Veure video. a) 2; b) 6; c) 4; d) –3; e) 1/2; f) 2/3; g) –3/2

17. Veure video. a) 2; b) 3; c) a2; d) a; e) a2

18. Veure video. a) 18; b) 36; c) 1; d) –1 19. Veure video. a) 3; b) 3116; c) 4/3; d) 1/2; e) –14;

f) –13/24 ; g) 1/10; h) 1/4

20. Veure video. –50,21

21. Veure video. a) 131000877,3 !" ; b) 323,156 ; c)

111002,6

!"

22. Veure video. 64; 1296 persones 23. Veure video. Tardaran 20 minuts.

24. Veure video. 3648 € 25. Veure video. 3 m

26. Veure video. 23: 8 besiaios 27. Veure video. 0,753 ; 0,421875 m

28. Veure video. 0,0000536 m; -5105,356 ! m

29. Veure video. 7103,16224 ! sg

30. Veure video. 15 files 31. Veure video. 216 €

32. Veure video. 0, 1, 4, 5, 6, 9 33. Veure video. 744

34. Veure video. 169 taulells 35. Veure video. 1080 €

36. Veure video. 56 ; 15625 alumnes

37. Veure video. 121041,07374182 ! bytes

38. Veure video. 25600 m2

39. Veure video. 8 persones

tema 4 potències i arrels - instituto de enseñanza secundaria … · 2018-10-26 · tema 4:...

Documents