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Teoría de el número

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  • l

  • 2

    INTRODUCCIN.- aproximadamente hacia el ao 4000 a.c. en los inicios de la

    historia escrita, las personas comenzaron a pensar en los nmeros como conceptos

    abstractos. Esto es se percataron de que dos frutas y dos piedras tenan algo en

    comn, una cantidad llamada dos, la cual era independiente de los objetos. La

    percepcin de esta cantidad estaba probablemente auxiliada por el proceso de

    contar; un ejemplo del concepto matemtico de la correspondencia uno a uno.

    Con la finalidad de definir una correspondencia uno a uno entre conjuntos de

    objetos, el hombre prehistrico seal con una marca cada objeto o evento

    registrado.

    En distintas culturas se han ideado diferentes mtodos de conteo, as por ejemplo

    los incas hacan nudos en una cinta o cuerda para levantar el censo; los chinos

    usaban guijarros o varitas en sus clculos y los ingleses utilizaban pequeos palos

    con marcas como comprobantes de los impuestos recibidos.

    Como resultado del esfuerzo humano de mantener un registro de las cantidades se

    inventaron los primeros numerales que reflejaban el proceso de conteo.

    Los babilonios y egipcios conciben, alrededor del ao 2000 a.c. una aritmtica en

    la que ya utilizan fracciones. Con Pitgoras en el ao 525 a.c. los griegos descubren

    la necesidad de adoptar nmeros irracionales como . En el ao 375 a.c. Eudoxio presenta la teora de los inconmensurables para representar irracionales como

    lmite de magnitudes racionales.

    Los nmeros negativos, que aparecen en la solucin de diversos problemas se

    consideran como absurdos, y solo se manejan libremente a partir del siglo XVII. No

    es sino hasta la segunda mitad del siglo XIX que Cantor, Dedekind y Weistrass

    desarrollan teoras rigurosas del nmero real, incluyendo racionales e irracionales.

    DESCRIPCIN DE LOS DIVERSOS CONJUNTOS DE NMEROS.- Los Hindes fueron los

    inventores de los smbolos que hoy los conocemos como nmeros; los cuales

    colocados de la siguiente forma:

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, se lo conoce como la sucesin de nmeros naturales; donde los puntos suspensivos sealan que la sucesin se prolonga en forma indefinida hacia

    la derecha.

    Si dicha sucesin la colocamos entre llaves: { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . } obtenemos el

    conjunto de los nmeros naturales, el cual fue el primer conjunto de nmeros

    conocido por el hombre. Y se lo nombra as:

    N = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 , . . . }

    Este conjunto descrito de esta manera posee las siguientes caractersticas:

    1. La sucesin no termina ni se ramifica, es decir el conjunto N es infinito.

    2. Comienza con un elemento que es conocido como uno, Elemento neutro multiplicativo.

    3. No se cierra la sucesin sobre si misma; como ocurre con los nmeros de la

    esfera de un reloj.

    4. En la sucesin de nmeros naturales no existe elemento que siga

    inmediatamente a dos distintos.

  • 3

    5. No existen nmeros naturales intercalados entre los de la sucesin, peor an

    excluidos de ella; es decir que partiendo de 1 y pasando en forma reiterada al

    elemento siguiente se obtienen todos los nmeros naturales.

    Ahora si tomamos de la sucesin dos nmeros cualesquiera como: a N y b N, donde a=2 y b=5 y realizamos las operaciones bsicas, se tiene que:

    Adicin Multiplicacin Sustraccin Divisin

    2 + 5 = 7 N 2 . 5 = 10 N 2 5 = -3 N 2 : 5 N

    Se observa que en la adicin y multiplicacin los resultados son nmeros que

    pertenecen a la sucesin, es decir son tambin nmeros naturales. Mientras que en

    la sustraccin o diferencia si el minuendo es menor que el sustraendo el resultado

    no pertenece a los nmeros naturales. El caso, que pertenezca a los nmeros

    naturales ocurre nicamente cuando el minuendo es mayor que el sustraendo, as

    por ejemplo: 8 - 3 = 5 N.

    Entonces se puede generalizar, diciendo; que no siempre la diferencia ocurre en los

    nmeros naturales.

    De modo similar se presenta en la divisin. nicamente cuando el numerador es

    mltiplo del denominador el resultado ser un nmero natural, como

    = 2 N y en

    caso contrario no ser nmero natural. Luego como ocurre en la diferencia,

    tambin no siempre es posible la divisin en los nmeros naturales.

    Regresando a la adicin y multiplicacin; se tiene que estas operaciones siempre

    sern posibles en el conjunto N, ya que en sus resultados se obtienen tambin

    nmeros naturales. Cuando esto ocurre, a dichas operaciones se las conoce como

    operaciones binarias.

    En el caso del conjunto N sern operaciones binarias la adicin y multiplicacin;

    mientras que la diferencia y la divisin no lo sern.

    Entonces, en general, cuando se tiene una operacin binaria se puede representar

    por:

    a * b se lee: a operacin binaria b. donde a y b son nmeros.

    Definicin de Operacin Binaria.- Para un conjunto cualquiera S={ a, b, c . . . } la

    operacin " * " es una operacin binaria en S , si y solamente si a cada par

    ordenado ( a, b ), donde a y b S le corresponde un solo elemento que es a * b " a operacin binaria b " que pertenece tambin a S.

    Es decir: ( a, b ) a * b

    Donde a y b S y a * b S.

  • 4

    Caractersticas de la Operacin Binaria.-

    1. El orden de a y b es muy importante, porque ( a, b ) es un par ordenado distinto

    de ( b, a ) y ocurre entonces que: a * b b * a 2. La operacin binaria tiene que estar definida para todos los pares ordenados

    ( a, b ); donde a y b S. 3. El elemento resultante a * b debe pertenecer a S.

    Propiedades de las Operaciones Binarias:

    1. Propiedad Conmutativa: Para todo par ordenado de elementos ( a, b ) S, se tiene :

    a. Adicin.- b. Multiplicacin.-

    a + b = b + a a . b = b . a

    Si a= 3 y b= 5

    3 +5 = 5 + 3 3 . 5 = 5 . 3

    8 = 8 1 5 = 1 5

    Luego: La operacin binaria es conmutativa en el conjunto S si y solo si para cada

    par ordenado de elementos ( a, b ) se cumple que: a * b = b * a

    2. Propiedad Asociativa: Para toda terna ordenada de elementos ( a, b, c) S, entonces:

    a. Adicin b. Multiplicacin

    a+(b+c)=(a+b)+c a.(b.c)=(a.b).c

    Si a = 3 , b = 5 y c = 4

    3+(5+4) = (3+5)+4 3.(5.4) = (3.5).4

    3+9 = 8+4 3 . 20 = 15 . 4

    12 = 12 60 = 60

    Luego: La operacin binaria es asociativa en el conjunto S si y solo si para cada

    terna de elementos ( a, b, c ) se cumple q u e : a * ( b * c ) = ( a * b ) * c

    3. Propiedad Conmutativa General:

    a. a * (b * c) = (a * b) * c

    = c * (a * b)

    = (c * a) * b tambin

    b. a * (b * c) = (a * b) * c

    = (b * c) * a

    = b * (c * a)

    Entonces: La operacin binaria en el conjunto S posee la propiedad conmutativa

    general si y solo si todas las expresiones siguientes existen, estn definidas y son

    iguales:

    a * b * c

    a * c * b

    b * a * c

    b * c * a

    c * a * b

    c * b * a

  • 5

    Conclusin General: Si * es una operacin binaria del conjunto S y posee la

    propiedad conmutativa, la propiedad asociativa, entonces posee tambin la

    propiedad conmutativa general.

    Propiedades de los Nmeros Naturales.-

    P1: La suma y la multiplicacin son operaciones binarias en el conjunto de los

    nmeros naturales: es decir que la suma y la multiplicacin son operaciones

    cerradas dentro del conjunto de los nmeros naturales.

    P2: La suma y la multiplicacin son operaciones binarias conmutativas.

    P3: La suma y la multiplicacin son operaciones binarias asociativas.

    P4: Para todo nmero n N, existe y es nico un nmero llamado el uno ( 1 N ) que cumple con la siguiente condicin: De que n . 1 = 1 . n = n ; propiedad que es

    conocida como: Propiedad de idntico multiplicativo.

    P5: Propiedad distributiva ( de la multiplicacin con respecto a la suma ).- Para toda

    terna de elementos ( a, b, c ) donde , a N , b N y c N se cumple que a . ( b + c ) = a . b + a . c

    As, s i : a = 3 , b = 2 y c = 5 se tiene: 3 . ( 2 + 5 ) = 3 . 2 + 3 . 5

    3 . 7 = 6 + 1 5 21 = 21

    La operacin de distribucin de la suma con respecto al producto, no se cumple. Es

    decir: a + (b . c) (a + b) . (a + c)

    As, s i : a = 3 , b = 2 y c = 5 se tiene : 3 + (2 . 5) (3 + 2) . (3 + 5) 3 + 1 0 5 . 8

    13 40

    P 6 : Propiedad de cerradura de la suma.- Si se suman dos nmeros naturales, se

    obtiene como resultado otro nmero natural. Es decir el conjunto de los nmeros

    naturales, es un conjunto cerrado ante la suma.

    P 7 : Propiedad de cerradura de la multiplicacin.- Si se multiplican dos nmeros

    naturales, se obtiene como resultado otro nmero natural. Es decir el conjunto de

    los nmeros naturales, es un conjunto cerrado ante la operacin multiplicacin.

    Representacin geomtrica.- Para representar un nmero natural en la escala

    numrica o en el eje llamado de abscisas, se sigue el siguiente proceso:

    1. Se coloca horizontal un eje o escala numrica, llamado de abscisas.

    2. Se toma como referencia o como segmento unidad el segmento .

    3. Se escoge un punto sobre la escala, que ser el punto designado como 0 cero; que ser el origen, desde donde comenzarn a aparecer en la escala

    los nmeros naturales.

    4. Se une A con cero , y luego por B trazamos una paralela al segmento , y el punto donde que corte dicha paralela al eje de abscisas, representara a

    nmero uno 1