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CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 1

CONTROL I

Tema:

ESTABILIDAD RELATIVA

CRITERIO DE ESTABILIDAD

DE NYQUIST.

MARGEN DE GANANCIA

Y

MARGEN DE FASE

Prof. Ing. Carlos F. Martín

Prof. Analía Perez Hidalgo


CRITERIO DE NYQUIST

Introducción:

El criterio de Nyquist es un método gráfico analítico que determina la estabilidad de un sistema en lazo

cerrado, al investigar las propiedades de la traza de Nyquist en el dominio de la frecuencia de la función de

transferencia del lazo L(s). Específicamente, la traza de Nyquist de L(s) es una gráfica de L(jw) en

coordenadas polares, o sea, Im[L(jw)] en función de Re[L(jw)] cuando la frecuencia w varia desde infinito a

cero.

Este es otro ejemplo de la utilización de las propiedades de la función de transferencia del lazo para

encontrar el desempeño del sistema en lazo cerrado.

El criterio de Nyquist tiene las características siguientes que lo hacen un método alternativo atractivo para el

análisis y diseño de los sistemas de control.

1. Además de proveer la estabilidad absoluta, como el criterio de Routh-Hurwitz, también de

información sobre la estabilidad relativa de un sistema estable y el grado de inestabilidad de un

sistema inestable. También da una indicación de cómo se puede mejorar la estabilidad del sistema,

si es necesario.

2. La traza de Nyquist de L(s) es muy fácil de obtener, específicamente utilizando una computadora, o

a falta de ella con la ayuda de un bosquejo del diagrama de Bode de L(jw), sobre todo de la fase.

3. La traza de Nyquist de L(jw) de información tales como, máximo de resonancia MR, frecuencia de

resonancia WR, ancho de banda WA-B y otras, del sistema en lazo cerrado, con mucha facilidad.

4. La traza de Nyquist es útil para sistemas con retardos de transporte que no se pueden tratar con el

criterio de Routh, y que son difíciles de analizar por cualquier otro método, como por ejemplo con

la técnica del lugar de las raíces de la ecuación característica.

Problema de Estabilidad:

El criterio de Nyquist representa un método para determinar la localización de las raíces de la ecuación

característica con respecto a los semiplanos izquierdo y derecho del plano s. A diferencia del método del

lugar de las raíces, el criterio de Nyquist no da la localización exacta de dichas raíces, pero indica si existen

una o más raíces en el semiplano derecho del plano S.

Para abordar este criterio, es necesario, tener en claro algunos conceptos:

Definiciones de Rodeado e Incluido:

Ya que el criterio de Nyquist es un método gráfico analítico, se necesita establecer los conceptos de rodeado

e incluido, los cuales son útiles para la interpretación de las trazas de Nyquist para la estabilidad.

Rodeo o Encierro:

Un punto o una región en un plano de una función compleja se dice que

está rodeado o encerrado por una trayectoria cerrada si está dentro de la misma. Por ejemplo el punto A de la

figura 1 está rodeado por la trayectoria , ya que A está dentro de la trayectoria cerrada.


Figura 1:

El punto B no está rodeado por ya que está fuera de . Además cuando tiene una dirección asignada a

ella, el rodeo o encierro, si se hace, puede hacerse en el sentido de las manecillas del reloj (SMR) o en

sentido contrario (SCMR). Como muestra la figura 1, el punto A está rodeado por en dirección SCMR. Se

puede decir que la región dentro de está rodeada o encerrada en la dirección prescripta, y la región fuera

de no está rodeada.

Inclusión:

Un punto o región se dice que está incluido o comprendido por una trayectoria cerrada si esta rodeado en la

dirección (SCMR), o el punto o región esta a la izquierda de cuando esta se recorre en la dirección

prescripta. El concepto de inclusión es particularmente útil si solo una porción de la traza es dibujada.

Por ejemplo: En la siguiente figura 2, solo está dibujado un tramo de la trayectoria completa, al no poder

aplicar el concepto de rodeo por estar incompleta la trayectoria, se aplica el concepto de incluido o

comprendido. De esta forma, el punto -1, se encuentra incluido por la trayectoria, ya que se encuentra a la

izquierda de la misma, al recorrer dicho tramo en sentido de la flecha antihorario.

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

O

pen-L

oop (

G)

Imagin

ary

Real

- 1

Figura 2

Número de Rodeos o Inclusiones:

Cuando un punto está rodeado por una trayectoria cerrada , un número N se puede asignar al número de

veces que el mismo está encerrado o rodeado. La magnitud de N se puede determinar al dibujar una flecha

desde el punto a cualquier punto arbitrario s1 sobre la trayectoria cerrada y entonces hacer que s1 siga la

trayectoria en la dirección prescripta hasta que regrese al punto inicial. El número neto de vueltas

realizadas por esta flecha es N, o el ángulo neto girado por la misma de 360xN grados.

Por ejemplo, el punto A en la figura 3a está rodeado una vez o 360º por y el punto B esta rodeado dos

veces o 720º, todos en la dirección SMR.

Figura 3a Figura 3b


En la figura 3b, el punto A está rodeado una vez y el B dos veces por en el sentido SCMR.

El signo de N, está dado por definición, N es positivo para rodeos en el SCMR y negativo para rodeos en

el SMR.

Una forma conveniente y práctica de determinar N con respecto a cualquier punto del plano complejo, es

dibujar una línea desde el punto en cuestión en cualquier dirección a un punto tan lejos como sea necesario,

el número neto de intersecciones de esta línea con el lugar geométrico nos dará la magnitud y el signo de

N. En la figura 3a para los puntos A y B, N=-1 y N=-2 respectivamente. En la figura 3b para el punto A,

N=1 y para el B, N=2.

Principio del Argumento. Teorema de Cauchy.

Como se demostró, para que un sistema sea estable, ninguna de las raíces de la ecuación característica o

polos del sistema de lazo cerrado, puede estar en el semiplano derecho del plano s, ni sobre el eje jw:

F(s)=1+L(s)=0 (1)

Se debe tener en claro, las siguientes relaciones:

Colocando a G(S) y H(S) en forma de un cociente de polinomios factorizados numerador y denominador, se

desprenden los siguientes conceptos:

)(

)()(

)(

)()(

2

22

1

11

sD

sNKSHy

sD

sNKsGSi

)()()(

)(

)()(

)()(

)(

)(

)(

)()()()(

21

2121

2

22

1

11 sHsG

sD

sNK

sDsD

sNsNKK

sD

sNK

sD

sNKsHsGsL

Por lo tanto, la ecuación característica puede ponerse de la

siguiente forma:

)2()(

)()()(

)(2).(1

)(2).(12.1)(2).(1)(

)(2).(1

)(2)(1211)(

sD

sKNsDsF

SDsD

SNsNKKSDsDsF

SDsD

SNsNkKsF

0)(.)(0)()(1

0)(2).(12.1)(2).(10)()(1

SNKSDsHsG

SNsNKKSDsDsHsGticaCaracterísEcuación

Empleando el mismo criterio para la Función de Transferencia de lazo cerrado, quedaría:

)(2).(1.)(2).(1

)(2).(1.1)(

)(2).(1

)(2)(12.1)(2).(1

)(1

)(11

)(2

)(22*

)(1

)(111

)(1

)(11

)(SNSNKSDsD

SDsNKsFT

SDsD

SNSNKKSDsD

SD

sNK

SD

SNK

sD

SNK

SD

sNK

sFT LCLC

Siendo:

F(S) = Polinomio denominador de la F.T.L.C

F(S) = 0 Ecuación característica del Sistema

L(S) = G(S)*H(S) = Función de Transferencia de Lazo abierto

L(S) = G(S)*H(S)

Siendo:

K*N(S) = Numerador de G(S)*H(S)

D(S) = Denominador de G(S)*H(S)


De estas demostraciones, se obtienen las siguientes conclusiones importantes a tener en cuenta:

Hablar de Ceros de la ecuación característica del sistema, es lo mismo que hablar de

Polos de la Función de Transferencia de Lazo Cerrado.

La ecuación característica del sistema, puede obtenerse como la suma del numerador

de G(S).H(S) más el denominador de G(S).H(S) igualada a cero.

Es decir, el polinomio característico, que es el denominador de la Función de Transferencia de

Lazo Cerrado se puede obtener también, como la suma del numerador más el

denominador de la función de Transferencia de Lazo Abierto G(S).H(S).

Los polos de la función de transferencia del lazo abierto L(s), son también los

mismos polos de la ecuación característica F(s).

Los ceros de la Función de Transferencia de Lazo Cerrado, están conformados

por los ceros de G(S) y los polos de H(S).

Puede entonces redactarse la condición de estabilidad así:

Para que un sistema sea estable, ninguno de los ceros de F(s) puede estar en

el semiplano de S positivo o en el eje imaginario.

Como se verá a continuación, el criterio de estabilidad de Nyquist relacionará el número de ceros y de polos

de F(s) que están ubicados en el semiplano derecho del plano s, para averiguar, la condición de estabilidad

del sistema.

Como ya se sabe, debido a la naturaleza física de los sistemas reales de control, el orden del

denominador )(sD , es igual o mayor que el orden del numerador )(sN de la función de transferencia

del lazo L(s). Matemáticamente, esto significa que .0)( constanteunaosLLims

La demostración matemática del criterio de Nyquist requiere el empleo de la teoría de funciones de

variable compleja. Se presentará aquí solo una explicación cualitativa.

Principio del Argumento:

Sea F(s) una función compleja, de una variable compleja S, siendo F(S) racional, unívoca o univaluada (a

cada punto del plano S, le corresponde un punto en el plano F(S)) y analítica en el plano S a excepción

de sus singularidades (ceros y polos) y factorizada de la siguiente forma:

).....(..........)()()(

).......(..........)()()()(

321

321

n

n

PsPsPsPs

sssssF

(3)

En la que:

n ,..........,,, 321 , son los Ceros de la ecuación característica y nPPPP ,..........,,, 321 , son los Polos de la

ecuación característica.

El módulo y la fase serán:

)(..........)()(

)(..........)()()(

21

21

n

n

PsPsPs

ssssF

n

j

n

j

jj PsssF1 1

)()()( (4)


En la figura 4, se han dibujado arbitrariamente en el plano s los polos y ceros de la función compleja F(s),

con n=6.

También se dibuja una curva S cerrada, arbitraria en el semiplano S positivo que rodea a los ceros

5321 ,, y , así como los polos 65 PyP .

Para cada punto de Analiticidad en el plano S, hay un punto correspondiente en el plano F(S).

La representación que produce una Función analítica es Conforme, por lo tanto existe una

correspondencia que preserva tanto las dimensiones como el sentido de los ángulos.

Desde todos los polos y ceros se trazan segmentos dirigidos hasta un punto S1, cualquiera de la trayectoria

s, de coordenadas jS . Las longitudes de estos segmentos dirigidos vienen dadas por el módulo

de los vectores diferencia .,,........,, 112111 ectPsss

(a) (b)

Figura 4

Al moverse el punto S1 de la curva S en un recorrido completo, en la dirección positiva contraria a las

manecillas del reloj, (SCMR), cada segmento dirigido desde un polo o cero que se encuentre rodeado por la

trayectoria S girará un ángulo neto de 360º.

Todos los polos y ceros exteriores al contorno cerrado S , es decir no rodeados por la

trayectoria S contribuirán con una rotación neta de 0º para la función compleja F(s), al desplazarse el

punto s1 sobre el contorno en un recorrido completo. Es decir, no existe contribución en fase para F(S)

por los polos y ceros de F(S) que no están rodeados por la trayectoria S .

Recordando cómo se encuentra la fase de una Función compleja expresada como el cociente de un

polinomio numerador y otro polinomio denominador, que es: La Fase del numerador menos la fase del

denominador. Relacionando la fase del numerador, con la rotación angular debida a los ceros; y

relacionando la fase del denominador de F(S) con la rotación angular de los polos. Entonces, la rotación

angular neta que sufre la Función F(S), debe ser igual, a la rotación resultante debida a los ceros rodeados

por S menos la rotación resultante debida a los polos rodeados por S . En otras palabras, la rotación

angular neta experimentada por el vector F(s) será:

4(360º)-2(360º)= (4-2) (360º)=2(360º)=720º

Por tanto, en este caso puede establecerse que el número total de rotaciones netas N que experimenta el

vector F(s) debidas al movimiento en SCMR del punto S1 en una vuelta completa al contorno cerrado S es

de N = +2, es decir, en general se cumple:

N = (Z – P)


Donde:

Z: Número de ceros de la Función F(s), rodeados por la trayectoria cerrada S en el plano s.

P: Número de polos de la de la Función F(s) rodeados por la trayectoria cerrada S en el plano s.

Si N es positivo, (Z>P), la rotación neta es en sentido antihorario, SCMR (en el mismo sentido dela

trayectoria S en el plano S)

Si N es negativo, (Z<P), la rotación neta es en sentido horario, SMR. (en sentido contrario de la trayectoria

S en el plano S)

Si N es cero, (Z=P), la rotación neta es nula.

Nótese que, si en otro ejemplo, el contorno S rodearía solo al polo 5P ,la rotación angular neta

experimentada por el vector F(s) será:

-(360º)= -360 º

F(s) sufrirá una rotación igual a N = -1, en el SMR (sentido a favor de las agujas del reloj), en tanto s1 se

mueva a lo largo del contorno cerrado S en el SCMR.

Trayectoria de Nyquist

Nyquist, para estudiar la estabilidad, tuvo en cuenta dos consideraciones importantes:

Eligió la función compleja F(S) igual a la Ecuación Característica del sistema.

F(S) = 1+L(S). Eligió una trayectoria S con un radio infinito, tal que encierre o abarque a todo el semiplano

derecho positivo del plano S sin pasar por ningún polo o cero de la función F(S), rodeando e

incluyendo de esta manera, a todos los ceros y polos de F(s) que tengan la parte real positiva.

Es decir, al elegir esta trayectoria y a F(S) como la ecuación característica, si existen ceros de la ecuación

característica (que son también los polos de lazo cerrado del sistema), los cuales hacen inestable el

sistema, serían rodeados por la trayectoria de Nyquist que abarca todo el semiplano derecho del plano S.

Según la teoría de funciones de variable compleja, necesaria para obtener esta generalización, es preciso

que el contorno cerrado de la trayectoria S no pase sobre ningún cero o polo de F(s). Como se

demostró anteriormente los polos de F(S) son los mismos polos de L(S). Por lo tanto la trayectoria de

Nyquist es un semicírculo con radio infinito que abarca todo el semiplano derecho del plano S, sin tocar los

polos en el eje jw, como se indica en la figura 5.

Z = P + N


Figura 5

Esta trayectoria S se selecciona para el criterio de Nyquist en sentido positivo, en el SCMR ya que en

matemáticas el SCMR es tradicionalmente definido para el sentido positivo de los ángulos.

La Trayectoria de Nyquist en sentido SCMR en el plano S, está formada por cuatro tramos:

- Tramo I: desde +j∞ a +j0

- Tramo II: desde +j0 a –j0

- Tramo III: desde –j0 a -j∞

- Tramo IV: desde -j∞ a +j∞

Para poder contar los rodeos netos alrededor del origen del plano F(S), se tendría que obtener la trayectoria

de F completa en el plano F(S), mediante transformación conforme de los cuatros tramos cuando se

recorre en forma completa la trayectoria de Nyquist en el plano S, según el sentido de Nyquist.

Graficación de la Traza de L(s), en vez de F(S) = 1+G(S).H(S)

En principio, una vez que se especifica la trayectoria de Nyquist, la estabilidad del sistema se puede

determinar al graficar el lugar geométrico de F(s)=1+L(s) cuando S toma valores a lo largo de la trayectoria

de Nyquist S , e investigar el comportamiento de la traza de F(s) con respecto al origen (0,0) del plano

F(s) llamado punto crítico.

Como Z = P+N, conociendo P y encontrando N gráficamente, se puede saber si el sistema es estable o

inestable.

Si Z ≠ 0 El Sistema será Inestable.

Si Z= 0 El sistema será Estable.

Analizando el siguiente gráfico,


Figura 6 (a) (b)

Se observa que:

El vector diferencia L(S) = F(S) – 1, tiene su origen en el punto (1, j0) del plano F(S).

Para el Plano L(S), el origen (0,j0) del plano F(S) alrededor del cual se cuentan los rodeos netos, pasa

a ser el punto (-1, j0) si trabajáramos con el plano L(S) en vez del plano F(S).

Conclusión: El origen (0,j0) del plano F(s)=1+L(s) corresponde al punto (-1, j0) en el plano L(s), la misma

conclusión sobre la estabilidad del sistema se puede obtener al observar el comportamiento de la traza

de L(s) con respecto al punto crítico (-1,j0) en el plano L(s), en vez de observar la trayectoria de F(S)

alrededor del origen (0,0) en el plano F(S), puesto que es más fácil construir la traza de L(s) que ya es

conocida.

Por tanto a partir de ahora, el punto (-1, j0) en el plano L(s) será el punto critico para determinar la

estabilidad del sistema, como lo indican las figuras 6a y 6b.

Este criterio permite así utilizar las propiedades de la función de transferencia del lazo L(s) para

encontrar el comportamiento del sistema de control de lazo cerrado.

En consecuencia una vez determinado P, (ya sea por simple inspección de L(s) que se da como dato, o

aplicando el criterio de Routh a al denominador de L(S), P será el número de cambios de signo de la

primera columna), y N, siempre será un número entero positivo o negativo, se aplicara:

N= Z-P

Siendo ahora:

Z = SIEMPRE son los CEROS DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DEL SISTEMA,

UBICADOS EN EL SEMIPLANO DERECHO DEL PLANO S (es decir, ceros de F(S)=1+G(S)H(S)

rodeados por la trayectoria de Nyquist S que ocupa todo el semiplano derecho).

Estos ceros de la ecuación característica, son también los polos del sistema de lazo

cerrado ubicados en el semiplano derecho del plano S, que hacen inestable al sistema.


P= Polos de la función L(S) = G(S).H(S) ubicados en el semiplano derecho del plano S rodeados por la

trayectoria de Nyquist S (que también coinciden con los polos de F(S) = 1+L(S))

N = Rodeos netos de la traza de L(S) (es decir Función de Transferencia de lazo Abierto) en el plano L(S),

alrededor del punto crítico -1.

Como Z = N+P

Si Z = 0, El Sistema será Estable.

Si Z ≠ 0, El Sistema será Inestable.

Por lo tanto en un sistema Estable el criterio de Nyquist se puede expresar:

Esto es:

Para que un sistema sea estable, la traza de L(s) deberá rodear al punto critico (-1, j0) un número de veces

igual a la cantidad de polos de L(s) que están en el semiplano derecho del plano s. Los rodeos, si los hay,

deben ser hechos en dirección negativa (por el signo –p) SMR (sentido a favor de las manecillas

del reloj, o sea en sentido horario) para S definida en sentido SCMR (sentido contrario de las

manecillas del reloj).

CRITERIO SIMPLIFICADO DE NYQUIST PARA SISTEMAS CON L(S) DE FASE MÍNIMA.

Se define a una Función de Lazo Abierto L(S) de Fase Mínima, como aquella Función

que no tiene polos ni ceros en el semiplano derecho del plano s o sobre el eje jw, excepto

en el origen del plano s, (integradores puros).- Ya que la mayoría de los sistemas cumplen con esta propiedad de ser de fase Mínima, será prudente

investigar la aplicación del criterio de Nyquist a esta clase de sistemas.

Cuando L(s) es de fase mínima, deberá ser P = 0. Por tanto el criterio de Nyquist se reducirá a:

N = Z

Si N = 0 El sistema es Estable.

Si N ≠ 0 El sistema es Inestable.

Por tanto, el criterio de Nyquist se puede enunciar como:

Para un sistema con una L(s) de fase mínima, el mismo será Estable si la traza de

L(s) que corresponde a la trayectoria de Nyquist, no rodea en forma neta al punto

critico (-1, j0) en el plano L(s). Para un sistema con una L(s) de fase mínima, el sistema será Inestable, si la traza

de L(s) que corresponde a la trayectoria de Nyquist con los cuatro tramos, rodea en

forma neta al punto critico (-1, j0) en el plano L(s). Como Z > 0 (es un número

positivo), por ende N > 0, el punto critico estará rodeado en forma neta en

dirección positiva SCMR (en sentido contrario a las agujas de reloj).

N = - P


Si hay encierros al punto critico -1, se produce únicamente cuando se pasa de +j

a -j, analizar L(S) desde j a -j, es analizar la respuesta en frecuencia de

L(jw).

Es decir analizar el recorrido en el plano L(S) alcanza solo con analizar sólo la

parte de la trayectoria S en el plano S que corresponde al eje imaginario

positivo +jw.

Reemplazo del concepto de rodeo por el concepto de incluido.

Como se había definido anteriormente, la región que está incluida o comprendida por una trayectoria es

aquella que está a la izquierda cuando la trayectoria S se recorre en el SCMR (sentido positivo).

Como L(jw) y L(-jw) son simétricos respecto al eje real, bastaría solamente con analizar si la traza del tramo

I de L(S) correspondiente a la trayectoria de Nyquist que va de + j a +j0 incluye o no al punto crítico -1

para saber, si el sistema es inestable o estable.

Si el sistema de fase mínima fuera Inestable, y se dibujaran los cuatro tramos de la trayectoria completa

L en el plano L(S) correpondientes a los cuatro tramos de la trayectoria de Nyquist s, el punto (-1,0)

estará rodeado por la traza completa de L , en el plano L(S) en sentido antihorario que es el sentido

asignado como positivo.

Si solamente dibujamos la parte de la trayectoria conforme que corresponde al tramo I de la trayectoria de

Nyquist, cuando jw en el plano S, varía desde +j∞ a +j0 en sentido positivo es decir antihorario, en vez de

la trayectoria completa formada por los cuatro tramos, para el sistema inestable, se cumple

simultáneamente que el punto -1 estará incluido por el tramo I de esa trayectoria que corresponde al tramo I

de la trayectoria de Nyquist. Si se completara todos los tramos del recorrido, ese punto -1 también estaría

rodeado por la trayectoria en sentido positivo antihorario y se cumpliría que Z=N, es decir el sistema de

lazo cerrado, tiene tantos polos en el semiplano derecho del plano S, como rodeos netos realiza la

trayectoria conforme completa L(S) alrededor del punto -1 en el Plano L(S).

Ahora, si el sistema fuera Estable, Z=0, el punto -1, no tendría que estar rodeado por la trayectoria

conforme completa en el plano L(S), tampoco estaría incluido por el tramo I de la trayectoria

conforme en el plano L(S).

Por lo tanto para Simplficar el criterio solo bastaría con graficar el tramo I de Nyquist y aplicar el concepto

de INCLUIDO en vez de RODEADO.

Usando esto, el criterio de Nyquist se simplifica aún más, graficando solamente el segmento del tramo I

de L(jw) correspondiente al tramo I de la trayectoria de Nyquist, que va desde a 0, (los puntos sobre

el eje jw positivo).

El único inconveniente a tener en cuenta de este método, es que la traza que corresponde al eje jw dice solo

si el punto crítico está o no incluido, y si lo está, no dice cuántas veces esta rodeado por la trayectoria

conforme L(S), porque no se pueden contar los rodeos al no dibujar toda la trayectoria completa en el plano

L(S). Por lo tanto, si el sistema es inestable, basta con comprobar que Z 0, pero este procedimiento NO

DICE cuántos ceros de la ecuación característica se encuentran en el semiplano derecho,

para saberlo, se tendrían que dibujar los cuatro tramos. Sin embargo en la práctica esta información no es de

vital importancia.

De acá en más, se definirá la traza de L(jw) que corresponde a la trayectoria conforme del tramo 1 de la

trayectoria de Nyquist del plano S (eje jw positivo), como la Traza de Nyquist de L(s), (o la respuesta

frecuencial del lazo en forma polar).-


RESUMEN DEL CRITERIO SIMPLIFICADO PARA SISTEMA DE FASE MÍNIMA

L(s) ES DE FASE MÍNIMA, ES DECIR P = 0, L(S) NO DEBE TENER, NI CEROS NI

POLOS SOBRE EL SEMIPLANO DERECHO DEL PLANO S NI EN EL EJE JW (A

EXCEPCIÓN DE POLOS EN EL ORIGEN)

N = Z SOLO SE DIBUJA EL TRAMO I DE LA TRAZA DE L(JW) QUE CORRESPONDE AL

TRAMO I DE LA TRAYECTORIA DE NYQUIST QUE VA DE +j A -j

SE CAMBIA EL CONCEPTO DE RODEO POR INCLUIDO.

AL NO COMPLETAR LOS CUATRO TRAMOS, NO SE PUEDE SABER CUANTOS

CEROS DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SE ENCUENTRAN EN EL SEMIPLANO

DERECHO DEL PLANO S. SOLO SE PUEDE DETERMINAR SI EL SISTEMA ES

ESTABLE O INESTABLE.

SI LA TRAZA DE L(S) INCLUYE AL PUNTO -1, RECORRIENDO LA TRAZA EN

SENTIDO ATIHORARIO DESDE w a W0, EL SISTEM ES INESTABLE.

SI LA TRAZA DE L(S) NO INCLUYE AL PUNTO -1, RECORRIENDO LA TRAZA EN

SENTIDO ATIHORARIO DESDE w a W0, EL SISTEM ES ESTABLE.

PARA SISTEMAS DE FASE MÍNIMA, ESTE CRITERIO SIMPLIFICADO ES

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE. ES DECIR SI LA TRAZA DE L(S)

CORRESPONDIENTE AL TRAMO I DE LA TRAYECTORIA DE NYQUIST, INCLUYE

AL A PUNTO CRÍTICO -1, EL SISTEMA ES INESTABLE. SI LA TRAZA DE L(S) NO

INCLUYE AL -1, EL SISTEMA ES ESTABLE.

SI EL SISTEMA ES DE FASE NO MÍNIMA, P ≠ 0, EL CRITERIO SIMPLIFICADO ES

CONDICIÓN NECESARIA PERO NO SUFICIENTE, ES DECIR: SI LA TRAZA DE L(S)

CORRESPONDIENTE AL TRAMO I DE LA TRAYECTORIA DE NYQUIST, INCLUYE

AL A PUNTO CRÍTICO -1, EL SISTEMA ES INESTABLE. SI LA TRAZA DE L(S) NO

INCLUYE AL -1, NO SE PUEDE ASEGURAR QUE EL SISTEMA SEA ESTABLE, HAY

QUE ANALIZARLO POR OTRO CRITERIO, QUE ES EL CRITERIO GENERAL

SIMPLIFICADO DE NYQUIST, EL CUAL SE APLICA TANTO PARA SISTEMAS DE

FASE MÍNIMA Y NO MÍNIMA.

Ejemplo:

Sea la función de transferencia del lazo de un sistema de control la siguiente:

.)2()1(

)( AbiertoLazodeciaTransferendeFuncionsss

KsL

ticaCaracterìsEcuaciònsss

KsssSLsF

)2()1(

)23()(1)(

23

Determinar aplicando Nyquist el rango del parámetro K dentro del cual el sistema es estable.

En el rango de inestabilidad del mismo averiguar el número de raíces de la ecuación característica en el

semiplano derecho del plano s.

Llamaremos 2

)(0

KssLlímKo

s

y como número de polos de L(S) número de ceros,

En la figura 7, se muestran los diagramas de Bode y las trayectorias conformes completas de la trayectoria

de L(S).


Diagrama de Bode

Mo

du

lo d

e L

(s),

en

dB

10-2

100

102

-270

-180

-90

Fase d

e L

(jw

), G

rad

os

Parte Real

Part

e I

mag

inari

a

Diagrama de Nyquist

jImL

ReL

I

II

III R inf. c

-K/6 N=0

Z=0

Estable N=2

Z=2 Inestable

Figura 7

Como se aprecia en la figura 7, se ve que el sistema será estable si; K > 0 y L (jwC) > -1 o el mòdulo de

L(jw) es menor a 1 (/L(jw)/ 1)

La frecuencia wC, es llamada frecuencia de cruce de fase, que es la frecuencia para la cual la fase del

vector de L(jw) es -180º, es decir es la frecuencia para la cual el vector de L(jw) tiene parte Imaginaria igual

a cero y parte real negativa, es decir el vector L(jw) tiene fase igual a -180º. Dicha frecuencia se determina

igualando la parte imaginaria de L(jw) a cero y despejando w.

Parte Imaginaria de [L(jw)]=0.

./2020..)2(3

01)( 2

22segradsiIP

j

jKjL CCC

Reemplazando luego wc en la Parte real de L(jw), y haciendo que la parte real de L(jw) no incluya el punto

crítico -1, (/L(jw)/ <1 o L(jw) > -1), se puede despejar el valor de k que hace estable el sistema.

616

163

1)(

2

K

KKKjL

C

C

Por lo tanto el rango pedido de K para que sea estable el sistema será:

0 < K < 6

Si K = 6, el sistema será marginalmente estable.-

Si K > 6 el sistema será Inestable y Z se obtiene de contar los rodeos netos de la traza L(jw) en torno al

punto crítico -1, Z = N = 2, con signo positivo porque el punto -1, es rodeado por la traza de L(jw), dos

veces en sentido positivo, que es el antihorario.

Si k 6 el punto crítico -1, se encuentra incluido por la traza de Nyquist de L(jw), al recorrerla desde

w a w0, en sentido antihorario.

El Rango de la ganancia k, para la cúal el sistema es estable, también se puede encontrar aplicando el

criterio de Routh Hurwitz.


CRITERIO GENERAL DE NYQUIST SIMPLIFICADO, PARA SISTEMAS CON L(s) DE FASE

MÍNIMA y NO MÍNIMA.

Este criterio evita tener que graficar las trazas conformes de los tramos II, III, y IV de la trayectoria de

Nyquist y contar los rodeos del vector F(s) respecto al punto critico (-1, j0) del plano L(s).

Este criterio utiliza solo L (jw) para Q>0 y sin los circulitos para esquivar los polos de L(s) en el eje jw si los

hubiera.

El comportamiento de la traza correspondiente al tramo I con respecto al punto critico (-1, j0) nos dará la

condición de estabilidad del sistema de control.

Para tal propósito consideremos las dos trayectorias mostradas en la figura 8.

Figura 8

Es claro que la trayectoria de Nyquist 1S en la primera figura es la original ya vista, mientras que la

segunda trayectoria 2S rodea o incluye no solo al semiplano derecho del plano s, sino también los polos de

F(s), (o de L(s)), sobre el eje jw, si es que existen.

Se definirán las siguientes cantidades:

Z= número de ceros de F(s) que están en el semiplano derecho del plano s

P= número de polos de F(s) que están en el semiplano derecho del plano s

Pw= número de polos de de F(s) que están sobre el eje jw del plano S, incluyendo los que están en el

origen del mismo.

N1= Número de vueltas netas del vector F(s) alrededor del punto crítico

(-1, j0) del plano L(s) cuando se recorre la traza de Nyquist

correspondiente a la trayectoria 1S .

N2= Número de vueltas netas del vector F(s) alrededor del punto crítico

(-1, j0) del plano L(s) cuando se recorre la traza de Nyquist

correspondiente a la trayectoria 2S .

Aplicando el teorema de Cauchy a ambas trayectorias se tendrá:

N1= Z – P y N2= Z - (P+Pw)= Z – P - Pw

En lugar de contar vueltas se podrá determinar el giro o rotación en grados del vector F(s), (o sea el vector

que apoyado en el punto crítico (-1, j0) del plano L(s)), recorre los diagramas de Nyquist correspondientes.

Llamando a los mismos 1 y 2 se tendrá:

)2()(º360

)1(º360)(º360

22

11

PPZN

PZN

Se considerara que cada trayectoria de Nyquist 1S y 2S está compuesta de tres porciones, a saber:

1. La porción a lo largo del eje jw, excluyendo los pequeños semicírculos.-

2. Todos los pequeños semicírculos sobre el eje jw.-

3. La porción desde js hasta js a lo largo del semicírculo con radio infinito.-


Ya que las trayectorias de Nyquist 1S y 2S son simétricas con respecto al eje real en el plano s, los ángulos

girados por el vector F(s) en los diagramas de Nyquist son idénticos para valores positivos o negativos de w.

Por tanto 1 y 2 se podrán escribir como:

)4(2

)3(2

1312112

1312111

Donde:

11 Ángulo que gira el vector F(s) al recorrer la traza de Nyquist con respecto al punto crítico (-1, j0),

correspondiente al eje jw positivo, (o al negativo) del plano s, excluyendo los pequeños semicírculos.


correspondiente a los pequeños semicírculos sobre el eje jw de la trayectoria 1S . [Como las direcciones de

los pequeños semicírculos de la trayectoria 2S son opuestos a los de 1S el signo de 12 en la ecuación (4)

es negativo].


correspondiente al semicírculo con radio infinito en las trayectorias de Nyquist.

Cuando L(s) tiene más polos que ceros, la traza de Nyquist de L(s) que corresponde al semicírculo de radio

infinito, deber ser una trayectoria alrededor del origen del plano L(s), (si n > w) ejemplo A.

Por tanto, el giro 13 recorrido por el vector F(s) con respecto al punto crítico (-1, j0) del plano L(s),

(conforme de tramo IV de las trayectorias de Nyquist en el plano s), será nulo, por lo tanto 13 0º.-

Ahora al sumar las ecuaciones (3) y (4) se tendrá:

)5(4 1121

Reemplazando 21 y dados por las ecuaciones (1) y (2) nos queda:

114º360)(º360)( PPZPZ

º360)22(4 11 PPZ

Por ende despejando 11 se obtendrá:

)6(º180)5.0(11 PPZR

Y también:

)7(5.0º180

11 PPZ R

La ecuación (6) establece que:

El ángulo total girado por el vector F(s), en el plano L(s) que corresponde a la porción del eje jw positivo del

plano s, excluyendo los pequeños semicírculos, si existen, es igual a:

[(Número de ceros de F(s) en el semiplano derecho del plano s) – (Número de polos de L(s) en el semiplano

derecho del plano s) – (0.5 Número de polos de L(s) sobre el eje jw del plano s)] 180º.-

Por lo tanto, el criterio de estabilidad de Nyquist se puede llevar a cabo sólo mediante la construcción de la

traza de Nyquist que corresponde a la porción desde js hasta 0s de la trayectoria de Nyquist.

Aún más, si el sistema es inestable, al conocer los valores de PyP,11 , la ecuación (7) da el número de

raíces de la ecuación característica que están en el semiplano derecho del plano s.

Para que el sistema sea estable, Z = 0. Por tanto, este criterio de Nyquist para que el sistema sea estable

establece que, el giro 11 del vector F(s) con respecto al punto crítico (-1, j0) del plano L(s),

correspondiente a la traza de Nyquist para w positivas deberá ser:


)8(º180)5.0(11 PPE

Por ende al determinar R11 , si este valor coincide con el E11 correspondiente el sistema será estable, de

otra manera no.

Ya que P y Pw no pueden ser negativos, la ecuación (8) indica que:

E11 deberá ser siempre negativo, o sea giro neto del vector F(s) horarios.

También hay que tener claro que, 27011 no es lo mismo que º9011 , pues son giros de F(s) y no

simplemente ángulos.-

Cuando el giro de F(s) es positivo, corresponde a que el punto (-1, j0) este incluido, por tanto la condición

de que la traza de Nyquist de L (jw) no incluya al punto crítico (-1, j0) es una condición solo necesaria para

la estabilidad del sistema con L(s) de fase no mínima.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema con L(s) de fase no mínima sea

estable es que:

RESUMEN PARA SISTEMA DE FASE NO MÍNIMAS:

EL CRITERIO SIMPLIFICADO SE SISTEMAS DE FASE MÍNIMA PARA SISTEMAS DE

FASE NO MÍNIMA ES CONDICIÓN NECESARIA PERO NO SUFICIENTE ( SI LA

TRAZA DEL TRAMO I INCLUYE AL PUNTO -1, EL SISTEMA ES INESTABLE, SI NO

LO INCLUYE HAY QUE ESTUDIARLO POR EL CRITERIO GENERAL SIMPLIFICADO.

EL CRITERIO GENERAL SIMPLIFICADO ES CONDICIÓN NECESARIA Y

SUFICIENTE PARA SISTEMAS DE FASE MÍNIMA Y NO MÍNIMA.

LOS GIROS 11 REAL DEL VECTOR F(S) DEBEN COINCIDIR CON LOS GIROS

11 DE ESTABILIDAD TEÓRICA QUE DEBERIA ROTAR EL VECTOR F(S) PARA QUE

EL SISTEMA FUERA ESTABLE ES DECIR Z= 0

PARA QUE EL SISTEMA SEA ESTABLE, EL SENTIDO DE GIRO 11 REAL DEBE SER

NEGATIVO, ES DECIR GIRO NETO DEL VECTOR F(S) EN SENTIDO HORARIO.

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA QUE UN SISTEMA FASE MÍNIMA Y

NO MÍNIMA SEA ESTABLE:

ERR y 111111 0

)8(º180)5.0(11 PPE

SIENDO:

P = POLOS DE L(S) EN EL SEMIPLANO DERECHO DEL PLANO S

PW = POLOS DE L(S) EN EL EJE JW O EN EL ORIGEN.

SI NO SE CUMPLE LA CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE, EN SIGNO Y VALOR

DEL ANGULO DE GIRO 11 EL SISTEMA ES INESTABLE.

Sistemas con Funciones de Transferencia del Lazo de Fase Mínima

Si L(s) es de fase no mínima, P = 0 y Pw indica el número de polos de L(s) que están en el origen del plano s,

la ecuación (6) se convierte en:

ERR y 111111 0


)9(º180)5.0(11 PZR

Si el sistema es estable, Z = 0, y la ecuación (9) se puede colocar:

PE º9011 (10)

Ya que Pw denota el número de polos de L(s) que están en el origen del plano s, se puede ver fácilmente que

si el punto crítico (-1, j0) no esta incluido por la traza de Nyquist de L(s), R11 siempre estará dado por la

ecuación (10). Por tanto, cuando L(s) es de fase mínima, la condición de que el punto crítico (-1, j0), no este

incluido por la traza de Nyquist será una condición necesaria y suficiente para que el sistema se estable.-

En consecuencia si L(s) es de fase no mínima la condición de no inclusión del punto crítico (-1, j0) del

plano L(s) es solo necesaria pero no suficiente, además, deberá cumplirse que: .E11R11 ΦΦ

Cuando se cambia el signo de la ganancia del lazo K, el punto critico será el (+1, j0), pero pensado como

(-1, j0).

Por ende los puntos de interés de la traza de Nyquist serán las intersecciones con el eje real del plano L(s), o

sea cuando la parte imaginaria de L (jw) es nula:

ImL (jw)=0 (11)

Con esta ecuación se determinarán las frecuencias wC, si ellas existen, si las soluciones de la ecuación

(11) son complejas significa que la traza de Nyquist no corta al eje real del plano L(s).

Resumen del Procedimiento para el Análisis de Estabilidad por Nyquist

Los pasos a seguir para encontrar los rangos de estabilidad de la ganancia del lazo serán los siguientes:

1- Hacer un bosquejo de la traza de Nyquist correspondiente.

Si la función L(s) es de fase mínima sin dinámica en el numerador, el bosquejo es inmediato, si no es así se

puede usar previamente un esquema de Bode de L(s) para tal fin. También se puede usar cualquier programa

de computación, por ejemplo el Plrplot del Csad/Matlab.

2- Encontrar, si es posible, la ubicación de los puntos críticos para K>0 y K<0, en los cuales se debe

cumplir que .ΦΦ E11R11

3- Si en el punto 2 se lograron ubicar donde deberían estar los puntos críticos para que el sistema sea

estable, ahora se determinan la o las frecuencias wC, empleando la ecuación (11), igualando la parte

imaginaria de L(jw)=0.

Recordar que esto se puede hacer en la forma siguiente:

Si )(

)()(

sD

sKNsL , se reemplaza s por jw:

)]()([

)]()()()([)]()()()([

)()(

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

22 wdwc

wcwbwdwajwdwbwcwaK

wjdwc

wjbwc

wjdwc

wjbwaK

sD

sNKjwL

Si la parte imaginaria es nula se deberá cumplir:

)()()()( wcwbwdwa (12)

Con la ecuación (12), se encuentra la o las wC si existen.

4- Se determina el rango del parámetro variable dentro del cual el sistema será estable, usando:

)(

)()(

C

CC

c

aKjL

o según convenga

)(

)()(

C

CC

d

bKjL


Estas expresiones deberán ser mayores o menores que -1 para que el sistema sea estable, según se obtuvo en

el punto 2).

Operando con estas desigualdades se determinara el rango buscado.

Ejemplo 1:

Retomando el sistema del ejemplo A, se tiene que:

)2()1()(

sss

KsL , la traza de Nyquist era la indicada en la figura 11.

L

azo

L

(s),

part

e

Imag

inari

a

Parte Real

Traza de Nyquist

0.75K

jImL

ReL =oo 0

c

-K/6 11R=-90º= 11E

Estable si:

Kc>0

L(jc)>-1

11R=+270º = 11E

Inestable :

Z= 11R/180º+0.5

Z=270º/180º+0.5

Z=2

11R = -90º

distinto de

11E

Inestable

para todo

Kc<0

Z=1

Figura 11

Como Pw=1 y P=0, será: 11E = -90°

Siguiendo los pasos ya indicados se determinó la ubicación del punto crítico y resulto que:

616

)(/2

KcKc

jLysegrad CC

Por ende el rango total será: 60 Kc

En los rangos de Inestabilidad el valor de Z es:

Si Kc6 225.0º180

º270 ZZ

Si 0 Kc 115.0º180

º90 ZZ

Como se pude apreciar los resultados son iguales a los ya obtenidos en el ejemplo A.

Cuando 0 , la traza es asintótica a la recta vertical de abscisa -0.75Kc.

Kcdc

bdacKclímjL 75.0)0(

220

Ejemplo 2:


Para el ejemplo C, se tenía: )4()2(

5.0)(

2

sss

KcsL , la traza de Nyquist de la misma es la indicada en la

figura 13.

Lazo

(L)

Imagin

aria

Real

Traza de Nyquist

jImL

ReL 0

-Kc/16

c=2.828rad/seg.

=0

11E = - 360º

11R=0º=11E

Inestable

Z = 2

11R=-360º=11E

Sistema Estable si:

Kc>0

L(jc)<-1

-Kc/16>-1 o Kc<16

11R=-180º=11E

Inestable

Z = 1

11R=0º=11E

Sist. Inestable

para todo

K < 0

Z = 2

-Kc/12

Rango de Kc para la Estabilidad

12 < Kc 16

Figura 13

Como Pw=0 y P=2, será: º.36011E y

.2º180

11RZ

Como se aprecia en la figura 13, el sistema será estable solo si:

16116

1)(

0

KcKc

jL

Kc

C

En el ejemplo C se determino que: ./8 segradC , además,

.12112

)( KcKc

jL C por ende el rango total será:

1612 Kc

El valor de Z en los rangos de Inestabilidad se indica en la figura 13.-

Ejemplo 3:

Un sistema de control tiene la siguiente función de transferencia del lazo:

)10()1(

)5()2()(

sss

ssKsL ,

El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se indican en la figura 16.

Como Pw=1 y P=1, será: º.27011E y 50.1º180

11

RZ


Como se ve en la figura correspondiente, el sistema será estable solo para K>0 si se cumple que:

1)( CjL .-

Traza de Nyquist de L(s) Diagrama de Bode de L(s)

-40

-20

0

20

40

10-2

100

102

-270

-180

-90

0Para K = 1

jImL

ReL

11R=+90º

Inestable

Z = 2

11R=-270º

Estable si:

K > 0

L(jc) < -1

c

-K/1.65

11R=-90º

Inestable para

Todo K < 0

Z = 1

=0

Rango:1.65 <K< infinito

Módulo de L(j), dB

Fase de L(j), grados

Figura 16

322

22

2

63)10)(10(:0..)10()9(

7)10()( CCCCsiIP

j

jKjL

Resolviendo para C : 010063 24 CC

Las raíces de la última ecuación son: 2447.10343.8 yj , por ende la solución buscada es:

./2447.1 segrarC

Por lo tanto:

65.1165.164989.1)10(

7)(

2

K

KKKjL

CC

CC

El rango total buscado es:

K65.1 .-

Los valores de Z en los rangos de inestabilidad están indicados en la figura.

Para 265.10 ZK .- Para 10 ZK

Ejemplo 4:


)5)(1(

)92()(

2

sss

ssKsL ,



11

RZ


Diagrama de Bode de L(j)

-40

0

40

10-2

100

102

-180

-90

0

Traza de Nyquist de L(j)

Para: K > 0; K = 1

jImL

ReL

11R=-90

Inestable

para todo

K > 0

Z = 2

11R = +90º

Inestable

para todo

K < 0

Z = 3

11E = -450º

Módulo en dB

Fase en grados

Figura 17

Como se puede apreciar para K>0, el punto crítico no está incluido por la traza de Nyquist y sin embargo el

sistema es inestable pues ER 1111 .-

Para K<0, también ER 1111 , sistema inestable.-

Los valores de Z para 2:0 ZK .- Para 3:0 ZK

Ejemplo 5:


)306(

)22()(

2

2

sss

ssKsL ,



11

RZ

Como se ve en la figura correspondiente, el sistema será estable solo para K>0 si se cumple que:

1)(

1)(

1

2

C

C

jLeq

jLeq

)30(6

2)2()(

22

2

j

jKjL

P.I.=0 si: 322 12)30()2( CCCC

Resolviendo para C : 06020 24 CC


Traza de Nyquis de L(j)Diagrama de Bode de L(j)

-40

-20

0

20

10-2

100

102

-270

-180

-90

0

jImL

ReL c1 c2

11R=-450º

Estable si:

K > 0

L(jc2)>-1

L(jc1)<-1

11R=-90º

Inestable

Z = 2

11R=-90º

Inestable

Z = 2

11R=+90º

Inestable

para todo

K < 0

Z = 3

0

=0 11E=-450º

Para K > 0; K = 1

Módulo de L(j) en dB

Fase de L(j), en grados

Figura 18

Las raíces de la última ecuación son: 9171.10404.4 y , por ende las soluciones buscadas son:

../9171.1/0404.4 21 segradysegrar CC

Por lo tanto:

838.61838.6)30(

2)(

2

1

1

K

KKjL

C

C

1623.1311623.13)30(

2)(

2

2

2

K

KKjL

C

C

El rango total buscado es:

6.838 < K < 13.1623

Los valores de Z en los rangos de inestabilidad están indicados en la figura.

Para: 2;838.60 ZK .-

Para: 21623.13 ZK .-

Y para 30 ZK .-

Con la función Plrplot del Csad/Matlab se grafico la traza de Nyquist para

K=10, la misma se muestra en la figura 19, con las conclusiones correspondientes.-


Diagrama de Bode de L(j); para K = 10

-20

0

20

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

-2 -1 0 1-3

-2

-1

0

1

Traza de Nyquist de L(j), para K = 10

jImL

ReL

11R = -450º

Sistema Estable

Si K = -10

11R = +90º

Sistema Inestable

Z = 3

0

c1 c2

c1 c2

= 0

Figura 19.


ESTABILIDAD RELATIVA

MARGEN DE FASE Y MARGEN DE GANANCIA

La utilidad de un sistema de control, depende del grado de estabilidad que tenga. Esto es, no

basta que sea estable, sino que debe serlo en cierta medida. Para determinar el grado o

medida de estabilidad de un sistema, se pueden aplicar los métodos de respuesta frecuencial.

Una forma de medir la estabilidad relativa en el dominio de la frecuencia en Sistemas de

Fase Mínima, es observando qué tan cerca se encuentra la traza de Nyquist de L(jw) del

punto (-1,j0).

Para mostrar el concepto de estabilidad relativa en el dominio de la frecuencia, se muestran

las trazas de Nyquist, la respuesta al escalón unitario correspondiente y las respuestas en

frecuencia de un sistema típico de tercer orden, para cuatro valores diferentes de la ganancia

de lazo K en la Figura N° 20.

Al ser la función de lazo L(jw) de fase mínima, el encierro del punto (-1,j0) es suficiente

para demostrar la inestabilidad del sistema en lazo cerrado. Los casos evaluados son los

siguientes:

1)Caso (a): ganancia de lazo K baja. La traza de Nyquist de L(jw) intersecta al eje real

negativo en un punto muy lejano a la derecha del punto (-1,j0). La respuesta al escalón está

bien amortiguada, y el valor de Mr, de la respuesta en frecuencia es bajo.

2)Caso (b): K se incrementa. La intersección se mueve cerca del punto (-1,j0); el sistema es

aún estable, ya que el punto crítico no está encerrado, pero la respuesta al escalón tiene un

sobreimpulso máximo grande, y Mr también es grande.

3)Caso (c): K se incrementa más. La traza de Nyquist ahora pasa a través del punto (-1,j0), y

el sistema es marginalmente estable. La respuesta al escalón se vuelve oscilatoria

indefinidamente, con amplitud constante, y Mr se vuelve infinita.

4)Caso (d): K es relativamente grande. La traza de Nyquist encierra al punto (- 1,j0), y el

sistema es inestable. La respuesta al escalón se vuelve no acotada. La curva de magnitud del

módulo de |M(jw)| en función de w deja de tener significado. De hecho, el sistema es

inestable: ¡El valor de Mr es todavía finito!. En todo el análisis anterior, la curva de fase de

la respuesta en frecuencia en lazo cerrado también provee información cualitativa acerca de

la estabilidad. Observe que la pendiente negativa de la curva de fase se incrementa conforme

la estabilidad relativa disminuye. Cuando el sistema es inestable, la pendiente más allá de la

frecuencia de resonancia se vuelve positiva.


Figura 20.


MARGEN DE GANANCIA “Conceptualmente indica la cantidad de ganancia que todavía admite el

Sistema de Lazo Abierto, antes que el Sistema de Lazo Cerrado se vuelva

inestable”.

Para Calcular el Margen de Ganancia, Se define:

Frecuencia de cruce de fase (wc): Como la frecuencia que hace que la Fase del vector de

GH(jwc) valga -180|, o sea la frecuencia para la cual la Parte Imaginaria del vector GH(jwc)

es NULA.

Cruce de fase: Es el punto en el cual la traza de GH(jwc) se intersecta con el eje real

negativo (esto es, la fase en ese punto es de -180º).

Margen de Ganancia, también se define como: el número por el cual hay que multiplicar el

módulo del vector G(jwc) en la frecuencia de cruce de fase wc, cuya fase es de -180°

(Parte Imaginaria nula), para que el módulo del vector GH(jwc) valga valor 1.

Es decir:

El Margen de ganancia es la inversa del módulo de GH en la frecuencia wc, donde la

Fase vale -180°. En coordenada polares, la cercanía de /GH(wc)/al punto crítico -1, da una

idea del margen de ganancia, pero, no es exactamente el margen de ganancia. Si /GH(wc)/

está muy cerca al punto crítico -1, el Margen de Ganancia es muy chico y viceversa.

Figura 21

∠GH(jwc) = ∠L(jwc) = -180º


Si se quiere expresar el Margen de Ganancia en db, se tiene:

Expresado en db, Margen de ganancia es “la cantidad de ganancia en decibelios (db) que

se pueden añadir al lazo antes de que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable”

También se pude definir el Margen de Ganancia, como el número por el cual hay que

multiplicar la ganancia dada del sistema para obtener la ganancia límite que vuelve

inestable al sistema.

MARGEN DE FASE

Figura 22


El margen de ganancia es sólo una representación unidimensional de la estabilidad relativa

de un sistema en lazo cerrado. En principio, uno podría pensar que un sistema con margen de

ganancia grande debería ser más estable que uno con margen de ganancia pequeño.

Desafortunadamente, el margen de ganancia por sí solo es inadecuado para indicar la

estabilidad relativa cuando otros parámetros del sistema están sujetos a variación.

Por ejemplo, los dos sistemas representados por las trazas de L(jw) en la figura 22, en

apariencia tienen el mismo margen de ganancia. Sin embargo, el lugar geométrico de A en

realidad corresponde a un sistema más estable que el lugar geométrico de B, ya que cualquier

cambio en los parámetros del sistema que afecte a la fase de L(jw), el lugar geométrico de B

puede encerrar al punto (-1,j0). Aún más, se puede mostrar que el sistema B en realidad tiene

un Mr más grande que el sistema A.

Para incluir el efecto de corrimiento de fase sobre la estabilidad, se introduce el concepto de

Margen de fase (MF), que requiere que se den primeramente las siguientes definiciones:

Frecuencia de cruce de ganancia (wg): Es la frecuencia de L(jw) en el punto de cruce de

ganancia, que permite que el módulo de GH(jwg) valga 1, /GH(jwg)/=/|L(jwg)| = 1

Cruce de ganancia: Es el punto sobre la traza de L(jw) en el cual la magnitud de L(jw) es

igual a 1.

Figura 23

Observando la figura 23:

La definición del margen de fase se establece como:


“El margen de fase (MF) se define como el ángulo en grados que la traza L(jw)

se debe rotar alrededor del origen, para que el cruce de ganancia pase por el

punto (-1, j0). El margen de Fase, si se puede marcar exactamente en coordenadas polares (Fig. 23)

“Conceptualmente, el Margen de Fase, se define como la cantidad de fase en

atraso que todavía se le puede agregar al sistema de lazo abierto, antes que el

sistema de lazo cerrado se vuelva inestable”.

Cuando el sistema es de fase mínima, la expresión analítica del Margen de Fase se puede

expresar como:

MF = Margen de fase = ∠L(jwg) + 180º

En donde wg es la frecuencia de cruce de ganancia.

Generalmente un MG de unos 6db y un MP entre 30 y 35º está bien.

MARGEN DE GANANCIA Y DE FASE EN EL DIAGRAMA DE BODE

Las trazas de Bode de una función de transferencia son una herramienta gráfica de suma

utilidad para el análisis y diseño de sistemas de control lineales.

Antes de la aparición de los computadores, las trazas de Bode eran a menudo conocidas

como “trazas asintóticas”, debido a que las curvas de magnitud y fase se podían bosquejar de

sus propiedades asintóticas sin detallar las gráficas. Las aplicaciones modernas de las trazas

de Bode para sistemas de control se deben identificar con las siguientes ventajas y

desventajas:

VENTAJAS:

En ausencia de una computadora, las trazas de Bode se pueden bosquejar por la

aproximación de magnitud y fase con segmentos de línea recta.

El cruce de ganancia, el cruce de fase, el margen de ganancia y el margen

de fase se determinan más fácilmente en las trazas de Bode que en la traza

de Nyquist.

Para propósitos de diseño, los efectos de añadir controladores y sus parámetros

se visualizan con mayor facilidad sobre las trazas de Bode que sobre la traza de

Nyquist.

Cuando se modifica la ganancia del sistema, las trazas de Bode no cambian de

forma (solamente suben o bajan). No ocurre así con las trazas de Nyquist, cuya

forma cambia en ese caso.


DESVENTAJAS:

La estabilidad absoluta y relativa de SISTEMA DE FASE NO MÍNIMAS, NO se

puede determinar desde las trazas de Bode. Debe aplicarse el Criterio General de

Nyquist Simplificado para averiguar su estabilidad.

Ejemplo:

Sea una Función de transferencia de Lazo Abierto de Fase Mínima.

Sea:

Recordar:

La frecuencia wc llamada frecuencia de cruce de fase, sirve para marcar y encontrar

el Margen de Ganancia.

La frecuencia wg llamada frecuencia de cruce de ganancia, sirve para marcar y

hallar el Margen de Fase.

Su Diagrama de Bode correspondiente de Módulo y Fase es:

-150

-100

-50

0

50

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-270

-180

-90

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = 21.7 dB (at 33.3 rad/s) , Pm = 54.9 deg (at 7.8 rad/s)

Frequency (rad/s)

MF = 54.9°

MG = 21,7 dbwg

wc

Para Sistema Estable wg < wc

Figura 24


Para Marcar el Margen de Ganancia en el diagrama de Amplitud de Bode, debe

ubicarse en primer lugar la frecuencia wc = frecuencia de cruce de Fase, donde la

Fase mide -180°. En este ejemplo wc= 33,3 rad/seg, subir en esa misma

frecuencia hasta alcanzar la curva de Amplitud. Lo que le falta a la curva de

amplitud, desde ese punto, hasta alcanzar los 0 db es el margen de Ganancia,

expresado en db.

Para Marcar el Margen de Fase en el diagrama de Fase de Bode, debe ubicarse en

primer lugar la frecuencia wg=frecuencia de cruce de Ganancia, donde el Módulo

vale 1. En este ejemplo wg= 7,8 rad/seg, bajar en esa misma frecuencia hasta

alcanzar la curva de Fase. Lo que le falta a la curva de Fase desde ese punto hasta

alcanzar los -180°, es el margen de Fase, expresado en grados.

Podemos obtener las siguientes conclusiones sobre la estabilidad del sistema con respecto a

las trazas de Bode:

El margen de ganancia es positivo, cuando la magnitud de L(jw) a la frecuencia de

cruce de fase wc, es negativo expresado en db, es decir, cuando el margen de

ganancia se mide por abajo del eje 0 db. El sistema es estable.

SI el margen de Ganancia, se mide por arriba del eje 0 db, será negativo y el

sistema será inestable. Se interpreta, como que habría que reducir la ganancia del

sistema de lazo abierto, para que el sistema de lazo cerrado vuelva a hacerse

estable.

El margen de fase es positivo y el sistema es estable si la fase de L(jwg) es mayor

que –180º en el cruce de ganancia, es decir, la fase L(jw) en la frecuencia wg, está

por arriba de los -180°. Esto es, el margen de fase se mide arriba del eje –180º.

Si el margen de fase se mide abajo del eje –180º, el margen de fase es negativo, y

el sistema es inestable.

Para la ganancia normalizada del sistema anterior, KLA=10, el diagrama de bode, arroja un

margen positivo de ganancia de 21,7 db con wc = 33,3 rad/seg y un Margen Positivo de Fase

de 54,9° con wg = 7,8 rad/seg

Aumentando ahora la ganancia normalizada del sistema anterior en un valor KLA=100, el

diagrama de bode, arroja un margen positivo de ganancia de 1,74db con wc = 33,3 rad/seg y

un Margen Positivo de Fase de 3,49° a una frecuencia wg = 30,1 rad/seg. Es decir, ha

disminuido su estabilidad relativa, a medida que se ha aumentado la KLA.

Si solo la ganancia de lazo abierto aumenta, la curva de magnitud se desplaza hacia arriba,

mientras que la curva de fase permanece sin cambio. La frecuencia de cruce de fase,

permanece en el mismo lugar, mientras se puede apreciar en la Figura 25, que la frecuencia

de cruce de ganancia wg aumenta, se corre hacia la derecha, el margen de Ganancia y

Margen de Fase disminuyen y el sistema es menos estable.


-150

-100

-50

0

50

100M

agnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-270

-180

-90

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

wg=7,8 rad/seg

wc =33 rad/seg MF= -33,7° sistema inestable

wg= 86,60 rad/seg

wg=30,11 rad/seg MG = -18,3 db

sistema inestable

Para un valor de Ganancia normalizada KLA=1000, el diagrama de bode, arroja un Margen

Negativo de Ganancia de -18,3db con wc = 33,3 rad/seg y un Margen Negativo de Fase de

-33,7° a una frecuencia wg = 86,60 rad/seg. Es decir, se ha disminuido su estabilidad

relativa, a tal punto que el Sistema se ha convertido en un Sistema Inestable.

Para que un Sistemas de fase Mínima sea estable debe cumplirse que :

Los sistemas que tienen varios cruces de fase, reciben el nombre de Sistemas

condicionalmente estables. En ellos, se tiene que el sistema es estable en un intervalo

de valores de K, y tanto por debajo, como por encima, el sistema se torna inestable.

Esto puede verse también en la traza de Nyquist, cuando se tengan varios puntos de

corte en el eje negativo.

wg < wc

control i - unsjdea.unsj.edu.ar/control1b/teoria/criteriogeneralnyquist.pdf · introducción: el...

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