clase 2 algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la

cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x .

Algebra lineal Basica



cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x .¿Cual serıa el vector vector nulo o vector cero?




cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x .

EJEMPLOS: El vector x =

510−35

es un vector de R4 y su primera,

segunda, tercera y cuarta componentes son 5, 0,−3 y 5, en eseorden.




cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x .EJEMPLOS: Los vectores

e1 =

10...0

, e2 =

01...0

, · · · , en =

00...1

son vectores de Rn. A estos vectores los llamamos vectores

canonicos de Rn




cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x .¿Cuando dos vectores son iguales?



Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar

como puntos;

Aquı los llamaremos vectores libres.



Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar

como puntos;

En las aplicaciones fısicas, es importante que pensemos en un vector,no como un punto, sino como algo que tiene magnitud, direccion ysentido. Aquı los llamaremos vectores libres.



[SUMA] Dados u =

u1u2...un

y v =

v1v2...vn

, definimos

u + v =

u1 + v1u2 + v2

...un + vn



[PRODUCTO POR ESCALAR] Dados u =

u1u2...un

y λ ∈ R , definimos

λu =

λu1λu2...

λun



[RESTA] Definimos u − v



Teorema

Sean u, v y w vectores de Rn y sean α, β dos numeros reales. Entonces

1 u + v ∈ Rn. Ley clau para +.

2 (u + v) + w = u + (v + w). Ley asoc para +

3 u + v = v + u. Ley conm. para +

4 Existe un unico vector z ∈ Rn tal que u + z = z + u = u(z = 0).

Ley mod para la suma

5 Para cada u, existe un unico vector p ∈ Rn tal que

u + p = p + u = 0 (p = -u). Existencia del opuesto para suma.

6 αu ∈ Rn. Ley clau para el producto por escalar

7 α(u + v) = αu + αv. Ley dist del producto por escalar resp +

8 (α+ β)u = αu + βu. Ley dist del producto por escalar respecto a +de escalares.

9 (αβ)u = α(βu) = β(αu). Ley asoc respecto al producto porescalares

10 αu = 0, si y solo si, α = 0 o u = 0.



Definicion (Combinacion Lineal)

Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector

v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk

lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A losescalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacionlineal.





v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk


EJEMPLO: Sean u =

(

−12

)

y v =

(

25

)

y w =

(

3−2

)

. Calculemos la

combinacion lineal de ellos dada por 3u − v + 2w .





v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk


EJERCICIO ¿los vectores

−1340

y

20−1

son combinaciones lineales

de

10−2

y

−52−3

?.



Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := {v |v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , λi ∈ R} = Gen{v1, v2, . . . , vk}

V es generado por v1, v2, . . . , vk ; ademas, a {v1, v2, . . . , vk} lo llamamosconjunto generador de V







EJEMPLO: Si V = Gen{u, v}, entonces 2u +√5v , 0, u, 3v , u − v son

vectores de V .







EJERCICIO ¿El vector

302

pertenece a Gen

101

,

00−1

?.



Definicion (Conj. linealmente independiente)

Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

son todos cero.





λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

son todos cero.

EJERCICIO: Demostremos que

13−2

,

−1−54

,

1−20

, es un conj

linealmente indepependiente





λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

son todos cero.

EJERCICIO: Demostremos que

13−2

,

−123

,

21−5

, es un conj

linealmente dependiente.



Definicion (Producto escalar )

Dados u =

u1...un

y v =

v1...vn

de R

n, definimos u · v el producto escalar

entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn




Dados u =

u1...un

y v =

v1...vn

de R



u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

EJERCICIO: Dados

21−5

,

130

,

−2−1−1

, Calcule

u · v , u · w , v · w , (3u) · v , (u + v) · w y v · u.




Dados u =

u1...un

y v =

v1...vn

de R



u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

Teorema

Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces

1 u · v = v · a. Ley conm para ·.2 u · (v + w) = u · v + u · w. Ley dist

3 α(u · v) = (αu) · v = u(αv). ·4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.



Definicion (Norma)

Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como la raız cuadrada de

u · u; es decir,‖u‖ =

√u · u =

√

u21+ · · ·+ u2

n



Definicion (Norma)



√u · u =

√

u21+ · · ·+ u2

n

EJERCICIO: Dados u =

21−5

, y los puntos P =

523

, Q =

1−13

,

Calcule ‖u‖ y ‖PQ‖,



Definicion (Norma)



√u · u =

√

u21+ · · ·+ u2

n

Teorema

Dados los vectores u, v ∈ Rn, y λ ∈ R tenemos que

(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv para

algun λ ∈ R. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

(e) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖. La igualdad se cumple, si y solo si, u = λvcon λ ≥ 0. Desigualdad triangular.



(c) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0




0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)

= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)

donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadratico con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .




0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)

= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)

donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadratico con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .Como a ≥ 0, la grafica de p(x) es una parabola concava hacıa arriba convertice en el semiplano superior (por encima del eje X ). Recordando que

el vertice de p(x) es(

− b

2a, c − b

2

4a

)




0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)

= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)



− b

2a, c − b

2

4a

)

entonces

0 ≤ c − b2

4a= ‖v‖2 − 4(u · v)

4‖u‖2




0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)

= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)



− b

2a, c − b

2

4a

)

entonces

0 ≤ c − b2

4a= ‖v‖2 − 4(u · v)

4‖u‖2

Ademas, si u = λv entonces

|u · v | = |λv · v | = |λ||v · v | = |λ|‖v‖2 = |λ|‖v‖‖v‖= ‖λv‖‖v‖ = ‖u‖‖v‖



Definicion (Angulo entre vectores)

Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo

determinado por u y v como el menor giro positivo.






OBS: Dados dos vectores u y v no nulos, siempre podemos construir untriangulo como el de la siguiente figura






Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos

‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v + ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ

Entoncescos θ =

u · v‖u‖‖v‖






Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos

‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v + ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ

Entoncescos θ =

u · v‖u‖‖v‖

EJEMPLO: Calcule el angulo de u =

1−1−11

y v =

1−1−1−1



Definicion (Proyeccion ortogonal)

Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v

sobre u como el vector

proyuv =( v · u‖u‖2

)

u

Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.



Definicion (Proyeccion ortogonal)

Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v

sobre u como el vector

proyuv =( v · u‖u‖2

)

u

Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.

EJEMPLOS: Halle la proyuv y la componente vectorial de v ortogonal au (Esto es vc), para cada uno de los siguientes casos:

(a) u =

1−1−1

y v =

1−11

(b) u = e1 y v =

2−103


Producto Ax

Las columnas de las matrices son vectores de Rm, m son las filas de la

matriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesion(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como

A = [a1 a2 . . . an] ai son las columnas de A.


Producto Ax




Definicion

Sea A una matriz, cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an de Rm,

y sea x un vector de Rn, cuyas componentes son x1, x2, . . . , xn.

Definimos el producto matricial Ax como la combinacion lineal

Ax = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan.


Producto Ax




Definicion

Sea A una matriz, cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an de Rm,

y sea x un vector de Rn, cuyas componentes son x1, x2, . . . , xn.

Definimos el producto matricial Ax como la combinacion lineal

Ax = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan.

EJEM: Dado A =

−1 0 32 1 13 5 −2

y x =

013

, tenemos

Ax = 0

−123

+ 1

015

+ 3

31−2

=??


Teorema (Propiedades del producto Ax)

Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR

m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces

a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)

DEM: (a)





a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)

DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y

por tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn).





a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)


por tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,

A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an





a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)




= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan





a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)





=(

x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)

+(

y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)





a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)





=(

x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)

+(

y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)

= Ax + Ay





a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)





=(

x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)

+(

y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)

= Ax + Ay

Observe que el sistema lineal

{

3x − 2y + z = −2x − 3z = 1





a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)





=(

x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)

+(

y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)

= Ax + Ay

Observe que el sistema lineal

{

3x − 2y + z = −2x − 3z = 1

⇔ x

(

3

1

)

+y

(−2

0

)

+z

(

1

−3

)

=

(−2

1

)

⇔(

3 −2 11 0 −3

)

xyz

=

(

−21

)


Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b

son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales


Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b


Teorema (Equivalencia de conceptos)

Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector

de Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:


Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b





El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.


Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b





El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de R

n, tal que Ax = b.


Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b






n, tal que Ax = b.

El vector b es combinacion lineal de las columnas de A.


Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b






n, tal que Ax = b.


El vector b pertenece al conjunto generado por las columnas de A.


Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b






n, tal que Ax = b.


El vector b pertenece al conjunto generado por las columnas de A.

Definicion (Espacio nulo)

El espacio nulo de una matriz A esta dado por

NA = {x ∈ Rn : Ax = 0}


Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2

determinemos si los vectores u =

(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

12−3

se encuentran en NA.


Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2


(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

12−3


OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solucion unica, i.e. x = 0.


Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2


(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

12−3



Teorema (Propiedades del espacio nulo)

Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar,tenemos que:

(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA

DEM


Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2


(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

12−3





(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA

DEM Puesto que x , y ∈ NA, Ax = 0 y Ay = 0;


Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2


(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

12−3





(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA

DEM Puesto que x , y ∈ NA, Ax = 0 y Ay = 0; entonces,

(a) A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0, por tanto, x + y ∈ NA.

(b) A(λx) = λ(Ax) = λ0 = 0, de donde, concluimos que λx ∈ NA.


Definicion (Espacio columna)

Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espacio

columna de A como el conjunto

CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algun x ∈ R

n}.






n}.

OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,

CA = Gen{a1, a2, . . . , an}

donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.






n}.


CA = Gen{a1, a2, . . . , an}


EJEM Dada A =

−1 22 11 −1

determinemos si

47−1

,

504

se

encuentran en CA.






n}.


CA = Gen{a1, a2, . . . , an}


EJEM Dada A =

−1 22 11 −1

determinemos si

47−1

,

504

se

encuentran en CA.

M.Aum =

−1 2 4 52 1 7 01 −1 −1 −4

M.Esc =

−1 2 4 50 5 15 100 0 0 −1






n}.


CA = Gen{a1, a2, . . . , an}


EJEM Dada A =

−1 22 11 −1

determinemos si

47−1

,

504

se

encuentran en CA.

M.Aum =

−1 2 4 52 1 7 01 −1 −1 −4

M.Esc =

−1 2 4 50 5 15 100 0 0 −1

Entonces 1ro SI, 2do NOAlgebra lineal Basica

Teorema (Propiedades del espacio columna)

Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:

(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA




(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA

DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c .




(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA

DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c . Entonces,

(1). b + c = Ax + Ay = A(x + y), por tanto, b + c ∈ CA.

(2). λb = λ(Ax) = A(λx), de donde concluimos que λb ∈ CA.




(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA

DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c . Entonces,

(1). b + c = Ax + Ay = A(x + y), por tanto, b + c ∈ CA.

(2). λb = λ(Ax) = A(λx), de donde concluimos que λb ∈ CA.

Corolario (1)

si el vector u es solucion del sistema Ax = b y el vector v es solucion delsistema homogeneo asociado (Ax = 0), entonces (u + v) es solucion delsistema Ax = b.

DEMA(u + v) = Au + Av = b + 0 = b.


Corolario (2)

Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0.


Corolario (2)


Corolario (3)

Sea u solucion del sistema Ax = b, entonces v es solucion del sistemaAx = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solucion del sistemahomogeneo asociado Ax = 0.


Corolario (2)


Corolario (3)


DEM Sea v una solucion del sistema Ax = b, entonces h = v − u essolucion del sistema homogeneo asociado (Coro 2) y por tantov = h + u. La otra implicacion es el resultado del Coro 1.


Corolario (2)


Corolario (3)


Corolario

Un sistema Ax = b que tiene mas de una solucion, tiene infinitassoluciones.


Corolario (2)


Corolario (3)


Corolario

Un sistema Ax = b que tiene mas de una solucion, tiene infinitassoluciones.

DEM Sean u y v dos soluciones diferentes del sistema Ax = b. Por elCoro 2, h = u − v 6= 0 es solucion del sistema homogeneo asociadoAx = 0. Por el Propiedades de NA, αh, ∀α ∈ R, tambien es solucion delsistema homogeneo, lo que nos indica que el sistema homogeneo tieneinfinitas soluciones. Por el Coro 3, w = αh + u es tambien solucion delsistema Ax = b. Ası que, el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones.


Rectas, Planos e Hiperplanos

DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la

recta que contiene a P y tiene direccion d es

el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d .


Rectas, Planos e Hiperplanos

DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la

recta que contiene a P y tiene direccion d es

el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d . Al vector d lo llamamos vector director de la recta.

x − p = td ⇒ x = p + td


Formas de expresar una recta

Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta

x = p + td

x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn




x = p + td


Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d ,

x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn

dnsiempre que di 6= 0




x = p + td



x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn


EJEM Dada la ecuacion vectorial L :

(

x1x2x3

)

=

(

2−13

)

+ t

(

−105

)

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.




x = p + td



x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn



(

x1x2x3

)

=

(

2−13

)

+ t

(

−105

)

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.

2 Determine si R =

(

3−1−2

)

y S =

(

4−10

)

pertenecen a la recta L.




x = p + td



x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn



(

x1x2x3

)

=

(

2−13

)

+ t

(

−105

)

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.2 Halle un vector d que sea un vector director de la recta L y verifique

que el vector PQ, de (a), es paralelo a d .


EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11



P =

−1201

Q =

21−11

DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2



P =

−1201

Q =

21−11


EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.

1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =

3−21

y Q =

530

y

L2 es la recta con ecuacion vectorial

xyz

=

0−43

+ t

410−2



P =

−1201

Q =

21−11


EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.

1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =

3−21

y tiene vector

direccion v =

23−1

y L2 es la recta que pasa por los puntos

Q =

0−21

y P =

231


Rectas iguales y ortogonales

DEF Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.




DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.





EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:

1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =

321

y Q =

130

y L2

es la recta con ecuacion vectorial

xyz

=

5−41

+ t

22−2





EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:

1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =

0−20

y tiene vector

direccion v =

13−1

y L2 es la recta que pasa por los puntos

Q =

1−21

y R =

23−1


Ejercicios

Halle las ecuacion vectorial y la ecuacion simetricas de las rectas:

1 La recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11


Ejercicios



P =

−1201

Q =

21−11

2 L2 es la recta con ecuacion vectorial

xyz

=

0−43

+ t

410−2


Ejercicios



P =

−1201

Q =

21−11

2 L2 es la recta con ecuacion vectorial

xyz

=

0−43

+ t

410−2

3 L2 es la recta que pasa por los puntos Q =

0−21

y P =

231


PLANOS

DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c , d ∈ R

n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d , es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d .


PLANOS

DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c , d ∈ R

n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d , es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d .

Observe que PX = tc + sd con t, s ∈ R. Ahora si x = OX y p = OP ,entonces para t, s ∈ R

x − p = tc + sd x = p + tc + sd

Esta es la ecuacion vectorial del plano.Algebra lineal Basica

Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?




x = p + tc + sd

x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn




x = p + tc + sd


EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t + sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2

1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.




x = p + tc + sd



1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del

plano P




x = p + tc + sd




plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?




x = p + tc + sd




plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?

4 ¿Los puntos M =

221−2

N =

64−9−2

se encuentran en el plano P?.



EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los

puntos P =

(

−253

)

, Q =

(

0−21

)

y R =

(

20−3

)



EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los

puntos P =

(

−253

)

, Q =

(

0−21

)

y R =

(

20−3

)

El plano que contiene los puntos P , Q y R tiene como vectores directoresa d1 = PQ y d2 = PR .


Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.



DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.

Teorema (Planos iguales)

Dos planos son iguales, si y solo si, los dos planos son paralelos y tienenal menos un punto comun



DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.






Teorema (Inclusion de una recta en un plano)






Teorema (Inclusion de una recta en un plano)

Una recta esta totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, la

recta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen comun.


Rectas y planos ortogonales


vectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al

plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.


Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n.

.


Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

.


Hiperplanos


PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.


Hiperplanos


PX · n = 0.



es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.


Hiperplanos


PX · n = 0.




PORQUE

(x − p) · n = 0 equivalentemente l1x1 + l2x2 + · · ·+ lnxn = d (2)

donde con d = l1p1+ l2p2+ · · ·+ lnpn = n ·p.


Hiperplanos


PX · n = 0.




PORQUE

(x − p) · n = 0 equivalentemente l1x1 + l2x2 + · · ·+ lnxn = d (2)

donde con d = l1p1+ l2p2+ · · ·+ lnpn = n ·p.A esta ecuacion la llamamosecuacion general del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.


Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto

P =

2−351

y es ortogonal al Eje X .




P =

2−351


SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.




P =

2−351



0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)


DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.




P =

2−351



0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)



EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el

origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.




P =

2−351



0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)




origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.

SOL: Una ecuacion del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.




P =

2−351



0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)




origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?



DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.




EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por

el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.






SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =

10002

.







10002

. Como un

punto de H1 es el origen, su ecuacion es

(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.







10002

. Como un

punto de H1 es el origen, su ecuacion es

(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.

PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?


Producto vectorial

Dados dos vectores u =

u1u2u3

y v =

v1v2v3

de R3, definimos u × v , el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1


Producto vectorial


u1u2u3

y v =

v1v2v3



u× v =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣


Producto vectorial


u1u2u3

y v =

v1v2v3



u× v =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Teorema (Propiedades)

Si u, v y w son vectores de R3 y λ es un escalar, entonces:

1) u× v = −v× u 2) u× (v+ w) = u× v+ u× w

3) u+ v)× w = u× w+ v× w. 4) λ(u× v) = (λu)× v = u× (λv)5) u× 0 = 0× u = 0. 6) u× u = 0.7) u× (v× w) = (u · w)v− (u · v)w. 8) (u× v) · u = (u× v) · v = 0.9) u · (v× w) = w · (u× v)


Producto vectorial


u1u2u3

y v =

v1v2v3



u× v =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

DEM Prop. 8

u× v · u =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

·

u1u2u3


Producto vectorial


u1u2u3

y v =

v1v2v3



u× v =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

DEM Prop. 8

u× v · u =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

·

u1u2u3

= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3

= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3

= 0

De manera analoga u× v · v = 0


Teorema

Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si u es el angulo entre los

vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ. Norma del producto vectorial

DEM

‖u× v‖2 =


Teorema





DEM

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v


Teorema





DEM


= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7

= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2


Teorema





DEM


= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7

= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)

= ‖u‖2‖v‖2 sin2 θ


Corolario

Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.


Corolario


DEM: ⇒ si u es paralelo a v, v = λu, entonces,

u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0

.


Corolario


DEM: ⇐ Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0, pero‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ ahora, como u, v 6= 0 entonces sin θ = 0, por lotanto θ = 0 o θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.


Corolario


Corolario

El area del paralelogramo cuyos lados no paralelos estan dados por losvectores u y v de R

3 esta dada por la magnitud del producto vectorial deellos, es decir, u× v.


Corolario


Corolario

El area del paralelogramo cuyos lados no paralelos estan dados por losvectores u y v de R

3 esta dada por la magnitud del producto vectorial deellos, es decir, u× v.

DEM: Observe que h, la altura del paralelogramo, esta dada porh = ‖u‖ sin θ y el area del paralelogramo, es base por altura, tenemos

A = ‖v‖h = ‖v‖‖u‖ sin θ = ‖u × v‖Algebra lineal Basica

Corolario

El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas porlos vectores u, v y w de R

3 esta dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v ×w)|.

DEM:


Corolario



DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w


Corolario




DEM: Observemos que h, la altura del paralelepıpedo, esta dada porh = ‖u‖| cosα| (h es paralela a v×w) ademas el area de la base es‖v× ‖, por lo tanto tenemos

V = ‖v×w‖h = ‖v×w‖‖u‖| cosα| = |‖v×w‖‖u‖ cosα| = |u · (v×w)|.


Corolario




Corolario

Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares, si y solo si, u · (v×w) = 0


QUIZ 1

1 Deduzca una formula para determinar la distancia mas corta delpunto P(x0, y0) a la recta L cuya ecuacion es ax + by + d = 0

2 Determine si los siguientes planos son ortogonales o paralelos alhiperplano H : x1 + x2 − 2 = x4

x = 1 + t − 2sy = −3s + 2tz = 1− t + s

w = 2 + t

x =

1−150

+ s

−2010

+ t

−201−4

x = 2− ty = −2s + 1z = 1 + t + sw = −t − 2s − 2

3 Teniendo en cuenta la siguiente propiedad x · (y × z) = z · (x × y)demuestre la identidad de Lagrange. Es decir,

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)


clase 2 algebra lineal

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