ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA1UniversidadNacionalAAbierta y a DistanciaFACULTAD DE CI ENCI AS BSI CASE I NGENI ER AALGEBRA, TRI GONOMETR A YGEOMETR A ANAL TI CAJ ORGE ELI CER RONDN DURNBOGOT, D.C., 2006UNAD2 Editorial UNAD, 2005Primera edicin 2005ISBN:Prohibida la reproduccin parcial ototal de esta obra sin autorizacin de laUniversidad Nacional Abierta y aDistancia UNADLa edicin de esta gua estuvo a cargode la Vicerrectora Funcional deMedios para el Aprendizaje-Unidad de PublicacionesEdiciones HispanoamericanasDiagramacin y armada electrnicaBogot, D.C. 2005COMITE DIRECTIVOJaime Alberto Leal AfanadorRectorRoberto Salazar RamosVicerrector AcadmicoSehifar Ballesteros MorenoVicerrector AdministrativoMaribel Crdoba GuerreroSecretaria GeneralEdgar Guillermo Rodrguez DazDirector PlaneacinUniversidad Nacional Abierta y a Distancia ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA3Contenido59152125272931374147INTRODUCCIN.........................................................UNIDAD 1:ALGEBRA Y TRIGONOMETRA........INTRODUCCIN.........................................................OBJ ETIVOS...................................................................MAPA CONCEPTUAL.................................................CAPITULO 1.ECUACIONES....................................Int r oduccin...................................................................Ecuaciones de pr imergr ado.........................................Ecuaciones de pr imergr ado con unaincgnit a.........................................................................Mt odo egipcio (la r gula falsa)..................................Mt odo axiomt ico........................................................Ecuaciones de pr imergr ado con dos incgnit as.......UNAD4Ecuaciones Diofnt icas.................................................Ejer cicios:ecuaciones de pr imergr ado.....................Solucin gener al de ecuaciones Diofnt icas..............Dos ecuaciones simult neas con dos incgnit as.......Mt odo 1: mt odo gr fico.............................................Mt odo 2: mt odo de eliminacin...............................Reduccin.......................................................................Igualacin.......................................................................Sust it ucin.....................................................................Mt odo 3: mt odo pordet er minant es.........................Tr es ecuaciones simult neas con t r es incgnit as......Mt odo 1:solucin poreliminacin...........................Mt odo 2: solucin pordet er minant es.......................Pr oblemas con ecuaciones de pr imergr ado..............Ecuaciones de pr imergr ado con una incgnit a,pr oblemas.......................................................................Ecuaciones de pr imergr ado con dos incgnit as,pr oblemas.......................................................................Ecuaciones de pr imergr ado con t r es incgnit as,pr oblemas.......................................................................Ecuaciones de segundo gr ado......................................Mt odo axiomt ico........................................................Tcnica porfact or izacin.............................................Tcnica de complet arcuadr ados.................................Tcnica porla fr mula cuadr t ica...............................Ecuaciones con r adicales..............................................Ecuaciones con fr acciones............................................Pr oblemas con ecuaciones de segundo gr ado............Ecuaciones de t er cergr ado.........................................Resolucin moder na......................................................Solucin de ecuacin de t er cergr ado.........................Ecuaciones polinmicas................................................Ecuaciones r acionales...................................................Fr acciones par ciales..................................................... ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA5CAPITULO 2:INECUACIONES................................INTRODUCCIN.........................................................OBJ ETIVOS...................................................................Desigualdad...................................................................Pr opiedades de las desigualdades..............................Oper aciones con int er valos..........................................Inecuaciones lineales....................................................Inecuaciones lineales con una incgnit a....................Inecuaciones r acionales...............................................Inecuaciones cuadr t icas.............................................Inecuaciones mixt as.....................................................Pr oblemas con inecuaciones de una var iable............Inecuaciones condos var iables.....................................Sist ema de inecuaciones, pr oblemas..........................Ecuaciones e inecuaciones con valorabsolut o..........Ecuaciones con valorabsolut o.....................................Inecuaciones con valorabsolut o..................................CAPITULO 3:FUNCIONES.......................................INTRODUCCIN.........................................................OBJ ETIVOS..................................................................:Sist ema de coor denadas...............................................Coor denadas car t esianas.............................................Diagr ama de Venn........................................................Relaciones......................................................................Funciones.......................................................................Funciones de valorr eal................................................Las funciones segn el t ipo de r elacin.....................UNAD6Simet r a de las funciones.............................................Descr ipcin de una funcin..........................................Clasificacin de funciones............................................Funciones especiales....................................................Funciones algebr icas..................................................Funcin cuadr t ica.......................................................Funcin cbica...............................................................Funcin polinmica......................................................Funciones r acionales....................................................Funcin r adical.............................................................Funciones t r ascendent ales..........................................Funcin logar t mica......................................................Funciones t r igonomt r icas..........................................Relaciones t r igonomt r icas.........................................Funcin t r igonomt r ica...............................................Funcin seno..................................................................Funcin coseno..............................................................Funcin t angent e..........................................................Funciones hiper blicas................................................Algebr a de funciones....................................................Composicin de funciones...........................................Funciones inver sas.......................................................Funciones algebr icas inver sas..................................Funciones t r ascendent ales inver sas..........................Aplicacin de las funciones.........................................Tr igonomt r icas............................................................CAPITULO 4:Tr igonomet r a.....................................INTRODUCCIN.........................................................OBJ ETIVOS................................................................... ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA7Ident idades t r igonomt r icas.......................................Ident idades bsicas......................................................Ident idades de suma y difer encia..............................Ident idades de ngulo doble.......................................Ident idades de ngulo mit ad......................................Ident idades pr oduct o-suma........................................Ident idades de suma- pr oduct o..................................Demost r acin de ident idades t r igomot r icas...........Ecuaciones t r igonomt r icas........................................Anlisis de t r ingulos no - r ect ngulos.....................Teor ema de coseno.......................................................Tr ingulos no r ect ngulos, pr oblemas deaplicacin.......................................................................Hiper nomet r a..............................................................Ident idades hiper blicas.............................................AUTOEVALUACIN UNIDAD 1..............................UNIDAD 2:GEOMETRA ANALTICA...................INTRODUCCIN.........................................................OBJ ETIVOS..................................................................MAPA CONCEPTUAL................................................CAPTULO 1:LA RECTA..........................................INTRODUCCIN.........................................................Dist ancia Euclidiana....................................................La r ect a...........................................................................Ecuacin de la r ect a.....................................................UNAD8La pendient e.................................................................El int er cept o.................................................................Rect as par alelas............................................................Rect as per pendicular es................................................CAPTULO 2:LAS CNICAS....................................INTRODUCCIN..........................................................Cir cunfer encia...............................................................La elipse.........................................................................Ecuacin cannica con focos en y................................Excent r icidad.................................................................Par bola..........................................................................Hipr bolas......................................................................Asnt ot as........................................................................Tr aslacin de ejes..........................................................Cir cunfer encia...............................................................Elipse..............................................................................Par bola..........................................................................Hipr bola.......................................................................Ecuacin gener al de segundo gr ado...........................Cir cunfer encia...............................................................Elipse..............................................................................Hipr bola.......................................................................Aplicacin de la geomet r a analt ica..........................UNIDAD 3:SUMATORIA Y PRODUCTORIAS.......INTRODUCCIN..........................................................OBJ ETIVOS..................................................................MAPA CONCEPTUAL................................................. ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA9CAPITULO 1:LAS SUMATORIAS............................INTRODUCCIN..........................................................Denot acin de sumat or ias............................................Teor emas........................................................................Pr opiedades...................................................................Oper aciones de sumat or ias.........................................La media ar it mt ica......................................................Dobles sumat or ias.........................................................CAPITULO 2:PRODUCTORIAS...............................INTRODUCCIN..........................................................La pr oduct or ia................................................................Clculo de pr oduct or ias...............................................Pr opiedades de pr oduct or ias......................................Ejer cicios diver sos........................................................Fact or ial.........................................................................AUTOEVALUACIN UNIDAD 3...............................INFORMACIONES DE RETORNO...........................BIBLIOGRAFIA............................................................ ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA11st imadosest udiant esbienvenidos,alcur sodelgebr ayTr igonomet r a y Geomet r a Analt ica.La mat emt ica comociencia a t ravs de su hist oria ha buscado fundament os slidosque gar ant icen su validez absolut a y univer sal, dando as sugr anfor ma de serexact a y r igur osa, est o hace que pr esent ediversasramas,desdelaarit mt ica,pasandoporellgebra,geomet r a;hast at emt icasavanzadascomolat eor adeconjunt os, geomet r a difer encial y ot r os.Todo est o t iene comofinalidaddar lasociedadunaher r amient afor malqueleper mit e demost r arlo que est bien y lo que est mal.Enest eordendeideaselcursoquesepresent aaqu,t ienediver sast emt icasquedeunauot r afor mahacenpar t edeest agr anher r amient afor mal.Last emt icaspr esent adassondeint er spa r a est udia nt esdecua lquier pr ogr a maunviersit ario, est n desarrolladas en un lenguaje sencillo; perocon gr an r igormat emt ico, ya que el pr opsit o fundsament alesdesar r ollar enlosest udiant esconocimient osslidosenlgebr a, t r igonomet r a y geomet r a analt ica.En curso est desarrollado en t res unidades a saber:La u n i da du n o, con t empl a l or efer en t ea l l gebr a yTr igonomet r a,allsepr esent an,lospr incipios,t eor as,pr opi eda des , l eyes ya pl i ca ci on es del a s ecu a ci on es ,EINTRODUCCINUNAD12in ecu a cion es yfu n cion es .Ta mbin lor efer en t ea lat r igonomet r a analt ica.Par a desar r ollarest os conocimient oses per t inent e act ivarlos conocimient os pr evios en ar it mt ica,lgebraygeomet raplanayespacial;locualseofreceenelcurso de mat emt icas bsicas, el cual se debe consult ar cuandoas se requiera.Launidaddos,hacer efer enciaalageomet r aanalt ica,endonde se analizar lo referent e a la rect a, circunferencia, elipse,parbola e hiprbola, haciendo nfasis a los parmetros, grfica,ecuacincannicayecuacingener aldelasmismas.Nosepuedepasarporalt oelanlisisdelaecuacingeneraldesegundogr adoysur elacinconlasfigur asgeomt r icasanalizadas.Finalment eset r abajanalgunasdelasmuchasaplicaciones que t iene la geomet ra analt ica.La t ercera unidad, t rabaja sobre las sumat orias y product orias,t emt icasapar ent ement enuevas,per osuimpor t anciaeselcont ext o mat emt ico, mot iva a t rabajarlas en forma det allada.Est os t emas son insumos mat emt icos import ant es para podera bor da r t ema sdema t em t ica sm sva nza doscomola spr ogr esiones, int egr ales, sucesiones, ent r e ot r os.Pa r a u n a bu en a compr en sin ein t er ior iza cin delosconocimient os,sedebehacerunbuenusodelamet odologaquelaUNADproponeensumodeloacadmico-pedaggico,donde desde el estudio independiente hasta el de grupo de curso,son fundament ales en el t rabajo aut nomo del est udiant e; lagua didct ica como la car t a de navegacin del cur so, per mit eque el est udiant e dinamice su proceso de aprendizaje.Los ejemplos modelos ilust ran el t ema, los ejercicios propuest osmot ivanlapr ofundizacindelmismo;adems,dequesepresent asurespuest aparacorrobarqueelprocedimient oesadecuado.Cada unidad t iene la aut oevaluacin, que permit eal est udiant e hacer un seguimient o de su proceso acadmico. ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA13Par a apr ender , mat emt icas, se r equier e fundament alment equer er hacer lo,t ener algodeper spicacia,sent idolgicoymuchas ganas de enfr ent ar se a ms y ms r et os.Animo y xit os en est a gran avent ura, que ojal sea agradablea ust ed, est imado lect or .El autorUNAD14 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA15UNAD16 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA17l lgebr a y la Tr igonomet r a son r eas dent r o del a ciencia dela sma t em t ica squ ebu sca desa r r olla r lospr in cipiosfundament alesnecesariospararesolverproblemasent odoslos campos del saber .Enest aunidadset r at ar nlospr incipios,pr opiedades,definiciones y aplicaciones del lgebra y la t rigonomet ra.Cadat emt icasedesr r ollar enfor mamet dica,ilust r at ivaydidct ica, con el propst io de que los est udiant es act iven susconocimient ospr evios,queexplor enydesar r ollennuevosconocimient os,det alfor maquelospuedancompr ender eint er ior ir zarpar aut ilizar los cuando sea necesar io.La part e correspondient e de lgebra cont empla las ecuacioneseinecuacionesent odosloscont ext os,lasfunciones,suscar act er st icas, su definicin segn el t ipo de r elacin y segnel t ipo de expresin que la represent a.Se hace nfasis en lascaract erst icas de cada una, sus parmet ros y sus aplicaciones.Dent r odelat r igonomet r a;adems,delanlisisdelasfuncionest r igonomt r icassedesar r ollar lat r igonomet r aanalt ica, especialment e lo referent e a ident idades y ecuacionest r igonomt r icas.Conmuchoent usiasmoyexcelent et r abajo,seconsignanbuenos result ados sobre lgebra y t rigonomet ra.EINTRODUCCINUNAD18 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA19Mapa conceptual Ecuaciones einecuaciones convalor absolutoAlgebra yTrigonometraEcuaciones Inecuaciones Funciones Trigonometra Tipos Segn grado Segn nmero variablesPrimeroSegundoTerceroUna variableDos variablesTres variables Mtodos de resolucin Aplicaciones Tipos Lineal Cuadrtica Tcnicas desolucin AplicacionesPrincipiosparmetrosClasificacin Algebricas Trascendentales EspecialesLinealCuadrticaCbicaRadicalPolinmicaRacionalExponencialLogartmicaTrigonomtricaHiperblicasValor absolutoparte etneradefinida portramosAlgebra funcionesinversa funcionesTransformacionesde funciones Aplicaciones funciones Identidades Ecuaciones Identidades bsicas Principios de ecuacionestrigonomtricas Resolucin ecuacionestrigonomtricasDemostracin funcionesUNAD20 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA21OBJETIVOSGeneral. Que la comunidad est udiant il de la UNAD, r econozca los pr incipios y t eor asdel lgebra, t rigonomet ra y geomet ra analt ica, profundice las part icularidadesde cada t emt ica y finalment e pueda aplicar dichos principios en las diferent esreas del saber.Especficos. Que los est udiant es decriban clarament e los ecuaciones e inecuaciones, a t ravsdel est udio t erico y el anlisis de casos modelo, para que puedan ser ut ilizadoscomo her r amient a mat emt ica en difer ent es cont ext os.. Quelosest udiant esident ifiquenclar ament elasfunciones,suspr incipios,mediant eelet udioadecuadoyeldesglosamient odelasclasesdefunciones,que facilit e su post er iorut ilizacin en las sit uaciones que se r equier an.. Que los est udiant es descr iban clar ament e sus sumat or ias y pr oduct or ias, pormedio de un t rabajo especfico de st os t emas, para poder post eriorment e asumirt emas ms avanzados como las sucesiones y ser ies.. Que los est udfiant es r esuelvan pr oblemas modelos que involucr en ecuaciones,inecuaciones, funciones, t r igonomet r a,sumat or ias y pr oduct or ias, ut ilizandolos conocimient os adquir idos en cada t emt ica.. Quelosest udiant esplant eenyresuelvanejerciciosdediferent escamposdelsaber , aplicando los conocimient os desar r ollados en st e cur so acadmico y ascont r ibuir enlasolucindepr oblemasenlasr easdecienciasnat ur ales,ingenier a, administ r acin, ciencias sociales, ciencias agr ar ias y ot r os.UNAD22 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA23Lasecuacionessondesumaimpor t anciaenlasmat emt icasyot r asciencias,desdelosbabilonios,pasandopor losegipciosylosgr iegos,,...hast anuest r apoca,lasecuacioneshansidoelpandecadadapar ar esolver pr oblemasdondeser equier esaber elvalor deunaincgnit a.La secua cionessonigua lda des,queseha cenver da der a spa r a va lor esespecficos,por ejemplosi: 9 5 x 2 + ;paraqueest aigualdadseaverdadera,elvalordexdebeser2ynoot ro.Resolver una ecuacin es hallar el valor o los valores de la incgnit a que haganver da der a dicha igua lda d.Asuvezla ssolucionespuedenser r ea lesoimaginar ias;segnelcaso,por ejemplo: 0 4 x2 ,xpuedet omarlosvalores2 y 2 , per o si x , 0 4 x2 +t oma valor esi 2 y i 2 .Siendo i el smbolode Imaginar io.(Recor demos los nmer os imaginar ios del cur so de mat emt icasbsica).Exist endiferent esclasesdeecuaciones,segnelgr adodelpolinomioqueladescr ibe,segnelnmer odevar iables,segnloscoeficient es.Segn el gr ado exist en ecuaciones de pr imergr ado, segundo gr ado, et c.Segn elnmer o de var iables; ecuaciones de una var iable, ecuciones de dos var iables, et c.Segn los coeficient es, ecuaciones de coeficient es ent eros, de coeficient es racionales,coeficient es r eales, et c.Par a r esolverecuaciones, se ut iliza los pr incipios de oper aciones opuest as, ya quecuando a una ecuacin se le suma y rest a la misma cant idad a uno de sus t rminos,ECUACIONESI n t r od u cci nUNAD24Est a no se alt er a, igual si se mult iplica y divide uno de sus t r minos.Ot r a for maes sumaro r est ara los dos t r minos de la ecuacin la misma cant idad, est e no sealt era.En general, a medida que avancemos en el est udio de ecuaciones vamos adquiriendomucha dest r eza en su for ma de solucin.Objetivo general. Quelosest udiant esident ifiquenclar ament elasecuaciones,suclasificacin,su r esolucin y la for ma de plant ear la de sit uaciones descr ipt ivas.Objetivos especficos. Reconocer clar ament elasecuacionesdepr imer o,segundoymsgr ados,deuna, dos y t r es incginit as.. Resolver ecuacionesdepr imer o,segundoymsgr ados,conuna,dosyt r esincgnit as.. Solucionarpr oblemas que involucr en ecuaciones.CUACIONES DE PRIMER GRADOPar a analizarlas ecuaciones, es necesar io concept ualizaralgunos t r minos queson comunes en las ecuaciones.Con s t a n t e : sont r minosquet omanvalor esfijos.Enlgebr aseusanpor logener al las pr imer as let r as del alfabet o; a, b, c,... t odos los nmer os se consider anconst ant es,por ejemploenlaexpr esin: c bx ax2+ +:lost r minosa,b,yct r abajan como const ant es. ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA25Va r i a b l e :se consider an a los smbolos que pueden cambiar , gener alment e lasvariables se simbolizan con las lt imas let ras del alfabet o; x, y, z, w,... por ejemplo,la expr esin: k cy bx ax2 + +, xyy t r abajan como var iables.A maner a de ejer cicio, ident ifique las var iables y las const ant es en las siguient esexpr esiones:4 cz by ax0 z 7 y 5 x 42 32 3 + +Lasecuacionesdepr imer gr adosepuedenclasificar ,enunaincgnit a,dosincgnit as,t r esincgnit as,et c.,par aelcasodest ecur sot r abajar emosconecuaciones de una, dos y t r es incgnit as.Es de anot arque el t r mino incgnit aes equivalent e a variable, en el cont ext o que est amos t rabajando.Enlar esolucindeunaecuacinsepuedenaplicar laspr opiedadesdelasoperaciones definidas en el conjunt o numrico que se est considerando.Pero nosiempr e una ecuacin t iene solucin en un conjunt o numr ico dado.Si t enemos la ecuacin:3 5 x + .Est a not iene solucin en los Nat ur ales; per osit ienesolucinenlosent er os,r acionales,r eales.Laecuacin: 0 2 x2 ,Not ienesolucinenelconjunt odelosent er os(Z),peroSit ienesolucinenelconjunt odelosreales(R)paraelcasodelpresent et ext o, si no se dice ot r a cosa, la solucin o soluciones, est ar n en el conjunt o de losReales.Leyes d e u n i for mi d a d :es pert inent e recordar las leyes de uniformidad para lasuma y pr oduct o de nmer o r eales.Sea a, b, c, d nmer o r eales; t al que: a = b y c = d, ent onces:c x b c x a ) dd x b c x a ) cc b c a ) bd b c a ) a+ ++ +UNAD26EEst asleyessepuedenext ender alar est aydivisin,salvopar acasoscondenominador cero.Para el caso de la pot encia y raz:CUACIONES DEL PRIMER GRADO CON UNA INCGNITAest as ecuaciones son de la for ma: c b ax +, donde a, b, y c son las const ant es yxlavariable.elvalordeapuedeserent ero,racionaloreal,peronuncacero.Est udiaremos los diferent es casos.Sean las ecuaciones:0 5 3x : coeficient e es ent ero, expresin ent era052x31 :coeficient eesr acional,expr esinent er a8x 52 x 32: coeficient e es ent er o, expr esin r acionalLasecuacionesdepr imer gr adosecar act er izanpor quelaincgnit a(var iables)t ienecomoexponent elaunidad;por locual,lasolucinesnica,est osignificaquest et ipodecuacionest ienenunasolasolucin.Re s ol u ci n :laresolucindeecuaciones,hat enidodiversosaport esdesdelaa nt igueda dha st a nuest r osda s.Va mosa a na liza r a lgunosmt odosderesolucin para st e t ipo de ecuaciones.0 b 0 a ; s solo s ; 0 b a ) h2 c y z c ; 0 b y 0 a para ; b a ) gd c ) fb a ) ec cd ac c + ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA27Mtodo Egipcio:(la Regula falsa)EnalgunoslibrosEgipciosyChinos,sehaencont radounmt odopararesolverecuaciones, llamado laRe glafa lsa ofalsaposicin.Elmt odo,consist equeapart ir de la ecuacin dada, se da una solucin t ent at iva inicial y la vamos ajust andosegn la ecuacin dada.Elpr incipioconsist equedadalaecuacin:ax=b,suponemosunasolucint ent at iva 0x ,r eemplazndolaenlaecuacin: 0 0b x a ,comonosecumpleest asolucin,sehaceelajust eas:, xbbx001 lacualesunasolucindelaecuacinor iginal,yaque:b xbba0011]1

Resolverla ecuacin: 124xx +Sol u ci n : proponemos12444 : luego , 4 x + , se debe demost rar!5 = 12, lo cual no es cier t o, luego hacemos el ajust e:5484 x512: Ahora .512x que es la solucin.Comprobmoslo:1222412202401220485481245 / 48548 + +.Lo cual es verdadero. Ejemplo 2Resolverla ecuacin:85xx 2 +Ejemplo 1uUNAD28Sol u ci n : solucin t ent at iva inicial5 x0 , r eemplazamos:( ) 8 1 5 2 +11=8locualnoescier t o,luegohacemoselajust e:118x0 ypr ocedemosamult iplicarpor 11405118: x0 que es la solucin, ver ifiquemos:. verdadero es cual lo 85544085540 4008554011808511 / 4011402+ + + ,_

Est emt odoapesar deser muyr udiment ar io,esmuyefect ivoenmuchoscasos, para est e t ipo de ecuaciones.u Mtodo axiomticoEs el mt odo ut ilizado act ualment e, el cual ut iliza las propiedades algebricas ylasleyesdeuniformidad;yaest udiadas,t odoest oderivadodelosAxiomasdecampo.Toda ecuacin de primer grado se puede escribir de la forma:c b ax +, endonde a, b, c son cosnt ant es y0 a .Veamoselcasoendonde: c b ax +,sisumamos( ) b aambosladosdelaecuacin (ley unifor midad de suma t enemos:( ) ( ) b ax b 0 b b ax + + + .Luegomult ipliquemosa a mbosla dospor ( ) a 1 , t enemos:( ) ,_

a1b axa1nosr esult a: abx Ejemplo 1Hallarla solucin de la ecuacin: 9 x 2 x 6 + Sol u ci n :comoest amosaplicandoelmt odoaxiomt ico,ent onces:sumanos( ) x 2 aambosladosdelaecuacin:( ) ( ) 9 x 2 x 2 x 2 x 6 + + + noresult a: ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA29( ) 6 sumamos Ahora . 9 x 3 6 9 x 2 x 6 a l os l a dos del aecuacin: ( ) ( ) 3 x 3 : obteniendo 6 9 x 3 6 6 + + .Ahora mult iplicamos por

,_

31 los miembr os de la ecuacin:( ) ( ) 1 x : result a nos 331x 331 Sol u ci n :lapr egunt aser acmocor r obor amosque1 x ,eslasolucin?La respuest a es, sust it uyendo la solucin en la ecuacin original, debemos obt eneruna igualdad ver dader a, veamos:( ) ( ) 7 7 9 1 2 1 6 + ver dader o!Asquedacompr obadoque 1 x eslasolucinUNICA,par alaecuacinpr opuest a.NOTA:Espert inent equeseanaliceporquelasoperacionespropuest asenlaresolucindelproblema,(subrayadoconnegro)conelfindeent enderlalgicadel mt odo.Ejemplo 2Resolverla ecuacin:212 xx+Sol u ci n : recordemos por las leyes de uniformidad quec x b d x adcba , loaplicamos al ejercicio propuest o:( ) 2 x x 2 2 x 1 x 2212 xx+ + +.Sumamos( ) x alosdosladosdelaecuacin: ( ) ( ) 2 x : obtenemos ; 2 2 x x x 2 + + + , que es la solucin.Ejemplo 3Hallarel valorde la incgnit a que sat isfaga la ecuacin:4 t 28 t 31 t 47 t 6++UNAD30Sol u ci n : aplicamos la ley de equivalencia de fracciones:( )( ) ( )( )( )( )( ). ecuacin la de solucin , t3920: obtenemos ; t 39391391x 20; 39 / 1 por mos mult iplica , t 39 20obtenemos , 8 8 t 39 8 28: ecuacin la de lados ambos a 8 sumamos : 8 t 39 28: obtenemos ; 8 t 10 t 29 28 t 10 t 10: ecuacin la a t 10 sumamos ; 8 t 29t 12 t 12t 12 t 12: mos mult iplica ; 1 t 4 8 t 3 4 t 2 7 t 628 t 10: obt enemos , 8 t 292t 12228 t 102t 122lados a mbos a2t 12 sumamos , 8 t 29228 t 102 ,_

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+ ,_

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+ + + + + Ejemplo 4Resolver:( ) ( ) 3 x 4 6 x 2 8 Sol u ci n : si obser vamos lo ms obvio es hacerla mut iplicacin, par a iniciarlasolucin, ent onces:( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) . ecuacin la de solucin 3 x 36121x 12121121por mos mult iplica , 36 x 12 : luego ; 36 x 4 x 16: obtenemos ; 36 x 4 x 4 x 4 x 16x 4 sumamos , 36 x 4 x 16 48 12 x 4 48 48 x 1648 sumamos ; 12 x 4 48 x 16 3 x 4 6 x 2 8 + + + + + + Demuest r e que la ecuacin:1 x321 xx 3 + no t iene solucin .Ejemplo 5 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA31EDe mos t r a ci n :par a dejarla ecuacin ent er a mult iplicamos t odo por ( ) 1 x ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) . solucin la sera 1 x 551x 5515 / 1 por os dim divi ; 5 x 5 2 3 2 2 x 52 sumamos , 3 2 x 5 3 2 x 2 x 3: obt enemos , 1 x1 x31 x 2 1 x1 xx 3 + + + + Per ox=1,NOhacepar t edelosvalor esquepuedet omar lavar iable,yaquecuando x =1, la ecuacin se hace indet er minada, porlo cual, la ecuacin dada not iene solucin.Reflexin:en t odos los ejemplos propuest os, la solucin se resumen en despejarla incgnit a (variable).Generalizando precisament e a est o es que se cent rar lasolucin de ecuaciones, a despejar la incgnit a, lo cual se hace ut ilizando principios,leyes y axiomas mat emt icas.(Verejer ci ci os ecu a ci on es d e p r i mergr a d o, p gi n a36 CUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCGNITASEn st e apart e analizaremos dos casos, el primero es cuando se t iene una ecuacinde primer grado con dos incgnit as y el segundo es cuando se t ienen dos ecuacionescon dos incgnit as.Ecu a ci on e s Di of n t i ca s:Diofant o de Alejandra, del Siglo III de nuest ra era,desarroll unas ecuaciones que t rabajan sobre el conjunt o de los ent eros y son depr imer gr adocondosincgnit as,enhonor asunombr eseconocencomoecu a ci on es d i of n t i ca s.Lafor magener ales: c by a x + ,dondea,bycsonconst ant esyent er os;adems, 0 b 0 a .UNAD32Cuando a, b y c son ent er os posit ivos, la ecuacin t iene solucin ent er a, si y solos,elmximocomndivisordeaybdivideac.Est et ipodeecuacionespuedet ener infinit assolucionesonot ener solucin.Ent onceslasolucinconsist eenhallar ecuacionesgener ador as(par amt r icas)delpar ( ) y , x quesat isfaganlaecuacin propuest a.Par a la ecuacin:8 y 3 x 2 + , cul ser el par ( ) y , xque sat isface dicha ecuacin.Solu ci n :por simple inspeccin vemos que2 y y 1 x , satisfacen la igualdad() ( ) 8 2 3 1 2 +La s ol u ci n : ( ) ( ) 2 , 1 y , x , per opodemos en con t r a r m s s ol u ci on es porejemplo: ( ) ( ) 0 , 4 y , x t ambinessolucin.Ot r as soluciones ( ) ( ) ( ) ( ),... 6 , 5 y , x ; 4 , 2 y , x como definimos al pr incipio, hayinfinit assoluciones;par aest aecuacin.Solu ci ngen er a l d e ecu a ci on es Di of n t i ca s (mt od o p a r a mt r i co)Par aest et ipodeecuaciones,lasolucinesbuscar ecuacionespar axyyconunpar met r o,gener alment eselellamat ,llamadasolucingener al.Ejemplo 1 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA33El procedimient o para hallar est a solucin no es fcil, solo deseamos que se conoz-caqueapar t ir deunasolucingener al,sepuedenhallar solucionesespecficaspar a la ecuacin dada.Los cur ioso pueden invest igaren libr os de mat emt icasdiscret as o en t emas de ecuaciones diofnt icas, para que profundicen en el t ema.A par t irde la ecuacin: 8 y 3 x 2 + , hallarsoluciones par t icular es a par t irde lasolucin gener al.Sol u ci n :por algor it mocomput acional,lasolucingener ales:t 2 8 yt 3 8 x + Apar t ir deest aspodemoshallar solucionespar t icular es:par at =2,ent onces:( )( ) 4 4 8 2 2 8 y2 6 8 2 3 8 x + + solucinpar t icular ( ) ( ) 4 , 2 y x par at =4.Ent onces:( )( ) 0 8 8 4 2 8 y4 12 8 4 3 8 x + + solucinpar t icular ( ) ( ) 0 , 4 y x As sucesivament e par a cualquiertent er o.Hallarsoluciones par t icular es par a t= 5 y T = 8, par a la ecuacin:50 y 4 x 3 + .Sol u ci n :de nuevo poralgor it mo comput acional, la solucin gener al es:Ejemplo 2Ejemplo 3UNAD34( )( )( ) ( ) 35 , 30 y , x : Solucin35 15 50 5 3 50 y30 20 50 5 4 50 xent onces , 5 t parat 3 50 yt 4 50 x + + + Par a t= 8.Del amisma maner a:( )( )( ) ( ) 26 , 18 y , x : Solucin26 24 50 8 3 50 y18 32 50 8 4 50 x + + Solu cingen er a l d e ecu a icon es Diof n t ica s (mt od o d esp eje):cmo hallarlas ecuaciones par amt r icas par a xyy,no es t ar ea fcil, un mt odo par a hallarsoluciones part iculares a part ir de una solucin general, es despejando una de lasva r i a bl es del a ecu a ci n yobt en er ot r a ecu a ci n don des eobt i en e( ) ( ) y f x o x f y ; es decir , y en funcin de x x en funcin de y.Par alaecuacin c by a x + .Sidespejamosyobt enemos:( ) x f y dondebax cy .Luegodandounvaloraxobt enemoselvalordey,yaslasolucin ( ) y , x .Per osidespejamosx,obt enemos:( ) y f x dondeaby cx .Aqu damos valor es ay par a obt enerx.Hallarpar a 2 x , la solucin de la ecuacin8 y 3 x 2 + .Solucin:despejamos y; luego( )( )432 2 8y : ent onces , 2 x os reemplazam3x 2 8y Sol u ci n : ( ) ( ) 4 , 2 y , x Est eresult adocoincideconeldadoparalamismaecuacinenelejemplo2,delmt odoant er ior .Ejemplo 1 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA35Par alaecuacin:14 y 3 x + .Hallar solucionespar a:a x = 2b. y = 5Sol u ci n :a. Despejamos( ) ( ) 4 , 2 y , x : Solucin432 14y 2 x como3x 14y b. Despejamos( )( ) ( ) 5 , 1 y , x : Solucin1 5 3 14 x y 3 14 x u Dos ecuaciones simultneas con dos incgnitasUn sist ema de dos ecuaciones con dos incgnit as son de la forma.2 2 21 1 1c y b x ac y b x a + +Donde 2 1 2 1 2 1c , c , b , b , a , a sonconst ant es;adems0 b 0 a ; 0 b 0 a2 2 .Resolver un sist ema de est e t ipo es hallar los valores 0 0y y x quesat isfagansimult neament elasdosecuaciones.Si s t e macon s i s t e n t e : unsist emadeecuacionesesconsist ent e,cuandot ienealmenosunasolucin.Par aelcasoquenosocupa,unvalor par axyunvalorpar a y.Ejemplo 2UNAD361.2. 14 x : Rt a 3. 20 x : Rt a 4. 2 x : Rt a 5. 6 x : Rt a 6. 4 x : Rt a 7. 6 y : Rt a 8. 1 x : Rt a 9. 0 y : Rt a 10.Cunt o debe valer en la expresin 5 y 3 3 y 3 par a que se cumpla laigualdad57x : Rt a EJERCICIOS:ECUACIONES DEPRIMER GRADOResolverlas siguient es ecuaciones:( )( )( )( )06 y 368 a y8x 2x9xx622y43 y 241 yx 732 x52 x 5 x105 x32 x221 x 7 x 62x21x4x61 x436 x211 x 2 x 2 3 + ++ + ++++ + ++ 35: Rt a ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA37Si s t e mai n cos i s t e n t e : cuando el sist ema no t iene solucin alguna, se dice quees inconsist ent e.Est o ocurre en casos donde la propuest a de equivalencia no sesat isface en ningn caso.Exist en diversos mt odos de resolver sist ema de dos ecuaciones con dos incgnit as. TODO 1. GRFICOSebasaenqueenelplanodecoordenadasrect ngulares,unaecuacindelafor maax+by=c,est r epr esent adapor unar ect a,cuyospunt ossonpar ejascordenadasdenmeroreales;dondeelprimercomponent eesxylasegunday.Como t enemos dos ecuaciones, deben haber dos rect as.El punt o de cort e de lasr ect as indica la solucin del sist ema.2 1L L yson las rect as que represent an el sist ema:2 2 21 1 1c y b x ac y b x a + +Lasolucinser : ( ) y , x punt odecor t edelasr ect as.Cuandolasr ect assonpar alelas,noindicaqueelsist emanot ienesolucin ( )2 1P y P .Cuandolasr ect as coinciden, nos indica que el sist ema t iene infinit as soluciones( )2 1M y M .Hallarla solucin al sist ema:6 y x 55 y 2 x 3 MxyL1L2P1P2yxM2Ejemplo 1M1UNAD38Sol u ci n : r ecor demos que par a gr aficarunar ect a slo se requieren dos punt osPar a 5 y 2 x 3 ; damos dosva l or es a xyobt en emos y.Veamos:para: t enemos , 6 y x 5 En el ejemplo dimos ar bit r ar iament e el valorde x = 0 yy= 9, par a hallarla ot r acoordenada y as obt ener los punt os.Resolverel sist ema8 y 2 x 45 y x 2 + +Hallemos los punt os: par a5 y x 2 +xy0 2 / 55 0 ( )( ) 0 , 2 / 5 punto5 , 0 punto x yEl sist ema No t iene solucin, ya que las r ect asnospar alelas.0 3 / 52 / 5 0 ( )( ) 0 , 3 / 5 punto2 / 5 , 0 punto 5 y 2 x 3 6 y x 5 xy0 5 / 66 0 ( )( ) 0 , 5 / 6 punto6 , 0 punto xEjemplo 1xySol u ci n : x = 1; y =-1 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA39Mupara8 y 2 x 4 +Este mtodo tiene el inconveniente que la solucin no se puede ver exactamente, ya quepor visual las coordenadas del punto de corte no son valores exactos; es una aproximacin.TODO 2.ELIMINACINEs un mt odo algebrico donde se elimina una variable, para hallar el valor de laot r a var iable.Es el ms ut ilizado y se divide en t r es t cnicas.Reduccin, Igua-lacin y Sust it ucin. ReduccinDadounsist emadedosecuacionescondosincgnit as,lareduccinconsist eenigualar coeficient es de una de las variables;pero con signo cont rario, para poderr educir elsist emaaunasolavar iableyasr esolver lacomoecuacindepr imergr ado con una incgnit a.Obt enidoelvalordelavariabledespejada,st asereemplazaenunadelasecuacionesor iginales,par ahallar elvalor delaot r avar iable.Resolver elsist emaSol u ci n :or ganizamoselsist emasegnlasvar iablesyoper amost r minossemejant es:4 y 24 y x0 y x + + 0 24 0( )( ) 0 , 2 punto4 , 0 puntoxyEjemplo 14 y x0 x y + UNAD40La nueva ecuacin permit e despejar y; como 2y=4, aplicando el mt odo axiomt ico;ent onces:2 y242y 2 como y es igual a 2, r eemplazamos st e valoren una de las ecuaciones or iginales,por ejemplo en la primera: ( ) 2 x 2 x : x despejamos ; 0 2 x + Luego la solucin es: 2 y2 xEst asolucindebesat isfacerlasdosecuacionessimult neament e.En el ejemplo 1, vemos que fue fcil reducir a y, eliminando x, ya que st a variablet ena el mismo coeficient e y signos cont r ar ios, per o no siempr e es as, en muchoscasos es necesario ajust ar st a sit uacin, mult iplicando las ecuaciones por valoresqueper mit enobt ener coeficient esigualesconsignoscont r ar iosenlavar iableaeliminar .Resolver5 y 2 x 34 y x Sol u ci n :pr imer o elegimos la var iable a eliminar , cuando es posible, se buscaaquella que t enga signos cont rarios.Cuando no es posible as, ent onces elegimoslaquedeseemos.Par at ecasoelegimosx.Luegopar aeliminar x,lapr imer aecuacin debe t ener coeficient e 3 en la variable x y la segunda puede queda igual,veamos:Oper ando el lt imo sist ema obt enemos: 17 y Sabiendo el valor de y, lo reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones originales,par a hallarel valorde la ot r a ecuacin, veamos.Ejemplo 2 5 y 2 x 312 y 3 x 3 + ( ) ( )( ) () 1 5 y 2 x 33 4 y x ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA41( )13 x3393x 3: x despejamos , 39 x 3Luego . 34 5 x 3 5 34 x 3 5 17 2 x 3 + Vemosquelasolucines:

17 y13 x Laver i fi ca ci nconsist e en r eemplazarla solucin en las ecuaciones or iginalesy demost rar que se cumple la igualdad.Hallar el valor de las variables para el sist ema:3 x 6 x 28 y 9 x 4 +Sol u ci n :como vemos, se puede eliminary, ya que t iene signos cont r ar ios, slofalt aigualar coeficient es,loqueseconsiguemult iplicandolapr imer aecuacinpor2 y la segunda por3.Veamos.( ) ( )( ) ( ) 9 y 18 x 6 3 x 3 x 6 x 216 y 18 x 8 2 x 8 y 9 x 4 + +Aspodemoseliminary,obt eniendo: 2 / 1 x luego , 7 x 14 Ahor ahallamoselvalor dey,r eemplazandox=1/2,encualquier adelasecuacionesor iginales,luegoseleccionamoslapr imer a:( )32y Luego .1812y 12 y 18: te consiguien por , 12 4 16 y 18 16 y 18 2 / 1 8 +Solucin :3 / 2 y2 / 1 x Ejemplo 3UNAD42uVer ificacin, r eemplazamos la solucin en las ecuaciones or iginales:( ) ( )( ) ( ) verdadero : 3 4 1 3 3 / 2 6 2 / 1 2verdadero : 8 6 2 8 3 / 2 9 2 / 1 4 + +como las igualdades son ver dader as, nos indica que la solucin es cor r ect a.IgualacinConsist e en despejar la misma variable en las dos ecuaciones dadas, luego igularlas expresiones obt enidas en los dos despejes, para queut ilizandoher r amient asmat emt icas, se obt enga el valorde la var iable en la ecuacin de una incgnit aobt enida.Resolver el sist ema:4 y x8 y x +Sol u ci n : despejamos x en las dos ecuaciones para facilit ar denominados 1 y 2 als ecuaciones:2y 4242y21y 81 1 1x xx 8 y x+ +Ahor a igualamos:. 224y : Luego: y Despejamos . 4 y 2 8 4 y 2 : luego , y 4 y 8: ent onces ,2y1y como ,2y 41y 82 1x x + + Comosabemoselvalordey,lareemplazamosencualqueiradelasecuacionesor iginales:( ) 6 x 2 8 x 8 2 x 8 y x + +Ejemplo 1 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA43Sol u ci n :2 y6 xVe r i fi ca ci n :por ser t an sencilla, por favor est imado est udiant e hacerla.Hallarla solucin del sist ema:819y32x43107y61x52 Sol u ci n :r ecor demosquedebemosdespejar lamismavar iableenlasdosecuaciones, elijamos x, per o ant es conver t imos los coeficient es a ent er os par a lapr imer a ecuacin:( )37 y 5 x 12107 30y 5 x 1210730y 5 x 12107y61x52 par a la segunda ecuacin:257y 8 x 9819 x 12y 8 x 981912y 8 x 9819y32x43 Ahora s despejamos x en las dos ecuaciones:1857 y 8x257y 8 x 9257y 8 x 91237 y 5x y 5 37 x 12 37 y 5 x 12+ + + + Luego igualamos las dos var iables:( ) ( )57 y 8237 y 5 357 y 81237 y 5 181857 y 81237 y 5+ + + +++Ejemplo 2UNAD44uLuego:( ) ( )3 y 3 y 111 114 y 16 y 15: ndo reorganiza , 114 y 16 111 y 15 57 y 8 2 37 y 5 3 + + + +como ya sabemos el valor de y, lo reemplazamos en cualquiera de las dos ecuacionesor iginales, t omemos la segunda:( ) ( )2 / 1 x3 x 83 x 4x83x43: luego , 2819x438192 x43819332x43 + Sol u ci n :3 y2 / 1 x Ve r i fi ca ci n :se debe verificar la solucin obt enida.SustitucinSit enemosunsist emadedosecuacionescondosincgnit as,loquesehaceesdespejar una de las incgnit as en cualquiera de las dos ecuaciones y reemplzar laequivalenciadelaincgnit aenlaot r aecuacin.Dichodeot r amaner a,sidespejamos la incgnit a en la pr imer a ecuacin, la r eemplazamos en la segundaecuacin o vicever sa.Con est o obt enemos una ecuacin de pr imergr ado con unaincgnit a, que ya sabemos r esolver .Hallarla solucin al sist ema:5 y 2 x 34 y x Ejemplo 1 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA45Sol u ci n :como lo dice la t eora, despejamos una variable en cualquiera de lasecuaciones, par a est e caso despejamos x en la pr imer a ecuacin:4 y x 4 y x Luego est e valorde x, lo r eemplazamos en la segunda ecuacin; ent onces:( ) 5 y 2 4 y 3 obt enemos una ecuacin con una incgnit a, que ya sabemos r esolver :7 y 12 5 y 5 y 2 12 y 3 + como ya sabemos el valor de y, lo reemplazamos en una de las ecuaciones originales,t omemos la segunda ecuacin.( ) 3 x 9 x 3 14 5 x 3 5 7 2 x 3 + Luego la solucin es:7 y3 xResolver el sist ema:3 y 2 x 41 y x 2 + +Sol u ci n : despejamos y en la segunda ecuacin, luego:2x 4 3y x 4 3 y 2 3 y 2 x 4 +Reemplazamos y en la pr imer a ecuacin:verdadero es No 12312x 4 3 x 4: mos simplifica y operamos 12x 4 3x 2 + ,_

+Luego el sist ema No t iene solucin.Ejemplo 2UNAD46Hallarla solucin del sist ema:13y 55x 623y 55x 3 +Sol u ci n : pr imer o conver t imos las ecuaciones a coeficient es ent er os:30 y 25 x 9 215y 25 x 923y 55x 3 + + +para la ecuacin dos es lo mismo.15 y 25 x 18 115y 25 x 1813y 55x 6 ya t enemos las dos ecuaciones ent onces:15 y 25 x 1830 y 25 x 9 +Despejamos x en la pr imer a ecuacin y la r eemplazamos en la segunda.53y7545y 45 y 75 60 15 y 7515 y 25 y 50 60 15 y 25925 3018: Luego .9y 25 30x 30 y 25 x 9 ,_

+parahallarelvalordelaot ravariable;oseax,reemplazamoselvalordeyencualquier a de las ecuaciones or iginales.Ejemplo 3 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA47MTomemos la segunda ecuacin:( )3 / 5 x610x 10 x 6 25x 61 15x 6135 / 3 55x 613y 55x 6 Sol u ci n :5 / 3 y3 / 5 xVer ificacin:no olvidemos hacerla ver ificacin.Ob s e r va ci n :las t cnicas de eliminacin se difer encian en hallarel valorde lapr imer aincgnit a,lasegundapar t edelpr ocesoESSIMILAR;esdecir ,par ahallar elvalor delasegundaincgnit aelpr ocedimient oessimilar enlast r est cnicas.TODO TRES.POR DETERMINANTESPar aest emt odo,pr imer or ecor demosalgunosconcept ossobr edet er minant es.Unadet er minant e,esunar r eglor ect angular defilasycolumnas,dondeloselement os,sonlosvaloresdelascoeficient esdelasecuacionesqueformanelsist ema. 2y21y1xxColumna Fila2 x 2Elt amaodeldet erminant elodaelnmerodelasfilas y columnas,As hay det er minant es de 2 x 2, 3 x3, 4 x 4, et c.Las filas son hor izont ales y las columnasson las ver t icales.UNAD48Resolver undet er minant e,eshallar elvalor delmismo,segnelt amao,lafor ma de r esolucin es muy par t icular .Det er min a n t e d e 2 x 2: par a r esolverun det er minant e de 2 x 2, la solucin escomo se indicaa cont inuacin.1 2 2 12 21 1y x y x Dy xy x Donde D es el valor del det erminant e.Ecuaciones por determinantesPar a sist emas de dos ecuaciones con dos incgnit as, se ut ilizan det er minant es de2x2.Kr amer pr opusounat cnicapar ar esolver unsist emadedosecuacionescondosincgnit as,ut ilizandodet er minant es,ensuhonor selellamar egladeKr amer .Reglad e Kr a mer :sea el sist emac y b x ac y b x a2 2 2 21 1 1 1 1 + +Sol u ci n : seor ganizanlosdet er minant espar acadaincgnit adelasiguient emaner a:2 21 12 21 12 21 12 21 1b ab ac ac ayb ab ab cb cx solucin par a x solucin par a yResolver el sist ema:uEjemplo 16 y x 55 y 2 x 3 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA49Sol u ci n :or ganizamos los det er minant es.( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )17710 325 181 5 1 35 5 6 31 52 36 65 3y17710 35 122 5 1 35 1 6 21 52 36 15 2x + + + Sol u ci n :1 y1 x Est o es el mismo ejemplo 1, que est udiamos en le mt odo grfico observando quela solucin es la misma, como es obvio.Resolverel sist ema4 y 5 x 26 y 3 x 4 + Sol u ci n :aplicando la r egla de Kr amer , t enemos:( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )314426 2012 303 2 5 43 4 5 65 23 45 43 6x + ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )214286 2012 163 2 5 46 2 4 45 23 44 26 4y + Ejemplo 2UNAD50Sol u ci n :2 y3 xHallar el valor de x yy en el sist ema:6 y 4 x 78 y 4 x 7 + +Sol u ci n :erminado det In01428 2842 564 74 77 67 8x como el denominadores cer o,, las incgnit as no t ienen valor , est o nos indica queel sist ema No t iene solucin; es decir , es un sist ema inconsist ent e.De est a manera hemos aprendido los mt odos de resolver ecuaciones simult neasde dos incgnit as.(Verejer ci ci os ecu a ci on es si mu lt n ea s, p gi n a51)Tres ecuaciones simultneas contres incgnitasHabiendo est udiado lo referent es a dos ecuaciones con dos incgnit as y sus mt odosdesolucin,podemosiniciarelest udiodesist emasdet resecuacionescont resincgnit as, cuyos pr incipios son similar es.Par a el sist ema:22z2 2y2 2x21 1z1 1y121x1d c b ad c b a + + + +Ejemplo 3u33z33y3 3x3d c b a + +La solucin se har par a los mt odos de eliminacin y pordet er minant es. ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA511.2.3.4.5.6.7.Resolver los siguient es sist emas de ecuaciones por el mt odo de reduccin:18 y21x357 y32x4310 y x 36 y 2 x13 y 5 x + + +Resolver los sist emas siguient es ut ilizando eliminacin porigualacin:819y32x43107y61x523 y 2 x 32 y 4 x 2 + Resolverlos sist emas dados a cont inuacin porsust it ucin:3y4x361y1x10 6 y x 20 1 y21x + + + + 12 y ; 20 x : Rta4 y ; 2 x : Rta3 y ; 2 x : Rta 3 y ;21x : Rta43y ;21x : Rta 2 y ; 3 x : Rtajust ificar , solucin t iene no : Rta EJERCICIOS: ECUACIONESSIMULTNEASUNAD52Resolverlos siguient es sist emas pordet er minant es.1y5x42y3x252 q 4 p 1213 q p 324 8 x 331 x 2y12 y 4 x 524 y 6 x 312 y 3 x 213 y x 5 + + + + + + Ident ificar el valor de p en cada det erminant e, para quese cumpla la igualdad.134 p5 312p 34 21.2.3.4.5.6.7.511y ;722x : Rta2 y ; 5 x : Rta1 y ; 2 x : Rta2 y ; 4 x : Rta2 y ; 3 x : Rta 5 p : Rta12 p : Rta EJERCICIOS:ECUACIONES SIMULTNEAS ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA53MTODO UNO.SOLUCIN POR ELIMINACINElmt odoconsist eenqueapart irdeunsist emadet resecuacionescont resincgnit as, se r eduzca a un sist ema de dos ecuaciones con dos incgnit as, que yasabemos r esolver .Par a facilit arel pr oceso, las ecuaciones se enumer an con el finde hacer seguimient o en cada paso hast a la obt encin del valor de las variables.Resolver el sist ema:()( )( ) 3 2 z y x2 0 z y x1 4 z y x + + + +Sol u ci n : vemos que las ecuaciiones est n enumer adas.( ) 4 4 y 2 x 20 z y x4 z y x + + + +El segundo paso es eliminarla misma incgnit a de las ecuaciones 1 y 3.2 z y x4 z y x + + +como debemos eliminarz, ent onces la segunda ecuacin la mult iplicamos por-1,luego:( ) 5 2 y 22 z y x4 z y x + + +Ejemplo 1 Vemos que z se elimina fcilment e, as obt enemos unaecuacin con dos incgnit as, que la denominamos comola ecuacin 4. Al oper arobt enemos la ot r a ecuacin con dos incgnit as,la denominamos con 5.UNAD54como t enemos dos ecuaciones con dos incgnit as, el t er cerpaso es ut ilizaruno delos mt odos est udiados para resolverlos.Para est e ejemplo, vemos que la quint aecuacin solo t iene una incgnit a, lo que per mit e la solucin ms r pida, ya quesolo es despejar y.Ent onces:1 y 2 y 2 El cuart o paso es reemplazar y en la ecuacin 4, para hallar el valor de x.Ent onces:( ) 1 x 2 x 2 4 1 2 x 2 +Ellt imopasoesr eemplazar encualquier adelasecuacionesor iginaleslasvariables conocidas, para hallar la desconocida.Tomemos la ecuacin 1.Ent onces:() () 2 z luego , 2 4 z 4 z 1 1 4 z y x + + + +Sol u ci n :2 z1 y1 xElejemploseobservaext enso,peroporlaexplicacinencadapaso,conbuent rabajo, nos daremos cuent a que no es ext enso, ms bien dinmico y relat ivament ecort o.Resolver el siguient e sist ema:()( )( ) 3 6 z y 2 x2 7 z y x 21 12 z y x + + + +Ejemplo 2 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA55Sol u ci n :como v emos cada ecuacin t iene un nmer o, eliminamos y en (1) y(2),Ent onces:()( )( ) 4 19 z 2 x 32 7 z y x 21 12 z y x + + + +Ahora t omemos (2) y (3)( )( ) 3 6 z y 2 x2 7 z y x 2 + + mult iplicamos (2) por2 y (3) queda igual.( ) 5 20 z x 56 z y 2 x14 z 2 y 2 x 4 + + + Las ecuaciones (4) y (5) son de dos incgnit as, que podemos resolver por los mt odosya est udiados.Apliquemos igualacin, ent onces:( )( ) 5 20 z x 54 19 z 2 x 3 + +Eliminamos z, par a lo cual mult iplicamos (5) por(-2), luego:3 x 3721x : Luego21 x 740 z 2 x 1019 z 2 x 3 +como sabemos el valor de x, lo reemplazamos en (4) (5) para hallar z, escogemos(5), luego:UNAD56( ) 5 z 15 20 z 20 z 3 5 +Ahor a,comoconocemosxyz,lor eemplazamosencualquier adelasecuacionesor iginales, par a hallary, escogemos (2); luego:( ) 4 y 4 y 11 7 y 7 11 y 7 5 y 3 2 7 z y x 2 + + + Sol u ci n :5 z4 y3 xResolver el sist ema:()( )( ) 3 2 z 6 y 4 x 22 0 z 2 y x 31 1 z 3 y 2 x + + + Solucin: como ya sabemos la met odologa, apliquemos los pasos: t omamos (1) y(2) par a eliminary, ya que t ienen signo cont r ar io.()( )( )( ) 4 1 z x 70 z 4 y 2 x 61 z 3 y 2 x2 por 2 mos mult iplica2 0 z 2 y x 31 1 z 3 y 2 x + + + + + + Ahor a t omamos (2) y (3) par a eliminary( )( )( )( ) 5 2 z 2 x 142 z 6 y 4 x 20 z 8 y 4 x 12luego , 4 por 2 mos mult iplica3 2 z 6 y 4 x 22 0 z 2 y x 3 + + + +Ejemplo 3 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA57Eliminamos z de (4) y (5):( )( ) 5 2 z 2 x 144 1 z x 7 mult iplicamos (4) por(-2), ent onces:0 0 02 z 2 x 142 z 2 x 14 + vemos que las variables se eliminan, lo que indica que el sist ema es inconsist ent e.Condicin: No hay solucin.Not a:recordemos que el sist ema no puede t ener solucin, ya que es inconsist ent e.TODO DOS.SOLUCIN POR DETERMINANTESCuando t enemos un sist ema de 3 ecuaciones con 3 incgnit as, debemos t r abajarcon det er minant es de t er ceror den.Det erminant es de t ercer orden orden son arreglos de t amao 3 x 3.3 3 32 2 21 1 1z y xz y xz y xA Par a r esolverdet er minant es de t er ceror den hay t r es for mas:P r i me r afor ma :la llamamos pr oduct os cr uzados:[ ] [ ] b a A Donde:MUNAD58( ) ( ) ( )1 3 2 3 2 1 3 2 1z y x x z y z y x a + + ( ) ( ) ( )1 2 3 3 1 2 1 2 3x x z y z y x z y b + + Segu n d afor ma :conocido como el mt odo deSa r r u s consist eenaument arlas dos primeras filas a cont inuacin de la t ercera fila y hacer product os cruzados,veamos:[ ] [ ] ADonde:( ) ( ) ( )2 1 3 1 3 2 3 2 12 2 21 1 13 3 32 2 21 1 1z y x z y x z y xz y xz y xz y xz y xz y x + + ( ) ( ) ( )3 2 2 2 3 1 1 2 32 2 21 1 13 3 32 2 21 1 1z y x z y x z y xz y xz y xz y xz y xz y x + + Te r ce r for ma :elmt odopor c ofa c t or ,queexplicamosconlasiguient eilust r acin:3 3 32 2 21 1 1z y xz y xz y x3 3 32 2 21 1 1z y xz y xz y x ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA593y3x2y2x13z3x2z2x1y3z3y2z2y13 3 32 2 21 1 1z x Az y xz y xz y xA + Ahora, podemos resolver los det erminant es de 2 x 2, para obt ener la solucingener al.( ) ( ) ( )2y3x3y2x12z3x3z2x12z3y3z2y1z y x A + De est a manera podemos resolver det erminant es de t ercer orden:Resolver el siguient e det erminant e:a)Porpr oduct os cr uzadosb)PorSar r us3 2 24 1 31 3 2DSol u ci n :a)Porpr oduct os cr uzados( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) [ ] ( ) ( ) () ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ][ ] [ ] ( ) ( )27 D41 24 16 27 2 24 6 6 D2 4 2 3 3 3 1 1 2 2 4 3 1 2 3 3 1 2 D + + + + + + + b)PorSar r usEjemplo 1UNAD60( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) [ ] ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) [ ] 3 3 3 4 2 2 2 1 1 4 3 2 1 2 3 3 1 24 1 31 3 23 2 24 1 31 3 2D + + + + 27 D27 41 24 D Resolver el det erminant e dado por Sarrus y por cofact ores:2 4 23 2 10 3 4PSol u ci n :porSar r us:( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) [ ] ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) [ ] 2 3 1 3 4 4 0 2 2 3 3 2 0 4 1 2 2 43 2 10 3 42 4 23 2 10 3 4P + + + + 8 P42 34 P+ Porcofact or es:( ) ( )( ) ( )8 P24 32 8 3 8 4 P0 6 2 3 12 4 44 22 102 23 132 43 24 P2 4 23 2 10 3 4P + + + [ ] [ ] ( ) ( ) 41 24 27 16 2 24 6 6 + + + Ejemplo 2[ ] [ ] ( ) ( ) 42 34 6 48 0 18 0 16 + + ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA61Not a :laregladeSarrus,soloesut ilizableparadet erminant esde3x3,elmt odo de cofact ores se puede ut ilizar para det erminant es de mayor t amao.Ecu a ci on es p ord et er mi n a n t es:sabiendo cmo se resuelven det erminant esde t er ceror den, (3 x 3) ahor a vamos a analizarla solucin de 3 ecuaciones con 3incgnit as.Kr a me r propusounat cnicapararesolverest et ipodesist ema.Veamoselprocedimient o.Dado el sist ema:3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1d z c y b x ad z c y b x ad z c y b x a + + + + + +Ent onces, pr imer o definimos el det er minant es de coeficient es.0 dondec b ac b ac b a3 3 32 2 21 1 1 Ahora definimos los det erminant es para cada variable. par a x:par a y:par a z:3 3 32 2 21 1 1z3 3 32 2 21 1 1y3 3 32 2 21 1 1xd b ad b ad b ac d ac d ac d ac b dc b dc b d Finalment e, la solucin par a cada var iable:zyxz y xcomopodemosver par aqueelsist emat engasolucin,eldet er minant edecoeficient es debe ser diferent e de cero.UNAD62Ejemplo 1Resolver el sist ema dado:14 z 3 y 3 x 28 z y 2 x 35 z y x + + + + + +Sol u ci n :hallamos el det er minant e de coeficient es; y lo r esolver los.3 3 21 2 31 1 1 se puede resolver por product os curvados, por Sarrus o por cofact ores.11 5 7 33 22 313 21 313 31 2 + + Qu mt odo se ut iliz?Calculemos los det er minant es de las var iables.[ ] [ ]( ) ( )167 68 15 24 28 14 24 305 1 3 3 1 8 1 2 14 14 1 1 1 3 8 3 2 53 3 141 2 81 1 5xxx + + + + + + + + Qu mt odo se ut iliz para resolver el det erminant e x ? ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA63( ) ( )175 76 45 14 16 10 42 24yy + + + + ( ) ( ) ( )33 25 26 44 9 5 16 42 24 283 22 3514 28 3114 38 2114 3 28 2 35 1 1zzz + + + Ahora:313z111y111x Resolver el sist ema:0 z 4 y 2 x 20 y 2 x 30 z 2 y x + + + Sol u ci n :con el procedimient o descrit o, realicemos la solucin secuencialment e.( ) 3 5 3 1 14 1 2 8 1 + + ( ) ( 1 5 2 1 14 3 3 8 11 8 31 5 13 14 21 8 31 5 13 14 21 8 31 5 1y + + Ejemplo 2UNAD64P( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( )00 4 4 0 12 8 0 12 81 0 2 4 1 3 2 2 2 2 . 0 . 1 2 2 3 4 2 14 2 20 2 32 1 1 + + + + + + + + comoeldet erminant edecoeficient esescero,elsist emanot ienesolucin,esinconsist ent e,La nica solucin que se podr a t omares: x = y = z = 0.(Verejer ci ci os ecu a ci on es si mu lt n ea s, p gi n a65).ROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADOCon el est udio de ecuaciones de primer grado, ahora ent raremos a su aplicacinpor medio de la resolucin de problemas.Lo nuevo en est a part e es que a part irdel cont ext o y descripcin del problema, se debe plant ear la ecuacin o ecuaciones,par a luego r esolver las.Esper t inent et ener encuent apar ar esolver pr oblemasconecuaciones,lossi-guient es aspect os, los cuales per mit ir n obt enerr esult ados clar os y ver dader os.1) Sedebeleerbienelcont ext odelproblemahast aquequedecomplet ament eent endido.Si es necesario, leerlo las veces que se requieran para comprenderlo.2) Llevardicho pr oblema a un lenguaje mat emt ico, a t r avs de smbolos comocoeficient es, var iables, igualdades, ot r os; llamado modelacin mat emt ica.3) Si es necesario ut ilizar grficos, t ablas y ot ros; como ayuda para la ilust racindel problema.4) Realizar las operaciones necesarias, para obt ener el valor de las incgnit as.5) Ident ificarla r espuest a y hacersu r espect iva ver ificacin. ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA65EJERCICIO: ECUACIONESSIMULTNEASResolverporeliminacin los siguient es sist emas:83y 2 x 41 z y x 232z y x 310 z 2 y 2 x 34 z y x 27 z 3 y 2 x + + + + + + + Resolverlos siguient es sist emas pordet er minant es:4 z 3 y x 41 z y 2 x 33 z 2 y 3 x 20 z y x0 z 2 y 2 x0 z y x 210 z 2 y 2 x 34 z y x 27 z 3 y 2 x + + + + + + + + + + + + 6. Descr ibir explcit ament elasr eglasdeSar r usydeKr amer ;par aqusont iles est as t eor as.1.2.3.4.5.1 z ;32y ;31x : Rta1 z ; 1 y ; 2 x : Rta 211z ,2131y ,32x : Rtac , c , 0 x : Rta1 z ; 1 y ; 2 x : Rta UNAD66u Ecuaciones de primer grado con una incgnita:problemasLa t eora sobre solucin de problemas con ecuaciones, se describi ant eriorment e.Par a r esolverpr oblemas de una ecuacin con una incgnit a, es ms pedaggicoproponer ejercicios modelos, los cuales nos ilust rarn el proceso.Escribir en modelacin mat emt ica la siguient e sit uacin.El rea de un t ringuloes la mit ad del product o de la longit ud de la base y la alt ura.Solucin:seaA=r eadelt r ingulo,b=longit uddelabase,hlalongit uddelt r ingulo. Finalment e la mit ad del pr oduct o ser h . b21, luego:h . b21A Un padr e debe r epar t irsu for t una ent r e sus dos hijos, la cual es de 100.000, si alhijo mayor le corresponde x cant idad de la fort una, qu cant idad le correspondeal hijo menor ?Sol u ci n :llamemos cant idad de la her encia del hijo menory, como la del hijomayores x, ent onces:y = 100.000 - x, cant idad que le cor r esponde al hijo menor .Uncar pint er odebecor t ar unat ablede6mdelar go,ent r est r amos.Sicadat r amo debe t ener20 cm ms que el ant er iorcules ser n las longit udes de cadat ramo?Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA67Sol u ci n :Sea x la longit ud del t r amo ms cor t o, es obvio que sea as, ent onces,el segundo t r amo ser x + 20, del t er cert r amo ser x + 40.La modelacin mat emt ica ser :( ) ( ) ( ) 600 40 x 20 x x + + + +(cent met r os)oper amos:1803540x : Luego540 60 600 x 3 600 60 x 3 +El t r amo ms cor t o = 180 cmEl segundo t r amo= (180 + 20) = 200 cmE t er cert r amo= (180 + 40)= 220 cmSesabequelasumadelosngulosint er nosdeunt r inguloes180.Enunt r ingulor ect ngulounodesusnguloseselot r oaument adoen10.Culesson las medidas de los ngulos no rect ngulos de dicho t ringulo?Sol u ci n :sea x el ngulo ms pequeo, ent onces el ot ro ngulo ser:x + 10.Porla condicin de la suma de ngulos par a un t r ingulo, t enemos( ) ( ) + + + +50 10 x y 40 x: te consiguien por40 x 80 x 2 100 180 x 2x despejamos , 180 90 10 x xLos ngulos son 40 y 50En una molcula de azcar se encuent ran el doble de t omos de hidrgeno que deoxgeno.Tambin t iene un t omo ms de car bono que de oxgeno.Si la molculade azcar t iene 45 t omos, cunt os t omos de cada element o t iene dicho sist ema? xx + 20x + 40Ejemplo 4Ejemplo 5UNAD68Sol u ci n :sea x los t omos de oxgeno, luego:t omos de hidrgeno = 2xt omos de car bono= x + 1, como t odo suma 45, ent onces:( ) ( ) ( )( )12 1 x : carbono de t omos22 x 2 : hidrgeno de t omos11 : oxgeno de t omos11 x 44 x 4 45 1 x 445 1 x x 2 x + + + + +fr mula de la sust ancia:11 22 12O H CUn Ingeniero desea desarrollar un equipo hidrulico, que est compuest o por doscilindr os. El pr imercilindr o est a 120 cm del punt o de apoyo y ejer ce una fuer zade500kg-f.Elsist emadebesoport arunafuerzade1.200kg-fubicadaa90cmdel punt o de apoyo y al lado opuest o de los cilindros.En donde se debe colocar elsegundo cilindro para que ejerza una fuerza de 700 kg-f?Sol u ci n :par a que el sist ema est en equilibr io, se debe cumplir :1 1 1F de Dist ancia x 1 fuerza F al punt o de equilibrio2 2 2F de Dist ancia x 2 fuerza F al punt o de equilibrio3 3 3F de Dist ancia x 3 fuerza F alpunt odeequilibrio,pero 3F eselpesoque debe soport a 2 1F y Fcm 71 , 145 x000 . 102 x 700000 . 108 x 700 000 . 690 1200 x 700 120 500x F x F x F3 3 2 2 1 1 + + + El cilindro 2 debe colocarse a 145,71 cm del punt o de equilibrio.Ejemplo 61F2F 3F120cm 90 cmp. eq ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA69Hacer el plant eamient o del problema y resolverlos adecuadament e.1.Lasumadedosnmerosent eros,posit ivosesiguala12,unodeelloseseldoble del ot ro.Cules son los nmeros?Rt a: 4 y 82. Unvoceadorrepart eelperdicoen1.800seg;sucompaerolohaceen120seg, cunt o t ar dar en ent r egarel per dico si lo hace simult neament e?Rt a: 720 seg.3. Sedeseaconst r uir unsilopar agr anosenfor madecilindr ocir cular ysemiesfricoenlapart esuperior.Eldimet rodelsilodebeserde30pies,cul ser la alt ura del silo, si la capacidad debe ser de 11.2503pie ?Rt a: 55 pies4. Ellar godeuncampodebaloncest oes12met r osmayor quesuancho,sielpermet ro es de 96 met ros, cules son las dimensiones del campo?Rt a: lar go = 30 met r osancho= 18met r os5. Enunt r ingulo,elngulomspequeoeslamit addelmayor ylasdost erceras part es del ngulo int ermedio, cules sern las medidas de los ngulos?Rt a: menor : 40, int er medio= 60y mayor806. Unfabricant edegrabadorasreduceelpreciodeunmodeloenel15%,sielprecio con el descuent o es de $125.000, cul ser el precio original del modelode la grabadora.Rt a: $147.059 3pies 30EJERCICIOS:PROBLEMAS ECUACIONES CON UNA INCGNITAUNAD70u Ecuaciones de primer grado con dos incgnitas:problemasCon el desarrollo de ecuaciones de primer grado con una incgnit a, se ha adquiridoalguna dest reza en el plant eamient o y resolucin de problemas.No olvidemos los5 pasos que se referencian al inicio de est a seccin para resolver ecuaciones.Par ast aseccin,analizar emospr oblemasdondepar t icipan2var iablesenelplant eamient o y resolucin de problemas diversos, lo que nos indica que debemosplant ear2 ecuaciones con 2 incgnit as, la for ma de solucin ya se han est udiadoen t emt icas ant er ior es.Unaindust riat ienedost iposdeequiposparacomunicacin,elt ipoAcuest a$67.000 y el t ipo B cuest a $100.000, si fueron vendidos 72 equipos por $5880.000cunt os equipos de cada t ipo fueron vendidos?Sol u ci n :debemosplant eardosecuaciones,unaparacant idaddeequiposyot r a par a cost o de los mismos.Cant idad equipos:x= equipos t ipo Ay= equipo t ipo B, luego: x + y = 72Cost o de equipos:67.000 x + 100.000y = 5880.000t enemos 2 ecuaciones con 2 incgnit as, vamos a ut ilizarr educcin: x + y = 7267.000 + 100.000y= 5880.000mult iplicamos la pr imer a ecuacin por-100.000 par a eliminary, luego:- 1000.000 x - 100.000 y = -7200.00067.000x + 100.000 y = 5880.000Ejemplo 1 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA71operando:40000 . 33000 . 320 1x000 . 320 1 x 000 . 33 como x =40 corresponde a equipo t ipo A.Par a hallary, r eemplazamos en cualquier a de las ecuaciones or iginales:32 40 72 y x 72 y 72 y x +Respuest a:Equipos de t ipo A vendidos: 40Equipos de t ipo B vendidos: 32Sea una solucin obt enida al mezclar 2 soluciones de 5% y 20%, se quiere obt ener200 ml de la solucin con una concent r acin de 15%, cunt os ml de las solucionesse deben mezclar ?Sol u ci n :x= solucin al 5%y = solucin al 20%ecuacin para volumenx + y = 200ecuacin par a concent r acin( )30 y 20 . 0 x 05 . 0200 y x: Luego30 y 20 . 0 x 05 . 0 200 15 . 0 y 20 . 0 x 05 . 0 + + + +Porsust it ucin como: ent onces , y 200 x 200 y x +Ejemplo 2( )67 , 66 33 , 133 200 x: luego , 200 33 , 133 x 200 y x como : x hallar para33 , 13315 . 020y20 y 15 . 0 10 30 y 15 . 0 30 y 20 . 0 y 05 . 0 10y despejamos , 30 y 20 . 0 y 200 05 . 0 + + + + UNAD72Por consiguient e,sedebenmezclar 66,67mldesolucinal5%y133,33mldesolucin a 20%.El cost o de arreglo para equipos de comput acin es de $6.000; su cost o unit ario es$400.Elcost odearregloparaequiposdecomunicacinesde$8.000;sucost ounit ario es $300.Cul ser el punt o de equilibrio, sabiendo que st e se consiguecuando los cost os son equivalent es?Sol u ci n :1ccost o fabricar x equipos comput acin2c cost o fabr icarx equipos comunciacinx= cant idad unidades fabricadasEnt onces; par a equipos de comput acin:000 . 6 x 400 c1+ par a equipos de comunciacin:000 . 8 x 300 c2+ 20100200x000 . 2 x 100000 . 6 000 . 8 x 300 x 40000 . 8 x 300 000 . 6 x 400: Luego . c c : equilibrio punt o2 2 + +Ent onces el punt o de equilibrio se consigue cuando se fabrican 20 unidades.Ejemplo 3 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA73Ejemplo 4Los ngulos yson suplement ar ios, per o uno es4 veces y 3 gr ados mayorqueel ot ro.Cules son las medidas de y ?Sol u ci n :Sea = ngulo mayory = ngulo menor + + 3 4 3 4) s lement ario sup ngulos ( 180Tenemos 2 ecuaciones con dos incgnit as.Apliquemos r educcin: + 6 , 144723 53 4720 4 4Ahor a hallamos , como + 6 , 144 180 180 4 , 35 y 6 , 144 : Luego4 , 35Enuncir cuit oenser ie,lar esist enciat ot al,eslasumadelasr esist enciascomponent es.Un cir cuit o en ser ie est compuest o pordos r esist encias 2 1R y R ,lar esist enciat ot alesde1.375ohmios,par asuminist r ar elvolt ajer equer ido,1R debe t ener 125 ohmios ms que 2R .Cul ser el valorde las r esist encias?Ejemplo 5UNAD74Sol u ci n :Sea375 . 1 R R2 1 + ohmios, por ot ro lado125 R R2 1+ ohmios,luegoor dena ndo,t enemosdosecua ciones,endosincgnit as.125 R R375 . 1 R R2 12 1 +r esolver mospor sust it ucin,como:375 . 1 R R2 1 + yadems125 R R2 1+ ;r eemplazamos 1Ren la pr imer a ecuacin, luego:( )6252250 . 1R250 . 1 R 2 125 375 . 1 R 2 375 . 1 125 R 2375 . 1 R 125 R22 2 22 2 + + +porconsiguient e la r esist encia, par a hallarla r esist encia 1R ,r eemplazamoselvalor de 2Ren cualquiera de las ecuaciones plant eadas.( )750 R625 375 . 1 R 375 . 1 625 R 375 . 1 R R11 1 2 1 + +Respuest a:ohmios 625 Rohmios 750 R21 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA75EJERCICIOS:PROBLEMAS DE ECUACIONESCON DOS VARIABLESLeercuidadosament elosproblemaspropuest osyresolverloshaciendolospasosnecesar ios en la r esolucin de los mismos.1.Un ngulo mide 46 ms que su complement ar io, cul ser la medida de losngulos?Rt a: 22 y 682.Si en una dist ribuidora de dulces, 4 paquet es de dulce y 4 paquet es de gallet asvalen$7.00,dospaquet esdegallet ascuest an$20msqueunpaquet ededulces.Cunt o cuest an un paquet e de gallet as y un paquet e de dulces?Rt a: Gallet as = $665Dulces$1.3103. Un aut omvil r ecor r e 50 km en el mismo t iempo que un avin viaja 180 km.la velocidad del avin es de 143 k/hr ms que la del aut omvil.Cul ser lavelocidad del aut omvil?Rt a: 55 km/hr4. El permet ro de un rect ngulo es de 16 met ros, su rea es de 15m2.Culesson las dimensiones del rect ngulo?Rt a: Lar go = 5 mt s.Ancho= 3 mt s.5. Par aent r ar aunafuncindet eat r oset ienendost iposdeent r adas.elpreferencialvale$4.500yelpopularvale$3.00,sisevendieron450bolet as,para un recaudo de $1819.500.Cunt as bolet as de cada clase se vendieron?Rt a: Pr efer encia= 313Popular = 1376. Se desea preparar 200 lit ros de cido nt rico al 34%; a part ir de dos solucionesde 28% y 36% de concent racin de cido.Cules debern ser la cant idades decido a ut ilizarde cada uno; par a obt enerla solucin?Rt a:Solucin al 28%= 50 lt Solucin al 36% = 150 ltUNAD76Ejemplo 1uEcuaciones de primer grado con tres incgnitas: problemasEl mt odo de solucin de ecuaciones de est e t ipo es similar a los casos ant eriores,algunos ejemplos nos ilust r ar n dicha sit uacin.Lasumadet r esnmer oses4.Elpr imer omsdosveceselsegundomselt er cer o es 1.Porot r o lado, t r es veces el pr imer o ms el segundo, menos el t er cer oes -2.Cules son los nmer os?Sol u ci n :Sea x = pr imernmer oy = segundo nmer oz = t er cernmer oSegn las condiciones:()( )( ) 3 4 z y x2 2 z y x 31 1 z y 2 x + + + + +Eliminamos inicialment e z, ent onces:()( )( ) 4 1 y 3 x 42 2 z y x 31 1 z y 2 x + + + +Ahora:( ) 5 2 y 2 x 44 z y x2 z y x 3 + + + +De las ecuaciones (4) y (5), eliminamos x, mult iplicamos (4) por(-1),luego:3 y2 y 2 x 41 y 3 x 4 + ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA77porconsiguient e 3 y Ahora reemplazamos y en (4) (5).hagmoslo en (4) ( )2 x248x 9 1 x 4 1 3 3 x 4 + por ltimo reemplazamos x y y en cualquiera de las ecuaciones originales; tomemos (1). ( ) ( )5 z2 6 1 z 1 z 3 2 2 1 z y 2 x + + + + +Ob s e r va ci n :pararesolverproblemasconecuacionesdelt ipoqueest amosest udiando, la mayor dificult ad est n en plant ear las ecuaciones, ya que conocidasst as, la solucin ha sido ampliament e analizada.El ngulo ms gr ande de un r ect ngulo es 70 mayorque el ngulo ms pequeoyel ngulor est a nt ees10m sgr a ndequet r esvecesel ngulom spequeo.Cules son las medidas de los ngulos?Sol u ci n :x =ngulo ms pequeoy =ngulo int er medioz =ngulo mayorLas condiciones:() 1 180 z y x + + por qu?( ) 2 70 z x por qu?( ) 3 10 y x 3 por qu?cada ecuacin t iene su just ificacin, ust ed debe buscarla y analizarla.Eliminamosy en las ecuaciones or iginales, obt enemos:( )( ) 5 170 z x 44 70 z x + Porfavorhacerelprocedimient oquepermit iobt enerlasecuaciones(4)y(5).Resolviendo (4) y (5): x = 20 y z=90, ver ificarest os r esult ados, finalment e y = 70.r espuet a: los ngulos son 20, 70 y 90.Ejemplo 2UNAD78Resolver aplicando los principios est udiados sobre ecuaciones lineales, los siguient espr oblemas.1.UnBilogodeseaprobarunfert ilizant eapart irdet resclasesexist ent es,referenciados3 2 1F , F , F ,cuyocont enidodenit r genoes30%,20%y15%,r espect ivament e.ElBilogoquier et r abajar con600kgdemezclaconuncont enido de nit rgeno del 25%.La mezcla debe cont ener 100 kg ms de 3Fque da 2F .Cunt o requiere el Bilogo de cada t ipo de fert ilizant e?Rt a:1F =380 kg, 2F =60kg,3F =160kg2. Det er mi n a r l a pa r bol ac bx ax y2+ + , qu epa s a por l os pu n t os( ) ( ) ( ) 3 , 2 P , 7 , 2 P , 2 , 1 P3 2 1 .Rt a:3 x x 2 y2+ + 3. En la caja de un banco hay $880 en billet es de $5, $10 y $50.La cant idad debillet esde$10eseldobledelade$50,sihayent ot al44billet es.Cunt osbillet es de cada denominacin t iene la caja del banco?Rt a: de $5 = 8 billet esde $10 = 24 billet esde $50= 12 billet es4. Par a t r es gr upos de invest igacin, hay $1360.000.La cant idad de cient ficosen t ot al es 100.Cada cient fico del primer grupo recibi $20.000 millones, delsegundo gr upo; cada cient fico r ecibi $8.000 millones y del t er cergr upo; cadacient fico r ecibi $10.000 millones.Los cient ficos del pr imergr upo r ecibi 5vecesmsfondosqueelsegundogr upo.Cunt oscient ficoshayencadagr upo de invest igacin?Rt a: del pr imergr upo = 40del segundo grupo = 20del t er cergr upo= 40EJERCICIO:PROBLEMAS ECUACIONES CONTRES INCGNITAS ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA79CUACIONES DE SEGUNDO GRADOLa s ecu a ci on es des egu n dogr a doh a n s i domot i va da s des det i emposinmemor iables,inicialment elanecesidadder esolver pr oblemasder easyvolmenescondujer onamanipular ecuacionesdeest et ipo.Comolosnmer osnegat ivosapar ecier ont ar deenlahist or iadelasmat emt icas,ensusinicioselmanejo de ecuaciones de segundo grado fue con nmeros posit ivos.Se reconocen cinco t ipos de ecuacin de segundo grado, a saber:c bc x ; c bx x ; bx c x ; c x ; bx x2 2 2 2 2 + + + . Laecuacindet ipo: bx x2,t ieneunanicasolucin:x=b,yaquenoseacept a a cero como la solucin. La ecuacin de t ipo:c x2 , equivale ahallarla r az cuadr ada de un nmer o.Paraest oexist endiversosmt odos,comoeldet ant eo,eldeHern,eldeEuclides.Mt od o Her n :Hern de Alejandra en el Siglo I, propuso una forma de hallarlar azcuadr adadeunnmer oposit ivoas,sit enemospor ejemplo 2 x2.Suponemos que la solucin es 3/2, par a hallaruna nueva apr oximacin aplicamosla siguient e regla.121723423223 / 22 / 3++, la siguient e apr oximacin:... 245 4142215686 , 14085772172412172217 / 1212 / 17 ++Que es una buena apr oximacin a 2.Esdeanot arqueelprocesosedeberepet irt ant asvecescomosedeseeobt eneruna buena apr oximacin.EUNAD80Mt od o Eu cli d es:el colapso de la ar it mt ica pit agr ica pr ovoc una cr isis quemot iv a los gr iegos par a darms esfuer zo a la geomet r a.Las cant idades fijas(const ant es)lasr epr esent abanpor segment osder ect aconlongit udr elat ivaauna unidad fija. El product o de dos cant idades la represent aban como el rea deunr ect nguloyelpr oduct odet r escant idadescomoelvolumendeunpr ismar ect angularr ect o.De aqu el or igen de la denominacin de cuadr ado y cubo par alas pot encias segunda y t ercera.A manera de ejemplo:La gr fica r epr esent a la expr esin muy conocida( )2 2 2b ab 2 a b a + + +. Las ecuaciones de t ipo c x2+=bx,fuer onr esuelt asgeomt r icament epor losgr iegos y ar it mt icament e porlos babilonios.Mt od o gr iego:inicialment e los gr iegos y post er ior ment e los r abes, ut ilizar onunmt odogeomt r icopar ar esolver st et ipodeecuacionespor ejemplo:x 18 77 x2 +.La gr fica indica que la suma de las r eas esigual al r ea t ot al del r ect nguloPar a encont r arel valorde x, se debe complet arun cuadr ado de lado 9 que incluyeel cuadrado, de lado x, st e es el primer caso.El cuadrado lo componenendos rect ngulos de igual rea,y por dos cuadrados de rea( )2 2x 9 y x ababa2b2 a ba b xx1877 x2 2x a 77-a9ax9( )2x 9 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA81De la grfica se infiere:77 a a x a 77 a x2 2 + ,_

+ +, por ot ro lado, t ambinde la gr fica:( ) ( )2 29 77 9 x + , resolviendo x = 7.El segundo caso, es hacer un cuadrado de lado x que incluya un cuadrado de lado9, veamos:El cuadrado de lado x, est formado por dos rec-t ngulos de igual r ea y pordos cuadr ados, unode rea( )29y ot ro de rea( )29 x .Luego:a 2 77 x a 77 a x2 2+ + .Adems en la grfica se puede observar:( ) 77 9 9 x2 2 + por lo t ant o x = 11El mt odo griego se fundament en la proposicin 5 del libro II de los element os deEuclides.Est e est ablece:Si se divide una recta en partes iguales y desiguales, el rectngulo comprendidoporlaspartesdesigualesdelarectaentera,mselcomprendidoporlaspartesdesiguales de la recta entera, ms el cuadrado de la diferencia entre una de las dospartes iguales y una parte desigual, es equivalente al cuadrado de la mitad de larecta dada..La ecuacin de tipo c bx x2+ , como siempre los griegos ut ilizaron la geomet rapar ar esolver est et ipodeecuacin.Per oenelSigloXVII,ensulibr oLaGeomet r ie,RenDescar t es,descr ibeunmt odogeomt r icopar aconst r uiruna solucin de la ecuacin cuadr t ica2 2c bx x + .Enla gr fica que t enemos: c ABde laecuacin.La per pendicular AB a AC ,donde 2bAC .La lnea ent re B y C,int er seca al cr culo en E y D.la solucinser : X = BEx92a9 77BDCAEUNAD82. Laecuacindet ipoc bx x2 + ,fuet rabajadaporlosrabesy(Tabit BenQur r a) porlos gr iegos.Mt od o r a be:pararesolverecuacionesdest et ipolosrabesut ilizanr eas de cuadr ados y r ect ngulos.Porejemplo:36 x 5 x2 +par a r esolverest a ecuacin Al-Khowar izmi, dibuj un cuadr ado de r ea 2x ysobr e cada lado dibuj 4 r ect ngulos de dimensin: xy 5/4, la figur a t endr ade rea 36.El lado del cuadrado es evident ement a a( ) 4 / 10 x + , y el r ea 42536 + ,luego ellado del cuadrado debe ser:213410x + ,ent onces x = 4.Recordemos que el rea era:4169Hast a aqu hemos t r abajado mt odos con fundament os geomt r icos par a valor esposit ivosdelavar iable.Per oenmuchoscasos,sabemosquehaysolucionesnegat ivas para ecuaciones de segundo grado.Par ar esolver ecuacionesdesegundogr adodondesepr esent ancoeficient esnegat ivos fueron t rabajados inicialment e por Carlyle (1775- 1881) y Von St audt(1798 - 1867).Ambos se basar on en pr incipios geomt r icos, ut ilizando cr culos;dichosmt odossonmuylargosporlocualnolosdesarrollamos,soloqueesper t inent e hacerla r efer encia a est os inquiet os de las mat emt icas.Podemos ver que los mt odos ut ilizados por las ant iguas civilizaciones para resolverecuacionesdesegundogradosonmuylargasyt ediosas,loqueconllevalosmat emt icos a buscar mt odos ms rpidos pero con buen fundament o mat emt icoMt od o a xi om t i co:es el mt odo ms usado act ualment e y se soport a en losaxiomas, definiciones y propiedades est ablecidas a t ravs de t oda la hist oria de lsmat emt icas.Sealaecuacin:0 c bx a x2 + +,cona,bycconst ant esy0 a .Sepueder esolverpordiver sas t cnicas.2x4 / 5 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA83u Tcnica por factorizacinSe soport a en la regla del product o nulo si a y b son nmeros reales ya.b = 0,ent onces a = 0 b =0, como una ecuacin de segundo grado se puede expresarcomoproduct odedosfact oreslineales,aplicamoslaregladelproduct onuloyobt enemos la solucin.Debemos resalt ar que las ecuaciones de t ipo 0 c bx a x2 + +, si fact or izamos elt r inosmio obt enemos:( ) ( ) 0 qx px2 1 + +Aplicando la regla del product o nulo, t enemos:0 qx 0 px2 1 + +Despejamos la incgnit a para obt ener las dos soluciones:qx ypx2 1El despeje es simblico, ya que en cada caso debemos t ener present e los signos delas cant idades.Resolver la ecuacin 0 18 x 3 x 32 Sol u ci n :fact orizamos; ya hemos est udiado est e t ipo de fact orizacin, en casode r efor zar , consult arel t ema enmat emt icas bsicas.( )( ) ( )( )( ) 0 2 x 9 x 3 036 x 3 9 x 30354 x 3 3 x 30318 x 3 x 8 32 2 + + ,_

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Ejemplo 1UNAD84por la regla del product o nulo, t enemos:2 x y 3 x : spuesta Re2 x y 3 x 0 2 x 0 9 x 3 + Hallarla solucin de la ecuacin:0 25 x 10 x2 + Solu ci n : fact orizando el t rinomio como se est udi en las t cnicas de fact orizacin.( )( ) 0 5 x 5 x 25 x 10 x2 + Aplicamoslaregladelproduct onulo: 5 x 0 5 x .Igualparaelsegundofact or .Luego la solucinx = 5.Ob s e r va ci n :en el ejemplo 1, la solucin fue real y diferent e, en el ejemplol 2,la solucin fue real e igual.En el siguient e ejemplo vemos una solucin imaginaria.Det er minarel valorde x par a la ecuacin:0 16 x2 +.Sol u ci n :16 x 16 x 0 16 x2 2 t + , como vemos es una r az parde nmer o negat ivo, cuya solucin es imaginar ia.i 4 x t r ecor damos los nmer os imaginar ios? Porfavorr epasar !Respuest a:x = + 4ix = - 4iNot a :en el mdulo de mat emt icas bsicas, se present a t odo lo relacionado connmer o imaginar io.Ejemplo 2Ejemplo 3 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA85En el ejemplo 3, para muchos aut ores es llamado el mt odo de ext raccin de raz.Porest e camino las soluciones pueden serimaginar ias o r eales.Hallar la solucin de:0 25 x 92 Solucin:la idea es despejar x, luego 25 x 9235x925x925x2t t Respuest a:3 / 5 x y 3 / 5 x + Resolverla ecuacin: 0 4 x 2 x2 Sol u ci n :como es un t r inomio de la for ma 0 c bx x2 + +, fact or izamos comoindicalat cnica;dosnmer osquemult iplicadosseaigualacysumadosseanigual a b, luego:( )( ) 0 ? x ? x 4 x 2 x2 + vemos que no es fcil ident ificardos nmer os que mult iplicados sean igual a 4 ysumadosseaniguala 2 ,par aest oscasoshayot r at cnicaquever emospost eriorment e.u Tcnica de completar cuadradosEn muchas ocasiones, el t rinomio propuest o en la ecuacin no se puede resolverdir ect ament e porfact or izacin o porext r accin de r az.Ent onces lo que se haceEjemplo 4Ejemplo 5UNAD86para resolver la ecuacin propuest a, es haceru n at r a n s for ma ci nque permit aobt enerun t r inomio cuadr ado per fect o, t cnica llamada complet arcuadr ados.Sea la ecuacin: 0 c bx x2 + + n o sep u e d efa ct or i za re nfor macomp le t a2bc4bxc2b2bxc2b2bxc2b2bbx xc bx x222 22 222 t ,_

t + ,_

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+ ,_

,_

+ + +As se obt iene las dos soluciones para l a ecuacin propuest a.Resolverla ecuacin:0 2 x 6 x2 +Sol u ci n :0 2 x 6 x2 +complet amos cuadr ados22626x 6 x2 22+ ,_

,_

+ +simplificandoSeadicionaalaecuacin 22b

,_

,par at ener un t rinomio cuadrado perfect o al ladoizquierdo de la ecuacin.Ext r aemos r az cuadr ada.finalment eEjemplo 1 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA8711 9 x 6 x2 + +aplicando t rinomios cuadrados perfect os( ) 11 3 x2 + despejamos x3 11 x y 3 11 x11 3 x t t +Hallarla solucin de la ecuacin: 0 15 x 2 x2 +Sol u ci n : 15 x 2 x 0 15 x 2 x2 2 + + , complet amos cuadr ados( )1 4 xluego , 16 1 x 16 1 x 16 1 x 2 xndo desarrolla221522x 2 x2 22 22 t t + + + +

,_

+ ,_

+ +Respuest a: 5 1 4 x y 3 1 4 x u Tcnica por la frmula cuadrticaHay sit uaciones donde las t cnicas ant eriores no permit en o es muy difcil obt enerla solucin.Se ha ident ificado una forma ms rpida de resolver una ecuacin desegundo gr ado con una incgnit a.Sea la ecuacin: 0 c bx a x2 + +, con a, b, cR y0 a

a 2ac 4 b bx2 t fr mula cuadr t icaEjemplo 2UNAD88De mos t r a ci n :Par a obt enerla fr mula, aplicamos el pr incipio de complet arcuadr ados, luego:c bx ax 0 c bx ax2 2 + + + , el coeficient e de2x debe ser uno, luego dividirt oda la ecuacin pora, ent onces:acxabx2 +.Complet amos cuadrados en la part e izquierda de la ecuacin.2222 22 22a 4ac 4 baca 4ba 2bxoperandoaca 2ba 2bxabx ,_

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+ +a 2ac 4 b bxa 4ac 4 ba 2bx: luegoa 2ac 4 ba 4ac 4 ba 2bx222222 t t t t +En la ecuacin observamos que las soluciones las det erminan los signos del radical.As las dos soluciones son:a 2ac 4 b bx ya 2ac 4 b bx2221 + Alaexpresin ac 4 b2selellamaelDiscriminant e,debidoaquesuvalorindica el t ipo de solucin de la ecuacin dada.ext raemos la raz para despejar xoperando las fraccionesAs queda demost rado la ecuacin generalde segundo grado ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA89Veamos algo ms sobr e el discr imant e:ac 4 b2 .Si 0 > , hay dos soluciones reales y diferent es.Si 0 , hay dos soluciones r eales iguales,Una r az con mult iplicidad dos.Si 0 < , hay dos soluciones imaginar ia difer ent esResolverla siguient e ecuacin usando la fr mula cuadr t ica 0 8 x 6 x2 + Sol u ci n :en el t r inomio dado a = 1, b =-6, c = 8; ent onces( ) ( ) ()( )( )2 x y 4 x : spuest a Re22422 6x42822 6xluego ,22 6232 36 61 28 1 4 6 6x2 1212 +t t t Resolver0 2 x 4 x 32 + Ejemplo 1Ejemplo 2UNAD90ESol u ci n :( ) ( ) ( )( )( )( )2i 2 2x y2i 2 2x3i 2 26i 2 2 461 2 4 4x68 4624 16 43 22 3 4 4 4x2 12ttt t t t t vemos que en est e ejemplo la solucin no es real.Resolver:0 2 y y 42 + Sol u ci n : aplicando la fr mula( ) ( ) ( )( )( ) 831 1832 1 14 22 4 4 1 1y2 t t t las soluciones son:8i 31 1y y8i 31 1y2 1tPar ar esolver ecuacionespor mediodelafr mulacuadr t ica,slor equier eident ificara, b y c; en la ecuacin plant eada, adems, del signo de cada valor . CUACIONES DE GRADO N (N = PAR)A veces se pueden present ar ecuaciones de la forma:0 c bx a xm n + +dondem=n/2.Laideaesr educir elgr adohast acuandon=2,par ar esolver locomouna cuadr t ica.Veamos algunos ejemplos.Ejemplo 3 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA91Resolverla ecuacin: 0 4 x 5 x2 4 + Sol u ci n :si hacemos un cambio de var iable,2x u, ent onces4 2x u , luego:0 4 u 5 u2 + , la podemos resolver por fact orizacin( ) ( ) 0 1 u 4 u 4 u 5 u2 + aplicando la regla del product o nulo1 u y 4 u 0 1 u 0 4 u ahor a r eemplzamos 2x por u , luego:1 x 1 x2 x 4 x22t t Re s p u e s t a :1 x , 1 x , 2 x , 2 x4 3 2 1 t enemos4soluciones,segnelgradodelaecuacin propuest a.Resolverla ecuacin: 0 16 y 6 y5 10 +solucin: hacemos cambio de var iable, 10 2 5y w luego , y w , ent onces:( )( )2 w 0 2 w8 w 0 8 wnulo product o por 0 2 w 8 wos fact orizam , 0 16 w 6 w2 + + +reemplazamos w por 5y, ent onces:5 55 52 y 2 y8 y 8 y Ejemplo 1se ext r ajo r az cuadr adaEjemplo 2UNAD92comolaecuacinesdegr ado10,ent oncesdebenhaber 10soluciones,aquencont ramos solo dos, las 8 rest ant es se pueden obt ener por mt odos mat emt icosavanzados.Resolverla ecuacin:0 15 x 2 x3 / 1 3 / 2 +Sol u ci n : como en los casos ant er ior es, hacemos cambio de var iable.( ) ( )3 u 0 3 u5 u 0 5 unulo producto ley por 0 3 u 5 uin fact orizac por , 0 15 u 2 uluego , x u ent onces , x u23 / 1 2 3 / 1 + + + r eemplazamos3 / 1x u, ent onces:( )27 x y 125 x : spuest a Re27 x 3 x luego , 3 x125 x 5 x : as x despejamos , 5 x2 1333 / 1 3 / 1333 / 1 3 / 1 ,_

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Demuest r e que la solucin par a: 0 6 y y3 / 1 3 / 2 ; es 27 y 8.Sol u ci n :el proceso es similar, solo el cambio de variable que ser:3 / 1x v ; lodems es igual.Ejemplo 3Ejemplo 4 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA93CUACIONES CON RADICALESCuandosepr esent anecuacionesconr adicales,aleliminar elr adical,st aser educe a una ecuacins cuadr t ica, siempr e y cuando el ndice de la r az sea par .Aqu vamos a analizarfundament alment e las r aces cuadr adas.Resolver:4 4 x x +Sol u ci n : part iendo de4 4 x x + , dejamos el r adical solo, ent onces( ) ( )224 x 4 x x 4 4 x .As eliminamos el r adical, luego0 20 x 9 x x x 8 16 4 x2 2 + + Apliquemos la cuadr t ica par a r esolver la( ) ( ) ()( )()4 x y 5 x : spuest a Re42821 9x521021 9x21 9280 81 91 220 1 4 9 9x2 1212 +t t t Hallarlos valor es de la var iable en la ecuacin: 2 2 x 3 x 2 +Sol u ci n : como2 2 x 3 x 2 + , ent onces2 x 2 3 x 2 + + , elevamos al cuadr adoEEjemplo 1Ejemplo 2UNAD942 x 2 x 4 4 3 x 2 + + + simplificando2 x 4 1 x + , volvemos a elevaralcuadr ado( ) 2 x 16 1 x 2 x2 + + , r eor ganizando0 33 x 14 x2 + , por fact orizacin( ) ( ) 0 3 x 11 x , por ley de product o nuloRe s p u e s t a :3 x11 xEjerciciosResolver0 6 x x2 9 x 1 x 33 6 + + +CUACIONES CON FRACCIONESNo se puede dejar pasar por alt o unas ecuaciones muy part iculares, son ecuacionesconfr accionesquepuedenllevar seaecuacioneslinealesocuadr t ica.Veamosalgunos ejemplos.Resolverla ecuacin: 102x3x +E1.2.64 x : Rta16 x y 0 x : Rta Ejemplo 1 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA95Sol u ci n :oper amos las fr acciones12560x 60 x 5 106x 3 x 2102x3x + +Luego: x = 12, para est e ejemplo se lleg a una ecuacin lineal de primer grado.Hallarel valorde y par a: 1 y22 yy+Solucin: oper amos las fr acciones, buscando comn divisor :( ) ( )( )( )( )( )( )( ) 1 y y 4 y 0 1 y 4 yos fact orizam , 0 4 y 3 y 01 y 2 y4 y 2 y yluego , 01 y 2 y2 y 2 y 1 y01 y22 yy22 + + ++ +Recordemos la forma de obt ener el comn denominador en fracciones algebraicas,consult emos el mdulo de mat emt icas bsicas.Resolverla ecuacin:4 x4 x12 xx22+ +Sol u ci n :( )04 x4 x2 x2 x 24 x4 x2 x2 x x2222++ +, buscamos el comn denominadorEjemplo 2Ejemplo 3Not a : No olvidemos el manejode fracciones( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 x y 4 x 0 2 x 4 xos fact orizam , 0 8 x 2 xluego , 0 4 x 4 x 2 x 2 02 x 2 x4 x 2 x 2 x 222 22 + + + +

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+ + UNAD96ROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOMuchos fenmenos del mundo que nos rodea, se pueden expresar mat emt icament epormediodeecuacionescuadrt icas.Pararesolverproblemasdeest et ipo,sedebeseguirla met odologa plant eada en la seccin ant erior donde se resolvieronproblemascon ecuaciones de primer grado.Laformamspert inent edeexplicarest et ipodeproblemas,espormediodeejemplos modelos, por favor analizarlos det enidament e.Lacuart apart edelproduct odedosnmerosent erosparesconsecut ivoses56cules son los nmer os?Sol u ci n :sea x = ent ero par posit ivo, luego x + 2 = ent ero par consecut ivo.Segn las condiciones del problema:( ) ( ) 56 2 x x41 + , modelo mat emt ico par a el pr oblema0 224 x 2 x 224 x 2 x2 2 + + , fact or izamos( ) ( ) 0 14 x 16 x + + , por regla del product o nulo14 x 0 14 x16 x 0 16 x +como se t r at a de ent er oparposit ivo, la pr imer a solucin es x = 14y x +2 = 16.La r az cuadr ada de un nmer o ms 4, es lo mismo que el nmer o menor8, cules el nmero?PEjemplo 1Ejemplo 2 ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA97Sol u ci n :x = nmer o dado8 x 4 x + , segn las condiciones del pr oblema( ) ( )228 x 4 x +, par a eliminarla r az0 60 x 17 x 64 x 16 x 4 x2 2 + + +porla cuadr t ica( ) ( ) ( )( )( )527 17x y 12224xluego ,27 17249 17x2240 289 171 260 1 4 17 172 12 tt t t Calcularlas dimensiones de un r ect ngulo, cuya r ea es de 375 m2,adems,ellar go es el doble del ancho menos cinco met r os.Sol u ci n :Segn las condiciones del problem a, lagr fica nos ilist r a dicha sit uacin( )( ) 0 375 x 5 x 2 375 x 5 x 22 porla cuadr t ica( ) ( ) ( )( )( )5 , 12450455 5x15460455 5x455 5x4000 . 3 25 52 2375 2 4 5 5x212 +t+ t t Ejemplo 3 A = 375 m2( ) x( ) 5 x 2 UNAD98por las condiciones del problema el valor negat ivo se rechaza, ya quelas longit udesnegat iva no hay.Ent onces la solucin es:Lar go:( ) m 25 5 15 2 Ancho:. m 15 x Unobjet ola nza dover t ica lment eha cia a r r iba ,cuya ecua cindea lt ur aes: t v t 16 yo2+ .Donde oves le velocidad inicial de lanzamient o.El objet oes lanzado con una velocidad de 400 m/s