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SISTEMA HELICOIDAL 25 Compendio de Ciencias II-A Álgebra I. Problema desarrollado 1. Demostrar si la proposición es verdadero (V) o falso (F). Demostración: Utilizando potencias de una raíz 2. Demostrar si la proposición es verdadera (V) o falso (F). Demostración: .... (falso) II. Problema por desarrollar 1. Escribir las siguientes potencias en la forma de radicales de acuerdo a las leyes: A) ................. .... B) .................... . C) ................. .... 2. Reducir los siguientes radicales: A) = B) = C) = Rpta.: .................................... ................... 3. Hallar el equivalente de: Rpta.: .................................... ................... 4. Calcular:

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Page 1: algebra 2.doc

SISTEMA HELICOIDAL 25

Compendio de Ciencias II-A Álgebra

I. Problema desarrollado1. Demostrar si la proposición es verdadero (V) o falso

(F).

Demostración:Utilizando potencias de una raíz

2. Demostrar si la proposición es verdadera (V) o falso(F).

Demostración:

.... (falso)

II. Problema por desarrollar

1. Escribir las siguientes potencias en la forma de radicales de acuerdo a las leyes:

A) .....................

B) .....................

C) .....................

2. Reducir los siguientes radicales:

A) =

B) =

C) =

Rpta.: .......................................................

3. Hallar el equivalente de:

Rpta.: .......................................................4. Calcular:

Rpta.: .......................................................

5. Calcular:

Rpta.: .......................................................

6. Calcular:

Rpta.: .......................................................

7. Calcular:

Rpta.: .......................................................

8. Calcular:

Page 2: algebra 2.doc

Reducir:

Compendio de Ciencias II-A

Rpta.: .......................................................

9. Reducir:

a) =

a) =

10. Reducir:

a) =

a) =

11. Reducir:

a) =

a) =

12. Reducir:

a) =

a) =

Rpta.: .......................................................

13. Reducir:

Rpta.: .......................................................

14. Reducir:

Rpta.: .......................................................15. Reducir:

Álgebra

Rpta.: .......................................................

16. Reducir:

Rpta.: .......................................................

17.

Rpta.: .......................................................

18. Reducir:

Rpta.: .......................................................

19. Reducir:

Rpta.: .......................................................

20. Reducir:

Rpta.: .......................................................

Page 3: algebra 2.doc

Compendio de Ciencias II-A Álgebra

Calcular:

1. Reducir los siguientes radicales:

A) =

B) =

C) =

2. Hallar en cada expresión equivalente

A) =

B) =

C) =

3.

Rpta.:........................................................

4. Calcular:

Rpta.:........................................................

5. Calcular:

Rpta.:........................................................

Page 4: algebra 2.doc

Compendio de Ciencias II-A Álgebra

OBJETIVOS• Identificar las diversas formas que se presentan en las ecuaciones exponenciales y dar su soluciOn utilizando las leyes

de los exponentes.

En las Ecuaciones Exponenciales se presenta los diversos criterios que el alumno debe tener presente para llegar a la solución o al valor de la incógnita.

ECUACIÓN EXPONENCIAL

I) Primer Caso:Es de la forma:

donde:Para calcular la incógnita x, se utiliza el siguiente prin- cipio:

* Principio:«A bases iguales se debe tener exponentes iguales».

Para resolver este primer caso debemos llevar a bases iguales los miembros de la ecuación.

• Dentro de este primer caso se presenta los siguientes sub-casos:

(I-a)Ecuación exponencial en su forma simpleEs cuando las bases se expresa en su forma simple o se tiene la presencia de potencias.

Ejemplos:1. Hallar el valor de x en:

R esolución :Se observa que el 2do. miembro es potencia en base3.

Por principio:2x+1= 5

2x = 4

2. Resolver:

Page 5: algebra 2.doc

R esolución :

Llevando a bases iguales:

Efectuando: Por

principio:

8x - 4 = 6x + 6

8x - 6x = 6 + 4

2x= 10

3. Calcular x si:

R esolución :

Transformando cada miembro a base «7»

Por principio:

Por principio:

Page 6: algebra 2.doc

Compendio de Ciencias II-A Álgebra

SISTEMA HELICOIDAL 29

pio, se tiene:

– x – 2 = 6x – 9

9 – 2 = 6x + x

7 = 7x

(I-b)Ecuación Exponencial con potencias sucesivas

Son ecuaciones donde las bases están expresadas en potencias, estan elevadas a potencias una a otras para su solución debemos transformar las potencias hastaconseguir que las bases sean iguales.

Ejemplos :

1. Hallar x

R esolución :Llevando a bases iguales:

Operando:

Por principio:

* Nuevamente llevando a bases iguales:

Luego:

Por principio:

1+9+6x = 7x–1

10+1 = 7x–6x

2. Resolver:

R esolución :* Llevando a bases iguales:

Operando:

Por principio:

* Llevando a bases iguales nuevamente:

Por principio:

2 + 3x = 35

3x = 33

(I-c)Ecuación Exponencial con radicales

Son ecuaciones donde aparece por lo menos un radical, aquí es necesario aplicar las leyes de exponentes con respecto a la eliminación del OPERADOR RADICAL para lograr transformar las bases a una base común.

Ejemplos :

1. Resolver:

R esolución :Llevando a bases iguales:

Por exponente fraccionario:

Por princi

3x+6= 10

2. Hallar x en:

R esolución :

Aplicando las leyes con respecto a radicales:

Despejando :

Por principio:

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30 PASCUAL SACO OLIVEROS

Compendio de Ciencias II-A Álgebra

Operando:

9x - 3 = 6x – 6

3x = –6+3

3x = –3

3. Resolver :

R esolución :

* Aplicando propiedad para reducir radicales:

* Por Ley de Exponentes:

Por principio:

5x+4 = 14

5x = 10

(Factor Común 2x)

∴ Por principio :

2. Resolver:

R esolución :

Llevando a bases iguales:

Por ley de Exponentes:

Por principio:

2x–2+3x+3 = 4x+12

5x+1 = 4x+12

(I-d)Ecuación Exponencial con suma o productos de bases iguales:

Para resolver estos tipos de ecuaciones se debe aplicar las leyes de exponentes de tal manera que se genere una potencia común para luego ser factorizado y aplicar el principio o en otros casos llevar a bases iguales.

Ejemplos :

1. Hallar x en:

R esolución :

Descomponiendo el exponente suma:

Factorizando:

3. Hallar n en:

R esolución :

Llevando a bases iguales, en este caso a base (1/2):

Multiplicando bases iguales:

Por principio:

Page 8: algebra 2.doc

n+3n–3 = 2

4n–3 = 2

4n = 5

(observa que los valores de «x» deben coincidir necesa- riamente).

Para fines prácticos aplicaremos el 2do. método cuando encontremos bases diferentes luego de haber reducido las operaciones.

(I-e)Ecuación Exponencial de bases diferentes

Es una ecuación donde las bases se reducen luego de operar a bases diferentes, de ahí que se hace necesario que los exponentes deben ser igual a cero para que la igualdad se cumpla.

Ejemplos:

1. Hallar x en :

2. Luego de resolver:

Resolución:

, determinar el valor de:

R esolución :

1º Método: Se observa en ambos miembros bases dife- rentes:

1=bº, con b ≠ 0.

Por principio:x – 2 = 0

2º Método: Como se tiene :Necesariamente por criterio los exponentes deben ser iguales a cero.Luego:3x – 6 = 0 ∧ x – 2 = 03x = 6 ∧ x = 2

Resolviendo la Ecuación Exponencial:

Despejando:

El 1º Miembro es producto notable:

Necesariamente :

(como las bases son diferentes)

Luego, reemplazando en E:

Page 9: algebra 2.doc

Problema desarrollado1. Demostrar si la proposición es verdadero (V) o falso

(F).

2. Demostrar si la proposición es verdadera (V) o falso(F).

Demostrar

Demostración:= 8= 8

= 88 = 8 ...... (Verdadero)Problema por desarrollar

1. Hallar x en:

a) =

b) =

2. Hallar el valor de x:

a)

b)

Rpta.: .......................................................

3. El valor de a es:

Rpta.: .......................................................

4. El valor de x es:

Rpta.: .......................................................

5. Hallar el valor de a:

Rpta.: .......................................................

6. Hallar el valor de x:

Rpta.: .......................................................

7. Hallar el valor de x en:

Rpta.: .......................................................

8. Resolver:

Rpta.: .......................................................

9. Resolver:

Rpta.: .......................................................

10. Resolver:

Rpta.: .......................................................

11. Resolver:

Page 10: algebra 2.doc

Resolver:

A) 8 B) 16 C) 32D) 36 E) 40 A) 0 B) 1 C) 3

D) –1 E) – 2

A) 2 B) 5 C) 4

D) 3 E) 10

Rpta.: .......................................................

12. Resolver:

Rpta.: .......................................................

13. Resolver:

Rpta.: .......................................................

14. Resolver:

Rpta.: .......................................................

15. Resolver:

Rpta.: .......................................................

16. Resolver:

1. Hallar el valor de x:

2. Resolver:

Rpta.: .......................................................

17. Resolver:

Rpta.: .......................................................

18. Resolver:

Rpta.: .......................................................

19. Resolver:

Rpta.: .......................................................

20. Resolver:

Rpta.: .......................................................

4. Resolver:

A) 0 B) 1 C) 3D) 7 E) 10

5. Resolver:

3.

A) 1/2 B) 3/4 C) 2/7D) 5/6 E) 5/10

Page 11: algebra 2.doc

34 PASCUAL SACO OLIVEROS

Compendio de Ciencias II-A Álgebra

Aquí presentamos las ecuaciones que forman parte delsegundo caso y los sub-casos que se presenta en los ejercicios.II. SEGUNDO CASO

Es de la forma:

Donde : f (x) Depende de xLa solución de estos tipos de Ecuaciones se da por comparación. Si observas que las relaciones que se dan en ambos miembros de la ecuación son equivalentes entonces por la simetría que se da la i n c ó g n i t a s e obtiene igualando una relación con otra.

Este caso presenta los siguientes sub-casos: (II-a) E cuación e xponencial de la f o r ma :

Si se tiene:

Ejemplos :

1. Hallar x en:

R esolución :Si observas en el 1er. miembro la base es igual al exponente; buscando la misma relación en el 2do. miembro.

Por comparación :

2. Resolver :

R esolución :

Buscando la misma relación en ambos miembros:

Por comparación:

x – 2= 4

3. Hallar x en: , para x > o.

R esolución :

Operando miembro a miembro:

Por comparación:

(II-b) Ecuación Exponencial de la forma:

Si se tiene

Ejemplos:

1. Hallar x en:

R esolución :

Para solucionar busquemos en el 2do. miembro la

Page 12: algebra 2.doc

Compendio de Ciencias II-A Álgebra

misma relación que se da en el 1er.miembro.

Operando:

Luego, por comparación:

2. Resolver:

R esolución :

Operando en el 2do. Miembro:

A la vez:

Por comparación:

3. Hallar x en:

R esolución :

Dando la forma en ambos miembros:

Por comparación

(II-c) E cuación Exponencial de la f o r ma especial :

Esta igualdad se cumple por propiedad.

Ejemplos :1. Hallar x en:

R esolución :1º Método

Trabajando en el 2do. miembro:

A la vez:

Por comparación:

2º MétodoAplicando la propiedad anterior para n=2.

Por propiedad:

Para fines prácticos vamos a resolver todo ejercicio que presenta esta for- ma especial aplicando la propiedad anterior..

Page 13: algebra 2.doc

Compendio de Ciencias II-A Álgebra

Problema desarrollado1. Demostrar si la proposición es verdadero (V) o falso

(F).

Si:

Demostración: Trabajando en el 2do. miembro

2. Demostrar si la proposición es verdadera (V) o falso(F). Si:

Demostrar:

Por comparación:

.............. (Verdadero) Problema por desarrollar

1. Hallar m en:

Rpta.: .......................................................

2. Hallar x en:

Rpta.: .......................................................

3. Hallar x

Rpta.: .......................................................

4. Hallar el valor de m

Rpta.: .......................................................

5. Resolver:

Rpta.: .......................................................

Page 14: algebra 2.doc

6. Resolver:

Rpta.: .......................................................

7. Resolver:

Rpta.: .......................................................

8. Resolver:

Rpta.: .......................................................

9. Resolver:

Rpta.: .......................................................

10. Resolver:

Rpta.: .......................................................

11. Resolver:

Page 15: algebra 2.doc

Compendio de Ciencias II-A Álgebra

SISTEMA HELICOIDAL 37

Hallar x en:

Rpta.: .......................................................

12. Resolver:

Rpta.: .......................................................

13. Resolver:

Rpta.: .......................................................

14. Resolver:

Rpta.: .......................................................

15. Resolver:

Rpta.: .......................................................

16. Resolver:

1. Hallar x en:

Rpta.: .......................................................

17. Resolver:

Rpta.: .......................................................

18. Resolver:

Rpta.: .......................................................

19. Resolver:

Rpta.: .......................................................

20. Hallar x en:

Rpta.: .......................................................

Rpta.: .......................................................

2.

Rpta.: .......................................................

Hallar:

Rpta.: .......................................................

5. Si:

3. Resolver:

Rpta.: .......................................................

4. Si:

Calcular:

Rpta.: .......................................................