UNIDAD 2: ALGEBRA

“Ecuaciones de primer y segundo grado. Sistemas de ecuaciones”

• Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, sean éstas numéricas, literales o fraccionarias .

• Reconocer los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, estableciendo las diferencias entre un procedimiento y otro.

• Aplicar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones en problemas de planteo.

• Reconocer cuándo un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones y cuándo no tiene solución.

En esta actividad aprenderás a:

ContenidosContenidosEcuación de primer grado con una incógnita

Ecuaciones numéricasEcuaciones literales

Sistemas de ecuacionesMétodos de resolución

Ecuaciones fraccionarias

Igualación

Sustitución

Reducción

Función cuadrática

Ecuación de 2º gradoConcavidad

Raíces de una ecuación cuadráticaDiscriminante

Ecuación de primer grado

Es aquella, en que el mayor exponente de la incógnita es 1 y, por lo tanto, tiene una solución.

Ecuaciones numéricasEjemplos:

a) 5x + 10 = 2x + 22

5x - 2x +10 = 2x + 22 -2x

3x + 10 = 22

3x + 10 – 10 = 22 - 10

3x = 12

3x = 123 3

x = 4

/ Restando 2x

/ Restando 10

/ Dividiendo por 3

4 es solución de la ecuación, es decir, al reemplazar 4 en la ecuación, se cumple la igualdad.

b) 10x + 7 - 6x + 9 = 4x + 16 / Reduciendo términos semejantes

4x + 16 = 4x + 16 / Restando 16

4x + 16 – 16 = 4x + 16 - 16

4x = 4x

Cuando en una ecuación, las incógnitas se eliminan y

se llega a una igualdad, la ecuación tiene “INFINITAS SOLUCIONES”, es decir, para cualquier valor de x se cumple la igualdad.

/ Restando 4x

4x – 4x = 4x – 4x

0 = 0

c) 8x + 2 + 3x = 9x + 12 +2x / Reduciendo términos semejantes

11x + 2 = 11x + 12 / Restando 2

11x = 11x + 10 / Restando 11x

0 = 10

11x + 2 -2 = 11x + 12 -2

11x – 11x = 11x + 10 – 11x

Cuando en una ecuación, las incógnitas se eliminan y

NO se llega a una igualdad, la ecuación “ NO TIENE SOLUCIÓN”, es decir, no existe un valor para x que cumpla la igualdad.

Ecuaciones literales

Ejemplos:

a) px + q = qx + p / - qx

Determinar el valor de x en las siguientes ecuaciones:

px + q – qx = qx + p - qx

px + q – qx = p

/ - q

px + q – qx - q = p - q

px – qx = p - q / Factorizando por x

x(p– q) = p - qx = 1

/ Dividiendo por (p-q), con p = q.

b) a(x + b) = ac - ax / Multiplicando

ax + ab = ac - ax / Sumando ax

ax + ax + ab = ac - ax + ax

2ax + ab = ac / Restando ab

2ax + ab - ab = ac - ab

2ax = ac - ab / Factorizando por a

2ax = a(c – b) / Dividiendo por 2a, con a = 0

x = (c – b)2

2a2ax = a(c – b)2a

Ecuaciones fraccionariasUn método muy útil para resolverlas es eliminar los denominadores y dejarlas lineales.

Ejemplo:

Determine el valor de x en la siguiente ecuación:

. 35x + 3

15= 3

10x - 2

35x + 1

5310

x - 2=

35x + 1

5=

310

x – 10∙210∙ 10∙ 10∙

2∙3x + 2∙1 = 1∙3x - 20

6x + 2 = 3x - 20

/ Simplificando

/ Multiplicando por 10

/ Simplificando

3x + 2= -20

3x = -22

33x = -223

x = -223

6x - 3x + 2= 3x – 3x - 20

/ Restando 2

3x + 2 - 2 = -20 - 2

/ Dividiendo por 3

6x + 2 = 3x -20 / Restando 3x

Es de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

Ejemplos:

y su gráfica es una parábola.

a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1

b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2

a = 2, b = 3 y c = 1

a = 4, b = -5 y c = -2

con a =0; a,b,c R

En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el

coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

Si a > 0,es cóncava hacia arriba

Si a < 0,es cóncava hacia abajo

x2x1

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la

forma:

ax2 + bx + c = 0

Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces, que

corresponden a los puntos de intersección de la parábola

f(x) = ax2 + bx + c con el eje X.

x2x

y

x1

Ejemplo:

En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , la ecuación asociada: x2 -

3x - 4 = 0 , tiene raíces -1 y 4. Luego, la parábola intercepta al eje X en esos puntos.

Fórmula para determinar las soluciones (raíces) de una ecuación

de segundo grado:

-b ± b2 – 4ac

2ax =

Ejemplo:

Determinar las raíces de la ecuación: x2 - 3x - 4 = 0

-(-3) ± (-3)2 – 4·1(- 4)

2x =

3 ± 9 + 16

2x =

3 ± 25

2x =

2x = 3 ± 5

2x = 8

2x = -2

x1 = 4 x2 = -1

También se puede obtener las raíces de la ecuación factorizando como producto de binomio:

x2 - 3x - 4 = 0

(x - 4)(x + 1) = 0

(x - 4)= 0 ó (x + 1)= 0

x1 = 4 x2 = -1

El discriminante se define como:

Δ = b2 -4ac

a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación

cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas.

La parábola

intersecta en dos

puntos al eje X.

Δ > 0

b) Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación

cuadrática tiene no tiene solución real.

La parábola NO intersecta

al eje X.

Δ < 0

c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la ecuación

cuadrática tiene única solución.

La parábola intersecta

en un solo punto al eje

X.

Δ = 0

Sistemas de Ecuaciones

Es un conjunto de ecuaciones donde hay más de una incógnita.

Para determinar el valor numérico de cada una de ellas, debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas, es decir, si hay 3 incógnitas, debe haber 3 ecuaciones distintas.

Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

• Igualación:

Una vez despejada, se igualan los resultados.

Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema.

El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema.

Ejemplo:

1) 2x + 3y = 7

2) x - 4y = -2

Despejando x en ambas ecuaciones:

1) 2x + 3y = 7

2x = 7 - 3y

x = 7 - 3y

2

2) x - 4y = -2

x = -2 + 4y

Igualando ambas ecuaciones:

7 - 3y

2= -2 + 4y

7 - 3y

2= -2 + 4y

7 – 3y = -4 + 8y

7 – 3y + 3y = -4 + 8y + 3y

7 = -4 + 11y

7 + 4= -4 + 11y + 4

11= 11y

1= y

/ Multiplicando por 2

/ + 3y

/ + 4

/ :11

Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x.

x = -2 + 4y

Reemplazando y = 1 en la ecuación 2) :

x = -2 + 4 · (1)

x = -2 + 4

x = 2

La solución corresponde al punto de intersecciónde 2 rectas.Las rectas se intersectan en el punto (x,y), en este caso,(2,1).

Si las rectas son paralelas, no existe solución. Si las rectas son coincidentes, tiene infinitas soluciones.

• Sustitución:Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del sistema.

Una vez despejada, se reemplaza en la otra ecuación, despejando la única variable que queda. El resultado que se obtiene se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema.

Ejemplo:

1) 2x + 3y = 7

2) x - 4y = -2

Despejando x en la ecuación 2)

x = -2 + 4y

2) x - 4y = -2

Reemplazando x en la ecuación 1)

1) 2x + 3y = 7

2(-2 + 4y) + 3y = 7

-4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

Como x = -2 + 4y x = -2 + 4 ·(1)

x = 2

/ Multiplicando

/ Sumando 4

/ Dividiendo por 11

• Reducción:Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema Luego, se suman o restan ambas ecuaciones, de modo que se eliminen los términos cuyos coeficientes se igualaron.

Ejemplo:

1) 2x + 3y = 7

2) x - 4y = -2

1) 2x + 3y = 7

2) x - 4y = -2

Para eliminar x, multiplicaremos la ecuación 2) por -2

/ · (-2)

1) 2x + 3y = 7

2)-2x + 8y = 4/ Sumando ambas ecuaciones

(+)

11y = 11

y = 1 / Reemplazando y=1 en la ec. 2)

2) x - 4y = -2

x - 4 ·(1) = -2

x = 2

x = -2 + 4

/ Dividiendo por 11

Ejercicios de Aplicación

1. Se tienen canguros y koalas, si hay 55 cabezas y 170 patas, ¿cuántos canguros y koalas hay?

Sea c: N° de canguros y k: N° de koalas

Solución:

Como los canguros tienen 2 patas y los koalas 4, la cantidad total de patas de canguro será 2c y el total de patas de koala 4k.

1) c + k = 55

2) 2c + 4k = 170

Con estas dos ecuaciones se forma el siguiente sistema de ecuaciones:

1) c + k = 55

2) 2c + 4k = 170

/·(-2)

1) -2c - 2k = -110

2) 2c + 4k = 170

/ Sumando ambas ecuaciones

(+)

2k = 60

k = 30 / Reemplazando K=30 en la ec. 1)

1) c + k = 55

c + 30 = 55 c = 55 - 30 c = 25

Por lo tanto, hay 25 canguros y 30 koalas.

2. 3x + 2y = 4

9x + 6y = 12

Solución:

3x + 2y = 4

9x + 6y = 12

/·(-3)

-9x + -6y = -12

9x + 6y = 12/ Sumando ambas ecuaciones

(+)

0 = 0

Se eliminaron las incógnitas y llegamos a una igualdad, por lo tanto, el sistema tiene INFINITAS SOLUCIONES.

Determinar x e y.

3. Determinar: a + b + c.

a + 2b + 3c = 51

2a + 3b + c = 72

3a + b + 2c = 57 / Sumando las tres ecuaciones(+)

6a + 6b + 6c = 180

6(a + b + c) = 180

(a + b + c) = 1806

(a + b + c) = 30

/ Factorizando por 6

/ Dividiendo por 6