F (t )= f 1(t )+ i f 2(t )F continua

f 1 es continua f 2es continua

f 1 , f 2 derivables

F derivable

F ' (t )= f '1(t )+ i f ' 2(t )

f 1 y f 2 son n veces derivables

f (n)(t )= f 1(n)(t )+i f 2

(n)(t )

Propiedades de la derivada

( f+g )'= f '+g '

(cf )'=cf ' cC

( f.g )'= f ' . g+ f.g '

( f /g )'=f ' . g f.g '

g 2

( f n)'=n f n1 . f '

f :C , g :CC

g f :Ch: f h :C

( f h) ' (t )= f ' (h(t )). h ' (t )

Nota : Se pueden separar complejosy derivar de la forma f 1+i f 2

Primitivasf : I C ,F : I C es primitiva de f si

F ' (t )= f (t ) t I

Si F=F 1+i F2F ' 1= f 1 , F ' 2= f 2

( f 1+i f 2)dt= f 1 dt+i f 2 dt

Si I es intervalo y F es primitiva de f en I

Todas las primitivas de f sonde la forma

F+c cC

Exponencial Complejo

ea+ib=ea cos(b)+ i ea sen (b)

Propiedades

eln (a)=a eln (a)=1a

ez+ z=ez . e z

Teoremaf : I Cderivable

(e f (t )) '= f ' (t ) . e f ( t )

DefinicinF es una funcin partDom ( f ) , f (t )= f (t )es simtrica respecto del ejeY

F es una funcin impar tDom( f ) , f (t )= f (t )es simtrica respecto del eje X

Ecuaciones Diferenciales Lineales de1 Orden

t=variable independiente

(1) a1(t ) y ' (t )+a0( t ) y (t )= f (t )

a1(t ) , a0( t ) , f (t )estn definidos

para t I ,con I un intervalode

La ecuacin(1)eshomognea

f (t )=0 t I

La ecuacin

a1(t ) y ' (t )+a0(t ) y (t )=0

es laecuacin homognea asociada.

DefinicinSolucin :Una funcin : J C con JI

es solucin de la ecuacin(1)

{ J esun intervalo esderivable en Jy adems

a1(t ) ' (t )+a0(t )(t )= f (t ) tJ

Resolucin de laecuacin Lineal de1 orden

(a1(t )=1)

Para la forma ' normal ' o ' estandar '

y '+ p( t ) y= f (t ) , t I

Suponemos que p(t ) y f (t )son continuas en el intervalo I

Mtodo del Factor IntegranteSea P(t )una primitiva de p (t )(es decir P ' (t )= p(t ))

(t )=eP (t )0 en I (exponencial )

' (t )=P' (t )eP (t )= p(t )eP( t )=p (t )(t ) t I

((t ) y )'=( t ) f (t )Si H (t )esuna primitiva de(t ) f (t )

(t ) y=H (t )+C

y=H (t )+C

=H (t )eP( t)+CeP ( t)

TeoremaConsideremos la ecuacin

y '+ p (t ) y= f (t )t I , f (t ) , p(t )continuas en II un intervalo de

P( t )una primitiva de p(t )

H (t )una primitiva dee p (t ) f (t )

Todas las primitivas de la ecuacin sonde la forma

y=H (t )eP ( t)+ceP (t ) , cC

Nota :Todas las ecuaciones diferenciales de 1orden tienen solucin infinita

Problema a valores Iniciales

(PVI ){ a1(t ) y '+a0(t ) y= f (t )y (t0)= y0

Una funcin : J C

es una solucin de PVI si :

{ es solucin de la ecuacint 0J(t 0)= y0

Teorema de Existencia y UnicidadConsideremos la ecuacin

y '+ p(t ) y= f (t ) , t I

la ecuacin debeestar en la forma normalp (t ) , f (t )continuas en el intervalo I

! solucin de la ecuacin

: ICque cumple

(t0)= y0

Sean t 0 I , y0C

Definicin

C1( I )={ : I C / derivable con continuidad }

C( I )={ : I C / es continua}

L es una transformacin lineal

La ecuacin se escribeL ( y)= fLa ecuacin homognea se escribe L (y )=0

Sea L :C1( I ) C( I ) , p(t )Cen I

L( y )= y '+ p( t ) y

Las soluciones de la ecuacin homogneaforman el ncleode la transformacin Ly por lotanto son un subespacio deC 1(t )

TeoremaEl conjunto de soluciones de la ecuacin

y+p( t ) y=0t I pCen I

Es un subespacio de C 1(I )dedimensin 1

Si PH es una solucin no trivial de la ecuacin

y=c PH , cC

es la solucin general de la ecuacin

Una posible PH es

PH=eP( t)

P (t ) primitiva de p (t )

TeoremaConsideremos la ecuacin

y '+ p(t ) y= f (t ) ,t Icon p(t ) , f (t )continuas en I

Sea Y P una solucin particulardela ecuacin

Todas las soluciones son de la forma :

Y=Y P+Y Hcon Y H solucinde la ecuacin homognea

Mtodo deVariacin de ParmetrosObjetivo : Hallar Y PRequerimientos :Conocer una solucin H0

de la ecuacin homognea

y '+p (t ) y= f (t )P H+p (t )H=0

PlanteoY P=H cona determinar

Y ' P= ' H+ ' H

'=

fH

Y P=H

= fHH=solucin de homogneo

Ecuaciones Diferenciales Linealesde 2 orden con coeficientesConstantes

(EDLNH )

(1) Y ' '+a1 y '+a0 y= f (t )

a1 , a0constantes

Si f ( t )=0 t ,la ecuacin eshomognea

En casocontrarioes inhomognea o no homognea.

Consideramos laT.L. :

L( y)= y ' '+a1 y '+a0 y

L :CC ()

Si f :C es continua ,la ecuacin(1)esequivalente a :

L( y)= f

Y la ecuacin asociada :y ' '+a1 y '+a0 y=0

esequivalente aL ( y)=0

Teorema :Las soluciones de EDLH forman un subespacio deC2()

En particular ,

si y1+ y2 son2 soluciones de EDLH

y=1 y1+2 y2

es solucin1 ,2 constantes

Nota :

El conjunto solucin de EDLH esel nucleode L

Teorema :Si yP es solucin particular de EDLNH

Todas las soluciones de EDLNH son de la forma :

y= yP+ yHcon y H solucin de EDLH

Nota : A diferencia de las ec.dif. 1 orden ,no existe factor integrante.

Hay que encontrar yP , yH

Resolucin de EDLNHy ' '+a1 y '+a0 y=0 , a1 , a0C

Operador Diferencial DD :C1()C() , D y= y '

D esuna T.L.

D2 :C2()C()

D2 y=D (D y )= y ' '

En general :D k :C k ()C()

Dk (y )=D(Dk1 y)= y (k )

y ' '+a1 y '+a0 y=0 D2 y+a1 D y+a0 y=0

(D 2+a1 D+a0) y=0

p(t )=r2+a1 r+a0=(r1)(r2)

esel polinomio caracterstico

Mtodode Varicacin de Parmetros para hallar soluciones de la EDLNH

Objetivo : Encontrar Y p

Nota : Este mtodo es universal.En ocasiones puedeser trabajoso.

Requerimientos :Conocer una base {1 2}de soluciones delaecuacin homognea.

,

y ' '+a1 y '+a0 y= f (t )

con f (t )continua en un intervalo

Se propone :yP=u11+u22

con u1 u2 funciones a determinar

y ' P=u1 ' 1+u11 '+u2 ' 2+u22 '

Impongo :u1 ' 1+u2 ' 2=0

u1 ' 1 '+u2 ' 2 '= f (t )

Si u1 u2 cumplen:u1 ' 1+u2 ' 2=0u1 ' 1 '+u2 ' 2 '= f (t )

[ 1 21 ' 2 '][u1 'u2 ' ]=[ 0f (t )]{

Y P=u11+u22

es solucin de EDLNH

Teorema :

Si{1 ,2}esbase de la ecuacin homognea

W (1 ,2)(t )0 t

Mtodo decoeficientes indeterminadosObjetivo : Hallar la solucin particular

a2 y ' '+a1 y '+a0 y= f (x)

Sirve para :f (x)continuaf (x)exponencialf (x) trigonomtrica(sen y cos)f (x )composicin de las anteriores

Consiste en proponer exponenciales, trigonomtricas, o polinmios genricos, y luego ir despejando los coeficientes al ir derivando.Luego reemplazar en la ecuacin diferencial

Autovalores y autovectores de Matrices

Dado AK n x n ,K es autovalor de A si

vK n , v0 / Av= v

El vector v(en esas condiciones)esun autovector de Aasociado a

Si v esautovector de A asociado a

v , 0es autovector de A asociado a

Notacin :Si AK n x n

K (A)={K / s autovalor de A}

K (A)es el espectro de la matriz A

e

Si esautovalor de A

S ={vK

n /A v= v }=

{vk n /{ }{0}}v es autovector de A asoc.a=

vS A v= v0= vA v

( IA)v=0vNul ( IA)

S =Nul ( IA)

S es un subespacio de Kn

v0/ Av= vS tiene dimensin1

autovalor de Adim(Nul ( IA))1

Propiedad :det (A I )=(1)n det ( IA)

Teorema :Son equivalentes:

K es autovalor de A

Nul ( IA){0}

det ( IA)=0

rango( IA)

TeoremaAK n x n

det( IA)es un polinomio de

grado n con coeficientes en K

det ( IA)=ntraza (A) n1++(1)n det (A)

DefinicinpA()=det( IA)es el polinomio caracterstico de A

TeoremaSea AK n xn ,K esautovalor de A es raiz de pA()

El nmero de autovalores diferentesde A no puedeser mayor a n

Multiplicidad Geomtrica deun autovalor

Si K es autovalor de Ak n x n

La multiplicidad geomtrica de es :

=dim(S ) , 1n

Multiplicidad Algebraica deun autovalor

La multiplicidad Algebraica deun autovalor de de AK n x n

es la multiplicidad de como raiz de p A()

(es el valor de la exponente enel polinomio , con =raiz)

Notacin :m=multiplicidad algebraica de

Teoremam autovalor de ASi m=1=1

Diagonalizacin de Matrices

AK n x n es diagonalizable en K n x n si :

PK n xn inversible ,DK n x n diagonal /

A=P D P1

Nota : Para esto , las columnas dePdeben ser autovectores

Teorema :AK n x n esdiagonalizable en K n xn

{v1 v2 ... , vn}base de K

n /Av i=i v i , iK , i[1, n]

,,

ObservacinAK n x n esdiagonalizable

con los autovectores de A

se puede formar una base de K n

TeoremaA diagonalizable

Ak=P D K P1

NotaSer diagonalizable dependedel espacio

TeoremaSea AK n x n y sean v1 v2 ... , vq

n autovectores

de A correspondientes a autovalores de A

{v1 ... , vq}es L.I.

, ,

,

Corolario 1 :Si AK n x n y Atiene n autovaloresdistintos en K ,

A es diagonalizable en K n x n

Nota :

Si K=C tiene que tenern autovalores distintos

Si K= tieneque tenern autovalores distintos en

Corolario 2 :' Los autoespacios estn ensuma directa '

Si 1 ,2 ... , qK sonautovaloresdiferentes de AK n xn

S 1S 2...S q

,

En particular ,

Si B ies basede S iB1B2...Bq es basede

S 1 S 2...S q

Teorema' para matriz diagonalizablesenecesita que coincidan m y '

Sea AK n x n

Sean 1 , 2 ... , qK losdiferentes autovalores de A

,

A es diagonalizable en K n x n

1 m i=n2 m i= i i[1, q]

Nota :EnC :Siempre da n

En : podra dar menos que n

autovalor de A

r autovalor de rA

k es autovalor de Ak (kN>0)A inversible1 autovalor de A1

+r es autovalor de A+r I

Adiagonalizablep(A)=P1 P(D )P es diagonalizable

Teorema de CayleyHamiltonAK n x np ()= pA()=det( IA)

p(A)=0

Teorema :

AC n x n , pA()=det ( IA)pA()=

ntraza (A)n1+...+(1)ndet (A)

Traza (A)= idet(A)= i

Definicin : Matriz Semejante

AK n xn es semejante a BK n x n en K n x n si

PK n xn inversible /A=P B P1

Notacin : A ~B

AK n x n diagonalizable en K n x nDK n xn diagonal / A~D

Propiedades :

A~ A (reflexividad )A~BB ~ A (simetra)A ~B , B ~C A~C (transitividad)

Matrices Semejantes

Mismos autovaloresautoespacios vinculados

Teorema

T :V V T.L. , dim(V )=n ,B , B ' bases de V

T B ~T B '

TeoremaA~B ,A=P B P1

PK n x n inversible

(1) p A()= pB()(2)K (A)=K (B)(3)vS

BP vS A K (B)

(4)dim(SB)=dim(S

A)

y adems(B )=( A)m(B )=m( A)

Corolario :

A ~B

Traza (A)=Traza (B)det (A)=det (B)

DefinicinEl polinomio caracterstico de Tesel caracterstico de AT Bcon B una basecualquiera de V

PT ()=caracterstico deT

Observacin :

El polinomio obtenido no dependede la base B elegida

pues T B ~T B 'para cualquier par de bases B , B '

m=multiplicidad algebraica de

=multiplicidad de como raz de PT

=multiplicidad geomtrica de =dim(S )

Definicin :T :V V con V un kespacio vectorialde dimensin n ,

es diagonalizable si

base B de V /T B es diagonal

T es diagonalizableuna base de V formada por autovectores deT

Teorema :

Sea T :V V conV un Ke.v. de dimensin n

son equivalentes :

T es diagonalizable

T B es diagonalizable en Kn x n

baseB deV

Matrices unitarias y ortogonales

ACn xn es unitaria si

AH =A AH=I(A1=AH)A

si ARn x n esunitaria ,

sedice que A esortogonal

(A1=AT )

SiU esunitaria ,

U , U T ,U H son unitarias

Teorema :

Son equivalentes :

U es unitarialas columnas de U forman una bon deCn

las filas deU forman una bon deCn

Hecho:Si A y B soncuadrados , AB=I

BA=IAB=I Nul (B)={0}B X=0 X=0 B es inversible A=B1

URn xn es ortogonal

sus columnas( filas)forman una bon de Rn

Propiedades de las matrices unitariasU Cn xn unitaria x , yCn ,(Ux ,Uy)=(x , y) xCn ,Ux=xC(U )=1det (v)=1Si V esunitario ,UV es unitarioPara autovalores distintoscorresponden autovectores distintos

1

2

3

4

5

6

ACn x n es hermtica AH=A

An xn es simtrica AT=A

ACn x nes hermtica :C (A)

Si y sonautovectores diferentesS S

A es diagonalizable(o sea S 1S 2..=Cn)

(x , Ay)=(Ax , y)

1

2

3

4

ACn x n

(x , Ay)=(AH x , y) x , yCn

Si ACn x n eshermtica

, sonautovalores diferentes de A

S S

Teorema :ACn x n hermtica

m= autovalor de A

Corolario :

ACn x n hermticabon deCn formado por autovectores de A

Definicin

ACn x n es diagonalizable unitariamente si

U Cn xn unitaria y DCn xn diagonal/A=U D U H

An x n esdiagonalizable ortogonalmente si

Pn x n ortogonal y Dn x n diagonal/A=P D PT

Definicin

Teorema espectralACn x n hermtica

Todos los autovalores de A son reales

C(A)Autoespacios asociados a diferentesautovalores sonortogonales entre si

A esdiagonalizable unitariamente

A simtrica A diagonalizable ortogonalmente

1

2

3

4

Toda matriz antisimtrica reales diagonalizable unitariamente

Formas CuadrticasQ :ncon Q (x)=xT A x , An x n simtrica

Si A=[1 0 00 2 00 0 n]Q(x )=1 x1

2+...+n xn2

Q es una forma cuadrtica

Una funcin Q :n esuna forma cuadrtica si

An x n simtrica/Q(x)=xT A x

Ventaja de la forma diagonal:

Es fcil de analizar, como circunferencias, hiprbolas, etc.

Cambio de Variable para eliminar productos cruzados

Sea Q (x)=xT A x , An x n , AT=A

Como A es real y simtrica A esdiagonalizable ortogonalmente

A=P D PT

P ortogonalDn x n diagonal

hacemos cambios de variable

x=Py y=PT x

Q(x)= xT A x= yT D y

Q (x)= i y i2 ,

D=[1 0 00 2 00 0 n]

Teorema de los ejes principalesSi An x n simtrica

Pn xn ortogonal/el cambio devariable x=Pytransforma la formacuadrtica

q (x)=xTA xen la forma cuadrtica sin productos cruzados

Q(x)=Y T D y si x=Pycon Dn x n diagonal

Adems :

Las columnas de P forman una bon deny son autovectores de

Los elementos de la diagonal de Dson autovalores de A

A

Interpretacin Geomtrica del cambio de variable

P=[v1 v2 ]

con B={v1 , v2}una bon de2

Six=Py=[v1 v2][ y1y2]= y1v1+ y2 v2

y=[x ]BObservacin

yes tomar coordenadas respectode los dosvectores

Cada columna deP define un eje

Signodeuna forma cuadrtica(clasificar la forma cuadrtica )

Dada una forma cuadrtica Q :n ,Q es :

definida positiva (d.p.)si Q(x)>0 x0

semidefinida positiva (s.d.p.)si Q(x)0 x

definida negativa (d.n.)si Q(x )0 x2 /Q(x2)

Observacin :Q esd.p.Q es d.n.

Q es s.d.p.Q es s.d.n.

Una matriz An xn simtricaes d.p. , s.d.p. , d.n. , s.d.n. , indef. si la forma cuadrtica es :

Q(x)= xT A x

yes d.p. , s.d.p. , d.n. , s.d.n. , indef. respectivamente

En generalQ( x)= i xi2 = xT A xAn x n simtrica

d.p.i>0is.d.p.i0 id.n.i0i

Matriz unitariap.i. entre 2 columnas tiene que dar 0

T.L. ortogonalconserva producto interno

Optimizacin con restriccionesPreliminar

Sea Q :nuna forma cuadrtica sin productos cruzados

Supongamos que Q (x)= xT D x con D=[1 0 00 2 00 0 n]y 12...n

mx=2=r r+1

mx se repiter veces

nk+1=nk+2=...mn serepite n veces

(1) mx2Q(x) Mx

2 xn

(2)

Q(x )= Mx2 x=[

x1xr00]Q(x)=mx2 x=[ 00xn k+1

xn]

(3)mxx0

Q (x)x2

=M y sealcanza en los x0/

x=[x1xr00]

mnx0

Q(x)x2

=m y se alcanza en los x0/

x=[00

xn k+1xn]

(4)mxx=1

Q ( x)= M y sealcanza en los x0 /

x=[x1xr00]x=1

(5)mnx=1

Q (x)=m y sealcanza en los x0 /

x=[00

xnk+1xn]x=1

Caso general con cambio de variablesSea Q(x)=xT A x , An x n simtrica

Pn x nortogonal , D=[1 0 00 2 00 0 n]/A=P D PT

Supongamos que 1...nM=mx{ / es autovalor }serepite r veces

m=mn{ / esautovalor }se repiten veces

Si{v1 ... vn}es bon den ,

B=[v1 ... vr ]

{v1 ... vr}esbon de Smx

{vnk+1 ... vn}esbon de S mn

y secumple la igualdad

Q (x)= Mx2 yT D y= My

2

x=[v1 ... v2 ][y1yr00] y=[

y1yr00]

x= y1 v1 +...+ yr vr xS M

Haciendo x=P y

Q(x)= xT A x= yT D y

mx2=my

2Q (x)=xT A x= yT D y Mx2=My

2

mx2Q(x ) Mx

2

Con un razonamiento similar :

Q (x)=mx2 xSm

mxx0

Q(x)x2

=M

mQ(x )x2

M

Adems

Q(x)x2

=M xS M{0}

Q (x)x2

=m xSm{0}

mxx0

Q (x)= M

y sealcanza en los xS M{0}

mnx0

Q ( x)=m

y sealcanza en los xSm{0}

mxx=1

Q (x )= M

y se alcanza en los xS M /x=1

mnx=1

Q (x)=m

y sealcanza en los xSm/x=1

Teorema :An x n simtrica , Q (x)=X T A xM y m el mximo y mnimoautovalor de AS M , S m los respectivos autoespacios

mx2Q(x ) Mx

2 xn

Desigualdad de Rayleigh1

AdemsQ (x)=Mx

2 xS M

Q (x)=mx2 xSm

(2)mx

x0

Q(x)x2

=M

y sealcanza en los xS M{0}

mnx0

Q ( x)x2

=m

y se alcanza en los xS m{0}

(3)mxx=1

Q ( x)= M

y sealcanza en los xS M /x=1

mnx=1

Q( x)=m

y se alcanza en los xS m /x=1

Observacin :

Para restricciones distintas ,se pueden hacer cambios de variablepara que la norma sea igual a 1

Problema general de restriccin

El procedimiento consisteen hacercambio de variable con restr=1y luego resolver el cambio , expresandola forma cuadrtica con la nueva variable

Sea An x n simtrica ,Bn xn simtrica def. pos.

Hallar mx y mn de

Q(x)=X T A X

sujeto a X T B X=1

Nota : Si no es def.pos. , podra no existir

Resolucin mxX T B X=1

Q(x)

B def. pos.B=P D PT D=[1 0 00 2 00 0 n] , i>0D 1/ 2=D=[1 0 00 2 00 0 n] , (D)2=D

B=P D 1/ 2 D1 /2 PT

xT B x=xT U T U x=zT z=z2

z=Ux , x=U 1 z

x=P (D1 / 2)1 z

U T U

Q (x)=xT A x=zT (U1)T A U1 z=Q(z)

Q (x)=Q(z )=zT A z

xT B x=1 z2=1

mxxT B x=1

Q (x)=mxz=1

Q (z)= M ( A)

Los x que maximizan Q (x)sujeto a xT B x=1 son de la forma :

x=U 1 z

con zS M ( A)( A) z=1

Nota : Sirve para productos cruzados ,ya que estoy haciendodos cambios de variable:

alinear elipsetransformar =1

y sehacen de una sola vez con

Esta resolucin tiene el defectode tener que diagonalizar B

1

2

U

Otra forma :

si buscamos /det (A B)=0

Los son reales , el mx es M ( A)

mxxT B x=1

Q(x)=mx{ /det (A B)=0}

el mximo sealcanza en los x /

A x=m( A)B x xT B x=1

mx { /det (A B)=0}= M (A , B)

M (A , B)=mx( A)

A x=M (A , B)B x x

T B x=1

EcuacionesCudricas

Paraboloide Circular : z=x12+x2

2

Paraboloide elptico : z=x1a2

2

+x2b2

2

Paraboloide hiperblico : z=x12x2

2

Circunferencia : x12+x2

2=r2

elipse :x1a2

2

+x2b2=1

hiprbola :x1a2

2

x2b2=1

2

2

Curva de nivel :(de z=q(x ))

Son los puntos X de n /

k=q (x)

Valores Singulares

Dado An x n ,

ATA n x nes simtrica y s.d.p.

xn , xT (AT A ) x=Ax20

Todos los autovalores de ATA son reales y0

Si ordenamos los autovaloresde ATA en forma decreciente

1...nEntonces

i= i esel isimovalor singular de A

ProposicinSea An x n y 1 y n el mayor y menorvalor singular de A

mxx=1

Ax=1 mnx=1

Ax= n

1xAxnx xn

Nota : Los valores singulares dan informacinacerca de cuantoestira como mximo ymnimo la matriz Aal multiplicar un vectorde norma 1

T (x)=A xA2 x 2

1 2

Valores singulares

TeoremaSea An xn , 1 , ... , r autovalores de A

T A ,1... r=...= n=0

(AT A tiene r autovalores distintos de 0)

Sea {v1, ... , vn}una bon de n/ AT A vi= i vi

(bon deautovectores de AT A)

{A v1 , ... , Avm}esun conjunto ortogonal ,

Av i=i=i

{Av1 1

, ... ,A vr r}es bon deCol (A)

{vr+1 , ... , vn}esbon de Nul (A)

rg A=r=n de valores singulares distintos de 0

v1vr

vr+1vn

x A

A v11

A vr r

bon deCol (A)

bonFil (A)

bonNul (A)

Descomposicin envalores singulares de ASea Am x n , una descomposicin envalores singulares de Aes una factorizacin de A :

A=U V T

con U m xn , Vn xm ortogonales y m x n /

=[1 0 0 00 2 0 00 0 r 00 0 0 0

] 1... r>0n

m

Observacin :

en aparecenv.s.0V trae informacin sobre Fil y Nul

U traeinformacin sobreCol

Teorema

Si A=U V TU.V og.

=[1 0 0 00 2 0 00 0 r 00 0 0 0

] 1... r>0

AT=V U TAT=U ( )V T es DVS de AT

T

Observacin :Conviene para trabajar con matrices ms chicas

TeoremaSi tengo DVS tengociertainformacin sobre la matriz A

Sea An x n , A=U V T esuna DVS de A Si V=[v1 ... vn] , V r=[v1 ... vr ] ,

V nr=[vr+1 ... vn]

U=[u1 ... un] , U r=[u1 ... ur ] ,U nr=[u r+1 ... un]

(1)1 ,2 ... , r son los valores singulares no nulos de A

rg (A)=r

(2){v1 ,... , vr}es una bon den

AT A v i=i2v i i=1 ... r

AT A v i=D

,

(3){v1 ,... , vr}es una bon de Fil (A) ,

{vr+1 ,... , vn}es bon de Nul (A)

V r V rT=PFil ( A) V nr V n r

T =PNul ( A)

(4){u1 , ... , um}es bon m ,

{u1 , ... , um}es bon de Nul (AT )

U rU rT=PCol ( A) U rmU rm

T =PNul ( AT )

de

Observacin :

A y AT tienen los mismos valores singulares nonulos

DVS ReducidaSi A=U V T es DVS de A con

=[ 1 0 0 00 2 0 00 0 r 00 0 0 0

]Sea D=r=[1 0 00 2 00 0 r] =[D 00 0]

V=[v1 ... vr vr+1 ... vn]=[vr ... vnr ]V=[u1 ... u r ur+1 ... um]=[ur ... umr]

A=[ur ... umr ][D 00 0][ vrTvnrT ]=U r D V rTDVS Reducida

Solucin porcuadrados mnimos de longitud mnima

Amx n , bm ,

Ax=bsiempretiene solucin por cuadrados mnimos

Si xp es una solucin por c.m. ,todas las soluciones son de la forma

x= x p+xH con x HNul (A)

Si Nul (A){0} Hay sol. por c.m.

X es solucin por c.m. de norma mnima si :

(1)X es sol. porc.m.(2)x es sol. porc.m.

xX

Hay una nica sol. por c.m.de norma mnima que cumple :

(1) X es sol.c.m.(2)X Fil (A)=Nul (A)

Clculo de X usando DVS Reducida

A=U r DV rT

XFil (A) n / X =V r

X es sol.c.m. X =Vr D

1UrT b

V r D1U r

T=A+

pseudoinversa de MoorePenrose

X =A+ b