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´ ALGEBRA 1. Lenguaje Algebraico El ´ algebra cl´ asica nace como generalizaci´ on de la aritm´ etica, para la resoluci´ on de ecuaciones y el estudio de las operaciones y sus propiedades. En un primer momento, el m´ etodo algebraico es otra manera de resolver problemas aritm´ eticos. Un problema aritm´ etico se caracteriza porque tanto los datos como las inc´ ognitas son n´ umeros y las relaciones entre unos y otras pueden expresarse en t´ erminos de operaciones aritm´ eticas. El m´ etodo aritm´ etico de resoluci´ on de pro- blemas consiste en construir una secuencia de operaciones que relacione los datos num´ ericos conocidos hasta obtener las inc´ ognitas buscadas. Para establecer cada paso de la secuencia hay que tener en cuenta el contexto definido en el enunciado del problema. El m´ etodo algebraico consiste en indicar operaciones entre las cantidades citadas en el enunciado del problema, sin distinguir entre cantidades conocidas y desconocidas (representando estas ´ ultimas por letras), hasta encontrar una nueva cantidad que pueda expresarse de dos maneras distintas en funci´ on de los datos y las inc´ ognitas, lo que permite establecer una relaci´ on de igualdad entre esas ex- presiones. Una vez establecidas una o varias igualdades, se procede a sustituirlas por igualdades equivalentes hasta llegar a una que contenga en uno de sus miembros una de sus inc´ ognitas y en el otro una cantidad conocida. Iniciaremos pues por familiarizarnos con este nuevo lenguaje matem´ atico. Desde muy temprana edad nosotros tenemos peque˜ nos acercamientos al Lenguaje Algebraico, sobre todo cuando estudiamos propiedades geom´ etricas. Recuerde, por ejemplo, los c´ alculos del per´ ımetro y el ´ area de una figura geom´ etrica, digamos el cuadrado, todos sabemos que el per´ ımetro es la suma de las medidas de sus lados, que com´ unmente es representada por l +l +l +l o simplemente 4l, mientras que el ´ area que es base multiplicada por altura es l × l o simplemente l 2 . Estas expresiones a las cuales ya estamos acostumbrados no son m´ as que generalizaciones de procesos aritm´ eticos que se dedujeron en alg´ un momento de observaciones particulares. El hecho de caracterizar en la geometr´ ıa al lado con la letra l, a la base con la letra b, a la altura con la letra h o al radio con la letra r, son los peque˜ nos acercamientos al lenguaje algebraico que hemos hecho sin darnos cuenta. Cabe mencionar que la mayor´ ıa de libros que trabajan el ´ algebra hacen uso de la letra x para representar las inc´ ognitas, sin embargo como podemos ver en los ejemplos cualquier s´ ımbolo es aceptado para representar valores desconocidos. Ejemplo 1: Imagine que usted ha decidido comprar fruta, y ha escogido Manzanas y Peras, decide comprar 6 manzanas y 4 peras, la pregunta es qu´ e cantidad de dinero gastara en hacer esa compra. Soluci´on. Para poder contestar esa pregunta necesitar´ ıamos saber el precio de las manzanas y el precio de las peras, los cuales son datos que no conocemos, sin embargo podemos utilizar 1

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Enfoque practico.

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Page 1: (8)Algebra (2)

ALGEBRA

1. Lenguaje Algebraico

El algebra clasica nace como generalizacion de la aritmetica, para la resolucion de ecuaciones yel estudio de las operaciones y sus propiedades. En un primer momento, el metodo algebraico esotra manera de resolver problemas aritmeticos. Un problema aritmetico se caracteriza porquetanto los datos como las incognitas son numeros y las relaciones entre unos y otras puedenexpresarse en terminos de operaciones aritmeticas. El metodo aritmetico de resolucion de pro-blemas consiste en construir una secuencia de operaciones que relacione los datos numericosconocidos hasta obtener las incognitas buscadas. Para establecer cada paso de la secuencia hayque tener en cuenta el contexto definido en el enunciado del problema. El metodo algebraicoconsiste en indicar operaciones entre las cantidades citadas en el enunciado del problema, sindistinguir entre cantidades conocidas y desconocidas (representando estas ultimas por letras),hasta encontrar una nueva cantidad que pueda expresarse de dos maneras distintas en funcionde los datos y las incognitas, lo que permite establecer una relacion de igualdad entre esas ex-presiones. Una vez establecidas una o varias igualdades, se procede a sustituirlas por igualdadesequivalentes hasta llegar a una que contenga en uno de sus miembros una de sus incognitas yen el otro una cantidad conocida.

Iniciaremos pues por familiarizarnos con este nuevo lenguaje matematico.

Desde muy temprana edad nosotros tenemos pequenos acercamientos al Lenguaje Algebraico,sobre todo cuando estudiamos propiedades geometricas. Recuerde, por ejemplo, los calculosdel perımetro y el area de una figura geometrica, digamos el cuadrado, todos sabemos que elperımetro es la suma de las medidas de sus lados, que comunmente es representada por l+l+l+lo simplemente 4l, mientras que el area que es base multiplicada por altura es l× l o simplementel2. Estas expresiones a las cuales ya estamos acostumbrados no son mas que generalizacionesde procesos aritmeticos que se dedujeron en algun momento de observaciones particulares.

El hecho de caracterizar en la geometrıa al lado con la letra l, a la base con la letra b, a la alturacon la letra h o al radio con la letra r, son los pequenos acercamientos al lenguaje algebraicoque hemos hecho sin darnos cuenta.

Cabe mencionar que la mayorıa de libros que trabajan el algebra hacen uso de la letra x pararepresentar las incognitas, sin embargo como podemos ver en los ejemplos cualquier sımbolo esaceptado para representar valores desconocidos.

Ejemplo 1: Imagine que usted ha decidido comprar fruta, y ha escogido Manzanas y Peras,decide comprar 6 manzanas y 4 peras, la pregunta es que cantidad de dinero gastara en haceresa compra.Solucion. Para poder contestar esa pregunta necesitarıamos saber el precio de las manzanas yel precio de las peras, los cuales son datos que no conocemos, sin embargo podemos utilizar

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un poco de algebra para resumir nuestro gasto, a la espera de conocer en algun momento esosdatos.Suponga que cada manzana cuesta una cantidad M , si usted conociera ese valor el proceso aseguir seria multiplicar ese valor por 6 (el numero de manzanas a comprar. Es decir 6 ·M .Ahora suponga que cada pera cuesta una cantidad P , si usted conociera ese valor el proceso aseguir seria multiplicar ese valor por 5 (el numero de peras a comprar. Es decir 5 · P .Y luego naturalmente su gasto total sera la suma de esos dos valores, es decir 6 ·M + 5 · P .

En nuestro ejemplo distintos valores para M y P producirıan distintos resultados en nuestrogasto. Veamos un ejemplo mas.

Ejemplo 2: Escriba de forma general dos numeros enteros consecutivos.Solucion. Sabemos que dos enteros consecutivos tienen diferencia 1, ası pues podemos llamar auno de los enteros n y el otro seria n + 1.

Es importante destacar dos cosas:Primero, al seleccionar que el primer numero sea n el segundo numero esta amarrado a la con-dicion de ser o una unidad mayor o una unidad menor, en el caso de la solucion se siguio escogerel que es una unidad mayor, piense como se escribirıa si se elige que el otro numero sea unaunidad menor.Segundo, hubiera sido un error decir que los numeros son n el primero y m el segundo, estodebido a que las letras n y m no tienen relacion alguna, ası esta seleccion simplemente hubieramostrado una pareja de numeros cualesquiera sin preservar la condicion que querıamos de sernumeros consecutivos.

Iniciaremos traduciendo algunas expresiones comunes al lenguaje algebraico.

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Lenguaje Comun Lenguaje Algebraico

El area de un rectangulo (base por altura) b · hTres numeros consecutivos

La cantidad de dinero que me daran en mi proximo cumpleanos

El doble de la cantidad anterior

El costo de comprar dos pantalones y 3 camisas

La edad de Pablo este ano

La edad de Pablo dentro de 10 anos

La edad de Pablo hace 3 anos

La suma de dos numeros consecutivos

Un numero par

Un numero impar

Dos numeros pares consecutivos

Tres numeros impares consecutivos

El producto de dos numeros cualesquiera

Un numero aumentado en 10

Un numero disminuido en 10

Un numero al cuadrado

Lenguaje Comun Lenguaje Algebraico

La raız cuadrada de un numero

Un numero mas su cuadrado

El producto de dos numeros consecutivos

La mitad de un numero

El costo de un televisor al agregarle el trece por ciento del IVA.

El numero de patas del total de vacas en una granja

2. Operaciones Basicas

Las expresiones algebraicas puede relacionarse con figuras geometricas, es muy utilizada la re-lacion con areas, introducimos pues el uso de los bloques algebraicos.Los bloques algebraicos son en esencia tres juegos de pieza un cuadrado de lado 1, un rectangulode area x, cuyos lados son x y 1, y un cuadrado de area x2 cuyos lados miden x (sugerimos quelas medidas sean 2× 2, 9× 2 y 9× 9, estas pueden ser hechas de fomi o cartoncillo), cada piezaconsta de dos colores uno representa valores positivos mientras que el otro representa valoresnegativos (nosotros utilizaremos blanco para el positivo y azul para el negativo).

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1 x

x2

Los bloques algebraicos se manipulan sobre una superficie bajo la siguiente regla basica: dospiezas iguales en forma y distinta en color se pueden agregar o retirar. Son utiles para sumar,multiplicar y factorizar.la expresion 3x por ejemplo se representa de la siguiente forma

mientras que 2x2 + 3x− 4 seria de la siguiente forma

Ejercicios:Represente con los bloques algebraicos cada una de las siguientes expresiones

1. x2 + 3x + 8.

2. x2 − 2x− 4.

3. −x2 − 2x− 3.

4. −2x2 + 4x− 5.

5. 2x2 − 3x + 2.

Si bien los bloques algebraicos no nos permiten manipular expresiones con exponentes mayoresa 2, si nos permite tomar ciertas propiedades generales para las operaciones con expresiones

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algebraicas. Iniciemos pues con la suma.

Suma algebraica

Recordemos que la regla importante es que piezas del mismo tipo y distinto color pueden serretiradas en pares.

Sumemos 3x− 5 con x + 3. tendrıamos entonces

dado que tenemos cuadros de area 1 tanto azules como blancas estos se pueden retirar enparejas, uno de cada color, agrupando las piezas iguales obtendrıamos como respuesta

= 4x− 2

Note los siguientes hechos importantes:

1. Las piezas solo se pueden agrupar o quitar si son de igual forma. Algebraicamente estosignifica que uno solo puede sumar y restar terminos que tengan la misma forma algebraica.

2. En la respuesta pueden quedar piezas de mas de un tipo. Algebraicamente esto significaque las respuestas pueden tener mas de un solo termino.

3. En la respuesta las piezas de cada tipo son de un solo color. Esto significa que en larespuesta algebraica no deben ir terminos de el mismo tipo con signos distintos, esasexpresiones aun pueden ser simplificadas.

Veamos un ejemplo mas Calculemos la suma de −2x2 + 3x− 5 con x2 − 2x + 6.

Al retirar las parejas de fichas de igual forma pero distinto color obtendrıamos

= −x2 + x + 1

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Ejercicios:

1. Represente con los bloques algebraicos cada una de las siguientes sumas y encuentre surespuesta

a) 2x + 5 con −4x− 1.

b) x2 − 3 con 2x + 1.

c) 2x2 + 3x + 2 con x2 − 4x− 2.

d) −x2 + 4x− 8 con −x2 − 3x + 5.

e) x2 + 2x + 4 con −3x2 − 2x− 3.

2. Calcule de forma algebraica las siguientes sumas y luego verifique sus respuestas con losbloques algebraicos

a) 3x− 5 con −4x + 2.

b) x2 − 3x con 3x− 1.

c) 2x2 − 3x− 2 con x2 + 3x + 2.

d) −x2 − 5x− 8 con x2 + 3x + 4.

e) 2x2 + 3x− 5 con −x2 + 3x + 3.

Multiplicacion algebraica

Utilizaremos ahora los bloques algebraicos para aprender algunas cosas importantes sobre lamultiplicacion. Lamentablemente los bloques algebraicos solo dan para multiplicar binomios dela forma ax + b, pero esto sera suficiente para observar algunas reglas importantes.

Recordemos que el ejemplo mas practico de multiplicacion es el calculo de areas, se puedetomar uno de los factores como la medida de la base y el otro como la medida de la altura,ası el resultado sera el area del rectangulo formado. Para multiplicar se colocan los factoresuno en el eje horizontal y otro en el eje vertical de la siguiente manera, veamos por ejemplo(x + 2)(x + 1)

La imagen muestra el producto de los primeros terminos x · x cuya area es una ficha x2.Debemos recordar que las reglas de la multiplicacion entera se mantienen, es decir el productode signos iguales dara positivo y el producto de signos distintos dara negativo. Terminando lamultiplicacion tendrıamos

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(x + 2)(x + 1) = x2 + 3x + 2

Es importante hacer notar en este ejemplo que la multiplicacion algebraica cumple ley distri-butiva pues podemos ver rectangulos en horizontal y en vertical, que resultan de distribuir losterminos en cada factor.

Veamos un ejemplo mas, multipliquemos (x− 1)(x + 1)

Recordemos que la interseccion de bloques de distinto color genera el color azul (que representanegativos). Simplificando tendrıamos

(x− 1)(x + 1) = x2 − 1

Ejercicios:

1. Represente con los bloques algebraicos cada una de las siguientes multiplicaciones y en-cuentre su respuesta

a) (2x + 5)(−4x− 1).

b) (x− 3)(2x + 1).

c) (3x + 2)(−4x− 2).

d) (4x− 8)(−3x + 5).

2. Calcule de forma algebraica las siguientes multiplicaciones y luego verifique sus respuestascon los bloques algebraicos

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a) (3x− 5)(−4x + 2).

b) (3x)(3x− 1).

c) (−3x− 2)(3x + 2).

Division Algebraica

Utilizaremos ahora los bloques algebraicos para aprender algunas cosas importantes sobre ladivision. Es posible realizar divisiones en donde el dividendo tiene como mayor exponente al 2y cuyo divisor es una expresion de la forma ax + b.

Para realizar una division procedemos de la siguiente forma, tomemos como ejemplo 2x2+3x+1entre x + 1:

1. Colocamos en primer lugar al divisor en el eje vertical.

2. Luego iniciamos colocando los bloques de mayor exponente en el tablero.

Algebraicamente debemos entender que estamos realizando 2x2 dividido por x es decir elprimer termino del dividendo entre el primer termino del divisor.

3. Colocamos en el eje horizontal el primer termino del cociente, colocando justo las piezasque encajan justo bajo las piezas colocadas.

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debe entenderse algebraicamente que 2x2 dividido por x da como cociente 2x, note quela parte numerica del termino del dividendo se divide por la parte numerica del terminodel divisor, analogamente lo hacen las partes algebraicas.

4. Luego se rellenan verticalmente los espacios vacıos aun en el tablero, sobre el cociente quehemos encontrado

esto debe interpretarse de la siguiente manera, al dividendo original le quitamos el pro-ducto de nuestro divisor y el cociente obtenido, es decir a 2x2 + 3x + 1 le quitamos(x + 1)(2x) = 2x2 + 2x quedandonos aun x + 1.

5. Repetimos el proceso para las fichas restantes

6. Al terminarse las fichas leemos nuestro resultado. Ası 2x2 + 3x + 1 dividido por x + 1 dacomo cociente 2x + 1.

Veamos un ejemplo mas, dividamos x2 − 3x− 4 por x + 1

Notemos que hay que rellenar con una ficha blanca de area x para completar el area, pero ennuestro poder solo tenemos 3 fichas azules, por lo tanto agregamos una pareja de fichas dedistinto color, ahora colocamos la ficha blanca y en nuestro poder tenemos 4 fichas azules dearea x. Explique algebraicamente este hecho.

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Note que al colocar las 4 fichas azules de area x necesitamos colocar fichas de color azul en elcociente pues el color en el dividendo es blanco y es necesario que los colores sean distintos paragenerar el azul. Ası el cociente buscado seria x− 4.

Ejercicios:

1. Represente con los bloques algebraicos cada una de las siguientes divisiones y encuentresu respuesta

a) 6x2 + x− 2 dividido por 2x− 1.

b) 2x2 + 5x + 3 dividido por x + 3.

c) 2x2 + x− 6 dividido por 2x− 3.

d) x2 − 25 dividido por x− 5.

2. Calcule de forma algebraica las siguientes divisiones y luego verifique sus respuestas conlos bloques algebraicos

a) x2 + 4x + 4 dividido por x + 2.

b) x2 − 5x + 4 dividido por x− 1.

c) 6x2 − 5x− 6 dividido por 2x− 3.

Potenciacion y Radicacion

En los ejercicios de Multiplicacion y Division concluimos que x · x = x2 y que x2

x = x, extende-remos estos resultados tal como las reglas en los numeros enteros.Recordemos que el uso de los exponentes enteros positivos, significan una abreviacion sobre elproceso de multiplicar repetidamente el mismo numero, ası por ejemplo

25 = 2× 2× 2× 2× 2

donde el numero 2 es la base y el numero 5 es el exponente.Ademas tenıamos que

25

22=

2× 2× 2× 2× 2

2× 2= 2× 2× 2 = 23 = 25−2

Estas propiedades se extienden facilmente cuando la base es una expresion algebraica ya quecomo recordaremos, una variable algebraica es un numero del cual no sabemos su valor.Ası tendremos por ejemplo

x · x · x · x = x4

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mientras quex5

x2=

x · x · x · x · xx · x

= x · x · x = x3 = x5−2

Cumpliendo ademas las mismas reglas:

1. El producto de expresiones algebraicas que poseen la misma base da como resultado lamisma base con exponente igual a la suma de los exponentes de las expresiones multipli-cadas

xm · xn = xm+n

por ejemplox5 · x3 · x2 = x5+3+2 = x10.

2. El cociente de expresiones algebraicas que poseen la misma base da como resultado lamisma base con exponente igual a la resta de los exponentes de las expresiones divididas

xm

xn= xm−n

por ejemplox10

x3= x10−3 = x7.

3. La potencia de una potencia es el producto de las potencias con la misma base

(xm)n = xmn

por ejemplo(y3)2 = y3·2 = y6.

4. La potencia de un producto es igual al producto de cada base elevada al mismo exponente

(x · y)m = xm · ym

por ejemplo(x · y)4 = x4 · y4.

5. La potencia de un cociente es igual al cociente de cada base elevada al mismo exponente(x

y

)m

=xm

ym

por ejemplo (x

y

)2

=x2

y2.

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Las demostraciones de estas propiedades para exponentes enteros positivos se dejan como ejer-cicio.

Recuerde que siempre y cuando x 6= 0, se cumple que x0 = 1, puesto que

xn

xn= xn−n = x0 = 1

Ejercicios:Simplifique cada uno de los siguientes item.

1. (x2y3)2.

2. y9

y3.

3.(y9

x3

)3 (x2

y

)4.

4.(2x3y2

3x2y

)2.

5.(xb

ya

)(x2a

yb

)2.

6. (x−2y)5(x−2y)3 .

Extendiendo un poco mas las notaciones de exponentes dado que x0 = 1 tenemos que

xn

xn= 1 = x0 = xn+(−n) = xn · x−n

de el primer lado y el ultimo lado de la igualdad podemos concluir que

x−n =1

xn

Podemos entonces decir quexm

xn= xm−n =

1

xn−m

como una regla adicional a las que ya tenıamos.

Ejercicios:Simplifique cada uno de los siguientes item.

1. x−2y2

x4y−3 .

2.(x−2y5

x3y−2

)5.

3.(x−3y2

x2y−1

)2 (x−3y

x−1y−2

)3.

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Note quexn/n = x

aplicando las reglas de exponentes podemos escribir

(xn)1/n = x

si y = xn, entonces x = n√y, al sustituir en la expresion anterior tendrıamos

y1/n = n√y.

Esto nos dice que todo exponente racional puede escribirse como una raız del mismo tipo queel denominador del exponente.

Ejercicio:

1. Escriba las propiedades vistas de los exponentes, en terminos de radicales.

2. Simplifique los siguientes item, escribas sus respuestas en terminos de radicales.

a) a−1/3(a2 − 4a1/3).

b)(x1/2 + y−1/2

) (x1/2 − y−1/2

).

c)(1 + y2/3

) (1− y2/3 + y4/3

).

d) a−1/2b2/3

a3/2b4/3.

3. Multiplicacion y Division de polinomios

En matematicas, un polinomio es una expresion constituida por un conjunto finito de variables(no determinadas o desconocidas) y constantes (numeros fijos llamados coeficientes), utilizan-do unicamente las operaciones aritmeticas de suma, resta y multiplicacion, ası como tambienexponentes enteros positivos.

Hemos estudiado hasta el momento operaciones que en las que aparecen monomios, binomiosy trinomios, extenderemos las reglas para cada una de estas operaciones.

El producto de dos monomios consiste en multiplicar respectivamente los coeficientes, y lue-go multiplicar las bases algebraicas que son iguales entre si, aplicando las propiedades de losexponentes, ası por ejemplo

(−2x2y3)(3x4y) = (−2)(3)(x2 · x4)(y3 · y) = −6x6y4

Ahora podemos extender esta propiedad a un monomio multiplicado por un polinomio utilizandola propiedad distributiva de la siguiente forma

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2x2(2 + 3x− 3x2 + 4x3) = (2x2)(2) + (2x2)(3x)− (2x2)(3x2) + (2x2)(4x3)= 4x2 + 6x3 − 6x4 + 8x5

Ahora extendamos esta propiedad a un producto de dos polinomios, ambos de mas de untermino, para ello llamaremos a uno de los factores z, lo tomaremos como un monomio yaplicaremos la propiedad distributiva, luego cada termino quedara multiplicado por el polinomioque representa z y nuevamente aplicaremos la propiedad distributiva. Ası por ejemplo

(2− 2x2)︸ ︷︷ ︸z

(2 + 3x− 3x2) = z(2) + z(3x)− z(3x2)

= 2(2− 2x2) + 3x(2− 2x2)− 3x2(2− 2x2)= 2(2)− 2(2x2) + 3x(2)− 3x(2x2)− (3x2(2)− 3x2(2x2)= 4− 4x2 + 6x− 6x3 − 6x2 + 6x4

= 6x4 − 6x3 − 10x2 + 6x + 4

Vemos que como regla general cada termino del primer factor multiplica a cada termino delsegundo factor.Veamos por ejemplo

(x− x2)(3 + x− 2x2) = x(3) + x(x)− x(2x2)− x2(3)− x2(x) + x2(2x2)= 3x + x2 − 2x3 − 3x2 − x3 + 2x4

= 2x4 − 3x3 − 2x2 + 3x

Ejercicios:Calcule cada uno de los siguientes productos.

1. (x3 + x4)(2 + x2).

2. (x + x2 + x100)(1 + 2x2).

3. (x50 + x100 − x125)(−x2 − x12 + x21).

4. (x− 1)(−x2 + 3)(x4 + x3 − x + 1).

5. (x2 + 3x)((x− 2)(x3 + 2x2 − 1).

Extenderemos ahora las reglas de division de polinomios. Dividamos pues x5 + 3x3 − 4x2 + 1por x2 + x − 2. Procedemos tal como cuando usabamos los bloques algebraicos, dividiendo eltermino de mayor exponente del dividendo entre el de mayor exponente del divisor, esto esx5

x2 = x3 y este es el primer termino del cociente, luego el cociente se multiplica por el divisor yel resultado se le resta al dividendo, quedando

x5 +0x4 +3x3 −4x2 +0x +1 x2 + x− 2x3−x5 −x4 +2x3

−x4 +5x3 −4x2 +0x +1

Note la necesidad de llenar con terminos de coeficiente 0 en el dividendo en todas aquellaspotencias que no aparecen en la expresion original. Tenemos ahora la expresion simplificada ylos pasos se repiten nuevamente, ası lo primero que haremos sera calcular el siguiente terminodel cocientes que resulta de −x

4

x2 = −x2 y tenemos

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Page 15: (8)Algebra (2)

x5 +0x4 +3x3 −4x2 +0x +1 x2 + x− 2x3 − x2−x5 −x4 +2x3

−x4 +5x3 −4x2

x4 + x3 −2x2

+6x3 −6x2 +0x +1

Repitiendo el proceso dos veces mas tendrıamos

x5 +0x4 +3x3 −4x2 +0x +1 x2 + x− 2x3−x2+6x−12−x5 −x4 +2x3

−x4 +5x3 −4x2

x4 + x3 −2x2

6x3 −6x2 + 0x−6x3 −6x2 +12x

−12x2+12x +112x2+12x −24

24x −23

El resultado de la division deja cociente x3 − x2 + 6x− 12 y resto 24x− 23.

Ejercicios:Calcule el cociente y el resto en cada una de las siguientes divisiones.

1. x6 + 3x5 + 4x2 − 2 por x− 5.

2. 12x4 + 3x2 − 4x + 25 por x2 − 2.

3. 5x5 + 3x3 + 2x2 − 1 por x2 + x− 1.

4. 12x3 − 3x4 + 4x2 por x− 3.

5. 1 + 2x + 3x4 − 5x5 por 2− x2.

4. Productos Notables y Factorizacion

Definiremos una identidad como una igualdad que es verificada por cualquier conjunto de nume-ros. Todas los resultados obtenidos en esta seccion seran identidades.

Veremos las formas generales de algunos productos que son muy recurrentes en el algebra. Es-tudiaremos las representaciones algebraicas de estos.

Cuadrado de la suma de un binomio

Sabemos que geometricamente un termino elevado al cuadrado representa el area de un cuadradocuya medida de su lado es el valor de ese termino. Ası veamos de forma general lo que seria eltermino (x + y)2, hablamos entonces del area de un cuadrado de ladox + y.

15

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x

x

y

y

(x + y)2

Tracemos las lineas internas para ver que terminos se crean al realizar ese desarrollo

x

x

y

y

x2

xy

xy

y2

Ası tenemos nuestra primera identidad

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Producto de binomios conjugados

Para un binomio x + y definimos su conjugado como el binomio que se forma al escribir losmismos terminos pero cambiando el signo al segundo termino, ası el conjugado es x− y.Geometricamente se trata de calcular el area de un rectangulo cuyos lados son (x+y) y (x−y),veamos entonces que sucede

x

x− y

y

y

(x + y)(x− y)

Tracemos las lıneas internas para ver que terminos se crean al realizar ese desarrollo

x

x− y

y

y

16

Page 17: (8)Algebra (2)

Es facil ver que el area roja y el area azul coinciden ya que ambas son xy, tambien podemosver que el area blanca con el area roja es x2. Ası el area blanca con el area azul tambien es x2,por lo que el area buscada sera x2 menos el area azul que sale de nuestra figura, la cual es uncuadrado de area y2

Ası tenemos nuestra segunda identidad

(x + y)(x− y) = x2 − y2.

Cuadrado de la diferencia de un binomio

Tal como en los casos anteriores la forma geometrica del termino (x + y)2, es el area de uncuadrado de lado x− y.

x− y

x− y

y

y

(x− y)2

Tracemos las lineas internas para ver que terminos se crean al realizar ese desarrollo

x− y

x− y

y

y

Podemos ver que el cuadrado exterior tiene area x2, los rectangulos grandes de la derecha ysuperior ambos tienen area xy mientras que el cuadradito superior derecho tiene area y2. Elarea buscada resulta de quitarle al cuadrado exterior los dos rectangulos grandes, sin embargoaca estamos quitando dos veces el cuadrado pequeno por lo tanto habra que agregarlo una vez.Ası tenemos nuestra tercera identidad

(x + y)2 = x2 − 2xy + y2

Ejercicios:

1. Demuestre geometricamente que:

a) (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.

b) (x− y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3.

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c) ((x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx).

2. Desarrolle las siguientes expresiones

a) (2x + 3)2.

b) (2x + 3c + 4)2.

c) (2df − 3rg)2.

d) (3c + 4)3.

e) (2f − 5g)3.

FactorizacionEntenderemos el proceso de factorizacion como el proceso contrario al desarrollo de un produc-to, es decir, la factorizacion busca escribir la suma algebraica de terminos como el producto defactores

Es muy comun identificar en algunos libros los casos mas importantes y comunes en el algebra,aunque cabe mencionar que no son los unicos casos posibles, hablaremos aca de los siguientes:

1. Factor comun. Busca en las expresiones algebraicas todos aquellos factores que se en-cuentren presentes en todos los terminos en la suma algebraica, estos factores se tomancomo un solo termino que multiplica a la suma de todos los terminos a los cuales se lesha quitado este factor. Ası por ejemplo

18x3 − 3x2 + 6x = 3x(6x2 − x + 2)

Note que a pesar que 18x3 y 6x tiene el factor 2, el termino 3x2 no lo tiene y por lo tantono es parte de la factorizacion.

2. Diferencia de cuadrados. Esta factorizacion es el proceso contrario de el desarrollo delproducto de binomios conjugados. Ası

a2 − b2 = (a + b)(a− b)

por ejemplo, x2 − 25 = (x + 5)(x− 5).

3. Trinomios cuadrados perfectos. Se dice que un trinomio es cuadrado perfecto, si enel trinomio aparecen dos terminos cuadrados digamos a2 y b2 y el tercer termino ya seapositivo o negativo, es el doble producto de las dos raıces de los terminos cuadraticos, esdecir 2ab. la factorizacion resultante es el cuadrado de la suma o diferencia de un binomio,esto depende del signo del doble producto.

a2 ± 2ab + b2 = (a± b)2

4. Trinomios del tipo x2 + bx + c. Para factorizar un trinomio de este tipo, con b 6= 2√c,

debemos encontrar dos numeros digamos p y q tales que pq = c y p+q = b, si encontramostales numeros la factorizacion sera

x2 + bx + c = (x + p)(x + q)

este tipo de factorizacion puede ser explicada a traves de areas, hagalo.

18

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5. Binomios del tipo xn−yn, con n impar. La factorizacion para este tipo de expresionesesta dada por

xn − yn = (x− y)(xn−1 + xn−2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1)

Dejamos como ejercicio la verificacion de este hecho.

6. Binomios del tipo xn+yn, con n impar. La factorizacion para este tipo de expresionesesta dada por

xn − yn = (x + y)(xn−1 + (−1)1xn−2y + · · ·+ (−1)n−2xyn−2 + (−1)n−1yn−1)

Dejamos como ejercicio la verificacion de este hecho.

7. Binomios del tipo x4 +4y4. Esta es una conocida identidad establecida por primera vezpor la matematica Sophie Germain y muestra un truco sobre manipulacion algebraica.

x4 + 4y4 = x4 + 4y4 + 4x2y2 − 4x2y2

(gran truco para completar trinomios cuadrados perfectos)= (x2 + 2y2)2 − 4x2y2

(nos queda ahora una diferencia de cuadrados)x4 + 4y4 = (x2 + 2y2 + 2xy)(x2 + 2y2 − 2xy)

(Conocida como identidad de Sophie Germain)

Ejercicios:Factorice cada uno de las siguientes expresiones:

1. x2y + 5y2x.

2. b2 + 6b− 16.

3. m3 − n3.

4. m3 + n3.

5. m5 + n10.

6. n6 − r6.

7. a4b8 + 4x16.

8. x4 + 0,25b4.

9. r6 + y9.

10. r10− y10.

11. x2 + 16xy + 64y2.

12. xy2 + 2x2y + x3.

19

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5. Resolucion de Ecuaciones

Definiremos una ecuacion como una igualdad que es verificada para algun conjunto de numeros,dichos numeros se llamaran soluciones de la ecuacion. Este conjunto de soluciones puede serfinito o infinito, por ejemplo y = 2x posee un conjunto infinito de soluciones, mientras quex = 2 posee una unica solucion que justamente es cuando x toma el valor de 2. Nos interesaraestudiar en esta seccion ecuaciones con un numero finito de soluciones y los metodos para en-contrar dichas soluciones.

Trabajaremos tres tipos de ecuaciones:

1. Lineales. El mayor exponente de la incognita es 1.

2. Cuadraticas. El mayor exponente de la incognita es 2.

3. Cubicas. El mayor exponente de la incognita es 3.

Ecuaciones LinealesUna ecuacion lineal o ecuacion de primer grado es una ecuacion que tiene la forma de una sumade terminos, todos ellos con potencias igual o inferiores a 1. La expresion canonica general deuna ecuacion cuadratica es:

ax + b = 0

donde x representa la variable y a y b son constantes; a es un coeficiente lineal (distinto de 0)y b es el termino independiente.

Utilizaremos nuevamente los bloques algebraicos para trabajar este nuevo tema.

Dividamos nuestra area de trabajo en dos partes e imagınelas como una balanza, pues eso esjustamente lo que representa una ecuacion, la igualdad indica que los valores que tomen ellado derecho deben de ser iguales a los valores que tome el lado izquierdo. Imagine que esosvalores indican el peso de las expresiones en cada lado la igualdad implica que los pesos estanen equilibrio, tal como en una balanza.

Debemos tener en cuenta las siguientes reglas de trabajo:

1. Cada cosa que hagamos en un lado de la balanza debemos imitarlo en el otro lado dela balanza para poder mantener nuestro equilibrio (igualdad). Por ejemplo si en un ladoagregamos una ficha de peso 1 del otro lado tambien tenemos que agregar una ficha conel mismo peso.

2. Tenga en cuenta que en nuestra balanza pueden haber fichas con peso positivo (fichasblancas) y fichas con peso negativo (fichas azules) y como siempre se mantiene la reglaque una pareja de fichas de identico peso pero color contrario pueden ser agregadas oquitadas de un mismo lado de la balanza sin afectar el peso total de ese lado.

3. Nuestro objetivo sera dejar las piezas de peso x de un lado de la balanza y las piezas depeso 1 al otro lado de la balanza.

20

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Trabajemos pues con estas reglas basicas el siguiente ejemplo 2x− 3 = x + 1. Al lado de cadaposicion iremos escribiendo la operacion realizada en terminos algebraicos.

2x− 3 = x + 1

Debemos dejar los bloques de peso x en un solo lado de la balanza, aca lo mas facil es eliminarla ficha de la derecha, procedemos agregando a cada lado una ficha de peso −x en cada lado dela balanza para mantener el equilibrio.

2x− 3− x = x + 1− x

Ahora podemos retirar en cada lado de la balanza una pareja de fichas de peso x y−x, debe teneren cuenta que es una casualidad que podamos retirar una pareja de cada lado. Recuerde nuestroobjetivo unicamente era retirar la pareja en el lado derecho, en general no ocurrira siempre queretiremos lo mismo de cada lado, incluso existiran ocasiones en donde unicamente retiraremosfichas de un lado de la balanza. Nos quedarıa entonces

x− 3 = 1

Ahora debemos dejar las fichas de peso 1 del lado contrario al que se encuentra la ficha de pesox. Para realizar esto agregaremos 3 fichas blancas en cada lado de nuestra area de trabajo paramantener el equilibrio. Agregamos 3, pues ese es el numero de fichas azules en el lado izquierdoque son las que queremos retirar. Nos quedarıa

x− 3 + 3 = 1 + 3

Ahora retiramos del lado izquierdo las tres parejas de fichas de peso 1 y −1. Note que en estaocasion no retiramos ninguna pareja del lado derecho. Y ahora podemos leer nuestra respuesta

21

Page 22: (8)Algebra (2)

x = 4

Verifiquemos que en efecto x = 4 cumple con nuestra ecuacion. Tendrıamos entonces

2x− 3 = x + 12(4)− 3 = 4 + 1

5 = 5

Veamos otro ejemplo. −2x + 3 = x + 6

−2x + 3 = x + 6

Retiremos en primer lugar las fichas de peso −x del lado izquierdo, para eso agregamos a cadalado dos fichas de peso x

−2x + 3 + 2x = x + 6 + 2x

Podemos ahora retirar los dos pares de fichas de peso x y −x del lado izquierdo

3 = 3x + 6

Ahora debemos retirar las 6 fichas de peso 1 del lado derecho para eso agregamos en amboslados 6 fichas de peso −1

3− 6 = 3x + 6− 6

22

Page 23: (8)Algebra (2)

Ahora podemos retirar las seis parejas del lado derecho y tres del lado izquierdo, quedando

−3 = 3x

Note que tenemos una expresion donde aparece 3x y necesitamos unicamente x, ası dividimosnuestra area de trabajo en tantas regiones como el coeficiente que acompana a x, en este caso3, luego en cada region colocamos una ficha de peso x y repartimos las fichas peso −1 en el otrolado de forma equitativa en las sub regiones formadas

−33 = 3x

3

La solucion buscada se puede leer en cada una de las sub regiones formadas

−1 = x

Note dos hechos importantes en nuestro ejemplo

1. La fichas de peso x pueden ser dejadas en cualquiera de los dos lados de nuestra area detrabajo, es decir, es lo mismo −1 = x que x = −1.

2. La division en sub regiones significa algebraicamente una division. En nuestro ejemplologramos repartir de forma exacta nuestras fichas de peso −1, esto no siempre es posible,cuando no se puede realizar la reparticion de forma exacta, no significa que no hay solucion,significa que la solucion es fraccionaria. Encuentre por ejemplo la solucion de 3x = 4.

Ejercicios:

1. Resuelva utilizando los bloques algebraicos cada una de las siguientes ecuaciones, escribapara cada paso realizado su representacion algebraica.

a) 2x + 1 = 6x− 3

b) 3x + 5 = 5x + 1

23

Page 24: (8)Algebra (2)

c) 2x + 3 = −3x− 2

d) x + 4 = 3x− 6

e) 2x + 7 = 3x + 2

2. Resuelva de forma algebraica las siguientes ecuaciones y luego verifique sus respuestas conlos bloques algebraicos

a) 2x + 6 = 3x− 7

b) 4x + 5 = x− 7

c) −2x + 3 = −3x + 8

d) −4x + 4 = 2x− 9

e) 6x− 13 = 3x + 10

Es importante luego de entender los pasos algebraicos de simplificacion, discutir su forma sim-plificada, es decir si por ejemplo yo quiero suprimir un termino 2 de uno de los lados lo al-gebraicamente correcto es agregar −2 en ambos lados de la ecuacion, mientras que la formasimplificada que de forma comun se utiliza es decir que el 2 que esta sumando en ese lado pasacon signo cambiado al otro.

Ecuaciones Cuadraticas

Una ecuacion cuadratica o ecuacion de segundo grado es una ecuacion que tiene la forma deuna suma de terminos, todos ellos con potencias igual o inferiores a las de un cuadrado en lavariable. La expresion canonica general de una ecuacion cuadratica es:

ax2 + bx + c = 0

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadratico (distintode 0), b el coeficiente lineal y c es el termino independiente.

Por ejemplo 2x2 + 5 = −x2 + 3x es una ecuacion cuadratica pues cumple con el hecho deque cada termino tiene potencia igual o menor que 2 en la variable, sin embargo esta no estaen su forma canonica general, dicha forma serıa 3x2−3x+5 = 0, en donde a = 3, b = −3 y c = 5.

Ejercicios:Para cada ecuacion encuentre su forma canonica e identifique los valores respectivos de a, b yc.

1. 2x2 + 1 = 6x− 3

2. 3x + 5 = 5x2 + 3x + 1

3. 2x = −3x2 + 2x− 1

4. x2 + 4x− 1 = 3x2 + x− 6

24

Page 25: (8)Algebra (2)

5. 2y2 + 7y − 2 = 3y2 + 2y − 3

Las ecuaciones de segundo grado tienen dos tipos de clasificacion:

1. Completas. Son las que en su forma canonica los tres coeficientes son distintos de 0.Sus soluciones pueden aparecer en tres formas distintas:

a) Dos soluciones reales distintas.

b) Dos soluciones reales iguales.

c) Dos soluciones imaginarias distintas. En este caso diremos que no existen solucionesen el conjunto de los numeros reales

Mas adelante veremos como resolver este tipo de ecuaciones y como determinar el tipo desolucion que tendra.

2. Incompletas. Son aquellas en las cuales b, c o ambas son iguales a cero.

a) Si b = 0. Tenemos la ecuacion ax2 + c = 0, es suficiente realizar un despeje paraobtener x2 = c/a, luego es suficiente sacar raız cuadrada en ambos lados de laecuacion para obtener las soluciones

x = ±√

c

a

b) Si c = 0. Tenemos la ecuacion ax2 + bx = 0, es suficiente realizar una factorizacionpara obtener x(ax + b) = 0, luego para que un producto de como resultado 0 almenos uno de los dos factores debe ser 0, de este modo las soluciones son x = 0 yx = −b/a.

c) Si b = c = 0. Tenemos la ecuacion ax2 = 0, donde ambas soluciones son x = 0.

Solucion a la ecuacion completa

Existen diferentes metodos para resolver este tipo de ecuaciones, en primer lugar debemostransformar cualquier ecuacion cuadratica en su forma canonica general, luego podemos usaralguno de los siguientes metodos.

Metodo general.Mostraremos aca la forma que tendra cualquier solucion de una ecuacion de este tipo. Iniciamoscon la forma canonica de la ecuacion

ax2 + bx + c = 0

haremos aca un truco muy recurrente en el algebra, un cambio de variable, haremos x = t + ndonde t se convertira en nuestra nueva incognita y n es un numero por determinar, al hacer elcambio tendremos

a(t + n)2 + b(t + n) + c = 0

25

Page 26: (8)Algebra (2)

al desarrollar y simplificar obtenemos la nueva ecuacion

at2 + (2an + b)t + (an2 + bn + c) = 0

es importante notar que a pesar que en este momento nuestra ecuacion tiene una forma que asimple vista parece mas complicada, tenemos a la mano el hecho que la forma de n esta aunpor determinar. Podemos aprovechar el hecho de que las formas incompletas ax2 + c = 0 tienesolucion x = ±

√c/a y tratar de escoger un n que nos conduzca a dicha forma. El n apropiado

es entonces

n = − b

2a

pues este hara que el termino lineal sea 0. Al sustituir y simplificar obtendrıamos

at2 − b2

4a+ c = 0

de donde

t = ±√b2 − 4ac

2a

y dado que x = t + n, tendrıamos las dos soluciones

x = − b

2a±√b2 − 4ac

2a

Veamos un ejemplo. Encontremos las soluciones a la ecuacion

−x2 + 4x = x2 − 1

En primer lugar debemos colocarla en su forma canonica, tendrıamos entonces

−2x2 + 4x + 1 = 0

de donde a = −2, b = 4 y c = 1, aplicando la forma de la solucion general tendrıamos que lassoluciones estan dadas por

x = − 4

2(−2)±√

42 − 4(−2)(1)

2(−2)

es decir

x1 = 1 +

√6

2

x2 = 1−√

6

2

Queda como ejercicio verificar que estos valores de x cumplen con la igualdad planteada.

Hablemos ahora sobre las soluciones, dado que la forma es

x = − b

2a±√b2 − 4ac

2a

26

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es facil ver que habran soluciones en los reales si y solo si√b2 − 4ac existe en los reales, es

decir si b2 − 4ac ≥ 0. Si b2 − 4ac > 0 entonces las soluciones seran distintas, mientras que sib2 − 4ac = 0 las soluciones seran iguales.Si b2 − 4ac < 0 entonces la ecuacion no tendra soluciones en el conjunto de los numeros reales.

Ejercicios:Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones.

1. 2x2 + 1 = 6x− 3

2. 3x + 5 = 5x2 + 3x + 1

3. 2x = −3x2 + 2x− 1

4. x2 + 4x− 1 = 3x2 + x− 6

5. 2y2 + 7y − 2 = 3y2 + 2y − 3

Hablemos ahora de un segundo metodo ensenado tradicionalmente.

Metodo de descomposicion en factores.Tal como lo indica el nombre el metodo trata de escribir la ecuacion en forma de factores. Enprimer lugar escriba la ecuacion cuadratica en la forma

x2 + bx + c = 0

Luego la idea que se sigue es escribir el lado izquierdo de nuestra ecuacion como el producto dedos factores, de la forma

(x + m)(x + n) = 0

donde m y n son numeros por determinar, luego si la ecuacion se escribe de esa forma, eseproducto solo dara como resultado si alguno de sus factores es 0, x = −m y x = −n son los dosvalores que cumplen esta ecuacion.Ahora bien si desarrollamos los factores de nuestra ultima ecuacion obtendremos

x2 + (m + n)x + mn = 0

que debe coincidir con nuestra ecuacion original. de este modo tenemos las siguientes carac-terısticas b = m+ n y c = mn. Los numeros buscados son dos cuyo producto de c y cuya sumade b.Por ejemplo x2 − 4x + 3 = 0. Debemos buscar dos numeros cuyo producto sea 3 y cuya sumasea −4. Al buscar entre los divisores de 3 vemos que los numeros buscados son −1 y −3.Entonces x2 − 4x + 3 = (x− 1)(x− 3) = 0 y las soluciones son x = 1 y x = 3.

La sencillez del metodo ha hecho que se vuelva muy popular, puesto que ayuda a resolver ecua-ciones en las cuales los valores de m y n son faciles de encontrar. Sin embargo este metodopresenta una gran limitante m y n no deben de ser forzosamente enteros, esto nos muestra el

27

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problema de donde buscar dichos numeros, recuerde que el que usted no los encuentre a simplevista no significa que no existen en el conjunto de los reales.

Ejercicios:De las siguientes ecuaciones resuelva las que sean posibles por el metodo de descomposicion defactores y luego resuelvalas todas por el metodo general.

1. 2x2 − 4x + 6 = 0

2. 3x2 + 5x− 2 = 0

3. x2 + 2x− 3 = 0

4. x2 + 3x− 1 = 0

5. 2y2 + 2y − 1 = 0

Ecuaciones bicuadradasSon un caso particular tanto de las ecuaciones de segundo grado como de las de cuarto grado,tienen la forma

ax4 + bx2 + c = 0

Por un lado es una ecuacion de cuarto grado a la que le faltan los terminos dx3 y ex, por serde cuarto grado tendra 4 soluciones. Si hacemos el cambio y = x2 la ecuacion se convertirıa en

y2 + by + c = 0

la cual es una ecuacion cuadratica cuyas soluciones estan dadas por

y1,2 = − b

2a±√b2 − 4ac

2a

las soluciones de la ecuacion original seran entonces√y1, −

√y1,√y2, −

√y2.

Ejercicios:Resuelva las siguientes ecuaciones

1. 4x4 + 15x2–4 = 0

2. x4 − 8x2 + 7 = 0

3. 16x4 + 7x2–9 = 0

4. 4x4 − 37x2 + 9 = 0

5. (x2 + x)2–8(x2 + x) + 12 = 0

6. (x2–2x)2–11(x2–2x) + 24 = 0

28

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Ecuaciones Cubicas

Una ecuacion cubica o ecuacion de tercer grado es una ecuacion que tiene la forma de una sumade terminos, todos ellos con potencias igual o inferiores a las de un cubo en la variable. Laexpresion canonica general de una ecuacion cuadratica es:

x3 + ax2 + bx + c = 0

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadratico, b elcoeficiente lineal y c es el termino independiente.Se dice que una ecuacion cubica esta en una forma reducida si el coeficiente cuadratico es cero.

Veamos un metodo de solucion que Tartaglia y Cardano encontraron.

Sea la ecuacion cubica x3 +ax2 + bx+ c = 0, en primer lugar trataremos de escribir la ecuacionen su forma reducida mediante un cambio de variable tal como en el caso de las ecuaciones desegundo grado.Es facil ver que si x1, x2, x3 son las soluciones de nuestra ecuacion, entonces x1 +x2 +x3 = −a(muestrelo, recuerde la factorizacion). Al hacer el cambio x = z + n, las raıces de la nuevaecuacion seran z1, z2, z3 como queremos que esta ecuacion este en su forma simplificada secumplira que z1 + z2 + z3 = 0. Dado el cambio de variable utilizado tenemos que x1 = z1 + n,x2 = z2 + n, x3 = z3 + n, por lo tanto

x1 + x2 + x3 = z1 + z2 + z3 + 3n−a = 3n

de donde el cambio adecuado es x = z − a/3. Sustituyendo resulta

z3 +

(b− a2

3

)z +

(2a3

27− ab

3+ c

)= 0

por simplicidad escribamosz3 + pz + q = 0

donde

p = b− a2

3y

q =2a3

27− ab

3+ c

Ahora partiendo del desarrollo

(u + v)3 = u3 + v3 + 3u2v + 3uv2 = u3 + v3 + 3uv(u + v)

nos da la identidad(u + v)3 − 3uv(u + v)− u3 − v3 = 0.

29

Page 30: (8)Algebra (2)

Por lo tanto, si encontramos valores de u, v tales que p = −3uv, q = −u3 − v3 tendremos queuna solucion de nuestra ecuacion cubica simplificada sera z = u+v. De las condiciones podemosexpresar v en terminos de u despejando v = −p/3u.Concluimos que una condicion suficiente para que z sea solucion es que sea de la forma

z = u− p

3u

para un u que cumpla la ecuacion

u3 + q −( p

3u

)3= 0

o, equivalentemente:

u6 + qu3 −(p

3

)3= 0.

Ahora bien esta es una ecuacion cuadratica en u3, sus soluciones son

u3 =−q ±

√q2 + 4(p/3)3

2= −q

2±√(q

2

)2+(p

3

)3o de manera mas simple

u3 = −q

2±√

Combinando las dos raıces cuadradas de ∆ y las tres raıces cubicas de u tenemos seis raıces entotal pero nuestra ecuacion cubica solo puede tener 3 soluciones en total, pero veamos(

−q

2+√

∆)(−q

2−√

∆)

=(p

3

)3Esta relacion muestra que una de las raıces determina el valor de u mientras el otro determinael valor de v. Ası la primera solucion estara dada por

z1 =

(−q

2+

√(q2

)2+(p

3

)3) 13

+

(−q

2−√(q

2

)2+(p

3

)3) 13

Dado que uno de los factores de la ecuacion simplificada es z − z1 al factorizar obtenemos unacuadratica cuyas soluciones son

z2 = −z12

+

√(z12

)2+

q

z1

y

z3 = −z12−√(z1

2

)2+

q

z1

Luego xi = zi − a/3 para i = 1, 2, 3.

Cabe mencionar lo siguiente

1. Si ∆ = 0 las tres raıces son reales y al menos dos de ellas son iguales.

30

Page 31: (8)Algebra (2)

2. Si ∆ > 0 la ecuacion tiene una solucion real y dos complejas.

3. Si ∆ < 0 las tres raıces son reales.

Ejercicios:Determine las soluciones reales de las siguientes ecuaciones

1. x3 + 3x2 + 2x + 5 = 0.

2. x3 − 4x2 − 3x + 2 = 0.

3. 2x3 − 6x2 − 4x + 2 = 0.

4. 3x3 − 6x2 − 3x + 9 = 0.

6. Sucesiones Numericas

Es muy comun encontrar problemas en los cuales se nos presentan conjuntos ordenados de ob-jetos (sean estos numeros, figuras, palabras, etc.), en los cuales es necesario que encontremos unpatron que describa la forma en que estos objetos aparecen. Dicho patron nos permitira preverla forma de los objetos en cualquier posicion dentro del conjunto. Estos conjuntos reciben elnombre de sucesiones.

Iniciemos nuestro estudio con el siguiente ejemplo:

A continuacion se presentan las primeras cuatro figuras de una sucesion todas formadas porcuadros unitarios, determine la cantidad de cuadros unitarios de la quinta figura y la formade esta. Ademas determine la cantidad de cuadros unitarios de la figura que ocupa la posicionnumero n.

figura 1 figura 2 figura 3 figura 4

Solucion. Debemos encontrar las particularidades en las figuras que nos muestran para poderestablecer de esta manera una regla de comportamiento general que describa para cada n lacantidad de bolitas en la figura de la posicion n. Hagamos entonces una descripcion acercade la forma de las cuatro figuras que observamos. Dado que todas las figuras son tableroscuadriculados podemos entonces hablar del numero de filas y el numero de columnas.La figura 1 consta de una fila y una columna, 1 cuadrado unitario en total.La figura 2 consta de dos filas y dos columnas, 4 cuadrados unitarios en total.La figura 3 consta de tres filas y tres columnas, 9 cuadrados unitarios en total.La figura 4 consta de cuatro filas y cuatro columnas, 16 cuadros unitarios en total.Al tabular dicha informacion tendrıamos:

31

Page 32: (8)Algebra (2)

Figura numero n Filas Columnas Total

1 1 1 1

2 2 2 4

3 3 3 9

4 4 4 16

5...

......

...

Resulta facil obtener la siguiente informacion de nuestra tabla:

1. El numero de filas es igual al numero de la figura.

2. El numero de columnas es igual al numero de la figura.

3. El total de cuadros unitarios resulta de multiplicar el numero de filas por el numero decolumnas en cada figura.

Entonces para la figura numero 5 podemos decir lo siguiente: por (1) tendra 5 filas, por (2)tendra 5 columnas y por (3) tendra en total 5 × 5 = 52 = 25 cuadros unitarios. La figura serala siguiente:

figura 5

Nuestro caso general queda definido de la siguiente forma:Para la figura n tenemos: por (1) tendra n filas, por (2) tendra n columnas y por (3) tendra entotal n2 cuadros unitarios.Observe que este conjunto de figuras muestra graficamente la sucesion de los numeros cuadrados.

Veamos ahora un segundo ejemplo.A continuacion se presentan las primeras cuatro figuras de una sucesion, determine la cantidadde bolitas de la quinta figura y la cantidad de bolitas de la figura que ocupa la posicion numeron.

u u u u uu u u u u u uu u u uu u u u u u u u uu u u u uu u u u uu u u u ufigura 1 figura 2 figura 3 figura 4

Solucion. De nuevo debemos encontrar las particularidades en las figuras que nos muestran parapoder establecer de esta manera una regla de comportamiento general que describa para cada

32

Page 33: (8)Algebra (2)

n la cantidad de bolitas en la figura de la posicion n. Hagamos entonces una descripcion acercade la forma de las cuatro figuras que observamos.La figura 1 consta de una fila formada por dos bolitas, 2 bolitas en total.La figura 2 consta de dos filas formadas por tres bolitas cada una, 6 bolitas en total.La figura 3 consta de tres filas formadas por cuatro bolitas cada una, 12 bolitas en total.La figura 4 consta de cuatro filas formadas por cinco bolitas cada una, 20 bolitas en total.Al tabular dicha informacion tendrıamos:

Figura numero n Filas Bolitas por Fila Total

1 1 2 2

2 2 3 6

3 3 4 12

4 4 5 20

5...

......

...

Resulta facil obtener la siguiente informacion de nuestra tabla:

1. El numero de filas es igual al numero de la figura.

2. La cantidad de bolitas por fila es mayor en una unidad que el numero de filas en la figura.

3. El total de bolitas en la figura se obtiene al multiplicar el numero de filas por la cantidadde bolitas en cada fila.

Entonces para la figura numero 5 podemos decir lo siguiente: por (1) tendra 5 filas, por (2)tendra 5 + 1 = 6 bolitas en cada fila y por (3) tendra en total 5× 6 = 30 bolitas. La figura serala siguiente:

u u u u u uu u u u u uu u u u u uu u u u u uu u u u u u

figura 5

Ahora nuestro caso general quedara definido de la siguiente forma:Para la figura n tenemos: por (1) tendra n filas, por (2) tendra n + 1 bolitas en cada filay por (3) tendra en total n(n + 1) bolitas.

Terminaremos con el siguiente ejemplo.

Dada la siguiente sucesion

�@ �@ �@ �

@ �@ �@ �@ �@

33

Page 34: (8)Algebra (2)

determine que figura ocupara la posicion 121.

Solucion. Nos encontramos ahora en una situacion en la cual tenemos que relacionar la posiciondel termino en la sucesion con la orientacion del triangulo. Llamemos a los triangulos tipo 1,tipo 2, tipo 3 y tipo 4, segun el orden inicial en el que aparecieron y completemos una tabla

TIPO Posicion Posicion · · ·1 1 5 · · ·2 2 6 · · ·3 3 7 · · ·4 4 8 · · ·

Es facil ver que los triangulos se repiten cada cuatro posiciones. Los de tipo 1 apareceran enlas posiciones de la forma 4k+1, los de tipo 2 apareceran en las posiciones de la forma 4k+2,los de tipo 3 apareceran en las posiciones de la forma 4k+ 3 y los de tipo 4 apareceran en lasposiciones de la forma 4k. Como 121 se puede escribir como 4(30) + 1 podemos concluir que lafigura en esa posicion es del tipo 1.

�@

Ejercicios:Para cada una de de las siguientes sucesiones determine la figura que se le pide y ademas laforma del termino general que describe la cantidad de cuadros unitarios blancos.

1. Figura 5

figura 1 figura 2 figura 3 figura 4

2. Figura 6

figura 1 figura 2 figura 3 figura 4

3. Figura 7

34

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figura 1 figura 2 figura 3 figura 4

Sucesion Aritmetica

Una sucesion aritmetica es aquella en la cual la diferencia entre dos terminos consecutivos esuna constante. Denotaremos esta diferencia por la letra d

Por ejemplo notemos la sucesion: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, . . . donde la diferencia entre cua-lesquiera dos terminos consecutivos siempre es 3. Mientras que en la sucesion: −13, −19, −25,−31, −43, −49, −55, . . . la diferencia entre cualesquiera dos terminos consecutivos siempre es−6.

Diremos que an es el termino que ocupa la posicion n, dada la regla de construccion tendremosentonces que an = an−1 + d. Si seguimos aplicando esta regla tendremos que an = an−2 + 2d,hasta llegar a que an = a1 + (n− 1)d. Si decimos que a1 se puede escribir como b + d entoncestenemos que

an = b + nd

donde b es una constante por determinar.

Ası por ejemplo en la sucesion: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, . . . tenıamos que d = 3. Para determinarel valor de b podemos tomar cualquier termino de la sucesion por ejemplo el primero y tenemos8 = b + (1)(3) de donde b = 5, ası el termino general de la sucesion queda determinado poran = 5 + 3n.

Es facil ver que si sabemos que una sucesion es aritmetica, y conocemos dos terminos cualesquie-ra entonces podemos conocer el termino general y por ende todos los terminos de la sucesion.Suponga que conocemos los valores de ai y aj , entonces procedemos de la siguiente forma

ai = b + i · daj = b + j · d

ai − aj = (i− j)d

de donde resulta

d =ai − aji− j

y ahora es posible conocer el termino general. Veamos por ejemplo si a3 = 10 y a34 = 785,tenemos entonces

35

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a34 = 785 = b + 34 · da3 = 10 = b + 3 · d

775 = 31 · d

de donde d = 25 y dado que 10 = b + 3(25), entonces b = −65 y el termino general serıaan = −65 + 25 · n.

Tambien nos resulta interesante calcular el valor de la suma de los primeros n terminos en estassucesiones, llamaremos a estas Sn

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an

Encontremos una forma de calcular el valor de Sn

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an= (b + d) + (b + 2d) + · · ·+ (b + nd)= nb + (1 + 2 + · · ·+ n)d

= nb + n(n+1)2 d

= n(2b+dn+d)2

Sn = n(a1+an)2

Veamos por ejemplo en la sucesion: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, . . . calculemos los valores para S5

y S24.Tenemos que

S5 = 8 + 11 + 14 + 17 + 20 = 70

y segun nuestra formula tendrıamos

S5 =5(8 + 20)

2= 70

vemos que ambos calculos nos dan el mismo resultado.Para el calculo de S24 resulta poco practico calcular los terminos faltantes hasta a24 , ası nuestroprimer metodo es poco util, para nuestra formula encontrada solo necesitarıamos encontrar a24que esta dado por b + 24d , como sabemos b = 5 y d = 3 por lo tanto a24 = 77 y

S24 =24(8 + 77)

2= 1020.

Para esta sucesion en general tenemos que

Sn =n(a1 + an)

2=

n(8 + 5 + 3n)

2=

3n2 + 13n

2

Ejercicios:Para cada sucesion determine el valor de d, el valor de b, la forma general de an y la formageneral de Sn.

1. 5, 11, 17, 23, 29, . . . Ademas calcule la suma desde el termino numero tres hasta el numerodiez.

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2. −21, −6, 9, 24, 39, . . . Ademas calcule la suma desde el termino numero cinco hasta elnumero veinte.

3. −3, −2,25, −1,5, −0,75, 0, . . . Ademas calcule la suma desde el termino numero quincehasta el numero treinta y cinco.

4. 3, 4.25, 5.5, 6.75, 8, . . . Ademas calcule la suma desde el termino numero quince hasta elnumero cien.

5. 0, 2.3, 4.6, 6.9, 9.2, . . . Ademas calcule la suma desde el termino numero diez hasta elnumero ochenta.

Sucesion Geometrica

Una sucesion geometrica es aquella en la cual la razon (cociente) entre dos terminos consecuti-vos es una constante. Denotaremos esta razon por la letra r

Por ejemplo notemos la sucesion: 1, 2, 4, 8, 16, . . . donde la razon entre cualesquiera dos termi-nos consecutivos siempre es 2. Mientras que en la sucesion: 3, −12, 48, −192, 768, . . . la razonentre cualesquiera dos terminos consecutivos siempre es −4.

Diremos que an es el termino que ocupa la posicion n, dada la regla de construccion tendremosentonces que an = an−1 ·r. Si seguimos aplicando esta regla tendremos que an = an−2 ·r2, hastallegar a que

an = a1 · rn−1.

Ası por ejemplo en la sucesion: 1, 2, 4, 8, 16, . . . tenıamos que r = 2. Ası el termino general dela sucesion queda determinado por an = 1 · 2n.

Es facil ver que si sabemos que una sucesion es geometrica, y conocemos dos terminos cua-lesquiera entonces podemos conocer el termino general y por ende todos los terminos de lasucesion.Suponga que conocemos los valores de ai y aj , entonces procedemos de la siguiente forma

ai = a1 · riaj = a1 · rj

aiaj

= ri−j

de donde resulta

r = ± i−j

√aiaj

de donde debemos escoger el signo adecuado y ahora es posible conocer el termino general.Veamos por ejemplo si una sucesion geometrica tiene a2 = 12 y a5 = 32

9 , tenemos entonces

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a5 = 329 = a1 · r4

a2 = 12 = a1 · r827 = r3

de donde

r =3

√8

27= ±2

3

dado que a2 y a5 son positivos es facil concluir que r = 23 (explique) y por lo tanto a1 = 18. El

termino general serıa an = 18 ·(23

)n.

Tambien nos resulta interesante calcular el valor de la suma de los primeros n terminos en estassucesiones, llamaremos a estas Sn

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an

Encontremos una forma de calcular el valor de Sn

Sn = a1 + a1 · r + a1 · r2 + · · ·+ a1 · rn−1−r · Sn = −a1 · r − a1 · r2 − · · · − a1 · rn−1 − a1 · rn

(1− r)Sn = a1 − a1 · rn

de donde

Sn = a1 ·1− rn

1− r

Veamos por ejemplo en la sucesion: 1, 2, 4, 8, 16, . . . calculemos los valores para S5 y S24.Tenemos que

S5 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

sabemos que r = 2 y segun nuestra formula tendrıamos

S5 = 1 · 1− 25

1− 2= 31

vemos que ambos calculos nos dan el mismo resultado.Para el calculo de S24 resulta poco practico calcular los terminos faltantes hasta a24 , ası nuestroprimer metodo es poco util, para nuestra formula encontrada solo necesitarıamos saber el valorde r, por lo tanto

S24 = 1 · 1− 224

1− 2= 16777215.

Para esta sucesion en general tenemos que

Sn = a11− 2n

1− 2= 2n − 1.

Ejercicios:Para cada sucesion determine el valor de r, la forma general de an y la forma general de Sn.

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1. 2, 1, 0.5, 0.25, 0.125, . . . Ademas calcule la suma desde el termino numero dos hasta elnumero nueve.

2. 2, −4, 8, −16, 32, . . . Ademas calcule la suma desde el termino numero cinco hasta elnumero quince.

3. 2, 4/3, 8/9, 16/27, 32/81, . . . Ademas calcule la suma desde el termino numero 12 hastael numero veinte.

4. 4, 1, 1/4, 1/16, 1/64 . . . Ademas calcule la suma desde el termino numero quince hastael numero cien.

5. 1/2, 3/2, 9/2, 27/2, 81/2, . . . Ademas calcule la suma desde el termino numero 40 hastael numero ochenta.

7. Resolucion de problemas

El lenguaje algebraico esta desarrollado para resolver problemas de situaciones que pueden serrepresentadas en forma de expresiones algebraicas. Es por esto que el lenguaje algebraico es tanimportante.

Por ejemplo si nos dicen que la edad de Sara es 5 anos mas que la edad de Juan y que la edadde Alonso es el doble que la de Juan, podemos plantear estos datos en lenguaje algebraico yrepresentar las edades con las letras j, s, a para Juan, Sara y Alonso respectivamente, dadaslas condiciones planteadas estas se pueden escribir de la siguiente manera s = j + 5, es decir,la edad de Sara 5 anos mayor que la de Juan. Ademas a = 2j, es decir, la edad de Alonso esel doble que la de Juan. Esta traduccion resulta muy util cuando es amarrada a una condicionextra por ejemplo que la suma de las tres edades es 65, es decir s+a+j = 65, con las condicionesque tenemos podemos concluir que (j + 5) + 2j + j = 65 y por tanto j = 15. Ası concluirıamosque Juan tiene 15 anos, Sara 20 anos y Alonso 30 anos.

Otro ejemplo podrıa ser Al final de esta semana, ponemos $0.50 en una alcancıa vacıa. Una se-mana despues ponemos $0.75; a la semana siguiente, $1.00 y ası sucesivamente. ¿Cuanto dinerohabra en la alcancıa al final de la semana 26?Notemos que esta esta situacion algebraicamente se puede escribir como d1 = 0,50, d2 = 0,75,d3 = 1,00 (como la informacion dada), es facil identificar que la situacion descrita se trata deuna sucesion aritmetica en donde la diferencia es 0,25 y la forma general es dn = 0,50 + 0,25n,con d26 = 7,00. Sin embargo el problema nos pregunta por la cantidad de dinero acumula-do en la alcancıa por lo tanto nos esta preguntando por el valor de S26 este sera entoncesS26 = 26(0,50 + 7,00)/2 = 97,5. Habra $97.50.

Otra situacion puede ser la siguiente, nos interesa averiguar dos numeros reales cuya suma sea5 y cuyo producto sea 3.De lo estudiado en las factorizaciones sabemos que los numeros buscados son los que nos ayu-darıan a factorizar la expresion x2 + 5x+ 3 = 0, pues estos dos numeros son las soluciones, con

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signo opuesto, de esta ecuacion cuadratica, estas estan dados por

x1,2 =−5

2±√

13

2

y los numeros buscados son 52 +

√132 y 5

2 −√132 .

Otra forma de plantear este problema pudo ser la siguiente: Sean los numeros a y b, estos debencumplir a + b = 5 o escrito de otra forma a = 5 − b, ademas ab = 3 de donde (5 − b)(b) = 3 olo que es lo mismo b2 − 5b + 3 = 0, y de aca los numeros buscados son las dos soluciones a esaecuacion cuadratica

b =5

2±√

13

2

tal como ya los habıamos encontrado.

Veamos un ultimo ejemplo.Una persona tiene 2 padres (1a. generacion atras), 4 abuelos (2a.generacion atras), 8 bisabuelos y ası sucesivamente. ¿Cuantos ancestros tendrıa 13 generacionesatras?La informacion se puede traducir de la siguiente manera g1 = 2, g2 = 4, g3 = 8 es facil deducirque la informacion nos esta hablando de un hecho que puede ser representado por una sucesiongeometrica de razon 2, por lo que gn = 2 · 2n−1 = 2n. Nos preguntan sobre los ancestros 13 ge-neraciones atras, es decir nos estan preguntando sobre el valor de g13 esta seria g13 = 213 = 8192.

Los pasos claves en la resolucion de problemas los podemos describir de la siguiente manera

1. Traducir cada dato a lenguaje algebraico.

2. Hacer un dibujo de la situacion cuando esto sea posible. En la mayorıa de casos esto nosayudara a tener una comprension mejor de la situacion que se describe, sobre todo enproblemas donde estan involucradas figuras geometricas.

3. Identificar la condicion central o el dato que nos piden.

4. Identificar el tipo de problema algebraico que resuelve el problema.

Resolvamos ahora algunos ejercicios.

Ejercicios:

1. Encuentre dos enteros consecutivos cuya suma sea 73.

2. Determine las longitudes de un rectangulo si se sabe que la base es 3 veces la altura y elperımetro es 56 cm.

3. En un triangulo isosceles los lados iguales son 3 unidades mayor que el lados desigual yel perımetro de dicho triangulo es 21 unidades. Determine las longitudes del los lados deltriangulo.

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4. Carlos es 20 anos mayor que Luis, dentro de 10 anos la edad de Carlos sera el doble quela edad de Luis.¿Que edad tienen ahora?

5. Una pieza de carton rectangular es tal que su ancho es dos pulgadas mayor que su largo.Con esta pieza se forma una caja rectangular, cortando en cada esquina de la pieza uncuadrado de lado 4, y doblando luego las pestanas. Si el volumen de la caja son 672pulgadas cubicas. Determine las dimensiones de la pieza de carton.

6. Determine todos los enteros que cumplen que al sumarlo con su cuadrado el resultado es56.

7. La longitud de un rectangulo es 3 cm mayor que lo ancho, si su area es 70 cm2, determinelas medidas de sus lados.

8. Un almacen vende a $100 la primera docena de artıculos; a $99.70 la segunda; a $99.40la tercera y ası sucesivamente. ¿Cuanto pagarıamos por 11 docenas de artıculos?

9. El ultimo graderıo de un gimnasio tiene capacidad para 1000 aficionados; el penultimo,para 930; el antepenultimo, para 860 y ası sucesivamente. Si el estadio tiene 15 graderıos,¿cual es su capacidad total?

10. En una cuenta de ahorros, depositamos $100 al final del primer ano. El banco agrega 5 %compuestos cada ano. ¿Cuanto dinero habrıa al finalizar 13 anos?

11. Una bola se deja caer desde una altura de 18 m. El primer rebote alcanza una altura de6 m; el segundo, 2 m y ası sucesivamente. ¿Cual es la distancia total que ha recorrido labola al final del quinto rebote?

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