clase diagrama de nyquist estabilidad

Sistemas Embebidos 2009/2Control e Instrumentación Electrónica 2010/2UNIVERSIDAD EAFIT Semestre 2010/2Semestre 2010/2

DIAGRAMA DE NYQUISTDIAGRAMA DE NYQUIST

Sistemas Embebidos 2009/2Control e Instrumentación Electrónica 2010/2UNIVERSIDAD EAFIT

Respuesta en frecuenciaLa respuesta en frecuencia se basa en la respuesta en estado estacionario deun sistema ante una entrada senoidal. Un sistema lineal invariante en el tiempo,si es afectado por una entrada senoidal de amplitud R y frecuencia , su salidaseguirá siendo senoidal de la misma frecuencia pero probablemente conotra magnitud C y fase

Entrada SalidaSistema

t

Figura1. Sistema lineal afectado por entrada senoidal y respuesta en el tiempo.


Gráficas Polares

Representación de la magnitud y ángulo de fase de en coordenadaspolares al variar el valor de de cero a infinito.

La función de transferencia senoidal puede ser vista:• En su representación de magnitud y fase:

• En expresarse en términos de sus parte real e imaginaria.

Re

Im

Gráfica polar de .


Gráficas PolaresEjemplo:Obtener la gráfica polar de

Solución. Como primer paso se cambia la variable compleja s por

El siguiente paso es separar el valor real y el imaginario (solo para facilitar elcálculo). Para esto se multiplica y divide por el complejo conjugado deldenominador de

y se tiene

para plasmar este resultado en la gráfica polar, es necesario evaluar


Respuesta en frecuenciaen diferentes frecuencias desde hasta . Se evaluarán solo para algunas de las frecuencias.

Si entonces:

Si

Si

Si


Respuesta en frecuencia

Si

Dependiendo de la experiencia y de lo complicado de la gráfica polar, senecesitarán más o menos frecuencias a evaluar.

Re

Im

Figura 3. Gráfica polar de .



Criterio de estabilidad de Nyquist



Fundamentos: Transformación de contornos en el plano sSuponga que se quiere transformar una serie de valores de s en el plano s, donde todos ellos forman una trayectoria cerrada o contorno ( ), utilizando la función

3-1 1 21-1

Plano s

Plano F(s)

Cada punto o elemento del contorno en el plano s, tiene su representación en el planoF(s). Se evalúan todos los puntos del contorno y se obtiene un contorno en el planoF(s). En este caso, el contorno en el plano F(s) conserva la misma forma que elcontorno del plano s, (Transformación conforme).

Ambos contornos se consideran que tienen un sentido positivo.


Respuesta en frecuenciaAhora, se transforma el mismo contorno en plano s, utilizando otra función de transformación:

1-1

Plano s

Plano F(s)

En este caso la transformación es no conforme pero conserva el sentido positivo.

Existe una característica muy interesante que ocurre cuando el contorno del plano sencierra a ceros o polos la función:1.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero de la función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en el mismo sentido del contorno en plano s


Respuesta en frecuencia2.- Si el contorno en el plano s no encierra a ningún cero o polo de la función, el contorno en el plano F(s) no encierra al origen.

1-1

Plano s

Plano F(s)

3.- Si el contorno en el plano s encierra a algún polo de la función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en sentido contrario.

-3

Plano s

Plano F(s)


Respuesta en frecuencia4.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero y un polo de la función, el contorno en el plano F(s) no encierra al origen.

-3

Plano s

Plano F(s)


Respuesta en frecuenciaTodos estos resultados son consecuencia del principio del argumento (teorema de Cauchy).

Teorema de Cauchy (Principio del argumento). Si un contorno en el plano srodea Z ceros y P polos de F(s) y no pasa a través de ningún polo o cero de F(s)cuando el recorrido es en la dirección del movimiento del reloj a lo largo de contorno, elcontorno correspondiente en el plano F(s), rodea al origen de dicho plano,

veces en la misma dirección.


Respuesta en frecuenciaEl criterio de Nyquist

Para que el sistema sea estable, todos los ceros de F(s) deben de estarlocalizados en el semiplano izquierdo del plano s.Note que las raíces de G(s)H(s) (Función de transferencia de Lazo Abierto)pueden estar en el semiplano derecho. Es mucho mas facil hallar estasraíces

Se obtiene la estabilidad analizando las raíces de la ecuación característica:

El criterio de estabilidad de nyquist relaciona la respuesta en frecuencia enlazo abierto G(jw)H(jw) con el numero de raíces de la ecuacióncaracterística 1+G(s)H(s) que se encuentran en el semiplano derecho delplano s


El criterio de NyquistLa ecuación característica es de la siguiente forma

Se escoge un contorno en el plano s que encierre toda la parte derecha del plano ypor medio del teorema de Cauchy se determina que ceros están dentro de . Esto selogra graficando en el plano F(s) y observando el número de rodeos al origen.

Sin embargo es más común utilizar el polinomio en lazo abierto P(s) por ser relativamente más sencillo, entonces:

Con este cambio de variables los rodeos se analizan sobre el punto

del plano F(s)

m≤n

A un contorno cerrado en el plano s le corresponde una curva cerrada en el plano F(s).El número y la dirección de los encierros del origen de la curva cerrada en el planoF(s) se correlaciona con la estabilidad del sistema.



P(s)

-1

Contorno de Nyquist.Gráfica polar de P(s).

Plano s Plano P(s)


Un sistema de retroalimentación es estable si y solamente si, el contorno .

en el plano P(s) no rodea el punto (-1 +j 0) cuando el número de polos de P(s) en laparte derecha del plano s es cero (Sistema de fase minima).

Un sistema de control con retroalimentación es estable si y solamente si, en elcontorno el número de rodeos al punto (-1 +j 0) en el sentido contrario almovimiento del reloj es igual al número de polos de P(s) con partes reales positivas.

Contorno de Nyquist en el Plano sContorno que encierra todo el semiplano Derecho del plano s


Respuesta en frecuenciaEstabilidad relativa y criterio de Nyquist

El criterio de estabilidad de Nyquist se define en términos del punto . en lagráfica polar. La proximidad a ese punto determina la estabilidad relativa de un sistema.

-1u

jv

d

El margen de ganancia se define como el recíproco de la ganancia .

para la frecuencia en que el ángulo de fase alcanza 180°, es decir cuando .

El margen de ganancia es el factor por el cual se tendrá que multiplicar la ganancia delsistema para que el lugar geométrico pase a través del punto.

Margen de ganancia =


Respuesta en frecuenciaOtra medida de la estabilidad relativa es el margen de fase, que se define como elángulo de fase que se debe girar el lugar geométrico para que el punto demagnitud unitaria pase a través del punto . en el plano

-1 u

jv

Margen de fase (mf )


Respuesta en frecuenciaEjemplo:Realice la gráfica de Nyquist y determine el rango de estabilidad de:

SoluciónPara realizar el contorno primero se divide el contorno en cuatro tramos:

Plano s Tramo 1 (T1). Se evalúa la función desde lafrecuencia hasta , (gráfica polar).

Tramo 2 (T2). Desde la frecuencia a la frecuencia . En este caso se cambia la variable s de la función por donde representa un radio de valor infinito y es una evaluación angular de 90º a -90º.

Tramo 3 (T3). Se evalúa la función desde lafrecuencia hasta , (espejo de lagráfica polar).

Contorno


Respuesta en frecuenciaTramo 4 (T4). Desde la frecuencia a la frecuencia . En este caso se cambia la variable s de la función por donde representa un radio de valor muy pequeño y es una evaluación angular de -90º a 90º. El tramo se diseña para rodear a posibles ceros o polos en el origen de la función a evaluar.

T1. Se cambia en la función la variable s por y se obtiene la gráfica polar

se separa la parte real e imaginaria utilizando el complejo conjugado del denominador

Plano s

Contorno



Para obtener la gráfica polar se evalúa la ecuación resultante desde hasta

Nota. Si se tienen dudas acerca de las evaluaciones, se recomienda utilizar valores muy pequeños para aproximar y valores muy grande de para aproximar cuando


Respuesta en frecuenciaEntonces se tiene el punto de inicio y el punto final en la gráfica polar.

como a la frecuencia el valor es finales ,como se inició en el cuadranteinferior izquierdo, miremos si hay un cruce porel eje real.

y esta frecuencia se evalúa en la parte real

Se obtiene otro punto para la gráfica. Con ellos se dibuja de manera aproximada la gráfica polar. Nota: para una mejor aproximación de la gráfica, se pueden evaluar más frecuencias.



T2. Se cambia en la función la variable s por y se evalúa desde 90º a -90º

Se desprecia

Plano s

Contorno

El punto en el plano s mapea al punto . en el plano F(s). El punto en el plano s mapea al punto . en elplano F(s). El punto en el plano s mapea al punto . en el plano F(s). Se evalúan todos los puntos posible hasta deducir que el tramo 2 forma en el plano F(s)

Radio Infinto


Respuesta en frecuenciatres medias vueltas de radio cero empezando en 90º con dirección antihoraria.

Plano F(s), tramo 2.

T3. Es el espejo de la gráfica polar (tramo 1)

Plano F(s), tramo 2.

T4. Se cambia en la función la variable s por y se evalúa desde -90º a 90º

muy muy pequeño relativ, grande



Plano s

Contorno

El punto en el plano s mapea al punto en el plano F(s).

El punto en el plano s mapea al punto en el plano F(s).

Plano F(s)

Contorno . Tramo 4.



Figura. Gráfica de Nyquist.

T1

T3T4

T2Criterio de Nyquist:

Como el sistema no tiene polos inestables enlazo abierto, para que sea estable se necesitaque no haya rodeos al punto -1. Entonces elrango de estabilidad es


Estabilidad Relativa – D. de Nyquist

Margen de Ganancia:Se define como la proximidad de la curva para encerrar al punto -1+j0. Osimplemente como el reciproco de |G(jw)| cuando el ángulo de fase es -180grados.En el ejemplo para un k grande el sistema es inestable, cuando la curva cruzapor el punto el sistema es oscilatorio puro y para k pequeños el sistema esestable y mucho mejor mientras esta mas alejado del punto -1.

Si es positivo el sistema es estable.Si es negativo sistema inestable.


Estabilidad Relativa – D. de NyquistMargen de fase:Es el atraso en fase para que el sistema se haga inestable. Se halla la fase parael que |G(jw)|=1.

En el ejemplo para un k grande el sistema es inestable, cuando la curva cruza porel punto el sistema es oscilatorio puro y para k pequeños el sistema es estable ymucho mejor mientras esta mas alejado del punto -1.


Estabilidad Relativa – D. de Bode

Margen de Ganancia:

Margen de fase:


ANCHO DE BANDA – D. de Bode

Frecuencia en la cual la magnitud en decibelios esta 3dBpor debajo de lamagnitud a la frecuencia cero.

Frecuencias por debajo del ancho de banda pasan sin sufrir atenuacionesperceptibles. Frecuencia por encima del ancho de banda sufren una atenuacionproprocional a su alejamiento de esta frecuencia


ANALISIS ESTABILIDAD DE SISTEMA REALIMENTADO

Para sistemas de fase minima en lazo abierto, si la respuesta en frecuencia de lafuncion de transferencia G(s)H(s) presenta frecuencias en las que la ganancia espositiva a la vez que la fase tiene un valor inferiosr a -180 (-180 a -360) elsistema realimentado negativamente M(s) será inestable.

Margen de Fase: Es el ángulo(en grados) que habría que restarle a la fase de G(s)H(s) para volver inestable a M(s). Sobre las representaicones gráficas de la respuesta en frecuencia de G(s)H(s) , es el águlo que le falta a la fase para llegara -180 cuando la ganacia es 1 (0dB). Si la ganancia es siempre inferior a 0db el margen de fase será infinito.

Margen de Ganancia: Es el valor por el que habría que multiplcar(o los dBs quehay que sumar) a la ganancia de G(s)H(s) , para que M(s) se vuelva inestable. Es decir para que cuando la fase sea -180 la ganancia fuese 1 (0dB). (Si ѱ(w) no corta nunca -180 el margen de ganancia será infinto ).


ANALISIS ESTABILIDAD DE SISTEMA REALIMENTADO

Se analiza la estabilidad del sistema realimentado negativamente M(s) a partir dela respuesta en frecuencia del sistema en lazo abierto G(s)H(s).

Margen de Fase y de Ganancia: Permite determinar el grado de estabilidad de uns sitema realimentado M(s) sobre los diagramas de Bode o de Nyquist. La Funcion de transferencia de lazo abierto G(s)H(s) debe ser de fase minima.

Criterio de Nyquist: Estudio de la estabilidad de un sistema realimentado M(s), a partir las raices de la ecuacion caracteristica 1+G(s)H(s)=0 y de la respuesta en frecuencia de G(s)H(s).


ANALISIS ESTABILIDAD DE SISTEMA REALIMENTADOCalculo analitico del Margen de Ganancia y de Fase


ANALISIS ESTABILIDAD DE SISTEMA REALIMENTADOCalculo grafico del Margen de Ganancia y de Fase


BIBLIOGRAFÍA

KATSUHIKO, OGATA. Ingeniería de Control Moderna. 2003. CAPITULO8

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