algebra booleana 2

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lgebra Booleana y Simplicacin LgicaM. en C. Erika Vilches

Parte 2

Simplicacin utilizando lgebra BooleanaSimplicar la expresin AB + A(B + C) + B(B + C) 1. Aplicar la ley distributiva al segundo y tercer trminos en la expresin AB + AB + AC + BB + BC 2. Aplicar la regla 7 (BB = B) al cuarto trmino AB + AB + AC + B + BC 3. Aplicar la regla 5 (AB + AB = AB) a los primeros 2 trminos AB + AC + B + BC

4. Aplicar la regla 10 (B + BC = B) a los ltimos dos trminos AB + AC + B 5. Aplicar la regla 10 (AB + B = B) al primer y tercer trminos B + AC

En este punto la expresin esta lo ms simplicada posible Este camino no es necesariamente el nico Una vez que se ha ganado experiencia, se pueden combinar muchos pasos individuales

Simplicar la expresin Booleana 1. Aplicar la ley distributiva a los trminos entre brackets 2. Aplicar la regla 8 parntesis al segundo trmino entre

3. Aplicar la regla 3 (A0D = 0) al segundo trmino entre parntesis 4. Aplicar la regla 1 (eliminar el 0) entre los parntesis

5. Aplicar la ley distributiva 6. Aplicar la regla 7 (CC = C) al primer trmino 7. Factorizar

8. Aplicar la regla 6

9. Aplicar la regla 4 (eliminar el 1)

Ejercicios Simplicar las siguientes expresionesBooleanas:

Implemente cada expresin en la columna de la derecha tal cual se muestra con las compuertas lgicas apropiadas. Posteriormente implemente la expresin simplicada y compare el nmero de compuertas.

Formas Estndar de las Expresiones BooleanasSuma de Productos (SOP)

Un trmino producto, tambin llamado

minitrmino, es un trmino que consiste del producto (multiplicacin Booleana) de literales (variables o sus complementos). suman en una suma Booleana, la expresion resultante es una suma de productos. products) AB + ABC

Cuando dos o ms trminos producto se

Suma de Productos (SOP, del ingls sum-of-

Una expresin SOP puede tener un trminocon una sola variable A + ABC

En una expresin SOP, una sola barra no se

puede extender a ms de una variable, sin embargo ms de una variable en un trmino puede tener una barra. Se puede tener el trmino pero no . conjunto de variables contenidas en la expresin complementadas o sin complementar. El dominio de la expresin es A, B, C, D, E.

El dominio de una expresin Booleana es el

Implementar una expresin SOP requiereoperacin AND, y la suma de dos o ms trminos producto se produce con una operacin OR.

simplemente ORear los productos de 2 o ms compuertas AND.

Un trmino producto es producido por una

Implementacin de la expresin SOP AB + BCD + AC

Conversin de una expresin general a la forma SOP

Cualquier expresin lgica se puede cambiara la forma SOP aplicando las tcnicas de lgebra Booleana.

Ejemplo: A(B + CD) puede ser cambiado a Ejercicio: Convierta las siguientesexpresiones Booleanas a la forma SOP:

la forma SOP aplicando la ley distributiva A(B + CD) = AB + ACD

Forma SOP Estndar

Una expresin SOP estndar es aquella endonde todas las variables en el dominio aparecen en cada trmino producto en la expresin. Por ejemplo:

Las expresiones SOP estndar son

importantes en la construccin de tablas de verdad y en el mtodo de simplicacin mapas de Karnaugh. solamente como SOP) se puede convertir a la forma estndar utilizando lgebra Booleana

Cualquier SOP no estndar (referido

Convirtiendo Trminos Producto a SOP Estndar

Regla 6

Cualquier cosa se puede multiplicar por 1 sin cambiar su valor.

1. Multiplicar cada trmino producto no estndar por un trmino hecho con la suma de una variable faltante y su complemento. Esto resulta en dos trminos producto. 2. Repetir el paso 1 hasta que todos los trminos producto resultantes contengan todas las variables en el dominio en forma complementada o sin complementar

Ejemplo: Convertir la expresin SOP estndar.

a la forma

Dominio A, B, C, D. Tomar un trmino a la vez. Al primer trmino le falta ya variable o . Entonces multiplicar el primer trmino por como sigue: En el segundo trmino, faltan las variables o y o , entonces primero multiplicar el segundo trmino por como sigue: A ambos trminos resultantes les falta la variable Multiplicar ambos trminos por como sigue: o .

El tercer trmino estndar.

ya se encuentra en forma

La forma SOP estndar completa de la expresin original es como sigue: Una expresin SOP (estndar o no) es igual a 1 solo cuando uno o ms de los trminos producto en la expresin es igual a 1. Ejercicio: Convierta la expresin a la forma SOP estndar.

Producto de Sumas (POS) Un trmino suma, tambin llamado maxitrmino, consiste de la suma Booleana de literales (variables o sus complementos).

Cuando dos o ms trminos suma sonof-sums) variable

multiplicados, la expresin resultante es un producto de sumas.

Producto de sumas (POS, del ingls product Puede contener un trmino con una sola Una expresin POS (estndar o no) es iguala 0 solo cuando uno o ms de los trminos suma en la expresin es igual a 0.

En una expresin POS, una barra no se

puede extender sobre mas de una variable, sin embargo mas de una variable en un trmino puede tener una barra. Se puede tener el trmino pero no . simplemente ANDear las salidas de dos o mas compuertas OR.

Implementar una expresin POS requiere

Implementacin de la expresin POS (A + B)(B + C + D)(A + C)

Forma POS Estndar

Una expresin POS estndar es aquella en laque todas las variables en el dominio aparecen en cada trmino suma en la expresin. Ejemplo:

Cualquier expresin POS no estndar sepuede convertir a una expresin POS estndar utilizando lgebra Booleana.

Convirtiendo Trminos Suma a POS Estndar

Regla 8

Se puede sumar 0 a cualquier cosa sin cambiar su valor.

1. Sumar a cada trmino suma no estndar un trmino hecho con el producto de una variable faltante y su complemento. Esto resulta en dos trminos suma. 2. Aplicar la regla 12 3. Repetir el paso 1 hasta que todos los trminos suma resultantes contengan a todas las variables del dominio en forma complementada o sin complementar.

Ejemplo: Convertir la expresin a la forma POS estndar. Dominio A, B, C, D. Tomar un trmino a la vez. Al primer trmino le falta ya variable o . Entonces sumar y aplicar la regla 12 como sigue: Al segundo trmino le falta ya variable o . Entonces sumar y aplicar la regla 12 como sigue: El tercer trmino ya se encuentra en forma POS estndar. La forma POS estndar de la expresin original es como sigue:

Convirtiendo SOP Estndar a POS Estndar 1. Evaluar cada trmino producto en la expresin SOP, de modo que la expresin sea igual a 1. (Determinar los nmeros binarios que representan los trminos producto) 2. Determinar todos los nmeros binarios no incluidos en la evaluacin del paso 1. 3. Escribir el trmino suma equivalente para cada nmero binario del paso 2 y expresar en forma POS (La expresin debe ser igual a cero).

Convertir la siguiente expresin SOP a su expresin POS equivalente La evaluacin para que la expresin sea igual a 1 es como sigue: 000 + 010 + 101 + 111 Hay 3 variables, por lo tanto hay 2^3 = 8 posibles combinaciones. La expresin SOP contiene 5 de esas posibles combinaciones, por lo tanto el POS debe contener las otras tres, que son 001, 100 y 110. La expresin POS equivalente (su evaluacin es 0) es: Utilizando un procedimiento similar, se puede ir de POS a SOP