folleto algebra

59
{ } W p H h p h v V v W H + = = + , / V H dim dim = 2 2 0 0 , 1 1 1 1 , 0 0 1 1 , 0 0 0 1 gen W > = 0 / 3 x R z y x V

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Folleto de 1er parcial algebra

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  • ALGEBRA LINEALRamiro Saltos

    084413449

    ALGEBRA LINEALRamiro Saltos

    084413449

    {

    }WpHhphvVvWH

    +==+

    ,/

    VH dim

    dim

    =

    22 0

    0,1111,0

    0 11,0

    0 01gen

    W

    >

    =

    0/3 xR

    zy

    x

    V

  • 1

    Ramiro Saltos

    Espacios Vectoriales Definicin: Sea V un conjunto no vaco. Sean y dos operaciones sobre V llamadas suma y multiplicacin por escalar respectivamente. Se dice que la estructura algebraica ,,V es un espacio vectorial si cumple con las siguientes condiciones:

    1. Vwv , Vwv + 2. Vwv , vwwv +=+ 3. Vzwv ,, zwvzwv ++=++ )()( 4. VOV Vv vOv V =+ 5. Vv Vv ' VOvv =+ ' 6. R Vv Vv 7. R , Vv )()( vv = 8. R , Vv vvv +=+ )( 9. R Vwv , wvwv +=+ )( 10. Vv vv =1

    Teorema

    Sea ,,V un espacio vectorial. Se cumple que:

    1. El elemento neutro o nulo es nico 2. Todo elemento de V tiene un nico inverso 3. Vv VOv =0 4. R VV OO = 5. Vv '1 vv = 6. R Vv [ ] [ ]VV OvOv === ()0(

  • 2

    Ramiro Saltos

    Tema 1 Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique apropiadamente su respuesta.

    a) Sean u y v son dos vectores del espacio vectorial V . Si uvvu +=+ 23 entonces v es el vector nulo de V (Verdadero)

    VOvuuvuu

    uvu

    uvvvvu

    uvvu

    =

    =+

    =+

    +=+

    +=+

    222323

    b) Sean y R . Sea Vv . Si vv = entonces = (Falso) Sea VOv = . Sea 2= y 3=

    VV

    VV

    OOOO

    vv

    =

    =

    =

    32

    32 =

    c) Sean u y v son dos vectores del espacio vectorial V , sea R . Si vu = entonces vu = (Falso)

    Sea 0= . Sea Vvu

    =

    =

    43

    ,

    21

    VV OO

    vu

    =

    =

    =

    43

    021

    0

    =

    43

    21

    vu

    Tema 2 Sea { }2)0(1/: == fRRfV . Sea R el campo considerado y se definen las operaciones:

    1)()())(( += xgxfxgf )())(( xfxf =

    Determine si ,,V es un espacio vectorial.

    Primero vamos a simplificar la condicin del conjunto

    1)0(21)0(2)0(1

    =

    =

    =

    ff

    f

  • 3

    Ramiro Saltos

    A1) Vwv , Vwv + Sean las funciones Vxgxf )(),(

    1)()())(( +=+ xgxfxgf Una vez realizada la suma, se procede al anlisis de la condicin del conjunto

    311111

    1)0()0()0)((

    =

    =

    +=+ gfgf

    Y como podemos darnos cuenta la suma no pertenece a V

    ,,V no es un espacio vectorial. Ser fcil notar la conclusin anterior con el siguiente ejemplo prctico

    Sea Vxxf = 1)( . Sea Vxxg = 1)( 2 . Las dos funciones evaluadas en cero dan como resultado -1.

    Vxgf + ))(( ?

    3))((1)1()1())((

    1)()())((

    2

    2

    +=+

    +=+

    +=+

    xxxgfxxxgfxgxfxgf

    Ahora evaluamos la funcin en cero

    3)0)((30)0()0)(( 2

    =+

    +=+

    gfgf

    Y como vemos el resultado es diferente al de la condicin del conjunto.

    Tema 3 En 2RV = se definen las siguientes operaciones:

    +

    +=

    +

    byax

    ba

    yx

    =

    yx

    yx

    Es un espacio vectorial? En caso de no serlo, indique cules propiedades se cumplen y cuales no.

    A1) Vwv , Vwv +

    Sean Vba

    wyx

    v

    =

    = ,

    +

    +=+

    +

    =+

    byax

    wv

    ba

    yx

    wv

  • 4

    Ramiro Saltos

    Ahora analizamos el resultado y si recordamos un poco los vectores de 2R cumplen con la condicin de que sus componentes son nmeros reales, y esto se cumple con las componentes del vector suma.

    Entonces la suma es cerrada en 2R M1) R Vv Vv

    Sea R . Sea Vyx

    v

    =

    =

    =

    yx

    v

    yx

    v

    Ahora realizamos el mismo anlisis que en A1 y podemos concluir que la multiplicacin es cerrada

    en 2R Para la demostracin de los dems axiomas tenemos que:

    Vfe

    zdc

    wba

    v

    =

    =

    = ,,

    R , A2) Vwv , vwwv +=+

    +

    +=

    +

    +

    +

    =

    +

    bdac

    dbca

    ba

    dc

    dc

    ba

    Y por tanto si se cumple el axioma. A3) Vzwv ,, zwvzwv ++=++ )()(

    ++

    ++=

    ++

    ++

    +

    +

    +=

    +

    ++

    +

    +

    =

    +

    +

    fdbeca

    fdbeca

    fe

    dbca

    fdec

    ba

    fe

    dc

    ba

    fe

    dc

    ba

    Y por tanto si se cumple el axioma.

  • 5

    Ramiro Saltos

    A4) VOV Vv vOv V =+

    Sea

    =

    yx

    OV

    Antes de empezar con el desarrollo deben notar que las letras x y y son variables las cuales debemos encontrar y posteriormente comprobar si el VO pertenece a V

    =

    +

    +

    =

    +

    ba

    ybxa

    ba

    yx

    ba

    Cundo dos vectores son iguales? Cuando sus respectivas componentes son iguales. Por lo que tenemos las siguientes ecuaciones

    0==

    =+

    x

    aax

    axa

    0==

    =+

    ybbybyb

    =

    00

    VO

    Y como sus componentes son nmeros reales, el vector nulo pertenece a 2R y con ello se cumple el axioma. A5) Vv Vv ' VOvv =+ '

    Sea

    =

    qp

    v'

    Igual que en el axioma anterior, las letras p y q son variables.

    =

    +

    +

    =

    +

    00

    00

    qbpa

    qp

    ba

    Ahora planteando las ecuaciones

    appa=

    =+ 0

    bqqb=

    =+ 0

    =ba

    v'

    Y este inverso pertenece a 2R porque sus componentes son nmeros reales. Recordar que

    =

    ba

    v

    pertenece a 2R por lo que obviamente sus componentes son reales. Entonces si se cumple el axioma.

  • 6

    Ramiro Saltos

    M2) R , Vv )()( vv =

    =

    =

    =

    ba

    ba

    ba

    ba

    ba

    ba

    )()(

    )(

    )(

    Y por tanto se cumple el axioma. M3) R Vwv , wvwv +=+ )(

    +

    +=

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    +

    =

    +

    dbca

    dbca

    dc

    ba

    dbca

    dc

    ba

    dc

    ba

    )()(

    Entonces se cumple el axioma. M4) R , Vv vvv +=+ )(

    +=

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    +

    ba

    ba

    ba

    ba

    ba

    ba

    ba

    ba

    2)()(

    )(

    )(

    Entonces no se cumple el axioma. M5) Vv vv =1

    =

    =

    =

    ba

    ba

    ba

    ba

    ba

    ba

    1

    1

    Entonces si se cumple el axioma.

    ,,2R no es un espacio vectorial.

  • 7

    Ramiro Saltos

    Tema 4

    Sea

    =+

    = 10101/2 yxyxR

    yx

    V junto con las operaciones:

    +

    +

    =

    +

    2

    2by

    ax

    ba

    yx

    =

    yx

    yx

    Determine si ,,V es un espacio vectorial.

    A1) Vwv , Vwv +

    Sean Vdc

    wba

    v

    =

    = ,

    +

    +

    =+

    +

    =+

    2

    2db

    ca

    wv

    dc

    ba

    wv

    Ahora procederemos con el anlisis de la condicin.

    22211

    2)()(2

    122

    =

    =+

    =+++

    =+++

    =

    ++

    +

    dcbadbca

    dbca

    Entonces la suma es cerrada en V M1) R Vv Vv

    Sea .R Sea Vba

    v

    =

    =

    =

    ba

    v

    ba

    v

  • 8

    Ramiro Saltos

    Analizando la condicin tenemos que:

    111

    1)(1

    =

    =

    =+

    =+

    baba

    Entonces esto nos dice que la multiplicacin slo va a ser cerrada en V cuando 1= , pero por hiptesis R lo que significa que puede tomar cualquier valor, no solamente 1. Por tanto la multiplicacin no es cerrada en V

    ,,V no es un espacio vectorial.

    Tema 5

    Sea

    =

    + RbRaRubau

    V ,,/3 2

    junto con las operaciones:

    ++

    +=

    +

    2333

    2121

    21

    22

    2

    11

    1

    bbaauu

    bau

    bau

    +=

    2233

    ba

    u

    bau

    Determine si ,,V es un espacio vectorial.

    Para todo el ejercicio, sean:

    Vbau

    zbau

    wbau

    v

    =

    =

    =

    33

    3

    22

    2

    11

    1 3,

    3,

    3

    R , A1) Vwv , Vwv +

    ++

    +=+

    +

    =+

    23

    33

    2121

    21

    22

    2

    11

    1

    bbaauu

    wv

    bau

    bau

    wv

    Ahora hay que analizar que el resultado de la suma de los dos vectores de V cumplan con la condicin y la forma de todo vector de V 1. Hay que notar que la primera componente de la matriz es el nmero 3 y por tanto todos los vectores de V debern tener en su primera componente el nmero 3

    2. La segunda componente debe ser un vector de 2R y la suma de dos vectores de 2R da como resultado otro vector de 2R , en pocas palabras:

    221

    22

    21 , RuuRuRu +

  • 9

    Ramiro Saltos

    3. La tercera componente debe ser un nmero real positivo, es decir, mayor que cero. Como ya sabemos, el producto de dos nmeros reales positivos es otro real positivo, as:

    +++ RaaRaRa 2121 , 4. La ltima componente de nuestra matriz debe ser un nmero real cualquiera, lo cual es fcil notar que si se da puesto que estamos sumando dos variables reales con una constante real y este resultado siempre ser un nmero real. Por lo tanto la suma es cerrada en V M1) R Vv Vv

    +=

    =

    223

    3

    bau

    v

    bau

    v

    Entonces, debemos repetir el mismo anlisis que se realiz para el primer axioma pero esta vez solo prestaremos atencin a la tercera componente de la matriz ya que se necesita un razonamiento extra. Como ya sabemos, esta componente debe ser un nmero real positivo y observando un poco el resultado de la multiplicacin notamos que existe una potenciacin, la cual presentara conflictos si la base fuese un nmero negativo y el escalar un nmero fraccionario. Pero por la condicin del conjunto estos problemas no se presentan y por tanto la potenciacin con una base positiva siempre va ser positiva. Concluyendo que la multiplicacin es cerrada en V . A2) Vwv , vwwv +=+

    ++

    +=

    ++

    +

    +

    =

    +

    23

    23

    3333

    1212

    12

    2121

    21

    11

    1

    22

    2

    22

    2

    11

    1

    bbaauu

    bbaauu

    bau

    bau

    bau

    bau

    Se cumple A2

  • 10

    Ramiro Saltos

    A3) Vzwv ,, zwvzwv ++=++ )()(

    +++

    ++=

    +++

    ++

    ++++

    ++=

    ++++

    ++

    +

    ++

    +=

    ++

    ++

    +

    +

    =

    +

    +

    43

    43

    2)2(3

    2)2(3

    32

    32

    33

    333333

    321321

    321

    321321

    321

    321321

    321

    321321

    321

    33

    3

    2121

    21

    3232

    32

    11

    1

    33

    3

    22

    2

    11

    1

    33

    3

    22

    2

    11

    1

    bbbaaauuu

    bbbaaauuu

    bbbaaauuu

    bbbaaauuu

    bau

    bbaauu

    bbaauu

    bau

    bau

    bau

    bau

    bau

    bau

    bau

    Se cumple A3 A4) VOV Vv vOv V =+

    Sea

    =

    qpnm

    OV

    Para hallar el elemento neutro primero escogemos cualquier vector del conjunto y lo sumamos nuestro vector incgnita que en este caso es el VO

    =

    ++

    +

    =

    +

    bau

    qbapnu

    bau

    qpnm

    bau

    32

    3

    33

    Una vez realizada la suma igualamos componente con componente, y hay que recordar que en las ecuaciones las variables o incgnitas a encontrar son las componentes del VO , as

    333

    =

    =

    m

    2ROn

    uun

    unu

    =

    =

    =+

    1=

    =

    =

    pa

    ap

    aap

    22

    2

    =

    =

    =++

    qbbq

    bqb

    =21

    3 2RV

    OO

    Finalmente debemos comprobar si el nulo encontrado pertenece a V , y como podemos visualizar fcilmente, todas sus componentes cumplen con las condiciones del conjunto. Se cumple A4

  • 11

    Ramiro Saltos

    A5) Vv Vv ' VOvv =+ '

    Sea

    =

    qpnm

    v'

    El procedimiento es muy similar al axioma anterior, entonces realizando la suma tenemos:

    =

    ++

    +

    =

    +

    213

    23

    2133

    2

    2

    R

    R

    Oqbap

    nu

    Oqpnm

    bau

    Igual que el paso anterior sacamos nuestras ecuaciones recordando que las variables a encontrar son las componentes del vector inverso

    333

    =

    =

    m

    un

    OnuR

    =

    =+ 2

    ap

    ap11

    =

    =

    bqbq

    qb

    =

    =

    =++

    422

    22

    = ba

    uv 41

    3'

    Y finalmente debemos verificar que el vector inverso encontrado pertenezca a V , y la nica componente que podra ocasionar problemas es

    a1 cuando 0=a pero como la condicin del

    conjunto que + Ra , entonces no hay problemas porque a siempre ser diferente de cero. Se cumple A5 M2) R , Vv )()( vv =

    +=

    +

    ++=

    +

    ++=

    +

    +=

    +

    =

    2)(2)()(3

    2)(2)()(3

    222)(2)()(3

    2)(2)()(3

    22)22()()(3

    2)(2)()(3

    223

    2)(2)()(3

    33)(

    bau

    bau

    bau

    bau

    bau

    bau

    bau

    bau

    bau

    bau

    Se cumple M2

  • 12

    Ramiro Saltos

    M3) R Vwv , wvwv +=+ )(

    ++

    +=

    ++

    +

    ++

    +=

    +++

    +

    ++++

    +=

    +++

    +

    ++

    +=

    ++

    +

    +

    =

    +

    24)()()(3

    24)()()(3

    24)()()(3

    222)()()(3

    2)22()22()()(3

    22)2()()(3

    22)(3

    22)(3

    23

    3333

    2121

    21

    2121

    21

    2121

    21

    2121

    21

    2121

    21

    2121

    21

    22

    2

    11

    1

    2121

    21

    22

    2

    11

    1

    22

    2

    11

    1

    bbaauu

    bbaauu

    bbaauu

    bbaauu

    bbaauu

    bbaauu

    bau

    bau

    bbaauu

    bau

    bau

    bau

    bau

    Se cumple M3 M4) R , Vv vvv +=+ )(

    +++

    +=

    +++

    +

    ++++

    +=

    +++

    +

    ++

    +=

    +++

    +

    +

    =

    +

    ++

    ++

    +

    2)(2)()(3

    2)(2)()(3

    2)2()22()(3

    2)(2)()(3

    23

    223

    2)(2)()(3

    333)(

    )()(

    )()(

    )(

    bau

    bau

    bbau

    bau

    bau

    bau

    bau

    bau

    bau

    bau

    Se cumple M4 M5) Vv vv =1

    =

    =

    +

    =

    bau

    bau

    bau

    bau

    bau

    bau

    33

    32)1(21

    13

    331

    1

    Se cumple M5

    ,,V es un espacio vectorial.

  • 13

    Ramiro Saltos

    Tema 6

    Sea

    =

    + RyRxRyx

    V /2 junto con las operaciones:

    =

    +=

    yx

    yx

    byxa

    ba

    yx

    Determine si ,,V es un espacio vectorial.

    A1) Vwv , Vwv +

    Sean

    =

    yx

    v y

    =

    ba

    w V

    +=+

    +

    =+

    byxa

    wv

    ba

    yx

    wv

    Como x es positiva y a es positiva entonces ax tiene que ser positivo. Con la segunda componente del vector no hay inconvenientes por ser operacin usual. Se cumple A1 A2) Vwv , vwwv +=+

    Sean

    =

    yx

    v y

    =

    ba

    w V

    +=

    +

    +

    =

    +

    ybax

    byxa

    yx

    ba

    ba

    yx

    Se cumple A2

  • 14

    Ramiro Saltos

    A3) Vzwv ,, zwvzwv ++=++ )()(

    Sean

    =

    yx

    v ,

    =

    ba

    w y

    =

    dc

    z V

    ++=

    ++

    +

    +=

    ++

    +

    +

    =

    +

    +

    dbyxac

    dbyxac

    dc

    byxa

    dbac

    yx

    dc

    ba

    yx

    dc

    ba

    yx

    Se cumple A3 A4) VOVv V vOv V =+

    Sea

    =

    yx

    v V . Sea

    =

    n

    mOV

    =

    +

    =

    +

    yx

    nyxm

    yx

    n

    m

    yx

    Ahora se procede a igualar componente con componente

    1=

    =

    =

    m

    x

    xm

    xxm

    0==

    =+

    n

    yynyny

    Entonces el vector nulo es:

    =

    01

    VO

    Y pertenece a V porque su primera componente es un real positivo y la segunda es un nmero real cualquiera. Se cumple A4

  • 15

    Ramiro Saltos

    A5) VvVv ' VOvv =+ '

    Sea

    =

    yx

    v V . Sea

    =

    ba

    v'

    =

    +

    =

    +

    01

    01

    byxa

    ba

    yx

    Ahora se procede a igualar componente con componente

    xa

    xa

    11

    =

    =

    yb

    by=

    =+ 0

    Como x siempre va ser un nmero positivo, es decir, mayor que cero, pero nunca ser cero, no se va a presentar ni una divisin indefinida ni una fraccin negativa. Por tanto el vector inverso es:

    Vyxv

    =

    1'

    Se cumple A5 M1) VvR Vv

    Sea

    =

    yx

    v V . Sea R .

    =

    =

    yx

    v

    yx

    v

    Por hiptesis x es positiva, y cualquier potencia de base positiva da una respuesta positiva. Se cumple M1

  • 16

    Ramiro Saltos

    M2) VvR , )()( vv = Sea

    =

    yx

    v V . Sean R , .

    =

    =

    =

    =

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    )()(

    )(

    Se cumple M2 M3) VvR , vvv +=+ )( Sea

    =

    yx

    v V . Sean R , .

    +=

    +

    +=

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    +

    ++

    +

    +

    yx

    yx

    yyxx

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    )()(

    .

    )(

    )(

    )(

    )()(

    )(

    )(

    Se cumple M3

  • 17

    Ramiro Saltos

    M4) Vwv , R wvwv +=+ )(

    Sean

    =

    yx

    v y

    =

    ba

    w V . Sea R .

    +=

    +

    +=

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    +

    )()(

    )()(

    .

    )()(

    byxa

    byxa

    byax

    byxa

    ba

    yx

    byxa

    ba

    yx

    ba

    yx

    Se cumple M4 M5) Vv vv =1

    Sea

    =

    yx

    v V .

    =

    =

    =

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    1

    1

    1

    Se cumple M5

    ,,V es un espacio vectorial

  • 18

    Ramiro Saltos

    Subespacios Vectoriales Definicin: Sea V un espacio vectorial. Sea W un subconjunto no vaco de V . Si W es en s mismo un espacio vectorial, entonces W es un subespacio de V

    Teorema

    Sea ,,V un espacio vectorial. Sea W un subconjunto no vaco de V . W es un subespacio de V si cumple con las siguientes condiciones:

    1. Wwv , Wwv + 2. R Wv Wv

    Donde y son las operaciones suma y multiplicacin por escalar definidas en V

    Tema 1

    Sea ,,V un espacio vectorial tal que

    = RzyxRz

    yx

    V ,,/3 junto con las

    operaciones:

    +

    +

    ++

    =

    +

    1

    2

    21

    21

    21

    2

    2

    2

    1

    1

    1

    zz

    yyxx

    z

    yx

    z

    yx

    +

    +

    =

    1

    22

    z

    yx

    z

    yx

    Determine si

    =++

    = 1/3 zyxRz

    yx

    W es un subespacio de ,,V

    1. Wwv , Wwv +

    Sea Wz

    yx

    w

    z

    yx

    v

    =

    =

    2

    2

    2

    1

    1

    1

    ,

    +

    +

    ++

    =+

    +

    =+

    1

    2

    21

    21

    21

    2

    2

    2

    1

    1

    1

    zz

    yyxx

    wv

    z

    yx

    z

    yx

    wv

    Una vez realizada la suma se debe realizar el anlisis de la condicin del conjunto, tenemos que

  • 19

    Ramiro Saltos

    1)1()()2( 212121 =++++++ zzyyxx Ahora se agrupa en un parntesis todos los trminos que tengan subndice 1 y en otro parntesis los que tengan subndice 2

    112)()( 222111 =++++++ zyxzyx Ahora lo que se encuentran en cada parntesis es la condicin de los sus respectivos vectores por lo que 1111 =++ zyx y 1222 =++ zyx , reemplazando tenemos

    1111211

    =

    =+

    Y como podemos darnos cuenta la igualdad se cumple, entonces la suma es cerrada en W

    2. R Wv Wv

    Sea R . Sea Wz

    yx

    v

    =

    +

    +

    =

    =

    1

    22

    z

    yx

    v

    z

    yx

    v

    Y una vez realizada la multiplicacin analizamos la condicin aplicando el mismo procedimiento que se llev a cabo en el axioma anterior

    000

    0)1(0)(

    112)2()(1)1()()22(

    =

    =+

    =+

    =+++

    =++++

    =++++

    zyxzyx

    zyx

    Y por tanto la multiplicacin es cerrada en W W es un subespacio

  • 20

    Ramiro Saltos

    Tema 2

    Determine si

    ===

    = dcbdaM

    dcba

    W x 20/22 es un subespacio del espacio

    vectorial 22xMV =

    1. Wwv , Wwv +

    Sean Wdcba

    wdcba

    v

    =

    =

    22

    22

    11

    11,

    ++

    ++=+

    +

    =+

    2121

    2121

    22

    22

    11

    11

    ddccbbaa

    wv

    dcba

    dcba

    wv

    Ahora que ya tenemos realizada la suma debemos analizar la condicin del conjunto, pero en este caso tenemos ms de una condicin por lo que ser necesario analizar a cada una por separado. La suma la hemos realizado con operaciones usuales puesto que el ejercicio no define ninguna operacin especial. Primero debemos simplificar un poco las condiciones para facilitar el anlisis

    0==

    dada

    0=b 02

    2=

    =

    dcdc

    Ahora con estas condiciones equivalentes a las originales obtenemos que:

    0)(2)(0

    0)()(

    2121

    21

    2121

    =++

    =+

    =++

    ddccbb

    ddaa

    Igual que en el ejercicio anterior procedemos a agrupar en parntesis todos los trminos con subndices iguales, as

    0)2()2(0)()(

    0)()(

    2211

    21

    2211

    =+

    =+

    =+

    dcdcbb

    dada

    Y finalmente reemplazamos con su valor numrico dado en el conjunto

    00000

    =

    =+

    00000

    =

    =+

    00000

    =

    =+

    Y como las tres igualdades se cumple, concluimos que la suma es cerrada en W

  • 21

    Ramiro Saltos

    2. R Wv Wv

    Sea R . Sea Wdcba

    v

    =

    =

    =

    dcba

    v

    dcba

    v

    Y realizando el mismo anlisis que se llev a cabo en el axioma anterior tenemos

    0000

    0)(0

    =

    =

    =

    =

    dada

    0000

    0

    =

    =

    =

    b

    0000

    0)2(02

    =

    =

    =

    =

    dcdc

    Y como se satisfacen las tres igualdades concluimos que la multiplicacin por escalar es cerrada en

    W W es un subespacio

    Tema 3

    Sea

    =

    =

    dcba

    dcba

    Mdcba

    W x 1121

    1121

    /22

    Mostrar que W es un subespacio vectorial de 22xM

    Para resolver el ejercicio primero debemos notar que la condicin del conjunto es muy compleja para analizarla rpidamente, por eso debemos simplificarla

    ++=

    +

    +

    =

    bdacdbca

    dcdcbaba

    dcba

    dcba

    2222

    1121

    1121

    Una vez realizada esta multiplicacin procedemos a igualar componente con componente:

    0202

    022

    =+

    =

    =

    +=

    cbcb

    cbaacaba

    00)(2

    02222

    =

    =

    =+

    +=+

    dada

    dbbadbba

    00

    =

    =+

    =

    daadscacdc

    0202

    2

    =+

    =++

    =+

    cbbddcbddc

    Ahora tenemos cuatro ecuaciones que representan las condiciones del conjunto, pero como dos de ellas se repiten, solo escogemos una de cada par, y reescribiendo el conjunto nos queda:

    =+=

    = 020/22 cbdaMdc

    baW x

    Una vez simplificadas las condiciones pasamos a demostrar los axiomas

  • 22

    Ramiro Saltos

    1. Wwv , Wwv +

    Sea Wdcba

    wdcba

    v

    =

    =

    22

    22

    11

    11,

    ++

    ++=+

    +

    =+

    2121

    2121

    22

    22

    11

    11

    ddccbbaa

    wv

    dcba

    dcba

    wv

    Y analizamos las condiciones con un procedimiento similar a los ejercicios anteriores

    00000

    0)()(0)()(

    2211

    2121

    =

    =+

    =+

    =++

    dadaddaa

    00000

    0)2()2(0)(2)(

    2211

    2121

    =

    =+

    =+++

    =+++

    cbcbccbb

    Dado que se ambas igualdades son verdaderas podemos concluir que la suma es cerrada en W 2. R Wv Wv

    Sea R . Sea Wdcba

    v

    =

    =

    =

    dcba

    v

    dcba

    v

    Analizando las condiciones tenemos:

    0000

    0)(0)(

    =

    =

    =

    =

    dada

    0000

    0)2(02

    =

    =

    =+

    =+

    cbcb

    Y por lo tanto la multiplicacin por escalar es cerrada en W W es un subespacio

  • 23

    Ramiro Saltos

    Tema 4 Sea ),( baCfV = y sea { }0/),( = fbaCfH . Determine si H es un subespacio vectorial. Primero vamos a reescribir la condicin en forma equivalente de tal modo que sea ms fcil de analizar. Sea c un punto cualquiera perteneciente a ),( ba , entonces 0)( cf Luego procedemos a analizar los axiomas: 1. Hwv , Hwv + Sea Hxgwxfv == )(),(

    ))(()()(

    xgfwvxgxfwv

    +=+

    +=+

    Analizamos la condicin, y para ello evaluamos las funciones en c

    0)()(0)()(

    0))((

    ++

    +

    cgcfxgxf

    xgf

    Y como ya sabemos 0)( cf y 0)( cg debido a que ambas funciones pertenecen a H , y sumamos dos valores mayores o iguales que cero, el resultado ser mayor o igual a cero. Concluyendo que la suma es cerrada en H 2. R Hv Hv Sea Hxfv = )( . Sea R

    ))(()(

    xfvxfv

    =

    =

    Volvemos a evaluar en c

    0)(0)(

    0))((

    cfxf

    xf

    Por hiptesis 0)( cf pero si el escalar es un nmero negativo y al multiplicarse por un nmero mayor o igual a cero, el resultado nos quedar un real menor o igual acero. Por tanto la multiplicacin por escalar no es cerrada en H

    H no es un subespacio

  • 24

    Ramiro Saltos

    Tema 5

    Sea

    >

    = 0/3 xRz

    yx

    V un espacio vectorial, junto con las operaciones:

    +

    ++=

    +

    21

    21

    21

    2

    2

    2

    1

    1

    1

    1zz

    yyxx

    z

    yx

    z

    yx

    +=

    z

    yx

    z

    yx

    1

    Sea

    ==>

    = NnyzxxVz

    yx

    W n ;220/ . Determine si W es un subespacio de V

    Cuando se presentan este tipo de ejercicios no hay que sorprenderse por tener unas condiciones algo extraas, fuera de lo que uno est acostumbrado a ver. Simplemente es de realizar el procedimiento y el anlisis ya visto en ejercicios anteriores. 1. Wwv , Wwv + Hay que averiguar si la suma es cerrada en W y para ello necesitamos dos vectores tpicos del mencionado conjunto.

    Sea Wz

    yx

    w

    z

    yx

    v

    =

    =

    2

    2

    2

    1

    1

    1

    ,

    Pero qu significa que v y w pertenezcan a W ? Simplemente que v y w cumplen con las condiciones del conjunto dado. Es decir:

    nx 21 = nx 22 =

    11 2yz = 22 2yz = Ahora analicemos la suma de ambos vectores. Por la definicin del enunciado del problema tenemos que:

    +

    ++=+

    21

    21

    21

    1zz

    yyxx

    wv

    Procedemos a demostrar si la condicin se cumple o no

    nxx 221 = )1(2 2121 ++=+ yyzz

  • 25

    Ramiro Saltos

    Entonces reemplazamos con las igualdades arriba enunciadas:

    nn

    nnn

    22222

    2=

    =

    2022222 2121

    =

    ++=+ yyyy

    Y como vemos no se satisfacen las igualdades

    W no es un subespacio

    Combinacin Lineal Definicin: Sea V un espacio vectorial y sean nvvvv ,...,,, 321 vectores de V . Se dice que el vector

    Vv es una combinacin lineal de nvvvv ,...,,, 321 si existen escalares n ,...,,, 321 , tales que:

    nnvvvvv ++++= ...332211

    Conjunto Generador y Espacio Generado

    Definicin: Sea V un espacio vectorial y sean { } VvvvvS n = ,...,,, 321 . Se dice que S es un conjunto generador de V s y slo si todo vector de V se puede escribir como combinacin lineal de los n vectores de S . Adicionalmente al conjunto V generado por S se le llama espacio generado

    Independencia Lineal Definicin: Sea V un espacio vectorial y sean { } VvvvvS n = ,...,,, 321 . Se dice que

    { }nvvvvS ,...,,, 321= es un conjunto linealmente independiente en V s y slo si: [ ] [ ]0...... 321332211 ======++++ nVnn Ovvvv

    Teorema 1

    Sea V un espacio vectorial y sean { } VvvvvS n = ,...,,, 321 . S es linealmente dependiente en V , s y slo si, al menos, uno de los vectores de S se puede escribir como combinacin lineal de los 1n vectores de S

    Teorema 2 Sea V un espacio vectorial y sean { }nvvvvS ,...,,, 321= un conjunto linealmente independiente en V . Supngase que { }Sgenu . Entonces { }uS es un conjunto linealmente independiente en V

    Teorema 3 Sea V un espacio vectorial. El conjunto { }21 ,vv es linealmente independiente en V s y slo si 1v y 2v no son mltiplos escalares.

    Teorema 4 Sea V un espacio vectorial. Si el conjunto { }nvvvvS ,...,,, 321= es linealmente independiente en V, entonces cualquier subconjunto de S es linealmente independiente en V

  • 26

    Ramiro Saltos

    Bases y Dimensin Base: Sea { }nvvvvB ,...,,, 321= un conjunto de vectores en el espacio vectorial V . Se dice que B es una base de V si:

    1. { }nvvvvB ,...,,, 321= es linealmente independiente 2. { }nvvvvB ,...,,, 321= genera a V

    Dimensin: Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensin de V es igual al nmero de vectores que contiene la baseB . Es decir:

    )(dim BNV = Donde B es una base de V

    Teorema 1 Sea V un espacio vectorial de dimensin finita. El conjunto { }nvvvvB ,...,,, 321= es una base de V , s y slo si, todo vector Vv se expresa de forma nica como combinacin lineal de los vectores de B

    Teorema 2 Sea V un espacio vectorial de dimensin finita. Sea { }nvvvvB ,...,,, 321= una base de V y

    { }muuuuS ,...,,, 321= un conjunto de vectores de V . Si nm > , entonces S es linealmente dependiente en V

    Teorema 3 Sea V un espacio vectorial de dimensin finita. Sean 1B y 2B dos bases de V . Entonces:

    )()( 21 BNBN =

    Lema 1 Sea { }nvvvvS ,...,,, 321= un conjunto de vectores que generan un espacio vectorial V . Supngase que uno de los vectores ),...,3,2,1,( nivS i = se puede escribir como combinacin lineal de los 1n vectores restantes, entonces:

    { } { }{ }ivSgenSgenV ==

    Teorema 4 Sea V un espacio vectorial de dimensin finita, entonces se cumple que:

    1. Cualquier conjunto linealmente independiente en V se puede completar hasta formar una base de V

    2. Cualquier conjunto generador de V contiene una base de V

    Colorario Sea V un espacio vectorial de dimensin finita, tal que nV =dim , entonces se cumple que:

    1. Todo conjunto que genera a V con n vectores es una base de V 2. Todo conjunto linealmente independiente en V con n vectores es una base de V

  • 27

    Ramiro Saltos

    Teorema 5

    Sea H un subespacio del espacio vectorial de dimensin finita V . Entonces H es de dimensin finita y

    VH dimdim

    Teorema 6 Si { }nvvvv ,...,,, 321 es un conjunto linealmente independiente en el espacio vectorial V , entonces:

    nV dim

    Teorema 7 Sea { }nvvvvB ,...,,, 321= una base de un espacio vectorial V . Entonces a cada vector perteneciente a V se lo puede expresar de manera nica como combinacin lineal de los vectores de B

    Teorema 8 Si V es un espacio vectorial y { }nvvvvgenV ,...,,, 321= entonces nV dim

    Teorema 9 Sea H un subespacio del espacio vectorial de dimensin finita V . Si 0dim V entonces existe al menos una base de H y una base de V , tal que:

    VH BB

    Teorema 10 Sea H un subespacio del espacio vectorial de dimensin finita V . Si VH dimdim = entonces

    VH =

    Operaciones con Subespacios

    Interseccin de Subespacios: Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V . Entonces, se define:

    { }WvHvVvWH = / Unin de Subespacios: Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V . Entonces, se define:

    { }WvHvVvWH = / Suma de Subespacios: Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V . Entonces, se define:

    { }WpHhphvVvWH +==+ ,/

    Teorema 1 Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V . Entonces se cumple que:

    1. WH es un subespacio de V 2. WH + es un subespacio de V

  • 28

    Ramiro Saltos

    Teorema 2 Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V . Entonces se cumple que:

    )()( WHWH +

    Teorema 3 Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V .Sea 1S un conjunto generador de H y sea

    2S un conjunto generador de W .Entonces se cumple que:

    { }21 SSgenWH =+

    Teorema 4 Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V . La suma WH + es directa s y slo si:

    { }VOWH =

    Teorema 5 Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V . WH es un subespacio s y slo si:

    HWWH

    Teorema 6 Sea V un espacio vectorial de dimensin finita. Sean H y W dos subespacios de V . Entonces:

    WHWHWH +=+ dimdimdimdim

    Tema 1 Sea el espacio vectorial 22xMV = . Sean los subespacios de V :

    ==

    = dcbM

    dcba

    H x 22/22

    =

    2200

    ,

    1111

    ,

    0011

    ,

    0001

    genW

    a) Encuentre una base y determine la dimensin de WH b) Encuentre una base y determine la dimensin de WH + c) Es WH un subespacio de V ? Es directa la suma WH + ? Justifique sus

    repuestas.

    El primer paso a realizar ser el de simplificar la condicin del conjunto H

    2

    2bc

    cb

    =

    =

    2

    2bd

    db

    =

    =

    Una vez simplificada la condicin se procede con:

    Sea Hdcba

  • 29

    Ramiro Saltos

    +

    =

    =

    21

    21

    100001

    22babb

    badcba

    =

    1120

    ,

    0001

    HB

    Tambin podemos simplificar el conjunto generador de W ya que uno de sus vectores se puede escribir como combinacin lineal de los otros tres, y nos queda que:

    =

    1111

    ,

    0011

    ,

    0001

    WB

    a) WH

    Sea WHdcba

    v

    =

    El hecho de que v pertenezca a la interseccin de los dos subespacios implica que este se puede escribir como combinacin lineal de los vectores de las bases de ambos subespacios, as:

    =

    +

    =

    22

    2121

    21120

    0001

    dcba

    +++=

    +

    +

    =

    33

    32321321 11

    110011

    0001

    dcba

    Y luego procedemos a igualar las matrices donde se encuentran los escalares

    =

    +++

    22

    21

    33

    32321 2

    Consiguiendo con ello el siguiente sistema de ecuaciones:

    =

    =+

    =++

    23

    232

    1321

    2

    Aqu hay que tener en cuenta que las van a ser nuestras variables y los las constantes, la idea principal ser expresar las en trminos de . Planteando la matriz aumentada tenemos:

    2

    2

    21

    32

    2

    2

    21

    21

    2

    2

    1

    100010

    2001)1(

    1002110

    2001)1(

    1002110

    111

    AA

    Con lo que tenemos:

    211 2 = 22 = 23 = Luego procedemos a reemplazar estas igualdades en la combinacin lineal inicial

    +

    +

    =

    1111

    0011

    0001)2( 2221 dc

    ba

  • 30

    Ramiro Saltos

    Realizando las operaciones y factorizando

    +

    =

    +

    =

    +

    +

    =

    1120

    0001

    20000

    220002

    000

    21

    22

    21

    22

    2221

    dcbadcbadcba

    = 11

    20,

    0001

    WHB

    2dim =WH b) WH + Por teorema sabemos que:

    { }WH BBgenWH =+

    =+

    1120

    ,

    1111

    ,

    0011

    ,

    0001

    genWH

    Ahora procedemos a escribir a todo vector de WH + como combinacin lineal del conjunto generador. Este procedimiento es general y siempre ser una opcin vlida a emplear en este tipo de ejercicios:

    Sea WHdcba

    +

    ++

    ++++=

    +

    +

    +

    =

    4343

    432321

    4321

    21120

    1111

    0011

    0001

    dcbadcba

    =+

    =+

    =++

    =++

    dc

    ba

    42

    42

    432

    321

    2

    Planteando el sistema en la matriz y simplificando tenemos:

    ddc

    ba

    A

    dc

    ba

    1100000021100111

    )1(

    1100110021100111

    43

    Luego caracterizamos el subespacio tal que:

    =

    =+ dcM

    dcba

    WH x /22

    Para hallar la base de WH + proseguimos con:

  • 31

    Ramiro Saltos

    Sea WHdcba

    +

    +

    +

    =

    =

    1100

    0010

    0001

    cbacc

    badcba

    = + 11

    00,

    0010

    ,

    0001

    WHB

    3dim =+ WH c)

    WH si es un subespacio de V debido a que H se encuentra incluido en W . Si observamos un poco el resultado de la interseccin podr notarse que la base de H es la misma que la base de la interseccin.

    WH + no es suma directa porque en la interseccin de ambos subespacios se encuentran vectores adicionales al VO

    Tema 2 Sea el espacio vectorial 2PV = . Sean los subespacios de V : { }

    { }222

    21,23)1(2)1(/)(

    xxxxgenWppPxpH

    ++=

    ==

    a) Encuentre una base y determine la dimensin de WH b) Encuentre una base y determine la dimensin de WH +

    Igual que en ejercicios anteriores primero debemos simplificar la condicin del conjunto, para luego encontrar la base de H Sea 2

    2 Pcbxax ++

    [ ]

    baccba

    cbacbacbacba

    pp

    303

    222)1()1(2)1()1(

    )1(2)1(22

    =

    =++

    ++=+

    ++=++

    =

    Ahora seguimos con:

    Sea Hcbxax ++2

    )3()1()3(

    22

    22

    +=++

    ++=++

    xbxacbxaxbabxaxcbxax

    { }2dim

    3,12

    =

    =

    HxxBH

    Una vez encontrada la base de H procedemos a resolver cada literal a) WH Sea WHcbxax ++2

    )3()()()3()1( 212212212 ++=+=++ xxxxcbxax

  • 32

    Ramiro Saltos

    )3()2()2()12()32( 212122122212 ++++=++=++ xxxxxxcbxax

    Y como el vector WHcbxax ++2 entonces ambas combinaciones lineales deben ser iguales, con lo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

    =+

    =

    =+

    2121

    221

    121

    332

    2

    Luego planteamos la matriz aumentada y simplificamos por el mtodo de Gauss

    ( )31670

    23021

    )3()2(

    3131221

    31321

    12

    2

    21

    21

    2

    13

    12

    21

    1

    2

    12

    21

    2

    1

    +

    MAA

    P

    +

    +

    34400

    3210

    21

    )7(670

    3210

    21

    21

    21

    2

    23

    21

    21

    2

    A 21

    21 044

    =

    =

    Ahora reemplazando la igualdad en la primera combinacin lineal tenemos:

    )4()4()()()3()()()3()1(

    2111

    21

    2111

    211

    21

    2

    +=++=++

    ++=+=++

    xxxxcbxaxxxxxcbxax

    Y finalmente tenemos que una base de WH ser

    { }42 += xxB WH 1dim =WH

    b) WH + Primero vamos a calcular la dimensin de WH + utilizando el teorema, esto nos servir para saber cuntos vectores deber tener la base de WH +

    3dim122dim

    dimdimdimdim

    =+

    +=+

    +=+

    WHWH

    WHWHWH

    Calculando la dimensin de WH + nos damos cuenta que es igual a la dimensin del espacio vectorial 2P , entonces utilizando el teorema podemos concluir que:

    2PWH =+ Y por tanto una base sera:

    { }2,,1 xxB WH =+

  • 33

    Ramiro Saltos

    Tema 3 Sea 22xMV = y los subespacios:

    =

    1111

    ,

    4321

    genH y

    ==+

    = bacdaM

    dcba

    W x /22

    Es WH un subespacio de V ?

    Para averiguar si WH es un subespacio realizaremos el siguiente procedimiento: primero caracterizaremos el subespacio H y luego encontraremos una base de W

    Sea Hdcba

    ++

    ++=

    +

    =

    432

    1111

    4321

    dcba

    Planteando el sistema de ecuaciones, la matriz aumentada y simplificando por Gauss:

    =+

    =+

    =+

    =+

    dc

    ba

    432

    ( )( )

    ++

    ++

    +

    +

    +

    +

    3)2(5400

    3)2(4300

    23011

    35

    34

    450340230

    11

    )4()3()2(

    14131211

    24

    23

    14

    13

    12

    bada

    baca

    baa

    A

    A

    daca

    baa

    AAA

    dc

    ba

    Simplificando las condiciones:

    cbacba

    baac

    34034

    04893

    =

    =+

    =+

    dbadba

    bada

    3520352

    0510312

    =

    =+

    =+

    ==

    = dbacbaM

    dcba

    H x 35234/22

    Luego procedemos a hallar la base de W

    Sea Wdcba

    +

    =

    =

    1011

    0111

    dcdc

    dcdcdcba

    =

    1011

    ,

    0111

    WB

    Por definicin:

    ====+

    = )35234()/(22 dbacbabacdaMdc

    baWH x

    Para averiguar si es un subespacio cogemos un vector de cada base de los respectivos subespacios y analizamos si cumplen la condicin de la unin. Hay que tomar dos vectores diferentes entre ellos.

  • 34

    Ramiro Saltos

    Sea H

    1111

    y W

    0111

    Luego hay que averiguar si cumple con los axiomas de cerradura de la suma y multiplicacin:

    =

    +

    1222

    0111

    1111

    ?1222

    WH

    [ ]

    FFF

    FVFVF

    dbacbabacda

    ==

    ====

    ====+

    ====+

    )()7422()(

    )3104682()2223()1(3)2(5)2(2)2(3)2(42)22212(

    )35234()(

    WH no es un subespacio

    Tema 4

    Sea 22xMV = y los subconjuntos

    =+

    = cba

    dcba

    H 2/ ,

    =

    1311

    ,

    0201

    genW y

    = Rttt

    T /11

    a) Cules de los subconjuntos dados es un subespacio vectorial de V. b) Encuentre una base y la dimensin del subespacio interseccin de los subespacios

    hallados en el literal anterior.

    a) Primero debemos encontrar cuales de los tres conjuntos son subespacios, para lo cual debemos analizar a cada conjunto por separado.

    Sea Hdcba

    wdcba

    v

    =

    =

    22

    22

    11

    11, . Sea R

    Hwv + ? y Hv ?

    ++

    ++=+

    +

    =+

    2121

    2121

    22

    22

    11

    11

    ddccbbaa

    wv

    dcba

    dcba

    wv

    =

    =

    dcba

    v

    dcba

    v

    Analizando la condicin del conjunto para ambas operaciones tenemos que:

  • 35

    Ramiro Saltos

    2121

    212211

    212121

    )2()2()()(2

    cccc

    ccbabaccbbaa

    +=+

    +=+++

    +=+++

    cc

    cbacba

    =

    =+

    =+

    )2(2

    H si es un subespacio

    Luego tambin sabemos que W es un subespacio debido a que es generado por un conjunto de vectores linealmente independiente y adems esta conjunto es una base de W Ahora slo nos falta averiguar si T es un subespacio.

    Sea Ttt

    wtt

    v

    =

    =

    11,

    112211

    Twv + ?

    +=+

    +

    =+

    22

    1111

    2121

    2211

    ttttwv

    ttttwv

    Ahora hay que darse cuenta que todo elemento de T cumple con la condicin de que su tercera componente es 1 y la cuarta 1 lo cual no cumple el elemento resultante de la suma, por tanto T no es un subespacio. b) WH Aplicando el procedimiento ya visto en otros ejercicios procedemos a extraer una base de H

    Sea Hdcba

    +

    +

    =

    +=

    1000

    0110

    0201

    2dba

    dbaba

    dcba

    =

    1000

    ,

    0110

    ,

    0201

    HB

    Luego tenemos:

    Sea WHdcba

    +=

    +

    +

    =

    321

    21321 210

    000110

    0201

    dcba

    =

    +

    =

    221

    12121 3213

    110201

    dcba

    Planteamos el sistema de ecuaciones y simplificamos usando matrices

    =

    +=

    =

    =

    32

    2121

    22

    121

    232

    +

    23

    2

    2

    1

    23

    23

    2

    2

    1

    24

    13

    3

    21

    2

    1

    00200

    1011

    )1(

    0010

    1011

    )1()2(

    10232

    1011

    AAA

  • 36

    Ramiro Saltos

    De donde obtenemos las siguientes relaciones:

    002

    2

    2

    =

    =

    0

    0

    3

    32

    23

    =

    =

    =

    Las cuales reemplazamos en la combinacin lineal respectiva

    =

    =

    +=

    0201020

    2

    1

    1

    1

    321

    21

    dcbadcbadcba

    1dim0201

    =

    =

    WH

    B WH

    Tema 5

    Sea 3RV = . Determine el subespacio generado por el conjunto

    =

    61

    0,

    211

    ,

    42

    1S .

    Encuentre una base y la dimensin de { }SgenH =

    Para encontrar el subespacio que nos piden debemos tomar un vector tpico o representativo de todos los vectores que se pertenecen al espacio generado por S .

    Sea { }Sgenc

    ba

    Al pertenecer al subespacio generado por S significa que se puede escribir como combinacin lineal de todos los vectores de S .

    ++

    +

    =

    +

    +

    =

    321

    321

    21

    321

    6242

    61

    0

    211

    42

    1

    c

    ba

    Planteamos la matriz aumentada y tratamos de obtener la mayor cantidad de filas llenas de ceros

    ++

    +

    +

    cbaba

    a

    Aac

    baa

    AA

    c

    ba

    680002110

    011)6(

    46602110

    011

    )4()2(

    624112

    011

    2313

    12

  • 37

    Ramiro Saltos

    Una vez reducida la matriz hasta encontrar una fila llena de ceros, lo que queda al otro lado de la raya vertical es la condicin que deben cumplir todos los vectores pertenecientes al subespacio H

    =++

    = 068/3 cbaRc

    ba

    H

    Y para hallar una base de H hay que tener en cuenta que:

    bac 68 = Lo reemplazamos en el vector tpico y sacamos las letras dndoles valores que produzcan clculos sencillos.

    +

    =

    =

    610

    801

    68ba

    baba

    c

    ba

    =

    610

    ,

    801

    HB 2dim =H

    Tema 6

    Sea

    = RcbaRc

    ba

    V ,,/3 un espacio vectorial junto con las operaciones:

    +

    +

    ++

    =

    +

    1

    2

    21

    21

    21

    2

    2

    2

    1

    1

    1

    cc

    bbaa

    c

    ba

    c

    ba

    +

    +

    =

    1

    22

    c

    ba

    c

    ba

    Determine una base y la dimensin del subespacio

    =++

    = 1/ cbaVc

    ba

    H

    Antes de encontrar la base debemos reescribir el vector tpico de H slo en funcin de las variables que varan libremente, por eso tenemos que:

    11

    =

    =++

    baccba

    Y reemplazamos esta igualdad en el vector tpico obteniendo:

  • 38

    Ramiro Saltos

    =

    1baba

    c

    ba

    Tambin necesitamos hallar el vector nulo del espacio vectorial y para ello usamos el teorema

    VOv =0

    =

    +

    +

    =

    102

    10)(0)(0

    2)0(2)(00

    c

    ba

    c

    ba

    =

    102

    VO

    Debemos fijarnos en funcin de cuntas variables est el vector tpico de H para determinar cuntos vectores tendr la base. Para este ejemplo las variables son dos y por tanto la base tendr dos vectores. Hallaremos la base en dos pasos: 1) Escogemos cualquier valor para la variable a mientras que a b le asignamos el equivalente en el vector nulo. Tenemos que 1=a y 0=b . Reemplazamos estos valores en el primer vector de la base

    =

    =

    =

    201

    10101

    11

    baba

    h

    =

    201

    1h

    2) Repetimos el mismo procedimiento que en el paso 1 solo que esta vez a la variable a le asignamos el valor equivalente en el vector nulo y a b , cualquier valor arbitrario. Entonces con

    2=a y 2=b

    =

    =

    =

    122

    12222

    12

    baba

    h

    =

    122

    2h

    Luego los colocamos en la base y nos queda que:

    =

    122

    ,

    201

    HB 2dim =H

    Hay que notar que ambos vectores cumplen con la condicin de que la suma de las tres componentes es igual a 1

  • 39

    Ramiro Saltos

    Coordenadas de un Vector Definicin: Sea { }nvvvvB ,...,,, 321= una base del espacio vectorial de dimensin finita V . Sea

    Vv . Las coordenadas de v respecto a la base B , denotadas por [ ]Bv , se definen como:

    [ ] n

    n

    B Rv

    =

    3

    2

    1

    Donde n ,...,,, 321 son tales que:

    nnvvvvv ++++= ...332211

    Matriz de Cambio

    Definicin: Sean { }nvvvvB ,...,,, 3211 = y { }nuuuuB ,...,,, 3212 = dos bases del espacio vectorial de dimensin finita V . La matriz de cambio de base de 1B a 2B est dada por:

    [ ] [ ] [ ] [ ]

    =

    ...

    ...

    ...

    223222121 BnBBBBB vvvvC

    Es decir, que las columnas de la matriz de cambio estn formadas por las coordenadas de los vectores de la base 1B respecto a la base 2B

    Teorema 1 Sea V un espacio vectorial de dimensin finita. Toda matriz de cambio de base en V es invertible, es decir, 0det A

    Teorema 2 Sean 1B y 2B dos bases del espacio vectorial de dimensin finita V . Entonces para todo Vv se cumple que:

    [ ] [ ] 1212 BBBB vCv =

    Teorema 3

    Si A es la matriz de cambio de la base 1B a la base 2B , entonces 1A es la matriz de transicin de

    la base 2B a la base 1B

    Teorema 4 Sean 1B , 2B y 3B tres bases del espacio vectorial de dimensin finita V . Sea C la matriz de cambio de la base 1B a la base 2B . Sea D la matriz de cambio de la base 2B a la base 3B . Sea E la matriz de cambio de la base 1B a la base 3B . Entonces se cumple que:

    CDE =

  • 40

    Ramiro Saltos

    Teorema 5 Sea B una base del espacio vectorial de dimensin finita V . Entonces se cumple que:

    1. Vwv , [ ] [ ] [ ]BBB wvwv +=+ 2. R Vv [ ] [ ]BB vv =

    Tema 1

    Sean

    =

    1000

    ,

    2001

    1B y

    =

    3002

    ,

    1001

    2B dos bases del espacio vectorial real

    22xDV =

    a) Determine los vectores coordenadas de

    =

    5001

    1v y

    =

    4005

    2v respecto a 2B

    b) Encuentre la matriz 12 BBC de cambio de base de 2B a 1B c) Determine los vectores coordenadas de 1v y 2v respecto a 1B empleando 12 BBC

    a) Para hallar las coordenadas de un vector respecto a una base sabemos que hay que escribirlos como combinacin lineal de los vectores de la base en cuestin y luego procedemos a encontrar los escalares que representan las coordenadas buscadas

    +

    +=

    +

    =

    =

    21

    21211 30

    023002

    1001

    5001

    v

    Planteamos el sistema de ecuaciones y resolvemos por Gauss

    =+

    =+

    5312

    21

    21

    410701)2(

    410121)1(

    531121

    2112 AA 47

    2

    1

    =

    =

    [ ]

    =

    47

    21 Bv

    Usamos el mismo procedimiento para calcular las coordenadas del otro vector

    +

    +=

    +

    =

    =

    30

    023002

    1001

    4005

    2v

    Planteando el sistema y calculando los escalares

    =+

    =+

    4352

    110701)2(

    110521)1(

    431521

    2112 AA 47

    =

    =

    [ ]

    =1

    722 Bv

    b) Para hallar la matriz de cambio de base cabe recordar que sus columnas estn dadas por las coordenadas de los vectores que conforman la base de ida respecto a la base de llegada. En pocas palabras:

  • 41

    Ramiro Saltos

    =

    1112 30

    021001

    BB

    BBC

    Para lo cual primero hallaremos las coordenadas antes mencionadas

    ==+

    =

    +=

    +

    =

    1121

    200

    1000

    2001

    1001

    =

    11

    1001

    1B

    ==+

    =

    +=

    +

    =

    1322

    200

    1000

    2001

    3002

    =

    12

    3002

    1B

    Y luego ubicamos los vectores coordenadas en las columnas de la matriz de cambio y finalmente nos queda:

    = 1121

    12 BBC

    c) Para hallar las coordenadas de los vectores 1v y 2v respecto a la base 1B usando la matriz de cambio de base, simplemente usamos la ecuacin que se nos da en uno de los teoremas.

    [ ] [ ][ ]

    [ ]

    =

    =

    =

    31

    47

    1121

    11

    11

    211211

    B

    B

    BBBB

    v

    v

    vCv

    [ ] [ ][ ]

    [ ]

    =

    =

    =

    65

    17

    1121

    12

    12

    221212

    B

    B

    BBBB

    v

    v

    vCv

  • 42

    Ramiro Saltos

    Tema 2

    Sean { }211 ,vvB = y

    =

    1003

    ,

    1002

    2B dos bases del espacio vectorial 22xDV = . Sea

    la matriz de cambio de base de 1B a 2B

    = 1314

    21 BBC

    a) Encuentre los vectores 1v y 2v de la base 1B b) Usando la matriz de cambio de base 21 BBC , determine [ ] 2Bu si se conoce que

    =

    4007

    u

    a) Para encontrar la base 1B basta recordar que las columnas de la matriz de cambio representan las coordenadas de los vectores de 1B respecto a la base de llegada.

    =

    +

    =

    =

    70017

    3009

    4008

    1003

    31002

    4

    1

    1

    1

    v

    v

    v

    =

    +

    =

    +

    =

    0001

    1003

    1002

    1003

    11002

    1

    2

    2

    2

    v

    v

    v

    =

    0001

    ,

    70017

    1B

    b) Para resolver el literal primero necesitamos encontrar las coordenadas de u respecto a la base

    1B , y eso lo hacemos escribiendo a u como combinacin lineal de los vectores de la base 1B

    +=

    +

    =

    =

    70017

    0001

    70017

    4007

    u

    Planteamos el sistema de ecuaciones y resolvemos por Gauss

    ==

    =+

    7447

    717

    719197

    6849749768

    77417

    =

    =

    =

    =+

    =+

    71974

    =

    =

    [ ]

    =

    719

    74

    1Bu

  • 43

    Ramiro Saltos

    Y finalmente usando la ecuacin del teorema:

    [ ] [ ][ ]

    [ ]

    =

    =

    =

    15

    719

    74

    1314

    2

    2

    1212

    B

    B

    BBBB

    u

    u

    uCu

    Tema 3

    Sean 1S y

    =

    100

    ,

    011

    ,

    101

    2S dos bases de 3R y sea la matriz de cambio de base de 1S a

    2S :

    =

    111120111

    21 SSC

    a) Determine la base 1S

    b) Encuentre [ ] 1Su si

    =

    321

    u

    a) Para hallar los vectores de la base 1S aplicamos el mismo procedimiento que en ejercicio anterior

    =

    +

    +

    =

    =

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    =

    +

    =

    +

    +

    =

    210

    100

    )1(011

    )1(101

    )1(

    02

    1

    100

    02

    2

    101

    100

    )1(011

    )2(101

    )1(

    201

    100

    101

    100

    )1(011

    )0(101

    )1(

    z

    w

    v

    =

    210

    ,

    02

    1,

    201

    1S

  • 44

    Ramiro Saltos

    b) Este literal es fcil, para encontrar las coordenadas de u bastar escribirlo como combinacin lineal de los vectores de la base 1S , encontrar los escalares y plantearlos en un vector coordenada

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    =

    31

    32

    21

    321

    222

    321

    210

    02

    1

    201

    321

    u

    ( ) )2( )1(122012

    1101011

    21

    122021201011

    )2(320221201011

    23

    21213 A

    AMA

    ( )( )

    11002

    30102

    5001

    212

    1

    110012

    11022

    101

    31

    32

    A

    A [ ]

    =

    12

    32

    5

    1Su

    Tema 4

    Sea W un subespacio del espacio euclidiano 3R y sean

    =

    21

    0,

    01

    1A y

    =

    45

    3,

    22

    1B dos bases de W . Encuentre la matriz de cambio de base BAC

    Ya sabemos que para encontrar la matriz de cambio de base hay que encontrar las coordenadas de los vectores que conforman la base de ida respecto a la base de llegada. Estas coordenadas son las columnas de la matriz en cuestin. Por definicin:

    =

    BB

    BAC21

    0

    01

    1

    Hallamos las coordenadas de ambos vectores escribindolos como combinacin lineal de los vectores de la base de llegada.

    +

    +

    =

    +

    =

    4252

    3

    45

    3

    22

    1

    01

    1

  • 45

    Ramiro Saltos

    000110201

    )2()3(

    220110131

    )2()2(

    042152

    131

    23

    21

    13

    12

    AA

    AA

    12

    =

    =

    =

    12

    01

    1

    B

    Igual procedimiento aplicamos con el vector faltante

    +

    +

    =

    +

    =

    4252

    3

    45

    3

    22

    1

    21

    0

    000110

    301

    )2()3(

    220110

    031

    )2()2(

    242152

    031

    23

    21

    13

    12

    AA

    AA

    1

    3=

    =

    =

    1

    3

    21

    0

    B

    1132

    BAC

    Tema 5 Sea 2PV = . Si { }3211 ,, vvvB = y { }3212 ,, uuuB = son bases ordenadas de V , y se conoce que:

    =

    102010101

    21 BBC

    [ ]

    =+

    111

    1 1Bx , [ ]

    =

    001

    1 1Bx y [ ]

    =

    100

    22

    Bx

    Determine los vectores de las bases 1B y 2B

    Para resolver este ejercicio slo hay que aplicar un poco de teora. Hay que recordar que las coordenadas de un vector representan los escalares que resultan de la combinacin lineal de dicho vector con los pertenecientes a la base, entonces:

    321

    321

    1)1()1()1(1

    vvvx

    vvvx

    ++=+

    ++=+

    1)0()0()1(1

    1

    321

    =

    ++=

    xv

    vvvx

    Y utilizando los primeros datos que nos da el ejercicio ya hemos encontrado uno de los vectores de la base, y a este lo reemplazaremos en la primera ecuacin

  • 46

    Ramiro Saltos

    211

    1

    32

    32

    321

    =+

    ++=+

    ++=+

    vv

    vvxx

    vvvx

    Seguimos con el procedimiento anterior

    23

    3212 )0()0()0(

    xu

    uuux

    =

    ++=

    Ahora ya hemos utilizado la mayora de los datos del problema, pero an hay que recordar que las columnas de la matriz de cambio de base representan las coordenadas de los vectores de la base de partida en la base de llegada, por tanto:

    131

    3211

    2)2()0()1(

    uuv

    uuuv

    =

    ++=

    Pero ya conocemos los vectores 1v y 3u as que remplazamos y:

    1221

    2

    21

    12

    131

    +=

    =

    =

    xxu

    uxx

    uuv

    Proseguimos con el segundo y tercer vector de la base de ida

    22

    3212 )0()1()0(uv

    uuuv

    =

    ++=

    133

    3213 )1()0()1(uuv

    uuuv

    =

    ++=

    Pero como ya conocemos los valores de 1u y 3u , simplemente reemplazamos

    112

    23

    223

    133

    +=

    +=

    =

    xxv

    xxxv

    uuv

    Finalmente debemos encontrar 2v y 2u , pero como ya se demostr arriba estos dos vectores son iguales as que bastar hallar uno de ellos y tendremos ambos, y para ello utilizaremos la ltima ecuacin que falta:

    22

    2

    22

    32

    321

    2

    uxxv

    xxv

    vv

    =+=

    =+

    =+

  • 47

    Ramiro Saltos

    Entonces las bases son:

    { }1,3,1 221 ++= xxxxxB

    { }2222 ,3,12 xxxxxB ++= Como podr haberse notado el ejercicio se redujo a una simple aplicacin de conceptos y al manejo de ecuaciones

    Espacios Asociados a Matrices Sea la matriz:

    =

    mnmmm

    n

    n

    n

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    A

    321

    3333231

    2232221

    1131211

    Espacio Fila de una Matriz

    Definicin: Sea A una matriz de mxn , entonces se define el espacio fila de A , denotado por AF como:

    =

    mn

    m

    m

    m

    nnn

    A

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    genF

    3

    2

    1

    3

    33

    32

    31

    2

    23

    22

    21

    1

    13

    12

    11

    ,...,,,

    Espacio Columna de una Matriz

    Definicin: Sea A una matriz de mxn , entonces se define el espacio columna de A , denotado por

    AC como:

    =

    mn

    n

    n

    n

    mmm

    A

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    a

    genC

    3

    2

    1

    3

    33

    23

    13

    2

    32

    22

    12

    1

    31

    21

    11

    ,...,,,

    Ncleo de una Matriz

    Definicin: Sea A una matriz de mxn , entonces se define el ncleo de A , denotado por )(ANu como:

  • 48

    Ramiro Saltos

    { }mRn OAXRXANu == /)(

    Recorrido o Imagen de una Matriz Definicin: Sea A una matriz de mxn , entonces se define el recorrido o imagen de A , denotado por )Re(A o )Im(A como:

    { }nm RXYAXRYAA === ;/)Im()Re(

    Nulidad y Rango de una Matriz Definicin: Sea A una matriz de mxn .Se define, la nulidad de A , denotada por )(Av , como la dimensin del )(ANu y el rango de A , denotado por )(A , como la dimensin del )Re(A , es decir:

    )(dim)( ANuAv = )Re(dim)( AA =

    Teorema 1

    Sea A una matriz de mxn . Entonces:

    1. El ncleo de A es un subespacio de nR 2. El recorrido de A es un subespacio de mR

    Teorema 2

    Sea A una matriz de mxn . Entonces:

    1. ACA =)Re( 2. AA FC dimdim = 3. nAAv =+ )()(

    Teorema 3

    Sea A una matriz de nxn . Entonces los nueve enunciados que siguen son equivalentes, es decir, cada uno de ellos implica los otros ocho, de tal modo que si uno de ellos es vlido, todos son vlidos.

    1. A es invertible 2. La nica solucin del sistema homogneo 0=AX es la solucin trivial 3. El sistema BAX = tiene una solucin que es nica para cada n - vector de B 4. A es equivalente por filas a la matriz identidad nI de nxn 5. A se puede escribir como producto de matrices elementales 6. Las filas y las columnas de A son linealmente independientes 7. 0)det( A 8. 0)( =Av 9. nA =)(

  • 49

    Ramiro Saltos

    Tema 1 Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique formalmente su respuesta

    a) Sea mxnMA . Entonces, el ncleo de A es igual al espacio rengln de A (Falso)

    Sea 224321

    xMA

    =

    ==

    00

    /)( 2 AXRXANu

    Para hallar el ncleo planteamos el sistema homogneo y simplificamos la matriz hasta obtener la mayor cantidad de ceros posibles:

    020021)3(

    043021

    12A 002

    =

    =

    yy

    0

    02=

    =+

    x

    yx

    =

    00)(ANu

    Una vez encontrado el ncleo debemos hallar el espacio fila. Por definicin:

    =

    43

    ,

    21

    genFA

    Como podemos darnos cuenta, el espacio fila es generado por dos vectores linealmente

    independientes, por tanto la 2dim =AF que es la misma dimensin del espacio 2R y por teorema concluimos que 2RFA =

    b) El rango de la matriz

    =

    131402311

    A es igual a 2 (Verdadero)

    Por definicin:

    { }YAXRYA == /)Re( 3 Entonces una manera sencilla de explicar el procedimiento para hallar el recorrido consiste en igualar la matriz A a tres variables y luego trataremos hacer cero cualquier fila de la matriz y as habremos encontrado la condicin para el subespacio Recorrido.

    Sea )Re(Ac

    ba

    ++

    +

    cbaab

    a

    Aca

    aba

    AA

    c

    ba

    230002220

    311)2(

    4402220

    311

    )1()2(

    131402311

    2313

    12

    023 =++ cba bac 23 =

  • 50

    Ramiro Saltos

    +

    =

    =

    210

    301

    23ba

    baba

    c

    ba

    =

    210

    ,

    301

    )Re( AB 2)Re(dim = A

    c) La nulidad de la matriz

    =

    660134103211

    A es igual a 2 (Falso)

    Aplicamos la definicin:

    ==

    000

    /)( 4 AXRXANu y sea )(ANu

    dc

    ba

    Luego planteamos la matriz aumentada igualada a cero

    ( )

    011000341000001

    )6(12

    1

    01212000341006601

    )1()1(

    098100341003211

    )1(066010341003211

    31

    3

    23

    2113 A

    MAA

    A

    0=a dc

    dc=

    =+ 0

    dbddbdcb

    =

    =+

    =++

    034034

    =

    =

    11

    100

    d

    dd

    d

    dc

    ba

    =

    11

    10

    )( ANuB 1)( = Av

    Tema 2 Sea la matriz

    =

    987654321

    A

    Encuentre una base y la dimensin de: a) )(ANu b) )Re(A c) AF

    a) { }3/)( 3 ROAXRXANu == Sea )(ANu

    c

    ba

  • 51

    Ramiro Saltos

    Una vez planteados todos los supuestos, igualamos la matriz A a cero

    ( )

    000002100101

    )2(000002100321

    )6(3

    1

    0126006300321

    )7()4(

    098706540321

    2123

    2

    13

    12 AA

    MAA

    ca

    ca

    =

    = 0

    cbcb2

    02=

    =+

    =

    =

    12

    12 cc

    c

    c

    c

    ba

    =

    12

    1)(ABNu 1)( =Av

    b) Aplicamos el mismo procedimiento que se us para hallar la base del ncleo, slo que esta vez planteamos la matriz aumentada igualada a tres variables

    { }YAXRYA == /)Re( 3 Sea )Re(A

    c

    ba

    +

    cbaab

    a

    Aac

    aba

    AA

    c

    ba

    20004630

    321)2(

    712604630

    321

    )7()4(

    987654321

    2313

    12

    cbacba

    =

    =+

    202

    +

    =

    =

    101

    0122

    cbc

    bcb

    c

    ba

    =

    101

    ,

    012

    )Re( AB 2)( =A

    c)

    =

    987

    ,

    654

    ,

    321

    genFA

    Para hallar el espacio simplemente escribimos la matriz cuyas columnas son los tres vectores del conjunto generador de AF y la igualamos al vector tpico de AF

    Sea AFc

    ba

    +

    cbaab

    a

    Aac

    aba

    AA

    c

    ba

    20002630

    741)2(

    312602630

    741

    )3()2(

    963852741

    2313

    12

  • 52

    Ramiro Saltos

    cbacba

    =

    =+

    202

    +

    =

    =

    101

    0122

    cbc

    bcb

    c

    ba

    =

    101

    ,

    012

    AFB 2dim =AF

    Tema 3 Sea la matriz

    =

    877426133201

    4321

    A

    Encuentre una base y la dimensin de: a) )(ANu b) )Re(A c) AF

    a) { }4/)( 4 ROAXRXANu ==

    Sea )(ANu

    dc

    ba

    Planteamos el sistema homogneo y tratamos de obtener la mayor cantidad de ceros posibles

    )2()5()2(

    0152001015500851004321

    )1(

    0851001015500152004321

    )4()3(

    )1(

    08774026130320104321

    24

    23

    21

    24

    4

    14

    13

    12

    AA

    A

    PM

    AAA

    ( )( )

    00000031000701009001

    )1()5(

    )7(

    031000310008510012701

    5110

    1

    015500030100008510012701

    34

    32

    31

    4

    3

    AAA

    M

    M

    dada9

    09=

    =+

    dbdb

    707

    =

    =

    dc

    dc3

    03=

    =+

  • 53

    Ramiro Saltos

    =

    =

    13

    79

    379

    d

    dd

    dd

    dc

    ba

    =

    13

    79

    )( ANuB 1)( =Av

    b) { }YAXRYA == /)Re( 4

    Sea )Re(A

    dc

    ba

    Ahora planteamos la matriz aumentada igualada a las variables del vector tpico del )Re(A y tratamos de obtener una fila llena de ceros

    24

    4

    14

    13

    12 )1(

    485103101550

    15204321

    )4()3(

    )1(

    877426133201

    4321

    PM

    adac

    baa

    AAA

    dc

    ba

    +

    )2(

    2715500517301000

    485102712701

    )2()5()2(

    15203101550

    485104321

    34

    24

    23

    21

    A

    dbadca

    dada

    AA

    A

    baac

    daa

    ++

    +

    +

    +

    ++

    ++

    +

    dbadcba

    dada

    2715500230000

    485102712701

    023

    023=++=

    =++

    cbaddcba

    +

    +

    =

    ++

    =

    1100

    2010

    3001

    23

    cba

    cbac

    ba

    dc

    ba

  • 54

    Ramiro Saltos

    =

    1100

    ,

    2010

    ,

    3001

    )Re( AB 3)( =A

    nAAv =+ )()(

    431 =+ 44 =

    c)

    =

    8774

    ,

    26

    13

    ,

    3201

    ,

    4321

    genFA . Sea AF

    dc

    ba

    Y realizamos el mismo proceso que en el literal anterior, pero esta vez la matriz es aquella cuyas columnas son los vectores del conjunto generador de AF

    )2()5(

    )1(

    21520351550481010

    4311

    48101035155021520

    4311

    )4()3()2(

    8234762371024311

    24

    23

    21

    24

    14

    13

    12

    AAA

    abac

    ada

    P

    adac

    aba

    AAA

    dc

    ba

    ( )( ) )1(

    15261100

    355171100

    48101034701

    15135

    1

    26151500517353500

    48101034701

    344

    3

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    A

    dba

    dcaadda

    M

    M

    dbadca

    adda

    +

    +

    +

    +

    35517

    15260000

    355171100

    48101034701

    dcadba

    dcaadda

    cbaddcba

    dcbadcadba

    dcadba

    dcadba

    3790379

    05153545075152557035210

    0)517(15)26(350

    35517

    1526

    +=

    =++

    =++

    =++

    =++

    =

    +

    +

    +

    +

    =

    +

    =

    3100

    7010

    9001

    379

    cba

    cbac

    ba

    dc

    ba

  • 55

    Ramiro Saltos

    =

    3100

    ,

    7010

    ,

    9001

    AFB 3dim =AF

    Tema 4 Sea 43xMA tal que:

    =

    12154371221431

    A

    Encuentre una base y la dimensin de: a) AC b) AF c) )(ANu d) )Re(A

    a) AC Por definicin sabemos que:

    =

    132

    ,

    217

    14,

    513

    ,

    421

    genC A

    Seleccionamos un vector tpico de AC y lo escribimos como combinacin lineal de los vectores que forman parte del conjunto generador, as

    Sea ACc

    ba

    +++

    +++

    =

    +

    +

    +

    =

    4321

    4321

    4321

    4321

    2154372

    2143

    132

    217

    14

    513

    421

    c

    ba

    Planteamos la matriz aumentada y tratamos de obtener la mayor cantidad posible de filas llenas de ceros

    +

    +

    +

    +

    cbaba

    a

    Aca

    baa

    AA

    c

    ba

    20000273570

    21431)1(

    473570273570

    21431

    )4()2(

    12154371221431

    2313

    12

    Caracterizando el subespacio AC nos queda

  • 56

    Ramiro Saltos

    +=

    = cabRc

    ba

    C A 2/3

    Reemplazamos la relacin en el vector tpico y calculamos la base

    +

    =

    +=

    110

    021

    2 cac

    ca

    a

    c

    ba

    =

    110

    ,

    021

    ACB 2dim =AC

    b) AF Por definicin tenemos que:

    =

    1215

    4

    .

    3712

    ,

    21431

    genFA

    Escogemos nuestro vector tpico, lo escribimos como combinacin lineal de los vectores del conjunto generador, planteamos la matriz aumentada y simplificamos hasta hallar la mayor cantidad de filas llenas de ceros.

    Sea AF

    dc

    ba

    +

    +

    +

    ++

    =

    +

    +

    =

    321

    321

    321

    321

    321

    3221714

    5342

    1215

    4

    3712

    21431

    dc

    ba

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    dbacba

    baa

    AA

    daca

    baa

    AAA

    dc

    ba

    0005000

    3770421

    )1()5(

    277014353503770

    421

    )2()14()3(

    13221714513

    421

    24

    23

    14

    13

    12

  • 57

    Ramiro Saltos

    Ahora caracterizamos el subespacio AF

    +=+=

    = badbacR

    dc

    ba

    FA 5/4

    Calculamos la base y la dimensin:

    +

    =

    +

    +=

    1510

    1101

    5ba

    baba

    ba

    dc

    ba

    =

    1510

    ,

    1101

    AFB 2dim =AF

    c) )(ANu Sabemos que:

    { }3/)( 4 ROAXRXANu == Realizamos el mismo procedimiento que para hallar los subespacios anteriores, solo que esta vez planteamos un sistema homogneo de ecuaciones.

    Sea )(ANu

    dc

    ba

    =

    =

    000

    12154371221431

    3

    dc

    ba

    OAXR

    Planteamos la matriz aumentada y tratamos de obtener la mayor cantidad posible de ceros en la matriz

    ( ) )3(0000001510021431

    71

    )1(

    073570073570021431

    )4()2(

    01215403712021421

    212

    23

    13

    12

    AMA

    AA

  • 58

    Ramiro Saltos

    000000151001101

    dcadca

    =

    = 0

    dcbdcb=

    =++

    505

    Caracterizando el ncleo nos queda:

    ==

    = dcbdcaR

    dc

    ba

    ANu 5/)( 4

    Calculamos la base y la dimensin

    +

    =

    =

    1011

    0151

    5dc

    dc

    dcdc

    dc

    ba

    =

    1011

    ,

    0151

    )( ANuB 2)( =Av

    d) )Re(A Por teorema sabemos que )Re(AC A = por tanto:

    =

    110

    ,

    021

    )Re( AB 2)( =A

    folleto.pdfALGEBRALINEAL-RAMIROSALTOS.pdf