examenes algebra 2
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7/17/2019 Examenes Algebra 2
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1. a) Encontrar el valor de “a” para que el triángulo, que tiene a)0,,8( au =
y)1,0,0(=v
como lados, encierren un área de 5 unidades.
) Encontrar la distancia entre
1) !,,"(#y1)5,,"(# !1 −−−−.
2. $plicando la regla de %ramer determinar el valor de! x
del siguiente sistema
=+−=++
=−+
5!!
&&'
'5!
!1
&!1
&!1
x x
x x x
x x x
3. a) Encontrar la ecuacin del plano que pasa por (!, ", 1) y es perpendicular a la
recta*
−=−=−
=−
t z
t y
t x
+
&!
&'
b) aiendo que los planos 1'& =+− z y x y &!8+
=+− z y x son paralelos,
determinar la distancia entre ellos.
4. a) %alcular el volumen del paralelep-pedo determinado por los vectores PS PR PQ y,,
, donde # (!,1,1), / (&,1,'), (1,0,!) y (&,1,5).
b) ean
)',1,+(y)!,1,&( −−=−= wu
, determinar la proyeccin ortogonal dew
soreu
.
5. i los elementos de la segunda ila de una matri2 de (535) son 1, !, &,!−
, ' y
sus menores respectivos son 4&, !, 1, 4' y 4& . %alcular*
a)
A!
1det
)
( )t AA!det
c)
( )t A A1
det −
d)
( )1&det − A
2do Examen Parcial Álgebra Lineal MT – 211 – GRUP !"
#ombre................................................................................................#o$a...........................
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1. a) allar la ecuacin del plano que pasa por el punto # (&, ',5) y es paralelo a los
dos
vectores
)1,1,&(1 −=v
y
)1,!,1(! −=v
.
) Encuentre la proyeccin ortogonal de % sore & donde*
% ( ", 1,& ), & ( 5, 0, 1 )
2. a) 6eterminar una ase y la dimensin del suespacio generado por
{ }!&
!
!
!
1 !5,!&1,'!1 x x p x x p x x pS +=−+=−−==
) 6eterminar la ecuacin del plano que pasa por los puntos $ (!,1,1), 7 (0,!,&)y
% (1,0,1).
3. ean 8 9 (a, , c) * !a : 0 ; y < 9 (a, , c) * a : 0= !a : c 0 ; dos
suespacios de
& R determinar*
a) 8na ase y la dimensin de 8.
) 8na ase y la dimensin de 8∩
<
4. ea
{ } ,0!*),,,( cad cbd cbaU ==−+=
a) 6emostrar que U es un suespacio de
' R.
) 6eterminar una ase y la dimensin de U .
5. ea
)!!(
&* x M R F →
tal que
+−
−+=
cacb
cbcacba F ),,(
determinar
a) 8na ase y la dimensin de la >magen de ?
) 8na ase y la dimensin del @Acleo de ?
2do. Examen Parcial de Álgebra Lineal MT – 211 Gr%'o !"
#ombre....................................................................................(irma......................................
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1. esponda y Bustiique su respuesta*
a) El producto elemental51'!&'!51& aaaaa ⋅⋅⋅⋅
, C/ue signo tieneD
) En la matri2
−=
501
50&
1!1
A
calcular los coactores de los elementos de la
tercera ila.
c) %on los resultados del inciso anterior evaluar el determinante de A.
d) ea $ una matri2 de ('3'), si
1+)!det(1 =− A
, determinar el valor de
)&det( t AA
.
2. e dan los vrtices de un triángulo $(1,1,!), 7(5,+,!) y %(1,&,1). %alcular la
longitud de la altura, aBada desde el vrtice 7 perpendicular a AC
.
3. 6eterminar el valor de x si
!&1
+!
&01
!1'
1
−−−
=+
x
x x
x
4. ean
)',1,+(y)8,0,'( ),!,1,&( −−=−=−= wvu
.
a) 6eterminar la proyeccin ortogonal dew
soreu
.
b) 6eterminar el ángulo entre
v
y
w
.
2do Examen Parcial Álgebra Lineal MT – 211 – GRUP "
#ombre................................................................................................#o$a...........................
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5. a) aiendo que los planos
1'& =+− z y x
y
&!8+ =+− z y x
son paralelos,
determinar la distancia entre ellos.
b) Encontrar el punto de interseccin entre las rectas
−=+=+−=−
t z
t y
t x
51
!&
5
con Rt ∈
y
=−=−=+
s z
s y
s x
&5
+"
1!1
con R s∈
.
1. $plicando la regla de %ramer determinar el valor de& x
del siguiente sistema
=+−=++=−+
5!!
&&'
'5!
!1
&!1
&!1
x x
x x x
x x x
2. i los elementos de la segunda ila de una matri2 de (535) son 1, ', &,!−
, & y
sus menores respectivos son 4&, 1, 5, 4! y 4& . %alcular*
a)
A!
&det
)
( )t AA&det
c)
( )t A A 1det −
d)
−1
&
!det A
3. a) ean los vectores en
& R
),1,1(y)',&,1( k q p −== determinar k tal que
q p y
sean ortogonales.
) %alcular la proyeccin ortogonal de AB sore PQ saiendo que)!,0,&()=&,!,+()=1,',!()=!.&,1( −−−−− B AQ P
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4. a) %alcular el área del triángulo de vrtices
)1,!,&()=',!,&()=',&,'( −=−== C B A
.
) ean
)1,&,!(y)0,!,0()=!,1,1( −−=−=−= wvu
.6eterminar*
)"( wvu +• y
vvu )( •
5. a) Encontrar la ecuacin del plano que pasa por el punto (&, +, ") y es paralelo al
plano
0&!'" =+−+ z y x
.
) Encontrar el punto de interseccin entre la recta
−=−=−=−−
t z
t y
t x
!1
&&
5!
y el plano0&'&! =−+− z y x
.
1. a) allar la ecuacin del plano que pasa por el punto # (&, ',5) y es paralelo a los
dos
vectores
)1,1,&(1 −=v
y
)1,!,1(! −=v
.
c) Encuentre la proyeccin ortogonal de % sore & donde*
% ( ", 1,& ), & ( 5, 0, 1 )
2. a) 6eterminar una ase y la dimensin del suespacio generado por
U*GRM 2do Examen de *+%dan$ia de M*T – 1,3 Gr%'o *"
#ombre..................................................................................................................................
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{ }!&
!
!
!
1 !5,!&1,'!1 x x p x x p x x pS +=−+=−−==
) 6eterminar la ecuacin del plano que pasa por los puntos $ (!,1,1), 7 (0,!,&)
y
% (1,0,1). 3. ean 8 9 (a, , c) * !a : 0 ; y < 9 (a, , c) * a : 0= !a : c 0 ; dos
suespacios de
& R determinar*
c) 8na ase y la dimensin de 8.
d) 8na ase y la dimensin de 8∩
<
4. ea
{ } ,0!*),,,( cad cbd cbaU ==−+=
a) 6emostrar que U es un suespacio de
' R.
) 6eterminar una ase y la dimensin de U .
5. ea
)!!(
&* x M R F →
tal que
+−
−+=
cacb
cbcacba F ),,(
determinar
a) 8na ase y la dimensin de la >magen de ?
c) 8na ase y la dimensin del @Acleo de ?
-. a) Encontrar el valor de “a” para que el triángulo, que tiene a
)0,,8( au = y
)1,0,0(=vcomo lados, encierren un área de 5 unidades.
) Encontrar la distancia entre
1) !,,"(#y1)5,,"(# !1 −−−−.
. a) aiendo que los planos
1'& =+− z y x
y
&!8+ =+− z y x
son paralelos,
determinar la distancia entre ellos.
b) Encontrar el punto de interseccin entre las rectas
−=+=+−=−
t z
t y
t x
51
!&
5
con Rt ∈
y
=−=−=+
s z
s y
s x
&5
+"
1!1
con
R s∈
.
U*GRM 2er Examen de *+%dan$ia de M*T – 1,3 Gr%'o *"
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1. a) ean los vectores en
& R
),1,1(y)',&,1( k q p −== determinar k tal que
q p y
sean ortogonales.
) %alcular la proyeccin ortogonal de AB sore PQ saiendo que)!,0,&()=&,!,+()=1,',!()=!.&,1( −−−−− B AQ P
2. ean
)',1,+(y)8,0,'( ),!,1,&( −−=−=−= wvu
.
a) 6eterminar la proyeccin ortogonal dew
soreu
.
b) 6eterminar el ángulo entrev
yw
.
3. a) Encontrar la ecuacin del plano que pasa por (!, ", 1) y es perpendicular a la
recta*
−=−=−
=−
t z
t y
t x
+
&!
&'
b) ean
)1,&,!(y)0,!,0()=!,1,1( −−=−=−= wvu
.6eterminar*
)"( wvu +•
y
vvu )( •
4. a) %alcular el volumen del paralelep-pedo determinado por los vectores PS PR PQ y,,
, donde # (!,1,1), / (&,1,'), (1,0,!) y (&,1,5).
b) ean
)',1,+(y)!,1,&( −−=−= wu
, determinar la proyeccin ortogonal dew
soreu
.
5. a) Encontrar la ecuacin del plano que pasa por el punto (&, +, ") y es paralelo al
plano
0&!'" =+−+ z y x
.
) Encontrar el punto de interseccin entre la recta
−=−=−=−
t z
t y
t x
!1
&&
5!
y el plano0&'&! =−+− z y x
.
-. ean
{ } { }0Fy0!&F !
!
!
! ==∈++==+−∈++= ba P cxbxaW cba P cxbxaU
suespacios de
! P
. 6eterminar una ase y la dimensin de*
W
y de
W U ∩
.
7/17/2019 Examenes Algebra 2
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. i la transormacin lineal!
&* P RT → está deinida sore la ase usual de
& R de
tal manera que*
!&&1)0,0,1( x xT +−=
,
!5)0,1,0( x xT −=
y
!!!1)1,0,0( x xT ++=
,
se pide*
a) 8na ase y la dimensin de la imagen de la transormacin.
) 8na ase y la dimensin del nAcleo de la transormacin