expo sic ion carta de smith

33
 Carta de Smith INTRODUCCIÓN La carta de Smith proporciona un procedimiento gráfico para la solución de los problemas con líneas de la transmisión, tales como la determinación de la impedancia de entrada o de la impedancia en una posición a lo largo de la línea con el fin de acoplar esa línea con alguna impedancia de carga. La carta de Smith es una plantilla de la impedancia normalizada  Z , y/o de la admitancia normalizada Y , sobrepuesta en el marco coordenado  polar del coeficiente de reflexión del voltaje. P. H. Smith desarrolló la actual forma de la carta en su tentativa de simplificar el laborioso trabajo de acoplar las líneas del teléfono y de telégrafo. Antes de su desarrollo, el análisis de la impedancia de la línea de transmisión era realizado usando las ecuaciones hiperbólicas rigurosas de la línea de transmisión, y el trabajo experimental centrado en una aproximación de prueba y error de las mediciones de la onda estacionaria sobre la línea. Así, la capacidad de representar y de manipular un vector de la impedancia en una sola carta gráfica era un avance significativo en aquella época. El par de coordenadas usadas para trazar los valores complejos de la impedancia acepta todos los valores normalizados posibles, y la impedancia que se transfiere a su entrada equivalente, y viceversa. Las ventaja de usar una carta de Smith en problemas con líneas de transmisión y guías de onda es la de llegar a una solución gráfica con más facilidad que con los métodos de cómputo alternativos, además de la comprensión intuitiva del efecto que las variables individuales tienen en la solución final. La carta de Smith consiste en un eje horizontal con los valores que varían desde cero al infinito, con la unidad en el centro; además de una serie de círculos que se centran en el eje horizontal representando las partes reales de la impedancia normalizada; también abarca una serie de arcos de círculos (cuyos centros empiezan con un punto en el infinito de un eje vertical desplazado del origen polar una unidad), representando las partes imaginarias de la impedancia normalizada. Además de los círculos y de los arcos, el borde de la carta está marcado con las escalas del ángulo del coeficiente de reflexión (grados), y la distancia (en

Upload: jesus-barrett

Post on 22-Jul-2015

299 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Carta de SmithINTRODUCCIN La carta de Smith proporciona un procedimiento grfico para la solucin de los problemas con lneas de la transmisin, tales como la determinacin de la impedancia de entrada o de la impedancia en una posicin a lo largo de la lnea con el fin de acoplar esa lnea con alguna impedancia de carga. La carta de Smith es una plantilla de la impedancia normalizada Z , y/o de la admitancia normalizada Y , sobrepuesta en el marco coordenado polar del coeficiente de reflexin del voltaje. P. H. Smith desarroll la actual forma de la carta en su tentativa de simplificar el laborioso trabajo de acoplar las lneas del telfono y de telgrafo. Antes de su desarrollo, el anlisis de la impedancia de la lnea de transmisin era realizado usando las ecuaciones hiperblicas rigurosas de la lnea de transmisin, y el trabajo experimental centrado en una aproximacin de prueba y error de las mediciones de la onda estacionaria sobre la lnea. As, la capacidad de representar y de manipular un vector de la impedancia en una sola carta grfica era un avance significativo en aquella poca. El par de coordenadas usadas para trazar los valores complejos de la impedancia acepta todos los valores normalizados posibles, y la impedancia que se transfiere a su entrada equivalente, y viceversa. Las ventaja de usar una carta de Smith en problemas con lneas de transmisin y guas de onda es la de llegar a una solucin grfica con ms facilidad que con los mtodos de cmputo alternativos, adems de la comprensin intuitiva del efecto que las variables individuales tienen en la solucin final. La carta de Smith consiste en un eje horizontal con los valores que varan desde cero al infinito, con la unidad en el centro; adems de una serie de crculos que se centran en el eje horizontal representando las partes reales de la impedancia normalizada; tambin abarca una serie de arcos de crculos (cuyos centros empiezan con un punto en el infinito de un eje vertical desplazado del origen polar una unidad), representando las partes imaginarias de la impedancia normalizada. Adems de los crculos y de los arcos, el borde de la carta est marcado con las escalas del ngulo del coeficiente de reflexin (grados), y la distancia (en

longitudes de onda) a lo largo de la lnea de la fuente o del generador. El movimiento alrededor del borde de la carta en la direccin a la derecha corresponde al movimiento a lo largo de la lnea de la transmisin hacia el generador. El movimiento alrededor del borde de la carta en la direccin a la izquierda corresponde al movimiento a lo largo de la lnea de la transmisin hacia la carga. Un crculo completo alrededor de la carta representa un movimiento de la mitad de una longitud de onda a lo largo de la lnea de la transmisin. En cualquier sistema de la transmisin, una fuente enva energa a una carga, tal como una antena por medio de una lnea de la transmisin. Para asegurar que la seal enviada de la fuente llegue con la mnima prdida, idealmente, se disea la red transmisin tal que la impedancia caracterstica de la fuente, de la lnea de la transmisin y de la carga se acoplen perfectamente. Por ejemplo, si se utiliza una antena (impedancia de carga) sobre un intervalo de frecuencias, su impedancia de entrada variar sobre el intervalo debido a su diseo fsico. Cuanto ms ancha es la banda frecuencia, ms grande es la variacin de su impedancia de entrada. Cuando la impedancia de la lnea de la transmisin no es igual que la impedancia de carga, es decir, no acoplamiento de la carga, parte de onda transmitida se refleja hacia la fuente. La onda reflejada, que vara en fase y magnitud, se agrega a la onda incidente (transmitida) y el resultado es una onda estacionaria. Esta onda estacionaria puede causar dao considerable a la salida de un transmisor si la carga se convierte en un circuito abierto, debido a que su voltaje puede ser hasta dos veces el voltaje producido por el transmisor. La relacin entre los voltajes de ambas ondas (VSWR) es una medida de cuanta de la seal se refleja desde la carga hacia el generador. Cuando ocurre una unin mal acoplada, este VSWR ser mayor de uno. Cuando un circuito abierto o el circuito corto ocurren en la lnea, el VSWR ser infinito. Si no hay onda reflejada, es decir, si el acoplamiento de la impedancia es perfecto, el coeficiente de reflexin, que es el cociente de la amplitud directa/reflejada de la seal, ser cero y con lo que la VSWR ser igual a la unidad. El valor uno de la VSWR indica

transferencia mxima de energa de la fuente a la carga, mientras que un cero indica reflexin total de energa de la carga a la fuente. DESCRIPCIN Fundamentalmente este diagrama muestra las curvas de resistencia y reactancia constante, que pueden representar tanto a una impedancia de entrada como a una impedancia de carga. La ltima es la impedancia de entrada de una longitud cero. Tambin se da una indicacin de la posicin a lo largo de la lnea, generalmente en trminos de fracciones de longitud de onda del voltaje mximo o mnimo. Aunque no se muestran en la carta, es posible determinar rpidamente la relacin de onda estacionaria, la magnitud y el ngulo del coeficiente de reflexin.

La plantilla se construye dentro de un crculo con radio unitario, utilizando coordenadas polares con radio variable || y un ngulo variable medido en sentido inverso del movimiento de las manecillas del reloj, donde =||ej. La figura a muestra este crculo. Como ||1 en una lnea sin prdidas, toda la informacin debe estar sobre o dentro del crculo unitario ya que solo ah tiene significado, y podemos descartar todo lo que quede fuera. El coeficiente de reflexin por s mismo no se grafica en la carta final, debido a que estas lneas adicionales haran que la carta fuera muy difcil de leer. El dominio del coeficiente de reflexin es un crculo de radio 1 en el plano complejo. Por lo tanto la carta completa esta dentro de un crculo ||=1. Las coordenadas polares de la carta de Smith son la magnitud y el ngulo de fase del coeficiente de reflexin. Las coordenadas rectangulares son la prte real y la parte imaginaria del coeficiente de reflexin.

Figura a.La relacin bsica sobre la cual se construye la carta es:

=

Z L ZO =| | e j Z L + ZO

Las impedancias que se grafican en la carta se normalizan respecta a la impedancia caracterstica. Se denotar la impedancia de carga normalizada con zL.

zL = r + jx =y as

Z L RL + jX L = ZO ZO

= r + j i =

zL 1 zL + 1

En forma polar, se ha utilizado || y como la magnitud y el ngulo de ; se seleccionara ahora r y a i como las partes imaginarias y real de respectivamente.

= r + jias

r + jx =

1 + r + ji 1 r ji

Las partes real e imaginaria de esta ecuacin son r= 1 2 r 2i (1 r ) 2 + 2i

x=

2i (1 r ) 2 + 2 i

Ahora podemos escribir las dos ecuaciones anteriores en forma que muestren la naturaleza de las curvas en los ejes r y i. Ecuacin de crculos de r constante en una carta de Smith (s9) Ecuacin de crculos de x constante en una carta de Smith (s10)

r 1 2 r + i = 1+ r 1+ r 2

2

2

(r 1) + i 1 = 1 x x2

2

La primera ecuacin describe una familia de crculos, en donde cada crculo se asocia con un valor especifico de la resistencia r dando crculos de radio diferente, con centro en distintas posiciones del eje r. Por ello si r=0 se observa que el radio de este crculo de

resistencia cero, es unitario y esta centrado en r=0, i=0, el origen (tambin se considera como el ms grande). Esto es correcto, ya que una terminacin puramente reactiva conduce a un coeficiente de reflexin de magnitud unitaria. Por otro lado, si r= y se tiene =1+j0. El crculo descrito por la ecuacin S9 esta centrado en r=1, i=0 y tiene un radio cero. Entonces se trata del punto =1+j0. El crculo de r=1 esta centrado en r=0.5, i=0 y tiene un radio de 0.5. Este crculo se muestra en la figura b, junto con los crculos para r=0.5 y r=2. Todos los crculos estn centrados en el eje r y pasan por el punto =1+j0.

Figura bLa ecuacin S10 tambin representa una familia de crculos, pero cada uno de estos crculos esta definido por un valor particular de x, y no de r. Si r=, entonces de nuevo zL= y =1+j0; se trata entonces del punto =1+j0. Si x=+1, entonces en crculo esta centrado en =1+j1 y tiene un radio unitario. Solamente un cuarto de este crculo esta dentro de la frontera de la curva ||=1, como se muestra en la figura c. Un cuarto de este crculo similar aparece abajo del eje r para x=-1.Todos los crculos de x tambin pasan por el punto (1,0). Sus centros estn por encima del eje r, si x>0 (reactancias inductivas) y por debajo del eje r si x>0 (reactancias capacitivas) Tambin se muestran las partes de otros crculos para x=0.5,-0.5,2 y 2. El radio del crculo x es mayor a medida que disminuye |x| y el lugar geomtrico de x=0 degenera en el eje r, este tambin aparece en la figura c.

Figura cAmbas familias de crculos aparecen en la carta de Smith, como se muestra en la figura d. Es evidente que si se da zL, se podra dividir por Z0 para obtener zL, localizar los crculos r y x apropiados y determinar por medio de la interseccin de dos crculos.

La carta no tiene crculos concntricos que muestren los valores de ||, es necesario medir la distancia radial desde el origen hasta la interseccin con compases, utilizando una escala auxiliar para encontrar ||. El segmento rectilneo graduado debajo de la carta, sirve para ello. El ngulo de es y se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj a partir del eje r. Las lneas radiales que muestran el ngulo llenan la carta, por lo que el ngulo se indica en la circunferencia del crculo. Una lnea recta desde en origen a la interseccin se puede extender al permetro de la carta. Se complementa la carta aadiendo una segunda escala sobre la circunferencia con la cual se pueden calcular distancias a lo largo de la lnea. Esta escala esta en unidades de longitud de onda, pero los valores localizados sobre ella no son tan obvios. Para obtenerlos, primero se divide el voltaje en cualquier punto a lo largo de la lnea,

VS = VO + ( e jz + e jz )entre la corriente

VO + jz IS = ( e e j z ) ZOReemplazando z por l y dividiendo el numerador y el denominador entre ejl, se tiene la ecuacin general que relaciona: la impedancia de entrada, el coeficiente de reflexin y la longitud de la lnea.

zent =

) 1 + e j 2l 1+ | | e ( = 1 e jl 1 | | e j ( 2l )j 2 l

(S11)

Cuando l=0, la localizacin corresponde al crculo de carga y zent=(1+)/(1-)=zi. La ecuacin S11 muestra que la impedancia de entrada en cualquier punto z=-l puede obtenerse reemplazando , el coeficiente de reflexin del circuito de carga, por e-j2l. Esto es el ngulo de disminuye por 2l radianes desde el circuito de carga hasta la entrada de la lnea. Solamente se cambia el ngulo de , la magnitud permanece constante. Comenzando en el circuito de carga zL y movindose hacia la impedancia de entrada zent hay una distancia l recorrida hacia el generador sobre la lnea de transmisin, pero en la carta de Smith corresponde a un movimiento en el que se describe un ngulo 2l en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Dado que la magnitud de permanece constante, el movimiento hacia la fuente se realiza a lo largo de un crculo de radio constante. Una vuelta alrededor de la carta se completa siempre que l cambie en radianes o que l cambie una y media longitud de onda. Esto concuerda con el primer descubrimiento de que la impedancia de entrada de una lnea de media longitud de onda sin prdidas es igual a la impedancia del circuito de carga.

Figura eCabe mencionar que los crculos r y x siempre son ortogonales entre si. Adems como podemos darnos cuenta la interseccin de un crculo r y uno x define un punto que representa una impedancia de carga normalizada zL=r+jx. Como ya lo mencionamos la impedancia de carga real es ZL=ZO(r+jx). El punto Psc en (r=-1, i=0) corresponde a r=0 y x=0 y por consiguiente representa un corto circuito. El punto Poc en (r=1, i=0) corresponde a una impedancia infinita y representa un circuito abierto. Como ya se menciono el diagrama de Smith cuando se trabaja con coordenadas polares, el plano debe quedar especificado por una magnitud || y una ngulo de fase r. Esta situacin se muestra en la figura e, donde se muestran varios crculos ||, mientras que en la figura f se muestran algunos ngulos alrededor del crculo ||=1, que es lo mismo que el crculo r=0. Los crculos || usualmente no aparecen en los diagramas de Smith comerciales; sin embargo, una vez que se localiza el punto que representa una determinada zL, es sencillo dibujar un crculo centrado que pase por el punto. Cada uno de los crculos || corta al eje real en dos puntos. En la figura f se designa el punto en el eje real positivo (OPoc) como PM y el punto en el eje real negativo (OPsc) como Pm). Puesto que x=0 sobre el eje real, PM y Pm representan situaciones con una carga puramente resistiva, ZL=RL. Por supuesto, RL>RO en PM, donde rL>1; y RL