algebra lineal 2

Hector Rodriguez PesinaUniversidad Politecnica de Victoria.

Álgebra Lineal.

Unidad 2. Matrices.


Producto vectorial y matricial

Definición. Sean A= y B= dos vectores. Entonces el producto escalar de A y B denotado por esta dado por A⋅B

a1a2 . . an b1b2 . .bn

A⋅B=a1b1a2b2. . .anbn

Debido a la notación anterior el producto escalar se llama con frecuencia producto punto o producto interno de dos vectores. El producto escalar de dos n-vectores es un escalar, en otras palabras un numero.

Para que se pueda realizar la definición 9 es necesario que los vectores A y B tengan el mismo numero de componentes.


Teorema 3. sean a, b y c tres n-vectores y sean dos escalares, entonces

y

i. a⋅0=0ii.a⋅b=b⋅a ley conmutativa del producto escalar iii. a⋅bc =a⋅ba⋅c ley distributiva del productoescalar iv. a⋅b=a⋅b

Como se puede observar no existe una ley asociativa para el producto escalar. Esto es debido a que la expresión (a * b) * c = a* (b *c) no tiene sentido por que ninguno de los lados esta definido. Para el lado izquierdo esto se concluye debido a partir de que a * b es un escalar y el producto escalar del escalar a * b es y el vector c no están definidos.


Definicion. Producto de dosmatrices.

Sea A=ai , junamatriz dem xn , y sea B=bi , junamatriz de n x p. Entoncesel producto de A y Besunamatriz demx p ,C=ci , jendonde :

c i , j=renglonide A ⋅columna j deB

Esdecir el elemento i , j de A Besel producto punto del renglonide A y lacolumna j de B. Si esto se extiende se tiene :

c i , j=ai ,1b1, jai2 ,2j...ai , nbn , j

Si el numerode columnas de A esigual al numerode renglones deBentonces se dice que A y B son compatiblesbajo lamultiplicacion


n

A= m [4 3 −7−8 9 −43 0 −21 2 4

]p

B= n[2 9 15 7−8 10 3 −33 12 −4 −8 ]

p

C= m [a1,1 a1,2 a1,3 a1,4

a2,1 a2,2 a2,3 a2,4

a3,1 a3,2 a3,3 a3,4

a4,1 a4,2 a4,3 a4,4]


Teorema. Ley asociativa para la multiplicación de matrices.

Sea A=ai , j unamatriz de nxm , B=bi , juna matriz demxp yC=ci , junamatriz de pxqentonces la ley asociativa

A BC =AB C

se cumple y ABC ,definida por cualquiera de los lados de la ecuacion ,es unamatriz de nxq.

Teorema. Leyes distributivas para la multiplicación de matrices.Si todas las sumas y todos los productos siguientes estan definidos entonces

ABC =ABAC

y

AB C=ACBC


MULTIPLICACION DE MATRICES COMO UNA COMBINACION LINEAL DE LAS COLUMNAS DE A.

Sea A una matriz de nxm y x un vector de nx1. Considere el producto

a1,1 a1,2 . . . a1, n

a2,1a2,2 . . . a2,n

. . .am ,1 am ,2 . . . am ,n

x1

x2

.x3

a1,1 x1a1,2 x1. . .a1,n x1

a2,1 x2a2,2 x2. . .a2,n x2

. . .am ,1 xnam ,2 xn. . .am , n xn

Ax==


Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Anteriormente se estudiaron los siguientes sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas

a1,1 x1a1,2 x1. . .a1,n x1=b1

a2,1 x2a2,2 x2. . .a2,n x2=b2

. . .am ,1 xnam ,2 xn. . .am ,n xn=b3

Sea

a1,1a1,2 . . . a1, n

a2,1a2,2 . . . a2,n

. . .am ,1 am ,2 . . . am ,n

A=

La matriz de coeficientes, x el vector ( x1, x2, .. ,x3) y b el vector (b1, b2, .. , b3). Como A es una matriz de nxm y x es una matriz de nx1 el producto matricial Ax es una matriz de mx1. Este sistema se puede escribirRepresentación matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Ax = b


A continuación vemos un ejemplo de como escribir un sistema mediante su representación matricial. Considérese la sistema:

x1

x2

xn

2x14x26x3=184x15x26x3=243x1 x2−2x3=4

Este sistema se puede escribir de la forma Ax=b donde

2 4 65 5 63 1 −2

18244

A= x= b=

Como podemos observar es mas sencillo escribir el sistema en la forma Ax=b. Cuando b es un vector cero de mx1 entonces se dice que el sistema es un sistema homogéneo y se escribe de la forma

Ax=0El sistema no homogéneo general se escribe de la siguiente manera.

Ax=b


Inversa de una matriz cuadrada

Para poder obtener la inversa de una matriz se tienen que conocer antes algunas definiciones.

Definición. Matriz Identidad.

La matriz identidad I n denxnes una matriz de nxn cuyos elementos de la diagonalprincipal son iguales a1 y todos los demas son 0.Esto es :

I nbi , jdonde bi , j =1 si i = j

0 si i ≠ j

Ejemplo una matriz identidad

1 0 00 1 00 0 1

=I 3


Teorema 1.Sea una matriz cuadrada de nxn. Entonces

AI n= I n A=A

Ahora se conoce lo que es una matriz identidad, esta matriz es necesaria para obtener la inversa de una matriz la cual tiene la siguiente definición

Definición. Inversa de una matriz.Sean A y B dos matrices de nxn. Suponga que

AB=BA=IEntonces B se le llama inversa de A y se denota por . Entonces se tieneA−1

AA−1=A−1 A= I

Si A tiene inversa, entonces se dice que A es invertible.

La matriz que no es invertible se le denomina singular y a las invertibles se les denomina no singular.


Teorema 2.Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es única.

Teorema 3.Sean A y B dos matrices invertibles de nxn. Entonces AB es invertible y

AB −1=B−1 A−1


Obtención de la inversa de una matriz de 2x2. Sea A la siguiente matriz.

Sea A=[ 2 −3−4 5 ]Calcular A−1 si existe


PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ.

Paso 1. Se escribe la matriz aumentada (A|I).

Paso 2. Se utiliza la reducción por renglones para poner la matriz A a su forma escalonada reducida por renglones.

Paso 3. Se decide si A es invertible.

a) Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la matriz Identidad, entonces la matriz inversa es la que se tiene a la derecha de la barra vertical.

b) Si la reducción de A conduce a ceros a la izquierda de la barra vertical, entonces A no es invertible.


Teorema.Sea A una matriz de 2x2

i) A es invertible si y solo si det A ≠ 0.ii) Si det A ≠ 0 entonces

A−1=1

det A [ a2,2 −a1,2

−a2,1 a1,1]


Ahora se calculara la inversa de la siguiente matriz utilizando el teorema 9

A = 2 −41 3


Inversas de matrices de 3x3.

A=[2 4 64 5 63 1 −2]

B=[1 −3 42 −5 70 −1 1]


Teorema.

Sea A una matriz de nxn.

1. A es invertible si y solo si A es equivalente por renglones a la matriz identidad In; esto es, si la forma escalonada reducida por renglones de A es In.

2. A es invertible si y solo si el sistema Ax=b tiene una solución única para cada vector n de b.

3. Si A es invertible, entonces la solución única de Ax=b esta dada por x= (Inv A)b.

4. A es invertible si y solo si su forma escalonada reducida por renglones tiene n pivotes.


Definicionde transpuesta deunamatriz.

Sea A=ai , junamatriz de nxn. entonces la transpuesta de A que se escribe At

es lamatriz de nxmque se obtiene al intercambiar los renglones por lascolumnas de A. Demanera, se puede escribir A

t=ai , j.Enotras palabras.

Si A=[a1,1 a1,2 a1,n

a2,1 a2,2 a2,n

am ,1 am ,2 am ,n]entonces At=[

a1,1 a2,1 am,1

a1,2 a2,2 am,2

a1,n a2,n an ,m]

simplemente se colaca el renglo i de A comolacolumna i de At

y la columna j de A comoel renglon j de At


OBTENCION DE LA TRANSPUESTA DE TRES MATRICES.

Encuentre la transpuesta de las matrices.

A=[2 31 4]

B=[ 2 3 1−1 4 6]

C=[1 2 −62 −3 40 1 22 −1 5

]


Teorema. Supongaque A=ai , jes unamatriz de nxm y B ni , jes unamatrizde nxp. Entonces :

i.A tt=A.

ii.ABt=Bt A t .iii. Si A y B sonde nxm,entoncesABt=At

Bt .iv. Si A es invertible , entonces A t es invertible y A t

−1=A−1t .


Definicion.Matriz simetrica.

Lamatriz cuadrada A de nxnse denomina simetrica se At=A. Esdecir

las columnas de A son tambienlos renglonesde A.

I A=[1 22 3] B=[

1 −4 2−4 7 52 5 0] C=[

−1 2 4 62 7 3 54 3 8 06 5 0 −4

]


Definicion.Matriz Elemental.Unamatriz cuadrada Ede nxn se denominaunamatriz elementalsi se puede obtener a partir de lamnatriz identidad ,inde nxnmediante una sola operacionelemental conrenglones.

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