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ALGEBRANOTAS DE SALON DE CLASESPOR JORGE DE ORO IBAEZ

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PREFACIO.Estas son notas de mis clases como profesor de Algebra Abstracta en la Universidad del Atlntico durante ms de quince aos. Contiene adems algunos temas que he considerado de inters, dictados tambin en esta misma Universidad sobre Anlisis Matemtico y Teora de Nmeros, enfocados desde el Algebra. Tambin he incluido ciertos conceptos desarrollados en cursos sobre Lgica y Teora de Conjuntos, que a mi juicio son importantes para comprender la temtica tratada. Realmente la elaboracin de estas notas tiene una primera etapa correspondiente a la dcada de los 80, cuando inici esta tarea recopilando los apuntes del momento en que esta asignatura se desarrollaba en dos semestres, en el programa de Licenciatura en Matemticas de la Facultad de Educacin. Con el surgimiento del programa de Matemticas Puras y gracias a su primer Director Oswaldo Dede, se present la ocasin en los ao 2004 y 2005, de desarrollar la materia en cuestin nuevamente durante dos semestre, brindndome ello una segunda oportunidad para exponer el material que durante cerca de diez aos no haba podido discutir en el incomparable escenario del saln de clase. De todas maneras durante ese tiempo ampli lo escrito con temas de los seminarios de Teora de Nmero y Anlisis Matemtico y complement con el material de Teora de Conjuntos. De todas maneras como en esta segunda etapa solo he tenido una sola oportunidad de exponer las presentes notas en clase, aspiro que al colgarla en ste medio pueda completar la etapa final de discusin antes de publicarla en un libro propiamente dicho. Son nueve captulos con sus respectivas secciones, numeradas de tal manera que el primer nmero indica el captulo, mientras que el segundo corresponde directamente a la seccin, numeradas consecutivamente. Los comentarios, definiciones, corolarios, lemas, ejemplos y ejercicios, estn tambin numeradas consecutivamente indicando los dos primeros nmeros el captulo y la seccin respectiva, sealando el tercero su ubicacin numrica consecutiva en ese capitulo y en dicha seccin El Primer Captulo puede ser omitido por quienes manejen los conceptos de funcin, ley de composicin interna y adems conozcan de la construccin de los naturales, segn Peano, y de la construccin posterior de los nmeros enteros y de los nmeros racionales. En la seccin 1.17 se desarrolla otra construccin de los nmeros naturales cuyo objetivo es analizar si la suma definida en la construccin segn Peano qued bien planteada con la sola aceptacin axiomtica del principio de Induccin Matemtica, ya que en la otra construccin se acepta como un axioma la existencia de una estructura aditiva asociativa y luego para definir el producto fue necesario demostrar el Teorema (1.17.32) de Definicin por Recurrencia, a pesar de haber comprobado a esa altura el Principio de Induccin Matemtica. De todas maneras esa discusin tambin puede ser obviada inclusive por aquellos que estn interesados en fortalecer el conceptos de operacin binaria, y entrar en materia con los

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siguientes captulos, en los que se abordan: grupos en el Segundo Capitulo y Anillos en el Tercer Capitulo, continuando de manera alterna, tratando subgrupos y subanillos en el Cuarto Captulo, Grupos Cocientes y Anillos Cocientes en los captulos Quinto y Sexto. Para luego continuar en el Sptimo con los teoremas de Sylow y terminar con el estudio de los mdulos y extensiones de campos en los dos ltimos captulos, concluyendo con la imposibilidad de ciertas construcciones geomtricas con regla y comps. Las notas pueden ser adaptadas para trabajar a la manera clsica. Es decir agotando primero los temas de grupos hasta los teoremas de Sylow y luego proseguir con los captulos relativos a la Teora de Anillos. En las secciones 3.8 construimos el sistema de los nmeros reales utilizando las Cortaduras de DEDEKIND y luego en la seccin 6.8 se resuelve esa construccin mediante el sistema de sucesiones, debido a Cantor. En el de las cortaduras solo se necesita de los conceptos elementales de anillos, mientras que en el de Cantor es importante manejar la temtica de Anillo Cociente. Es decir se muestra el proceso de construccin desde los Naturales haca los Reales. Con la Definicin 6.8.45 se inicia la demostracin del proceso recproco. Es decir desde los Reales haca los Naturales. La mayora de los problemas cuentan con sugerencias de tal forma que en algunos casos, el verdadero ejercicio es justificar los diferentes pasos mostrados. El material est elaborado para desarrollarlo en dos semestres, por ello trabajo en Teora de Galois y campos finitos, pensando en la ampliacin a tres semestres.

Jorge de Oro Ibez Barranquilla, Agosto de 2004.

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Tabla de Contenido.CAPTULO 1. OPERACIONES BINARIAS ........................................................... 81. 1. DEFINICIN Y COMENTARIOS. ...................................................................................................... 8 1.2. TABLAS. ................................................................................................................................................. 17 1.3 EJERCICIOS........................................................................................................................................... 20 1. 4. ESTRUCTURAS ASOCIATIVAS....................................................................................................... 23 1.5. ESTRUCTURAS MODULATIVAS....................................................................................................... 30 1 6. ESTRUCTURAS INVERTIVAS. ......................................................................................................... 32 1 7. ESTRUCTURAS CONMUTATIVAS. ................................................................................................. 35 1.8. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ISOMORFAS. ............................................................................ 36 1.9. EJERCICIOS.......................................................................................................................................... 39 1.10. LOS NATURALES SEGN PEANO................................................................................................. 40 1.11 OTROS TIPOS DE OPERACIONES ................................................................................................. 48 1.12. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 48 1.13 RELACIONES DE EQUIVALENCIA................................................................................................ 50 1.14 EJERCICIOS......................................................................................................................................... 52 1.15 CONSTRUCCIN DE y Q. ............................................................................................................ 53 1.16. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 57 1.17. RELACIONES DE ORDEN Y OTRA CONSTRUCCIN DE . .................................................. 58 1 18 EL LEMA DE ZORN............................................................................................................................ 69 1 19. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 70

CAPTULO 2 GRUPOS.............................................................................................. 722.1. INTRODUCCION.................................................................................................................................. 72 2.2 DEFINICIN Y DISCUSIN................................................................................................................ 74 2.3 PROPIEDADES ELEMENTALES. ...................................................................................................... 80 2. 4. EJERCICIOS......................................................................................................................................... 85 2.5. CLASES RESIDUALES MODULO n.................................................................................................. 90 2.5 1. Introduccin....................................................................................................................................... 90 2.6 GRUPOS DE ORDEN 1,2,3 y 4.............................................................................................................. 97 2.7 EJERCICIOS......................................................................................................................................... 102 2. 8.HOMOMORFISMO DE GRUPOS. ................................................................................................... 103 2. 9. EJERCICIOS....................................................................................................................................... 107 2.10. LAS RACES n-simas COMPLEJAS DE LA UNIDAD. .............................................................. 109 2.12. EL GRUPO SA .................................................................................................................................... 112 2.13. OTROS GRUPOS DE PERMUTACIONES.................................................................................... 116 2.14 EJERCICIOS....................................................................................................................................... 122

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CAPTULO 3. ANILLOS ........................................................................................... 124 .3.1. DEFINICIN Y COMENTARIOS .................................................................................................... 124 3.2 EJERCICIOS......................................................................................................................................... 133 3.3. DOMINIOS ENTEROS Y CAMPOS................................................................................................. 137 3.4. HOMOMORFISMO DE ANILLOS................................................................................................... 141 3.5.. EJERCICIOS....................................................................................................................................... 148 3.6. EL ANILLO DE LOS POLINOMIOS ............................................................................................... 150 3.7. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 154 3.8. CORTADURAS DE DEDEKIND. ...................................................................................................... 156 3.8.34. Conclusiones: ................................................................................................................................ 176 3. 9 EJERCICIOS........................................................................................................................................ 177

CAPTULO 4. SUBGRUPOS Y SUB ANILLOS ............................................................. 1794.1. DEFINICIN Y COMENTARIOS. ................................................................................................... 179 4.2.EJERCICIOS......................................................................................................................................... 182 4.3..DEFINICIN DE SUB-ANILLO. ...................................................................................................... 184 4.4.EJERCICIOS......................................................................................................................................... 185 4.5...SUBGRUPOS CCLICOS. ................................................................................................................. 186 4.6..EJERCICIOS........................................................................................................................................ 188 4.7..HOMOMORFISMOS DE GRUPOS Y ANILLOS ........................................................................... 188 4.8.EJERCICIOS......................................................................................................................................... 193 4.9..GRUPOS CICLICOS FINITOS E INFINITOS. ............................................................................... 194 4.10-EJERCICIOS ...................................................................................................................................... 197 4.11 EL ANILLO DE LOS ENTEROS ..................................................................................................... 198 4.12-PROBLEMAS ..................................................................................................................................... 204 4.13 OTRAS PROPIEDADES DE * ........................................................................................................ 205 4.14- K[x] VERSUS .................................................................................................................................. 211 4.15.- EJERCICIOS. ................................................................................................................................... 223 4.16. ANILLOS EUCLIDEANOS.............................................................................................................. 226 EJERCICIO 4.17......................................................................................................................................... 228 4.18 ENTEROS GAUSSIANOS ........................................................................................................ 229 EJERCICIOS 4.19....................................................................................................................................... 231

CAPTULO 5. GRUPO COCIENTE...................................................................... 2335.1 PARTICION DE UN GRUPO.............................................................................................................. 233 5.2 APLICACIONES .................................................................................................................................. 240 5.3. TEOREMAS DE HOMOMORFISMO .............................................................................................. 244 5.4 EJEMPLOS ........................................................................................................................................... 248 5.5 EJERCICIOS......................................................................................................................................... 248

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CAPTULO 6 ANILLOS COCIENTES ................................................................. 2536.1 SUMA Y PRODUCTO DE CLASES................................................................................................... 253 6.2. TEOREMAS DE HOMOMORFISMOS............................................................................................ 255 6.3.-IDEALES PRIMOS E IDEALES MAXIMALES. ............................................................................ 260 6.4- EXISTENCIA DE IDEALES MAXIMALES.................................................................................... 267 6.5. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 269 6. 6.CRITERIOS DE IRREDUCIBILIDAD. ............................................................................................ 272 6.7. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 280 6.8. MTODO DE CANTOR PARA LA CONSTRUCCIN DEL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES................................................................................................................................. 280 6.9 EJERCICIOS. ........................................................................................................................................ 302 6.10.CAMPOS DE DEDEKIND................................................................................................................. 303 6.11. EJERCICIOS...................................................................................................................................... 313

CAPTULO 7. TEOREMAS DE SYLOWS .......................................................... 3157. 1. LA RELACION CONJUGADO Y LA ECUACION DE CLASE................................................... 315 7.2. APLICACIONES ................................................................................................................................. 317 7.3 p-GRUPOS y p-SUBGRUPOS DE SYLOW....................................................................................... 320 7.4. GRUPOS DE ORDENES p, p2, p3, pq.. .............................................................................................. 333 7.5 EJERCICIOS......................................................................................................................................... 341 7.6. OTRA DEMOSTRACION DE LOS TEOREMAS DE CAUCY Y SYLOW ................................. 346 7.7. EJERCICIO.......................................................................................................................................... 352 7.8. PRODUCTOS DIRECTOS Y EXTERNOS DE GRUPOS. ............................................................. 353 7.9 Ejercicios. ............................................................................................................................................... 360 7.10. APLICACIONES ............................................................................................................................... 361

CAPTULO 8. MODULOS Y ESPACIOS VECTORIALES. ......................... 3638.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS......................................................................................................... 363 8. 2 EJERCICIOS........................................................................................................................................ 372 8.3. ESPACIOS VECTORIALES. ............................................................................................................. 377 8.4. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 392

CAPTULO 9. EXTENSIONES DE CAMPOS. ................................................. 3959.1. DEFINICIN Y PROPIEDADES ELEMENTALES ....................................................................... 395 9.2. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 401 9.3. EXTENSIONES ALGEBRAICAS...................................................................................................... 401 9.4. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 409 9.5. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPAS ........................................................................... 409 9.6. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 423

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CAPTULO 1. OPERACIONES BINARIAS 1. 1. DEFINICIN Y COMENTARIOS. Se trata de formalizar el concepto "operacin binaria" sobre la base de observar tres caractersticas notables en la suma y en la multiplicacin usuales de elementos del conjunto de nmeros reales. La primera de ellas nos indica que siempre es posible sumar o multiplicar cualquier par de nmeros reales. En segundo lugar es apreciable que el resultado de sumar o multiplicar cierto par arbitrario de nmeros reales es otro nmero real. Es decir, si a,b, entonces a+b,ab . La tercera observacin apunta en el sentido de sealar que el resultado de sumar o multiplicar un par de nmeros reales es un nico nmero real. Slo quien desconoce las reglas para sumar o multiplicar nmeros reales o carece de pericia en el manejo de ellas, le acontece que o no puede operar algn par de estos o cada vez que efecta la operacin, con los mismos nmeros, obtiene resultados diferentes. Las tres apreciaciones sealadas son vlidas en la resta usual de reales, ms no lo es con relacin al conjunto de los nmeros naturales, puesto que 1-2, a pesar de que 1,2 En la divisin usual, de nmeros reales no es posible dividir por cero, fallando as la primera cualidad, complicndose en la eventualidad 00, en la que cualquier resultado real que se adopte es vlido para dicha divisin. Situacin que nos lleva a aceptar la invalidez de la tercera cualidad en la divisin usual de reales. Afortunadamente las tres cualidades en referencia tienen cabal cumplimiento al restringir la divisin al conjunto de los nmeros reales diferentes de cero, notado *. Segn stas observaciones, la suma, la resta y la multiplicacin de nmeros reales, se equiparan con los rasgos centrales de una funcin del producto cartesiano x en , puesto que cada una de esas operaciones transforma a cada pareja de reales (a,b), en un nico real, a+b o a-b o a.b, segn la operacin correspondiente. Por esta razn presentamos la siguiente Definicin: Definicin 1.1.1. Si G es un conjunto, diremos que o es una operacin binaria en G o una ley de composicin interna en G, si o es una funcin de GxG en G. Adems si (a,b)GxG, a su nica imagen en G, seg o, la notaremos aob En consecuencia, comprender qu es una funcin es bsico para entender el concepto de operacin. Por ello nos detendremos un poco en su estudio, inicindolo con una discusin de la definicin de relacin entre dos conjuntos, ya que si A y B son conjuntos, una funcin de A en B, es un caso especial de relacin de A en B.

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Definicin 1. 1. 2. Diremos que R es una relacin de A en B, si RAxB. Adems si (a,b)R, notaremos aRb, que se lee a est relacionado con b, segn R. 1. 1. 3. De acuerdo a la Definicin anterior, se pueden definir tantas relaciones de A en B como subconjuntos de AxB existan. Lo cual nos indica que en caso de ser A y B conjuntos con n y m elementos, respectivamente, entonces como AxB tiene nm elementos y para cualquier entero k[0,nm], el nmero de subconjuntos de AxB con k elementos es nm (nm)! = k (nm k)!k! , donde..n!= 2.3....n , se infiere que el nmero de subconjuntos de AxB y en consecuencia el nmero de relaciones definibles de A en B es : nm nm nm + + ... + = 2nm nm 0 1 Ejemplo 1. 1. 4. Observe que segn la Definicin 1. 1. 2, si R es una relacin de A en B y aA, no se colige la existencia de bB tal que (a,b)R. Por ejemplo, Si A={1,2,3} y B={4,5,6,7}, entonces R = {(1,4), (2,5), (2,7)} es una relacin de A en B, puesto que RAxB. Pero a pesar de que 3A, no existe una pareja en R que tenga como primera componente a 3. Es decir, no es posible encontrar xB, tal que (3,x)R.Naturalmente si R es un subconjunto no vaco de AxB, debe existir por lo menos un aA que figure como primera componente de una de las parejas de R, ese es el caso de los elementos 1 y 2 de nuestro ejemplo, situacin que se expresa manifestando que R est definida en 1 y en 2, de acuerdo a la terminologa de la siguiente Definicin:

Definicin 1.1.5. Si R es una relacin de A en B, aA y K,A, entonces: i) R est definida en a, si existe bB tal que aRb; ii) R est definida en K, si R est definida en cada uno de los elementos de K Definicin 1.1.6. Si R es una relacin de A en B y KA, entonces i) definimos R(K) = {xB/(k,x)R, para algn kK};. ii) Si aA, entonces R(a)=x(a,x)R. Ejemplo 1.1.7 Del Ejemplo 1. 1. 4, si K = {1,2}, entonces R(K) = {4,5,7}. Pero si K = {2} o K = (1,2} y T = {2,3}, entonces: R(K) = {4,5,7}, R(T) = {5,7} y. R({3}) = = conjunto vaco. Tambin R(1) =4, R(2)=5 y R(2)=7. Definicin 1.1.8. i) R es una relacin, si R es un conjunto de parejas ordenadas; ii) R est definida en a, si existe x tal que (a,x)R; iii) R est definida en K, si R est definida en cada elemento de K.Estamos ahora preparados para plantear la siguiente definicin de funcin.

Definicin 1.1.9 Diremos que una relacin F, es una funcin de A en B; si F es una relacin de A en B, definida en A tal que para cada aA, F({a}) es un subconjunto unitario de B.Anlogamente al concepto de relacin se define el siguiente concepto de funcin.

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Definicin 1.1.10. Una relacin f es una funcin, si (a)(b)(c)((a,b),(a,c)f b=c) 1.1.11 Esquemticamente: Si F es una relacin, entonces F es una funcin de A en B, si y slo si: i) F es una relacin de A en B; ii) F est definida en A y iii) Si aA, entonces F({a}) es un conjunto unitario 1.1.12. Si R es una relacin de A en B y aA tal que R est definida en a, entonces a los elementos de R({a}) los llamaremos imgenes de a segn R.Demostremos el siguiente Teorema de caracterizacin:

Teorema 1.1.13. Si f es una relacin, entonces f es una funcin de A en B, si y slo si: Fi: f est definida en A Fii: Si a, entonces existe xB tal que (a,x)f.. Fiii: si aA y c,dB tales que (a,c),(a,d)f, entonces c=d. Demostracin. Si f es una funcin de A en B, entonces segn .1.1.11, f es una relacin de A en B, definida en A y por lo tanto Fi es vlido. En particular f est definida en a y por la Definicin 1.1.5. existe xB tal que (a,x)f.Por ltimo, si (a,c),(a,d)f, entonces segn la Definicin 1.1.6, se deduce que c,df({a}). Pero como de acuerdo con 1.1.11 se tiene que f({a}) es un conjunto unitario, entonces c=d. Recprocamente, si f es una relacin que satisface Fi, Fii y Fiii, para demostrar que f es una funcin de A en B, la Definicin 1.1.9 orienta que solo resta verificar que. para cada aA, f({a}) es un conjunto unitario. . Sean c,df({a}), entonces segn la Definicin 1.1.6, se deduce que (a,c),(a,d)f.. Entonces por Fiii, se infiere que c=d. Luego f({a}) es un conjunto unitario.

1.1.14. para una relacin f definida en a, notaremos f(a) en vez de f({a}), e informalmente aceptamos, para abreviar, escribir f(a)=b en vez de bf(a). Es decir f(a)=b equivale a (a,b)f .Por ejemplo, si R=(1,2),(2,4),(1,5), entonces R(1)=2, R(1)=5, R(2)=4.

1.1.15. Con la notacin informal definida 1.1.6, el Teorema 1.1.13 cobra la siguiente forma:Si f es una relacin, entonces f es una funcin de A en B, si y slo si: Fi: f est definida en A Fii: Si a, entonces f(a)B.. Fiii: si a,bA y a=b, entonces f(a)=f(b).

1.1.16. La notacin improvisada en 1.1.6 tiene como objetivo agilizar la parte de procedemieto para verificar que f sea una funcin. Su utilidad se capta ms en el manejo del concepto de operacin binaria interna, prximo a presentarse.

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Para el primer caso al definir por ejemplo f del conjunto . de los nmeros racionales en como f(a/b)=a+b, si a,b y b0, entonces f no es una funcin porque a pesar de que 2/3=4/6, se tiene que f(2/3)=5, mientras que f(4/6)=10.

Corolario 1.1.17. Una relacin o es una operacin binaria en G, si y slo si : Oi:o. est definida en GxG (abreviadamente o est definida en G). Oii: Si a,bG, entonces aobG. Oiii. Si a,b,c,dG tales que a=c y b=d, entonces aob=cod.La condicin Oii es conocida como la propiedad clausurativa de o. Tambin es costumbre afirmar que o satisface la cerradura en G o que o es cerrada en G. La condicin Oiii expresa que el resultado obtenido al operar un par de elementos de G es nico, en el sentido de no depender de la forma que adopten los elementos operados. El siguiente Corolario presenta una alternativa de simplificacin a la condicin Oiii

Corolario 1.1.18. Una relacin o es una operacin binaria en G, si y slo si : 1): o est definida en G 2): Si a,bG, entonces aobG. 3) Si a,b,c,G tales que a=b, entonces aoc=boc y coa=cob Demostracin. Si o es una operacin en G, el Corolario anterior indica que 1), y 2) son vlidos. Al aplicar Oiii a la consideracin a=b y c=c, obtenemos aoc = boc. Como obviamente tambin es cierto que c=c y a=b, entonces por Oiii , coa=cob. Luego a=b implica que aoc=boc y coa=cob.Recprocamente, al aceptar 1),2) y 3), obtenemos Oi y Oii. Resta por lo tanto comprobar que 3) implica Oiii. Para ello consideremos a,b,c,dG tales que a=b y c=d. Al aplicar 3) con a=b, obtenemos : aoc=boc, pero como tambin c=d, inferimos que boc=bod. Por lo tanto aoc =bod. La condicin Oiii puede abreviarse an ms cuando o es conmutativa, es decir si para cualquier a,bA; aob = boa, tal como lo indica el siguiente corolario, cuya demostracin es inmediata (Ver Ejercicio 1.3.17) :

Corolario 1. 1.19. Una relacin o de GxG en G tal que aob = boa, para todo a,bG, es una operacin binaria en G, si y slo si :1): o est definida en GxG o abreviadamente o est definida en G. 2): Si a,bG, entonces aobG. 3) Si a,b,cG tales que a=b, entonces aoc=boc.

1.1.20. A pesar de que en la ltima seccin de este capitulo abordaremos la construccin delos nmeros naturales , as como la de los enteros y la de los racionales , vamos a

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aceptar que la suma y el producto usual de nmeros reales son operaciones en . De igual manera en las secciones preliminares aceptaremos que la suma y multiplicacin usuales de reales son operaciones en , , y .

1.1.21. Esquemticamente el Corolario 1.1.18, tiene la siguiente forma: i) La relacin o es operacin en G, i) (a,bG)(o est definida en (a,b)); ii) (a,bG)(aobG) y iii) (a,b,c,dG)(Si a=c b=d, aob= cod.En consecuencia su negativa cobra la siguiente presentacin: i) La relacin o no es operacin en G (a,bG)(o no est definida en (a,b)) (a,bG)(aobG) (a,b,c,dG)( a =c b=d aob cod).

Ejemplo 1.1.22. Si I es el conjunto de los nmeros reales irracionales, o sea aquellos realesque no son de la forma p/q, con p,q y q0, entonces la suma usual y producto usual de reales no son operaciones en I, por que 2, -2I(Ver Ejercicio 1.3.6), pero 2+ (-2)=0 y

22 =2, pero 0,2. Es decir no cumplen Oii. Ejemplo 1.1.23. Si en el conjunto de los nmeros racionales, definimos para a/b,c/d, como a/bc/d=(a+c)/bd, donde las operaciones en a+c y bd son la suma y multiplicacin usuales de reales, entonces no es operacin en , ya que 2/3 = 4/6 pero 2/3 1/2 =1/2, mientras que 4/61/2 = 5/12. . Luego 2/31/24/61/2 y en consecuencia no se cumple 3) del Corolario 1.1.18. Ejemplo 1.1.24. Al considerar ={(a,b)/a,b}, que se conoce como el conjunto de losnmeros complejos, veamos que + definida para (a,b), (c,d), como (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (donde la operacin en a+c y b+d, es la suma usual de ), es una operacin en .

Demostremos Primero que (a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b), si (a,b),(c,d). En efecto como a.b,c,d y la suma usual de reales satisface a+c = c+a y b+d = d+b, entonces (a+c,b+d) = (c+a,d+b). Luego (a,b) + (c,d) = (c,d) +(a,b) Evidentemente + satisface las condiciones 1) y 2) de Corolario 1. 1.19 . (Ver Ejercicio 1.3.18). Definicin de , a,b,c,d,e,f y la suma usual es operacin en , entonces por la condicin 3) del Corolario 1. 1.19, tenemos: a+e=c+e y b+f= d+f. Por lo tanto, (a+e,b+f) =(c+e,d+f) . Es decir, (a,b) +(e,f) = (c,d)+(e,f), infirindose que la suma de complejos tambin satisface la condicin 3) del Corolario 1. 1.19 y por lo tanto la suma de complejos es operacin en . Adems, si (a,b), (c,d), (e,f), tales que (a,b)=(c,d) , entonces a=c , b=d. Pero como por

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Ejemplo 1.1.25. En el conjunto tambin es una operacin el producto o definido as : si(a,b),(c,d), entonces (a,b)o(c,d)=(ac-bd,ad+bc) (las operacin en ac,bd,ad y bc y en ad+bc y ac-bd, son el producto usual, la suma usual y la resta usual, respectivamente en . Es evidente que (a,b)o(c,d) = (c,d)o(a,b), si (a,b),(c,d) (Ver ejercicio 1.3.14). Nuevamente no ofrece dificultad probar 1) y 2) del Corolario 1. 1.19. Si (a,b), (c,d), (e,f) , tales que (a,b)= (c,d), entonces a=c y b=d. En consecuencia, por ser el

producto usual de reales una operacin en , obtenemos: ae = ce, bf = df, af = cf y be= de: Aplicando ahora que la suma y la resta usual de reales son operaciones en , inferimos por Oiii que ae-bf = ce-df y af+be=cf+de. Por lo tanto: (ae-bf,af+be)=(ce-df,cf+de), y por lo tanto (a,b)o(e,f) = (c,d)o(e,f). En sntesis, este producto satisface 1),2) y 3) del Corolario 1. 1.19, razn por la cual es una operacin en .

1. 1.26. Con relacin al producto usual en definido en el prrafo anterior, observe que (0,1)o(0,1)=(-1, 0). Por lo tanto, si notamos (0,1) = i y (x,0)=x, para todo x, se deduce que (a,b)=(a,0) +(b,0)o(0,1) = a+boi. De tal manera que al escribir abreviadamente a+boi=a+bi , seinfiere que ={a+bi\a,b}, notacin con la cual son ms conocidos los nmeros complejos.

1. 1.27. De acuerdo a la notacin ={a+bi\a,b}, podemos aceptar que el conjunto de losnmeros reales es un subconjunto del conjunto los nmeros complejos .

1. 1.28 La resta usual no es una operacin binaria en el conjunto de los nmeros naturales ,ya que 2,3 , pero 2-3=-1. Este resultado ensea que si o es una operacin en G, no necesariamente o es una operacin en K, si KG. El siguiente corolario, cuya demostracin es inmediata, indica la condicin sine quanon, para que o sea una operacin en K.

Corolario 1.1.29. Si o es una operacin binaria en un conjunto G y KG, entonces o es una operacin binaria de K, si y slo si, aobK, siempre que a,bK. O sea que o es una operacin en K si y slo si o es cerrada en K. Ejemplo 1. 1.30. Si es el conjunto de los nmeros reales, el de los racionales e I el de losirracionales, al considerar K={a+b2/a,bI}, analizar si la suma usual es una operacin en K. I

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Si a+b2,c+d2K, entonces (a+b2)+(c+d2)=(a+c)+(b+d)2= +2, Por lo tanto al K considerar =a+c y =b+d, se nos presentan las siguientes opciones: o I y I, y I I , y I , I y I I Veamos que en cualquier circunstancia +2K. K Obviamente que la primera opcin es la ideal para concluir en + 2K. Si la forma es +2, con , Ejercicio 1.3.6) , entonces +2= (+3)+(- 3 2 ) 2 (Ver

I Si la alternativa es +2, con I y ; +2=( -1)+( +

1 2

)2K.

En la

eventualidad +2 con y I; +2=(+2)+(-1) 2K. Por lo tanto, en todos las circunstancias +2K y segn el Corolario 1.1.29, la suma usual es operacin en K.Ejemplo 1.1.31. Sean 1, ..., n .operaciones en E1, ... ,En, respectivamente y K = E1x ... xEn Si para (e1, ... . en), (c1, ... ,cn)K definimos como (e1, ... . en)(c1, ... ,cn) = (e11c1, ... , en ncn) entonces es un operacin en K.

Evidentemente satisface 0i y Oii (Ver Ejercicio 1.3.12). Adems si (e1, ... . en), (c1, ... ,cn), (b1., ... , bn), (d1., ... , bn)K tales que si (e1, ... . en)= (b1., ... , bn) y (c1, ... ,cn)= (d1., ... ,dn), entonces para i1,2, ,n tenemos que ei = bi , ci = di y i es una operacin en Ei. Entonces eiici = biidi, para cualquier i1,2, ,n Indicndonos estas n igualdades que (e11c1, ... , enncn) = (b11d1, ... , bnndn), y en consecuencia podemos concluir que tambin satisface Oiii. Luego es una operacin en KEjemplo 1.1.32. Si , y son respectivamente, los enteros, los racionales y los reales; y si adems : ,+,- y o , corresponden a la suma. resta y multiplicacin usuales de reales, entonces al

considerar las estructuras algebraicas: , < ,.o> y , de acuerdo al Ejemplo anterior * es una operacin en K =x x. Note que en este caso: (3,1/4, 2+3),(5,4/5,3)K y : (3, 1/4, 2+3)(5, 4/5,3) = (3+5, 1/4.4/5, (2+3)-3) = (8,1/5, 2).Ejemplo 1.1.33. Si es el conjunto de los reales, n+ ,+ =suma usual de reales, n ={(x1, ... , xn)/ x1, ... , xn}, entonces definida como (x1, ... , xn) (y1, ... ,yn) =(x1+y1, ... , xn+yn),

si (x1, ... , xn), (y1, ... ,yn) n, es una operacin en n

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Antes de continuar con ms ejemplos debemos clarificar los siguiente:Definicin 1.1.34. Si f es una funcin de A en B, entonces i) f es inyectiva o uno a uno, notado f es 1-1; si f(a)f(b), siempre que a,bA y ab., ii) f es sobreyectiva o sobre, si para cada bB existe aA tal que f(a)=b. iii) Si f es inyectiva y sobreyectiva, entonces se dira que f es biyectiva. Definicin 1.1.35. Una funcin f es inyectiva o uno a uno, notado f es 1-1 si, (a) (b) (c) (d)((a,c),(b,d)f abcd). 1.1.36. De acuerdo con la definicin anterior una funcin es inyectiva (a) (b)(f(a)=f(b)a=b.

Definicin 1.1.37. Si f es una funcin de A en B, KA y WB, entonces f(A)=f(a)/aA y f-1(W)=aA/(w)(wWf(a)=w. Definicin 1.1.38. Si f es una funcin de A en B y g es una funcin de C en D y adems f(A)C, entonces definimos gof de A en D, como gof(a)=g(f(a)). El siguiente resultado es de verificacin sencilla:1.1.39 Si f es una funcin de A en B y g es una funcin de C en D y adems f(A)C, entonces gof de A en D, definida como gof(a)=g(f(a)), si aA, es una funcin de A en D.. (Ver Ejercicio 1.3.11) Ejemplo 1.1.40. Si AA={f/f es una funcin de A en A} y f,gAA, entonces i) f=g, si y slo si f(a)=g(a), para cualquier aA (Ver Ejercicio 1.3.11) y ii) Si definimos la composicin de funciones en AA, notada o, de la siguiente manera: o transforma a (f,g) en fog donde f og(a)=f(g(a)), si aA.

Demostremos que o es una operacin binaria en AA. En primer lugar si f,gAA, entonces de acuerdo con 1.1.39, fogAA, o equivalentemente fog es una funcin de A en A Supongamos que f,gAA tales que f=f` y g=g` , entonces si aA, g(a)=g`(a), por ser g=g` y como f=f`, f(g(a)) = f`(g`(a) ). Por consiguiente fog(a)=f`og`(a), para cualquier aA, lo cual equivale a afirmar que fog=f`og`. Al demostrar en el prrafo anterior Oiii para o, concluimos en aceptar su carcter de operacin binaria en AA. La operacin o es conocida como la composicin de funciones.

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Veamos como la composicin de funciones definida en 1.1.38 agiliza, en algunos casos, la demostracin del carcter de operacin de ciertas reglasEjemplo 1.1.41 Sea el conjunto de los nmeros reales y definamos como a b=a+(b/2), donde + es la suma usual de reales.

en dicho conjunto

Evidentemente g: xx definida como g(a,b)=(a,b/2) es una funcin (Ver Ejercicio es una 1.3.4), por lo tanto, si + es la suma usual de reales, se tiene, segn 1.1.39, que funcin, puesto que = +og. Por lo tanto, de acuerdo a la Definicin 1.1.1, es una operacin binaria en .

. El ejemplo anterior no solamente es importante desde el punto de vista tcnico, tambin ensea que las operaciones usuales no son las nicas que existen en el conjunto de los nmeros reales. Desde ese ngulo muestra una alternativa para obtener infinitas operaciones en los reales definidas con base en las usuales; puesto que por un procedimiento anlogo se demuestra que, si n.,n definida

en , como a

n

b=a+(b/n) es una operacin binaria en .

. El siguiente ejemplo ilustra otra forma de obtener operaciones en el conjunto de los nmeros reales, esta vez no definida con base de las operaciones usuales.Ejemplo 1. 1. 42. Como cualquier par de nmeros reales, cuenta con un nico mximo, la a, si a b ; si a,b, es una funcin relacin o de x en , definida como aob= max(a,b)= b, si b a

y en consecuencia, segn la Definicin 1.1.1, o es una operacin binaria en . .Desde el Ejemplo 1.1.40 comenzamos a ampliar el panorama de las posibilidades para definir operaciones binarias. En ese caso "o" result definida en un conjunto que no es el de los nmeros reales, se trataba de AA , es decir de un conjunto de funciones. La Definicin 1.1.1 no exige ningn requisito al conjunto sobre el cual se define una operacin binaria. Ms an la naturaleza de los elementos de dichos conjuntos, como veremos ms adelante, es secundaria frente al protagonismo que jugarn las operaciones binarias. Analicemos el siguiente caso:Ejemplo 1.1.43. Si G es un conjunto finito de personas comprometidas en un juego por parejas en el que en cada confrontacin tiene que haber un ganador, entonces es una , si derrota (Ver Ejercicio operacin en G, si es definida para ,G como = , si derrota a 1.3.6)

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1.2. TABLAS.

De acuerdo a la Definicin 1.1.1. A puede ser dotado de tantas operaciones binarias como funciones de A x A en A se puedan definir. Representar dichas operaciones en conjuntos finitos es, algunas veces, ms cmodo mediante el sistema de tablas. Comencemos ilustrando con el siguiente ejemplo

1 2 3Ejemplo 1 2.1. Si A={1,2,3}, definimos , as:

1 2 3 1 2 2 3 1 3 2 2 1

, en este caso : 11=2, 22=3,

32=2 , etc. En el mismo conjunto A es factible definir otra operacin notada +, de la siguiente manera:+ 1 2 3

Ejemplo 1.2.2. Si A={1,2,3}, definimos +, as:

1 1 2 2 2 2 1 3 3 2 1 2

Para esta situacin: 1+3=2, 2+3=3, 3+3=2, etc.

+ 0 1 2 + 0 1 0 0 1 2 Ejemplo 1.2.3. Aplicando el Ejemplo 1.1.31, considere: E1 = 0 0 1 y E2= , 1 1 2 0 1 1 0 2 2 0 1 eventualidad en que obtenemos K = E1x E2= {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)}. Para abreviar, llamemos a = (0,0), b =(0,1), c=(0,2), d = (1,0), e =(1,1) y f =(1,2). En consecuencia la tabla para * es la siguiente: a b c d e f a a b c d e f b b c a e f d c c a b f d e d d e f a b c e e f d b c a f f d e c a b

1.2.4. En vista de que es posible construir mn funciones de A en B, si dichos conjuntos tienen 2 n y m elementos, respectivamente, entonces, si G tiene n-elementos, existirn n n funciones de GxG en G y por consiguiente es factible definir ese mismo nmero de operaciones binarias en G.

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En particular, si G tiene 3 elementos, en este conjunto es viable definir 19.683 operaciones binarias. Cada vez que se defina una operacin binaria en G diremos que G ha sido dotado de una estructura algebraica, en el sentido de la siguiente definicin:

Definicin 1 2. 5 Si G es un conjunto y . es una operacin binaria definida en G, a la pareja la llamaremos una estructura algebraica. 1 2. 6. Adaptando el resultado obtenido en 1.2.4 a la terminologa de la Definicin 1 2. 5, 2 concluimos ue si G es conjunto con n elementos, entonces existen n n . estructuras algebraicas definibles en dicho conjunto. 1.2. 7 La Definicin 1.1.1 se puede extender inductivamente a operar cualquier nmero finito de elementos en una estructura algebraica . Ilustremos algunos casos particulares para comprenderlo.Si x1,x2, ... ,xnG, para obtener x1ox2ox3, primero calculamos x1ox2 y en seguida operamos ste resultado, que es un elemento de G , con x3. Es decir: x1ox2ox3=(x1ox2)ox3. Ahora podemos calcular x1ox2ox3ox4, apoyndonos en el resultado anterior, as: x1ox2ox3ox4=(x1ox2ox3)ox4= ((x1ox2)ox3)ox4. Anlogamente: x1ox2ox3ox4ox5 = (x1ox2.ox3ox4)ox5 = (((x1ox2)ox3)ox4)ox5. En general: x1ox2o ... oxn =(x1ox2. ... oxn-1)oxn =((( ... .(x1ox2)ox3)o ... oxn-2)oxn-1)oxn. Orientndonos por el proceso anterior planteamos la siguiente Definicin:

Definicin 1.2.8. Si es una estructura algebraica y x1, ... ,xnG, definimos x1o ... oxn x , si n = 1 = 1 (x1.x 2 . ... x n -1 )x n , si n > 1 1.2. 9 Si es una estructura algebraica y x1, ... ,xnG, razonando inductivamente se demuestra que x1o ... oxnG.

En efecto, si n=1, la afirmacin es vlida, puesto que x1G. Si n>1, al aceptar por hiptesis de induccin que x1o ... oxn-1 G, se deduce por Oii, que x1o ... oxnG, ya que segn la Definicin 1.2.8, x1o. ... oxn=(x1o ... oxn-1).xn.1.2.10 Un caso particular de la Definicin 1.2.8, es el obtenido al considerar n +y x1 = x2= ...=xn =a, sustitucin que nos lleva a notar x1o ... oxn = an y en consecuencia an =

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a, si n = 1 . Por lo tanto de acuerdo a los demostrado en el numneral anterior, si es n -1 a a, si n > 1

una estructura algebraica, aG y n +, entonces anG.1. 2.11. 1) En una estructura algebraica arbitraria , , no

siempre son vlidas

afirmaciones del tipo : i)a oa = a

n

m

n+m

, ii)(a ) = a , iii)(aob) = a .b , si n,m + y a.bGn m nm n n n

Por ejemplo, si A=1,2,3 y definimos o as: o 1 2 3

1 1 2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 tenemos que 2 o.2 = 3o.3 = 2. Mientras que 24 = 23o.2 = [(22). .2] ..2 = [3..2]. .2 = 2..2 = 3. Luergo 22o22 24. Tambin : (22)2= (3).2 = 2, pero 24 = 3. Es decir (22)2 24. Por ltimo: (3o2)3= 23= 2, pero 33o23= 2o2 = 3. Obteniendo (3o.2)3 33o23.2) Tambin se podra pensar en plantear la Definicin 1.2.8 para n, n>1, como x1o ... oxn= x1o (x2o ... oxn). Obviamente los resultados en ciertas estructuras podran ser diferentes. Por ejemplo, si G={a,b,c} y o es una operacin tal que aoa=a, aob=c y aoc=b , entonces al calcular aoaob=ao(aob), obtendramos que aoaob=aoc=b, mientras que al calcular segn la Definicin 1.2.8, se tiene que aoaob=(aoa)ob= aob=c 1.2.12 La notacin an, definida en 1. 2.11 es utilizada para estructuras algebraicas en las que la operacin tiene la forma o, comunmente llamada de producto o notacin multiplicativa.

En caso de que la operacin se presente como +, es decir notacin aditiva, la forma que adopta la expresin definida en 1. 2.11 es na para una estructura algebraica . En ese sentido na, para n+ y aE, tiene la siguiente forma:a, si n = 1 . na = (n 1)a + a, si n > 1

.1. 2.13. Al cambiar la notacin multiplicativa en 1. 2.11, por la aditiva concluimos que si es una estructura algebraica, a,bE y n.m+, entonces no se puede afirmar que : i) (n+m)a = na+ma, ii) nma = m(na) y iii) n(a+b) = na+nb. .

20

1. 2.14 Observe que en la presentacin na de 1.2.12 no se plantea una operacin, en el sentido de la Definicin 1.1.1, entre n y a. Porque entre otras cosas aE no es necesariamente un entero. Al respecto observe que en el Ejemplo 1.2.3. si n = 3, entonces 3b = 2b+b = (b+b)+b = c+b=a 1.2.15. A pesar de lo anterior, al considerar an, en el sentido de 1.2.10 , y restringirla para a y n

en el conjunto de los enteros positivos +, tenemos que pot, definido como apotn = an, es una operacin + (Ver Ejercicio 1.3.5 )1.3 EJERCICIOS. 1.3.1. Si R es una relacin, al definir R-1=(a,b)/(b,a)R, demuestre que si f es una funcin inyectiva, entonces f-1 es una funcin. 1.3.2. Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones;i) R es una relacin de A en BRAxB ii) R es una relacin (z)(zR(a) (b)(z=(a,b)) iii) R es una relacin (z)(zR(a) (b)(z=(a,b)) iv)-Si f es una funcin de A en Bf-1 es una funcin de B en A v)- Es posible que f sea una funcin de A en B y f-1 sea una funcin. vi) Si f es una funcin de A en B, tal que f-1 es una funcin, entonces f-1 es una funcin de B en A.

1.3.3. Si A es un conjunto con n elementos y k, tal que k[0 ,n], demuestre que el nmero n n! de subconjuntos de A con k elementos es : = k (n k)!k! 1.3.4. Demuestre que g: xx definida para a,b como g(a,b)=(a,b/2) es una funcin. 1.3.5 Si a y n so elementos del conjunto de los enteros positivos +, demuestre que pot,

definido como apotn = an, es una operacin +1.3.6. i) Demuestre que 2, 3, 5, 3 2 I, ii) Demuestre que si a, a0 y bI, entonces a+b,abI. 1.3.7. Si K={a+b2\a,bI = irracionales}, demuestre: i) Si +2, es tal que ,,

entonces +2= (+3)+(- 3 2 ) 2, ii) Si +2, es tal que I y ; entonces+2=( -1)+(+1/2) 2K, iii) Si +2=(+2)+(-1) 2K. iv) K = Conjunto de nmeros reales. v) Si K={a+b2\a,b} Ser K = = Conjunto de nmeros reales? vi) Si K={a+b2\a,b = reales} Ser K ?

+2 es tal que y I; entonces

? = = Conjunto de nmeros reales?.

21

1.3.8. Si f,gA , demuestre que f=g, si y solo si f(a) = g(a), para cual quier aA. 1.3.9. Si f y g son funciones, demuestre que f =g, si y solo si, para cualquier a, si f est definida, entonces f(a)=g(a). 1.3.10. Si f es una funcion de A en B y g es una funcion de C en D, demuestre que f =g, si y solo si A=C y f(a) = g(a), para cualquier aA. 1.3.11. si f es una funcin de A en B y g es una funcin de K en D tal que f(A)K, donde f(A)={f(a)/aA}, demuestre que la relacin gof de A en D, definida como gof(a)=g(f(a)), si aA, es una funcin de A en D. 1.3.12. En el Ejemplo 1.1.31, demuestre que satisface Oi y Oii. 1.3.13. En el Ejemplo 1.1.43, verifique que es una operacin en G. 1.3.14. Si es el conjunto de los nmeros complejos y (a,b),(c,d), demuestre que (a,b)(c,d) = (c,d)(a,b) 1.3.15. Si es el conjunto de los nmeros racionales y es el conjunto de los enteros,

A

definamos la relacin en as : Si a,b ; ab, si a-b Entonces :i) demuestre que es una relacin de equivalencia en , es decir, demuestre: a) Sia , aa, b) Si a,b y ab, entonces ba y c) Si a,b,c son tales que ab y bc, entonces ac.

ii Al ser una relacin de equivalencia en , si a, definimos la clase de equivalencia dea, que notaremos C(a), como C(a)={xQ /xa}. Teniendo en cuenta sta definicin calcular :

C(), C(), C(z), si zQ.

iii) Al conjunto de todas las clases de equivalencia definidas en ii) lo notaremos Q /, es decir / ={C(a)/a }. En /, defina +` as: C(a)+ C(b)=C(a+b), donde la operacin en a+b es la suma usual de reales. Demuestre que +' es una operacin en / .1.3.16 Demuestre el Corolario 1.1.17. 1.3.17. Demuestre el Corolario 1. 1.19. 1.3.18 Demuestre que la relacin + definida en 1.1.24 satisface Oi y Oii 1.3.19. Analizar si " o" es o no un a operacin en el conjunto sealado, teniendo en cuenta que + y o son la suma y multiplicacin usuales en .

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= Conjunto de los nmeros racionales, a/b,c/d: a/boc/d=(a+c)/bd

. 2 +1= Conjunto de los nmeros enteros impares, o =Suma usual en . 2 +1=Conjunto de los enteros impares, o = Multiplicacin usual en . . I= Conjunto de los nmeros reales irracionales : o = Suma usual en . . I= Conjunto de los nmeros reales irracionales; o =Multiplicacin usual en . K={a+b2/a,bI}, o = Multiplicacin usual en . .K={a+b2/a,b}, o = Suma usual en . .K={a+b2/a b }, o = Multiplicacin usual en . . = Conjunto de los nmeros reales, aob=a+b+a.b, a,b y las ooperaciones en a+b y a.b son la suma y el producto usual en , respectivamente.1.3.20.- Si K es un conjunto de personas, analizar, en cada de los siguientes casos, si es una operacin, sabiendo que est definida en K como : ab= a, si a es colombiano, ab=b, si b es colombiano, ab=a, si a y b son colombianos ab=a, si a=b. i) K =. ii) K , pero todos sus integrantes son extranjeros. iii) K y tiene exactamente un extranjero. iv) K y todos sus integrantes son colombianos v) K y tiene exactamente un extranjero y ms de un colombiano. 1.3.21. Sea Mnn() el conjunto de todas las matrices complejas de n filas y n columnas en el que A Mnn(), se nota como A= (aij)nxn o sencillamente A= (aij), si no hay lugar a confusin. Es de anotar que aij representa el trmino de la i sima fila, j sima columna. Y que (aij)nxn = (bij)nxn, si aij = bij , para todo i,j[1,n]. Demuestre que la suma y el producto de matrices son operaciones en Mnn(), sabiendo que ellas estn definidas as: Si (aij),

(bij)Mnn(), entonces (aij),+(bij) =(cij), donde cij = aij+bij, para todo i,j[1,n] y (aij),(bij)

=(cijj), con cij =

ak =1

n

ik

b kj , para todo i,j[1,n].

1.3.22. Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones, sabiendo que es una estructura algebraica:

i) Si a,bG, entonces aobG. ii) Si x1,x2, ... es una secuencia infinita de elementos de G, entonces x1ox2. ... G.

23

iii) Si aG y bG entonces aobG. iv) Si aG y bG, entonces aobG. v) Si AG, entonces o es una operacin en A.1. 4. ESTRUCTURAS ASOCIATIVAS

Es conocido que los reales con la suma y el producto, es decir las estructuras algebraicas notadas y .cumplen las propiedades: asociativa, modulativa, invertiva y conmutativa. Al respecto de la asociativa, para la suma y el producto usual en los reales, sabemos que la igualdades a+(b+c) = (a+b)+c en , y a(b) = (ab)c en son vlidas para cualquier tripla de nmeros reales a,b y c. Es una cualidad tambin notable en < Mnn() , +> y < Mnn(),.>. En esta lnea formulamos la siguiente definicin:Definicin 1.4.1 Una estructura algebraica es asociativa o equivalentemente o es asociativa en G, si ao.(boc)=(ao.b)oc, para cualquier a,b,cG. 1.4. 2 De la definicin anterior se deduce que basta con la existencia una tripla a,b,cG tal que ao(boc)(aob)oc para deducir que la estructura algebraica no es asociativo. Por ejemplo, la estructura algebraica del Ejemplo 1.2.2. no es asociativa, porque 1+(2+3)= 1+3=2 pero (1+2)+3=2+3=3, a pesar de que 1+(1+3)=1+2=2 = (1+1)+3=1+3=2.

Esquemticamente lo planteado se resume as: i) Una estructura algebraica es asociativa (a,b,cG)(ao(boc)=(aob)oc) (a,b,c)(a,b,cG(ao(boc)=(aob)oc). ii) Una estructura algebraica no es asociativa (a,b,cG)(ao(boc)(aob)oc). El siguiente Teorema es demostrable inmediatamente sobre la base de la nota anterior.Teorema 1.4.3.- Si es una estructura algebraica asociativa y KG, tal que o es una operacin binaria en K, entonces es una estructura algebraica asociativa. 1.4.4. El recproco del Teorema 1.4.3 no es vlido. Al respecto en la estructura algebraica del Ejemplo 1.2.2, los nicos subconjuntos propios de A que son estructura algebraica, con la operacin +, son K1 ={1} y K2={1,2} (Ver Ejercicio 1.12.2). + 1 2 Adems, evidentemente es asociativa. Y de acuerdo a la siguiente tabla : 1 1 2 2 2 1 tenemos: 1+(1+1)=(1+1)+1=1,1+(1+2)=(1+1)+2=2,1+(2+2)=(1+2)+2=1,1+(2+1)=(1+2)+1=2, + (2+2) = (2+2) + 2=2 , 2+(2+1)=(2+2)+1=1. 2+(1+1)=(2+1)+1=2 y 2+(1+2)=(2+1)+2=1. Comprobndose as que tambin es asociativa. Pero en 1.4. 2 demostramos que es una estructura algebraica no asociativa.

Antes de continuar con algunos ejemplos de estructuras algebraicas asociativas, vale la pena presentar algunas que no lo son, diferentes a .

24

Ejemplo 1.4. 5. Para la estructura algebraica del Ejemplo 1.1.41, observamos que 1 n[(-1 +n) nn] = 1 nn = 2, pero [1 n(-1+n)] nn = [2-1/n] nn = 3-1/n. En consecuencia al

tener 23-1/n, para cualquier n tal que n1, obtenemios que las estructuras algebraicas , son no asociativas siempre que n1.Ejemplo 1.4.6. De 1.2.15 sabemos que es una estructura algebraica. Pero como 2 2pot(3 pot2)= 23 = 29 , mientras (2 pot3) pot2=(23)2 =2629, se deduce que no es

asociativa

Ejemplo 1.4.7. En el Ejemplo 1.1.43 vimos que es una estructura algebraica. Consideremos en este caso tres personajes ,,G, tales que derrota a , pero derrota a , y le gana a . En estas condiciones ()==, pero () = = . Luego no es asociativa. 1.4. 8. Las estructuras algebraicas 1.1.24 y 1.1.25 y son asociativas (Ver Ejercicio 1.12.8). Por lo tanto al tener en cuenta que ,segn 1. 1.27, entonces la suma y la multiplicacin usuales de complejos restringidas a los nmeros reales, son precisamente la

es el conjunto de los enteros, n el conjunto de los enteros mltiplos de n, para n, Q. el de los racionales y los reales, con + y o la suma y el producto usual de reales deduce por aplicacin del Teorema 1.4.3 que las estructuras algebraicas , < n,o>, , < ,o>, < Q,+>, < ,o.>, y < , o> son asociativas, ya que n (1) Ejemplo 1.4.9. Si para cada par de reales a y b, definimos ab=ab, donde la operacin en el lado derecho es el producto usual de reales, y es el valor absoluto usual en ese mismo conjunto, al. seguir la lnea de argumentacin utilizada en Ejemplo 1.1.41, se demuestra que es una operacin binaria en (Ver 1.12.7). Demostremos que < , > es asociativa :

suma y multiplicacin usuales de reales (Ver Ejercicio 1.12.8). En consecuencia si

Si a,b,c, entonces:a(bc)=a(bc) =abc =a(bc) =a(bc) Definicin de " " Propiedad del . " "

=(ab)c) =(ab)c =(ab) c

Asociativa en Definicin de " "

25

1.4.12. Otros ejemplos de estructuras algebraicas asociativas son : , (o=composicin

A

de funciones), (+=suma en Mnn() y (o=producto en Mnn()) de 1.3.21.(Ver Ejercicio 1.12.9 )1.4.13 Sabemos que las propuestas i) y ii) en 1. 2.11, son falsas. Sin embargo en estructuras algebraicas asociativas, ellas son vlidas. Verifiquemos entonces que si es una

estructura algebraica asociativa, aG y n,m+, entonces: i) anoam = an+m, ii)(an)m = anm. Demostraremos i), y proponemos ii) como ejercicio. Supongamos que n+. Razonando por induccin sobre m, si m=1, entonces i) adopta la

forma, (an).a1=an+1, que es vlida porque al ser n+ se tendr n+1>1, y de acuerdo a 1.2.10 , an+1 = a (n+1)-1a = ana Supongamos que m , m>1 y que i) es vlida hasta m-1. Entonces: (an)oam = (an)o(am-1.a) =(an.oam-1)oa = an+(m-1)oa = a(n+m)-1oa = an+m Por 1.2.10 Por ser asociativa. Por hiptesis de induccin. Propiedad asociativa de . Por 1.2.10

1.4. 14 Pero la igualdad 1. 2.11 ( iii) no siempre es vlida en estructuras algebraicas asociativas. Por ejemplo en la tabla de S3 de 2.12.5, a pesar de corresponder a una estructura algebraica asociativa, se tiene que (i1ou1)2= (u2)2=io, mientras que (i 1)2o(u1)2=i2oio=i2. 1.4. 15. El tipo de insercin de parntesis desarrollado para motivar la Definicin 1.2.8 tiene como objetivo realizar la operacin de n-elementos en una estructura algebraica operando cada vez dos elementos. Por ejemplo, si x1,x2, , xn G, entonces x1ox2, oxn = (((x1ox2)ox3)x4o xn-1)xn.Pero con ese estilo no agotamos todas las formas de insercin de parntesis y tambin es discutible el reultado. .o 2 3 Por ejemplo, en la estructura correspondiente a la siguiente tabla:. 2 3 2 El resultado de 3 2 2 operar 2o3o2o2o3o.3, es segn la Definicin 1.2.8 2o3o2o2o3o.3= ((((2o3)o2)o2)o3)o3= (((2o2)o2)o3)o3=((3o2)o3)o3=(2o3)o3=2o3=2. Pero tambin puede ser presentado, entre otras, de la siguiente manera: como ((2o3)o(2.2))o(3.3), o como (2o3)o((2o2)o.(3.3)) como ((2o(3o2))o.(2.3))o3..

En dicha estructura tenemos que: ((2o3)o(2o2))o(3o3) =(2o3)o2=2o2=3; (2o3)o((2o2)o. (3o3))= 2o(3o2)=2o2=3; (2o3)o((2o2)o(3.3))=2o(3o2)=2o2=3. Pero ((2o(3o2))o.(2.3))o3 = ((2o2)o2)o3=(3o2)o3=2o3=2. Luego en estructuras algebraicas no asociativas el resultado depende de la manera como se asocien los elementos, en este tipo de insercin de parntesis.

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El Teorema que demostraremos a continuacin, conocido como la Generalizacin de la Asociativa, demuestra que en estructuras algebraicas asociativas, todas las formas de insercin de parntesis en el sentido sealado, en x1o ... oxn, producen el mismo resultado.Teorema 1.4. 16. . Si es una estructura algebraica asociativa y x1, ... ,xnG, entonces todas las formas de insercin de parntesis en x1o ... oxn , que faciliten operar cada vez dos elementos de G, producen el mismo resultado. DEMOSTRACIN.- Supongamos que es una insercin de parntesis arbitraria en el sentido sealado. Demostraremos por induccin matemtica, para n3, que su resultado es idntico al de la Definicin 1.4.1, que llameremos insercin del tipo *. Es decir: =(...((x1x2)x3). ... .xn-2)xn-1)xn

Si n=3, el Teorema es vlido por ser asociativa. Supondremos que el Teorema se cumple para cualquier entero r, tal que 3r, entonces A A'.3.6. EL ANILLO DE LOS POLINOMIOS

El objetivo de esta seccin es el de estudiar a los polinomios, que como recordamos son objetos del tipo ao+a1x+a2x2+... +anxn, donde los ai, en la forma ms general, son elementos de algn anillo A. El mtodo que utilizaremos conlleva el ejercitarnos en la construccin de un anillo a partir de otro, mediante la formalizacin de propiedades que ya conocemos de los polinomios con coeficientes reales y luego ver que dicha presentacin conduce a las formas usuales. Un primer problema que presentan los polinomios es el correspondiente a la indeterminada x o z, o y ,o w, segn el caso. Por ejemplo, al aceptar que los polinomios p(x)=3+x+2x2+4x3+7x5, y q(z)=3+z+2z2+4z3+7z5 son idnticos, podemos obviar la presencia de z o x, que parecen no jugar un papel importante, considerando a p(x) y a q(z), como la sucesin : (3,1,2,4,0,7,0, 0, ...), la cual a su vez corresponde a una notacin f(4)=0, f(5)=7 y f(n)=0, si n>5. Es decir se trata de elementos , o de sucesiones en , segn lo definido en 3.1.10. Hablemos entonces inicialmente del conjunto de tales sucesiones en un anillo A, es decir A tal como se defini en 3.1.10, en el sentido de la siguiente definicin:Definicin 3.6.1 Si A es un anillo, diremos que f es un polinomio en A, si f es una sucesin

abreviada de la funcin f : = {0,1,2, ..}: , definida como f(0)=3, f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4,

en A para la cual existe M tal que f(n)=0, si n>M. Al menor natural M tal que f(n)=0, si n>M, lo llamaremos el grado de f y lo notaremos o(f). Adems para cada n, notaremos f(n)=an, representando a f mediante la sucesin: f =(a1,a2, ..., ao(f),0,0...)= (an)n . 3.6.2 . Como notacin inicial para el conjunto de todos los polinomios en A, adoptaremos a PA. Es decir, PA={f/f es un polinomio en A}. Observe que segn Definicin 3.6.1, si fPA,

debe existir N tal que f(n)=0, si n>N. Por consiguiente L={N/f(n)=0, si n y n>N}, razn por la cual L tiene un elemento mnimo, que es precisamente o(f). Luego dado cualquier fPA, existe o(f)= min{N/f(n)=0, si n y n>N}.3.6.3. Observe que forman parte de PA, las sucesiones del tipo (c,0,0, ...), donde cA, puesto que ella corresponde a la funcin f(0)=c, y f(n)=0, si n>0. Un caso particular es la sucesin

151 (0,0, ...). Al polinomio (c,0,0,...) lo calificamos como un polinomio constante, siendo uno especial el polinomio (0,0, ...), que rotularemos como el polinomio nulo de PA. Obviamente los polinomio constantes y en particular el nulo son de grado cero. Puesto que {K /f(n)=0, si n y n>K}= y el mn =0.3.6.4 Si f y g son funciones de A en B, sabemos que f=g si y slo si f(a)=g(a), para cada aA, en consecuencia se deduce que para dos sucesiones (a1,a2, ...),(b1,b2, ...)PA se tiene que

(a1,a2, ...) = (b1,b2, ...), si y slo si a1=b1, a2=b2, ..., o equivalentemente, si para cada n, an=bn Nos preocuparemos enseguida por dotar a PA de una suma y una multiplicacin de tal manera que PA sea un anillo. Una solucin primaria proviene de las definiciones usuales de suma y multiplicacin de funciones de en el anillo A. Nos referimos a aquellas que corresponden, para f,gPA, a (f+g)(a)=f(a) +g(a) y f.g(a)= f(a).g(a), si aA; cuya notacin en sucesiones, al considerar f=(a1,a2, ...) y g=(b1,b2, ...), se expresa como f+g=(a1+b1,a2+ b2, ...) y fg= (a1b1, a2b2, ...). Es de verificacin inmediata el que estas operaciones transforman a PA en un anillo. De las dos operaciones anteriores, la suma se asimila a la conocida en polinomios con coeficientes reales, para entenderlo basta ver que si f(x)=3+4x+5x2 y g(x)=4+6x+3x2), entonces f(x)+g(x)=7+10x+8x2; procedimiento que al ser traducido en trminos de sucesin, cobra la forma (3, 4, 5, 0, 0,...)+(4,6,3,0,0,...)=(3+4,4+6,5+3,0,0,...)= (7,10,8,0,0,. ..). Pero no corresponde al de la multiplicacin de polinomios, pues en nuestro caso, la manera clsica, produce f(x)g(x)=12+34x+ 53x2+ 42x3 +15x4. Para observar esta situacin en la notacin de sucesiones, consideremos f(x)= (a0,a1,a2,0,0,...), y g(x)=(b0,b1,b2,0 ,0, ...),con a0=3, a1=4 ,a2=5, a3=a4= ...0; b0=4, b1=6 y b2=3, b3=b4= ... =0, obtenindose fg=(p0,p1,p2,p3,p4), donde p0=12, p1=34, p2=53, p3=32 y p4=15. Notndose que p0=3.4=a0.b0=f(0).g(0), p1 =a1b0+a0b1=f(1)g(0)+ f(0)g(1), p2=a2b0 +a1b1+ a0b2= f(2)g(0)+f(1)g(1)+f(0)g(2), p3= a3b0 +a2b1+a3b0= f(3)g(0) + f(2)g(1) +f(1)g(2) +f(0)g(3) , p4=a4b0 +a3b1+ a2b2+a1b3+a0b4 ,=f(4)g(0) + f(3)g(1)+f(2)g(2)+f(1)g(2)+ f(0)g(3). Con estas observaciones planteamos las siguientes definiciones de suma y producto en PA, en la que notaremos abreviadamente a f=(a0,a1, ... ,aN,0, ...), como f=(ak)k. Definicin 3.6.5 Si A es un anillo con elemento unitario y f=(ak)k y g=(bk)k, son elementos de PA, entonces definimos:

f+g=(sk)k, con sk=ak+bk, llamada la suma de polinomios y f.g=(pk)k, con pk=akb0+ak-1 k b1+.. .+ ak-ibi+...+a0bk= a b identificado como el producto de polinomios. k i i i=0

1523.6.6.Sobre la base de la suma y multiplicacin del anillo A, se demuestra sin mayores contratiempos que la suma y el producto de polinomios de la Definicin anterior, son operaciones en PA. Adems tambin es fcil verificar que fg=(pk)kN con pk k k k b = f(k j)g(j) = a b (Ver Ejercicio 3.7.2). = a kj j j kj j=0 j=0 j=0Teorema 3.6.7 Si A es un anillo, PA con la suma y multiplicacin de polinomios de la Definicin 3.6.5 es un anillo. Demostracin.- Verifiquemos que PA satisface la condicin Ai de la Definicin de anillos (3.1.1), es decir que es un grupo abeliano. Para ello basta ver que sta estructura es conmutativa y satisface las condiciones G1,G2 y G3 del Teorema 2.2.5 .

Si f=(fk)kN, g=(qk)kN,y h=(hk)kN son elementos de PA, entonces por aplicaciones sucesivas de la definicin 3.6.5 de la asociatividad de y del principio de igualdad entre sucesiones presentado en 3.6.4, se tiene que f+(g+h)=(fk)kN+ (qk+hk)k =(fk+(qk+hk))kN =((fk+qk)+hk)k =(fk+qk)kN+(hk)k = (f+g)+h. Entonces la suma de polinomios en la definicin 3.6.5 satisface G1. Adems obviamente satisface a G2, ya que la sucesin nula es precisamente su mdulo. Por ltimo, como es obvio que -f=(-fk)k PA , satisface la condicin G3. puesto que f+(-f) =(fk+(-fk)k= (0,0, ...), se concluye que es un grupo; que resulta ser abeliano, puesto que por tener esa misma propiedad y por Definicin 3.6.5 se infiere :f+g= (fk+qk)k=(qk+fk)k =g+f. Luego PA satisface Ai. Anlogamente la definicin 3.6.5 , con relacin al producto de polinomios explica que f(gh) k = (fk)kN(qk)kN, donde qk= g tanto f(gh)=(pk)k , con pK h . Por lo kj j j=0 k i k i k = f = Similarmente f k i g i jh j q = f k i g i jh j k i i i = 0 j=0 i=0j=0 i=0 k i . Pero como tk=pk= (fg)h=(tk)kN, con tk= f g s f g h ,(Ver ij j k i r s t i = 0j = 0 r+s+t =k Ejercicio 3.7.3) concluimos que f(gs)=(fg)s. Para comprobar A3, al aplicar la suma de polinomios definida en la definicin 3.6.5 , f(g+s)=(fk)kN(gk+sk))kN y en consecuencia segn el producto de polinomios del mismo numeral, obtenemos f(g+s) =(ck)kN donde ck=fk(g0+s0)+fk-1(g1+s1)+ ... +f0(gk+sk), pero como A satisface A3 y es en particular asociativo y conmutativo, inferimos que ck= (fkg0 +fk-1g1 + ...+f0gk)+(fks0+ fk-1s1+ ...+f0gk), presentacin que de acuerdo al producto y a la suma de polinomios corresponde a (ck)k=(fk)kN(gk)k + (fk)kN (sk)k=fg+fs.

153 Como anlogamente se comprueba (g+s)f=gf+sf deducimos finalmente que PA es un anillo.

3.6.8. Con el fin de traducir la notacin actual a la ms familiar en un anillo A con elemento unitario 1, notaremos abreviadamente a (,0, ... 0, ...) como y a (0,1,0, ... 0, ...) como x.En consecuencia xx=x2=(0, 0,1,0, ...), obtenindose, para n, que xn=(ak)k, con ak=0, si kn y an=1.

3.6.9. De la notacin planteada anteriormente, se tiene que (a0,a1, ... ,an,0, ...), cobra la forma p(x)=a0+a1x+...+anxn, que a su vez calificaremos como un polinomio en la indeterminada x con coeficientes en el anillo A . A las expresiones aixi las denominaremos los trminos de p(x) y a los ai sus coeficientes.Adems, en consecuencia con esta situacin, en vez de PA notaremos A[x] y lo llamaremos el anillo de los polinomios en la indeterminada x, con coeficientes en A.

3.6.10 Segn la notacin A[x], la suma y el producto de polinomios de la Definicin 3.6.5 cobran la forma:(a0+a1x+ ...+ anxn)+(b0+b1x+. ..+ bmxm) = (a0+b0+... +(ak+bk)xk+ ...) y (a0+a1x+ ...+ anxn)(b0+b1x+...+ bmxm)=a0b0 + ...+ ak-jbjxk+ ...anbmxn+m. 3.6.11. Resaltamos nuevamente que x es el nombre dado al elemento (0,1,0, ...). Pero tambin pudo drsele el nombre de y, en cuyo caso A[x] se notara como A[y], calificndose como el anillo de los polinomios en la indeterminada y con coeficientes en A. Como es de esperarse A[x] y A[y] son el mismo anillo, ya que las diferencias entre ellos, son consecuencias del nombre que se le ha dado al elemento (0,1,0, ...).Adems note que a0+a1x+ ... = b0+b1y+ ... , si y slo si a0=b0, a1=b1, ..., ai=bi, .... ... Los anillos estudiados hasta el momento los hemos clasificados como: anillos con elemento unitario, anillos conmutativos, dominios enteros, anillos con divisin y campos. Estamos interesados en estudiar cual de esas cualidades en un anillo, son heredadas por su respectivo anillo A[x].

3.6.12. Obviamente si A es un anillo con elemento unitario 1, entonces tambin A[x] es una anillo con elemento unitario, ya que precisamente el polinomio constante p(x)=1 es su elemento unitario.Tambin es inmediato que A[x] es conmutativo si A lo es, porque si p(x)=a0+a1x+... y g(x)=b0+b1x+... son elementos de A[x], segn 3.6.10 , la conmutatividad de A y 3.6.6. k k implican que p(x)g(x)= a i b k i = b k i a i =g(x)p(x) i =0 kN i =0 kN

3.6.13. Pero si K es un campo, K[x] no es un campo, puesto que el polinomio p(x)=x, no tiene inverso multiplicativo en K[x], ya que obviamente el polinomio nulo no es inverso multiplicativo de p(x) y si q(x) [x]= {p(x)K[x] /p(x)0}, entonces existe por lo menos un coeficiente de q(x), qi0, obtenindose as que uno de los trminos de p(x)q(x) es q i xi+1, lo cual implica que p(x)q(x) no es el elemento unitario de K[x].

154 Con el fin de demostrar que la cualidad de dominio entero en un anillo D es heredada por el anillo D[x], demostraremos el siguiente Lema:Lema 3.6.14 Si D es un dominio entero, f(x),g(x)D[x] tales que o(f)=n y o(g)=m, entonces o(fg)=n+m. Demostracin.- El Lema es de demostracin inmediata si o(f) =0 o o(g)=0. Supongamos por lo tanto o(f)=n>0 y o(g)=m>0.

La Definicin 3.6.1 orienta que si el coeficiente pn+m de fg es tal que pn+m0 y pk=0, si k>n+m, entonces o(fg)=n+m. Por Definicin 3.6.5 pn+m = (an+mb0 +an+m-1b1+...+an+1 bm-1+ anbm)+ (an-1bm+1+an-2 bm+2 +...+a0bn+m). Pero como o(f)=n y o(g)=m, nuevamente la Definicin 3.6.5 implica que an+m=an+m-1= ... =an+1= bm+1=bm+2= ... =bn+m=0 y en consecuencia pn+m=anam0 . Por ltimo si k>n+m, entonces no es posible que k-jn y simultneamente jm, puesto que ello implicara el absurdo kn+m. Por lo tanto o k-j>n o j>m, disyuntiva que nos conduce a la situacin ak-j =0 o bj=0, razn suficiente para deducir que pk=0, puesto que pk= a k j b j .J =0 k

Ahora si estamos en condiciones de demostrar que la propiedad dominio entero en anillo D la hereda el anillo D[x].Teorema 3.6.15. Si D es un dominio entero, entonces D[x] tambin lo es. En particular, si D es un campo, entonces D[x] es un dominio entero. Demostracin.- Sabemos que D[x] es conmutativo, ya que segn la Definicin 3.1.44 D lo es, por ser D un dominio entero. Por lo tanto para demostrar que D[x] es un dominio entero, basta ver, de acuerdo al Teorema 3.3.1, que si f(x),g(x)D[x] son tales que f(x)g(x)=0, entonces o f(x)=0 o g(x)=0.

Sean f(g),gx)D[x] tales que f(x)g(x)=0. Entonces al aplicar el Lema 3.6.14 se deduce que o(f(x)g(x))=o(f(x))+o(g(x))=o(0)=0. Luego o(f(x))=o(g(x))=0 y as existirn ,D tales f(x)= y g(x)= y por lo tanto =0. Pero como D es un dominio entero se infiere =0 o =0, es decir f(x)=0 o g(x)=03.7. EJERCICIOS3.7.1. .Demuestre que la suma y multiplicacin de polinomios de la Definicin 3.6.5 son operaciones en PA.

3.7.2 Demuestre que si f=(ak)kN y g=(bk)kN, son elementos de PA, donde A es un anillo, k entonces fg= a jb k j . =naturales. j= 0 k

155 3.7.3 Si A es un anillo y f =(fk)kN, g =(qk)kN y h =(hk)kN, entonces :i)-f=(-ak)k PA.ii)Con relacin al Teorema 3.6.7 demuestre que k i k i f g h Sug[ Al considerar f k i g i j h j = f i jg j h k i = r s t r+s+t = k i=0j=0 i = 0j = 0frgsst tal que r,s,tZ+ y r+s+t=k, verifique que es posible encontrar un i,j+, tales que de una parte se tenga: k-i=r, i-j=s, y j=t, para la primera sumatoria, y de la otra, para la segunda sumatoria,: i-j=r, j=s y k-i=t ]

3.7.4. Si en la Definicin 3.6.1., hubiramos definido sencillamente SA={f /f es una funcintendran la forma f =(ao,a1,a2, ...), donde no necesariamente existe N tales aj =0, si j>N. de en A}, entonces a los elementos de SA, se les llama serie formales de potencia y

Al definir suma y producto en SA como en la Definicin 3.6.5, demuestre que si A es un anillo con elemento unitario y f=(ao,a1,a2, ...)PA, entonces f es una unidad en PA, si y slo si ao es a su vez unidad en A.. Sug[Es evidente que si f es una unidad en A, existe g(x)= b k x k tal que f(x)g(x)=1 y por lo tanto b00, obtenindose adems que a0b0=1. De otra parte, si a0 es unidad en A, veamos que es posible encontrar g(x)= b k x k A[x] talkN

kN

que f(x)g(x)=1. En efecto, al ser a0 unidad en A, existir b0A tal que a0b0=1, de tal manera que al considerar a0b1+a1b0=0, se tiene que b1+a1b02=0, que permite el clculo de b1, en general, si hemos calculado , todos los trminos hasta bi-1, podemos calcular el trmino bi, puesto que al considerar

a bj= 0 j

i

i j

= 0, obtenemos b i + b 0 a j b i j = 0j=1

i

3.7.5. Si A es un anillo tal que A[x] es un dominio entero, demuestre que A debe ser un dominio entero. 3.7.6. Recuerde que cualquier natural n escrito en base 10 es de la forma n = ajaj-1 ... a0 = aj10j+aj-11010j-1+ ... + a110+a0i i i 1

=

aik 10ik . Demuestre : i) n aikk =0 k =0

i

i

mod9..

Sug[ ai k 10 i k .- ai k = ai k 10 i k 1 y aplique: xn-1 =(x-1)( x n j )k =0 k =0 k =0 j=1

(

)

n

ii) Observe que en la multiplicacin usual 375x1754=657.750 tenemos 3756 mod 9, 17548 modo9, 6x8=483 mod9 y tambin 657.7503 mod 9. Esta coincidencia llamada la prueba del 9, se acostumbra a representar de la siguiente manera : 6 3X3 8 Plante de manera general esta situacin y demustrela.

156

.3.7.2.- Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones:

i) Si A y A` son anillos tales que ,entonces, A A`. ii)) Si A es un anillo y f(x),g(x)A[x],entonces o(f(x)+g(x)) =o(f(x)+o(g(x). iii))Dado r(x)=2x-4x2Z[x], existe p(x)Z[x] tal que p(x)r(x) =1-4x2+4x3. Z Z iv) Si F es un campo, entonces las nicas unidades en F[x] son 1 y -1. v) Si A es un anillo y f(x),g(x)A[x], entonces o(f(x)+ g(x))=o(f(x))+o(g(x)). vi) Si A es un anillo y f(x),g(x)A[x] son tales que o(f))> o(g), entonces o(f+g)=o(f).

3.8. CORTADURAS DE DEDEKIND.En el Captulo 1 (1.10 y1.15) abordamos la definicin de un conjunto de nmeros naturales, y sobre esa construimos un conjunto de los enteros y de un conjunto Q de K={[(n,0)]n} es un conjunto de naturales, tal como se consider en Definicin. nmeros racionales. Es de anotar que en la contenencia {[(n,0)]n}, se tiene que

1.10.1. (ver Ejercicio 3. 9. 1)

De otra parte como {[(n,0)]n}, conclumos que el anillo de los racionales contiene un anillo T = {[(n,0)]n}, tal que T. En ese sentido afirmar equivale a decir, que contiene un anillo isomorfo al anillo y a su vez contiene un conjunto de naturales. Geomtricamente se representa a en la recta conocida como real, haciendo corresponder a cada racional un punto de dicha recta, sobre la base de asignar el cero a algn punto de dicha recta, y a cada elemento de *, el que se le seale a partir de una unidad de longitud, mediante las proporciones adecuadas, entendiendo que p/q se obtiene dividiendo en q partes iguales las unidades que sean convenientes hasta obtener p de dichas q simas partes de la unidad, en el sentido positivo o negativo, segn el caso, como se indica en la grfica 4 3.8.1, para 3 1 4 1 3 3 Grfica 3.8.1 0

-3

-2

-1

2

3

Mediante ese procedimiento quedan puntos en dicha recta que no se identifican con los elementos de . Por ejemplo, la longitud referida a la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuyos catetos miden la unidad de la recta anterior no se puede obtener segn el procedimiento sealado para representar a un elemento p/q. Es decir 2. En efecto, si 2 = p/q (1), para p,q tales que (p,q) =1, entonces al elevar al cuadrado en

ambos lados de (1), obtenemos que 2 = p2/q2 (2) y por consiguiente p2=2q2. Entonces p22

y por lo tanto p2 (Ver Ejercicio 3. 9. 2 ). Es decir p=2k, para algn k. Por lo tanto

157 al sustituir en (2), tenemos que 2 = 4k2/q2, lo cual nos indica que q2 = 2k2. Luego q22 y por ende q2. En conclusin p,q2 y esto no es posible ya que (p,q)=1. La magnitud 2 es conocida como un nmero irracional. Vamos entonces a construir a partir de los racionales un sistema que permita hacer corresponder a cada punto de la recta real un nmero real y a cada nmero real un punto de la recta real. Iniciaremos planteando una definicin de cortadura de Dedekind que se basa en el subconjunto . de los racionales ubicados en el subconjunto D resaltado a la izquierda del punto de la recta real en la Grfica 3.8..2. ) Grfica 3.8..2 El subconjunto D de la grfica 3.8..2, es caracterizado por la siguiente definicin:Definicin 3.8.3. Se dice que D es una cortadura de Dedekind si D tal que:

1) D 2) Si pD y q tal que q