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1Teorema de Muestreo (Nyquist)Sabemos que las seales se pueden descomponer como un sumatorio de senos y cosenos cada uno de una amplitud, frecuencia y fase diferente. Esto se llama Desarrollo Serie de Fourier.

Si dichas sinusoides las muestreamos, el caso ms crtico de muestreo ser aquella de mayor frecuencia (frecuencia mxima fm que corresponde con el periodo mnimo Tmin=1/ fm) la cual vamos a llamar:f(t)=A sin(2fm t+ ) donde A: amplitud, t: tiempo y : fase de la seal.El Teorema de Muestreo formulado por Nyquist 1924 dice: que si queremos reconstruir una seal de frecuencia mxima fm, debemos de muestrear a 2fm y la frecuencia de muestreo (sampling) se llama fs o tambin frecuencia de modulacin.

Ya en 1924 Nyquist demostr por procedimientos puramente tericos que exista un lmite mximo en el nmero de baudios que podan transmitirse por un canal, y que dicho lmite era igual al doble de su ancho de banda. Por ejemplo en el caso de un canal telefnico, con una anchura de 3 KHz, el mximo es de 6 Kbaudios. Para un canal de televisin PAL con una anchura de 8 MHz el mximo sera de 16 Mbaudios.Podemos comprender intuitivamente el Teorema de Nyquist si pensamos que la secuencia de smbolos a transmitir puede fluctuar entre dos situaciones extremas: transmitir siempre el mismo smbolo o transmitir cada vez un smbolo con un valor de amplitud opuesto al anterior. En el primer caso tendramos una seal constante de frecuencia cero, mientras que en el segundo la frecuencia sera la mitad que el nmero de smbolos transmitido (ya que dos smbolos consecutivos formaran una oscilacin completa). As pues la anchura de banda, que sera igual a la diferencia entre estos dos casos extremos, sera la mitad del nmero de smbolos transmitidos por segundo.

Desde otro punto de vista, si yo tengo una seal fm, frecuencia mxima y tx 10101010101, que se comportara como +-+-+-+-+-+-+-+-en la seal a transmitir, cada ciclo de la seal es 10 +-, por tanto 2 bits, as q con fm la mxima informacin q obtengo sera 2.fm, que seran las muestras q realizara en el caso de tener q recuperar las seal.

En la prctica, cuando se trata de seales moduladas (que es el tipo de seales que se dan en casi todos los casos en RBB) el nmero de baudios no puede ser mayor que el ancho de banda del canal. Por tanto en los ejemplos anteriores (canal telefnico y canal de televisin PAL) el mximo sera de 3 Kbaudios y 8 Mbaudios, respectivamente.

Ejemplo1, si un instrumento musical emite tonos (o sinusoides) de 20KHz, debo muestrear a 40KHz (40.000 muestras por segundo).Ejemplo 2: los CD de audio muestrean la seal 44.100 veces por segundo, por tanto pueden captar frecuencias de hasta 22,05 KHzEjemplo3, si la voz humana tiene un espectro de 4Khz, para poder muestrear y recuperar la seal requeriramos 8.000 muestras por segundo, o 8000 baudios.Interpretaciones prcticas sobre NyquistEn una seal cuando se transmite, la capacidad que posee para transportar informacin, o bien viene limitado por la propia seal (que es lo visto anteriormente, una seal con frecuencia mxima fm) y su ancho de banda, o bien viene limitado por el ancho de banda del canal en la que es transmitida. En resumen, o el ancho de banda lo fija la fuente o bien el canal.Ej. La voz humana, tiene un BW >4KHz, pero los circuitos de las centrales operan hasta 4KHz.3Es decir, en el caso q el canal limite a 4 KHz, si por all mandara con mxima frecuencia, suponiendo que cada lbulo o semiperiodo de la sinusoide es +- asociado al 10, obtendra 8000 baudios.Es decir q una seal limitada a 4Khz puede transportar como mximo 8000 baudios si no est modulada, q se trata de otra consideracin diferente del Tm de Nyquist.Si estuviera modulada como en la CATV, slo sera la mitad, es decir 4000 baudios.4100 Hz1 KHz10 KHzFrecuencia100 KHz10 HzPotencia relativa0 dB-20 dB-40 dB-60 dBRango dinmicoaproximado de la vozCanal telefnicoLmite superiorde la radio AMLmite superiorde la radio FMRango dinmicoaproximado dela msicaMSICAVOZRuidoEspectro acstico de la voz y la msica3,4 KHz300 HzPotencia relativa=Potencia/Potencia mximaTeorema de Nyquist en un canal (limitacin por canal)En un caso general, como un canal analgico (que transporta seales analgicas no moduladas), se puede demostrar que los baudios (smbolos por segundo) posibles enviados con un canal de ancho de banda BW es:Capacidad [baudios]=2*BW [Hz]

Si fuera modulada, sera Capacidad [baudios]=BW [Hz]

Y la capacidad binaria de dicho canal es:Capacidad [bits/segundo]= 2*BW*log2(nmero de niveles por smbolo)= 2*BW*log10(nmero de niveles por smbolo)/ log10(2)El nmero de niveles por smbolo lo determina la constelacin de la modulacin utilizada.Pero el nmero de smbolos a introducir en un canal tiene tambin un lmite ...

En el caso del canal telefnico, como utilizamos de 300 a 3400 Hz, al ser modulada porque no parte de 0 Hz, sino que va metida en la banda 300 a 3400Hz, el mximo de baudios son 3100 baudios.

5Esto es si la seal no est modulada.Si est modulada, es capacidad en baudios es BW.Relacin seal/ruidoLa relacin seal/ruido, tambin SR o S/N (Signal to Noise Ratio) se mide normalmente en decibelios (dB):

S/N (en dB) = 10* log10 (S/N)=S(db) N(db)

Ejemplo 1: S=10Kwatios N=5Kwatios, por tanto S/N (db)= 10* log10 (10/5)Ejemplo 2: S/N = 36 dB, por tanto la seal es 103,6 = 3981 veces mayor que el ruido 6Teorema de muestreo de Nyquist (1924)La digitalizacin de una seal analgica ha de hacerse muestreando al menos al doble de la frecuencia mxima que se pretende capturar. Ejemplos:Canal telefnico: 3,3 KHz Muestreo 8 KHzAudio HiFi: 20 KHz Muestreo 44,1 KHz Redes MultimediaAmpliacin Redes2-7En 1924 Nyquist formul el teorema que lleva su nombre, que establece que cuando una informacin digital se transporta por un canal analgico el nmero de baudios no puede ser mayor que el doble de la anchura del canal en hertzios. Dicho teorema tambin se aplica al caso en que una seal analgica se codifica en forma digital; en este caso el teorema dice que las muestras digitales de la seal se han de obtener a una frecuencia que sea como mnimo el doble que la frecuencia mxima que se quiere captar, por lo que se suele denominar Teorema de muestreo de Nyquist. Dicha frecuencia se conoce como Frecuencia de Nyquist.Por ejemplo una conversacin telefnica utiliza normalmente un ancho de banda de 3 KHz. Para tener un margen de seguridad la separacin entre canales telefnicos contiguos es de 4 KHz. Por esta razn cuando se digitaliza una conversacin telefnica se utiliza una frecuencia de muestreo de 8 KHz, de forma que sea posible restituir la onda original cuando se vuelva la seal a su forma analgica.Otro ejemplo interesante es el caso del audio de alta fidelidad. Aqu la frecuencia mxima a captar es de 20 KHz, valor mximo percibido por el odo humano en condiciones ptimas. Por eso el estndar de audio digital utilizado en discos compactos (CD/DA) emplea una frecuencia de muestreo de 44,1 KHz, capaz de captar frecuencias de audio de hasta 22,05 KHz.Aunque nos hemos centrado en el caso del audio el Teorema de Nyquist tambin se aplica a una seal de vdeo analgica. La seal de vdeo de una cmara analgica es tambin una onda. La nica diferencia es que en este caso se trata de canales con anchuras del orden de los MHz y por tanto las frecuencias de muestreo han de ser mucho mayores que en el caso del audio.

Seal muestreadaa 8 KHzSeal analgicaoriginalCanal telefnicoAncho de banda 300 a 3.300 HzConversin analgico-digital:muestreo de la sealMuestrasProceso de muestreo8.000 muestras/s(captura de 0 a 4 KHz)Redes MultimediaAmpliacin Redes2-8La primera fase en el proceso de digitalizacin consiste en medir la amplitud de la onda en cada muestra. Por ejemplo en el caso de la telefona esa toma de muestras se realiza 8.000 veces por segundo como ya hemos comentado. Esto equivale a tomar una muestra cada 125 microsegundos (1/8.000 = 0,000125).Aunque las normas de telefona digital varan segn los pases y los continentes la frecuencia de muestreo es una de las pocas cosas que son universales y comunes a todas ellas.Conversin analgico-digitalSealmuestreada(valores continuos)Seal digital (valores discretos)Ruido (o error) de cuantizacin100100111011001DigitalizacinLa seal digital se ha de ajustar a uno de los valores preestablecidos de amplitudEl error de cuantizacin depende del nmero de bits por muestra.La escala de digitalizacin puede ser lineal o logartmicaRedes MultimediaAmpliacin Redes2-9La amplitud de la onda es una magnitud continua que puede tener cualquier valor. Por el contrario su representacin digital en un nmero limitado de bits obliga a utilizar un conjunto finito de valores discretos. La necesidad de ajustar el valor real al valor discreto ms prximo introduce una distorsin que se conoce como error o ruido de cuantizacin.Por ejemplo en la digitalizacin de un canal telefnico cada muestra se representa la amplitud de la onda utilizando ocho bits, lo cual permite representar hasta 256 diferentes valores de la amplitud; el valor en la onda analgica original, que es continuo, se ha de transformar en uno de esos 256 valores discretos posibles (lgicamente aquel que se encuentre ms prximo a la magnitud real). Si en vez de un byte se utilizaran dos bytes por muestra (como ocurre por ejemplo con el audio digital en CD) la gama de valores de amplitud sera de 65536, lo cual permite representar con mucha mayor precisin el valor de la onda analgica original. Por tanto el error de cuantizacin disminuye al aumentar el nmero de bits empleados al digitalizar cada muestra. Este menor error de cuantizacin se percibe como una mejor (o ms elevada) relacin seal/ruido.En algunos sistemas de telefona los valores discretos utilizados en la codificacin digital no se corresponden linealmente con la magnitud digitalizada (la amplitud) sino con su logaritmo. De esta forma se consigue una mayor precisin en los valores pequeos. Este es el caso que se ha representado en la figura adjunta.

Compromiso entre calidad y recursos (costo)Para digitalizar una seal analgica hay que fijar dos parmetros:Frecuencia de muestreo: cuanto ms alta mayor es el ancho de banda que se captura de la seal analgica Nmero de bits por muestra: cuanto mayor es menor es el error de cuantizacin y mayor la relacin seal/ruido de la seal digitalEn ambos casos un valor mayor supone una mayor fidelidad en la informacin digitalizada, pero tambin un mayor caudal en los datos generadosRedes MultimediaAmpliacin Redes2-10