INTRODUCCIÓ A L’ÀLGEBRA

Llibre de text (2n-3r ESO)

Aquest document es troba en fase de desenvolupament

Gerard Romo Garrido

Toomates Coolección

Los documentos de Toomates son materiales digitales y gratuitos. Son digitales porque están pensados para ser consultados mediante un

ordenador, tablet o móvil. Son gratuitos porque se ofrecen a la comunidad educativa sin coste alguno. Los libros de texto pueden ser digitales o

en papel, gratuitos o en venta, y ninguna de estas opciones es necesariamente mejor o peor que las otras. Es más: Suele suceder que los mejores docentes son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel, esto es un hecho. Lo que no es aceptable, por inmoral y

mezquino, es el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales pretenden cobrar a los estudiantes, una y otra vez, por

acceder a los mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una bajísima calidad). Este modelo de negocio es miserable, pues impide el compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos, pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los

estudiantes y a las escuelas costosísimas líneas de Internet, pretende pervertir el conocimiento, que es algo social, público, convirtiéndolo en un

producto de propiedad privada, accesible solo a aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada, impidiendo el derecho del alumno de poseer todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo el libro.

Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más injusto, es

participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, en un mundo en el que las modernas tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el conocimiento sin coste alguno, con algo tan

simple como es un archivo "pdf". El conocimiento no es una mercancía.

El proyecto Toomates tiene como objetivo la promoción y difusión entre el profesorado y el colectivo de estudiantes de unos materiales didácticos libres, gratuitos y de calidad, que fuerce a las editoriales a competir ofreciendo alternativas de pago atractivas aumentando la calidad

de unos libros de texto que actualmente son muy mediocres, y no mediante retorcidas técnicas comerciales.

Este documento se comparte bajo una licencia “Creative Commons”: Se permite, se promueve y se fomenta cualquier uso, reproducción y edición de todos estos materiales siempre que sea sin ánimo de lucro y se cite su procedencia. Todos los documentos se ofrecen en dos

versiones: En formato “pdf” para una cómoda lectura y en el formato “doc” de MSWord para permitir y facilitar su edición y generar versiones

parcial o totalmente modificadas. Se agradecerá cualquier observación, comentario o colaboración a toomates@gmail.com

La biblioteca Toomates Coolección consta de los siguientes libros:

Problem-solving:

Geometría Axiomática GA pdf 1 2 ... 23 portada

Problemas de Geometría PG pdf 1 2 3 4 5 6 7

Introducción a la Geometría PI pdf doc

Teoría de números AR pdf 1 2 3

Trigonometría PT pdf doc

Desigualdades DE pdf doc

Números complejos PZ pdf doc

Álgebra PA pdf doc

Combinatoria PC pdf doc

Probabilidad PR pdf doc

Guía del estudiante de Olimpiadas Matemáticas OM pdf

Libros de texto (en catalán):

Introducció a l’àlgebra AI (en preparación)

pdf doc

Àlgebra AG pdf 1 2

Funcions FU pdf doc

Geometria analítica GN pdf 1 2

Trigonometria TR

pdf doc

Nombres complexos CO pdf doc

Àlgebra Lineal 2n batxillerat AL pdf doc

Geometria Lineal 2n batxillerat GL pdf doc

Càlcul Infinitesimal 2n batxillerat CI pdf 1 2

Programació Lineal 2n batxillerat PL pdf doc

Recopilaciones de pruebas PAU España:

Catalunya TEC ST , Catalunya CCSS SC , Galicia SG

Recopilaciones de pruebas PAU Europa:

Portugal A SP, Portugal B SQ

Recopilaciones de problemas olímpicos y preolímpicos:

IMO SI, OME SE, OMI SD, AIME SA , Cangur SR , Canguro SG , Kangourou SK ,

AMC12 (2008-2020) SM

Versión de este documento: 13/09/2020

Todos estos documentos se actualizan constantemente. ¡No utilices una versión anticuada! Descarga gratis la última versión de los documentos en los enlaces superiores.

www.toomates.net

Índex

1 Fraccions. →

2 Nombres decimals. →

3 Potències i arrels. →

4 Equacions de primer grau. →

5 Equacions de primer grau amb dues incògnites. →

6 Sistemes d’equacions de primer grau. →

7 Polinomis. →

8 Equacions de segon grau. →

Solucions. →

L'àlgebra és una de les principals branques de les matemàtiques, que es pot considerar com una

generalització i extensió de l'aritmètica. El terme àlgebra, ve de l'àrab al-djebr (ربجلا ) i

significa "restauració", i és part del títol d'un tractat de l'any 830 escrit pel matemàtic persa al-

Khwarizmi: Al-Kitab almuhtasar fi hirab al-Jabr wa-l-muqabala ("Llibre condensat del càlcul

per restauració i reducció").

1 Fraccions.

1.1 El concepte de fracció. Fraccions equivalents.

Una fracció és una expressió b

a, amb a i b nombres enters i 0b . El nombre a

s’anomena numerador i el b , denominador.

Les paraules numerador i denominador deriven del llatí numeros (nombre) i denominare

(allò que defineix).

Dues fraccions b

a i

d

c són equivalents, i ho escrivim

d

c

b

a , si es compleix

cbda .

Dues fraccions són equivalents si i només si defineixen el mateix valor numèric, la

mateixa quantitat:

1.1.1

Escriu la fracció que representa la part acolorida de cada figura:

1.1.2

Escriu la fracció que representa la part pintada d’aquestes figures.

1.1.3

Representa visualment les següents fraccions com a regions pintades:

1.1.4

Observa detingudament i respon:

a) Quina fracció dels objectes són verds?

b) Quina fracció dels objectes són quadrats?

c) Quina fracció dels objectes són rectangles?

d) Quina fracció dels objectes són quadrilàters?

e) Quina fracció dels objectes no tenen eix de simetria?

1.1.5

Determina les fraccions equivalents a 3

2:

(a) 2

3 (b)

9

4 (c)

6

4 (d)

4

9

1.1.6

Completa els nombres que falten per tal que les fraccions siguin equivalents:

a) 21

...

7

4 b)

45

...

5

3 c)

130

...

13

5 d)

24

...

8

6 e)

9

...

18

10

1.1.7

Escriu una fracció equivalent a 10

7 amb denominador 150.

1.1.8

Agrupa, entre les fraccions següents, les que siguin equivalents:

15

10 ,

7

5 ,

3

1 ,

3

2 ,

6

2 ,

21

15 ,

15

5

1.2 Simplificació de fraccions. Fracció irreductible.

Propietat fundamental de les fraccions:

bn

an

b

a per a qualsevol 0n

La fracció irreductible d’una fracció donada és la fracció equivalent en la qual el

numerador i el denominador no tenen divisors comuns diferents de la unitat (és a dir,

són nombres coprimers). A més a més, el denominador serà positiu. La fracció

irreductible és sempre única.

Podem tatxar factors (multiplicacions), però mai tatxarem sumes o restes!

7

5

37

35

21

15

però

16

10

516

510

21

15

Mètodes per a trobar la fracció irreductible.

Primer mètode (Per tempteig).

Anem dividint numerador i denominador fins a esgotar tots els divisors comuns.

Segon mètode.

Determinem la factorització en factors primers del numerador i del denominador, i

restem exponents (és a dir, dividim el numerador i el denominador de la fracció entre el

Mcd de tots dos).

Exemple resolt. (Primer mètode)

Determina la fracció irreductible associada a la fracció 10

8

Solució.

Veiem que tots dos són nombres parells, per tant tots dos es poden dividir entre 2:

5

4

52

42

10

8

Ara observem que 4 i 5 són clarament coprimers, per tant ja hem acabat.

Exemple resolt. (Segon mètode)

Determina la fracció irreductible associada a la fracció 40

16

5

2

52

2

52

2

40

16

5240

2163

4

3

4

3

4

1.2.1

Calcula la fracció irreductible d’aquestes fraccions:

a) 72

240 b)

84

294

c)

64

48

1.2.2

En una marató han pres l’eixida 1155 participants, però durant la prova han abandonat

330. Quina fracció del total dels inscrits ha arribat al final?

1.2.3

Simplifica:

a) 42

30 b)

72

18 c)

125

75 d)

210

60 e)

4000

2000

1.3 Passar fraccions a comú denominador.

Donades dues fraccions, sempre podem trobar altres dues, equivalents, amb el mateix

denominador. Per exemple:

60

25

512

55

12

5

60

42

610

67

10

7

Mètodes per passar dues fraccions a comú denominador:

Mètode ràpid: Multiplicar denominadors.

Mètode lent: Determinar el mcm dels denominadors.

L’únic inconvenient del mètode ràpid és que les fraccions obtingudes no sempre

quedaran irreductibles, i, si és necessari, les haurem de simplificar.

Exemple resolt.

Passa les fraccions 6

5 i

4

1 a comú denominador.

Solució.

Amb el mètode ràpid:

24

6,

24

20

24

6

64

61

4

1

24

20

46

45

6

5

2446

Amb el mètode lent:

12

3,

12

10

12

3

34

31

4

1

12

10

26

25

6

5

12)6,4(

mcm

Observem que en tot moment estem obtenint fraccions equivalents, és a dir, representen

les mateixes quantitats:

Exemple resolt.

Passa les fraccions 8

9 i

7

12 a comú denominador.

Solució.

Aquí veiem que 8 i 7 no tenen divisors comuns, i per tant 5678)7,8( mcm .

56

96,

56

63

56

96

87

812

7

12

56

63

78

79

8

9

5678)7,8(

mcm

1.3.1

Redueix a comú denominador les parelles de fraccions següents:

a) 10

2,

5

3 b)

12

7,

6

5 c)

4

3,

8

5 d)

15

7,

5

3 e)

14

3,

7

2

1.4 Suma i resta de fraccions amb el mateix denominador.

Per sumar o restar fraccions amb el mateix denominador, sumem o restem els

numeradors i deixem el mateix denominador.

c

ba

c

b

c

a

1.4.1

Completa gràficament i numèricament les sumes següents:

a) 9

4

9

2

b) 6

1

6

3

6

2

1.4.2

En Ferran gasta 20

8dels seus diners en uns pantalons,

20

6en unes sabates i

20

5 en un

llibre. Quina fracció del total dels diners s’ha gastat? Quina fracció del total li queda?

1.4.3

Del meu pastís d’aniversari n’hem menjat 10

2 els meus pares,

10

3 els meus

cosins, 10

1 els meus avis,

10

4 els meus germans. M’ha quedat pastís per a mi?

1.5 Suma i resta de fraccions amb diferent denominador.

Per sumar o restar fraccions amb diferent denominador, primer hem de passar les

fraccions a comú denominador.

Exercici resolt.

Calcula 8

3

12

5

Solució.

24

19

24

9

24

10

8

3

12

5

24

9

38

33

8

3

24

10

212

25

12

5

24)8,12(

mcm

Mètode ràpid per sumar o restar fraccions: Multiplicar en creu.

96

76

96

3640

812

12385

8

3

12

5

El problema del “mètode ràpid” és que la fracció obtinguda no sempre estarà

simplificada:

24

19

48

38

96

76

1.5.1

Calcula:

a) 5

1

3

1

2

1 b)

4

3

9

1

6

5 c)

45

1

30

1 d)

60

7

40

3

30

11

1.5.2

Calcula:

a)

3

2

6

13 b)

2

75

3

22 c)

3

12

5

3 d)

2

3

15

1.5.3

Calcula:

a) 20

5

12

1 b)

25

7

15

11 c)

20

13

30

11 d)

49

2

14

1 e)

27

4

18

5

1.5.4

Calcula:

a) 25

4

10

20 b)

12

4

18

21 c)

9

8

15

18 d)

21

3

14

11 e)

25

7

20

13

1.6 Multiplicació i divisió de fraccions.

Per multiplicar fraccions multipliquem numerador per numerador i denominador per

denominador:

db

ca

d

c

b

a

Per dividir fraccions multipliquem en creu (“el caramelet” de tota la vida):

cb

da

d

c

b

a

1.6.1

Calcula i simplifica el resultat.

a) 25

12

4

5 b)

21

2

8

7 c)

21

10

5

3

d)

16

21

7

4

1.6.2

Calcula i simplifica el resultat.

a) 4

3

4

5 b)

11

7

8

7 c)

5

7

5

2 d)

21

4

7

4

1.6.3

Calcula i simplifica el resultat.

a) 8

1

4

3 b)

3

2

5

2 c)

3

43

1.7 Operacions combinades amb fraccions.

1.7.1

Calcula:

a)

5

4

3

2:

5

1

4

1

7

2

3

4 b)

5

3:

5

1

2

1

4

5

3

2

4

1

c)

5

3

2

32

11

3

4

1

d)

2

1

2

5

3

4:

2

1

18

7

4

1

2

3

6

52

1.7.2

Calcula:

a)

2

11

2

11

b)

3

53

3

53

c)

4

3

10

75

3

4

1

d)

14

3

14

3

4

1

1.8 Comparació de fraccions.

Comparar o sumar fraccions és molt senzill quan tenen el mateix denominador: La

fracció més gran serà la que tingui el numerador més gran.

Per exemple: 7

4

7

2

és per això, quan no tenen el mateix denominador, les hem de passar a comú

denominador.

Exemple resolt.

Ordena de menor a major les següents fraccions: 20

11,

30

13,

12

7.

Solució.

1r pas: Calculem denominador comú:

60532)20,30,12(

5220

53230

32122

2

2

mcm

2n pas: Passem les fraccions a comú denominador:

12

7

20

11

30

13

60

35

60

33

60

26

60

33

320

311

20

11320:60

60

26

230

213

30

13230:60

60

35

512

57

12

7512:60

1.8.1

Ordena de major a menor 18

13,

4

3,

9

5,

6

4,

12

7

1.9 Percentatges enters.

Un percentatge es una fracció amb denominador 100 “amagat”. Per exemple:

100

7%7

El seu propi nom per-cent indica que hi ha un 100 invisible.

1.9.1

Expressa mitjançant fraccions irreductibles els següents percentatges:

a) 50 % b) 25 % c) 75 % d) 150 % e) 10 % f) 200 %

1.9.2

Dóna en forma de fracció i mitjançant percentatge la part acolorida de les figures

següents:

a) b)

1.9.3

Expressa en forma de fracció i mitjançant percentatge la part acolorida de les figures:

1.10 Fracció d’una quantitat.

1.10.1

Calcula mentalment:

a) 3

2 de 60 b)

4

3 de 100 c)

500

3 de 1000

d) La meitat de 5

3 e) La tercera part de

7

12

1.10.2

Calcula:

a) 32

5 de 224 b)

8

17 de 120

2 Nombres decimals.

2.1 Concepte de nombre decimal. Operacions amb nombres decimals.

Un nombre decimal té una part entera, situada a l’esquerra de la coma, i una part

decimal, situada a la dreta.

a) Decimal finit: té un nombre finit de xifres decimals. Exemple: 3.25

b) Decimal periòdic pur: té un conjunt de xifres decimals que es repetixen

indefinidament després de la coma. S’anomena període al conjunt de xifres que es

repetix, i es representa amb un arc damunt de les xifres.

c) Decimal periòdic mixt: el període comença després d’algunes xifres decimals que no

es repetixen. S’anomena avantperíode al conjunt de xifres que no es repetixen i que

estan entre la coma i el període.

2.2 Com passar de fracció a decimal.

Per passar de fracció a decimal farem la “divisió amb coma”:

Exemple resolt.

Determina el nombre decimal associat a la fracció 8

73

Solució.

Fem la divisió 73 entre 8:

125,98

73 , i es tracta d’un decimal exacte.

Exemple resolt.

Determina el nombre decimal associat a la fracció 7

11

Solució.

Fem la divisió 73 entre 8:

Veiem que la divisió no s’acaba mai, i pert tant es tracta d’un decimal periòdic:

...285714285714285714,17

11

2.2.1

Expressa en forma decimal aquestes fraccions:

a) 5

3 b)

9

5 c)

4

11 d)

6

29

2.3 Com passar de decimal a fracció. Les fraccions generatrius.

1. Nombre decimal exacte.

100

52727,5

Numerador: Part entera i decimal sense coma

Denominador: Unitat seguida de tants 0 com cifres decimals hi hagi.

2. Nombre periòdic pur.

99

663838,6

Numerador: Part entera i decimal sense coma menys la part entera.

Denominador: Tants 9 com xifres té el període.

3. Nombre periòdic mixt.

990

393953539,3

Numerador: Part entera i decimal sense coma menys la part entera i decimal no

periòdica.

Denominador: Tants 9 com xifres té el període i tants 0 com xifres té

l’anteperíode.

Exemple resolt.

a) Expressa el nombre decimal 8,4 en forma de fracció irreductible.

5

42

10

844,8

b) Expressa el nombre decimal 3,45 en forma de fracció irreductible

20

69

100

34545,3

c) Expressa el nombre 5,928 en forma de fracció irreductible

125

741

250

1428

500

2964

1000

5928928,5

2.4 Percentatges.

Recordem que a l’apartat 1.7 vam definir un percentatge com una fracció amb

denominador 100 “amagat”.

També podem definir un percentatge com unes centèsimes amb una coma “amagada”:

17.0%17

Les dues definicions són perfectament compatibles:

100

1717.0%17

2.4.1

Expressa en forma decimal els percentatges següents:

a) 20 % b) 18 % c) 3 % d) 150 %

2.5 El triangle dels nombres racionals.

Els decimals, les fraccions i els percentatges són les tres formes que poden pendre els

nombres racionals.

La Santíssima Trinitat matemàtica

2.5.1

Completa la següent taula:

Fracció Decimal Percentatge

2

1

4

3

0.6

80 %

0.25

10%

10

7

0.9

2.6 Aproximació.

Aproximar un nombre consisteix a substituir-ne el valor exacte per un nombre proper.

Si el valor aproximat és més gran que l’exacte, l’aproximació s’anomena per excés; si

és més petit, per defecte. Existeixen dues formes d’aproximació: arrodoniment i

truncament.

Truncament.

Consisteix en suprimir les xifres decimals a partir d’un ordre determinat. Per tant,

sempre és per defecte.

Arrodoniment.

És el mètode més usual. Per arrodonir un nombre fins a un ordre d’aproximació

determinat, suprimim les xifres a partir d’aquest ordre i procedim així:

- Si la primera xifra que se suprimeix és més petita que 5 (0,1,2,3,4), deixem igual

l’última xifra que es conserva, (obtenint una aproximació per defecte).

- Si la primera xifra que se suprimeix és més gran o igual que 5 (5,6,7,8,9), augmentem

en una unitat l’última xifra que es conserva, (obtenint una aproximació per excés).

Exemple resolt.

Aproximem el valor real .35897932..3.14159265

Xifres decimals Per Truncament Per Arrodoniment

0 3 3

1 3.1 3.1

2 3.14 3.14

3 3.141 3.142

4 3.1415 3.1416

5 3.14159 3.14159

6 3.141592 3.141593

2.7 Mesura de l’error.

Quan s’aproxima un nombre real, inevitablement es comet un error. Per quantificar-lo,

s’introdueix el concepte d’error absolut.

L’error absolut, aE , comès quan s’aproxima un nombre real és el valor absolut de la

diferència entre el nombre real i l’aproximació

aproximatValor - realValor aE

L’error relatiu, rE , comès quan s’aproxima un nombre real és el quocient entre l’error

absolut i el nombre real, (i multiplicat per 100 per expressar-lo en forma de percentatge)

100realValor

absolutError aE

Exemple resolt.

S’aproxima 2.347 per 2.3, L’error absolut que es comet és

047.02.3-2.347 aE

L’error relatiu comès és:

%21002.347

0.047rE

3 Potències i arrels.

3.1 Potències d’exponent enter positiu.

Una potència és la representació simplificada d’una multiplicació repetida:

5333333

En general:

vegadesn

n aaaa ...

A més a més, hem de memoritzar dos casos especials: aa 1 , 10 a

Per exemple, 551 , 150

3.1.1

Escriu en forma de potència aquestes multiplicacions:

a) 22222222

b) )4()4()4(

c) 3

5

3

5

3

5

3

5

3

5

3

5

3

5

3

5

3

5

Si la base és negativa, el parèntesi és necessari! nn aa )(

4)2)(2()2( 2

42222

3.1.2

Calcula:

a) 34 b) 32 c) 27 d) 42 e) 27

f) 25 g)

2

3

5

h)

2

9

10

3.2 Potències d’exponent negatiu.

Un exponent negatiu equival a una divisió:

n

n

aa

1

Per exemple: 9

1

3

13

2

2 , 64

1

4

14

3

3

En particular: aa

a11

1

1

Operacions combinades amb potències.

Recorda l’ordre de prioritats de les operacions combinades:

1r Es calculen les operacions entre parèntesis, començant pels parèntesis més interiors.

2n Es calculen les potències.

3r Es calculen les multiplicacions i divisions, d’esquerra a dreta.

4t Es calculen les sumes i restes, d’esquerra a dreta.

3.2.1

Calcula:

a) 2325 b) 32132 c) 2364

d) 745312 2

3.2.2

Redueix a un sol nombre racional:

a)

2

3

1

b)

2

3

1

c)

2

3

1

d)

2

5

2

e)

5

5

1

2

1

f)

55

5

1

2

1

g)

2

3

2

h)

32

2

1

3.3 Propietats de les potències.

Producte i quocient de potències de la mateixa base:

mnmn aaa mn

m

n

aa

a

Potència d’un producte i d’una divisió:

nnnbaba

n

nn

b

a

b

a

Potència d’una potència:

mnmn aa

Potència d’una suma no és suma de potències!

Com pots veure, entre les potències i les multiplicacions i divisions hi ha bon

rotllo i tot funciona bé: Potència d’un producte es producte de potències,

potència d’una divisió es divisió de potències...

Però entre potències es porten a matar amb les sumes i restes. Són enemics

irreconciliables! La potència d’una suma no és suma de potències: 222 32)32(

La potència d’una resta no és resta de potències: 222 25)25(

3.3.1

Simplifica les següents expressions:

a) 35 xx b) 35x c) 352x d)

3

5

2

2

x

x e) 32x f) 23x

3.3.2

Simplifica l’expressió

232

2344

2

2

baab

ababa

(on suposem 0, ba )

3.3.3

Simplifica les següents expressions.

a) 452 xx b) 452 xx c) 452x d) 322

xyxy e) 243 22 aa

f) 2323 22 ababa g)

23

325

2

2

yx

yx h)

22

223

6

32

aba

baab

3.3.4

Escriu les següents expressions en forma de un sol nombre o d’una única potència.

a) 1

12

9

3

x

x

b)

32

12

4

28

b

bb

c) xx 312 255

3.3.5

Simplifica les següents expressions.

a) 23 b) 23 c) 432a d) 342a e) 322 ba

f) 322 ba g) 32

2 ba h) 3

54

m

mm i) 352 23 pqqp j)

23

362

a

aa

k)

23

2233

10

45

st

tstts m)

3

4322

2

23

ab

baab

n)

4292

223432

22

22

yxyx

yxxyyx

l) 2532 xxyxy o)

3

2

32

2

53

6

12

3

6

b

ab

ab

ba

3.3.6

Escriu les següents expressions en termes d’un únic nombre o d’una única potència.

a) 2

12

4

2

x

x

b) 112

1

52

100

xx

x

c) 12

2

6

49

x

xx

3.4 Notació científica.

En notació científica, un nombre no nul s’escriu com a producte d’un nombre més gran

o igual que 1 i més petit que 10, multiplicat per una potència de 10 d’exponent enter.

na 10 amb n enter i 101 a

Per tant un nombre com 156.234.000.000.000.000.000.000.000.000 pot ser escrit com a

1,56234 × 1029

, i un nombre petit com a 0,0000000000234 pot ser escrit com 2,34 × 10-

11.

Per exemple, la distància als confins observables del univers és aproximadament 4.6 ×

1026

m i la massa d'un protó és ~1,67 × 10-27

quilograms

La notació científica també evita diferències regionals de denominació, notablement el

terme "bilió" que pot donar lloc a equivocacions, ja que en alguns països (com el nostre)

un bilió és 1012

(un milió de milions), mentre que als Estats Units, quan diuen un bilió,

volen dir 109 (un miler de milions).

La notació científica se basa en les potències de 10. Completa la següent taula:

310 210 110

010 110 210 310

Per passar a notació científica només cal “moure la coma”:

3.4.1

Escriu en notació científica:

- El radi del Sol és 695 700 000 metres.

- La distància entre la Terra i el Sol és d’aproximadament 149 600 000 000 metres.

- Un mol de partícules són, aproximadament, 602 214 076 000 000 000 000 000

partícules.

3.4.2

Escriu en notació científica:

a) 21 000 000 000

b) 300 000 000 000

c) 325 000 000

3.5 Arrels.

Una arrel és l’operació inversa de la potència:

525 perquè 2552

283 perquè 823

No sempre existeix una arrel. Per exemple, els nombres negatius no tenen arrel

quadrada, perquè no hi ha cap nombre que elevat al quadrat sigui negatiu.

Una arrel, si existeix, és sempre única i positiva.

Alguns autors defineixen les arrels de forma diferent: Defineixen l’arrel

quadrada de 25 com el conjunt de solucions de l’equació 252 x , i per tant

diuen: “L’arrel quadrada de 25 és 5 i també -5 perquè 2552 i 25)5( 2 ”.

Però per a nosaltres, una arrel serà sempre un únic nombre.

3.5.1

Calcula les següents arrels. Justifica, fent servir les potències, els teus resultats.

a) 4 b) 100 c) 3 27 d) 36 e) 4 81

3.5.2

Calcula, si és possible.

a) 81 b) 1 c) 4 d) 36 e) 4

1

f) 4

9 g) 49 h) 100

3.5.3

Calcula:

a) 121

144 b) 3

125

8 c) 5

32

100000

3.5.4

Calcula, si és possible, i raona la teva resposta:

a) 3

64

27 b)

25

16 c) 4

81

1 d) 5

243

32

3.6 Operacions combinades amb potències i arrels.

3.6.1

Calcula.

a)

2

4

3

b)

2

3

2

c) 335 d) 4210 e) 33 14

f) 243 g) 325 h) 2212 i) 432106

j) 184312 k) 325422 l) 24835

k) 2254952 l) 24952 m) 10

7

9

5

5

3

5

32

n) 6

5

9

5

3

2

2

1

o)

2

22

3

810 p)

416

3716 2

3.6.2

Calcula:

a) 71636525102

b)

2)3(15

35)3( 23

c) 625183236 2 d) 2)21(

11)57(

4 Equacions de primer grau.

4.1 Igualtats, identitats i equacions.

Una identitat és una igualtat algèbrica que es compleix per a qualsevol valor numèric

que assignem a la lletra o a les lletres que apareixen en els seus membres. Per exemple:

951)2(5 xx

És una identitat perquè es compleix sigui quin sigui el valor de x.

Una equació és una igualtat algèbrica que només es verifica per a determinats valors de

la part literal o incògnita. Per exemple, aquesta igualtat

1753 x

és una equació perquè només és certa si 4x .

1753 x és una equació de primer grau amb una sola incògnita, la x. El grau d’una

equació fa referència a l’exponent al qual està elevada la incògnita. En aquest cas

és 1, per això és una equació de primer grau. Té només una solució, 4x .

Resoldre una equació de primer grau amb una incògnita és trobar el valor numèric de la

incògnita que verifi ca la igualtat.

Una equació de primer grau amb una incògnita té sempre una única solució o bé no en

té.

4.1.1

Comprova (sense resoldre l’equació):

a) Si x = – 5 és solució de l’equació 93)7(2 xx .

b) Si x = – 11 és solució de l’equació )5(495 xx .

c) Si x = 2 és solució de l’equació 156273 xxx .

d) Si x = – 1 és solució de l’equació 62124 xx .

4.2 Equacions equivalents. Equacions de primer grau elementals.

Dues equacions són equivalents si tenen la mateixa solució.

Si sumem (o restem) un mateix nombre als dos membres d’una igualtat, s’obté una

equació equivalent.

Si multipliquem (o dividim) els dos membres d’una igualtat per un mateix nombre

diferent de zero, s’obté una equació equivalent.

L’aplicació d’aquestes propietats ens permet transformar qualsevol equació en una altra

de més senzilla que té la mateixa solució que l’equació inicial.

Exemple resolt.

Resol l’equació 171)3(4 x .

Solució.

5

3233

23

4

8

4

)3(4

8)3(4

1911)3(4

91)3(4

x

x

x

x

x

x

x

A la pràctica, això equival a fer una transposició de termes:

Si un terme està sumant en un membre, passa a l’altre restant; i si està restant, passa

sumant.

Si un terme està multiplicant en un membre, passa a l’altre dividint; i si està dividint,

passa multiplicant.

5

32

23

4

83

8)3(4

19)3(4

91)3(4

x

x

x

x

x

x

x

4.2.1

Resol les següents equacions.

a) 154 x b) 117 x c) 56 x d) 421 x

e) 123 x f) x420 g) 25

x h) 5

7

x

Vigila quan hi ha “signe menys” abans de la incògnita. Danger! Danger!

És com si la x estigués multiplicada per -1:

61

6

6)1(

115)1(

5)1(11

511

x

x

x

x

x

4.2.2

Resol les següents equacions.

a) 47 x b) 1320 x c) 615 x d) x 814

4.2.3

Resol les següents equacions.

a) 312 x b) 1835 x c) 235 x d) 1394 x

e) x357

4.2.4

Resol les següents equacions.

a) xx 415 b) 1237 xx c) xx 37210 d) xx 7235

4.2.5

Resol les següents equacions.

a) 197 x b) 283 y c) 264 x d) 4

3

8

t

e) 35

2a f)

24

7

8

3 x g) 6246 q h) 25152 w

i) 35174 y j) 83256 z k) 25 b l) 16 y

4.3 Equacions de primer grau senzilles.

Exemple resolt.

Resol l’equació 182128 xx

Solució.

Primer pas: Agrupar tots els termes amb x al mateix costat i tots els termes independents

(sense x) a l’altre costat. (Recorda canviar el signe)

Segon pas: Fem les operacions:

Tercer pas: Acabem d’aïllar la x. (Movem el 10)

4.3.1

Resol les següents equacions.

a) 732833 xxx b) 141556 xx c) 46258 xxx

d) 529123 xx e) 7910624 xx

4.4 Equacions de primer grau amb parèntesis.

4.4.1

Resol les equacions següents.

a) 1425 xx b) 2713 xx c) 4536 xx

d) 101423 xx e) 152375 xx

Signe abans de parèntesi: Canvia el signe de tots els termes del parèntesi.

No te’n deixis cap!

Signe sol davant de parèntesi:

Signe amb número davant del parèntesi

4.4.2

Resol les equacions següents.

a) 3527 x b) 217411 x c) 436052 xx

d) 527234 xx

4.4.3

Resol les següents equacions.

a) 5263 xx b) 45413 yy c) 43526 tt

d) 132251 pp e) 421036 aa f) 19328 bbb

g) zz 3241252 h) 17103 www

i) yyyy 5532346 j) 1265413 www

k) 65245214 xxx l) 137628 ppp

m) 13534285 xxx

4.4.4

Resol les següents equacions.

a) 4372 xx b) )1(325 xx c) 8)5(2)1(4 xx

d) xx 5)1(23 e) )7(542 xx f) xx 23)2(94

g) 65103 xx h) xx 619417 i) 4)5(2)3(3 xx

j) 90)6(2)4(8 xx k) )2(5)1(3 xxx

4.5 Equacions amb denominadors.

Els denominadors marxan multiplicant tota l’equació pel mcm dels denominadors.

Exemple resolt.

Resol l’equació 10

42

2

4

5

2

xxx

Solució.

Calculem el mcm dels tres denominadors: 10)10,2,5( mcm

Multipliquem tota l’equació:

24

8

84

24164

24163

42020542

41204522

10

410210

2

410

5

210

10

4210

2

4

5

210

10

42

2

4

5

2

x

x

x

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

4.5.1

Resol l’equació 2

23

4

3

8

1

xx

4.5.2

Resol les següents equacions.

a) 2

54

10

9 w b) 9

4

33 x c)

2

12

8

3

4

5

yy

d) 2

25

6

2

3

2

xx e) y

y

2

3

10

92

4.5.3

Resol les següents equacions:

a) 5

63

3

53

2

73 xxx

b)

24

135

5

42 yyy

c) 010

2

5

52

15

93

aaa

4.5.4

Resol els següents problemes amb angles:

a) b)

c) d)

e) f)

4.5.5

Determina els angles de cada triangle.

a) b)

5 Equacions de primer grau amb dues incògnites.

Una equació de primer grau amb dues incògnites és una igualtat del tipus

cbyax

on cba ,, són nombres reals tals que a i b són diferents de zero i x i y són les

incògnites.

Les equacions d’aquest tipus tenen un nombre il·limitat de solucions.

5.1 Interpretació gràfica de les equacios de primer grau amb dues incògnites.

Podem donar una interpretació gràfica de les solucions d’una equació de primer grau

amb dues incògnites. Per fer-ho, començarem representant les solucions obtingudes en

un sistema de coordenades cartesianes. Assignarem a cada solució de l’equació,

formada per un parell de nombres x i y, el punt del pla de coordenades (x, y).

En general, qualsevol equació de primer grau amb dues incògnites té un nombre

il·limitat de solucions, la representació gràfica de les quals són punts que pertanyen a

una mateixa recta.

Exemple resolt.

Representa gràficament el conjunt de solucions de l’equació

732 yx

Solució.

Primer pas: Aïllem la y:

3

72

723

273

732

xy

xy

xy

yx

Segon pas: Anem trobant solucions assignant valors a la x:

33.23

7

3

7020

yx 67.1

3

5

3

7121

yx

13

3

3

7222

yx 33.0

3

1

3

7323

yx

33.03

1

3

7424

yx 1

3

3

3

7525

yx

Tercer pas: Representem les coordenades dels punts gràficament.

El conjunt solució d’una equació de primer grau amb dues incògnites es una recta. Per

tant, només cal determinar dos punts.

5.1.1

Representa gràficament les següents rectes.

a) 22

7 xy b) 36 xy

c) 5y d) 15

6 xy

e) 24

1 xy f) 3

3

1 xy

6 Sistemes d’equacions de primer grau.

Resoldre un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites consisteix a

trobar els valors d’aquestes incògnites que verifi quen a la vegada les dues equacions.

6.1 Reducció mitjançant suma o resta d’equacions.

Exemple resolt.

Resol el sistema

933

73

yx

yx

Solució.

Sumem les dues equacions:

164

933

73

x

yx

yx

Veiem que s’eliminen les “y” i podem aïllar la “x”: 44

16164 xx

Calculem el valor de “y” substituint el valor que hem obtingut de “x”:

13

3347373473

yyyyx

El sistema té com a solució 4x , 1y

Comprovem que la solució que hem obtingut és correcta:

734)1(343 yx

9312)1(34333 yx

6.1.1

Resol els següents sistemes, sumant o restant equacions.

a)

1232

2436

yx

yx b)

168

32

yx

yx c)

1642

1232

yx

yx

d)

2446

1527

yx

yx e)

3045

1025

yx

yx f)

1243

2847

yx

yx

g)

3045

1025

yx

yx

6.2 Reducció mitjançant multiplicacions.

Exemple resolt.

Resol el sistema

554

310

yx

yx

Solució.

Veiem que aquí no podem aplicar el mètode de les sumes o restes, però podem

multiplicar la primera equació per 4:

554

12404

554

310

yx

yx

yx

yx

I ara ja podem aplicar el mètode anterior, restant la segona equació a la primera:

735

554

12404

y

yx

yx

Resolem l’equació de primer grau que en resulta:

5

1

35

7735 yy

Calculem el valor de l’altra incògnita substituint el valor que hem obtingut en qualsevol

de les dues equacions del sistema:

1233235

110310 xxxyx

El sistema té com a solució: 1x , 5

1y

Comprovem que la solució que hem obtingut és correcta:

3215

110110 yx

5145

151454 yx

6.2.1

Resol els següents sistemes, aplicant el mètode anterior:

a)

175

023

yx

yx b)

52

632

yx

yx c)

32

23

yx

yx

d)

2076

654

yx

yx e)

1416

824

yx

yx

6.2.2

Resol els següents sistemes:

a)

1829

2446

yx

yx b)

2685

22415

yx

yx c)

538

54

yx

yx

6.2.3

Resol els següents sistemes:

a)

272

3033

yx

yx b)

2864

2883

yx

yx

6.2.4

Simplifica i resol.

a)

2824

1264

yx

yx b)

856

286

yx

yx c)

077

1275

yx

yx

d)

1657

887

yx

yx e)

13512

426

yx

yx f)

1389

844

yx

yx

g)

201010

663

yx

yx h)

1837

25510

yx

yx i)

xy

yx

927

20155

j)

225

4410

yx

yx

6.3 Mètode gràfic.

Des d’un punt de vista geomètric, equival a determinar el punt d’intersecció de dues

rectes.

Exemple resolt.

Resol gràficament el sistema

32

32

yx

yx

Solució.

Primer pas. Representem gràficament les solucions de les dues equacions en un mateix

sistema de coordenades cartesianes. Tal com hem fet abans, ens limitarem a trobar

només dues solucions per a cada equació.

Primera equació:

yxyx 3232

13222 yx

53)1(21 yx

Segona equació:

xyyx 2332

51231 yx

3)3(233 yx

Representem-ho gràficament:

Observem que les dues rectes Les dues rectes es tallen en el punt (0, –3).

Comprovem la solució obtinguda:

3)3(02

3)3(02

6.3.1

Resol els següents sistemes amb el mètode gràfic.

a)

23

43

xy

xy b)

3

2

y

xy

c)

37

3

yx

yx d)

3

24

yx

yx

6.4 Estudi de sistemes.

El nombre de solucions d’un sistema de dues equacions de primer grau equival a

l’estudi de les posicions de dues rectes en el pla. Podem trobar-nos amb tres situacions

diferents:

Les dues rectes es tallen en un punt. Aquest sistema d’equacions té una única solució.

Diem que és compatible determinat.

Les dues rectes són paral·leles. Les dues rectes no tenen cap punt en comú. El sistema

no té solució. Diem que és incompatible.

Les dues rectes són coincidents. Es tracta d’un sistema amb un nombre il·limitat de

solucions. Diem que és compatible indeterminat.

6.5 Repàs de sistemes.

6.5.1

Resol els següents sistemes.

a)

102

153

zu

zu b)

173

326

yu

yu c)

3636

3343

uc

uc

d)

2225

186

vu

vu e)

173

1822

xa

xa f)

4266

3225

va

va

g)

8

132

vb

vb h)

92

1743

ua

ua

7 Polinomis.

7.1 Simplificació d’expressions.

7.1.1

Simplifica les següents expressions.

a) 18234 x b) sstts 10825113 c)

4

4

163

3

1ww

7.1.2

Simplifica les següents expressions.

a) 54327 x b) yyzyz 834106 c) 22

514

2

1 pp

8 Equacions de segon grau.

Una equació de segon grau amb una incògnita és una equació que es pot expressar de la

forma

02 cxbxa

en què cba ,, són nombres reals i 0a .

Si b i c són nombres diferents de zero, diem que l’equació és completa. Si b o c és

igual a zero, diem que l’equació és incompleta.

8.1 Equacions de segon grau completes.

Per obtenir les solucions d’una equació de segon grau completa podem fer servir la

fórmula general:

a

bx

2

On acb 42 s’anomena discriminant de l’equació.

El doble signe indica que hi pot haver dues solucions, amb la suma i amb la

resta:

a

bx

21

,

a

bx

22

8.1.1

Determina el discriminant de les següents equacions.

a) 0752 2 cc b) 0942 yy c) 0427 2 mm

d) 078 2 xx e) 056 2 s f) 0683 2 ww

g) 0189 2 rr h) 014 2 a i) 0610 2 tt

j) 0295 2 nn

Exemple resolt.

Resol l’equació 0633 2 xx

Solució.

Primer pas: Indentifiquem cba ,, : 3a , 3b , 6c

Segon pas: Determinem el discriminant:

81729)6(34)3(4 22 acb

Tercer pas: Apliquem la fórmula:

16

6

6

93

26

12

6

93

6

93

32

81)3(

2a

bx

Comprovem les solucions obtingudes:

06612664362323 2

06663136)1(3)1(3 2

8.2 Nombre de solucions d’una equació de segon grau.

El signe del determinant ens permet saber el nombre de solucions d’una equació de

segon grau:

0 l’equació té dues solucions diferents

0 l’equació només té una solució.

0 l’equació no té solució.

8.2.1

Calcula el determinant d’aquestes equacions i dedueix el nombre de solucions reals.

a) 10839 2 nn b) 61482 2 xx c) 5669 2 mm

d) 484 2 aa e) 889 2 bb f) xx 692

g) 644 2 rr h) 22 5368 bbb

8.2.2

Calcula el determinant d’aquestes equacions i dedueix el nombre de solucions reals.

a) 9766 2 xx b) kkk 3454 2 c) nnn 8167 2

d) 5102 2 xx e) nnn 29310 2 f) 9189 22 rrrr

g) 22 85103 ppp h) 22 25 mmm

8.2.3 Problema resolt.

Resol l’equació xx

x

43

32

Solució.

3230

32430

4332

4332

43

32

2

2

2

xx

xxx

xxx

xxx

xx

x

El discriminant d’aquesta equació és:

03233424

3

2

322

acb

c

b

a

És un nombre negatiu, per tant, aquesta equació no té cap solució real.

8.3 Equacions de segon grau incompletes.

8.4 Equacions de segon grau per factorització.

La regla del producte nul (RPN):

000 BoABA

Exemple resolt.

Resol l’equació 01532 xx

Solució.

5/115015

2/33203215320

xxx

xxxxx

Exemple resolt.

Resol l’equació 0186 2 xx

Solució.

Factoritzem el polinomi, treient factor comú x6 , i apliquem RPN

303

06/006361860 2

xx

xxxxxx

Exemple resolt.

Resol l’equació 034 2 xx

Solució.

034 2 xx

03434 2 xxx

0)34(1)34( xxx

4/3034

1010)34)(1(

xx

xxxx

Mètode de completar quadrats.

Observa:

abxbaxabaxbxxbxabxxbxax )(22

Per tant:

El coeficient que acompanya a x és la suma d’arrels amb el signe canviat

El terme independent és el producte d’arrels.

Exemple resolt.

Resol l’equació

0652 xx

Solució.

Volem trobar dos nombres que multiplicats donin -6 i sumats donin 5.

El nombre 6 només es pot escriure com 15 i 32 , i hem de jugar també amb els signes.

Pensant, pensant, provant, provant, arribem a

6a , 1b

i per tant:

)1)(6(652 xxxx

Ho comprovem: 6566)1(6)1()1)(6( 22 xxxxxxxxxx

Solucions.

1.1.1 a) 1/2 b)1/4 c) 1/4 d) 5/8

1.1.5 Només la (c)

1.1.8 3

2

15

10 ,

21

15

7

5 ,

6

2

15

5

3

1

1.2.1 a) 3

10 b)

2

7 c)

4

3

1.2.2 5/7

1.2.3 a) 7

5 b)

4

1 c)

5

3 d)

7

2 e)

2

1

1.5.1 a) 30

11 b)

36

61 c)

90

1 d)

40

7

1.5.2 a)6

13 b)

6

17 c)

15

16 d)

3

20

1.6.3 a) 6 b) 5

3 c)

4

9 d)

1.7.1 a)14

31 b) c)

84

83 d)

9

7

1.7.2 a) 3/7 b) 2/7 c) d)

1.8.1 9

5

12

7

6

4

18

13

4

3

1.9.1 a) 2

1 b)

4

1 c)

4

3 d)

2

3 e)

10

1 f) 2

1.9.2 a) 1/2 = 50 % b) 1/4 = 25 %

1.9.3 a) 8/25=32 % b) 9/50 = 18 % c) 17/25 = 68%

1.10.1 a) 40 b) 75 c) 6 d) 3/10 e) 4/7

1.10.2 a) 35 b) 255

2.4.1 a) 0,2 b) 0,18 c) 0,03 d) 1,50

2.5.1

Fracció Decimal Percentatge

2

1 0,5 50 %

4

3 0,75 75 %

5

3 0,6 60 %

5

4 0,8 80 %

4

1 0.25 25 %

10

1 0,1 10%

10

7 0,7 70 %

10

9 0.9 90 %

3.2.2 a) 9

1 b) 9 c) 9 d)

4

25 e)

100000

1 f)

100000

1 g)

243

32 h) 64

3.3.1 a) 8x b) 15x c) 158x d) 216x e) 6x f) 6x

3.3.2 732 ba

3.3.3 a) 92x b) 932x c) 2016x d) 85 yx e) 118a f) 8716 ba

g) yx72 h) ba42

3.3.4 a) 27 b) 2 c) 3125

3.3.5 a) -9 b) 9 c) 1216a d) 128a e) 368 ba f) 3664 ba g) 324 ba h) 6m

i) 836 qp j) 9a k) 21120 ts l) 1154 yx m) 51118 ba n) 43 yx

o) 9732 ba

3.3.6 a) 8 b) x5250 c) 96

3.4.2 2310022.6

3.5.3 a) 12/11 b) -2/5 c) 5

3.6.2 a) -30 b) -1/2 c) 7 d) 1

4.5.1 14

3x

5.1.1

a) b)

c) d)

e) f)

6.3.1

a) b)

(1,1) (-3,1)

c) d)

(-1,-4) (1,-2)

7.1.1 a) 276 x b) ts 53 c) 24

5 w

7.1.2 a) 106 x b) zy 182 c) 2

11

2

9 p

8.1.1 a) -31 b) -20 c) 116 d) 49 e) -120 f) -8 g) 100 h) 16 i) 36 j) 41

8.2.1 a) -63 cap b) 0 una c) 0 una d) 0 una

e) -224 cap f) 0 una g) -80 cap h) 0 cap

8.2.2 a) 121 dues b) 0 una c) 64 dues d) 140 dues e) -359 cap

f) 337 dues g) 0 una h) 25 dues