2 algebra 3ºeso

54
COLEGIO VIZCAYA EXPRESIONES ALGEBRAICAS 77 Durante la Edad Media, los árabes, además de recuperar un buen número de obras griegas, van a proporcionar a Occidente un gran tesoro que va a desarrollar de forma increíble la Aritmética, sentando de paso las bases de una nueva rama de las Matemáticas, el Álgebra. La palabra álgebra viene del término árabe al-jabr, que significa "restauración", y se refiere al cambio de términos de un miembro a otro en las ecuaciones. Durante mucho tiempo y hasta hace poco, esta palabra tuvo como acepción, según el Diccionario de la Real Academia, "Arte de restituir a su lugar los huesos dislocados". Por lo que si alguien era un algebrista, lo mismo podía ser un matemático que un médico especializado en restaurar huesos. Hacia el siglo XVI, los matemáticos se dieron cuenta de que el uso de los símbolos para representar las incógnitas, era una herramienta muy útil y práctica a la hora de resolver enunciados que escritos con palabras resultaban casi inaccesibles. Los árabes son, pues, los responsables del desarrollo del álgebra y su posterior difusión.

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  • COLEGIO VIZCAYA EXPRESIONES ALGEBRAICAS 77

    Durante la Edad Media, los rabes, adems de recuperar un buen nmerode obras griegas, van a proporcionar a Occidente un gran tesoro que va adesarrollar de forma increble la Aritmtica, sentando de paso las bases deuna nueva rama de las Matemticas, el lgebra.

    La palabra lgebra viene del trmino rabe al-jabr, que significa"restauracin", y se refiere al cambio de trminos de un miembro a otro enlas ecuaciones. Durante mucho tiempo y hasta hace poco, esta palabra tuvocomo acepcin, segn el Diccionario de la Real Academia, "Arte derestituir a su lugar los huesos dislocados". Por lo que si alguien era unalgebrista, lo mismo poda ser un matemtico que un mdico especializadoen restaurar huesos.

    Hacia el siglo XVI, los matemticos se dieron cuenta de que el uso de lossmbolos para representar las incgnitas, era una herramienta muy til yprctica a la hora de resolver enunciados que escritos con palabrasresultaban casi inaccesibles. Los rabes son, pues, los responsables deldesarrollo del lgebra y su posterior difusin.

  • COLEGIO VIZCAYAEXPRESIONES ALGEBRAICAS78

    PPARAARA EMPEZAREMPEZAR

    Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados:a) Un nmero cualquiera.b) Un nmero aumentado en 15.c) Un nmero disminuido en 23.d) El triple de un nmero.e) Dos nmeros consecutivos.f) El doble de mis libros menos 5.g) Un nmero par.h) La diferencia de dos nmeros.i) La mitad de un nmero ms su tercera parte.j) El volumen de un cubo.k) Un nmero impar.l) El permetro de un rectngulo.

    Indica si las siguientes expresiones son monomios, binomios, trinomios o polinomios. Cul essu grado?a) e)b) f) c) g) d) h)

    Calcula el valor numrico del polinomio P = -2x2 - 3x + 6 para x = -2.

    Dados los polinomios: A = 2x3 - 3x2 + 4 y B = x3 - 4x2 + 3x +2, calcula A + B y A - B.

    Desarrolla las siguientes igualdades notables:

    a)

    b)

    c)

    Simplifica las siguientes expresiones:a)

    b)

    1.

    3

    4 5

    2x 53x 4y 5z3x2x 5x 3x 2

    +

    +

    2

    2 2

    4 3 2

    xyx y xya b

    12x 8x 4x 20x

    + +

    + +

    ( )

    ( )( ) ( )

    2

    2

    3 x

    2x 3

    3x 2y 3x 2y

    + =

    =

    + =

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    3 x 2 2 3x 1 1 x

    5 x 5 3 2x 1 2x 3

    =

    + + + =

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.

  • COLEGIO VIZCAYA EXPRESIONES ALGEBRAICAS 79

    PPARAARA RECORDARRECORDAR

    1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

    Expresiones algebraicas:

    Las frmulas que dan el rea o el volumen de figuras geomtricas son expresiones en las que intervienennmeros y letras unidos por operaciones aritmticas.

    Expresiones como las anteriores se llaman expresiones algebraicas.

    Valor numrico de una expresin algebraica:

    El rea de un rectngulo es Arectngulo = b h.

    Para hallar el rea de un rectngulo de 5 cm de base y 3 cm de altura, basta con sustituir las letras b y h porsus valores numricos 5 y 3:

    Arectngulo = b h = 5 3 = 15 cm.

    El nmero 15 es el valor numrico de la expresin algebraica b h cuando b = 5 y h = 3.

    Para otros valores de b y h se obtienen otros valores numricos. Una expresin algebraica tiene infinidad devalores numricos segn los valores que demos a las letras (incgnitas).

    2. POLINOMIOS.

    Monomios:

    Una expresin algebraica es toda combinacin de nmeros y letras unidos por lossignos de las operaciones aritmticas.

    En una expresin algebraica se distinguen dos partes: el factor numrico llamadocoeficiente y el conjunto de letras con los exponentes, denominada parte literal.

    Ejemplo: { {.

    2

    coef parteliteral

    2 r h

    El valor numrico de una expresin algebraica es el valor que se obtiene al sustituirlas incgnitas por nmeros determinados y efectuar las operaciones.

    Un monomio es el producto indicado de un valor conocido (coeficiente) y uno ovarios valores desconocidos, representados por letras (parte literal).

    Se llama grado de un monomio al nmero de factores que forman su parte literal.

    Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal (mismas letras conlos mismos exponentes).

    tringulob hA2= :T ortoedroA 2ab 2ac 2bc= + +

    2

    conor hV3

    =

  • COLEGIO VIZCAYAEXPRESIONES ALGEBRAICAS80

    dffPolinomio:

    La suma o resta de dos monomios recibe el nombre de binomio.

    La suma o resta de tres monomios recibe el nombre de trinomio.

    En general la suma o resta de varios monomios recibe el nombre de polinomio.

    El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman.

    Cada uno de los monomios que componen el polinomio se llama trmino.

    El trmino de grado 0 del polinomio (si existe) es un nmero y se llama trminoindependiente.

    Un polinomio se llama ordenado, respecto de una incgnita, cuando los grados de lostrminos van creciendo o decreciendo. Es conveniente que est ordenado.

    Un polinomio se llama completo si tiene todos los trminos para todos los gradosdesde el mayor hasta el trmino independiente.

    a)

    b) 2 ab2 y -3 ab2 son semejantes (misma parte literal).

    c) 2 ab2 y 5 xy2 no son semejantes (distinta parte literal).

    Ejemplos:Ejemplos:

    2 er

    coeficiente parte literal

    2 ab monomio de 3 grado

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Completa el siguiente cuadro.

    Traduce al lenguaje algebraico:

    a) Un nmero ms la mitad de otro.b) El cuadrado de la suma de dos nmeros.c) La suma del cuadrado de dos nmeros.d) La diferencia de los cuadrados de dos nmeros.e) El doble del producto de dos nmeros.f) La mitad de la suma de dos nmeros.

    Agrupa los monomios semejantes entre s e indica el coeficiente y la parte literal:

    2x4 5t4 4x3 4t2 1/2x4 4x2 3/4t4 7x3 2/3x3 15x2

    Ordena los polinomios siguientes en potencias crecientes de x:a)

    b)

    7.

    P = 3x3 - 2x2 + x - 3 Q = 5x3 - 3x + 1 - 4x7Grado 3Trminos 5x3 , - 3x, + 1, - 4x7Trmino independiente - 3Orden creciente 1 - 3x + 5x3 - 4x7Orden decreciente 3x3 - 2x2 + x - 3Es completo? S

    4 5

    3 6 4

    3x 2 5x x

    2x x 3x 2 2x

    + +

    + +

    8.

    9.

    10.

  • COLEGIO VIZCAYA EXPRESIONES ALGEBRAICAS 81

    PPARAARA RECORDARRECORDAR

    3. OPERACIONES CON POLINOMIOS.

    Teniendo en cuenta el cuadro anterior y dados los polinomios A = 2x3 + 4x2 - 5, B = x2 - 3x + 2, C = 2x2 - 5:

    a) Indica el grado de cada polinomio.b) Calcula A + 2Bc) Calcula 2A - 3Bd) Calcula (- A) Be) Cul es el grado del polinomio resultante en cada uno de los tres apartados anteriores?

    Operacin Cmo se hace? EjemploSuma y resta Se suman o restan entre si los

    monomios semejantes (se sumanlos coeficientes y se deja la mismaparte literal).

    Si los monomios no son semejan-tes, la suma o resta se deja indica-da.

    a)

    b)

    Multiplicacin Se multiplica cada trmino de unpolinomio por cada trmino del otropolinomio y se suman los resulta-dos.

    a)

    b)

    c)

    2 2 2

    2 2 2

    3ab 4ab 5ab

    2x 5b 8x

    + =

    + =

    2

    2 2

    4ab

    10x -5b

    ( )( )( )

    2 3

    2

    2 3 2 2

    5x 3x y

    3x 2x 5x 3

    x x x 3 x 3x x 3x

    =

    + =

    + = +

    =

    5

    3 2

    3 2

    -15x y

    -6x +15x -9x

    x +2x -3x

    Indica el nombre y el grado:a) e)b) f)c) g)d) h)

    Indica si los polinomios siguientes son completos y compltalos si no lo fueran:a)b)c)

    Calcula el valor numrico del polinomio P(x) = 2x - x3 + 3x2 - 5 para x = 3 y x = -1.

    11.2 3

    4 5

    6 5

    3x yx 4x yx x

    3 x

    + +

    12

    4

    7

    xx y 4ay 8xy

    2ab 1

    + +

    2 5 4 3

    5 3

    3 2 5 4

    3x 2x 3x x 3 xx 2x 3x4x 2x 4x 3x 2 6x

    + +

    + + +

    12.

    13.

  • COLEGIO VIZCAYAEXPRESIONES ALGEBRAICAS82

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Dados los polinomios A = 3x4 - 5x2 + 6x - 7, B = 2x4 + x2 - 5x + 2 y C = 3x3 + 7x2 - 5x - 4, calcula:

    a) A + B + C b) B - A

    Realiza las siguientes multiplicaciones:a) b)

    Calcula:

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    14.

    ( ) ( )3 2 24x 3x 2x 1 4x 2x 3 + + + = ( ) ( )3 23x x 3 x 3x 1 + + =

    ( ) ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    3 2 3 2 3 2

    4 3 6 4 2

    2 3

    2 3

    2

    4x 2x x 1 3x x x 7 x 4x 2x 8

    3 x 5x 3x 2 4 x 5x 3x 1

    4x 3 x 1 4x 3x 1

    x 3x 2 3 2x x 5 x x 4

    4x 7 5x 3 5 2x 1

    + + + + =

    + + =

    + + =

    + + + =

    + + =

    PPARAARA RECORDARRECORDAR

    4. IGUALDADES NOTABLES.

    Hay tres igualdades que ya conoces, y vas a encontrar con mucha frecuencia a la hora de trabajar conexpresiones algebraicas. Por ello es necesario que las manejes con soltura y destreza. Se suelen llamarigualdades notables y son las siguientes:

    Igualdades notables:

    CUADRADO DE LA SUMA DE UN BINOMIO

    CUADRADO DE LA RESTA DE UN BINOMIO

    SUMA POR DIFERENCIA DE UN BINOMIO

    ( )( )( ) ( )

    2 2 2

    2 2 2

    2 2

    a b a 2ab b

    a b a 2ab b

    a b a b a b

    + = + +

    = +

    + =

    a)

    b)

    c)

    Ejemplos:Ejemplos:

    ( ) ( )

    ( ) ( )( )( )

    2 2 2 2

    2 22 2 2 2 4 2

    2 2 4 2

    2x 5 2x 2 2x 5 5 4x 20x 25

    3x 2 3x 2 3x 2 2 9x 12x 4

    x x x x x x

    = + = +

    + = + + = + +

    + =

    15.

    16.

  • COLEGIO VIZCAYA EXPRESIONES ALGEBRAICAS 83

    a) Demuestra las tres igualdades notables realizando los tres productos siguientes:

    a + b a - b a + ba + b a - b a - b

    b) Seras capaz de encontrar frmulas para el cubo de un binomio?

    ( )

    ( )

    3

    3

    a b

    a b

    + =

    =

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Calcula las siguientes igualdades notables:

    a) n)

    b) o)

    c) p)

    d) q)

    e) r)

    f) s)

    g) t)

    h) u)

    i) v)

    j) w)

    k) x)

    l) y)

    m) z)

    17.

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )( )( )( )( )( )( )

    ( )( )

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2 2

    2

    2

    2

    x 1

    x 3

    x 3

    2x 1

    5x 2

    5x 2y

    x 1 x 1

    x 3 x 3

    2x 5 2x 5

    x 2 x 2

    2 x 55

    2 4x5

    x y3 2

    + =

    + =

    =

    =

    + =

    + =

    + =

    + =

    + =

    + =

    =

    + =

    =

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )( )( )( )( )( )( )( )( )

    2

    2

    2

    2

    2

    22

    2

    22

    2

    x 7

    x 11

    2x 1

    3x 4

    x 3y

    3x 2x

    x 7 x 7

    1 x 1 x

    3 4x 3 4x

    2x 1 2x 1

    1x2x

    5x x2

    3 1x y2 4

    + =

    =

    + =

    =

    =

    + =

    + =

    + =

    + =

    + =

    =

    + =

    =

    PPARAARA APRENDERAPRENDER

    5. DIVISIN DE POLINOMIOS.

    Divisin de monomios:

    El cociente de dos monomios se obtiene al dividir entre si los coeficientes por unlado y las partes literales de ambos por otro. El resultado que se obtiene puede ser unnmero, otro monomio o una fraccin algebraica.

    a) b)

    c) (cociente indicado de dos polinomios)

    Ejemplos:Ejemplos:

    :

    :

    33 3

    3

    22 4

    4 2

    4x 44x 5x 5x 5

    2x 22x 3x 3x 3x

    = =

    = =

    Un nmero

    Una fraccin algebraica

    :3 2

    3 2 22

    6x y6x y 2x y 3xy 2x y

    = = Un monomio

  • COLEGIO VIZCAYAEXPRESIONES ALGEBRAICAS84

    Divisin de un polinomio por un monomio:

    Divisin de polinomios:

    Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada trmino del polinomio porel monomio.

    a)

    b)

    Ejemplos:Ejemplos:

    ( )

    ( )

    :

    :

    3 4 53 4 5 3 2

    3 3 3

    3 7 43 7 4 2 5 2

    2 2 2

    3x 6x 12x3x 6x 12x 3x 1 2x 4x3x 3x 3x

    4x 5x x 5 14x 5x x 4x x x x4x 4x 4x 4 4

    + = + = +

    + = + = +

    El cociente entre dos polinomios se obtiene de forma similar a como hacemos conlos nmeros, considerando cada uno de los monomios como cada una de las cifrasque forma el nmero.

    Para poder dividir un polinomio por otro es necesario que el grado del primero seamayor o igual que el grado del 2. Si no es as la divisin se deja indicada.

    Ejemplo:Ejemplo:

    6x4 + 5x3 - 7x2 + 3x + 2 2x2 + 3x - 1 3x2

    15382 256

    6x4 + 5x3 - 7x2 + 3x + 2 2x2 + 3x - 1 - 6x4 - 9x3+ 3x2 3x2

    - 4x3 - 4x2

    15382 25 -150 6

    3

    6x4 + 5x3 - 7x2 + 3x + 2 2x2 + 3x - 1 - 6x4 - 9x3 + 3x2 3x2 - 2x

    - 4x3 - 4x2 + 3x

    15382 25 -150 61

    38

    6x4 + 5x3 - 7x2 + 3x + 2 2x2 + 3x - 1 - 6x4 - 9x3 + 3x2 3x2 - 2x

    - 4x3 - 4x2 + 3x + 4x3+ 6x2 - 2x

    2x2 + x

    15382 25 -150 61

    38- 25

    13

    6x4 + 5x3 - 7x2 + 3x + 2 2x2 + 3x - 1 - 6x4 - 9x3 + 3x2 3x2 - 2x + 1

    - 4x3 - 4x2 + 3x + 4x3 + 6x2 - 2x

    2x2 + x + 2

    15382 25 -150 615

    38- 25132

    6x4 + 5x3 - 7x2 + 3x + 2 2x2 + 3x - 1 - 6x4 - 9x3 + 3x2 3x2 - 2x + 1

    - 4x3 - 4x2 + 3x + 4x3 + 6x2 - 2x

    2x2 + x + 2- 2x2 - 3x + 1

    - 2x + 3

    15382 25 -150 615

    38- 25132

    - 1257

    Dividendo = 6x4 + 5x3 - 7x2 + 3x + 2divisor = 2x2 + 3x - 1

    Cociente = 3x2 - 2x + 1Resto = - 2x + 3

    Dividendo = divisor Cociente + Resto

    6x4 + 5x3 - 7x2 + 3x + 2 = (2x2 + 3x - 1)(3x2 - 2x + 1) + (- 2x + 3)

    Dividendo = 15382divisor = 25

    Cociente = 615Resto = 7

    D = d C + R15382 =25 615 + 7

  • COLEGIO VIZCAYA EXPRESIONES ALGEBRAICAS 85

    Divisin por (x - a). Regla de Ruffini:

    Con mucha frecuencia nos vamos a encontrar con divisiones de polinomios en las que el divisor es unbinomio de grado 1 de la forma (x - a), donde a es un nmero real.

    Tomemos la siguiente divisin: (3x3 + 2x2 - 4) : (x + 1)

    Si la realizamos como en el ejemplo anterior:

    3x3 + 2x2 + 0x - 4 x + 1 - 3x3 - 3x2 3x2 - x + 1

    - x2 + 0x + x2 + x

    x - 4 - x - 1

    - 5

    En la prctica la divisin de un polinomio por un binomio de la forma (x - a) se puede escribir de una formaesquemtica como te explicamos a continuacin.

    Ordenamos el dividendo en orden decreciente, aadiendo los trminos que faltan con los coeficientes y sedisponen de la siguiente forma:

    Dividendo: 3x3 + 2x2 + 0x - 4 Coeficientes: 3 2 0 - 4

    Divisor: x + 1 = x - (-1)

    Observa la divisin y el cuadro que hemos obtenido:

    3x3 + 2x2 + 0x - 4 x + 1 - 3x3 - 3x2 3x2 - x + 1

    - x2 + 0x + x2 + x

    x - 4 - x - 1

    -- 55 Cociente: 3x2 - x + 1 Resto: - 5

    Este mtodo se conoce con el nombre de Regla de Ruffini.

    Prueba tu ahora a hacer la divisin (x3 - 4x2 + 5) : (x - 2) utilizando la regla de Ruffini y compara loscoeficientes que vas obteniendo con la divisin normal.

    3 2 0 - 4

    a = - 1 - 3 1 - 13 - 1 1 - 5

    3 2 0 - 4

    a = - 1 - 3 1 - 13 - 1 1 - 5

    3 2 0 - 4

    a = - 1 - 3 1 - 13 - 1 1 - 5

    3 2 0 - 4

    a = - 1 - 3 1 - 13 - 1 1 - 5

    3 2 0 - 4

    a = - 1 - 3 1 - 13 - 1 1 - 5

    3 2 0 - 4

    a = - 1 - 3 1 - 13 - 1 1 -- 55Coef. cociente Resto

    (-1)

    +

    (-1)

    +

    (-1)

    +

    Ruffini

  • COLEGIO VIZCAYAEXPRESIONES ALGEBRAICAS86

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Realiza en tu cuaderno las siguientes divisiones eligiendo el mtodo ms adecuado:

    a) i)

    b) j)

    c) k)

    d) l)

    e) m)

    f) n)

    g) o)

    h) p)

    Calcula el valor numrico del polinomio P(x) = 2x3 - 5x2 + 3x - 8 para x = - 2 y x = - 1.

    Dados los siguientes polinomios P = 3x2 - 2x + 5, Q = x3 + 4x2 - x + 1, R = 3x4 - 2x2 - 6x - 3, calcula:

    a) P + Q =

    b) P - Q =

    c) P - (Q - R) =

    Realiza las siguientes operaciones:a)

    b)

    c)

    d)

    Calcula las siguientes identidades notables:

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    18.

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    :

    :

    :

    :

    :

    :

    :

    :

    4 3 2 2

    4 3 2 2

    6 5 4

    5 4 3 2

    6 3 2

    3 2

    5

    6 2

    3x 5x x x

    6x 14x 4x 5x 4 3x x 2

    x 2x 3x 6x 8 x 3

    8x 14x 5x 2x 5x 3

    x 3x x 3 x 3x

    x 4x 6 x 4

    3x 2x 1 x 1

    x x 3 x 3

    +

    + + +

    + +

    +

    + +

    + + +

    + +

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    :

    :

    :

    :

    :

    :

    :

    :

    5 4 3 2 2

    6 4 3 2 2

    3 2 2

    7 4 3 2 3

    4 3

    3 2

    4 3 2 2

    9 5

    6x 5x 25x 31x 13x 2 2x 3x 2

    10x 27x 16x 18x 24x 2x 3

    x 6x 7x 60 x x 12

    2x 4x x 8x 9x 3 x x 1

    3x 5x 6x 2 x 3

    2x 3x 4 x 1

    x 6x 2x 3x 4 x x 2

    x x 1 x 2

    + + + +

    + + +

    + +

    + + + +

    +

    + +

    + + + +

    + +

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    2 3

    3 2 2

    2 2 3

    2 2

    5 3x 4x x 2x 2

    2x 3x 6x 2 3x 5

    5x 2 x 3x 1 x 1 x 3x 1

    3x 2 4x 3 3x x 1 x 3 1

    + =

    + =

    + + + =

    + + =

    ( )( )( )( )

    ( )

    2 2

    2

    2

    2 2

    2

    22 3

    x 1 x 1

    2x 1

    x 3

    1 12x 2x 3 3

    2 x 13

    3x 5x

    + + =

    + =

    + =

    + =

    + =

    =

    ( )( )( )( )

    ( )

    2

    23 2

    25

    22

    2

    x 7

    x 6x

    2x 4x

    3x 5

    24x3

    x 3

    =

    =

    + =

    + =

    + = + =

    g)

    h)

    i)

    j)

    k)

    l)

    19.

    20.

    21.

    22.

  • COLEGIO VIZCAYA EXPRESIONES ALGEBRAICAS 87

    PPARAARA APRENDERAPRENDER

    6. DESCOMPOSICIN FACTORIAL DE POLINOMIOS.

    Cuando descomponemos un nmero entero como producto de factores primos, lo expresamos como unamultiplicacin de dos o ms factores y para ello basta con tener en cuenta las reglas de divisibilidad por 2, 3, 5

    6 = 2 330 = 2 3 545 = 32 5.................

    Descomponer un polinomio en factores consiste en expresarlo como una multiplicacin de dos o mspolinomios (factores) tales que su producto sea el polinomio dado.

    Por ejemplo:

    porque

    No siempre es posible factorizar un polinomio pero vamos a ver varias tcnicasque nos facilitan factorizar polinomios.

    Mtodos para factorizar polinomios:

    a) Observa el polinomio 6x2 - 15x

    Se puede escribir de la siguiente forma:

    3x es un factor comn en todos los trminos del polinomio, entonces escribimos:

    Hemos escrito el polinomio 6x2 - 15x como producto de dos factores.

    b) Polinomio: 4x3 - 2x2 + 6x5 =

    Factor comn: 2x2

    1. Extraccin de factor comn.1. Extraccin de factor comn.

    ( ) ( ) ( )3 2x 2x x 2 x 1 x 1 x 2+ = + +

    ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 2 3 2x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2x x 2 x x 2+ + = + = + = + suuuuuuuuuuuur suuuuuur

    {2 15x6x

    3x 2x 3x 5 123

    ( )26x -15x=3x 2x-5

    {23 5

    2 2 2 3

    2x4x 6x

    2x 2x 2x 1 2x 3x + 14243 14243

    ( )3 2 5 2 34x -2x +6x =2x 2x-1+3x

    a) Observa el polinomio 4x2 + 12x + 9

    Se puede escribir de la siguiente forma:

    Como escribimos:

    Hemos escrito el polinomio 4x2 + 12x + 9 como producto de dos factores.

    b) Polinomio: 25x2 - 49 =

    Como escribimos:

    c) Polinomio: 9x6 - 30x3 + 25 =

    Como escribimos:

    2. Utilizacin de las igualdades notables.2. Utilizacin de las igualdades notables.

    ( )2 22x +2 2x 3 +3

    ( )22 2a 2ab b a b+ + = + ( ) ( ) ( )+ + + + +224x 12x 9= 2x 3 = 2x 3 2x 3

    ( )2 25x 7

    ( ) ( )2 2a b a b a b = + + ( ) ( )- + 225x 49= 5x 7 5x 7

    ( )23 3 23x 2 3x 5 5 +( )22 2a 2ab b a b + = ( ) + 26 3 39x 30x 25= 3x 5

  • COLEGIO VIZCAYAEXPRESIONES ALGEBRAICAS88

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Calcula las siguientes igualdades notables:a) e)

    b) f)

    c) g)

    d) h)

    Sacar factor comn:a) g)

    b) h)

    c) i)

    d) j)

    e) k)

    f) l)

    Descomponer en factores utilizando las igualdades notables:a) g)

    b) h)

    c) i)

    d) j)

    e) k)

    f) l)

    Descomponer en factores:a) g)

    b) h)

    c) i)

    d) j)

    e) k)

    f) l)

    Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos:a) f)

    b) g)

    c) h)

    d) i)

    e) j)

    Descomponer en factores como se indica en el ejemplo:a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    23.

    25.

    26.

    27.

    ( )( )( )( )( )

    2 2

    26 2

    2

    x x x x

    3x 2 3x 2

    7x 8x

    x 83

    + + =

    + =

    + =

    + =

    ( )( )( )( )

    2

    2

    22

    23

    x 3

    x 5

    3x 2a

    2x 6x

    =

    + =

    + =

    + =

    4

    2

    2 3 2 3 4

    4 5 2 3 3

    3

    2 3 3 2

    x x

    x xy

    3x y xy 5x y

    a b 2a 5a b

    2xy 3xy x

    x yz 3xy 5xy z

    + =

    + =

    + =

    + =

    =

    + =

    ( ) ( )( ) ( )

    2

    2 2

    2 2

    2 3

    2

    9x 3x

    2ax 4a x 12ax

    10x y 25xy

    49x 21ax 42x

    x x 2 6 x 2

    x x 1 x x 1

    =

    + =

    =

    + =

    + + =

    + =

    2

    2

    4

    2

    6 3 2

    2

    x 6x 9

    x 1

    x 1

    4x 12x 9

    x 2x y y

    4x 9

    + =

    =

    =

    + =

    + =

    =

    2 4

    2

    6

    2 2

    2

    2 4 2

    16y x

    3x 6x 3

    a 1

    z 9b

    4a 4a 1

    45a y 125x

    =

    + =

    =

    =

    + =

    =

    5

    2 2

    4

    2

    4 2 2

    2

    x 81 x

    2a 2b

    32 2a

    3x 12x 15

    y 25a y

    t 6t 9

    =

    =

    =

    =

    =

    + =

    2

    2

    4

    2

    2 4

    2

    x 49

    4m 16

    96 8t

    20 20x 5x

    16y x

    9x 3x

    =

    =

    =

    + + =

    =

    =

    _____

    _____

    _____

    _____

    _____

    2

    2

    2 2

    2

    2

    x 2x

    x 6x

    x y

    x 4xa

    a 36

    + =

    + =

    + + =

    + =

    + =

    _____

    _____

    _____

    _____

    _____

    2 2

    2

    2

    2

    2

    4x y

    9x 24x

    x 2x

    9x 16

    4x 9

    + + =

    + + =

    + + =

    + + =

    + =

    ( ) ( ) ( )( )

    2

    2

    2 2 2

    ac bc ad bd c a b d a b c d a b

    ay 2by 2bx ax

    a ab ax bx

    6ab 9b 2ax 3bx

    14ax 7a 2x a

    + = + = +

    + =

    + =

    + =

    + =

    24.

    28.

  • EXPRESIONES ALGEBRAICASCOLEGIO VIZCAYA 89

    PPARAARA APRENDERAPRENDER

    7. FRACCIONES ALGEBRAICAS.

    Al dividir polinomios hemos visto que podamos obtener diferentes tipos de resultados.

    Un nmero:

    Un polinomio:

    Una fraccin algebraica:

    Aunque en general una fraccin algebraica es el cociente indicado entre dos polinomios.

    Operar con polinomios es muy fcil, pero en muchas ocasiones tendremos que trabajar con fraccionesalgebraicas. Por ello tenemos que aprender a operar con ellas.

    Las operaciones con fracciones algebraicas son similares a las operaciones con fracciones numricas, habrque simplificar fracciones, reducir a comn denominador, etc.

    Simplificacin de fracciones algebraicas:

    a) Simplifica:

    Se acta igual que si estuvisemos dividiendo dos monomios:

    1. Si en el numerador y denominador slo aparecen monomios (solo hay multiplicaciones)1. Si en el numerador y denominador slo aparecen monomios (solo hay multiplicaciones)

    ( )

    ( )

    :

    :

    4

    4

    4 2

    22 2

    2 2 2

    3x6x

    6x 3x 15x 3x

    x 2x 1x 2x 1 xx x x

    =

    =

    + + = + + = + +

    3

    2

    12

    2x x 5

    2 11x x

    2 5

    46x y z12xy

    6 2 x 5 y z12 x 4 y

    2

    = xyz2

    a) Simplifica:

    2. Si en el numerador o denominador no hay monomios (hay sumas y restas)2. Si en el numerador o denominador no hay monomios (hay sumas y restas)2

    2 22x +2xy4x -4y

    ( )( )

    ( )( )( )2 2

    22x x y 2x x y4 x y x y4 x y

    + += = =

    +

    2

    2 22x +2xy4x -4y

    ( )x x y+4 ( )2 x y+ ( ) ( )x y

    =

    sacar factor igual. notables simplificar comn

    x2 x-y

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Sacar factor comn:a) c)

    b) d)

    Descomponer en factores utilizando las igualdades notables:a) c)

    b) d)

    29.4 2

    2 3 4

    x 5ax

    x x x x

    =

    + + =

    2

    2 3 3 2 2 2 5 2

    5b 25b

    8a x 16a x 4a x 12a x

    =

    + =

    4 4

    2 2

    2 2

    x y

    x y 2y x

    =

    + + =

    2 2

    5

    x 2xy 6y

    x 16x

    =

    =

    30.

  • EXPRESIONES ALGEBRAICAS COLEGIO VIZCAYA90

    Descomponer en factores:a) d)

    b) e)

    c)

    Simplificar:

    a) g)

    b) h)

    c) i)

    d) j)

    e) k)

    f) l)

    31.8 8

    2

    2 2

    16a 81b

    3x 6x 3

    a b9 25

    =

    + =

    =

    6 3 2

    2

    x 2x y y

    5x 5x 30

    + =

    + =

    3

    2

    2

    2

    5

    4 3

    3

    2

    2

    2

    8a bc12ac

    4x a12xya

    3m n6m n z

    35mm21 m

    ab aax aax bxa b

    =

    =

    =

    =

    = =

    ( )

    3 2 3

    2

    2

    2 2

    2

    2 2

    16a 12a b8ab

    mx nxxy

    m mnm n

    mx myax ay

    3ax 3ay9y 9x

    a ba b

    =

    =

    =+ =

    =

    =

    PPARAARA APRENDERAPRENDER

    Reduccin de fracciones algebraicas a comn denominador:

    a) Escribe con el mismo denominador:

    1. Si en el numerador y denominador slo aparecen monomios (solo hay multiplicaciones)1. Si en el numerador y denominador slo aparecen monomios (solo hay multiplicaciones)

    22 15 6, ,

    2x 3y y

    , , , ,2 2 2 21 5 6 x y y xy xy xy

    2

    2 2 2 22 15 6 y 5xy 6x, , , ,

    2x 3y y xy xy xy

    simplificar m.c.m. = x(de los denominadores)

    2y calcular numeradores

    a) Escribe con el mismo denominador:

    2. Si en el numerador o denominador no hay monomios (hay sumas y restas)2. Si en el numerador o denominador no hay monomios (hay sumas y restas)

    2 2 2 2 2 2x-y 2x 3, ,

    x -2xy+y 2x -2y x +2xy+y

    ( ), ,2 2 2 22 2x y 2x 3

    x 2xy y x 2xy y2 x y

    + + +

    2 2 2 2 2 2

    x-y 2x 3, , x -2xy+y 2x -2y x +2xy+y

    ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

    ( ) ( ), , , ,2 2 2

    x y 2x 3 1 x 3 2 x y x y x y x y x yx y x y x y

    + + + +

    2

    2

    sacar factor comn igual. notables

    x+yx+y x-y

    ( )( ) ( )

    ( )( ) ( )

    2 2

    x x+y 3 x-y, ,

    x+y x-y x+y x-y

    ( ) ( )2 simplific ar m.c.m. = x +y x-y

    32.

  • EXPRESIONES ALGEBRAICASCOLEGIO VIZCAYA 91

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Reduce a comn denominador:

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    33.

    2 2

    2

    2

    a a b c, , bc ac aba a 1 a b, , 2b 3b 6b

    a b c, , a b a b a bx 3 x 3 1, , x 3 x 3 x 9

    1 1 4, , x 2 x 2 x 4x y x z y z, ,

    z y x

    +

    + ++

    +

    PPARAARA APRENDERAPRENDER

    8. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS.

    Suma y resta:

    Para sumar o restar fracciones algebraicas stas se reducen primero a comn denominador y despus seopera de forma anloga a las fracciones numricas.

    a) Calcula:

    1. Cuando en los denominadores slo aparecen nmeros.1. Cuando en los denominadores slo aparecen nmeros.

    2xy 3xy 15xy 10xy6 6

    + = = =

    m.c.m.=6 operar simplificar

    xy 3xy 5xy -5xy+ -3 6 2 3

    a) Calcula:

    2. Cuando en los denominadores aparecen monomios (slo multiplicaciones)2. Cuando en los denominadores aparecen monomios (slo multiplicaciones)

    ( ) ( )2 22 2 2

    2y y 2x2y 10xy 6xy 2y 4xyxy xy xy

    ++ += = = =

    2

    2 m.c.m.=xy op erar factorizar

    2 y+2x2 10 6y+ -x y y xy

    simplificar

    a) Calcula:

    3. Cuando en los denominadores no aparecen monomios (hay sumas y restas)3. Cuando en los denominadores no aparecen monomios (hay sumas y restas)

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

    5 2 5 2 x y 2 x yx y 2 x y x y 2 x y x y

    += = =+ + +

    2 2 2 2

    5 2-x +2xy+y 2x -2y

    ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

    4 2x 3y10x 10y 2x 2y 8x 12y2 x y x y 2 x y x y 2 x y x y

    = = = = + + + 2

    factorizar m.c.m. operar

    2 2x-3y(x+y) x-y

    factorizar simplificar

  • EXPRESIONES ALGEBRAICAS COLEGIO VIZCAYA92

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Simplificar:

    a) d)

    b) e)

    c) f)

    Reduce a comn denominador:

    a)

    b)

    c)

    Calcular las siguientes sumas y restas:

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    h)

    i)

    j)

    k)

    l)

    m)

    n)

    o)

    34.3

    5

    3

    2

    4 5 2

    3 2

    4zx12z y

    35 mn21 m n6a b c2a b

    =

    =

    =

    2 2

    2 2

    2

    2

    x yx y

    4a 9b2a 3b2x 8

    2x 4x

    =+

    =

    =+

    2 2

    2 2

    a b a c b c, , ab ac bc2x 3y 2x 3y, ,

    x y x y x y

    a 2b 3a 2b 6ab, , 3a b 3a b 9a b

    +

    + +

    2 3 3

    2 3

    3 2

    2 2

    2

    a 3a 5a3 4 12

    x 2x 7x5 3 15

    a b a b 2a b3 4 6

    4a 7 2a 6 a 56 9 3

    a 3ab 4b

    3 5 1 9a 22a 2a 3a 6a

    3 4 5a a a

    3 2 1a 3a a

    b 22 b 2 b

    a b a ba b a b

    4x y x 3yx y x y

    2x x 4x 3 3 2x

    3 x 5 y x y x 36 20 15 10

    6a 3a1 x 1

    + =

    + =

    + + =

    + + =

    + =

    ++ + =

    + =

    + =

    + = +

    + = +

    + =

    =+ +

    =

    2 2

    2 2

    2ax 1 x

    x y 3x yx y x 2xy y

    =+

    =+ + +

    35.

    36.

  • EXPRESIONES ALGEBRAICASCOLEGIO VIZCAYA 93

    PPARAARA APRENDERAPRENDER

    Multiplicacin y divisin:

    a) Calcula:

    b) Calcula:

    1. Cuando en los denominadores aparecen monomios (slo multiplicaciones)1. Cuando en los denominadores aparecen monomios (slo multiplicaciones)

    2 3

    2x 5y3y 6x

    = =

    2 3 2

    operar simplificar

    2x 5y 53y 6x 9x y

    3

    2

    2x 6x3y 5y

    = =

    4

    2 3 3

    operar simplificar

    2x 5y 4x:3y 6x 5y

    a) Calcula:

    b) Calcula:

    2. Cuando en los denominadores no aparecen monomios (hay sumas y restas)2. Cuando en los denominadores no aparecen monomios (hay sumas y restas)

    ( )( )( )

    ( )( )2

    a b a b 2 a b4 a ba b

    + + = =

    +

    2 2

    2 2

    factori zar simplific ar

    a -b 2a+2b 1a +2ab+b 4a-4b 2

    ( )( )( )

    ( )( )

    ( ) ( )( )

    :2

    2 3

    a b a b 2 a b a b 4 a b4 a ba b 2 a b

    + + + = = =

    + +

    2 2 2

    2 2 2

    fact

    a -b 2a+2b 2(a-b):a +2ab+b 4a-4b (a+b)

    orizar op erar simplificar

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones:

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    h)

    i)

    j)

    k)

    37.

    ( )

    ( )

    :

    :

    :

    :

    :

    2 2

    2 2

    2

    2

    2 2

    2

    2

    2

    2

    2 2

    3 5 3 4

    3 2

    2 3

    2

    2 2

    2

    2 2

    x 2ab abx ba

    2x x yx y 2

    1 y x xyx 2y

    x y 3xx xy x y

    3ab 4xy9ab 2xx y x yx y x y

    3a b 6a bc c

    4x 3ax5ay 5y

    3x 2x2x 2 x 1a x a x4ax 6x

    a b a ba b a b

    + + =+

    =

    + =

    =+

    =

    + = +

    =

    =

    =

    =

    + + =

  • EXPRESIONES ALGEBRAICAS COLEGIO VIZCAYA94

    CURIOSIDADES MACURIOSIDADES MATEMTICASTEMTICAS

    LOS RABES Y LAS MATEMTICAS.

    Mohammed ibn-Musa Al-Khwarizmi (780-835), naci en Jwarizm(actualmente Jiva, Uzbekistn). Fue un astrnomo y matemticorabe que durante la dinasta del califa Al-Mamun fund en BagdadLa Casa de la Sabidura.

    Su obra ms importante es Al-jabr wa'l Muqabala en la que entreotros temas expone el sistema de numeracin decimal hind yprepara el camino para el posterior desarrollo del lgebra.

    La palabra al-jabr significa "restauracin", y se refiere a pasarmiembros de un lado a otro de una ecuacin. La palabra muqabalasignifica "comparacin" y consistira en reducir trminos semejantes.En lenguaje actual:

    La ecuacin 4x - 5 = 2x + 3

    se transforma por al-jabr en 4x - 2x = 3 + 5

    y esto a su vez por al-muqabala en 2x = 11

    Los seis primeros captulos del libro tratan de cada una de las formas de las ecuaciones de primer y segundogrado, pero el libro no usa ningn tipo de simbolismo y expresa todos los razonamientos mediante palabras, deeste modo llamar cosa a la incgnita:

    Cuadrado de la cosa igual a cosa x2 = bx

    Cuadrado de la cosa igual a nmero x2 = c

    Cosa igual a nmero bx = c

    Cuadrado de la cosa ms la cosa igual a nmero x2 + bx = c

    Cuadrado de la cosa ms nmero igual a cosa x2 + c = bx

    Cuadrado de la cosa igual a cosa ms nmero x2 = bx + c

    En los textos rabes para referirse a la incgnita cosa utilizaban la palabra rabe shay, que se tradujo comoxay usando los vocablos romanos, que finalmente se abrevi escribiendo slo la inicial, es decir, x, que es comoactualmente se le denomina a la incgnita en todo el mundo.

    Pero no slo debemos a los rabes el lgebra sino que ellos son tambin los responsables de la difusin delsistema de numeracin hind.

    A principios del siglo XI los nmeros indo-arbigos son utilizados por sabios, pero tambin por comerciantes ymercaderes desde la India hasta la Espaa musulmana, llegando as hasta la Cristiandad.

  • EXPRESIONES ALGEBRAICASCOLEGIO VIZCAYA 95

    La aceptacin universal de este sistema de numeracin se debe al hecho de que con slo diez smbolos, losmismos en todas las lenguas, podemos expresar cualquier nmero por muy grande que sea.

    Su gran ventaja es su carcter posicional: una misma cifra representa distintos valores segn el lugar queocupe.

    Responde a las siguientes preguntas:

    a) Qu consecuencias tiene para el mundo occidental el florecimiento cultural rabe?

    b) De dnde derivan nuestros signos numricos? Por qu son tan importantes?

    c) Traduce al lenguaje actual el siguiente problema: Cunto vale la cosa que si se triplica y se le aaden diez, vale lo mismo que la cosa ms la cosa ms 15?

    d) Transforma la expresin del apartado anterior por al-jabr y por al-muqabala.

    EVOLUCIN DE LOS NMEROS

    SIGLO IX

    SIGLO XI

    SIGLO XIII

  • EXPRESIONES ALGEBRAICAS COLEGIO VIZCAYA96

    1. En los siguientes polinomios, indica los trminos, los coeficientes y el grado total del polinomio.

    a) 2x2 - 3xy + xy3 - x4y - 4x5 b) 3am2 - 3y2 + 3my3 + m4

    2. Dado el polinomio P(x) = 3x - 2x3 + x2. Calcula P(4) Y P(- 6).

    3. Escribe los polinomios en forma reducida y ordenados en forma decreciente. Indica su grado.

    a) 2x2 - 3x3 - 2x2 + 6x - 1b) -5 + 6x2 - 3x4 + x2 + 3x4c) 4x - 7x3 + 2

    4. Cules de estos polinomios son completos? Seala los trminos que faltan en los que no lo son:

    a) P(x) = 3x2 - 4x5 + 3x4 - x3 - 3 - x b) P(x) = 6x5 - 2x + 3x3 - 12 - 5x4c) P(x) = 4x3 - x2 + 4x - 3x5 - 2 - 6x4

    5. Dados los polinomios: A = x4 - 3x2 + 5x - 1, B = 2x2 - 6x + 3, C = 2x4 + x3 - x - 4, calcula: A - B - C, C - 2A, A B.

    6. Realiza las siguientes multiplicaciones:

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    h)

    i)

    PPARAARA ENTRENARENTRENAR

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( )

    ( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( )

    ( )( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    2 2

    3 5 3

    4 3 2 4

    2

    22 2 3

    3 2

    2 4 2

    2 3 2

    22

    3x 5x 4 2x x 3

    4x 6x 2 2x 4x 3

    2x 3x 2x 5 3x x

    5x 1 x 2 x 3 x4

    3x 2 x 2x 2x 3 4x

    x 4 x 4 2x x 6x 2 x 2

    2x 4x 5 7x 2 x 3x 5x 14

    3x 7 3x 2x 3 3x 6x 3x 8

    3 1 1x 2x x 1 x 2 x 22 3 9

    + =

    + =

    + =

    + + =

    + + =

    + =

    + + + =

    + + =

    + + + =

  • 7. Calcula las siguientes igualdades notables:

    a) e)

    b) f)

    c) g)

    d) h)

    8. Realiza las siguientes operaciones:a) c)

    b) d)

    9. Sacar factor comn:a) d)

    b) e)

    c) f)

    10. Descomponer en factores utilizando las igualdades notables:a) e)b) f)

    c) g)

    d) h)

    11. Descomponer en factores:a) g)b) h)c) i) d) j)e) k)f) l)

    EXPRESIONES ALGEBRAICASCOLEGIO VIZCAYA 97

    ( )( )( )

    2 2

    2

    22

    1 11 1x x

    x x x x

    2x 6

    4x3

    + =

    + =

    + =

    + =

    ( )( )( )

    2 3 2 3

    2

    2

    1 13x 3x2 2

    5x 4x 5x 4x

    3x 5

    5 x4

    + =

    + =

    =

    =

    ( ) ( ):3 2 24x 3x 2x 1 x 2x 1 + ( )( ):3 2 22x 7x 3x 18 x 5x 6 + +

    ( ) ( ):45x 2x 1 x 2 + ( ) ( ):4 25x 3x 6x 1 x 1 +

    2 3

    2 2

    2 2

    3ax bx 6x

    6x y 3y

    15a b 5ab

    + =

    =

    =

    2

    2 3

    8 6 3 5

    3x 6x 9

    6x 15x 12

    3x 2x 5x x

    + =

    + =

    + + =

    6 4

    2

    2

    2

    x 4xx 4x 41 2 x x9 3x 9

    =

    + + =

    + =

    =

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    x 4ac400a 25ba b9 254x 9

    =

    =

    =

    =

    2

    2

    4 2

    8

    2

    4x 1x 4x 4x 5ax256x 1ax + bx=am am

    = + =

    = =

    + =

    2

    2

    2 2 2

    2 2

    5

    2

    a 2a 11 xa b c2a 2bx 16x1 a a4

    + + = =

    =

    = =

    + =

  • 12. Simplifica:

    a) f)

    b) g)

    c) h)

    d) i)

    e) j)

    13. Reduce a comn denominador:

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    14. Calcula:

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    h)

    i)

    j)

    EXPRESIONES ALGEBRAICAS COLEGIO VIZCAYA98

    ( )

    ( )

    ( )

    32

    10

    4 4 2

    2 3

    2

    2

    2

    2 2

    2

    49 a b35a b

    15a b c18ab c4b 2b

    4b 4b 1a ba b

    a ba b

    =

    =

    + =+ +

    + =+

    =+

    2

    2

    2 2

    2 2

    2 2 2

    2

    2

    4 2 2

    2

    2

    a 25a 5aa 2ab b

    a ba b ba 2a 12y 4ay

    2y 8a y

    3x 273x 6x 9

    =

    + =

    = +

    =

    =+ +

    2

    2

    2 2

    2

    2

    2 2 2 2 2 2

    3x 3 2x 5 2x, , x 4 x 2 2x 43 x x 1, ,

    x 1 x 1 x 1x y z, , yx xz xy

    z y x, , x y x z y z

    3x y 2y z 3z, , mx m x x z16x y xy, ,

    12x 3y 16x 4y 4x xy

    x y x x y, , x 2xy y x y x 2xy y

    + + +

    + +

    + + +

    + + + +

    2 2

    2 2 2 2

    2 2 2

    2

    2 3 3

    2

    2

    2

    2 2

    3a 2b 3a 2b a2 3

    5a 2 2a 3 2a 13 4 4

    a b 3a 5b 5a 4b3 2 6

    a b ay bxx y x y

    x y 1 ay ba b ab ab2 5 7 8a 21

    3a a 4a 12a5x 2 x 19 4x 3 2x2a 3a a

    1 a 1 aa a

    x y x y

    ax ax y x y

    + + =

    + + =

    + + =

    + =

    + =

    + =

    + = +

    =+

    + =+

    = +

  • EXPRESIONES ALGEBRAICASCOLEGIO VIZCAYA 99

    15. Calcula:

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    h)

    i)

    j)

    16. Dada la expresin algebraica , calcula su valor numrico para:

    a) a = 1 y b = -2 b) a = 1/2 y b = 3/4

    17. Las fracciones siguientes son equivalentes. Verdadero o falso?

    a) b)

    18. Comprueba que el rea de este trapecio es A = 2xy.

    19. Un grupo de amigos decide comprar bocadillos y refrescos para merendar; un bocadillo vale 3 y unrefresco 2 . Escribe la expresin algebraica que da el coste de la compra.

    20. Calcula el valor numrico del polinomio P(x) = 3x5 - x3 + 12 para x = 1 y x = -1.

    ( )( )

    ( )( )

    ( ) ( )

    ( )( )

    ( )

    :

    :

    :

    :

    :

    2

    2 2

    2

    2 2

    2 2

    2 2 2 2

    2

    2 2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    22 2

    22

    2

    8 4xx 2x 2x 4

    3 4 ba b a b a bax ay x xy

    ax x y

    3a x y 5x x y3a x y x x y

    3x x y a x y2x 2xy 2y

    2a a 4x y2x xy 4 4a a

    a b a bx y x y

    3x x xx y x y

    a 1 a 1x 1 x 1

    a xax x2b cx 2bx cx

    =+ +

    + =+

    + =

    + =

    =

    +

    + =+ + +

    + =

    =

    =

    ++ =

    a ba b

    +

    2 x x y 2x, , 2 y y x 2y

    + ++ +

    ( )2 2 22 2

    x y x y x y, , x yx x yx x

    + + ++ +

    x

    y

    3x

  • EXPRESIONES ALGEBRAICAS COLEGIO VIZCAYA100

    1. Calcula el valor numrico del polinomio P(x) = - 2x2 - 3x + 6 para x = 2, x = 0 y x = -4.

    2. Dado el polinomio P(x) = 3x3 + 5x2 - 2x4 - 6 - 3x:

    a) Ordnalo en forma decreciente.b) Ordnalo en forma creciente.c) Halla el trmino independiente.d) Halla el grado del polinomio.e) Halla el valor numrico para x = 1 y para x = - 1.f) Est el polinomio en forma reducida?

    3. Dados: P = 3x5 - 4x4 + 3x - 2, Q = 4x3 - 7x2 + 5x - 3, R = 5x4 + 6x3 + 3x2 - 2x + 1, S = x2 - 7. Calcula: P + Q, R - P, 3P - 5R, Q P, R : S.

    4. Calcula las siguientes igualdades notables:

    a) c) e)

    b) d) f)

    5. Calcula:

    a) b)

    6. Un viajero quiere dejar su equipaje en la consigna de una estacin de trenes. En un letrero pone que elprimer da se debe pagar 3 y, por cada da que pase sin recogerlo, 2 ms.a) Escribe la expresin algebraica que da el precio para n das.b) Calcula el precio para n = 3, 5 y 10 das.

    7. Expresa con un monomio el rea de la parte coloreada de la figura:

    8. Calcula:

    a) g)

    b) h)

    c) i)

    d) j)

    e) k)

    f) l)

    9. Calcula:a) c)

    b) d)

    10. Sacar factor comn:a)b)c)

    d)

    11. Descomponer en factores utilizando las igualdades notables:a) d) g)b) e) h)

    c) f)

    PPARAARA APRENDER MSAPRENDER MS

    ( )( )

    ( )

    2 5 2 5

    22

    2x 3x 2x 3x

    x 1

    + =

    =

    ( )23x 2x xy y2 2

    + =

    + =

    ( )222

    3x 2y

    2 x 13

    =

    =

    ( )322x 3x = ( )323x x+ =

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    :

    :

    :

    :

    :

    :

    6 5 4 3 2 2

    4 3 2 2

    4 3 2

    5 4 3 2 2

    4 3 2

    7 4 3 2 3

    2x x 4x 5x 4x 6x 8 x 2

    3x 11x 21x 11x 3 x 2x 4

    10x 6x 11x 14x 2 5x 2

    2x 6x 23x 2x 16x 3 x 5x 1

    2x 3x 2 x 1

    4x 5x 3x 2x 5x 1 x 2x 1

    + +

    + + + +

    + + + +

    + + + +

    + + +

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    :

    :

    :

    :

    :

    :

    6

    4 3 2

    5 4 3 2

    3 2

    6 4 3

    6 5 4

    3x 2 x 1

    x 2x x 3x 2 x 2

    3x 2x x 6x x 1 x 1

    3x 5x 6x 2 x 2

    x 3x 2x x 4 x 2

    x 2x 3x 6x 5 x 2

    + +

    + +

    + +

    +

    + +

    + + +

    x

    x

    ( ) ( )( )( )( ) ( )

    2 3 5 4 2 4

    5 3 4 3 5 4

    4x 3x 2x 4x 3x 2x 2x 2x

    3x 4x 2x 7 6x 3x 6x 7 2x 3x 4x

    + + + + =

    + + + + =

    ( )( )( ) ( )( )

    3 2 6 4

    2 2 2 2

    x 5x 7 x 5x 3x 1

    3x x 1 4x 7x 2x 7x 2x

    + + =

    + + =

    2 8 2

    5 4 3

    2 2

    2 3

    18x 45x 9x4x 6x 10x2ax 4a x 12ax6a 4ab 2a b25 5 15

    + + =

    + =

    + =

    + =

    ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    22 2 2 2

    2

    2 3

    3x x 1 x 1 x 1 x 1

    4 x 3 5 x 3 x 3 x 3

    3 x 2 x 2 2x x 2 ab x 2

    + + =

    + + =

    + + =

    e)

    f)

    g)

    4 4

    2

    2

    x y4 x4 16x9 25

    = =

    =

    6

    6 4

    4

    a 14x y9 x 125

    = =

    =

    2 4

    4 2

    16y x9x y

    =

    =

  • EXPRESIONES ALGEBRAICASCOLEGIO VIZCAYA 101

    12. Descomponer en factores:a) c) e)b) d) f)

    13. Simplificar:

    a) c) e)

    b) d) f)

    14. Realiza las siguientes operaciones:

    a) h)

    b) i)

    c) j)

    d) k)

    e) l)

    f) m)

    g) n)

    15. Expresa con un monomio el rea de la parte coloreada de estas figuras:

    16. Calcula las siguientes igualdades notables:

    a) d) g)

    b) e) h)

    c) f) i)

    17. Calcula:

    a) i)

    b) j)

    c) k)

    d) l)

    e) m)

    f) n)

    g) o)

    h) p)

    4 2

    2

    x yx 64 16x

    =+ =

    2 2

    2

    a 16ab 64b18 2b

    + = =

    4

    2 4 2

    32 2a45a y 125x

    =

    =

    2 4

    2

    3 2

    2

    10ab x15ab cx y 2x y xyx y xy 2y

    =

    + + =

    2 2

    2 2

    3 2

    3 2

    9a 4b9a 12ab 4b9b 6b b

    9b 3b

    =+ + + =

    2 29a 30ab 25b3a 5b

    x yy x

    + + =+

    =

    2 2

    2 2

    2 3 3

    2

    2

    2

    2 3

    a b a b 3a 2b b2 4 6 3a b a b a

    24 48 48 415x 100x 25x 5x

    4 3 3 41 4 5b

    3yb 6y b 9yb3x 5y 3z 20ay 9z2a 3a 4a 12ay 4y y 1 5

    8y 2y 123 1 b 2b b4b 3b 6b

    + + =

    + + =

    + + =

    + =

    ++ + =

    + + + =

    + + =

    ( )

    2

    2

    2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    2

    x 1 xx x 2 2x2 1 3 a

    1 a 1 a 1 a1 2x 1

    x 1 x 1 x 1a a 2b

    a b a b a bx 1 1 x 4x 2x 4 2x 4x3 x 2y x y

    x 2xy y 12x 24y

    y x xy1x 2y

    =+ +

    ++ =+

    + =+

    = + + + =

    + + =

    +

    + =

    ( )

    :

    ( ) ( ):( )

    :

    :

    2 2

    2

    3 2 3

    2

    3 2

    2 2 2

    2 2

    2

    3

    2 2

    x y 3xx xy x yx x 3x 3xx 5 x 25a b a ba b a b

    x x 1x 1x 1 x 2x 13 3x 4xyy 2

    xy 1 10z5z x 1 x 1

    =+ = + + =

    + = + +

    =

    = +

    o)

    p)

    q)

    r)

    s)

    t)

    x x x

    x x x

    ( )

    ( )( )

    22

    2

    2 2 2 2

    6 2x

    3 2x2 3a 2x a 2x

    =

    = + =

    ( )

    ( )

    23

    23

    22

    3x 4y

    4 4x3 9

    x 2y

    =

    =

    + =

    ( )( )

    ( )( )

    5 5

    23 2

    3 3

    x 2 x 2

    5 x x42x 3 2x 3

    + =

    = + =

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ){ }

    ( ) ( )( )

    :

    :

    :

    :

    :

    :

    5 4 3 2 3

    4 3 2 2

    4 3 2 2

    4 3 2 2

    4 3 2 2

    3 2 2

    22

    22 3 2 4 2 4

    x 5x 2x 13x 13x 2 x 3x 2

    3x x 5x x 5 x 3x 1

    6x 5x 7x 3x 2 2x 3x 1

    x 5x 11x 12x 6 x x 2

    6x x 5x 3x 14 2x 3x 7

    x 2x 2x 1 2x x 3

    4x 5x 5x 6 5x 6

    4x 3x 2x 5x 2x 5x 2x

    + + + + +

    + + + +

    + + + +

    + + +

    + + +

    + +

    + + =

    + + + =

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    :

    :

    :

    :

    :

    :

    4 3

    3 2

    3 4 2

    2 4

    2 4

    5 3 2

    2 2

    6 4 2

    3x 5x x 8 x 2

    5x 3x 8x 6 x 3

    8x 3x x 20 12x x 3

    x 3x 3 x x 3

    x 3x 2x 5 x 3

    x 2x 3x 7 x 1

    5x 2x 3 4x 2 7x 3x 2 4x 1 5x 1

    7x 2x 1 3 x 2x 3 4 5x 6 4x 3

    + +

    +

    + + + +

    +

    + +

    + +

    + + + + =

    + + =

  • EXPRESIONES ALGEBRAICAS COLEGIO VIZCAYA102

    18. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) junto a Arqumedes y Newton, es sin duda uno de los tres grandesgenios que ha ocupado el podium de las matemticas a lo largo de la historia. Las aportaciones de

    Gauss se produjeron en todos los campos de las matemticas(teora de nmeros, anlisis, geometra) y en la fsica (ptica,magnetismo). Cualquier gran descubrimiento que se produjoen matemticas durante el siglo XIX se encuentra tras la sombrade la figura de Gauss. Aunque muchos de sus descubrimientosno vieron la luz hasta despus de su muerte.

    Se cuenta que cuando Gauss tan slo tena 10 aos seencontraba en la escuela en un aula junto con otros cien

    alumnos. Aunque la disciplina en aquella poca era muy frrea, un da el profesor les pill a todostirndose papeles y tizas en clase. El profesor muy enfadado, orden a todos los alumnos, comocastigo, que sumaran todos los nmeros del 1 al 100. Nada ms terminar de proponer el problema,Gauss fue a la mesa del profesor y le dio la respuesta correcta. Serias capaz de realizar esta suma entan poco tiempo? Encuentra una expresin para la suma de los n primeros nmeros naturales.

    19. Escribe el rea y el permetro de estas figuras:

    20. Realiza las siguientes operaciones:

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    h)

    i)

    j)

    k)

    l)

    m)

    2 2

    2 2

    2 2

    3 2

    4 3 2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    x 2ax amx ma

    a 2ab ba bx 2x

    x 4x 4x14a 7ax10ay 5xya b a b 3a 2b b

    2 4 6 33x 5y x y4 6 2 3a b b 2b 2a 42ab 4b 8a

    2a 4 a x x 2x8a 2ax 4x

    3 x 2x x 1x x 1 3x2a 2a 1 1

    1 2a 2a 2a 4a3a 2b a 3

    a b a b

    + =

    + + = =

    + =

    + + =

    + + =

    + + =

    + =

    + =

    + =

    + 2 2

    2

    2 2

    2 3

    aba b

    x x 2yx y x y x y5x 1 12 y 3y4 4y 4y y

    =

    = +

    ++ + =

    ( ) ( )

    ( )

    :

    :

    :

    2

    2 3

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    3

    2 2 2

    2 2 2

    2 2 2 2

    2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    2

    3a x6a 9a x15mn 12m n

    21 m n2b 2a 1 2a 2b

    a b a b a bx y x yx y x 2xy y

    x 1 x 1 yy x 1

    b ax c x yc xy b a x

    xy a y x ya x y x axy

    x 1 x 1x 1 xa 2ab b a b

    x y x y1 a a b

    b ab bx 4

    x

    =

    =

    + + = + + = + +

    + =

    + =

    =+

    =+ + =

    + =

    :( )2 2 x2x 1

    x y 3 x y 5 x 221 49 42 14

    + = +

    + + + =

    2 2 2

    2 2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    2

    2

    2

    2

    a a 1 a b b2b 3b 6b 4a a 1 a b b3b b ab a

    1 1 aa1 a 1 a1 x 11x x x

    x y y x x yx y x y x ya b a b 4aba b a b a b1 x 1 x x 11 x 1 x 1 xx 5 3 x 3x

    2x 4 x 4 x 24 x 3 x 5

    5 3x 25 9x 5 3xx y 3x yx y

    + + =

    + + =

    + =+

    ++ =+

    + ++ = +

    + = + + + + + = + + = +

    = + +

    2

    2 2

    2

    2

    2 2

    x 2xy y2x 3x 1 1 xx 1 x 1 x 1

    3 1 x 102x 4 x 2 2x 8

    3a 3a 2b 4b3ab 2b 12ab 9a 6ab

    =+ ++ + =

    ++ =

    ++ + =

    25

    x

    x3

    7x

    x+1 x-2 x+3

    x-2x-5

    x-1

    x+2 x+5 x+1

    n)

    o)

    p)

    q)

    r)

    s)

    t)

    u)

    v)

    w)

    x)

    y)

    z)

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    h)

    i)

    j)

    k)

    l)

  • COLEGIO VIZCAYA ECUACIONES 103

    El estudio de las ecuaciones a lo largo de la historia es una parte de lasmatemticas que ha interesado y han estudiado casi todos los matemticos desdela antiguedad.

    La cultura babilnica, que tuvo su explendor entrelos aos 2000 y 1000 a.C., nos ha dejado unastablillas de arcilla sobre las que escriban y por lascuales sabemos que su numeracin era posicionaly sexagesimal, y que adems resolvan problemasque requeran la utilizacin de ecuaciones deprimer y segundo grado, entre otras.

    As mismo, tambin se conservan papiros de lacultura egipcia, como el papiro de Rhind (548 m x033 m) o el papiro de Mosc, entre los que seencuentran 110 problemas relacionados con la vidacotidiana que requieren de la resolucin deecuaciones de primer y segundo grado.

    Pero sin duda Diofanto de Alejandra (Siglo III d.C.) esconsiderado como uno de los ms importantesalgebristas griegos, adems del padre del lgebra. Suobra ms importante que conocemos es un tratadollamado Arithmetica, que constaba de 13 libros de loscuales slo conocemos los seis primeros. En l seplantean una coleccin de problemas sobreaplicaciones del lgebra.

    Poco se conoce de su vida, salvo la edad a la quefalleci, gracias al epitafio redactado en forma deproblema que se encuentra en su tumba:

    Caminante! Aqu yacen los restos de Diofanto. Los nmeros pueden mostrar, ohmaravilla! La duracin de su vida, cuya sexta parte constituy la hermosa infancia.Haba transcurrido adems una duodcima parte de su vida cuando se cubri devello su barba. A partir de ah, la sptima parte de existencia transcurri en unmatrimonio estril. Pas, adems, un quinquenio y entonces le hizo dichoso elnacimiento de su primognito. Este entreg su cuerpo y su hermosa existencia ala tierra, habiendo vivido la mitad de lo que su padre lleg a vivir. Por su parteDiofanto descendi a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatroaos a su hijo. Dime, caminante, cuntos aos vivi Diofanto hasta que le lleg lamuerte.

    Papiro de Rhind.

  • COLEGIO VIZCAYAECUACIONES104

    PPARAARA EMPEZAREMPEZAR

    Resuelve las siguientes ecuaciones:a) c)

    b) d)

    Dadas las ecuaciones siguientes, comprobar que:

    a) 3x = 12 tiene solucin x = 4.

    b) 2x2 = 8 tiene dos soluciones: x = 2 y x = - 2.

    c) 2x - x = 12 + x no tiene solucin.

    Resuelve los siguientes sistemas por el mtodo que se indica:

    a) c)

    b) d)

    1.( ) ( )2 x 3 3 x 4 1 = ( )3x 2x 5 12 =

    x 1 x 2 x 3 02 3 4 =

    3x 3 3x 2 1 x 34 3 6 12+ + = +

    x y 10 Grficamente

    x y 2+ =

    =

    2x 3y 3 Sustitucin

    x 2y 1 =

    =

    3x y 2 Igualacin

    2x 3y 16 =

    + =

    3x 4y 4 Reduccin

    x 2y 2+ =

    + =

    2.

    3.

  • COLEGIO VIZCAYA ECUACIONES 105

    Encuentra un nmero cuyo doble disminuido en su mitad sea igual al mismo nmeroaumentado en una unidad.

    Encuentra tres nmeros cuya suma sea 472, sabiendo que el mayor vale los 3/2 del menor y queel valor del mediano es solamente 8 unidades inferior al del mayor.

    El perro de Aitor tiene 12 aos menos que l. Dentro de 4 aos, Aitor tendr el triple de la edadde su perro. Cul es la edad de Aitor y la de su perro?

    Resuelve la siguiente ecuacin de segundo grado: x2 - 2x - 3 = 0.

    4.

    PPARAARA RECORDARRECORDAR

    1. ECUACIN.

    Queremos resolver el siguiente problema:

    "Calcula tres nmeros sabiendo que el primero es 20 unidades menor que el segundo, el tercero esigual a la suma de los dos primeros y entre los tres suman 120."

    A simple vista, resolver este problema podra resultar muy complicado, sin embargo has aprendido a utilizaruna herramienta que te puede facilitar su resolucin. Esta herramienta es el lgebra.

    Lo primero que tienes que hacer es traducir al lenguaje algebraico el problema. Para ello al dato quedesconocemos le llamaremos incgnita y lo vamos a representar con la letra x.

    El segundo nmero x

    Traduce ahora tu el resto del problema:

    El primer nmero es 20 unidades menor que el segundo El tercer nmero es igual a la suma de los primeros Entre los tres suman 120

    Como ves si el enunciado del problema lo expresamos en lenguaje algebraico, se reduce a la expresinanterior que ahora es muy fcil de resolver dejando los trminos que tienen x a la izquierda de la igualdad ylos trminos que no tienen x a la derecha.

    Resuelve la ecuacin, da la solucin del problema y despus comprubala.

    5.

    6.

    7.

  • COLEGIO VIZCAYAECUACIONES106

    2. GRADO DE UNA ECUACIN.

    Responde a las siguientes preguntas:

    a) Cul es el grado de la ecuacin: 3x + 5 = 2x - 7?

    b) Y de la ecuacin x2 - 2x + 1 = 0?

    c) Cuntas soluciones tienen cada una de las dos ecuaciones anteriores?

    d) Cuntas soluciones tendr una ecuacin de tercer grado?

    e) Y una de cuarto grado?

    f) Cul es el grado de la ecuacin (x + 3)(x - 2) = 0?

    Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

    Resolver una ecuacin es encontrar el valor, o valores, que deben tener lasincgnitas para que la igualdad sea cierta.

    El valor numrico de la incgnita se llama solucin.

    Las ecuaciones que tienen solucin se llaman compatibles. En caso contrario,incompatibles.

    Comprobar una ecuacin consiste en sustituir las letras por los valores obtenidos yver si la igualdad resultante es cierta. Este paso conviene hacerlo siempre para ver sila solucin es correcta.

    Grado de una ecuacin: es el mximo exponente con el que figura la incgnitadespus de haber realizado las operaciones indicadas.

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Traduce al lenguaje algebraico:

    a) La tercera parte de un nmero. h) La mitad de un nmero.b) La octava parte de un nmero. i) El doble de un nmero.c) La vigsima parte de un nmero. j) El triple de un nmero.d) Las dos terceras partes de un nmero. k) El quntuplo de un nmero.e) Las tres quintas partes de un nmero. l) El cudruplo de un nmero.f) Las cinco octavas partes de un nmero. m) Siete veces un nmero.g) Las cuatro quintas partes de un nmero. n) Dos veces un nmero.

    Completa la frases siguientes con un nmero:

    a) 12 excede a 10 en ........... unidades.b) 15 disminuido en ............ unidades da 8.c) Si se aaden ................. unidades a 16 se obtiene 20.d) .................... excede a 30 en 6 unidades.e) Si le resto 8 unidades a .................. obtengo 10.f) 12 disminuido en 3 unidades, excede a 4 en ...............g) ................... disminuido en 8 unidades da 3.h) Si a 15 le resto .................... unidades resulta 8 aumentado en 3 unidades.

    8.

    9.

  • Expresa los siguientes enunciados con una ecuacin de segundo grado:

    a) El producto de un nmero natural por otro consecutivo es 416.b) El rea de un rectngulo cuya base tiene 3 cm ms que la altura es 108 m2.c) La edad de Aitor por la edad que tendr dentro de 9 aos es 360.d) El cuadrado de la diferencia entre un nmero y 7 es 121.

    Indica el grado de las siguientes ecuaciones. Es el valor 5 solucin de alguna de ellas?a) 7x + 1 = 34 e) x3 + x2 + x + 1 = 156b) x2 + 7 = 4x + 12 f) (x + 7)2 = 144c) x4 - 400 = 325 g) 10x + 25 = x3d) x2 + 6x + 5 = 0 h) 3(x2 + 1) = 78

    COLEGIO VIZCAYA ECUACIONES 107

    10.

    PPARAARA RECORDARRECORDAR

    3. RESOLUCIN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO:

    Para resolver una ecuacin de primer grado con una incgnita debemos seguir siempre unos pasos paraevitar equivocarnos. Recordemos con un ejemplo cules son esos pasos:

    Resuelve la ecuacin:

    1 Quitar los denominadores:

    2 Eliminar los parntesis:

    3 Dejar los trminos en x en un miembro:

    4 Simplificar cada miembro:

    5 Despejar la x:

    La solucin es x = 7.

    6 Comprobar:

    Ejemplos:Ejemplos:

    ( )2 x+33x-1 4x+2- = -520 5 15

    ( )( ) ( )

    . . .m c m 603 3x 1 12 2 x 3

    60

    = +

    ( )4 4x 2 60 560

    + =

    ( ) ( ) ( ) 3 3x 1 24 x 3 4 4x 2 300 + = +

    9x 3 24x 72 16x 8 300 = +

    9x 24x 16x 8 300 3 72 = + +

    31 x 217 =

    217 x 731

    = =

    ( )

    ( )

    2 x 33x 1 4x 2 520 5 15

    2 7 33 7 1 4 7 2x 7 520 5 15

    20 20 30 520 5 15

    1 4 2 5

    3 3

    + + =

    + += =

    =

    =

    =

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Resuelve las siguientes ecuaciones:a) c) e)

    b) d)

    12.

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    3 3x 1 x 1 6 x 10

    4 x 1 7 x 6 5 x 6

    + = +

    = +

    ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

    x x 9 4 x 7 x 7

    8 3x 2 4 4x 3 6 4 x

    = +

    =

    ( ) ( ) ( )3x x 2 7 2 x 4 3x 2 5x + + = +

    11.

  • COLEGIO VIZCAYAECUACIONES108

    Resuelve las siguientes ecuaciones:

    a) c) e)

    b) d)

    Observa el ejemplo y resuelve las dems ecuaciones de forma anloga:

    a) c) e)

    b) d) f)

    13.

    x 7 7 x x 7 72 6 12+ = + 5 x 5 x 1 x 1

    4 5 4+ + =

    ( ) ( )

    x 42 4x 722 3

    3 x 42 2 4x 723x 126 8x 1443x 8x 144 126

    5x 1818x5

    + +=

    + = +

    + = + =

    =

    =

    6x 1 5x 6 2x 15 7 3 + =

    x 1 x 2 3x 1 x4 3 6 + = x x 2 14 x 5x5

    4 5 2 12 = +

    x 3 x 53+ = + 4x 12x 5

    4 =

    x 1 x 4 x 315 5 2+ + + =

    x 2 x 3x 12 3 = x 7 x 1 x 5

    4 3 + =

    14.

  • COLEGIO VIZCAYA ECUACIONES 109

    PPARAARA RECORDARRECORDAR

    4. RESOLUCIN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

    Toda ecuacin de segundo grado con una incgnita se puede expresar de la forma:ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son nmeros reales y .

    Toda ecuacin de segundo grado tiene dos soluciones que pueden ser iguales odistintas y se obtienen aplicando la siguiente frmula:

    Demostracin:

    Las dos soluciones se obtienen al coger el signo + y - en la expresin anterior.

    a 0

    =2b b 4acx

    2a

    2

    2

    2 2

    Tomamos la ecuacin a x bx c 0

    Pasamos al segundo miembro ax bx c

    Para que aparezca un cuadrado perfecto:- Multiplicamos por 4a x

    + + =

    + =

    +

    c

    4a

    ( )

    2 2 2 2

    2 2

    2

    4abx 4ac - Sumamos 4a x 4abx b 4ac b

    Escribimos la igualdad notable 2ax b b 4ac

    Tomamos la raz cuadrada 2ax b b 4ac

    Pasa

    =+ + = +

    + =

    + =

    2b

    2

    2

    mos al segundo miembro 2ax b b 4a c

    b b 4acFinalmente despejamos la x2a

    =

    =

    b

    x

    ( )

    2

    2

    3 =99 3 porque

    3 =9

    =

    Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.a)

    b)

    Ejemplos:Ejemplos:

    ( )

    2

    2

    a 2, b 5, c 25 3 8 2

    4 4b b 4ac 5 25 4 2 2 5 25 16 5 9 5 3x2a 2 2 4 4 4

    5 3 2 14 4 2

    Las dos soluciones son: y .

    x 2 2 2 5 2 2 8 10 2 0

    = = =+ = =

    = = = = = =

    = =

    = + = + =

    22x - 5x +2 = 0

    1x = 2 x = 2

    Comprobacin :21 1 1 2 5 2 10 8 x 2 5 2 2 0

    2 2 2 4 2 4 4 4 = + = + = + =

    ( )

    ( )

    ( )2 2

    2

    x x 12 x x 12 0 a 1, b 1, c 12

    1 7 8 42 21 1 4 1 12b b 4ac 1 1 48 1 49 1 7x

    2a 2 1 2 2 21 7 6 3

    2 2Las dos soluciones son: y .

    x

    = = = = =

    + = = + = = = = = =

    = =

    x x -1 = 12

    x = 4 x = - 3

    Comprobacin :

    ( ) ( )

    2

    2

    4 4 4 12 16 4 12 0

    x 3 3 3 12 9 3 12 0

    = = =

    = = + =

  • COLEGIO VIZCAYAECUACIONES110

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Resuelve las siguientes ecuaciones:

    a) x2 - 5x + 4 = 0

    b) x2 - 9x + 14 = 0

    c) - x2 + 9x - 18 = 0

    d) 4x2 - 32x = 0

    e) 2x2 - 5x + 2 = 0

    f) - x2 + 7x + 18 = 0

    g) 4x2 - 16 = 0

    h) x2 - 10x + 21 = 0

    i) 12x2 - x - 1 = 0

    En la ecuacin x2 + bx + 15 = 0, una solucin es 5. Cunto vale b? Cul es la otra solucin?

    Cules de las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen como soluciones x = 1 y x = 3?

    a) (x - 1)(x + 3) = 0 c) (x + 1)(x - 3) = 0 e) x2 - x = 0

    b) (x + 1)(x + 3) = 0 d) x2 - 3x = 0 f) x2 - 4x + 3 = 0

    15.

    16.

    17.

  • COLEGIO VIZCAYA ECUACIONES 111

    PPARAARA APRENDERAPRENDER

    5. RESOLUCIN DE UNA ECUACIN INCOMPLETA DE SEGUNDO GRADO.

    Recuerda que una ecuacin de segundo grado se puede expresar de la forma ax2 + bx + c = 0, con . En muchas ocasiones nos vamos a encontrar ecuaciones incompletas en las que no hay b o c:

    b = 0 2x2 - 4 = 0 (a = 2, b = 0, c = - 4)c = 0 3x2 - 6x = 0 (a = 3, b = - 6, c = 0)b = c = 0 - 5x2 = 0 (a = - 5, b = 0, c = 0)

    Las ecuaciones incompletas, como cualquier ecuacin de segundo grado, se pueden resolver aplicando lafrmula, pero tambin es posible resolverlas directamente de una forma ms sencilla. Veamos algunos ejemplos:

    Resuelve las siguientes ecuaciones:

    a) (b = 0)

    b) (b = 0, c = 0)

    c) (c = 0)

    Ejemplos:Ejemplos:

    a 0

    2 2

    2

    Despejamos la x : 2x 3232 x 162

    Tomamos la raz cuadrada: x 16 4

    Las soluciones son y

    =

    = =

    = =

    22x -32=0

    x = 4 x = -

    ( )

    2

    2

    .

    x 4 2 4 32 32 32 0

    x 4 2 4 32 32 32 0

    = = =

    = = =

    4

    Comprobacin :

    2 2

    (se dice que la solucin es doble)

    0Despejamos la x : x 03

    Tomamos la raz cuadrada: x 0 0

    Las soluciones son

    x 0 3 0 0

    = =

    = =

    = =

    2-3x =0

    x = 0 Comprobacin :

    ( )(si el producto de dos factores es 0

    es porque o bien el 1 es 0, o bien po

    Sacamos factor comn x: x 4x 8 0

    Igualamos a 0 cada uno de los dos factor es

    =

    24x -8x =0

    2

    rque el 2 es 0) : x 08 4x 8 0 4x 8 x 24

    Las soluciones son

    x 0 4 0 8 0 0

    =

    = = = =

    = =

    x = 0 y x = 2

    Comprobacin :2

    0 0 x 2 4 2 8 2 16 16 0

    =

    = = =

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Resuelve las siguientes ecuaciones:

    a) x2 - x = 0 d) 2x2 = 0 g) 4x2 - 9 = 0

    b) x2 + 2x = 0 e) 3x2 - 12 = 0 h) 8x2 + 16 x = 0

    c) 3x2 - 4 = 28 + x2 f) (x - 5) (x + 1) + 5 = 0 i) (3x + 2) (3x - 2) = 77

    18.

  • COLEGIO VIZCAYAECUACIONES112

    PPARAARA RECORDARRECORDAR

    6. RESOLUCIN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES.

    Muchos de los problemas que nos podemos encontrar pueden tener una fcil resolucin si los traducimos allenguaje algebraico y planteamos una ecuacin que nos relacione los datos conocidos con los que queremosaveriguar. Sin embargo conviene seguir una serie de pasos de forma ordenada si queremos tener xito.

    A continuacin te proponemos una serie de problemas a resolver. Sigue los 5 pasos anteriores de formaorganizada y recuerda que en muchas ocasiones un dibujo o un diagrama del enunciado ayuda a resolverel problema. Para que te resulte ms sencillo en algunos de los problemas te damos alguna indicacin.

    Problema 1: La mitad de mi paga, ms la tercera parte, ms la quinta parte menos 1 es igual a mipaga. Cunto me dan de paga?

    Problema 2: Jon tiene 7 aos ms que su hermana y dentro de 6 aos tendr el doble de la edad desta. Cuntos aos tiene cada uno?

    Pasos que hay que dar a la hora de resolver un problema:

    1. Determinar la incgnita e identificar los datos conocidos.2. Expresar mediante una ecuacin todos los datos.3. Resolver la ecuacin.4. Dar la solucin a la pregunta o preguntas del problema.5. Comprobar el resultado obtenido.

    Edad actual Edad dentro de 6 aos.JonHermana

  • COLEGIO VIZCAYA ECUACIONES 113

    Problema 3: La base de un rectngulo es 10 cm ms larga que la altura. Su rea mide 600 cm2. Calculalas dimensiones del rectngulo.

    Problema 4: Se mezclan 30 Kg de caf de 6 /Kg con cierta cantidad de caf superior de 8 /Kg,resultando una mezcla de 7'25 /Kg. Qu cantidad de caf superior se ha utilizado?

    Problema 5: Dos personas A y B que distan entre s 45 km, empiezan a caminar por la mismacarretera una al encuentro de la otra. La primera (A) con velocidad de 5 km/h y la segunda (B) convelocidad de 4 km/h. Al cabo de cunto tiempo y dnde se encontrarn?

    Llamamos x al nmero de horas que tardarn en encontrarse.

    Distancia total recorrida = Distancia AC + Distancia BC45 = VA t + VB t45 = 5 x + 4 x

    1er caf Caf superior MezclaCantidad 30 x 30 + xPrecio 6 8 725Coste 306 = 180 8x 725(30 + x)

    Recuerda:espacio = velocidad tiempo

    5 km/h 4 km/h

    A C (punto de encuentro) B

  • COLEGIO VIZCAYAECUACIONES114

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    A las 9 de la maana sale un coche de un punto A con una velocidad de 80 km/h. Dos horas mstarde sale un coche en el mismo sentido con una velocidad de 120 km/h. A qu distancia delpunto A le alcanzar?

    Busca un nmero tal que sumando sus tres cuartas partes ms su quinta parte y quitndole lamitad se convierte en 36.

    Un padre tiene 39 aos y su hijo 15. Cuntos aos hace que la edad delpadre era el triple que la edad del hijo?

    19.

    Problema 6: Dos ciclistas, A y B, se dirigen al mismo punto y salen tambin del mismo punto. Lavelocidad de A es de 30 km/h, y la de B, 375 km/h. El ciclista B sale dos horas y media ms tarde queA y lo alcanza en el momento de llegar ambos al punto de la cita. Cunto tiempo ha empleado B yqu distancia ha recorrido?

    Llamamos x al nmero de horas empleado por B.Entonces, x + 25 es el tiempo empleado por A.

    Camino recorrido por A = Camino recorrido por BVA tA = VB tB

    30 (x + 25) = 375 x

    20.

    21.

    375 km/h 30 km/h

    B A C

    Momento en el que sale B

  • ECUACIONESCOLEGIO VIZCAYA 115

    Se desea mezclar vino de 5'5 /litro con otro de 4 /litro de modo que la mezcla resulte a 4'5/litro. Cuntos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 300 litros de la mezcla?

    Un padre deja su herencia a los hijos: a uno la mitad, a otro la tercera parte, a otro la doceavaparte, y 6 millones para saldar deudas. Cuntos millones dej?

    La edad de un padre es cudruple de la edad de su hijo. Halla ambas edadessabiendo que dentro de 4 aos la edad del padre ser triple de la edad del hijo.

    Las medidas de los lados y la diagonal de un rectngulo son tres nmeros consecutivos. Hallalos valores de esos elementos.

    Halla un nmero sabiendo que si a su consecutivo lo dividimos por 4 nos resulta el primerodisminuido en 17 unidades.

    De un punto salen dos personas, una en direccin norte y la otra en direccin oeste. Laprimera marcha a 6 km/h, y la segunda, a 8 km/h. Qu tiempo tardarn en estar una de la otra a5 km de distancia?

    Si al cuadrado de un nmero le quitas su doble, obtienes su quntuplo. Cul es ese nmero?

    22.

    23.

    24.

    25.

    26.

    27.

    28.

  • ECUACIONES COLEGIO VIZCAYA116

    PPARAARA RECORDARRECORDAR

    7. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES.

    Sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas.

    Toda ecuacin de 1er grado con dos incgnitas se puede escribir de la forma: ax + by = c, donde a, b y c son nmeros reales y x e y las incgnitas. A esta ecuacin se le llama ecuacin lineal.Cuando tenemos dos ecuaciones de 1er grado con dos incgnitas (o dos ecuacioneslineales), decimos que tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas:

    x e y son las incgnitas.Los nmeros a, b, a', b' son los coeficientes de las incgnitas.Los nmeros c y c' son los trminos independientes.

    Resolver un sistema de dos ecuaciones de 1er grado con dos incgnitas es encontrarel valor de las incgnitas x e y que cumplan a la vez ambas ecuaciones. Si las dos ecua-ciones representan a dos rectas, esos valores corresponden con su punto de corte.

    Si un sistema tiene solucin, se dice que es compatible. En caso contrario, incompatible.

    ax + by = ca'x +b'y = c'

    Ejemplo:Ejemplo:

    x + y = 7 y 3x - y = 9 son dos ecuaciones linealesx + y = 7

    es un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas3x - y = 9 Incgnitas : x, y Coeficientes : 1, 1, 3, -1

    Trminos independientes : 7, 9x + y = 7 4+3 = 7 7 = 7

    Solucin : x = 4, y = 3 3x - y = 9 3 4- 3 = 9 12- 3 = 9

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Averigua qu sistemas tienen como solucin el par x = - 1, y = 4.

    a) b) c) d)

    Completa los siguientes sistemas para que la solucin de ellos sea x = 2, y = - 1.

    a) b)

    Escribe un sistema de ecuaciones con dos incgnitas cuya nica solucin sea x = 1, y = 1.

    29.

    30.

    x y 3x y 5

    + = =

    2x y 63x y 1

    = + =

    4x y 02x y 2 =

    + =

    3x 2y 112x 3y 10

    = + =

    x 2y ...x y ...

    + = =

    2x y ...3x y ...

    = =

    31.

  • COLEGIO VIZCAYA ECUACIONES 117

    PPARAARA RECORDARRECORDAR

    Mtodos para resolver sistemas de ecuaciones:

    Hay 4 mtodos para resolver sistemas de ecuaciones. A continuacin te ponemos un ejemplo de cada uno:

    Vamos a resolver el sistema:

    Representamos grficamente las dos ecuaciones del sistema sobre un mismo eje decoordenadas. As obtenemos dos rectas.

    El punto de corte de las dos rectas es la solucin del sistema,porque es el nico punto que cumple las dos ecuaciones:

    (x, y) = (4, 1)

    x = 4y = 1

    Si no hay punto de corte, el sistema es incompatible.

    Comprobmos la solucin:

    Mtodo grfico:Mtodo grfico:

    x + y = 52x - y = 7

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones grficamente:

    a) b) c)

    32.

    x 2y 122x y 9

    + = + =

    x=4y=1

    x + y = 5 4 +1= 5 5 = 52x - y = 7 2 4 -1= 7 7 = 7

    x y 3x 5y 10

    + = + =

    x 2y 5x y 4

    + = + =

    (4,1)

    x + y = 5

    2x- y

    =7

  • COLEGIO VIZCAYAECUACIONES118

    Vamos a resolver el sistema:

    1er PASO: Despejamos una incgnita (elegiremos la ms fcil para despejar) en una de lasecuaciones:

    2 PASO: Sustituimos el valor de la incgnita despejada en la otra ecuacin:

    3er PASO: Resolvemos la ecuacin obtenida:

    4 PASO: Sustituimos el valor de la incgnita obtenida en la ecuacin que hemos despeja-do en el 1er paso:

    La solucin del sistema es: x = 3, y = - 2.

    5 PASO: Comprobar el resultado:

    Mtodo de sustitucin:Mtodo de sustitucin:

    2x - y = 84x + 5y = 2

    2x - y = 8y = 2x - 8

    4x + 5y = 2

    ( )

    y = 2x - 8

    4x + 5 2x - 8 = 24x + 5y = 2

    4x +10x - 40 = 2 4x +10x = 2 + 40 14x = 42

    42 x = = 3

    14

    x=3

    y = 2x - 8 = 2 3- 8 = 6- 8 = -2

    ( )( )

    x=3y=-2

    2 3 - -2 = 82x - y = 8 6+2 = 8 8 = 8

    4x +5y = 2 12-10 = 2 2 = 24 3+5 -2 = 2

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    Resuelve los siguientes sistemas por el mtodo de sustitucin:

    a) b) c)

    33.

    6x 5y 234x y 11

    + = + =

    2x +y = 73x +2y =12

    3x +2y = 562x +y = 34

  • Resuelve los siguientes sistemas por el mtodo de igualacin:

    a) b) c)2x y 75x 2y 12

    + = + =

    x y 710x 2y 38

    = =

    x y 43x y 8

    + = + =

    COLEGIO VIZCAYA ECUACIONES 119

    Vamos a resolver el sistema:

    1er PASO: Despejamos la misma incgnita en ambas ecuaciones:

    2 PASO: Igualamos las dos expresiones:

    3er PASO: Resolvemos la ecuacin obtenida:

    4 PASO: Sustituimos el valor de la incgnita obtenida en cualquiera de las expresionesobtenidas en el 1er paso:

    La solucin del sistema es: x = 5, y = - 1.

    5 PASO: Comprobar el resultado:

    Mtodo de igualacin:Mtodo de igualacin:

    x - y = 62x + 3y = 7

    x - y = 6 x = y+67- 3y x =2x +3y = 7 2

    7 - 3yy + 6 =

    2

    2y +12 7 - 3y=

    2 22y + 3y = 7 -12 5y = -5

    -5 y = = -1

    5

    y=-1

    x = y+6 = -1+6 = 5

    ( )( )

    x=5y=-1

    5 - -1 = 6x - y = 6 5+1= 6 6 = 6

    2x +3y = 7 10- 3 = 7 7 = 72 5+3 -1 = 7

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    34.

  • Resuelve los siguientes sistemas por el mtodo de reduccin:

    a) b) c)

    COLEGIO VIZCAYAECUACIONES120

    Vamos a resolver el sistema:

    1er PASO: Multiplicamos los dos miembros de cada ecuacin por nmeros adecuados paraque los coeficientes de una de las incgnitas sean nmeros opuestos:

    En nuestro caso basta con multiplicar por - 3 la segunda ecuacin.

    2 PASO: Se resuelve la ecuacin que se obtiene al sumar las dos ecuaciones anteriores:

    3er PASO: Sustituimos el valor de la incgnita obtenida en cualquiera de las ecuaciones delsistema:

    La solucin del sistema es: x = 4, y = 1.

    4 PASO: Comprobar el resultado:

    Mtodo de reduccin:Mtodo de reduccin:

    3x - 2y = 10x + 3y = 7

    (-3)

    3x - 2y =10 3x - 2y =10x +3y = 7 - 3x - 9y = -21

    3x - 2y =10- 3x - 9y = -21

    / -11y = -11 y =1

    y=1

    x +3y = 7 x = 7- 3y = 7- 3 1= 4

    x=4y=1

    3x - 2y =10 3 4- 2 1=10 12- 2 =10 10 =10

    x +3y = 7 4+3 1= 7 4+3 = 7 7 = 7

    PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

    35.

    3x 2y 69x 4y 108

    = + =

    5x 3y 273x 8y 7

    + = + =

    2x 3y 13x 9y 12

    = + =

  • COLEGIO VIZCAYA ECUACIONES 121

    Expresa en forma de ecuaciones con dos incgnitas los siguientes resultados:

    a) La base de un tringulo es la mitad de su altura.

    b) En una biblioteca han entrado unas personas, han salido otras y quedan 12 dentro.

    c) En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 10 cabezas y 34 patas.

    d) De los 29 alumnos de una clase de 3 de ESO, un grupo ha elegido como idioma optativo Francs y el otro Alemn.

    Resuelve en tu cuaderno los siguientes sistemas grficamente:

    a) b) c) d)

    Resuelve en tu cuaderno los siguientes sistemas por el mtodo que se indica:

    (Sustitucin) a) d) g) j)

    (Igualacin) b) e) h) k)

    (Reduccin) c) f) i) l)

    Halla dos nmeros cuya suma sea 18 y su diferencia 8.

    Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7'8 . Cinco kilos de peras y cuatro de manzanascuestan 13'2 . A cmo est el kilo de peras y de manzanas?

    36.

    37.x y 4x y 2

    + = =

    x y 4x y 0

    + = =

    2x y 0x 3y 21

    = + =

    x y 12x 2y 2

    + = + =

    x y 32x y 1

    + = =

    x 3y 23x 10y 5

    = =

    4x y 82x 5y 4

    = + =

    3x 2y 12x 3y 8

    = + =

    2x y 03x 2y 1

    + = + =

    2x 5y 72x y 1

    = + =

    5x 2yx 4y 9

    = =

    y 6x 07x 2y 5

    = =

    3x 2y 42x 3y 6

    = + =

    45x 11y 937x 6y 114

    = + =

    3x 5y 96x 2y 6

    = =

    x 3y = 212x +5y = 35

    38.

    39.

    40.

  • ECUACIONES COLEGIO VIZCAYA122

    DISPUTAS MATEMTICAS

    En el siglo XVI, en la Italia renacentista, tres notable matemticos conocidos como Del Ferro, Tartaglia yCardano, trabajaron arduamente en busca de encontrar un mtodo prctico para resolver ecuaciones detercer grado. Aunque desde la poca de los babilonios ya se conoca la solucin de las ecuaciones desegundo grado, hasta esta fecha no hubo avances significativos con respecto a este tema. Unos cuntosaos antes los famosos matemticos medievales Fibonacci y Luca Pacioli, haban tratado someramenteestos problemas, pero slo resolviendo algunos casos particulares, e inclusive sin llegar a una demostracinracional de tales soluciones. Sera Scipione del Ferro, hijo de un imprentero de Bolonia, el primero enestudiar con un mtodo ortodoxo, la obtencin de las races (soluciones) de estas funciones matemticas.

    Del Ferro, Scipione (1465 - 1526): Aunque no es un matemtico muy conocido, su rol en la historia delas Matemticas tiene que ver con la resolucin de la ecuacin de tercer grado. Fue el primero en descubrircmo resolver una ecuacin reducida de tercer grado del tipo x3+px=q. Se educ en la Universidad deBolonia que fue fundada en el siglo XI. Fue profesor de Aritmtica y Geometra en dicha universidad desde1496 hasta el final de su vida. No han sobrevivido escritos de Del Ferro, ello se debe a la resistencia quetena a divulgar sus trabajos, prefera comunicarlos a un reducido grupo de alumnos y amigos. Slo confiel secreto a su discpulo Antonio de Fiore.

    Niccolo Fontana (Tartaglia) (1499 - 1557): Niccolo Fontana, matemtico italiano.Recibi el sobrenombre de Tartaglia (tartamudo) por un defecto en el habla aconsecuencia de una herida durante el saqueo de su ciudad natal (Brescia) por lastropas de Gastn de Foix, en 1512. Fue autodidacta en las disciplinas de matemticasy cientfico naturales. Gracias al empeo y tenacidad en los estudios pronto lleg lejosy muy joven se abri camino en Brescia y Verona como profesor de matemticas ycalculista pblico. En calidad de esto ltimo efectuaba clculos para arquitectos,ingenieros, artilleros, comerciantes, astrlogos, etc.Estudi las ecuaciones de tercer grado y problemas de mximos y mnimos. Fue el pri-mero en resolver la ecuacin de tercer grado e ide el tringulo que permite obtenerlos coeficientes del desarrollo binomial, llamado Tringulo de Tartaglia (ver unidad 8).

    Fiore vs Tartaglia: En aquella poca era normal que los matemticos, si queran subsistir o adquirircierto prestigio, se retaran a competiciones pblicas. As las cosas, al morir Del Ferro, su discpulo Fiore, retpblicamente al matemtico Tartaglia a resolver en un tiempo determinado 30 problemas. Cada participantetena que depositar una cierta suma de dinero y proponer varios problemas para que los resolviera suoponente. El que en el plazo de 30 das hubiera resuelto ms problemas se llevara todo el dinero. Tartaglia,suponiendo que Fiore le planteara ecuaciones de la forma x3+px=q, desarroll rpidamente un mtodogeneral para resolver dichas ecuaciones.

    (Ejemplo: La solucin de la ecuacin x3 + 6x - 2 = 0 es: )

    Sin embargo los problemas que propuso Tartaglia a Fiore eran ecuaciones de la forma x3 + ax2 = c, loscuales ya los saba resolver y resultaban demasiado difciles para Fiore. El resultado del reto fue 30-0.Tartaglia resolvi los 30 problemas en dos horas mientras que Fiore no fue capaz de resolver ninguno de losproblemas propuestos por Tartaglia.

    Enterado de ello Cardano (1400-1500), se puso en contacto con Tartaglia y le pidi que le diera la frmula;adems de jurar no divulgarla, a cambio l le presentara a un personaje que patroci-nara sus proyectos. Aunque con alguna resistencia Tartaglia accedi. Poco despus,Ferrari descubri un mtodo para resolver la ecuacin de 4 grado, y Cardano dio conla frmula para resolver la ecuacin general de 3er grado, aunque el proceso queutilizaba se basaba en la frmula de Tartaglia.

    Sin embargo, por entonces, ambos tuvieron acceso a los archivos de la Universidad deBolonia en los que figuraban los trabajos de Del Ferro. La frmula de ste resultabaser la misma que la de Tartaglia, pero ellos consideraron que era anterior y, por tanto,dedujeron que ello liberaba a Cardano de la obligacin de cumplir su juramento yoptaron por incluirla en su libro Ars Magna. La solucin que Cardano dio a la ecuacinde tercer grado x3 + ax2 + bx + c = 0 es:

    CURIOSIDADES MACURIOSIDADES MATEMTICASTEMTICAS

    3 2 3 2

    3 3p q q p q qx = + + - + -3 2 2 3 2 2

    Tartaglia.

    Cardano.

    3 3x = 4 - 2

    2 3 2 33 3q q p q q px = - + + + - - +

    2 4 27 2 4 27

  • ECUACIONESCOLEGIO VIZCAYA 123

    1. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

    a) El cuadrado de un nmero es igual a 225.b) El cubo de un nmero es igual a 27.c) La mitad de un nmero ms la quinta parte de un nmero.d) El cuadrado de un nmero ms el cubo del mismo nmero.e) El triple de x ms el cuadrado de y ms 5.f) La mitad de la edad de Luis.g) La mitad de la edad de Luis es 8 aos.h) El cuadrado de x es menor que 26.i) La suma del cuadrado de un nmero y 30 es 46.

    2. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) g)

    b) h)

    c) i)

    d) j)

    e) k)

    f) l)

    3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

    a) 5x2 - x = 0 d) 3x2 - 27x = 0 g) 16 - x2 = 0 j) x2 - 9x + 45 = 0b) -x2 - 7x = 0 e) x2 - 10x + 16 = 0 h) 2x2 - 5x + 2 = 0 k) 4x2 - 17 x + 4 = 0c) 3x2 - 1 = 0 f) 6x2 - x - 1 = 0 i) x2 - 9x + 18 = 0 l) x2 - 2x - 24 = 0

    4. En la ecuacin x2 - 5x + c = 0, una solucin es 3. Cunto vale c? Cul es la otra solucin?

    5. Verdadero o falso? Si es cierto demustralo y si es falso pon un ejemplo en el que no se cumpla (contraejemplo):

    a) La ecuacin x2 + 9 = 0 no tiene solucin.

    b) La ecuacin x2 - 25 = 0 tiene una solucin que es x = 5.

    c) El nmero 0 no es solucin de ninguna ecuacin.

    d) La ecuacin (x - 2)(x + 4) = 0 es una ecuacin de segundo grado completa.

    e) La ecuacin (x - 2)(x + 4) = 0 tiene por soluciones x = 2 y x = - 4.

    f) Hay un tipo de ecuaciones de segundo grado en el que x = 0 es siempre una solucin.

    g) La ecuacin ax2 + bx + c = 0 es una ecuacin de primer grado si a = 0.

    h) Si un sistema no tiene solucin se dice que es compatible.

    PPARAARA ENTRENARENTRENAR

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    4x 2 x 8 2x 3 4 x

    2 x 3 x 1 3 x 3 x 1

    x 2 x 1 3 4 2x 3x 2 x 5

    1 x 2 3 2x 1 x3 10 15 6x 3 x 1 x 56 8

    4 5 3x 5 6x 2 x 86 3 5 5

    + = +

    + = +

    + = +

    = +

    =

    + =

    ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

    5 x 2 2 x 5 2x 12 3x

    x 1 x 1 3 x 2 x x 2 4

    2x 3 2x 3 x x 3 x 1

    3x 5 7x 9 8x 19 69 04 16 8 8

    7x 8 9x 12 3x 1 29 8x8 16 10 20

    3x 11 5x 1 x 7 5x 620 14 10 21

    = +

    + + = + +

    + = + +

    + + + + =

    + + =

    =

  • ECUACIONES COLEGIO VIZCAYA124

    6. Comprueba si x = -2, y = 1/2 es solucin de los siguientes sistemas de ecuaciones:

    a) b)

    7. Completa los siguientes sistemas para que la solucin de todos ellos sea x = 2, y = - 1.

    a) b) c) d)

    8. Resuelve los siguientes sistemas por el mtodo que se indica:

    a) (Sustitucin) f) (Igualacin)

    b) (Igualacin) g) (Sustitucin)

    c) (Igualacin) h) (Reduccin)

    d) (Reduccin) i) (Igualacin)

    e) (Sustitucin) j) (Reduccin)

    9. Resuelve los siguientes sistemas por sustitucin:

    a) c) e) g)

    b) d) f)

    10. Resuelve los siguientes sistemas grficamente:

    a) c) e) g)

    11. Calcula un nmero cuya mitad es 20 unidades menor que su triple.

    12. Responde razonadamente a las siguientes cues