algebra abastracta (jorge de oro)

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ALGEBRA

NOTAS DE SALON DE CLASES

POR JORGE DE ORO IBAÑEZ

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PREFACIO.

Estas son notas de mis clases como profesor de Algebra Abstracta en la Universidad del Atlántico durante más de quince años. Contiene además algunos temas que he considerado de interés, dictados también en esta misma Universidad sobre Análisis Matemático y Teoría de Números, enfocados desde el Algebra. También he incluido ciertos conceptos desarrollados en cursos sobre Lógica y Teoría de Conjuntos, que a mi juicio son importantes para comprender la temática tratada. Realmente la elaboración de estas notas tiene una primera etapa correspondiente a la década de los 80, cuando inicié esta tarea recopilando los apuntes del momento en que esta asignatura se desarrollaba en dos semestres, en el programa de Licenciatura en Matemáticas de la Facultad de Educación. Con el surgimiento del programa de Matemáticas Puras y gracias a su primer Director Oswaldo Dede, se presentó la ocasión en los año 2004 y 2005, de desarrollar la materia en cuestión nuevamente durante dos semestre, brindándome ello una segunda oportunidad para exponer el material que durante cerca de diez años no había podido discutir en el incomparable escenario del salón de clase. De todas maneras durante ese tiempo amplié lo escrito con temas de los seminarios de Teoría de Número y Análisis Matemático y complementé con el material de Teoría de Conjuntos. De todas maneras como en esta segunda etapa solo he tenido una sola oportunidad de exponer las presentes notas en clase, aspiro que al “colgarla” en éste medio pueda completar la etapa final de discusión antes de publicarla en un libro propiamente dicho. Son nueve capítulos con sus respectivas secciones, numeradas de tal manera que el primer número indica el capítulo, mientras que el segundo corresponde directamente a la sección, numeradas consecutivamente. Los comentarios, definiciones, corolarios, lemas, ejemplos y ejercicios, están también numeradas consecutivamente indicando los dos primeros números el capítulo y la sección respectiva, señalando el tercero su ubicación numérica consecutiva en ese capitulo y en dicha sección El Primer Capítulo puede ser omitido por quienes manejen los conceptos de función, ley de composición interna y además conozcan de la construcción de los naturales, según Peano, y de la construcción posterior de los números enteros y de los números racionales. En la sección 1.17 se desarrolla otra construcción de los números naturales cuyo objetivo es analizar si la suma definida en la construcción según Peano quedó bien planteada con la sola aceptación axiomática del principio de Inducción Matemática, ya que en la otra construcción se acepta como un axioma la existencia de una estructura aditiva asociativa y luego para definir el producto fue necesario demostrar el Teorema (1.17.32) de Definición por Recurrencia, a pesar de haber comprobado a esa altura el Principio de Inducción Matemática. De todas maneras esa discusión también puede ser obviada inclusive por aquellos que estén interesados en fortalecer el conceptos de operación binaria, y entrar en materia con los

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siguientes capítulos, en los que se abordan: grupos en el Segundo Capitulo y Anillos en el Tercer Capitulo, continuando de manera alterna, tratando subgrupos y subanillos en el Cuarto Capítulo, Grupos Cocientes y Anillos Cocientes en los capítulos Quinto y Sexto. Para luego continuar en el Séptimo con los teoremas de Sylow y terminar con el estudio de los módulos y extensiones de campos en los dos últimos capítulos, concluyendo con la imposibilidad de ciertas construcciones geométricas con regla y compás. Las notas pueden ser adaptadas para trabajar a la manera clásica. Es decir agotando primero los temas de grupos hasta los teoremas de Sylow y luego proseguir con los capítulos relativos a la Teoría de Anillos. En las secciones 3.8 construimos el sistema de los números reales utilizando las Cortaduras de DEDEKIND y luego en la sección 6.8 se resuelve esa construcción mediante el sistema de sucesiones, debido a Cantor. En el de las cortaduras solo se necesita de los conceptos elementales de anillos, mientras que en el de Cantor es importante manejar la temática de Anillo Cociente. Es decir se muestra el proceso de construcción desde los Naturales hacía los Reales. Con la Definición 6.8.45 se inicia la demostración del proceso recíproco. Es decir desde los Reales hacía los Naturales. La mayoría de los problemas cuentan con sugerencias de tal forma que en algunos casos, el verdadero ejercicio es justificar los diferentes pasos mostrados. El material está elaborado para desarrollarlo en dos semestres, por ello trabajo en Teoría de Galois y campos finitos, pensando en la ampliación a tres semestres. Jorge de Oro Ibáñez Barranquilla, Agosto de 2004.

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Tabla de Contenido.

CAPÍTULO 1. OPERACIONES BINARIAS ........................................................... 8 1. 1. DEFINICIÓN Y COMENTARIOS. ...................................................................................................... 8 1.2. TABLAS. ................................................................................................................................................. 17 1.3 EJERCICIOS........................................................................................................................................... 20 1. 4. ESTRUCTURAS ASOCIATIVAS....................................................................................................... 23 1.5. EESSTTRRUUCCTTUURRAASS MMOODDUULLAATTIIVVAASS....................................................................................................... 30 1 6. ESTRUCTURAS INVERTIVAS. ......................................................................................................... 32 1 7. ESTRUCTURAS CONMUTATIVAS. ................................................................................................. 35 1.8. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ISOMORFAS. ............................................................................ 36 1.9. EJERCICIOS.......................................................................................................................................... 39 1.10. LOS NATURALES SEGÚN PEANO................................................................................................. 40 1.11 OTROS TIPOS DE OPERACIONES ................................................................................................. 48 1.12. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 48 1.13 RELACIONES DE EQUIVALENCIA................................................................................................ 50 1.14 EJERCICIOS......................................................................................................................................... 52

1.15 CONSTRUCCIÓN DE ℤ y Q. ............................................................................................................ 53 1.16. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 57

1.17. RELACIONES DE ORDEN Y OTRA CONSTRUCCIÓN DE ℕ. .................................................. 58 1 18 EL LEMA DE ZORN............................................................................................................................ 69 1 19. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 70

CAPÍTULO 2 GRUPOS.............................................................................................. 72 2.1. INTRODUCCION.................................................................................................................................. 72 2.2 DEFINICIÓN Y DISCUSIÓN................................................................................................................ 74 2.3 PROPIEDADES ELEMENTALES. ...................................................................................................... 80 2. 4. EJERCICIOS......................................................................................................................................... 85 2.5. CLASES RESIDUALES MODULO n.................................................................................................. 90

2.5 1. Introducción....................................................................................................................................... 90 2.6 GRUPOS DE ORDEN 1,2,3 y 4.............................................................................................................. 97 2.7 EJERCICIOS......................................................................................................................................... 102 2. 8.HOMOMORFISMO DE GRUPOS. ................................................................................................... 103 2. 9. EJERCICIOS....................................................................................................................................... 107 2.10. LAS RAÍCES n-ésimas COMPLEJAS DE LA UNIDAD. .............................................................. 109 2.12. EL GRUPO SA .................................................................................................................................... 112 2.13. OTROS GRUPOS DE PERMUTACIONES.................................................................................... 116 2.14 EJERCICIOS....................................................................................................................................... 122

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CAPÍTULO 3.. AANNIILLLLOOSS ........................................................................................... 124 3.1. DEFINICIÓN Y COMENTARIOS .................................................................................................... 124 3.2 EJERCICIOS......................................................................................................................................... 133 3.3. DOMINIOS ENTEROS Y CAMPOS................................................................................................. 137 3.4. HOMOMORFISMO DE ANILLOS................................................................................................... 141 3.5.. EJERCICIOS....................................................................................................................................... 148 3.6. EL ANILLO DE LOS POLINOMIOS ............................................................................................... 150 3.7. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 154 3.8. CORTADURAS DE DEDEKIND. ...................................................................................................... 156

3.8.34. Conclusiones: ................................................................................................................................ 176 3. 9 EJERCICIOS........................................................................................................................................ 177

CAPÍTULO 4. SUBGRUPOS Y SUB ANILLOS ............................................................. 179 4.1. DEFINICIÓN Y COMENTARIOS. ................................................................................................... 179 4.2.EJERCICIOS......................................................................................................................................... 182 4.3..DEFINICIÓN DE SUB-ANILLO. ...................................................................................................... 184 4.4.EJERCICIOS......................................................................................................................................... 185 4.5...SUBGRUPOS CÍCLICOS. ................................................................................................................. 186 4.6..EJERCICIOS........................................................................................................................................ 188 4.7..HOMOMORFISMOS DE GRUPOS Y ANILLOS ........................................................................... 188 4.8.EJERCICIOS......................................................................................................................................... 193 4.9..GRUPOS CICLICOS FINITOS E INFINITOS. ............................................................................... 194 4.10-EJERCICIOS ...................................................................................................................................... 197 4.11 EL ANILLO DE LOS ENTEROS ..................................................................................................... 198 4.12-PROBLEMAS ..................................................................................................................................... 204

4.13 OTRAS PROPIEDADES DE ℤℤ * ........................................................................................................ 205

4.14- K[x] VERSUS ℤ.................................................................................................................................. 211 4.15.- EJERCICIOS. ................................................................................................................................... 223 4.16. ANILLOS EUCLIDEANOS.............................................................................................................. 226 EJERCICIO 4.17......................................................................................................................................... 228 4.18 ENTEROS GAUSSIANOS ........................................................................................................ 229 EJERCICIOS 4.19....................................................................................................................................... 231

CAPÍTULO 5. GRUPO COCIENTE. ..................................................................... 233 5.1 PARTICION DE UN GRUPO.............................................................................................................. 233 5.2 APLICACIONES .................................................................................................................................. 240 5.3. TEOREMAS DE HOMOMORFISMO.............................................................................................. 244 5.4 EJEMPLOS ........................................................................................................................................... 248 5.5 EJERCICIOS......................................................................................................................................... 248

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CAPÍTULO 6 ANILLOS COCIENTES ................................................................. 253 6.1 SUMA Y PRODUCTO DE CLASES................................................................................................... 253 6.2. TEOREMAS DE HOMOMORFISMOS............................................................................................ 255 6.3.-IDEALES PRIMOS E IDEALES MAXIMALES. ............................................................................ 260 6.4- EXISTENCIA DE IDEALES MAXIMALES.................................................................................... 267 6.5. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 269 6. 6.CRITERIOS DE IRREDUCIBILIDAD. ............................................................................................ 272 6.7. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 280

6.8. MÉTODO DE CANTOR PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONJUNTO ℝ DE LOS NÚMEROS REALES................................................................................................................................. 280 6.9 EJERCICIOS. ........................................................................................................................................ 302 6.10.CAMPOS DE DEDEKIND................................................................................................................. 303 6.11. EJERCICIOS...................................................................................................................................... 313

CAPÍTULO 7. TEOREMAS DE SYLOWS .......................................................... 315 7. 1. LA RELACION CONJUGADO Y LA ECUACION DE CLASE................................................... 315 7.2. APLICACIONES ................................................................................................................................. 317 7.3 p-GRUPOS y p-SUBGRUPOS DE SYLOW....................................................................................... 320 7.4. GRUPOS DE ORDENES p, p2

, p3, pq.. .............................................................................................. 333 7.5 EJERCICIOS......................................................................................................................................... 341 7.6. OTRA DEMOSTRACION DE LOS TEOREMAS DE CAUCY Y SYLOW ................................. 346 7.7. EJERCICIO.......................................................................................................................................... 352 7.8. PRODUCTOS DIRECTOS Y EXTERNOS DE GRUPOS. ............................................................. 353 7.9 Ejercicios. ............................................................................................................................................... 360 7.10. APLICACIONES ............................................................................................................................... 361

CAPÍTULO 8. MODULOS Y ESPACIOS VECTORIALES. ......................... 363 8.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS......................................................................................................... 363 8. 2 EJERCICIOS........................................................................................................................................ 372 8.3. ESPACIOS VECTORIALES. ............................................................................................................. 377 8.4. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 392

CAPÍTULO 9. EXTENSIONES DE CAMPOS. ................................................. 395 9.1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES ELEMENTALES ....................................................................... 395 9.2. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 401 9.3. EXTENSIONES ALGEBRAICAS...................................................................................................... 401 9.4. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 409 9.5. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPAS ........................................................................... 409 9.6. EJERCICIOS........................................................................................................................................ 423

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CAPÍTULO 1. OPERACIONES BINARIAS

1. 1. DEFINICIÓN Y COMENTARIOS. Se trata de formalizar el concepto "operación binaria" sobre la base de observar tres características notables en la suma y en la multiplicación usuales de elementos del conjunto ℝℝ de números reales. La primera de ellas nos indica que siempre es posible sumar o multiplicar cualquier par de números reales. En segundo lugar es apreciable que el resultado de sumar o multiplicar cierto par arbitrario de números reales es otro número real. Es decir, si a,b∈ℝℝ, entonces a+b,ab∈ℝℝ . La tercera observación apunta en el sentido de señalar que el resultado de sumar o multiplicar un par de números reales es un único número real. Sólo quien desconoce las reglas para sumar o multiplicar números reales o carece de pericia en el manejo de ellas, le acontece que o no puede operar algún par de estos o cada vez que efectúa la operación, con los mismos números, obtiene resultados diferentes. Las tres apreciaciones señaladas son válidas en la resta usual de reales, más no lo es con relación al conjunto ℕ de los números naturales, puesto que 1-2∉ℕ, a pesar de que 1,2∈ℕ En la división usual, de números reales no es posible dividir por cero, fallando así la primera cualidad, complicándose en la eventualidad 0÷0, en la que cualquier resultado real que se adopte es válido para dicha división. Situación que nos lleva a aceptar la invalidez de la tercera cualidad en la división usual de reales. Afortunadamente las tres cualidades en referencia tienen cabal cumplimiento al restringir la división al conjunto de los números reales diferentes de cero, notado ℝℝ*. Según éstas observaciones, la suma, la resta y la multiplicación de números reales, se equiparan con los rasgos centrales de una función del producto cartesiano ℝℝxℝℝ en ℝℝ, puesto que cada una de esas operaciones transforma a cada pareja de reales (a,b), en un único real, a+b o a-b o a.b, según la operación correspondiente. Por esta razón presentamos la siguiente Definición: Definición 1.1.1. Si G es un conjunto, diremos que “o” es una operación binaria en G o una ley de composición interna en G, si “o” es una función de GxG en G. Además si (a,b)εGxG, a su única imagen en G, segú o, la notaremos aob

En consecuencia, comprender qué es una función es básico para entender el concepto de operación. Por ello nos detendremos un poco en su estudio, iniciándolo con una discusión de la definición de relación entre dos conjuntos, ya que si A y B son conjuntos, una función de A en B, es un caso especial de relación de A en B.

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Definición 1. 1. 2. Diremos que R es una relación de A en B, si R⊆AxB. Además si (a,b)εR, notaremos aRb, que se lee “a está relacionado con b”, según R.

1. 1. 3. De acuerdo a la Definición anterior, se pueden definir tantas relaciones de A en B como subconjuntos de AxB existan. Lo cual nos indica que en caso de ser A y B conjuntos con n y m elementos, respectivamente, entonces como AxB tiene nm elementos y para cualquier entero kε[0,nm], el número de subconjuntos de AxB con k elementos es

2.3....ndonde..n!,k!k)!(nm

(nm)!k

nm=

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, se infiere que el número de subconjuntos de AxB y

en consecuencia el número de relaciones definibles de A en B es : nm2

nmnm

...1

nm0

nm=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ejemplo 1. 1. 4. Observe que según la Definición 1. 1. 2, si R es una relación de A en B y aεA, no se colige la existencia de bεB tal que (a,b)εR. Por ejemplo, Si A=1,2,3 y B=4,5,6,7, entonces R = (1,4), (2,5), (2,7) es una relación de A en B, puesto que R⊆AxB. Pero a pesar de que 3εA, no existe una pareja en R que tenga como primera componente a 3. Es decir, no es posible encontrar xεB, tal que (3,x)εR.

Naturalmente si R es un subconjunto no vacío de AxB, debe existir por lo menos un aεA que figure como primera componente de una de las parejas de R, ese es el caso de los elementos 1 y 2 de nuestro ejemplo, situación que se expresa manifestando que R está definida en 1 y en 2, de acuerdo a la terminología de la siguiente Definición: Definición 1.1.5. Si R es una relación de A en B, aεA y K⊆,A, entonces: i) R está definida en a, si existe bεB tal que aRb; ii) R esté definida en K, si R está definida en cada uno de los elementos de K Definición 1.1.6. Si R es una relación de A en B y K⊆A, entonces i) definimos R(K) = x∈B/(k,x)∈R, para algún k∈K;. ii) Si a∈A, entonces R(a)=x⇔(a,x)∈R. Ejemplo 1.1.7 Del Ejemplo 1. 1. 4, si K = 1,2, entonces R(K) = 4,5,7. Pero si K = 2 o K = (1,2 y T = 2,3, entonces: R(K) = 4,5,7, R(T) = 5,7 y. R(3) = ∅ = conjunto vacío. También R(1) =4, R(2)=5 y R(2)=7. Definición 1.1.8. i) R es una relación, si R es un conjunto de parejas ordenadas; ii) R está definida en a, si existe x tal que (a,x)∈R; iii) R está definida en K, si R está definida en cada elemento de K. Estamos ahora preparados para plantear la siguiente definición de función.

Definición 1.1.9 Diremos que una relación F, es una función de A en B; si F es una relación de A en B, definida en A tal que para cada aεA, F(a) es un subconjunto unitario de B. Análogamente al concepto de relación se define el siguiente concepto de función.

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Definición 1.1.10. Una relación f es una función, si (∀a)(∀b)(∀c)((a,b),(a,c)∈f⇒ b=c) 1.1.11 Esquemáticamente: Si F es una relación, entonces F es una función de A en B, si y sólo si: i) F es una relación de A en B; ii) F está definida en A y iii) Si a∈A, entonces F(a) es un conjunto unitario 1.1.12. Si R es una relación de A en B y a∈A tal que R está definida en a, entonces a los elementos de R(a) los llamaremos imágenes de a según R. Demostremos el siguiente Teorema de caracterización: Teorema 1.1.13. Si f es una relación, entonces f es una función de A en B, si y sólo si: Fi: f está definida en A Fii: Si aεΑ, entonces existe x∈B tal que (a,x)∈f.. Fiii: si aεA y c,d∈B tales que (a,c),(a,d)∈f, entonces c=d. Demostración. Si f es una función de A en B, entonces según .1.1.11, f es una relación de A en B, definida en A y por lo tanto Fi es válido. En particular f está definida en a y por la Definición 1.1.5. existe x∈B tal que (a,x)∈f. Por último, si (a,c),(a,d)∈f, entonces según la Definición 1.1.6, se deduce que c,d∈f(a). Pero como de acuerdo con 1.1.11 se tiene que f(a) es un conjunto unitario, entonces c=d. Recíprocamente, si f es una relación que satisface Fi, Fii y Fiii, para demostrar que f es una función de A en B, la Definición 1.1.9 orienta que solo resta verificar que. para cada a∈A, f(a) es un conjunto unitario. . Sean c,d∈f(a), entonces según la Definición 1.1.6, se deduce que (a,c),(a,d)∈f.. Entonces por Fiii, se infiere que c=d. Luego f(a) es un conjunto unitario. 1.1.14. para una relación f definida en a, notaremos f(a) en vez de f(a), e informalmente aceptamos, para abreviar, escribir f(a)=b en vez de b∈f(a). Es decir f(a)=b equivale a (a,b)∈f . Por ejemplo, si R=⎨(1,2),(2,4),(1,5)⎬, entonces R(1)=2, R(1)=5, R(2)=4. 1.1.15. Con la notación informal definida 1.1.6, el Teorema 1.1.13 cobra la siguiente forma: Si f es una relación, entonces f es una función de A en B, si y sólo si: Fi: f está definida en A Fii: Si aεΑ, entonces f(a)∈B.. Fiii: si a,bεA y a=b, entonces f(a)=f(b). 1.1.16. La notación improvisada en 1.1.6 tiene como objetivo agilizar la parte de procedemieto para verificar que f sea una función. Su utilidad se capta más en el manejo del concepto de operación binaria interna, próximo a presentarse.

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Para el primer caso al definir por ejemplo f del conjunto ℚ. de los números racionales en ℤ como f(a/b)=a+b, si a,b∈ ℤ y b≠0, entonces f no es una función porque a pesar de que 2/3=4/6, se tiene que f(2/3)=5, mientras que f(4/6)=10. Corolario 1.1.17. Una relación o es una operación binaria en G, si y sólo si : Oi:o. está definida en GxG (abreviadamente o está definida en G). Oii: Si a,b∈G, entonces aob∈G. Oiii. Si a,b,c,d∈G tales que a=c y b=d, entonces aob=cod. La condición Oii es conocida como la propiedad clausurativa de “o”. También es costumbre afirmar que “o” satisface la cerradura en G o que “o” es cerrada en G.

La condición Oiii expresa que el resultado obtenido al operar un par de elementos de G es único, en el sentido de no depender de la forma que adopten los elementos operados. El siguiente Corolario presenta una alternativa de simplificación a la condición Oiii Corolario 1.1.18. Una relación “o” es una operación binaria en G, si y sólo si : 1): “o” está definida en G 2): Si a,bεG, entonces aobεG. 3) Si a,b,c,G tales que a=b, entonces aoc=boc y coa=cob Demostración. Si “o” es una operación en G, el Corolario anterior indica que 1), y 2) son válidos. Al aplicar Oiii a la consideración a=b y c=c, obtenemos aoc = boc. Como obviamente también es cierto que c=c y a=b, entonces por Oiii , coa=cob. Luego a=b implica que aoc=boc y coa=cob. Recíprocamente, al aceptar 1),2) y 3), obtenemos Oi y Oii. Resta por lo tanto comprobar que 3) implica Oiii. Para ello consideremos a,b,c,d∈G tales que a=b y c=d. Al aplicar 3) con a=b, obtenemos : aoc=boc, pero como también c=d, inferimos que boc=bod. Por lo tanto aoc =bod. La condición Oiii puede abreviarse aún más cuando “o” es conmutativa, es decir si para cualquier a,b∈A; aob = boa, tal como lo indica el siguiente corolario, cuya demostración es inmediata (Ver Ejercicio 11..33..1177) : Corolario 1. 1.19. Una relación o de GxG en G tal que aob = boa, para todo a,b∈G, es una operación binaria en G, si y sólo si : 1): o está definida en GxG o abreviadamente o está definida en G. 2): Si a,b∈G, entonces aob∈G. 3) Si a,b,c∈G tales que a=b, entonces aoc=boc. 1.1.20. A pesar de que en la última sección de este capitulo abordaremos la construcción de los números naturales ℕ, así como la de los enteros ℤ y la de los racionales ℚ, vamos a

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aceptar que la suma y el producto usual de números reales son operaciones en ℝℝ. De igual manera en las secciones preliminares aceptaremos que la suma y multiplicación usuales de reales son operaciones en ℕ, ℤ, y ℚ. 1.1.21. Esquemáticamente el Corolario 1.1.18, tiene la siguiente forma: i) La relación “o” es operación en G, ⇔i) (∀a,b∈G)(“o” está definida en (a,b)); ii) (∀a,b∈G)(aob∈G) y iii) (∀a,b,c,d∈G)(Si a=c ∧b=d, ⇒ aob= cod. En consecuencia su negativa cobra la siguiente presentación: i) La relación o no es operación en G ⇔ (∃a,b∈G)(“o” no está definida en (a,b))∨ (∃a,b∈G)(aob∉G)∨ (∃a,b,c,d∈G)( a =c ∧b=d ∧ aob≠ cod). Ejemplo 1.1.22. Si I es el conjunto de los números reales irracionales, o sea aquellos reales que no son de la forma p/q, con p,q∈ℤ y q≠0, entonces la suma usual y producto usual de reales no son operaciones en I, por que √2, -√2∈I(Ver Ejercicio 11..33..66), pero √2+ (-√2)=0 y

√2√2 =2, pero 0,2∈ℚ. Es decir no cumplen Oii.

Ejemplo 1.1.23. Si en el conjunto ℚ de los números racionales, definimos ∆ para a/b,c/d∈ℚ, como a/b∇c/d=(a+c)/bd, donde las operaciones en a+c y bd son la suma y multiplicación usuales de reales, entonces ∆ no es operación en ℚ, ya que 2/3 = 4/6 pero 2/3 ∇1/2 =1/2, mientras que 4/6∇1/2 = 5/12. . Luego 2/3∆1/2≠4/6∆1/2 y en consecuencia ∆ no se cumple 3) del Corolario 1.1.18. Ejemplo 1.1.24. Al considerar ℂℂ =(a,b)/a,b∈ℝℝ, que se conoce como el conjunto de los números complejos, veamos que + definida para (a,b), (c,d)∈ℂℂ, como (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (donde la operación en a+c y b+d, es la suma usual de ℝℝ), es una operación en ℂℂ. Demostremos Primero que (a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b), si (a,b),(c,d)∈ℂℂ. En efecto como a.b,c,d∈ℝℝ y la suma usual de reales satisface a+c = c+a y b+d = d+b, entonces (a+c,b+d) = (c+a,d+b). Luego (a,b) + (c,d) = (c,d) +(a,b) Evidentemente + satisface las condiciones 1) y 2) de Corolario 1. 1.19 . (Ver Ejercicio 11..33..1188). Además, si (a,b), (c,d), (e,f)∈ℂℂ, tales que (a,b)=(c,d) , entonces a=c , b=d. Pero como por Definición de ℂℂ, a,b,c,d,e,f∈ℝℝ y la suma usual es operación en ℝℝ, entonces por la condición 3) del Corolario 1. 1.19, tenemos: a+e=c+e y b+f= d+f. Por lo tanto, (a+e,b+f) =(c+e,d+f) . Es decir, (a,b) +(e,f) = (c,d)+(e,f), infiriéndose que la suma de complejos también satisface la condición 3) del Corolario 1. 1.19 y por lo tanto la suma de complejos es operación en ℂℂ.

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Ejemplo 1.1.25. En el conjunto ℂℂ también es una operación el producto “o” definido así : si (a,b),(c,d)∈ℂℂ, entonces (a,b)o(c,d)=(ac-bd,ad+bc) (las operación en ac,bd,ad y bc y en ad+bc y ac-bd, son el producto usual, la suma usual y la resta usual, respectivamente en ℝℝ. Es evidente que (a,b)o(c,d) = (c,d)o(a,b), si (a,b),(c,d)∈ℂℂ (Ver ejercicio 11..33..1144). Nuevamente no ofrece dificultad probar 1) y 2) del Corolario 1. 1.19. Si (a,b), (c,d), (e,f)∈ ℂℂ, tales que (a,b)= (c,d), entonces a=c y b=d. En consecuencia, por ser el producto usual de reales una operación en ℝℝ, obtenemos: ae = ce, bf = df, af = cf y be= de: Aplicando ahora que la suma y la resta usual de reales son operaciones en ℝℝ, inferimos por Oiii que ae-bf = ce-df y af+be=cf+de. Por lo tanto: (ae-bf,af+be)=(ce-df,cf+de), y por lo tanto (a,b)o(e,f) = (c,d)o(e,f). En síntesis, este producto satisface 1),2) y 3) del Corolario 1. 1.19, razón por la cual es una operación en ℂℂ. 1. 1.26. Con relación al producto usual en ℂℂ definido en el párrafo anterior, observe que (0,1)o(0,1)=(-1, 0). Por lo tanto, si notamos (0,1) = i y (x,0)=x, para todo x∈ℝℝ, se deduce que (a,b)=(a,0) +(b,0)o(0,1) = a+boi. De tal manera que al escribir abreviadamente a+boi=a+bi , se infiere que ℂℂ =a+bi\a,b∈ℝℝ, notación con la cual son más conocidos los números complejos. 1. 1.27. De acuerdo a la notación ℂℂ =a+bi\a,b∈ℝℝ, podemos aceptar que el conjunto ℝℝ de los números reales es un subconjunto del conjunto los números complejos ℂℂ. 1. 1.28 La resta usual no es una operación binaria en el conjunto de los números naturales ℕ, ya que 2,3∈ ℕ, pero 2-3=-1∉ℕ. EEssttee rreessuullttaaddoo enseña que si o es una operación en G, no necesariamente o es una operación en K, si K⊆G. El siguiente corolario, cuya demostración es inmediata, indica la condición sine quanon, para que “o” sea una operación en K.

Corolario 1.1.29. Si o es una operación binaria en un conjunto G y K⊆G, entonces “o” es una operación binaria de K, si y sólo si, aobεK, siempre que a,b∈K. O sea que “o” es una operación en K si y sólo si “o” es cerrada en K. Ejemplo 1. 1.30. Si ℝℝ es el conjunto de los números reales, ℚ el de los racionales e II el de los irracionales, al considerar KK=a+b√2/a,b∈II, analizar si la suma usual es una operación en KK.

14

Si a+b√2,c+d√2εKK, entonces (a+b√2)+(c+d√2)=(a+c)+(b+d)√2= α+ß√2, Por lo tanto al

considerar α=a+c y ß=b+d, se nos presentan las siguientes opciones: o α∈II y ß∈II, ó α∈ℚ y

ß∈ℚ, ó α∈ℚ y ß∈II , ó α∈II y ß∈ℚ

Veamos que en cualquier circunstancia α+ß√2εK. Obviamente que la primera opción es la ideal para concluir en α+ β√2εKK. Si la forma es α+ß√2, con α,ßεℚ , entonces α+ß√2= (α+√3)+(β- 23 ) √2∈Κ (Ver Ejercicio 11..33..66)

Si la alternativa es α+ß√2, con αεII y ßεℚ ; α+ß√2=(α -1)+( ß +2

1 )√2εKK.. EEnn llaa

eevveennttuuaalliiddaadd αα++ßß√2 con αεℚ y ßεII; α+ß√2=(α+√2)+(ß-1) √2εK. Por lo tanto, en todos las circunstancias α+ß√2εK y según el Corolario 1.1.29, la suma usual es operación en KK. Ejemplo 1.1.31. Sean ∇1, ..., ∇n .operaciones en E1, ... ,En, respectivamente y K = E1x ... xEn Si para (e1, ... . en), (c1, ... ,cn)∈K definimos ∗ como (e1, ... . en)∗(c1, ... ,cn) = (e1∇1c1, ... , en

∇ncn) entonces ∗ es un operación en K. Evidentemente ∗ satisface 0i y Oii (Ver Ejercicio 11..33..1122). Además si (e1, ... . en), (c1, ... ,cn), (b1., ... , bn), (d1., ... , bn)∈K tales que si (e1, ... . en)= (b1., ... , bn) y (c1, ... ,cn)= (d1., ... ,dn), entonces para i∈⎨1,2, …,n⎬ tenemos que ei = bi , ci = di y ∇i es una operación en Ei. Entonces ei∇ici = bi∇idi, para cualquier i∈⎨1,2, …,n⎬ Indicándonos estas n igualdades que (e1∇1c1, ... , en∇ncn) = (b1∇1d1, ... , bn∇ndn), y en consecuencia podemos concluir que ∗ también satisface Oiii. Luego ∗ es una operación en K Ejemplo 1.1.32. Si ℤ, ℚ y ℝℝ son respectivamente, los enteros, los racionales y los reales; y si además : ,+,- y o , corresponden a la suma. resta y multiplicación usuales de reales, entonces al considerar las estructuras algebraicas: <ℤ, +>, < ℚ,.o> y <ℝℝ,->, de acuerdo al Ejemplo anterior

* es una operación en K =ℤx ℚxℝℝ.

Note que en este caso: (3,1/4, √2+3),(5,4/5,3)∈K y : (3, 1/4, √2+3)∗(5, 4/5,3) = (3+5, 1/4.4/5, (√2+3)-3) = (8,1/5, √2). Ejemplo 1.1.33. Si ℝℝ es el conjunto de los reales, n∈ℤ+ ,+ =suma usual de reales, ℝℝn =(x1, ... , xn)/ x1, ... , xn∈ℝℝ, entonces ∗ definida como (x1, ... , xn) ∗(y1, ... ,yn) =(x1+y1, ... , xn+yn), si (x1, ... , xn), (y1, ... ,yn)∈ ℝℝn, es una operación en ℝℝn

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Antes de continuar con más ejemplos debemos clarificar los siguiente: Definición 1.1.34. Si f es una función de A en B, entonces i) f es inyectiva o uno a uno, notado f es 1-1; si f(a)f(b), siempre que a,b∈A y ab., ii) f es sobreyectiva o sobre, si para cada b∈B existe a∈A tal que f(a)=b. iii) Si f es inyectiva y sobreyectiva, entonces se diría que f es biyectiva. Definición 1.1.35. Una función f es inyectiva o uno a uno, notado f es 1-1 si, (∀a) (∀b) (∀c) (∀d)((a,c),(b,d)∈f ∧a≠b⇒c≠d). 1.1.36. De acuerdo con la definición anterior una función es inyectiva ⇔(∀a) (∀b)(f(a)=f(b)⇒a=b. Definición 1.1.37. Si f es una función de A en B, K⊆A y W⊆B, entonces f(A)=⎨f(a)/a∈A⎬ y f-1(W)=⎨a∈A/(∃w)(w∈W∧f(a)=w⎬. Definición 1.1.38. Si f es una función de A en B y g es una función de C en D y además f(A)⊆C, entonces definimos gof de A en D, como gof(a)=g(f(a)). El siguiente resultado es de verificación sencilla: 1.1.39 Si f es una función de A en B y g es una función de C en D y además f(A)⊆C, entonces gof de A en D, definida como gof(a)=g(f(a)), si a∈A, es una función de A en D.. (Ver Ejercicio 11..33..1111) Ejemplo 1.1.40. Si AA=f/f es una función de A en A y f,gεAA, entonces i) f=g, si y sólo si f(a)=g(a), para cualquier aεA (Ver Ejercicio 11..33..1111) y ii) Si definimos la composición de funciones en AA, notada o, de la siguiente manera: o transforma a (f,g) en fog donde f og(a)=f(g(a)), si aεA. Demostremos que o es una operación binaria en AA. En primer lugar si f,gεAA, entonces de acuerdo con 1.1.39, fogεAA, o equivalentemente fog es una función de A en A Supongamos que f,gεAA tales que f=f` y g=g` , entonces si aεA, g(a)=g`(a), por ser g=g` y como f=f`, f(g(a)) = f`(g`(a) ). Por consiguiente fog(a)=f`og`(a), para cualquier aεA, lo cual equivale a afirmar que fog=f`og`. Al demostrar en el párrafo anterior Oiii para o, concluimos en aceptar su carácter de operación binaria en AA. La operación o es conocida como la composición de funciones.

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Veamos como la composición de funciones definida en 1.1.38 agiliza, en algunos casos, la demostración del carácter de operación de ciertas reglas

Ejemplo 1.1.41 Sea ℝℝ el conjunto de los números reales y definamos en dicho conjunto como a b=a+(b/2), donde + es la suma usual de reales.

Evidentemente g: ℝℝxℝℝ→ℝℝxℝℝ definida como g(a,b)=(a,b/2) es una función (Ver Ejercicio 11..33..44), por lo tanto, si + es la suma usual de reales, se tiene, según 1.1.39, que es una función, puesto que = +og.

Por lo tanto, de acuerdo a la Definición 1.1.1, es una operación binaria en ℝℝ..

.. El ejemplo anterior no solamente es importante desde el punto de vista técnico, también enseña que las operaciones usuales no son las únicas que existen en el conjunto de los números reales.

Desde ese ángulo muestra una alternativa para obtener infinitas operaciones en los reales definidas con base en las usuales; puesto que por un procedimiento análogo se demuestra que, si nεℝ., n definida en ℝℝ, como a n b=a+(b/n) es una operación binaria en ℝℝ.

. El siguiente ejemplo ilustra otra forma de obtener operaciones en el conjunto de los números reales, esta vez no definida con base de las operaciones usuales.

Ejemplo 1. 1. 42. Como cualquier par de números reales, cuenta con un único máximo, la

relación o de ℝℝxℝℝ en ℝℝ, definida como aob= max(a,b)=⎩⎨⎧

≥≥

ab si b,ba si a,

; si a,b∈ℝℝ, es una función

y en consecuencia, según la Definición 1.1.1, o es una operación binaria en ℝℝ.

.Desde el Ejemplo 1.1.40 comenzamos a ampliar el panorama de las posibilidades para definir operaciones binarias. En ese caso "o" resultó definida en un conjunto que no es el de los números reales, se trataba de AA , es decir de un conjunto de funciones.

La Definición 1.1.1 no exige ningún requisito al conjunto sobre el cual se define una operación binaria. Más aún la naturaleza de los elementos de dichos conjuntos, como veremos más adelante, es secundaria frente al protagonismo que jugarán las operaciones binarias. Analicemos el siguiente caso: Ejemplo 1.1.43. Si G es un conjunto finito de personas comprometidas en un juego por parejas en el que en cada confrontación tiene que haber un ganador, entonces Ω es una

operación en G, si es definida para α,β∈G como αΩβ=⎩⎨⎧

α a derrota β si β,β derrota α si α,

(Ver Ejercicio

11..33..66)

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1.2. TABLAS. De acuerdo a la Definición 1.1.1. A puede ser dotado de tantas operaciones binarias como funciones de A x A en A se puedan definir. Representar dichas operaciones en conjuntos finitos es, algunas veces, más cómodo mediante el sistema de tablas.

Comencemos ilustrando con el siguiente ejemplo

Ejemplo 1 2.1. Si A=1,2,3, definimos ♣, así:

122313221321321

, en este caso : 1♣1=2, 2♣2=3,

3♣2=2 , etc. En el mismo conjunto A es factible definir otra operación notada +, de la siguiente manera:

Ejemplo 1.2.2. Si A=1,2,3, definimos +, así:

212331222211321+

Para esta situación: 1+3=2, 2+3=3, 3+3=2, etc.

Ejemplo 1.2.3. Aplicando el Ejemplo 1.1.31, considere: E1 = 01110010+

y E2=

102202112100210+

,

eventualidad en que obtenemos K = E1x E2= (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2). Para abreviar, llamemos a = (0,0), b =(0,1), c=(0,2), d = (1,0), e =(1,1) y f =(1,2). En consecuencia la tabla para * es la siguiente:

1.2.4. En vista de que es posible construir mn funciones de A en B, si dichos conjuntos tienen n y m elementos, respectivamente, entonces, si G tiene n-elementos, existirán

2nn funciones de GxG en G y por consiguiente es factible definir ese mismo número de operaciones binarias en G.

bacedffacbdfeecbafeddedfbaccdfeacbbfedcbaafedcba∗

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En particular, si G tiene 3 elementos, en este conjunto es viable definir 19.683 operaciones binarias.

Cada vez que se defina una operación binaria en G diremos que G ha sido dotado de una estructura algebraica, en el sentido de la siguiente definición: Definición 1 2. 5 Si G es un conjunto y . es una operación binaria definida en G, a la pareja <G,o> la llamaremos una estructura algebraica.

1 2. 6. Adaptando el resultado obtenido en 1.2.4 a la terminología de la Definición 1 2. 5, concluimos ue si G es conjunto con n elementos, entonces existen

2nn . estructuras algebraicas definibles en dicho conjunto.

1.2. 7 La Definición 1.1.1 se puede extender inductivamente a operar cualquier número finito de elementos en una estructura algebraica <G , o>. Ilustremos algunos casos particulares para comprenderlo.

Si x1,x2, ... ,xnεG, para obtener x1ox2ox3, primero calculamos x1ox2 y en seguida operamos éste resultado, que es un elemento de G , con x3. Es decir: x1ox2ox3=(x1ox2)ox3. Ahora podemos calcular x1ox2ox3ox4, apoyándonos en el resultado anterior, así: x1ox2ox3ox4=(x1ox2ox3)ox4= ((x1ox2)ox3)ox4. Análogamente: x1ox2ox3ox4ox5 = (x1ox2.ox3ox4)ox5 = (((x1ox2)ox3)ox4)ox5. En general: x1ox2o ... oxn =(x1ox2. ... oxn-1)oxn =((( ... .(x1ox2)ox3)o ... oxn-2)oxn-1)oxn. Orientándonos por el proceso anterior planteamos la siguiente Definición: Definición 1.2.8. Si <G,o> es una estructura algebraica y x1, ... ,xnεG, definimos x1o ... oxn

=⎩⎨⎧

1>n si ,)x x... ..x(x1=n si ,x

n1-n21

1

1.2. 9 Si <G,o> es una estructura algebraica y x1, ... ,xnεG, razonando inductivamente se demuestra que x1o ... oxnεG. En efecto, si n=1, la afirmación es válida, puesto que x1εG. Si n>1, al aceptar por hipótesis de inducción que x1o ... oxn-1 εG, se deduce por Oii, que x1o ... oxnεG, ya que según la Definición 1.2.8, x1o. ... oxn=(x1o ... oxn-1).xn. 1.2.10 Un caso particular de la Definición 1.2.8, es el obtenido al considerar n∈ ℤ +y x1 = x2= ...=xn =a, sustitución que nos lleva a notar x1o ... oxn = an y en consecuencia an =

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⎩⎨⎧

>

=

1n si a,a1n si a,

1-n. Por lo tanto de acuerdo a los demostrado en el numneral anterior, si <G,o> es

una estructura algebraica, a∈G y n∈ ℤ+, entonces an∈G. 1. 2.11. 1) En una estructura algebraica arbitraria , <G , o>, no siempre son válidas afirmaciones del tipo : i)anoam = an+m, ii)(an)m = anm, iii)(aob)n = an.bn , si n,mε ℤ+ yy aa..bb∈∈GG Por ejemplo, si A=⎨1,2,3⎬ y definimos o así:

223323223211321o

tenemos que 22o.22 = 3o.3 = 2. Mientras que 24 = 23o.2 = [(22). .2] ..2 = [3..2]. .2 = 2..2 = 3. Luergo 22o22 24. También : (22)2= (3).2 = 2, pero 24 = 3. Es decir (22)2 24. Por último: (3o2)3= 23= 2, pero 33o23= 2o2 = 3. Obteniendo (3o.2)3 33o23. 2) También se podría pensar en plantear la Definición 1.2.8 para n∈ℤ, n>1, como x1o ... oxn= x1o (x2o ... oxn). Obviamente los resultados en ciertas estructuras podrían ser diferentes. Por ejemplo, si G=a,b,c y o es una operación tal que aoa=a, aob=c y aoc=b , entonces al calcular aoaob=ao(aob), obtendríamos que aoaob=aoc=b, mientras que al calcular según la Definición 1.2.8, se tiene que aoaob=(aoa)ob= aob=c 1.2.12 La notación an, definida en 1. 2.11 es utilizada para estructuras algebraicas en las que la operación tiene la forma o, comunmente llamada de “producto” o “notación multiplicativa”.

En caso de que la operación se presente como “+”, es decir notación aditiva, la forma que adopta la expresión definida en 1. 2.11 es “na” para una estructura algebraica <E.+>. En ese sentido “na”, para n∈ℤ+ y a∈E, tiene la siguiente forma:

⎩⎨⎧

>+−=

=1n si a,1)a(n

1n si a,na .

.1. 2.13. Al cambiar la notación multiplicativa en 1. 2.11, por la aditiva concluimos que si <E, +> es una estructura algebraica, a,b∈E y n.m∈ℤ+, entonces no se puede afirmar que : ii)) ((nn++mm))aa == nnaa++mmaa,, iiii)) nnmmaa == mm((nnaa)) yy iiiiii)) nn((aa++bb)) == nnaa++nnbb.. ..

20

1. 2.14 OObbsseerrvvee qquuee eenn llaa pprreesseennttaacciióónn ““nnaa”” ddee 1.2.12 nnoo ssee ppllaanntteeaa uunnaa ooppeerraacciióónn,, eenn eell sseennttiiddoo ddee llaa Definición 1.1.1,, eennttrree nn yy aa.. PPoorrqquuee eennttrree oottrraass ccoossaass aa∈∈EE nnoo eess nneecceessaarriiaammeennttee uunn eenntteerroo.. AAll rreessppeeccttoo oobbsseerrvvee qquuee eenn eell EEjjeemmpplloo 1.2.3. ssii nn == 33,, eennttoonncceess 33bb == 22bb++bb == ((bb++bb))++bb == cc++bb==aa 1.2.15. A pesar de lo anterior, al considerar an, en el sentido de 1.2.10 , y restringirla para a y n en el conjunto de los enteros positivos ℤ+, tenemos que pot, definido como apotn = an, es una operación ℤ+ (Ver Ejercicio 11..33..55 )

1.3 EJERCICIOS. 11..33..11.. SSii RR eess uunnaa rreellaacciióónn,, aall ddeeffiinniirr RR--11==⎨⎨((aa,,bb))//((bb,,aa))∈∈RR⎬⎬,, ddeemmuueessttrree qquuee ssii ff eess uunnaa ffuunncciióónn iinnyyeeccttiivvaa,, eennttoonncceess ff--11 eess uunnaa ffuunncciióónn.. 11..33..22.. AAnnaalliizzaarr llaa vveerraacciiddaadd ddee llaass ssiigguuiieenntteess aaffiirrmmaacciioonneess;; i) R es una relación de A en B⇔R⊆AxB ii) R es una relación ⇔ (∀z)(z∈R⇔(∃a) (∃b)(z=(a,b)) iii) R es una relación ⇔ (∀z)(z∈R⇒(∃a) (∃b)(z=(a,b)) iv)-Si f es una función de A en B⇒f-1 es una función de B en A v)- Es posible que f sea una función de A en B y f-1 sea una función. vi) Si f es una función de A en B, tal que f-1 es una función, entonces f-1 es una función de B en A.

11..33..33. Si A es un conjunto con n elementos y kεℤ, tal que kε[0 ,n], demuestre que el número

de subconjuntos de A con k elementos es :k!k)!(n

n!kn

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

11..33..44. Demuestre que g: ℝℝxℝℝ→ℝℝxℝℝ definida para a,b∈ℝℝ como g(a,b)=(a,b/2) es una función. 11..33..55 Si a y n so elementos del conjunto de los enteros positivos ℤ+, demuestre que pot, definido como apotn = an, es una operación ℤ+

11..33..66.. ii)) DDeemmuueessttrree qquuee √√22,, √√33,, √√55,, 23 ∈∈II,, iiii)) DDeemmuueessttrree qquuee ssii aa∈∈ℚ,, aa≠≠00 yy bb∈∈II,, eennttoonncceess aa++bb,,aabb∈∈II.. 11..33..77.. SSii KK==aa++bb√√22\\aa,,bb∈∈II == iirrrraacciioonnaalleess,, ddeemmuueessttrree:: ii)) SSii α+ß√√22, es tal que α,ßεℚ,

entonces α+ß√√22= (α+√√33)+(β- 23 ) √√22∈Κ, iiii)) SSii α+ß√√22, es tal que αεII y ßεℚ; entonces

α+ß√√22=(α -1)+(β+1/√2) √√22εKK,, iiiiii)) SSii αα++ßß√√22 es tal que αεℚ y ßεII; entonces α+ß√√22=(α+√√22)+(ß-1) √√22εK. iv) K⊆ℝ = Conjunto de números reales. v) SSii KK==aa++bb√√22\\aa,,bb∈∈

ℚ ¿¿ SSeerráá KK ==ℝ == Conjunto de números reales?? vvii)) SSii KK==aa++bb√√22\\aa,,bb∈∈ℝ == rreeaalleess ¿¿ SSeerráá KK

==ℝ == Conjunto de números reales??..

21

11..33..88.. SSii ff,,gg∈∈AAAA,, ddeemmuueessttrree qquuee ff=g, si y solo si f(a) = g(a), para cual quier a∈A. 11..33..99.. SSii ff yy gg ssoonn ffuunncciioonneess,, ddeemmuueessttrree qquuee ff =g, si y solo si, para cualquier a, si f está definida, entonces f(a)=g(a). 11..33..1100.. SSii ff eess uunnaa ffuunncciioonn ddee AA eenn BB yy gg eess uunnaa ffuunncciioonn ddee CC eenn DD,, ddeemmuueessttrree qquuee ff =g, si y solo si A=C y f(a) = g(a), para cualquier a∈A.

11..33..1111. si f es una función de A en B y g es una función de K en D tal que f(A)⊆K, donde f(A)=f(a)/aεA, demuestre que la relación gof de A en D, definida como gof(a)=g(f(a)), si a∈A, es una función de A en D.

11..33..1122.. EEnn eell EEjjeemmpplloo 1.1.31,, ddeemmuueessttrree qquuee ∗∗ ssaattiissffaaccee OOii yy OOiiii.. 11..33..1133.. EEnn eell EEjjeemmpplloo 1.1.43,, vveerriiffiiqquuee qquuee Ω es una operación en G. 11..33..1144.. SSii ℂℂ eess eell ccoonnjjuunnttoo ddee llooss nnúúmmeerrooss ccoommpplleejjooss yy ((aa,,bb)),,((cc,,dd))∈∈ℂℂ,, ddeemmuueessttrree qquuee ((aa,,bb))((cc,,dd)) == ((cc,,dd))((aa,,bb)) 11..33..1155.. Si ℚ es el conjunto de los números racionales y ℤ es el conjunto de los enteros,

definamos la relación ↔ en ℚ así : Si a,b∈ ℚ; a↔b, si a-b∈ℤ Entonces :i) demuestre que ↔ es una relación de equivalencia en ℚ , es decir, demuestre: a) Si

a∈ℚ , a↔a, b) Si a,b∈ℚ y a↔b, entonces b↔a y c) Si a,b,c∈ℚ son tales que a↔b y b↔c, entonces a↔c. ii Al ser ↔ una relación de equivalencia en ℚ , si a∈ℚ, definimos la clase de equivalencia de

a, que notaremos C(a), como C(a)=xεQ /x↔a. Teniendo en cuenta ésta definición calcular : C(½), C(¼), C(z), si z∈Q. iii) Al conjunto de todas las clases de equivalencia definidas en ii) lo notaremos QQ /ℤ, es decir ℚ/ℤ =C(a)/aεℚ . En ℚ/ℤ, defina +` así: C(a)+´ C(b)=C(a+b), donde la operación en a+b es

la suma usual de reales. Demuestre que +' es una operación en ℚ/ℤ .

11..33..1166 Demuestre el Corolario 1.1.17. 11..33..1177.. DDeemmuueessttrree eell CCoorroollaarriioo 1. 1.19.. 11..33..1188 DDeemmuueessttrree qquuee llaa rreellaacciióónn ++ ddeeffiinniiddaa eenn 1.1.24 ssaattiissffaaccee OOii yy OOiiii

11..33..1199.. Analizar si " o" es o no un a operación en el conjunto señalado, teniendo en cuenta que + y o son la suma y multiplicación usuales en ℝℝ.

22

ℚ = Conjunto de los números racionales, a/b,c/d∈ℚ: a/boc/d=(a+c)/bd

. 2ℤ +1= Conjunto de los números enteros impares, o =Suma usual en ℝℝ. 2ℤ +1=Conjunto de los enteros impares, o = Multiplicación usual en ℝℝ.. . II= Conjunto de los números reales irracionales : o = Suma usual en ℝℝ. . II= Conjunto de los números reales irracionales; o =Multiplicación usual en ℝℝ. K=a+b√2/a,bεI, o = Multiplicación usual en ℝℝ. .K=a+b√2/a,b∈ℚ, o = Suma usual en ℝℝ. .K=a+b√2/aε ℚ ó bε ℚ, o = Multiplicación usual en ℝℝ.

. ℝℝ = Conjunto de los números reales, aob=a+b+a.b, a,b∈ℝℝ y las ooperaciones en a+b y a.b son la suma y el producto usual en ℝℝ, respectivamente.

11..33..2200.- Si K es un conjunto de personas, analizar, en cada de los siguientes casos, si § es una operación, sabiendo que § está definida en K como : a§b= a, si a es colombiano, a§b=b, si b es colombiano, a§b=a, si a y b son colombianos a§b=a, si a=b. i) K =Ø. ii) K Ø, pero todos sus integrantes son extranjeros. iii) KØ y tiene exactamente un extranjero. iv) K Ø y todos sus integrantes son colombianos v) K Ø y tiene exactamente un extranjero y más de un colombiano.

11..33..2211.. SSeeaa MMnnnn((ℂℂ)) eell ccoonnjjuunnttoo ddee ttooddaass llaass mmaattrriicceess ccoommpplleejjaass ddee nn ffiillaass yy nn ccoolluummnnaass eenn eell qquuee AA∈∈ MMnnnn((ℂℂ)),, ssee nnoottaa ccoommoo AA== ((aaiijj))nnxxnn oo sseenncciillllaammeennttee AA== ((aaiijj)),, ssii nnoo hhaayy lluuggaarr aa ccoonnffuussiióónn.. EEss ddee aannoottaarr qquuee aaiijj rreepprreesseennttaa eell ttéérrmmiinnoo ddee llaa ii ééssiimmaa ffiillaa,, jj ééssiimmaa ccoolluummnnaa.. YY qquuee ((aaiijj))nnxxnn == ((bbiijj))nnxxnn,, ssii aaiijj == bbiijj ,, ppaarraa ttooddoo ii,,jj∈∈[[11,,nn]].. DDeemmuueessttrree qquuee llaa ssuummaa yy eell pprroodduuccttoo ddee mmaattrriicceess ssoonn ooppeerraacciioonneess eenn MMnnnn((ℂℂ)),, ssaabbiieennddoo qquuee eellllaass eessttáánn ddeeffiinniiddaass aassíí:: SSii ((aaiijj)),, ((bbiijj))∈∈MMnnnn((ℂℂ)),, eennttoonncceess ((aaiijj)),,++((bbiijj)) ==((cciijj)),, ddoonnddee cciijj == aaiijj++bbiijj,, ppaarraa ttooddoo ii,,jj∈∈[[11,,nn]] yy ((aaiijj)),,((bbiijj))

==((cciijjjj)),, ccoonn cciijj == ∑=

n

1kkjikba ,, ppaarraa ttooddoo ii,,jj∈∈[[11,,nn]]..

11..33..2222. Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones, sabiendo que <G,o> es una estructura algebraica: i) Si a,bεG, entonces aobεG. ii) Si x1,x2, ... es una secuencia infinita de elementos de G, entonces x1ox2. ... εG.

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iii) Si a∉G y b∉G entonces aob∉G. iv) Si aεG y b∉G, entonces aob∉G. v) Si A⊆G, entonces o es una operación en A.

1. 4. ESTRUCTURAS ASOCIATIVAS

Es conocido que los reales con la suma y el producto, es decir las estructuras algebraicas notadas <ℝℝ , +> y <ℝℝ , o>.cumplen las propiedades: asociativa, modulativa, invertiva y conmutativa. Al respecto de la asociativa, para la suma y el producto usual en los reales, sabemos que la igualdades a+(b+c) = (a+b)+c en <ℝℝ , +>, y a(b) = (ab)c en <ℝℝ , o> son válidas para cualquier tripla de números reales a,b y c. Es una cualidad también notable en < MMnnnn((ℂℂ)) , +> y < MMnnnn((ℂℂ)),.>. En esta línea formulamos la siguiente definición:

Definición 1.4.1 Una estructura algebraica <G , o> es asociativa o equivalentemente o es asociativa en G, si ao.(boc)=(ao.b)oc, para cualquier a,b,cεG.

1.4. 2 De la definición anterior se deduce que basta con la existencia una tripla a,b,c∈G tal que ao(boc)≠(aob)oc para deducir que la estructura algebraica <G,o> no es asociativo. Por ejemplo, la estructura algebraica del Ejemplo 1.2.2. no es asociativa, porque 1+(2+3)= 1+3=2 pero (1+2)+3=2+3=3, a pesar de que 1+(1+3)=1+2=2 = (1+1)+3=1+3=2. Esquemáticamente lo planteado se resume así: i) Una estructura algebraica <G,o> es asociativa ⇔∀(a,b,c∈G)(ao(boc)=(aob)oc)⇔ ∀(a,b,c)(a,b,c∈G⇒(ao(boc)=(aob)oc). ii) Una estructura algebraica <G,.> no es asociativa ⇔∃(a,b,c∈G)(ao(boc)≠(aob)oc). El siguiente Teorema es demostrable inmediatamente sobre la base de la nota anterior.

Teorema 1.4.3.- Si <G , o> es una estructura algebraica asociativa y K⊆G, tal que o es una operación binaria en K, entonces <K , o> es una estructura algebraica asociativa. 1.4.4. El recíproco del Teorema 1.4.3 no es válido. Al respecto en la estructura algebraica <A,+> del Ejemplo 1.2.2, los únicos subconjuntos propios de A que son estructura algebraica, con la operación +, son K1 =1 y K2=1,2 (Ver Ejercicio 1.12.2).

Además, evidentemente <K1, +> es asociativa. Y de acuerdo a la siguiente tabla : 12221121+

tenemos: 1+(1+1)=(1+1)+1=1,1+(1+2)=(1+1)+2=2,1+(2+2)=(1+2)+2=1,1+(2+1)=(1+2)+1=2, + (2+2) = (2+2) + 2=2 , 2+(2+1)=(2+2)+1=1. 2+(1+1)=(2+1)+1=2 y 2+(1+2)=(2+1)+2=1. Comprobándose así que también <K2,+> es asociativa. Pero en 1.4. 2 demostramos que <A,+> es una estructura algebraica no asociativa.

Antes de continuar con algunos ejemplos de estructuras algebraicas asociativas, vale la pena presentar algunas que no lo son, diferentes a <ℤ,->.

24

Ejemplo 1.4. 5. Para la estructura algebraica <ℝℝ, n > del Ejemplo 1.1.41, observamos que 1 n[(-1 +n) nn] = 1 nn = 2, pero [1 n(-1+n)] nn = [2-1/n] nn = 3-1/n. En consecuencia al tener 2≠3-1/n, para cualquier n∈ ℝℝ tal que n≠1, obtenemios que las estructuras algebraicas <ℝℝ,

n >, son no asociativas siempre que n≠1. Ejemplo 1.4.6. De 1.2.15 sabemos que <ℤ+, pot> es una estructura algebraica. Pero como

2pot(3 pot2)= 922 23 = , mientras (2 pot3) pot2=(23)2 =26≠29, se deduce que <ℤ+, pot> no es asociativa Ejemplo 1.4.7. En el Ejemplo 1.1.43 vimos que <G, Ω> es una estructura algebraica. Consideremos en este caso tres personajes α,β,γ∈G, tales que α derrota a β, pero β derrota a γ, y γ le gana a α. En estas condiciones αΩ(βΩγ)=αΩβ=α, pero (αΩβ)Ωγ = αΩγ = γ. Luego <G, Ω> no es asociativa. 1.4. 8. Las estructuras algebraicas 1.1.24 y 1.1.25 <ℂℂ, +> y <ℂℂ , o> son asociativas (Ver Ejercicio 1.12.8). Por lo tanto al tener en cuenta que ℝℝ⊆ℂℂ,según 1. 1.27, entonces la suma y la multiplicación usuales de complejos restringidas a los números reales, son precisamente la suma y multiplicación usuales de reales (Ver Ejercicio 1.12.8). En consecuencia si ℤ es el conjunto de los enteros, nℤ el conjunto de los enteros múltiplos de n, para n∈ℤ, Q. el de los racionales y ℝℝ los reales, con + y o la suma y el producto usual de reales deduce por aplicación del Teorema 1.4.3 que las estructuras algebraicas <nℤ,+>, < nℤ,o>, <ℤ,+>, < ℤ,o>, < Qℚ,+>, < ℚ,o.>, <ℝℝ, +> y < ℝℝ , o> son asociativas, ya que nℤ⊆ℤ ⊆ ℚ ⊆ℝℝ⊆ℂℂ (1)

Ejemplo 1.4.9. Si para cada par de reales a y b, definimos a♦b=ab, donde la operación en el lado derecho es el producto usual de reales, y es el valor absoluto usual en ese mismo conjunto, al. seguir la línea de argumentación utilizada en Ejemplo 1.1.41, se demuestra que ♦ es una operación binaria en ℝℝ (Ver 1.12.7). Demostremos que < ℝℝ , ♦> es asociativa : Si a,b,cεℝℝ, entonces: a♦(b♦c)=a♦(bc) Definición de ♦ =abc " " =a(bc) Propiedad del . =a(bc) " " “ =(ab)c) Asociativa en <ℝℝ , o> =(a♦b)c Definición de ♦ =(a♦b) ♦c " " “

25

1.4.12. Otros ejemplos de estructuras algebraicas asociativas son : <AA , o>, (o=composición de funciones), <Mnn(ℂℂ) , +> (+=suma en Mnn(ℂℂ) y <Mnn(ℂℂ) , o > (o=producto en Mnn(ℂℂ)) de 11..33..2211.(Ver Ejercicio 1.12.9 ) 1.4.13 Sabemos que las propuestas i) y ii) en 1. 2.11, son falsas. Sin embargo en estructuras algebraicas asociativas, ellas son válidas. Verifiquemos entonces que si <G , o> es una estructura algebraica asociativa, aεG y n,mεℤ+, entonces: i) anoam = an+m, ii)(an)m = anm.

Demostraremos i), y proponemos ii) como ejercicio. Supongamos que nεℤ+. Razonando por inducción sobre m, si m=1, entonces i) adopta la forma, (an).a1=an+1, que es válida porque al ser nεℤ+ se tendrá n+1>1, y de acuerdo a 1.2.10 , an+1 = a (n+1)-1a = ana Supongamos que m∈ℤ , m>1 y que i) es válida hasta m-1. Entonces: (an)oam = (an)o(am-1.a) Por 1.2.10 =(an.oam-1)oa Por ser <G,o> asociativa. = an+(m-1)oa Por hipótesis de inducción. = a(n+m)-1oa Propiedad asociativa de <ℤ , +>. = an+m Por 1.2.10 1.4. 14 Pero la igualdad 1. 2.11 ( iii) no siempre es válida en estructuras algebraicas asociativas. Por ejemplo en la tabla de S3 de 2.12.5, a pesar de corresponder a una estructura algebraica asociativa, se tiene que (i1ou1)2= (u2)2=io, mientras que (i 1)2o(u1)2=i2oio=i2.

1.4. 15. El tipo de inserción de paréntesis desarrollado para motivar la Definición 1.2.8 tiene como objetivo realizar la operación de n-elementos en una estructura algebraica operando cada vez dos elementos. Por ejemplo, si x1,x2, …, xn ∈G, entonces x1ox2, … oxn = (…((x1ox2)ox3)x4o …xn-1)xn.Pero con ese estilo no agotamos todas las formas de inserción de paréntesis y también es discutible el reultado.

Por ejemplo, en la estructura correspondiente a la siguiente tabla:. 22323232o.

El resultado de

operar 2o3o2o2o3o.3, es según la Definición 1.2.8 2o3o2o2o3o.3= ((((2o3)o2)o2)o3)o3= (((2o2)o2)o3)o3=((3o2)o3)o3=(2o3)o3=2o3=2. Pero también puede ser presentado, entre otras, de la siguiente manera: como ((2o3)o(2.2))o(3.3), o como (2o3)o((2o2)o.(3.3)) ó como ((2o(3o2))o.(2.3))o3.. En dicha estructura tenemos que: ((2o3)o(2o2))o(3o3) =(2o3)o2=2o2=3; (2o3)o((2o2)o. (3o3))= 2o(3o2)=2o2=3; (2o3)o((2o2)o(3.3))=2o(3o2)=2o2=3. Pero ((2o(3o2))o.(2.3))o3 = ((2o2)o2)o3=(3o2)o3=2o3=2. Luego en estructuras algebraicas no asociativas el resultado depende de la manera como se asocien los elementos, en este tipo de inserción de paréntesis.

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El Teorema que demostraremos a continuación, conocido como la Generalización de la Asociativa, demuestra que en estructuras algebraicas asociativas, todas las formas de inserción de paréntesis en el sentido señalado, en x1o ... oxn, producen el mismo resultado. Teorema 1.4. 16. . Si <G,o> es una estructura algebraica asociativa y x1, ... ,xnεG, entonces todas las formas de inserción de paréntesis en x1o ... oxn , que faciliten operar cada vez dos elementos de G, producen el mismo resultado.

DEMOSTRACIÓN.- Supongamos que Ç es una inserción de paréntesis arbitraria en el sentido señalado. Demostraremos por inducción matemática, para n≥3, que su resultado es idéntico al de la Definición 1.4.1, que llameremos inserción del tipo *. Es decir: Ç =(...((x1x2)x3). ... .xn-2)xn-1)xn Si n=3, el Teorema es válido por ser <G , o> asociativa. Supondremos que el Teorema se cumple para cualquier entero r, tal que 3≤r<n y lo demostraremos para r=n. Por ser Ç es una inserción de paréntesis que permite operar en cada paso de manera sucesiva dos elementos de G, debe tenerse que Ç=£.ƒ, donde £ es una inserción de paréntesis en x1. ... . xi y ƒ es otra inserción de paréntesis en xi+1. ... .xn. Para i existen dos posibilidades, ó i=n-1 ó 0<i<n-1 Si i=n-1, entonces ƒ se reduce a ƒ=xn y por hipótesis de inducción £ es igual a una inserción

del tipo *. Luego £=( ... (((x1.x2).x3) ... xn-2).xn-1, razón por la cual obtenemos: Ç=( ...

(((x1.x2).x3) ... xn-2).xn-1)xn. Luego Ç es del tipo * ..

Si 0<i<n-1, entonces por hipótesis de inducción ƒ es del tipo *.. En consecuencia: ƒ= ( ... ((xi+1xi+2)xi+3). ... .)xn-1)xn.=s.xn. Donde s=( ... ((xi+1xi+2)xi+3). ... .)xn-1. Luego al sustituir en Ç, por ser <G,o> asociativa, obtenemos Ç=(£.s).xn. Pero como £.s es el resultado de una inser-ción en n-1 términos, entonces por hipótesis de inducción, tenemos que £.s es del tipo * y así Ç, cobra la forma : Ç=( ... (((x1.x2).x3) ... xn-2).xn-1)xn. Es decir, Ç es del tipo * . Se puede pensar en una función que resuelva expresar de mejor manera aquellas inserciones de paréntesis que permitar operar de manera sucesiva un par de elementos en x1o … oxn, con x1, … ,xn ∈G, y <G,o> una estructura algebraica. Teniendo en cuenta que si A y B son subconjuntos de G, entonces AoB=⎨aob/a∈A y B∈B⎬ Procediendo por recurrerencia, se define f1(a1)= ⎨a1⎬, f2(a1,a2)= ⎨a1oa2⎬y f3(a1,a2,a3)=⎨a1

o(a2oa3), (a1oa2)oa3)⎬, para agotar todas las posibles inserciones de paréntesis del tipo aludido en a1 o a2 oa3

27

Se trata entonces de la siguiente unión de conjuntos f3(a1,a2,a3)= f1(a1)of2(a2,a3) ∪ f2(a1,a2) of1(a3) = U

3r0n1rrnr1r )a..., ,(a)ofa, ... ,(af

<<+− =.⎨a1⎬o⎨a2oa3⎬∪⎨a1oa2⎬o⎨a3⎬ =⎨a1o(a2oa3),

(a1oa2)o a3)⎬ Siguiendo con f4(x1,x2,x3 ,x4)= U

4r0n1rrnr1r )a..., ,(a)ofa, ... ,(af

<<+− = f1(a1)of3(a2,a3,a4)∪f2(a1,a2)

of2(a3,a4) ∪f3(a1,a2,a3)of1(a4) =⎨a1⎬o⎨a2o(a3oa4),(a2oa3)oa4⎬∪⎨a1oa2⎬o⎨a3oa4⎬∪⎨a1o(a2oa3), (a1oa2)oa3) ⎬o⎨a4⎬=⎨a1o (a2o (a3 oa4)),a1o((a2oa3)oa4)⎬ ∪⎨(a1oa2)o(a3oa4)⎬= ⎨a1o(a2o(a3oa4)), a1o((a2oa3)oa4), (a1oa2)o(a3oa4), (a1o(a2oa3))oa4, ((a1oa2)oa3)) oa4⎬. Plateamos entonces la siguiente definición: Definición 1.4.17 Si <G,o> es una estructura algebraica y a1, …,an∈G, definimos f1(a1)= ⎨a1⎬ y si n>1, entonces fn(a1, … an)= U

nr0n1rrnr1r )a..., ,(a)ofa..., ,(af

<<+− .

Estamos ahora en condiciones de enunciar y demostrar el siguiente teorema: Teorema 1.4. 18. Si <G,o> es asociativa, entonces fn(a1, … ,an) es un conjunto unitario. Demostración. En primer lugar debemos comprobar que si ℑ es una inserción de paréntesis en a1o … oan , entonces ℑ∈fn(a1, … ,an), afirmación que sabemos válida hasta n=4. Aceptémosla hasta cualquier r∈ℤ, tal que 0<r<n, entonces al considerar ℑ y tener en cuenta que existen s,t∈ℤ con s,t∈(0,n) tales que s+t=n, obtenemos ℑ=ℜo℘, de tal manera que ℜ sea una inserción de paréntesis en a1o … oar y ℘ lo sea en ar+1 o … oan. Entonces por hipótesis de inducción ℜ∈fr(a1, … ,ar) y ℘∈fn-r(ar+1 , … ,an) y por lo tanto ℑ=ℜo℘∈ fr(a1, … ,ar)o fn-r(ar+1

, … ,an)∈ Unr0

n1rrnr1r )a..., ,(a)ofa..., ,(af<<

+− = fn(a1, … ,an).

Que fn(a1, … ,an) sea un conjunto unitario es según la nota anterior válido en particular para n=3, puesto que f3(a1,a2,a3)= ⎨a1o(a2,a3), (a1oa2)o a3⎬, pero como a1o(a2,a3)= (a1oa2)o a3, por ser <G,o> asociativa, entonces f3(a1,a2,a3) es un conjunto unitario. Supongamos que fr(a1, … ar) es un conjunto unitario, si r∈ℤ y 0<r<n y demostremos que si α,β∈ fn(a1, … an), entonces α=β. En efecto, α,β∈ fn(a1, … an)= U

nr0n1rrnr1r )a..., ,(a)ofa..., ,(af

<<+− , por definición de unión,

existen r,s∈ℤ tales que 0<r<n y 0<s<n , α∈fr(a1, … ar)o fn-r (ar+1, … an) y β∈ fs(a1, … as)o fn-s

(as+1, … an) y por lo tanto existen v∈fr(a1, … ar), w∈fn-r(ar+1, … an), k∈fs(a1, … as) y z∈ fn-s

(as+1, … an), tales que α=vow y β=koz . De todas maneras ocurre que r=s o r<s o s<r.

28

Si r=s, entonces fr(a1, … ar)= fs(a1, … as) y consecuencias v=k, porque v∈fr(a1, … ar), k∈fs(a1, … as) y por hipótesis de inducción fr(a1, … ar) es un conjunto unitario. Análogamente w=z, porque al ser r=s, se deduce que fn-r(ar+1, … an)= fn-s (as+1, … an). En consecuencia w,z∈ fn-s (as+1, … an), pero como 0<n-s<n, se tiene por hipótesis de inducción que fn-s (as+1, … an) es un conjunto unitario y por esa razón w=z. Luego vow=koz y por ende α= β. En este caso fn(a1, … an) es un conjunto unitario. Si r<s, entonces dado que por hipótesis de inducción: fs-r(ar+1, … an) es un conjunto unitario, se deduce que fs-r(ar+1, … an)=⎨u⎬. Además como fs(a1, … as)= fr(a1, … ar)o fs-r(ar+1, … an) se infiere por hipótesis de inducción que k=vou y en consecuencia por ser <G,o> asociativa, β=koz=(vou)oz=vo(uoz). Pero como u∈fs-r(ar+1, … an) y z∈fn-s(as+1, … an), entonces uoz∈fn-r

(ar+1, … an) y como también w∈fn-r(ar+1, … an), por hipótesis de inducción w=uoz..Luego β=koz=(vou)oz= vo(uoz) =vow=α y por ello en esta situación también fn(a1, … an) es un conjunto unitario. Si s<r, intercambiando r por s y s por r en el razonamiento anterior se deduce que fn(a1, … an) es un conjunto unitario. Luego fn(a1, … an) es un conjunto unitario. El siguiente Teorema demuestra que estas nuevas inserciones de paréntesis producen el mismo resultado en estructuras algebraicas asociativas. Teorema 1.4.19. Si <G,o> es una estructura algebraica asociativa, x1, ... ,xn ε G y r(1), ... ,

r(m)εZZ+ tales que : 1≤r(1)< ... <r(m)≤n entonces :

(x1. ... .xr(1))(xr(1)+1. ... .xr(2)). ... .(xr(m)+1. ... .xn) = x1. ... .xn. (1)

DEMOSTRACIÓN. Observe que m+1 es el número de bloques en que son agrupados los n-

términos, adoptando el i-ésimo bloque la presentación (xr(i-1)+1. ... .xr(i)) , razón por la cual se

operan en éste, (r(i)-r(i-1)) términos.

Razonaremos por inducción sobre el número de bloques, considerando fijo el número términos que se operan.. Si m = 1, el número de bloques será 2 y en consecuencia (1) cobra la forma: (x1. ... .xr(1) )( xr(1)+1. ... .xn) = x1. ... .xn. (2) Razonando por inducción para demostrar (2), su presentación nos indica que vale la pena analizarla para n≥2. El caso n = 2 es trivial, porque (2) se reduciría a (x1).(x2) = x1.x2.

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Supongamos como hipótesis de inducción que (2) es válido hasta n-1. Entonces según

Definición 1.2.8. (x1. ... .xr(1) )( xr(1)+1. ... .xn) =(x1. ... .xr(1) )(( xr(1)+1. ... .xn-1)xn) Pero como

según 1.2. 9 x1. ... .xr(1) = aεG y xr(1)+1. ... .xn-1 = bεG (4) , obtenemos: (x1. ... .xr(1)).(xr(1)+1. ... .xn)

= a(b.xn). Igualdad que al aplicar sucesivamente la asociatividad de <G,o>, la hipótesis de

inducción y la Definición 1.2.8, se nos transforma en : (x1. ... .xr(1) )( xr(1)+1. ... .xn) = (ab)xn =((

x1. ... .xr(1))( xr(1)+1. ... .xn-1))xn = (x1. ... .xn-1 ).xn = x1. ... .xn-1xn

Una vez demostrado el caso m = 1, consideremos el Teorema válido hasta m.

Por aplicaciones sucesivas de 1.2. 9, obtenemos las siguientes igualdades:

(x1. ... .xr(1)) = a1 , (xr(1)+1. .. .xr(2)) = a2 , ... (xr(m)+1. ... .xn) = am+1. En consecuencia, por

sustitución obtenemos:(x1. ... .xr(1)).(xr(1)+1. .. .xr(2)). ... .(xr(m)+1. ... .xn) = a1.a2. ... .am+1.

Aplicando ahora la Definición 1.2.8 se deduce que:

(x1. ... .xr(1)).(xr(1)+1. .. .xr(2)). ... .(xr(m)+1. ... .xn)) = (a1.a2. ... .am).am+1. Situación que al invocar la

hipótesis de inducción, infiere que: a1.a2. ... .am = x1. ... .xr(m) y por lo tanto al sustituir esta

última igualdad, obtenemos:

(x1. ... .xr(1)).(xr(1)+1. .. .xr(2)). ... .(xr(m)+1. ... .xn) = (x1. ... .xr(m))am+1 = (x1. ... .xr(m))(xr(m)+1. ... .xn).

Llevándonos (2) a concluir la identidad :

(x1. ... .xr(1).(xr(1)+1. .. .xr(2)). ... .(xr(m)+1. ... .xn) = x1. ... .xn.

Observe que si la inducción la realizamos sobre el número n de términos, entonces obviamente

el teorema es válido si n=1 o n=2. Si aceptamos el teorema válido hasta n-1 términos,con n>1,

al considerar R el resultado obtenido al dividir x1. ... .xn en k número de bloques, tal que k≥2 y

concentrar la atención en el último de ellos, por ejemplo xio … oxn, entonces i≥2 y por lo tanto

de x1 hasta xi-1 habrá a lo más n-1 términos y en consecuencia por hipótesis de inducción

tendremos que R=(x1o … oxi-1)o (xio … oxn).

Pero como por Definición 1.2.8 xio … oxn= (xio … oxn-1)oxn, se deduce que R=(x1o … oxi-1)

o( (xio … oxn-1)oxn) y al aplicar que <G,o> es asociativa inferimos que R=((x1o … oxi-1)o (xio

… oxn-1))oxn. Por último al aplicar nuevamente hipótesis de inducción se deduce que (x1o …

oxi-1)o(xio…oxn-1) = x1o…xn-1, obteniéndose R= (x1o … oxn-1)oxn y por ende según

Definición 1.2.8 R=x1o … oxn.

30

En 1. 2.11 (2) vimos que ao(aob)≠(aob)oc, porque precisamante la estructura en cuestión no es asociativa. En general si n≥2 el teorema anterior garantiza que la Definición 1.2.8, puede presentarse en estructuras asociativas como a1oa2o …oan =a1o(a2o …oan). El siguiente corolario se refiere a ello: Corolario 1.4.20. Si <G,o> es una estructura algebraica asociativa y a1,a2, …,an son n elementos de G, con n≥2, entonces: i) a1oa2o …oan =a1o(a2o …oan) y en consecuencia ii) Si a∈G y n>1, an=aoan-1.

1.5. EESSTTRRUUCCTTUURRAASS MMOODDUULLAATTIIVVAASS En el conjunto ℝℝ de los números reales los elementos 0 y 1 son tales que para cualquier real a, a+0=0+a=a y a.1=1.a=a. Por ese motivo son conocidos como los módulos de la suma y multiplicación usuales de reales, respectivamente. Las estructuras algebraicas donde existan ese tipo de elementos las clasificaremos según la siguiente Definición : Definición 1.5.1 Si <G , o> es una estructura algebraica y e∈G, entonces: i)diremos que e es un módulo de <G , o> , si la igualdad aoe=eoa=a, mantiene su validez cada vez que aεG; ii) diremos <G,o> es modulativa, si existe e∈G tal que e es un módulo de <G,o> 1.5.2. Abreviadamente diremos que una estructura algebraica <G,o> es modulativa, si <G,o> tiene un módulo. 1.5.3. Lo planteado se resume esquemáticamente así:

a) Si <G,o.> es una estructura algebraica y e∈G, entonces e es un módulo de <G,o> ⇔ (∀a∈G) (aoe=eoa=a)⇔(∀a)(a∈G⇒aoe=eoa=a)

b) Si <G, o> es una estructura algebraica, entonces <G,.> es modulativa ⇔(∃e∈G)( e es un módulo de <G,o>) ⇔(∃e∈G)(∀a∈G)(aoe=eoa=a) ⇔ (∃e∈G) (∀a) (a∈G ⇒aoe=eoa=a).

c) Si <G, o> es una estructura algebraica y e∈G, entonces e no es un módulo de <G,o> ⇔(∃a∈G)(eoa≠a o aoe≠a).

d) Una estructura algebraica <G,o> no es modulativa ⇔(∀e∈G)(e no es un módulo de <G,o>⇔(∀e∈G)(∃a∈G)(aoe≠a o eoa≠a) ⇔<G,o> no tiene módulo.

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Ejemplo 1.5.4. Si A =1,2,3 y + definida en A según la tabla :

232332122111321+

, entonces

<A,+> es una estructura algebraica modulativa puesto que 2 es un módulo de <A,+> ya que 1+2=2+1=1, 2+2=2, 2+3=3+2=3.

Observe que 1+1=1, pero ello no indica que 1 sea un módulo de <A,+>, ya que al ser 1+2 = 1 y 1≠2, se deduce que 1 no es módulo de <A,+>. Más adelante veremos que en las estructuras algebraicas clasificadas con el nombre de grupos basta con que la igualdad de la Definición 1.5.1, se cumpla en una sustitución particular para que e gane el calificativo de módulo. Ejemplo 1.5.5. <ℝℝ , -> no es modulativa, si ℝℝ = reales y - = resta usual de reales. Porque en primer lugar 0 no es un módulo de <ℝℝ , -> puesto que 0-2=-2≠2. Además si e∈ℝℝ*, entonces e no es un módulo de < ℝℝ,->. Para comprobarlo debemos encontrar α∈ℝℝ tal que e-α≠α o α-e≠α. Ese α es precisamente α=e, ya que e-e ≠e, puesto que

e≠0.

Luego <ℝℝ,-> no es mudultativa en vista de su carencia de módulo ya que ningún elemento de ℝℝ es módulo de <ℝℝ,->. Debido a la indiscutible importancia de la resta usual de números reales bien vale la pena definir el concepto de módulo lateral.

Definición 1.5.6 Si <G , o> es una estructura algebraica, y e∈G diremos i) que e es un módulo lateral derecho (izquierdo) de <G,o>, si aoe=a (eoa=a), siempre que aεG. ii) <G , o> es modulativa a la derecha (izquierda), si existe α∈G tal que α es un módulo lateral derecho (izquierdo) de <G,o>.

Teorema 1.5.7. Si ed es un módulo a la derecha de <G,o> y ei es un módulo al izquierda de <G,o>, entonces ed=ei. Demostración. Si ed y ei son módulos a la derecha y a la izquierda de <G ,o>, respectivamente. Entonces ei.ed=ei, por ser ed un módulo a la derecha. Pero también ei.ed=ed, por ser ei un módulo a la izquierda. En consecuencia, según el Corolario 1.1.17 Oiii, ed=ei El siguiente Teorema demuestra que <G , o> es modulativa, si y sólo si <G , o> es modulativa a la derecha y a la izquierda.

Teorema 1.5.8. Una estructura algebraica <G , o> es modulativa, si y solo si <G,o> es modulativa a la derecha y a la izquierda.

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DEMOSTRACIÓN. Es inmediato que si <G , o> es modulativa, entonces <G , o> es modulativa a la derecha y a la izquierda. Porque que si <G , o> es modulativa, ello equivale a afirmar que existe e∈G tal que para cualquier a∈G es válido que aoe=a y eoa=a. Luego e es un modulo a la derecha y e es un módulo a la izquierda de <G , o>. En consecuencia, si <G , o> es una estructura algebraica modulativa, entonces <G , o> es modulativa a la derecha y a la izquierda. Recíprocamente, si <G,o> es modulativa a la izquierda y a la derecha, entonces existen ed, ei ∈G tales que ed es modulo a la derecha de <G,o> y ei es modulo a la izquierda de <G,o>. Por lo tanto el teorema anterior indica que ed=ei. Luego si e =ed=ei se infiere que e es un módulo de <G , o>, razón por la cual <G,o> es modulativa. Obsérvese que en la Definición 1.5.1 utilizamos la expresión "un módulo" en vez de "el módulo",. Precisamente el siguiente corolario demuestra la unicidad del módulo, en estructuras algebraicas modulativas.

Corolario 1.5.9. Una estructura algebraica modulativa, tiene un único módulo. DEMOSTRACIÓN. Supongamos que existe una estructura algebraica modulativa <G , o>, con dos módulos e y e` tales que ee`. Entonces, de acuerdo al Teorema 1.5.8, e y e` serán módulos a la derecha y a la izquierda de <G,o>. En particular e será módulo a la derecha de <G,o> y e` módulo a la izquierda de <G,o>. Por lo tanto en virtud del Teorema 1.5.7: e=e`, lo cual contradice el supuesto ee`.

Luego si una estructura algebraica es modulativa, su módulo es único.

Con base en lo desarrollado se puede demostrar la siguiente interesante afirmación: Corolario 1.5.10. Si <G,o> es una estructura algebraica y existe u∈G tal que para cada a∈G, existen α,β∈G, que cumplen las identidades: αu=uβ=a, entonces <G,o> es modulativa. Demostración: Dado que u∈G, por hipótesis existen γ,ξ∈G tales que γu=uξ=u. Probemos que γ es un módulo a la izquierda de <G,o> y ξ es un módulo a la derecha de <G,o> . Para concluir según el Torema 1.5.7 que γ=ξ y deducir que γ es a la vez módulo a la derecha y a la izquierda y así <G,o> es modulativa a la derecha y a la izquierda y en consonacia con el Teorema Teorema 1.5.8, se infiere la calidad modulativa de <G,o>. En vista de que γa=γ(uβ)=(γu)β=uβ=a, se deduce que γa=a y por lo tanto γ es un módulo a la izquierda de <G,o>. Es decir <G,o> es modulativa a la izquierda Análogamente <G,o> es modulativa a la derecha, puesto que: aξ=(αu) ξ=α(uξ)=αu=a.

1 6. ESTRUCTURAS INVERTIVAS. En <ℝℝ* , o>, con ℝℝ* = números reales diferentes del cero y o= producto usual de números reales, sabemos que dado a∈ℝℝ*, es posible encontrar b∈ ℝℝ*, tal que aob=boa=1. Por esta

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razón el elemento b, se le llama un inverso del elemento a en < ℝℝ*, o>, en el sentido de la siguiente definición : Definición 1.6.1. Si <G ,o> es una estructura algebraica modulativa con módulo e y aεG, diremos que a tiene un inverso en <G, o>si existe bεG, llamado un inverso de a en <G, o> tal que aob=boa=e. Si cada elemento de G tiene un inverso en <G, o>, denominamos a <G , o> como una estructura algebraica invertiva, o también a la operación o, como invertiva en G 1.6.2. La definición anterior se resume en el siguiente esquema: Si <G,o> es una estructura algebraica modulativa, con módulo e∈G y a∈G, entonces:

i) a tiene inverso en <G,o> ⇔(∃b)(b∈G ∧aob=boa=e) ii) ii) <G,o> es invertiva ⇔(∀x)(x∈G⇒x tiene inverso en <G,o>)⇔ (∀x)(x∈G⇒

(∃b)(b∈G ∧xob=box=e)) iii) iii) a no tiene inverso en <G,o>⇔(∀b)(b∈G⇒ (aob≠e ∨ boa≠e)) iv) iv) <G,o> no es invertiva ⇔(∃a)(a∈G ∧a no tiene inverso en

<G,.>)⇔(∃a)(a∈G∧(∀b)(b∈G⇒ (aob≠e ∨ boa≠e)).

Ejemplo 1.6.3. Si ℝℝ es el conjunto de los números reales y además + y o son la suma y el producto usual en ℝℝ,, eennttoonncceess ppaarraa x∈ ℝℝ, tenemos que -x es el inverso de x, según +, puesto que x+(-x) = (-x) + x = 0. Además, si x≠0, entonces 1/x es el inverso de x, según o, ya que xo1/x = 1/xox =1. Luego < ℝℝ , +> y <ℝℝ* , o>, con ℝℝ*=el conjunto de los números reales diferentes de cero, son estructuras algebraicas invertivas. 1.6.4. Al considerar las estriucturas algebraicas <ℂℂ,,++>> yy <ℂℂ,,oo>>,, ddeeffiinniiddaass eenn 1.1.24 y 1.1.25, y a+bi∈ℂℂ, entonces -a+(-b)i, es el inverso de a+bi, según +, ya que a+bi+(-a+(-b)i =0. Además si a≠0 o b≠0, tenemos que si ∇=a2 +b2, entonces (a/∇)-(b/∇)i es el inverso, según o de a+bi, ya que (a+bi)o (a/∇)-(b/∇)i =1

Definamos enseguida el concepto de inverso lateral de la siguiente manera:

Definición 1.6.5 Si <G ,o.> es una estructura algebraica modulativa a la derecha o a la izquierda y aεG, diremos que a tiene un inverso a la derecha (izquierda), según o en G, si existe bεG, llamado un inverso a la derecha (izquierda) de a en G, tal que aob=e (boa=e), donde e es un módulo a la derecha o a la izquierda de <G ,o>. Si cada elemento de G tiene un inverso a la derecha (izquierda), según o, en G, afirmaremos que <G , o > es invertiva a la derecha (izquierda) ó que o es invertiva a la derecha (izquierda) en G.

1.6.6. Obviamente si un elemento de una estructura algebraica modulativa es invertivo, entonces es invertivo a la derecha y a la izquierda. 1.6.9

De manera análoga, si una estructura algebraica modulativa es invertiva, entonces es invertiva a la derecha y a la izquierda. El siguiente ejemplo demuestra que los recíprocos de las afirmaciones anteriores no son válidos:

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Ejemplo 1.6.7 . Sea G=1,2,3,4, definamos o, así

:

111441243331322432114321.o

Entonces <G , o> es modulativa con módulo 1. Además es invertiva a la derecha y a la izquierda. Porque de una parte 1 o 1 = 1, 2 o 3=1, 3 o 4 =1 y 4 o 4 = 1 y por la otra 1 o 1 = 1, 4 o 2 = 1 y 3 o 4 = 1. Pero <G , o> no es invertiva, porque 2 no tiene inverso, en <G,o>. El Teorema que presentaremos a continuación demuestra que los recíprocos anteriores son válidos en estructuras algebraicas asociativas y modulativas.

Teorema1.6.8 Si <G, o > .es una estructura algebraica asociativa y modulativa y aεG, tal que existen b,c∈G con b inverso a la derecha de a en <G, o> y c inverso a la izquierda de a en <G, o >, entonces b=c, y por tanto a tiene un inverso en <G, o> .

DEMOSTRACIÓN. Si e es el módulo de <G , o>, entonces al ser b y c inversos a la derecha e izquierda, respectivamente, de a, es válido decir que aob=e (1) y coa=e (2). Por lo tanto: aob =e Por (1) co(aob) =coe Por el Corolario 1.1.18Oiii) (coa)ob =c Por la asociativa y la modulativa eob =c Por (2) b =c Por la modulativa Al suponer b=c=d y sustituir en (1) y (2), obtenemos, por Corolario 1.1.18 Oiii, que aod=doa=e. Por lo tanto a tiene inversoen <G, o>. 1.6.9 El Ejemplo 1.6.7 también demuestra que si <G, o> es una estructura modulativas y a∈G tal que a tiene inverso en <G, o>, no se garantiza la unicidad del inverso de a en <G, o>.

En efecto, el elemento 4 tiene dos inversos diferentes, puesto que 3o 4 = 4 o 3 = 1 y 4 o 4 = 1. Es decir 3 y 4 son inversos de 4. El siguiente corolario demuestra, entre otros, la unicidad del inverso, en estructuras asociativas y modulativas.

Corolario 1.6.10 Si <G , o>una estructura algebraica asociativa y modulativa, entonces: i)<G , o> es invertiva, si y sólo si <G, o> es invertiva a la derecha y a la izquierda. ii) Si aεG y a tiene inverso en <G, o> entonces el inverso de a en <G, o> es único.

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DEMOSTRACIÓN. Si <G , o> es invertiva, entonces según la Definición 1.6.1 cada uno de sus elementos tiene inverso en G y por 1.6.6., cada elemento de G tiene inverso a la derecha y a la izquierda en G. O sea que acuerdo con la Definición 1.6.5, <G, o> es invertiva a la derecha y a la izquierda. Recíprocamente, si <G , o> es invertiva a la derecha y a la izquierda, entonces según la Definición 1.6.5, cada elemento de G tiene un inverso a la derecha y un inverso a la izquierda en G. En consecuencia, por el Teorema1.6.8, cada elemento de G tiene inverso en G. Razón para que de acuerdo a la Definición 1.6.1 <G , o> sea invertiva. Si b y c son inversos en G de a, entonces1.6.6 nos indica que ellos son inversos a la derecha y a la izquierda de a en G, respectivamente. Pero como <G , o> es asociativa, el Teorema1.6.8, conduce a la igualdad b=c. Luego el inverso de a es único.

1 7. ESTRUCTURAS CONMUTATIVAS.

En la suma y multiplicación usuales de números reales, a+b=b+a y ab=ba. Dicha característica conocida como la propiedad conmutativa de la suma y multiplicación de números reales, la ampliamos a las estructuras algebraicas en general, de la siguiente manera:

Definición 1.7.1 Una estructura algebraica <G , o> es conmutativa, si aob=boa, siempre que a,bεG. 1.7.2. Una estructura algebraica <G,o> es conmutativa ⇔ (∀a)(∀b)(a,b∈G⇒aob=boa). Por lo tanto, una estructura algebraica <G, o> no es comuntativa ⇔(∃a,b∈G)(aob≠boa)

1.7.3. Una consecuencia inmediata de la Definición 1.7.1 es la siguiente: Si <G , o> es una estructura algebraica conmutativa y K⊆G, tal que o es una operación binaria en K, entonces <K ,o> es conmutativa.

1.7.4 A partir de 1.7.3, de la cadena de contenencias nℤ⊆ℤ⊆ℚ⊆ℝ⊆ℂ y de la

conmutatividad de las estructuras algebraicas: <ℂ, +> y <ℂ, o> se infiere que las siguientes estructuras algebraicas son conmutativas: <nℤ ,+ >, <ℤ , +>, <ℤ,o>,<ℚ ,+>,< ℚ , o>,<ℝ, +>

y <ℝ, o> 1.7.5 Es fácil deducir que si + y o son la suma y el producto usual de matrices cuadradas nxn, respectivamente, entonces <Mnn(ℂ), +> es conmutativa, pero <Mnn(ℂ) , o> no es

conmutativa. Por ejemplo en M22(ℂ), al considerar A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0001

y B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0101

, tenemos que

AoB = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0001

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0101

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0001

, mientras que BoA = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0101

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0001

=. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0101

,

36

En general si A=(aij)∈ Mnn(ℂ)), donde a11=1 y aij=0 en los otros casos y B=(bij)∈ Mnn(ℂ)), donde bi1=1 y bij=0, para j≠1, entonces: AoB=A, pero BoA=B. 1.7.6.. Otro ejemplo de estructura algebraica no conmutativa es <ℝ3 , x>, donde ℝ3 =(x,y,z)/x,y,zε ℝ y x es el producto vectorial en dicho conjunto, definido para A=(a,b,c) y B=(d,e,f), elementos de ℝ3, de la siguiente manera:

AxB= =fedcbakji

(bf-ce, cd-af,ae-bd)

No es difícil demostrar que x es una operación binaria en el conjunto señalado pero dicha estructura no es conmutativa, porque ixj=k mientras jxi=-k, donde i = (1,0,0) y j = (0,1,0).

1.8. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ISOMORFAS.

Dos estructuras algebraicas como las correspondientes a a las siguientes tablas: G=111o

y

H=aaa+

solo tienen dos diferencias, mientras la operación de G se escribe como “o”, la de

H se nota “+”, a su vez el único elemento de G como conjunto es 1 y el correspondiente de H es a. Es decir que al cambiar 1 por a y o por + en G se obtiene H. Cuando ocurre lo anterior diremos que las estructuras G y H son isomorfas o similares. Para ensayar una definición que comprenda esta situación, observemos que la función f de G en H definida como f(1)=a, tiene las siguientes propiedades: i) f es una biyección y ii) f(1o1)=f(1)+f(1). Con la intención de comprender un poco más el problema, al observar las estructuras

correspondientes a las tablas G1=eaaaeeae+

y G2 =aeaeaeaeo

, sin importar que los elementos

sean los mismos, ellos juegan diferentes papeles en cada estructura. Por ejemplo: e hace el papel de módulo de + en G1, pero el módulo de o en G2 es a. En este caso se puede pensar que al cambiar + por o en G1, y notar a en vez de e y e en vez de a, G1 se transforma en G2. Esta vez la función de <G1+> en <G2,o>, definida como f(e)=a y f(a)=e, tiene las siguientes propiedades: i) f es una biyección y ii) f(x+y)=f(x)of(y), siempre que x,y∈G=a,b. (Ver Ejercicio 1 19.1). Plateamos entonces las siguientes definiciones: Definición1.8.1. Si <G,+> y <H,o> son estructuras algebraicas y f es una función de G en H, entonces: i) f es un homomorfismo de estructuras si f(x+y)=f(x)of(y), siempre que x,y∈G; ii) f es un isomorfismo de estructuras, si f es inyectivo; iii) <G,+> y <H,o> son estructuras

37

iosomorfas, notado <G,+>≈<H,o>, si es posible definir un isomorfismo sobreyectivo de G en H. Analicemos a continuación las siguientes propiedades de los homomorfismos de estructuras: Teorema 1.8.2. Si f es homorfimo de estructuras de <G,+> en <H,o>. Entonces: i) Si f es sobreyectiva y <G,+> es modulativa con módulo 0, entonces <H,o> es modulativa con módulo f(0), ii) Si <G,+> y <H,o> son modulativas y a∈G tal que a tiene un inverso en <G,+>, entonces f(a) tiene inverso en <H.o>. Más aún, si b∈G tal que b es un iverso de a en <G,+>, entonces f(b) es un inverso de f(a) en <H,o>. Demostración. i) En vista de que f es sobreyectiva, se tiene que para h∈H existe g∈G tal f(g)=h. De tal manera que hof(0)=f(g)of(0) y f(0)oh=f(0)of(g). Pero como f es un homomorfismo de estructuras, entonces hof(0)=f(g+0) y f(0)oh=f(0+g) y al tener encuenta que g+0=0+g=g, por ser 0 el módulo de <G,+> se infiere que hof(0)=f(0)oh =f(g)=h .Por lo tanto f(0) es el módulo de <H,o>. En definitiva, si <G,+> es modulativa con módulo 0, entonces <H,o> es modulativa con módulo f(0). ii) Si el módulo de <G,+> es 0 y a∈G tal que a tiene un inverso en <G,+>, entonces existe b∈G tal que a+b=b+a=0. Luego f(a+b)=f(b+a)=f(0) Pero como f es un homomorfismo de estructuras se deduce también que f(a+b)=f(a)of(b) y f(b+a)=f(b)of(a). Luego f(a)of(b)=f(b)of(a)=f(0) y al saber según i) que f(0) es el módulo de <H,o> se concluye que f(b) es un inverso de f(a) en <H,o>. 1.8.3. El teorema anterior no es válido en la parte i) si se suprime la condición sobre de la

función f. Por ejemplo, en las siguientes tablas: G=01110010+

y H=10100010o

al definir f(0) =0

y f(1)=0, obviamente f es un homomorfismo de estructuras tal que 0 es el módulo de la tabla G y a pesar de que f(0)= 0, no se tiene que 0 sea el el módulo de la tabla H.

1.8.4. Ejemplo de estructuras algebraicas isomorfas son G1=eaaaeeae+

y G2=aeaeaeaeo

porque

la función f definida como f(e)=a y f(a)=e es isomorfismo de estructuras (Ver Ejercicio 1 19.1), y por lo tanto G1≈G2. Pero no siempre las estructuras definidas sobre un mismo conjunto son isomorfas. Por ejemplo

para las tablas G=01110010+

y H=10100010o

, no es posible encontrar un isomorfismo de G

sobre H. Porque si existiera un isomorfismo g de G sobre H, entonces por lo demostrado en el teorema anterior g(0)=1. Pero como 1+1=0, entonces por ser g un homomorfismo de estructuras se infiere que g(1+1)=g(1)og(1)=g(0)=1. Luego g(1)og(1)=1 y como H la única solución de la ecuación xox=1 es x=1, se deduce que g(1)=1. Por lo tanto como también

38

g(0)=1, se infiere que g(1)=g(0) y así g no es inyectiva, contradiciendo que g si es inyectiva, porque g es por hipótesis un isomorfismo de estructuras. Teorema 1.8.5. Si <G,o>, <H,+> y <W,*> son estructuras algebraicas, entonces: i) <G,o>≈ <G,o>; ii) Si <G,o>≈<H,+> entonces <H,+>≈<G,o> y iii) Si <G,o>≈<H,+> y <H,+> ≈ <W, *>, entonces <G,o>≈<W,*>. Demostración. i) <G,o>≈<G,o> es consecuencia inmediata de que la función i de G en G definida como i(g)=g, si g∈G, conocida como la idéntica en G, es un isomorfismo sobreyectivo. (Ver Ejercicio 1. 9.3). ii) Si <G,o>≈<H,+> entonces según la Definición 1.8.1. existe un isomorfismo sobreyectivo f de G en H. Pero como también f-1 de H en G es isomorfismo sobreyectivo de <H,+> sobre <G,o> (Ver Ejercicio 1. 9.3), nuevamente por la Definición 1.8.1., se deduce que <H,+>≈ <G,o>. iii) Si <G,o>≈<H,+> y <H,+>≈<W,*> entonces de acuerdo a la Definición 1.8.1. existen g y h, ismorfismos de G sobre H y de H sobre W, respectivamente. En cosecuencia por ser hog un isomorfismo de G sobre W (Ver Ejercicio 1. 9.3), la Definición 1.8.1. implica que <G,o>≈<W,*>. El siguiente teorema completa la idea de trabajar en un bloque de estructuras algebraicas isomorfas con aquella que ofrezca la notación más cómoda. Sobre todo porque el Teorema 1.8.5 explica que la relación ≈ resultó ser de equivalencia en el conjunto de las estructuras algebraicas y sabemos que cualquier integrante de una clase equivalencia representa a toda la clase. Teorema 1.8.6. Si <G,o>≈<H,+>, entonces: i) Si <G,o> es asociativa, entonces <H,+> es asociativa; ii) Si <G,o> es modulativa, entonces <H,+> es modulativa; iii) Si <G,o> es invertiva, entonces <H,+> es invertiva; iv) Si <G,o> es conmutativa, entonces <H,+> es conmutativa. Demostración. Si α,β,γ∈H entonces como existe un isomorfismo f de <G,o> sobre <H,+>, ya que ellas son estructuras algebraicas isomorfas, entonces precisamente por ser f una función de G en H sobreyectiva, es factible encontrar a,b,c∈G tales que f(a)=α, f(b)=β y f(c)=γ. Por lo tanto α+(β+γ)=f(a)+(f(b)+f(c)) (1). Pero como f es un homomorfismo se justifica la siguiente cadena de igualdades: f(a)+(f(b)+f(c))=f(a)+f(boc)=f(ao(boc)). Es decir f(a)+(f(b)+f(c))=f(ao(boc)) (2). Pero como <G,o> es asociativa, entonces ao(boc)=(aob)oc. Aplicando ahora que f es función concluimos que f(ao(boc))=f((aob)oc). Por último al tener en cuenta que f es un homomorfismo de estructuras se deduce: f((aob)oc)=f(aob)+f(c)=(f(a)+f(b))+f(c)=(α+β)+γ, luego f((aob)oc)= (α+β)+γ (3). De (1), (2) y (3) se deduce que α+(β+γ)=(α+β)+γ. ii) Si <G,o> es modulativa, con módulo por ejemplo e∈G, entonces como existe un isomorfismo f de <G,o> sobre <H,+>, el teorema 1.8.2 implica que f(e) es el módulo de <H,+> y por consiguiente <H,+> es modulativa.

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iii) Si <G,o> es invertiva entonces cada a∈G tiene un inverso en <G,o> y como existe un isomorfismo de <G,o> sobre <H,+> el Teorema 1.8.2 indica que para cada a∈G se tiene f(a) tiene inverso en <H,+>. Pero como los elementos de H son de la forma f(a), para algún a∈G, por ser f una función de G en H sobreyectiva, entonces cada elemento de H tiene inverso en <H,+> y por consiguiente <H,+> es invertiva. iv) Por último si <G,o>≈<H,+> y <G,o> es conmutativo, entonces al existir un isomorfismo de estructuras f de <G.o> sobre <H,+>, al toma α,β∈H existen a,b∈G tales que α+β=f(a)+f(b)=f(aob). Es decir α+β=f(aob) (1). Pero como <G,o> es conmutativa aob=boa y en consecuencia como f es un homomorfismo de estructuras f(aob)=f(boa)=f(b)+f(a)=β+α Luego f(aob)=β+α (2) y en consecuencia de (1) y (2) se infiere que α+β=β+α, si α,β∈H. Razonamiento que infiere la conmutatividad de <H,+>.

1.9. EJERCICIOS.

1. 9.1. Respecto de las estructuras cuyas tablas son: G1=eaaaeeae+

y G2=aeaeaeaeo

, demuestre

que la función f definida como f(e)=a y f(a)=e es una biyecciòn de G en G=e,a, tal que f(x+y)=f(x)of(y), siempre que x,y∈G. Es decir G1≈G2. 1. 9.2. Si <G,+> y <H,o> son estructuras algebraica finitas con diferente números de elementos, demuestre que <G,+> no es isomorfa a <H,o>. 1. 9.3. Demostrar: i) Si <G,o> es una estructura algebraica, entonces la función idéntica en G es un isomorfismo sobreyectivo: ii) Si f es un isomorfismo de estructuras, de <G,+> sobre <H,o>, entonces f-1 es un isomorfismo de estructuras de <H,o> sobre <G,+>. iii)Si <G,o>, <H,+> y <W,*> son estructuras algebraicas y f y g son isomorfismos de estructuras de <G,o> sobre <H,+> y <H,+> sobre <W,*>, respectivamente, entonces gof es un isomorfismo de <G,o> sobre <W,*>..

1. 9.4. Encuentre cual de las siguientes estructuras son isomorfas: G1 =

102202112100210+

G2=

aebbebaabaeebaeo

, G3=

021221011020210∇

, G4 =

020221011020210*

, G5=12221121ç

, G6 =10101010?

,

40

G7=

11221121&

, G8=

123442143334122432114321$

, G8=

123442113334122432114321χ

, G9=

123442143334122432414321@

1. 9.5. Si <G,o> es tal que es válida la implicación: aob=aoc⇒b=c, siempre que a,b,c∈G y además <G,o>≈<H,+>, demostrar que también es válida la implicación en <H,+>: a+b=a+c⇒b=c, siempre que a,b,c∈H.. 1. 9.6. Si f es un homomorfismo de estructuras de <G,o> en <H,+>, K⊆G y P⊆H. Demostrar: i) Si <K,o> es una estructura algebraica, entonces <f(K),+> es una estructura algebraica, ii) Si <P,+> es es una estructura algebraica, entonces <f-1(P) ,o> es una estructura algebraica. Recuerde que f(K)=f(k)/k∈K y f-1(P)=x∈G/(f(x)∈P.

11..99.. 7 Corregir si es necesario, cada una de las siguientes propuestas:

i) o es una operación en G⇔o es una función de GxG en G ii) o es una operación en G⇔ i) (∀z)(∀w)(z,w∈G⇒ o está definida en (z,w), ii)

(∀z)(∀w)(z,w∈G⇒zow∈G), iii) (∀x) (∀z)(∀w) (x,z,w∈G∧x=z ⇒xow=zow) iii) <G,o> es una estructura algebraica asociativa⇔(∃a)(∃b)(∃c) (a,b,c∈G∧ao(boc)=(aob)oc) iv) <G,o> es una estructura algebraica modulativa⇔(∃e∈G)( (∀z)(z∈G⇒zoe=z∨eoz=z) v) Si <G,o> es una estructura algebraica y K⊆G ⇒ <K,o> es una estructura algebraica ⇔

(∀x) (∀z) (x,z∈K ⇒xoz∈K). 1. 9.8. Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Si <G,o> y <H,+> son tales que G=H, entonces <G,o>≈<H,+> ii) Si <G,o> y <H,+> son tales G y H tienen el mismo número de elementos, entonces <G,o>≈<H,+>. iii) Si f es un homomorfismo de estructuras de <G,o> en <H,+> y <G,o> es modulativa, entonces <H,+> es modulativa. iv) Si f es un homomorfismo de estructuras sobreyectivo de <G,o> en <H,+> y <G,o> es modulativa, entonces <H,+> es modulativa.

vi) v) Si f es un homomorfismo de estructuras de <G,o> en <H,+> y <H.+> es asociativa, entonces <G,o> es asociativa.

1.10. LOS NATURALES SEGÚN PEANO. Ensayaremos una Definición de un conjunto ℕ de números naturales con base en los axiomas de Peano.

41

Definición. 1.10.1. Se dice que ℕ es un conjunto de números naturales, si: i) 0∈ℕ; ii) Existe una función inyectiva; s: ℕ→ ℕ tal que s(ℕ))=ℕ-0 y iii) Si A⊆ℕ ttaall qquuee 0∈A y s(a)∈A siempre que a∈A, eennttoonncceess AA== ℕ. .

1.10.2. En la definición anterior s(a) es llamada “el siguiente de a” o el “sucesor de a” y la propiedad iii) es conocido como “inducción matemática”. 1.10.3. Para adoptar la notación clásica de los números naturales, escribiremos s(0) = 1, s(1) = 2, s(2) = 3, etc. Definición 1.10.4.. Definimos + en ℕ de la siguiente forma: i) Si a∈ℕ, a+0=a y ii) si a,b∈ℕ ; a+s(b)=s(a+b).

Teorema 1.10.5. Las relaciones + en ℕxℕ, de la Definición anterior tienen las siguientes propiedades Si a,b∈ℕ, entonces i) a+s(b)=s(a)+b. ii ) 0+a=a y iii)si a,b,c∈ℕ y a=c, entonces a+b=c+b y b+a=b+c.

Demostración. i) Consideremos A=⎨b∈ℕ/ a+ s(b) = s(a)+b⎬. Para demostrar 0∈A debemos comprobar a+s(0) = s(a)+0, pero esto es válido; puesto que a+s(0)=s(a+0)=s(a)= s(a)+0. Además, si b∈A entonces: a+s(s(b)) =s(a+s(b)) Por Definición 1.10.4. ii) = s(s(a) +b) Porque b∈A y s es función =s(a)+s(b). Por Definición 1.10.4. Luego a+s(s(b))= s(a)+s(b) y por ello el s(b)∈A. Así hemos demostrado que 0∈A y que si b∈A, entonces s(b)∈A. Por lo tanto la Definición. 1.10.1. iii) perimite inferir que A= ℕ. Luego si b∈ℕ, entonces a+s(b)=s(a)+b, ya que b∈A ii) Sea ahora A=⎨a∈ℕ/0+a=a⎬, entonces es evidente que 0∈A, porque según Definición 1.10.4. i) 0+0=0. Si a∈A, entonces como según Definición 1.10.4. i) 0+s(a)=s(0+a) y a su vez 0+a=a, porque 0∈A, y como s es una función se infiere que s(0+a)=s(a) y por consiguiente 0+s(a)=s(a). Luego s(a)∈A, si a∈A. En consecuencia 0∈A y si a∈A entonces s(a)∈A. Luego Definición. 1.10.1. permite deducir que A= ℕ. Es decir, si a∈ ℕ, entonces 0+a=a. iiiiii)) SSuuppoonnggaammooss qquuee aa==cc yy ddeeffiinnaammooss AA==⎨⎨bb∈∈ℕ//a+b=c+b⎬⎬..

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1) 0∈A porque a+0=c+0, ya que a+0=a y c+0=c, según Definición 1.10.4. i) y a=c. De otra parte, si b∈A, entonces:: a+s(b) =s(a+b) Por Definición 1.10.4. ii) =s(c+b) Porque a+b=c+b, ya que b∈A y s es frunción =c+s(b) Por Definición 1.10.4. ii). Luego a+s(b)=c+s(b), concluyéndese así que s(b)∈A, si b∈A.(2) De (1) y (2) la Definición. 1.10.1. iii) implica que A= ℕ, y así hemos probado que si a=c y b∈ ℕ, entonces a+b=c+b. Análogamente al considerar A=⎨b∈ℕ/a=c⇒b+a=b+c⎬, tenemos que 0∈A, por cuanto 0+a=0+c, ya que de acuerdo a ii) 0+a=a y 0+c=c. Además si a=c y b∈A, se infiere que b+a=b+c y por consiguiente s(b+a)=s(b+c)= b+s(c)=s(b)+c. (Ver Ejercicio 1.12.6 ). Pero como también s(b+a)=s(b)+a, concluimos que s(b)+a=s(b)+c. Es decir s(b)∈A., y por lo tanto se ha demoistrado que si b∈A ⇒s(b)∈A. . Luego, a=c ⇒ b+a=b+c, para a,b,c∈N. 1.10.6. Si A=⎨n∈ℕℕ./ P(n)⎬, entonces como (0∈A∧(∀n∈ℕℕ))(n∈A ⇒s(n)∈AA))⇔ (P(0)∧(∀ n∈ℕℕ)(P(n) ⇒P(s(n)). Entonces por el principio de inducción (Definición. 1.10.1.iii), (P(0)∧(∀ n∈ℕℕ)(P(n) ⇒P(s(n)) ⇒(∀ n∈ℕℕ)(P(n).

Teorema 1.10.7. La relación + es una operación en ℕℕ. Demostración. Si a∈ℕℕ, al presentar: P(b)= a+b está definida en ℕℕ o equivalentemente P(b)=(∃c∈ℕℕ)(a+b=c), es obvio P(0), porque a+0=a, y por tanto basta tomar c=a.. Además como a+s(b)=s(a+b) y como por P(a), se tiene que (∃c∈ℕℕ)(a+b=c), entonces por ser s función s(a+b)=s(c). Es decir a+s(b)=s(c) y por tanto a+s(b) está definida en ℕℕ. Luego P(a)⇒P(s(a) y al haber demostrado P(0), se deduce que + está definida en ℕℕ y también que + es cerrada en ℕℕ. Por último, la conclusión iii del Teorema 1.10.5 y el Corolario 1.1.18 implican que + es operación en ℕℕ. Teorema 1.10.8. <ℕ,+> es una estructura algebraica, asociativa, modulativa y conmutativa.

Demostración. Si a,b∈ℕ y P(c)= a+(b+c)=(a+b)+c, para c∈ℕ, es inmediato deducir P(0).

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De otra parte a+(b+s(c)) =a+s(b+c)= s(a+(b+c)). Pero por P(c) y ser s función s(a+(b+c)=s((a+b)+c). Entonces a+(b+s(c))= =s((a+b)+c) y como s((a+b)+c) =(a+b)+s(c). (Ver Ejercicio 1.12.6), se infiere que a+(b+s(c)) =(a+b)+s(c). Luego P(c)⇒P(s(c)) y en consecuencia a+(b+c)=(a+b)+c, siempre que c∈ℕℕ . Por último al ser a y b elementos arbitarios de ℕℕ se deduce que a+(b+c)=(a+b)+c, siempre que a,b,c∈ℕℕ. Luego <ℕℕ , +> es asociativa. El carácter modulativo de <ℕℕ, +> se deduce de la Definición 1.10.4. i) y del Teorema 1.10.5 ii) iivv)) SSii aa∈∈ℕℕ yy PP((bb))==((∀∀bb∈∈ℕℕ))((aa++bb==bb++aa)) eess iinnmmeeddiiaattoo ccoommpprroobbaarr PP((00)) .. YY aall aacceeppttaarr ccoommoo hhiippóótteessiiss aa PP((bb)),, tteenneemmooss :: aa++ss((bb))==ss((aa++bb))==ss((bb++aa))==bb++ss((aa))==ss((bb))++aa.. LLuueeggoo aa++ss((bb))== ss((bb))++aa.. EEss ddeecciirr PP((bb))⇒⇒PP((ss((bb)))).. EEnnttoonncceess <<ℕℕ,,++>> eess ccoonnmmuuttaattiivvaa.. En seguida definiremos el producto o en ℕℕ de la siguiente manera:

Definición. 1.10.9 i) Si a∈ℕℕ; ao0 = 0 y ii) si a,b∈ℕℕ: aos(b) = ab+a. El siguiente Teorema demuestra algunas propiedades elementales del producto definido anteriormente: Teorema 1.10.10 i) Si a∈ℕ; 0oa = 0, ii) s(b)oa = boa+a, si a,b∈ℕℕ iii) si a,b,c∈ℕℕ y a=c, entonces aob = cob y boa=boc. Demostración. i) Al plantear P(a)= 0oa = 0, es evidente P(0). De otra parte, 0os(a) = 0oa+0, pero como por P(a) 0oa=0 y + una operación en ℕℕ se infiere que 0oa+0= 0+0=0. Luego 0os(a) = 0, que es precisamente P(s(a)). Es decir hemos demostrado que P(a)⇒P(s(a)) y al ya haber demostrado P(0), se concluye que 0oa = 0, para todo a∈ℕ. ii) ) Si para a,b∈ℕ; P(a)= s(b)a=ba+a, entonces s(b)o0 = bo0+0 ya que s(b)o0=0 y bo0+0 =0+0=0. Demostrando así P(0). (1) Además s(b)os(a) = s(b)oa+s(b), pero como por P(b) se tiene que s(b)oa = boa+a y + es operación en ℕ , entonces s(b)os(a)=s(b)oa + s(b)=(boa+a)+s(b) = s((boa+a)+b) = s((boa+b)+a) = (boa+b)+s(a) = bos(a)+s(a). Luego s(b)os(a) = bos(a)+s(a), igualdad correspondiente a P(s(a)). Entonces P(a) ⇒ P(s(a)), para cualquier a∈N (2). De (1) y (2) se deduce que s(b)oa = boa+a, para cualquier a∈ℕ, pero como b es un natural arbitrario, se concluye s(b)oa = boa+a, para cualquier a,b∈ℕ. iii) Si a,c∈ ℕ y para b∈ ℕ, P(b) = Si a=c, entonces aob=cob: obviamente se tiene P(0). Además si a=c, P(b) implica aob=cob y por ser + operación en ℕ se tiene que

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aob+a=cob+c=cos(b). Pero como aos(b) = aob+a, se deduce que aos(b)= cos(b). Luego P(b)⇒ P(s(b)).Concluyendo así que P(b) es válido para todo b∈ℕℕ. De otra parte, al considerar P(b) = Si a=c, entonces ba = bc; P(0) es válido. Y si P(b) también lo es, y a=c, entonces s(b)oa = boa+a = boc+c = s(b)oc; es decir P(s(b)) es cierto. Luego P(b) se cumple para todo b∈ℕℕ. Teorema 1.10.11. La relación o de la Definición 1.10.9 es una operación en ℕ. Demostración. La Definición 1.10.9 garantiza que el producto está definido en ℕℕ,, ppoorrqquuee al fijar a∈ℕ, se tiene que ao0=0 y si aob esta definido entonces aos(b) = ab+a. Es decir s(b) también está definida Además, si a,b∈ℕ, entonces aob∈ℕℕ. Es una afirmación de demostración inmediata en el caso b= 0. También como as(b) = aob+a, al aceptar que aob∈ℕℕ, concluimos que aos(b)∈N, ya que + es operación en ℕ. Luego aob∈ℕ, siempre que a,b∈ℕℕ. Por último, si a,b,c,d∈ℕ tales que a=b y c=d, entonces el Teorema 1.10.10 iii) implica aoc=bc y boc = bod. Luego aoc = bod. Al haber demostrado que el producto satisface O1, O2 y O3 del Corolario 1.1.17 inferimos que o es una operación en ℕℕ Con la técnica desarrollada es posible demostrar el siguiente teorema: Teorema 1.10.12. La estructura algebraica <ℕ,o.> es asociativa, modulativa y conmutativa. ii) Además si a,b,c∈ℕ, entonces ao(b+c)=aob + aoc. Un par de relaciones importantes en ℕℕ son la relación menor que, notada <, y mayor que, notada >, que definiremos de la siguiente forma: Definición. 1.10.13. Si a,b∈ℕℕ, diremos que a es menor que b, notado a<b, si existe k∈ℕ, k≠0 tal que b = a+k. Además a es mayor que b, notado a>b, significa que b<a.

1.10.14. Es inmediato demostrar: i) Si k∈ℕ, entonces k≠0, si y sólo si k>0, ii) Si a,b∈ℕ tales que a>0 o b>0, entonces a+b>0. O en forma equivalente: si a,b∈ℕ y a≠0 o b≠0, entonces a+b≠0. O también: Si a,b∈ℕ tales que a+b=0, entonces a=0 y b=0. i) En efecto, si k∈ℕℕ y k≠0 obviamente según la Definición 1.10.13, 0<k ya que k = 0+k. Es decir según esa misma definición k>0 Recíprocamente, si k>0, entonces nuevamente por la Definición 1.10.13 0<k y existe r∈ℕ, r≠0 tal que k = 0+r, pero como 0+r=r, concluimos que k = r; en consecuencia k≠0.

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ii) ) Si a,b∈N tales que a>0 o b>0. Entonces de acuerdo con i), a≠0 o b≠0. En consecuencia, como según la Definición. 1.10.1. s(ℕℕ) = ℕℕ-0, tendremos que a∈s(ℕℕ) o b∈s(ℕℕ), lo cual garantiza la existencia de α,β∈ℕℕ tales que a=s(α) o b=s(β). Por lo tanto a+b=s(α)+b = b+s(α) o a+b=a+s(β). Aplicando ahora Definición 1.10.4. inferimos que a+b = s(b+α) o a+b =s(a+β). Por consiguiente de todas las formas a+b∈s(ℕℕ)=ℕℕ-0. Es decir a+b≠0, y lo demostrado en i) conduce a la afirmación a+b>0.. El siguiente Teorema resume algunas propiedades importantes de la relación < Teorema 1.10.15. i) Si a,b,c∈ℕℕ tales que a0 y b>0, entonces aob>0. O en forma equivalente: si a,b∈ℕ tales que a≠0 y b≠0, entonces ab≠0. Demostración i) Si a,b,c∈ℕℕ tales que a, tenemos que c = a +(r+s). Pero como según 1.10.14 ii) r+s≠0, ya que r,s∈ℕℕ-0 , la Definición1.10.13implica que a<c. ii) Veamos que cualquiera de las opciones a=b o a<b o b<a, excluye a las dos restantes. Si a=b entonces -(a<b) y –(b<a), ya que de darse cualquiera de ellas, existirían r,s∈ℕℕ, r≠0 y s≠0 tales que o b=a+r o a = b+s. Pero como a=b, obtendríamos que o a = a+r o a = a+s y por consiguiente r = 0 o s=0 (Ver Ejercicio 1.12.12) y ello no es posible porque r≠0 y s≠0. Si a<b entonces a≠b y –(b<a), ya que en caso contrrario ello implicaría la existencia de r∈ℕℕ, r≠0 tal que a=b o a=b+r. Pero como a<b, existe s∈ℕℕ, s≠0 tal que b=a+s. Obteniéndose así que a=a+s o a=(a+s)+r=a+(s+r). Luego s=0 o s+r=0, y ninguna de esas opciones es posible ya que de una parte s≠0 y como además r≠0, 1.10.14ii) implica que s+r≠0. Análogamente es posible comprobar que si b<a entonces no es posible a=b, así como tampoco es aceptable a<b (Ver Ejercicio 1.12.13). Por último comprobemos que si a,b∈ℕℕ, entonces o a=b o a0, y por tanto b<a.

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Supongamos ahora a manera de hipótesis de inducción, que si a,b∈ℕℕ y a≠b, entonces a<b o b<a y demostremos que si a,b∈ℕℕ y a≠s(b), entonces a<s(b) o s(b)<a. En efecto si a,b∈N y a≠s(b), entonces como de todas maneras a=b o a≠b. Si a=b el resultado es inmediato ya que según la Definición 1.10.13 b<s(b), puesto que s(b)=b+s(0) y por consiguiente a<s(b). Si a≠b, entonces por hipótesis de inducción a<b o b<a. Si a<b, nuestro objetivo es inmediato pues como sabemos que b<s(b), entonces i) implica a<s(b). Si b<a, la Definición 1.10.13 informa sobre la existencia de h∈ℕℕ, h≠0 tal que a=b+h. Al ser h∈ℕℕ y h≠0, la Definición. 1.10.1. ii) garantiza la existencia α∈ℕℕ tal que h=s(α). A su vez α=0 o α≠0, pero debemos descartar α=0, porqué como a=b+h ello implicaría que a=b+s(0)=s(b), y esto no es posible pues a≠s(b). Por lo tanto α≠0, y como a=b+h y h=s(α), con α≠0, tenemos que a=b+s(α) =s(b)+α. Teniendo en cuenta que la Definición 1.10.13, infiere que que s(b)<a. iii) Si a,b,c∈ℕℕ tales que a<b, entonces al aplicar la Definición 1.10.13, obtenemos h∈ℕℕ, h≠0, tal que b=a+h y por lo tanto b+c=(a+h)+c. Pero como según el Teorema 1.10.8 <ℕℕ,+> es asociativa y conmutativa se deduce que b+c =(a+c)+h, con h≠0 . En consecuencia la Definición 1.10.13 implica que a+c<b+c. iv) Si a,b∈ℕℕ tales que a>0 y b>0, entonces de acuerdo a 1.10.14 ii), a≠0 y b≠0. En consecuencia, como según la Definición. 1.10.1. s(ℕℕ) = ℕℕ-0, tendremos que a,b∈S(ℕℕ), lo cual garantiza la existencia de α,β∈ℕℕ tales que a=s(α) y b=s(β). Por lo tanto la Definición 1.10.9, informa que aob = s(α)os(β) = s(α)β+s(α). Aplicando ahora la Definición 1.10.4. inferimos que aob = s(s(α)β+α). Por consiguiente ab∈S(ℕℕ) = ℕℕ-0. Es decir ab≠0, y lo demostrado en 1.10.14 i), conduce a la afirmación aob>0. El siguiente teorema demuestra, entre otras propiedades conocidas de los naturales, que no existen naturales en el intervalo (0,1). Teorema 1.10.16. i) Si h∈ℕℕ, entonces no es posible h<0 ii) Si h∈ℕℕ y h≠0, entonces solamente es posible h=1 o h>s(0). Es decir no es posible h<s(0). iii) Si a,b∈ℕℕ tales que a<b entonces o a+s(0)=b o a+s(0)<b. iv) Si a,b,c∈ℕℕ tales a<b y c≠0, entonces ac<bc iv) Si a,b,c,d∈N tales a0 y nuevamente el Teorema 1.10.15 ii), implica que no es posible h<0.

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ii) Se trata de comprobar que si h∈ℕℕ tal que h≠0 y h≠s(0), entonces s(0)<h, porque si ello no

fuera así, de acuerdo al Teorema 1.10.15 ii) se tendría que h<s(0), y por tanto existiría α∈ℕℕ, α≠0 tal que s(0)=h+α. Pero como h≠0 y α≠0, entonces existirían a,b∈ℕℕ tales que h=s(a) y α=s(b). Por lo tanto s(0)=s(a)+s(b)=s(a+s(b)) y en consecuencia a+s(b)=0. Lo cual implicaría, según 1.10.14 que a=0 y s(b)=0. En particular s(b)=0, pero esto no es posible ya que 0∉N.. iii) Al aplicar el Teorema 1.10.15 ii) obtenemos que a+s(0)=b o a+s(0)<b o b<a+s(0). En consecuencia para deducir i) solamente resta verificar que la opción b<a+s(0) no es posible, si a<b. En efecto, si b<a+s(0), entonces existe h≠0, h∈ℕℕ tal que a+s(0)=b+h. Pero como h∈ℕℕ y h≠0, i) nos dice que h=1 o s(0)<h. Ahora bien, h=1 no es posible, porque ello implicaría que a+s(0)=b+s(0) y por consiguiente a=b (Ver Ejercicio 1.12.15), que de acuerdo al Teorema 1.10.15 ii) no es viable ya que a<b. Por lo tanto s(0)<h y según el Teorema 1.10.15 iii)b+s(0)<b+h=a+s(0). Luego b+s(0)<a+s(0) y por consiguiente b<a (Ver Ejercicio 1.12.14). Conclusión que contradice la hipótesis a<b. Luego la opción b<a+1 no es posible. iii) Si a,b,c∈ℕℕ tales que a<b y c≠0, entonces existe h∈ℕℕ, h≠0 para el cual se cumple b=a+h. En onsecuencia bc = (a+h)c, y de acuerdo al Teorema 1.10.12 ii), bc=ac+hc. Pero como h≠0 y c≠0, se deduce que hc≠0, por Teorema 1.10.15 iv), garantizando así que ac<bc iv) Si a,b,c,d∈N tales que a<b y c<d, entonces por Teorema 1.10.15 iii) se tiene que a+c<b+c y b+c<b+d. Por lo tanto Teorema 1.10.15 iv) implica que a+c<b+d. Pero también de a<b y c<d, se deduce inmediatamente que b≠0 y d≠0, concluyéndose que bd≠0. De tal manera que si c=0, entonces 0=ac<bd. Y si c≠0, suponiendo a<b, por iii), llegamos a que ac<bc, y como también b≠0, ya que a<b, también por iii), considerando c<d, se infiere que bc<bd. Entonces por el Teorema 1.10.15 iv), obtenemos que ac<bd. La Definición 1.10.13 y el Teorema anterior garantizan la validez del siguiente corolario: Cororolario 1.10.17. i). Si k∈ℕℕ, entonces k≠0, si y sólo si k>0, ii) Si a,b∈ℕℕ tales que a>0 y b>0, entonces a+b>0 y ab> 0, iii) Si a,b,c∈ℕℕ tales que a>b y b>c, entonces a>c iv) Si a,b∈ℕℕ y a>b entonces o a=b+1 o a>b+1.v) Si a,b∈ℕℕ solamente es posible una y solo una de las siguientes opciones: o a = b, o a>b, o b>a. vi) Si a,b,c∈ℕℕ tales a>b, entonces a+c>b+c y a c >b c, vii) Si a,b,c,d∈ℕℕ tales a>b y c>d, entonces a+c>b+d y ac>bd. Vale la pena aludir a las relaciones menor o igual que notada ≤ y mayor o igual que notada ≥, definidas así:

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Definición 1.10.18. Si a,b∈ℕℕ diremos a≤b, que se lee a menor o igual que b, si a<b o a=b. Además o a≥b, que se lee a mayor o igual que b, si b≤a. 1.10.19. No es difícil verificar que los dos Teoremas anteriores y el corolario son válidos si sustituimos, respectivamente < por ≤ en el primero de ellos, y > por ≥, en el segundo. (Ver Ejercicio 1.12.17 )

1.11 OTROS TIPOS DE OPERACIONES Quienes han estudiado algo de Algebra lineal conocen otro tipo de operaciones tales como el producto interior de vectores y el producto de un escalar por un vector. Recordemos que el primero de ellos transforma a dos vectores en un escalar y el segundo al producto de un escalar por un vector asigna un vector. De tal manera que si V es el conjunto de vectores y K el campo de escalares, las operaciones mencionadas son funciones de VxV en K y KxV en V, respectivamente. Como se puede observar, ya que K y V no son necesariamente el mismo conjunto, estas operaciones son de naturaleza diferente a las operaciones de la Definición 1.1.1 En vista de que la mayor parte de este material tratará sobre operaciones del tipo definido en la Definición 1.1.1, nos referiremos a ellas, sencillamente como operaciones.

1.12. EJERCICIOS 1.12.1 Basándose únicamente en las definiciones 1.4.1y 1.7.1, demuestre que si a,b,c,dεG , donde <G,o> es una estructura algebraica asociativa y conmutativa, entonces: (a.b).(c.d)=((d.c).a).b. 1.12.2 En el Ejemplo 1.2.2demuestre que los únicos subconjuntos propios de A que son estructura algebraica, con la operación + son: K1 =1 y K2=1,2 1.12.3 Demuestre que en una estructura algebraica <G,o>, asociativa y modulativa, con módulo e, las ecuaciones ax=e y xa=e, con aεG, tienen a lo más una solución en G. 1.12.4. Demuestre que una función f de A en B es 1-1 si y solo si, para a,b∈A; si f(a)=f(b), entonces a=b. 1.12.5 Demuestre que <Mnn(ℂ) , +> es conmutativa y el Teorema 1.4.3. 1.12.6. Justificar las igualdades desarrolladas en los Teoremas 1.8.5 y 1.10.8

49

1.12.7 Si para a,b∈ ℝ, definimos a♦b=ab, donde la operación en el lado derecho es el producto usual de reales, y es el valor absoluto usual en ese mismo conjunto, demuestre que ♦ es una operación binaria en ℝ. 1.12.8 Demuestre que las estructuras algebraicas < ℂ, +> y <ℂ , o> de 1.1.24 y 1.1.25 son asociativas. Además demuestre que la suma y la multiplicación usuales de complejos restringidas a los números reales, son precisamente la suma y multiplicación usuales de reales. 1.12.9 Demuestre que las estructuras algebraicas: <AA , o> definida en 1.1.40, y <Mnn(ℂ , +> y <Mnn(ℂ) , o > definidas 11..33..2211 son asociativas. 1.12.10. Analizar si la una estructura algebraica <ℚ/ℤ, +`> de 11..33..1155 es asociativa, modulativa o invertiva. 1.12.11. Demuestre que el principio de inducción matemática de la Definición. 1.10.1. puede presentarse de la siguiente forma: si k∈ℕℕ tal que: i) P(k) es válido, ii) Si P(j) implica P(j+1), para cualquier j∈ℕℕ con j>k entonces P(j) es válido para cualquier j≥k 1.12.12 Demuestre:i) si a,r∈ℕℕ tales que a+r= a, entonces r=0 y ii) si a,r∈ℕℕ tales que a+r=0, entonces a=0 y r=0. 1.12.13 Demuestre que si a,b∈ℕℕ tales que b<a, entonces no es posible a=b o a<b. 1.12.14 Demuestre que si a,b,c∈ℕℕ tales que a+c<b+c, entonces a<b. 1.12.15. Demuestre que si a,b,c∈ℕℕ tales que a+b = a+c entonces b=c. 1.12.16. Demuestre que si a,b,c∈ℕℕ, con a≠0, tales que a.b = a.c, entonces b=c. 1.12.17 Demuestre el Corolario 1.10.17 y lo afirmado en 1.10.19. 1.12.18. Si a,b,c∈ℕℕ se define a≤b≤c si a≤b y b≤c. Demuestre que si a,b∈ℕℕ tales que a≤b≤a, entonces a=b. 1.12.19 Analice el carácter asociativo, modulativo, conmutativo e invertivo de <ℕℕ, +>. 1.12.20. Demuestre: i) Si a,b∈ℕℕ y n,m∈ℕℕ, entonces: an.am = an+m, ii)(an)m = anm, iii)(ab)n = an.bn ii) si k,n∈ℕℕ* y k≥2, entonces kn>n. 1.12.21. Analice la veracidad de las siguientes afirmaciones para <G,o> una estructura algebraica : i) Si aεG, entonces a tiene inverso en <G,o>.

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ii) Si aεG, entonces a tiene a lo más un inverso en <G,o>. iii) Si a,bεG, entonces la ecuación ax=b tiene solución en G. iv) Existen estructuras algebraicas modulativas con dos módulos a la derecha diferentes. v) Si <G , o> es modulativa a la derecha, entonces <G , o> es modulativa a la izquierda. vi) El recíproco de la afirmación anterior es falso. vii) Si aεG tiene inverso a la derecha en <G,o>, entonces a tiene inverso a la izquierda en

<G,o>. viii) Si <G , o> es modulativa, con módulo e y aεG, entonces la ecuación ax=e, tiene a lo más

una solución en G. ix) Si <G, o> es una estructura algebraica y x1,x2, ... ,xn ε G , entonces: x1.x2. ... .xn =x1.(x2. ... .xn). x) Si a,bεG y nε ℕℕ, entonces (a.b)n = an.bn. xi) Existe n∈ℕℕ tal que s(n)=0. xii) Si a∈ℕℕ tale que s(a) = 1, entonces a=0. xiii) Si a,b∈ℕℕ tales que s(a)=s(b), entonces a=b. xiv) Si a,b,c∈ℕℕ tales ab=ac, entonces b=c. xv) Si a,b,c∈ℕℕ tales que a+b=a+c, entonces b=c. xvi) Si a,b,c∈ℕℕ tales que ac<bc, entonces a<b. xvii)Si a,b,c∈ℕℕ tales que a+c<b+c, entonces a<b.

1.13 RELACIONES DE EQUIVALENCIA. Los conceptos mencionados son importantes para continuar en la construcción del conjunto de los enteros y el conjunto ℚ. de los racionales. Además veremos otra presentación

interesante del conjunto ℕ de los naturales. Iniciemos aclarando ciertos términos para posteriormente definir relación de equivalencia. Definición 1.13.1 Si R es una relación en A entonces i)R es reflexiva en A ⇔(∀a) (a∈A⇒aRa), ii) R es simétrica⇔(∀a)(∀b)(a,b∈A∧aRb⇒bRa, iii) R es asimétrica en A ⇔ (∀a)(∀b)(a,b∈A∧aRb⇒-(bRa), iv) R es antisimétrica en A⇔ (∀a) (∀b) (a,b∈A ∧aRb ∧bRa ⇒a=b), v) R es transitiva en A⇔ (∀a)(∀b)(∀c) ((a,b,c∈A ∧aRb∧bRc)⇒aRc)), vi) R está conectado en A o R cumple la Ley de la Tricotomía en A ⇔ (∀a)(∀b) (a,b∈A⇒ aRb ∨ bRa) Definición 1.13.2 Una relación R en un conjunto G es de equivalencia en G si R es reflexiva, simétrica y transitiva en A. Ejemplo 1.13.3. Si A es un conjunto, entonces R=(x,x)/x∈A es una relación de equivalencia en A. Esta relación es conocida como la relación diagonal y se acostumbra a notar com R=∇A. Ejemplo 1.13.4. Si A es un conjunto, entonjces R=AxA es una relación de equivalencia en A

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Ejemplo1.13.5. Si A=1,2,3,4, entonces R=(1,1),(2,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4) es una relación de equivalencia en A. Las relaciones de equivalencia originan particiones en los conjuntos respectivos, conformadas por las clases de equivalencia, según la siguiente terminología: Definición 1.13.6. Si G es un conjunto, diremos que ℘ es una partición de G, si:

1) Si A∈℘, entonces A⊆G y A≠∅. 2) Si A,P∈℘, entonces A=B o A∩B=∅. 3) G= U

℘∈AA .

1.13.7. Abreviadamente ℘ es una partición de G significa que ℘ es una familia de subconjuntos no vacíos de G disyunta dos a dos cuya unión es G. Definición 1.13.8. Si R es una relación de equivalencia en G y a∈G, entonces la clase de equivalencia de a, según R, nota cR(a), se define como cR(a)=x∈G/xRa. 1.13.9. i) Si R es una relación de equivalencia en G, el conjunto de sus clases de equivalencia en G lo notaremos como G/R. Es decir G/R= cR(a)/a∈G; ii) si no se presta a confución con G y R, notaremos c(a), en vez de cR(a). Ejemplo 1.13.10. Para la relación R definida en el Ejemplo 1.13.5 se tiene que c(1)=1, c(2)=2, c(3)=c(4)=3,4. Note que A/R=c(1),c(2),c(3) y A=UA/R Ejemplo 1.13.11. Con relación al Ejemplo 1.13.4., si a∈A, entonces c(a)=A y por lo tanto A/R=A. Además si R es una relación en A, entonces A/R=A, si y solo si R=AxA. Ene efecto, si R=AxA ya tenemos que A/R=A. Recíprocamente, si R es una relación en A tal que A/R=A, entonces en primer lugar, por la Definición 1. 1. 2, R⊆AxA,. Y si (a,b)∈AxA, entonces como c(a)=A y b∈A, también tendremos que b∈c(a) y por lo tanto, de acuerdo con la Definición 1.13.8, (a,b)∈R. Luego AxA⊆R y como ya se sabe que R⊆AxA se infiere que R=AxA. Precisamente el conjunto G/R es una partición de G tal como se demuestra en el siguiente teorema: Teorema 1.13.12. Si R es una relación de equivalencia en G, entonces G/R es una partición de G. Demostración. De acuerdo a la Definición 1.13.8, para cada a∈G se tiene que c(a)⊆G y además c(a)≠∅, puesto que a∈c(a) ya que aRa, por ser R una relación de equivalencia. Además, si a,b∈G y c(a)∩c(b)≠∅, entonces existe k tal que k∈c(a) y k∈c(b). Razón para afirmar según la Definición 1.13.8 que kRa y kRb, y por lo tanto como R es una relación de

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equivalencia al aplicar sucesivamente las propiedades simétricas y transitiva de la Definición 1.13.2, obtenemos aRb. Apoyándonos en este último resultado podemos probar que c(a)=c(b), porque si x∈c(a), entonces xRa y como ya tenemos aRb, entonces por la propiedad transitiva de R se infiere xRb. Es decir, x∈c(b). Recíprocamente, si x∈c(b) entonces xRb, pero como ya sabemos aRb, por la simetría de R se obtiene bRa. Luego xRb y bRa, conjunción que al aplicarle la propiedad transitiva de R permite deducir xRa y por lo tanto x∈c(a). Hemos demostrado entonces que x∈c(a) si y solo si x∈c(b), lo cual indica que c(a)=c(b). Por último, para demostrar G= U

Gac(a)

∈demostremos que U

Gac(a)

∈⊆G y G⊆U

Gac(a)

∈.

Es evidente que U

Gac(a)

∈

⊆G, porque c(a)⊆G para cada a∈G, según Definición 1.13.8 .

También es evidente G⊆ U

Gac(a)

∈

, ya que si k∈G, entonces tal como se demostró en 1) se

tiene que k∈c(k) y por tanto k∈UGac(a)

∈

.

Así hemos probados las condiciones 1),2) y de 3) de la Definición 1.15.4 y por ende G/R es una partición de G.. Ejemplo 1.13.13. Si G=1,2,3,4 y R=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,3),(3,2), entonces R es una relación de equivalencia sobre G. Además note que c(1)=1, c(2)=2,3= c(3) y c(4)=4. Entonces G/R=c(1),c(2),c(4)y cumple las condiciones 1),2) y de 3) de la Definición 1.15.4. Además U

Gac(a)

∈=UG/R =1∪2,3∪4=1,2,34=G.

1.13.14. Es importante tener en cuenta que si c(b),c(b)∈G/R tales que c(a)=c(b), no se puede deducir que a=b. Precisamente en el Ejemplo anterior c(2)=c(3), pero 2≠3. Lo que si podemos apreciar en ese mismo ejemplo es que 2R3, puesto que (2,3)∈R. En general es válido afirmar que si a,b∈G, entonces c(a)=c(b), si y solo si aRb. (Ver Ejercicio 1.14.4).

1.14 EJERCICIOS.

1.14.1. Si A=1,2,3 defina todas las relaciones de equivalencias posibles en A. 1.14.2. Encuentre el error en la siguiente argumentación mediante la cual se podría suprimir la condición i) en la Definición 1.13.2:

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En efecto, como según ii) para a,b∈A es válida la implicación aRb⇒bRa, entonces se tendría aRb∧ba. Por lo tanto iii) implicaría aRa 1.14.3. i) Si A≠∅ ¿será ∅ una relación de equivalencia en A?. ii) Si A=∅ ¿será ∅ una relación de equivalencia en A? . iii) ¿Será ∅ una partición de A?. iii) Sin en algún caso ∅ es una relación de equivalencia en A, ¿Quién es A/∅?. 1.14.4. Si R es una relación de equivalencia G y a,b∈G, demuestre que c(a)=c(b)⇔aRb. 1.14.5. Si A es un conjunto finito y R es una relación de equivalencia en A, entonces existen

x1,x2, ...xk∈A tales que: i) si i,j∈1,2, ...,k y i≠j, entonces xi≠xj, ii) A=Uk

i 1i )c(x

=

, iii)

c(xi)∩c(xj)=∅ si i,j∈1,2, ...,kcon i≠j 1.14.6. Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones:

i) Toda relación R en A es una relación de equivalencia en A. ii) Si A es finito y R es una relación de equivalencia en A, entonces R/A es finito. iii) Si A es infinito y R es una relación de equivalencia en A, entonces R/A es infinito iv) Si R es una relación de equivalencia en A, entonces (∀a)(∀b)(a∈A∧b∈A) ⇒

(aRb∨bRa). v) Si a,b∈A y R es una relación de equivalencia en A, entonces c(a)=c(b)⇒a=b. vi) Si R es una relación de equivalencia en A y a,b∈A tales que a≠b ⇒c(a) a≠c(b). vii) Si R es una relación de equivalencia en A y a,b∈A tales que c(a)∩c(b)

≠∅⇒c(a)=c(b). viii) Si A≠∅, entonces ∅ es una relación de equivalencia. ix) Si A=∅, entonces ∅ es una relación de equivalencia en A. x) ∅ es una partición de A. xi) Si A=∅, entonces ∅/∅=⎨∅⎬

1.15 CONSTRUCCIÓN DE ℤ y ℚ .

La idea central para construir ℤ es la de unir el conjunto ℕ de los números naturales con sus negativos. En otras palabras se trata de ampliar el conjunto ℕ para que una ecuación del tipo 5+x=2 tenga solución en dicho conjunto. En esa tónica se trata de no diferenciar entre parejas de naturales (a,b) que coincidan con a-b. Por ejemplo sería en cierta forma lo mismo tratar con la pareja (5,2) que con la pareja (7,4) puesto que 5-2=7-4. Pero como no se puede hablar hasta ahora de resta, entonces se elude tal problema refiriéndonos a la igualdad 5+4=7+2. Esta idea puede permitir entender la pretensión de la siguiente definición: Definición 1.15.1. Si ℕ es un conjunto de naturales, K=ℕxℕ y (a,b),(c,d)∈K, entonces diremos que (a,b) ∼(c,d), si a+d = c+b.

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Teorema 1.15.2. La relación ∼ definida anteriormente en K= ℕxℕ es una relación de equivalencia. Demostración. Si a,b,c,d∈ℕ entonces: i) (a,b) ∼(a,b), puesto que a+b=b+a. ii Si (a,b) ∼(c,d), entonces (c,d) ∼(a,b), es inmediato ya que si (a,b) ∼(c,d), entonces a+d=b+c y por la conmutaivida de <ℕ,+> se infiere que d+a=c+b. Luego c+b=d+a y por consiguiente (c,d) ∼(a,b) iii) Por último, si (a,b) ∼(c,d) y (c,d) ∼(e,f), entonces (a,b) ∼(e,f). Porque si (a,b) ∼(c,d) y (c,d) ∼(e,f), entonces a+d=b+c y c+f=d+e, lo cual implica que (a+d)+(c+f)=(b+c)+(d+e) y al aplicar sucesivamente las propiedades conmutativa y asociativa de <ℕ,+> se deduce que (a+f)+(d+c)=(b+e)+(d+c).(Ver Ejercicio 1.16.2) Luego a+f=b+e y por eso (a,b) ∼(e,f). Por consiguiente ∼ es una relación de equivalencia en K. 1.15.3 Para a,b∈ℕ, notaremos clase de (a,b), según ∼, como [(a,b)] = (x,y)∈K/(x,y) ∼(a,b) y ℤ=[(a,b)]/ (a,b)∈K. Entonces en la mira de sumar clases perseguimos que si por ejemplo a [(3,1)] le hacemos corresponder 2 y [(5,2)] le corresponde 3, es decir: [(3,1)]→2, [(5,2)]→3, entonces [(3,1)]+[(5,2)]→5. Lo cual se obtiene mediante [(3+5,1+2)]=[(8,3)]. Con el producto o: [(3,1)] * [(5,2)]→2o3=6, la cual resulta de [(3o5+1o2,3o2+1o5)] =[(17,11)]. Apoyándonos en estos resultados planteamos la siguiente definición: Definición 1.15.4. Si [(a,b)],[(c,d)]∈ℤ, definimos: [(a,b)] + [(c,d)] = [(a+c,b+d)] y [(a,b)]o[(c,d)] = [(ac+bd, ad+bc)], donde las operaciones en los miembros derechos de las igualdades anteriores son la suma y el producto de naturales definidas en Definición 1.10.4... El siguiente teorema es planteado como ejercicio: Teorema 1.15.5. La suma y el producto definidos anteriormente son operaciones en ℤ.

Además <ℤ,+> y <ℤ, o> son estructuras algebraicas asociativas, modulativas y conmutativas. En particular <ℤ,+> es también invertiva. Además, si a,b,c∈ℤ, entonces ao(b+c)=aob+aoc Es de mucha utilidad el siguiente Teorema: Teorema 1.15.6. ℤ = [(k,0)]/k∈ℕ* ∪ [0,k)]/k∈ℕ, donde ℕ*=ℕ-0 Demostración. Si [(a,b)]∈ℤ, entonces como a,b∈ℕ el Teorema 1.10.15 ii) indica que a=b o a<b o b<a. Por lo tanto: [(a,b)]=[(0,0)] ∨(∃h∈ℕ*)(b=a+h)∨(∃k∈ℕ*)(a=b+k), lo cual señala

que [(a,b)]=[(0,0)] o [(a,b)]=[(0,h)] o [(a,b)]=[(k,0)]. En consecuencia[(a,b)]∈ [(k,0)]/k∈ℕ*

55

∪ [0,k)]/k∈ℕ. Luego ℤ⊆[(k,0)]/k∈ℕ* ∪ [0,k)]/k∈ℕ,pero como [(k,0)]/k∈ℕ* ∪

[0,k)]/k∈ℕ⊆ℤ, obtenemos que ℤ=[(k,0)]/k∈ℕ* ∪ [0,k)]/k∈ℕ (Ver Ejercicio 1.16.4). 1.15.7. A nivel convencional a ℤ+=[(k,0)]/k∈ℕ y k≠0 se le conoce como el conjunto de los enteros positivos. Análogamente el conjunto de los enteros negativos es ℤ-=[0,k)]/k∈ℕ y k≠0. De manera abreviada se escribira k en vez de [(k,0)] y –h en vez de [(0,h)]. Esto justifica la notación clásica ℤ =...,-2,-1,0,1,2, .... 1.15.8. Muy importante anotar que <ℤ+∪[(0,0)],+>≈< ℕ,+> y que <ℤ+∪[(0,0)],*>≈ < ℕ,o>, puesto que la aplicación f de ℤ+∪[(0,0)] en ℕ definida como f([(k,0)])=k, si k∈ℕ es un homomorfrismo de estructuras, en primer lugar de <ℤ+∪[(0,0)],+> en < ℕ,+> y en segundo lugar de <ℤ+∪[(0,0)],*> en < ℕ,o>. (Ver Ejercicio 1.16.6) De tal manera que la afirmación: ℕ⊆ℤ, equivale a decir que <ℕ,+>≈<ℤ+∪[(0,0)],+> y <ℕ,o>≈ <ℤ+∪[(0,0)],o>. 1.15.9. Por ser evidente que ℤ+∪[(0,0)] es un conjunto de naturales en el sentido de la Definición. 1.10.1. (Ver Ejercicio 1.16.7), se entiende porque en esa definición se habla de un conjunto de naturales y no de el conjunto de naturales. Así se puede afirmar que ℤ contiene algún conjunto de naturales, comúnmente expresado como ℕ⊆ℤ 1.15.10. Es interesante anotar que para k∈ℕ se tiene [(k,0)]=(x,y)]/x,y∈ℕ ∧x=y+ky en consecuencia los puntos del plano cartesiano que conforman el conjunto [(k,0)] son precisamente los puntos de la recta x=y+k cuyas coordenadas son números naturales. Análogamente para h∈ℕ la clase [(0,h)] corresponde a los puntos con coordenadas naturales ubicados en la recta y=x+h. Es decir ℤ forma parte de una familia de rectas paralelas que cortan al eje x en los puntos (k,0) y (-h,0), para k,h∈ℕ. (Ver Ejercicio 1.16.5). 1.15.11. Las Definiciones 1.10.13 1.10.18 se extiende a ℤ así: Si a,b∈ℤ, entonces i) aa si a<b, iii)a≤b si a<b ∨ a=b y iv) b≥a si a≤b. Consideradas así las cosas no es difícil demostrar el siguiente teorema (Ver Ejercicio 1.16.3) : Teorema 1.15.12. Si a,b,c,d∈ℤ, entonces: i) Si a<b, entonces a+c<b+c; ii) Si a0, entonces ac<bc, pero si c>0,entonces ac>bc. En consecuencia iv) si b>a, entonces b+c>a+c; v) si b>a y c>d, entonces b+c>a+d; vi) si a>b y c>0,entonces ac>bc, pero si c<0,entonces ac<bc; vii) si a≤b, entonces a+c≤b+c; ii) Si a≤b y c≤d, entonces a+c≤b+d; viii) Si a≤b y c>0, entonces ac≤bc, pero si c<0,entonces ac≥bc, ix) si b≥a, entonces b+c≥a+c; x) si b≥a y c≥d, entonces b+c≥a+d. En particular, si b>0 y c>0,

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entonces b+c>0; xi) si a≥b y c>0,entonces ac≥bc, pero si c<0, entonces ac≤bc. Por último: xi) siempre es posible una y sola una de las opciones: a=b o a<b o b<a. Análogamente a construcción del conjunto ℤ, se logra la de los números racionales mediante el siguiente proceso: : Definición 1.15.13 Si K = (a,b)/a,b∈ℤ y b≠0 definimos ∼ en K así: Si (a,b),(c,d)∈K, entonces (a,b) ∼(c,d) equivale a decir que ad = bc ((la operación en ad y bc es la multiplicación de ℤ definida en en 1.15.4). No ofrece dificultad demostrar el siguiente teorema: Teorema 1.15.14 La relación ∼ definida anteriormente es una relación de equivalencia en K

Definición 1.15.15 Si (a,b)∈K, [(a,b)] = (x,y)∈K/((x,y) ∼(a,b) y ℚ = [(x,y)]/(x,y)∈K, se

define + y o en ℚ como [(x,y)]+[(z,w)] = [(xw+zy,yw)] y [(x,y)]o[(z,w)] = [(xz,yw)], donde las operaciones en el miembro derechos son la suma y multiplicación de enteros definidas en en 1.15.4. Teorema 1.15.16 < ℚ, +> y < ℚ* ,o> son estructuras algebraicas asociativas, modulativas,

invertivas y conmutativas. Además, si a,b,c∈ℚ, entonces ao(b+c)=aob+aoc. 1.15.17 También es viable notar ℚ+ =[(x.y)/xy>0 y ℚ -=[(x.y)/xy<0 y la simbología

clásica ℚ =p/q/p,q∈ℤ y q≠0. 1.15.18 Las definiciones 1.10.13 y 1.10.18, así como todos los resultados del Teorema.1.15.12.pueden ser extendidas a ℚ (Ver Ejercicio1.16.10). Finalizaremos con la siguiente definición y otras propiedades interesantes de ℚ.

Definición 1.15.19 Si a∈ℚ definimos valor absoluto de a, notado acomo a=⎩⎨⎧

<≥

0a si a,-0a ,a si

Teorema 1.15.20 Si a,b∈ℚ , entonces; 1) a≤a, 2) a≥-a, 3)a≤b, si y solo si -b≤a≤b; 2) a≥b, si y solo si a≥b o a≤-b; 3) a+b≤a+b; 4) a-b≥a-b. (Ver Ejercicio 1.16.11) Teorema 1.15.21. Si L.∈Q tal que para cualquier ε∈ℚ + se tiene que L<ε, entonces L=0.

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Demostración. i) Es inmediato porque si L≠0, entonces según la Definición Definición 1.15.19 se tendría que L>0. De tal manera que al considerar ε=L, la hipótesis implicaría L<L y esto no es posible (Ver Ejercico 1.16.10). 1.15.22. Es evidente que <[(q,1)]/q∈ℤ,+>≈<ℤ,+> y [(q,1)]/q∈ℤ,o>≈<ℤ,o>, puesto que la aplicación f de [(q,1)]/q∈ℤ en ℤ definida como f([(q,1)])=q, es el ismorfismo biyectivo que permite ambos isomorfismos (Ver Ejercicio 1.16.8.). Nuevamente a semejanza de la contencia ℕ⊆ℤ de 1.15.8, se presenta ℤ⊆ℚ, equivalente a decir que

<[(q,1)]/q∈ℤ,+>≈<ℤ,+> y [(q,1)]/q∈ℤ,o>≈<ℤ,o>

1.16. EJERCICIOS 1.16.1. Demuestre que si R es una relación de equivalencia en G y si a,b∈G, c(a) y c(b) son las respectivas clases de equivalencia, entonces c(a)=c(b), si y solo si aRb. 1.16.2 Demuiestre que si a,b,c,d∈ℕ tales que (a+d)+(c+f)=(b+c)+(d+e), entonces (a+f)+(d+c)=(b+e)+(d+c) 1.16.3. Demuestre los Teorema 1.15.5 y 1.15.12. 1.16.4. Justifique todos los pasos utilizados en la demostración del Teorema 1.15.6. 1.16.5. En el plano cartesiano trace las rectas de 1.15.10 correspondientes a las clase [(0,0)],[(1,0)], [(2,0)], [(0,1)] y [(0,2)]. 1.16.6 Demuestre: i) La aplicación f de ℤ+∪[(0,0)],+> en < ℕ,+> definida como f([(k,0)]=k es un homomorfismo de estructruras. Aálogamente La aplicación f de ℤ+∪[(0,0)],*> en < ℕ,o> definida como f([(k,0)]=k es un homomorfismo de estructruras. 1.16.7 Demuestre que ℤ+∪[(0,0)] es un conjunto de naturales, en el sentido de la Definición. 1.10.1.. 1.16.8. Demostrar que que <[(q,1)]/q∈ℤ,+>≈<ℤ,+> y [(q,1)]/q∈ℤ,o>≈<ℤ,o>, entendiendo que la operaciones en <[(q,1)]/q∈ℤ,+> y [(q,1)]/q∈ℤ,o> son las definidas en 1.15.16. Mientras que las de <ℤ,+> y <ℤ,o>son las definidas en 1.15.4 1.16.9 Demuestre los teoremas 1.15.14 y 1.15.16. 1.16.10. Ampliar las Definiciones 1.10.13 y 1.10.18 a ℚ, y demuestre que todos los resultados

del Teorema.1.15.12.son válidos en ℚ.

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1.16.11. Ssi a∈ℚ, al definir valor absoluto de a, notado a en la Definición 1.15.19,

demuestre: 1) Si a,b∈ℚ , entonces a≤b, si y solo si -b≤a≤b; 2) a≥b, si y solo si a≥b o a≤-b; 3) a+b≤a+b; 4) a-b≥a-b. 1.16.12. Analice la validez en ℚ de las apreciaciones planteadas en los ejercicios: 1.12.12, 1.12.13, 1.12.15 ,1.12.16 y 1.12.18

1.17. RELACIONES DE ORDEN Y OTRA CONSTRUCCIÓN DE ℕ. El propósito es mostrar otra manera de abordar la construcción de un conjunto de naturales ℕ de una manera diferente a la ya efectuada a partir de los axiomas de Peano. Algunas de las propiedades demostradas anteriormente servirán como punto de partida. Iniciamos con la siguiente definición apoyados en la terminología de la Definición 1.13.1 y después resumiremos esas propiedades en otra definición.

Definición 1.17.1. Si A es un conjunto y ≤ es una relación en A entonces: i) ≤ es un orden parcial sobre A, si ≤ es reflexiva, antisimétrica y transitiva en A. ii) ≤ es un orden total si ≤ es antisimètrica, transitiva y cumple la Ley de la Tricotomía. iii) Si K⊆A y m∈K, entonces m es un elemento minimal de K ⇔(∀k)(k∈K∧k≤m⇒k=m) ⇔(∀k)(k∈K∧k≠m⇒–(k≤m)). iv) Si K⊆A y m∈K, entonces m es un elemento mínimo de K ⇔(∀k)(k∈K⇒ m≤k) v) Si K⊆A y m∈K, entonces m es un elemento maximal de K⇔(∀k)(k∈K∧m≤k⇒k=m) ⇔(∀k)(k∈K∧k≠m⇒–(m≤k)). vi) Si K⊆A y m∈K, entonces m es un elemento máximo de K⇔(∀k)(k∈K⇒ k≤m). vii) ≤ es un buen orden en A, si ≤ cumple la Ley de la Tricotomía y todo subconjunto no vacío de A tiene un elemento minimal. En este caso diremos que <A, ≤> está bien ordenado. viii)Si K⊆A y m∈A, entonces m es una cota inferior de K en A⇔(∀k)(k∈K∧k≠m⇒–(k≤m)) ix) Si K⊆A y m∈A, entonces m es un extremo inferior de K en A o m es el ínfimo de K en A, si m es una cota inferior de K en A tal que para todo k∈A, k≠m, si k es cota inferior de K en A, entonces –(m≤ k). x) Si K⊆A y m∈A, entonces m es una cota superior de K en A⇔(∀k)(k∈K k≠m ⇒–(m≤k)) xi) Si K⊆A y m∈A, entonces m es un extremo superior de K en A o m es el supremo de K en A, si m es una cota superior de K en A tal que para todo k∈K, k≠m, si k es cota superior de K en A, entonces –(k≤m). Ejemplo 1.17.2. Si A es un conjunto y ℘(A)=X/X⊆A, la relación ⊆ en ℘(A) es un orden parcial puesto que para cualquier X,Y,Z∈℘(A) es válido afirmar que i) X⊆X, ii) Si X⊆Y y Y⊆X, entonces X=Y y iii) Si X⊆Y y Y⊆Z, entonces X⊆Z..

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Mientras que ⊆ no cumple la Ley de la Tricotomía. Por ejemplo, si A tiene por lo menos dos elementos diferentes a y b, entonces a,b∈℘(A), pero –(a⊆b) y –(b⊆a) Observe que en este caso el elemento mínimal de K=a,b no es único puesto a y b, son elementos minimales de K. Además a no es un elemento mínimo de K ya que –(b⊆a) y análogamente se verifica que b no es un elemento mínimo de K. Sin embargo al considerar A=1,2,3,4 y B=1,1,2,1,2,3,A es válido afirmar que ⊆ es un orden total en B. Además 1 es minimal y mínimo en B y 1 es el único mínimo. 1.17.3. Si R⊆℘(A) y K∈ R , entonces K es maximal en R , si y solo si P∈ R tal que K⊆P⊆A, entonces K=P ∨P=A. (Ver Ejercicio 1 19.2). Ejemplo 1.17.4. Si A=1,2,3,4, K=1,2 y ≤=(3,1),(2,1),(2,4),(1,3),(2,3),(4,3), entonces 3 no es cota inferior de K en A, puesto 2≤3. Tampoco 1 y 4 son cotas inferiores de K en A pues 2≤1 y 2≤4. Pero 2 si es cota inferior de K en A, porque -(1≤ 2).. En las condiciones anteriores 2 es el extremo inferior de K en A, porque la implicación: (x∈A∧x es cota inferior de K en A∧x≠2)⇒-(2≤x), se cumple vaciamente porque 2 es la única cota inferior de K en A. Pero 4 es cota superior de K en A, puesto –(4≤1) y –(4≤2), en vista de que (4,1)∉ ≤ y (4,2)∉≤. También 3 no es cota superior de K en A, porque 3≤1. Note que 1 es cota superior de K en A, ya que -(1≤2) . Pero 2 no es cota superior de K en A, puesto que (2,1)∈≤. Por último 4 y 1 son un supremo de K en A, porque (1,4),(4,1) ∉≤. Ejemplo 1.17.5. Si A=1,2,3,4,5,6,7,8, K=1,2,3,4, ≤=(1,5),(2,5),(1,6),(2,6),(5,6), (3,7), (4,7),(3,8),(4,8),(8,7). Entonces ≤ no es un orden parcial porque (1,1)∉≤ . Por esa misma razón no es un órden total, por fallar la ley de la Tricotomía. Pero como por definición un buen órden debe cumplir en primer lugar la Ley de la Tricotomía, se deduce que ≤ no es un buen órden. Todos los elementos de K son minimales y maximales. Pero K carece de elemento máximo y de elemento mínimo. Todos elementos de K son cotas inferiores de K en A y a la vez son extremos inferiores de K en A. Pero 5,6,7 y 8 no son cotas inferiores de K en A. Las cotas superiores de K en A son: 5,6,7y 8. Y los extremos superiores de K en A son 5 y 8. 1.17.6. Observaciones: Si K⊆A y ≤ es una relación en A, entonces:i) El ejemplo anterior que K puede tener más de un minimal y más de un maximal. Pero K tiene a lo más un mínimo y un máximo.

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En efecto, si m y n fueran elementos mínimos de K y m≠n, entonces como m,n∈K al ser m un elemento mínimo de K, se deduce que m≤n. Pero esto no es posible puesto que n es elemento mínimo de K. Luego m=n, es decir K tiene a lo más un elemento mínimo. Análogamente se demuestra que K tiene a lo más un elemento máximo. (Ver Ejercicio 1 19.1). ii) Obviamente si K tiene un elemento mínimo m, entonces m es un elemento minimal de K en A. (Ver Ejercicio 1 19.1) El ejemplo anterior demuestra que el recíproco no es válido, porque todos los elementos de K son minimales y maximales. Pero K carece de elemento máximo y de elemento mínimo. Otros resultados son los siguientes: Teorema 1.17.7. Si ≤ es una relación en A, entonces ≤ es un orden total en A, si y solo si ≤ un orden parcial que cumple la Ley de la Tricotomía. Demostración. Si ≤ es un orden parcial que cumple la Ley de la Tricotomía, entonces según la Definición 1.17.1 i implica en particular ≤ es antisimétrica, transitiva y cumple la Ley de la Tricotomía. Entonces por Definición 1.17.1ii), ≤ es un orden total. Recíprocamente, si ≤ es un orden total, entonces como por Definición 1.17.1ii) ≤ es antisimétrica, transitiva y cumple la Ley de la Tricotomía, para probar que ≤ es un orden parcial que cumple la Ley de la Tricotomía, solo resta probar que ≤ es reflexiva. Pero esto es inmediato, por que si a∈A, entonces por la Ley de la Tricotomia a≤a. Teorema 1.17.8. <A, ≤> está bien ordenado, si y solo si <A, ≤> es un orden total tal que todo subconjunto no vacío de A tiene un elemento mínimal. Demostración. De acuerdo con la Definición 1.17.1ii) si <A, ≤> es un orden total tal que todo subconjunto no vacío de A tiene un elemento mínimal, entonces <A, ≤> cumple en particular la Ley de la Tricotomía y todo subconjunto no vacío de A tiene un elemento mínimal. Luego de acuerdo con la Definición 1.17.1 vii) <A, ≤> está bien ordenado. Recíprocamente si <A, ≤> está bien ordenado, entonces como según la Definición 1.17.1 vii) ≤ cumple la Ley de la Tricotomía y todo subconjunto no vacío de A tiene un elemento mínimal, para probar que ≤ es un orden total, según la Definición 1.17.1ii, solo resta verificar que ≤ es antisimétrica y transitiva, en el sentido de la Definición 1.13.1. ≤ es antisimétrica, porque si existiera a,b∈A tales que a≤b y b≤a, pero a≠b. Entonces K=a,b no tiene elemento minimal, ya que a no lo es puesto que a≠b y b≤a. Pero tampoco b es elemento minimal de A, porque a≠b y a≤b.

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Por último ≤ es transitiva porque si existieran a,b,c∈A tales que a≤b y b≤c, pero –(a≤c), entonces K=a,b,c no tiene elemento minimal. Porque en primer lugar, a no es un elemento minimal de A, ya que como ≤ cumple la Ley de la Tricotomía y –(a≤c), entonces c≤a y además c≠a, porque si a=c, como –(a≤c) se tendría que –(a≤a), contradiciendo que por cumplir ≤ la Ley de la Tricotomía, se tiene que a≤ a. A su vez b tampoco es elemento minimal de K en vista de que a≤b y además a≠b, porque si a=b, entonces como b≤c inferimos que a≤c, contradiciendo que –( a≤c). Por último c no es elemento minimal de K puesto que b≤c y también b≠c, en vista de que si b=c, entonces como a≤b, se tendría que a≤c, contradiciendo que –( a≤c). El siguiente teorema es una consecuencia de los teoremas 1.17.7 y 1.17.8. Teorema 1.17.9. <A, ≤> está bien ordenado, si y solo si <A, ≤> es un orden parcial que cumple la Ley de la Tricotomía tal que todo subconjunto no vacío de A tiene un elemento mínimal. Teorema 1.17.10. Si ≤ es una relación antisimétrica en A que cumple la Ley de la Tricotomía, K⊆A, y m∈K, entonces m es un elemento minimal de K, si y solo si m es un elemento mínimo de K. Además, si ≤ es una relación antisimétrica en A que cumple la Ley de la Tricotomía, entonces K tiene a lo más un elemento minimal. Demostración. Si <A, ≤> cumple la Ley de la Tricotomía, K⊆A y m es un elemento mínimal de K, entonces por Definición 1.17.1iii) para todo k∈K, k≠m, se tiene que –(k≤m) (1). Pero como ≤ cumple la Ley de la Tricotomía se tiene que k≤m o m≤k, siempre k∈K. Luego de (1) se deduce que m≤k, para cualquier k∈K y k≠m. Pero como por la Ley de la Tricotomía m≤m, se deduce que m≤k, para todo k∈K Entonces la Definición 1.17.1 implica que m es un elemento mínimo de K. Recíprocamente, si m es un elemento mínimo de K, entonces para todo k∈K, con k≠m, se infiere que –(k≤m), ya que si existiera k∈K, k≠m, tal que k≤m, entonces como m es un elemento mínimo de K también se tendría que m≤k. Luego k≤m y m≤k. Por lo tanto al ser ≤ antisimétrica se deduce que k=m, contrario al supuesto k≠m. Por último si K tiene dos elementos mínimos m y n, entonces se tendrá por ser n un elemento minimal que –(m≤n) y en consecuencia por la Ley de la Tricotomía n≤m. Análogamente por ser m un elemento minimal se deduce que m≤n. Luego n≤m y m≤n y como ≤ es antisimétrica concluímos que n=m. Luego el mínimal de K es único. Definición 1.17.11 Diremos que <ℕ, +. ,≤ > es un sistema de números naturales si:

i) < ℕ,+.> es una estructura algebraica asociativa y conmutativa.

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ii) < ℕ,≤> está bien ordenado y además:(∀m,n,c∈ℕ) (m≤n⇒(∃p∈ℕ)(n=m+p)∧ m+c ≤n+c)

iii) Si a,b,c∈ℕ tales que a+b=a+c, entonces b=c iv) (∃a,b∈ℕ)(a≠b).

1.17.12 Independencia de los axiomas:

i) Si A=0,1y definimos 01101010+

se tiene que <A,+> no es conmutativa porque 1+0≠0+1.

Es decir <A,+> no cumple i). Pero iii) se cumple y ≤=(0,0),(1,1),(0,1) cumple ii). Como además obviamente se cumple iv), concluimos que i) es independiente de ii),iii) y iv). .

ii) Al considerar A=1,0 y + definida como 01110010+

se comprueba que <A,+> satisface

i),iii) y iv). Pero no es posible definir ≤ en A que satisfaga ii). Porque si ello fuera posible entonces 1≤0 o 0≤1. Pero si 0≤1, entonces por ii) de la definición anterior, también 1≤0. En consecuencia 0≤1 y 1≤0 razón para deducir segón Oii que 1=0, absurdo puesto que 1≠0. Análogamente se prueba que no es posible 0≤1.

iii) Si A=1,0 y + es definida como 11110010+

se comprueba que <A,+> es asociativa y

conmutativa. Entonces <A,+> satisface i) y iv). Definamos ≤ en A, así :≤ =(0,0),(1,1), (0,1), entonces <A,≤> satisface ii). Pero no satisface iii) puesto que 1+1=1+0, pero 1≠0. Es decir iii) es independiente de i),ii) y iv). Si E=a y definimos a+a=a, y ≤=(a,a),entonces <E,+≤> satisface i),ii) y iii) pero no satisface iv),. Luego iv) es independiente de i),ii) y iii). iv) Si aceptamos la existencia del conjunto ℂℂ de los números complejo y del producto definido en el Ejemplo 1.1.25. Entonces la estructura algebraica < ℂℂ *,o> cumple i), iii) y iv), pero no cumple ii), porque si ≤ fuera un buen orden en ℂℂ**, entonce i≤1 o 1≤i. Si i≤1, multiplicando en ambos miembros por i y -1 sucesivamente se obtiene que 1≤-i. Y al multiplicar en ambos miembros por i, se obtiene i≤1. Pero como tabién 1≤-i se deduce por ello i≤-i. Al multiplicar en ambos miembros por –1 se obtiene que -i≤i. Por lo tanto i≤-i y -i≤i y así i=-i. Absurdo porque i≠-i. Análogamente si 1≤i , se obtiene el absurdo i=-i. Teorema 1 17.13. ℕ tiene un elemento mínimo.

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Demostración. De acuerdo con la Definición 1.17.11 <ℕ,≤> un buen òrden, entonces la Definición 1.17.1 v garantiza que ℕ tiene un elemento mínimal. Pero como ≤ es también según el Teorema 1.17.9 un órden parcial, se tiene que ≤ es antisimétrica y a su vez cumple la ley de la tricotomía por ser ≤ un buen órden. Entonces el Teorema 1.17.10 implica que el elemento minimal de ℕ es también el elemento mínimo de ℕ. Teorema. 1 17.14 Si 0 es el elemento mínimo de ℕ, entonces 0 es el módulo de < ℕ,+> Demostración. Como por el Teorema 1.17.9 ≤ es también un órden parcial, la Definición 1.17.1(i) implica que 0≤0 y por lo tanto según Definición 1.17.11 ii) existe k∈ℕ tal que 0+k=0 y como 0 es el elemento mínimo de ℕ se tiene que 0≤k. Luego 0+0≤0+k y por cosiguiente 0+0≤0, puesto que 0+k=0. Además por ser 0 el mínimo de ℕ tenemos que 0≤0+0. Luego 0+0≤0 y 0≤0+0, razón para deducir que 0+0=0. De otra parte si n∈ℕ, entonces (n+0)+0=n+(0+0)=n+0, y ello implica que (n+0)+0=n+0. Es decir n+0=n. Ahora podemos ver la equivalencia de la condición ii) de la Definición 1.17.11 Teorema 1.17.15. Si m,n∈ℕ, entonces n≤m ⇔(∃!p∈ℕ)(m=n+p). Demostración. De acuerdo con la Definición 1.17.11 sabemos que si n≤m entonces (∃p∈ N)(m=n+p). Este p es único ya que si existiera otro q∈ ℕ tal que m=n+q, entonces tendríamos que n+p=n+q, razón para que según la Definición 1.17.11 iii)se deduzca que p=q. Recíprocamente, si (∃!p∈ℕ)(m=n+p), entonces 0≤p, ya que 0 es el elemento mínimo de ℕ y por lo tanto de acuerdo a la Definición 1.17.11 n=n+0≤n+p=m. Luego n≤m. 1.17.16. Al único p tal que m=n+p lo notaremos como p=m-n. Por lo tanto, con esta nueva notación se deduce que si n≤m, entonces de acuerdo a la Definición 1.17.11 iii) n+(m-n)=n. Aclaremos algunos notaciones claves para poder continuar: Definición 1 17.17. Si m,n∈ℕ diremos que m<n si m≤n ∧m≠n. Definición 1 17.18. Si a,b∈ℕ entonces, a≥b significa que b≤a. Además a>b significa b<a.

1.17.19. Dado que de acuerdo con la Definición 1.17.11 , ℕ tiene como mínimo 2 elementos, se deduce que existe n∈ℕ tal que n≠0. Es decir n∈ℕ+=k∈ℕ/k≠0 y así ℕ+≠∅. En consecuencia ℕ + tiene un elemento mínimo, que notaremos como 1. Es inmediato que 1≠0, puesto que 1∈ ℕ +.

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1.17.20. También es evidente que si n∈ℕ, entonces n≠0, si y solo si n>0 (Ver Ejercicio 1.19.3 ). Por esa razón a ℕ+ lo llamaremos el conjunto de los naturales positivos. 1.17.21. Si n∈ℕ+, entonces 1≤n y por lo tanto según 1.17.15 y la notación 1.17.16 se deduce que n-1∈ℕ Teorema 1 17.22. Si n,m∈ℕ, entonces n<m ⇔n+p<m+p, siempre que p∈ℕ. Demostración Según la definición anterior si n<m ⇒n≤m y n≠m.En consecuencia por la Definición 1.17.11 ii) se infiere que n+p≤m+p y n≠m. Pero como n+p≠m+p, ya que n≠m (Ver Ejercicio 1.19.3 ), por la Definición anterior n+p<m+p. Recíprocamente, si n+p<m+p, entonces como ello es válido para cualquier p∈ℕ, en particular será válido si p=0, y en consecuencia n+0<m+0. Luego n<m. Teorema 1 17.23. Si a,b∈ℕ tales que a+b=0, entonces a=0 y b=0. Demostración. Si a+b=0. al razonar por el absurdo aceptaríamos que a≠0 o b≠0. Pero si a≠0, al ser 0=minℕ se tiene que 0≤a y en consecuencia 0<a, ya que a≠0. Por lo tanto de acuerdo al teorema anterior se infiere que b<a+b=0, es decir b<0. Pero esto contradice que 0 es el elemento mínimo de ℕ. Análogamente, si b≠0 se concluiría el absurdo a<0. Luego a=0 y b=0. Teorema 1 17.24. Si n,p∈ℕ, entonces: i) n<n+1 y ii) n<p si y solo si n+1≤.p Demostración. De acuerdo con la la Definición 1 17.17, para demostrar que n<n+1, debe comprobarse que n≤n+1 y n≠n+1. Es evidente que n≤n+1 puesto que n+1=n+1. Además n≠n+1, porque si n=n+1, entonces como por el Teorema 1 17.14 n=n+0, se deduciría n+0=n+1. Lo cual implica según la Definición 1.17.11 (iii) que 0=1 y esto contradice el resultado 0≠1, probado en 1.17.19. Si n<p, la Definición 1 17.17 implica que n≤p ∧ n≠p y en consecuencia existe h∈ℕ tal que p=n+h. Pero como n≠p se tiene que h≠0 (Ver Ejercicio 1.19.5 ). Teniendo en cuenta ahora que 1=minℕ* obtenemos que 1≤h y por tanto n+1≤n+h=p. Luego n+1≤p. Recíprocamente, si n+1≤p entonces existe h∈ℕ tal que p=(n+1)+h=n+(1+h). Pero como 1+h≠0, porque si 1+h=0, entonces como 0≤h, también 1≤1+h=0. Es decir 1≤0, lo cual no es posible porque 0 =minℕ.

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En consecuencia k=1+h≠0 y así p=n+k, igualdad que implica por el Teorema 1.17.15 que n≤p Pero dado que n≠p, puesto que p=n+k y k≠0, entonces se ha demostrado que n≤p y n≠p. Situación que permite inferir de acuerdo a la Definición 1 17.17 que n<p. Definición 1 17.25. Si a,b∈ℕ entonces, a≥b significa que b≤a. Además a>b significa que b<a. Teorema 1.17.26. (Principio de Inducción matemática). Sea S⊆ℕ tal que 0∈S y para cualquier n∈N, si n∈S entonces n+1∈S. Entonces S=ℕ. Demostración. Si S≠ℕ, entonces existiría n∈ℕ tal que n∉S, lo cual permite asegurar que n∈ℕ-S y por consiguiente ℕ-S es un subconjunto no vacío de ℕ, razón para aceptar que existiría k=min(ℕ-S)∉S. Pero k≠0 puesto que 0∉( ℕ -S). En consecuencia como ℕ -S⊆ℕ-0=ℕ* y 1 es el mínimo de ℕ* , entonces 1≤k. También k≠1, porque si k=1, también k∈S ya que 0∈S y por hipótesis 0+1∈S. Luego 1<k, y así existe h∈ℕ, h≠0 tal que k=1+h. Pero como por el Teorema 1 17.24 (i), h<1+h=k, entonces h∉(ℕ-S), es decir h∈S y por hipótesis k=1+h∈S. Absurdo porque ya teníamos que k∉S. Luego S=ℕ. 1 17.27. De manera rápida en la demostración anterior el suponer que S≠ℕ, garantiza la existencia de un natural mínimo k, tal que k∉S y en consecuencia como k-1∈ℕ , ya que que k∈ℕ y k≠0, entonces como k-1<k, se tiene que k-1∈S y por hipótesis (k-1)+1= k∈S, contradiciendo el supuesto k∉S. Esta síntesis permite entender lo siguiente: 1 17.28. El teorema anterior se aplica para demostrar por ejemplo que 1+2+ ...+n = n(n+1)/2 es válida para cualquier n∈ℕ. Porque al considerar S=n∈ℕ/1+2+ ...+n = n(n+1)/2, se tiene que 0∈S ya que 0=0(0+1)/2. Además si n∈S, entonces 1+2+ ...+n = n(n+1)/2 y por lo tanto

1+2+ ...+n +(n+1)= n(n+1)/2 +(n+1)= 2

1)2(n1)n(n +++ = (n+1)(n+2)/2 =(n+1)((n+1)+1)/2,

luego n+1∈S. Hemos demostrado entonces que 0∈S y que si n∈S, entonces n+1∈S. El teorema anterior infiere que S=ℕ, lo cual significa que la igualdad 1+2+ ...+n = n(n+1)/2 es válida para cualquier n∈ℕ. Porque si n∈ℕ, entonces n∈S y por ende 1+2+ ...+n = n(n+1)/2. Pero también el método utilizado para demostrar el teorema anterior permite demostrar la validez de la igualdad 1+2+ ...+n = n(n+1)/2, para cualquier n∈ℕ. En efecto, si S≠ℕ, entonces se tendrìa ℕ-S⊆ℕ y ℕ-S ≠∅, y por lo tanto ℕ-S tendría un elemento mínimo k. Es decir k es el natural más pequeño tal que k∉S y así k es el menor natural tal que 1+2+ ...+k ≠ k(k+1)/2. Pero como k≠0, ya que 0∈S y k∉S, entonces k-1∈ℕ y por ser k-1<k, la definición de k implicaría que k-1∈S y en consecuencia 1+2+ ...+k-1 = (k-1)k/2. Entonces al sumar k en ambos lados se obtiene que 1+2+ ...+(k-1)+k = k(k+1)/2, que se contradice con el supuesto 1+2+ ...+k ≠ k(k+1)/2.

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Corolario 1.17.29. Si p∈ℕ y S⊆ℕ tal que:i) si n∈S, entonces n≥p; ii)p∈S y iii) Si n∈S, entonces n+1∈S. Entonces S=n∈ℕ/n≥p. Demostración. Si K= S∪n∈ℕ/n<p, entonces 0∈K puesto que si p=0, entonces por hipótesis 0∈S, lo cual indica según la definición de unión de conjuntos que 0∈K. Pero si p≠0, al ser 0=min ℕ, tendremos 0<p y por tanto 0∈n∈ℕ/n<p Luego 0∈K. Además si k∈K, entonces k∈S o k∈n∈ℕ/n<p. Si k∈S, se infiere por hipótesis que k+1∈S y por ende k+1∈K. Pero si k∈n∈ℕ/n<p se tendría que k<p y en consecuencia k+1≤p, y así k+1=p o k+1<p. En ambas circunstancias k+1∈K, porque si k+1=p, sabemos por hipótesis que p∈S, razón para aceptar que k+1∈K. Y si k+1<p, entonces k+1∈n∈ℕ/n<p y ello permite deducir que k+1∈K. Luego K satisface las condiciones del principio de inducción y por ello K=ℕ. Por último, teniendo en cuenta que K= S∪n∈ℕ/n<p y S∩n∈ℕ/n<p=∅, porque si a∈S, entonces a≥p y en consecuencia a∉n∈N/n<p, porque de no ser así a<p,y altener que p≤a se inferiría que a<a (Ver Ejercicio1.19.7 ). Luego S=n∈ℕ/n≥p. Definición 1 17.30. Si p,q,r∈ℕ, entonces p≤q≤r significa que p≤q ∧q≤r. Por último estudiaremos el principio básico para definir el producto de naturales. Analicemos el siguiente ejemplo: Ejemplo 1.17.31. Si E=a,b,c,d.e, H=2,3,4,5,6, ..., s es una función de E en E definida así: s(a)=b, s(b)=c, s(c)=a, s(d)=e, s(e)=c. Entonces se puede definir f de H en E de la siguiente manera: f(2)=a, f(3)=s(f(2))=s(a)=b; f(4)=s(f(3))=s(b)=c; f(5)=s(f(4)=s(c)=a; f(6)=s(f(5))=s(a)=b. Precisamente el siguiente teorema demuestra que se puede definir una función de H en E, de la siguiente manera: f(2)=a y para n∈ℕ, con n≥2 se tiene que f(n+1)=s(f(n)). Teorema 1.17.32. (Principio de la Definición por Recurrencia). Sean p∈ℕ, E un conjunto tal que a∈E y s y una función de E en E. Entonces existe una función f de H=n∈ℕ/n≥p en E tal que f(p)=a y f(n+1)=s(f(n)), siempre que n∈H.

Demostración. Sea n∈S y definamos g de Hn+1 en E así: g(x)=⎩⎨⎧

+=∈

1n xsi (n))s(gH xsi (x),g

n

nn .

Entonces, si r∈ Hn y r≠p entonces, g(r)=gn(r) y g(n+1)=s(gn(n)). Es decir g es una relación de Hn+1 en E, definida en Hn+1 Además si x=y∈Hn, entonces como por hipótesis gn es función de Hn en E se infiere que gn(x)=gn(y) y por tanto g(x)=g(y). Pero si y=n+1, entonces por ser gn una función de Hn en E se tiene que existe un único e∈E talque gn(n)=e y por

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definición g(n+1)=s(e). Así se prueba que g es una función de Hn+1 en E y que g=gn+1. En consecuencia según el Corolario 1.17.29 se infiere que S=n∈ℕ/n≥p. Definamos ahora f de n∈ℕ/n≥p en E, como f(n)=gn(n) para n∈ℕy n≥p. Por lo tanto f(p)=gp(p)=a. Es decir f está definida en p. Además si n∈Hn , entonces como gn está definida en n, puesto que gn una función de Hn en E, se deduce que f está definida en n y f(n)∈E, ya que f(n)=gn(n). Y si m=n∈ℕ y n≥p, entonces por ser gn una función se infiere gn(n)= gn(m) y por lo tanto f(n)=f(m).Luego f es una función de n∈ℕ/≥p en E tal que f(p)=a. Por último como gn+1(n+1)=s(gn(n)), entonces f(n+1)=s(f(n)). 1 17.33 .Observe que si a=a0, obtenemos que f(p)=a0, entonces f(p+1) =s(f(p))= s(a0) =a1, f(p+2)=s(s(a0))= s(a1 )= a2, f(p+3)=s(s(s(a0)) =s(a2)=a3. En consecuencia se puede pensar en

afirmar que f(p+k)=sk(a), dondes sk(a)=⎩⎨⎧

≥−

=−− 1ksi(a)),s(s

0ksia,1k

. Por consiguiente si n∈H,

entonces n≥p y por ende existe k∈ℕ tal que n=p+k y así f(n+1)=f(p+(k+1))=s(sk(a)) =s(f(p+k) =s(f(n)). Obteniéndose en apariencia una demostración más sencilla que la anterior. Es notorio sin embargo que al definir sk(a) =s(sk-1(a)), para k≥1 y k∈ℕ, el razonamiento anterior indica la utilización del Teorema de la Definición por recurrencia y en en consecuencia dicho razonamiento desafortunadamente no es válido. Teorema 1.17.34. Si <G,o> una estructura algebraica y a∈G, entonces existe una función fa de ℕ* en G tal que fa(1)=a y fa(n+1)=fa(n)oa para cada n∈ℕ*. De otra parte si <G,o> es modulativa, con módulo e, entonces existe una función ga de ℕ en G tal que ga(0)=e y ga(n+1)=ga(n)oa, para cualquier n∈ℕ*. Además ga(n)=fa(n), siempre que n∈ℕ*. Demostración. Consideremos s de G en G definida como s(x)=xoa, para cada x∈G. Entonces obviamente s es una función de G en G. Aplicando el Teorema 1.17.32 para 1 y a, obtenemos una función fa de H=ℕ* en G tal que fa(1)=a y fa(n+1)=s(fa(n))=fa(n)oa. Luego fa cumple los requisitos del teorema. Al considerar e el módulo <G;o>, y aplicar nuevamente el mismo teorema se infiere la existencia de una función ga de ℕ en G tal que ga(0)=e y ga(n+1)=s(ga(n)) = ga(n)oa. Entonces ga es la función solicitada por el teorema. Por último, si n∈ℕ*, entonces ga(1)=fa(1), porque ga(1)= ga(0)oa=eoa=a y fa(1)= fa(0)oa=eoa=a. Y al aceptar que ga(n)=fa(n), para n∈ℕ*, se infiere por ser s una función que s(ga(n))=s(fa(n)). Pero como s(ga(n)) =ga(n+1) y s(fa(n))= fa(n+1), entonces ga(n+1)=fa(n+1) Por lo tanto de acuerdo al Corolario 1.17.29 se tiene que ga(n)= fa(n), si n∈ℕ*.

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Definición 1.17.35 . Si n,m∈ℕ definimos gn(m)=nom, donde gn es la función ℕ en ℕ del Teorema 1.17.34, definida como gn(0)=0 y gn(k+1)=gn(k)+n. 1.17.36. Observe que de acuerdo con la definición anterior no0=0, si n∈ℕ. Pero también 0on=0, ya que 0o0=0, y si 0on=0, entonces 0o(n+1)=g0(n+1)=g0(n)=0on=0. Teorema 1.17.37. i) El producto definido anteriormente es una operación en ℕ, ii) ii) <ℕ,o.> es modulativa, iii) si n,m,p∈ℕ, entonces, no(m+p)=nom+nop y (m+p)on=mon+pon; iv) <ℕ, o> asociativa y v) <ℕ,o> es conmutativa. Demostración. i)Para probar que el producto definido es una operación en ℕ, debemos verificar que la relación h de ℕxℕ en ℕ definida como h(n,m)= gn(m) es una función. En Primer lugar es fácil verificar que si n∈ℕ, entonces de acuerdo al Teorema 1.17.26, h está definida en nxℕ, puesto que gn(0)=0 y si gn(m)=nom, entonces también por definición gn(m+1)= gn(m)+n. Luego h está definida en nxℕ, para cualquier n∈ℕ, de donde se infiere que h está definida en ℕxℕ. Además también se prueba que h(n,m)∈ℕ, siempre que

(n,m)∈ℕxℕ. De otra parte si (n,m)=(p,q)∈ℕxℕ, entonces gn(m)=gp(q) es válido si m=0, y si aceptamos que gn(m)=gp(q), entonces gn(m+1)= gn(m)+n= gp(q)+n= gp(q)+p= gp(q+1). Luego gn(m)=gp(q) y por lo tanto h(n,m)=h(p,q) Entonces h es una función de ℕxℕ en ℕ y por lo tanto el producto definido es una operación en ℕ. ii) Si n∈ℕ, evidentemente no1=1on=n, es válido según 1.17.36 para n=0. Además si no1=1on=n, entonces (n+1)o1=no1+1=1on+1=n+1. Luego para todo n∈ℕ, se tiene que no1=1on=n, es decir <ℕ,o> es modulativa. iii) Si n,m,p,q∈ℕ, entonces no(m+p)=nom+nop es válido si p=0. Si no(m+p)=nom+nop, entonces n(m+(p+1)) = gn((m+(p+1))= gn((m+p)+1))=gn(m+p)+n= (no(m+p))+n= (nom+nop)+n =nom+(nop+n) =nom+gn(p+1)=nom+no(p+1) (Ver Ejercicio 1.19.10). Entonces no(m+p)=nom+nop, siempre que p∈ℕ, pero como n y m son elementos arbitrarios de ℕ se deduce que no(m+p)=nom+nop, siempre que n,m,p∈ℕ. De otra parte (n+m)op = nop+mop es válido si p=0. Además si (n+m)op = nop+mop es válido para todo n,m∈ℕ, entonces según lo demostrado anteriormente (n+m)o(p+1) = (n+m)op+(n+m) = (nop+mop) +(n+m) = ((nop+mop)+n )+m = (nop+(mop+n))+m= (nop+(n+mop))+m = (nop+n)+mop)+m = (nop+n)+(mop+m) = no(p+1)+(mo(p+1) . Luego

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(n+m)o(p+1) = =no(p+1) +mo(p+1) y en consecuencia (n+m)op = nop+mop, siempre que n,m,p∈ℕ. iv) Si n,m,p∈ℕ,entonces no(mop)= (mom)op es válido si p=0. Si para n,m∈ℕ aceptamos que no(mop)= (mom)op, entonces no (mo (p +1)) = no(mop+m)= no(mop) + nom = (nom)op + nom = (nom)o(p+1). Luego no (mop)= (nom)op, siempre que n,m,p∈ℕ. v) Si n,m∈ℕ, entonces nom=mon, es válido si m=1. Si suponemos que nom=mon, entonces por ii) no(m+1)= nom+no1. Pero como por hipótesis nom=mon y además según ii) no1=1on, se deduce que nom+no1=mon+1on. Finalmente de acuerdo con ii) se infiere que mon+1on=(m+1)on. Luego mon=nom, siempre que n,m∈ℕ. (Ver Ejercicio 1.19.10)

1 18 EL LEMA DE ZORN. El Lema de Zorn será útil para demostrar la existencia de ciertos elementos maximales. En primer lugar explicaremos los términos que intervienen en él para plantearlo y demostrarlo. De la Definición 1.17.1 conocemos los conceptos de orden parcial, cota superior y elemento maximal. Falta definir que se entiende por una cadena 1 18.1 Definición. Si K⊆A y ≤ es una relación en A diremos que Y es una cadena en A, si siempre que a,b∈Y se tiene que a≤b o b≤a. 1 18.2 Lema de Zorn. Si X es un conjunto no vacío y ≤ es un órden parcial en X, tal que toda cadena en X tiene una cota superior en X, entonces X tiene un elemento maximal. Demostración. Si X no tiene un elemento maximal, la Definición 1.17.1, implica que si a1∈X, entonces existe a2∈X tal que se a1<a2. A su vez para a2 existe a3∈X tal que a2<a3. De esta manera se obtiene un subconjunto Y de X con Y=a1,a2,a3, .... que es una cadena en X de acuerdo a la Definición 1 18.1. Pero esta cadena no tiene cota superior en X, contrario a lo señalado por hipótesis. Si pensamos en el conjunto ℤ ddee llooss eenntteerrooss,, ccoonnttrruuiiddoo aa ppaarrttiirr ddee uunn ccoonnjjuunnttoo ℕ.de naturales a la manera de 1.15 se sabe, según 1.15.21 que < ℤ,,≤≤>> eess uunn oorrddeenn ttoottaall yy qquuee eenn ccoonnsseeccuueenncciiaa ccuuaall qquuiieerr KK⊆⊆ℤ eess uunnaa ccaaddeennaa.. DDee ttaall mmaanneerraa qquueell eell LLeemmaa ddee ZZoorrnn ppeerrmmiittee ddeedduucciirr eell ssiigguuiieennttee tteeoorreemmaa:: Teorema 1 18.3. Todo subconjunto no vacío de enteros acotado superiormente tiene un elemento máximo. (Ver Ejercicio 1.19.11) Demostración. Si KK⊆⊆ℤ, y K≠∅, entonces por ser < ℤ,,≤≤>> eess uunn oorrddeenn ttoottaall,, KK tteennddrráá uunn eelleemmeennttoo mmaaxxiimmaall.. SSeeaa eennttoonncceess mm∈∈ℤ, ttaall qquuee mm eess uunn eelleemmeennttoo mmááxxiimmaall ddee KK..

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SSii mm nnoo ffuueerraa uunn eelleemmeennttoo mmááxxiimmoo ddee KK eexxiissttiirrííaa kk∈∈KK ttaall qquuee mm<<kk,, eennttoonncceess mm≤≤kk yy ccoommoo mm eess mmaaxxiimmaall ssee tteennddrrííaa qquuee mm==kk,, ppeerroo eessttoo nnoo eess ppoossiibbllee ppuueessttoo qquuee mm≠≠kk,, yyaa qquuee mm<<kk.. LLuueeggoo mm eess uunn eelleemmeennttoo mmááxxiimmoo ddee KK..

1 19. EJERCICIOS 1 19.1. Si R es una relación en A, K⊆A, y m∈K, demostrar: a) si m es un elemento mínimo de K, entonces m es un elemento minimal de K. ¿Será válido el recíproco? b) K tiene a lo más un elemento máximo. 1 19.2 Si R⊆℘(A) y K∈ R , demuestre que K es maximal en R , si y solo si P∈ R tal que K⊆P⊆A, entonces K=P ∨P=A 1.19.3 Demuestre que si n∈ℕ, entonces n≠0, si y solo si n>0 1.19.4 Demuestre que si n,m.p∈ℕ tales que n≠m, entonces n+p≠m+p. 1.19.5 Si n,p,h∈ℕ tales que n≠p y p=n+h, entonces h≠0 1.19.6. Demuestre que si n,p,k∈ℕ tales que p=n+k y k≠0, entonces n≠p 1.19.7. Demuestre que si a,b,c∈ℕ tales que a<b y b≤c, entonces a<c 1.19.8. Demuestre que si a,b∈ℕ tales que a<b y c∈ℕ*, entonces aoc<boc. 1.19.9. Demuestre que si a,b,c∈ℕ tales que aoc=boc y c∈ℕ*, entonces a=b. 1.19.10 Justificar cada uno de los pasos en la demostración del Teorema 1.17.37. 1.19.11 Demuestre el Teorema 1 18.3

1.19.12. Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones:

i) Si ≤ es una relación en A que cumple la Ley de la Tricotomía en A, entonces R es reflexiva en A.

ii) Si ≤es un orden parcial en A, entonces ≤ es un orden total en A. iii) Si <A,≤> está bien ordenado, entonces ≤ es un orden parcial en A.

1.19.13. Si o es el definido para ℕ en 1.17.35 analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Si a,b,c∈ℕ tales que a+b=a+c, entonces b=c;

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ii) Si a,b,c∈ℕ tales que aob=aoc, entonces b=c, iii) 0≠1; iv) 1 es el elemento mínimo de ℕ; v) Si a,b∈ℕ, entonces a+b=0, si y solo si a=0 o b=0; vi) Si a,b∈ℕ, entonces aob=0, si y solo si a=0 o b=0; vii) Si a,b,c∈ℕ tales que aoc<boc, entonces a<b.

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CAPÍTULO 2 GRUPOS

2.1. INTRODUCCION. En el capítulo anterior demostramos, según 1.2.4, que

2nn el número de estructuras algebraicas definibles en un conjunto G con n elementos y en consecuencia G podrá ser dotado de infinitas estructuras algebraicas, si G es infinito. Así las cosas, las estructuras algebraicas conforman una especie abundante y variada pues, según también pudimos observar, no todas tienen las mismas propiedades. Esta situación nos da una idea del difícil proceso recorrido para detectar en ese amplio y variado espectro la importancia de las estructuras que hoy conocemos con el nombre de grupos. Necesitó la sociedad andar un larguísimo trayecto para interesarse en el estudio de la Teoría de grupos: Sucintamente podemos ubicar sus albores en la época de los babilonios y los egipcios, quienes ya poseían reglas de cálculo empíricas para manejar números racionales positivos y áreas. Pasando por la formidable civilización griega, la cual alcanzó con Euclides a demostrar que el producto de dos racionales no depende de la forma adoptada por sus factores. Para en su declinar utilizar con Diofanto, por primera vez, letras en la representación de las incógnitas de una ecuación. Continuar posteriormente, a partir de la parte alta de la edad media, reconociendo a los números negativos, gracias al desarrollo de la matemática india. Proseguir en el Siglo XVI descubriendo, por parte de la escuela italiana, la solución por radicales de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, conocidas en la publicación de "Artis Magnae Sive de Regulis Algebraicis" (1545), más comúnmente llamado "Ars Magna" ó "El Arte Grande", de Hieronymo Cardano (1501-1576). Atravesar luego un penoso período de estancamiento, desde mediados del Siglo XVII hasta finales del XVIII que, según Bourbaki, se profundizó debido a que "los vastos horizontes abiertos por la creación del cálculo infinitesimal hicieron que se despreciase un poco al álge-bra, y sobre todo la reflexión matemática sobre las leyes de composición o sobre la naturaleza de los números reales o de los complejos." Todo ese tiempo fue necesario para que los métodos geniales de Gauss y Galois llevaran a una concepción más amplia a cerca de la noción de Ley de Composición, que a su vez le tocó esperar hasta mediados de 1850 cuando los matemáticos saltaran de creer que el Algebra era "propiamente hablando el análisis de las ecuaciones, a lo que hoy es considerado como su

73 problema fundamental: el estudio de las estructuras algebraicas por si misma" e ir asimilando poco a poco que lo esencial en un grupo es su ley de composición y no la naturaleza de sus elementos. A las dificultades en ese desarrollo hay que sumar la suerte de Evariste Galois, cuya corta vida, de acuerdo a lo relatado por A.Clark, en sus Elementos de Algebra Abstracta (1974): "es uno de los episodios más trágicos de la historia de las matemáticas. Perseguido por unos maestros estúpidos, suspendido por dos veces en la admisión de la Ecole Polytecnique, despreciado sus manuscritos, o peor todavía, perdidos por las sociedades científicas, Galois participó activamente, lleno de amargura, en el ala radical de la revolución de 1830 y fue encarcelado. Tras su liberación se vio envuelto en un duelo en el que fue gravemente herido y murió sin haber cumplido 21 años." "Sus manuscritos, confeccionados a toda prisa en la cárcel y en vísperas del duelo, no recibieron la atención que merecían, hasta que fueron leídos por Liouville en 1846. Hasta 1962 se publicó, por fin, una edición crítica de los escritos de Galois, pero su fama como un genio de increíble fuerza se ha mantenido durante más de cien años." El impulso que la Teoría de los Grupos dio al desarrollo de las matemáticas es palpable en el siguiente comentario del famoso físico inglés, Eddington : "si la aritmética es el arte de realizar operaciones conocidas sobre cantidades conocidas, la Teoría de los Grupos es de verdad el arte de realizar operaciones desconocidas sobre cantidades (en realidad son expresiones) también desconocidas." Es decir, la Teoría de los Grupos permitió a las matemáticas saltar a un estado superior de abstracción, alcanzado a su vez, de manera sorprendentemente rápida, aplicaciones a la Cristalografía y a la Mecánica Cuántica. Giancarlo Mancini, autor del Romance de los Números, al analizar la influencia de la Teoría de los Grupos en la extensión de las propiedades generales de las ecuaciones algebraicas a otros campos, se refiere al geómetra alemán Félix Kleini, quien: "dominado por la idea central de la unidad de las ciencias matemáticas", concluyó que "la geometría euclidiana y las no euclidianas se convierten en un caso particular de la geometría proyectiva", afirmando que todo ello se puede sistematizar con base en el concepto de grupo, de manera "unitaria y orgánica", porque según Klein : " la geometría no es más que el estudio de las propiedades invariantes con respecto a un grupo de transformación del espacio en si mismo." La hermosa relación descubierta por Galois, entre la teoría de las ecuaciones y la teoría de los grupos nos lleva a aceptar, como mínimo, que en dichas estructuras las ecuaciones ax = b y xa = b tengan soluciones. Al respecto, es conocido que si ℝ es el conjunto de los números reales, + y o son la suma y el producto usuales en ℝ y a,b∈ℝ, entonces las ecuaciones a+x = b y aox= b en <ℝ , +> y <ℝℤ , o>, respectivamente, tienen soluciones únicas en dichas estructuras. Recordemos, acudiendo a las ecuaciones 2+x=3 y 2ox=3, los pasos para encontrar sus soluciones :

74 2+x=3 Ecuación dada. -2+(2+x)=1 Sumando -2. (-2+2)+x=1 Asociativa en <ℝ , +>. 0+x=1 Invertiva en <ℝ , +>. x=1 Modulativa en <ℝ , +> Procediendo análogamente con la otra ecuación, tenemos: 2ox=3 Ecuación dada. 1/2o(2ox)=3/2 Multiplicando por 1/2. (1/2o2)ox=3/2 Asociativa en <ℝ∗ ,.>. 1ox=3/2 Invertiva en <ℝ∗ ,o>. x=3/2 Modulativa en <ℝ∗ o.>. Observamos en ambos casos la necesidad de apoyarnos en las propiedades asociativas, modulativas e invertiva de <ℝ , +> y <ℝ∗, o>. Esas son precisamente las tres cualidades exigidas a una estructura algebraica para calificarla como un grupo.

2.2 DEFINICIÓN Y DISCUSIÓN. Iniciemos planteando un proyecto de Definición de grupos Definición 22..22..11 Una estructura algebraica <G,o> es un grupo, si : i)<G , o> es asociativa. ii)<G , o> es modulativa. iii)<G , o> es invertiva. 22..22..22.. Aquellas estructuras algebraicas conmutativas que sean grupos las llamaremos grupos conmutativos. También son conocidos como grupos abelianos, en honor al matemático no-ruego, Abel Niels Henrick (1802-1829) . EEjjeemmpplloo 22..22..33 LLas estructuras algebraicas <ℤ , +>, <ℚ , +> y < ℚ* , o>definidas en 1.15

y <nℤ, +>, con nεℤ, donde nℤ= nz/z∈ℤ, satisfacen las condiciones i), ii) y iii) de la Definición 22..22..11 y como además son conmutativas, todas ellas son grupos abelianos. En efecto, Si [(a,b)],[(c,d)],[(e,f)]∈ℤ, entonces: [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]+[(c+e,d+f)] Definición de + en ℤ ( 1.15.4) =[(a+(c+e),b+(d+f) )] Definición de + en ℤ ( 1.15.4) =[( (a+c)+e,(b+d)+f )] AsociativA de+ en ℕ ( Teorema 1.10.8) =[(a+c,b+d)]+[(e,f)] Definición de + en ℤ

75 =([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)] Definición de + en ℤ. Luego [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)]) =([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)] y por lo tanto < ℤ ,+> es asociativo. Evidentemente el módulo de <ℤ ,+> es [(0,0)] =[(a,a)],(Ver Ejercicio 2.4.2) si a∈ℕ. Además si [(a,b)]∈ℤ entonces, como de acuerdo a 1.15.6, ℤ = [(k,0)]/k∈ℕ ∪ [0,k)]/k∈ℕ, se deduce que existe c∈ℕ tal que [(a,b)] = [(c,0)] o existe d∈ℕ tal que [(a,b)]= [(0,d)]. Y no es difícil comprobar que o -[(a,b)]= [(0,c)] o -[(a,b)]= [(d,0)] )]. Es decir <ℤ,+> es modulativa e invertiva. Por último: Si [(a,b)], [(c,d)]∈ℤ, es inmediato comprobar que [(a,b)]+ [(c,d)]= [(c,d)]+ [(a,b)], concluyéndose así que < ℤ ,+> es conmutativo. Luego < ℤ ,+> es un grupo abeliano. De otra parte, si [(a,b)],[(c,d)],[(e,f)]∈ℚ, entonces : [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]+[(cof+doe,dof)] Definición de+ en ℚ (1.15.15)

=[(ao(dof)+bo(cof+doe),bo(dof))] Definición de + en ℚ (1.15.15)

=[(ao(dof)+bo(cof)+bo(doe)),bo(dof))]Distributiva en ℤ (1.15.5) =[((aod)of+(boc)of+(bod)oe,(bod)of)]Asociativa en <ℤ,o> (1.15.5) =[((aod+boc))of+(bod)oe,(bod)of] Distributiva en ℤ (1.15.5) =([(aod+boc,bod)])+[(e,f)] Definición de + en ℚ (1.15.15)

=[(a,b)]+[(c,d)]+[(e,f)] Definición de + en ℚ. (1.15.15) Es decir < ℚ,+> es asociativa. Es evidente, que [(0,a)] si a∈ℤ*=z∈ℤ/z≠0, es el módulo de <ℚ,+>; porque si [(x,y)]∈ ℚ,

entonces [(x,y)]+[(0.a)]=[(0,a)]+[(x,y)]=[(x,y)] (Ver Ejercicio 2.4.7). Luego <v,+> es modulativa. Además, si [(x.y)]∈ℚ, entonces [(x,y)] +[(-x,y)]=[(xy+y(-x),yy)]=[(xoy+(-(xoy),yoy)] =

[(0,z)], con z=yoy∈ℤ*.( Ver Ejercicio 2.4.7). Es decir <ℚ,+> es invertivo, ya que de manera análoga se verifica que [(-x,y)] +[(x,y)]=[(0,z)]. En conclusión, <ℚ,+> es asociativa, modulativa e invertiva y en consecuencia < ℚ,+> es un

grupo, que resulta abeliano porque asi [(a,b)],[(c,d)]∈ℚ, entonces [(a,b)]+[(c,d)]= [(c,d)]+[(a,b)].

76 Por último si [(a,b)],[(c,d)],[(e,f)]∈ℚ*, entonces: [(a,b)]*([(c,d)]*[(e,f)])=[(a,b)]*[(coe,dof)] Definición de * en ℚ

=[(ao(coe),bo(dof)] Definición de . en ℚ

=[((aoc)oe,(bod)of] Asociativa en <ℤ,o>(Ver Ejercicio 2.4.11) =[(aoc,bod)]*[(e,f)] Definición de o en ℚ

=([(a,b)]*[(c,d)])*[(e,f)] Definición de o en ℚ. Es decir <ℚ*,o> es asociativa. Es de verificación inmediata que el módulo de < ℚ*,o>> es [(a,a)], si a∈ℤ*, porque si

[(x,y)]∈Q* , entonces [(x,y)]*[(a,a)]=[(xoa,yoa)]=[(a,a)]*[(x,y)]=[(x,y)] (Ver Ejercicio 2.4.13). Y Por lo tanto < Q *,o> es modulativa, con módulo [(a,a)], si a∈ℚ* Además, si [(x,y)]∈ℚ*, entonces x≠0 y por lo tanto [(y,x)]∈ℚ, pero como de todas maneras

y≠0, ya que [(x,y)]∈ℚ, se tiene que [(y,x)]∈ℚ*. Y en consecuencia [(x,y)]* [(y,x)] = [(xy,yx)]=[(xy,xy)] y análogamente [(y,x)] [(x,y)]=[(xy,xy) (Ver Ejercicio 2.4.13) . Luego <ℚ*,o> es invertiva Luego <ℚ*,o> es asociativa, modulativa e invertiva, razón para deducir que <ℚ*,o> es un grupo, que además es abeliano, puesto que [(x,y)]*[(z,w)]= [(z,w)]*[(x,y)]. (Ver Ejercicio 2.4.14) 22..22..44 LLaa existencia de los grupos mostrada en el párrafo anterior, implica que las condiciones aludidas en la Definición 22..22..11 no se contradicen entre si. Estamos interesados a manera de ejercicio en analizar, sin mayores pretensiones, la independencia de las condiciones en la Definición 22..22..11 El proyecto consiste en demostrar que ninguna de ellas puede ser demostrada a partir de las restantes.

En primer lugar debemos tener en cuenta que según el Teorema 1.5.8 y el Corolario 1.6.10 las condiciones ii) y iii) de la Definición 22..22..11 son equivalentes a afirmar, que <G,o> es modulativa e invertiva a la derecha y a la izquierda. Situación que plantea en dichas condiciones la conjunción de la modulativa a la derecha y la modulativa a la izquierda en ii) y de la invertiva a la derecha y la invertiva a la izquierda en iii). Estamos ante la eventualidad de cuatro posibles definiciones de grupo, a saber:

771) Una estructura algebraica <G, o>es un grupo, si : a) <G,o> es asociativa, b) <G, o> es modulativa a la derecha y c) <G,.o> es invertiva a la izquierda. 2) Una estructura algebraica <G, o>es un grupo, si : a) <G, o>es asociativa, b) <G,o> es modulativa a la izquierda y <G, o> es invertiva a la derecha. 3) Una estructura algebraica <G, o.>es un grupo, si : a) <G,o.>es asociativa, b) <G,o> es modulativa a la derecha y c) <G, o> es invertiva a la derecha. 4) Una estructura algebraica <G,o.>es un grupo, si : a) <G,o.>es asociativa, b) <G,o> es modulativa a la izquierda y c) <G,o.> es invertiva a la izquierda. No es difícil comprobar que las propuestas 1) y 2) no son viables como definiciones de grupo, en el sentido de la Definición 22..22..11 (Ver Ejercicio 2.4.3), mientras que el siguiente Teorema demuestra que la propuesta iii) es válida como Definición de grupo.

TTeeoorreemmaa 22..22..55.. Una estructura algebraica <G , o> es un grupo, si y sólo si : G1: <G , o> es asociativa. G2: <G , o> es modulativa a la derecha. G3: <G , o> es invertiva a la derecha.

DEMOSTRACIÓN. Si aceptamos que <G , o> es un grupo, entonces la Definición 22..22..11. nos indica que esa estructura es asociativa, modulativa e invertiva. Por consiguiente, al aplicar el Teorema 1.5.8 y el Teorema1.6.8, obtenemos en particular, las especificaciones modulativa a la derecha e invertiva a la derecha de <G , o>. Recíprocamente, si <G , o> satisface G1,G2 y G3, para demostrar su cualidad de grupo, según la Definición 22..22..11, debemos verificar que si e es un módulo a la derecha y a,b ∈G tales que b es un inverso a la derecha de a, entonces eoa= a y boa =e. Comencemos identificando, que según G3, existe cεG como inverso a la derecha de b. Entonces boc = e (1) Por lo tanto, como boa εG, entonces : boa = (boa)oe Por G2 = (boa)o( boc) Por (1). = (bo( aob))oc Teorema 1.4. 16. . = (boe)oc Por G3. = boc Por G2 = e Por G3 Luego boa =e. (2). De otra parte, como por hipótesis e = aob, por Oiii tenemos: eo a =( aob)oa = ao(boa) Por G1. = aoe Por (2). = a Por G2. En consecuencia eoa= a.

7822..22..66.. Las estructuras algebraicas que satisfacen G1,G2 y G3 del TTeeoorreemmaa 22..22..55 se les llama grupos a la derecha. Análogamente se definen grupos a la izquierda y se demuestra que una estructura algebraica es un grupo, si y sólo si es un grupo a la izquierda.

De tal manera que en virtud del TTeeoorreemmaa 22..22..55 la discusión sobre la independencia de los axiomas de grupos se traslada a analizar la independencia de G1,G2 y G3 Sabemos que si i,j,k son tres enteros diferentes tales que i,j,k∈1,2,3, demostrar la idependencia del axioma Gi respecto de los axiomas Gj y Gk, equivale a verificar la imposibilidad de demostrar Gi a partir de Gj y Gk, lo cual implica la invalidez de la implicación Gj y Gk ⇒ Gi. Detalladamente se trata de mostrar la negativa de la afirmación (∀<G,o>)(<G,o> satisface Gj y Gk ⇒ <G,o> satisface Gi )y en consecuencia se trata de comprobar que (∃<G,o>)(<G,o> satisface Gj y Gk , pero <G,o> no satisface Gi)

22..22..77.. De la estructura algebraica <ℝ , ->, sabemos que satisface G2 y G3 , puesto que a-0= a y a - a = 0, si a∈ℝ. Pero no cumple G1, en vista de que 2-(1-3)=4 mientras que (2-1)-3 =- 2.

Este resultado nos permite deducir que G1 es independiente de G2 y G3.

En la estructura algebraica <ℕ,+> son válidos los axiomas G1 y G2, pero no lo es el axioma G3 ya que los naturales no nulos carecen de inversos aditivos.

Luego el axioma G3 es independiente de los axiomas G1 y G2. Al abordar el estudio de la independencia de la modulativa a la derecha, respecto de la asociativa y la invertiva a la derecha, consideremos al conjunto ℝ* de los reales diferentes de cero y definamos para a,b∈ℝ*, a•b=|a|ob, con o=producto usual en ℝ. De manera análoga al procedimiento utilizado en el Ejemplo 1.4.9 es demostrable que <ℝ* , •> es asociativa. Además dicha estructura es modulativa a la izquierda, pues 1 y -1 son módulos a la izquierda. En estas condiciones la Definición 1.6.5 nos permite asegurar que la estructura en cuestión es invertiva a la derecha, puesto que el inverso a la derecha de a∈ℝ* es 1/⎪a⎪. Pero ella no es modulativa a la derecha por poseer dos módulos diferentes a la izquierda Como alternativa a lo anterior, las propiedades modulativa e invertiva pueden ser presentadas en un sólo postulado, tal como se plasma en el siguiente Teorema:

Teorema 22..22..88.. Una estructura algebraica <G ,o> es un grupo, si y sólo si: G’ <G , o> es asociativa. G’’ Existe una función w : G→G tal que si a,bεG, entonces ao(bow(b))= a.

DEMOSTRACIÓN. Al aceptar que <G , o> es un grupo, como por Definición 22..22..11 <G,o>es asociativa, falta únicamente demostrar, en este sentido, la existencia de la función w.

79Para ello basta tener en cuenta que por ser <G , o> invertiva, al considerar w:G→G definida como w(a)=b, donde b es el inverso de a en G, w satisface Fi y Fii de 1.1.15. Además el Corolario 1.6.10 (ii) implica que w cumple Fiii de 1.1.15, razón por la cual w es función. Es inmediato que w satisface G´´ porque si a,bεG, entonces al ser w(a) el inverso de a, se tiene que a.w(a) = e y en consecuencia, por G2, del TTeeoorreemmaa 22..22..55 b.( a.w(a)) = b. Recíprocamente, Si <G , o> cumple G` y G``, el demostrar su carácter de grupo, según el TTeeoorreemmaa 22..22..55, implica verificar G2 y G3 . Procedamos: Si aεG, G´ nos informa que para cualquier bεG, se tiene b.( a.w(a)) = b , lo cual, según la Definición 1.5.6 equivale a afirmar que a.w(a) es un módulo a la derecha en <G,o>. Luego podemos suponer a.w(a)=e. Pero esto a su vez indica que w(a) es un inverso a la derecha de a. Luego <G , o> es modulativa a la derecha e invertiva a la derecha. 22..22..99.. La Definición 1.1.1 y el Teorema anterior nos muestran un par de funciones asociadas a un grupo. Ellas son la operación definida en él y la función w, conocida como la de los inversos. Esas funciones permiten un enlace entre la teoría de los grupos y la topología, en la medida en que un grupo sea dotado de una topología tal que la operación y la función de los inversos sean continuas en GxG y G, respectivamente. Esta nueva entidad, llamada grupo continuo, es estudiada en la Topología Algebraica.

22..22..1100.. Retornando a la discusión sobre la independencia de los axiomas de grupos; el Teorema 22..22..88 nos remite a verificarlas con G` y G``.

Al considerar la estructura <ℕ ,+> tenemos que ella cumple G`, pero no G``, puesto que la existencia de una función w, como la del Teorema 22..22..88, nos colocaría en la eventualidad de aceptar la existencia de inversos aditivos en el conjunto ℕ* de naturales no nulos. Luego G`` es independiente de G`. De la estructura algebraica <ℤ , ->, sabemos que no cumple G`, pero si cumple G``. Para ratificarlo, definamos w: ℤ→→ℤ, como w(x)=x. Obviamente w es una función, además, si a,bεℤ, entonces, a-(b- w(b)) = a-(b-b) =a-0 = a. En consecuencia <ℤ , -> satisface G``, situación que nos lleva concluir la independencia del axioma G` respecto de G``. Con lo verificado, concluimos que los axiomas de grupos pueden ser presentados de tal forma que no encierren contradicción alguna y que ninguno de ellos sea demostrable a partir de los restantes.

80 Veamos ahora algunas propiedades elementales de los grupos.

2.3 PROPIEDADES ELEMENTALES. En adelante expresaremos abreviadamente "G es un grupo" en vez de la expresión <G , o> es un grupo, entendiéndose que en G hay definida una operación, notada como o. Además, en vez de aob, escribiremos ab. Al módulo de G siempre lo presentaremos como e y al inverso de a en G, lo notaremos como a-1.

22..33..11.. A propósito de la notación a-1

, recordemos que en 1.2.10 , la cobertura de an, es la de nεℤℤ+. Ello debido a que en una estructura algebraica arbitraria no se garantiza la existencia de inversos, mientras que en los grupos al tener, para a∈G que a-1∈G, tiene sentido (a-1)n, si n∈ℕ, de esta forma podemos ampliar la aludida Definición de la siguiente manera:

Definición 22..33..22.- Si G es un grupo, a∈G y k∈ℤ, definimos ak de la siguiente manera :

22..33..33.. LLaa nnoottaacciióónn <<GG,,oo>>llaa llllaammaarreemmooss mmuullttiipplliiccaattiivvaa,, mmiieennttrraass qquuee aa <<GG,,++>> llaa ccllaassiiffiiccaammooss ccoommoo aaddiittiivvaa.. PPaarraa eell ccaassoo ddee uunn ggrruuppoo nnoottaaddoo aaddiittiivviivvaammeennttee,, llaa ddeeffiinniicciióónn aanntteerriioorr ssee eexxpprreessaa aassíí,, ppaarraa k∈ℤ y a∈G, donde el módulo se nota 0 y el inverso aditivo de a como -a:

ka=⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<+

=

0k si k(-a),-0k si a,1)a-(k

0k si ,0,, eenn ccuuyyoo ccaassoo eell .. AAddeemmááss ttaammbbiiéénn ddiirreemmooss ““GG eess uunn ggrruuppoo”” eenn vveezz

ddee ““<<GG,,++>> eess uunn ggrruuppoo””.. Es de esperarse que en un grupo las ecuaciones ax=b y xa = b tengan soluciones únicas. Este resultado agilizarán la demostración de otras propiedades de los grupos. El siguiente teorema además verificará algunas cualidades de an

Teorema 22..33..44. Si G es un grupo, entonces: i) Si a,b∈G, entonces las ecuaciones ax=b y xa=b tienen soluciones únicas en G. ii) Si a,b∈G tales que ab=a o ba=a, entonces b=e, donde e = módulo de G iii) Si a,b∈G tales que ab=e o ba=e, entonces b=a-1

iv) Si a,b∈G, entonces (ab)-1=b-1a-1

v) Si a∈G, entonces (a-1)-1=a vi) Si a,b.c∈G tales que ab=ac o ba=ca, entonces b=c. vii) Si a∈G y n∈ℤ , entonces: a) an∈G, b) an-1a = an, c) an = (a-1)-n, d) an.am = an+m, e) (an)-1 = a-n , f) (an)m=anm.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

>

=

=−−

−

0k si ,)(a0k si a,a

0k si e,a

k1

1kk

81

DEMOSTRACIÓN i) Por ser G un grupo y a∈G, G3 del TTeeoorreemmaa 22..22..55, indica que a-1∈G, Pero como además bεG y "o" es una operación en G, se concluye que α =a-1b y β=ba-1 son elementos de G. Sustituyendo directamente en ax=b y xa=b, se comprueba que α y ß son, respectivamente, soluciones de dichas ecuaciones. Supongamos que λ y ξ son soluciones en G de la ecuación ax=b. Entonces aλ=aξ. En consecuencia a-1(aλ)= a-1(aξ) De tal manera que al aplicar sucesivamente las propiedades asociativa, invertiva y modulativa, obtenemos que λ = ξ. Con el razonamiento anterior hemos demostrado que la ecuación ax=b, tiene solució única en G .En forma análoga se demuestra la existencia y unicidad de solución en G de la ecuación xa=b. ii) Si ab=a o ba=a, entonces las ecuaciones ax=a y xa=a, que tienen como solución x=e, también cuentan con solución x=b. Por lo tanto, según i) b=e. iii) Razonando análogamente, si ab=e o ba=e, las ecuaciones ax=e o xa=e, tienen como soluciones x=a−1 y x=b. En consecuencia, i) implica : b=a−1. iv) Al considerar la ecuación (ab)x=e, tenemos que x=(ab)−1 es solución de ella. Además: − (ab)(b-1a –1) = (a(bb-1))a-1). Por Teorema 1.4. 16. = (ae)a-1 Por G3. = aa-1 Por G2. = e Por G3. Luego también b−1a−1 es solución de la ecuación (ab)x=e y de acuerdo con i) se infiere iv). v) Observemos que la ecuación a-1x=e tiene como soluciones a y (a-1.)-1 En estas condiciones i) nos lleva a v). vi) Al considerar ab=ac=d la ecuación ax = d tiene como soluciones x = b y x = c. Así las cosas i) implica que b = c. Pero si ba = ca = k, entonces la ecuación xa = k tiene como soluciones, x = b y x = c. i) permite deducir que b = c. vii)a): Obviamente an∈G, si n =0, puesto que eεG. Además esa afirmación también es cierta si nεℕ, tal como se deduce de 1.2.10 . También es inmediato que anεG, si n<0. Para ello basta tener en cuenta, que en estas condiciones, la Definición 22..33..22 nos indica que an=(a-1)-n y por lo tanto basta aplicar nuevamente 1.2.10 para x = a-1.

82 La afirmación vii) b) es válida, si n = 0 o si nεℤ+; así lo señala la Definición 22..33..22. Si n∈ℤ y n <0, entonces también n -1<0 y por consiguiente de acuerdo a la Definición 22..33..22 an-1a = (a-1)1-na . Pero como ahora 1- n es un entero positivo, nuevamente por la Definición 22..33..22 (a-1)1-n = ((a-1)1-n-1) a-1 = (a-1)-na-1 . Por lo tanto an-1a = ((a-1)-n. a-1)a = (a-1)-n (a-1a) = (a-1)-n = an; al aplicar en la última igualdad Definición 22..33..22, por ser n<0. vii) (c) an = (a-1)-n.-es válida de acuerdo a la Definición 22..33..22 , si nεℤ− También es obvio que dicha igualdad es válida si n = 0. Si n∈ℤ+, la Definición 22..33..22, nos indica que (a-1)-n = ((a -1)-1)-(-n) . Por lo tanto al aplicar ahora la conclusión v) de este Teorema concluimos que (a -1)-n = a n vii) (d) an.am = an+m,es válida, según Definición 22..33..22, si m=0 y también lo es, según vii) (b), para m = 1. También es válido para m∈ℤ+ , procediendo inductivamente sobre m, como en 1.4.13. Es decir an.am = an+m es válida para n∈ℤ y m∈ℤ+. Si mεℤ− , entonces: anam = (a-1 )-n(a-1)-m Por vii) (c)y Definición 22..33..22 = (a-1)-n-m Porque -mεℤ+. = an+m Por vii) (c) y porque -(-n-m)= n + m. vii)(e). Observe que por ser G un grupo se tiene que (an)-1 es solución de la ecuación (an)x = e . Pero también por vii) (d) y la Definición 22..33..22(i), x= a-n, es también solución de (an)x = e, ya que an. a-n=an-n=a0=e. En consecuencia, la unicidad de dicha solución demostrada en i) conduce a vii) (e). vii) f).- Por último es. evidente que si n = 0 ó n = 1, se tiene que (am)n=amn Razonando por inducción sobre n es fácil verificar la siguiente cadena de igualdades: (am)n=(am)n-1am=am(n-1)am=amn . La igualdad es también válida si nε ℤ yy nn<<00, pues no es difícil demostrar la siguiente cadena de igualdades: : (am)n=((am)-1)-n=(a-m)-n=amn (Ver Ejercico 2.4.7) 22..33..55.. La conclusión vi) del Teorema 22..33..44 plantean la veracidad de las leyes cancelativas a la derecha y a la izquierda en grupos. Ellas afirman , respectivamente, que si a,b,c,εG y ba = c a, entonces b = c y si ab = ac, entonces b = c.

83Las conclusiones ii) del Teorema 22..33..44 agilizan la técnica para comprobar el carácter de módulo de un elemento en un grupo que pinte como tal. Vista más despacio afirma lo siguiente: Si G es un grupo y existen a,b∈G tales ab=a, entonces b=e=módulo de G. Estas facilidades no son garantizables en estructuras algebraicas que no sean grupos. Al respecto, con relación a ii), recordemos que si X es un conjunto, la unión de conjuntos, ∪, es una operación en P(X)=R/R⊆X cuyo módulo es el conjunto vacío ∅: Además si A,B∈P(X), son tales que A⊆B entonces A∪B=B, pero a pesar de ello si B≠∅, es posible encontrar A≠∅ tal que A⊆B y en consecuencia A∪B=B , pero A no es el módulo de <P(X), ∪>. Porque si lo fuera, la unicidad del módulo implicaría que A=∅, cuando A≠∅. Con relación a iii), estamos también frente a una agilización de los requisitos para calificar al inverso de un elemento en un grupo, no válidos en general para estructuras algebraicas modulativas, como acontece con el conjunto A=1,2,3, con la operación definida por la tabla:

211442143331322432114321*

,

En la que 1 es el módulo de esa estructura y a pesar de que 2∗3 =1, la tabla indica que 3 no es inversos de 2, porque 3*2=4. EEjjeemmpplloo 22..33..66.. EEll ssiigguuiieennttee eejjeemmpplloo mmuueessttrraa uunnaa aapplliiccaacciióónn iinntteerreessaannttee ddee llaass pprrooppiieeddaaddeess iiii)) yy iiiiii)) ddeell TTeeoorreemmaa aanntteerriioorr:: SSii GG eess uunn ggrruuppoo ttaall qquuee ppaarraa ccuuaallqquuiieerr xx,,yy∈∈GG ssee ttiieennee qquuee yy22xx==yy yy yyxx22yy==xx,, eennttoonncceess GG==ee,, ddoonnddee ee==mmóódduulloo ddee GG.. EEnn eeffeeccttoo,, ccoommoo yy22xx==yy,, eennttoonncceess yy((yyxx))==yy,, rraazzóónn ppaarraa ddeedduucciirr ddee aaccuueerrddoo aa iiii)) ddeell tteeoorreemmaa aanntteerriioorr qquuee yyxx==ee..EEnnttoonncceess ppoorr iiiiii)) xx==yy--11 PPoorr lloo ttaannttoo aall ssuussttiittuuiirr eenn yyxx22yy==xx,, ssee ddeedduuccee qquuee ((yyxx))((xxyy))==xx yy ppoorr lloo ttaannttoo,, xx==ee .. PPeerroo ccoommoo xx==yy--11 ssee iinnffiieerree qquuee yy--11==ee.. LLuueeggoo yy==ee yy aassíí GG==ee.. 22..33..77.. LLaa ccoonncclluussiióónn ii)) ssee ppuueeddee eessccrriibbiirr aassíí:: SSii GG eess uunn ggrruuppoo yy aa,,bb∈∈GG,, eennttoonncceess llaass eeccuuaacciioonneess aaxx==bb yy xxaa==bb,, ttiieerrnneenn uunnaa úúnniiccaa ssoolluucciióónn eenn GG.. DDee ttaall mmaanneerraa qquuee ssii ppaarraa aallggúúnn ppaarraa aa yy bb ddee eelleemmeennttooss ddee GG ssee ttiieennee qquuee oo ppoorr lloo mmeerrnnooss uunnaa ddee llaass eeccuuaacciioonneess aaxx==bb oo xxaa==bb nnoo ttiieennee ssoolluucciióónn eenn GG,, oo ppoorr lloo mmeennooss uunnaa ddee eellllaass ttiieennee mmááss ddee uunnaa ssoolluucciióónn eenn GG,, eennttoonncceess GG nnoo eess ggrruuppoo.. EEssttoo vvaa ppeerrmmiittiirr ddeedduucciirr qquuee eenn llaa ttaabbllaa ddee uunn ggrruuppoo ffiinniittoo nnoo ssee rreeppeettiirráánn eelleemmeennttooss nnii eenn ffiillaass nnii eenn ccoolluummnnaass.. ((VVeerr EEjjeerrcciicciioo 2.4.15). 22..33..88.. EEll rreeccíípprrooccoo ddee ii)) eess:: SSii <<GG,,oo>> eess uunnaa eessttrruuccttuurraa aallggeebbrraaiiccaa ttaall qquuee ppaarraa ccuuaallqquuiieerr aa,,bb∈∈GG llaass eeccuuaacciioonneess aaxx==bb yy xxaa==bb ttiieenneenn uunnaa úúnniiccaa ssoolluucciióónn eenn GG,, eennttoonncceess GG eess uunn ggrruuppoo..

84

EEssee rreeccíípprrooccoo eess oobbvviiaammeennttee ffaallssoo ppoorrqquuee ssii G=ℝ y - = resta usual de reales y a,b∈ ℝ , entonces las ecuaciones a-x=b y x-a=b, tienen una única solución ℝ, pero <ℝ -> no es asociativa y por lo tanto <ℝ -> no es un grupo. ii) Aun al agregar la conduicion asociativa, es decir si SSii <<GG,,oo>> eess uunnaa eessttrruuccttuurraa aallggeebbrraaiiccaa aassoocciiaattiivvaa ttaall qquuee ppaarraa ccuuaallqquuiieerr aa,,bb∈∈GG llaass eeccuuaacciioonneess aaxx==bb yy xxaa==bb ttiieenneenn uunnaa úúnniiccaa ssoolluucciióónn eenn GG,, nnoo ssee ppuueeddee ggaarraannttiizzaarr qquuee GG sseeaa uunn ggrruuppoo,, ppoorrqquuee aall ccoonnssiiddeerraarr GG=∅, la argumentación por el vacio permite deducir que <<GG,,oo>> eess uunnaa eessttrruuccttuurraa aallggeebbrraaiiccaa aassoocciiaattiivvaa ttaall qquuee ppaarraa ccuuaallqquuiieerr aa,,bb∈∈GG llaass eeccuuaacciioonneess aaxx==bb yy xxaa==bb ttiieenneenn uunnaa úúnniiccaa ssoolluucciióónn eenn GG,, ppeerroo GG nnoo eess uunn ggrruuppoo,, ppuueessttoo qquuee <<GG,,oo>> nnoo eess mmoodduullaattiivvaa,, yyaa qquuee ssii lloo ffuueerraa eexxiissttiirriiaa ee==mmoodduulloo ddee <<GG,,oo>> yy ppoorr ccoonnssiigguuiieennttee ee∈∈GG,, ssiittuuaacciióónn iimmppoossiibbllee eenn vviissttaa ddee qquuee GG==∅∅.. iiiiii..-- SSiinn eemmbbaarrggoo aall ccoonnssiiddeerraarr <<GG,,oo>> uunnaa eessttrruuccttuurraa aallggeebbrraaiiccaa aassoocciiaattiivvaa ttaall qquuee GG≠≠∅∅ yy ppaarraa ccuuaallqquuiieerr aa,,bb∈∈GG llaass eeccuuaacciioonneess aaxx==bb yy xxaa==bb ttiieenneenn uunnaa úúnniiccaa ssoolluucciióónn eenn GG,, ssee ggaarraannttiizzaa qquuee GG eess uunn ggrruuppoo yyaa qquuee <<GG,,oo>> eess aaddeemmááss ddee aassoocciiaattiivvaa,, mmoodduullaattiivvaa aa llaa ddeerreecchhaa ee iinnvveerrttiivvaa aa llaa ddeerreecchhaa.. EEnn eeffeeccttoo,, ssii aa∈∈GG,, eennttoonncceess llaa eeccuuaacciióónn aaxx==aa ttiieennee uunnaa úúnniiccaa ssoolluucciióónn αα∈∈GG,, eess ddeecciirr aaαα==aa.. YY pprreecciissaammeennttee αα eess eell mmoodduulloo ddee <<GG,,oo>> ppoorrqquuee ssii bb∈∈GG,, eennttoonncceess ccoommoo llaa eeccuuaacciióónn xxaa==bb ttiieennee uunn úúnniiccaa ssoolluucciióónn eenn GG,, eexxiissttee ββ∈∈GG ttaall qquuee ββaa==bb.. EEnn ccoonnsseeccuueenncciiaa bbαα==((ββaa))..αα == ββ((aa..αα))==ββaa==bb.. LLuueeggoo ppaarraa ccuuaallqquuiieerr bb∈∈GG ssee ttiieennee qquuee bbαα==bb yy ppoorr lloo ttaannttoo αα eess eell mmoodduulloo aa llaa ddeerreecchhaa ddee <<GG,,oo>>.. EEnnttoonncceess <<GG,,oo>> eess mmoodduullaattiivvaa aa llaa ddeerreecchhaa PPoorr uullttiimmoo ssii aa∈∈GG,, eennttoonncceess llaa eeccuuaacciióónn aaxx==αα ttiieennee uunnaa úúnniiccaa ssoolluucciióónn ββ∈∈GG,, eess ddeecciirr aaββ ==αα yy aassíí ββ eess eell iinnvveerrssoo aa llaa ddeerreecchhaa ddee aa eenn GG.. EEss ddeecciirr <<GG,,oo>> eess iinnvveerrttiivvaa aa llaa ddeerreecchhaa..-- 22..33..99.. Observe: i) que las conclusiones vii)b) y vii) c), extienden la presentación de an en la Definición 22..33..22 a cualquier tipo de entero. ii) Si adicionalmente G es abeliano, también se cumplirá para a,b∈G y n∈ℤ que (a b)n = anbn (Ver Ejercicio 2.4.24) 22..33..1100 Relativo al Teorema 22..33..44, para una operación notada aditivamente, es decir como + cobra la siguiente forma: i) Si a,b∈G, entonces las ecuaciones a+x=b y x+a=b, tienen una única solución en G, ii) Si a,b∈G tales que a+b=a o b+a=a, entonces b = 0, iii) Si a,b∈G tales que a+b=0 o b+a=0, entonces b=-a, iv) Si a,b∈G, entonces –(a+b) =(-b)+(-a), v) Si a∈G, entonces –(-a)=a, vi) Si a,b,c∈G tales que a+b=a+c o b+a=c+a, entonces b=c, vii) Si n,m∈ℤ y a∈G, entonces: a) na∈G, b) na = (n-1)a+a, c) na = (-n)(-a), d) (n+m)a = na+ma, e) (-n)a = -(na), f) (nm)a = n(ma).

852. 4. EJERCICIOS. 2.4.1- En cada caso determinar si G, con la operación indicada es un grupo: a) G= I= Conjunto de los irracionales, += Suma usual de reales. b) G= I = Conjunto de los irracionales, o = Producto usual de reales. c) G= K = Conjunto de los enteros impares, + = Suma usual de reales. d) G=a+b√2 /a,bεℤ, + = Suma usual de reales. e) G=a+b√2 /a,bεℤ y a es impar, + = Suma usual de reales. f) G=a+b√2/aε Q ó bε Q*, o = Producto usual de reales.

g) G=ℝ, o = Multiplicación usual de reales. 2.4.2. Demuestre que si a∈ℕ, entonces en ℤ se tiene que [(a,a)]=[(0,0)] 2.4.3. Demuestre que las propuestas 1) planteadas en 22..22..44 no corresponden a una Definición de grupo. Para ello considere el Ejemplo 1.4.9 y demuestre que <ℝ*, ♦> es asociativa modulativa a la derecha, e invertiva a la izquierda, sabiendo que ♦está definida para a,b∈ℝ, como a♦b=aob,con o=producto usual en ℝ.

Análogamente si a•b=|a|ob, con o=producto usual en ℝ, demuestre que <ℝ*, •> es asociativa modulativa a la izquierda e invertiva a la derecha pero <ℝ*, •> no es un grupo. 2.4.4. . Demuestre que si G= <ℝ--1 , o> y G`=<ℝ-1 , *> son tales que aob=a+b+ab y a*b=a+b-aob, entonces G y G` son grupos, donde + y "o", son la suma y la multiplicación usual en ℝ respectivamente 2.4.5 Analizar cual de las siguientes tablas corresponde a un grupo:

,01110010

1 =G 10101010

2 =G , ,00101110

G3 =

213313223211321

4 =G

2.4.6. Si G es un grupo y a,b∈G, demuestre que para cualquier n∈ℤ, se tiene que (aba-1)n

=abna-1. 2.4.7 Si G es un grupo a∈G, n,m∈ℤ y n<0, demuestre utilizando solamente hasta la Definición 22..33..22, la siguiente cadena de igualdades: (am)n=(am)n-1am=am(n-1)am =amn . Análogamente demuestre: (am)n=((am)-1)-n=(a-m)-n=amn 2.4.8. Si G es un grupo tal que para todo a,b∈G se tiene que (ab)5=a5b5 y (ab)3=a3b3, entonces G es abeliano. Sug[ Demuestre que si (ab)5=a5b5 y (ab)3=a3b3, entonces1) (ba)4= a4b4 y 2)

86(ba)2 =a2b2, y por tanto sustituyendo 2) en 1) obtenemos:a2b2=b2 a2.Así las cosas, como (ab)3=aa2b2b, entonces (ab)3=ab2a2b, lo cual implica que ab=ba]. 2.4.9. Si G es un grupo y n∈ℤ y a,b∈G, demostrar: i) (ab)n=a(ba)n-1b ; ii) si (ab)n=anbn, entonces: a) (ab)n-1=bn-1an-1; b) anbn-1= bn-1an y c) (aba-1b-1)n(n-1)=e. Sug[ i) Demostrar por inducción sobre n y posteriormente para n∈ ℤ-; ii) a) Si (ab)n=anbn, para cualquier a,b∈G, entonces (ba)n=bnan .En consecuencia (ba)n= b(ab)n-1a= bnan; ii) b) (ab)n = (ab)n-1 (ab) = anbn

= bn-1an-1.(ab) Luego anbn = bn-1an-1.(ab), y por lo tanto: anbn-1 = bn-1an. ii c) (aba-1b-1)n(n-1) = ((aba-1b-1)n)n-1= ((aba-1)nb-n)n-1= (a(bna-1b-n))n-1= (bna-1b-n)n-1an-1= (bna-1)(b-nbna-1)n-2b-nan-1 = (bna-1) (a-1)n-2b-nan-1 =bn(a-1)n-1b-nan-1= bn b-n (a-1)n-1 an-1=e

2.4.10. i) Demuestre que si a∈ℕ entonces [(0,0)]=[(a,a)], es el módulo de <ℤ,+>. Sug(Demuestre que si a,b,c,d∈ℕ, entonces [(a,b)] =[(c,d)], si solo si a+d=c+b. ii) Relativo a la construcción de ℤ en 1.15, considere [(0,c)],[(d,0)]∈ ℤ, demuestre que -[(0,c)] = [(c,0)] y -[(d,0)]= [(0,d)]. Es decir, demuestre que [(0,c)]+ [(c,0)]= = [(0,0)] y [(d,0)]+[(0,d)]= [(0,0)]. iii) Si [(a,b)], [(c,d)]∈ℤ, demuestre que [(a,b)]+ [(c,d)] = [(c,d)]+ [(a,b)] 2.4.11. Demuestre que <ℤ,o> es asociativa. 2.4.12 Demuestre en 1.15 que si [(x,y)],[(0.a)]∈ℚ, entonces i) [(x,y)]+[(0.a)] =

[(0,a)]+[(x,y)] = [(x,y)] . Es decir [(0,a)] es el módulo de <ℚ,+>.

ii) [(x,y)] +[(-x,y)]= [(-x,y)] +[(x,y)] =[(0,z)], con z=yoy∈ℤ*. Y por lo tanto <ℚ,+> es invertiva. 2.4.13 Demuestre que si [(x,y)]∈ℚ y a∈ℤ*, entonces [(xoa,yoa)]=[(x,y)]. Además verifique [(x,y)]*[(y,x)] = [(1,1)] y [(y,x)]*[(x,y)] = [(1,1)] . Demostrándose así que < ℚ *,o> es invertiva. 2.4.14 Demuestre que <ℚ*,o> es conmutativo, donde ℚ es el conjunto de los números

racionales y o= producto definido en ℚ 2.4.15 ¿Porque en la tabla correspondiente a un grupo, un elemento no se puede repetir más de dos veces en una fila o en una columna? .2.4.16 Demuestre que <Mnn(ℂ) , +> es un grupo. 2.4.17.- Si K=(aij)εM22(ℂ)/det(aij)0, donde :

87

2221

1211ij aa

aa)det(a = =a11-a22-a12a21

Demuestre que <K , o>, donde o= multiplicación de matrices, es un grupo no conmutativo. Sug[Primero demuestre que el producto de matrices es una operación en K. Para ello basta ver que det(AB) = det(A)det(B). ii) Para verificar que K es asociativa acuda al Teorema 1.4.3 iii) Demostrar que K es modulativa equivale a verificar que la matriz diagonal I=(cij)εK, donde cii=1 y cij=0, si i j, es el módulo de K. iv) Por último constate que si A = (aij)εK, entonces la matriz B=(bij) con b11=a22/d ,b12 = -a12/d, b21=-a21/d, b22=a11/d, en la que d= a11a22-a12a21, es un elemento de K tal que AB=I. 2.4.18- Demuestre que Si M el conjunto de las matrices complejas triangulares superiores de orden 3x3, es decir M está conformado por las matrices complejas A=(aij),tales que aii0 y aij= 0, si i>j, entonces <M , o> es un grupo no abeliano: .

Sug: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

33

2322

131211

a00aa0aaa

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

33

3322

23

22

332211

22132312

2211

12

11

a100

aaa

a10

aaaaaaa

aaa

a1

= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100010001

2.4.19.- Demuestre que <Q/ℤ, +`> del Ejercicio 11..33..1155 es un grupo.

2.4.20.- Demuestre que el conjunto G =⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧∈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛Cb/a,

100010ba1

,con la multiplicación usual

de matrices, es un grupo. Si C es el conjunto de los números complejos. Sug[Verifique

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100010ba1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

100010ba1

= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100010001

.

2.4.21.- Sea V=ℤn=(x1, ... ,xn)/x1, ... ,xnεℂℂ, con ℂ == nnúúmmeerrooss ccoommpplleejjooss,, el espacio vectorial complejo. Nos referimos a la tripla <V,+,o>, con + definida para (x1, ... ,xn), (y1, ... , yn)∈V y α∈ℂ, como (x1, ... ,xn)+(y1, ... , yn) = (x1+y1, ... ,xn+yn) y α(x1, ... ,xn) = (αx1, ... , αxn), donde la suma y el producto en xi+yi y αxi, son los usuales en ℂ. Además si por Definición, una función T: V→V es una transformación lineal , cuando T(αA+ßB)=αΤ(A)+ßT(B), siempre que α,ßε ℂ y A,BεV; entonces:

88 a)Si T:V→V es una transformación lineal invertibles, en el sentido de que existe una función S de T en T, tal que SoT = i = función idéntica de V en V, demuestre: a) S es una transformación líneal. B) Si v1∈V; el conjunto de las transformaciones lineales T de V en V, invertibles, tales que T(v1) = v1, con la composición de funciones es un grupo. C) Más generalmente, si K=⎨v1, ... ,vn⊆V ,demuestre que el conjunto de la transformaciones lineales T:V→V, invertibles, tales que T(v1 )= v1, ... , T(vn)=vn, con la composición de funciones, es un grupo. D) Si S`⊆S, demostrar que el conjunto de todas las funciones de S en S, invertibles, tales que f(s)=s, para cualquier sεS`, con la composición de funciones, es un grupo. 2.4.22- Si G es un grupo, a∈G y n,m,j∈ℤ tales que an=am demuestre que an-j=am-j 2.4.23. Si G es un grupo y x1, ...,xn∈G, demuestre por inducción que (x1. ....xn)-1 =xn

-1. ... .x1-1

. 2.4.24 Demuestre que un grupo G es abeliano, si y sólo si para cualquier a,bεG y para cualquier nεℤ, (ab)n=anbn . Sug[Si G es abeliano, demuestre por inducción que (ab)n=anbn, para nεℕ y posteriormente, directamente por Definición, para n∈ℤ- .Recíprocamente, como en particular (ab)2=a2b2, verifique que ello implica el calificativo de abeliano para G. 2.4.25. Si G es un grupo para el cual (ab)k=akbk, para cualquier a,bεG y para tres enteros consecutivos particulares, demuestre que G es abeliano. Sug [Si (ab)k=akbk para 3 enteros consecutivos, entonces (ab)k=akbk, (ab)k+1=ak+1bk+1 y (ab)k+2=ak+2bk+2 Pero como (ab)k+1=(ab)k(ab) y también (ab)k+1=ak+1bk+1se deduce que bka=abk . Análogamente (ab)k+2=(ab)k+1(ab) = (ak+1bk+1)(ab) y como a su vez (ab)k+2=ak+2bk+2, inferimos que bk+1a=abk+1 =(abk)b =(bka)b=bk(ab) y por lo tanto ba=ab. 2.4.26. Sean G1 , ... ,Gn, n-grupos y G=G1x ... xGn .Si para (x1, ... ,xn),(y1, ... ,yn)εG, definimos (x1, ... ,xn)o(y1, ... ,yn)=(x1y1, ... ,xnyn), donde la operación de xiyi es la de Gi. entonces:

i)Demuestre que "o" es una operación en G. ii)Demuestre que <G,o> es un grupo. G es llamado el producto directo de G1 , ... ,Gn. En el caso particular : G1 = G2 = .. = Gn,=K el grupo G, es notado G = Kn 2.4.27 Si G1=0,1 y G2=0,1,2, cuyas respectivas operaciones están definidas de acuerdo a las siguiente tablas:

210210210210210

,10101010

21 == GG

demuestre: i) G1 y G2 son grupos. ii) Encuentre la tabla de G1x G2. 2.4.28. Si G es un grupo finito, demuestre que ℑ=⎨⎨a, a-1⎬/a∈G⎬ es una partición de G.

89 2.4.29. Demuestre que si G es un grupo con un número par de elementos, entonces es posible encontrar aεG, ae, tal que a2=e. Sug(Aplique el resultado del problema anterior a K=G-⎨e⎬, donde e=módulo de G y razone por el absurdo. 2.4.30.- Si G es un grupo, utilice únicamente la parte i) del Teorema 22..33..44, para demostrar la unicidad del módulo, así como la unicidad del inverso de cada uno de sus elementos. 2.4.31. Sea G ≠∅ y G finito, demuestre que una estructura algebraica <G,o> asociativa es un grupo, si y sólo si cumple las dos leyes cancelativas. Sug[En un sentido es inmediato. Recíprocamente, si G cumple las dos leyes cancelativas y aεG, demuestre que fa y ga-

,relaciones de G en G , definidas respectivamente como fa(x)=aox y ga(x)=xoa son biyecciones y por consiguiente existe αεG tal que a= aoα. Verifique seguidamente que α debe ser el módulo de G, comprobando que boα=b, si bεG. Para ello tenga en cuenta que existe ßεG tal que b=ßoa, por ser ga una biyección. Por último, la presencia de α= e∈G, como módulo de G implica, por la característica biyectiva de fa, que existe τεG tal que e =aτ. 2.4.32.- Analizar la validez de la afirmación anterior, si la estructura algebraica no es finita. 2.4.33. Si G es un grupo finito, demuestre que existe N∈ℤ+ tal que para cualquier aεG, se tiene aN=e. Sug[Si G es finito y G=e, obviamente nuestra afirmación es de demostración inmediata. Si Ge, al considerar a∈G, ae, el conjunto <a>=a,a2, .. es finito. Ello nos indica que dado ai∈<a>, debe existir jεℤ, j>i, tal que aj=ai y en consecuencia aj-i=e. Por lo tanto j-iεkεℤ+/ak=e=K. Es decir K es un subconjunto no vacío de enteros positivos y por ello existe o(a)=minK. El razonamiento anterior nos indica que si G=a1, ...,an, entonces existen o(a1), ... ,o(an)ε ℤ+ tales que ai

o(ai) =e. En este sentido basta considerar N =o(a1). ... .o(an) para obtener

inmediatamente que si aεG, entonces aN=e.]. Otra manera de demostrarlo es la siguiente: Sug[Si G tiene n elementos, entonces para cada a∈G hay dos posibilidades: para todo i,j∈1, ... ,n tal que i≠j, se tiene que ai≠aj, o existen i,je1, ... ,n, con i<j, tales que ai=aj En la primera opción demuestre que G=ai/i∈ℕ,i∈1, ... ,ny que por lo tanto an =e, ya que si existiera i∈[1,n) tal que ai=e, entonces an-i=an. Si existen i,j∈1, ... ,n, con i<j, tales que ai=aj, ello implica que aj-i =e y podemos considerar ko=mink∈ℤℤ+/ak=e. Considere entonces H=a, ... , 1−0ka , G=x1 , ... ,xn y defina la colección ℘=axi, ... , 1k0a − xi, xi/xi∈G y xi∉H y demuestre que ℘ es una partición de G , en la que cada axi, ..., 0ka xi tiene 0k elementos. Por último demuestre que si ℘tiene r elementos, entonces n= 0k r. De tal manera que an= rk0a =( 0ka )r =er=e.]

90 2.4.34. Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i)Si <G , o> es una estructura algebraica, asociativa, modulativa a la derecha e invertiva a la izquierda, entonces <G , o> es un grupo. ii) Si G es un grupo y a,bεG, entonces (ab)−1=a−1b−1. iii) Si G es un grupo y a,bεG tales que ab=a, entonces b=e. iv) Un grupo puede tener más de un módulo a la derecha. v) El conjunto vacío puede ser un grupo. vi) Los grupos son las estructuras algebraicas más abundantes. vii) Una estructura algebraica <G , o> es un grupo, si y sólo si, para a,bεG, las ecuaciones aox=b y xoa=b tienen una únicas solución en G. viii) La ecuación x2=e no puede tener más de dos soluciones en un grupo. ix) La ecuación x2=x, tiene exactamente una solución, en cualquier grupo. x) Si <G , o> es una estructura algebraica modulativa, con módulo e y a,bεG tales que aob=a, entonces b=e. xi) Una estructura algebraica finita <G ,o> es un grupo, si y sólo si, para a,bεG, las ecuaciones aox=b y xoa=b tienen una única solución en G. xii) Una estructura algebraica <G , o> asociativa , es un grupo, si y sólo si, para a,bεG, las ecuaciones aox=b y xoa=b tienen una única solución en G.

2.5. CLASES RESIDUALES MODULO n.

2.5 1. Introducción.. En la teoría desarrollada es ostensible la necesidad de contar con un buen número de ejemplos de grupos. Ello no solamente es útil para demostrar que los axiomas de grupos no encierran contradicción alguna, para lo cual con un ejemplo basta, sino que también permiten, o ilustrar ciertas propiedades, o refutar afirmaciones en las que la presentación de un contraejemplo es, en muchos casos, el argumento más contundente. Iniciaremos este recorrido con las clases residuales. El objetivo es construir un grupo a partir del conjunto R=0,1,2, ... , n-1, conformado precisamente por los residuos de la división de los enteros por un entero positivo y fijo n. El Teorema del residuo clarifica la existencia y unicidad de tales residuos. Con Tal fin demostremos el siguiente Lema:

Lema. 2.5 2. Si a,nεℤ y n0, entonces existe b∈ℤ tal que bn≤a.

Demostración. Como a,n∈ℤ, hay las siguientes posibilidades: n≤a o a<n. La demostración es inmediata si n≤a, puesto que en este caso basta tomar b=1. Analicemos entonces a<n y n>0 En esta situación para a existen las opciones: a>0 o a≤0.

91 Si a>0 y a<n, entonces para cualquier b∈ℤ,, b<0 el teorema es válido puesto que en esas condiciones se tiene que bn<a En la consideración a≤0, para la opción a = 0 para cualquier b∈ℤ,, b<0, con n >0, se cumple que bn≤a . Si a<0 razonemos por inducción sobre n: Si n=1, entonces cualquier b∈ℤ tal que b≤a satisface la propuesta bn≤a. Supongamos, a manera de hipótesis de inducción, que existe bεℤ para el cual bn≤a y demostremos que es posible encontrar αεℤ tal que α(n+1)≤a. Es inmediato que b(n+1)=bn+b≤a+b. En estas condiciones b<0, porque si b≥0, como n>0, entonces bn≥0>a y por lo tanto bn>a, contradiciéndose con el supuesto bn≤a. Luego a+b<a y obtenemos b(n+1)<a. En consecuencia si n>0 y a≤0 existe bεℤ tal que bn≤a. Como anteriormente habíamos demostrado la existencia de b∈ℤ tal que bn≤a si a<n , n>0 y a>0, entonces tenemos garantizada la existencia de b∈ℤ tal que bn≤a, si a<n∈ℤ y n>0. . Falta únicamente analizar el caso n∈ℤ y n<0, que resulta ser una consecuencia de este resultado aplicado a -n>0 , puesto que el implica la existencia bεℤ tal que b(-n)≤a, o lo que es lo mismo (-b)n≤a. En la demostración del Teorema del Residuo aplicaremos además la siguiente cualidad de los enteros, demostrada en el Teorema 1 18.3.

2.5 3. Si K es un subconjunto de eenntteerrooss no vacío, acotado superiormente, entonces K tiene un elemento máximo. Entendemos que α∈ℝℝ == nnúúmmeerrooss rreeaalleess,, es una cota superior de K, si α≥k, para cualquier k∈K. Además ß es un elemento máximo de K, si ß∈K y ß≥k, para cualquier k∈K.

2.5.4.(Teorema del residuo) Si n,m∈ℤ y n>0, entonces existe un único par de enteros, c y r, tales que m=cn+r, donde 0≤r<n.*

DEMOSTRACIÓN.- La necesidad de construir un r∈ℤ, que según la conclusión del Teorema es de la forma r = m-cn≥0, nos lleva a la búsqueda de un c∈ℤ tal que cn≤m, y por ende a analizar al conjunto K=x∈ℤ / xn≤m. En primer lugar KØ, porque de acuerdo con el Lema 2.5 2, existe bε ℤ, tal que bn≤m, y por consiguiente, b∈K.

92 Además K es acotado superiormente, porque si m≤0, entonces cualquier x∈K es tal que x≤0, constituyéndose 0 en una cota superior de K. Y si m>0, al tener en cuenta que el conjunto nℤ no es acotado superiormente, encontramos ß∈ℤ que satisface m≤ßn. Este ß es una cota superior de K; puesto que si fuera posible enconcontrar αεK tal que α>ß, ello implicaría αn>ßn≥m; es decir αn>m, lo cual no es posible pues α∈K y por consiguiente αn≤m. Una vez verificado que K es un subconjunto no vacío de ℤ, por 2.5 3. podemos considerar la existencia de c = maxK. Evidentemente r = m-cn satisface los requerimientos del Teorema ya que cn≤m porque c∈K, y por consiguiente r=m-cn≥0. Por otra parte, al ser c = maxK, entonces (c+1)n>m, lo cual implica que r=m-cn<n. Verifiquemos la unicidad de c y r: Supongamos que λ y µ son otro par de enteros que satisfacen * .Entonces cn+r = λn+ µ y por consiguiente (c-λ)n=µ-r .[1]. Demostremos que [1] conduce forzosamente a que µ-r =0. En efecto, si µ-r>0, al ser µ,rε[0 ,n), tenemos que 0<µ-r<n. Por lo tanto, según [1], 0<(c-λ)n<n. Es decir, 0<c-λ<1; lo cual es imposible ya que c-λ∈ℤ.. Análogamente, si µ-r<0, entonces llegamos al absurdo 0<λ-c<1, a pesar de que c, λ∈ℤ, indicándonos la imposibilidad de la desigualdad µ-r <0. Como no son posibles las desigualdades µ-r >0 y µ-r <0, inferimos µ-r =0, obteniéndose en primer lugar que µ=r, y en segundo lugar, al sustituir en [1], obtenemos : (c-λ)n=0. Pero como n>0, se deduce : c-λ=0. Luego c=λ. En conclusión λ=c y µ=r. Demostrándose de esta manera la unicidad en * de c y r 2.5 5 . Los enteros c y r de *,en el Teorema del residuo,( 2.5.4) son conocidos como el cociente y el residuo de dividir m entre n. El Teorema del Residuo nos permite asegurar que los elementos de R=0,1,2, ... , n-1, son todos los residuos posibles que se obtienen al dividir cualquier entero por n. En vista de ello a los elementos de R los llamaremos residuos módulo n o enteros residuales módulo n, o simplemente residuos cuando no se preste a confusión. Si a un entero r residuo de dividir un entero z entre n, lo llamamos entero residual módulo n, el Teorema del Residuo indica que el entero r es residual módulo n si y sólo si z = kn+r, con k∈ℤ. De tal manera que cada entero positivo n permite establecer una relación entre pares de elementos de ℤ, de acuerdo al residuo de su división por n, que llamaremos, en la terminología de Gauss, una relación de congruencia módulo n, según la siguiente Definición:

93

Definición 2.5 6. Si n∈ℤ++ y a,b∈ℤ, diremos que a es congruente con b, módulo n, notado a≡b modn, si a y b tienen el mismo residuo al ser divididos por n.

Ejemplo 2.5 7. Si n=4; 14≡10 mod4, ya que 14 y 10 tienen residuo r=2, cuando son divididos por 4. De igual forma, si n=5 ; 16≡11 mod5, puesto ambos tienen como residuo r=1, al ser divididos por 5.

El siguiente teorema, cuya demostración no ofrece mayores dificultades, implica que ≡ modn es una relación de equivalencia en ℤ

Teorema2.5 8.. Si n∈ℤ+, entonces ≡ modn es una relación de equivalencia en ℤ, es decir; si a,b,c∈ ℤ, entonces:: i) a≡a modn.(Propiedad reflexiva). ii) Si a≡b modn, entonces b≡a modn.(Propiedad simétrica) iii) Si a≡b modn y b≡c modn, entonces a≡c modn.(Propiedad transitiva)

Plantearemos a continuación una caracterización de la ≡ modn, muy utilizado como definición:

Teorema 2.5.9. Si n∈ ℤ+ y a,b∈ ℤ, entonces a≡b modn si y sólo si a-b∈nℤ=⎨nz/z∈ℤ⎬.

Demostración: Si a≡b modn, la Definición 2.5 6 implica que a y b tienen un mismo residuo r al ser divididos por n. Por tanto el Teorema 2.5.4 –(Teorema del Residuo) - nos indica que a = cn+r y b = kn+r, con c,k∈ℤ y en consecuencia a-b = (c-k)n∈nℤ. Recíprocamente, si a-b∈nℤ, o equivalentemente si a-b=nz, para algún z∈ ℤ,, al considerar que r es el residuo de dividir b entre n, obtenemos que a=nz+(cn+r), para algún c∈ℤ. Por lo tanto a=(z+c)n+r. Luego de acuerdo al Teorema 2.5.4 , también r es el residuo de dividir a entre n y por consiguiente, según la Definición 2.5 6, a≡b modn- 2.5 10. Al haber demostrado que la relación ≡ modn es una relación de equivalencia en ℤ, ella induce una partición de éste conjunto en clases de equivalencias, entendiendo por ellas, las planteadas en la siguiente Definición: Definición 2.5 11. Si a∈ℤ, la clase de equivalencia de a, módulo n, notada Rn(a) es definida como Rn(a)=z∈ℤ /z≡a modn. 2.5 12. Según lo anterio Rn(a)= a+nt/t∈ℤ 2.5.13. Al conjunto de todas las clases de equivalencia, módulo n, lo notaremos como ℤn. En este sentido: ℤn =Rn(a)/ a∈ℤ

94El siguiente Teorema aclara quienes son exactamente los elementos de ℤn.

Teorema 2.5.14. Si nεℤ,, nn>>00, y α,ß∈ ℤ, entonces :i) Rn(α)=Rn(ß), si y sólo si α≡ß modn. En particular, si r es el residuo de dividir un entero α entre n, entonces Rn(α)=Rn(r) ii) Si α,β∈ℤ tales α,β∈[0,n), entonces Rn(α)=Rn(β), si y sólo si α = β, iii) ℤn=Rn(0), Rn(1), ... , Rn(n-1) y en consecuencia ℤn consta exactamente de n elementos.

Demostración. Obviamente α∈Rn(α) ya que α-α=0∈nℤ y por consiguiente, si Rn(α)=Rn(ß), se deduce que αεRn(ß), lo cual implica que α≡ß modn. Recíprocamente si α≡ß modn, entonces z∈Rn(α), equivale a decir z≡α modn y por consiguiente z≡ß modn, obteniéndose así zεRn(ß); es decir Rn(α)⊆Rn(ß), razonamiento que por la equivalencia de sus pasos permite deducir que a su vez Rn(ß) ⊆Rn(α), concluyéndose de esta forma en Rn(α)=Rn(ß). Si r es el residuo de dividir α entre n, entonces por Definición 2.5 6, α≡r modn y por consiguiente, de acuerdo a lo demostrado en i), Rn(α)=Rn(r). Con relación a ii) es obvio que si α = β, entonces Rn(α)=Rn(ß). Recíprocamente, si Rn(α)=Rn(ß), con α,β∈ℤ y α,β∈[0,n), entonces i) indica que α≡β modn, y por consiguiente, según el Teorema 2.5.9., α-β∈nℤ; y por ende α - β = kn, para algún k∈ℤ. Veamos que en estas condiciones no son posibles las desigualdades β<α y α<β. En efecto, si β<α, se infiere que k>0 y a su vez, por ser α,β∈[0,n), que 0<α-β<n, lo cual implica: 0<kn<n y por lo tanto: 0<k<1. Situación imposible, debido a que k∈ℤ y dicho intervalo carece de enteros. Análogamente se comprueba que no es posible la desigualdad α<β, intercambiando α por β y β por α, en el razonamiento anterior, a partir de la consideración α-β=kn. Al no ser posible ninguna de las opciones α<β y β<α, se deduce que la única alternativa viable es α=β. iii) Obviamente Rn(0), ... ,Rn(n-1) ⊆Rn(z)/ zεℤ y de otra parte, si z∈ℤ, entonces de acuerdo al Teorema del Residuo (2.5.4), existen c, r tales que z= cn+r, con c,r∈ℤ y rε[0,n). Por lo tanto, z≡r modn y según i), Rn(z)=Rn(r), con lo cual se demuestra que Rn (z) /z ∈ℤ ⊆Rn(r)/r∈ℤ y rε[0,n). Luego Rn(z)/z∈ℤ= Rn(r)/ r∈ℤ y r∈[0,n) Los elementos de Rn(r)/r∈ℤ y r∈[0,n), son diferentes entre si, ya que de acuerdo a ii) si i,j∈ℤ , i,j∈[0,n), con i≠j, entonces Rn(i)≠Rn(j). Es decir ℤn tiene n elementos

95Sabemos por el Teorema 1.13.12 que toda relación de equivalencia definida en un conjunto K, induce una partición de K, cuyos integrantes son las clases de equivalencias de los elementos de K. Particularmente ℤn es una partición de ℤ y en consecuencia obtenemos el siguiente resultado:

Teorema 2.5 15 . i) rεRn(r), si r∈ℤ. lo cual implica que Rn(r).∅

ii) Rn(0)∪ ∪Rn(n-1) =Un

0kn (k)R

= = ℤ.

iii) Si j,k∈ℤ y j,kε[0 , n), entonces o Rn(j)=Rn(k) o Rn(j)∩Rn(k) = ∅. También es inmediato probar las siguientes afirmaciones:

Teorema 2.5 16.. Si a,b,c,d,k,n∈ℤ, con n>0, son tales que a≡b modn y c≡d modn, entonces: i) a+k≡b+k modn ii) a+c≡b+d modn. iii) ka≡kb modn. iv) ac≡bd modn. v) Si a,bεℤ y a,b∈[0,n), entonces a=b si y sólo si a≡b modn.

Con relación al Teorema anterior, es obvio que si a+k≡ b+k modn, entonces a≡b modn. Pero si ak≡bk modn, ello no implica el que a≡b modn. Por ejemplo 2.3≡4.3 mod6 y a pesar de ello no es válida la congruencia: 2≡4mod6. Planteemos entonces de manera natural, con base en la suma usual de reales, una definición de una suma en ℤnn, que llamaremos la suma residual módulo, así:

Definición 2.5.17. Dados Rn(a),Rn(b)∈ ℤn, definimos la suma de clases en ℤn, o suma residual módulo n, como :Rn(a)+`Rn(b)= Rn(a+b), donde la operación + en a+b es la suma usual de reales. Teorema 2.5.18. La suma residual módulo n es una operación en ℤn. . Demostración Es evidente que dicha suma satisface Oi y Oii.del Corolario 1.1.17. Veamos entonces que también satisface Oiii: Al tener en cuenta el Teorema 2.5.14 iii) podemos considerar Rn(a), Rn(b), Rn(c) y Rn(d), tales que a,b,c,d∈ℤ y a,b,c,d∈[0,n), de tal manera que si Rn(a) = Rn(b) y Rn(c) = Rn(d), entonces el Teorema 2.5.14 ii) implica : a=b y c=d. Pero como la suma usual es una operación en ℤ, se tiene que a+c=b+d. Luego Rn(a+c) = Rn(b+d) y así las cosas, por Definición 2.5.17: Rn(a)+Rn(c) = Rn(b)+Rn(d).

Luego la suma residual módulo n es una operación en ℤn

962.5.19. Antes de abordar el estudio de la nueva estructura es útil observar, si a,b∈ℤ y r es el residuo de dividir a+b, sumado usualmente, entre nn, entonces de acuerdo al que Teorema 2.5.14 i) : Rn(a)+ Rn(b) = Rn(r).

Teorema 2.5.20. Si n∈ℤ+ , entonces G = < ℤn , +> es un grupo abeliano, que llamaremos el grupo aditivo residual módulo n.. DEMOSTRACIÓN.- Si Rn(a),Rn(b),Rn(c)∈ ℤn, entonces: Rn(a) + [Rn(b) + Rn(c)] = Rn(a)+Rn(b+c) Definición de + en ℤn

= Rn(a+(b+c) Definición de + en ℤn = Rn((a+b)+c) Asociativa en < ℤ , +> = Rn(a+b)+Rn(c) Definición de + en ℤn = [Rn(a)+Rn(b)]+Rn(c) Definición de +en ℤn En consecuencia G es asociativa. Obviamente, Rn(0) es el módulo de ¨+ ¨y si i∈ ℤ es tal que i∈[0,n), entonces para n-i∈ ℤn, observamos que Rn(i)+ Rn(n-i) = Rn(n) = Rn(0). Es decir, Rn(n-i) es el inverso aditivo de Rn(i), concluyéndose así que G es un grupo. Por último, como la suma usual de reales es conmutativa, si a,b∈ℤ, entonces a+b=b+a, obteniéndose así que Rn(a)+Rn(b) = Rn(b)+Rn(a). Luego ℤn es un grupo abeliano. Es lógico pensar que al definir análogamente un producto en ℤn éste resulte operación en dicho conjunto y que además la nueva estructura sea un grupo. La primera impresión es válida, pero la estructura resultante no siempre es un grupo, tal como veremos a continuación. Definición. 2.5.21 Si Rn(a),Rn(b)∈ ℤn, definimos el producto de clases en ℤn o producto residual módulo n, como Rn(a).Rn(b)= RRn(a.b), donde la operación en ab es el producto usual de reales

Teorema 2.5.22. El producto residual módulo n, es una operación en ℤn

Demostración. El producto definido anteriormente obviamente satisface Oi y Oii. Corolario 1.1.17..Además, razonando análogamente a la forma como se demostró Oiii en el Teorema 2.5.18., sustituyendo la suma usual por el producto usual, se demuestra Oiii en este caso. Luego el producto residual módulo n es una operación en Corolario ℤn.

2.5.23. Si r es un entero residual módulo n, en vez de escribir Rn(r), anotaremos abreviadamente r, cuando no se preste a confusión Al utilizar esta notación obtenemos para

97a,b, enteros residuales módulo n, que en vez de escribir Rn(a)+Rn(b)=Rn(a+b)= Rn(r) , donde r es el residuo de dividir a+b, sumado usualmente en ℤ, entre n, escribiremos a+b=r, donde + es en esta última igualdad la suma residual módulo n de la Definición 2.5.17. Pero si + es la suma usual, Rn(a+b)=R(r), indica, según el Teorema 2.5.14(i); a+b≡r modn., que permite trabajar con la suma usual.

Por ejemplo, para ℤ8; en vez de escribir R8(4)+R8(7)=R8(3), escribiremos 4+7=3, si + es la suma residual módulo 8. Pero si + es la suma usual en ℤ, notaremos :4+7≡3 mod8. Análogamente Rn(a)Rn(b)=Rn(r) , donde r es el residuo de dividir ab, multiplicado usualmente en ℤ, entre n, se abrevia como ab=r, siendo este último producto, el producto residual módulo n , de la Definición 2.5.21, mientras que si se trata del producto usual en ℤ, notaremos ab≡r modn. Por ejemplo; si aludimos al producto residual módulo 8; 4.7=4. Pero si utilizamos el producto usual en ℤ, 4.7≡4 mod8. Tal como se puede se observar en las tablas correspondientes a ℤ4, el producto residual módulo 4, no corresponde a un grupo, porque 0 no tiene inverso multiplicativo. Esta situación se mantiene aún en el caso de restringir la multiplicación residual a los elementos no nulos, ya que 2 tampoco tiene inverso multiplicativo en ℤ4. Pero obviamente la tabla para la suma reesidual módulo 4, si corresponde a un grupo. Observe que en ℤ4: –1=3, -2=2, -3=1.

Desarrollemos a continuación las dos tablas de ℤ4: :

123032020232101000003210.

210331032203211321003210

−−−

+

Con relación al producto residual módulo n no es difícil demostrar el siguiente Teorema : Teorema 2.5 24 - Si n es un entero positivo, entonces: i) <ℤn , o> es modulativa y asociativa, ii) Si a,b y c son enteros residuales módulo n y + y ”o” son respectivamente la suma y el producto residual módulo n, entonces ao[b+c]=aob+aoc y iii) aob=boa.

2.6 GRUPOS DE ORDEN 1,2,3 y 4. Al número de elementos de un grupo finito G lo llamaremos el orden del G y lo notaremos o(G). En esta sección demostraremos que todos los grupos de orden 1,2,3 y 4 son abelianos. Pero lo más importante en la presentación de éstos, es iniciar un ensayo en el manejo del concepto de homomorfismos. O en otros términos, entrar en los preliminares de la compresión del porqué en un grupo lo más importante es la operación definida en él.

982.6.1 -Grupos de orden 1. Si G1=e, es un grupo, la única operación posible es ee = e y su tabla es :

e e e

Evidentemente G1 es un grupo abeliano. Además observamos que la única diferencia posible entre todos los grupos con un elemento, es el nombre que adopte dicho elemento.

2.6.2. Grupos de orden 2. Si G2 = e,a,donde a≠e, entonces las siguientes tablas corresponden a los dos únicos grupos posibles :

G12=eaaaeeae

y G22=aeaeaeae

.

Observemos que la variedad entre los dos grupos se reduce a la selección del módulo. Esto permite que al intercambiar en la tabla G21, a por e, y e por a obtengamos la tabla G22. Esta situación nos posibilita asegurar que los dos grupos en cuestión son el mismo, salvo la diferencia planteada por la selección del módulo. Con lo anterior también queremos significar que en esos dos grupos no existen diferencias fundamentales o algebraicas, a excepción de la señalada, catalogable como secundaria. Con relación a la función T:G12→G22, definida como T(e)=a y T(a)=e, que transforma la primera tabla en la segunda; observamos que además de ser una biyección, satisface: T(ee)=T(e) T(e) ; T(ea) = T(e)T(a) ; T(aa) = T(a)T(a) ; T(ae) =T(a)T(e). Es decir: T(xy) = T(x)T(y), siempre que x,yeG12. De acuerdo con la Definición 1.8.1. a funciones como T se les conoce como un isomorfismos de estructuras algebraicas. Al adaptarla a los grupos, obtenemos la siguiente definición: Definición 2.6.3. Si G y G` son grupos, f:G→G` es una función y a,beG, entonces:i) f es un homomorfismo de grupos, si f(ab)= f(a)f(b) y ii) f es un isomorfismo de grupos, si f es un homomorfismo inyectivo. Además, diremos que G es isomorfo a G`, notado G ≈ G`, si existe un isomorfismo f sobreyectivo de G en G'. Observe que la operación en ab es la de G, mientras que la de f(a)f(b) es la de G`. Además no es difícil verificar: Teorema 2.6.4 i) Si a1, ... ,an∈G, entonces f(a1. ... .an) = f(a1). ... f(an)., ii) f(e)=e`, donde e y e` son los módulos respectivos de G y G` y iii) f(a-1)=(f(a))-1. (Ver Ejercicio 2. 7.33)

992.6.5. En la terminología de la Definición 2.6.3. la situación de los grupos con dos elementos se sintetiza expresando que "existe un único grupo con dos elementos, salvo grupos isomorfos, o abreviadamente, salvo isomorfismos". 2.6.6. Grupos de orden 3 Si G3=e,a,bes un grupo con tres elementos, las siguientes tablascorresponden a los tres únicos grupos posibles:

G31=

aebbbaa

baeebae

e G32 =

ebabbaeaaebebae

G33=

baebaebaebaebae

No es difícil notar, que mientras en G31 el módulo es e, en G32 es a y en G33 el módulo es b. Esa es la única diferencia entre los tres grupos. Observemos que son homomorfismos de grupos, las siguientes funciones que transforman, respectivamente, a G32 y a G33 en G31 : T : G32 →G31 , definida como : T(e) = a , T(a) = e , T(b)=b ; T1: G33 →G31 ,definida como : T1(e) = ß, T1(b) = e , T1(a) = a. Como además T y T1 son isomorfismos sobreyectivo de grupos (Ver Ejercicio 2.10.4) concluimos que G32 ≈ G31 y G33 ≈ G31. En estas condiciones inferimos que G31 es el único grupo con tres elementos, salvo isomorfismos. 2.6.7.. Grupos de orden 4. Sea G4=e,a,b,c un grupo con cuatro elementos. Consideraremos a su módulo como e, ya que por un procedimiento análogo al utilizado en los dos casos anteriores, se verifica que cada grupo obtenido al calificar como módulo a a, b o c, es isomorfo con alguno de los resultantes para el caso, módulo e.(Ver Ejercicio 2.7..66 ) Al iniciar la elaboración de la tabla para el caso, módulo e, avanzamos sin problemas hasta el momento de abordar el resultado de aa; en el cual se presentan las alternativas: aa=e o aa=b o aa=c. La posibilidad aa=e, permite un viaje tranquilo, con un contratiempo al enfrentar la operación bb, que tiene como eventuales resultados bb=e o bb=a , originándose para la primera opción la siguiente tabla:

G41 =

eabccaecbbbceaacbaeecbae

100 La última opción, bb=a, para la alternativa aa=e, da origen a la siguiente tabla:

G42=

aebcceacbbbceaacbaeecbae

Las tablas adecuadas a las opciones aa=b y aa = c, son respectivamente:

G43=

baeccaecbbecbaacbaeecbae

, G44=

eabccacebbbecaacbaeecbae

En las cuatro tablas obtenidas observamos una diferencias no catalogable como de forma o secundaria. Todo ello porque en G41 cualquier elemento es solución de la ecuación x2=e, cualidad de la cual carecen los grupos restantes. Esta disparidad nos lleva a pensar que los grupos correspondientes a las tres últimas tablas no son isomorfos con el primero. Razonemos por el absurdo para probar que G42 y G41 no son isomorfos. Si G42 ≈ G41, la Definición 2.6.3. indica la existencia de un homomorfismo biyectivo f:G42:- → G41. Por lo tanto, como en G42, cc= a, al aplicar que f es una función y la Definición 2.6.3., obtenemos que, f(a) = f(c)f(c). Pero, como la operación en f(c)f(c) es la de G41, entonces f(c)f(c)=e, lo cual nos lleva a que f(a)=e. Del Teorema 2.6.4 (ii), sabemos que f(e)=e. Por lo tanto al aplicar este resultado a f(a)=e, inferimos la igualdad f(a)=f(e), que a su vez, por ser f 1-1, implica el absurdo a = e. Luego G42 no es isomorfo a G41. Análogamente, sustituyendo G42 por G43 ó G44, según el caso, y respectivamente, cc = b o aa = c , se verifica que G43 y G44 no son isomorfos con G41; La diferencia notable en los últimos 3 grupos, consiste en la notación de el término diferente al módulo que se identifica con su inverso. Ellos son : en G42: a, en G43: b y en G44 : c Por verificación directa se tiene que al intercambiar en G43, b por a y a por b, obtenemos G42. Análogamente al intercambiar en G44, c por a y a por c, esta se transforma en G42. Lo cual sugiere que G43 ≈ G42 y G44 ≈ G42. La veracidad del par de isomorfismo planteado, es consecuencia del carácter de isomorfismo de

101las funciones h y g tales que: h:G43→G42, definida como h(b) = a, h(a) =b , h(e) = e , h(c) = c y g : G44→G42, determinada por g(c) = a , g(a) = c , g(b) = b ,g(e) = e. (Ver Ejercicio 2. 7..77) En consecuencia se deduce que los únicos grupos con 4 elementos son G41 y G42, salvo isomorfismos. Los argumentos desarrollados en esta sección, nos llevan a asegurar que los grupos, con 1,2,3 ó 4 elementos son abelianos. Más adelante demostraremos que los grupos con 5 elementos son también abelianos. De esta manera inferimos que S3 es el primer grupo no abeliano, puesto que este grupo tiene 6 elementos El siguiente modelo es un caso práctico de un grupo con 4 elementos del tipo G41: Ejemplo 2.6.8. Consideremos dos interruptores de corriente, de colores rojo y negro, cuyo estado inicial puede ser abierto o cerrado. Entenderemos por el elemento a, la acción que permite pasar el interruptor rojo de abierto a cerrado, o de cerrado a abierto. De manera análoga se define el elemento b, con relación al interruptor negro. El tercer elemento, se obtiene de acoplar los interruptores rojo y negro en uno verde, y corresponde a c, correspondiente a la acción de aplicar a y después b, que notaremos c = aob. Observe que físicamente también c = boa. El cuarto elemento corresponde a e, señalando que el interruptor rojo, el negro o el verde, permanecen en su posición inicial. De acuerdo con la notación y según los significados de a, b, c y e, se obtiene que: aoa = bob = coc = e. Puesto que aoa nos indica que el interruptor rojo ha pasado, por ejemplo de abierto a cerrado, al aplicar a, y al activar nuevamente a, regresará entonces a la situación inicial de abierto. El mismo razonamiento es válido para = bob y coc. Además, aoc = b, ya que si se aplica a, estaremos, por ejemplo, cerrando el interruptor rojo, y al accionar c = aob, se está procediendo nuevamente primero sobre el interruptor rojo, llevándolo nuevamente a su estado inicial presentado como abierto. Por último, al efectuar b, se estará cambiando el estado del interruptor negro, quien al final de la operación instruida por aoc, es el único afectado. En este caso aoc = ao(aob) = (aoa)ob = eob = b. Análogamente, coa = b y cob = boc = a. De tal manera que corresponde a la tabla de o, la misma de G41.

1022.7 EJERCICIOS

2.7.1- Si G=a,b, ¿cual de las siguientes tablas corresponde a un grupo? I) abbbaaba

; II)

bbbbaaba

; III) babababa

; IV) babaaaba

¿Cuantas operaciones se pueden definir en G?. ¿Cuantas de ellas corresponden a un grupo? 2. 7..22- Si G=a,b,c, ¿cual de las siguientes tablas corresponde a un grupo?

I)

aaccacbbcbaacba

; II)

baccacbbcbaacba

; III)

aaccacbbcaaacba

; IV)

baccacbbbbaacba

¿Cuantas operaciones se pueden definir en G? ¿Cuantas de ellas corresponden a un grupo? 2. 7.33 .Demuestre las afirmaciones i), ii) y iii) del Teorema2.6.4. 2.7.44. Si G=ℤ2xℤ2=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), es el grupo definido en el Ejercicio 2.4.26. encuentre con cual de los dos grupos con 4 elementos es isomorfo. 2.7..55 Demuestre que T : G32 →G31 y T1: G32 → G31 definidas como : T(e)= a ,T(a) = e , T(b)=b y T1(e) = b, T1(b) = e , T1(a) = a. son isomorfismos de grupos sobreyectivos. 2.7..66 Verifique que cada grupo obtenido al calificar en, 2.6.7 como módulo a, b ó c, es isomorfo con alguno de los resultantes para el caso, módulo e. 2. 7..77.. Demuestre que las funciones : h:G43 →G42, definida como h(b) = a, h(a) =b , h(e) = e , h(c) = c y g : G44 →G42, determinada por g(c) = a , g(a) = c , g(b) = b ,g(e) = e son isomorfismos de grupos. 2.7..88.- Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Si G es un conjunto finito y "." es una operación en G basta con que G sea modulativa para concluir que G es un grupo. ii) Todos los elementos de un grupo con 4 elementos satisfacen la ecuación x2=e. iii) Cualquier par de grupos finitos con el mismo número de elementos son isomorfos. iv) Todos los grupos con 4 elementos son isomorfos. v) Los elementos de un grupo con 3 elementos satisfacen la ecuación x2=e. vi) La ecuación x3=e, tiene una única solución en cualquiera de los grupos con 4 elementos.

1032. 8.HOMOMORFISMO DE GRUPOS. Con la Definición 2.6.3. iniciamos la presentación del concepto de homomorfismo de grupos, notando que se trata de un instrumento fundamental para detectar que lo esencial en un grupo es su operación y no dejarnos enredar por la forma adoptadas por sus elementos. En el estudio de los grupos de orden 1,2,3 y 4 no nos interesó quienes fueran e, a ,b o c; por eso centramos nuestra atención en sus respectivas tablas. En esta sección estudiaremos algunas propiedades elementales de los homomorfismos y discutiremos métodos para demostrar cuando dos grupos son o no isomorfos. Iniciemos con la demostración del siguiente teorema: Teorema 2.8.1- Si F:G→G` es un homomorfismo de grupos, cuyos módulos respectivos son e y e`,y aeG, entonces: i) G≈ G. ii) Si G ≈ G`, entonces G` ≈ G. iii) Si G ≈ G` y G` ≈ G``, entonces G ≈ G`` , donde G`` es grupo. DEMOSTRACIÓN.- i) G ≈ G es una consecuencia de la cualidad de isomorfismo presente en la función idéntica en G, definida como i(g) = g, para geG. ii) Si G ≈ G`, es porque existe un homomorfismo biyectivo, f de G en G` y por lo tanto la función g del Teorema 2.12.4 definida en G` como g(a)=b, si y sólo si f(b)=a, es una función biyectiva de G` en G. Con estas características, basta únicamente demostrar que g es un homomorfismo de grupos, para coronar la afirmación G` ≈ G. Si a,beG` y c=g(ab), entonces, por Definición de g, f(c)=ab.(1) Análogamente al considerar g(a)=d y g(b)=r, se infieren las igualdades f(d)=a y f(r)=b.(2). Sustituyendo 2) en 1) y teniendo en cuenta que f es un homomorfismo, concluimos en aceptar la naturaleza de homomorfismo de grupos en g, puesto que f(c) = f(d)f(r) = f(dr)=ab y por Definición de g se infiere que g(ab)=dr=g(a)g(b). iii) Al aceptar que G ≈ G` y G` ≈ G``, se deduce la existencia de un par de isomorfimos, f:G→G` y g:G`→G``. Veamos que gof:G→G``, definido como gof(a)=g(f(a)) es un isomorfismo sobre. Evidentemente gof es una función biyectiva, (Ver Ejercicio 2.9.1), además, si a,beG, entonces: gof(ab) = g(f(ab)) Por Definición de gof. = g(f(a)f(b)) Por ser f un homomorfismo. =g(f(a))g(f(b)) Por ser g un homomorfismo. =gof(a)gof(b) Por Definición de gof. Luego gof es un homomorfismo y como ya teníamos que es una biyección, arribamos a la conclusión: gof es un isomorfismo sobreyectivo de G en G`` y por eso G ≈ G``.

104 Las conclusiones i),ii) y iii) del Teorema anterior, van a facilitar el poder hablar indife-rentemente de que G y G` son grupos isomorfos o que G` y G son grupos isomorfos; en segunda lugar, veremos que todas las propiedades de unm grupo G se conservan en todos los grupos ismorfos a G. 2.8.2- Finalizaremos exponiendo algunos ejemplos de grupos isomorfos y discutiendo métodos para determinar, sobre la base de la Definición de isomorfismo, cuando dos grupos son o no isomorfos. Según la Definición 2.6.3., para demostrar que dos grupos G y G` son isomorfos, debemos encontrar un homomorfismo biyectivo de G en G`, lo cual implica la realización de los siguientes pasos: i) Encontrar una relación f, entre los elementos de G y G`, guiados por la forma de sus elementos. ii) Demostrar que la relación f es una función. iii) Demostrar que f es biyectiva y iv) Demostrar que f es un homomorfismo Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 2.8.3- Demostrar: 1)El conjunto C/a100010a01

=A⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧∈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=U ,

con la multiplicación usual de matrices, es un grupo y 2) <U,.>≈ <ℂ , +> Evidentemente <U, o> es un grupo, puesto que la cerradura del producto usual de matrices es consecuencia de la validez de las siguiente igualdad:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100010

01

100010

01.

100010

01 abba (1)

Además la propiedad asociativa, se deduce de su veracidad en < M22(ℂ), .>, y la invertiva de la

certeza de la afirmación : ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

100010

01

100010

01 1 aa

105Por último para demostrar el isomorfismo en cuestión consideremos f definida

como f(A)=a, si A= .100010

01

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ala cual es evidentemente es una biyección. Por lo tanto,

para concluir en el isomorfismo en cuestión, resta verificar el carácter de homomorfismo de f o equivalentemente; demostrar que si A y B son matrices del tipo señalado, , entonces f(AB)=f(A)+f(B), pero ello es una consecuencia inmediata de la igualdad (1) y de la Definición de f.

2.8.4. Si ℚ es el conjunto de los números racionales construído en 1.15 y Ζ=[(q,1)]/q∈ℤ,

entonces i) <Ζ,+> es un grupo, ii) <Ζ,+>≈<ℤ,+> y iii) N=[(q,1)]/q∈ℤ+∪⎨[(0,1)]⎬ es un conjunto de naturales . Razón para concluir que ℚ contiene un conjunto de enteros y un conjunto de naturales..

En efecto, <Ζ,+> es un grupo, porque si [(q,1)], [(r,1)]∈ℤ, entonces [(q,1)]+[(r,1)]=[(q+r,1)]∈ Ζ y por lo tanto de acuerdo con el Corolario 1.1.29 + es una operación en Ζ. Además como Ζ⊂ ℚ y < ℚ,+> es asociativo, también <Ζ,+> es asaociativa. También <Ζ,+> es modulativa, porque

.según el Ejercicio 2.4.7 [(0,1)] es el módulo de < ℚ,+> y [(0,1)]∈ Ζ..

Pero, como también según Ejercicio 2.4.7. se tiene que -[(q,1)]=[(-q,1)]∈ Ζ, entonces <Ζ,+> es invertiva.

Luego <Ζ,+> es un grupo. ii) <Ζ,+>≈<ℤ,+>. Para ello consideremos f de <Ζ,+> en <ℤ,+>, definido como f[(r,1)]=r. Evidentemente f satisface las condiciones Fi y Fii del Teorema 1.1.13. Y además, si [(r,1)]=[(s,1)]∈ Ζ, entonces r+1=s+1 y por consiguiente r=s, cumpliéndose así la condicón Fiii del Teorema 1.1.13, y por lo tanto f es una función. Además f es 1-1, porque si r=s∈ℤ, entonces [(r,1)]=[(s,1)]. También f es sobre, ya que cualquier r∈ℤ, es imagen según f. de [(r,1)]∈Ζ.

Luego f es biyección y para concluir que <Ζ,+>≈<ℤ,+>, solo resta probar, según la Definición 2.6.3. que f[(r,1)]+[(s,1)]= f[(r,1)])+f([(s,1)]), si [(r,1)],[(s,1)]∈ Ζ. Pero esto es inmediato, puesto que f[(r,1)]+[(s,1)]=f([(r+s,1)]=r+s = f[(r,1)]+[(s,1)].

Por último como N es un conjunto de naturales, en el sentido de la Definición. 1.10.1., porque [(0,1)]∈N, y también la función s de N en N, definida como s([(r,1)])= [(r,1)]+ [(1,1)] es una función inyectiva, porque si [(r,1)]+ [(1,1)]= [(s,1)]+ [(1,1)], entonces [(r,1)] = [(s,1)] y [(0,1)]∉s(N), porque en primer lugar s([(0,1)])= [(0,1)]+ [(1,1)]= [(1,1)]≠ [(0,1)] y si existiera r∈ℤ+ tal que [(r,1)]+ [(1,1)]= [(0,1)], entonces como [(r,1)]> [(0,1)] y [(1,1)]> [(0,1)] se tendría que [(r,1)]+ [(1,1)]> [(0,1)], situación imposible puesto que en esas condiciones se llegaría al absurdo [(0,1)]> [(0,1)].

106Por último, si S⊆N, tal que [(0,1)]∈S y si [(r,1)]∈S, entonces [(r,1)]+ [(1,1)]∈S, ello implica que S=N, ya que si existiera [(s,1)]∈N tal que [(s,1)]∉S, se deduciría que s∈ℤ+ y por consiguiente se puede considerar k el menor entero positivo tal que [(k,1)]∈N y [(k,1)] ∉S. En consecuencia [(k,1)]- [(1,1)]∈S y por hipótesis [(k,1)]∈S, absurdo porque [(k,1)]∉S.

2.8.5.- Demuestre que los grupos G= <ℝ--1 , o> y G`=<ℝ-1 , *>, del Ejercicio 2.4.4 son isomorfos. Si definimos f de G en G `, como f(a)=-a, evidentemente f es una biyección, además: f(aob) = f(a+b+ab) Por Definición de o. = -(a+b+ab) " " " f = (-a)+(-b)-(-a)(-b) Propiedades de ℝ = (-a)*(-b) Por Definición de + . = f(a)*f(b) Luego f es un homomorfismo biyectiva y por lo tanto G ≈ G` En otros casos no es tan evidente encontrar la relación entre los elementos del grupo, como en el siguiente ejemplo: Ejemplo 2.8.6 Si ℝ+ es el conjunto de lo números reales positivos, o el producto usual de reales y + la suma usual, entonces los grupos G=<ℝ+, o> y G`=<ℝ ,+> son isomorfos por que la función logaritmo natural, notada Ln, es una biyección de G en G` tal que Ln(ab)=Ln(a)+Ln(b), si a,b∈ℝ+ 2.8.7.- Evidentemente cuando dos grupos finitos G y G` tienen números diferentes de elementos, se deduce que ellos no son isomorfos, porque en esta circunstancia no es posible definir una biyección de G en G`. Por esa misma razón , pero orden de dificultad, un grupo numerable y uno no numerable, no son isomorfos.. Es el caso de los grupos <ℤ , +>,< Q , +> y < Q* , .>, que son numerables, frente a los grupos no numerables <ℝ ,+> y <ℝ* , .o>. Si estamos frente a dos grupos numerable no isomorfos, un buen camino para verificarlo es razonar por el absurdo, suponiendo la existencia de un isomorfismo sobreyectivo entre ellos y deduciendo una contradicción, apoyándonos en alguna propiedad algebraica no común a los dos grupos en cuestión. Por ejemplo: Ejemplo 2.8.8. Teniendo en cuenta que en G=<ℂ*, o>, la ecuación x2=-1 tiene dos soluciones, pero que en G`=<ℝ* , o> esa propiedad no es válida, comprobemos que dichos grupos no son isomorfos. En efecto, al suponer que G≈G`, existirá un homomorfismo biyectivo f de G en G` y como, según (i), f(1)=1,al ser (-1)2 =1, inferimos : (f(-1))2=1. En estas condiciones, o f(-1) = 1 o f(-1)=-1; disyuntiva en la cual no es posible la primera, porque si ella fuera válida, f(1) = f(-1) y la naturaleza inyectiva de f conduce al absurdo

1071=-1. De tal manera que f(-1)=-1. De otra parte en G se nos presenta la siguiente situación:(f(i))2=f(i)f(i)=f(ii)=f(-1)=-1; planteándose f(i) como una solución real de la ecuación x2=-1, lo cual no es posible, ya que dicha ecuación no es soluble en ℝ.

2. 9. EJERCICIOS 2.9.1.-- Demuestre que fog en el Teorema 2.8.1 es una función biyectiva 2.9.2.-. Demostrar: i) <ℝℝ∗∗ ,o> y <ℝ+ ,o.> no son isomorfos.[Sug: Acepte la existencia de un homomorfismo biyectivo f, de ℝ∗∗ en ℝ+ , por lo tanto f(1) = 1. Cuestione que f es 1-1, cal culando f((-1)2)]. ii) <ℝ* , .> y <ℝ ,+> no son isomorfos [Sug: Razonando por el absurdo, aplique i) y recuerde que <<ℝℝ+ , .> ≈ <ℝ , +>, según el Ejemplo 2.8.8. También puede lograrlo si razona como en i). III) Los grupos < ℚ , +> y <ℤℤ , +> no son isomorfos .[Sug: Razone por el absurdo aceptando la

existencia de un isomorfismo sobreyectivo f, de ℚ en ℤ, demuestre que si n es un entero

positivo , f(1) = f(n.1/n) = nf(1/n) y como n,f(1/n),f(1)∈ℤ, entonces f(1) =0, puesto que la

igualdad f(1)=nf(1/n), siempre que n∈ℤ implica que f(1)∈∩nℤ /n∈ℤ =0] IV) Analizar las siguientes argumentaciones como pruebas de que los grupos < ℚ* ,o.>y <ℤℤ ,

+> no son isomorfos, con o = producto usual en QQ yy ++==ssuummaa uussuuaall eenn ℤℤ.. a): Razonando por el absurdo, si existiera un isomorfismo f sobreyectivo f de ℚ* en ℤ, entonces

f(1)=0, pero como para cualquier n∈ℤ se tiene f(n)=nf(1), se infiere que f(n)=0, y en consecuencia f no es inyectiva. b) Si aceptaramos la existencia de un isomorfismo sobreyectuvo del grupo < ℚ*, .> en el grupo

<ℤ, +>, ello implicaría que f(1)=0.(Teorema 2.6.4i) Pero como además f(1) = f(-1.-1) = f(-1) +f(-1) =2f(-1), obtenemos que 2f(-1)=0, en ℤ, lo cual implica que f(-1)=0. Luego f(1)=f(-1)=0 y por lo tanto f no es inyectiva. c) Al convenir con la posibilidad de definir un isomorfismo del grupo < ℚ* ,o.> en el grupo

<ℤ,+> tendríamos que si p∈f-1 (2ℤ), entonces f(p)= 2r para algún r∈ℤ, y en consecuencia existe q∈Q* tal que f(q)=r. Luego f(p)=2f(q)=f(q2). Y así hemos demostrado que dado p∈ f-1 (2ℤ) existe q∈Q* tal que p=q2. Pero esto no es posible si p=2, ya que 2 ∉ℚ

1082.9.3- Sea G el conjunto de todas las funciones de ℝℝ en ℝℝ, del tipo fab(x)=ax+b, donde a y b son reales y a≠0 . Demuestre que G con la composición de funciones es un grupo. Además, demuestre, que F de G en RR, definida como F(fab)=a, es un homomorfismo del grupo G en el grupo <ℝℝ* , o>. 2.9.4- Si G es un grupo y aeG, demostrar: i) Wa:G→G, definida como Wa(x)=a-1xa es una función. 2.9.5.- Si f:G→G es un isomorfismo de grupos sobreyectivo, diremos, por Definición, que f es un automorfismo de grupos. Con base en esa Definición demostrar: i) La función Wa del Ejercicio 2.9.4 es un automorfismo ii) Si Aut(G) es el conjunto de todos los automorfismos de G, entonces Aut(G), con la composición de funciones, es un grupo. iii) definida como F(a)=Wa es un homomorfismo de grupos. 2.9.6.Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Si n∈ℤℤ+, entonces <ℤ , +>≈<nℤ , +>. II) Todos los homomorfismos de grupos son isomorfismos de grupos. III) Todos los grupos con 4 elementos son isomorfos. IV)Todos los isomorfismos de grupos son biyectivos. v) Si G y G` son grupos tales que G≈G`, entonces G=G’

1092.10. LAS RAÍCES n-ésimas COMPLEJAS DE LA UNIDAD. HHeemmooss aacceeppttaaddoo qquuee eell ccoonnjjuunnttoo ℂℂ ddee llooss nnúúmmeerrooss ccoommpplleejjooss eessttáá ddeeffiinniiddoo ccoommoo ℂℂ == aa++bbii//aa,,bb∈∈ℝℝ ddoonnddee ii∉∉ℝℝ ee ii22 ==--11.. LLaa rreepprreesseennttaacciióónn ppoollaarr ddee llooss ccoommpplleejjooss ppeerrmmiittee ddeemmoossttrraarr qquuee ℂℂ == rr((CCoossαα++iiSSeennαα))// rr≥≥00 yy αα∈∈[[--ππ,, ππ))::.. ((VVeerr EEjjeerrcciicciioo 2.11.8)).. 2.10.1. Como Sen(α+β) = SenαCosβ+SenβCosα y Cos(α+β) = CosαCosβ-SenαSenβ, es posible verificar que si z = rr((CCoossαα++iiSSeennαα)) yy ww == ss((CCoossββ++iSSeennββ)), con r y s reales no negativos, entonces z.w = rs(Cos(α+β)+iSen(α+β)∈C** (Ver Ejercicio 2.11.9) Con este resultado probaremos el siguiente Teorema: Teorema 2.10.2. Si z = rr((CCoossαα++ISSeennαα)),, ccoonn rr>>00,, αα∈∈[[--ππ,, ππ)) yy nn∈∈ℤ,, eennttoonncceess:: 11)) zznn == rrnn((CCoossnnαα++iSSeenn((nnαα))..

22)) EEll ccoonnjjuunnttoo KK == rr11//nn ((ccoossn2ππα +

++iisseennn2ππα +

// kk∈∈ℤ yy 00≤≤kk<<nn==ww∈∈ℂℂ//wwnn == zz.. EEss

ddeecciirr KK eessttáá ccoonnffoorrmmaaddoo ppoorr llaass nn rraaíícceess eennééssiimmaass ccoommpplleejjaass ddee zz.. DDeemmkkoossttrraacciióónn.. 11)) SSii nn∈∈ℤ yy nn≥≥00,, ssee pprroocceeddeerráá ppoorr iinndduucccciióónn ssoobbrree nn.. EEvviiddeenntteemmeennttee 11)) eess vváálliiddoo ssii nn==00,, ppuueessttoo qquuee:: zz00 ==11 yy ddee oottrraa ppaarrttee:: rr00((CCooss00αα++iiSSeenn00αα)) == ((CCooss00++iSSeenn00))==11 SSii aacceeppttaammooss ccoommoo hhiippóótteessiiss ddee iinndduucccciióónn qquuee zznn == rrnn((CCoossnnαα++iSSeenn((nnαα)),, eennttoonncceess ccoommoo ppoorr 22..33..22,, zznn++11 == zznnzz,, oobbtteenneemmooss qquuee zznn++11== rrnn((CCoossnnαα++iSSeenn((nnαα)) rr((CCoossαα++iSSeennαα)).. EEnn ccoonnsseeccuueenncciiaa ppoorr 2.10.1,, zznn++11 == rrnnrr((CCooss((nnαα++αα)) ++iSSeenn((nnαα++αα)))) == rrnn++11((CCooss((nn++11))αα++iSSeenn((nn++11))αα.. LLuueeggoo,, ppaarraa ttooddoo nn∈∈ℕ,, zznn == rrnn((CCoossnnαα++iSSeennnnαα)) ((ii)) SSii nn∈∈ℤ yy nn<<00,, ccoommoo << ℂℂ,,oo>> ((ccoonn oo==pprroodduuccttoo eenn ℂℂ)) eess uunn ggrruuppoo,, eennttoonncceess ppoorr llaa Definición 22..33..22 zznn == ((zz--11))--nn.. PPeerroo ccoommoo zz--11 ==((11//rr)) ((CCooss((--αα )) ++iSSeenn((--αα)))) ((VVeerr EEjjeerrcciicciioo 2.11.4 )) yy --nn>>00;; oobbtteenneemmooss sseeggúúnn ((ii)) qquuee zznn ==((11//rr))--nn((CCooss((--nn((--αα)))) ++ iiSSeenn((--nn((--αα)))) ==((11//rr))--nn ((CCooss((nnαα))++ iiSSeenn((nnαα)))) == rrnn((CCoossnnαα++iSSeenn((nnαα)))).. HHeemmooss ddeemmoossttrraaddoo,, qquuee ssii nn∈∈ℤ yy zz == rr((CCoossαα++iSSeennαα))∈∈ℂℂ**,, eennttoonncceess zznn == rrnn((CCoossnnαα++iSSeenn((nnαα)).. CCoonn rreellaacciióónn aa 22)),, sseeggúúnn 11)) ((rr11//nn((CCooss((θθ++22kkππ))//nn++iSSeenn((θθ++22kkππ))//nn))))nn == rr((CCooss((αα++22ππkk))++ iiSSeenn((αα++22ππkk)))) == rr((CCoossαα++iiSSeennαα))== zz.. LLuueeggoo ccuuaallqquuiieerr ww∈∈KK eess ttaall qquuee wwnn == zz..

110

RReeccíípprrooccaammeennttee,, ssii ww∈∈ℂℂ ttaall qquuee wwnn == zz,, ccoonnssiiddeerreemmooss ww == ss((CCoossββ++iSSeennββ))∈∈ℂℂ qquuee ccuummppllee ttaall ccoonnddiicciióónn,, eennttoonncceess ddee aaccuueerrddoo aa 11)),, wwnn == ssnn((CCoossnnββ++iSSeenn((nnββ)) == rr((CCoossαα++iSSeennαα)),, lloo ccuuaall iimmpplliiccaa qquuee ss ==rr11//nn ,, CCoossnnββ == CCoossαα yy SSeenn((nnββ)) == SSeennαα.. PPoorr lloo ttaannttoo eexxiissttee kk∈∈ℤ ttaall qquuee nnββ == αα++22ππkk.. EEss ddeecciirr ββ == ((αα++22ππkk))//nn .. AAll aapplliiccaarr ahora el Teorema del Residuo (2.5.4) a los enteros k y n, obtenemos c,u∈ℤ tales que k = cn+u, donde 0≤u<n. De tal manera que β cobra la forma:

β=n

u)(cn 2πα ++ = +π+

nu 2α 2πc. Por lo tanto Cosβ=Cos(

nu2π+α ) y Senβ =

SSeenn((((αα++22ππuu))//nn)) EEssttooss rreessuullttaaddooss iimmpplliiccaann qquuee ww== rr11//nn((CCooss((((αα++22ππuu))//nn))++iiSSeenn((((αα++22ππuu))//nn)) ∈∈KK.. Resta solamente verificar que los elementos de K son diferentes entre si. Con tal finalidad, supongamos que existe s,t∈ℤ, tales que s,t∈[0,n),s≠t y r1/n( Cos((α+2πs)/n) + i Sen((α+2πs)/n) = r1/n( Cos((α+2πt)/n)+iSen((α+2πt)/n)), entonces Cos((α+2πs)/n) = Cos(α+2πt)/n), y en consecuencia (α+2πs)/n =(α+2πt)/n +2πk, para algún k∈ℤ. Por lo tanto s-t = kn, luego s≡t modn, pero como s y t son residuos módulo n, inferimos, según 2.5.14 que s =t, lo cual no es posible, puesto que habíamos considerado s≠t.. Luego si s≠t, con s,t∈ℤ, s,t∈[0,n), entonces y r1/n(Cos((α+2πs)/n)+iSen((α+2πs)/n) ≠ r1/n (Cos(α+2πt)/n) +i Sen(α+2πt)/n)). Concluyéndose así que K tiene n elementos. Se ha demostrado que cualquier complejo z tiene exactamente n raíces complejas. Un caso particular de esta apreciación se plantea para las raíces enésimas complejas de la unidad. En este caso, si W es el es el conjunto de las raices enesimas de la unidad, entonces <W,o> porque si α,β∈W, entonces por ser < ℂ* ,o> un grupo abeliano se tiene que (αoβ)n=αnoβn, pero como α,β∈W, se infiere que (αoβ)n=1. Es decir αoβ∈W y por consiguiente <W,o> es una estructura algebraica. Ademas, 1∈W y si z∈W, entonces como (z-1)n=(zn)-1 se deduce que (z-1)n=1. Es decir z-

1∈W y así se ha demostrado que <W,o> es una estructura algebraica modulativa e invertiva. Tambien obviamente <W,o> es asociativa porque W⊆ ℂ* y < ℂ* ,o> es asociativa porque < ℂ* ,o> es un grupo. De esta manera se ha demostrado el siguiente teorema: TTeeoorreemmaa 2.10.3.- El conjunto W de las raíces enésimas complejas de 1, con el producto usual de complejos, es un grupo. Demostración. Si a los elementos de W los notamos como wk =Cos(2πk/n) + iSen(2πk/n), para k=0, k=1, ..., k=n-1, tenemos que wrws = Cos(2π(r+s)/n) + iSen(2π(r+s)/n). Por lo tanto al aplicar el Teorema del Residuo (2.5.4) a r+s y a n, existen c,t∈ℤ tales que r+s=cn+t, con 0≤t<n. En consecuencia, wrws = Cos(2π(cn+t)/n+iSen(2π(cn+t)/n) =.

111Cos(2πt/n) +iSen(2πt/n) = wt. Es decir wrws = wt, donde t el residuo de dividir r+s, sumado usualmente, entre n. Por lo tanto si definimos f de <W,o> en < ℤn ,+>, como f(wk )=c(k)= ⎨z∈ℤ/z≡k modn ⎬, para k∈⎨0.1,2, …n-1⎬, vamos a tener que que si r,s∈⎨0.1,2, …n-1⎬, entonces f(wrws) =f(wt) =t, donde t≡r+s modn. Es decir f(wrws) =c(t)=c(r+s)=c(r) +c(s)= f(wr)+ f(ws). Luego la Definición 1.8.1., implica que f es un homomorfismo de <W,o> en < ℤn ,+> Además obviamente f es un isomorfismo, porque f es inyectiva ya que si r,s∈⎨0.1,2, …n-1⎬ tales que c(r)=c(s), entonces r=s y por lo tanto wr=ws . Es decir f es inyectiva y además f es sobre, porque cualquier c(s)∈ℤn , se tiene que f(ws) =c(s). En consecuencia con la Definición 1.8.1. se deduce que <W,o>≈< ℤn ,+> 22..1111 .. EEJJEERRCCIICCIIOOSS 2.11.1.- Calcular: i) R6(2), R6(4), R6(8) y R6(10). ii) ¿Que relación existe entre R6(8) y R6(2) y entre R6(10) y R6(4)?.iii) ¿Como explica la relación existente en ii)?. 2.11. 2.- Calcular R6(z)/z∈Z. 2.11. 3- Demuestre que <ℤ5

*, .> es un grupo, donde "."= producto residual módulo . 2.11. 4. Demuestre :los Teoremas 2.5 8, 2.5 16.y 2.5 24. 2.11. 5. Demuestre que si r,s∈⎨0,1,2, …,n-1⎬, entonces c(r)=c(s), si y solo si r=s. 2.11. 6.- Si definimos f de ℤn en ℤ, como f(Rn(z))=z, ¿será cierto, que si f(Rn(z))=f(Rn(z`)) , entonces z=z`?. ¿Podrá asegurarse que f es una función?. Si redefinimos f(Rn(z))=z, para z entero residual módulo n ¿Será f ahora una función?. 2.11. 7 Si K=α1, ...αn⊆ℤ,, demuestre: a) cualquier par diferente de elementos de K es no congruente módulo n, si y sólo si para cada rε0,1, ... n-1 existe un único ß∈K tal que ß≡r modn. b) Si cualquier par diferente de elementos de K es no congruente módulo n y z∈ℤ, entonces existe un único αi∈K, tal que z≡αi modn. Sugerencia: a) Demuestre que f: K ↦ Rn(0), Rn(1) ... Rn(n-1), definida como f(αi)= Rn(ri), donde ri es el residuo de dividir αi entre n es una biyección. 2.11.8 Deemmoossttrraarr qquuee ℂℂ == rr((CCoossαα++iiSSeennαα))// rr≥≥00 yy αα∈∈[[--ππ,, ππ)) 2.11.9 Verificar que si z = rr((CCoossαα++iSSeennαα)) yy ww == ss((CCoossββ++iiSSeennββ)), con r y s reales no negativos, entonces z.w = rs(Cos(α+β)+iSen(α+β). 2.11.4 Si z= r((CCooss((αα))++iSSeenn((αα)))),, ccoonn rr>>00,, ddeemmuueessttrree qquuee zz--11 ==((11//rr)) ((CCooss((--αα))++ iSSeenn((--αα))..

1122.11.10. Si z1 = r1(Cosα1+iSenα1), ... , zn = rn(Cosαn+iSenαn), son complejos, con r1 , ... , rn, reales no negativos, demuestre que z1. ... .zn = r1. ... .rn(Cos(α1+ ... +αn) + iSen(α1+ ...+αn). 2.11.11.- Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Si a,nεℤ entonces existe b∈ℤ tal que bn≤a. ii)Si a,b∈ℤ, entonces existen un único par de enteros c y r tales que a=cb+r. iii) Si n∈ℤ+ es posible encontrar i,j∈ℤ con ij tales que i,jε[0 ,n) y Rn(i)=Rn(j) iv) Si n∈ℤ+ es posible encontrar i,j∈ℤ con ij tales que Rn(i)=Rn(j) v) Si a,b∈ℤ y n∈ℤ+, entonces a≡b modn. vi) Si a,b,c,d∈ℤ y n∈ℤ+ tales que a≡b modn y c≡d modn entonces a+d≡b+c modn y ad≡bc modn. vii) Si a,b,k∈ℤ y n∈ℤ+ son tales que ka≡kb modn, entonces a≡b modn. viii) No es posible encontrar enteros a,b∈ℤ y n∈ℤ+ tales que sea válida la implicación: si ka≡kb modn, entonces a≡b modn. ix)Si a,b∈ℤ y n∈ℤ+, entonces la ecuación ax≡b modn tiene solución en ℤ. x) Si K=α1, ...αn⊆ℤ,, entonces cualquier par, diferente, de elementos de K es no congruente módulo n, si y sólo si para cada ß∈K existe un único rε0,1, ... n-1 tal que ß≡r modn. xi) La ecuación 2x≡6 mod4 tiene una única solución en ℤ4. xii) La ecuación 2x≡6 mod4 tiene una única solución en ℤ . xiii) La ecuación 2x≡6 mod4 tiene una única solución en ℤ5. xiv) Si ℤ es el conjunto de los enteros , n∈ ℤ+ y +` es definida, para a,b∈ℤ como a +` b = r, donde r es el residuo de dividir a+b entre n , con + la suma usual de reales, entonces < ℤ , +`> es un grupo. xv) El conjunto de las raíces enésimas complejas de un número real a con la multiplicación usual de complejos. es un grupo.

2.12. EL GRUPO SA

Por el Ejemplo 1.4.9, sabemos que <AA ,o> es una estructura algebraica, pero ella no necesariamente es un grupo, como lo demuestra el siguiente ejemplo: Ejemplo 2.12.1 Si A= ℝℝ = números reales y f es definida como f(x) = x2, si x∈ ℝℝ, entonces no existe g∈ℝℝℝℝ tal que fog = i = función idéntica de A en A. En efecto, si existiera una tal función g, tendríamos que fog(-1) = -1, lo cual implicaría que f(g(-1)) = -1. Pero este resultado no es posible, puesto f(x)≥0, para cualquier x∈ℝℝ.

113Ejemplo 2.12.2. Si s es la restricción de la función f del ejemplo anterior al conjunto B = x∈ℝℝ/x≥0, es decir s(x)=f(x), siempre que x∈B, entonces h definida como h(x) = √x, si x∈B, es tal que soh = hos= i, ya que soh(x) = s(h(x)) = s(√x) = (√x)2 = x y además hos(x)=h(s(x))=h(x2)=x. Luego h es un inverso de s en <BB,o> Ejemplo 2.12.3 Si A = 1,2, entonces AA=fo,f1,f2,f3, donde:fo:1→1,2→2 ;f1 :1→1 ,2→1; f2:1→2,2→2; f3: 1→2,2→1, obervamos en <A,o> con o=composición de funciones que fo es el módulo y que f1 y f2 no tienen inversos en AA. Naturalmente, que con el sólo hecho de que f1 o f2 no tenga inverso en AA se deduce que dicha estructura no es un grupo . Pero al considerar subconjunto S2 = fo, f3, es verificable que <S2 , o> es un grupo. Precisamente el par de funciones que integran al subconjunto en cuestión son tales que transforman elementos diferentes de A en elementos diferentes de A. Además cada elemento de A es imagen de otro elemento de A. Este tipo de funciones según la Definición 1.1.34 iii) son clasificadas como biyectivas La situación presentada en el Ejemplo 2.12.1 es generalizada por el Teorema presentado a continuación. Teorema 2.12.4. Si A es un conjunto y SA=fεAA/f es biyectiva, entonces <SA ,o>, con o=composición de funciones, es un grupo. DEMOSTRACIÓN.- Verifiquemos en primer lugar que o es una operación en SA. De acuerdo al Corolario 1.1.29 para alcanzar nuestro primer propósito, basta tomar f,gεSA y demostrar que fogεSA, o en forma equivalente comprobar que fog es biyectiva. Supongamos que a,bεA tales que fog(a)= fog(b), entonces, por la definición de o =composición de funciones, (1.1.40 ii) obtenemos que f(g(a))=f(g(b)). Pero como en particular f es 1-1, entonces g(a)=g(b), lo cual a su vez nos permite inferir, por ser g 1-1, que a=b. Luego fog es 1-1. Si aεA, al ser f una función sobre A, según la Definición 1.1.34 ii), podemos encontrar bεA tal que a = f(b). Pero como también g es sobre A, existe cεA tal que b = g(c). En consecuencia a = f(g(c)) = fog(c). Por lo tanto fog es sobre A y como ya habíamos demostrado que fog es 1-1, concluimos a que fog es una biyección. Por esa razón fog∈SA. Una vez comprobado que o=composición de funciones es una operación en SA comprobemos el carácter asociativo de la estructura en cuestión: Si f,g,hεG y aεA, entonces por aplicaciones sucesivas de la definición de o=composición de funciones, obtenemos:

114fo(goh)(a) = f(goh(a)) = f(g(h(a)) =fog(h(a)) = (fog)oh(a). En consecuencia, fo(goh) = (fog)oh y por ello SA es asociativa. Obviamente SA es modulativa a la derecha, con módulo respectivo i:A→A, definido como i(a)=a, siempre que a∈A; puesto que i es una biyección de A en A y por lo tanto i∈SA. Además es inmediato comprobar que si f∈SA, entonces foi=f. Por último, si f∈SA, definamos g:A→A, como g(a)=b si y sólo si f(b)=a. Naturalmente, g está definida en A, puesto que si a∈A, entonces por ser f una función sobre, debe existir bεA tal que a=f(b). Entonces g(a)=b, lo cual además verifica que g(a)εA. Además si a,bεA y a=b, y además g(a)= d y g(b)=e, entonces por definición de g, f(d)=a y f(e)=b. Pero como a=b y f es 1-1, entonces d=e, o lo que es lo mismo, g(a)=g(b). Luego g es una función de A en A. Procederemos a verificar seguidamente que g∈SA, o equivalentemente que g es una biyección de A en A: La función g es 1-1, porqué si g(a) = g(b) = cεA, entonces por definición de g, f(c)=a y f(c)=b. y por ser f una función; a = b. Por lo tanto se deduce la implicación : si g(a)=g(b), entonces a=b, la cual nos indica que g es 1-.1 Es inmediato que g es sobre A, puesto que si aεA, entonces al considerar f(a)=bεA, por definición de g, se deduce que g(b)=a Al haber aclarado que gε SA, nos resta únicamente demostrar que fog=i, para concluir que g=f-1 y deducir que < SA ,o>es invertiva a la derecha. Pero esto es verificable rápidamente, ya que como fog(a) = f(g(a)), al suponer que g(a)=bεA, la definición de g conduce a que f(b) =a. Pero como f es función, entonces f(g(a))=f(b). Luego f(g(a))=a y por lo tanto fog(a)=a=i(a); razón por la cual, fog=i. En conclusión <SA , o> es un grupo 2.12.5. El grupo SA del Teorema anterior es conocido como el grupo de las permutaciones de A. Un caso particular interesante es el grupo S3 obtenido al considerar A=1,2,3. En S3, podemos distinguir los siguientes elementos: io:A→A, definida como io(a)=a siempre que aεA. Es decir io es la función idéntica en A.

i1:A→A, definida como: i1: 1→2 ,2→3 y 3→1, que notaremos así : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛132321

, o más

simplificado como i1 = (1,2,3)

115 Siguiendo el mismo sistema de notación utilizado en i1, definimos i2 =

( )231213321

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ .

Sea ahora u1:A→A, definida como u1 : 1→1 , 2→3 y 3→2, notada abreviadamente como u1=(2,3). Análogamente, definimos u2 = (1,3) y u3 = (1,2) De tal manera que S3 cuenta con 6 elementos. En general se puede demostrar que si A tiene n elementos, entonces en Sn se contabilizan n! elementos. (Ver Ejercicio 2.14.9) La tabla correspondiente a S3 es:

0212133

1021322

2103211

1321022

2130211

3212100

321210

iiiuuuuiiiuuuuiiiuuuuuuuiiiiuuuiiiiuuuiiiiuuuiii

Un ejemplo del desarrollo de la Tabla anterior es el siguiente: i2ou3(1)=i2(2)=1 , i2ou3(2)-=i2(1)=3 y i2ou3(3)=i2(3)=2. En consecuencia, i2ou3= u1, pero como u3oi2=u2, concluimos que S3 es es un grupo no conmutativo. Mas adelante comprobaremos que precisamente S3 es el grupo no conmutativo con menor número de elementos. El grupo S3 es conocido como el de las simetrías de un triángulo equilátero ya que sus elementos se pueden obtener a partir de ésta figura mediante las simetrías, consistentes en movimientos en los que el centro queda fijo y la figura ocupa la misma posición al final que la presentada al inicio del movimiento. En ese sentido, si en un triángulo equilátero, con base paralela al margen inferior de la página, enumeramos sus vértices con los números 1,2,3 en el sentido contrario a las agujas del reloj a partir del vértice inferior derecho, tal como se indica en la siguiente gráfica: 2 3 1 Gráfica 2.12.1 Identificamos a io como la ausencia de movimiento; i1: giro en el sentido contrario a las agujas del reloj, llevando el vértice 1 al 2 y por lo tanto el 2 al 3 y el 3 al 1. i2: giro en el sentido de las agujas del reloj, llevando el vértice 1 al 3, el 3 al 2 y el 2 al 1 . u1: giro al rededor de la mediana del vértice 1, dejando a éste fijo, y de manera análoga, u2 y u3 son los giros al rededor de las medianas de los vértices 2 y 3, respectivamente. 2.12.6. Las simetrías del cuadrado. Al extender el procedimiento de las simetrías del triángulo equilátero a las simetrías de un cuadrado, con base paralela al margen inferior de la

116página, numerando sus vértices con los números 1,2,3,4 en el sentido contrario a las agujas del reloj a partir del vértice inferior derecho, así como se indica en el gráfico siguiente: 3 2 4 1 Gràfica 2.12.2 Consideremos ahora: ro= ausencia de movimiento, es decir la función idéntica de S4: Además r1,r2, y r3 : giros en el sentido contrario a las agujas del reloj de 90o, 180o y 270o, respectivamente. h y v: rotaciones al rededor del eje horizontal( recta que pasa por el centro del cuadrado, paralela a la base) y vertical (recta que pasa por el centro del cuadrado, perpendicular a la base), respectivamente. d1 y d2: rotaciones al rededor de la diagonal que une el vértice superior izquierdo con el vértice inferior derecho y al rededor de la diagonal que une al vértice superior derecho con el vértice inferior izquierdo, respectivamente. En este sentido ro = idéntica, r1 = (1,2,3,4). r2 = (1,3)o( 2, 4), r3 = =: (1,4,3,2). h =(3,4)o(1,2) , v = (3, 2 )o(1 , 4), d 1:= (2,4). d2:= (1,3). La siguiente tabla demuestra que el conjunto i, r 1, r 2, r 3, v, h, d 1, d2, con la composición de funciones, es un grupo.

0231122

2013211

130212

312021

2121033

1210322

1203211

2132100

213210

rrrrvdhddrrrrhdvddrrrrdhdvvrrrrdvdhhhvddrrrrrddhvrrrrrvhddrrrrr

ddvhrrrrrddvhrrrr

EEssttee ggrruuppoo eess llllaammaaddoo eell ggrruuppoo ddee llaass ssiimmeettrrííaass ddeell ccuuaaddrraaddoo,, ggrruuppoo óóccttiiccoo oo ggrruuppoo ddiihheeddrraall ddee oorrddeenn 88

2.13. OTROS GRUPOS DE PERMUTACIONES Generalizaremos el caso del grupo de permutaciones S3, al conjunto A=1,2 ..., n de la siguiente manera:

117Definición 2.13.1Si a1 , ..., ak son k elementos de A=1,2 ..., n,diferentes entre si, entonces a= (a1 ... ak) es un k-ciclo o un ciclo de longitud k, si a∈Sn definida para x∈A como

a(x) = ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

∈∀≠

≤+

k..., 1,2,i,ax si x,a=x si ,a

k<icon1 ,a=x si ,a

i

k1

i1i

Es decir, a = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

132

k21

a...aaa...aa

. Además afirmaremos

que x∈a, si x=ai, para algún i∈1,2, ...k. Pero si x≠ai, para cualquier i∈1,2, ...,k diremos que x∉a. Por último, si a=(x1 ... xk) y b =(y1 ... yr), son dos ciclos de Sn, diremos que a y b son ciclos disyuntos, notado a∩b=∅, si x1, ..., xk∩y1, ..., yr=∅. 2.13.2. i) Según la defición anterior si x∈1,2 ..., n, entonces x∈a si y solo si a(x)≠x. En consecuencia, x∉a si y solo si a(x)=x. Además si a∩b=∅ y x∈a, entonces x∉b. Pero como también a(x)∈a, si x∈a, entonces al considerar a∩b=∅, se infiere que a(x)∉b. ii) Si a y b son ciclos de Sn, entonces a y b son disyuntos si y sólo si, para todo x∈1, ... ,n se cumple a(x)=x o b(x)=x. Por que si a y b son disyuntos y x∈1, ... ,n se tiene que a(x)=x o a(x)≠x. Si a(x)=x, se concluye que a(x)=x o b(x)=x. Pero si a(x)≠x, entonces de acuerdo con i) x∈a y por ser a∩b=∅ se infiere x∉b, es decir b(x)=x. Luego a(x)=x o b(x)=x. Asì hemos demostrado si a y b son disyuntos, entonces para cualquier x, si x∈1, ... ,n, entonces a(x)=x o b(x)=x. Recíprocamente si para cualquiere x∈1,2, ...,n es vàlido afirmar la disyuntiva a(x)=x o b(x)=x y a la vez a y b no fueran disyuntos, entonces existiría x∈1,2, ...,n tal que x∈a y x∈b. Razón para concluir que a(x)≠x y b(x)≠x, para algún x∈1,2, ...,n . Pero esto no es posible ya que para cualquier x∈1,2, ...,n, a(x)=x o b(x)=x. iii) Si a y b son disyuntos, entonces aob=boa, ya que si x∈1,2, ...,n, entonces por ii) a(x)=x o b(x)=x. Si a(x)=x tendremos boa(x)=b(x) y de otra parte aob(x)=b(x), porque de todas maneras b(x)∉a, ya que si x∈b, entonces b(x)∈b y como a∩b=∅, se infiere que b(x)∉a. Y si x∉b, entonces b(x)=x y como x∉a, porque a(x)=x, se deduce que b(x)∉a. Luego boa(x)=aob(x), si a(x)=x. Anàlogamente si b(x)=x, se demuestra intercambiando a por b y b por a en el razonamiento anterior que aob(x)=boa(x), para cualquier x∈1,2, ...,ny en consecuencia aob=boa, si a y b son disyuntos. iv) Si a y b son disyuntoos y j,k∈ℤ* entonces es inmediato que aj y bk, son ciclos disyuntos, porque si x∈ak entonces x∈a. Observe que si para probar la implicación x∈ak entonces x∈a, si k∈ℤ*, utilizamos indución para comprobar su validez para los casos k∈ℕ, necesitamos de todas maneras confrontar la validéz de la Definición 22..33..22 cuando a∈Sn , en vista dicha implicación es obvia si k=0.

118Pero al aceptar su validéz hasta k, al abordar el caso k+1, se trata de comprobar que si x∈ak+1, entonces x∈a, o equivalentemente demostrar que si x∉a, entonces x∉ ak+1, para lo cual al aceptar que x∉a la hipótesis de inducción indica que x∉ak y por consiguiente ak(x)=x..Entonces por el Corolario 1.4.20, por ser <SA,o> asociativa, se tendría que ak+1(x)=aoak(x), y por lo tanto ak+1(x)=a(ak(x))=a(x)=x. v) Si a,b son ciclos disyuntos de Sn tales que aob=i= función idéntica de Sn, entonces a = b = i. Probar que a=i, equivale a verificar que a(x)=x, para cualquier x∈1,2, ...,n. Lo cual significa demostrar, según 2.13.2, que para cualquier x∈1,2, ...,n, x∉a (1). Veámoslo: En efecto como a y b son disyuntos, iii) implica que boa=aob=i, lo cual permite deducir que para cualquier x, si x∈1,2, ...,n, entonces b(a(x))=x (2). Por lo tanto si (1) no fuera vàlido existiría x∈1,2, ...,ntal que x∈a y en consecuencia a(x)∉b, ya que a(x)∈a y a∩b=∅. En esas condiciones b(a(x))=a(x). Propuesta que se contradice con (2), en vista de que a(x)≠x, puesto que x∈a. Luego a=i. Análogamente, intercambiando a por b y b por a en el razonamiento anterior se infiere que b=i. Otra manera de comprobarlo es la siguiente: Como a y b son disyuntos por ii) sabemos para cualquier x∈1,2, ...,n, se tiene que a(x)=x o b(x)=x. Por lo tanto si existiera x∈1,2, ...,n tal que x∈a, entonces a(x)≠x y por lo tanto b(x)=x. Pero como según iii) boa=aob=i, se deduce que b(a(x))=x. Pero esto no es posible en vista de que b(a(x))≠x , porque como a(x)∉b, ya que a(x)∈a y a∩b=∅, se infiere b(a(x))=a(x) y a(x)≠x. Luego a=i. Intercambiando a por b y b por a en el razonamiento anterior se demuestra que b=i. El siguiente teorema muestra el comportamiento de ai. Teorema 2.13.3. Si a=(a1 ...ak) es un k-ciclo de Sn , i∈ℕ+ y as∈a entonces ai(as)=ar con r∈[1,k] y r≡s+i modk. Demostración. Razonando por inducción sobre i; si i =1, como s∈[1,k] al considerar s = k, ai(as) = a(ak )= a1 verificándose nuestra afirmación, puesto que 1≡k+1.modk Pero si s∈[1,k) entonces a (as ) = as+1 y también logramos el objetivo, puesto que s+1∈[1 k] y s+1≡s+1modk.. Por último, para i∈ ℕ +, consideremos a manera de hipótesis de inducción ai(as)=ar, con r∈[1,k] y r≡s+i modk, entonces ai+1(as)=a(ai(as))=a(ar)=at con t≡1+r modk. Pero como r≡s+i modk, entonces 1+r≡s+i+1 modk, obtenemos que t≡s+i+1 modk.

119Luego ai(as)=ar con r∈[1,k] y r ≡s+i modk. Teorema 2.13.4 Si (a1 ... ak) es un k-ciclo en Sn y f∈Sn , entonces fo(a1 ... ak)o f-1 = (f(a1) ... f(ak)). Demostración. Si f-1(x)=y≠ai , para cualquier i∈1,2, ... ,n, entonces fo(a1, ... ,ak) f-1(x)=f(y), y de otra parte; (f(a1) ... f(ak))(x)=x, porque x≠f(ai), para cualquier i∈1,2,..,k, ya que si para algún i se tuviera x=f(ai), entonces f-1(x)=ai y ello no es posible puesto que f-1(x)≠ai , para cualquier i∈1,2, ... ,n Pero si f-1(x)=ai, para algún i∈1.2,...,n entonces fo(a1 ... ak)of−1(x)=f(aj) con j∈[1,k] y j≡i+1 modk y a su vez: (f(a1) ... f(ak)(x)= (f(a1) ... f(ak)(f(ai))= f(ar), con r∈[1,k] y r ≡i+1 modk. Es decir r,j∈[1,k] y r ≡j modk y por consiguiente r=j. Luego fo(a1, ... ,ak)o f-1 (x)= (f(a1), ... f(ak))(x), para cualquier x∈1,2, ...,n y en consecuencia fo(a1, ... ,ak)o f-1 = (f(a1), ... f(ak). Teorema 2.13.5 Si s=(a1, ... ,ak) es un k-ciclo de Sn, entonces :i) sk = i= función idéntica en Sn. ii) k es el menor entero positivo tal que sk

.=i.

Demostración. Sabemos que sk(aj) =ar, con r∈[1 k] y r≡j+k modk, pero como j+k≡j modk; entonces r≡j modk y por consiguiente r =j. Es decir sk=i. Si 0<j<k, entonces sj(a1)=ar , con r≡j+1 modk, pero en estas condiciones r≠1, porque si r=1, ello implicaría 0≡j modk, lo cual no es posible. Luego sj≠i, si 0<j<k y por lo tanto k es el menor entero positivo tal que sk=i. Con la intención de probar que toda permutación de Sn es la composición de ciclos disyuntos definimos la siguiente relación en A=1,2, ...,n Definición 2.13.6. Si a∈Sn definimos R en A=1,2, ...,n de la siguiente manera: Si r,j∈A diremos rRj si existe p∈ℤ tal que r=ap(j). 2.13.7 R es una relación de equivalencia en A: En efecto, si j∈A, entonces jRj, puesto que j=a0(j), en vista de que a0=i=función idéntica.. Además, si r,j∈A tales que rRj, entonces existe p∈ℤ tal que r=ap(j) y en consecuencia j=a-p(r), es decir jRi. Por último, si j,r,s∈A tales que jRr y rRs, entonces existen p,q∈ℤ tales que j=ap(r) y r=aq(s). Por lo tanto j=ap+q(s). Y en consecuencia jRs. Luego R es una relación de equivalencia en A y por ello A/R es partición de A. De tal manera que si a las clases de i, para i∈A, la llamamos la órbita de i, según a, y la notamos O(i), se tendrá que O(i)=at(i)/t∈ℤ . En estas condiciones el Teorema 1.13.12 implica el siguiente resultado:

120Teorema 2.13.8 Si A es un conjunto finito, y a∈SA, entonces A/R=O(i)/i∈ℤ es una partición de A. Es decir:, si s,t∈A, entonces i) O(s)⊆A y O(s)≠∅; ii) A=U

Zs∈O(s) , iii)

O(s)∩O(t)=∅ o O(s) =O(t) .

Ejemplo 2.13.9 Si f∈S6 se define como: f= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛561342654321

. Entonces: f(1)=2 , f(2)=4 ,

y f(4)=1. Luego O(1)= 1,2, 4. También como f(2)=4, f(4)=1 y f(1)=2. se infiere O(2)=O(1). De otra parte dado que f(3)=3, obtenemos O(3)=3.Análogamente por ser f(4)=1, f(1)=2 y f(2)=4, se concluye que =O(4)=O(1). Por último como f(5)=6 y f(6)=5, entonces: O(5)=O(6)=5,6 . En conclusión A/R=O(1),O(3),O(5) y además f es la composición de ciclos dusyuntos puesto que f=(1 2 4)o(5 6) El siguiente teorema demuestra la validez de esa cualidad. Teorema 2.13.10. Si a∈Sn y s∈A=1,2, ...,n, entonces: a) Existe un. menor entero positivo, notado o(s), tal que ao(s)( s) = s. ,b) O(s)=s,a(s), ... ,ao(s)-1 (s)) Toda permutación de Sn es una composición de ciclos disyuntos de Sn. Más exactamente si O(x1) , ... ,O(xk) son las diferentes órbitas de los elementos de A bajo a, entonces los ciclos c(x1)=(x1,a(x1), ... , 1)x(o 1a − (x1)),

...,c(xk)=(xk,a(xk), ... , )(xa k1)o(xk − ) son disyuntos y además a=c(x1)oc(x2)o ...oc(xk)

Demostración. a) Como O(s)=ak(s)/k∈ℤ⊆A, entonces O(s) es un conjunto finito y en consecuencia existen i,j∈ℤ con i<j tales que ai(s)= aj(s). Luego aj-i(s)=s y como j-i∈ℤ+ se deduce que j-i∈K=r∈ℤ+/ar(s)=s y así se concluye la existencia o(s)=minK. Es decir o(s) es el menor entero positivo tal que ao(s)(s)=s. b) Es inmediato que O(s)=s,a(s), ... ,ao(s)-1 (s), ya que si k∈ℤ, entonces de acuerdo con el Teorema del Residuo (2.5.4) existen c,r∈ℤ tales que k=co(s)+r, y 0≤r<o(s) y por consiguiente ak(s) = ar(s). Luego O(s) ⊆s,a(s), ... ,ao(s)-1 (s)y como obviamente s,a(s), ... ,ao(s)-1 (s)⊆O(s), entonces O(s)= s,a(s), ... ,ao(s)-1 (s). c) AAddeemmááss,, ssii O(x1) , ... ,O(xk) son las diferentes órbitas de los elementos de A bajo a, entonces los ciclos c(x1)=(x1,a(x1), ... , 1)o(x1a − (x1)), ...,c(xk)=(xk,a(xk), ... , )(xa k

1)o(xk − ) son disyuntos. Y

además de acuerdo con el Teorema 2.13.8 ii) A=Uk

i 1i )O(x

=(1)

Por último a = c(x1)o ...oc(xk). Puesto que si x∈A, como por (1) x∈O(xi), para algún i∈1,2, ...,k, se infiere que existe j∈1,2, ...,o(xi) x=aj(xi). Entonces c(x1)o ...oc(xk)(aj(xi))= (xi,a(xi), ... ,ao(x

i)-1 (xi))(aj(xi))= aj+1(xi) =a(aj(xi))= a(x). Luego a(x)= c(x1)o ...oc(xk)(x), para cualquier x∈A y

así a = c(x1)o ...oc(xk) Es decir toda permutación se puede expresar como un producto o como una composición de ciclos disyuntos.

121Definiremos que es una transposición para demostrar que toda permutación es un producto o composición de ellas. Definición 2.13.11. Si a∈Sn , con n≥2, diremos que a es una transposición si existen c,d∈1,2, ..,n, c≠d tales que a=(c,d). Teorema 2.13.12. Si a∈Sn, n≥2, entonces a es una composición de transposiciones. Demostración. Como toda permutación es la composición de ciclos disyuntos, basta demostrar que todo ciclo es una composisición de transposiciones. Más exactamente probaremos que (a1, ...,an) = (a1 an)o(a1 an-1)o ... o(a1 a2). (1) En efecto, (1) es evidentemente si n=2. Al aceptarla para n, tenemos que (a1 a2 ... ...an an+1) = (a1 an+1 )o(a1 ...an) (1) , ya que si a=(a1 ...an) , b= (a1 an+1) y c= (a1 a2 ... ...an an+1), entonces para i∈ℤ 1≤i<n, tenemos que c(ai)=ai+1 y b(a(ai))=b(ai+1)=ai+1, puesto i+1≠1 e i+1≠n+1. Luego para i∈ℤ 1≤i<n, c(ai)=b(a(ai))= ai+1. Además c(an)=an+1 y b(a(an)) = b(a1) = an+1. Es decir c(an)= b(a(an)) = an+1. Por ultimo como c(an+1)=a1 y b(a(an+1))=b(an+1)=a1 se deduce que (a1 a2 ... ...an an+1) = (a1,an+1 )o(a1, ...,an). Por lo tanto al acudir a la hipótesis de inducción se deduce que (a1 ...an an-1) = (a1 an+1)o(a1 an)o ... o(a1 a2). Luego si n∈ℕ y n≥2, entonces (a1, ...,an) = (a1 an)o(a1 an-1)o ... o(a1 a2). Teorema 2.13.13. Si n≥2 y µ1 , µ 2 , µ k son k transposiciones tales que α= µ1oµ 2 o .. o µk =i , entonces k es par. Demostración. Veamos primero que si m∈α entonces k no puede ser el menor entero positivo tal que m∈µk, por que de ser así se tendría que µ k = (m,x) y como m∉ µ i para 1≤i<k, entonces α(m)=x y según la Definición 2.13.11 se infiere que m≠x, ello contradice el que α(x)=i(x)=x. Si i es el menor entero positivo tal que m∈µi, entonces se presentan las siguientes alternativas: (1) µi=(m a) = µi+1; 2) a≠b, µi=(m a) y µi+1=(m b); 3) b≠a,c≠a,b≠m,c≠m, µi=(m a) y µi+1=(b,c) y 4) µi=(m a) y µi+1=(a,b). Observemos que en (1) (m,a)o(m,a)=i. Para (2) (m a)o(m b)=(a b)o(m a), Análogamente en 3): (m a)o(b c)=(b c)o(m a) y con 4) (m a)o(a b)=( a b)o(m b). No es posible que siempre ocurra una de las opciones 2), 3) o 4), porque así se obtendría m∈µk y m∉µj , para todo j∈1,2, ...,k-1. Pero ya vimos que esto no es posible. Entonces para cada m∈α en algún momento ocurre ls opción 1). Es decir α es la composición de parejas de transposiciones del tipo (m a)o(m a) y por tanto α es la composición de un número par de transposiciones. Corolario 2.13.14. Una permutación no puede ser expresada a la vez como la composición de un número par de transposiciones y la composición de un de número impar de transposicones. Demostración. Si α=(a1 b1)o(a2 b2)o ... o(an bn)= (c1 d1)o(c2 d2)o ... o(cm dm), entonces como (ci di)-1=(ci di), se tiene que (a1 b1)o(a2 b2)o ... o(an bn)o(cm dm)o ... o(c1 d1)=i. Por lo tanto, de

122acuerdo con el Teorema anterior n+m es un entero par, razón para deducir que o n y m son pares o n y m son impares. Según el corolario anterior tiene cabida la siguiente definición: Definición 2.13.15. Una permutación es par o impar si se puede expresar como la composición de un número par o impar de transposiciones. Teorema 2.13.16 Si n∈ℤ y n≥2, entonces el número de permutaciones pares de Sn es igual al número de permutaciones impares de Sn. Demostración. Si An es el conjunto de las permutaciones pares de Sn y Bn el conjunto de las permutaciones impares de Sn, al definir f de An en Bn como f(α)=αo(a b), entonces al ser α una permutación par se se deduce que αo(a b) es impar. Es decir f es una función de An en Bn que además es inyectiva, ya que si αo(a b)=βo(a b), entonces por ser Sn un grupo se infiere que α=β. Pero también f es sobre porque si β∈Bn, entonces βo(a b)∈An tal que f(βo(a b))= βo(a b)o(a b)=β. Luego f es una biyección de An en Bn y por esa razón An y Bn tienen el mismo número de elementos. Sabiendo ya que Sn tiene n! elementos, vamos a concluir con el siguiente teorema: Teorema 2.13.17. An es un grupo de Sn con n!/2. Demostración. En efecto como Sn=An∪Bn y según el Corolario,2.13.14 An∩Bn=∅, entonces o(Sn)=o(An)+o(Bn). Pero como según el teorema anterior o(An)=o(Bn), se infiere que o(An)=n!/2. Además obviamente la composición de dos permutaciones pares es par y si α=(a1 b1)o(a2 b2)o ... o(a2K b2K) es una permutación par, entonces α-1=(a2K b2K)o ... o(a1 b1) es tambien par. Con esto basta para concluir que An es un grupo, porque como An⊆ Sn y o=composición de funciones es operación en Sn, entonces de acuerdo con el Teorema 1.4.3 <Sn ,o> es asociativa.

2.14 EJERCICIOS 2.14.9. Demuestre que si n∈ℤ+, entonces Sn tiene n! elementos. 2.14.10. Si f=(1 2 4) ; calcular :a) f2, b) f3, c)f -2 d) f--3. 2.14.11. Compruebe la veracidad de las tablas de las simetrías del triángulo y el cuadrado

1232.14.12. i) Compruebe que las simetrías de un rectángulo, que no sea un cuadrado,

son : I = Idéntica, h = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛34124321

, v = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛12344321

y, r = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21434321

. Construya la

tabla respectiva y analice si se trata o no de un grupo ii) ¿ Cuales son las simetrías de un paralelogramo, que no sea un rectángulo?. ¿Se trata de un grupo?. 2.14. 13.. Si (1,2,3)∈S3 , ¿de cuantas formas se puede expresar (1 2 3) como un producto de transposiciones? 2.14. 14.- Sean a = (1 2 3)o(5 6, ) y b = (4 5)o(1 3 6), calcular bab-1. 2.14. 15.- Si a=(1,2)o(5,7,8), encuentre b tal que bab-1=(4,6)(2,7, 8). 2.14. 16.- Si n>3, demuestre que el número de permutaciones en Sn que son el producto de dos transposiciones disyuntas es n(n-1)(n-2)(n-3)/8. Sug[ Al considerar (a,b)o(c,d) del tipo solicitado, en la posición d, se ubicarán n-3 posibilidades, en la c ; n-2 ; en la b; n-1 y en la a;n. De tal manera que el total será de n(n-1)(n-2)(n-3). La división por 8 se justifica por que cada (a,b)o(c,d) se repite de las siguientes 8 formas: (a,b)o(c,d), (a,b)o(d,c), (b,a)o(c, d) ,(b, a)o( d,c), (d,c)o(a, b),(d,c )o(b, a) (c,d)o(a,b) y (c,d)o(b,a).

2.14. 17.- i) Si t=(1 3 4 5), encuentre i∈ℤ tal que ti sea un 4-ciclo. ii) Si t = (1 2 4 6 5 3), encuentre i ∈ ℤ tal que ti sea un 6-ciclo. iii) Si t=(1 4 8 7 6 2 3 5) encuentre i∈ℤ tal que ti sea un 8-ciclo. ¿Que conclusión podría ensayarse para intentar generalizar lo anterior.? Sug:[ Si α es un k periodo, entonces αk=i y en consecuencia αk-1=α-1.] 2.14. 18. Encuentre el error en el siguiente proyecto de demostración del Teorema 2.13.13: Al razonar por el absurdo podemos suponer la existencia de α∈Sn tal que α es una permutación composición del mínimo nùmero entero positivo k de transposiciones. Entonces α=u1ou2o ... ouk, donde u1,u2, ... ,uk, son transposiciones y por definición u1ou2o ... ouk-2≠i, ya que k-2 es impar por ser k impar. Pero β= u1ou2o ... ouk-2o(a b)o(a b)≠i. Esto no es posible ya que β es también la composición de k transposiciones. 2.14. 19.- Analizar la veracidad de la siguientes afirmaciones: i) Toda permutación de A = 1,2, ... ,n es un k-ciclo. ii) Si a y b son dos ciclos de Sn, entonces aob = boa. iii) Si a y b son dos ciclos disyuntos de Sn,, entonces aob = boa. iv) Si a = (x1 ... xk) y b = (y1 ... yj) son par de elementos de Sn, y f = aob, entonces f es un kj

ciclo. v) No es posible expresar una permutación de Sn, como una composición de ciclos no disyuntos. vi) La ecuación i1ox-1

= (3 2 1) tiene solución en S3. vii) (1,2) se puede expresar como composición de 3-ciclos disyuntos. viii) Si s,t∈Sn y t es una transposición, entonces sts-1 es una transposición.

124

CAPÍTULO 3.. AANNIILLLLOOSS Es indiscutible la importancia del sistema formado por el conjunto ℤ de los números enteros y sus dos operaciones usuales: suma y multiplicación. Entre sus propiedades se destacan: i) <ℤ,, +> es un grupo abeliano; ii) <ℤ , o> es una estructura algebraica asociativa y iii) cumple las dos leyes distributivas del producto respecto de la suma, a saber: ao(b+c)=aob+aoc y (b+c)oa= boa+coa, si a,b,c∈ℤ. La idea es dotar a los grupos abelianos de otra operación de tal manera que, al estilo de los enteros, satisfagan las propiedades asociativas y distributivas.

3.1. DEFINICIÓN Y COMENTARIOS DDeeffiinniicciióónn 3.1.1. Sí + y o son operaciones en un conjunto A, diremos que la tripla < A , +, o> es un anillo, sí: Ai: < A , +> es un grupo abeliano. Aii): < A ,o.> es una estructura algebraica asociativa. Aiii): ao(b+c)=aob+aoc y (b+c)oa =boa+coa, si a,b,cεA. 3.1.2. El conjunto A de la Definición anterior no es necesariamente un subconjunto de los números reales y en consecuencia sus dos operaciones pueden o no coincidir con la suma y multiplicación usuales de reales. 3.1.3 Por inducción matemática es fácil verificar que si < A , + , o> es un anillo y a1, ... ,an ,aε A, entonces ao(a1+ ... +an)= aoa1+ ... +aoan y (a1+ ... +an)oa=a1oa+ ... +anoa.(Ver Ejercicio 3.2.3) 3.1.4. Al módulo de < A , +> lo notaremos como 0 , al inverso de aεA, lo escribiremos como -a, y lo llamaremos el inverso aditivo de a. 3.1.5. Mientras no se preste a confusión, en vez de afirmar "< A , +,o> es un anillo", diremos abreviadamente " A es un anillo", aceptando la existencia de las operaciones + y o definidas en A, las cuales satisfacen las condiciones de la Definición 3.1.1 Además, en vez de aob notare-mos ab. 3.1.6. Si ℤℤ, y ℚ ssoonn llooss ccoonnjjuunnttooss ccoonnssttrruuiiddooss eenn 1.15,, nnoo eess ddiiffíícciill pprroobbaarr qquuee <<ℤℤ,,++,,..oo>> yy

<<ℚℚ,,++,,oo..>> ssoonn aanniillllooss ((VVeerr EEjjeerrcciicciioo 3.2.1 ii)))) PPoorr aahhoorraa sseegguuiirreemmooss aacceeppttaannddoo qquuee ssii ℝℝ es eell ccoonnjjuunnttoo de los números reales y + y .o son la suma y multiplicación usuales de reales, entonces <ℝ,+,o> es un anillo. Además no tiene problemas demostrar que si nεℤℤ, también <nℤℤ, + , o> es un anillo.

125

Otro anillo conocido es el de los complejos, <ℂ,+, o >, donde ℂ es el conjunto de los números complejos y + y o la suma y multiplicación usuales de los mismos definidas en 1.1.24 y 1.1.25 3.1.7. De 11..33..2211, se deduce que <Mnn(ℂ),+,o>, es un anillo. Recuerde que Mnn(ℂ) es el conjunto de las matrices complejas con n-filas y n-columnas y + y o las respectivas suma y producto de matrices cuadrada de n filas y n columnas. 3.1.8. También es sencillo demostrar que si ℝ eess eell ccoonnjjuunnttoo ddee llooss nnúúmmeerrooss rreeaalleess,, [[00,,11]]==xx∈∈ ℝℝ//00≤≤xx≤≤11 yy A = C[0,1] = f: [0,1]→ℝℝ/f es una función continua en [0,1], entonces A con la suma y multiplicación de funciones, es un anillo. Teniendo en cuenta que éstas se definen, para a∈A de la siguiente manera: (f+g)(a)=f(a)+g(a) y (fg)(a)= f(a)g(a), respectivamente. Observe que las operaciones en el lado izquierdo de las igualdades inmediatamente anteriores son las que estamos definiendo, mientras que las del derecho son las usuales en ℝℝ. 3.1.9. Sea A un anillo, E un conjunto y AE=f/f es una función de E en A, si para f,g∈ AE, definimos f+g, como (f+g)(e)=f(e)+g(e) y fg(e)=f(e)g(e), siempre que e∈E y las operaciones en f(e)+g(e) y f(e)g(e), son la suma y el producto de A,respectivamente No es difícil demostrar que las relaciones definidas son operaciones en AE que lo presentan como un anillo. (Ver Ejercicio 3.2.5) 3.1.10. Si en el Ejemplo anterior, consideramos el caso particular E=ℕ=Conjunto de los números naturales, entonces Aℕ, es un anillo . Aℕ es conocido como el conjunto de todas las sucesiones de términos en A. Un caso particular es el de ℚℕ, que resulta ser un anillo

conmutativo con elemento unitario, puesto que ℚ también es un anillo conmutativo con

elemento unitario. El elemento unitario de ℚℕ, es la sucesión an=1, si n∈ℕ. En este caso, si a∈Aℕ y n∈ℕ, escribrimos an en vez de a(n). También se acostumbra a abreviar a =(an)n∈N. La suma y multiplicación definidas en 3.1.9 se conocen como la suma y multiplicación de sucesiones en A

3.1.11. Obviamente, si es el conjunto de los complejos Ka b

/a, b0 0

⎧ ⎫⎛ ⎞= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭ y + y o,

corresponden a la suma y multiplicación de matrices, entonces <K, +, o> es un anillo. 3.1.12. El conjunto A=a+b√2/a,bεℕℕ, con la suma y multiplicación usuales de números reales, es un anillo. 3.1.13 ℤℤnn, con la suma y multiplicación residuales módulo n, es un anillo, así lo confirman los Teoremas 2.5.20 y 2.5 24.

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3.1.14. En la Definición 3.1.1 es apreciable la no exigencia de la propiedad modulativa en la estructura <A , o >. Al respecto, podría pensarse que las condiciones de dicha Definición, impliquen que < A,o> sea modulativa, como sucede con la propiedad conmutativa de < A , +>, inferible si < A, + , o>, es tal que < A , +> es un grupo y < A ,o > es una estructura algebraica modulativa que además satisface Aii y Aiii. En efecto, si notamos como 1 al módulo de < A , o> y a,bεA entonces, de una parte, (a+b)(1+1)=(a+b).1+(a+b).1=(a+b)+(a+b), y por la otra (a+b)(1+1) = a(1+1)+b(1+1) =(a+a) + (b+b). De tal manera que (a+b)+ (a+b)=(a+a)+(b+b) .En consecuencia al aplicar asociativa y cancelativas a izquierda y derecha sucesivamente, obtenemos : b+a=a+b. Pero en nuestro caso no es así, porque existen anillos que no tienen módulo multiplicativos. Por ejemplo, el anillo de los enteros múltiplos de 2 ,<2ℤ,+, o> ,carece de módulo para la multiplicación. Cuando un anillo tiene módulo de la multiplicación, como es el caso de los anillos en 3.1.6., a excepción del anillo de los enteros múltiplos de n, si n≠± 1; es calificado como el elemento unitario del anillo y lo notaremos como 1. Obviamente a esos anillos los clasificaremos como anillos con elemento unitario, o anillos con identidad Antes de continuar con otros comentarios sobre la Definición de anillos veamos la versión de la Definición 22..33..22, al grupo abeliano < A , +>

3.1.15 Si A es un anillo a∈A y n∈ℤℤ, entonces: ⎪⎩

⎪⎨

⎧≥=

0<n si (-n)(-a),1n si a,+1)a-(n

0=n si 0,na

Podemos presentar ahora la traducción del Teorema 22..33..44 al grupo <A, +>: 3.1.16. Si A es un anillo, entonces : i) La ecuación a + x = b, tiene una única solución en A., siempre que a,b∈A ii) Si a,b∈A tales que a + b = a, entonces b = 0. iii) Si a,b∈A tales que a + b = 0, entonces b=-a. iv) Si a,b∈A , entonces-(a + b) = (-a) + (-b). v) Si a∈A, entonces -(-a) = a. vi) Si a,b∈A tales que a + b = a + c, entonces b = c. vii) Si a∈A y n,m∈ℤℤ,, entonces a) na∈A , b) (n-1)a+a = na, c) na = -n(-a), d) na+ma = (n+m)a, e) m(na)=(nm)a. De la nota 3.1.15 se deduce que en "na" no está planteado el producto de A y en particular al considerar el entero 0 y a∈ A, en el resultado 0a=0, no equivale a 0oa = 0, donde 0 es el módulo de < A , +> según 3.1.4 y o es el producto de A. En el siguiente Teorema estudiaremos precisamente las expresiones 0oa y ao0, así como a(-b), (-a)b y -(ab). Teorema 3.1.17 Si A es un anillo, a,b∈ A y 0 es el módulo de < A , +>, entonces : i) a0 =0a = 0. ii) a(-b) = (-a)b = -(ab).

127

DEMOSTRACIÓN.. Como 0 es el módulo de < A , +>, 0+0=0. Por consiguiente: a(0+0) = a0. Aplicando ahora Aiii, transformamos la igualdad anterior en : a0 + a0 = a0. Por lo tanto, según 3.1.16 ii), a0 = 0 Análogamente, considerando (0+0)a = 0a, se demuestra : 0a=0. Para demostrar ii), basta verificar que ab + (-a)b=0 = ab + a(-b) = 0, ya que la conclusión iii) de 3.1.16 nos llevaría a ii). Lo cual es inmediato, pues al aplicar consecutivamente Aiii, G3 y i): ab + (-a)b = (a+ (-a))b=0b=0. Análogamente se demuestra que ab+a(-b) = 0. 3.1.18. Si A es un anillo y a,bεA, a la solución de la ecuación x + b = a, a saber α= a + (-b), la notaremos abreviadamente: α=a - b. Retornando a los comentarios sobre la definición de anillos, prosigamos con dos notas acerca de los anillos con elemento unitario. 3.1.19. El conjunto C = 0, con las operaciones + y o definidas como 0 + 0 = 0 y 0o0 = 0, es evidentemente un anillo con elemento unitario tal que 1=0. Este anillo, lo llamaremos el anillo nulo. Sin embargo, si A es un anillo con elemento unitario y A es diferente del anillo nulo, entonces 1≠0, porque al ser A un anillo no nulo, existe aεA, a≠O y por lo tanto, de una parte a=1a y de la otra, si 1=0, según el Teorema 3.1.17 i), a=1a=0a =0. Lo cual contradice el supuesto a≠0. Luego 1≠0 3.1.20.Los anillos a los que haremos referencia en adelante serán no nulos, al menos que digamos lo contrario. Es decir nuestros anillos tendrán como mínimo 2 elementos. 3.1.21. En una estructura algebraica arbitraria la existencia y unicidad de un módulo lateral no garantiza la existencia del módulo de dicha estructura. Por ejemplo en <ℝ, - > 0 es un módulo lateral derecho único y a pesar de ello <ℝ , ->, no es modulativa. Pero en un anillo la existencia y unicidad de un elemento unitario lateral implica la existencia del elemento unitario de dicho anillo. Demostremos esta afirmación: Si 1 es elemento unitario único, a la izquierda, de un anillo A, pretendemos demostrar que a1=a, si aεA. En efecto, al considerar a,bεA, tenemos : (1+a+(-(a1)))b = 1b+ab+(-(a1))b Por 3.1.15 = 1b+ab+((-a)1)b Por Teorema 3.1.17 ii). = 1b+ab+(-a)(1b) Por Aii. = b+ab+(-a)b Por hipótesis. = b+ab+(-(ab)) Por Teorema 3.1.17 ii). = b+(ab+(-(ab)) Por G1. = b+0 Por G3. = b. Por G2

128

Luego (1+a+(-(a1)))b=b y la unicidad del módulo lateral a la izquierda implica 1+a+(-(a1) = 1. En consecuencia al aplicar sucesivamente 3.1.16 i), iii) y v) se concluye a+(-(a1)=0, y por lo tanto –(a1)=-a. Luego a1=a 3.1.22. Precisamente la multiplicidad de un elemento unitario lateral implica la no existencia del elemento unitario del anillo en cuestión(Ver Ejercicio 3.2.17). Al respecto, el anillo A de 3.1.11., cuenta con infinitos elementos unitarios a la izquierda, ya que para cualquier x∈ℂℂ ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00x1

Bx es un elemento unitario a la izquierda, razón por la cual dicho anillo carece de

elemento unitario. Si en la Definición de anillos no se exige la presencia del elemento unitario en <A , o >, mucho menos se requerirá el que sus elementos diferentes al cero tengan inversos multiplicativos. Más aún existen anillos con elementos unitario en los que abundan elementos carentes de inversos multiplicativos. Por ejemplo el anillo de los enteros tiene elemento unitario, pero los únicos elementos que tienen inversos multiplicativos son 1 y -1. En ℤℤ44 1 y 3 tienen inversos multiplicativos, pero los restantes no. Precisamente a los elementos de un anillo con elemento unitario que tengan inversos multiplicativos los ubicaremos con la siguiente etiqueta: Definición 3.1. 23 Si A es un anillo con elemento unitario 1 y aεA, diremos que a es una unidad de A, si existe bεA tal que ab=ba=1. Es decir a es un elemento unitario de A, si a tiene inverso multiplicativo en A. En tal caso al inverso multiplicativo de a lo notaremos: b=a−1. 3.1. 24 En todo anillo A con elemento unitario 1, éste es una unidad de A, porque 1.1=1. Pero la afirmación recíproca no es válido. Por ejemplo, en el anillo de los enteros, -1 es una unidad de ℤ, porque (-1)(-1) = 1, pero -1 no es el elemento unitario de dicho anillo. 3.1.25. La conclusión i) del Teorema 3.1.17 puede ser presentada de la siguiente manera : Si a,bεA y a=0 o b=0, entonces ab=0. El recíproco de esta afirmación no es válido. Por ejemplo de ℤℤ66 sabemos, de acuerdo a 3.1.13, que en particular con la suma y multiplicación residual módulo 6 es un anillo, y en él que 2.3=0, a pesar de que 2≠0 y 3≠0. 3.1.25 3.1.26. Veamos un par de eventos similares a los del ejemplo anterior:

En M22(ℂℂ): ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0000

0100

0001

, a pesar de que ambas matrices son no nulas en

M22(CC)Sin embargo, observe que ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≠⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0000

0100

0001

0100

129

Ejemplo 3.1.27. Sean ℝ el anillo de los números reales y E=[0,1] y ℝE el anillo definido

3.1.9. Si consideremos f y g definidas de la siguiente manera:f(x)=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠

⎞⎢⎣⎡

∈−

∈

,12

1x si ,

2

10,x si 0,

2

1x

y g(x)=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠

⎞⎢⎣⎡

∈

∈+−

,1 2

1 xsi 0,

2

10, xsi 1,2x

, no es difícil verificar que fg es la función nula, pero f y g son no

nulas. Este tipo de elementos merece una clasificación y por ello planteamos la siguiente Definición: Definición 3.1.28 Si A es un anillo y a∈ A, diremos que a es un divisor de cero en A si existe b∈ A, b≠ 0, tal que ab=0 o ba=0). Observe que los divisores de cero no nulos en ℤ6, son 2,3 y 4. Notándose que todos ellos tienen un factor en común con 6 diferente al entero 1. Los divisores de cero no nulos, en ℤ8, son : 2,4 y 6. Todos ellos tienen factor en común con 8 diferentes al entero 1. Es de esperarse entonces, que los divisores de cero no nulos en ℤn, sean aquellos elementos en este anillo que tienen factores en común con n, diferentes a 1. Con el fin de plantearnos la demostración del resultado anterior, definiremos los conceptos: "factor de un número” y “primo relativo". Además plantearemos unas propiedades de este par de ideas que posteriormente demostraremos.«» Definición 3.1.29 Si a, b,c∈ℤ, entonces: i) diremos que a es un factor de b, o que a divide a b, notado a|b, si existe k∈ℤ, tal que b=ka; ii) c es un factor común de a y b si c|a y c|b.. Ejemplo 3.1.30. Como 2⎟4 y 2⎟6, se infiere que 2 es un factor en común de 4 y 6. 3.1.31. Note que si c,aεℤ y c⎟a, entonces a/cεℤ.. AAdemás a/c<a, si c,aεℤ+ y c>1;. (Ver Ejercicio 3.2.13) Definición 3.1.32. Si m,n∈ℤ, diremos que los enteros n y m son primos relativos en ℤ, notado (n,m)=1; si 1 y –1 son los únicos factores en común en ℤ de n y m. Es decir: (∀m)(∀n)((m∈ℤ∧n∈ℤ⇒ (m,n)=1)⇔(∀c)(c∈ ℤ ∧c|m∧ c|n⇒c=1∨c=-1)).

130

Ejemplo 3.1.33. Los enteros 6 y 55 son primos relativos, pero 4 y 6 no lo son ya que 2 es uno de sus factores comunes«» Primo relativo es una formulación en la que figura un par de enteros. Se trata de un proyecto diferente al de número primo, correspondiente a aquellos enteros no factorizables en ℤ, de acuerdo a la siguiente definición. Definición 3.1.34 Si p∈ℤ y p no es una unidad en ℤ, entonces: i) p es factorizable o reducible en ℤ, si existen a,b∈ℤ tales que a y b no son unidades en ℤ y p=ab. ii) p es primo en ℤ o irreducible en ℤ, si p no es factorizable en ℤ.. 3.1.35. Observe que según la Definición 3.1.34, el entero 0 es factorizable en ℤ, puesto que 0,2∉1,-1 y 0=0.2.En consecuencia 0 no es primo en ℤ. Más adelante, en 4.14.20, veremos que el concepto de primo, según la Definición 4.14.16, es equivalente al de irreducible en ℤ, pero ellos no son equivalentes en dominios enteros en general. También es de anotar que al excluir en la Definición 3.1.29 el entero 0 como factor, apoyándonos en que cualquier entero es factor de él, obligaría a la misma restricción en la Definición anterior. Además, discutir la calificación de primo excluyendo a las unidades de ℤ, es decir al conjunto 1,-1, obedece únicamente a razones de tipo técnico, relacionada con la validez del Teorema Fundamental de la Aritmética, que estudiaremos próximamente. 3.1.36 Otra observación interesante es el carácter relativo del concepto de primo, al ser ampliada la Definición 3.1.34. de ℤ a un dominio entero D. Al respecto 3 es primo en ℤ, pero note que 3 no es un primo en en el conjunto ℚ de los racionales, ya que 3=(3/5).5, pero 3/5 y 5

son unidades en ℚ, puesto que todos los elementos no nulos de tienen inversos

multiplicativos en ℚ 3.1.37. De la Definición 3.1.34, sabemos que si p∈ℤ y p no es unidad en ℤ, entonces p es primo en ℤ ⇔(∀a) (∀b)(a,b∈ℤ ∧ p=ab⇒ a es unidad en ℤ ∨ b es unidad en ℤ).. 3.1.38. En consecuencia la Definición 3.1.34, también permite deducir que si p∈ℤ y p no es unidad en ℤ, entonces p no es primo en ℤ ⇔(∃a,b∈ℤ )(p=ab ∧(a no es unidad en ℤ ∧ b no es unidad en ℤ). 3.1.39. También son de inmediata verificación las siguientes propuestas :i) Si p es primo en ℤ y u es unidad en ℤ, entonces up es primo en ℤ ii) Si p y q son primos en ℤ y pq, entonces q=up, con u unidad en ℤ. Es decir p y q son asociados. (Ver Ejercicio 3.2.8 ). El resultado que demostraremos posteriormente en el Corolario 4.11.9, es el siguiente: 3.1.40 Si a ,b,c∈ℤ tales que a|bc y (a,b)=1, entonces a|c.

131

3.1.41. Observe que si a y b no son primos relativos es posible que a no sea un factor de c, a pesar de que a|bc. Por ejemplo 4|2o2, pero 4 no es un factor de 2. Con las definiciones planteadas y aceptando 4.11.9, estamos en condiciones de demostrar el siguiente Teorema:

Teorema 3.1.42. Si m∈ℤn

∗ = ℤn-0, entonces m es un divisor de cero en ℤn, si y sólo sí m y n no son primos relativos en ℤ. DEMOSTRACIÓN.- Razonando por el absurdo aceptemos la existencia de m∈ℤn

∗ tal que m es un divisor de cero, pero (m,n)=1. Entonces por ser m un divisor de cero en ℤn

∗ según la Definición 3.1.28, existirá sεℤn

∗, tal que ms≡0 modn. En consecuencia ms=kn, para algún k∈ℤ, y así la Definición 3.1.29 explica que n|ms. Pero como por hipótesis (n,m)=1, entonces por 3.1.37, se tiene que n|s, concluyéndose que s≡0 modn. Esto no es posible ya que s∈ℤn

∗ Recíprocamente, si m y n no son primos relativos, la Definición 3.1.32, nos informa que existe d∈ℤ-1,-1, tal que d|n y d|m Por consiguiente, 3.1.31., implica que n/d,m/dεℤ y en consecuencia al ser (n/d)m=n(m/d), inferimos que (n/d)m ≡0 modn. Pero como n>0, si consideramos d>1, por 3.1.31., n/d∈(0 , n). Es decir, m es un divisor de cero no nulo en ℤn. Si d<1, entonces como m y n son enteros no nulos, entonces d≠0. Pero como además d∈ℤ-1,-1, obligatoriamente d<-1, lo cual implica que 0<(n/-d)<n y (n/-d)∈ℤ. En consecuencia como (n/d)m ≡0 modn, también (n/-d)m ≡0 modn y por lo tanto m es un divisor de cero no nulo en ℤn Una consecuencia inmediata del resultado anterior es el siguiente corolario: Corolario 3.1.43. Si p es un número primo, entonces cero es el único divisor de cero en el anillo ℤp. DEMOSTRACIÓN.- En las condiciones del Teorema es inmediato que ℤp carece de divisores de cero no nulos, porque los potenciales divisores de cero no nulos en ℤp son 1,2, ... , y (p-1), y todos ellos son primos relativos con p, por ser p un primo. El Teorema anterior nos lleva a concluir que ninguno de los integrantes de esa lista es un divisor de cero. Luego ℤpcarece de divisores de cero En ℤ y ℤp, con p primo, observamos que ambos son anillos conmutativos carentes de divisores de cero no nulos. Este tipo de anillos los clasificaremos como dominios enteros, según la siguiente Definición: Definición 3.1.44. Un anillo conmutativo D es un dominio entero, si el único divisor de cero en D es cero.

132

Ejemplo 3.1.45 Aceptaremos que el anillo ℝ de los números reales es un dominio entero. Además son ejemplos de dominios enteros, los anillos ℤ y ℚ, definidos 1.15 (Ver Ejercicio

3.2.2) y el anillo ℂℂ ddee llooss nnúúmmeerrooss ccoommpplleejjooss ddeeffiinniiddoo eenn 1.1.24 y 1.1.25. Además ℤpp, si p es primo, es también un dominio entero. Los anillos ℚ=racionales, ℝ=reales y ℂℂ= números complejos son de indiscutible importancia. Además tienen como una característica en común, el que todos sus elementos no nulos son unidades. Por ello vale la pena clasificarlos de la siguiente manera: Definición 3.1.46 Un anillo A con elemento unitario es un anillo con división, si todos sus elementos no nulos son unidades. Si además A es conmutativo, diremos que A es un campo. Según la definición anterior todo campo es un anillo con división. Pero el recíproco de esa afirmación no es cierto. A continuación presentaremos un interesante contraejemplo, para demostrar la certeza de la afirmación anterior. Ejemplo 3.1.47 Sea Q(ℝ)=ao+a1i+a2j+a3k/ao,a1,a2,a3∈ℝ,, ddoonnddee los elementos de Q(ℝ) son triplas ordenadas de números reales, presentadas de esa manera por razones prácticas relacionadas con las operaciones que definiremos en él. En consecuencia con este rasgo, definimos el siguiente principio de igualdad en nuestro conjunto: ao+a1i+a2j+a3k = bo+b1i+b2j+b3k si y sólo si ao=bo,a1=b1,a2=b2 y a3=b3. Además definimos + y o en Q(ℝ), de la siguiente manera: (ao+a1i+a2j+a3k)+(bo+b1i+b2j+b3k)=(ao+bo)+(a1+b1)i+(a2+b2)j + (a3+b3)k. (ao+a1i+a2j+a3k)(bo+b1i+b2j+b3k) =(aobo- a1b1-a2b2-a3b3) + (aob1 + a1bo + a2b3 - a3b2)i +(aob2 + a2bo + a3b1 - a1b3)j+ (aob3 + a3bo + a1b2 - a2b1)k. En el lado derecho de ambas igualdades las operaciones son las usuales en los números reales. La fórmula para sumar es sencilla. Con relación al producto, la apariencia complicada se disipa al captar que éste se efectúa como un producto común de polinomios, teniendo en cuenta que : i2 = j2 = k2 = -1 , mientras que los resultados: ij, jk, etc, se obtienen mediante el diagrama 3.1, asi: ij=k, porque al avanzar en el sentido de las agujas del reloj, de i a j llegamos a k, mientras ji=-k, por que al avanzar de j a i en el sentido contrario a las agujas del reloj, llegamos a k. De esta forma obtenemos: ij=k, jk=i, k.i=j, ik=-j, kj=-i ji=-k. k i j

Diagrama 3.1

133

Las igualdades anteriores, son conocidas como la tabla de multiplicación de las unidades cuaternionas. No es difícil demostrar que + y o son operaciones en Q(ℝ) y que la tripla < Q(ℝ),+, o.> es un anillo. (Ver Ejercicio 3.2.16 ). Además, si X=a + bi + cj +dk∈Q(ℝ) y X es no nulo, entonces por lo menos unos de los coeficientes a,b,c ó d es un real diferente de cero y en consecuencia w = a2+b2+c2+d2 > 0. Aplicando la definición de producto, se verifica, que si Y= (a/w) –(b/w)i-(c/w)j-(d/w) k, entonces XY=YX=1 y como además 1 es el elemento unitario de Q(ℝ), obtenemos que este es un anillo con división, que es no conmutativo ya que, ij=k, mientras que ji=-k. Q(ℝ) es conocido como el anillo de los cuaterniones reales.

3.2 EJERCICIOS 3.2.1 En cada caso determinar si el conjunto con las operaciones + y o indicadas, conforma un anillo. En caso afirmativo clasificarlo Es decir, indique si es dominio entero, campo, etc. i) ℤ y ℚ, definidos 1.15 con sus respectivas operaciones ii) <A , +> un grupo abeliano y o definido en A, como ab=0, para a,bεA y 0 el módulo de <A , +>. ii) <nℤ,+,o>, + y o suma y multiplicación definidas en 1.15.. iii) < ℝ ,+,o> + y o, suma y multiplicación usuales de reales. iv) < ℝ, +,o>, + suma usual de reales y o definido en ℝ = números reales, como aob=a⎢b⎢ donde la operación en a⎢b ⎢ es el producto usual en ℝ. y ⎢ ⎢ = valor absoluto usual en ℝ. v) Si A1, ... ,An son anillos y A = A1x ... xAn =(a1, ... ,an)/a1εA1, ... ,anεAn, + y ., definidos así: (a1, ... ,an) + (b1, ... ,bn) = (a1+b1, ... ,an+bn), donde + en ai+bi es el + de Ai y (a1, ... ,an)(b1, ... ,bn) = (a1b1, ... ,anbn), donde el producto en aibi es el producto de Ai. 3.2.2 Demuestre que los anillos ℤ y ℚ, definidos 1.15 son ejemplos de dominios enteros. 3.2.3. Si < A , + , o> es un anillo y a1, ... ,an ,aε A, demuestre que a(a1+ ... +an)= aa1+ ... +aan y (a1+ ... +an)a=a1a+ ... +ana. 3.2.4..- Sean A=0,1 y + la operación que lo transforma en un grupo abeliano. ¿De cuantas maneras se puede definir o en A de tal manera que <A , + , o>sea un anillo. Sug[Tenga en cuenta que si 0 es el módulo de +, entonces a0=0a=0, para cualquier aεA y que además el módulo de <A,+> es diferente del módulo de <A,o>] 3.2.5. Demuestre que <AA, +,o> es un anillo, tal como se definió en 3.1.9.

134

3.2.6. Si <A,+.o> es un anillo con elemento unitario y U es el conjunto de todas las unidades de A, demuestre que es un grupo. 3.2.7..- Encuentre las unidades en cada uno de los siguientes anillos: i) En los anillos del Ejercicio 3.2.1.. ii) A = ℤx ℚ, iii) A =ℤ, iv) A= ℚ , v) A = ℝ, vi) A= ℤxℚxℤ, vii) A = ℤ4, viii) A =ℤ5, ix) A =

ℤxℤ,. 3.2.8. Si p,q son primos en ℤ, tales que p|q y q|p, entonces existe u unidad en ℤ tal que p=uq. 3.2.9 Sea <ℤn ,+> el grupo aditivo residual módulo n. Demuestre que si o es una operación en ℤn tal que <ℤn ,+,o> es un anillo entonces basta conocer el resultado de 1o1, para conocer la tabla de <ℤn,o> . ¿Cuantos anillos se pueden definir en este caso?. Sug[Si r,s∈ℤ**, demuestre por inducción sobre s que si sabemos quien es 1o1, entonces sabremos quien es ros.] 3.2.10- Demuestre que el anillo <2ℤ,+,.> no tiene elemento unitario. En general, si n es un entero, n≠1, demuestre que el anillo <nℤ,+,o>, no tiene elemento unitario. 3.2.11.- Relativo a 3.1.27, demuestre que <C[0,1],+,.> es un anillo. 3.2.12.- Si a,b,cεℤ tales que a ⎢b y a ⎢c, entonces a ⎢b±c y a2⎢bc. 3.2.13. Demuestre que si que si c⎢a, entonces (a/c)ε ℤ y además, si c,aε ℤ+ y c>1, (a/c)<a. 3.2.14.- Demuestre que si σ=(a1, ... ,ak) es un k-ciclo de Sn, entonces σr es un k-ciclo, si y sólo si r es primo relativo con k. Sug[ Si σr es un k-ciclo y d>1 es un factor común de r y k, entonces r=dα y k=dβ. Por lo tanto (σr)β=σk α=i; lo cual no es posible, puesto β<k y σr es un k ciclo. Si r es primo relativo con k, entonces evidentemente σrk(a1)=a1 , pero si σrj(a1)=a1, con j∈[1 k); es porque 1≡rj+1 modk y por consiguiente rj≡0 modk, pero como r y k son primos relativos, entonces por 3.1.42, r no es un divisor de cero en en ℤk y por consiguiente j≡0 mod k, lo cual no es posible puesto que j∈[1 k). Por lo tanto o(a1)=k. En estas condiciones O(a1)=a1, σr(a1), ...., (σ r)k-1(a1) (b)] y por consiguiente según el Teorema 2.13.10 se deduce que σ r=(a1, σ r (a1), (σ r

.)2 (a1) ... (σ r) k-1(a1)).

3.2.15 Si α = a+bi+cj+dk, β = d +ei+fj+gk∈Q(R), defina α~ = a-bi-cj-dk , α* = a2 + b2 +c2 +d2., v(α) = bi+cj+dk y [V(α)V(β)]=be+cf+dg. Demuestrar: i) αα~ = α* ii) Si α≠0, entonces α-1 = α~ /α*. iii) v(α)v(β) = -[V(α)V(β)]

+v(α)Xv(β), donde v(α)Xv(β) = gfe

dcb

kji

= (cg-df)i+(de-bg)j+(bf-ce)k

3.2.16 Demuestre que < Q(ℝ),+, o> , en el Ejemplo 3.1.47, es un anillo. Además verifique que Q(ℝ) es un anillo con división.

135

3.2.17. Demuestre que si un anillo tiene más de un elemento unitario a la izquierda o a la derecha, entonces carece de elemento unitario. 3.2.18. Demuestre que si definimos + y o en Q(ℂℂ)=a+bi+cj+dk /a,b,c,dεC, tal como se definieron en Q(ℝ), entonces Q(ℂℂ) es un anillo, pero no un anillo con división. QQ(ℂℂ) es conocido como el anillo de los cuaterniones complejos. Sug[¿Cual es el inverso multiplicativo de α=1+ii, donde iεℂℂ tal que i2=-1. 3.2.19. Demuestre que en el anillo de los cuaterniones complejos, la ecuación x2 + 1=0, tiene infinitas soluciones. Sug[Demuestre que si (α,ß) es un punto del círculo x2+y2=1, entonces son soluciones de la ecuación en cuestión, todos los cuaterniones complejos de la forma τ=[(α+ß)/(1+2αß)1/2)]i. . 3.2.20. Demuestre que en el anillo de los cuaterniones Q(ℝ) un elemento Z∈Q(ℝ) conmuta con cualquier cuaternión, si y sólo si, Z∈ℝ 3.2.21. Si definimos Q(ℤ)= ⎨a+bi+cj+dk/a,b,c,d∈ℤ⎬, ¿Será Q(ℤ), con las operaciones de Q(ℝ) un anillo?. En caso de serlo ¿será un anillo con división?. ¿Es conmutativo?. ¿Contendrá algún elemento que sea un divisor de cero no nulo? ¿Será un dominio entero? 3.2.22. Demuestre que en un anillo con elemento unitario el inverso multiplicativo de una unidad es único. 33.2.23 Demuestre que en un anillo A, las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) Si a,bεA y ab=0, entonces a=0 o b=0. ii)Si a,b,cεA y a 0, entonces ab=ac implica b=c. iii) Si a,bεA* entonces abεA*. iv) A carece de divisores de cero no nulos. 3.2.24. Si A es un anillo tal que para cualquier aεA, aa=a (Estos anillos se les conoce como booleanos), demuestre que A es conmutativo. Sug[Demuestre: i) (x+y)2=x+y=x+xy+yx+y. Ii) xy+yx=0. En seguida evalúe x(xy+yx) y (xy+yx)x. 3.2.25 Si A es un anillo, aεA y n,mεℤ+, entonces defina an y demuestre: i) anam=an+m. ii) (an)m=anm. ¿Porque no define en general an, para nεℤ.? 3.2.26. De acuerdo al Ejercicio 3.2.9, si definimos 1o1=2 ,en ℤ6, calcule 2o2, considerando 2εℤℤ6. De otra parte , si considera 2εℤ, aplique 3.1.15, para calcular calcular na, si n=2 y a=2. ¿Porque obtiene resultados diferentes?

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3.2.27. Si D es un dominio entero y aεD∗=D-0, definimos característica de a, notada Ca, de la siguiente manera: Ca=0, si k∈ℤ+/ka=0=∅ ∨Ca=mink∈ℤ+/ka=0, si k∈ℤ+/ka=0≠∅ Demuestre: 1) Si Ca ≠0, entonces Ca>1. Sug[Es inmediato, porque si Ca•0, entonces Ca>0 y por consiguiente Ca≥1, pero como no es posible Ca=1, ya que de ser así, 1.a=0, es decir: a=0; entonces obligatoriamente Ca>1.] 2) Si Ca=n, entonces nb=0, para todo bεD. Sug[Tenga en cuenta que 0=(na)b=a(nb).] 3) Si a,bεD*, entonces Ca=Cb. Sug[Aplique 2) y Definición de Ca] 4) Sobre la base del resultado anterior, definimos la característica de D, notada CD, como CD=ca, donde aεD*. En consecuencia demuestre CD es o 0 o un número primo. Sug[Acepte que CD=n, no es número primo, y por tanto n=rs, donde r,sεℤ+, r>1 y s>1. Verifique, para aεD*, que r(sa)=0, saεD* . Tenga en cuenta que csa=rs y que r<rs. 6) Demuestre que CD = nε ℤ+, si y sólo si n = minkεℤ+⁄ka=0, para cualquier aεD.Sug[Si CD = nεℤ + y p= minkεℤ+⁄ka=0, para cualquier aεD. Entonces no es posible n<p, porque como según 2) n∈kεℤ+⁄ka=0, para cualquier aεD, entonces n≥p. Análogamente no es posible que p<n, porque si a∈D, entonces p∈kεℤ+⁄ka=0 y en consecuencia n≤p.. Con relación al recíproco, es inmediato que si n = minkε ℤ+/ka=0, para cualquier aεD, entonces CD=n, porque si α∈D*, entonces Cα=n. Ya que obviamente nα=0. Además, si existiera rεℤ+, tal que rα=0 y r<n, considere aεD∗ y 0=(rα)a=(ra)α, para concluir que ra=0. Pero esto no es posible porque Ca=n 3.2.28. Si la Definición de Ca, se ampliara a cualquier anillo, ¿Sería válida la conclusión 3) del Ejercicio anterior. Sug: En ℤ6, calcule C3 y C2. 3.2.29. Ensaye, a partir de la conclusión 6) del Ejercicio 3.2.27. una Definición de característica de un anillo, para demostrar que en un anillo con elemento unitario A, CA=n>0, si y sólo si existe k∈ℤ+ tal que k.1=0. 3.2.30. Si A es un anillo tal que para cada aεA* existe un único bεA, para el cual aba=a, demuestre: i) A no tiene divisores de cero no nulos. ii) bab=b. iii) A tiene elemento unitario. iv) A es un anillo con división. ¿Cual de las proposiciones anteriores es equivalente con el enunciado de 3.2.28.?

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Sug: i) Si aεA* , c∈A tal que ac=0 o ca=0 y b es el único elemento de A talque aba=a, entonces a(b+c)a=a. Luego c=0 ii) Demuestre que a(bab)a=a. iii) Como aba=a, se trata de verificar que ba es el elemento unitario de A. Para ello considere αεA y demuestre que α(ba)=α. Con tal fin, tenga en cuenta que α(ba)b=αb y por consiguiente (α(ba)-α)b=0. Aplique ahora (i). iv) Análogamente a como se demostró que ab es el elemento unitario de A, se demuestra que ba también lo es. 3.2.31. Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1 )Todo dominio entero es un anillo conmutativo. 2) Todo anillo conmutativo es un dominio entero. 3) Todo dominio entero es un campo. 4) Los campos son más abundantes que los dominios enteros. 5) Si A es un anillo y a,bεA, entonces la ecuación ax=b tiene solución en A. 6) Si A es un anillo y a,bεA, entonces la ecuación ax=b, no tiene solución en A. 7) Si A es un anillo con elemento unitario a la izquierda ó a la derecha, entonces A tiene elemento unitario. 8) Un anillo A con elemento unitario, puede tener más de un elemento unitario lateral. 9) Si A es un anillo con elemento unitario, entonces toda unidad de A es un elemento unitario. 10) Un anillo puede tener más de un elemento unitario. 11) Todo anillo con elemento unitario tiene a lo más dos unidades. 1122)) ℤℤn es un dominio entero. 13) Si A es un anillo y a,bεA tales que ab=a, entonces b=1. 14) Si A es un anillo con elemento unitario y a,bεA tales que ab=a, entonces b=1. 15) Si F es un campo y a,bεF tales que ab=a, entonces b=1. 16) Si F es un campo y a,bεF* tales ab=a, entonces b=1. 17) Si F es un anillo y a,bεF, entonces la ecuación a+x=b, no tiene solución en F. 18) La ecuación x2-5x+6=0, tiene a lo más dos soluciones en cualquier anillo. 19) M22(ℂℂ) es un dominio entero. 20) Todos los subconjuntos de Q(ℝ), que con las operaciones de éste sean anillos, son también anillos con división. 21) No es posible encontrar en Q(ℝ) un subconjunto que con las operaciones de éste sea un anillo no conmutativo, carente de divisores de cero no nulos.

3.3. DOMINIOS ENTEROS Y CAMPOS El objetivo es mostrar ciertas relaciones importantes entre los dominios enteros y los campos. Para ello demostraremos inicialmente algunos teoremas de caracterización de estos conceptos. En primer lugar veremos que la implicación analizada en 3.1.25 como no válida

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para los anillos en general, es precisamente una condición necesariamente y suficiente para que un anillo conmutativo sea un dominio entero. Abordemos inmediatamente este elemento . Teorema 3.3.1 Un anillo conmutativo D es un dominio entero, si y sólo si, para a,bεD, ab=0 implica a=0 o b=0. DEMOSTRACIÓN.- Si a,b∈D tales que ab=0 y a≠0, es inmediato deducir que b=0, pues si b≠0, a sería, según la Definición 3.1.28, un divisor de cero no nulo, lo cual no es posible, porque de acuerdo a la Definición 3.1.44, cero es el único divisor de cero en D, por ser D un dominio entero. Recíprocamente, si aceptamos como válida el condicional: ab=0 implica a=0 o b =0; siempre que a,b∈D, entonces D debe ser un dominio entero, porque de lo contrario existiría un divisor de cero aεD, a≠0, situación que nos lleva a aceptar, según Definición 3.1.28 y por ser D conmutativo, la existencia de bεD, b≠0, tal que ab=0. Entrando en contradicción con el condicional que aceptamos válido por hipótesis, ya que hemos encontrado a,b∈D tales que ab=0; pero a≠0 y b≠0, cuando de acuerdo con dicho condicional debiera ser a=0 o b=0 Otro teorema importante de caracterización de los dominios enteros es el que plantea la validez de la ley cancelativa para elementos diferentes de cero, que tampoco es válida en anillos generales, tal como se deduce de la siguiente situación en ℤℤ6, en la que para la multiplicación residual módulo 6, se tiene que 2o3=4o3, pero 24. Veamos entonces el teorema relativo. Teorema 3.3.2. Un anillo conmutativo D es un dominio entero, si y sólo si, para a,b,cεD y a≠0, ab=ac, implica b=c . DEMOSTRACIÓN.- Si D es un dominio entero y ab=ac, entonces ab- ac =0. Por lo tanto según Aiii, a(b-c)=0. En consecuencia al aplicar el Teorema anterior, o a =0 o b-c=0. Pero como por hipótesis a≠ 0, obtenemos: b-c=0 y por consiguiente b=c. Aceptar para a,b,c∈D como válida el condicional : si a≠0 y ab=ac implica b=c, se infiere que D es un dominio entero, porque si no lo fuera, admitiríamos la existencia de un divisor de cero aεD, a≠0. Por lo tanto, según la Definición 3.1.28., ab=0, para algún bεD, b≠0. La presencia de este bεD, conduce a un absurdo, pues si ab=0, entonces ab=a0, y por ser a≠0, al aplicar el condicional aceptado como hipótesis, obtenemos b=0, que contradice al supuesto b≠0. Luego D es un dominio entero Por último demostremos el siguiente teorema de caracterización de los campos. Teorema 3.3.3. Un anillo F es un campo, si y sólo si <F∗ , o> es un grupo abeliano. DEMOSTRACIÓN.- Si F es un campo, la Definición 3.1.46 nos indica que F es un anillo con división conmutativo y por consiguiente es un anillo conmutativo con elemento unitario, tal que todos sus elementos no nulos son unidades y por lo tanto tienen inversos

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multiplicativos. Es decir <F*∗ , o> es conmutativo e invertiva y como además es asociativa, por ser F un anillo, concluimos que <F∗ , o> es un grupo abeliano. Recíprocamente, si <F∗ , o> es un grupo abeliano, entonces por G3, <F∗ , o> es invertivo, lo cual significa que todos los elementos no nulos de F son unidades, por lo tanto, según la Definición 3.1.46, F es un anillo con división, que además es conmutativo, pues <F∗, o> es abeliano, y así F es un campo. Estamos ahora en condiciones de abordar el objetivo que nos propusimos, iniciando con la demostración del siguiente teorema: Teorema 3.3.4. Todo campo es un dominio entero. DEMOSTRACIÓN.- Aceptemos a F como un campo y a,bεF tales que a0 y ab=0. De acuerdo al Teorema 3.3.1, para verificar la condición de dominio entero en F basta ver que b=0. Pero esto es inmediato, porque como F es un campo y aεF, con a 0, entonces a-1εF y por lo tanto: a-1(ab)=a-10=0 Teorema 3.1.17 i). (a-1a)b=0 Definición 3.1.1 Ai. 1b=0 Definición 3.1. b=0 Por ser 1 el elemento unitario. 3.3.5. El recíproco del teorema anterior es falso. Por ejemplo, el anillo ℤ de los enteros es un dominio entero, pero ℤ no es un campo, puesto que sus únicas unidades son 1 y -1. Sin embargo en casos finitos es válido el recíproco de dicho teorema, tal como se demuestra a continuación. Teorema 3.3.6. Todo dominio entero finito es un campo. DEMOSTRACIÓN.- Si D es un dominio entero finito, para demostrar que D es un campo, debemos, según el Teorema 3.3.3, verificar que <D∗ , o> es un grupo abeliano. Pero como <D ,.o> es asociativo por ser D un anillo y además <D,o> es conmutativo, puesto que D es un dominio entero, basta únicamente comprobar G2 y G3 del TTeeoorreemmaa 22..22..55 en <D , o>. El objetivo es constatar que cada aεD*, tiene inverso multiplicativo en D, por esa razón analizaremos a Ka=ax/xεD, en la perspectiva de que alguno de sus elementos sea el elemento unitario de D. Evidentemente Ka⊆D, porque los elementos de Ka son producto de elementos de D y por consiguiente, al ser o una operación en dicho conjunto, el resultado en cada caso es nuevamente un elemento de D. Intentar demostrar D⊆Ka , a la manera clásica, es decir tomando un elemento arbitrario en el primer conjunto y demostrando que a su vez es un elemento del segundo conjunto, no es un camino muy expedito en este caso. Por ello acudiremos a demostrar que D y Ka tienen el mismo número de elementos y como Ka⊆D, la única opción posible, por ser D finito, es Ka=D.

140

Como se trata de conjuntos finitos, para verificar que D y Ka tienen el mismo número de elementos, es suficiente con encontrar una biyección f:D→Ka Definamos entonces f para xεD como f(x)=ax. Obviamente f satisface Fi, del Teorema 1.1.13, por que si xεD, f está definida en ese x, ya que es factible obtener ax, al ser o una operación en D; lo cual también implica que f satisface Fii, pues axεD. Además, si x=yεD, por Oiii, ax=ay y por lo tanto f(x) = f(y). Es decir f satisface Fiii. Una vez demostrado que f es una función de D en Ka, veamos que f es unas biyección: Si x,yεD son tales que f(x) = f(y), entonces por definición de f, ax=ay, pero como a • 0, el Teorema 3.3.2, nos garantiza x=y. Hemos demostrado, que si x,yεD son tales que f(x) = f(y), entonces x=y, implicación que nos permite deducir que f es 1-1. Obviamente f es sobre, porque cualquier axεD, es precisamente imagen, según f, de xεD. Tal como ya lo habíamos comentado, el que Ka y D tengan el mismo número de elementos y además Ka⊆D, conduce a que Ka=D* Por lo tanto, como aεD, también aεKa; implicando ello que a=αa= aα, para algún αεD. (1). En estas condiciones aún no es posible concluir que α=1. Recuerde que 2o3=2 en ℤℤ4 , pero 3 no es el elemento unitario de ℤℤ4. Para demostrar que α=1, debemos comprobar, que si bεD; bα=αb=b, reduciéndose a verificar bα=d, por la conmutatividad de D . En efecto, si bεD; también bεKa y por consiguiente b=ßa,(2) para algún ßεD, entonces: bα =(ßa)α Por (2) y Oiii en 1.1.17 =ß(aα) Por Aii. En 3.1.1 =ßa Por (1) y Oiii.en 1.1.17 =b Por 2). Luego α=1 y por *, 1εKa. Es decir, 1=aτ=τa, para algún τεD y la Definición 1.6.1, nos lleva a τ=a−1.Luego a−1εD. En síntesis <D* , o> es modulativa e invertiva y por consiguiente D es un campo

El procedimiento utilizado permite demostrar la siguiente afirmación:

141

3.3.7 Si <G, o> es una estructura algebraica asociativa y G es finito tal que (∀a)(∀b)(∀c) [a,b,c∈G ∧( ab = ac ∨ ba = ca) ⇒ b = c], entonces <G , o> es un grupo.

Un corolario del teorema anterior es el siguiente:

Corolario. 3.3.8. Si p es un número primo, entonces el anillo ℤp es un campo. DEMOSTRACIÓN.- Según Ejemplo 3.1.45 ℤp es un dominio entero y como además es finito el teorema anterior implica que ℤp es un campo. 3.3.9. El recíproco del Corolario anterior también es válido, ya que si ℤp es un campo y p no fuera primo entonces 3.1.38 indica que existe a y b enteros en el intervalo abierto (1 p) tales que ab=p, lo cual a su vez nos plantea que ab≡0 modp, afirmación que ubica a y b como divisores de cero no nulos en ℤp y esto no es posible , porque ello implicaría que ℤp no es un dominio entero y por lo tanto, según Teorema 3.3.4, ℤp no es un campo

3.4. HOMOMORFISMO DE ANILLOS Análogo al procedimiento utilizado en grupos definiremos los homomorfismo de anillos guiándonos por la intención de que ellos sean funciones entre anillos que conserven las operaciones respectivas. Con esa orientación presentamos la siguiente definición: Definición 3.4.1. Si A1 y A2 son anillos y f es una función de A1 en A2, diremos que f es homomorfismo de anillos, si para cualquier a,bεA1 se cumple: i) f(a + b) = f(a) + f(b) y ii)f(ab) = f(a)f(b). 3.4.2 i) Observe que las operaciones que figuran en los miembros izquierdos de las igualdades anteriores son las de A1, mientras que las del lado derecho son las de A2. ii)Además observe que si f: es un homomorfismo de anillos de A1 en A2, la condición i) implica que f es un homomorfismo de grupos, del grupo <A1 , +> en el grupo <A2 , +>. iii) Por último si A1 y A2 son campos y f es un homomorfismo del anillo A1 en el anillo A2, entonces f es un homomorfismo del grupo <A1*,o> en el grupo <A2*, o.>. Siguiendo la metodología de los homomorfismos de grupos abordaremos enseguida el concepto de isomorfismo de anillos. Definición 3.4.3. Si f es un homomorfismo de anillos, del anillo A1 en el anillo A2, diremos qu f es un isomorfismo de anillos, si f es 1-1. Si además f es sobre, diremos que A1 es isomorfo con A2 y lo notaremos A1 ≈ A2 .

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La demostración del teorema presentado a continuación, en los apartes iii, iv y v, es viable mediante un procedimiento similar al practicado en grupos, en la demostración del Teorema 2.8.1. Además, como según 3.4.2 ii) f: es un homomorfismo de grupos, del grupo <A1 , +> en el grupo <A2 , +>, las conclusiones i) y ii) del teorema aludido, son la versión aditiva del teorema 2.6.4 relativas a sus conclusiones enumeradas de la misma forma. Teorema 3.4.4. Si A,A1 y A2 son anillos y aεA, entonces : i) f(0) = 0` ii) f(-a)=-f(a). iii) A ≈ A iv) Si A ≈ A1, entonces A1 ≈ A. v) Si A ≈ A1 y A1 ≈ A2, entonces A ≈ A2. Veamos a continuación algunos ejemplos de homomorfismos de anillos: Ejemplo 3.4.5. Los dos ejemplos más sencillos de homomorfismo de anillos, son el idéntico y el nulo. El primero corresponde a la función i del anillo A en A, definida como i(a)=a, siempre que aεA. Y el segundo a la función c del anillo A en el anillo A1, definida como c(a)=0`, si aεA. Ejemplo 3.4.6. Si A es el anillo conformado por A=a+b√2/a,b∈ℤ y la suma y multiplicación usual de reales , entonces f de:A en A definida como f(a+b√2)=a-b√2, es un homomorfismo de anillos, del anillo A en el anillo A.

Ejemplo 3.4.7. Si ℤ es el anillo de los entros, ℚ el anillo de los números racionales y F es un

campo tal que el anillo de los enteros ℤ ⊆F, entonces existe un campo K tal que K⊆F y K≈ℚ En

este sentido ℚ es el menor campo que contiene al anillo ℤ de los enteros.

Evidentemente K=xy-1/x,y∈ℤ, con y≠0⊆F. Veamos que K es un campo.

En primer lugar, si xy-1, zw-1∈F, al ser válido que xy-1+ zw-1=(xw+zy)(yw)-1∈K(Ver Ejercicio 3. 5.8) se infiere, de acuerdo al Corolario 1.1.29, que + es una operación en K, y por el Teorema 1.4.3, + es asociativa ya que K⊆F y <F,+> es asociativa., por ser F un anillo.

Además <K,+> es modulativa, porque 0∈K ya que 0=0x-1∈K, siempre que x∈ ℤ y x≠0.

También <K,+> es invertiva porque si xy-1∈K, entonces (-x)y-1∈K.

Luego <K,+> es grupo, que además es abeliano en vista de que K⊆F y <F,+> es abeliano, por ser F un anillo.

El producto es operación en K, porque si xy-1, zw-1∈K, entonces (xy-1)( zw-1)∈K, puesto que (xy-1)( zw-1)= ((xz)(yw)-1)∈K. Además <K,.o> hereda la asociatividad, la conmutatividad de

143

<F,.o>, y las dos propiedades disttibutivas del producto respecto de la suma. Configurándose así que K es un anillo.

En consecuencia para comprobar que K es un campo solo resta verificar que 1∈K y que si x∈K, etonces x-1∈K. Pero esto es de verificación inmediata por cuanto 1=1o1-1∈K y si ab-1∈K*, entonces a≠0 y (ab-1)-1∈K, ya que (ab-1)-1 = ba-1.

Para probar que K≈ℚ, definamos f de K en ℚ como f(xy-1)=[(x,y)] evidentemente definida en K

y además f(xy-1)∈ℚ. Es decir f satisface las condiciones Fi y Fii del Teorema 1.1.13 Luego para comprobar que f es función resta comprobar que si xy-1, zw-1∈K y xy-1= zw-1(1) , entonces [(x,y)]=[(z,w)]. Para lo cual basta comprobar que xw=yz, igualdad que se infiere de (1).

También f es evidentemente sobre porque cualquier [(x,y)]∈ℚ, es imagen según f de xy-1∈K. Y

f es 1-1, porque si [(x,y)],[(z,w)]∈ℚ y [(x,y)]=[(z,w)], entonces xw=yz, pero como y,w∈ℤ*, entonces xy-1= zw-1 Luego f es una biyección. Por último si xy-1, zw-1∈K, entonces f(( xy-1)+(zw-1))= f((xw+zy)(yw)-1)=[(xw+zy, yw))] = [(x,y)]+[(z,w)] = f((xy-1))+f( (zw-1)).Y f(( xy-1) (zw-1)) = f((xz)(yw)-1)=[(xz,yw)]=[(x,y)][(z,w)]= f(( xy-1) f((zw-1)). En síntesis f es un homomorfismo biyectivo del anillo K en ℚ y por consiguiente K≈ℚ. Antes de finalizar se planterá una definición que permitirá presentar el siguiente teorema que resolverá una relación importante entre los anillos ℚ y ℤ. Definición 3.4.8. Si A y B son anillos tales que B⊆A, diremos que A es una extensión de B, si B con las operaciones de A es un anillo. Teorema 3.4.9 Si F y K son campos y f es un isomorfismo de anillos de F en K, entonces existe un campo E extensión de F tal que E≈K. Demostración. Si f es un isomorfismo sobreyectivo, entonces F≈K y por tanto basta considerar E=F. Si f no es sobre K, sean K´=k∈K/k∉f(F), E=F∪K´, y definamos ⊕ y o en E de la siguiente manera: Primero se define h de K en E de la siguiente manera:

h(x)=⎩⎨⎧

∈

∈

F)(f xsi (x),fK´ xsi x,

1-. Posteriormente, si a,b∈E se define a⊕b=h(h-1(a)+h-1(b)), con + la

suma de K. Y análogamente aob= h(h-1(a)h-1(b)), con el producto de K Lo anterior permite demostrar lo siguiente: (Ver Ejercicio 3. 5.9 i)

144

a⊕b =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+∈∈+

+∈∈++∈+∈+

∈+∈++∈+

K de suma la con K´,bF,a si b),(f(a)fK de suma la es con Fb K´,a si f(b),a

K de suma la con f(F)bay K´ba, si ),ba(fK´b a y, K´ba, si K, de suma lacon , ba

F de suma la es y Fba, Si b,a

1-

1-

Análogamente definimos o en E, asi:

aob=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈∈

∈∈∈∉∈

∈∈∈

K´by Fa si, K, de producto elcon (f(a)b),fK'af(b)F,b K´,a si K, de producto elcon . af(b)

K de producto elKćon aby K´ba, si ),ab(f Káby K´ba, si K, de producto elcon ab

. Fba, Si F, de producto elcon ab

1-

1- .

Comprobemos que E es un campo. En primer lugar es evidente que ⊕ y o son operaciones conmutativas en E.(Ver Ejercicio 3. 5.9 (ii)). Verifiquemos que también <E, ⊕> y <E*,o> son grupos abelianos:

i) <E, ⊕> y <E,o> son asociativas. En efecto,.si a,b,c∈E, hay cuatro posibilidades,a saber:o a,b,c∈F o a,b,c∈K´, o a,b∈Fy c∈K´;o a∈F y b,c∈K´. Si a,b,c∈F la asociatividad de <F,+> y <F,.>, por ser F un anillo implican que a⊕ (b⊕c)=(a⊕b) ⊕ c y ao(boc)=(aob)oc

. En el caso a,b,c∈K´ para calcular ao(boc) estamos antes dos alternativas: o bc∈Kó bc∉K´. Al aceptar que bc∈K´, sucede que ao(boc)=ao(bc). En este momento para continuar estamos ante dos eventualidades: a(bc)∈Kó a(bc)∉K´. Si a(bc)∈K´, entonces ao(boc)=(ab)c. Situación en la cual es posible que ab∈K´ o que ab∉K´. Si aceptamos ab∈K´, entonces se presentan dos posibilidades o (ab)c∈K´ o (ab)c∉K´. Si (ab)c∈K´,se infiere que ao(boc)= (ab)c=(aob)oc. Luego ao(boc)=(aob)oc. En la eventualidad ab∈Ký (ab)c∉K´,con a,b,c∈K´ y bc∈K´ se tiene que existe β∈F tal que (ab)c=a(bc)=f(β). Por lo tanto ao(boc)=ao(bc)=β=(ab)oc=(aob)oc. Luego ao(boc)=(aob)oc. Si ab∉K´, observe que ello infiere (ab)c∈K´, por que si (ab)c∉K´, entonces esxistiría r∈F tal que (ab)c=f(r), pero dado que ab∉K´se garantiza la existencia de α∈F tal que f(α)=ab, lo cual conduciría a que f(α)c=f(r) y por tanto c=f(α-1r); y así c∉K´, contradiciendo así el supuesto c∈K´. Así las cosas, y dado que estamos trabajando con la opción bc∈K´, obtenemos: ao(boc)=ao(bc)=a(bc)=(ab)c=f-(α)c = αoc=(aob)oc. Luego ao(boc)=(aob)oc. Analicemos ahora el caso a,b,c∈K´, pero con bc∉K´, evento en la cual se tendría que a(bc)∈K´ porque de lo contrario tendríamos que a∉K´ (Ver Ejercicio 3. 5.9iii) ), contraciendo el supuesto a∈K´. Luego estamos ante el caso a,b,c∈K´, bc∉K´,y por tanto a(bc)∈K´. Entonces existe ©∈F tal que bc=f(©) y por ende ao(boc)=ao©=a(bc)=(ab).c. Ahora es posible que ab∈Kó que ab∉K´. Si ab∈K´ el asunto no tiene problema porque

145

ao(boc)=ao©=a(bc)=(ab).c=(aob)c=(aob)oc. Pero si ab∉K´, se deduce la existencia de s∈F tal que ab=f(s) y así ao(boc)=ao(c) =a(bc)=(ab).c=f(s)c=soc=(aob)oc. De esta manera se probado que si a,b,c∈K´, entonces ao(boc)=(aob)oc Las alternativas restantes son a,b∈Fy c∈K´;o a∈F y b,c∈K´. Si a,b∈F y c∈K´, entonces (aob)oc=(ab)oc= f(ab)c =(f(a)f(b))c =f(a)(f(b)c) =f(a)(boc) =ao(boc). Luego (aob)oc = ao(boc) . Si a∈F y b,c∈K´, entonces ao(boc)=f(a)(boc). De tal manera que al avanzar puede darse o que bc∈K´ o bc∉K´. Si bc∈K´, obtenemos que ao(boc) =f(a)(boc) =f(a)(bc) =(f(a)b)c = (aob)c. Pero como f(a)b∈K´, entonces para definir el valorde (aob)c, estamos ante dos alternativas o (f(a)b)c∈K´o (f(a)b)c∉K´. La eventualidad (f(a)b)c∉K´ debe descartarse ante el supuesto bc∈K´, ya que si (f(a)b)c∉K, entonces (f(a)b)c =f(r), para algún r∈F y así obtenemos bc=f(a-1 r). Es decir bc∉K´, contrario al supuesto bc∈K´. Por tanto en este caso solo resta analizar que pasa si (f(a)b)c∈K´, con a∈F, b,c,bc∈K´ , evento en el cual se desarrollan las cosas así: ao(boc) = f(a)(boc) = f(a)(bc)= (f(a)b)c=(f(a)b)oc=(aob)oc. Ahora si a∈F, b,c∈K´y bc∉K´, entonces bc=f(s), para algún s∈F. Así las cosas tenemos que (f(a)b)c = f(as), es decir (f(a)b)c∉K´, porque (f(a)b)c=f(a)(bc)=f(a)f(s)=f(as)... En consecuencia (aob)oc = (f(a)b)oc =as = aos =ao(boc). Agotada todas las opciones se deduce que ao(boc)=(aob)oc, siempre que a,b,c∈E. Luego <E,o> es asociativa. Pero como todo el razonamiento anterior es válido al sustituir o por ⊕, concluímos que <E, ⊕,o> es asociativa ii) También <E, ⊕> y <E*,o> son modulativas, puesto que si 0 es el módulo de la suma de F, también 0 es el módulo de <E, ⊕>, ya que al considerar a∈E, en la opción a∈F no hay problema. Pero si a∈K´, entonces por definición a⊕0=a+f(0), pero como según el Teorema 3.4.4 i) f(0) es el módulo de <K,+>, concluímos que a+f(0)=a. Luego a⊕0=a. Análogamente,si 1 es el módulo de <F*,.> y a∈E, entoces en la disyuntiva a∈F no hay problema. Y si a∈K´, se tiene que ao1=af(1). Pero como según 3.4.2 iii) el homorfismo de anillos f de F en K, es también un homomorfismo del grupo <E*,.> en el grupo <K*,.>, podemos de acuerdo al Teorema 2.6.4afirmar que f(1) es el módulo de <K*,.>, y por ello ao1=a iii) <E,+> y <E*,o> son invertivos. Por que si a∈E con a∈F, entonces como también -a∈F y en esta situación a⊕(-a) = a+(-a) =0, se infiere que a⊕(-a)=0. Pero si a∈E y a∈K´, también -a∈K´, porque si -a∈f(F), entonces existiría b∈F tal que –a=f(b), implicando ello que a=f(-b), razón para concluir que a∈f(F), puesto que –b ∈F, en vista de que b∈F. Y esto no es posible porque la afirmación a∈K´ implica que a∉f(F)

146

Luego si a∈K´, entonces -a∈K´, y así a⊕(-a)=0, ya que a⊕(-a) =a+(-a) y a+(-a) = 0. Similarmente si a∈E*, cambiando suma por producto en el razonamiento anterior se infiere que si a∈E*, entonces existe a-1∈E* tal que ao a-1 =1. iv) Por último, si a,b,c∈E, entonces ao(b⊕c)=aob⊕aoc. En efecto, la afirmación es de comprobación inmediata si a,b,c∈F, puesto que F es un anillo. Si a,b,c∈K´, entonces para realizar lo señalado en el miembro izquierdo de la igualdad anterior, estamos ante dos alternativas: o b+c∈Kó b+c∉K´. En la opción b+c∈K´, se tiene que ao(b⊕c)=ao(b+c), presentación que a su vez nos indica que a(b+c)∈Kó a(b+c)∉K´. En la circunstancia a(b+c)∈K´, tenemos que ao(b⊕c)= ao(b+c)=a(b+c)=ab+ac, evento en el que se presentan el siguiente juego de posibilidades: ab,ac∈Kó ab,ac∉Kó ab∈Ký ac∉K´, ab∉Ký ac∈K´. Si ab,ac∈K´,entonces como a(b+c)∈K´ y b+c∈K´, se infiere que ao(b⊕c)= ao(b+c) =a(b+c) =ab+ac =ab⊕ac =aob+aoc. No es posible la eventualidad ab,ac∉K´, ya que ella implicaría la existencia r,s∈F tales que a(b+c)=ab+ac=f(r)+f(s)=f(r+s); lo cual equivale a decir que a(b+c)∉K´, contrario al supuesto a(b+c)∈K´. Si ab∈Ký ac∉K´, entonces existirá r∈F tal que ac=f(r) y por lo tanto ao(b⊕c) = a(b+c) =aob+f(r) =aob⊕r =aob⊕aoc . Luego ao(b⊕c)=aob⊕aoc, si a,b,c∈K´, a(b+c)∈K´, b+c∈K´, ab∈Ký ac∉KÍgualdad que se demuestra análogamente para el caso a,b,c∈K´, a(b+c)∈K´, b+c∈K´, ab∉Ký ac∈K´. Si a,b,c,b+c∈K´, pero a(b+c)∉K´, entonces a(b+c)=f(t), para algún t∈F, y por lo tanto: ao(b⊕c)= ao(b+c)=t. De otra parte para calcular aob⊕aoc, nos enfrentamos a las opciones: ab,ac∈Kó ab,ac∉Kó ab∈Ký ac∉K´, o ab∉Ký ac∈K´.Si ab,ac∈K´, se infiere que aob⊕aoc=ab⊕ac=t= ao(b⊕c). Si ab,ac∉K´, entonces existen v,w∈F, tales que ab=f(v) y ac=f(w), y en consecuencia a(b+c)=ab+ac=f(v+w). Entonces f(t)=f(v+w), pero dado que f es inyectiva se deduce que t=v+w, lo cual a su vez implica ao(b⊕c)=aob⊕aoc. La alternativa ab∈K´ y ac∉K´, no es posible bajo las condiciones a,b,c∈K´ y a(b+c)∉K´, puesto que ac=f(e), y a(b+c)=f(t), para algún e,t∈F. Razón para deducir que ab=f(t-e) y en consecuencia ab∉K´, contrario al supuesto ab∈K´. Análogamente se demuestra que no es posible:ab∉K´, ac∈K´ y a(b+c)∉K´. Si b+c∉K´, entonces b+c=f(u),para algún u∈F, y por tanto ao(b⊕c)=aou=a(b+c)=ab+ac pero como a,b,c∈K´, estamos nuevamente ante las opciones: ab,ac∈K´, o ab,ac∉K´, o ab∈Ký ac∉K´, o ab∉Ký ac∈K´. Si ab,ac∈K´, es de verificación inmediata que ao(b⊕c)= aob⊕aoc. La eventualidad ab,ac∉K´ no es viable por que ella implicaría que af(u)=f(j), para algún j∈F y por consiguiente a∉Kćontrario al supuesto a∈K´. Si ab∈Kýac∉K´, entonces aob⊕aoc=ab⊕w, para algún w∈F tal que f(w)=ac. En consecuencia aob⊕aoc =ab⊕w= ab+ac= a(b+c) =aou= ao(b⊕c). Se demuestra análogamente para el caso ab∉Ký ac∈K´. Hemos demostrado hasta ahora que si a,b,c∈F o a,b,c∈K´, entonces ao(b⊕c).= aob⊕aoc. Resta probar la validez de esta igualdad en el siguiente juego de opciones: a∈F, b,c∈K´,o a,b∈F y c∈K´, o a∈Ký b,c∈F, o a,b∈Ký c∈F.

147

Si a∈F, b,c∈K´, entonces ao(b⊕c)=f(a)(b⊕c). Estamos ahora ante dos alternativas: o b+c∈Kó b+c∉K´. Si b+c∈K´, se tiene que ao(b⊕c)=f(a)(b+c)=f(a)b+f(a)c Pero como f(a)(b+c)∈K´, entonces como f(a)b,f(a)c∈K´también se tendrá f(a)b+f(a)c∈K´, y por tanto f(a)b+f(a)c= f(a)b⊕f(a)c= aob⊕aoc. Luego ao(b⊕c)= aob⊕ac. Si b+c∉K´, entonces b+c=f(w), para algún w∈F. En consecuencia ao(b⊕c)=aow=aw De otra parte aob⊕aoc=f(a)b⊕f(a)c y como f(a)b+f(a)c=f(a)(b+c)=f(a)f(w)=f(aw), entonces aob⊕aoc=f(a)b⊕f(a)c=aw . Luego ao(b⊕c)= aob⊕ac. Pero si a,b∈F y c∈K´, entonces de una parte aob⊕aoc=ab⊕f(a)c. Momento en el queapreciamos que ab∈F y f(a)v∈K´, razón para deducir que aob⊕aoc= ab⊕f(a)c =f(ab)+f(a)c =f(a)f(b) +f(a)c=f(a)(f(b)+c)=ao(b⊕c). Ante la eventualidad a∈Ký b,c∈F, procedemos así: aob⊕aoc=af(b)⊕af(c)=. Obviamnete si af(b)+af(c)∈K´, entonces aob⊕aoc = af(b)⊕af(c) = af(b)+af(c)= a(f(b)+f(c)) = a(f(b+c)) =ao(b+c)=ao(b⊕c). La opción af(b)+af(c)∉K´, no es viable porque ella implicaría que af(b)+af(c)=f(z), para algún z∈F, y por lo tanto como b+c≠0 (Ver Ejercicio) obtenemos que a=f(z(b+c)-1). Es dexir a∉K´,contrario al supuesto a∈K´ Por último,si a,b∈Ký c∈F, entonces aob⊕aoc=aob⊕af(c), cuenta que depende de que ab∈Kó ab∉K´. Si ab∈K´, se infiere que aob⊕aoc= ab⊕af(c). A su vez en esta circunstancias el resultado está sujeto a que ab+af(c)∉K´ o a que ab+af(c)∈K´ . En la eventualidad ab+af(c)∈K´, obtenemos: aob⊕aoc= ab⊕af(c)= ab+af(c)= a(b+f(c)) =ao(b+f(c))=ao(b⊕c). Pero si ab+af(c)∉K´, se deduce que ab+af(c)=f(x) =a(b+f(c)), para algún x∈F. Luego aob⊕aoc=aob⊕af(c)=x=ao(b+f(c))=ao(b⊕c). Si ab∉K´, entonces para algún u∈F tal que f(u)=ab: aob⊕aoc =u⊕af(c) =ab+af(c) =a(b+f(c)) En estas condiciones si la opción a(b+f(c))∈K´, se tiene que aob⊕aoc =u⊕af(c) =ab+af(c)=a(b+f(c))=ao(b+f(c))=ao(b⊕c). De esta manera finalizamos puesto que la alternativa a(b+f(c))∉K´ no es viable, porque en tal caso a(b+f(c))=f(t) para algún t∈F . Luego f(u)+af(c)=f(t), y en consecuencia a=f((t-u)c-1). Lo cual no es posible puesto que a∈K´ Una vez verificado que E es un campo, resta comprobar que E≈K. Para tal objetivo se define g de E en K como g(e) = h-1(e), si e∈E Evidentemente h es una biyección de E en K. Además, si a,b∈E, entonces g(a⊕b)=h-1(a⊕b) = h-1 (h(h-1(a) +h-1(b)) =h-1(a)+h-1(b)=g(a)+g(b), con + la suma de K. Análogamente se prueba la validez para a,b∈E, de la afirmación: g(aob)=g(a)g(b), con el producto de K. Luego g es un isomorfismo de E sobre K y por lo tanto E≈K Ejemplo 3.4.10.- Si A=M22(C), entonces f del campo ℝℝ de los números reales en A definida

como : f(r)= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛000r

es un homomorfismo de anillos

.

148

Observe que en este caso f(1) no es el elemento unitario de A. 3.4.11 Del resultado anterior se deduce que si f de A en A` es un homomorfismo de anillos y A es un anillo con elemento unitario, entonces no siempre se puede inferir el que f(1) sea el elemento unitario de A`. Más aún, es posible que A` sea un anillo carente de elemento unitario, tal como sucede con el homomorfismo g: ℤ →2ℤ, definido como g(z)=0, el que el anillo 2ℤ no tiene elemento unitario. Sin embargo, si un homomorfismo de anillos h de A de A`, es tal que 1εA y h es sobre o A` es un dominio entero con elemento unitario y h es no nulo, entonces f(1) si es el elemento unitario de A`.(Ver Ejercicio 3.5.2 ).

3.5.. EJERCICIOS 33..55. 1. Demuestre que las relaciones definidas en los jemplos 3.4.5 y 3.4.6 son homomorfismos de anillos. 3.5.2 .Demuestre que si h de A en A`, es un homomorfismo de anillos tal que 1εA y h es sobre o A` es un dominio entero con elemento unitario y h es no nulo, entonces h(1) es elemento unitario de A`. Sug[Si h es sobre, basta tener encuentra que A´=h(A). Pero si A´es un dominio entero con elemento unitario 1´ y h es no nulo; existirá a∈A tal que h(a)≠0 y por consiguiente h(a)h(1)=h(a)1´, lo cual implica que h(1)=1´ ] 3.5.3 Demuestre que los anillos 2ℤ y 3ℤ no son isomorfos. Sug[Si f de 3ℤ eenn 2ℤ es un isomorfismo , entonces f(6.3) = 2f(3)f(3) = 6f(3), entonces 2f(3) = 6; y esto no es posible en 2ℤ, al menos que f(3) = 0, lo que entraría en contradicción con el carácter inyectivo de f.] 3.5.4. Demuestre que si A y A´ son anillos tales que A≈A`, entonces todas las cualidades del anillo también son propias del anillo A`. Es decir: i)si A tiene elemento unitario, entonces A` tiene elemento unitario, ii) Si A es conmutativo, entonces A` es conmutativo, iii) Si A es un dominio entero, entonces A` es un dominio entero. iv) Si A es un anillo con división, entonces A` es un anillo con división y v) Si A es un campo, entonces A` es un campo. 3.5.5 Demuestre que todo dominio entero A de característica cero, contiene un subconjunto K tal que K con las operaciones de A es un anillo y K ≈ℤ. Sug[Considere Å=n.1/nεℤ y demuestre que Å≈ ℤ.. 3. 5.6. Si <M,+> es un grupo abeliano y consideramos el conjunto K = Hom(M)=f/f es un homomorfismo de grupos del grupo M en M,demuestre que <K,+,o> es un anillo si consideramos + = suma de funciones y o = composición de funciones. 3.5.7-Demuestre que la construcción del campo ℚ de los números racionales a partir del

conjunto ℤ de los enteros, desarrollada en 1.15 puede generalizarse para construir el campo de fraccionarios de un dominio entero D, solamente cambiando en dicho ejercicio a ℤ por

149

D y notando [(a,b)]=a/b, si a,b∈D y b≠0, así como FD, en vez de ℚ, donde FD=a/b/a,b∈D y b≠0 3. 5.8. Demuestre que el conjunto K del Ejemplo 3.4.7 es cerrado para la suma. 3. 5.9. En el Teorema 3.4.9 demuestre i)

a⊕b =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+∈∈++∈∈+∉+∈+

∈+∈++∈+

K de suma la con K´,bF,a si b,f(a)K de suma la es con Fb K´,a si f(b),a

K de suma lacon K´bay K´ba, si ),ba(fK´b a y, K´ba, si K, de suma lacon , ba

F de suma la es y Fba, Si b,a

1-

ii) que ⊕ y o son operaciones conmutativas en E. iii) Si a∈K’ y b∉K’, demuestre que ab, a+b∈K’.

3.5.10.- Si K es un campo, demuestre:

i) El conjunto G =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛K/a

10a1

, con la multiplicación en M22(ℂ), es un grupo

ii) G ≈ <K , +>.

iii) El conjunto G` =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≠∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0ady K db,/a,

d0ba

, con la multiplicación en M22(ℂ) es un

grupo

iv) f de G` en <K , o>X<K , o>, definida como: d) , (ad0ba

f =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ , es un

homomorfismo de grupos. 3.5.11. Si G=ℤ4 y G` es obtenido a partir de ℤ4 a la manera del Ejercicio 3.2.9, definiendo 1.1=2, entonces: i) elabore la tabla de la multiplicación de G´ ii) demuestre que G no es isomorfo a G`. 3.5.12.- Si ℤ es el anillo de los enteros A = ℤxℤ, demuestre :i) A es un anillo con elemento unitario, ii) ¿Es A dominio entero? iii) Demuestre que f: ℤ→A, definida como f(z)=(z,0),es un homomorfismo de anillos no nulo. iv) ¿Es f(1) el elemento unitario de A?. 3.5.13 Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Dos anillos numerables son siempre isomorfos. ii) Si f:A→A` es homomorfismo de anillos tal que 1εA, entonces A` es un anillo con elemento unitario f(1).

150

iii) Si f:A→A` es un homomorfismo de anillos no nulo tales que A y A` tiene elementos unitarios 1 y 1`, respectivamente, entonces f(1)=1` iv) Dos anillos finitos con el mismo número de elementos son isomorfos. v) Si f:A→A` es un homomorfismo de anillos tal que A` es un dominio entero, y 1εA, entonces A` tiene elemento unitario f(1). vi) Si f:A→A` es un homomorfismo de anillos tales que A y A` tienen elemento unitario y A` es un dominio entero, entonces f(1) es elemento unitario de A` vii) Si f:A→A` es un homomorfismo no nulo de anillos tales que A y A` tienen elemento unitario y A` es un dominio entero, entonces f(1) es elemento unitario de A`. viii) si A y A' son anillos tales que <A , +> ≈<A' ,+>, entonces A ≈ A'.

3.6. EL ANILLO DE LOS POLINOMIOS El objetivo de esta sección es el de estudiar a los polinomios, que como recordamos son objetos del tipo ao+a1x+a2x2+... +anxn, donde los ai, en la forma más general, son elementos de algún anillo A. El método que utilizaremos conlleva el ejercitarnos en la construcción de un anillo a partir de otro, mediante la formalización de propiedades que ya conocemos de los polinomios con coeficientes reales y luego ver que dicha presentación conduce a las formas usuales. Un primer problema que presentan los polinomios es el correspondiente a la indeterminada x o z, o y ,o w, según el caso. Por ejemplo, al aceptar que los polinomios p(x)=3+x+2x2+4x3+7x5, y q(z)=3+z+2z2+4z3+7z5 son idénticos, podemos obviar la presencia de z o x, que parecen no jugar un papel importante, considerando a p(x) y a q(z), como la sucesión : (3,1,2,4,0,7,0, 0, ...), la cual a su vez corresponde a una notación abreviada de la función f : ℕ = 0,1,2, ..:→ ℤℤ, definida como f(0)=3, f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4, f(4)=0, f(5)=7 y f(n)=0, si n>5. Es decir se trata de elementos ℤℕ, o de sucesiones en ℤ, según lo definido en 3.1.10. Hablemos entonces inicialmente del conjunto de tales sucesiones en un anillo A, es decir Aℕ tal como se definió en 3.1.10, en el sentido de la siguiente definición: Definición 33..66..1 Si A es un anillo, diremos que f es un polinomio en A, si f es una sucesión en A para la cual existe Mεℕ tal que f(n)=0, si n>M. Al menor natural M tal que f(n)=0, si n>M, lo llamaremos el grado de f y lo notaremos o(f). Además para cada nεℕ, notaremos f(n)=an, representando a f mediante la sucesión: f =(a1,a2, ..., ao(f),0,0...)= (an)nεℕℕ . 33..66..2 . Como notación inicial para el conjunto de todos los polinomios en A, adoptaremos a PA. Es decir, PA=f/f es un polinomio en A. Observe que según Definición 33..66..11, si fεPA, debe existir Nεℕℕ tal que f(n)=0, si n>N. Por consiguiente L=Nεℕ/f(n)=0, si n∈ ℕ y n>N≠∅, razón por la cual L tiene un elemento mínimo, que es precisamente o(f). Luego dado cualquier fεPA, existe o(f)= minNεℕ/f(n)=0, si n∈ ℕ y n>N. 33..66..3. Observe que forman parte de PA, las sucesiones del tipo (c,0,0, ...), donde cεA, puesto que ella corresponde a la función f(0)=c, y f(n)=0, si n>0. Un caso particular es la sucesión

151

(0,0, ...). Al polinomio (c,0,0,...) lo calificamos como un polinomio constante, siendo uno especial el polinomio (0,0, ...), que rotularemos como el polinomio nulo de PA. Obviamente los polinomio constantes y en particular el nulo son de grado cero. Puesto que Kεℕ /f(n)=0, si n∈ℕ y n>K= ℕ y el mínℕ =0. 33..66..4 Si f y g son funciones de A en B, sabemos que f=g si y sólo si f(a)=g(a), para cada aεA, en consecuencia se deduce que para dos sucesiones (a1,a2, ...),(b1,b2, ...)εPA se tiene que (a1,a2, ...) = (b1,b2, ...), si y sólo si a1=b1, a2=b2, ..., o equivalentemente, si para cada nεℕ, an=bn Nos preocuparemos enseguida por dotar a PA de una suma y una multiplicación de tal manera que PA sea un anillo. Una solución primaria proviene de las definiciones usuales de suma y multiplicación de funciones de ℕ en el anillo A. Nos referimos a aquellas que corresponden, para f,gεPA, a (f+g)(a)=f(a) +g(a) y f.g(a)= f(a).g(a), si a∈A; cuya notación en sucesiones, al considerar f=(a1,a2, ...) y g=(b1,b2, ...), se expresa como f+g=(a1+b1,a2+ b2, ...) y fg= (a1b1, a2b2, ...). Es de verificación inmediata el que estas operaciones transforman a PA en un anillo. De las dos operaciones anteriores, la suma se asimila a la conocida en polinomios con coeficientes reales, para entenderlo basta ver que si f(x)=3+4x+5x2 y g(x)=4+6x+3x2), entonces f(x)+g(x)=7+10x+8x2; procedimiento que al ser traducido en términos de sucesión, cobra la forma (3, 4, 5, 0, 0,...)+(4,6,3,0,0,...)=(3+4,4+6,5+3,0,0,...)= (7,10,8,0,0,. ..). Pero no corresponde al de la multiplicación de polinomios, pues en nuestro caso, la manera clásica, produce f(x)g(x)=12+34x+ 53x2+ 42x3 +15x4. Para observar esta situación en la notación de sucesiones, consideremos f(x)= (a0,a1,a2,0,0,...), y g(x)=(b0,b1,b2,0 ,0, ...),con a0=3, a1=4 ,a2=5, a3=a4= ...0; b0=4, b1=6 y b2=3, b3=b4= ... =0, obteniéndose fg=(p0,p1,p2,p3,p4), donde p0=12, p1=34, p2=53, p3=32 y p4=15. Notándose que p0=3.4=a0.b0=f(0).g(0), p1 =a1b0+a0b1=f(1)g(0)+ f(0)g(1), p2=a2b0 +a1b1+ a0b2= f(2)g(0)+f(1)g(1)+f(0)g(2), p3= a3b0 +a2b1+a3b0= f(3)g(0) + f(2)g(1) +f(1)g(2) +f(0)g(3) , p4=a4b0 +a3b1+ a2b2+a1b3+a0b4 ,=f(4)g(0) + f(3)g(1)+f(2)g(2)+f(1)g(2)+ f(0)g(3). Con estas observaciones planteamos las siguientes definiciones de suma y producto en PA, en la que notaremos abreviadamente a f=(a0,a1, ... ,aN,0, ...), como f=(ak)kεℕℕ. Definición 33..66..5 Si A es un anillo con elemento unitario y f=(ak)kεℕℕ y g=(bk)kεℕℕ, son elementos de PA, entonces definimos: f+g=(sk)kεℕℕ, con sk=ak+bk, llamada la suma de polinomios y f.g=(pk)kεℕℕ, con pk=akb0+ak-1

b1+.. .+ ak-ibi+...+a0bk= ∑= −k

0i ibika identificado como el producto de polinomios.

152

33..66..6.Sobre la base de la suma y multiplicación del anillo A, se demuestra sin mayores contratiempos que la suma y el producto de polinomios de la Definición anterior, son operaciones en PA. Además también es fácil verificar que fg=(pk)kεNN con pk

= ∑= −=∑

=−=∑

= −k

0j jkbjak

0jj)g(j)f(kjb

k

0j jka (Ver Ejercicio 3.7.2).

Teorema 33..66..7 Si A es un anillo, PA con la suma y multiplicación de polinomios de la Definición 33..66..55 es un anillo. Demostración.- Verifiquemos que PA satisface la condición Ai de la Definición de anillos (3.1.1), es decir que <PA , +> es un grupo abeliano. Para ello basta ver que ésta estructura es conmutativa y satisface las condiciones G1,G2 y G3 del TTeeoorreemmaa 22..22..55 . Si f=(fk)kεNN, g=(qk)kεNN,y h=(hk)kεNN son elementos de PA, entonces por aplicaciones sucesivas de la definición 33..66..5 de la asociatividad de <A , +> y del principio de igualdad entre sucesiones presentado en 3.6.4, se tiene que f+(g+h)=(fk)kεNN+ (qk+hk)kεℕℕ =(fk+(qk+hk))kεNN

=((fk+qk)+hk)kεℕℕ ==(fk+qk)kεNN++((hk)kεℕℕ == (f+g)+h. Entonces la suma de polinomios en la definición 33..66..5 satisface G1. Además obviamente <PA,+> satisface a G2, ya que la sucesión nula es precisamente su módulo. Por último, como es obvio que -f=(-fk)kεℕℕ εPA , <PA , +> satisface la condición G3. puesto que f+(-f) =(fk+(-fk)kεℕℕ= (0,0, ...), se concluye que <PA ,+> es un grupo; que resulta ser abeliano, puesto que por tener esa misma propiedad <A , +> y por Definición 33..66..5 se infiere :f+g= (fk+qk)kεℕℕ=(qk+fk)kεℕℕ =g+f. Luego PA satisface Ai.

Análogamente la definición 33..66..5 , con relación al producto de polinomios explica que f(gh)

= (fk)kεNN(qk)kεNN, donde qk= ∑= −k

0j jhjkg . Por lo tanto f(gh)=(pk)kεℕℕ , con pK

=iq

k

0i ikf∑= −

= jhi

0j jigk

0i ikf ∑= −∑

= − = ∑= −∑

= −k

0i jhjigi

0j ikf Similarmente

(fg)h=(tk)kεNN, con tk= iksi

0jjgjif

k

0i−∑

= −∑=

. Pero como tk=pk=thsg

ktsrrf∑

=++,(Ver

Ejercicio 3.7.3) concluimos que f(gs)=(fg)s. Para comprobar A3, al aplicar la suma de polinomios definida en la definición 33..66..5 , f(g+s)=(fk)kεNN(gk+sk))kεNN y en consecuencia según el producto de polinomios del mismo numeral, obtenemos f(g+s) =(ck)kεNN donde ck=fk(g0+s0)+fk-1(g1+s1)+ ... +f0(gk+sk), pero como A satisface A3 y <A , +> es en particular asociativo y conmutativo, inferimos que ck= (fkg0 +fk-1g1 + ...+f0gk)+(fks0+ fk-1s1+ ...+f0gk), presentación que de acuerdo al producto y a la suma de polinomios corresponde a (ck)kεℕℕ=(fk)kεNN(gk)k εℕℕ+ (fk)kεNN (sk)kεℕℕ=fg+fs.

153

Como análogamente se comprueba (g+s)f=gf+sf deducimos finalmente que PA es un anillo.

33..66..8. Con el fin de traducir la notación actual a la más familiar en un anillo A con elemento unitario 1, notaremos abreviadamente a (α,0, ... 0, ...) como α y a (0,1,0, ... 0, ...) como x. En consecuencia xx=x2=(0, 0,1,0, ...), obteniéndose, para nεℕ, que xn=(ak)kεℕ, con ak=0, si k≠n y an=1. 33..66..9. De la notación planteada anteriormente, se tiene que (a0,a1, ... ,an,0, ...), cobra la forma p(x)=a0+a1x+...+anxn, que a su vez calificaremos como un polinomio en la indeterminada x con coeficientes en el anillo A . A las expresiones aixi las denominaremos los términos de p(x) y a los ai sus coeficientes. Además, en consecuencia con esta situación, en vez de PA notaremos A[x] y lo llamaremos el anillo de los polinomios en la indeterminada x, con coeficientes en A. 33..66..10 Según la notación A[x], la suma y el producto de polinomios de la Definición 33..66..5 cobran la forma:(a0+a1x+ ...+ anxn)+(b0+b1x+. ..+ bmxm) = (a0+b0+... +(ak+bk)xk+ ...) y (a0+a1x+ ...+ anxn)(b0+b1x+...+ bmxm)=a0b0 + ...+ Σak-jbjxk+ ...anbmxn+m. 33..66..11. Resaltamos nuevamente que x es el nombre dado al elemento (0,1,0, ...). Pero también pudo dársele el nombre de y, en cuyo caso A[x] se notaría como A[y], calificándose como el anillo de los polinomios en la indeterminada y con coeficientes en A. Como es de esperarse A[x] y A[y] son el mismo anillo, ya que las diferencias entre ellos, son consecuencias del nombre que se le ha dado al elemento (0,1,0, ...). Además note que a0+a1x+ ... = b0+b1y+ ... , si y sólo si a0=b0, a1=b1, ..., ai=bi, .... ... Los anillos estudiados hasta el momento los hemos clasificados como: anillos con elemento unitario, anillos conmutativos, dominios enteros, anillos con división y campos. Estamos interesados en estudiar cual de esas cualidades en un anillo, son heredadas por su respectivo anillo A[x]. 33..66..12. Obviamente si A es un anillo con elemento unitario 1, entonces también A[x] es una anillo con elemento unitario, ya que precisamente el polinomio constante p(x)=1 es su elemento unitario. También es inmediato que A[x] es conmutativo si A lo es, porque si p(x)=a0+a1x+... y g(x)=b0+b1x+... son elementos de A[x], según 33..66..10 , la conmutatividad de A y 33..66..66..

implican que p(x)g(x)= Nk

k

0iiik

Nk

k

0iiki abba

∈=−

∈=− ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∑∑ =g(x)p(x)

33..66..13. Pero si K es un campo, K[x] no es un campo, puesto que el polinomio p(x)=x, no tiene inverso multiplicativo en K[x], ya que obviamente el polinomio nulo no es inverso multiplicativo de p(x) y si q(x)εΚ [x]= p(x)εK[x] /p(x)0, entonces existe por lo menos un coeficiente de q(x), qi0, obteniéndose así que uno de los términos de p(x)q(x) es q i xi+1, lo cual implica que p(x)q(x) no es el elemento unitario de K[x].

154

Con el fin de demostrar que la cualidad de dominio entero en un anillo D es heredada por el anillo D[x], demostraremos el siguiente Lema: Lema 33..66..14 Si D es un dominio entero, f(x),g(x)∈D[x] tales que o(f)=n y o(g)=m, entonces o(fg)=n+m. Demostración.- El Lema es de demostración inmediata si o(f) =0 o o(g)=0. Supongamos por lo tanto o(f)=n>0 y o(g)=m>0. La Definición 33..66..11 orienta que si el coeficiente pn+m de fg es tal que pn+m0 y pk=0, si k>n+m, entonces o(fg)=n+m. Por Definición 33..66..55 pn+m = (an+mb0 +an+m-1b1+...+an+1 bm-1+ anbm)+ (an-1bm+1+an-2 bm+2 +...+a0bn+m). Pero como o(f)=n y o(g)=m, nuevamente la Definición 33..66..55 implica que an+m=an+m-1= ... =an+1= bm+1=bm+2= ... =bn+m=0 y en consecuencia pn+m=anam•0 . Por último si k>n+m, entonces no es posible que k-j≤n y simultáneamente j≤m, puesto que ello implicaría el absurdo k≤n+m. Por lo tanto o k-j>n o j>m, disyuntiva que nos conduce a la

situación ak-j =0 o bj=0, razón suficiente para deducir que pk=0, puesto que pk=∑=

−

k

0Jjjk ba .

Ahora si estamos en condiciones de demostrar que la propiedad dominio entero en anillo D la hereda el anillo D[x]. Teorema 33..66..15. Si D es un dominio entero, entonces D[x] también lo es. En particular, si D es un campo, entonces D[x] es un dominio entero. Demostración.- Sabemos que D[x] es conmutativo, ya que según la Definición 3.1.44 D lo es, por ser D un dominio entero. Por lo tanto para demostrar que D[x] es un dominio entero, basta ver, de acuerdo al Teorema 3.3.1, que si f(x),g(x)∈D[x] son tales que f(x)g(x)=0, entonces o f(x)=0 o g(x)=0. Sean f(g),gx)∈D[x] tales que f(x)g(x)=0. Entonces al aplicar el Lema 33..66..14 se deduce que o(f(x)g(x))=o(f(x))+o(g(x))=o(0)=0. Luego o(f(x))=o(g(x))=0 y así existirán α,β∈D tales f(x)=α y g(x)=β y por lo tanto αβ=0. Pero como D es un dominio entero se infiere α=0 o β=0, es decir f(x)=0 o g(x)=0

3.7. EJERCICIOS 3.7.1. .Demuestre que la suma y multiplicación de polinomios de la Definición 33..66..5 son operaciones en PA. 3.7.2 Demuestre que si f=(ak)kεNN y g=(bk)kεNN, son elementos de PA, donde A es un anillo,

entonces fg=k

j k jj 0 k

a b −= ∈

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑ . =naturales.

155

3.7.3 Si A es un anillo y f =(fk)kεNN, g =(qk)kεNN y h =(hk)kεNN,, entonces :i)-f=(-ak)kεℕ εPA.ii)Con relación al Teorema 33..66..7 demuestre que

∑=

∑= −−

k

0i

i

0j jhjigikf = ikhi

0j jgjifk

0i −∑= −∑

== ∑

=++ ktsr thsgrf Sug[ Al considerar

frgsst tal que r,s,t∈Z+ y r+s+t=k, verifique que es posible encontrar un i,j∈ℤ+, tales que de una parte se tenga: k-i=r, i-j=s, y j=t, para la primera sumatoria, y de la otra, para la segunda sumatoria,: i-j=r, j=s y k-i=t ] 3.7.4. Si en la Definición 33..66..1., hubiéramos definido sencillamente SA=f /f es una función de ℕℕ en A, entonces a los elementos de SA, se les llama serie formales de potencia y tendrían la forma f =(ao,a1,a2, ...), donde no necesariamente existe Nεℕℕ tales aj =0, si j>N.

Al definir suma y producto en SA como en la Definición 33..66..55, demuestre que si A es un anillo con elemento unitario y f=(ao,a1,a2, ...)∈PA, entonces f es una unidad en PA, si y sólo si ao es a su vez unidad en A.. Sug[Es evidente que si f es una unidad en A, existe g(x)= ∑

∈Nk

kk xb tal que f(x)g(x)=1 y por lo tanto b0≠0, obteniéndose además que a0b0=1. De

otra parte, si a0 es unidad en A, veamos que es posible encontrar g(x)= ∑∈Nk

kk xb ∈A[x] tal

que f(x)g(x)=1. En efecto, al ser a0 unidad en A, existirá b0∈A tal que a0b0=1, de tal manera que al considerar a0b1+a1b0=0, se tiene que b1+a1b0

2=0, que permite el cálculo de b1, en general, si hemos calculado , todos los términos hasta bi-1, podemos calcular el término bi,

puesto que al considerar ∑=

− =i

0jjij 0,ba obtenemos ∑

=− =+

i

1jjij0i 0babb

3.7.5. Si A es un anillo tal que A[x] es un dominio entero, demuestre que A debe ser un dominio entero. 3.7.6. Recuerde que cualquier natural n escrito en base 10 es de la forma n = ajaj-1 ... a0 =

aj10j+aj-11010j-1+ ... + a110+a0 = ∑=

−−

i

k

kikia

0

10 . Demuestre : i) n ≡∑=

−

i

kkia

0

mod9..

Sug[∑=

−−

i

k

kikia

010 .-∑

=−

i

kkia

0= ( )∑

−

=

−− −

1

0110

i

k

kikia y aplique: xn-1 =(x-1)(∑

=

−n

1j

jnx )

ii) Observe que en la multiplicación usual 375x1754=657.750 tenemos 375≡6 mod 9, 1754≡8 modo9, 6x8=48≡3 mod9 y también 657.750≡3 mod 9. Esta coincidencia llamada la prueba del 9, se acostumbra a representar de la siguiente manera : 6 3 X 3 8 Planteé de manera general esta situación y demuéstrela.

156

.3.7.2.- Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Si A y A` son anillos tales que <A , +> ≈ <A` , +> ,entonces, A ≈ A`. ii)) Si A es un anillo y f(x),g(x)εA[x],entonces o(f(x)+g(x)) =o(f(x)+o(g(x). iii))Dado r(x)=2x-4x2εZZ[x], existe p(x)εZZ[x] tal que p(x)r(x) =1-4x2+4x3. iv) Si F es un campo, entonces las únicas unidades en F[x] son 1 y -1. v) Si A es un anillo y f(x),g(x)εA[x], entonces o(f(x)+ g(x))=o(f(x))+o(g(x)). vi) Si A es un anillo y f(x),g(x)εA[x] son tales que o(f))> o(g), entonces o(f+g)=o(f).

3.8. CORTADURAS DE DEDEKIND.

En el Capítulo 1 (1.10 y1.15) abordamos la definición de un conjunto ℕ de números naturales, y sobre esa construimos un conjunto ℤ de los enteros y de un conjunto Q de números racionales. Es de anotar que en la contenencia [(n,0)]n∈ℕ⊂ℤ, se tiene que K=[(n,0)]n∈ℕ es un conjunto de naturales, tal como se consideró en Definición. 1.10.1. (ver Ejercicio 3. 9. 1)

De otra parte como ℤ≈[(n,0)]n∈ℤ⊂ℚ, concluímos que el anillo de ℚ los racionales contiene un anillo T = [(n,0)]n∈ℤ, tal que T≈ℤ.

En ese sentido afirmar ℕ⊂ℤ⊂ℚ equivale a decir, que ℚ contiene un anillo isomorfo al

anillo ℤ y a su vez ℤ contiene un conjunto de naturales. Geométricamente se representa a ℚ en la recta conocida como real, haciendo corresponder a cada racional un punto de dicha recta, sobre la base de asignar el cero a algún punto de dicha recta, y a cada elemento de ℚ*, el que se le señale a partir de una unidad de longitud, mediante las proporciones adecuadas, entendiendo que p/q∈ℚ se obtiene dividiendo en q partes iguales las unidades que sean convenientes hasta obtener p de dichas q ésimas partes de la unidad, en el sentido positivo o negativo, según el caso, como se indica en la gráfica

3.8.1, para 34

-3 -2 -1 0 31 1

34 2 3

Gráfica 3.8.1 Mediante ese procedimiento quedan puntos en dicha recta que no se identifican con los elementos de ℚ. Por ejemplo, la longitud referida a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden la unidad de la recta anterior no se puede obtener según el procedimiento señalado para representar a un elemento p/q∈ℚ. Es decir √2∉ℚ. En efecto, si √2 = p/q (1), para p,q∈ℤ tales que (p,q) =1, entonces al elevar al cuadrado en ambos lados de (1), obtenemos que 2 = p2/q2 (2) y por consiguiente p2=2q2. Entonces p2∈2 ℤ y por lo tanto p∈2ℤ (Ver Ejercicio 3. 9. 2 ). Es decir p=2k, para algún k∈ℤ. Por lo tanto

157

al sustituir en (2), tenemos que 2 = 4k2/q2, lo cual nos indica que q2 = 2k2. Luego q2∈2ℤ y por ende q∈2ℤ. En conclusión p,q∈2ℤ y esto no es posible ya que (p,q)=1. La magnitud √2 es conocida como un número irracional. Vamos entonces a construir a partir de los racionales un sistema que permita hacer corresponder a cada punto de la recta real un número real y a cada número real un punto de la recta real. Iniciaremos planteando una definición de cortadura de Dedekind que se basa en el subconjunto ℚ. de los racionales ubicados en el subconjunto D resaltado a la izquierda del punto α de la recta real en la Gráfica 3.8..2. ) α Gráfica 3.8..2 El subconjunto D de la gráfica 3.8..2, es caracterizado por la siguiente definición: Definición 3.8.3. Se dice que D es una cortadura de Dedekind si D⊂ℚ tal que:

1) D≠∅ 2) Si p∈D y q∈ℚ tal que q<p, entonces q∈D. 3) Si p∈D, entonces existe q∈D tal que p<q. Es decir en D no existe un elemento máximo. Los conceptos de cota superior, e inferior, así como el de supremo y el del ínfimo presentandos en la Definición 1.17.1 cobran la siguiente forma en ℚ. Definición 3.8.4. Si K⊆Q y a∈ℚ, entonces: i) a es una cota superior de K, si a≥k, para todo

k∈K; ii) a es una cota inferior de K, si a≤k, para todo k∈K; iii) a es el supremo de K en ℚ,

notado a=supℚ K, si a es la menor de las cotas superiores de K. Es decir a= supℚK, si y solo si: a es cota superior de K y a≤k, siempre que k sea cota superior de K; iv) a es el ínfimo de K en ℚ, notado a=infQ K, si a es la mayor de las cotas inferiores deK. O equivalentemente, a=

infℚ K, si y solo si: a es cota inferior de K y a≥k, si k es cota inferior de K. Observe que si D es una cortadura de dekind y k∈ℚ tal que k∉D, entonces d<k, para cualquier d∈D, ya que si existiera d∈D tal que k≤d, entonces de acuerdo a 2) tendríamos que k∈D. Luego, si k∈ℚ y k∉D, entonces k es una cota superior de D Recíprocamente, si k∈ℚ tal que k es una cota superior de D, entonces k∉D, por que si k∈D entonces por la condición 3) de la Definición anterior, debe existir p∈D tal que k<p, y así k no sería cota superior de D. Luego es válida la siguiente apreciación:

158

Teorema 3.8.5 Si D es una cortadura de Dedekind y k∈ℚ, entonces k∉D, si y solo si k es una cota superior de D. El siguiente es un ejemplo interesante de cortadura: Ejemplo 3.8.6. Si r∈ℚ, entonces r* = q∈ℚ /q<r, es una cortadura de Dedekind. En efecto: Es evidente que r* satisface las condiciones 1) y 2) de la Definición 3.8.3, ya que al tener que r-1<r, se deduce que r-1∈r* y como además r∉r* se infiere que r*⊂Q y r*≠∅. Además si p∈ℚ y q∈r*, tal que p<q. Entonces, como por definición de r*, q<r, concluímos que p<r. Razón para concluir, nuevamente por definición de r*, que p∈r*. Entonces 2) es válido. Por último, si q∈r*, entonces por definición de r*, tenemos que q<r, y por consiguiente al sumar r en ambos lados y dividir por 2 también en ambos lados obtenemos que (q+r)/2<r. Además al proceder similarmente sumando q en ambos de la misma desigualdad, concluimos que q<(q+r)/2 Luego s= (q+r)/2r* y además q<s, y de esta manera se cumple 3), para aceptar así que D es una cortadura de dekind. 3.8.7. Consideraremos ahora ℜ=D/D es una cortadura de Dedekind. El objetivo es definir una suma y una multiplicación en D, de tal manera que <D,+,•> sea un campo. Para avanzar en ese propósito, demostraremos el siguiente Lema: Lema 3.8.8. Si D es una cortadura de Dekind y r∈ℚ*, entonces existen α,β∈ℚ tales que

α∈D y β∉D, donde β-α=r y β≠SupQ D. Demostración. Como D≠∅, podemos considerar a∈D y definir K = sn/(∃n∈ℕ)(sn=a+nr). En vista de que D≠ℚ, debe existir n∈ℕ tal que sn∈D, pero sn+1∉D. Porque si sn+1∈D,

siempre que sn∈D, entonces por el principio de inducción matemática sn∈D, para todo n∈ℕ, pues s0=a∈D. Esto implicaría el absurdo D= ℚ, puesto que si p∈ ℚ, existe M∈ℕ tal que

p<sM. En efecto, al tomar M∈ℕ tal que M>(p-a)/r (Ver Ejercicio 3. 9. 4) , la condición 2) de la Definición 3.8.3 implica p∈D, ya que sM∈D. Entonces ℚ⊆D y por ser D⊆ℚ tenemos

D=ℚ. En consecuencia debemos aceptar que existe n∈ℕ tal que sn∈D, pero sn+1∉D. Por lo tanto al tomar α = sn y β= sn+1, por el Teorema 3.8.5 obtenemos que β es cota superior de D. Además β-α = sn+1 - sn =(a+(n+1)r)-(a+nr)=r. Si sn+1 no es la menor de las cotas superiores de D, el Teorema está demostrado. Pero si sn+1= SupQ D, entonces en vez de sn∈D, consideremos al p∈D, existente de acuerdo a la condición 3) de la Definición 3.8.3 tal que

159

sn<p. Por lo tanto p= sn+h, para algún h∈ ℚ +. De otra parte, en vez de sn+1 sea q= sn+1+h> sn+1. Entonces q en este caso es también cota superior de D, pero q no es la menor de ellas y además q – p =r. Hemos encontrado p,q∈ℚ tales que p∈D, q∉D, q-p=r y q≠ SupQ D Ahora estamos en condiciones de abordar la suma de cortaduras. Definición 3.8.9. Si C,D∈ℜ, definimos C+D=c+d/c∈C y d∈d, donde + en c+d es la suma de racionales. La suma de C+D la trataremos como una suma de cortaduras. Teorema 3.8.10. La suma definida anteriormente es una operación en ℜ. Demostración. Evidentemente si C∈ℜ y D∈ℜ, entonces C+D = D+C. Por lo tanto para demostrar que la suma de cortaduras es operación, nos orientaremos por el Corolario 1. 1.19. En ese sentido la Definición de suma de cortaduras satisface la condición 1) de dicho Corolario. Para probar 2) del Corolario 1. 1.19, consideremos C,D∈ℜ, y demostremos que C+D∈ℜ. En efecto, como C⊂Q y D⊂Q, también C+D⊆Q y obviamente C+D≠∅, ya que al ser C≠∅ y D≠∅, existen c∈C y d∈D, obteniéndose así que c+d∈C+D. Es claro que existen p,q∈Q tales que p∉C y q∉D, pues C≠Q y D≠Q. Entonces de acuerdo al Teorema 3.8.5, p>c y q>d, para cualquier c∈C y para cualquier d∈D. Indicándonos ello que p+q>c+d, para cualquier c∈C y para cualquier d∈D. Entonces p+q≠α, para cualquier α∈C+D, y por consiguiente p+q∉C+D. Concluyendo así que C+D≠Q. Es decir C+D satisface la condición 1) de la Definición 3.8.3. Si c+d∈C+D y p∈Q tal que p<c+d, entonces existe h∈Q+ de tal manera que p+h=c+d. Por consiguiente p =(c-h)+d. Pero c-h<c, por ser h>0 y por lo tanto como c∈C y C es una cortadura, por la condición 2) de la Definición 3.8.3., se tiene que c-h∈C. Luego p=(c-h)+d, con c-h∈C y d∈D, infiriéndose que p∈C+D. De esta manera C+D cumple la condición 2) de la Definición 3.8.3. Sabemos por la condición 3) de la Definición 3.8.3. que si c∈C y d∈D. entonces existen p∈C y q∈D tales que c<p y d<p. En consecuencia c+d<p+q con p+q∈C+D. Luego C+D no tiene un elemento máximo, lo cual indica la satisfacción de la condición 3) en la Definición 3.8.3. De esta manera hemos demostrado que C+D∈ℜ. La condición 3) del Corolario 1. 1.19, es inmediata, porque como C+D = D+C, para C,D∈ℜ, tenemos que si C=C1∈ℜ, D∈ℜ y c+d∈C+D, ello equivale a afirmar que c∈C y d∈D, pero como C=C1, lo anterior se cumple si y solo si c∈C1 y d∈D. Es decir c+d∈C1+D y por ende C+D = C1+.D.

160

Al haber demostrado que la suma de cortaduras definida 3.8.9 cumple las condiciones 1), 2) y 3) del Corolario 1. 1.19, se deduce que dicha suma es una operación en ℜ Teorema 3.8.11. Si C∈ℜ, entonces –C =r∈ℚ/ -r∉C∧-r ≠supQ C∈ℜ. Demostración. La Gráfica 3.8.3, ilustra sobre la construcción de –C. Obviamente -C⊆ℚ,

y como según la Definición 3.8.3 C≠ℚ, debe existir p∈ℚ tal que p∉C. Por lo tanto de acuerdo al Teorema 3.8.5, p>α para todo α∈C y por consiguiente p+1>α, para todo α∈C. Razón por la cual, según Teorema 3.8.5, p+1∉ C. Pero p+1 no es el menor de tales elementos, ya que p+1>p>α, para todo α∈C; es decir p+1∉C y p+1≠supℚC (Definición 3.8.4), y en consecuencia por Definición de –C, se tiene que –p-1∈-C. Luego -C≠∅. Además también la Definición 3.8.3 indica que C≠∅, y por ello debe existir r∈ℚ tal que

r∈C. Por lo tanto -r∉-C, ya que si -r∈-C, entonces por Definición r∉C. Luego -C≠ℚ De tal manera que –C satisface la condición 1) de la Definición 3.8.3, pues hemos probado que -C⊂ℚ y -C≠∅. • * • ) 0 • ) .• • * -p-1 r -α -C α C p p+1 -r Gráfica 3.8.3. Ahora si p∈-C y q∈ℚ son tales que q<p, entonces –q>-p y como –p es cota superior de C, ya que p∈-C., también –q es cota superior de C, y -q no es la más pequeña de ellas, pues –q>-p. Es decir q∈–C y en consecuencia -C satisface la condición 2) de la Definición 3.8.3. Por último, si p∈-C, entonces –p es cota superior de C, pero como -p≠SupC, entonces por la Definición 3.8.4, debe existir q∈ℚ, q es cota superior de C, tal que q<-p. Si consideremos r=(q-p)/2 (es decir el punto medio entre q y –p, como se insinúa en la gráfica 3.8..4) tenemos que q < (q-p)/2<-p y por lo tanto (q-p)/2 es cota superior de C y (q-p)/2≠SupC, razón para concluir que (q-p)/2∈-C y (q-p)/2>p∈-C. Luego –C satisface la condición 3) de la Definición 3.8.3. * ) ) • * p (q-p)/2 -C 0 C q (q-p)/2 -p Gráfica 3.8..4 Se puede asegurar por consiguiente -C∈ℜ.

161

Avancemos un poco más demostrando el siguiente Teorema: Teorema 3.8.12. <ℜ,+> es un grupo abeliano. Demostración.- Sean C,D,E∈ℜ, entonces C+(D+E) = (C+D)+E, pues afirmar que α∈C+(D+E) equivale a considerar: α=c+(d+e), con c∈C, d∈D y e∈E. Pero como c,d,e∈ℚ y

<ℚ,+> es asociativa, la anterior afirmación es equivalente a la propuesta: α = (c+d) + e ∈ (C + D) +E. Luego <ℜ,+> es asociativa. (1), De acuerdo con el Ejemplo 3.8.6 0* =r∈ℚ/r<0= ℚ- es una cortadura. Veamos que 0* , le corresponde el papel de módulo a la derecha en <ℜ,+>. En efecto, si C∈ℜ, entonces C+0*=c+r/c∈C y r∈0*⊆C, porque si c+r∈C+0*, entonces c∈C y r∈ℚ-. En consecuencia c+r<c y por consiguiente, según la Definición 3.8.3, c+r∈C, ya que c∈C. Recíprocamente, si c∈C, entonces por la Definición 3.8.3 iii) existe d∈C tal que c<d. Por lo tanto es posible encontrar h∈ℚ+, para el cual d=c+h. Luego c=d+(-h). Pero como d∈C y -

h∈0*, ya que h∈ℚ+, entonces c∈C+0*. Luego C⊆C+0*, resultado que infiere C+0* =C, pues ya se demostró que C+0*⊆C. Luego <ℜ,+> es modulativa a la derecha. (2) Demostremos que C+(-C) = 0*: Si α∈C+(-C), entonces α = p+q, con p∈C y q∈-C. En consecuencia de acuerdo al Teorema 3.8.11, –q∉C y así -q es cota superior de C, lo cual indica que -q >x, para cualquier x∈C. En particular –q>p, ya que p∈C. Entonces p+q<0 y por lo tanto p+q∈0*. Luego C+(-C)⊆0* Recíprocamente, si p∈0*, entonces -p∈ℚ+. Por lo tanto de acuerdo al Lema 3.8.8, existe α∈C y β∉C, donde β≠SupC, y -p =β-α Luego p = α-β. Pero como β∉C y β ≠SupC, tenemos β− ∈-C; y así p∈C+(-C) y por lo tanto 0*⊆C+(-C). En resumen C+(-C)⊆0* y 0*⊆C+(-C), concluyéndose así que C+(-C)=0* (3). En conclusión al haber probado (1) , (2) y (3), el TTeeoorreemmaa 22..22..55 garantiza que <ℜ,+> es un grupo. Además evidentemente C+D = D+C, siempre que C,D∈ℜ; razón para concluir que <ℜ,+> es un grupo abeliano Es notorio que no todas las cortaduras son del tipo 2*, por ejemplo –2* es también una cortadura. Observe que 0∈2*, pero 0∉-2*. Siguiendo esta pista las cortaduras diferentes a 0*, se pueden clasificar de la siguiente manera. Definición 3.8.13. Si C∈ℜ, entonces: i) C es positiva si 0∈C; ii) C es negativa, si C≠0* y 0∉C; iii) R~ +=C∈ℜ/ C es positiva y iv) >ℜ-=C∈ℜ/C es negativa.

162

La siguiente propuesta plantea una importante relación entre los reales positivos y los negativos. Además demuestra que la suma de cortaduras es una operación en ℜ+ Teorema 3.8.14. i) Si C∈ℜ y C≠0*, entonces C∈ℜ+si y solo si -C∈ℜ-.ii) Si A, B∈ℜ+, entonces A+B∈ℜ+, y por lo tanto la suma de cortaduras es una operación en ℜ+. Demostración. i) Si C∈ℜ+, para probar que -C∈ℜ-, debemos verificar, según la Definición 3.8.13, que 0∉-C y -C≠0*. En primer lugar, si C∈ℜ+, entonces 0∉-C ya que si 0∈-C, el Teorema 3.8.11 indica que 0=-0∉C, situación imposible pues 0∈C, ya que C∈ℜ+. También -C≠0*, porque como 0∈C, debe existir, de acuerdo a la Definición 3.8.3 iii), k∈C tal que k>0. Por lo tanto -k∉-C, pues si -k∈-C, entonces nuevamente por el Teorema 3.8.11, k∉C. En conclusión se ha encontrado

k− ∈0*, tal que -k∉-C. Luego -C≠0* y como ya se demostró que 0∉-C, concluímos que -C∈ℜ-. Recíprocamente, si -C∈ℜ-, entonces 0∉-C, por consiguiente debe existir q∈ℚ-, tal que q∉-C,

porque si para todo q∈Q- , se tuviera que q∈-C, entonces 0*⊆-C, pero como -C⊆0*, porque 0∉-C; inferimos que C=0*, y esto no es posible ya que de acuerdo a la Definición 3.8.13. C≠0*, puesto que C es negativa. En síntesis, 0∉-C y existe q∈ℚ tal que q∉-C y q<0. Luego por la Definición del Teorema 3.8.11, se tiene que 0∈C y en consecuencia, de acuerdo a la Definición 3.8.13,: C∈ R~ +. ii) Según la Definición 3.8.13, si A,B∈ℜ+ entonces 0∈A y 0∈B. Por lo tanto deben existir a∈A y b∈B tales a>0 y b>0. En consecuencia, a+b>0 y como, según la Definición 3.8.9, a+b∈A+B, entonces de acuerdo a la Definición 3.8.3 ii) se tiene que 0∈A+B. Luego A+B∈ℜ+ y al tener en cuenta que ℜ+⊂ℜ, por el Corolario 1.1.29, concluímos que la suma de cortaduras es una operación en ℜ+ Con el fin de llevar la multiplicación de cortaduras a una multiplicación de cortaduras positiva, presentamos la siguiente Definición de valor absoluto. Definición 3.8.15. Si C∈ℜ, definimos el valor absoluto de C, notado C, como:C=0, si C=0*; C=C, si C∈ℜ+ y C= -C, si C∈ℜ-. 3.8.16. La Definición 3.8.15 y el Teorema 3.8.14 permiten verificar que si C∈ℜ y C≠0*, entonces C∈ℜ+, ii) Valor absoluto definido y notado como en 3.8.15 es una función de ℜ en ℜ+∪0* (Ver Ejercicio 3. 9. 4) Al abordar la multiplicación de cortaduras tomando el modelo de la suma, observamos por ejemplo en 3*o2*, que -2∈3* y -4∈2*, pero (-2)(-4)=8∉6*. Pero si tomamos α,β∈ℚ tales que 0≤α<3 y 0≤β<2, tenemos que0≤αβ<6. Entonces αβ∈6*. Obviamente K= αβ/α,β∈Q y 0≤α<3 y 0≤β<2 no es una cortadura, ya que por lo menos K no contiene a los racionales negativos. De tal manera que es lógico pensar que 2*3*== αβ/α,β∈ℚ∧0≤α<3∧ 0≤β<2∪Q

-.

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De esta manera planteamos la siguiente Definición de producto de cortaduras.- Definición 3.8.17. Si C,D∈ℜ, Co D=cd/c∈C∧d∈D∪Q-, si C,D∈ℜ+, CoD=-(⎜C⎟⎜D⎟), si C∈ℜ-∨D∈ℜ-, CoD=|C||D|, si C,D∈ℜ- y CoD=0*, si C=0*∨D=0* Teniendo en cuenta que el producto en cd, es el producto usual de números racionales. El siguiente Teorema presenta algunas de las propiedades del producto de cortaduras. En adelante, cuando no se preste a confusión, para A,B∈ℜ, en vez de AoB, escribiremos AB. Teorema 3.8.18. i) Si A,B∈ℜ+, entonces AB∈ℜ y AB=Ba.ii) Si A, B∈ℜ+, entonces AB∈ℜ+ ; iii) Si A, B∈ℜ, entonces AB=BA, iv) Si A∈ℜ+ y B∈ℜ- o A∈ℜ- y B∈ℜ+, entonces AB∈ℜ-, v) Si A,B∈ℜ -, entonces AB∈ℜ+, vi) El producto de cortaduras es una operación en ℜ vii) Si A,B∈ℜ, entonces AB=AB. Demostración. i) Si A,B∈ℜ+, la Definición 3.8.17 nos dice que AB=ab/a≥0 ∧ b≥0∧ a∈A ∧ b∈B∪ ℚ-. Debemos probar que AB∈ℜ y que 0∈AB, lo cual es inmediato ya que como 0∈A y 0∈B, entonces 0=0.0∈AB. i) Si A,B∈ℜ+ la Definición 3.8.17 nos dice que AB⊆ℚ, además como A≠Q y B≠ℚ existen

α,β∈Q tales que α∉A y β∉B. Pero como 0∈A y 0∈B, entonces α>0 y β>0. De tal manera que si c∈A y d∈B con c>0 y d>0, se tiene que c<α y d<β y por consiguiente cd<αβ. Es decir αβ∉AB. Luego AB≠ℚ. De otra parte, si ab∈AB con a>0 y b>0 y p∈ℚ con p<ab, es inmediato que p∈AB, si p<0. Pero si p>0, entonces como p<ab, se tiene que p/b<a y por ende p/b∈A. Además en vista de que p=(p/b)b se deduce que p∈AB. Por último, si ab∈AB con a>0 y b>0, entonces existen c∈A y d∈B tales que a<c y b<d. Razón para concluir que ab<cd∈AB. Además, si a∈AB y a∈ℚ-, entonces se sabe que existe

b∈Q tal que a<b<0, y así b∈A Luego AB∈ℜ.. Pero como AB=ab/a≥0 ∧ b≥0∧ a∈A ∧ b∈B∪ℚ- = ba/a≥0 ∧ b≥0∧ a∈A ∧

b∈B∪ ℚ- =BA. ii) Es obvio que AB∈ℜ+, si A,B∈ℜ+, ya que ello implica 0∈A y 0∈B y por lo tanto como 0=0o0, se infiere que 0∈AB. Entonces dado que de acuerdo con i) AB∈ℜ, la Definición 3.8.13 i) implica que AB es positivo y por esa misma definición iii) AB∈ℜ+. iii) En vista de que en i) se demostró que AB=BA, si A∈ℜ+ y B∈ℜ+, resta probar que AB=BA, si A∈ℜ+ y B∈ℜ-, o si A∈ℜ- y B∈ℜ+, o A∈ℜ- y B∈ℜ-.

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Si A∈ℜ+ y B∈ℜ-, o si A∈ℜ- y B∈ℜ+ , la Definición 3.8.17 indica para la primera disyuntiva que AB=-(AB), pero como A,B∈ℜ+, lo demostrado anteriormente implica que AB=BA. Luego AB=-(A|B|)=-(BA). Entonces por la Definición 3.8.17 -(BA)=BA, concluyéndose así que AB =-(AB) =-BA) = BA. Si A∈ℜ- y B∈ℜ+, la validez de AB=BA, se obtiene remplazando en el razonamiento anterior B por A y A por B. Si A∈ℜ y B∈ℜ-, entonces por la Definición 3.8.17, tenemos que AB=AB, pero como A,B∈ R~ +, ya sabemos por i) que AB=BA y nuevamente la Definición 3.8.17 implica que AB =AB=BA= BA. Luego si A,B∈ℜ+, entonces AB=BA. iv) Si A∈ℜ+ y B∈ℜ-, entonces la Definición 3.8.17 señala que AB=-(AB). Pero como según lo demostrado en ii), AB∈ℜ+, entonces el Teorema 3.8.14(i) implica que AB = -(AB)∈ℜ. v) Si A,B∈ℜ-nuevamente por la Definición 3.8.17: AB=AB. Pero según 3.8.16, A,B∈ℜ+, entonces lo demostrado en ii) indica que AB=AB∈ℜ+ vi) Afirmar que AB∈ℜ, si A,B∈ℜ, es consecuencia de lo demostrado en i), iv) y v). Como ya se demostró en iii) que AB=BA, siguiendo al Corolario 1.1.18 para verificar que el producto de cortaduras es una operación en ℜ, basta probar AC=BC, si A,B,C∈ℜ y A=B. Demostrémoslo: En primer lugar, si A,B,C∈ℜ tales que A=B y A=0* o C=0*, entonces AC=BC, pues en dichas condiciones, según la Definición 3.8.17: AC=0* y BC=0* Si A,B,C∈ℜ, tales que A=B, 0∈A y 0∈C, entonces AC=ac/a∈A, c∈C, a≥0 y c≥0∪ ℚ -.

Pero como A=B, obtenemos que AC=ac/a∈B, c∈C, a≥0 y c≥0∪ ℚ -=BC. Por lo tanto, AC=BC, si A, B,C∈ R~+y A=B. (a). Si A=B, 0∉A y 0∈C, sabemos por Definición de producto de cortaduras que AC=-(AC). Teniendo en cuenta ahora que 0∈A y 0∈C, lo demostrado en el párrafo anterior (a), y la situación A=B, implican que AC = BC. Pero como <ℜ+,+> un grupo , el inverso es único, y por ello –(AC) = -(BC). En consecuencia AC=BC, si A=B, 0∉A y 0∈C (b) Pero si 0∈A y 0∉C, la Definición del producto de cortaduras informa que AC=-(AC), pero como A,C∈ R~+, lo demostrado en a), nos permite inferir que AC=BC, si A=B. En consecuencia, en vista de la unicidad del inverso aditivo, característica de la cualidad de grupo en < R~, +>, se deduce que –( AC)=-(BC). Es decir: AC=BC, si 0∈A y 0∉C. c).

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Si el caso es 0∉A y 0∉C, entonces nuevamente la Definición de cortaduras garantiza que AC=AC y aquí por lo demostrado en a), dado que A=B, nos encontramos con que AC=BC. Luego AB=AC, si 0∉A y 0∉C. d) De lo aprobado entonces en a), b), c) y d), concluímos que si A,B,C∈ R~ y A=B, entonces AC=BC. vii) Si A,B∈ℜ+, sabemos por i) que AB∈ℜ+ . En consecuencia según la Definición de producto de cortaduras AB=AB. Pero por la Definición 3.8.15 A=A y B=B, ya que A,B∈ℜ+, y por tanto AB=AB. Si A∈ℜ+ y B∈ℜ-, la Definición del producto de cortaduras orienta que AB=-(AB)∈ℜ-. Por lo tanto la Definición 3.8.15 y 22..33..1100 indican que AB=-(-(AB)) = AB, pero como A,B∈ℜ+, entonces por lo demostrado en ii) AB∈ℜ+ y la Definición 3.8.15 implica que AB=AB. Aplicando ahora lo demostrado anteriormente, obtenemos: AB= AB=AB= AB=AB. Si A∈ℜ- y B∈ℜ*, entonces de acuerdo a lo demostrado anteriormente BA=BA. Pero como según i) BA=AB y =BA = =AB, obtenemos que AB=AB. Si A, B∈ℜ-, entonces por iv) AB∈ℜ+ y según la Definición 3.8.15 se obtiene AB=AB, y de acuerdo a la Definición de producto de cortaduras; AB=AB. Luego :AB=AB. Teorema 3.8.19. <ℜ*, o> es un grupo abeliano, donde ℜ*=ℜ-0* y o es el producto de cortaduras definido en 3.8.17. Demostración. Ya sabemos, según lo aprobado anteriormente en ii) y vi), que el producto de cortaduras definido en 3.8.17. es una operación conmutativa en ℜ . Veamos enseguida que <ℜ, o> es asociativa. Si A,B,C∈ℜ+ y x∈A(BC), entonces x=a(bc), con a∈A, bc∈BC, a≥0 y bc∈≥0) o x∈Q -. Pero como bc∈BC, con bc≥0 y B,C∈ℜ+ entonces según la Definición del producto de cortaduras, b≥0 y c≥0, ya que B,C∈ℜ+. Naturalmente si a= 0 o b=0 o c=0, es inmediato que x∈(AB)C, ya que 0∈(AB)C, puesto que A,B,C∈ℜ+ . Y si a>0, b>0 y c>0, al tener en cuenta que <Q *,o> es un grupo y en consecuencia es asociativa, entonces x=a(bc)=(ab)c. Situación que por darse bajo las condiciones a>0, b>0 y c>0, implican que ab∈AB. Y como también c∈C y c>0, se infiere que (ab)c∈(AB)C. Luego A(BC)⊂ (AB)C. La validez de los recíprocos de todos los pasos anteriores, permite deducir que (AB)C⊂A(BC). Es decir (AB)C=A(BC), si A,B,C∈ℜ+. Si A∈ℜ+, B∈ℜ- y C∈ℜ+, entonces BC∈ℜ- y por lo tanto A(BC)=-(ABC). Al aplicar el Teorema 3.8.18 concluimos que A(BC)=-(A(BC). Pero como A, B,C∈ℜ+, el resultado probado anteriormente nos lleva a aceptar que A(BC)=-( (AB)C). A su vez

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AB=-(AB), ya que A∈ℜ+ y B∈ℜ-. Luego A(BC) = -(-(AB).C) =-(ABC). Teniendo en cuenta ahora A∈ℜ+, B∈ℜ- y el Teorema 3.8.18, se deduce que AB∈ℜ- y por tanto (AB)C==-(ABC). Luego A(BC)=(AB)C. Además si C∈ℜ*, entonces C.1* =C, ya que si C∈ℜ+, entonces, al considerar x∈C.1*, tenemos por Definición 3.8.17 (producto de cortaduras) que x=cd, donde c∈C y d∈1*, con c≥0 y d≥0, o x∈Q - . Si x∈ℚ-; la Definición 3.8.3 (2) garantiza x∈C, puesto que x<0 y 0∈C. Pero si c∈C y d∈1* son tales que c≥0 y d≥0. Entonces si c=0 o d=0, se tiene que x=0 y 0∈C, porque que C∈ℜ+. Y si c>0 y d>0, como d<1, ya que d∈1*, se infiere que cd<c y nuevamente la Definición 3.8.3 2), implica que cd∈C. Luego Co1*⊆C. Recíprocamente, si c∈C, entonces c=0 o c>0 o c<0. Si c=0, no hay problema, pues 0∈C1*, porque 0=0r, siempre que r∈ ℚ, y en particular, si r∈ℚ y 0<r<1. Si c<0, se tiene que

c∈C.1*, puesto que ℚ-⊂C.1* y c∈ℚ -. Si c>0, entonces como según la Definición 3.8.3 (3),

existe d∈C tal que c<d, inferimos que 0<c/d<1 y c/d∈ℚ ya que c,d∈ℚ. Por lo tanto como c=d(c/d), concluímos que c∈C.1*, ya que d∈C y c/d∈1*. Luego C⊆C.1*. Hemos demostrado que si C∈ℜ+, entonces Co1* = C. Si C∈ R~-, entonces Co1* = -(Co1*) ) . Por lo demostrado anteriormente: C.1*=C y en consecuencia C.1* = -(C.1*) )= -C Pero como de acuerdo a la Definición 3.8.15, C = -C, ya que C∈ R~-, concluímos que Co1*= -(-C). Teniendo ahora que según Teorema 3.8.11, < R~ ,+> es un grupo, se infiere por 22..33..1100 (v), que Co1*= -(-C) =C. Luego <ℜ*, o> es modulativa a la derecha, con módulo a la derecha 1*. Si C∈ℜ+, definamos C-1, guiados por el gráfico 3.8..5 así: C-1 =x∈ℚ +/x-1∉C∧x-1≠supC∪ ℚ -∪0, si C∈ℜ+ o C-1=-|C|-1, si C∈ℜ-

• ) ) • x x C-1 C 1/x Gráfica 3.8..5 Demostremos primero que C-1∈ℜ: Evidentemente si C∈ℜ+, entonces por Definición C-1⊆ℚ. Además C-1≠ ∅, puesto que ℚ -⊂ ℚ. Para demostrar que C-1≠ℚ, consideremos las siguientes opciones para C: C=1* o 1∈C o 1∉C.

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Si C=1*, también C-1=1*. En efecto, si x∈C-1 y x<0, es obvio que x∈1*, pues x<0<1. Recíprocamente, si x∈1* y x<0, la Definición de C-1, explica que x∈C-1 . Pero si x∈C-1 y x>0, entonces 1/x∉1* y por tanto 1/x>1. Entonces x<1, lo cual indica que x∈1*. Recíprocamente, si 0<x<1 y x∈ℚ, debe existir y∈ℚ tal que x<y<1. Razón para que 1<1/y<1/x y deducir así que 1/x∉1* y no es el menor de tales elementos. Luego x∈C-1. En conclusión, si C=1*, entonces C-1=1* y por lo tanto C-1≠ℚ. Si 1∈C, de todas formas, como C∈ℜ la Definición 3.8.3 i), indica que C≠ℚ, razón por la

cual existe p∈ℚ tal que p∉C, pero como 1∈C, entonces p>1, y por lo tanto p∉C-1, porque para cualquier x∈C-1, con x>0, debe tenerse que x<1, ya que si existiera x∈C-1 tal que x>1, entonces por Definición de C-1 , 1/x∉C, pero esto no es posible ya que 1/x<1, y de acuerdo a 3.8.3 ii) 1/x∈C, pues 1∈C En consecuencia si 1∈C y p∉C, entonces p∉C-1. Es decir C-1≠ Qℚ. Si 1∉C, entonces debe existir n∈ℕ tal que n∉C-1, porque si n∈C-1, para cualquier n∈ℕ, esto conduciría a que 1/n∉C, siempre que n∈ℕ. Pero como 1∉C y 0∈C, porque C∈ℜ+, al acudir a la Definición 3.8.3 iii), debe existir r∈ℚ, tal que r∈C y 0<r<1. Por lo tanto será posible

encontrar n∈ℕ tal que 1/n<r, lo cual según la Definición 3.8.3 ii), implica que 1/n∈C, situación no tolerable, pues 1/n∉C, para cualquier n∈ℕ. Luego, si 1∉C, entonces C-1≠Qℚ. Si p∈C-1 y q∈ℚ tal que q<p, y q<0, entonces por Definición de C-1, se tiene q∈C-1. Pero si q>0, entonces que 1/q>1/p. Entonces 1/q∉C ya que 1/p∉C, pues p∈C-1 y p>0. Pero como además 1/q no es la menor de las cotas superiores de C porque 1/q>1/p, entonces q∈C-1. Luego C-1 satisface la condición 2) de la Definición 3.8.3. Por último, si p∈C-1 y p<0, entonces como 0∈ C-1, se cumple la condición 3) de la Definición 3.8.3. Pero si p>0, entonces 1/p∉C y 1/p no es el menor de tales elementos, es dercir: existe 1/r∈Q tal que 1/r∉C y 1/r<1/p . Pero en estas condiciones existe 1/s∈Q tal que 1/r<1/s<1/p . Entonces 1/s∉C y no es el menor de tales elementos y por consiguiente s∈C-1 y s>p ya que 0<1/s<1/p. De esta manera C-1 satisface la condición 3) de la Definición 3.8.3. Se concluyó entonces que C-1∈ℜ, si C∈ℜ+.Pero también C-1∈ℜ, si C∈ℜ-, pues por Definición C-1= -C-1. Procedemos ahora a demostrar que CoC-1 = 1*. Si C∈ℜ+ y x∈CoC-1, entonces según la Definición 3.8.17 existen varias posibilidades o x<0 o x=0 o x= cd, con c∈C, d∈C-1 y c,d∈ℚ+ Al abordar la opción x<0, se explica por el Ejemplo 3.8.6 que x∈1* ya que x<0<1.

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Si x=0 también x∈1*, pues 0<1. Y si x=cd, tal que c∈C y d∈C-1, con c,d∈ℚ+, entonces 1/d>0 y 1/d es cota superior de C y por lo tanto 1/d>c. Pero como d>0 se tiene que cd<1 y según el Ejemplo 3.8.6 x=cd∈1*. Si C∈ℜ-, entonces por Definición: C-1 = -C-1 y según 3.8.17 se tiene que CoC-1 = Co(-C-1) = CoC-1 = 1*. Hemos demostrado que <ℜ*, o> es una estructura algebraica asociativa, modulativa a la derecha e invertiva a la derecha y en consecuencia con el TTeeoorreemmaa 22..22..55, <ℜ*, o> es un grupo, pero como además CD = DC ( Teorema 3.8.18 ii), siempre que C,D∈ℜ*, obtenemos que <ℜ*, o> es un grupo abeliano Avanzaremos buscando demostrar que <ℜ, +, o> es un campo, demostrando el siguiente teorema: Teorema 3.8.20 . Si A,B,C∈ℜ, entonces A(B+C)=AB+AC. Si A,B,C∈ℜ+ entonces, como por el Teorema 3.8.14 ii) B+C∈ℜ+, la Definición de producto de cortaduras (3.8.17), garantiza que si x∈A(B+C), entonces (x=a(b+c), con a∈A, b+c∈B+C, a≥0 y b+c≥0) o x∈ℚ-.

Si x∈Q-, es evidente que x∈AB+AC, pues ℚ -⊂AB y ℚ-⊂AC, ya que de acuerdo al Teorema ii) 3.8.18, AB,AC∈ℜ+, y por consiguiente, nuevamente, según el Teorema 3.8.14 ii), AB+AC∈ℜ+, razón para afirmar que ℚ -⊂AB+AC. Entonces x∈AB+AC, si x∈ℚ -. Si x=a(b+c), con a∈A, b+c∈B+C, a≥0 y b+c≥0 , entonces x=ab+ac, con a∈A, b+c∈B+C, a≥0 y b+c≥0. Por lo tanto, ab∈AB y ac∈AC, es evidente, si b≥0 y c≥0. Pero si b<0 o c<0, entonces ab<0 o ac<0. Por lo tanto ab∈AB o ac∈AC, pues como ya vimos ℚ-⊂AB y ℚ-⊂AC. Es decir, aún en el caso ab<0 y ac<0, de todas formas ab+ac∈AB+AC. Luego A(B+C)⊆AB+AC, si A,B,C∈ R~ +. Recíprocamente, si x∈AB+AC, entonces x = α+β, con α∈AB y β∈AC. En consecuencia α=ab y β=ac, con a∈A, b∈B, c∈C, a≥0, b≥0, c≥0; o x∈ ℚ-. Luego x=a(b+c), con a∈A y

b+c∈B+C, donde a≥0 y b+c≥0; o x∈ℚ-. Todo ello implica que x∈A(B+C); es decir AB+AC⊆A(B+C). Luego A(B+C)=AB+AC, si A,B,C∈ℜ+. Ahora probemos que A(B-C)=AB-AC, si A,B,C∈ℜ+. (*) En efecto, si A, B-C∈ℜ+, se tiene que x∈A(B-C) equivale a decir que (x=ak, con a∈A, k∈B-C, a≥0, k≥0) o x∈Q -. Si k∈B-C, es porque k=b+c, con b∈B y c∈-C. Por lo tanto, -c∉C y -c no es el menor de tales elementos. Entonces -ac∉AC y no es el menor de tales elementos. (Ver Ejercicio 3. 9. 5) Lo cual equivale a afirmar que ac∈-AC. En conclusión (x=ab+ac,

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donde ab∈AB, ac∈-AC) o x∈ℚ-. Luego x∈AB-AC o x∈Q-. Pero como ℚ -⊂AB-AC, pues AB-AC∈ℜ+ (Ver Ejercicio 3. 9. 6) , entonces x∈AB-AC. Demostrándose así que A(B-C)⊆AB-AC. Si x∈AB-AC, entonces x=k+r, con k∈AB y r∈-AC. Luego (k=ab, con a≥0, b≥0, a∈A, b∈B) o x∈ ℚ -) y r∈-AC. Si r∈-AC, es porque -r∉AC y -r no es el menor de tales elementos. Por lo

tanto -r∉ac/a≥0, c≥0, a∈A, c∈C∪ℚ -. Así -r>0 y como < ℚ *, o> es un grupo, al fijar a∈A,

a>0, la ecuación ax=-r, tiene una única solución α∈ℚ, razón por la cual -r=aα, y por lo tanto α>0, pero como -r∉AC, entonces α∉C, ya que a>0 y a∈A. Además α no es el menor de tales elementos. Porque como –r≠SupQAC, entonces –r>k, para algún k∉AC, pero como existe t∉C tal que k=at, entonces aα>at y por tanto α>t. En consecuencia -α∈-C. Luego x=ab-aα=a(b-α)∈A(B-C), ya que a∈A, b∈B, -α∈-C, y b-α>0 Si B-C∈ℜ-, entonces A(B-C)=-A(C-B). Pero como C-B∈ℜ+, al aplicar lo demostrado en el párrafo anterior, se deduce que A(B-C)=-A(C-B)=-(AC-AB)=AB-AC. Luego, si A,B,C∈ℜ+, entonces A(B-C)=AB-AC. Prosiguiendo con la demostración de la propuesta: A(B+C)=AB+AC, si A,B,C∈ℜ; falta por considerar las opciones: i) A,B∈ℜ+ y C∈ℜ-, ii) A,C∈ℜ+ y B∈ℜ-; iii) A∈ℜ+ y B,C∈ℜ-, iv) B,C∈ℜ+ y A∈ℜ-; v) B∈ℜ+ y A,C∈ℜ-; vi) C∈ R~ + y A,B∈ℜ- vii) A,B,C∈ℜ+ y C∈ℜ-. i)Si A,B∈ℜ+ y C∈ℜ-, entonces AB+AC=AB-A(-C)=A(B-(-C))=A(B+C). ii) A,C∈ℜ+ y B∈ℜ-, entonces AB+AC=-A(-B)+AC=AC-A(-B)=A(C-(-B)) = A(C+B) = A(B+C). iii) Si A∈ℜ+ y B,C∈ℜ-, entonces AB+AC=-(A(-B))-(A(-C))=-(A(-B)+A(-C))=-(A(-B -C)) = -A(-(B+C))=A(B+C). iv) Si B,C∈ℜ+ y A∈ℜ-;entonces AB+AC=-(-A)B-(-A)C=-((-A)B+(-A)C)=-(-A)(B+C) =A(B+C). v) ) Si B∈ℜ+ y A,C∈ℜ-; entonces AB+AC=-(-A)B-A(-C)= (-A)(-C-B)=-(-A)(C+B) =A(B+C). vi) Si C∈ℜ+ y A,B∈ℜ-, entonces AB+AC = (-A)(-B)-(-A)C) = (-A)(-B-C) = -(-A)(B+C) = A(B+C). vii) Si A,B,C∈ℜ+ y C∈ℜ-, entonces AB+AC=AB-A(-C)=A(B-(-C))=A(B+C). Los resultados obtenidos en 3.8.11, 3.8.19 y 3.8.20 prueban el siguiente Teorema: Teorema 3.8.21. <ℜ,+,o> es un campo.

170

Abordemos el problema de la definición de la relaciones menor que, mayor que, menor o igual que y mayor o igual que, en ℜ, a la manera como se planteó en ℤ y en Qℚ, según lo definido en 1.15. Definición 3.8.22. Si C,D∈ℜ, diremos que C<D, si existe H∈ℜ+ tal que D=C+H. Además: i) D>C, significa que C<D; ii) por C≤D entenderemos que C<D o C=D y iv) D≥C equivale a que D>C o D=C. Bien, pero geométricamente, la situación C<D, obedece a la Gráfica 3.8.6 en la que C⊂D, razón por la cual es necesario analizar lo planteado en el siguiente Teorema: ) ) C α D Gráfica 3.8.6 Teorema 3.8.23. Si C,D∈ℜ, entonces C<D, si y solo si C⊂D.. Demostración. Si C<D, entonces según la Definición anterior D=C+H para algún H∈ℜ+ . Pero como 0∈H, ya que H∈ℜ+(Definición 3.8.13) , entonces si c∈C tendremos que c∈C+H, ya que c=c+0 y por consiguiente c∈D. Luego C⊂D. Falta verificar C≠D. Teniendo en cuenta ahora que D=C+H, entonces C≠D, porque si C=D, se tendría que C+H=C. Razón por la cual 22..33..1100 ii), implicaría que H=0* y en consecuencia 0∉H , lo cual no es posible puesto que 0∈H ya que H∈ℜ+. Se demostró por lo tanto, que si C<D, entonces C⊂D. . Recíprocamente, si C⊂D, como sabemos según el Teorema 3.8.19 que <ℜ, +> es un grupo, entonces por 22..33..1100 i) la ecuación C+X=D, tiene una única solución H∈ℜ, restando solo probar que H∈ℜ+, para concluir que C<D. En efecto, C⊂D, implica que C≠D, luego es posible encontrar d∈D tal que d∉C y por ende d>c, para cualquier c∈C. Teniendo en cuenta que d∈D=C+H, se infiere la existencia de c∈C y h∈H tales que d=c+h. Pero d=c+h1, para algún h1∈ℚ +, pues d>c. En consecuencia c+h=

c+h1 y por consiguiente h=h1∈ℚ+. Hemos por tanto encontrado h∈H, tal que h>0,

concluyendo así que 0∈H, lo cual equivale a decir que H∈ ℚ +. Luego, si C⊂D, entonces C<D. El siguiente Teorema simplifica la técnica para comprobar cuando C<D, situación que también se vislumbra en la gráfica 3.8.6. Teorema 3.8.24. Si C,D∈ℜ, entonces C<D, si y sólo si existe α∈D tal que α∉C. Demostración. Si C<D, el Teorema anterior garantiza que C⊂D y por lo tanto, al ser C≠D, existe α∈D tal que α∉C.

171

Recíprocamente, si existe α∈D tal que α∉C, ello ya implica que C≠D. Además, si x∈C, entonces dado que α∉C, el Teorema 3.8.5 explica que x<α. Pero como α∈D, la condición 2) de la Definición 3.8.3, implica que x∈D. Luego C⊂D. 3.8.25. Evidentemente, C∈ℜ+, si y solo si C>0*. En efecto, si C∈ℜ+, entonces C>0*, ya que C=0*+C. Recíprocamente, si C>0*, entonces el Teorema 3.8.24 explica que existe α∈C tal que α∉0*. Es decir, α∈C y 0<α, en consecuencia la condición 2) de la Definición 3.8.3. implica que 0∈C y por lo tanto C∈ℜ+ Demostremos enseguida que < cumple el siguiente Teorema, en el que la propiedad iii) es conocida como la Ley de la Tricotomía. Teorema 3.8.26. i) Si C,D,E∈ℜ, y C<D, entonces C+E<D+E; ii) Si C,D∈ℜ, tales que 0*<C y 0*< D*, entonces 0*<CD; iii) C,D∈ℜ, entonces siempre es posible una y sola una de las siguientes opciones: C=D o C<D o D<C. Demostración. i) Si C,D,E∈ℜ, y C<D, entonces según la Definición 3.8.22 existe H∈ℜ+ tal que D=C+H. Por lo tanto D+E=(C+E)+H, porque según el TTeeoorreemmaa 22..22..55 <ℜ,+> es un grupo abeliano. En consecuencia, por la Definición 3.8.22: C+E<D+E. ii) Si C>0* y D>0*, entonces por Definición 3.8.17, CD = cd/c∈C, d∈D, c≥0 y d≥0∪Q- y por tanto 0∈CD. Luego CD>0* iii) Al ser C,D∈ℜ, tenemos que C⊂Q y D⊂Q, entonces o C=D o C≠D. Si C≠D, entonces es por que o existe α∈D tal que α∉C o existe β∈C tal que β∉D. La aplicación del Teorema 3.8.24 a esta disyuntiva, conduce a que C<D o D<C. Luego si C,D∈ℜ, entonces C=D o C<D o D<C. Demostremos ahora que solo es posible una y sola una de las opciones C=D o C<D o D<C. Si C=D no es posible ninguna de las opciones C<D o D<C, porque C=D equivale a afirmar que α∈C si solo si α∈D, contradiciendo el resultado del Teorema 3.8.24, Si C<D, entonces por el Teorema 3.8.24, existe d∈D tal que d∉C. En consecuencia C≠D. Pero además, si C<D, no es posible que D<C, ya que de ocurrir D<C, el Teorema 3.8.23, aplicado a C<D y D<C, implicaría que C⊂D y D⊂C. y esto no es posible. Al intercambiar C por D y D por C en la argumentación anterior, concluímos, que si D<C, entonces no es posible ninguna de las dos opciones D=C o C<D. En conclusión se demostró que si C,D∈ℜ, entonces siempre ocurre una y sola una de las opciones C=D o C<D o D<C. No ofrece mayores dificultades demostrar el siguiente Corolario:

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Corolario 3.8.27 Si C, D∈ℜ, entonces: i) D>C si y solo si C⊂D y C≠D, ii) C≤D si y solo si C⊆ D y iv) D≥C, si y solo si C⊆ D. Cuando al principio del capítulo ubicamos a los números racionales en la llamada recta real, reconocimos que la longitud correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos fueran la unidad de longitud, es decir de longitud √2, no correspondía a ningún racional. Con el trabajo realizado demostraremos que ℜ a quien llamaremos el conjunto de los números reales, llenará completamente a la recta real. Antes de abordar el problema planteado es interesante anotar la existencia de un subconjunto de ℜ, que con las operaciones de ℜ, es un campo y que además resulta ser isomorfo con el campo Q de los números racionales construido en 1.15. Se trata de Q~ =C∈ℜ/C=r*, para

algún r∈ℚ. No ofrece ninguna dificultad (Ver Ejercicio 3. 9. 10) demostrar el siguiente Teorema: Teorema 3.8.28. Si + y o son las operaciones definidas en 3.8.9 y 3.8.17 , entonces < Q~ , +,.o> es un campo. Teorema 3.8.29. <Q~ ,+,o>≈<ℚ,+,o>, donde < Q~ ,+o> es el campo del Teorema anterior y

< ℚ,+,o> es el campo construido en 1.15 Demostración.- La función obvia a ensayar como isomorfismo de Q en ℜes aquella que a cada q∈ℚ le asigne la cortadura q*. Es decir f(q)=q* Evidentemente f es una inyección de ℚ en ℜ (Ver Ejercicio 3. 9. 7). Por lo tanto para comprobar que f es un isomorfismo de anillos, solo resta verificar, que f(q+r)= f(q)+f(r) y f(qr)=f(q)f(r), si q,r∈ℚ. O equivalentemente, (q+r)*=q*+r* y (qr)*=q*r*, si q,r∈Q. Si p∈(q+r)*, entonces p<q+r y por lo tanto existe h∈ℚ + tal que q+r=p+h. Luego p=(q-h/2)+(r-h/2). Pero como q-h//2<q y r-h/2<r, ya que h/2>0, entonces =(q-h/2)∈q* y (r-h/2)∈r*. En consecuencia p=(q-h/2)+(r-h/2)∈q*+r*. Es decir (q+r)*⊆q*+r* Recíprocamente, si p∈q*+r*, entonces p=t+s, donde t∈q* y s∈r*. Es decir, t<q y s<r, razón para concluir que t+s<q+r y por ende p=t+s∈(q+r)*. Entonces q*+r*⊆(q+r)*. Luego (p+q)*=p*+q*. Ahora, si p∈(qr)* entonces p<qr. Observe que si p<qr y p≤0, entonces p∈q*r*, ya que ℚ-

∪0⊆q*r*. Si consideramos 0<p<qr con q>0 y r>0, tenemos que por ser < ℚ*, o> un grupo

abeliano, la ecuación qr=px tiene una única solución h∈ℚ. Pero como p<qr, entonces h>1. A

su vez, al considerar s∈ℚ tal que 1<s<h, también la ecuación sx=h, tiene una única solución

173

t∈Q, con t>1 y. Luego h= st y por lo tanto qr=p(st). Esta igualdad implica que p = qr/st =(q/s)(r/t). Teniendo en cuenta ahora q/s<q y r/t<r, ya que s>1 y t>1, entonces q/s∈q* y r/t∈r*. Luego p∈q*r* y por lo tanto (qr)*⊆q*r*, si q>0 y r>0. Recíprocamente, si para q>0 y r>0, consideramos que p∈q*r* y p>0, entonces p=st, con s,t∈ ℚ, 0<s<q y 0<t<r. En consecuencia 0<st<qr; y por tanto 0<p<qr, lo cual indica que p∈(qr)*.

Naturalmente, si p<0, entonces p∈(qr)*, pues ℚ -⊂ (qr)*. Es decir, q*r*⊆(qr)*, si q>0 y r>0. Luego, si q>0 y r>0, entonces p*q*=(pq)*. (a) Obviamente, si q=0* o p=0*, se tiene que p*q*=(pq)*. Nos falta entonces verificar la validez de la igualdad p*q*=(pq)*, cuando p<0* y q>0* o p>0* y q<0* o p<0* y q<0*. Si p<0 y q>0, entonces la Definición 3.8.17, señala que p*q*=-((-p)*q*). Pero como (-p)>0* y q*>0*, lo demostrado anteriormente implica que p*q*=-(-p.q)*. Veamos que (-p.q)* =

*)pq(− . Para ello verifiquemos que (pq)*+(-pq)*=0*. En efecto, si x∈(pq)*+(-pq)*, entonces x= a+b, donde a,b∈ℚ, con a<pq y b<-pq. En consecuencia x=a+b<pq-pq=0 y por lo tanto x∈0*. Luego (pq)*+ (-pq)*⊆0* Si α∈0*, entonces α<0 . Por lo tanto o α<pq o pq≤α<0. Si α<pq, entonces α∈(pq)* y como 0∈(-pq)*, se tiene que α∈(pq)*+(-pq)* ya que α=α+0. Si pq≤α, es porque existe h∈ℚ, h≥0,

tal que α=pq+h. En consecuencia –pq-h>0, y es viable considerar r∈Q tal que 0<r<-pq-h, para obtener que α=(α-h-r)+r+h. Pero como α-h-r=pq-r<pq y r+h<-pq, se deduce que α∈(pq)*+(-pq)*. Luego 0*⊆(pq)*+(-pq)*, si p<0 y q>0. En conclusión (pq)*+(-p.q)*⊆0* y 0*⊆(pq)*+(-p.q)*, si p<0 y q>0 Luego 0*= (pq)*+(-p.q)*, si p<0 y q>0. Resultado que por ser <ℚ,+> un grupo abeliano, según 22..33..1100 iii), permite deducir que (-p.q)* = -(pq)* . Pero como ya sabemos que p*q*=-(-p.q)*, nuevamente según 22..33..1100 v) p*q*= -(-(pq))* =-(-(pq)*)=p*q*. Se demostró que si p,q∈ℚ, con p<0 y q>0, entonces (pq)*=p*q*. Si p>0 y q<0, entonces p*q*=-(p*(-q*))=-((-q)*p*). Pero como (-q)*>0* y p*>0*, lo demostrado anteriormente nos dice que p*q*=(qp)*=(pq)*. Si p<0 y q<0, entonces p*q*=(-p)*(-q)*. Por lo tanto, según lo demostrado en a), obtenemos que p*q*=((-p)(-q))*=(pq)*. Por lo tanto, para p,q∈ℚ, se puede asegurar que (pq)*= p*q*. Entonces f(pq)=f(p)f(q).

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En síntesis tenemos que f es un isomorfismo de anillos de ℚ en ℜ. Pero como f(ℚ)=Q~ ,

entonces ℚ ≈Q~ Sabemos que entre dos números racionales es posible encontrar un tercer número racional, para ello basta ver que si p,q∈ℚ tales que p<q, entonces r=p+(q-p)/2 es tal que r∈Q y además p<r<q. Esa propiedad es también valida en ℜ tal como se demuestra en el siguiente teorema: Teorema 3.8.30. Si C,D∈ℜtales que C<D, entonces existe A∈ℜtal que C<A<D. Demostración. Dado que C≠D, ya que C<D, existe p∈C tal que p∉D. Entonces se tienen las siguientes opciones C=p* para algún p∈ ℚ o C≠p*, siempre que p∈ℚ. C=p* para algún p∈ℚ , entonces como de todas maneras p∈D, porque C⊂D ya que C<D, existe r∈D tal que p<r. Por lo tanto p*<r* y además existe s∈D tal que r<s. Se deduce por consiguiente que s∈D pero s∉r*. Luego r*⊂D y así tenemos que r*<D y por tanto C=p*<r*<D. C≠p*, siempre que p∈ℚ, entonces como C⊂D se tiene que existe p∈D tal que p∉C y por hipótesis C≠p*, garantizándose así que C⊂p*. Pero como p∈D existe q∈D tal que p<q. Luego q∉p* y por esa razón p*⊂D. En síntesis C⊂p*⊂D y por lo tanto C<p*<D. Para culminar esta sección falta comprobar que ℜllena completamente a la recta real. Es decir que una situación, como la presentada en la gráfica 3.8.7, permite deducir que α∈ℜ q• A1 ) A )( B1 ) B α Gráfica 3.8.7 Sobre los subconjuntos deℜ, A y B, observamos: i) A∪B= ℜ, ii) A≠∅ y B≠∅, iii)A∩B=∅ y iv) Si A1∈A y B1∈B, entonces A1<B1.El siguiente Teorema recoge la situación: Teorema 3.8.31. Si A y B son familias no vacías de subconjuntos no vacíos de ℜtales que: i) A∪B = ℜ, ii) A∩B =∅ y iii) A<B, si A∈ A y B∈ B. Entonces existe α∈ℜtal que A≤α, si A∈A y α≤B, si B∈B. Demostración.- En la gráfica 3.8.7 observamos que vale la pena ensayar la Definición de α=q∈Q /q∈A, para algún A∈A. Demostremos que α∈ℜ: Dado que A ≠∅, existe X∈ℜtal que X∈A. Pero como X⊂ℚ y X≠∅, es posible encontrar

q∈Q tal que q∈X, y en consecuencia q∈α. Es decir. α≠∅.

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Obviamente α⊆ℚ, y también α≠ ℚ porque al ser B≠∅, existe B∈ℜ, tal que B∈B. En

consecuencia como B⊂Q, se puede encontrar b∈ℚ tal que b∉B. Por lo tanto b>x, siempre que x∈B. Es decir b∉B y entonces b∉A, para cualquiere A∈ A, porque si existiera A∈ A tal que b∈A, al ser válido que A⊂B, ya que por hipòtesis A<B, se deduciría que b∈B, lo cual no es posible porque b∉B. Luego b∉α y por ende α≠ℚ , puesto que b∈ℚ. Si p∈α y q<p, es inmediato concluir que q∈α, ya que como p∈X, para algún X∈ A, entonces q∈X y por consiguiente q∈α. Por último, si p∈α, entonces p∈X, para algún X∈A. Por consiguiente existe q∈X tal que p<q. Luego también q∈α. Luego α satisface las condiciones i), ii) y iii) de la Definición 3.8.3 y por tanto α∈ℜ. Si A∈ A, entonces por Definición de α, cualquier x∈A es tal que x∈α. Por lo tanto X⊆ α, y por la Definición 3.8.27 concluimos que A≤α. Si existiera B∈B tal que B<α, tendríamos que existiría p∈α, tal que p∉B. Pero B⊃Y para todo Y∈ A, entonces p∉Y, para todo Y∈ A y por consiguiente p∉α, lo cual no es posible ya que p∈α. Luego no es posible B<α, para algún B∈B y de acuerdo al Teorema 3.8.26 iii) α≤B, siempre que B∈B Corolario 3.8.32. Si A y B satisfacen las condiciones i), ii) y iii) del Teorema anterior, entonces o A tiene un elemento máximo, o B tiene un elemento mínimo. (Ver Definición 1.17.1) Demostración. Como A ∪ B = ℜy A ∩ B =∅ y α∈ℜ, entonces α∈ A o α∈ B. Si α∈ A, concluimos que A tiene en α a su elemento máximo, ya que acuerdo al Teorema anterior a≤α, siempre que a∈A. Pero si α∈ B, se deduce que α es el elemento mínimo de B, porque según el mismo Teorema α≤b, para cualquier b∈ B Para culminar la sección demostremos el siguiente Teorema: Teorema 3.8.33. Si A≠∅, A⊂ℜ y A es acotado superiormente, entonces A tiene un supremo.(Definición 1.17.1) Demostración. Si B =A∈ℜ/A es cota superior de A , se trata de verificar que en B hay un elemento mínimo. Definamos C =X∈ℜ/ X no es cota superior de A .. Claramente B ∪ C =ℜy B ∩ C =∅. Además B ≠∅, porque A es acotado superiormente. Pero como A ≠∅, existe A∈ℜtal que A∈ A y por tanto si A consta de un único elemento A, entonces A es el extremos superior de A, pero si A cuenta por lo menos dos elelementos A y B con A≠B, entonces como A<B o B<A, se deduce que A no es cota superior de A o B no es

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cota superior de A. Razón para concluir C ≠∅. Es decir B y C satisfacen las condiciones i), ii) del Teorema 3.8.31. Además si B∈B, entonces B es cota superior de A, lo cual indica que A≤B, siempre que A∈ A. De tal manera que si C∈C, se puede decir que C no es cota superior de A. Por tanto C<A, para algún A∈ A. Luego C<A≤B y por consiguiente C<B, cumpliéndose de esta manera la iii) condición del Teorema 3.8.31. Entonces de acuerdo al Corolario 3.8.32 o B tiene un elemento mínimo o C tiene un elemento máximo. Pero C no puede tener un elemento máximo, porque si C∈ C, entonces como C no es cota superior de A, podemos localizar A∈A tal que C<A. En estas condiciones, según el Teorema 3.8.30 existe K∈ℜ tal que C<K<A, y por lo tanto K tampoco es cota superior de A. Entonces K∈ C y al tenerse que C<K, concluímos que C no tiene elemento máximo. Luego B tiene elemento mínimo y en consecuencia A tiene una mínima cota superior

3.8.34. Conclusiones: Resumiremos a continuación tres importantes conclusiones obtenidas en el desarrollo de la construcción de las cortaduras de Dedekind. 1) En el conjunto de todas las cortaduras reales, notado comoℜ, definimos una suma y un producto, de tal manera que <ℜ, +, o> resultó, según el Teorema 3.8.21, un campo 2) La Definición 3.8.22, permitió introducir la relación notada como “ ≤” en ℜ, que resulta ser i) un pseudo orden u orden parcial (Ver Definición 1.17.1.), es decir ≤: es reflexiva, antisimétrica y transitiva (Ver Ejercicio 3. 9. 8) y que de acuerdo al Teorema 3.8.26, tiene las siguientes propiedades:. i) Si C,D,E∈ℜ y C<D, entonces C+E<D+E; ii) Si C,D∈ℜ, tales que C>0* y D>0*, entonces CD>0; iii) C,D∈ℜ, entonces siempre es posible una y sola una de las siguientes opciones: C=D o C<D o D<C. Y iv) De acuerdo al Teorema 3.8.33: Si A ≠∅, A ⊂ℜy A es acotado superiormente, entonces A tiene una mínima cota superior ℜ. El considerar un campo, en el que se pueda definir un pseudo orden que satisfaga las tres propiedades anteriores puede ser el punto de partida para definir un conjunto de números reales. Pero ese procedimiento no es aplicable a todos los campos. Por ejemplo en el conjunto ℂℂ de los números complejos definido en el Ejemplo 1.1.24, es tal que < ℂℂ,+,o> es un campo. Pero en él no es posible definir una relación como < que i) sea un pseudo orden y que satisfaga las conclusiones i), ii) del Teorema 3.8.26.

Veamos en primer lugar que si fuera posible definir una relación en ℂℂ, notada <, tal que si a,b,c∈C tales que si a<b y b<c,entonces a<c y que además satisfaga las condiciones i), ii)

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del Teorema 3.8.26, entonces son inmediatos los siguientes resultados A) Si a,b,c,d∈ ℂℂ tales que a<b y c<d, entonces a+c<b+d y B) Si a∈ ℂℂ y c<0entonces 0<-c (Ver Ejercicio 3. 9. 9). Demostremos ahora que la existencia de una relación como la presentada en el párrafo anterior no es posible en ℂℂ. En efecto, como i∈C es tal que i≠0, por la condición iii) del Teorema 3.8.26, se tendría que o i<0 o 0<i. Si i<0, entonces por B) 0<-i, y por la condición ii) Teorema 3.8.26, 0<i2; es decir 0<-1 y nuevamente por la condición ii) del Teorema 3.8.26, tendríamos que 0<1. Aplicando ahora A, a 0<-1 y 0<1, se deduce que 0<0, lo cual contradice la condición iii) del Teorema 3.8.26. Si 0<i, entonces la condición ii) del Teorema 3.8.26, implicaría que 0<-1 y en el razonamiento anterior vimos que este resultado no es posible en ℂℂ. 3) Luego un pseudo orden como < definido en el campo < R~ , +, o>, que satisfaga las propiedades i), ii) del Teorema 3.8.26 no es definible en cualquier campo

3. 9 EJERCICIOS 3. 9. 1 Demuestre que el subconjunto K=[(n,0)]n∈ℕde ℤ es un conjunto de naturales. 3. 9. 2 Demuestre que si p∈ℤ tal que p2∈2Z, entonces p∈2ℤ 3.9.3. Demuestre que si q∈ℚ, entonces existe p∈ℕ tal que q<p. Sugerencia : Si q=[(m,n)], entonces q=[(1,1)]+ [(m-n,n)]< [(1,1)]+ [(n(m-n),n)]=[(1,1)]+ [m-n,1)], si m>n>0. Porque si m≤n, basta tomar p=1. 3. 9. 4 Demuestre que “valor absoluto” definido y notado como en 3.8.15 es una función de R~ en R~∪0*. 3. 9. 5. Si A,C∈ℜ+ , a∈A y c∈-C, demuestre que -ac∉AC y no es el menor de tales elementos. 3. 9. 6. Demuestre que si A∈ℜ+, entonces ℚ -⊂A. 3. 9. 7. Demuestre que f de ℚ en ℜdefinida para cada q∈ ℚ como f(q)=q* es una biyección

de ℚ en ℜ 3. 9. 8. Demuestre que ≤ es un orden parcial en ℜ. 3. 9. 9. Si <C,+o> es un anillo, demuestre que si < es una relación definida en C, que cumple: i) si a,b,c∈C tales que si a<b y b<c,entonces a<c y que además satisfaga las

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condiciones i), ii) del Teorema 3.8.26, entonces A) Si a,b,c,d∈C tales que a<b y c<d, entonces a+c<b+d y B) Si c∈C y c<0, entonces 0<-c . 3. 9. 10 Demuestre el Teorema 3.8.28.

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CAPÍTULO 4. SUBGRUPOS Y SUB ANILLOS 4.1. DEFINICIÓN Y COMENTARIOS. El objetivo es analizar el comportamiento de los subconjuntos de un grupo o de un anillo con relación a las operaciones definidas en el grupo o en el anillo. En general, si <G , o> es una estructura algebraica y H⊆G, no siempre la operación de G es operación en H. Prevención que es ratificada por lo acontecido con < ℝℝ , +> y H=1,2 , pues la suma usual no es operación en H, porque 1+2=3 y 3∉H. Naturalmente, es posible encontrar casos en los que la operación de G sea operación en H; precisamente si H= ℕ = conjunto de los números naturales confirmamos dicha posibilidad, puesto que la suma usual es operación en ℕ.. Al respecto recordemos que el Corolario 1.1.29 afirma que si <G , o> es una estructura algebraica y H⊆G, entonces la operación de G es operación en H , si y sólo si la operación de G es cerrada en H. Es decir: abεH siempre que a,bεH.

Pero si H⊆G, G es un grupo y la operación de G es operación en H, ello no implica que H con esa operación sea un grupo. En efecto, < ℕ , +> es una estructura algebraica pero no es un grupo, ya que el único natural que tiene inverso aditivo en ℕ es 0,

Obviamente, es posible encontrar subconjuntos H de un grupo G, tales que la operación de G sea operación en H y que éste con dicha operación sea un grupo. Es el caso del grupo aditivo de los enteros < ℤ , +> con relación a <ℚ, +>, o de los <nℤ ,+> con respecto a < ℤ , +>.

Este tipo de subconjuntos de un grupo los clasificaremos de la siguiente manera:

Definición 4.1.1. Si G es un grupo y H es un subconjunto de G, diremos que H es un subgrupo de G, notado H≼G; si H con la operación de G es un grupo.

4.1.2. De acuerdo a la definición anterior para probar que un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G, debemos verificar : i) La operación de G es una operación en H. o equivalentemente, según el Corolario 1.1.29 verificar que si a,bεH, entonces abεH. ii) <H , o> es un grupo, donde "o" es la operación de G. Es decir, <H , o> debe satisfacer G1,G2, y G3 del TTeeoorreemmaa 22..22..55 Veamos como se procedería en un ejemplo específico: Ejemplo .4.1.3. Si K= a +b√2/a,bε ℝℝ , verifiquemos que <K ,+> es un subgrupo de < ℝℝ ,, ++>>..

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EEnn eeffeeccttoo,, ssii αα == aa ++ bb√√22 yy ßß== cc ++dd√√22 ssoonn uunn ppaarr ddee eelleemmeennttooss ddee KK,, eennttoonncceess,, ccoommoo αα ++ ßß ==

((aa++bb)) ++((cc ++ dd))√√22,, ssee ddeedduuccee qquuee αα++ßßεεKK yy eenn ccoonnsseeccuueenncciiaa llaa ooppeerraacciióónn ddee ℝℝ eess uunnaa ooppeerraacciióónn eenn KK. Obviamente <K , +> satisface G1 del TTeeoorreemmaa 22..22..55, porque si α,β,σεK, entonces, al ser K un subconjunto de ℝℝ, α,β,σεℝℝ y por consiguiente, como <ℝℝ,,++>> un grupo, α+(β+σ)=(α+β)+σ. En vista de que 0 = 0 + 0√2, se deduce que 0εK y por esa razón <K , +> satisface G2. Por último, si α = a + b√2εK, entonces como -α = (-a)+(-b)√2, inferimos ;-αεK. Es decir <K , +> satisface G3. del TTeeoorreemmaa 22..22..55. Los pasos dados muestran que puede ser omitido el probar la propiedad asociativa, ya que ella se deduce a partir de que G es grupo y H⊆G, mientras que fueron imprescindible los señalados por el siguiente Teorema de caracterización de los subgrupos: Teorema 4.1.4. Si G es un grupo y H⊆G, entonces H≼ G, si y sólo si : i) Si a,bεH, entonces abεH. ii) eεH, donde e es el módulo de G. iii) Si aεH, entonces a-1εH. Demostración.- Si H≼G, entonces la Definición 4.1.1 nos indica que <H , o> es un grupo, donde "o" es la operación de G. Por lo tanto, en primer lugar como “o”es operación en H, se verifica i). En segundo lugar <H, o> satisface, G1,G2 y G3 del TTeeoorreemmaa 22..22..55, señalándonos en particular la validez de G2 y G3. Obviamente G3, implica iii), mientras que G2, ubica un módulo e’∈H, para el cual se cumple que e’= e = módulo de G, porque al ser e’modulo de H, de todas manera también e es módulo de <H,o> y la unjicidad del módulo probada por el Corolario 1.5.9. implica que e’= e’, . Recíprocamente, al cumplirse i) se tiene, por el Corolario 1.1.29 , que <H , o> es una estructura algebraica. Además ii) y iii) implican que dicha estructura es modulativa e invertiva, restando únicamente comprobar la cualidad asociativa, para concluir que se trata de un grupo. Pero esta última es inmediata, porque si a,b,cεH, entonces, por ser H⊆G; a,b,cεG, y como G es un grupo, obtenemos: a(bc)=(ab)c. 4.1.5. En el afán por simplificar los pasos para verificar el carácter de subgrupo, podría pensarse en omitir la condición eεH, sobre la base de la siguiente argumentación, apoyada en el Teorema anterior: Si aεH, entonces según iii) a-1εH y de acuerdo con i)aa-1εH. Luego eεH.

181

Desafortunadamente esa argumentación no es válida, porque lo válido en la conclusión iii) del Teorema 4.1.4 es la implicación: Si aεH, entonces a-1εH, y en ella el antecedente a∈H, puede ser inclusive falso y conservarse la validez de la implicación. La única manera de superar éste impase es agregar la condición H≠∅, que permitiría iniciar la argumentación partiendo de la existencia de a∈H, sobre la base de que H≠∅. . En vista de lo anterior, no es difícil demostrar el siguiente teorema: Teorema 4.1.6.Si G es grupo y H es un subconjunto no vacío de G, entonces H≼G, si y sólo si : i) Si a,bεH, entonces abεH. ii) Si aεH, entonces a-1εH. Las condiciones para demostrar que H≼G pueden ser reducidas a una, como se demuestra a continuación.

Teorema 4.1.7. Si G es un grupo y H es un subconjunto no vació de G, entonces H≼G si y sólo si, ab-1εH, siempre que a,bεH.. Demostración.- Si H≼G, la Definición 4.1.1, indica que H con la operación de G es un grupo. En consecuencia, si a,bεH, entonces, según G3 del TTeeoorreemmaa 22..22..55, a,b-1εH y por consiguiente ab-1εH. Supongamos ahora que si a,bεH, entonces ab-1εH, (*) y demostremos que H≼G. Como H es no vació, podemos suponer la existencia de aεH y por lo tanto al aplicar la hipótesis con a=b, tenemos que aa-1∈H. Es decir: eεH.(1) Aplicando nuevamente (*) con e=a, b=a, concluimos en a-1 εH, si aεH.(2) Por último, si a,bεH, según (2), a,b-1εH. Por consiguiente, al aplicar la hipótesis (*), inferimos :a(b-1)-1εH y el Teorema 22..33..44 (v), conduce a que abεH, si a,bεH.(3). Las conclusiones (1),(2) y (3) aplicadas al Teorema 4.1.4., implican que H≼G. Del Corolario 1.1.29, sabemos que si la cerradura en un subconjunto H de un grupo G, no es válida, la operación de G no es operación en H y en consecuencia H no sería un subgrupo de G. Esto nos permite concluir que la cerradura en H es una condición necesaria para que H≼G. Pero sabemos que dicha condición no es suficiente, así lo ratifica el comportamiento de la suma usual en ℕ, respecto al grupo aditivo ℝℝ de los números reales. Sin embargo, cuando H es un conjunto finito, la cerradura es suficiente, para asegurar que H≼G. Este es el motivo del siguiente teorema:

182

Teorema 4.1.8. Si H es un subconjunto finito y no vacío de un grupo G, tal que abεH, siempre que a,bεH, entonces H≼G.

Demostración.- Como obviamente <H, o> es una estructura algebraica asociativa, que satisface las dos leyes cancelativas (Ver Ejercicio4.2.7) y además H es finito, por 3.3.7, se deduce que <H, o> es un grupo y en consecuencia H≼G

4.2.EJERCICIOS

4.2.1.-En cada caso analizar si H≼G:

i) H = 6 ℤ , G =4 ℤ, ii) H = 4 ℤ , G =2 ℤ ; iii)H = 2 ℤ , G =4 ℤ ; iv) H=a+b√2/a,bεℚ * o

bεℤ*,G= < ℝℝ*,o>, v) H=ℤ , G=< ℝℝ*,o>.; vi) H=πx/xε ℝℝ, G=< ℝℝ *,o>..; vii) H=a+ai/a∈ ℤ , G= < CC *,o>, CC==nnúúmmeerrooss ccoommpplleejjooss viii)H=a+biεℤ/a2+b2=1, G=<ℤ*,o>.; ix) Si n∈ℤ+, H=p/q∈ℚ /qn, G=<ℚ, +>, x)Si n∈ℤ +, G=<ℤ*,o> y H=p/q∈ℚ/(q,n) =1.

xi)G=S3, H es el conjunto de todas las transposiciones de S3, .xii) Si n∈ ℤ; G es un grupo y H=an/a∈G...

4.2.2.- Si H y K son subgrupos de G, demuestre que H∪K≼G, si y sólo si H⊆K o K⊆H. Sug[Si H∪K≼G pero K ⊆/ H y H⊆/ K, entonces existe k,h∈G tales que k∈K y k∉H. h∈H,

h∉K, Pero como de todas maneras hk∈H∪K≼G, tendremos que hk∈H o hk∈K, pero hk∉H y hk∉K.].

Si hk∈H, también k-1h-1∈H, lo cual indica que (k-1h-1)h∈H Entonces k-1∈H y por consiguiente k∈H, relación que no es posible. Análogamente, si hk∈K, obtenemos h∈K. El recíproco es inmediato, porque si H⊆K o K⊆H al tomar x,y∈ H∪K , se tendría que x,y∈H o x,y∈K y por lo tanto xy−1∈H o xy-−1∈K, disyuntiva que conduce a xy−1∈H∪K] 4.2.3 Si G es un grupo y HiιεΙ es una familia de subgrupos de G, demuestre que i

i I

H∈∩ ≼G.

4.2.4. Demuestre que K= 1

x G

xHx∈∩ ≼G tal que xKx-1=K, siempre x∈G

4.2.5--En cada caso encuentre todos los subgrupos de los grupos respectivos. i)Los grupos con cuatro elementos , ii)S3, iii)ℤ 12, iv) ℤ x ℤ.(Ver Ejercicico 2.4.26 ) 4.2.6.-Si G1 y G2 son grupos y G=G1xG2, el producto directo (Ejercicico 2.4.26), analizar si los siguientes conjuntos son subgrupos de G: i)(a,e2)/a∈G1 y e2 es el módulo de G2. ii)(e1,b)/b∈G2 y e1 es el módulo de G1. iii)Suponiendo G1=G2;(a,a)/a∈G1.

183

4.2.7. Relativo al Teorema 4.1.8 , demuestre que <H, o> es una estructura algebraica asociativa que satisface las dos leyes cancelativas 4.2.8.- Si G es un grupo con n-elementos, n>2, demuestre que no puede existir un subgrupo de G, con n-1 elementos. Sug[Si existiera H≼G tal que H tuviera n-1 elementos, considera α∈G como el único de sus elementos que no lo es de H, entonces si a∈H y a≠α, entonces aα∈H y por lo tanto aα=c∈H, y sí α∈H] 4.2.9. Si G es un grupo, H≼G y aεG, demuestre que aHa-1=aha-1/h εH≼G. 4.2.10. Si G es un grupo y H≼G, demuestre que i)Z(H)=xεG/(∀hεH) xh=hx)≼G; ii)Z(G)=xεG/(∀yεG)(xy=yx)≼G. iii)Si aεG, entonces N(a)=xεG/ax=xa≼G. 4.2.11. Si G es un grupo y H≼G, demuestre: a) N(H) = aεG/aHa-1 =H≼G. b) H≼N(H). 4.2.12 -Sea G el grupo multiplicativo de las matrices complejas 2x2 (Entonces G es el conjunto de la matrices complejas 2x2, con determinante diferente de cero) y T⊆G conformado por las matrices de G enteras y de determinante 1.( Es decir, T está formado matrices (aij)εG tales que aijεℤ y cuyo determinante es 1), demuestre que T≤G. Sug[Recuerde que si A,BεG, entonces determinante(AB) = determinante(A). determinante(B)] 4.2.13.Si G es el mismo grupo del ejercicio anterior y T`⊆G, integrado por las matrices enteras de G, con determinante 1 o -1, demuestre que T`≼G y qué T≼T`. 4.2.14 Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Todo subconjunto no vacío de un grupo G es un subgrupo de G. ii) Es posible encontrar H≤G, tal que el módulo de H sea diferente al de G. iii) En S3 es posible encontrar grupos con 4 o 5 elementos. iv) Si H1 es un subgrupo del grupo multiplicativo de los reales <ℝ*,o>, entonces H es infinito. v) Los único subgrupos del grupo multiplicativo de los reales <ℝ*,.o> son ℝ+, ℚ* y ℚ +.

vi) <ℤn,+>≤< ℤ,+>, donde el + en ℤn es la suma residual módulo n y + en ℤ es la suma usual de reales. vii) Si <G,+> es un grupo,a,bεG y nεℤ+ tal que na=nb, entonces a=b. viii)Si ⎨Hi⎬i∈I es una familia de subgrupos de un grupo G, entonces i

i I

H∈∪ es un subgupo de

G. ix) Si ⎨Hi⎬i∈I es una familia de subgrupos de un grupo G, entonces i

i I

H∈∩ es un subgupo de

G. x) Si G es un grupo y H⊆G talque <H,o> es una estructura algebraica asociativa, entonces H≼G.

184

4.3..DEFINICIÓN DE SUB-ANILLO. De acuerdo al Corolario 1.1.29 si A es un anillo y K⊆A, las operaciones de A lo serán en K, si a+b,abεK, siempre que a,bεK. Pero al igual que en los grupos, no se puede garantizar el que K con las operaciones de A sea un anillo, a pesar de que las operaciones de A lo sean en K. Por ejemplo, si nuevamente consideramos K = ℕ=ccoonnjjuunnttoo ddee llooss nnúúmmeerrooss nnaattuurraalleess, tenemos que la suma y multiplicación usuales de racionales son operaciones en K, puesto que la suma y el producto de dos números naturales dan como resultado un número natural, pero <ℕ ,+,.> no es un anillo porque <ℕ,+> no es grupo. Como es de esperarse, existen subconjuntos K de un anillo A, tales que las operaciones de A son operaciones en K, y además K con esas operaciones, es un anillo. Es el caso de los anillos ℤ , Q yy ℝ,, respecto del anillo ℂℂ, de los números complejos; o ℤ respecto de ℚ; o de ℚ

yy ℤ respecto al anillo ℝ de los números reales; o de los anillos nℤ respecto al anillo ℤ de los enteros Precisamente ese tipo de subconjuntos de un anillo son los que clasificamos en la siguiente definición. Definición 4.3.1.Si A es un anillo y K⊆A, diremos que K es un sub-anillo de A, si K con las operaciones de A es un anillo.

4.3.2. - De acuerdo a la definición anterior, para verificar que un un subconjunto no vacío K de un anillo A es un sub-anillo de A, debe comprobarse que <K , + , o> satisface las condiciones Ai, Aii y Aiii de la Definición 3.1.1. Pero como Ai implica demostrar que <K , +> es un grupo abeliano bajo las condiciones de ser K⊆A y <A , +> un grupo abeliano, entonces verificar Ai, equivale a comprobar, según la Definición 4.1.1, que <K , +>≼<A , +>, y el Teorema 4.1.7, señala que ello es válido si y sólo si , a-bεK, siempre que a,bεK. Naturalmente, que previo a comprobar Aii y Aiii debemos constatar que la operación "o" de A sea una operación en K. lo cual equivale a verificar, al tenor del Corolario 1.1.29, que si a,bεK, entonces abεK. Una vez comprobado que efectivamente <K , o> es una estructura algebraica, la demostración de Aii y Aiii es una consecuencia inmediata de su actualidad en A, por ser A un anillo y de que K⊆A. Estos comentarios permiten demostrar directamente, el siguiente teorema de caracterización de los sub-anillos: Teorema 4.3.3.Si A es un anillo y K⊆A, K≠∅, entonces K es sub-anillo de A, si y sólo si, a-b,abεK, siempre que a,bεK.

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4.3.4. Si ∆ es el conjunto de las matrices complejas nxn diagonales, es decir ∆ está conformado por las matrices (aij),de orden nxn tales que aij=0, si i≠j; el Teorema anterior ubica a ∆ como un sub-anillo del anillo Mnn(ℂℂ), el de las matrices complejas nxn, puesto que al considerar A=(aij)nxn y B=(bij)nxn, un par de matrices en ∆; A-B,AB∈∆, ya que A-B=(cij)nxn, donde cij=aij-bij, , de tal manera que si i≠j, entonces cij=0.

Además: AB=(pij)nxn con pij =∑=

j

k 1kjik ba =aiibij, en consecuencia si i≠j, entonces pij=0

Es el momento propicio para definir el concepto de subcampo y caracterizarlo: Definición 4.3.5. Si F es un campo y K⊆F, diremos que K es un subcampo de F, si K con las operaciones de F es un campo. Ejemplo 4.3.6. El conjunto ℚ de los números racionales es a la vez un subcampo del campo

ℝ de los números reales y un subcampo del campo ℂℂ de los números complejos. También ℝ es un subcampo de ℂℂ. Teorema 4.3.7. Si F es un campo y K⊆F, K≠∅, entonces K es un subcampo de F, si y solo si para a,b∈K se tiene que a-b∈K y ab-1∈K, si además b≠0. (Ver Ejercicio 4.4.2)

4.4.EJERCICIOS

4.4.1.-En cada caso analizar si K es o no un sub-anillo del anillo A : i) H=3ℤ, A=<ℤ ,+,.>,ii) K = 6ℤ, A=2ℤ ; iii)K=3ZZ, A=4ZZ; iv)K =6ℤ, A = 6ℤ.; v) K=I=números reales irracionales, A=ℤ=números reales; vi)K=ℤ, A=ℤ. 4.4.2..Demuestre el Teorema 4.3.7 y compruebe que el elemento unitario del subcampo es el mismo del campo correspondiente. 4.4.3. Si D es un dominio entero con elemento unitario 1, demuestre que el elemento unitario de cualquier sub-anillo K de D es también 1. 4.4.4..- Hasta el momento hemos clasificado a los anillos, como anillos con elemento unitario, anillos conmutativos, dominios enteros, anillos con división y campos. Estamos interesados en analizar cual de esas características son heredadas por los sub-anillos respectivos. Al respecto demuestre: i) si A es un anillo conmutativo, todos sus sub-anillos también serán conmutativos. ii) Todos los sub-anillos de un dominio entero, son dominios enteros. iii) Si un anillo tiene elemento unitario, no necesariamente todos sus sub-anillos cuentan con dicho elemento. Sug[Recuerde que 2ℤ es un sub-anillo de ℤ.]

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iv) Mas aún, es posible encontrar sub-anillos que tengan elemento unitario diferente al del anillo. Sugerencia[Considere K = 0,3⊂ ℤ6.] v) Demuestre que la calidad de campo en un anillo no es heredada por todos sus sub-anillos. Sug[Recuerde que el anillo ℤ de los enteros es un sub-anillo del anillo de los números reales ℤ.] 4.4.5.Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Si A es un anillo y K⊆A, entonces K es un sub-anillo de A. ii)Si A es un anillo y K⊆A tal que a+b,abεK, si a,bεK, entonces K es un sub-anillo de A. iii)K=0,2 es un sub-anillo de ℤ4, con elemento unitario. iv) ℤ4 es un sub-anillo de ℤ6. v) Si A es un anillo y K⊆A tal que <K,+>≾<A,+>, entonces K es un sub-anillo de A. vi) Si A es un campo y K es un sub-anillo de A, entonces K es un campo.

4.5...SUBGRUPOS CÍCLICOS. Obviamente cualquier grupo G tiene como mínimo a los subgrupos G y e. Estos son conocidos como los subgrupos triviales de G, y son naturalmente los subgrupos más fácilmente detectables. En ese orden, los subgrupos cíclicos conforman otra colección cuya observación en cualquier grupo no ofrece mayores dificultades. El siguiente teorema enseña, como se construyen.

Teorema 4.5.1. Si G es un grupo y aεG, entonces H=an/nεℤ ≼G. DEMOSTRACION.- Es inmediato que H Ø , puesto que aεH. Además como de acuerdo al Teorema 22..33..44 vii a); anεG, si nεℤ, se deduce que H⊆G. Estando ahora en las condiciones del Teorema 4.1.7. Por lo tanto para demostrar que H≼G, basta con verificar que ana-mεH, si n,m∈ nεℤ. Pero esto es inmediato puesto que el Teorema 22..33..44 vii) d), nos indica que ana-m = an-m.

Definición 4.5.2. Si G es un grupo y aεG, al subgrupo H del teorema anterior, lo llamaremos el subgrupo cíclico de G generado por a y lo notaremos H = <a>. Además si existiera aεG tal que G = <a>, diremos que G es un grupo cíclico. Iniciaremos estudiando algunas características de estos grupos, demostrando que todos ellos son abelianos Teorema 4.5.3.Todo grupo cíclico es abeliano.

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Demostración.- Si G = <a> = an/ nεℤ es un grupo cíclico y consideremos an,amεG. Entonces :por aplicaciones Por el Teorema 22..33..44 vii) c).y anam =an+m =am+ n, por la conmutativa de < nεℤ , +>.. Pero como am+ n =aman; se infiere que anam=aman y en consecuencia G es abeliano. . Otra característica de los grupos cíclicos es su carácter hereditario, con relación a sus subgru-pos. El siguiente teorema verifica la veracidad de esa afirmación.

Teorema 4.5.4.Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Demostración.- Sea G = <a> un grupo cíclico y H≼G, entonces si H es trivial se tendría que H es cíclico. Pero si H no es un subgrupo trivial de G, entonces K=kεℤ+/ a kεH≠∅, porque al ser H⊆G y H≠⎨e⎬, debe existir n∈ℤ* tal que an∈ H. Por consiguiente n>0 o n<0 y al ocurrir la primera disyuntiva se tendría que n∈K, mientras que si el caso es n<0, por la conclusión iii) del Teorema 4.1.4, se tiene que (an)-1εH y en consecuencia, según el Teorema 22..33..44 vi) e), obtenemos que a−nεH, indicando ello que -nεK. Luego K≠∅ y por lo tanto K tiene un elemento mínimo que llamaremos k.. Demostremos que H = <ak >. Naturalmente por definición de K se deduce que akεH y el Teorema 22..33..44 vii), a), implica; (ak) nεH, razón para inferir que <a k>⊆H.(1) De otra parte si xεH, entonces como también xεG = <a> y por consiguiente x=a n, para algún nεℤ. Por lo tanto al aplicar el Teorema 2.5.4 - Teorema del Residuo - , se tiene que n = ck + r (2) ,donde c,rε nεℤ y 0≤r<k. En consecuencia por el Teorema 22..33..44 vii)d., a n=a ck+r =a ckar y al multiplicar, a la izquierda en ambos lados de ésta igualdad por (a ck) −1y aplicar sucesivamente G1,G3 y G2 del Teorema TTeeoorreemmaa 22..22..55 obtenemos ; (a ck) −1 an =ar. Pero como an, (ack)-1εH y H≼G, el Teorema 4.1.4nos indica que ar εH. Resultado este que conjugado con la desigualdad 0≤r<k, conduce a r=0, puesto que si r0, entonces k no sería el mínimo elemento de K. Al sustituir r = 0 en 2) obtenemos n = ck y por consiguiente ,x = an = ack=(ak)c ε<ak>, demostrándose de esta manera que H⊆<ak > y como ya habíamos demostrado 1), concluimos que H = <ak >, es decir H es un subgrupo cíclico de G. 4.5.5. El teorema anterior infiere que si G es cíclico, entonces en particular todos sus subgrupos propios, es decir aquellos diferentes de G, son cíclicos. El recíproco de la afirmación anterior es falso. Por ejemplo en el grupo S3 todos los subgrupos propios son cíclicos, pero S3 no lo es.(Ver Ejercico 4.6.4).

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4.5.6.El subgrupo H del Teorema 4.5.1, notado como H = an /nεℤ corresponde al de un grupo cuya operación se escribe multiplicativamente, o sea como ".". Si la operación tuviera representación aditiva, es decir +, H cobraría la forma H = na/nεℤ. El siguiente corolario del Teorema 4.5.4 es relativo al grupo de los enteros nεℤ. Corolario4.5.7. Los únicos subgrupos de ℤ, son aquellos de la forma nεℤ = nz/zε ℤ , donde nεℤ. Demostración.- Evidentemente ℤ y nℤ, si nεℤ, son cíclicos, ya que ℤ = <1> y nεℤ = <n>. En consecuencia, según el Teorema 4.5.4todos los subgrupos de ℤ serán cíclicos y por consiguiente tendrán la forma H = <n>=nℤ, para algún nεℤ.

4.6..EJERCICIOS. 4.6.1.En cada caso encuentre el subgrupo cíclico generado por el elemento señalado:

i) a = 25 en nεℤ30, ii) a=i en < ℂℂ*,.>, iii)a=(1+i)/2 en < ℂℂ *,.>, iv) Cada elemento de los dos grupos con cuatro elementos, v)Cada uno de los elementos de S3. 4.6.2.-Si G es un grupo tal que sus únicos subgrupos son <e> y G, entonces G es cíclico. Sug[Si α∈G y αe, considere H=<α> y demuestre que H=G.> 4.6.3. Si nεℤ +, demuestre que ℤn=<1>. 4.6.4. Demuestre que todos los subgrupos propios de S3 son cíclicos. 4.6.5..Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i)Si G es un grupo cíclico y aεG,entonces G=<a>. ii) Si G es un grupo cíclico, entonces existe H≤G tal que H no es cíclico. iii)<RR,+> es un grupo cíclico. iv) Un grupo G no cíclico no admite subgrupos cíclicos. v) Si G es un grupo cíclico, entonces existe un único aεG tal que G=<a>. vi) < Qℚ *,o> es un grupo cíclico. ℚ=Numeros racionales, o = producto usual

4.7..HOMOMORFISMOS DE GRUPOS Y ANILLOS

El objetivo es plantear algunos conceptos atinentes a los homomorfismos de grupos y anillos con la finalidad de obtener cierto subgrupos y sub-anillos de importancia. Además ello nos permitirá analizar en más detalles a los subgrupos cíclicos.

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En el Teorema 2.6.4 ii) vimos que si f:G→G` es un homomorfismo de grupos, entonces f(e) = e`, donde e y e` son los módulos de G y G` respectivamente. Clasificar al subconjunto de G conformado por aquellos elementos cuya imagen, según f, sea e`, es el objetivo de la siguiente definición.

.Definición 4.7.1. Si f:G→G`es un homomorfismo de grupos, definiremos el núcleo de f, notado N(f), como N(f) = xεG/f(x)= e`. < Mediante el teorema presentado a continuación, veremos que N(f) es un subgrupo de G, con una cualidad especial, que motivará el estudio de los subgrupos distinguidos o subgrupos normales. .Teorema 4.7.2. Si f:G→G` es un homomorfismo de grupo, entonces : i) N(f)≼G. ii)Si gεG y nεN(f), entonces gng-1εN(f).

Demostración.-La Definición 4.7.1 indica que N(f)⊆G y además N(f)≠Ø, puesto que, según el Teorema 2.6.4 i), f(e) = e` y por consiguiente eεN(f). Estamos entonces en las condiciones del Teorema 4.1.7, oriéntadose la demostración de i), a verificar que si a,bεN(f), entonces ab-1 εN(f), pero esto es inmediato ya que por aplicaciones sucesivas del carácter de homomofismo de f, del Teorema 2.6.4iii) y por ser a,b∈N(f), tenemos: f(ab-1) = f(a)f(b-1) = f(a)(f(b))-1 = e`e' = e' Luego f(ab-1) = e` y en consecuencia ab-

1εN(f). En la línea de comprobar ii) tenemos que al acudir nuevamente a los apartes v) y iii) del Teorema 2.6.4, a la relación n∈N(f) y G2 y G3, obtenemos: f(gng-1) =f(g)f(n)f(g-1) =f(g)f(n)(f(g))-1 =f(g)e`(f(g))-1 =f(g)(f(g))−1.=e. En conclusión f(gng-1) = e` razón por la cual gng-1εN(f). 4.7.3..La cualidad ii) relativa al núcleo de un homomorfismo, especificada en el teorema anterior no es común a todos los subgrupos. Por ejemplo H= io,u1≼S3, sin embargo, a pesar de que i1εS3 y u1εH, i1o(u1)o(i1)-1∉ H, puesto que i1ou1o(i1)-1 = u3∉H. Los grupos como N(f) los clasificaremos de acuerdo a la siguiente definición: Definición 4.7.4. Si G es un grupo y N≼G , diremos que N es un subgrupo normal de G o distinguido de G, notado N∆G, si gng-1εN, siempre que gεG y nεN.< 4.7.5.. El concepto de normalidad no depende sólamente del subgrupo, sino también del grupo. Por ejemplo H=ro,r1,r2,r3∆D4=Grupo de las simetrías del cuadrado, también K=ro,h≼D4 tal K∆H, pero K no es un subgrupo normal de G. (Ver Ejercicio 4.8.4) En el teorema presentado a continuación demostraremos que los homomorfismos conservan los subgrupos, incluidos los normales.

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Teorema 4.7.6. Si f:G→G` es homomorfismo de grupos, H≾G y H´≾G`,entonces: i) f(H)≼G´, donde f(H) = f(h)/hεH. ii) f-1(H`)≼G, donde f-1(H`) = gεG/f(g)εH`. iii) Si H∆G, entonces f(H)∆f(G). iv) Si H es subgrupo cíclico de G, entonces f(H) es subgrupo cíclico de G' v) Si H`∆G´, entonces f-1(H`)∆G y N(f)⊆ f-1(H`). vi) Si f es sobre, entonces es posible establecer una correspondencia biunívoca, entre los subgrupos normales de G` y los subgrupos normales de G que contengan a N(f). Demostración.- i) Naturalmente f(H)⊆G´ y como según Teorema2.6.4 (ii) f(H) Ø ya que e`εf(H), puesto que f(e) = e`. Luego f(H) es un subconjunto no vacío de G y en estas condiciones, según el Teorema 4.1.7 , para verificar que f(H)≼G, basta ver que si a.b∈f(H), entonces ab-1 εf(H). Esto es inmediato porque si a,bεf(H), entonces a = f(α) y b = f(α), con α,ßεH. Por lo tanto:, al sustituir, recurrir al Teorema 2.6.4 iii) y a la naturaleza de homomorfismo de f, se deduce: ab-1 = f(α)(f(ß))-1 = f(α)f(ß-1) = f(αß-1). Luego ab-1εf(H), porque ab-1=f(αß-1) y αß-1εH, por ser H≼G;. ii) Al considerar H`≼G`inferimos : f-1(H`)⊆G y además f-1(H`) Ø, ya que e`εf(H), puesto que como ya sabemos; f(e) = e`. De otra parte, si a,bεf-1(H), entonces f(a),f(b)εf(H), pero al ser H`≼G, se deduce que f(a)(f(b))-1εH` y en consecuencia, según Teorema 2.6.4iii), f(a)f(b-1)εH´. Aplicando ahora que f es un homomorfismo, inferimos que f(ab-1)εH´ y por lo tanto, ab-1εf-1(H´). Es decir, f-1(H´)≼G , de acuerdo al Teorema 4.1.7 iii) Si f(g)εf(G) y f(h)εf(H), entonces gεG y hεH, pero como H∆G, la Definición 4.7.4 implica que ghg-1εH. Entonces f(ghg-1)εφ(Η) y por lo tanto f(g)f(h)(f(g))-1εf(H), por ser f un homomorfismo. Luego f(H)∆f(G). iv) Es inmediato que si H≼G y H es cíclico, entonces f(H) también es cíclico, puesto que si consideramos H=<a>, ello conduce a que f(H)=<f(a)>.(Ver Ejercicio 4.8.12) v) Al considerar gεG y hεf-1(H`), tenemos que f(g)εf(G) y f(h)εH` . Pero como H`∆f(G), f(g)f(h)(f(g))-1εH`, conduciéndonos el Teorema2.6.4 i) y (iii) a que f(ghg-1)εH`. En consecuencia ghg-1εf-1(H`) y por consiguiente f-1(H`)∆G. Además es evidente que N(f)⊆f-1(H), porque si kεN(f), por Definición 4.7.1 , f(k)=e` y como e`εH`, por ser H`≼G`; kεf-1(H`).

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La conclusión vi) es una consecuencia de iii) y iv) ya que ellas implican que la relación del conjunto de todos los subgrupos normales de G`, en el conjunto de todos los subgrupos normales de G que contengan a N(f), que a cada subgrupo normal H` de G`, transforma en f-1

(H`), es una biyección Análoga a la definición del núcleo de un homomorfismo de grupos, presentaremos la de núcleo de un homomorfismo de anillos f:A→Aý verificaremos que se trata de un sub-anillo especial de A, el cual motivará la definición de ideal. Definición 4.7.7. Si f:A→Aès un homomorfismo de anillos, definimos el núcleo de f, notado N(f), como N(f)=aεA/f(a) =0`.< Teorema 4.7.8.Si f:A→Aès un homomorfismo de anillos, entonces: i) N(f) es un sub-anillo de A. ii)si nεN(f) y aεA, entonces an,naεN(f). Demostración .- i) Al ser f:A→Aùn homomorfismo de anillos, 3.4.2 , nos indica que f:<A , +>→<A` , +> es un homomomorfismo de grupos y de acuerdo al Teorema 4.7.2 , N(f)≼<A , +>. De otra parte, si a,bεN(f), es inmediato deducir que abεN(f), puesto que f(ab) = f(a)f(b) = 0`0`=0`. Hemos demostrado hasta ahora que N(f)≼<A , +> y abεN(f), siempre que a,bεN(f), resultado que el Teorema 4.3.3 orienta para concluir en que N(f) es un sub-anillo de A. ii) Si nεN(f) y aεA, entonces al ser f un homomorfismo, la definición de núcleo y el Teorema 3.1.17 (ii) conducen a que naεN(f), puesto que f(na)= f(n)f(a) = 0`f(a) = 0`. De manera análoga se demuestra que anεN(f). 4.7.9.La característica ii) de N(f) especificada en el Teorema anterior no es común a cualquier sub-anillo. Por ejemplo, en el anillo de los números reales ℝℝ, tenemos que el sub-anillo ℤℤ de los números enteros, no satisface ii) puesto que 2εℤℤ , 1/3εℝℝ, pero 2/3∉ℤℤ. Además como la cerradura del producto de A en N(f) es un caso particular de la condición ii) del Teorema 4.7.8, este tipo de sub-anillos son clasificados en la siguiente definición: Definición 4.7.10. Si A es un anillo y U⊆A, diremos que U es un ideal de A , si : I1) ≼<A , +>. I2) Si aεA y uεU, entonces au,uaεU.< Un teorema de caracterización de los ideales es el siguiente: Teorema 4.7.11.-Si A es un anillo y U⊆A, entonces U es un ideal de A, si y sólo si: i) Si a,bεU, entonces a-bεU y ii) Si uεU y aεA, entonces ua, auεU.

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Veamos ahora la versión Teorema 4.7.6 en los homomorfismos de anillos: Teorema 4.7.12- Si f:A→Aès un homomorfismo de anillos, K un sub-anillo de A, K` un sub-anillo de A`, U un ideal de A y U` un ideal de A`, entonces: i) f(K) es un sub-anillo de A`. ii) f-1(K`) es un sub-anillo de A. iii) f(U) es un ideal de f(A). iv) f-1(U`) es un ideal de A tal que N(f)⊆f-1(U`). v) Si f es sobreyectiva, entonces existe una correspondencia biunívoca entre los ideales de A` y los ideales de A que contienen a N(f). Demostración.- i) Obviamente f(K) es un subconjunto de A´. Por lo tanto en virtud del Teorema 4.3.3, probar que f(K) es un subanillo de Aéquivale a comprobar que f(a)-f(b),f(a)f(b)∈f(K), siempre que a,b∈A. Pero f(a-b)∈f(K), puesto f(a)-f(b)=f(a-b) y a-b∈K porque K≼<A , +>. Además f(a)f(b)∈f(K) en vista de que f(a)f(b)=f(ab) y f(ab)∈f(K) ya que ab∈K, por ser K un sub-anillo de A. ii) Si a,b∈f-1(K`), probar que a-b∈ f-1(K`) equivale a verificar que f(a-b)∈K´. Esto es inmediato en vista de que f(a),f(b)∈K´, porque a,b∈ f-1(K`), y como K≼<A´,+> entonces f(a)-f(b)∈K´ y por lo tanto f(a-b)∈K´puesto que f(a-b)=f(a)-f(b). La Definición 4.7.10 indica que f(U) es un ideal de f(A), si f(U)≼<A` , +> y f(a)f(u),f(u)f(a)∈f(U), si a∈A y u∈U.

Al respecto, el Teorema 4.7.6 (i), nos indica que f(U)≼<A` , +>, puesto que U≼<A,+> ya que U es ideal de A. Además si f(a)∈f(A) y f(u)∈f(U), entonces f(a)f(u),f(u)f(a)∈f(U), puesto que au,ua∈U, por ser U un ideal de A. iv) Si a,b∈f-1(U´), entonces como según Teorema 4.7.6 f-1(U´)≼<A,+>, para demostrar que f-1(U´) es un ideal de A, solo resta comprobar que si a∈ f-1(U´) y b∈A, entonces ab,ba∈f-

1(U´). Resultado fácilmente verificable puesto que como f(a)∈U´ y f(b)∈f(A), entonces por ser Uídeal de A´se tiene que f(a)f(b),f(b)f(a)∈U´ y en consecuencia f(ab),f(ba)∈U´ ya que f(a)f(b)=f(ab) y f(b)f(a)=f(ba), por ser f un homorfismo de anillos. Luego ab,ba∈ f-1(U´). .También N(f)⊆f-1(U`), porque si a∈N(f), entonces f(a)=0ý por lo tanto entonces a∈f-1(U`) porque 0´∈U´, por ser Uún ideal de A´ v) Por último, el que los ideales de A y A`, sean subgrupos normales de <A , +> y <A` , +>, respectivamen, infiere , según Teorema 4.7.6 v) la existencia de la correspondencia biunívoca aludida por vi).

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4.8.EJERCICIOS 4.8.1.-Encuentre todos los subgrupos normales de S3. 4.8.2. Si G es un grupo y N≼Z(G)=x∈G/(∀y∈G)(xy = yx), demuestre que N∆G. 4.8.3. Si G es un grupo y R⊆G, R≠∅ y K=⎨H/H≼G y R⊆H⎬, entonces i)

H K

H∈∩ =<R>≼G y

ii) <R>=⎨ 1 nn n1 na . ... .a /a1, …,an∈K, n1, ...,nn∈ ℤℤ y n∈ ℤℤ +⎬

4.8.4. Demuestre: i) H=ro,r1,r2,r3∆D4=Grupo de las simetrías del cuadrado. ii) K=ro,h≼D4 iii) K∆H. iv) K no es un subgrupo normal de G. 4.8.5.-Si G es un grupo y N≼G, demuestre:i) N∆G , si y sólo si gNg-1 = N, siempre que gεG.ii) Si G es abeliano, entonces todos sus subgrupos son normales. iii) ¿Será válido el recíproco de ii)? iv) Demuestre que si H≼G tal que los elementos de H conmutan con los elementos de G,entonces H∆G. v) ¿Será válido el reciproco de iv?. Sug[ Demuestre que H= r o, r 1,r 2, r 3∆D 4 = el grupo de las simetrías del cuadrado, pero que los elementos de H no conmutan con todos los elementos de G.]. vi) Demuestre que iv) implica ii). 4.8.6.-Si K es el conjunto de las matrices (aij),complejas 2x2 , tales que a11.a22≠0 y H es el conjunto de las matrices (aij) complejas 2x2 , tales que a11=a22=1, demuestre i) K y H son subgrupos de M22(ℂℂ)) , ii) H∆K. 4.8.7.- Demuestre que los únicos ideales de un campo son los triviales. Sugerencia[ Si F es un campo y U es un ideal de F tal que U0, demuestre que 1εU] 4.8.8. Demuestre que el recíproco de la afirmación anterior es falso. Sugerencia[Analizar el anillo de los cuaterniones reales] 4.8.9.-Demuestre que si F es un anillo conmutativo con elemento unitario, cuyos únicos ideales son los triviales, entonces F es un campo.Sugerencia[Si aεF*, demuestre que K = ax/xεF es un ideal de F] 4.8.10..-Si φ es un homomorfismo de anillos cuyo dominio es un campo, entonces ó φ es un isomorfismo ó φ es el homomorfismo nulo. 4.8.11. Si A es un anillo y ℘=N1, N2, ... es una familia de ideales de A tal que N1⊆ N2⊆ ...y K= U

NiiN

∈

, entonces K es un ideal de I.

4.8.12. Si f:G→G` es un homomorfismo de grupos y H=<a>≼G, demuestre que f(H)=<f(a)>.

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4.8.13- Si ℤℤ. es el grupo aditivo de los números enteros y U≼ℤℤ., entonces:i) Demostrar utilizando el Teorema del Residuo,( 2.5.4) que U es un subgrupo cíclico de ℤℤ.Sugerencia[ Si U≠0,demuestre que U = <no>, donde no = minkεℤℤ.+/kεU]. ii) Si G = <a> es un grupo cíclico y Si ℤℤ. es el grupo aditivo de los números enteros, entonces f: ℤℤ →G, definida como f(z) = az es un homomorfismo sobreyectivo de grupos. iii) Sobre la base de ii) y del Teorema 4.7.6 demuestre que todos los subgrupos de un grupo cíclico son cíclicos. 4.8.14.- Demuestre que un homomorfismo de grupos f:G→G`, es un isomorfismo, si y sólo si N(f) = e, si e es el módulo de G. 4.8.15El Teorema de Cayley, afirma que cualquier grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo adecuado de permutaciones. A continuación presentamos una sugerencia para su demostración. Si G es un grupo, considere SG=f:G→G/f es una biyección y demuestre: i) Si aεG y Ia:G→G, es definida como Ia(x)=ax, siempre que xεG, entonces IaεSG. ii) Si G`=Ig/gεG, entonces <G`,o>≼<SG,o>, con o=composición de funciones. iii) Si φ:G→G` es definida como φ(g)= Ig, siempre que gεG, entonces φ es un isomorfismo de grupos sobreyectivo.

4.9..GRUPOS CICLICOS FINITOS E INFINITOS.

Nuestra preocupación es ahora demostrar que el único grupo cíclico infinito, salvo isomorfismos, es el grupo aditivo ℤℤ. de los enteros y que el único grupo cíclico finito con n-elementos, salvo isomorfismos es ℤℤ.n, el grupo aditivo residual módulo n. Antes es importante la siguiente definición: Definición 4.9.1. Si G es un grupo y aεG tal que K = kεℤℤ.+/ak = e≠∅, entonces al menor de los elementos de K, lo llamaremos el orden de a, lo notaremos como o(a) y diremos que o(a) es finito. Si K=∅, afirmaremos que el orden de a es infinito, notado o(a)=∞. 4.9.2. Si G es un grupo y aεG tal que o(a)=k∈ℤℤ.+ , entonces: i) Si j∈ℤℤ.+y j<k, entonces aj≠e; ii) Si j∈ℤℤ.+tal que aj=e, entonces por el contrarrecíproco de i) se tiene que k≤j. Más aún si j∈ℤℤ.tal que aj=e, entonces k|j (Ver Ejercicio 4.10.1)

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Teorema 4.9.3. Si G es un grupo cíclico infinito, entonces G≈ℤℤ.. En consecuencia, el único grupo cíclico infinito, salvo isomorfismos, es ℤℤ.. Demostración.- Supongamos que G = <a> = an/nεℤℤ. es un grupo cíclico infinito y demostremos primero que o(a)=∞. Para lo cual basta probar, según la Definición 4.9.1 que nεℤℤ++//aann==ee=∅. En efecto, si nεℤℤ++//aann==ee≠∅. , se garantiza la existencia de ko∈K tal que ko = minK. Resultado que implica G ⊆e,a, ..., 1k0a − . Puesto que si nεℤℤ., al aplicar el Teorema 2.5.4 -Teorema del Residuo- encontramos c,rεℤℤ. tales que n =cko + r , donde 0≤r<ko. En consecuencia: a n = a cko+r Por sustitución. = a ckoa Por Teorema 22..33..44 vii) (d). = (ako)ca r Por Teorema 22..33..44 vii) (f). = eca r Porque koεK. =a r Luego G⊆e,a, ... ,ako−1, relación absurda puesto que por hipótesis G es infinito. Definamos f de <a> en ℤℤ. como f(an)=n, si n∈ ℤℤ y demostremos: i) f es una función , ii) f es biyectiva y iii) f es un homomorfismo. Evidentemente f satisface Fi y Fii, del Teorema 1.1.13, por lo tanto para verificar que f es una función, falta comprobar, que si n,mεℤℤ. y an

= am, entonces n = m. Razonando por el absurdo, si existen n,m∈ℤℤ tales que an

= am, pero n≠m, por ejemplo n < m, entonces am−n = e y por consiguiente m-nεK = kεℤℤ.+/ak = e, lo cual no es posible porque K=∅, ya que o(a)=∞.

Es trivial que f es inyectiva, ya que si n = m, por sustitución , an =am. Lo cual equivale a afirmar que si f(an) = f(am), entonces an = am. Es decir f es inyectiva. También es inmediato que f es sobre, porque cualquier nεℤℤ. es imagen, según f, de an. Por último comprobemos que f es un homomorfismo de grupos: Si a n,amεGG, entonces al aplicar sucesivamente el Teorema 22..33..44 vii) (d) y la definición de f, obtenemos que f(anam) = f(an+m) =n + m = f(a n) + f(am). En consecuencia f(xy) = f(x) + f(y), si x,yεG y por eso f es un homomorfismo de grupos. De i),2) y 3) se deduce que f es un isomorfismo de G sobre ℤℤ. y de acuerdo a la Definición 3.4.3 se infiere que G ≈ ℤℤ.

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Ejemplo 4.9.4. Si Consideramos G= ℤℤ.5∗, el grupo multiplicativo residual módulo 5 y 2∈G, tenemos que o(2)=4, puesto que:21=2, 22=4, 23=3, y 24=1. 4.9.5. En un grupo aditivo tenemos que si <G, +> es un grupo y aεG tal que K = kεℤℤ.+/ka = 0≠∅ donde 0=módulo de G, entonces o(a) al menor de los elementos de K. En consecuencia o(a)∈K y si α∈K, entonces o(a)≤α. Es decir, si α∈ℤℤ.+ tal que αa=0, entonces o(a)≤α. Ejemplo 4.9.6. Si G = ℤℤ.4, el grupo aditivo residual módulo 4 y consideramos 2∈G, tenemos que o(2)=2, puesto que, 1.2=2 y 2.2=2+2=0.. o(3)=4 , ya que 1.3=3, 2.3=3+3=2, 3.3=2.3+3=2+3=1 y 4.3=3.3+3=1+3=0. Observe que si consideramos G= ℤℤ., el grupo aditivo usual de los enteros y 2∈ℤℤ., entonces o(2) es infinito, puesto que no existe un entero positivo m, tal que m.2=0. Con la finalidad de probar que el único grupo cíclico con n-elementos, salvo isomorfismos, es ℤℤ.n, demostraremos el siguiente Lema: Lema 4.9.7. Si G =<a> es un grupo cíclico, podemos asegurar: i) Si o(a)=n∈ℤℤ.+, entonces G es un grupo con n-elementos, y G = e, a , ... ,an-1. Demostración.- Si o(a)=n, evidentemente e, a , ... ,an-1⊆G. Además, si x=amεG, entonces de acuerdo al Teorema 2.5.4 -, aplicado a n y a m-, existirán c,rεℤℤ. tales que , m = cn + r, donde rε[0 , n). Por lo tanto: am = acn+r Por sustitución. = acnar Por Teorema 22..33..44 vii) (d). = (an)car Por Teorema 22..33..44 vii) (f). = ecar Porque o(a)=n. = ar . Luego x = arεe,a,...,an-1 porque rεℤℤ. y rε[0 ,n). Es decir G⊆e,a,..., an-1 , obteniéndose con ello que G=<a>=e,a,...,an-1. Para concluir que G tiene n-elementos, basta verificar que lo elementos e,a,...,an-1, son diferentes entre si. Pero esto es inmediato, porque si un par aα,aβ∈G con 0≤α<β<n, fuera tal que aβ=aα, entonces aβ-α = e. Igualdad imposible, puesto que por hipótesis o(a)=n, y como 0<β-α<n, según 4.9.2 , aβ-α ≠e. 4.9.8.Es de verificación inmediata, con base en el Lema anterior, que si G=<a> es un grupo cíclico con n-elementos, entonces o(a)=n.

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Estamos ya en condiciones de abordar nuestro segundo objetivo, en el que adoptaremos temporalmente para evitar confusiones la notación [i] para designar a la clase i módulo n, para i∈ℤℤ.. Teorema 4.9.9. Si G = <a>, es un grupo cíclico con n-elementos, entonces G ≈ ℤℤ n, , el grupo aditivo residual módulo n. Resultado que presenta a ℤℤ n, como el único grupo cíclico con n-elementos, salvo isomorfismos. Demostración.- Demostremos que f:G→ ℤℤn, definida como f(ar) = [r], si rε ℤℤ, es un homomorfismo biyectivo de grupos. En efecto, dado que f satisface Fi y Fii, del Teorema 1.1.13, para verificar que f es una función, falta comprobar, que si j,kεℤℤ. y aj

= ak, entonces [j] = [k]. Si j,k∈ℤℤ tales que aj

= ak , entonces ak-j=e y como, según 4.9.8, o(a)=n, tenemos, por 4.9.2, que n|k-j, y así j≡k mod y por consiguiente [j]=[k]. También f es inyectiva, ya que si [r] = [s], entonces r≡s mod n y dado que por el Teorema 2.5.14 iii) sabemos que ℤℤnn==⎨⎨[[00]],,[[11]],, ……,,[[nn--11]]⎬⎬, podemos considerar r,s∈⎨0,1, …,n-1⎬ y así r≡s mod n, implica que r=s y obviamente ar=as. . También f es sobre ya que cualquier [r]∈ℤℤnn es imagen según f de ar∈<a>. Por último f es un homomorfismo de grupos, porque aj

, ak∈<a> implica según 22..33..44 vii) (d), que aj

. ak= aj+k . Pero como f es función f(aj

. ak)= f(aj+k ) y al aplicar la definición de f se deduce que f(aj+k)=j+k=f(aj)+f(ak). Luego f(ajak)= f(aj)+f(ak) y por tanto f es un homomorfismo de grupos. Definitivamente f es un homomorfismo biyectivo de G en ℤℤn y por esa razón, G≈ℤℤn.

4.10-EJERCICIOS 4.10.1. Si G es un grupo y aεG tal que o(a)=k∈ℤℤ.+ , demuestre: i) Si j∈ℤℤ.+y j<k, entonces aj≠e; ii) Si Si j∈ℤℤ. tal que aj=e, entonces k|j 4.10.2.Si f:G→G` es un isomorfismo de grupos y aεG tal que o(a) = n, demuestre que o(f(a))=n. ¿Que pasa si f es únicamente un homomorfismo? 4.10.3.- Demuestre que cualquier elemento de un grupo finito es de orden finito. 4.10.4.-Si G es un grupo cíclico finito y definimos f:G→ℤℤ , como f(ai)=i, demuestre que f no es función.

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4.10.5..-Si G = <a> es un grupo cíclico con n-elementos y mεℤℤ+, tal que mn, demuestre que la ecuación xm=e tiene exactamente m-soluciones en G. ¿Que pasa si mn? Sugerencia[Como n=jm, para algún jεℤℤ+, entonces los (arj), donde 0≤r<m y rεℤℤ, son soluciones en G de xm = e. Recíprocamente, si ak es solución de xm = e, entonces k = tj , con tεℤℤ y por el Teorema 2.5.4 obtenemos: t = cm+r, donde c,rεℤℤ y 0≤r<m. Resultado que nos lleva a aceptar que ak=arj] 4.10.6. De la Definición 2.13.1,sabemos que un k-ciclo en Sn, es de la forma δ=(x1, ... ,xk), y representa a la biyección de A en A, con A=1,2, ...,n, definida como δ (xi)=xi+1, si 1≤i<k , δ(xk)=x1 , además δ(x)=x, si x∈A y x∉x1, ... ,xk. Demuestre que el órden de δ es k. Sug [Según el Teorema 2.13.3, δκ(xi)=xi, puesto que i+k≡i modk y si δj(xi)=xi, entonces como i+j≡i modk, entonces j≡0 modk. Es decir kj y por lo tanto k≤j] 4.10.7.- Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Si G es un grupo tal que o(G)=n y aεG, entonces o(a)=n. ii)Si G es un grupo, a∈G con o(a)=n y α∈ℤℤ* tal que aα=e, entonces n≤α. iii) Si G es un grupo tal que o(G)=n, entonces G≈ℤℤn. iv)Si G es un grupo tal que o(G)=n y aεG, entonces an=e. v) Si G es un grupo cíclico con n-elementos, entonces G≈ℤℤn. vi) Si G es un grupo infinito, entonces G≈ℤℤ. vii)Si G es un grupo cíclico infinito, entonces G≈ℤℤ. viii) Si G =a1, ... ,an es un grupo finito con n-elementos, entonces (a1. ... .an)n = e.

4.11 EL ANILLO DE LOS ENTEROS Analizaremos algunas propiedades del anillo ℤℤ de los enteros relativas al concepto de número primo, a la factorización de sus elementos y a la existencia del máximo común divisor, entre otras. Iniciemos demostrando el siguiente resultado básico :

Teorema 4.11.1.Todos los ideales del anillo ℤℤ, son de la forma U = <n> = nz/zεℤℤ = nℤℤ, para algún nε ℤℤ. Demostración.-Evidentemente si nεℤℤ, entonces U = nℤℤ es un ideal de ℤℤ. Recíprocamente, si U es un ideal de ℤℤ, la Definición 4.7.10 confirma que U≼<ℤℤ , +>. Pero como ℤℤ es un grupo cíclico, entonces el Teorema 4.5.4 indica que todos sus subgrupos son cíclicos. En particular U será cíclico y por esa razón existe nεℤℤ tal que U = <n> = nz/zεℤℤ = nℤℤ,.

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De la Definición 3.1.29. sabemos que si a y b son enteros, a es un factor de b, o a divide a b, notado ab, si existe un entero k, tal que b=ka. Además, si cεℤℤ tal que ca y cb, entonces c lo clasificamos como un factor común de a y b.. Recordemos también, según Definición 3.1.32, que un par de enteros n y m, son primos relativos, notado (n,m)=1, si 1 y -1 son los únicos factores en común de n y m. También de la Definición 3.1.34, se deduce que un entero p∉1,-1, es un un número primo en ℤℤ, si 1 , -1, p y -p, son sus únicos factores en ℤℤ. Los siguientes resultados son demostrables fácilmente: Teorema 4.11.2.i) Si a,b,cεℤℤ. y ab, entonces acb. ii)Si a,b1, ... , bnεℤℤ. tales que: ab1, ... , abn, entonces a(b1+... +bn) iii) Si a,bεℤℤ. y simultáneamente ab y ba, entonces a = ub, donde u es una unidad en ℤℤ.. Es decir, u=±1. En este caso se dice que a y b son asociados. iv) Si n,mε ℤℤ. tales que m>0 y nm, entonces n≤m. v)Si a y b son enteros, entonces ab, si y sólo si el residuo de la división de a entre b es r=0. Una vez planteado el concepto de factor o divisor de un número entero, pensamos en los divisores o factores comunes a dos o más enteros y por lo tanto en el mayor de esos factores comunes. En esa línea tenemos la siguiente definición : Definición.4.11.3. Un entero d es un máximo común divisor de los enteros c1, c2, ... , cn , notado d=(c1, ... , cn), si : M1:dc1∧ dc2 ∧ ... ∧dcn M2: Si c es un entero tal que cc1∧ cc2 ∧ ... ∧ccn, entonces c≤d. 4.11.4.Observemos que si d=(c1, ... ,cn), en las condiciones de la definición anterior, entonces d>0, por que si d<0, al considerar al Teorema 4.11.2 (i) -dc1, ... , -dcn y la Definición anterior, implicaría -d≤d, relación imposible puesto que -d>d ya que -d>0 por ser d<0. 4.11.5 Si d y d` son máximos comunes divisores de los enteros c1, ... ,cn, tendremos que nuevamente la Definición anterior nos lleva a que dc1, ... , dcn, de tal manera que si d` es también máximo común divisor de c1, ... , cn, entonces d≤d`. Además al tenerse d`c1, ... y d`cn, la consideración d es un máximo común divisor de c1, ... ,cn, implica d`≤d. Es decir d≤d` y d`≤d y en esas condiciones d = d`. Hemos demostrado, por tanto que si c1, ... ,cnεℤℤ., y existe un entero d tal que d= (c1,... ,cn), entonces d es único De todas maneras aún no se ha garantizado la existencia del máximo común divisor de cual-quier colección finita de enteros. Por ejemplo, si la colección la integra únicamente el cero, el máximo común divisor no existe, porque cualquier entero no nulo es divisor de cero; pero si algún elemento de un conjunto finito es no nulo, el siguiente teorema asegura la existencia de su máximo común divisor:

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Teorema 4.11.6. Si c1, ... ,cnεℤℤ., no todos nulos, es decir existe i∈1,2,...n tal que ci≠0. Entonces existe un único entero positivo d, tal que d= (c1,... ,cn). Además es posible encontrar ß1, ... ,ßnεℤℤ. tales que d = ß1c1+... +ßncn. Demostración.-En vista de que en 4.11.4 y 4.11.5 demostramos que de existir el máximo común divisor de una colección de enteros él es positivo y único, nos resta probar la existencia del máximo común divisor de aquellos conjuntos de enteros en los que por lo menos uno de sus elementos es no nulo. En efecto, si c1, ... ,cn son enteros no todos nulos, entonces K = α1c1+...+αncn/α1,...,αn εℤℤ. es un subgrupo no trivial del grupo aditivo de los enteros, ℤℤ., ya que K≠Ø y tiene elementos diferentes al cero, puesto que por hipótesis existe i∈1,2,...n tal que ci≠0 y ciεK, ya que ci = 0c1+0c2+ ... 1.c i + 0cn Además si α1c1+ ... +αncn y ß1c1+ ... +ßn son un para de elementos de K, entonces las propiedades distributivas, asociativas y conmutativas de ℤℤ., implican que (α1c1+ ... +αncn)- (ß1c1+ ... +ßcn) = ((α1-ß1)c1+...+(αn-ßn)cn. Razón por la cual (α1c1+ ... +αncn)-(ß1c1+ ... +ßcn)εK. Es decir K satisface la condición (i) del Teorema 4.7.11 De otra parte si m∈ℤℤ. y x = α1c1+ ... +αncnεK, entonces por la propiedades distributiva, conmutativa y asociativa de ℤℤ., tenemos que xm=mx=(mα1)c1+ ... + (mαn)cn=εK. Luego K también satisface (ii) del anteriormente aludido teorema, y por lo tanto K es un ideal de ℤℤ... Al ser K un ideal de ℤℤ., el Teorema 4.7.11indica que K = <d>, para algún dεℤℤ.. Pero como ci≠0 y ciεK; inferimos que d≠0 y podemos considerar d>0, puesto que <d>=<-d>. Además al tener dεK; obtenemos: d = ß1c1+... +ßncn, con ßiε ℤℤ. (1). Veamos que precisamente d = (c1,... ,cn): En efecto, dado que c1, ... ,cnεK = <d> =md/mεℤℤ., entonces es posible encontrar un colección de n enteros, k1 , k2, ..., kn tales que c1= k1d ∧ ... ∧cn= knd. Por consiguiente, según la Definición 3.1.29 se infiere que dc1 ∧… ∧dcn. Luego d satisface M1. (2). Si cεℤℤ., tal que cc1 , ... y ccn, entonces, según el Teorema 4.11.2, cß1c1+...+ßncn. Luego cd, pero como dεℤℤ. +, entonces , por Teorema 4.11.2 (iv), c≤d (3). De (2) y (3), y la Definición 4.11.3 se infiere que d = (c1, ... ,cn) y en consecuencia d existe y según (1) existe ß1 , ß2 , ..., ßn ε ℤℤ tales que d = ß1c1+... +ßncn, Los teoremas 4.11.6 y el 4.11.2 permiten demostrar el resultado presentado a continuación, que plantea una caracterización del máximo común divisor de una colección de enteros, utilizada frecuentemente, por razones de tipo práctico.

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.Teorema 4.11.7.Si c1, ... ,cnεℤℤ y dε ℤℤ +, entonces d= (c1, ... ,cn) si y sólo si: i) dc1, ... y dcn y ii) Si cεℤℤ tal que cc1, ... y ccn, entonces cd. El Teorema 4.11.6 y la Definición 3.1.32 infieren inmediatamente el siguiente corolario: Corolario 4.11.8. Si a,bεℤℤ , entonces a y b son primos relativos, si y sólo si, existen α,ßεℤℤ, tales que αa+ßb = 1. Una vez demostrada la existencia y unicidad, del máximo común divisor de cualquier conjunto finito de enteros, en el que por lo menos uno de ellos sea no nulo, nuestro objetivo es el Teorema Fundamental de la Teoría de Números, que demuestra la certeza de la existencia de una factorización, en cierta forma única, por intermedio de divisores primos, de cualquier entero que no sea una unidad en ℤℤ.. En la búsqueda de ese objetivo, demostraremos a continuación dos corolarios más del Teorema 4.11.6. El primero de ellos se refiere a un resultado utilizado en la demostración del Teorema 3.1.42. Corolario 4.11.9. Si a,b,cεℤℤ tales que (a,b) = 1 y abc, entonces ac. Demostración.- Si a,b∈ℤℤ tales que (a,b) = 1, el Corolario anterior y la Definición 3.1.29, implican la existencia de α,ß,kεℤℤ, tales que αa+ßb = 1 y bc = ka. Por lo tanto, (αc+ßk)a = c y en consecuencia ac. .4.11.10. Por lo demostrado en el Corolario anterior notaremos a la afirmación: “a y b no son primos relativos” como (a,b)≠1. Además es notable la invalidez de este Corolario, cuando (a,b)≠1.. Por ejemplo como 412 y 12=2o6, entonces 42o6, pero 42 y 46. Observe que (4,2)≠1 y (4,6)≠1. Continuando con nuestros preparativos para demostrar el Teorema Fundamental de la Teoría de Números, demostraremos el siguiente corolario : Corolario 4.11.11.Si p es número primo y a1, ... ,anεℤℤ tales que pa1. ... .an, entonces pai, para algún entero iε1 ,2, ...n.. Demostración.-Razonando inductivamente el corolario es evidente, si n = 1. Supongamos su validez hasta k = n-1. Si pa1. ... .an, entonces p(a1. ... .an-1).an., situación que nos ubica frente a dos opciones o pan o pan. Obviamente si pan, coronaríamos el objetivo. Si pan, entonces como p es un número primo se deduce que (p,an)=1, porque si (p, an)=d≠1,entonces dp, lo cual no es posible, según Definición 3.1.34, por ser p primo en ℤℤ.

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En consecuencia al aceptar p(a1. ... .an-1).an, el Corolario 4.11.9 nos lleva a p(a1. ... .an-1) y por lo tanto la hipótesis de inducción conduce a que pai ,para algún i∈ ℤℤ. Estamos ya en condiciones de demostrar el Teorema Fundamental de la Teoría de Números. Teorema 4.11.12. Para cualquier entero z≠0, que no sea una unidad en ℤℤ, es posible encontrar p1. ... .pn, primos en ℤℤ,, ttaalleess qquuee zz==pp11.. ...... ..ppnn.. AAddeemmááss ssii pp11,, ...... ,,ppnn ,q1, ... ,qm ssoonn pprriimmooss eenn ℤℤ ttaalleess qquuee ttaammbbiiéénn zz = pp11.. ...... ..ppnn =q1. ... .qm, entonces n = m y esas factorizaciones de z pueden ser reordenadas para obtener: p1 = u1q1, ... ,pn = un.qn, donde u1, ...un son unidades en ℤℤ... Demostración.-Si zε ℤℤ + y z es primo, el teorema es válido. Razonando por inducción el Teorema es válido para z=2, porque si 2 no fuera un primo en ℤℤ,, entonces 2=pq, con p,q∉-1,0,1 y por consiguiente o p,q∈[2,→)=x∈ /x≥2 o p,qε(←,-2]=x∈ /x≤-2. ( =números reales)Opciones imposibles puestos que cualquiera de ellas implica el absurdo 2≥4. Aceptemos la validez del teorema para enteros positivos, estrictamente menores que z y demostrémoslo para z. Si z no es un número primo, entonces z =ab, donde a,bε ℤℤ tales que a y b no son unidades en ℤℤ. Por lo tanto como z>0, entonces o a>0 y b>0 o a<0 y b<0. La alternativa a>0 y b>0 implica a<z y b<z, porque si a≥z, al ser de todas maneras b>1, obtendríamos ab>a≥z. Es decir z>z. Absurdo. Luego; si a>0 y b>0, entonces a<z y b<z y en consecuencia, por la hipótesis de inducción a y b son factorizables en número finito de primos. Entonces a = p1. ... pr y b = q1. ... qs, donde los pi y los qi son números primos y al sustituir tenemos z = (p1. ... pr)(q1. ... qs) = p1. ... pr.q1. ... qs, encontrándonos con una factori-zación de z en la cual figura un número finito de factores primos de ℤℤ. Si la opción es a<0 y b<0, por un procedimiento similar al anteriormente utilizado, concluímos que -a<z y -b<z (Ver Ejercicio 4.12.5), situación en la cual, según hipóteisis de inducción, -a=p1. ... .pr y -b=q1. ... .qs, donde los pi y los qi son primos en ℤℤ.. Por lo tanto a = (-p1). ... .pr y b = (-q1). ... .qs. Entonces z = ab = (-p1). ... .pr.(-q1). ... (-qs) factorizándose de esta forma z en un número finito de factores primos de ℤℤ, ya que el supuesto p1, ... ,pr,q1, ... ,qs son primos en ℤℤ implica que también , -p1 y -q1 son primos en ℤℤ . Si z∈ℤℤ −− y z≠-1, entonces z = -w, con w∈ℤℤ + y w≠1. Al aplicar el resultado demostrado en el párrafo anterior, w es expresable como un producto finito de primos y -w correrá con la misma suerte. Con relación a la segunda conclusión, si p1. ... .pn = q1. ... .qn, la Definición 3.1.29 implica que p1q1. ... .qn y según el Corolario 4.11.11., pqi, para algún iε1,2,3, ... ,n.

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La conmutatividad del anillo de los enteros ℤℤ nos permite reordenar los factores q1. ... .qn, de tal manera que p1q1 y en consecuencia por ser p1 y q1 primos en ℤℤ,, p1 = u1q1, donde u1 es un unidad en ℤℤ. Sustituyendo en z, tenemos: z = u1.q1. ... .pn = q1. ... .n. Por lo tanto al tener en cuenta que ℤℤ es un dominio entero el Teorema 3.3.2 permite cancelar q1 y la igualdad anterior se trans-forma en u1p2. ... .pn = q2. ... .qm. Continuando el proceso con p2, ... ,pn, obtenemos las siguientes igualdades: p1 = u1q1, p2 = u2q2, ... , pn =unqn, donde los ui son unidades en ℤℤ En las condiciones del teorema no es posible que n<m, ya que ello conduciría a que u1. ... .un = qn+1. ... .qm y la Definición 3.1., ubica a qn+1 como una unidad en ℤℤ, lo cual no es posible porque qn+1 es un número primo. Pero tampoco es posible que m<n, porque después de m-pasos tendríamos que u1. ... .umpm+1. ... pn=1, que no es viable por ubicar a pn como una unidad en ℤℤ... Una aplicación interesante del Teorema fundamental de la Teoría de Números relativo a los primos es la siguiente: Teorema .4.11.13- Los números primos son infinitos. Demostración.-Razonando por el absurdo, supongamos que solamente existe un número finito de primos p1, ... ,pn. Y consideremos r = 1+ p1. ... .pn. En vista de que r es mayor que cada uno de los pi, r no puede ser un número primo y en consecuencia, según el Teorema anterior, r debe ser factorizable en número finito de primos. Sin embargo ningún pi puede ser un factor de r, porque según el Teorema del Residuo (2.5.4), el residuo de dividir r entre pi es 1. Concluyéndose de esta manera en un resultado contradictorio. Finalizaremos la presente sección con otra utilidad de los números primos, relativa a los ideales de ℤℤ... Del Teorema 4.11.1 sabemos que los ideales de ℤℤ ttiieenneenn llaa ffoorrmmaa UU ==nn ℤℤ., donde n∈ℤℤ.. Verificaremos enseguida que si U=pℤℤ., con p un primo, entonces U es el último eslabón, antes de ℤℤ.,, de cierta cadena ascendente de contenencia de ideales, diferentes de ℤℤ. Este tipo de ideales los llamaremos maximales, en el sentido de la Definición 1.17.1 v) y pueden ser caracterizados así según 1.17.3: Teorema 4.11.14. Un ideal U de ℤℤ. es maximal en ℤℤ., si y solo si: Si K sea un ideal de ℤℤ. tal que U⊆K⊆ℤℤ., entonces K=U o K= ℤℤ.. Más específicamente los ideales maximales de ℤℤ cumplen lo siguiente:

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Teorema 4.11.15. Si U=pℤℤ. es un ideal de ℤℤ. y p es un número primo en ℤℤ., entonces U es un ideal maximal de ℤℤ.. Demostración Si K es un ideal de ℤℤ. tal que U⊆K⊆ ℤℤ., conocemos que K=αℤℤ., para algún α∈ℤℤ., pero como U⊆K y p∈U, tendremos también pεK. Por esta razón p=αz, para algún zε ℤℤ. yy ppoorr sseerr pp uunn nnúúmmeerroo pprriimmoo, la Definición 3.1.34, señala que o α=±1 o z=±1. Por lo tanto, o K= ℤℤ. o K=U En el Capítulo V1 se estudiarán más propiedades de los ideales maximales.

4.12-PROBLEMAS 4.12.1 Si a,b,c∈ℤℤ. y ab, demostrar : i) acb. ii)Si a,b1, ... , bn∈ℤℤ. y ab1, ... , abn, entonces a(b1+... +bn) iii) Si a,b∈ℤℤ. y simultáneamente ab y ba, entonces a = ub, donde u es una unidad en ℤℤ. Es decir, u=±1. En este caso se dice que a y b son asociados. iv) Si n,m∈ℤℤ. y m>0 son tales que nm, entonces n≤m. v) Si a y b son enteros, entonces ab si y sólo si el residuo de la división de a entre b es r=0. . 4.12.2Si c1, ... ,cn∈ℤℤ. y d∈ℤℤ. +, demostrar que d= (c1, ... ,cn) si y sólo si: i) dc1, ... y dcn y ii) Si c∈ℤℤ tal que cc1, ... y ccn, entonces cd. 4.12.3.-Si a,b∈ℤℤ. , demostrar que a y b son primos relativos, si y sólo si, existen α,ß∈ℤℤ., tales que αa+ßb = 1. .4.12.4 Encuentre en cada caso el máximo común divisor de los enteros señalados y escríbalo en la forma, αa+βb+δc.. a)100,40, 80 ; b) 75,125 4.12.5 Si z∈ℤℤ. tal que z=ab, con a,b∈ℤℤ.- demuestre que -a<z y -b<z . 4.12.6.-Si G = <a> es un grupo cíclico con n elementos y b = asεG tal que 0<s<n , demuestre que o(b) = n/d, donde d = (n,s). Sugerencia:[ Primero verifique bn/d = e. Además, si j∈ℤℤ tal que j∈(0,n/d) y bj=e, entonces js = kn, para algún k∈ℤℤ +. Pero como de otra parte n = k1d y s = k2d, donde k1,k2∈ℤℤ y (k1,k2)=1, entonces jk2 = kk1 y por consiguiente k = ck2, con c∈ℤℤ +, lo cual conduce al absurdo j = ck1, puesto que ello no es posible ya que j∈(0,n/d).] 4.12.7-Si G1 y G2 son grupos cíclicos de órdenes n y m respectivamente, demuestre que G1xG2 es un grupo cíclico y encuentre su número de elementos. 4.12.8.- Si ξ,ξ2, ....,ξn . son las raíces complejas enésimas de la unidad (Ver 2.10) y A es la matriz diagonal nxn tal que aii =ξi, encuentre o(A).Sug[Observe que ξkn=1. Además, si

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ξkm=1, entonces Cos2πkm/n + iSen2πkm/n = 1 = Cos0+iSen0. Razón por la cual Cos-2kπm/n = Cos0 y Sen2πkm/n=0. Las propiedades de las funciones Sen y Cos nos indican que nm, porque de no ser así Cos2kπm/n≠1.

4.13 OTRAS PROPIEDADES DE ℤℤ * El objetivo es estudiar algunos elementos de Teoría de Números apoyándonos en los resultados estudiados hasta el momento del desarrollo de estas notas. Iniciemos recordando algunas propiedades de la congruencia. 4.13.1. Del Teorema 2.5 16. (iii), sabemos que si a,b,n,kεℤℤ., con n>0 y a≡b mod n, entonces ka≡kb modn. El recíproco de ese teorema no es válido. Por ejemplo 2.3≡2.0 mod6, pero no es cierto que 3≡0 mod6. De igual forma 2.4≡2.1 mod6, pero no es válido que 4≡1 mod6. El siguiente corolario demuestra que si (k,n)=1, entonces es posible cancelar k, para obtener que a≡b modn. .Teorema 4.13.2. Si a,b,n,kε ℤℤ. con n>0 tales que (k,n)=1 y ak≡bk modn, entonces a≡b modn. Demostración.-Si ak≡bk modn, el Teorema 2.5.9. implica que ak-bk =cn, para algún cε ℤℤ.. Pero como ak-bk = (a-b)k, tenemos que (a-b)k = cn. En consecuencia, n(a-b)k y en vista de que (n,k)=1, el Corolario 4.11.9 nos lleva a que n(a-b), asegurándose así, según Teorema 2.5.9. que a≡b modn Otro resultado interesante es el atinente a la ceradura del producto usual de enteros primos relativos con un entero fijo: El siguiente teorema demuestra tal afirmación. Teorema 4.13.3. Si a,b,nεℤℤ tales que (a,n) = 1 y (b,n) = 1, entonces (ab,n) = 1. Demostración.-Si (a,n) =1 y (b,n)=1, el Corolario 4.11.8 manifiesta la existencia de α,ß,γ,δεℤℤ., tales que αa+ßn = 1 y γb+δn=1 . Entonces al considerar d = (ab,n), la Definición 4.11.3 nos indica que dab y dn. Por lo tanto, como αa+ßn = 1, entonces α(ab)+(ßb)n =b y el Teorema 4.11.2 (i) y (ii), se infiere que db. Pero como además dn y γb+δn=1, por las mismas razones anteriores, se deduce d1.. Por último según 4.11.4 se tiene que d>0 y como además d∈ℤℤ., concluímos que d = 1 y en consecuencia (ab,n)=1 Proseguiremos con el estudio de la función de Euler, de gran importancia en nuestro propósito. Definición 4.13.4.Si nεℤℤ.+, definimos φ(n), como φ(n) = 1, si n = 1, o φ(n) igual al número de enteros positivos, estrictamente menores que n y primos relativos con n, si n>1 Ejemplo 4.13.5. φ(10) = 4, por que los primos relativos con 10, positivos y estrictamente menores que 10, son 1,3,7 y 9.

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En general, si nε ℤℤ+ y n>1, para calcular φ(n) debemos encontrar el número de elementos del conjunto J(n) = Rn(k)/k∈ℤℤ+, k<n y (k,n)=1. O abreviadamente: J(n)=kεℤℤ+/k<n y (k,n)=1. Por ejemplo :J(1) = 1 y J(10) = 1,3,7,9. Recordemos que según 2.5 11, si a∈ℤ, la clase de equivalencia de a, módulo n, notada Rn(a) es definida como Rn(a)=z∈ℤ /z≡a modn. Estudiaremos a continuación algunas propiedades de este conjunto, iniciándolo con la demostración del siguiente lema básico relativo a que el caráter de primo relativo lo conservan los residuos. Por ejemplo: (18,7)=1 y observamos que el residuo de la división de 18 entre 7 es 4 y (4,·7)=1. Lema 4.13.6.Si a,n,c,rεℤℤ tales que n>0, (a,n) = 1 y a=cn+r y 0≤r<n, entonces (r,n) = 1. Demostración.-Razonando por el absurdo, si (r,n)≠1, entonces existe kεℤℤ +, k≠1, tal que k es un factor común de r y n. Es decir, existen u,tεℤℤ + tales que n =ku y r = kt. Por lo tanto como por hipótesis a=cn+r, al sustituir obtenemos a = (cu+t)k. Entonces k, además de ser un factor de n, también es un factor de a, resultado inaceptable por ser (a,n) = 1. Teorema 4.13.7. <J(n), o>, donde o = multiplicación residual módulo n, es un grupo. Demostración.- Para probar que <J(n), o> es un grupo debemos comprobar en primer lugar que o es una operación en J(n), para cual de acuerdo al Corolario Corolario 1.1.29 basta verificar que la multiplicación residual módulo n, es cerrada en J(n), puesto que J(n)⊆ ℤℤ n. Veamos que si a,bεJ(n), entonces a.bεJ(n); lo cual equivale a demostrar que el residuo de dividir ab(multiplicado usualmente) entre n, es primo relativo con n. Pero esto es inmediato, porque si a,bεJ(n), por definición a y b son primos relativos con n y por lo tanto el producto usual ab , según Teorema 4.13.3, es primo relativo con n y el Lema anterior implica que si r es el residuo de dividir ab (multiplicado usualmente entre n), entonces (r,n)= 1. Deotra parte, en vista de que < ℤℤn*,o> es una estructura algebraica asociativa y J(n)⊆ ℤℤ n* se tiene de acuerdo con el Teorema 1.4.3 que <J(n),o> es tambien una estructura algebraica asociativa que además es modulativa puesto que 1∈J(n). Por último verifimos que cada elemento de J(n) tiene su inverso multiplicativo en J(n). En efecto, si a∈J(n) y a=1, no hay problema, sea entonces a>1. En esta situación la definición de J(n) infiere que (a,n)=1. Por lo tanto el Corolario 4.11.8 garantiza la existencia de α,ßεℤℤ, tales que αa+ßn = 1. Entonces αa-1=ßn y de acuerdo con el Teorema 2.5.9. αa≡1 modn. Pero si r es el residuo de dividir α entre n, entonces r≡α modn y el Lema 4.13.6 indica que r es primo relativo con n y además como no es difícil comprobar que 1≤r<n, se infiere que r∈J(n). Por último dado que r≡α modn se tiene que ar≡aα modn y como aα=αa y αa ≡1 modn, entonces ar≡1 modn. Entonces a tiene inverso multiplicativo en J(n) Luego <J(n),o> satisaface las condiciones del TTeeoorreemmaa 22..22..55 y así <J(n),o> es un grupo.

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Teorema 4.13.8. Si p,n∈ℤℤ++ yy pp eess uunn pprriimmoo eenn ℤℤ++ ,, eennttoonncceess φφ((ppnn))==ppnn((11--11//pp)).. DDeemmoossttrraacciióónn.. SSee ttrraattaa ddee ccaallccuullaarr pprriimmeerroo llooss eenntteerrooss qquuee nnoo sseeaann pprriimmooss rreellaattiivvooss ccoonn ppnn eenn eell iinntteerrvvaalloo II==[[11,,ppnn]] yy lluueeggoo rreessttaarrllee eessee nnúúmmeerroo aa ppnn ppaarraa ssaabbeerr eell vvaalloorr ddee φφ((ppnn)).. EEll tteeoorreemmaa qquueeddaa ddeemmoossttrraaddoo,, ppoorrqquuee eenn II llooss eenntteerrooss qquuee nnoo ssoonn pprriimmooss rreellaattaavvooss ssoonn llooss ppnn--11 eenntteerrooss:: pp,,22pp,, ……,,ppnn--11pp,, yy aassíí φφ((ppnn))==ppnn--ppnn--11==ppnn((11--11//pp)).. Teorema 4.13.9. Si n,m∈ℤℤ++ yy ((mm,,nn))==11,, eennttoonncceess φφ((nnmm))== φφ((nn)) φφ((mm)).. DDeemmoossttrraacciióónn.. BBaassttaa ccoonn eennccoonnttrraarr uunnaa bbiiyyeecccciióónn ddee JJ((nnmm)) eenn JJ((nn))xxJJ((mm)),, qquuee ddee mmaanneerraa nnaattuurraall ssee ppuueeddee ppoossttuullaarr aa γγ ddeeffiinniiddaa ccoommoo γγ((RRnnmm((kk))))== ((RRnn((kk)),, RRmm((kk)))).. EEvviiddeenntteemmeennttee γγ eess uunnaa rreellaacciióónn ddee JJ((nnmm)) eenn JJ((nn))xxJJ((mm)) ddeeffiinniiddaa eenn JJ((nn)) yy aaddeemmááss ssii RRnnmm((kk))== RRnnmm((jj)),, eennttoonncceess kk≡≡jj mmoodd nnmm yy eenn ccoonnsseeccuueenncciiaa nnmm||kk--jj.. LLoo ccuuaall iimmpplliiccaa qquuee nn⎢⎢kk--jj yy mm||kk--jj.. EEnnttoonncceess kk≡≡jj mmoodd nn yy kk≡≡jj mmoodd mm yy ppoorr eennddee RRnn((kk))== RRnn((jj)) yy RRmm((kk))== RRmm((jj)),, iinnffiirriiéénnddoossee qquuee ((RRnn((kk)),, RRmm((kk))))== ((RRnn((jj)),, RRmm((jj))))..EEss ddeecciirr γγ((RRnnmm((kk))))== γγ((RRnnmm((jj)).. LLuueeggoo γγ,, sseeggúúnn eell CCoorroollaarriioo 1.1.17, eess uunnaa ffuunncciióónn ddee JJ((nnmm)) eenn JJ((nn))xxJJ((mm)).. AAddeemmááss,, ssii ((RRnn((kk)),, RRmm((kk))))== ((RRnn((jj)),, RRmm((jj)))),, eennttoonncceess kk≡≡jj mmooddnn yy kk≡≡jj mmoodd mm.. EEnnttoonncceess eexxiissttee pp,,qq∈∈ℤℤ ttaalleess qquuee kk--jj==ppnn==qqmm yy ppoorr lloo ttaannttoo nn||qqmm,, ppeerroo ccoomm ((nn,,mm))==11,, ssee iinnffiieerree qquuee nn||qq yy ppoorr eessaa rraazzóónn eess ppoossiibbllee eennccoonnttrraarr tt∈∈ℤℤ ttaall qquuee qq==ttnn.. LLuueeggoo kk--jj==ttnnmm yy ppoorr eessoo kk≡≡jj mmoodd nnmm.. EEss ddeecciirr RRnnmm((kk))== RRnnmm((jj)) yy ppoorr eennddee γγ eess iinnyyeeccttiivvaa.. PPoorr úúllttiimmoo γγ eess ssoobbrree yyaa qquuee ccuuaallqquuiieerr ((RRnn((kk)),, RRmm((kk))))∈∈JJ((nn))xxJJ((kk)) eess iimmaaggeenn,, sseeggúúnn γγ,, ddee RRnnmm((kk))∈∈JJ((nnmm)).. CCoonncclluuyyéénnssooddee qquuee γγ eess uunnaa bbiisseecccciióónn ddee JJ((nnmm)) eenn JJ((nn))xxJJ((mm)) Teorema 4.13.10. Si n∈ℤℤ y n>1, entonces existen p1, …,pk∈ℤℤ tales que p1, …,pk son primos en ℤℤ y φ(n)=n(1-1/p1). … (1-1/pk). Demosteración. Sabemos que n= 1 kn n

1 kp . ... .p y por tanto el Teorema 4.13.9 indica que φ(n)= 1 k

k

n n1(p ). ... . (p )φ φ y por último al aplicar el Teorema 4.13.8 se deduce que φ(n)=n(1-1/p1) …

.(1-1/pk) Teorema 4.13.11. Si n∈ℤℤ++,, eennttoonncceess,,

d n

(d)φ∑ ==nn..

DDeemmoossttrraacciióónn..OObbvviiaammeennttee ssii nn==11,, eell rreessuullttaaddoo aanntteerriioorr eess vváálliiddoo.. PPaarraa nn>>11,, pprroocceeddaammooss ppoorr iinndduucccciióónn ssoobbrree eell nnúúmmeerroo ddee ffaaccttoorreess pprriimmooss ddee nn.. SSii nn==pp yy pprriimmoo eenn ℤℤ,, eennttoonncceess

d n

(d)φ∑ == φφ((11))++φφ((pp))==11++((pp--11))==pp..

AAcceepptteemmooss llaa vvaalliiddeezz ddeell tteeoorreemmaa ssii pp ttiieennee kk ffaaccttoorreess pprriimmooss yy ddeemmoossttrreemmoosslloo ppaarraa mm==((pp11.. …… ..ppkk))pp..

208

d pn d n d n

(d)= φ(d)+ φ(pd)φ∑ ∑ ∑ ==nn++φφ((pp))nn==nn++((pp--11))nn==ppnn==mm..

4.13.12. Si + es la suma residual módulo n, sabemos que <ℤℤn, +> es un grupo, por lo tanto el Teorema 22..33..44 (i) implica que la ecuación a+x = b , con a,bεℤℤn, tiene una única solución en ℤℤn; propuesta equivalente a afirmar que la ecuación de congruencia a+x≡b modn tiene una única solución en ℤℤ n. Más aún, si a,bεℤℤ y a+x≡b modn tiene solución en ℤℤ. Precisamente α=b-a es una de ellas. Observamos que si ß≡α modn, entonces ß también es solución de a+x≡b modn, puesto que por el Teorema 2.5 16. i) a+ß≡a+α modn y como a+α≡b modn, por ser α solución de a+x≡b modn, la transitividad de ≡, infiere a+ß≡b modn. Recíprocamente, si ß es otra solución de a+x≡b modn, entonces a+ß≡b modn, pero como también a+α≡b modn, la propiedad simétrica de ≡(Τεorema 2.5 8 ii) implica a+ß≡b modn y b≡a+α modn, conduciendo la propiedad transitiva de ≡ a que: a+ß≡a+α modn y por lo tanto ß≡α modn.n. Hemos demostrado que ß∈ℤℤ es solución de a+x≡ b modn, si y sólo si ß≡α modn. Una situación como esta se sintetiza manifestando que α es la única solución en ℤℤ, módulo n, de la ecuación a+x≡b modn. De esta manera hemos demostrado el siguiente teorema: Teorema 4.13.13. Si a,b∈ℤℤ, la ecuación de congruencia a+x≡b módn, tiene una única solución módulo n en ℤℤ. 4.13.14. El resultado anterior no es válido en ℤℤn, con la multiplicación residual módulo n. Por ejemplo en ℤℤ 4, 2x≡3 mod4 no tiene solución. Tampoco dicha ecuación tiene solución en ℤℤ, porque si existiera αε ℤℤ, tal que 2α≡3 mod4, entonces 2α = 4t+3, donde t∈ℤℤ. Identidad imposible en ℤℤ, porque plantea la igualdad entre un entero par y uno impar. 4.13.15. - Mas aún, dado el caso que para a,b,n∈ℤℤ, con n>0, la ecuación ax≡b modn tenga una solución α∈ℤℤ , no podemos garantizar que α sea la única solución módulo n en ℤℤ, de dicha ecuación. Por ejemplo: 2 y 3 son soluciones de la ecuación 4x≡2 mod2; pero no es cierto que 2≡3 mod2. 4.13.16. Pero si a,b,n∈ℤℤ, n>0, (a,n)=1, entonces la ecuación ax≡b modn tiene a lo más una única solución módulo n en ℤℤ.

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En efecto, si α,ß∈ℤℤ son soluciónes de ax≡b modn, entonces aα≡b modn, y aß≡b modn. Luego de acuerdo a la propiedad simétrica de ≡ (Teorema 2.5 8 ii aα≡b modn y b≡aß modn. Por consiguiente la transitividad de ≡, implica aα≡aß modn y por ser (a,n)=1, el Teorema 4.13.2 infiere que α≡ß modn. Recíprocamente, si α es solución en ℤℤ de ax≡b modn, o sea si aα≡b modn, y ß∈ℤℤ es tal que ß≡α modn, entonces, según el Teorema 2.5 16. aß≡aα modn, pero como aα≡b mod n, la propiedad transitiva de ≡ (Teorema 2.5 8iii)implica : aß≡ b modn. Es decir ß es solución de ax≡b modn. Luego ax≡b modn tiene a lo más una solución en ℤℤ, módulo n. 4.13.17. Sin embargo, al haber probado en el Teorema 4.13.7 que J(n), con el producto residual módulo n es un grupo, el Teorema 22..33..44 .(i), asegura que la ecuación de congruencia ax≡b modn, con a,b∈J(n), tiene una única solución en J(n), que según 4.13.16, es única, módulo n, en ℤℤ. Así hemos demostrado el siguiente teorema: Teorema 4.13.18.Si a,b,n∈ℤℤ+ tales que (a,n)=1, (b,n)=1,a<n y b<n, entonces la ecuación de congruencia ax≡b modn tiene una única solución α∈J(n). Lo cual implica que α es la única solución en ℤℤ, módulo n, de dicha ecuación. El Teorema anterior, conserva su validez al extenderlo para a,b∈ℤℤ, eliminar la restricción a<n y b<n y considerar sólamente primos relativos con n, como se demuestra en el siguiente teorema: Teorema 4.13.19. Si a,b,n∈ℤℤ tales que n>0, (a,n)=1 y (b,n)=1,entonces la ecuación de congruencia ax≡b modn tiene una única solución ß∈J(n), modulo n, lo cual ,implica que ax≡b modn tiene una única solución en ℤℤ, módulo n. Demostración.- Si a y b son primos relativos con n, el Lema 4.13.6 , señala que si r1 y r2, son sus respectivos residuos al ser divididos por n, entonces r1 y r2, son también primos relativos con n y por consiguiente r1,r2∈J(n) y en esas condiciones la ecuación r1x≡r2 mod n, tiene una única solución en J(n). Es decir, exite β∈J(n) tal que r1β≡r2 modn. 1) Veamos que β es tambien solución de ax≡b modn. En efecto: Como a≡r1 modn, por el Teorema 2.5 16.iii), aß≡r1ß modn. (2) y al aplicar sucesivamente las propiedades simétricas y transitivas de ≡ (Teorema 2.5 8 (i) y iii)) a 1) y 2), obtenemos que, aß≡ r2 modn, pero como también r2≡b modn., la transitividad de ≡ conduce a que aβ≡b modn Luego ß es solución en J(n) de ax≡b modn. Además β es la única olución en J(n) ya que si existiera ξ∈J(n), solución de ax≡b modn, entonces aξ≡b mod n y también aβ≡b mod n y nuevamente las propiedades simétrica y transitiva de la ≡, conduce a que aξ≡aβ mod n y como (a,n)=1,el Teorema 4.13.2 implica que ξ≡β mod n, lo cual conduce a que ξ=β ya que ξ,β∈J(n).

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Por último, al ser de todas maneras ß una solución en ℤℤ de ax≡b mod n, entonces ß es según el Teorema 4.13.2, la única solución módulo n en ℤℤ de ax≡b modn por ser (a,n)=1. Si en el Teorema anterior suprimimos la condición (b,n)=1, obtenemos el siguiente resultado. Teorema 4.13.20. Si a,b,n∈ℤℤ, con n>0 tales que (a,n)=1, entonces la ecuación ax≡b modn tiene una única solución ß∈ℤℤ, módulo n. Demostración.-Como de todas maneras, según el Teorema anterior, la ecuación ax≡1 modn tiene una solución ß∈ℤℤ, entonces aß≡1 modn, de tal manera, que de acuerdo al Teorema 2.5 16. (iii) y la asociatividad en en el grupo multiplicativo de los reales, <ℝℝ** , o>, se tiene que a(ßb)≡b modn, lo cual nos indica que ξ=ßb es solución en ℤℤ de ax≡b modn. Y nuevamente 4.13.2implica que ax≡b modn tiene una única solución módulo n, en ℤℤ. 4.13.21.Observe que la solución ξ = ßb de la ecuación ax≡b modn, encontrada en el desarrollo de la demostración del Teorema anterior, no necesariamente es tal que (ξ,n)=1, puesto que no necesariamente (b,n)=1. Luego la solución en este caso, tampoco es necesariamente un elemento de J(n), como sucede con la ecuación 2x≡3 mod9, que tiene como una de sus soluciones ß = 6 y a pesar de que 6∈[0,9), 6∉J(9). Finalizaremos este paréntesis demostrando la siguiente afirmación: Teorema 4.13.22. Si a,nεℤℤ, con n>0, la ecuación ax≡b modn, tiene solución en ℤℤ, si y sólo si d=(a,n) es un factor de b. Además, en caso de que ßεℤℤ, sea una de su soluciones, dicha ecuación tendrá d soluciones diferentes, módulo n, de la forma :ß, ß+nd, ß+(2n/d), ... ,ß+((d-1)n/d). Demostración.-Si ax≡b modn es soluble en ℤℤ, entonces existe ßεℤℤ tal que aß≡b modn. Luego (aß-tn)=b, para algún tεℤℤ.(1). Además, si d=(a,n), entonces existen r,sεℤℤ tales que a=rd y n=sd. Por lo tanto al sustituir en (1), obtenemos que (rß-st)d=b. Es decir db. Recíprocamente, si db entonces por el Teorema 4.13.22, la ecuación (a/d)x≡(b/d) modn(n/d) tiene solución en ℤℤ, puesto que (a/d,n/d)=1 y dicha solución también lo será de la ecuación ax≡b modn. Veamos ahora que si ß es una solución de ax≡b mod n, entonces sus únicas soluciones módulo n, son :ß, ß+(n/d), ß+(2n/d), ... , ß+((d-1)n/d). Evidentemente ß+(jn/d), con jεℤℤ es solución de ax≡b modn, porque como ß una de ellas, aß≡b modn y al ser da, (a/d)jn≡0 modn. En consecuencia, por el Teorema 2.5 16. (ii) y la

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propiedad distributiva de la suma usual al respecto de la multiplicación usual en ℝℝ, obtenemos que a(ß+ jn/d)≡b modn. Las d-soluciones no son congruentes entre si, módulo n, ya que si existieran i,jε ℤℤ, con i,jε[0,d) tales que ß+(in/d)≡ß+(jn/d) modn, entonces (i-j)n/d=tn, para algún tεℤℤ. Luego di-j y por lo tanto i≡j mod d, pero como i,jε[0,d), por el Teorema 2.5 16.v), i=j. Por último verifiquemos que cualquier otra solución en ℤℤ de ax≡b modn, es congruente módulo n, con alguna de las aludidas d-soluciones. Supongamos que τ∈ℤℤ es solución de ax≡b modn, entonces aτ≡aß modn y por lo tanto τ=ß+(c/a)n, para algún c∈ℤℤ. Pero como d=(a,n), se tiene que a=αd y n= σd, donde α,σ∈ℤℤ y (α,σ)=1. Por lo tanto τ = ß+(c/α) (n/d).(2) También de aτ≡aß modn se obtiene que (τ-ß)α=cσ. Luego αcσ, pero como (α,σ)=1, entonces αc, es decir c/α=jεℤℤ. En consecuencia, al sustituir en (2), τ=ß+j(n/d).(3) Aplicando ahora el Teorema del Residuo (2.5.4), j=kd+r, con k,rεℤℤ y rε[0,d). En estas condiciones (3) se nos transforma en τ= ß + (kd+r)(n/d) = ß + kn +r n/d≡ß + r n/d modn. Luego τ es congruente módulo n, con una de las d-soluciones.

4.14- K[x] VERSUS ℤ El objetivo de la presente sección es el confrontar ciertas propiedades del anillo los enteros ℤ,, con las del anillo K[x]. Nos referimos al Teorema del Residuo (2.5.4), al tipo de ideales, a los conceptos de factor, máximo común divisor, y a la versión del Teorema Fundamental de la Teoría de los Números en K[x], donde K es un campo, en el sentido de la Definición 3.1.46. Iniciemos entonces con el Teorema del Residuo en K[x]. Remarcando que a lo largo de la presente sección, K será siempre un campo. Teorema del Residuo. 4.14.1.Si f(x),g(x)εΚ[x] y g(x)≠0, entonces existe un único par c(x),r(x)εΚ[x] tales que f(x)=c(x)g(x)+r(x) (Ω), donde r(x)=0 o o(r(x))<o(g(x)). Demostración.- Demostremos en primer lugar la existencia de c(x) y r(x). Al referirnos a los grados de f(x) y g(x), es posible que: o(f(x))<o(g(x)) o o(f(x))≥o(g(x)). En la primera opción el resultado se deduce inmediatamente, puesto que basta considerar c(x)=0 y r(x)=f(x) para satisfacer la igualdad (Ω) Si n=o(f(x))≥o(g(x))=m, por ejemplo: f(x)=anxn+ ... +a0 y g(x) = bmxm+ ... +b0, se tiene que n≥m. En este panorama, las opciones para o(g(x)), son m=0 o m>0.

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Si m=0, entonces g(x)=cεΚ∗ y (Ω) se cumple tomando c(x)=(anc-1)xn+ ... + a0c-1 y r(x)=0. Si m>0 al razonar por inducción sobre el o(f(x)), la primera situación se plantea para o(f(x))=1, en cuyo caso f(x)=c1x+c0εK[x] y por consiguiente g(x)=d1x+d0 donde c1≠0 y d1≠0; cumpliéndose (Ω)al sustituir c(x)=c1d1

-1 y r(x)= c0-(c1d1-1)d0.

Supongamos, a manera de hipótesis de inducción, que el Teorema es válido para cualquier polinomio s(x)εK[x] tal que 0<o((s(x))<o(f(x)). Por lo tanto, como bm≠0, ya que m>0, se deduce que q(x)=f(x)-anbm

-1xn-mg(x)εK[x] (1) y además o(q(x))<n, razón para que según la hipótesis de inducción, existan k(x),r(x)ε K[x] tales que q(x)=k(x)g(x)+r(x) (2), con r(x)=0 o o(r(x))<o(g(x)) Así las cosas al reemplazar (2) en (1), despejar f(x) y aplicar Aiii, obtenemos que f(x)= (k(x)+an bm

-1 xn-m)g(x)+r(x), igualdad que concuerda con las exigencias de (Ω). Con el fin de probar la unicidad de r(x) y c(x) en (Ω), supongamos que además existen α(x),ß(x)εC[x] tales que f(x)=α(x)g(x)+ ß(x) con ß(x)=0 o o(ß(x))<o(g(x)), obteniéndose, según (Ω), :(r(x)-ß(x)) = (α(x)-c(x))g(x). (3) La igualdad (3) obliga a considerar a α(x)-c(x)=0, porque de lo contrario se deduciría una contradicción, ya que de una parte o(r(x)-ß(x))<o(g(x)) y por la otra, o((α(x)-c(x)) g(x))≥ o(g (x). Es decir, o(g(x))< o(g(x)), circunstancia no tolerable en ℤ En consecuencia α(x)-c(x)=0 y en consideración de (3); r(x)-ß(x)=0. Es decir c(x)=α(x) y r(x)=ß(x), con lo que se demuestra la unicidad solicitada. 4.14.2. i) Al igual que en ℤ,, c(x) y r(x) en (Ω) del Teorema anterior los llamamos, respectivamente, el cociente y el residuo de dividir f(x) entre g(x). ii) También es importante anotar que el teorema anterior no es válido, si F no es un campo. Por ejemplo en ℤ6[x], si para f(x)=2x2+3 y g(x)=3x+1, el teorema fuera válido existirían h(x),r(x)∈ℤ6[x] que satisfacen (Ω) y por consiguiente exitirán a,b,k∈ℤ6 tales que h(x)=ax+b y r(x)=k puesto que o(r(x))=0<1. Lo cual no es posible ya que la ecuación 2=3a no tiene solución en ℤ6 Antes de entrar en el estudio de los ideales en K[x] es conveniente tener en cuenta los siguientes resultados: Teorema 4.14.3. Si I es un ideal de un anillo A con elemento unitario 1 tal que 1εI, entonces I=A, Demostración. Sabemos, según la Definición 4.7.10, que I⊆A y además si aεA, entonces según I2, de esa misma definición, se infiere que a=a.1εI; y también A⊆I. Luego I⊆A y A⊆I. Es decir: I=A

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Corolario 4.14.4. Si I es un ideal de un anillo A con elemento unitario 1 y u es una unidad de A tal que uεI , entonces I=A Demostración. En efecto de acuerdo a la Definiión 3.1., por ser u unidad en A, existe bεA tal que ub=1 y en consecuencia I2 de la Definición 4.7.10 nos indica que 1εI, obteniéndose así, por Teorema anterior, la identidad I=A. 4.14.5. Sabemos que las únicas unidades del anillo ℤ de los enteros son 1 y -1. En este aspecto el anillo K[x] es más prolijo puesto que el conjunto de sus unidades también comprende a los polinomios constantes no nulos. Por eso en adelante aludiremos indiferentemente a polinomios constantes no nulas K[x] o a unidades en K[x]. 4.14.6.Otro resultado de fácil demostración es el de que los únicos ideales de un campo K son 0 y el mismo K, porque si I≠0 es un ideal de K, entonces existirá cεI tal que c≠0; pero como K es un campo la Definición 3.1. nos asegura que c es unidad en K y el Corolario 4.14.4 garantiza ; I=K. 4.14.7. En general si A es un anillo conmutativo con elemento unitario 1 y aεA, entonces I=<a>=xa/xεA es un ideal de A. Puesto que en primer lugar I≠∅, ya que a∈I porque 1∈A y a=1a∈I. Además si αa,ßaεI y bεA, tenemos que αa-ßa=(α-ß)aεI y por la conmutatividad y la asociatividad de <A,.o> se deduce que b(αa), (αa)bεA, ya que b(αa)=(αa)b=α(ab) =α(ba) =(αb)a εI. Razón para concluir, según el Teorema 4.7.11, que I es un ideal de A. Definición 4.14.8. Si A es un anillo conmutativo con elemento unitario, al ideal I=<a>, del Teorema anetrior lo llamaremos el ideal engendrado por a y a es llamado un generador de I. 4.14.9. Observe que no necesariamente el generador de un ideal I es único. Por ejemplo en ℤ se tiene que U= <2>=<-2>. Luego 2 y –2 son generadores del ideal U de ℤ. 4.14.10.También es notorio que si A es un anillo con elemento unitario no conmutativo, no se puede garantizar que I en la Definición 4.14.8 sea un ideal de A. Por ejemplo en el anillo

A=M22(ℂℂ) definido en (3.1.7), al considerar J= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0001

, se tiene que I=JX/XεA no es un

ideal de A ya que KεI, si y sólo si K= ,00ba

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ con a,b∈ℂℂ; pero

I∉⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2100

0021

0100

.

Antes de estudiar a los ideales de K[x], aclararemos el concepto de polinomio de grado mínimo en un ideal I,atendiendo la definición de elemento mínimo de la Definición 1.6.1 iv) Definición. 4.14.11 Si f(x)∈K[X] e I es un ideal de K[X] tal que f(x)∈I, entonces f(x) es de grado mínimo en I, si o(f(x)) es mínimo en T= ⎨o(h(x))/h(x)∈ I⎬

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4.14.12. i) Es obvio que si f(x)∈K[X] e I es un ideal de K[X] tal que f(x)∈I, entonces f(x) es de grado mínimo en I si y solo si o(f(x))≤o(h(x)), siempre que h(x)εI y h(x)≠0. ii) También cuando f(x) es de grado mínimo en I, se acostumbra a decir que f(x) es un polinomio minimal en I.

Ahora sí estudiaremos el Teorema que nos muestra como son los ideales de K[X] Teorema 4.14.13. Los ideales de K[x] son de la formaI=<f(x)>= q(x)f(x)/q(x)εΚ[x], donde f(x)∈K[x]. Además, si I≠0, entonces cualquier polinomio f(x)εI, tal que f(x) sea de grado mínimo en I, es generador deI. Demostración.- Evidentemente si I=0 o I=K[x], el teorema estaría demostrado ya que en esa situación I=<0> o I=<c>, para cualquier cεΚ∗. Observe que en la eventualidad I=<c>, el polinomio f(x)=c es de grado mínimo en I. Si I≠0 e I≠K[x], el único polinomio constante en I es el polinomio nulo, puesto que la presencia en I de cualquier polinomio constante no nulo indica, según 4.14.5, la existencia de una unidad en I conllevando ello, de acuerdo al Corolario 4.14.4, a la contradicción I=K[x]. Luego todos los polinomios no nulos de I son de grado positivo y tendrá sentido considerar a N>0, con N=mino(f(x))/f(x)εK[x] y f(x)≠0, garantizándose la existencia de g(x)εΚ[x] con la cualidad o(g(x)) =N. Es decir g(x) es un polinomio de grado mínimo en I. Demostremos que I=<g(x)>: Evidentemente <g(x)>⊆I y de otra parte, si f(x)εI al aplicar el Teorema 4.14.1 a f(x) y a g(x) obtenemos c(x),r(x)εK[x] tales que f(x)=c(x)g(x)+r(x)(1), donde r(x)=0 o o(r(x))<o(g(x)), pero como (1) implica que r(x)=f(x)-c(x)g(x), entonces el Teorema 4.7.11 conduce a que r(x)εI, circunstancia que no permite la posibilidad r(x)≠0; porque de aceptarla sería válido o(r(x))>0, ya que como se había demostrado todos los polinomios no nulos de I son de grado positivo; resultado que encierra un absurdo, pues cobraría actualidad la opción 0<o(r(x))< o(g(x)), que no es posible, por ser g(x) un polinomio en I de grado positivo mínimo Luego r(x)=0 y (1) infiere; f(x)=c(x)g(x)ε<g(x)>. En consecuencia I⊆<g(x)> y como ya teníamos <g(x)> ⊆I; concluimos queI= <g(x)>. Siguiendo el mismo orden del estudio del anillo ℤ, tenemos que abordar los conceptos de factor, elemento primo y máximo común divisor. Se trata del comportamiento de esa terminología en K[x], pero como de todas maneras K[x] es un dominio entero, vale la pena adaptar esos conceptos a un dominio entero D. Definición 4.14.14. Si D es un dominio y u, v∈D , diremos que u es un factor de v, o que u divide a v, notado u|v, si existe k∈D, tal que v=ku.

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4.14.15. Las siguientes afirmaciones son de inmediata verificación, para f(x),g(x),c(x), f1(x), ... , fn(x)εΚ[x]. i) Si g(x)f(x) y f(x)c(x), entonces g(x)c(x).ii) Si g(x)f(x) entonces g(x)c(x)f(x). iii) Si g(x)f1(x)∧ ... ∧g(x)fn(x), entonces g(x)f1(x)+... +fn(x) iv) Si g(x)f(x) ∧ f(x)g(x), entonces existe kεK* tal que f(x)=kg(x). En este caso diremos que f(x) y g(x) son asociados. v)Si g(x)f(x) entonces o(g(x))≤ o(f(x)). vi) g(x)f(x), si y sólo si el residuo de dividir f(x) entre g(x) es r(x)=0. Definición 4.14.16. Si D es un dominio entero con elemento unitario 1 y p∈D tal que p≠0 y p no es unidad en D, entonces: i) p es factorizable en D, si existen a,b∈D tales que a y b no son unidades en D y p=ab; ii) p es irreducible en D, si p no es factorizable en D; iii) p es primo en D si para todo a,b∈D, p|ab implica que p|a o p|b. Veamos enseguida como se ven esos conceptos en K[x] ´Teorema 4.14.17. Si p(x)εΚ[x] y o(p(x))>0, entonces p(x) es factorizable en K[x], si y solo si, existen a(x),b(x)∈K[x] tales que o(a(x))>0, o(b(x))>0 y p(x)= a(x)b(x).. Demostración Por ser Κ[x] un dominio entero, entonces según la definición 4.14.16 si p(x)∈ Κ[x] y p(x) es factorizable en Κ[x], ello equivale a aceptar que p(x)=a(x)b(x), donde a(x),b(x)∈ Κ[x] y a la vez a(x) y b(x) no son unidades en Κ[x]. Por lo tanto según 4.14.5 a(x) y b(x) son polinomios de grado mayor que cero en Κ[x]. Es decir p(x)= a(x)b(x), donde a(x),b(x)∈ Κ[x] tales que o(a(x))>0 y o(b(x))>0. Al considerar ℚ[x], no es lo mismo una factorización del tipo f(x)= (x+1)(x2+3) que una

como p(x) =2(x+1). Según nuestras definiciones f(x) es factorizable en ℚ[x], mientras que

p(x) es irreducible en ℚ [x]. La factorización de p(x) se considera una factorización trivial, en el siguiente sentido: Definición 4.14.18. Si p(x), ß(x),α(x)∈K[x], tales que p(x)= α(x)ß(x), entonces diremos que α(x)ß(x) es una factorizacion trivial de p(x), si α(x)∈ K* o ß(x)∈K* . De acuerdo con esa terminología planteamos lo siguiente: 4.14.19 Si p(x)∈K[x], entonces p(x) es irreducible en K[x], si y solo si las únicas factorizaciones de p(x) en K[x] son las triviales. O equivalentemente: si p(x)∈K[x] y o(p(x))>0, entonces p(x) es irreducible en K[x], si y solo si: Para todo q(x),r(x)∈K[x], p(x)=q(x)r(x), implica q(x)∈K* o r(x)∈K*(Ver Ejercicio 4.15.2).. Estudiemos ahora la relación entre primo e irreducible: 4.14.20. Si D es un dominio entero con elemento unitario 1 y p es primo en D, entonces p es irreducible en D. En efecto, si p=ab, con a,b∈D, entonces según la Definición 4.14.14 p|ab y por consiguiente como p es primo se tiene por la Definición 4.14.16, que p|a o p|b. Es decir, existen c,d∈D tales que a=cp o b=dp. Luego p=(cp)b=p(bc) o p=a(dp)=p(ad), concluyéndose

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así por ser D un dominio entero, que bc=1 o ad=1, y por ende: b es unidad en D o a es unidad en D. Se ha probado que si p=ab, entonces a es unidad en D o b es unidad en D. Razón para concluir de acuerdo a la Definición 4.14.16 que p es irreducible en D. 4.14.21 En 3.1.35 afirmamos que en ℤ primo e ireducible son equivalentes. Para comprobarlo solo resta probar que si p es irreducible en ℤ, entonces p es primo en ℤ. En efecto, si p es irreducible en ℤ y existen a,b∈ ℤ tales que p|ab, y p†a, entonces si (a,p)=d, se tiene que p=cd y a=ed, con c,d∈ ℤ. Pero como p es irreducible en ℤ, 4.14.16 implica que c=1 o d=1. Si d=1, por 4.11.9 p|b y así p es primo. Pero si c=1, se deduce que p=d y en consecuencia a=ep. Absurdo porque p†a. Sin embargo si D es un dominio entero y p∈D tal que p es irreducible en D, no es válido afirmar que p sea primo en D. Por ejemplo, 2+ 5 i no es primo en D=a+b 5 i/a,b∈ℤ, subanillo del anillo ℂℂ de los complejos, (Ver Ejercicio 4.15.3), puesto que 2+ 5 i|32, ya que 32=(2+ 5 )(2- 5 ), y 2+ 5 i |/ 3, porque si 2+ 5 i|3, entonces existiría a+b 5 i∈D tal que 3=(2+ 5 i)( a+b 5 i) y por tanto 9=9(a2+5b2) (Ver Ejercicio 4.15.4), indicando ello que

a2+5b2=1. Entonces como a,b∈ℤ se deduce que b=0, porque si b≠0, obtendríamos que 5b2≥5>1. Pero como a2≥0, se infiere que a2+5b2>1. Es decir 1>1, absurdo. Luego b=0 y así a=±1, valores que al sustituirlos en 3=(2+√5i)( a+b√5i), implicarían 3= ±2±√5i , lo cual no es posible, porque esa igualdad implica 3= ±2. Luego 2+√5i |/ 3, y así 2+√5i no es un primo en D, pero 2+√5i es irreducible en D, porque si 2+√5i=(a+b√5i)(c+d√5i), entonces 9=(a2+5b2)(c2+5d2) (Ver Ejercicio 4.15.4) y en consecuencia se presentan las siguientes opciones: (a2+5b2)=3 y (c2+5d2)=3; o a2+5b2=1 y c2+5d2=9; o c2+5d2=1 y a2+5b2=9. La opción (a2+5b2)=3 y (c2+5d2)=3 no es posible ya que si lo aceptamos, entonces por ser a,b∈ℤ, se deduce que b2=0, porque de lo contrario (a2+5b2)>3, lo cual no es viable porque ello implicaría 3>3. Así las cosas, dado que b2=0, se presentaría la ecuación a2=3, que no tiene solución en ℤ. Por lo tanto es forzoso aceptar que a2+5b2=1 y c2+5d2=9; o c2+5d2=1 y a2+5b2=9. Entonces a2+5b2=1 o c2+5d2=1. Pero sabiendo que un complejo z=a+bi tiene inverso en ℂℂ o es unidad en C, si y solo si a2+b2>0, se deduce que (a+b√5i) es unidad en ℂℂ o (c+d√5i) es unidad en ℂℂ. Hemos demostrado que si 2+√5i=(a+b√5i)(c+d√5i), entonces (a+b√5i) es unidad en ℂℂ o (c+d√5i) es unidad en C. Implicando, la Definición 4.14.16, que 2+√5i es irreducible en D. 4.14.22. Es conveniente notar que el concepto de irreducible es relativo al campo. Es decir, es posible que un polinomio sea irreducible en un cierto campo K, pero que no lo sea en otro. Por ejemplo si ℝ es el anillo de los números reales y ℂℂ el anillo de los números complejos,

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entonces el polinomio p(x)=x2+1 es irreducible en ℝ[x], pero no en ℂℂ [x] , puesto que x2+1 = (x-i)(x+i). 4.14.23. De la Definición 3.1.34. sabemos que los únicos factores de un entero primo p, son ±1 y ±p. En K[x], sin embargo un polinomio irreducible p(x) admite factores diferentes a ±1 y ±p. Por ejemplo el polinomio p(x)=2x2+2 es irreducible en ℝ[x], pero f(x)=x2+1 es un factor de p(x) tal que f(x)±1 y f(x)±p(x). 4.14.24. La Definición 4.14.16. también implica que un polinomio p(x)∈ K[x] no constante es irreducible en K[x], si y sólo si, si r(x)∈K[x] y r(x)|p(x), entonces r(x)∈K o r(x) y p(x) son asociados. (Ver Ejercicio 4.15.14). 4.14.25. También podemos afirmar que el polinomio no constante p(x)∈K[x] es irreducible en K[x], si y sólo si: Para todo α(x),β(x)∈K[x], si p(x)=α(x)ß(x) entonces o(α(x))= o(p(x)) o o(ß(x))=o(p(x)) (Ver Ejercicio 4.15.14). 4.14.26. Otra forma útil de presentar el carácter irreducible es afirmando que un polinomio p(x) no constante en K[x] es irreducible K, si y sólo si p(x) no se puede escribir como el producto de dos polinomios en K[x], ambos de grado menor que el grado de p(x). (Ver Ejercicio 4.15.14) Procedamos ahora definir el máximo común divisor de dos o más polinomios en K[x]. O de manera más general en un dominio entero. Para ello nos apoyaremos en el Teorema 4.11.7. Además, con el fin de construir un máximo común divisor único, lo consideraremos mónico; es decir de la forma d(x)=xn

+an-1 xn-1+...+a0. Definición 4.14.27. Si D es un dominio entero y d,c1, ... ,cnεD, diremos que d es un máximo común divisor de c1, ... ,cn, notado d=( c1, ... ,cn), si d es tal que : M1: d c1∧ … ∧ dcn y M2: Si cεD tal que cc1 ∧ ... ∧ccn, entonces cd. 4.14.28. En el Teorema 4.11.6 demostramos que el máximo común divisor de dos o más enteros, no todo nulos, existe y es único. Para K[x], si d1(x) y d2(x) son un par de elementos de K[x], máximos comunes divisores de f1(x), ... ,fn(x) se deduce que d1(x)d2(x)) y simultáneamente d2(x)d1(x) y por 4.14.15iii), d1(x) y d2(x) son asociados. Es decir, d1(x)=cd2(x), con cεΚ*. Pero como d1(x) y d2(x) son polinomios mónicos, se deduce que d1(x)= d2(x). (Ver Ejercicio 4.9.40). Luego en K[x] si el máximo común divisor de f1(x), ... ,fn(x) existe, éste es único y por ello, en analogía con nomenclatura de ℤ, lo notaremos d(x) =(f1(x), ... ,fn(x)). Naturalmente, el comprobar la unicidad del máximo común denominador no garantiza su existencia. Por ejemplo si todos los fi(x) fueran polinomios nulos de K[x], esta colección no tiene máximo común divisor; no siendo así si no todos son polinomios nulos, tal como lo demuestra el siguiente teorema.

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Teorema 4.14.29. Si f1(x), ... ,fn(x)εK[x], no todos nulos, entonces existe d(x)=(f1(x),... ,fn(x))εK[x] y es posible encontrar ß1(x), ... ,ßn(x)εΚ[x] tales que d(x)= ß1(x) f1(x)+ ... +ßn(x)fn(x). Demostración.-Dado que no todos los polinomios f1(x), ... ,fn(x) son nulos, es posible la opción de la existencia de por lo menos un polinomios constante y no nulo, en cuyo caso el máximo común divisor de los fi(x) es d(x)=1. Además, si uno de dichos polinomios constantes y no nulos fuera fj(x)=cjεK*, tendríamos que 1 = 0f1(x) +...+cj

-1.fj (x)+0fj+1 (x)+... +0fn(x). Falta analizar por lo tanto que ocurre ante la valides de la implicación: si fi(x) es no nulo, entonces o(fi(x))>0. Un procedimiento análogo al de la demostración del Teorema 4.11.6 permite deducir que I=α1(x) f1(x)+...+αn(x)fn(x) /αi(x)ε K[x] es un ideal de K[x] y por el Teorema 4.14.13,: I = <d(x)>, donde d(x) es un polinomio minimal en I, ya que I≠0; puesto que alguno de los fi(x)0 y fi(x)εI, en vista de que fi(x)= 0f1(x)+ ...+ 1.fi(x)+0.fi+1(x)+... +0fn(x). Argumento que también permite deducir que para cada iε1,..,n, fi(x)εI=<d(x)>= g(x)d(x)/g(x)εK[x], y por lo tanto d(x)fi(x), cumpliendo d(x) la condición Mi de la Definición 4.14.27 Además, como d(x)εI=α1(x) f1(x)+...+αn(x)fn(x) /αi(x)εΚ[x], existen ß1(x), ... ,ßn(x)εK[x] tales que d(x)=ß1(x)f1(x)+ ... +ßn(x)fn(x); de tal manera que si c(x)εK[x] y c(x)fi(x), para cada iε1,2, ... ,n, por 4.14.15 (i) y (ii), c(x)d(x) . Pero como además d(x) puede ser considerado mónico, d(x) es el máximo común divisor de los fi(x). Es interesante no solamente saber que el máximo común divisor de un conjunto finito de polinomios no todos nulos existe y es único, sino también conocer un método que permita calcularlo. Al respecto de ello, si sabemos calcular el máximo común divisor de dos polinomios también sabremos como encontrar el máximo común divisor de cualquier número finito de ellos. Teorema 4.14.30. Si f1(x), ...,fn(x), ∈K[x] y d1= (f1(x), f2(x)), d2 =(d1, f3(x)), ... dn-1 =( dn-2, fn(xz)), entonces dn-1=( f1(x), ... , fn(x)) Demostración.- Veamos que en el primer caso de interés, cuando n=3, la afirmación es válida. En efecto: Si d1= (f1(X), f2(X)) y d2= (d1, f3(X)), entonces d2 f3(X), pero como también d2 d1, inferimos d2 f1(X) y d2 ⎪ f2(X) porque d1 f1(X) y d1 f2(X) puesto que d1=( f1(X), f2(X)). Además, si cf1(X), cf2(X) y cf3(X), entonces como d1=( f1(X), f2(X)), por la Definición 4.14.27 se tiene que cd1 y por esa misma razón cd2, ya que d2= (d1 , f3(X)).

Supongamos que la afirmación es válida para n-1 polinomios; es decir: Si d1= ((f1(X), f2(X)), d2= (d1 , f3(X)))., d3= (d2, f4(X)), ... y dn-2= (dn-3, fn-1(X)), entonces dn-2 = ( f1(X), ... , fn-1 (X)). Si d1=(f1(X), f2(X)), d2= (d1 , f3(X))., ... , dn-2 = (dn-3, fn-1(X)), dn-1 = (dn-2, fn(X)), por hipótesis de inducción dn-2= ( f1(X), ... , fn-1 (X)). y dn-1 = (dn-2, fn(X)). Luego dn-2 f1(X)....,

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dn-2 fn-1(X) y dn-1 fn(X), pero como también dn-1 dn-2, obtenemos: dn-1 f1(X), dn-1 f2, ... , dn-1 fn-1(X)y dn-1 fn(X),

Y si c f1(X), ... ,c fn(X),, en particular c f1(X), ... ,c fn-1(X),,, deduciéndose c dn-2 , pero como dn-1=( dn-2, fn(X)) y c⎪ fn(X),, entonces c⎪ dn-1 » El siguiente teorema muestra un método para calcular el máximo común divisor de dos polinomios, conocido como el de las divisiones sucesivas. Teorema 4.14.31. Si f,gεΚ[x], tales que f y g son no constantes y efectuamos iteradamente los siguientes cálculos de residuos y cocientes: i)f=c1g+r1, donde c1,r1εK[x] y r1=0 o o(r1)<o(g); ii) g=c2r1+r2, donde c2,r2εK[x] y r2=0 o o(r2)<o(r1);iii) r1=c3r2+r3, donde c3,r3εΚ[x] y r3=0 o o(r3)<o(r2); ... ;rk=ck+2rk+1+rk+2, donde ck+2, rK+1,rk+2εK[x] y rk+2=0 o o(rk+2)< o(rk+1). Entonces existe nεℕ tal que rn−1=cn+1rn y precisamente rn=(f,g). Demostración.-Observemos que 0≤... <o(rk+2)<o(rk+1)< ... < o(r3))< o(r2)<o(r1)<o(g) es una cadena descendente de enteros en el intervalo [0 o(g)] y por lo tanto contiene a lo más o(g)+1 elementos. De tal manera que la cadena en cuestión es finita y en consecuencia la iteración planteada en el teorema garantiza la existencia de un nεℕ tal que rn-1 =cn+1rn, ya que de lo contrario ella continuaría indefinidamente, presentándose infinitos enteros rik contenidos en el intervalo [0 o(g)]. Veamos ahora que rn=(f,g). Obviamente como rn-1 =cn+1rn, entonces rnrn-1. Demostremos que rnrn-2, ... ,rnr1. Con tal fin verifiquemos, que si kεℤ++es tal que k≤n-1 y rnrs, para todo sεℤ con k<s≤n, entonces rnrs-1. Esto es de inmediata demostración, porque al tener por hipótesis rnrs y rnrs+1, se deduce que rn rs-1, puesto que rs-1=cs+1rs+rs+1. En consecuencia, como rnrn-1, al aplicar sucesivamente el resultado anterior, obtenemos rnrn-2, rnrn-3, ... ,rnr2 y rnr1. En particular rnr2 y rnr1, infiriendo 4.14.15 que rng y rnf. Luego rn satisface M1. Si cεK[x] tal que cf y cg,entonces como de f=c1g+r1, se deduce r1=f-c1g, 4.14.15 implica cr1. Razonando por inducción, al aceptar que cr2, ... , crn-2,crn-1 ,es inmediato deducir crn, porque como en particular crn-2 y crn-1, 4.14.15 garantiza crn porque rn-2=cnrn-1+rn. Hemos demostrado por último que también rn satisface M2 y por ello rn=(f,g). Una versión del concepto de primos relativos en K[x] es la siguiente:

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Definición 4.14.32.Dos polinomios f(x),g(x)εK[x] son primos relativos, si sus únicos factores comunes son unidades de K[x]. 4.14.33. Según la definición anterior dos polinomios f(x),g(x)ε K[x] son primos relativos si y sólo si (f(x),g(x))=c, para algún c∈K* y en consecuencia el Teorema 4.14.29 marca la existencia de α(x) , ß(x)εΚ[x] tales que c=α(x)f(x)+ß(x)g(x). En consecuencia f(x),g(x)ε K[x] son primos relativos si y sólo si (f(x),g(x))=1, y por ende existen α(x) , ß(x)εΚ[x] tales que α(x)f(x)+ß(x)g(x)=1. Un procedimiento análogo al utilizado para demostrar 4.11.9 permite verificar que sus traducciones a la terminología de K[x] es también válida. Es decir, las siguiente afirmación es demostrables en la forma señalada 4.14.34. Si f(x),g(x),h(x)εK[x] tales que (f(x),g(x)) =1 y f(x)g(x)h(x), entonces f(x)h(x). Aunque las versiones de las demostraciones de los Teorema 4.11.6 y el Corolario 4.11.11.son válidas en K[x], vamos a tomar el siguiente atajo a manera de ejercicio. Teorema 4.14.35. Si p(x)∈K[x] tal que p(x) no es unidad en K[x], entonces p(x) es irreducible en K, significa que si f(x)∈ K[x], entonces p(x)f(x) o (p(x),f(x))=1. Demostración, Si p(x) es irreducible en K[x] y f(x)∈ K[x] tal que (p(x),f(x))=d(x), con d(x)∈ K[x] y o(d(x))>0, entonces p(x)=d(x)k(x) y f(x)=d(x)s(x), donde k(x),s(x)∈ K[x]. Pero como p(x) es irreducible en K y d(x) no es unidad en K[x], se infiere que k(x)=c∈K*. Luego d(x)=c-1p(x) y en consecuencia f(x)= c-1p(x)s(x). Luego p(x)f(x). Recíprocamente, si para cualquier f(x)∈K[x], se tiene que p(x)f(x) o (p(x),f(x))=1 y p(x)=u(x)v(x), donde u(x),v(x)∈ K[x], entonces p(x)u(x) o (p(x),u(x))=1. Así las cosas, si p(x)u(x) obtenemos que u(x)=c(x)p(x), y por lo tanto p(x)= (c(x)p(x)))v(x). Entonces v(x) es una unidad en K[x]. Pero si (p(x),u(x))=1, entonces según 4.14.34 se deduce que p(x)v(x) y en consecuencia u(x) es una unidad en K[x]. Luego p(x) es irreducible en K[x]. Teorema 4.14.36. Si p(x) es un polinomio irreducible en K[x] y p(x)f1(x). ... .fn(x), donde los fi(x)εK[x], entonces p(x) fi(x), para algún iε1,2,... ,n. Demostración. Al razonar por inducción sobre n, tenemos que la afirmación es obviamente válida para n=1 y n=2, porque si p(x)f1(x)f2(x), entonces por ser p(x) irreducible, según lo probado anteriormente, p(x)f1(x) o (p(x), f1(x))=1. De tal manera que si p(x)f1(x) el teorema estaría demostrado, pero si ello no es así, entonces (p(x), f1(x))=1, y como p(x)f1(x)f2(x), entonces por 4.14.34, se infiere que p(x)f2(x). Acetemos que si p(x)f1(x). ... .fn-1(x), entonces entonces p(x) fi(x), para algún iε1,2,... ,n y supongamos que p(x)f1(x). ... .fn(x), entonces p(x)(f1(x). ... .fn-1(x)) fn(x). Por lo tanto al

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ser p(x) irreducible, entonces según el Teorema 4.14.35 se tiene que p(x) fn(x) o (p(x), fn(x))=1. Si p(x) fn(x), el teorema estaría demostrado. Pero, si (p(x), fn(x))=1, entonces por 4.14.34, se tendría que p(x)(f1(x). ... .fn-1(x)) y por hipótesis de inducción, el teorema también sería válido. Demostremos entonces el Teorema central de esta sección, mediante el cual se demuestra que Κ[x] es un dominio de factorización única en el sentido de la Definición 6.6.3. Teorema 4.14.37. Todo polinomio no constante f(x)εΚ[x] es factorizable como un producto finito de polinomios irreducibles en K. Más aún, si f(x)=p1(x). ... .pn(x)=q1(x). ... .qm(x); donde los pi(x) y los qi(x) son polinomios irreducibles de K, entonces n=m y los factores pueden ser reordenados de tal manera que pi(x)=uiqi(x) con uiεC*. Demostración.- Demostremos inicialmente que f(x) se puede expresar como un producto finito de polinomios irreducibles en K. Razonemos por inducción sobre el grado de f(x). Naturalmente como f(x) es un polinomio no constante, o(f(x))>0 y el primer caso será cuando o(f(x))=1; situación en la que obviamente f(x) es primo en K, porque no es posible expresarlo como un producto de polinomios en K, ambos de grado menor que uno. Supongamos el Teorema válido para cualquier polinomio de grado menor que el grado de f(x) y demostrémoslo para f(x). Si f(x) es irreducible no hay discusión. Consideremos entonces f(x) reducible, situación en la que 4.14.20 implica f(x)=q(x)r(x) (1), con q(x),r(x)εK[x] caracterizados por ser a la vez o(p(x))< o(f(x)) y o(r(x))< o(f(x)). Aspecto favorable para aplicar la hipótesis de inducción y deducir que q(x) = q1(x). ... .qk(x) y r(x)=r1(x). ... .rs(x), donde los qi(x) y los ri(x) son irreducibles en K. De esta manera al sustituir, transformamos (1) en: f(x)=q1(x). ... .qk(x).r1(x). ... .rs(x), indicándonos una factorización de f(x) mediante un producto finito de polinomios irreducibles en K. Procediendo a demostrar la unicidad, al suponer f(x)= p1(x). ... .pn(x)=q1(x). ... .qm((2), Teorema 4.14.36 implica que p1qk(x), para algún kε1,2, ... ,m. Ahora la conmutatividad de C[x] permite reordenar a los qk(x) de tal manera que q k(x) sea el primer factor y poder afirmar que p1(x)q1(x). Así las cosas p1(x)=u1q1(x) (3), con u1εC*(Ver Ejercicio 4.15.18). Al sustituir (3) en (2), obtenemos: u1q1(x)p2(x). ... .pn(x)= q1(x). ... .qn(x). Pero como K[x] es un dominio entero, por 3.3.2 (Ley Cancelativa). se tiene u1p2(x). ... .pn(x)=q2(x). ... .qm(x). Análogamente p2(x) q2(x). ... .qm(x). y al reordenar, p2(x)=u2q2(x), entonces u1u2p3(x). ... pn(x)=q3(x). ... .qm(x).

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Continuando con el proceso no es posible n<m, porque de ser así, concluiríamos al final de n-pasos en: u1.u2. ... .un = qn+1(x). ... qm(x), lo cual no es posible pues o(qn+1(x). ... qm(x))>0, mientras que o(u1.u2. ... .un)=0. También m<n conduce a un absurdo, puesto que después de m pasos obtendríamos u1.u2. ... .um =pm+1(x). ... .pn(x), que no es tolerable por ser o(u1.u2. ... .um)=0, mientras que o(pm+1(x). ... .pn(x))>0 . Luego la única alternativa es n=m, y como además hemos demostrado que los qi(x) pueden ser reordenados de tal manera que p1(x)=u1.q1(x), ... ,pn(x)=unqn(x), donde los uiεK*, concluímos la demostración. . Lo afirmado en 1.17.3 cobra la siguiente forma análoga a la concluida para los ideales maximales en ℤ, presentada Teorema 4.11.14. Teorema 4.14.38. Un ideal I de un anillo A, IA, es un ideal maximal de A, si para cualquier K, ideal de A tal que I⊆K⊆A, se deduce que o I =K o K=A. Esquemáticamente la definición se escribe así: Si A es un anillo e I es un ideal de A, entonces I es un ideal maximal de A ⇔(∀K)(K es un ideal de A ∧I⊆K⊆A⇒K =I∨K=A). Veremos que al igual que en ℤ,, en K[x] los polinomios irreducibles engendran ideales maximales en K[x]. Teorema 4.14.39. El ideal I =<p(x)> de K[x] es maximal en K[x], si y sólo si, p(x) es irreducible K. Demostración.- Si I =<p(x)> es un ideal maximal de K[x], donde p(x)=q(x)r(x), con q(x),r(x)εK*[x]; entonces respecto a L=<q(x)>, es inmediato que I⊆L=q(x)s(x)/s(x)εΚ[x]. Por lo tanto la Definición anterior, implica I =L o L=K[x]. Si I=L, al considerar q(x)εL=<q(x)>, se tiene también q(x)εI= <p(x)>; razón por la cual q(x)=p(x)s(x). Pero como p(x)=q(x)r(x), al sutituir obtenemos q(x)=(q(x)r(x))s(x)) = q(x) (r(x)s(x)). La condición q(x)0 y la cualidad de dominio entero de K[x], implica, según 3.3.2 que (r(x)s(x))=1 y por consiguiente r(x) es una unidad en K[x]. De otra parte, si L=K[x], entonces 1εL. Por lo tanto 1=q(x) h(x), igualdad que nos ubica a q(x) como unidad en K[x]. Hemos demostrado por lo tanto que si I=<p(x)> es un ideal maximal de K[x] y p(x)=q(x)r(x), entonces o q(x) es unidad en K[x] o r(x) es unidad en K[x]. En consecuencia de acuerdo a la Definición ´Teorema 4.14.17, p(x) es irreducible en K. Recíprocamente, si p(x) es un polinomio irreducible en K y L=<q(x)> es un ideal K[x] tal que I = <p(x)>⊆L⊆K[x], al ser p(x)εI también p(x)εL y por consiguiente p(x)=q(x)r(x). Pero como p(x) es irreducible en K, entonces q(x) es unidad en K[x] o r(x) es unidad en K[x].

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Si q(x)εL es unidad en K[x] el Corolario 4.14.4 infiere L=K[x]. Si r(x) es unidad en K[x], por ejemplo r(x)=cεK*, entonces al ser p(x)=q(x)r(x), tenemos que q(x)=c-1p(x)ε<p(x)>= I y según I2, s(x)q) (x)εI, y así L⊆I y como I ⊆L, se deduce I =L. Se ha verificado la validez de la implicación: Si L es un ideal de K[x] tal que I ⊆L⊆K[x], entonces I =L o L=K[x]. Luego por 4.14.38 se deduce que I =<p(x)> es un ideal maximal de K[x].

4.15.- EJERCICIOS. 4.15.1. Si f(x),g(x),c(x), f1(x), ... ,fn(x)εK[x], demuestre: i) Si g(x)f(x) y f(x)c(x),entonces g(x)c(x).ii) Si g(x) f(x) entonces g(x)c(x)f(x). ii) Si g(x)f1(x), ... g(x)fn(x), entonces g(x)f1(x)+... +fn(x) iii) Si g(x)f(x) y f(x)g(x), entonces f(x)=kg(x), con kεK*. En este caso diremos que f(x) y g(x) son asociados. iv)Si g(x)f(x) entonces o(g(x))≤ o(f(x)). v) g(x)f(x), si y sólo si el residuo de dividir f(x) entre g(x) es r(x)=0 4.15.2. Demuestre que si p(x)∈K[x] y o(p(x))>0, entonces p(x) es irreducible en K[x], si y solo si las únicas factorizaciones de p(x) en K[x] son las triviales. O equivalentemente: si p(x)∈K[x] y o(p(x))>0, entonces p(x) es irreducible en K[x], si y solo si: Para todo q(x),r(x)∈K[x], si p(x)=q(x)r(x), entonces q(x)∈K* o r(x)∈K*. 4.15.3. Demuestre que si D=a+b 5 i/a,b∈ℤ⊆ℂℂ, entonces D con la suma y multiplicación

de complejos es un subanillo de ℂℂ. En general si k∈ ℤ + tal que k no es cuadrático, es decir r2≠k, si r∈⎫, demuestre que D=a+b k i/a,b∈ℤ es un subanillo de ℂℂ. 4.15.4. Demuestre que si k∈ℤ+ no cuadrático entonces la función N de D=a+b k i/a,b∈ℤ en ℤ definida como N(a+b k i)=a2+kb2 es tal que N(αβ)=N(α)N(β), si α,β∈D. 4.15.5 . Si m y n son primos relativos y a,bεℤ,demuestre que existe xεℤ tal que x≡a modm y x≡b modm. Sug[Demuestre que en cada de los conjuntos K1=a,a+m,a+2m, ... ,a+(n-1)m y K2=b,b+n, ... , b+(m-1)n no es posible encontrar un par de ellos, módulo n en K1 y módulo m en K2. De otra parte, por el Teorema del Residuo (2.5.4), existe c,rεℤtales a-b=cn+r, con rε[0,n). En consecuencia al aplicar 2.6.7 a-b≡a+(n-i)m modn, para algún iεℤ, iε[0,n); entonces b≡im modn. Análogamente a-bn=km+r1, con k,r1εℤ, r1ε[0,m) y a-b≡b+(m-j)n modm, con jεℤ, jε[0,m). Es decir, a≡jn modm. Por último demuestre que α=im+jm es solución de las ecuaciones x≡a modm y x≡b modn.

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4.15.6.- Si p es un número primo, demuestre que 1 y p-1 son las únicas soluciones en ℤp* de

la ecuación x2≡1 modp. 4.15.7.- Si p es un número primo, demuestre que 1.2. ... .(p-1) ≡-1 modp (Teorema de Wilson). 4.15.8.- Relativo al Teorema 4.13.22, demuestre que las soluciones en ℤ, de la ecuación (a/d)≡(b/d) mod(n/d) también son soluciones de ax≡b modn. 4.15.9.- Demuestre que la relación f del corolario 4.9.3 es una biyección. 4.15.10.-Resolver en ℤ: 6x≡5 mod13. 4.15.11.- Si <G ,+> es un grupo abeliano y nεℤ+ tal que n=rs, donde r,sεℤ+ y (r,s)=1, demuestre que si Gr=xεG/rx=0 y Gs=xεG/sx=0,entonces cualquier gεG puede escribirse de manera única en la forma g=α+ß, con αεGr y ßεGs. Sugerencia[Como (r,s) =1,entonces existen σ,µεℤ tales que σr+µs=1. Por lo tanto, si gεG, tenemos que (σr+µs)g=g. De otra parte, ng=0 y por consiguiente r(sg)=s(rg)=0, lo cual nos indica que sgεGr y rgεGs. Además,si α+ß = α`+ß`,con α ,α`εGr y ß,ß`εGs.Entonces r(α+ß) = r(ß+ß`) y s(α+ß)=s(α`+ß`), obteniéndose que rß=rß` y sα=sα`, luego ß-ß`εGr y α-α`εGs. Pero como a su vez ß-ß`εGs y α-α`εGr, se tiene que (ß-ß`),(α-α`)εGr∩Gs. Para concluir basta ver que Gr∩Gs=0. Afirmación de demostración inmediata, puesto que si rx=sx=0,con xεG, entonces como σr+µs=1, se deduce que x=0] 4.15.12.- En relación con el Teorema 4.14.1. demuestre que q(x)= f(x)-anbm

-1xn-mg(x)εΚ[x] y que además o(q(x))<n 4.15.13.- Si f(x),g(x),c(x),f1(x), ... ,fn(x)εK[x], demuestre: i) Si g(x)f(x) y f(x)c(x),entonces g(x)c(x).ii) Si g(x)f(x) entonces g(x)c(x)f(x). ii) Si g(x)f1(x), ... g(x)fn(x), entonces g(x)f1(x)+... +fn(x) iii) Si g(x)f(x) y f(x)g(x), entonces f(x)=cg(x), con cεK*. En este caso diremos que f(x) y g(x) son asociados. iv)Si g(x)f(x) entonces o(g(x))≤ o(f(x)).v) g(x)f(x), si y sólo si el residuo de dividir f(x) entre g(x) es r(x)=0. 4.15.14.-Demuestrar: i) Si p(x)∈K[x] con o(p(x))>0, entonces p)x) es irreducible en K[x], si y sólo si: Para todo α(x),β(x)∈K[x], si p(x)=α(x)ß(x) entonces o(α(x))= o(p(x)) o o(ß(x))=o(p(x)) ii) Si p(x)∈K[x] y o(p(x))>0, entonces p(x) es irreducible en K[x], si y sólo si, sus únicos factores no constantes en K[x] son los asociados a p(x).

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iii) Si p(x)∈K[x], con o(p(x))>0, entonces p(x) es irreducible K[x], si y sólo si p(x) no se puede escribir como el producto de dos polinomios en K[x], ambos de grado menor que el grado de p(x). 4.15.15.-Demuestre que el polinomio no constante p(x) de K[x] es irreducible en K, si y sólo si en cualquier factorización p(x)=α(x)ß(x), donde α(x),ß(x)εK[x], o(α(x))= o(p(x)) o bien o(ß(x))=o(p(x)). 4.15.16.-Demuestre que si d1(x)=cd2(x), con cεK*. y d1(x) y d2(x) son polinomios mónicos en K[x], entonces d1(x)=d2(x). 4.15.17.-Demuestre que si d(x)=anxn+...+a0εK[x] tal que o(g(x)) =n y f(x)= xn+an-1an

-1xn-1+ ... +a0an

n-1 , entonces <d(x)>=<f(x)>. 4.15.18. Si p(x),q(x)∈K[x], tales p(x) y q(x) son polinomios irreducibles en K[x] y además p(x)q(x), entonces existe u∈K* tal que q(x)=up(x). 4.15.19.- Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Todo sub-anillo de un campo es un campo. ii) Todo subcampo de un campo F, es un sub-anillo de F.i iii) Si G es un grupo, aεG y nεℤ +, tal que an=e, entonces o(a)=n. iv) Ninguno de los subgrupos de los dos grupos con 4 elementos es cíclico. v) El subconjunto K=1,-1,i,-i,j,-j,k,k de los cuaterniones reales, Q(RR), es tal que K≤<Q(RR)*,.>

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4.16. ANILLOS EUCLIDEANOS. El anillo ℤ de los enteros y el anillo de los polinomios F[x] en la indeterminada x con coeficientes en un campo F, son casos particulares de los anillos euclideanos que definimos de la siguiente manera: Definición 4.16.1. Si D es un dominio entero y d es una función de D* en ℕ, diremos que <D,d> es un anillo euclideano si, para todo a,b∈D*, se tiene:

i) d(a)≤d(ab). ii) Existen c,r∈D tales que a=cb+r, donde r=0 o d(r)<d(b).

4.16.2. Evidente < ℤ, | |>, con ℤ el anillo de los enteros y | | = valor absoluto usual, es un anillo euclideano. Así como también < F[x], o>, donde F[x] el anillo de los polinomios en la indeterminada x con coeficientes en un campo F y o= grado del polinomio, es un anillo euclideano (Ver Ejercicio 4.17.1). Teniendo en cuenta que según 4.14.7, si A es un anillo con elemento unitario y U= U=<a>=⎨ax/x∈D⎬, para a∈A, entonces U es ideal de A, verficaremos que todo anillo euclideano es un dominio de ideales principales, en el sentido de la siguiente definición: Definición 4.16.3. Un dominio entero D con elemento unitario es un dominio de ideales principales, si siempre que U sea un ideal de D, exitirá a∈D tal que U=<a>=⎨ax/x∈D⎬ Siguiendo un procedimiento análogo al utilizado en la demostración del Teorema 4.14.13, se puede demostrar la afirmación i) del siguiente Teorema: (Ver Ejercicio 4.17.2). El procedimiento, se basa en probar que si U es un ideal de D, entonces U=<a>, donde a∈U* y a es tal que si b∈U, entonces d(a)≤d(b), teniendo en cuenta que la opción U=⎨0⎬, es inmediata porque en esa situación U=<0>. Teorema 4.16.4. Si <D,d> es un anillo euclideano, entonces i) Si U es un ideal de D, entonces existe a∈D tal que U=<a>; ii) 1∈D y iii)D es un dominio de ideales principales. En efecto, según i), al ser D un ideal de D, existe u∈D, tal que D=. Por lo tanto: u=αu, para algún α∈U. Veamos que α es el elemento unitario de D. Para ello debemos comprobar que si a∈D, entonces aα=a. En efecto, si a∈D se tiene que a∈ y así a=du, para algún d∈D. En consceuencia aα=(du)α=d(uα) =du=a (Ver Ejercicio 4.17.3). Es decir aα=a, para cualquier a∈D y por lo tanto α es el elemento unitario de D. Como por hipótesis D es un dominio entero y además D cumple i) y ii), la Definición 4.16.3 infiere que D es un dominio de ideales principales. .

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De acuerdo con la Definición 4.14.14 se puede demostrar la siguiente versión de 4.14.15 a dominios enteros y en anillos euclideanos. 4.16.5. Si D es un dominio entero u,v,w∈D, entonces i) si vu y uw, entonces vw.ii) Si vu entonces vwu. iii) Si c1, ... ,cn ∈D tales que vc1 ∧ ... ∧vcn , entonces vc1+... +cn iv) Si vu ∧ uv, entonces existe k unidad en D tal que u=kv. En este caso diremos que u y v son asociados. v)Si además <D,d> es un anillo euclideano y vu entonces d(v)≤ d(u) y vi) vu, si y sólo si el residuo de dividir u entre v es r=0. (Ver Ejercicio 4.17.4). De la Definición 4.16.1, se sabe que si <D,d> es un anillo euclideano y a,b∈D*, entonces d(a)≤d(ab), pero si b no es unidad en D, el siguiente teorema demuestra que d(a)<d(ab). Teorema 4.16.6. Si <D,d> es un anillo euclideano y a,b∈D* tales que b no es unidad en D, entonces d(a)<d(ab). Demostración. Si d(a)=d(ab), entonces <a>=<ab> (Ver Ejercicio 4.17.6) y por consiguiente (ab)x=a, para algún x∈D. En consecuencia a(bx)=a. .Pero como D es un dominio entero, a∈D* y según el Teorema 4.16.4 1∈D, entonces al acudir al Teorema 3.3.2 se infiere que bx=1. Es decir b es unidad en D, contradiciendo que b no es unidad en D. Luego d(a)<d(ab). Siguiendo la misma metodología planteada desde el Teorema 4.14.29 sobre la existencia del máximo común divisor hasta la Teorema 4.14.39 sobre los ideales maximales, los siguientes resultados son válidos en anillos euclideanos. (Ver Ejercicio 4.17.7) 4.16.7: i) Si D es un anillo euclideano y a1, … ,an∈D, entonces existe el máximo un común divisor d de a1, … ,an y además es posible encontrar α1, … ,αn∈D tales que d=α1a1+ … +αnan. ii) Si D es un anillo euclideano y a,b,c∈A tales que (c,a)=1 y c|ab, entonces c|b. iii) Si D es un anillo euclideano, p∈D, tal que p no es unidad en D, entonces p es irreducible D, si y solo si: a∈D, implica que p|a o (a,p)=1. iv) Todo anillo euclideano es un dominio de factorización única. v) Si D es aunillo euclideano e I es un idela de D, entonces I es un ideal naximal de D, si y solo si I=, para algún p∈D, con p irreducible en D.

4.16.8. Por último, siguiendo el modelo de razonamiento de 4.14.21 estamos en condiciones de probar que los conceptos de primo e irreducible son equivalentes anillos euclideanos. (Ver problema 4.17.8 ). Pero también podemos, según iii) verificar la equivalencia entre primo e irreducible en un anillo euclideano D, demostrando que si p∈D tal que p no es unidad en D, entonces p es primo en D, si y solo si a∈D, implica que p|a o (a,p)=1. Su pongamos que p es un primo en D y que a∈D tal que p†a, veamos que a y p son primos relativos. En efecto, si (p,a)=d, entonces d|p y d|a, razón para afirmar que existen u,v∈D tales que p=ud y a=dv. Entonces p|ud y al ser p primo en D, se infiere que p|u o p|d.

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No es posible que p|d, porque en tal caso d=kp, para algún k∈D y en consecuencia a=(kp)v, implicando que p|a y esto contradice que p†a. Luego p|u y como p=ud, se deduce que d es una unidad en D y por ello p y a son primos relativos, puesto que (p,a)=d. Recíprocamente, si p|ab y p†a, entonces por hipótesis (a,p)=1, por tanto según 4.16.7 i), se deduce p|b. Luego p es primo en D. EJERCICIO 4.17. 4.17.1. Demuestre lo afirmado en 4.16.2 4.17.2. Demuestre i) en el Teorema 4.16.4. 4.17.3. En referencia al Teorema 4.16.4 justifique la siguiente cadena de igualdades: aα=(du)α=d(uα) =du=a.. 4.17.4. Si D es un dominio entero u,v,w∈D, demostrar: i) si vu y uw, entonces vw.ii) Si vu entonces vwu. iii) Si c1, ... ,cn ∈D tales que vc1 ∧ ... ∧vcn , entonces vc1+... +cn iv) Si vu ∧ uv, entonces existe k unidad en D tal que u=kv. v)Si además <D,d> es un anillo euclideanio y vu entonces d(v)≤ d(u). vi) vu, si y sólo si el residuo de dividir u entre v es r=0. 4.17.5. Demuestre:i) que J[i]=⎨ä+bi/a,b∈ℤ⎬, con la suma y multiplicación usuales de complejos es un anillo. ii) Si d es definido J[i] como d(a+bi)=a2+b2 , entonces < J[i],d>es un anillo euclideano. 4.17.6. Si <D.d> es un anillo euclideano y a,b∈D tales que b∈<a> y d(a)=d(b), entonces <a>= 4.17.7 i) Si D es un anillo euclideano y a1, … ,an∈D, demuestre que existe el máximo un común divisor d de a1, … ,an y además es posible encontrar α1, … ,αn∈D tales que d=α1a1+ … +αnan. ii) Si D es un anillo euclideano y a,b,c∈A tales que (c,a)=1 y c|ab, demuestre que c|b. iii) Si D es un anillo euclideano, p∈D, tal que p no es unidad en D, demuestre que p es irreducible D, si y solo si: a∈D, implica que p|a o (a,p)=1. iv) Demuestre que todo anillo euclideano es un dominio de factorización única. v) Si D es aunillo euclideano e I es un idela de D, demuestre que I es un ideal naximal de D, si y solo si I=, para algún p∈D, con p irreducible en S.. 4.17.8. Si <D,d> es un anillo euclideano y p∈D, demuestre que p es irreducible en D, si y solo si p es primo en D.

229

4.17.9. Al plantear la siguiente definición: Si <D,d> es un anillo euclideano y a,b,c∈D, diremos que c es un mínimo común múltiplo de a y b, notado c=[a,b] si i) a|c y b|c y ii) si g∈D tal que a|g y b|g, entonces c|g. Demostrar: i) Si D es un anillo euclideano y a,b∈D*, demuestre que existe c∈D tal que c es

un mínimo múltiplo de a y b y que además c= abd

, donde d=(a,b).

4.18 ENTEROS GAUSSIANOS En la seción anterior vimos dos ejemplos interesantes de anillos euclideanos, a saber: <ℤℤ,, ||||>>((CCoonn ℤℤ==aanniilllloo ddee llooss eenntteerrooss yy ⎢⎢ ⎢⎢== vvaalloorr aabbssoolluuttoo uussaall yy <<F[x].o>. Obviamente que existen muchos anillos euclideanos. Por ejemplo si F es un campo, al definir d, de F* en ℕ, como d(f)=0, siempre que f∈F*, se cumple trivialmente la condición d(a)≤d(ab) y además si a,b∈F*, entonces por ser F* un grupo multiplicativo, existe c∈F*, tal que a=cb. Es decir, según la Definición 4.16.1, <F,d> es un anillo euclideano. Para este nuevo ejemplo, consideraremos J= ℤℤ.[i]=⎨a+bi/a,b∈ℤℤ.⎬, conocido como el conjunto de los enteros gaussianos. Obviamente JJ eess uunn ssuubb aanniilllloo ddeell aanniilllloo ℂℂ ddee llooss ccoommpplleejjooss.. AAddeemmááss JJ es un dominio entero tal que 1∈J (Ver Ejercicio 4.19.1). El objetivo inmediato es definir d para que < J,d> sea un anillo euclideano. Esto se plantea en el siguiente teorema: Teorema 4.18.1 < J,d> es un anillo euclideano, si d se define para a+bi∈J* como d(a+bi)=a2+b2. Demostración. Es de demostración inmediata verificar que d es una función de J* en ℕ Además, si x,y∈J*, entonces como d(xy)=d(x)d(y) y d(y)≥1 ), se infiere que d(x)dy)≥d(x) y en consecuencia d(x)≤d(xy). (Ver Ejercicio 4.19.2). Veamos ahora que si α,β∈J*, entonces existen c,r∈J tales que α=cβ+r, donde r=0 o d(r)<d(β). Demostremos inicialmente este resultado para n∈ℤℤ+. En efecto, si α=n y β=c+di∈J, entonces de acuerdo con el Teorema del Residuo (2.5.4), existen u,r,v,s∈ℤℤ. tales que c=un+r y d=vn+s, donde 0≤r<n y 0≤s<n. En este momento hay las siguientes posibilidades para r y s, a saber (r≤n/2 y s≤n/2) o(r>n/2 y s>n/2), o (r≤n/2 y s>n/2) o (r>n/2 y s≤n/2) Si r≤n/2 y s≤n/2, entonces β=(un+r)+(vn+s)i=(u+vi)n+(r+si.), pero como r2+s2 ≤ n2/2<n2, se infiere d(r+si)<d(n). Verificándose el teorema en este caso. Si r>n/2 y s>n/2, entonces r=n-t y s=n-w, con 0<t<n/2 y 0<w<n/2. Entonces β=(u+vi)n +(n-t)+(n-w)i =(u+1+(v+1)i)n+(-t)+(-w)i. Es decir β= (δ + λi)n+(ξ+τi) con δ=u+1∈ℤℤ, λ=(v+1) ∈ ℤℤ , ξ=-t∈ℤℤ , λ= , τ=-w∈ℤℤ , ⎜τ⎜≤n/2, y ⎜ξ⎜≤n/2. Es decir estamos en el caso anterior.

230

Análogamente cualquiera de las alternativas (r≤n/2 y s>n/2) o (r>n/2 y s≤n/2) conduce a que β=(δ + λi)n+(ξ+τi) con ⎜ξ⎜≤n/2 y ⎜τ⎜≤n/2.. Es decir todas se reducen a la primera posibilidad, ya demostrada. (Ver Ejercicio 4.19.3) Si α=a+bi y β=c+di, con α,β∈J y β∉ℤℤ, al aplicar el resultado anterior a αβ y ββ =n∈ℤℤ+, obtenemos que αβ = C(ββ )+R, donde C,R∈J y R=0 o d(R)<d(ββ ). De tal manera que R=αβ -C(ββ )=(α-Cβ)β . y si r=α-Cβ, se tiene que R=rβ y por lo tanto d(R)=d(r)d(β )<d(ββ )=d(β)d(β ), luego d(r)<d(β), ya que d(β )>0 (Ver ejercicio 4.19.4), y si R=0, entonces αβ - C(ββ )=0, es decir (α-Cβ)β =0, pero como β ≠0, puesto que β∈J y

β∉ℤℤ, se deduce que r=α-Cβ=0. En definitiva α=Cβ+r, donde C,r∈J y r=0 o d(r)<d(β). Teorema 4.18.2 Si p,.c∈ℤ, donde p es primo en ℤ , (c.p)=1 y existen x,y∈ℤ tales que cp=x2+y2, entonces p no es primo en J. Demostración. Si p fuera primo en J, entonces como cp=x2+y2=(x+yi)(x-yi), se tendría p⎜(x+yi)(x-yi) y en consecuencia p⎜(x+yi) o p⎜(x-yi), lo que permite deducir que p⎜x y p⎜y. De tal manera que p⎜x+yi y p⎜x-yi y por ende p2⎜ x2+y2. Es decir x2+y2=kp2, para algún k∈ ℤ+. Pero como cp= x2+y2, se infiere que cp= kp2, es decir c=kp, indicando ello que p⎜c. Lo cual no es posible ya que (c,p)=1. Luego p no es primo en J. Teorema 4.18.3. Si p,.c∈ℤ, donde p es primo en ℤ , (c.p)=1 y existen x,y∈ℤ tales que cp=x2+y2, entonces existen a,b∈ℤ , tales que p=a2+b2. Demostración. De acuerdo con el resultado anterior p no es primo en J y por tanto p es factorizable en J, según la forma p= (a+bi)(c+di) , donde a+bi y c+di no son unidades en J. Pero si p= (a+bi)(c+di), entonces también p= (a-bi)(c-di) y así p2=(a2+b2)(c2+d2) y ello nos indica que son posibles las siguientes alternativas: (p=a2+b2 y p=c2+d2) o (a2+b2=p2 y c2+d2=1) o (a2+b2=1 y c2+d2=p2). Pero no es posible que c2+d2=1 o a2+b2=1, ya que si ocurre cualquiera de ellas, por ejemplo a2+b2=1, entonces a+bi sería unidad en J, puesto que (a+bi)(a-bi)= a2+b2=1. Entonces la única posibilidad es p=a2+b2 y p=c2+d2. Concluyéndose así la existencia de a,b∈ℤ , tales que p=a2+b2. Teorema 4.18.4 Si p es un primo en ℤ de la forma p=4n+1, para algún n∈ℤ, entonces la ecuación x2≡-1 mod p, tiene solución en ℤ. Demostración. En vista de que p=4n+1, se infiere que p-1 es par ya que p-1=4n y por consiguiente (p-1)/2∈ℤ, de tal manera que x=1.2. … . (p-1)/2∈ℤ. es el resultado de un número par de factores, y en consecuencia también x=(-1).(-2). … (-(p-1)/2). Ello permite deducir que x2=(1.2 … .(p-1)/2).((-1).(-2). … .(-(p-1)/2).. Pero como p-k≡-k mod p, para cualquier k∈ℤ, se infiere que x2≡(1.2.. … .(p-1)/2)(p+1)/2. … .(p-1) = (p-1)!.

231

Es decir x2≡(p-1)! modp, y en estas condiciones solo resta probar que (p-1)!≡-1 mod p, afirmación cuya validez se comprueba considerando el grupo residual multiplicativo modulo p, ℤp*, en el que por ser o(ℤp*) un número par, existe, α∈ℤp* tal que α2=1. Al respecto notemos que (p-1)2≡1 mod p y que además, si k∈ℤp* tal que 1<k<(p-1), no es posible que k2≡1 mod p, .ya que de ser así p⎜(k-1)(k+1) y ello no es posible, porque al ser p un entero primo se deduciría que p⎜k-1 o p⎜k+1 y ninguna de esas opciones es viable por que k-1<p y k+1<p. De tal manera que p-1 es el único elemento de ℤp*-⎨1⎬ tal que (p-1)2=1, lo cual nos indica que para cada k∈ℤp*- ⎨1,p-1⎬, existe w∈ ℤp*- ⎨1,k,.p-1⎬, tal que kw=1. Por lo tanto 1.2. .. .(p-1)≡(p-1) modp y en vista de que p-1≡-1 mod p, se deduce que (p-1)!≡-1 mod p. Teorema 4.18.5. Si p es un primo en ℤ de la forma p=4n+1, para algún n∈ℤ+, entonces existen a,b∈ℤ, tales que p=a2+b2. Demostración. Según el Teorema anterior, la ecuación x2≡-1 mod p, tiene solución en ℤ. Consideremos que una de ellas es α. Entonces α2+1=cp, para algún c∈ℤ. De tal manera que para aplicar el Teorema 4.18.4, basta con que (c,p)=1, para garantizar que existen a,b∈ℤ, tales que p=a2+b2. Por ser p primo en ℤ, para lograr que (c,p)=1, es suficiente con que 1<c<p. Entonces se necesita que (α2+1)/p<p, para lo cual basta tomar 0<α<p/2, porque de ser así, por ser α∈ ℤ también α≤(p-1)/2 y a su avez α<(p+1)/2: Ello implicaría que α2<(p2-1)/4< p2-1. Entonces α2+1<p2 y por tanto (α2+1) /p<p. Es decir c<p y además dado que p=4n+1, se deduce que p-1=4n y por ende.α<2n, para algún n∈ℤ+. Es decir 0<α<2n, argumento que permite la posibilidad de que α∈ℤ. Falta entonces solamente justificar que existe una solución α∈ℤ de x2≡-1 mod p tal que 0<α<p/2. Si existiera una solución α≥p/2, con α∈ ℤ de x2≡-1 mod p entonces β=-p-α también sería solución y como β≤(p-1)/2<p/2, hemos encontrado la solución β∈ℤ de x2≡-1 mod p, tal que 0<β<p/2.

EJERCICIOS 4.19 4.19.1. Demuestre que J= ℤ.[i]=⎨a+bi/a,b∈ℤ.⎬, el conjunto de los enteros gaussianos, es un sub anillo del anillo ℂ de los complejos y que Además J es un dominio entero tal que 1∈J.

232

4.19.2. Verificar que d definida de J* en ℕ, como d(a+bi)=a2+b2 es una función, tal que si x,y∈J*, entonces d(x)≤d(xy). 4.19.3.Relativo al Teorema 4.18.1, demuestre que cualquiera de las alternativas (r≤n/2 y s>n/2) o (r>n/2 y s≤n/2) conduce a que β=(δ + λi)n+(ξ+τi) con ⎜ξ⎜≤n/2 y ⎜τ⎜≤n/2. 4.19.4 Demuestre que si β∈J y β∉ℤℤ , entonces d(β)>0 4.19.5. Encuentre el máximo común divisor de: i) 5+4i y 4-5i; ii)11+7i y 7+8i

233

CAPÍTULO 5. GRUPO COCIENTE. En el capítulo anterior comprobamos la inexistencia de subgrupos con tres elementos en cualquiera de los dos grupos con cuatro elementos. De la misma manera en S3 fue imposible encontrar subgrupos con 4 o 5 elementos. Verificamos también, en los casos analizados, que el número de elementos de un subgrupo es un divisor o un factor del número de elementos del respectivo grupo. Precisamente uno de los objetivos del presente capítulo es demostrar la validez general de ese planteamiento con el Teorema de Lagrange. El aludido teorema explica porquè no es posible la presencia de subgrupos cuyo número de elementos no sea un divisor del número de elementos del grupo correspondiente. En adelante, si G es un grupo finito, nos referiremos al número de sus elementos como el orden de G y lo notaremos o(G). Las particiones de un grupo serán pieza fundamental en el estilo que utilizaremos para demostrar el Teorema de Lagrange. Algunas de ellas pueden ser dotadas de cierta estructura de grupo, conocida como grupo cociente .Análogamente en los anillos dan origen a los anillos cocientes. Con el estudio de las particiones en grupos iniciaremos este capítulo. Recordemos que en la Definición 1.13.6 definimos cuando ℘ es una partición de un conjunto G.

5.1 PARTICION DE UN GRUPO SSoobbrree llaa bbaassee ddee llaa ooppeerraacciióónn ddee ddeeffiinniimmooss lloo qquuee llllaammaarreemmooss eell pprroodduuccttoo oo llaa ssuummaa ddee ccllaasseess,, sseeggúúnn eell ccaassoo,, eenn uunnaa ppaarrttiicciióónn ℘℘ ddee uunn ggrruuppoo GG.. Definición 5.1.1- Sean G un grupo y ℘ una partición de G. Si H,Kε℘, definimos el producto de clases en ℘, como HK = hk/hεH y kεK,, si la operación de G es multiplicativo. Pero si la operación de G es aditiva definimos, la suma de clases en ℘, H+K = h+k/hεH y kεK. 5.1.2.- El producto o la suma de clases, según el caso, no siempre es una operación en ℘. Por ejemplo en 4, ℘ = 0,1,2,3,, es una partición de G, pero 0,1+2,3=0,1,2,3-∉℘. El siguiente teorema indica la condición necesaria y suficiente para que el producto de clases sea una operación en una partición ℘ de un grupo G. Teorema 5.1.3.-Si G es un grupo y ℘ es una partición de G, entonces el producto de clases es una operación en ℘, si y sólo si HKε℘, siempre que H,Kε℘. Demostración. Si el producto de clases es operación en ℘, el Corolario 1.1.18 implica que si H,K∈℘, entonces HK∈℘.

234

Recíprocamente, si H,K,J,M∈℘ tales que H=J y K=M, entonces obviamente HK=JM, porque como H≠∅ y K≠∅, se deduce la existencia de h,k∈G tales que h∈H y k∈K. En consecuencia hk∈H y en vista de que H=J y K=M se infiere que h∈J y k∈M, lo que a su vez garantiza que hk∈JM. Luego hk∈(HK)∩(JM), pero como por hipótesis HK,JM∈℘, al ser ℘ una partición de G, la condición 2) de la Definición 1.13.6, aclara que HK=JM. Por lo tanto al cumplir el producto de clases las condiciones 1,2 y 3 del Corolario 1.1.18 l producto de clases es una operación en ℘ . 5.1.4 Si ℘ es una partición de un grupo G tal que el producto de clases es operación en ℘, diremos que el producto de clases está bien definido en ℘. 5.1.5.-Si en S3, consideramos ℘ = K1,K2 , donde K1 = io,i1,i2 y K2 = u1,u2,u3, es obvio que ℘ es una partición de G. Además el producto de clases es una operación en ℘, puesto que:

122

211

21

KKKKKKKK

Una simple inspección nos permite detectar las siguiente propiedades de la estructura algebraica en cuestión: i) ℘ con el producto de clases es un grupo, cuyo módulo, K1, es un subgrupo de S3. ii)℘ = K1s/sεS3 = sK1/sεS3, donde K1s = ks/kεK1 y sK1 = sk/kεK1. Después de aclarar algunos términos, demostraremos que las propiedades i) y ii) de ℘, en el párrafo anterior, son válidas de manera general. Definición 5.1.6.- Si G es un grupo, H≼G y gεG, diremos que Hg = hg/hεH es una clase lateral derecha de H en G. Análogamente diremos que gH =gh/hεHes una clase lateral izquierda de H en G. Teorema 5.1.7.-Si G es un grupo y ℘ es una partición de G tal que el producto de clases está bien definido en ℘, entonces : i) Existe un único Kε℘ tal que eεK y K≼G. ii) ℘ con el producto de clases es un grupo cuyo módulo es K. iii) ℘ = Kg/gεG = gK/gεG. Demostración.- Las condiciones 2 y 3 de la Definición 1.13.6 garantizan la existencia y unicidad de Kε℘ tal que eεK (1). Demostremos que K≼G. En primer lugar, como Kε℘, la Definición 1.13.6 (1) nos señala que K⊆G y además K≠Ø. Por lo tanto, según el Teorema 4.1.7, basta ver que si x,yεK, entonces xy-1εK.

235

Afirmación veraz, porque si yεK y K⊆G, también yεG y por ser G un grupo obtenemos que y-1εG. Por consiguiente, según la Definición 1.13.6 (3), se infiere y-1εB (2), para algún Bε℘. Pero como el producto de clases está bien definido en ℘, Teorema 5.1.3, implica KBε℘. De tal manera que K,KBε℘ y además eεK∩KB , ya que eεK, según (1), y eεKB, pues e=yy-

1εKB, porque yεK y según (2) y-1εB. Es decir K∩KB≠Ø , situación que al decir de la Definición 1.13.6 (2), implica que K = KB .(3). La igualdad (3) conduce a que xy-1εK, en vista de que xεK y por (2) y-1εB. ii) Que el producto de clases es asociativo, es una afirmación que se deduce de la asociativi-dad de G y la Definición 5.1.1 (Ver Ejercicio 5.5.3) Si Hε℘, como por hipótesis el producto de clases está bien definido, HKε℘. Además según Definición 1.13.6 (2) se tiene que HK = H, ya que para cualquier hεH, también hεHK, por que h = he y de acuerdo a (1) eεK. Luego K es el módulo de ℘.. Con el ánimo de comprobar finalmente que ℘ es un grupo resta ver que si Bε℘, entonces existe Sε℘ tal que BS = K. En efecto, al considerar Bε℘ sabemos por Definición 1.13.6 (1) que B⊆G y B≠∅ y que por lo tanto existe b∈G tal que bεB, entonces como G es un grupo b-1εG y en consecuencia por Definición 1.13.6 (3) b-1εS, para algún Sε℘. Así las cosas la Definición 1.13.6 (2) conduce a que BS=K, ya que por (1) eεK y eεBS, pues e =bb-1

y por hipótesis BS∈℘. Luego ℘ con el producto de clases es un grupo. Note, que como era de esperarse S = b-1/bεB. * (Ver Ejercicio 5.5.4) En consecuencia, S puede ser escrito como S = B-1. iii) Si Bε℘, sabemos que existe bεG tal que bεB. Veamos que B = Kb = bK. Las definiciones 5.1.6 y 5.1.1 implican que Kb⊆KB y bK⊆BK. Por lo tanto, al considerar que K es el módulo de ℘, obtenemos que Kb⊆B y bK⊆B (4). De otra parte, al ser ℘ un grupo existe B-1ε℘_ tal que BB-1 = B-1B = K ,donde B-1 = x-1/xεB. Por ende, si x,bεB, entonces b-1xεB-1B y xb-1εBB-1, situación que nos lleva a aceptar que b-1x,xb-1 ε K y en consecuencia, b(b-1x) ε bK y (xb-1)bεKb. Es decir xεbK y x∈Kb, si xεB , razón por la cual B⊆bK y B⊆Kb (5). De (4) (5) se deduce que B=Kb=bK, si bεB (6). Luego BεKg/gεG y BεgK/gεG, siempre que Bε℘ y por ello ℘⊆Kg/gεG y ℘⊆gK/gεG.(7). Por último, si KrεKg/gεG y sKεgK/gεG, entonces r,sεG y por tanto existen B1,B2ε℘ tales rεB1 y sεB2. Resultado que de acuerdo a (6), implica B1 = Kr y B2 = sK. Es decir Kr,sKε℘ y en virtud de ello, Kg/gεG⊆℘ y gK/gεG⊆℘.(8)

236

De 7) y 8) inferimos que Kg/gεG = gK/gεG= ℘. Una vez demostrado el Teorema 5.1.7 , se plantean los siguientes interrogantes: 5.1.8- i) Si G es un grupo y K es un subgrupo de G ¿Serán siempre Kg/gεG y gK/gεG particiones de G? ii) Si la respuesta anterior es afirmativa, ¿estará siempre bien definido el producto de clases en Kg/gεG o en gK/gεG. iii) Si la respuesta anterior es negativo, ¿cual deben ser la cualidades de K, para que el producto de clases esté bien definido en Kg/gεG o en gK/gεG. El siguiente teorema responde afirmativamente el primer interrogante. Teorema 5.1.9. Si G es un grupo y K≼G, entonces los conjuntos ℘=Kg/gεG y ℘‘=gK/gεG son particiones de G. Demostración.- si KaεKg/gεG y bKεgK/gεG, de acuerdo a la Definición 5.1.6, Ka y bK son subconjuntos no vacíos de G, puesto que aεKa y bεbK, en vista de que a = ea y b = be. Precisamente el que los Ka y bK, con a,bεG, sean subconjuntos de G, permiten deducir que : U

GgKg

∈⊆G y U

GggK

∈ ⊆ G.(1)

De otra parte, si xεG, como también xεKx y xεxK, tendremos que xε∪Kx/xεG y xε∪xK/xεG. Es decir G⊆ U

GgKg

∈ y G⊆ U

GggK

∈.(2)

De (1) y (2) concluimos que G = U

GgKg

∈= U

GggK

∈. Luego los conjuntos ℘ y ℘‘ cumplen la

condición 3) de la Definición 1.13.6. Consideremos Ha,Hb,cH y dH con a,b,c,dεG, tales que Ha∩Hb≠Ø y cH∩dH≠Ø. Ello nos indica la existencia de x,yεG tales que yεHa,yεHb,xεcH y xεdH. En consecuencia y=h1a=h2b y x=ch3=dh4, donde h1,h2,h3,h4εH. Por lo tanto a = (h1

-1h2)b, b = (h2

-1 h1)a, c = d(h4h3-1) y d=c(h3h4

-1). Pero como (h1-1h2),(h2

-1h1),(h4h3-1),(h3h4

-1)εH, por ser H≾G, la relación anterior se nos transforma en a =α b, b=βa (3), c=dγ y d=cδ`(4), donde α,β,γ,δ∈H.< Las igualdades (3) y (4) conducen a que Ha = Hb y cH = dH. Luego los conjuntos ℘ y ℘‘cumplen las condiciones de la Definición 1.13.6 y así inferimos que los conjuntos Kx / x ε G y xK/xεG, son particiones de G.

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Con relación al interrogante ii), el siguiente ejemplo demuestra que si H≾G, no siempre el producto de clases está bien definido en Hg/gεG. Ejemplo 5.1.10. Si G = S3 y H = io,u3, entonces H≼G y Hg/gεS3 =H,i1,u3,i2,u2≠ gH/gεS3, puesto que i1H = i1 , u2 ∈ gH/gεS3, pero i1H∉Hg/gεS3.Resultado que nos permite deducir inmediatamente, según la conclusión iii) del Teorema 5.1.7, que el producto de clases no está bien definido en las particiones Hg/g∈G y gH / g ∈G. El siguiente teorema, responde al interrogante iii). Además también demuestra que el recíproco de la conclusión iii) del Teorema 5.1.7, es válido, pero la exigencia Hg/gεG=gH/gεG, puede ser reducida a Hg/gεG⊆gH/gεG o gH/gεG⊆Hg/gεG Teorema 5.1.11. Si G es un grupo y K≼G, tal que Hg/gεG⊆gH/gεG o gH/gεG⊆ Hg/gεG. Es decir si cualquier clase lateral derecha de K en G es igual a alguna clase lateral izquierda de K en G,o cualquier clase lateral izquierda de H en G es igual a una clase lateral derecha de H en G. Entonces el producto de clases está bien definido en Kg/gεg y en gK/gεG. Es decir Kg/gεg y gK/gεG con sus respectivos producto de clases son grupos Demostración.- Supongamos que Kg/gεG⊆gK/gεG. Para demostrar que los productos de clases en Kg/gεG y en gK/gεG están bien definido, basta demostrar que el producto de clases está bien definido en Kg/gεG, puesto que según el Teorema 5.1.7 si el producto de clases está bien definido en Kg/gεG, entonces Kg/gεG=gK/gεG. A su vez para demostrar que el producto de clases en Kg/gεG está bien definido, según el Teorema 5.1.3, basta verificar que si Kx,KyεKg/gεG entonces KxKy=Kxy. Si zεKxKy entonces la Definiciones 5.1.6 y 5.1.1 explican que z = (hx)(ry), donde h,rεK. (1). Veamos ahora que si gεG, entonces la hipótesis implica que Kg = gK. En efecto, si gεG, por hipótesis existe aεG tal que Kg = aK. Pero como gεaK, ya que gεKg, entonces gεaK∩gK, puesto que también gεgK y por lo tanto, de acuerdo a la Definición 1.13.6 (2), aK = gK. Es decir Kg = gK. Retornando a (1), tenemos: z = (hx)ry) = h((xr)y) Por Teorema 1.4. 16. = h((sx)y) con sεK, porque xK=Kx. = (hs)(xy) Por Teorema 1.4. 16. Pero como h,sεK y K≼G, entonces hsεK y por lo tanto zεKxy. Es decir KxKy⊆Kxy. (2) De otra parte, si gεKxy, entonces g = k(xy), para algún kεK.De tal manera que por ser G un grupo obtenemos que g = (kx)(ey)εKxKy. Es decir Kxy⊆KxKy. (3).

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Las contenencias (2),(3) implican que KxKy=Kxy. Análogamente si gH/gεG⊆ Hg/gεG, se demuestra que el producto de clases está bien definido en gH/gεG y por lo tanto también estará bien definido el producto de clases en Hg/gεG Por último al haber demostrado que el producto de clases respectivo está bien definido en gH/gεG y en Hg/gεG, entonces según el Teorema 5.1.7 se tiene que gH/gεG y Hg/gεG son grupos. 5.1.12.- El Ejemplo 5.1.10 demuestra que no es propio de todos los subgrupos K de un grupo G, el que cada clase lateral derecha de K en G, sea una clase lateral izquierda de K en G o que una clase lateral izquierda de K en G sea una clase lateral derecha de K en G. Precisamente la clase lateral izquierda de H en S3, i1H, no es una clase lateral derecha de H en S3. El siguiente teorema demuestra que dicha cualidad identifica a los subgrupos normales. Teorema 5.1.13.-Si G es un grupo y H≼G, entonces H∆G si y sólo si, cualquier clase lateral derecha de H en G es una clase lateral izquierda de H en G o cualquier clase lateral izquierda de H en G es una clase lateral derecha de H en G. Demostración.- En el desarrollo del Teorema 5.1.11 , demostramos que si Kg/gεG⊆gK-/gεGogH/gεG⊆Hg/gεG,entonces Hg=gH para cualquier gεG. Por consiguiente, si ghεgH, también ghεHg. Entonces gh=h’g, para algún h’εH. Luego ghg-1εH, porque ghg-1

=h’εH y en consecuencia, por la Definición 4.7.4. se deduce que H∆G. Si H∆G y ghεgH, la Definición 4.7.4. implica que ghg-1εH. En consecuencia, existirá h’εH tal que ghg-1=h’ y por lo tanto, gh=h’gεHg. Luego gH⊆Hg. (1). También, por ser H∆G , si hgεHg, g-1h(g-1)-1εH y por tal motivo g-1 h(g-1)-1 = g-1hg=h’εH. En esas condiciones hg=gh’εgH. Es decir, Hg⊆gH. (2) De (1) y (2) inferimos que Hg = gH, si gεG, lo cual implica que toda clase lateral derecha de H en G es una clase lateral izquierda de H en G. Otra caracterización de los subgrupos normales es la siguiente, que a la vez resuelve el interrogante iii) planteado en 5.1.8. Teorema 5.1.14. i) Si G es un grupo y H∆G, entonces los respectivos productos de clases en Hg/gεG y gH/gεG, están bien definidos. Por lo tanto Hg/gεG y gH/gεG con los respectivos productos de clases son grupos. ii) Si G es un grupo y H≼G tal que el producto de clases está bien definido en Hg/gεG o en gH/gεG, entonces H∆G.

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Demostración.-i) Si H∆G , el Teorema anterior nos dice que ello equivale a que cualquier clase lateral derecha de H en G es una clase lateral izquierda de H en G. Lo cual, según el Teorema 5.1.11 implica que el producto de clases está bien definido en Hg/gε y en gH/gεG. Por lo tanto el el Teorema 5.1.7, implica que Hg/gε y gH/gεG con los respectivos productos de clases son grupos. ii) Si el producto de clases está bien definido en Hg/gεG o en gH/gεG, el Teorema 5.1.7 iii) infiere que Hg/gεG=gH/gεG y en particular cualquier clases lateral derecha de H en G es una clase lateral izquierda de H en G, lo cual implica, según el Teorema 5.1.13, que H∆G. Ahora se puede demostrar el recíproco de la primera parte del teorema anterior. Corolario 5.1.15. Si Kg/gεG o gK/gεG, con su respectivo producto de clases es un grupo, entonces K∆G. Demostración. Si Kg/gεG o gK/gεG con sus respectivo producto de clases es un grupo, entonces los respectivos producto de clases estará bien definido o en Kg/gεG o en gK/gε-G, y por lo tanto el Teorema 5.1.14 ii) garantiza el que K∆G 5.1.16.- Como particularidad del Teorema 5.1.13 tenemos que si K∆G, entonces Kg/gεG⊆gK/gεG. Pero esa hipótesis, conduce por un procedimiento análogo a que gK/gεG⊆Kg/gεG. En consecuencia, si K∆G, entonces Kg/gεG=gK/gεG. Por las razones notadas anteriormene, cuando K∆G, notaremos al conjunto de las clases laterales derechas, que resulta ser el mismo de las clases laterales izquierdas como G/K. En esta terminología el Teorema 5.1.15 (i) cobra la forma : 5.1.17-Si G es un grupo y K∆G, entonces i-G/K, con el producto de clases, es un grupo.ii-Ademas, si Kg,Kh∈G/K, entonces Kg.Kh=Kgh. Puesto que al ser producto de clases una operación en G/H se tendra que KgKh=Ks, para algun s∈G, pero como gh∈Ks y gh∈Kgh, se deduce que Kgh=Ks y en consecuencia KgKh=Kgh. Finalizaremos esta sección demostrando el Teorema de Lagrange, previa demostración del siguiente lema: Lema 5.1.18. Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces cualquier dos clases laterales derechas ( o izquierdas) de H en G, tienen el mismo número de elementos. Demostración.- Si Ha,Hb son dos clases laterales deechas de H en G, entonces ambas son finitas, por ser subconjuntos de un conjunto finito, como lo es G. En consecuencia, para demostrar que Ha y Hb tienen el mismo número de elementos, basta con encontrar una biyección entre ellas. Veamos que f:Ha→Hb, definida como f(ha)=hb, si hεH, es una biyección de Ha en Hb.

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Es evidente que f satisface Fi y Fii del Teorema 1.1.13 Además, si h,h`εH tales que ha=hà, entonces las leyes cancelativas (Teorema 22..33..44 vi))implican que h=h`.Por consiguiente,al ser o una operación en G, Oiii indica que hb=h`b. Es decir, f también satisface Fiii y por ello f es una función. Si f(ha)=f(hà) entonces, según la definición de f, hb=h`b y por el Teorema 22..33..44. (vi), h=h`, lo que implica a su vez, por ser o una operación en G, que ha=hà. Luego f es inyectiva . Por último, como los elementos de Hb, tienen la forma hb, con hεH,cualquiera de ellos, es imágen, según f, de haεH. O sea que f es sobre. En síntesis, f es una biyección y así Ha y Hb tienen el mismo número de elementos. De manera similar y considerando f:aH→bH, definida como f(ah)=bh, se demuestra que aH y bH tienen el mismo número de elementos. 5.1.19- Al demostrar que o(Ha)=o(Hb) no se puede deducir que Ha=Hb. Mas aún el que Ha=Hb, no implica que a=b. Lo cierto es que la igualdad Ha = Hb, equivale a afirmar que ab-1 εH y en particular, Ha=H, equivale a la propuesta aεH. (Ver Ejercicio 5.5.5) Teorema 5.1.20.-(Teorema de Lagrange) Si G es un grupo finito y H≼G, entonces o(G)=o(H)/iG(H). Donde iG(H) es el número de clasese laterales derechas de H en G.En consecuencia: o(H)o(G). Demostración.- En primer lugar, como H =He, H es una clase lateral derecha de H en G y el Lema 5.1.18, implica que cualquier clase lateral derecha de H en G tiene o(H) elementos. Por lo tanto, si iG(H)=k, entonces si H,Hg2, ... ,Hgk, representan a las diferentes clases laterales derechas de H en G, como por el Teorema 5.1.9 ellas conforman una partición de G, la Definición 1.13.6 nos indica que o(G) = o(H) + o(Hg2)+ ... + o(Hgk). Pero como o(Hgi)=-o(H), obtenemos que o(G)=k(o(H)) y así o(G)=o(H)iG(H) y por lo tanto o(H)o(G). El siguiente corolario es de verificación inmediata. (Ver Ejercicio ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia..) Corolario 5.1.21. Si G es un grupo finito y si N≼G, entonces o(Ng/gεG = o(gN/gεG) = o(G)/o(N). En particular, si N∆G, entonces el o(G/N)=iH(G)=o(G)/o(H).

5.2 APLICACIONES Aprovecharemos el Teorema de Lagrange, para estudiar algunas propiedades importantes de los grupos finitos. Comencemos con el siguiente corolario: Corolario 5.2.1.- Todo grupo de orden primo es cíclico.

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Demostración.- Sea G un grupo con un número primo p de elementos y aεG, a≠e. Si H = <a>, entonces, según el Teorema de Lagrange 5.1.20), o(H)p. Pero como p es primo, la Definición 3.1.34 orienta hacia dos alternativas: ó o(H)=1 ó o(H)=p. Teniendo en cuenta ahora que o(H)>1, puesto que e,aεH y ae,obligatoriamente, o(H) = p. Es decir H⊆G y a la vez o(H)=o(G), lo cual implica que H=G y por lo tanto G es cíclico. 5.2.2-En el Segundo capítulo demostramos que cualquier grupo que cuente con a los más cuatro elementos es abeliano. Ahora el Corolario 5.2.1 y el Teorema 4.5.3.,enseñan que los grupos con cinco elementos también son abelianos. El siguiente corolario demuestra de manera sencilla el problema 2.4.33. Corolario 5.2.3.- Si G es un grupo finito, entonces ao(G)=e, siempre que aεG. Demostración.- Si G es un grupo finito y aεG, el Lema 4.9.7 indica que o(a) es el número de elementos del subgrupo de G, H=<a>. Por lo tanto, el Teorema de Lagrange (5.1.20), implica que o(a)o(G) y en estas condiciones o(G) = ko(a), donde kε ℤ+. En consecuencia ao(G) = ako(-

a) =(ao(a))k y por consiguiente ao(G)=e. Corolario 5.2.4.- Si G es un grupo y aεG, a≠e, tal que o(a)=m y ak=e, para algún kεℤ+, entonces m⎪k. Demostración.- Al aplicar el Teorema del Residuo (2.5.4), obtenemos c,rεℤ, tales que k = co(a) + r (1),donde 0≤r<o(a). Por lo tanto ak=aco(a)+r=(ao(a))car=ar. Es decir, ar=e. Pero como 0≤r<o(a) y de acuerdo a la Definición 4.9.1, o(a) es el menor entero positivo tal que ao(a)=e, inferimos que r=0 y en consecuencia, al sustituir en (1), k=co(a). Luego: o(a)k. Una consecuencia inmediata de los resultados anteriores es el siguiente corolario> Corolario 5.2.5- Si G es un grupo, p es un número primo y aεG, a≠e, tal que ap=e, entonces p=o(a). Demostración.- Como ap=e, el Corolario 5.2.4, implica que o(a)p, pero como p es un número primo, entonces por Definición 3.1.34 ó o(a)=1 ó o(a)=-1 ó o(a)=-p ó o(a)=p. Como las tres primeras opciones no son posibles , entonces o(a)=p. 5.2.6.-El recíproco del Teorema de Lagrange no es válido. Ello significa que en un grupo finito G, si mεZZ+ tal que mo(G), no podemos garantizar la existencia de un subgrupo de G con m-elementos. Más adelante mostraremos un grupo con doce elementos que no tiene subgrupos con seis elemento. Sin embargo, el recíproco del Teorema de Lagrange se cumple en grupos cíclicos finitos, tal como se demuestra en el siguiente teorema.

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Teorema 5.2.7.- Si G =<a> es un grupo cíclico finito y mε ℤ + tal que m(G),entonces existe H≾G tal que o(H)=m. Demostración.-Como mo(G), el Teorema es inmediato, tanto si m=o(G), como si m=1, porque en el primer caso el grupo adecuado es el mismo G y en el segundo es H=e. Consideremos que 1<m<o(G), entonces como, o(G)=km, para algún kε ℤ +, tendremos que 0<k<o(G)=o(a). En consecuencia, de acuerdo a la Definición 4.9.1, ak≠e. Verifiquemos que H=<ak> tiene m elementos. En efecto, (ak)m =ao(G)=e (1). Además, si nεℤ+ y n<m,entonces , 0<kn<km, y según la Definición 4.9.1., (ak)n≠e. (2). De (1) y (2) inferimos que m es el menor entero positivo tal que (ak)m=e .En estas condiciones la Definición 4.9.1., nos indica que o(ak)=m y el Lema 4.9.7. implica que o(H)=o(<ak>)=m. Es de esperarse también que si G es un grupo finito, cuyos únicos subgrupos son los triviales. Es decir G y <e>, entonces o(G)=1 ó o(G) es un número primo. El siguiente Teorema demuestra esa afirmación. Teorema 5.2.8.- Si G es un grupo cuyos únicos subgrupos son los triviales, entonces ó o(G)=1 ó o(G)=p, con p un número entero primo. Demostración.- Naturalmente, si G=e el Teorema es de inmediata demostración. Por esta razón consideraremos a G≠e. La hipótesis implica inmediatamente que G es cíclico, porque al ser G≠e, existe aεG, tal que a≠e y en consecuencia, H=<a> debe ser trivial y como H≠<e>, concluimos que H=<a>=G. Es decir G es cíclico. También G es finito, porque si G fuera infinito, el Teorema 4.9.3, nos indica que G≈ℤ y en consecuencia existirá un isomorfismo biyectivo f de ℤ en G. Por lo tanto al considerar el subgrupo de ℤ, H=2 ℤ, el Teorema 4.7.12, implica que f(H)≼G. Además f(H) es no trivial, puesto que la propiedad inyectiva de f infiere que f(H)≠e y f(H)≠G, pues H≠0 y H≠ℤ y por hipótesis G no permite este tipo de subgrupos Luego G es finito. Supongamos que o(G) no es número primo, entonces (G)=nm, donde n y m son un par de enteros mayores que uno. Pero como G=<a>, 4.9.8 señala que o(a)=nm, ante lo cual se nos presentan dos alternativas ó an≠e ó an=e.Veamos que cualquiera de esas opciones conduce a una contradicción. Si an≠e el subgrupo de G, H=<an> tiene m elementos (Ver Ejercicio 5.5.14) y como 1<m<o(G), H es un subgrupo no trivial de G, lo cual, por hipótesis,no es posible.

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De otra parte, la eventualidad an=e tampoco es viable, puesto que al ser n>1 y m>1, se tiene que n<nm, configurándose una contradicción, en vista de que o(a)=nm y por lo tanto, si an=e, según la Definición 4.9.1, nm≤n. En vista de que la contradicción se origina por haber considerado a o(G) un número no primo, concluimos que G es de orden primo. El recíproco del Teorema de Lagrange es válido para divisores primos. Este resultado, conocido como el Teorema de Cauchy, lo demostraremos inicialmente para grupos abelianos. Con tal fin verificaremos el siguiente Lema: Lema 5.2.9.-Si G es un grupo, N∆G, Γ≼G/N tal que o(Γ)=p con p primo en ℤ y po(N), entonces existe gεG tal que o(g)=p. Demostración.-Como o(Γ)=p, entonces o(Γ)>1 y por consiguiente existe KεΓ tal que K no es el módulo de Γ. Si tenemos en cuenta que el módulo de G/N es N, el Teorema 4.1.4., nos indi-ca que NεΓ. Por lo tanto K≠N y por ser K=Ns, para algún sεG, debe tenerse que s∉N,ya que de acuerdo a 5.1.19 , si sεN, tendríamos que Ns=N y así K=N. Veamos que g = so(N) es tal que o(g)=p. En efecto, por ser o(Γ)=p y NsεΓ, el Corolario 5.2.3 nos indica que (Ns)p=N. Pero como (Ns)p=Nsp, entonces Nsp=N y por 5.1.19, spεN. Aplicando nuevamente el Corolario 5.2.3 (sp)o(N)=e, lo cual implica que (so(N))p=e. Es decir gp=e. Pero según el Corolario 5.2.5 , se deduce que o(g)=p, solo resta demostrar que ge. Razonando por el absurdo, si g = so(N) = e, entonces al ser (Ns)o(N)=Nso(N)=Ne=N, tenemos que (Ns)o(N)=N (1).De otra parte, como NsεΓ y o(Γ)=p, el Corolario 5.2.3 implica que (Ns)p=N. Igualdad que a su vez conduce, según el Corolario 5.2.5 a la conclusión o(Ns)=p. (2). De (1), (2) y el Corolario 5.2.4. inferimos que p⎪o(N), entrando en contradicción con el supuesto po(N). Luego ge. Teorema 5.2.10.- Si G es un grupo abeliano finito y p es un número primo tal que po(G), entonces existe un subgrupo de G con p elementos y en consecuencia existe aεG tal que o(a)=p. Demostración.-Procederemos inductivamente sobre o(G). Lo cual significa que debemos verificar en primer lugar, que el teorema es válido, si o(G)=1. Posteriormente suponer que el Teorema se cumple para cualquier grupo con número de elementos menor estrictamente que el número de elementos de G y demostrarlo para G. Si o(G)=1, la conclusión del teorema se obtiene vacíamente, porque no existe un número primo factor de 1.

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Al abordar la segunda parte,con relación a los subgrupos de G se pueden presentar una de las siguientes situaciones : ó G tiene por lo menos un subgrupo no trivial ó los únicos subgrupos de G son los triviales. A su vez, si G tiene un subgrupo N no trivial, se tiene que ó po(N) ó po(N). Si po(N), entonces como o(N)<o(G), ya que N es un subgrupo no trivial de G, la hipótesis de inducción conduce a la existencia de un subgrupo H de N, tal que o(H)=p. Este subgrupo H de N, también lo es de G, ya que N≼G. Además, según el Corolario 5.2.1, H es cíclico, lo cual implica que H=<a> y por consiguiente, de acuerdo al Teorema 4.9.8. ap=e. Por último, el Corolario 5.2.5. conduce a que o(a)=p. Si po(N), entonces como por el Corolario 5.1.21 o(G)=o(G/N).o(N) y p⎪o(G), el Corolario 4.11.9, implica que po(G/N). Pero, al tener en cuenta que o(G/N)<o(G), ya que o(N)>1, por ser N un subgrupo no trivial de G, podemos aplicar la hipótesis de inducción a G/N para obtener Γ≾G/N tal que o(Γ)=p. Estamos entonces en las condiciones del Lema anterior y por ello existe gεG, tal que o(g)=p. y por consioguiente, H=<g> es un subgrupo de G con p elementos. Si los únicos subgrupos de G son los triviales, el Teorema 5.2.8 infiere que G es orden primo. Pero como p⎪o(G) y p es primo, entonces o(G)=p. Caso en el cual el subgrupo adecuado de G es el mismo G. En un capítulo posterior demostraremos el Teorema de Cauchy para grupos finitos en general. También, mediante los Teoremas de Sylow, analizaremos otro tipos de divisores del orden un grupo, para los cuales existen subgrupos con ese número de elementos.

5.3. TEOREMAS DE HOMOMORFISMO En capítulo 4 verificamos que el núcleo K de un homomorfismos de grupos f:G→G` es tal que K∆G. Ese resultado nos indica que a cada homomorfismo, como f, le podemos hacer corresponder un subgrupo normal de G, que es precisamente su núcleo. Uno de los objetivos del presente capítulo es comprobar la validez de la correspondencia recíproca. Es decir, demostrar que a cada subgrupo normal K de G, le corresponde un homomorfismo de grupos, cuyo núcleo es K. Además analizaremos algunas relaciones interesantes, entre el grupo cociente G/K y G`, así como otros teoremas importantes de homomorfismos que involucran a G/K. Teorema 5.3.1 - Si G es un grupo y N∆G, entonces existe un homomorfismo de grupos, definido en G, cuyo núcleo es N. Demostración.- Al ser N∆G, 5.1.17 garantiza el que G/N con el producto de clases es un grupo. Aprovechando esta situación, definamos f: G→G/N como f(g)=Ng y demostremos que f es un homomorfismo de núcleo N.

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Evidentemente f está definida en G/N y si g∈G, f(g)=Ng∈G/N. Es decir f satisface Fi y Fii. Del Teorema 1.1.13. Además,si g =g’∈G, entonces Ng=Ng’ y por consiguiente f satisface Fiii. Entonces f es una función de G/N en G. De otra parte si α,ß∈G, entonces por las definiciones de f y del producto de clases laterales derechas obtenemos: f(αß) = Nαß = NαNß =f(α)f(ß). Luego f es un homomorfismo del grupo G en el grupo G/N. Por último constatemos que el núcleo de f es N. Si αεN(f) = núcleo de f, entonces, al ser N el módulo de G/N, f(α) = N. Pero como de acuerdo a la definición de f se sabe que f(α)=Nα, tenemos que Nα=N. En consecuencia, según 5.1.19, se infiere que α∈N. Luego N(f)⊆N (1) Recíprocamente, si α∈N, nuevamente 5.1.19 implica que Nα=N. Por lo tanto la definición de f conduce a que f(α)=N y así α∈N(f). Es decir N⊆N(f). (2). De (1) y (2) se de deduce que N(f)=N. El siguiente teoremas demuestra una importante relación entre el grupo G/K y el grupo G`, si K es el núcleo del homomorfismo de grupos, f:G→G`. Teorema 5.3.2.- Si f:G→G` es homomorfismo de grupos de núcleo K, entonces G/K≈f(G). Demostración.- Por el Teorema 4.7.6 sabemos que f(G)≼G` y en consecuencia tiene sentido el planteamiento G/K≈f(G), porque además, G/K es también grupo, puesto que K∆G, y en consecuencia, 5.1.17 garantiza la cualidad de grupo de G/K. Para demostrar que G/K≈f(G), debemos construir una función w:G/K→f(G), tal que ella sea un homomorfismo biyectivo. Cerrar el Diagrama 5.3.3 mediante la relación w(Kg)=f(g), si gεG,sugiere un buen candidato para tal fin. Veamos que ello es así: f:G G` g f(g) Kg∈G/K . Diagrama 5.3.3 Indiscutiblemente, w está definida en G y además, si Kg∈G/K, entonces w(Kg) =f(g)εf(G). Es decir w, satisface F1 y F2 del Teorema 1.1.13 De otra parte, si Kα=Kß, entonces por 5.1.19 αß-1∈K. Pero como K es el núcleo de f, entonces f(αß-1)=e`.

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Por lo tanto al aplicar la Definición 2.6.3.. y el Teorema 2.6.4, obtenemos que f(α)(f(ß))-1 = e` y por consiguiente f(α)=f(ß). Es decir w(Kα)=w(Kß). Luego w también satisface F3, completándose de esta manera la verificación de que w, es una función de G/K en f(G). El carácter sobreyectivo de w se detecta inmediatamente, puesto que cualquier f(g) ε f(G), es imagen, según w, de Kg∈G/K. Con el ánimo de comprobar que w es inyectiva, consideremos w(Kα)=w(Kß) o lo que es equivalente: f(α)=f(ß). Nuevamente el Teorema 2.6.4 y la Definición 2.6.3., nos llevan a que f(αß-1)=e` y en consecuencia αß-1εK. Así las cosas 5.1.19 implica que Kα=Kß. Es decir, w es inyectiva. Por último, si Kα,Kß∈G/K, entonces: w(KαKß) =w(Kαß) Por definición de producto de clases. =f(αß) Por definición de w. =f(α)f(ß) Por ser f un homomorfismo. =w(Kα)w(Kß) Por definición de w. Luego w es un homomorfismo y como ya habíamos demostrado que w es una biyección de G/K sobre f(G), concluimos que G/K≈f(G). Corolario 5.3.4.- Si f:G→G` es un homomorfismo de grupos sobreyectivo de núcleo K, entonces G/K≈G`. Demostración.- Este es una consecuencia inmediata del Teorema anterior, puesto que al ser f una función sobreyectiva f(G)=G` En el Teorema 4.7.6 demostramos que existe una correspondencia biunívoca entre los subgrupos normales de G` y los subgrupos de G, que contengan al núcleo K de un homomorfismo sobreyectivo de grupos f:G→G`. Ella es la que a N`∆G`, transforma en N=f-1

(N`)=nεG/f(n)εN`. En el siguiente teorema demostraremos que G`/N`≈G/N≈(G/K)/(N/K). Teorema 5.3.5.- Si f:G→G` es un homomorfismo de grupos sobre, de núcleo K, entonces G`/N`≈G/N≈(G/K)/(N/K), donde N`∆G` y N=f-1 (N`). Demostración.-Definamos Φ:G/N→G`/N`, como Φ(Ng)=N`f(g), si gεG. Veamos en primer lugar que Φ es una función de G/N en G`/N`. Es inmediato que Φ satisface F1 y F2, puesto que si NgεG/N, entonces Φ(Ng)=N`f(g)εG`/N`. Además, si Nα=Nß, con α,ß∈G, 5.1.19 implica que αß-1∈N=f-1(N`) y por lo tanto f(αß-1) ε N`, relación que al aplicar la Definición 2.6.3.. y el Teorema 2.6.4, se nos transforma en f(α)(f(ß))-1 εN`, que a su vez , según 5.1.19 implica que N`f(α)=N`f(ß). En consecuencia hemos demostrado que si Nα=Nß, entonces Φ(Nα)=Φ(Nß), con lo cual podemos concluir que Φ es una función de G/N en G`/N`.

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La validez de los pasos recíprocos en la argumentación del párrafo anterior, infiere que Φ es inyectiva. De otra parte, al ser f sobreyectiva, si x∈G` debe existir yεG tal que f(y)= x. Por lo tanto, cualquier N`x∈G`/N` es imagen, según Φ, de Ny∈G/N. Luego Φ es sobreyectiva. Veamos que Φ es un homomorfismo: Si Nα,Nß∈G/N, entonces Φ(NαNß) =Φ(Nαß) Por definición de producto de clases =N`f(αß) Por definición de Φ. =N`f(α)f(ß) Por ser f un homomorfismo. =N`f(α)N`f(ß)Por definición de producto de clases. =Φ(Nα)Φ(Nß) Por definición de Φ. Luego Φ es un homomorfismo de G/N en G`/N` y como ya habíamos demostrado que Φ es biyectiva, deducimos que G/N≈G`/N`. Para demostrar que (G/K)/(N/K)≈G/N, definamos τ:G/K-→G/N, como τ(Kg)=Ng, si gεG. El procedimiento para demostrar que τ es una función sobreyectiva es conocido (Ver Ejercicio 5.5.9), por lo tanto demostraremos únicamente que τ es un homomorfismo de grupos. Si Kα,KßεG/K, entonces: τ(KαKß) = τ(Kαß) Por definición de producto de clases. = Nαß Por definición de τ. = NαNß Por definición de producto de clases. = τ(Kα)τ(Kß)Por definición de τ. Luego τ es un homomorfismo de grupos y como su núcleo es N/K (Ver Ejercicio 5.5.9), el Corolario 5.3.4.implica que (G/K)/(N/K) ≈ G/N Finalizaremos esta sección, demostrando el siguiente teorema: De 2.5 12 y 2.5.13 sabemos que Rn(a)= a+nt/t∈ℤ/y ℤn =Rn(a)/ a∈ℤ. Pero como nℤ+a =nt+a/t∈ℤ/, tendremos que ℤn =nℤ+a/a∈ℤ. Por último en vista de que según el Teorema 2.5.14, ℤn = Rn(0), Rn(1), … Rn(n-1), se infiere que ℤn =nℤ, nℤ+1, …, nℤ +(n-1) En consecuencia como ℤ/nℤ = nℤ, nℤ+1, …, nℤ +(n-1), concluimos demostrando el siguiente teorema: Sobretodo si se tiene en cuenta que si i,j∈0,1,2, …,n-1, entonces Rn(i)+ Rn(j)= (nℤ+i)+ (nℤ+j)= (nℤ+i+j)= (nℤ+r), donde r es el residuo de dividir r+j, sumado usualmente en ℤ, entre n. Teorema 5.3.6.- Si ℤ es el grupo aditivo usual de los enteros, entonces <ℤ/nℤ, +> = <ℤ n

,+>, donde + es la suma de clases en ℤ/nℤ o equivalentemente, + es la suma residual modulo n,

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5.4 EJEMPLOS Ejemplo5.4.1.-Consideremos el grupo G=ℤ4xℤ6 y H = (0,0) ,(0,1) ,(0,2) ,(0,3), (0,4), (0,5)= <(0,1)>. Evidentemente H≾G y como G es abeliano, se tiene que H∆G. En consecuencia, según 5.1.17, G/H es un grupo, que de acuerdo al Corolario 5.1.21 cuenta con 4 elementos, puesto que o(G/H)=o(G)/o(H)=24/6=4. i) Pero como H, H+(1,0), H+(2,0), H+(3,0), son elementos diferentes (Ver Ejercicio 5.5.15), entonces ellos son todos los elementos de G/H. Además, puesto que evidentemente la biyección ξ de G/H en H, definida como ξ(H+(0,0))=0, ξ(H+(1,0))=1, ξ(H+(2,0))=2 y ξ(H+(3,0))=3, es un isomorfismo (Ver Ejercicio 5.5.15), concluimos que ℤ4xℤ2/<(0,1)>≈ ℤ4. Ejemplo 5.4.2.-Verifiquemos que (ℤ4xℤ6)/<(0,2)>≈ ℤ4xℤ2. En efecto, H=<(0,2)>=n(0,2)/nεℤ=(0,0),((0,2),(0,4)≾ (ℤ4xℤ6). Es decir H cuenta con tres

elementos y como GG==ℤ4xℤ6 tiene 24 elementos, el Corolario 5.1.21. nos indica que o(G/H)=8 y en consecuencia, G/H=H, H+(0,1), H+(1,0), H+(1,1), H+(2,0), H+(2,1), H+(3,0), H+(3,1) (Ver Ejercicio 5.5.15). Definamos ahora δ de G/H en G` = ℤ4xℤ2, de la siguiente manera: δ(H+(0,0))=(0,0), δ(H+(0,1))=(0,1), δ(H+(1,0))=(1,0), δ(H+(1,1))=(1,1), δ(H+(2,0))=(2,0), δ(H+(2,1))=(2,1), δ(H+(3,0))=(3,0), y δ(H+(3,1))=(3,1). Como dicha biyección es un homomorfismo de G/H sobre G`, concluimos que G/H≈G`.

5.5 EJERCICIOS 5.5.1- Acudiendo a la Definición de operación (Definición 1.1.1), demuestre que si G es una estructura algebraica y ℘ es una partición de G, entonces el producto de clases en ℘ está bien definido, si y sólo si satisface la cerradura en ℘. 5.5.2-Si G es un conjunto y ℘ es una partición de G, demuestre que cada elemento de G está ubicado en un único elemento de ℘. 5.5.3.-Demuestre directamente, que si G es una estructura algebraica asociativa y ℘ es una partición de G tal que el producto de clases está bien definido en ℘, entonces ℘ es una estructura algebraica asociativa. 5.5.4.-Relativo al Teorema 5.1.7., demuestre que si B∈℘ entonces el Sε℘ tal que SB=BS=K es S=B-1=b-1/b∈B. 5.5.5-Si G es un grupo, H≼G y a,b∈G, demuestre que Ha=Hb si y sólo si ab-1∈H. En particular Ha=H, si y sólo si a∈H.

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5.5.6. Demuestre que si H≼G tal que IH(G) = 2, entonces H∆G. Sug[Suponga G = H∪Hα

(1), para algún α∈G y α∉H. De tal manera que si g∈G y g∉H, Hg = Hα. Pero como gH =

Hα, entonces Hg = gH y por lo tanto H∆G.

Si N∆G y H~≼G/N, demuestre que existe H≼G tal que H~ = H/N.

5.5.7-Si G = S3, demuestre : i) H=io,u3≾G. ii)Hg/gεG = H, i1,u1,i2,u2 iii)gH/gεG=.H, i1,u2, i2,u1. 5.5.8.-Demuestre que Si G es un grupo y N∆G, entonces (Ng)n=Ngn, si g∈G y n∈ℤ. 5.5.9.- Relativo al Teorema 5.3.5, con base en la definición de subgrupo normal, demuestre directamente que N/K∆G/K .Además verifique que τ es una función y que τ(Ν)=N/K. 5.5.10.-Sean G es un grupo, a,b∈G y H≼G, por definición diremos que a≡b modH, si ab-1εH. Demuestre: i) ≡ es una relación de equivalencia en G. ii) Si c(a)=x∈G/x≡a modH, entonces c(a)=Ha. iii)Si a,b∈G, entonces c(a)c(b)=c(x), si y sólo si ab≡x modH. iv) Si G=ℤ y H=nℤ, entonces para a,b∈ℤ, a≡b modn si y sólo si a≡b modH. 5.5.11.- Si p en número primo y a,b∈ℤ, demuestre que (a+b)p≡ap+bp modp. ¿Que pasa si p no es número primo? 5.5.12.-Si G es un grupo y H y K son subgrupos de G, demostrar: i) HK≾G, si y sólo si HK=KH. ii) Si H y K son subgrupos finitos de G, entonces o(HK)=o(H)o(K)/o(H∩K). iii) Si o(H)> )G(o y o(K)> )G(o , entonces H∩Ke. 5.5.13.- Si o(G)=pq, con p y p primos tales p>q, entonces G tiene a lo más un subgrupo de orden p. Sug[ Si H y K fueran dos subgrupos de orden p, entonces o(H)> )G(o y o(K)>

)G(o . Por lo tanto, según 5.5.12 (iii), H∩Ke. Pero como o(H∩K)o(H) y o(H∩K)o(K) y p es primo, entonces o(H∩K)=p. Luego H∩K=H y H∩K=K, puesto que H∩K≾H y H∩H≾K. 5.5.14- Relativo al Teorema 5.2.8, demuestre:

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i)Si G es un grupo tal que o(G)=nm, donde n y m son enteros mayores que 1 y aεG tal que ane, demuestre que H=<an> es un subgrupo no trivial de G.¿Porque no se pierde generalidad al considerar kε ℤ+, como consecuencia de que aε<a2>? ¿ Que pasa si kεℤ -? 5.5.15.-Relativo al Ejemplo 5.4.1, demuestre que H, H+(1,0), H+(2,0), H+(3,0) son diferentes entre si y similarmente en 5.4.2, H, H+(0,1), H+(1,0), H+(1,1), H+(2,0), H+(2,1), H+(3,0), H+(3,1), son diferentes entre si.

5.5.16.-Calcular G=ℤ2xℤ4/<(0,2)>.Demuestre que el subgrupo cíclico H=<(0,2)> de ℤ2xℤ4

tiene dos elementos. Además encuentre con cual de los dos grupos con cuatro elementos es isomórfico el grupo G. 5.5.17.-Sean G un grupo y aεG tal que a5=e. Si bεG para el cual aba-1=b2, calcule o(b).Sug[Demuestre por inducción, que b2n=abna-1.para cualquier nε ℤ+, (1) En particular b32=ab16a-1. Al sustituir sucesivamente b16 por b8, b8 por b4 b4 ,por b2,y b2 por b, de acuerdo a (1) obtenemos que b32=a5ba-5]. 5.5.18.- Demuestre que la intersección de una familia de subgrupos normales de un grupo G, es un subgrupo normal de G. 5.5.19-Si G es un grupo y gεG, demuestre que ig:G→G, definida como ig(x)=gxg-1, es un isomorfismo. Demuestre además: i) Si Γ(G)=ig/gεG y o=composición de funciones, entonces <Γ(G) , o> ≼ <SG, o>, donde SG=f:G→G/f es una biyección.ii) T:G→Γ(G), definida como gT=ig es un homomorfismo de grupos, cuyo núcleo es Z(G)=Centro de G=gεG/para cualquier xεG, xg=gx. Y en consecuencia G/Z(G)≈Γ(G). Γ(G) es conocido como el grupo de los automorfismos interiores de G. 5.5.20 Si H y N son subgrupos de G y N∆G, demuestre: i) (H∩N)∆H; ii) HN=NH iii) HN≼G; iv) N∆HN;. v) HN/N=⎨Nh/h∈H⎬, vi) HN/N≈H/(H∩N). 5.5.21.-Si G es un grupo abeliano finito y p es un primo tal que pno(G), pero pn+1o(G), para algún nεℤ+, demuestre que tiene un subgrupo de orden pn. (Teorema de Sylow para grupos abelianos) Sugerencia[Demuéstrelo primero para n=0. Si n>1,i) considere S =gεG/np = e, donde n=pk, para algún kεℤ y demuestre que S≼G. ii) Demuestre que o(S)=pb, con bεℤ y 0<b≤n. Para ello tenga en cuenta que si existe q primo qp ,tal que qo(S), entonces es posible encontrar aεS, con la propiedad o(a)=q, pero como an =e, donde n=pk, para algún kεℤ, se tendría que qpk, lo cual no es posible.

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iii)Descarte la posibilidad b<n, razonando por el absurdo. Es decir suponga que b<n y obtenga po(G/S) y por consiguiente existe, según el Teorema 5.2.10, SgεG/G, SgS tal que o(Sg)=p. O sea que (Sg)p=S. iv)Por último demuestre que gεS para concluir en la contradicción Sg=S. 5.5.22.- Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: I. )Si G es un grupo y ℘ es una partición de G, entonces el producto de clases está bien

definido en ℘. II. )Si G es un grupo y ℘ es una partición de G, entonces el elemento de ℘ que contiene al

módulo de G es un subgrupo de G. III.)Si G es un grupo y ℘ es una partición de G, es posible encontrar un elemento de G, que

figure simultáneamente en dos integrantes diferentes de ℘. IV.) Si G es un grupo y ℘ es una partición de G, tal que el elemento de K de ℘ que contiene

al módulo de G es un subgrupo de G, entonces el producto de clases está bien definido en ℘.

V. ) Si G es un grupo es posible encontrar ℘ partición de G,tal que el producto de clases esté bien definido en ℘ y a pesar de ello, ℘ no sea un grupo.

VI.) Si G es un grupo y ℘ es una partición de G, tal que el producto de clases es una operación en ℘, entonces ℘ es un grupo.

VII.) Si G es un grupo y ℘ es una partición de G, tal que el elemento K de ℘, que contiene al módulo de G es un subgrupo de G, entonces los elementos de ℘ son de la forma Kg, para algún gεG.

VIII.)Si G es un grupo y H≼G, entonces siempre que gεG, se tiene que Hg=gH. IX.) Si G es un grupo y H≼G, entonces Hα=Hß, siempre que α,ßεG. X. ) Si G es un grupo H∆G y Hα=Hß, siempre que α,ßεH, entonces α=ß. XI.) Si G es un grupo y N∆G, entonces G/N, con el producto de clases es un grupo. XII.) Si G es grupo y N∆G, entonces Nα=αN, si αεG. XIII.) Si G es un grupo finito, H≼G Y α,ßεG, entonces o(Hα)=(ßH). XIV.)Si G es un grupo infinito y H≼G, entonces Hg/gεG es infinito. XV.) Si G es un grupo finito y H≼G, entonces o(H)o(G). XVI.) Si G es un grupo finito y nε ℤℤ + tal que no(G), entonces existe H≤G tal que o(H)=n. XVII.) SI G es un grupo finito y nε ℤℤ + tal que no(G), entonces existe H≤G tal que o(H)=n. XVIII.)Todo grupo cíclico finito es de orden primo. XIX.)Todo grupo de orden primo es cíclico. XX.) Existen grupos cíclicos que no son abelianos. XXI.)El recíproco del Teorema de Lagrange, nunca es válido. XXII.) Si G y G` son grupos y N∆G, entonces cualquier homomorfismo de grupos, de G en

G`, tiene núcleo n. XXIII.)Si f:G→G` es un homomorfismo de grupos, cuyo núcleo es N, entonces G/N≈G`. XXIV.)Si f:G→G` es un homomorfismo de grupos sobreyectivo, de núcleo N, entonces

G/N≈G`. XXV.)Si G es un grupo y H∆K∆G, entonces K/H∆G/H. XXVI.)Si H es un grupo y H∆K∆G, entonces K/H∆G/K.

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XXVII.Si G es un grupo, aεG y p es un primo tal que ap=e,entonces o(a)=p.

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CAPÍTULO 6 ANILLOS COCIENTES

6.1 SUMA Y PRODUCTO DE CLASES A semejanza de los grupos estamos interesados en analizar las características de una partición ℑ de una anillo A, para que ℑ con la suma y el producto de clases definida en 5.1.1 sea un anillo. El problema está resuelto parcialmente, porque al ser A un anillo, en particular <A , +> es un grupo abeliano y en consecuencia, según el Teorema 5.1.7 basta con que la suma de clases esté bien definida en ℑ, para que ℑ con dicha operación sea un grupo. Además de acuerdo al mismo teorema, el que la suma de clases sea una operación en ℑ implica la existencia de un subgrupo U de <A , +> tal que ℑ=A/U=U+a/a∈A. A pesar de que la normalidad de U en <A ,+> garantiza, según 5.1.17., que ℑ con la suma de clases sea un grupo, ello no basta, siquiera para asegurar que el producto de clases esté bien definido en ℑ. Por ejemplo el anillo ℤ de los números enteros cuenta a U=2ℤℤ, como uno de sus subgrupos aditivos, sin embargo el producto de clases, en el sentido de la Definición 5.1.1, no es una operación en RR/U, puesto que 2ℤ2ℤℤ=4ℤ∉∉ℤℤ/2ℤ. (Ver Ejercicio 6.5.3). El razonamiento anterior nos indica que no basta con que U sea un subgrupo aditivo del anillo A , para que A/U con la suma y multiplicación de clases sea un anillo. Es decir U debe cumplir otros requisitos adicionales. Para encontrarlos acudiremos al método utilizado en lo grupos, consistente en considerar resuelto el problema y sobre esa base indagar acerca de el o de los requisitos faltantes. Es decir, aceptando que A es un anillo y U≼<A , +>, vamos a suponer que A/U=U+a/a∈A, con la suma y producto de clases es un anillo, y veremos que cualidades se infieren para U. En general si ℑ es una partición de un anillo A tal que ℑ es a su vez es un anillo, con la suma y multiplicación de clases, en particular la suma es una operación en ℑ y de acuerdo al 5.1.15 existe U≾<A , +>, tal que ℑ=U+a/a∈A=a+U/a∈A. Además como el producto de clases es también una operación en ℑ, tenemos que para α,ß∈A, (U+α)(U+ß)=U+γ, para algún γ∈A. Veamos que en las condiciones anteriores U+γ=U+αß. En efecto, αß∈U+αß, porque αß=0+αß∈U+αß, puesto que 0∈U. Pero también αß∈U+γ, ya que αß=(0+α)(0+ß)∈(U+α)(U+ß)=U+γ. Por lo tanto U+γ = U+αß. Luego (U+α)(U+ß)=U+αß *.

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La igualdad * permite deducir que U además satisface la condición I2 de la Definición de ideal (4.7.10), ya que si α∈A, U(U+α) = U (1) y (U+α)U=U (2). Infiriéndose de (1) y (2), que para cualquier α∈A y u∈U se tiene que uα,αu∈U. Es decir, U es un ideal de A. Así hemos demostrado el siguiente teorema: Teorema 6.1.1. Si A es un anillo y ℑ es una partición de A, tal que ℑ con la suma y multiplicación de clases es un anillo, entonces existe un ideal U de A tal que ℑ =U+a/a∈A=a+U/a∈A. 6.1.2 Si aceptamos la Definición de producto de clases tal como se planteó en 5.1.1, el recíproco del Teorema 6.1.1 no es válido. Es decir, si ℑ=U+a/a∈A, donde U es un ideal del anillo A, no siempre ℑ, con el producto de clases, en el sentido de la Definición 5.1.1, es un anillo. Por ejemplo: 2ℤℤ es un ideal del anillo ℤℤ de los enteros. Pero el producto de clases, en el sentido de la Definición 5.1.1, no es una operación en ℤ/2ℤ=2⎫+z/z∈ℤ, puesto que 2ℤ.2ℤ = 2z.2z`/z,z`∈ℤ = 4u/u∈ℤ=4ℤ∉2ℤ+z/z∈ℤ.(Ver Ejercicio 6.5.3 ) 6.1.3 El ejemplo presentado en 6.1.2 muestra la necesidad de replantear la Definición 5.1.1, para el caso <A , o>, que nunca es un grupo, al menos que A=0, si A es un anillo. En esa línea presentamos la siguiente definición, en la que al aceptar que U es un ideal de A, podemos entender que A/U=U+a/a∈A=a+U/a∈A. Definición 6.1.4.Si A es un anillo y U es un ideal de A, definimos el producto de clases en A/U, de la siguiente manera: Si α,ß∈A, entonces (U+α)(U+ß)=(U+αß), donde la operación en αß es la de <A , o>. Teorema 6.1.5 Si A es un anillo y U es un ideal de A, entonces A/U, con la suma y el producto de clases, es un anillo. Demostración.- Al ser U un ideal del anillo A, tendremos, según la Definición 4.7.10, que U≾≼<A, +> y además, como <A ,+> es abeliano, entonces U∆<A , +> y en consecuencia, de acuerdo a 5.1.17 se puede aceptar que A/U, con la suma de clases es un grupo que hereda el carácter abeliano de <A , +>. Razón por la cual, para concluir que A/U es un anillo, resta verificar únicamente Aii y Aiii de la Definición 3.1.1, previa comprobación de que el producto de clases es una operación en A/U. Verifiquemos en primer lugar que el producto de clases es una operación en A/U: Evidentemente el procedimiento señalado en la Definición 6.1.4 puede ser aplicado a cualquier par de elementos de A/U y el resultado es nuevamente un elemento de A/U. Es decir, el producto de clases, satisface Oi y Oii, del Corolario 1.1.17. Veamos que también satisface Oiii.

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Sean U+α, U+α’, U+ß, U+ß’∈A/U tales que U+α= U+α’ y U+ß=U+ß`, y demostremos que (U+α)(U+ß)=(U+α`)(U+ß`). En efecto, como U+α=U+α` y U+ß=U+ß`, entonces según 5.1.19, α-α`,ß-ß`∈U y en consecuencia existirán u,u`∈U tales que α-α`=u y ß-ß`=u`, es decir α=u+α` y ß=u`+ß`. Por lo tanto αß=(u+α`)u`+uß`+α`ß`. Igualdad que podemos transformar en αß-α`ß`=(u+α`)u`+uß`. Pero como u+α`,ß`∈A y u,u`∈U, la condición I2 de la Definición 4.7.10, implica que (u+α`)u`,uß`∈U y al aplicar la condición I1 de la misma, obtenemos que αß-α`ß`∈U, resultado que nos permite inferir, de acuerdo a 5.1.19, que U+αß=U+α`ß`. Es decir, por la Definición 6.1.4, (U+α)(U+ß)=(U+α`)(U+ß`). En vista de que ya tenemos asegurado el carácter de operaciones en A/U de la suma y el producto de clases y que <A/U,+> es un grupo abeliano; al referirnos a las condiciones A2 y A3, de la Definición 3.1.1., observamos que ellas son consecuencia inmediata, de la asocia-tividad en <A , o>, y de validez de las dos leyes distributivas en A. Concluyéndose así que <A/U, +, o> es un anillo. 6.1.6. El anillo A/U de 6.1.5 es conocido como un anillo cociente de A.

6.2. TEOREMAS DE HOMOMORFISMOS Persistiendo en el estilo de presentar los conceptos sobre grupos y sus análogos en anillos, veremos que las versiones de los teoremas 5.3.1 , 5.3.2 y 5.3.5. en anillos cocientes son también válidas. Como todo homomorfismo de anillos es en particular un homomorfismo de grupo aditivo, en el sentido señalado por 3.4.2 , los homomorfismos construidos para demostrar lo relativo a teoremas 5.3.1 , 5.3.2 y 5.3.5, serán piezas fundamentales en la comprobación de las versiones aludidas. Entremos entonces en materia. Teorema 6.2.1- Si U es un ideal de un anillo A, entonces existe un homomorfismo de anillos definido en A, cuyo núcleo es U. Demostración.- Al ser A un anillo y U uno de sus ideales, las Definiciones 3.1.1. y 4.7.10, indican que <A , +> es un grupo abeliano y U≼<A , +>. En consecuencia U∆<A , +> y de acuerdo al Teorema 5.3.1 , existe un homomorfismo definido en A de núcleo U. En el desarrollo de la demostración de dicho teorema construimos para tal fin un homomorfismo cuya versión a nuestra situación es f:A→A/U, definido como f(a)=U+a. Por lo tanto, según la Definición 3.4.1, para mostrar que f es el homomorfismo de anillos conveniente a nuestro propósito, únicamente resta verificar que f(ab)=f(a)f(b), si a,b∈A. El resultado es de comprobación inmediata, ya que por aplicaciones sucesivas de la definiciones de f y del producto en A/U, se tiene que f(ab)=U+ab=(U+a)(U+b)=f(a)f(b).

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Luego f es un homomorfismo de anillos definido en A de núcleo U.. La versión del Teorema 5.3.2. a nuestra situación es: Teorema 6.2.2.- Si f:A→A` es un homomorfismo de anillos de núcleo U, entonces A/U≈f(A). Demostración. Según 3.4.2 al ser f:A→A` un homomorfismo de anillos, se tiene que f:<A , +>→<A` ,+> es un homomorfismo de grupos, razón por la cual el Teorema 5.3.2, nos orienta indicando que <A , +>/U≈<f(A) ,+>, mediante el isomorfismo de grupos W:<A , +>/U→f(A), definido como W(U+a)=f(a), si a∈A. Pero como además las definiciones de W, de producto en A/U y el carácter de homomorfismo de f, garantizan que : W((U+a)(U+b))=W(U+ab)=f(ab)=f(a)f(b)=W(U+a)W(U+b), se deduce que W es un isomorfismo sobreyectivo de anillos y en consecuencia <A ,+>/U≈f(A). Corolario. 6.2.3- Si f:A→A` es un homomorfismo sobre de anillos cuyo núcleo es U, entonces A/U≈A`. Demostración.- Es inmediato porque f(A)=A` si f es sobre, y por consiguiente el Teorema 6.2.2 implica que A/U≈A`. Con relación al Teorema 5.3.5 tenemos la siguiente adaptación al lenguaje de los anillos: Corolario 6.2.4.- Si f:A→A` es un homomorfismo de anillos sobreyectivo de núcleo U, entonces A`/I`≈A/I≈(A/U)/(I/U), donde I` es un ideal de A` e I=f-1(I`) Demostración.- Como I e I` son ideales de A y A`, respectivamente, por la Definición 4.7.10. y por ser <A , +> y <A` , +> grupos abelianos, inferimos que I∆<A , +> e I`∆<A` ,+>. Teniendo en cuenta además que f:<A , +>→<A` , +> es un homomorfismo de grupos sobreyectivo, el desarrollo de la demostración del Teorema 5.3.5 nos informa: i) <A` ,+>/I`≈<A ,+>/I, mediante el isomorfismo sobreyectivo Γ:A/I→A`/I`, definido como Γ(I+a)=I`+f(a), si a∈A, y ii) La función ϕ:<A , +>/U→<A ,+>/I, definida como ϕ(U+a) =I+a, si a∈A, es un homomorfismo de grupos, sobreyectivo, de núcleo I/U. Pero como: Γ([I+a][I+b]) = Γ(I+ab) = I`+f (ab) = I`+f(a)f(b) = (I`+f(a))(I`+f(b)) = Γ(I+a)Γ(I+b), se deduce que Γ es un isomorfismo sobreyectivo de anillos y por consiguiente A`/I`≈A/I. (1) Con relación a ϕ tenemos : ϕ([U+a][U+b])=ϕ(U+ab)=I+ab=(I+a)(I+b)=ϕ(I+a)ϕ(I+b). Y en consecuencia © es un homomorfismo de anillos de núcleo I/U y el Corolario 6.2.3 nos lleva a la conclusión (A/U/)(I/U)≈A/I, o equivalentemente a A/I≈(A/U)/(I/U) (2)

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Por último al aplicar la transitividad de los isomorfismo de anillos, demostrada por el Teorema 3.4.4, obtenemos: A`/I`≈A/I≈(A/U)/(I/U) En el Teorema 5.3.6., demostramos que si ℤ es el grupo aditivo usual de los números enteros y n∈ ℤ +, entonces ℤ/nℤ == ℤ n. Pero como nℤ es un ideal del anillo de los enteros ℤ ,, el Teorema 6.1.5 garantiza el que ℤ/nℤ sea un anillo. Entonces < ℤ/nℤ ,,++,,oo>>== <ℤ n +,o>, donde (nℤ +i) + (nℤ +j)= nℤ +r, siendo r el residuo de dividir i+j, sumado usualmente en ℤ, entre n. Y análogamente (nℤ +i) (nℤ +j)= nℤ +s, con s el residuo de dividir ij, multiplicado usualmente en ℤ , entre n. Eso demuestra el siguiente resultado Teorema 6.2.5- Si ℤ es el anillo de los enteros y n∈ ℤ +, entonces como anillos ℤ/nℤ = ℤ n . Otro resultado interesante es el siguiente: Teorema 6.2.6.- Si ℤ es el anillo de los enteros y p∈ ℤ +, entonces ℤ/pℤ es un campo, si y sólo si p es un entero primo. Demostración.- Si p es número primo, el Corolario 3.3.8 implica que ℤp es un campo. Pero como según 6.2.5. ℤ/pℤ =ℤ p, concluimos que ℤ /pℤ es un campo. Recíprocamente, si ℤp es un campo, el Teorema 3.3.4 nos informa que ℤp es un dominio entero y por lo tanto p es un número primo, porque si no lo fuera, tendríamos que p=nm, con n,m∈2,3, ... ,p-1 y por consiguiente nm≡0 modp,.pero como n ≡/ 0 modp y m ≡/ 0 modp,

entonces n y m son divisores de cero no nulos en ℤp y así ℤp no es un dominio entero y por lo tanto según el Teorema 3.3.4, se tiene que ℤp no es un campo.Luego p es un número primo. Finalizaremos esta sección demostrando el Teorema Chino del Residuo, conocido así porque el tipo de problema planteado ha sido encontrado en literatura china antigua. El resultado es atribuido a Sun Tsun (s.I.d.c). Una versión particular de este viejo acertijo, consiste en encontrar dos enteros positivos mínimos, que tengan residuos 2,3, y 2, cuando sean divididos por 3,5 y 7, respectivamente. Observe que los números 233 y 338 al ser divididos por 3, 5 y 7, tienen, respectivamente residuos 2,3 y 2. El problema plantea la discusión sobre el mínimo de tales pares de enteros. ¿ Serán 233 y 338, los mínimos?. Veamos como se resuelve: Cualquier k∈ ℤ + que al dividirse por 3 tenga residuo 2 es de la forma 3n+2, donde n∈ ℤ +. Pero como al ser dividido por 5, debe tener residuo 3, entonces 3n+2≡3 mod5 y por consiguiente 3n≡1 mod5. Al multiplicar por 2 en ambos lados de la congruencia anterior,

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obtenemos que 6n≡2 mod5 y como n≡6n mod5, tendremos que n≡2 mod5, entonces n=2+5x, para algún x∈ ℤ. Por lo tanto al multiplicar por 3 y sumar 2 en ambos lados, 3n+2 =8+15x.(1) Hasta aquí hemos obtenido que K=8+15x/x∈ ℤ + es el conjunto de todos los enteros positivos que tienen residuo 2 y 3, respectivamente, cuando son divididos por 3 y 5. Pero como también los elementos de K deben tener residuo 2, al ser divididos por 7, tenemos que 8+15x≡2 mod7, y como 1+x ≡8 +15x mod7, se deduce que 1+x≡2 mod7. Luego x≡1 mod7, lo cual implica que x=1+7y, para algún y∈ ℤ + y al sustituir en (1), obtenemos que 3n+2=23+105y. (2). De la igualdad (2), se infiere que lo dos enteros positivos mínimos de la forma 3n+2, se obtienen cuando y=0 y cuando y=1. Ellos son entonces 23 y 128. El Teorema Chino del Residuo insinúa que el acertijo es solucionable, siempre que los módulos sean primos relativos. Con esa finalidad demostraremos el siguiente Lema: Lema 6.2.7.- Si ℤ es el anillo de los enteros y m1,m2, ... ,mr∈ℤ +, tales que m1,m2, ... ,mr son primos relativos entre si y m=m1m2 ... mr, entonces ℤ/mℤ≈ (ℤ/m1ℤ)x(ℤ/m2ℤ)x ...x(ℤ/mrℤ), como anillos. Demostración. Con la finalidad de aplicar el Corolario 6.2.3, construiremos un homomorfismo del anillo de los enteros ℤ sobre el anillo K=(ℤ/m1ℤ)x(ℤ/m2ℤ)x ...x(ℤ/mrℤ), cuyo núcleo sea mℤ. Para ello definamos f: ℤ→K, como f(z)=(m1ℤ+z, ...,mrℤ+z). Evidentemente f es función (Ver Ejercicio 6.5.5). También es evidente que f es un homomorfismo de anillos, puesto que si z1,z2∈ℤ, entonces: f(z1+z2)=(m1ℤ+(z1+z2), ... ,mrℤ+(z1+z2) =((m1ℤ+z1)+(m1ℤ+z2), ..., (mrℤ+z1)+(mrℤ+z2) = (m1ℤ+z1, ... ,mrℤ+z1)+(m1ℤ+z2, ... ,mrℤ+z2)=f(z1)+f(z2) Además: f(z1.z2)=(m1ℤ+(z1.z2), ... ,mrℤ+(z1.z2) =((m1ℤ+z1).(m1ℤ+z2), ..., (mrℤ+z1).(mrℤ+z2) =(m1 ℤ+z1, ... ,mrℤ+z1).(m1ℤ+z2, ... ,mr ℤ+z2)=f(z1).f(z2). Indaguemos enseguida por el núcleo N de f: Si z∈N, ello equivale a afirmar que f(z) es el cero de K. Pero como el cero de K es (m1ℤ , ... ,mrℤ), tendremos (m1 ℤ+z, ... ,mr ℤ+z) =(m1ℤ, ... ,mrℤ) y por consiguiente m1ℤ +z=m1ℤ, ... ,mr ℤ+z=mrℤ entonces, según 5.1.19, para i∈1,2, …,rse tiene que z∈ mi ℤ y por eso y por lo tanto existirán x1, ... xr∈ ℤ tales que z = m1x1= ... =mrxr. Luego según la Definición 3.1.29, m1z , ... ,mrz. Pero como m1, ... ,mr son primos relativos entre si, mz (Ver Ejercicio

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6.5.11) y en consecuencia z=mn, para algún n∈ ℤ, implicando ello que z∈m ℤ,, razón para concluir que N⊆⊆mm ℤ, para i∈1,2, …,r. (1). Recíprocamente, si z∈mℤ, entonces z=mn, para algún n∈Z. Pero como mn=m1(m2. ... .mrn)=m2(m1. ... .mrn)= ... =mr(m1. ... .n), se deduce que z∈m1ℤ, ... ,z∈mrℤ. y por lo tanto tenemos que f(z)= (m1ℤ, ... , mrℤ)) yy aassíí zz∈∈NN.. Luego mℤ ⊆⊆ N (2). De (1) y (2) concluimos que N=mℤ

Por último como según el Teorema 6.2.2: (ℤ/mℤ )≈f(ℤ), se deduce la existencia de un homomorfismo de anillo inyectivo de (ℤ/mℤ ) en ((ℤ/m1ℤ)x(ℤ/m2ℤ)x ...x(ℤ/mrℤ) que resulta ser sobreyectiva ya que o(ℤ/mℤ )= o((ℤ/m1ℤ) x (ℤ/m2ℤ)x ...x(ℤ/mrℤ), puesto que o(ℤ/mℤ )=m y o((ℤ/m1ℤ)x(ℤ/m2ℤ)x ...x(ℤ/mrℤ)=m1m2. … .mr=m. Entonces (ℤ/mℤ )≈((ℤ/m1ℤ)x(ℤ/m2ℤ)x ...x(ℤ/mrℤ) Ahora si demostremos el Teorema Chino del Residuo generalizado. Teorema 6.2.8.-Si m1,m2, ... ,mr∈ ℤ +, m1,m2, ... ,mr son primos relativos entre si, y n1,n2, ... ,nr son enteros positivos arbitrarios, entonces las ecuaciones x≡n1 modm1, ... ,x≡nr modmr (1), tienen una única solución simultánea en ℤ, módulo m.= m=m1m2 ... mr Además (1) tiene una única solución b∈ℤ tal que 0<b≤m. Es decir (1) tiene una solución entera mínima. Demostración.- En el desarrollo de la demostración del Teorema 6.2.7, verificamos que la función f: ℤ →K, definida como f(z) =(m1 ℤ +z, ... ,mr ℤ +z), es un homomorfismo sobreyectivo. Por lo tanto, al considerar (m1ℤ+n1, ... ,mrℤ+nr)∈K, debe existir a∈ℤ tal que (m1ℤ+a, ... ,mrℤ+a)=(m1 ℤ+n1, ... ,mrℤ+nr) y por ello se tiene que m1ℤ+a=m1ℤ+n1, ... ,mrℤ+a=mrℤ+nr. En consecuencia, de acuerdo 5.1.19, a-n1∈m1ℤ, ... ,a-nr∈mrℤ , obteniéndose así: a≡n1 modm1, ... ,a≡nr modmr, lo cual implica a su vez que a es solución del sistema x≡n1 modm1, ... ,x≡nr modmr.(1) De otra parte, si b∈ℤ es cualquier otra solución de (1), las propiedades simétrica y transitiva de la ≡modn implican que b≡a modmi, para i=1,2, ...,r. Entonces mib-a para cada i=1,2, ... ,r. Pero como los mi son primos relativos, m=m1. ... .mrb-a, infiriéndose el que a≡b modm. Es decir a es la única solución en ℤ, módulo m de (1). El resultado anterior permite afirmar que S=a+tm/t∈ℤ es el conjunto de todas las soluciones en ℤ de (1). Por lo tanto, para demostrar que (1) tiene una única solución b∈ℤ tal que 0<b≤m, basta verificar que la inecuación 0<a+tm≤m, tiene una única solución t∈ℤ. Ello es inmediato, porque las soluciones de dicha ecuación se ubican en el intervalo (-a/m , (-a/m)+1], que por tener longitud 1, contiene un único entero.

260

6.3.-IDEALES PRIMOS E IDEALES MAXIMALES. Nuestro objetivo consiste en indagar cuales deben ser las características de un ideal I en un anillo A conmutativo con elemento unitario, para que A/I sea o un dominio entero o un campo. En esa línea planteamos el siguiente resultado: Evidentemente si F es un campo e I es un ideal de F, entonces F/I también es un campo.(Ver Ejercicio 6.5.4), pero si F fuera un dominio entero, esa cualidad no necesariamente la heredaría F/I. El siguiente contraejemplo lo confirma: Ejemplo 6.3.1. El anillo de los entero ℤ es un dominio entero, pero ℤ/4ℤ, no lo es, puesto que 4ℤ +2 es un divisor de cero no nulo en dicho anillo, ya que (4ℤ +2)(4ℤ +2)=4ℤ y 4ℤ es el cero de ℤ /4ℤ. Más aún, es posible que A/I sea un dominio entero a pesar de que A no lo sea. Comprobemos esa afirmación mediante el siguiente ejemplo. Ejemplo 6.3.2-Sea A =ℤxℤ y U=n(0,1)/n∈ℤ. Entonces A no es un dominio entero, pues (0,1) es un divisor de cero no nulo en A, ya que (0,1)(1,0)=(0,0). Pero evidentemente U es un ideal de A (Ver Ejercicio 6.5.10). Veamos que a pesar de ello A/U es un dominio entero. En esa línea al analizar la forma que tienen los elementos de A/U, observamos que cualquier X=U+(m,n)∈ℤxℤ/U, de acuerdo a 5.1.19, es tal que X=U+(m,0), ya que (m,n)-(m,0)=(0,n)∈U. Además, si (U+(m,0))(U+(k,0))=U, entonces U+(mk,0)=U y por 5.1.19, (mk,0)∈U. En consonancia con la definición de U, se tiene que mk=0. Pero como m,k∈ℤ y ℤ es un dominio entero, el Teorema 3.3.1, nos indica que m=0 o k=0, lo cual a su vez implica que U+(m,0)=U o U+(k,0)=U, obteniéndose, nuevamente con base al Teorema 3.3.1, que A/U es un dominio entero. 6.3.3.-Si en el ideal U del ejemplo anterior consideramos que (m,n)(r,s)∈U, se infiere que (mr,ns)∈U,es decir nr=0, pero como esta última igualdad acontece en ℤ, se deduce que n=0 o r=0 y por lo tanto o (m,n)∈U o (r,s)∈U. Hemos demostrado que el ideal U satisface la implicación: Si ab∈U, entonces a∈U o b∈U, cualidad que no es común a todos los ideales. Por ejemplo, en el ideal 6ℤ de ℤ, se tiene que 12= 4.3∈6ℤ y a pesar, de ello, 4∉6ℤ y 3∉6ℤ. A los ideales del ejemplo en cuestión, los clasificaremos de la siguiente manera:

261

Definición 6.3.4.- Si A es un anillo y U es uno de sus ideales, diremos que U es un ideal primo de A, si para cada a,b∈A, se tiene que si ab∈U, entonces a∈U o b∈U . Esquemáticamente la definición anterior se presenta así: Si A es un anillo y U es un ideal de A, entonces U es un ideal primo de A ⇔(∀a,b)(a,b∈A∧ab∈U⇒a∈U∨b∈U) El siguiente teorema caracteriza a los ideales primos en anillos conmutativos con elemento unitario. Teorema 6.3.5. Si A es un anillo conmutativo y U es un ideal de A, U≠A, entonces A/U es un dominio entero, si y sólo si U es un ideal primo de A. Demostración.- Si ab∈U, donde a,b∈A, 5.1.19 implica que U+ab=U o de manera equivalente que (U+a)(U+b)=U. Pero como esta igualdad acontece en A/U, al suponer que éste es un dominio entero, el Teorema 3.3.1 orienta que o U+a=U o U+b=U y en consecuen-cia, por 5.1.19, a∈U o b∈U. Hemos demostrado que si ab∈U, entonces a∈U o b∈U, lo cual implica, según la Definición anterior que U es un ideal primo. Recíprocamente si (U+a)(U+b)=U, al desarrollar la multiplicación de clases indicada, se obtiene que U+ab=U, es decir ab∈U, pero como U es un ideal primo, la Definición 6.3.4 nos permite afirmar que o a∈U o b∈U, obteniéndose de esta manera que U=U+a o U+b=b y por lo tanto, según el Teorema 3.3.1, A/U es un dominio entero. A semejanza de lo ocurrido con los dominios enteros, es factible que A/U sea un campo a pesar de que A no lo sea. Por ejemplo, si ℤ es el anillo de los enteros y U=pℤ, donde p es un entero primo, el Teorema 6.2.6 nos garantiza el que ℤ/pℤ sea un campo, a pesar de que ℤ no lo es. 6.3.6.- Verifiquemos enseguida que U=pℤ, si p es un primo en ℤ, es el último eslabón, antes de ℤ en cierta cadena ascendente de contenencia de ideales diferentes de ℤ En otros términos comprobaremos que U satisface la implicación: Si K es un ideal de ℤ tal que U⊆K⊆ ℤ, entonces o K=U o K= ℤ. En efecto, el Teorema 4.11.1 nos enseña que K=rℤ, para algún r∈ℤ pero como U⊆K y p∈U, se deduce que p∈K. Por esta razón p=rz, para algún z∈ ℤ,, yy ppoorr sseerr pp uunn nnúúmmeerroo pprriimmoo, la Definición 3.1.34 señala que o r=±1 o z=±1. Por lo tanto, K= ℤ o K=U. 6.3.7.Recordemos que a los ideales del tipo U=pℤ, con p un entero primo, los conocemos como maximales, en el sentido del Teorema 4.14.38, según el cual un ideal M de un anillo A, M≠A, es un ideal maximal de A, si siempre que U sea un ideal de A tal que M⊆U⊆A, es porque U=M o U=A. Es decir un ideal M de un anillo A es un ideal maximal de A, si y sólo si los únicos ideales de A que contienen a M son A y el mismo M.

262

6.3.8.-En el Ejercicio 4.8.7 se pidió demostrar que los únicos ideales de un campo F son los triviales, es decir 0 y F. En realidad, basta con que F sea un anillo con división para deducir que sus únicos ideales son los triviales.(Ver Ejercicio 6.5.9). 6.3.9.-También es inmediato verificar que si U es un ideal de un anillo con elemento unitario A, tal que 1∈U, entonces U=A, porque si a∈A, entonces como 1∈U también se tiene que 1a=a∈U. Luego A⊆U y puesto que U⊆A, concluimos que A=U. El que los anillos con división tengan como únicos ideales a los triviales indica que dicha situación con relación a los ideales de un anillo no garantiza que éste sea un campo. El anillo de los cuaterniones es un anillo cuyos únicos ideales son los triviales, por ser un anillo con división, pero sabemos que no es un campo. Otro ejemplo conocido es el siguiente: Ejemplo 6.3.10.- En A=M22(ℂℂ), el anillo de las matrices complejas 2x2, los únicos ideales son los triviales. En efecto, si I es un ideal de A e I≠0), entonces en I existe por lo menos una matriz no nula. Al respecto verifiquemos la imposibilidad de que las matrices no nulas de I sean únicamente matrices que tengan una fila nula, o únicamente matrices que tengan una columna nula. Si todas las matrices no nulas de I son de la forma A=(aij)2x2, donde a11≠0 o a12≠0 y a21=a22=0. Es decir si todos las matrices no nulas de I, tienen su segunda fila nula, entonces I no sería

ideal, porque ∉⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ba

00

00

ba

01

00I, si a≠0 o b≠0.

De manera análoga se demuestra que I no sería ideal, si todas sus matrices no nulas son tales que su primera fila es nula. De otra parte si todas las matrices no nulas de un ideal I en M22(ℂℂ) de I tienen la segunda

columna nula, entonces I no sería ideal, porque Ib0

a0

00

10

0b

0a∉⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ , si a≠0 o b≠0

De manera similar se descarta la posibilidad de que todas las matrices no nulas de I tengan la primera columna nula. Tampoco es posible que todas las matrices no nulas de I sean de la forma (aij) tales que a11≠0,

a22≠0, a21≠0 y a12≠0. Porque ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0010

aaaa

2221

1211 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

21

11

a0a0

∉I

De tal manera que si I es un ideal no nulo de A, entonces existen matrices L=(aij) tales que o a11≠0 y a22≠0 o a21≠0 y a12≠0.

263

Verificamos entonces si se trata de matrices de I de la forma

: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00

=C o 0 21

12

22

11

a

a

a

0aB , se tiene que al considerar las matrices

0

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

22

11

1/a

1/a=D o ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0

0=E

12

21

1/a

1/a, obtenemos que BD=∆ o CE=∆=Matriz

idéntica de A, razón para concluir, por ser I un ideal de A, que ∆∈I y de acuerdo a 6.3.9 deducir que I=A Luego los únicos ideales de I son los triviales y a pesar de ello M22(ℂℂ) no es un campo, porque las únicas matrices invertivas son aquellas con determinante diferente de cero. En seguida verificaremos la validez del siguiente teorema: Teorema 6.3.11.- Si F es un anillo conmutativo con elemento unitario cuyos únicos ideales son los triviales, entonces F es un campo. Demostración.- Para demostrar que F es un campo, según el Teorema 3.3.3, debemos verificar que <F*,o> es un grupo abeliano. Pero como por hipótesis <F*,o> es conmutativa y modulativa a la derecha, únicamente resta comprobar su carácter invertivo a la derecha. Consideremos r∈F* =F-0), definamos I=rx/x∈F y veamos que I es un ideal de F. Evidentemente, de acuerdo al Teorema 4.1.7, I≼<F , +>, porque rx-ry=r(x-y)∈I y por consiguiente I satisface la condición I1 de la Definición 4.7.10. Además también cumple I2 de la misma definición, puesto que las propiedades asociativas y conmutativas de <F , o>, infieren que si f∈F y rx∈I, entonces f(rx) = (rx)f = r(xf)∈I. Luego I es un ideal de F y por hipótesis I=0 o I=F. Pero como I≠0, puesto que r=r1∈I y r≠0, deducimos que I=F. Por lo tanto, como también por hipótesis 1∈F, tenemos que 1∈I y en consecuencia 1=rx, para algún x∈F. Es decir r admite inverso multiplicativo a la derecha en F, lo cual permite deducir que <F* , o> es invertiva a la derecha, ya que r es un elemento arbitrario de F. El siguiente teorema caracteriza a los ideales maximales en anillos conmutativos con elemento unitario. Teorema 6.3.12-Si A es un anillo conmutativo con elemento unitario y M≠A es uno de sus ideales, entonces M es un ideal maximal de A, si y sólo si A/M es un campo. Demostración.- En el desarrollo de la demostración del Teorema 6.2.1 encontramos que la relación ϒ:A→A/M, definida como ϒ (a) = M+a, es un homomorfismo de anillos, de núcleo M. Por lo tanto, de acuerdo al Teorema 4.7.12 v) existe una correspondencia biunívoca entre los ideales de A/M y los ideales de A que contengan a M. Este resultado es crucial para la demostración. En efecto, si A/M es un campo, 6.3.8 nos recuerda que sus únicos ideales son A/M y <M>, pero como existe una correspondencia

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biunívoca entre estos ideales y los ideales de A que contengan a M, únicamente existirán dos ideales de A que contienen a M. Así las cosas, como A y M son dos ideales de A, diferentes por hipótesis, que evidentemente contienen a M, entonces A y M serán los únicos ideales de A que contienen a M. El resultado anterior infiere que si U es un ideal de A tal que M⊆U⊆A, entonces o M=U o U=A. Luego según el Teorema 4.14.38, M es un ideal maximal de A. Recíprocamente, si M es un ideal maximal de A, ellos (M y A) son precisamente los únicos ideales de A que contienen a M y por la aludida correspondencia, A/M tendrá únicamente dos ideales, que deben ser los triviales, puesto que cualquier anillo los contiene. Como además A/M es conmutativo y tiene elemento unitario, porque dichas propiedades las hereda A/M de A concluimos, de acuerdo al Teorema 6.3.11, que A/M es un campo. Los siguientes ejemplos muestran el sentido práctico del Teorema 6.3.12. 6.3.13-Si ℤ es el anillo de los enteros, ℂℂ el campo de los números complejos, K=a+bi/a,b∈ℤ y M=x(2+i)/x∈K, donde i∈ℂℂ es tal que i2=-1, demostraremos: i) K es un subanillo del anillo de los números complejos ℂℂ, ii) M es un ideal de K tal que K/M≈ℤ5 y iii) M es un ideal maximal de K. i) Según el Teorema 4.3.3, para demostrar que K es sub-anillo de ℂℂ basta verificar que si a+bi,c+di∈K, entonces (a+bi)-(c+di),(a+bi)(c+di)∈K, pero esto es inmediato puesto que (a-c),(b-d), ac-bd,ad+bc∈ℤ y además como (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i y (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i, se infiere que (a+bi)-(c+di), (a+bi)(c+di)∈K ii) Evidentemente M es un ideal de K (Ver Ejercicio 6.5.8). Con la finalidad de probar que K/M≈ℤ5, examinemos la forma de los elementos de K/M para poder encontrar su relación con los de ℤ 5. Es inmediato que 5∈M, porque(2+i)(2-i)=5 y por definición de K, (2+i)∈M. Además, si X∈K/M, entonces X=M+(a+bi). Veamos ahora que es posible encontrar r∈ℤ tal que r∈[0 5) y M+(a+bi)=M+r. En efecto: Como M+(a+bi)=M+s, equivale a que a-s+bi∈M, y es posible encontrar c∈ℤ tal que a-s+bi=c(2+i), porque las ecuaciones a-s=2c y b=c, tienen soluciones c=b y s=a-2b, se deduce que M+(a+bi)=M+(a-2b). En consecuencia por el Teorema del Residuo (2.5.4) a-2b=5d+r, donde d,r∈ℤ y r∈[0,5), y así M+(a+bi)=M+(a-2b)=M +(5d+r)=M+r, ya que 5d∈M, puesto que 5∈M. Hemos demostrado por lo tanto que K/M=M,M+1,M+2,M+3,M+4, presentación que ubica naturalmente como candidato al isomorfismo buscado, a φ:K/M→ℤ5, definida como φ(M+j)=j, si j∈ℤ y j∈[0,5).

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Es evidente que φ es una biyección. Vemos que φ es un homomorfismo de anillos. Es inmediato porque Si α,β∈ℤ tales que α,β∈[0,5), el Teorema del residuo (2.5.4) garantiza que existen r,s∈ℤ con r,s∈[0,5) tales que α+β≡r mod5 y αβ≡s mod5 y por lo tanto (M+α)+(M+β)=M+r (M+α)(M+β)=M+s. Luego la biyección φ es un homomorfismo del anillo K/M en ℤ5 y por esa razón concluimos que K/M≈ℤ5. iii) En vista de que ℤ5 es un campo y K/M≈ℤ5, inferimos que K/M es un campo. En estas condiciones el Teorema 6.3.12, infiere que M es un ideal maximal de K, puesto que K es conmutativo y 1∈K, ya que 1=1+0i. Ejemplo 6.3.14. Evidentemente K =a+b√2/a,b∈ℤ, es un subanillo del anillo ℝℝ de los números reales. Además M=a+b√2/a,b∈ℤ, 5⎪a y 5⎪b es un ideal de K. Demostremos que K/M es un campo. Utilicemos nuevamente el Teorema 6.3.12, para verificar que M es un ideal maximal de K. Para ello debe verificarse que si N es un ideal de K tal que M⊆N⊆K y M≠N, entonces N=K. En efecto, si M≠N existirá a+b√2∈N, pero con a+b√2∉M. En consecuencia, la definición de M, implica 5a o 5b. Sabemos que por ser N un ideal de K y a+b√2∈N, también (a+b√2)(a-b√2)∈N. Luego a2-2b2∈N. Pero como también 5∈N, ya que 5∈M y M⊆N, al demostrar que 5u=a2-2b2, se deduce, por ser 5 primo, que (u,5)=1. En consecuencia existirán α,β∈ℤ tales que 5α+uβ=1. Luego 1∈N, porque al tenerse 5,u∈N, también 5α,uβ∈N y así, 5α+uβ∈N. En estas condiciones N=K. Luego solamente resta probar que si 5a o 5b, entonces 5a2-2b2. Si 5a, por el Teorema del Residuo (2.5.4) existirán, c,r,d,s∈ℤ tales que r∈(0,5), s∈[0,5), a=5c+r y b=5d+s. De tal manera que a2-2b2 = 5(5c2+2cr-10d2-4ds)+r2-2s2. En consecuencia, para demostrar que 5a2-2b2, basta comprobar que 5r2-2s2. Razonando por el absurdo, si 5⎪r2-2s2, existirá e∈ℤ tal que r2-2s2=5e y por consiguiente r2= 5e+2s2. Es decir r2≡2s2 mod5, lo cual significa que r2 y 2s2 tienen el mismo residuo al ser divididos por 5. Pero esto no es posible ya que como r∈(0,5) y r∈ℤ, se tiene que r2∈1,4,9,16 y por lo tanto los posibles residuos de su división por 5 son los elementos del conjunto 1,4. Mientras que por la condición s∈[0,5) y s∈ℤ, se deduce que 2s2∈0,2,8,18,32. En consecuencia en vista de que los residuos de la división por 5 de los

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elementos del conjunto 0,2,8,18,32, son 0,2 y 3, se infiere que 0,2,3 ∩1,4=∅. Luego no es posible que r2 y 2s2 tengan el mismo residuo al ser dividos por 5. Análogamente se demuestra que si 5b, entonces 5a2-2b2. 6.3.15.- Observe que en el Ejemplo 6.3.14, el conjunto H=1,4, conformado por los residuos de dividir r2 entre 5, para r∈ℤ es tal que H≼ℤ5 y o(H)=(5-1)/2. De tal manera que a los elementos de H podemos llamarlos residuos cuadráticos módulo 5 y a los restantes elementos de ℤ5 residuos no cuadráticos módulo 5, en la terminología de la siguiente definición: Definición 6.3.16.-Si a∈ℤ* y p es un número primo tal que pa, diremos que a es un residuo cuadrático módulo p, si x2≡a modp es soluble en ℤ . En caso contrario, diremos que a no es un residuo cuadrático módulo p. En ese línea de argumentación, demostraremos que la situación de H en 6.3.15 es generalizable. Teorema 6.3.17.- Si p es un número primo, p>2, entonces el subconjunto H de los residuos cuadráticos módulo p de ℤp

* conforman un subgrupo de ℤp* con (p-1)/2 elementos.

Demostración.-Por ser ℤp

* es finito, H también lo será y por lo tanto, según Teorema 4.1.8, para demostrar que H≼ℤp

* basta verificar la cerradura de la multiplicación módulo p en H. Esto es inmediato, ya que al considerar α,ß∈H, obtenemos i,j∈ℤ tales que i2≡α modp y j2≡ß modp, y por lo tanto, (ij)2≡αß modp. Luego αß∈H. Para demostrar que H tiene (p-1)/2 elementos, en primer lugar veamos que si K=1,2, ... , (p-1)/2, entonces H=α∈ℤp

*/i2≡α modp, para algún i∈K. En efecto, según la Definición 6.3.16, si α∈ℤp

*, se tiene que α∈H, si y sólo si existe ß∈ℤ tal que ß2≡αmodp, pero como de todas formas ß≡λ modp, para algún λ∈ℤp

*, entonces λ2≡α modp.(1) Si λ≤(p-1)/2, coronamos nuestro propósito intermedio. Confrontemos la eventualidad λ>(p-1)/2, en cuyo caso λ=(p-1)/2+r, para algún r∈ℤ+. Por tanto existe j∈ℤ, j≥0, tal que λ=(p-1)/2+1+j. Pero como 0<λ<p-1, se infiere que 0≤j<(p-1)/2. Además como para k∈ℤ, (p-k)2≡k2 modp, tendremos que j2≡[(p-1)/2-j]2modp y como a su vez λ2=(p-[(p-1)/2-j])2≡.[(p-1)/2-j]2modp, obtenemos que λ2≡i2modp (2), donde i=(p-1)/2-j Teniendo en cuenta ahora que 0<[(p-1)/2-j]≤(p-1)/2, concluimos que i=[(p-1)/2-j]∈K. En consecuencia de (1) y (2) se deduce que i2≡α modp, para algún i∈K.

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La forma de los elementos de H orienta la demostración o(H) =(p-1)/2, en el sentido de comprobar que la relación de H en K, definida como f(α)=i, donde i∈K tal que i2≡α modp, es una biyección. Demostremos entonces que f es una biyección: El que H=α∈ZZpp

*/α≡i2modp, para algún i∈K, demuestra que f cumple Fi y Fii del Teorema 1.1.13. De otra parte, si existieran α,ß∈H tales que f(α)f(ß) a pesar de que α=ß, podríamos presentar j,k∈K tales que jk, por ejemplo 0<j<k<(p-1)/2, pero j2 ≡α modp y k2≡α modp. Entonces k2-j2≡0 modp, lo cual implica que p(k-j)(k+j) y por lo tanto p(k+j) . Entonces k+j = dp, para algún d∈ℤ+ y así k = dp-j≥dp-(p-1)/2 = dp-(p/2)+(1/2) ≥ p/2+1/2=(p+1)/2 >(p-1)/2, que no es posible ya que k<(p-1)/2. Luego es válida la identidad f(α)= f(ß), verificándose de esta forma que f satisface Fiii. Una vez comprobado que f es una función de H en K, demostremos el carácter inyectivo de f, que se consigue, demostrando que si f(α)=f(ß), entonces α=ß. Esto es inmediato, porque f(α)=f(ß) implica que existe j∈K tal que j2≡α modp y j2≡ß modp. En consecuencia α≡ß modp, pero como α,ß∈ ℤ p

* obtenemos que α=ß. Además también es inmediato que f es sobre, puesto que si i∈K, entonces i2∈ℤ y por consiguiente i2≡α modp, para algún α∈ℤp

*, conclusión que según la Definición 6.3.16 significa que α es un residuo cuadrático módulo p, puesto que pα. Luego α∈H y la definición de f indica que f(α)=i. Es decir, f es sobre. Al haber demostrado que f es una biyección de H en K, concluimos que o(H)=o(K)=(p-1)/2. Demostremos enseguida la veracidad de la generalización del Problema 6.3.14. 6.3.18.- Un procedimiento análogo al aplicado al Ejemplo 6.3.14 permite verificar, que si p es un número primo no par y m∈ℤ+ que no es un residuo cuadrático módulo p, entonces : K = a + b√m/ a,b∈ℤ es un subanillo del anillo ℝ de los números reales , Ip=a+b√m ∈K/pa y pb es un ideal de K con p2 elementos y K/Ip es un campo. (Ver Ejercicio 6.5.21)

6.4- EXISTENCIA DE IDEALES MAXIMALES. Como es obvio no basta con presentar la definición de un determinado objeto para garantizar su existencia. Ese es el caso de los ideales maximales hasta el momento. El Lema de Zorn, que aceptaremos como válido en la presente argumentación es una pieza clave en la demostración de la existencia de dichos ideales en anillos con elemento unitario. Veamos que plantea el Lema de Zorn y aclaremos los términos en que se expresa.

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6.4.1-Lema de Zorn. Si X es un conjunto no vacío ordenado parcialmente tal que toda cadena en X tiene una cota superior en X, entonces X tiene un elemento maximal. En la Definición 1.17.1 aclaremos los conceptos de órden parcial, elemento maximal y elemento minimal. Expliquemos que se entiende por una cadena. Definición 6.4.2.- Si Y⊆A y ≤ es una relación en A, entonces Y es una cadena en A, si siempre que a,b∈Y se tiene que a≤b o b≤a. 6.4.3 Si Y⊆A, m∈Y, ≤ es un orden parcial en A y Y es una cadena en A, entonces m es un elemento maximal de Y, si y sólo si el único x∈Y tal que m≤x es x=m. Es decir m es un elemento maximal de Y ⇔(∀x)(x∈Y∧m≤x⇒x=m). Ejemplo 6.4.4.-Si ℘ es la familia de los ideales del anillo ℤ de los números enteros entonces, ⊆ es un orden parcial en ℤ y Y=4ℤ,8ℤ,16ℤ,32ℤ es una cadena en ℘, puesto que 32ℤ⊆⊆16ℤ⊆⊆8ℤ⊆⊆4 ℤ. Además 4ℤ eess uunn eelleemmeennttoo mmaaxxiimmaall ddee YY yy ttaannttoo 44ℤ como 2ℤ son cotas superiores de Y en ℘ 6.4.5.-Si A es un anillo, ℘ =U/U es un ideal de A y U≠A, y M es un ideal maximal de A, al considerar la relación ⊆ en ℘, tenemos, según la Definición 6.4.2, que M es un elemento maximal de ℘. En particular, en el Ejemplo 6.4.4, los subconjuntos: 2ℤ,3ℤ, ... ,pℤ, con p un primo, son elementos maximales del respectivo conjunto ℘. Procedamos a demostrar la existencia de los ideales maximales en anillos con elemento unitario. Teorema 6.4.6.-Todo anillo A con elemento unitario cuenta con al menos un ideal maximal. Demostración.-Sea ℘=U/U es un ideal de A y U≠A y ⊆ la relación de contenencia, que sabemos es un orden parcial en ℘. Si ℑ es una cadena en ℘, entonces N= Uℑ es ideal de A, puesto que si a,b∈N, entonces existen un par de ideales A y B en ℑ tales que a∈A y b∈B. Pero como ℑ es una cadena se tendrá que o A⊆B o B⊆A. En cualquier circunstancias a y b serán elementos de un mismo ideal C∈ℑ y por lo tanto a-b∈C. Luego a-b∈N y así N es un subgrupo aditivo de A. Además, si a∈A y n∈N, entonces existe un ideal C∈ℑ tal que n∈C y por ende an∈N. Razón para concluir que an∈N. Así tendremos que N es un ideal de A y para demostrar que N∈℘ basta ver 1∉N. Pero esto es inmediato ya que según 6.3.9, 1 no es un elemento de ninguno de los ideales de ℑ, puesto que todos ellos son diferentes del anillo A.

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Por último como N es una cota superior de ℑ en ℘ (Ver Ejercicio 6.5.6), al aplicar el Lema de Zorn (6.4.1) concluimos que ℘ tiene un elemento maximal. Por último demostremos el siguiente teorema: Teorema 6.4.7.-Si A es un anillo con elemento unitario y K≠A es un ideal de A, entonces K está contenido en algún ideal maximal de A. Si además A es conmutativo, cualquier a∈A, que no sea unidad en A, es elemento un ideal maximal de A. Demostración.- Lo interesante para el ideal K es que este no sea maximal, porque si es maximal, entonces el problema se resuelve teniendo en cuenta que K⊆K. Pero si K no es maximal, el 4.14.38 asegura la existencia de por lo menos un ideal N≠A, tal que K⊂N . Esta situación indica que ℘=I/I es un ideal de A∧ I≠A∧ K⊂I es una familia no vacía de ideales de A, puesto que N∈℘. Siguiendo la misma línea de argumentación utilizada en la demostración de Teorema 6.4.6, cualquier cadena de ideales ℑ de A en ℘, tiene como cota superior al ideal N=Uℑ y N∈℘, puesto que en el desarrollo de la demostración de 6.4.6 comprobamos que N es un ideal tal que N≠A. Además como K⊂I, porque cada I∈ℑ, se tiene que K⊆N. Además N≠K, ya que si K=N, entonces, como U⊂N, para cada U∈ℑ, se deduce que U⊂K. Resultado no aceptable porque al tener por hipótesis que K⊂U, ello implicaría el absurdo U⊂U. Por lo tanto cualquier cadena de ideales ℑ de A en ℘ tiene una cota superior en ℘ y por lo tanto el Lema de Zorn implica la existencia en ℘ de un elemento M, maximal, quien precisamente satisface el que K⊂M. Como en ℘ no necesariamente están presentes todos los ideales de A, sino exclusivamente los diferentes de A y K y que contengan a K, aún no podemos concluir que M es un ideal maximal de A. Pero su calificación como maximal en A es de inmediata verificación porque si I es un ideal de A, I≠A, tal que M⊆I⊆A, entonces como K⊂M, también K⊂I y por consiguiente I∈℘, obteniéndose con base en la Definición 6.4.2 que I⊆M, implicando ello que I=M, puesto que M⊆I, y por lo tanto M es un ideal maximal de A. Por último, si a∈A y no es unidad de A, entonces por ser A un anillo conmutativo, <a>=ax/x∈A es un ideal de A tal que <a>≠A (Ver Ejercicio 6.5.7.) y en consecuencia existirá un ideal maximal U de A tal que <a>⊆U, contenencia que infiere el que a∈U.

6.5. EJERCICIOS

6.5.1.-Si ℤℤ6 es el anillo residual módulo 6, entonces: i) Demuestre que U=0,2,4 es un ideal de ℤℤ6. ii) Encuentre K= ℤ6/U. iii) Encuentre las tablas para la suma y multiplicación de clases en K. iv) ¿Que tipo de anillo es K?. v) ¿Es U un ideal maximal de ℤℤ6?.

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vi) Al considerar en el punto anterior el producto en ab como el residual módulo 6, ¿será el producto definido así en AB una operación en K? Sugerencia[Ahora (U+1)(U+1) =1,3,5=U+1] 6.5.2.¿Es 2ℤ un ideal del anillo ℝℝ de los números reales?.. 6.5.3.-Demuestre i): 4ℤ∉ℤ/2ℤ. Sug[i) Si 4ℤ∈ℤ/2ℤ, entonces 4ℤ=2ℤ+r, para algún r∈ℤ. Esa igualdad no es posible si r es un entero impar . Y si r es un entero par, entonces 2ℤ+r=2ℤ y por lo tanto 4ℤ=2ℤ, y esto no es posible. 6.5.4. Si F es un campo e I es un ideal de F, entonces F/I también es un campo. 6.5.5.-Relativo al Lema 6.2.7 demuestre que f, tal como se definió, es una función. 6.5.6.-Relativo al Teorema 6.4.6, demuestre que N=U iN es un ideal de A, cota superior de la cadena N1⊆N2 ⊆ ... . 6.5.7-Relativo al Teorema 6.4.7 demuestre que <a> es un ideal de A tal <a>≠A. 6.5.8.Relativo al Ejemplo 6.3.13 demuestre que M es un ideal de K. 6.5.9.Demuestre que los únicos ideales de un anillo con división son los triviales. 6.5.10.-Relativo al Ejemplo 6.3.2 demuestre que U es ideal del anillo A 6.5.11.Si m1z , ... ,mrz. y m1, ... ,mr son primos relativos entre si, entonces m1. ... .mrz. Sug[Razone por inducción sobre r, para r≥2, y tenga en cuenta el Corolario 4.11.9) 6.5.12.-Si A es un anillo con un número primo p de elementos, demuestre que A≈ℤℤ/pℤ Sug[Si A tiene p elementos con p primo, entonces <A,+> es un grupo cíclico. Es decir A=0,a,2a, 3a, ....,(p-1)a. Demuestre: i) na+ma=ra, con r∈0,1, ...,p-1; ii) (n+m)≡r modp y (na)(ma)=sa2, con s∈0,1, ...,p-1 y nm≡s modp; y iii) f definida de A en ℤp, como f(na)=n, si n∈0,1, ...,p-1, es isomorfismo de anillos. 6.5.13.-Si A es un anillo conmutativo con elemento unitario tal que para cada a∈A existe n∈ℤ, n>1, para el cual an =a, demuestre que todos los ideales primos de A son maximales. Sug[Si P es un ideal primo de A, entonces A/P es un campo, puesto que si a∉P, de todas maneras existe n∈ℤ, n>1, tal que an=a. Entonces P+an=P+a y por lo tanto an-a∈P. Razón por la cual, por ser P un ideal primo, que an-1-1∈P y en consecuencia P+an-1=P+1. Así las cosas, (P+a)(P+ an-2) = P+an-1 =P+1] 6.5.14.-i) Demuestre que si M es un ideal maximal de un anillo conmutativo A con elemento unitario, entonces M es un ideal primo de A. Sug[Al aplicar 6.3.12, A/M es un campo, por lo tanto, si ab∈M, entonces (M+a)(M+b)=M, y como todo campo es un dominio entero, M+a=M o M+b=M.]. ii)¿Será válido el recíproco de i)?. Sug[En el anillo

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de los enteros ℤ, <0> es un ideal primo, pero <0> no es un ideal maximal de ℤ.. OOttrroo eejjeemmpplloo eess mmoossttrraaddoo ppoorr 6.5.15.. 6.5.15.-Demuestre que U=(z,0)/z∈ℤ es un ideal primo de ℤℤxℤ que no es maximal. Sug[U+(1,2) no es una unidad en ℤℤxℤ/U] 6.5.16.-¿Será válido 6.5.14., si : i)Consideramos que A es no conmutativo, ii) Si consideramos que 1∉A?. Sug[i) en M22(ℂℂ), U=<0>, donde 0 es la matriz de los ceros, es un ideal maximal, puesto que sus únicos ideales son los triviales, pero U no es un ideal primo de M22(ℂ). 2)En A=2ℤℤ,, ssee ttiieennee qquuee UU==44ℤ es maximal, pero U no es primo, ya que 4=2.2∈U, pero 2∉U.] 6.5.17.-Demuestre: i) Un anillo conmutativo D es un dominio entero si y sólo si el ideal <0> es primo. ii) Un anillo conmutativo F con elemento unitario es un campo, si y sólo si el ideal <0> es maximal. Sug[i) Si D es un dominio entero, entonces si ab∈<0>, se tiene ab=0 y por lo tanto a=0 o b=0. Si <0> es un ideal primo de D y ab=0, con a,b∈D, ello implica que ab∈<0> y en consecuencia a=0 o b=0. ii) Si F es un campo, sus únicos ideales son los triviales y por lo tanto <0> es maximal. Si <0> es un ideal maximal de F, el ideal <a>, con a∈F* es tal que <a>=F.] 6.5.18.-Si ϕ:A →A` es un homomorfismo de anillos y U`es un ideal de A`, demuestre: i)Si U` es un ideal primo de A`, entonces ϕ-1(U`) es un ideal primo de A. ii) Si además ϕ es sobre y U` es un ideal maximal de A`, entonces ϕ-1(U`) es un ideal maximal de A. 6.5.19.-Demuestre que la condición, ϕ es sobre, no puede ser omitida en 6.5.18. Sug[Considere i: ℤℤ→ , definida como i(z)=z. Además tenga en cuenta que i-1(0)=0] 6.5.20 Dos importante relacione entre el campo de los racionales y el anillo ℤ, son i) ℤ⊂ , en el sentido de (2.8.4) ii) es el menor campo que contiene a ℤ ((3.4.7)). Verifique que estas relación se cumplen entre un dominio entero D y su campo de fraccionarios notado FD. Procediendo así: i) Defina ∼ en DxD* de la siguiente manera: Si (a,b),(c,d)∈DxD*, entonces

(a,b)∼(c,d)⇔ad=bc ii) Demuestre que ∼ es una relación de equivalencia en DxD*. iii) Si a/b es la clase de equivalencia de la pareja (a,b)∈DxD*, correspondiente a ∼, defina

FD =a/b/(a,b)∈DxD*. Además defina a/b + c/d = (ad+bc)/bd y (a/b).(c/d)=ac/bd y demuestre que esa suma y ese producto son operaciones en FD.

iv) Demuestre que FD con la suma y el producto definidos en iii) es un campo. v) Demuestre que FD contiene un dominio entero isomorfo con D. Sug[ Si a∈D*, defina

ϕa:D→FD, como ϕa(x)=(xa)/a y demuestre: ϕa es un isomorfismo]. vi) Si R es un campo que contiene a D, entonces R contiene un subcampo L tal que L

≈FD Sug Demuestre g:FD →R, definida como g(a/b)=ab-1 es un isomorfismo y que además L=g(FD) es un subcampo de R tal que D⊆L. En este sentido FD es el menor campo que contiene a D.

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6.5.21.-Relativo a 6.3.18., K=a+b√2/a,b∈ℤ es un sub-anillo de ℝ e I2=a+b√2/a,b∈ℤ, 2a y 2b ¿Como se explica entonces que (2+3√2)(2+5√2)=34+16√2∈I2, pero (2+3√2)∉I2 y (2+5√2)∉I2? 6.5.22.-Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Si A es un anillo y Ues un subrupo <A ,+>, entonces U es un ideal de A. ix)Toda cota superior de una cadena de ideales de un anillo A es un ideal maximal de A. x)J=2nℤ//nn∈∈ℤ es una cadena de ideales en la familia de los ideales de ℤ. xi)J=2(n+1)ℤ /n∈ℤ es una cadena de ideales en la familia de los ideales de ℤ. xii)Si f:A→A` es un homomorfismo de anillos no nulo, tal que A es un campo, entonces f es un isomorfismo. xiii)Si f: ℤ → ℤ es un homomorfismo de anillos no nulo, entonces existe z∈ ℤ tal que f(z)≠z. xiv) Los únicos homomorfismos de anillos de ℤ en ℤ son el nulo y el idéntico. xv)Si A es un anillo con elemento unitario y U es ideal de A que contiene una unidad de dicho anillo, entonces U=A. xvi)Si A es un anillo y U es un ideal maximal de A, entonces A/U es un campo. xvii)Si A es un dominio entero y U es un ideal de A, entonces A/U es un dominio entero.

6. 6.CRITERIOS DE IRREDUCIBILIDAD. Con el Teorema 4.14.37 al tener en cuenta que K[x] es un dominio entero si K es un campo, surge la idea de avanzar en la problemática de la factorización de un polinomio, o de manera más general en la compresión de algunos criterios de irreducibilidad. Pero como de acuerdo con 3.5.7, a cada dominio entero D corresponde un campo de fraccionarios FD, entonces analizaremos en primer lugar la relación de factorización entre los polinomios de FD[x] y los de D[x], problema que resuelve el Lema de Gauss, para lo cual es necesario definir dominio de factorización única. Finalizaremos esta sección con algunos criterios de irreducibilidad de polinomios. Antes de plantear la definición en cuestión es importante tener en cuenta el siguiente resultado: 6.6.1. Observe que si FD es el campo de fraccionarios de un domio entero D con elemento unitario 1, entonces existe R subanillo de FD tal que D≈R. Para comprobarlo basta verificar, que ⎨a/1/a∈D⎬ es un subanillo de FD y que f de D en R definida como f(a)=a/1, siempre que a∈D, es un homomorfismo biyectivo. En ese sentido se puede considerar que D⊆ FD. (Ver Ejercicio 6.7.1) 6.6.2. De la Definición 4.14.16 se infiere que si D es un domio entero con elemento unitario 1 y p∈D tal que p es primo en D, entonces I= es un ideal primo de D. En efecto, si a,b∈D tales que ab∈I= ello implica que ab=rp, para algún r∈D, y por tanto p|ab, razón para que la Definición 4.14.16, oriente a deducir que p|a o p|b. Luego a∈I o b∈I. Es decir, según la Definición 6.3.4, el ideal I es primo.

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Definición 6.6.3. Un Dominio entero D con elemento unitario es un dominio de factorización única si para cada dεD*, tal que d no es unidad en D, existen p1, ...pn elementos primos de D tales que d= p1. ... .pn. Más aún, si p1,. ... .pn,q1. ... .qm son elementos primos de D tales que d=p1. ... .pn=q1. ... .qm; entonces n=m y los factores pueden ser reordenados de tal manera que p1=u1q1, ..., pn=unqn donde u1, ...,un son unidades en D. Teorema 6.6.4. (Lema de Gauss) Si D es un dominio entero de factorización única, FD es su campo de fraccionarios y p(x)∈D[x] tal que p(x) es factorizable en FD[x] mediante dos polinomios h(x) y s(x), entonces p(x) es factorizable en D[x] en dos polinomios de grados o(h(x)) y o(s(x)). Demostración. Sabemos, según ´Teorema 4.14.17, que por ser p(x) factorizable en FD[x], existen h(x),j(x)∈FD[x] tales que o(h(x))>0, o(j(x)>0 y p(x)=h(x)j(x). Entonces como los coeficientes en h(x) y j(x) son cocientes de elementos de D, es factible reducirlos a un común denominador y obtener que dp(x)=r(x)s(x) (1), donde d∈D*, r(x),s(x)∈D[x], o(r(x))=o(h(x)) y o(s(x))=o(j(x)). La consideración d∈D* muestra dos opciones: o d es una unidad en D* o d no es unidad en D*. Ante la primera eventualidad se deduce que p(x)=(d-1r(x)).s(x), concluyéndose así la validez del teorema en este caso, porque (d-1r(x)),s(x)∈ D[x] y además o((d-1r(x))=o(r(x)) Si d no es una unidad en D, entonces por ser D un dominio de factorización única, la Definición 6.6.3 indica que existen p1, ...pn∈D, todos ellos primos en D, tales que d= p1. ... .pn. Por lo tanto, según 6.6.2, I=<p1> es un ideal primo de D y en consecuencia, en virtud del Teorema 6.3.5, D/I es un dominio entero y de acuerdo con el Teorema 33..66..15, también (D/I)[x] es un dominio entero. Pero como (D/I)[x]≈(D[x])/I[x] (Ver Ejercicio 6.7.3), eso es razón para concluir, orientado por 3.5.4, que (D[x])/I[x] es también un dominio entero. Por consiguiente al sustituir d= p1. ... .pn en (1), se obtiene: p1. ... .pn.p(x)=r(x)s(x) (2). Entonces I[x]+r(x)s(x)=I[x]+ p1. ... .pn.p(x). Pero como p1. ... .pn.p(x)∈I[x], ya que I=<p1> 5.1.19, implica que I[x]+ p1. ... .pn.p(x)=I[x]. Luego I[x]+r(x)s(x)=I[x], de donde se deduce que (I[x]+r(x))(I[x]+s(x))=I[x].(3) Teniendo em cuenta ahora que (D[x])/I[x] es dominio entero, el Teorema 3.3.1. aplicado a (3) indica que I[x]+r(x) =I[x]∨I[x]+ s(x) =I[x] y por consiguiente r(x)∈ I[x] ∨ s(x)∈ I[x]. Esto a su vez permite deducir que en I[x] y por ende en D[x], p1|r(x) o p1|s(x). Es decir, r(x)=p1r1(x) o s(x)=p1(x)s1(x), con r1(x),s1(x)∈D[x]. En consecuencia el factor p1 se puede cancelar en ambos miembros de la igualdad (2) para obtener que p2. ...pnp(x)=r1(x)s1(x), con r1(x),s1(x)∈D[x]. Procediendo análogamente con <p2>, ...,<pn>, obtenemos que p(x)=rn(x)sn(x), donde rn(x),sn(x)∈D[x] y r(x)=urn(x) y s(x)=vsn(x), con u,v∈D. Observe que o(rn(x))=o(r(x)) y o(sn(x))=o(s(x)) 6.6.5. El recíproco del Teorema 6.6.4 anterior no es válido. Es decir, si D es un dominio entero con elemento unitario y D es de factorización unica, FD es su campo de fraccionarios, y p(x)∈D[x] tal que p(x) factorizable en D[x], ello no implica que p(x) sea también fact d=

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p1. ... .pn orizable en FD[x]. Por ejemplo, p(x)=2(x+1)∈ℤ[x] y p(x) es factorizable en ℤ[x] ya que 2 y x+1 no son unidades en ℤ[x]. Pero p(x) no es factorizable en ℚ[x], puesto que si

p(x)=q(x)r(x), con q(x),r(x)∈ ℚ[x], entonces por ser o(p(x))=o(q(x))+o (r(x)) =1, se tiene que

q(x)∈ℚ* o r(x)∈ℚ*, y por lo tanto q(x) es unidad en ℚ[x] o r(x) es unidad en ℚ[x] (Ver Ejercicio 6.7.2). Es notorio en el contraejemplo desarrollado anteriormente que el máximo común denominador de los coeficientes de p(x) es 2. Es de esperarse entonces que el recíproco del Teorema 6.6.4.sea válido, si el máximo común denominador de los coeficientes de p(x) es1. Esa es la razón del siguiente corolario. Corolario 6.6.6. Si D es un dominio entero de factorización única, FD es su campo de fraccionarios y p(x)∈D[x] tal que el máximo común denominador en D de los coeficientes de p(x) es 1, entonces p(x) es factorizable en FD[x], si y solo si p(x) es factorizable en D[x]. En consecuencia, si p(x) es polinomio mónico, entonces p(x) es factorizable en FD[x], si y solo si p(x) es factorizable en D[x]. Demostración. Si p(x) es factorizable en FD[x], el Teorema 6.6.4 garantiza que p(x) es factorizable en D[x]. Recíprocamente, si p(x) es factorizable en D[x], entonces de acuerdo con la Definición 4.14.16, existen r(x),s(x)∈D[x] tales que p(x)=r(x)s(x) y además, r(x) y s(x) no son unidades en D[x]. Entonces hay dos posibilidades o r(x) y s(x) son polinomios de grado mayor que cero, o uno de esos dos polinomios es una constante c∈D* tal que c no es unidad en D. La segunda opción no es posible ya que si por ejemplo r(x)=c, entonces c sería un factor de cada uno de los coeficientes de p(x), pero como el máximo común divisor de los coeficientes de p(x) es 1, entonces según la Definición 4.14.27 obtenemos que c|1, lo cual no es posible ya que c no es unidad en D. En consecuencia p(x)=r(x)s(x), con r(x),s(x)∈D[x], tales que o(r(x))>0 y o(s(x))>0. Luego, r(x),s(x)∈FD[x], puesto que D[x]⊆FD[x] y además r(x) y s(x) no son unidades en FD. En consecuencia según la Definición 4.14.16 p(x) es factorizable en FD[x]. Por ser =números racionales, el campo de fraccionarios de ℤ, el siguiente Corolario es de demostración inmediata: Corolario 6.6.7. Si f(x)∈ℤ[x], y f(x) es factorizable en ℚ[x], entonces f(x) es factorizable en

ℤ[x]. Además si el máximo común divisor de los coeficientes de f(x) es 1, entonces f(x) es factorizable en ℤ[x], si y solo si f(x) es factorizable en ℚ[x]. Comencemos entonces abordando los criterios más sencillos de irreducibilidad. Teorema 6.6.8. Si K es un campo y f(x)∈K[x] tal que f(a)=0, para algún a∈K, es decir si f(x) tiene una raíz a en K, entonces (x-a) es un factor de f(x) en K[x].

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Demostración. Al aplicar el Teorema 4.14.1 a los polinomios f(x) y g(x)=x-a, obtenemos c(x),r(x)∈K[x] tales que f(x)=c(x)(x-a)+r(x) donde r(x)=0 o o(r(x)<o(x-a)=1. Obviamente si r(x)=0, se concluye que f(x)=c(x)(x-a), y así x-a es un factor de f(x) en K[x]. Si o(r(x)<1, la única posibilidad es r(x)=k∈K. Pero como f(a)=0, entonces r(a)=0 y por consiguiente r(x)=0, concluyéndose nuevamente que f(x)=c(x)(x-a) y deducir que x-a es un factor en K[x] de f(x). Corolario 6.6.9. Si K es un campo y f(x)∈K[x], con o(f(x)>1, tal que f(a)=0, para algún a∈K, es decir si f(x) tiene una raíz a en K, entonces f(x) es factorizable en K[x]. Demostración. Segùn el teorema anterior, existe c(x)∈ K[x] tal que f(x)=(x-a)c(x). Pero como o(f(x))>1 se deduce, teniendo cuenta al Lema 33..66..14 que 1<o((x-a)c(x))=1+o(c(x)), entonces o(c(x))>0 y asì f(x) es factorizable en K[x]. 6.6.10. Si o(f(x))=1 o K no es un campo el teorema anterior no es válido. Obviamente si K= y f(x)=2x-4, entonces α=2 es una raíz de f(x), pero f(x) es irreducible en [x]. También si K= ℤ6

y f(x)=3x-3, entonces α=1 es una raíz de f(x) en K, pero f(x)=3( x-1) no es una factorización en K puesto que 3 es unidad en ℤ6 Corolario 6.6.11. Si D es un dominio entero de factorización única, f(x)∈D[x] tal que o(f(x))>1 y f(x) tiene una raíz a∈D, entonces f(x) es factorizable en D[x] y (x-a) es un factor de f(x) en D[x]. Demostración. Si a∈D y a es una raíz de f(x), entonces como D⊆FD se infiere que a∈FD, y además f(x)∈FD[x]. En particular a es una raíz de f(x) en FD. En estas condiciones el teorema anterior garantiza que (x-a) es un factor de f(x) en FD[x]. Lo cual implica que existe g(x)∈FD[x] tal que f(x)=(x-a)g(x). Entonces como o(f(x)>1, el teorema anterior indica que f(x) es factorizable en FD[x] y en consecuencia f(x) es factorizable en dos polinomios D[x], tal que uno de ellos es de grado 1. Veamos que el de grado 1 es h(x)=x-a, para concluir que x-a es un factor de f(x) en D En fecto, como (x-a)∈D[x] y g(x)∈FD(x), entonces por el procedimiento utilizado en la demostración del terorema anterior se deduce que existe b∈D* tal que bf(x)=(x-a)g’(x), con g’(x)∈D[x] y por lo tanto f(x)=(x-a)g``(x). Entonces (x-a) es un factor de f(x) en D[x]. 6.6.12. Observe que el recíproco del Corolario anterior no es válido. Por ejemplo f(x)= (x2+1)2∈ℤ[x] es factorizable en ℤ[x], pero f(x) no tiene raíces en ℤ. Obviamente, el Corolario anterior indica que si f(x)∈D[x] con o(f(x))>1 y f(x) no es factorizable en D[x], entonces f(x) no tiene raíces en D. Es el caso del polinomio f(x)=x2+1 que no es factorizable en ℤ [x] y por tanto carece de raíces en ℤ. Sin embargo el recíproco del Corolario anterior es válido para polinomios de grado 2 o 3 en K[x]. El siguiente corolario lo plantea.

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Corolario 6.6.13. Si f(x)∈K[x] tal que f(x) es de grado 2 o 3 y f(x) es factorizable en K[x], entonces f(x) tiene una raíz en K. Demostración. Si f(x) es factorizable en K[x], entonces por ser f(x) de grado 2 o 3, se obtiene que f(x) tiene un factor del tipo g(x)=ax+b, con a,b∈K y a≠0 (Ver Ejercicio 6.7.4). Razón para asegurar que α=-a-1 b∈K es raíz de f(x). 6.6.14. i) Observe que si en el Corolario anterior cambiamos la condición K un campo por K un dominio entero, la afirmación f(x) factorizable en K[x]implica que f(x) tiene una raíz en K, es falsa. Por ejemplo f(x)=(2x+1)(3x+5)∈ℤ[x], es obviamente factorizable en ℤ[x], pero f(x) carece de raíces en ℤ. ii) Pero si consideramos f(x) un polinomio mónico y D un dominio entero, el Corolario anterior es válido, puesto que al ser f(x) de grado 2 o 3 el factor obligatorio de f(x) tendría la forma g(x)=x+b, y en consecuencia α=-b es una raíz de f(x) en D. Ejemplo 6.6.15. Sobre el polinomio f(x)=2x2+1∈ℤ3[x] observamos que f(2)=0 en ℤ3. Pero como ℤ3 es un campo por el Teorema 6.6.8 se infiere que f(x) es factorizable en ℤ3[x]. Note que en ℤ3[x] se tiene que 2x2+1=(x-2)(2x+1). Pero f(x) no esfactorizable en ℤ[x], porque si lo fuera se tendría . que 2x2+1=c(ax2+b) o 2x2+1=(dx+e)(fx+g), con a,b,c,d,e,f,g∈ ℤ y c no es unidad en ℤ. Si 2x2+1=c(ax2+b), entonces cb=1, y por lo tanto c sería unidad en ℤ, absurdo por que c no es unidad en ℤ. Pero si 2x2+1=(dx+e)(fx+g) y así df=2, dg+fe=0 y eg=1. Entonces e=g=1 o e=g=-1. Si e=g=1, se deduce que d+f=0, es decir d=-f y por lo tanto –f2=2, lo cual no es posible en ℤ. Análogamente, si e=g=-1, entonces –f2=2. Es decir de todas maneras aceptar que f(x) es factorizable en ℤ conduce a una contradicción. Es decir f(x) es irreducible en ℤ . Ejemplo 6.6.16. El polinomio f(x)=x3+2x2+x-4∈ℤ[x] es tal que f(1)=0. Pero como ℤ es un dominio entero y o(f(x))>1, entonces por el Corolario 6.6.11 se deduce que f(x) es factorizable en ℤ[x]. Observe que f(x)= x3+2x2+x-4 = (x-1)(x2+3x+4). Ejemplo 6.6.17. El polinomio f(x)=x2+x+1∈ℤ2[x] es de acuerdo al Corolario 6.6.13 irreducible en ℤ2[x] puesto que f(x) no tiene ráices en ℤ2 ya que f(0)=f(1)=1. Además f(x) es irreducible en ℤ, porque si f(x)=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab, con a.b∈ℤ, entonces a+b=1 y ab=1. Las únicas opciones para que sea posible la igualdad ab=1 en ℤ, son a=1 y b=1, o a=-1 y b=-1. Observe que ninguna de ella permite que a+b=1. 6.6.18. Con relación al Ejemplo 6.6.17 es válido afirmar que f(x)∈ℤ[x] es irreducible en ℤ[x] cuando f(x) visto como un polinomio en ℤn[x], para algún n∈ℤ+, sea irreducible en

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ℤn[x]. Para demostrarlo es importante aclarar que si f(x)=a0+a1x+ ... +ak-1xk-1 + xk∈ℤ[x], entonces f(x) visto como un polinomio de ℤn[x] cobra la forma f (x)=(nℤ+r0)+(nℤ+r1)x+ ... +(nℤ+rk)xk, donde r0,r1, ...rk∈ℤ+ tales que 0≤ri<n y ri≡ai modn, para 0≤i≤k, al referirnos al

homomorfismo canónico γ de ℤ en ℤ/nℤ, definido como γ(i)=nℤ+i, para i∈ℤ. Abreviadamente f (x)=r0+r1x+ ... +rkxk. En consecuencia, si f(x) fuera factorizable en ℤ[x] existirían g(x),h(x)∈ℤ[x] con o(g(x))>0 y o(h(x))>0 tales que f(x)=g(x)h(x) (Ver Ejercicio 6.7.6). Por lo tanto si g(x)=b0+b1x+ ... + xj y h(x)= c0+c1x+ ... + xr , con j+r=k. Se concluiría que f (x)=(u0+ ... +ujxj)( v0+ ... +vrxr), donde 0≤ui<n y ui≡bi modn, para 0≤i≤j y 0≤vi<n y vi≡ci modn, para 0≤i≤r. Por lo tanto si f(x) fuera factorizable en ℤ[x], también f (x) sería factorizable en ℤn. Luego, si f (x)∈ℤn[x] es irreducible en ℤn[x], para algún n∈ℤ+, entonces f(x) es también irreducible en ℤ[x]. 6.6.19. En general si D es un dominio entero e I es un ideal de D, el homomorfismo de ℤ[x] en ℤn[x], definido anteriormente es generalizable a un homomorfismo de D[x] en (D/I)[x], de la siguiente manera: si f(x)=a0+ ... +anxn∈D[x], entonces γ(f(x))= f (x)= I+a0+ ... +(I+an)xn En tal sentido y siguiendo la misma metodología para demostrar el resultado anterior se puede comprobar que si D es un dominio entero, I es un ideal de D y f(x)∈D[x] con o(f(x))>0 tal que f (x) es irreducible en (D/I)[x], entonces f(x) es irreducible en D[x]. (Ver Ejercicio 6.7.7) 6.6.20. No es valido la afirmación: Si f(x)∈ℤ[x] tal que f(x) es irreducible en ℤ[x], entonces f(x) es irreducible en ℤn[x], para cualquier n∈ℤ+. Por ejemplo el polinomio f(x)=x2+1 es irreducible en ℤ[x], porque es irreducible en ℤ3[x] según el Corolario 6.6.13 ya que no tiene ráices en ℤ3 y es grado 2. Pero f(x) es factorizable en ℤ2[x] porque tiene como raíx α=1. Teorema 6.6.21. Si f(x)=a0+ ... +anxn∈ℤ[x] y α=a/b∈ℚ con a,b∈ℤ, b≠0, 1=(a,b), es tal que

α una raíz de f(x) en ℚ, entonces a|a0 y b|an. En particular, si f(x) es un polinomio mónico y

f(β)≠0 para todo β∈ℤ, tal que β|a0, entonces f(x) no tiene raíces en ℚ. Demostración. Puesto que por hipótesis f(a/b)=0, entonces a0+ ... +an(a/b)n=0 y por lo tanto a0bn+a1abn-1+ ... an-1 an-1b+anan =0. Entonces anan

=-b(a0bn-1+ a1abn-1+ ... an-1an-1), lo cual implica según la Definición 3.1.29 que b|anan. Pero como 1=(a,b) entonces, por 4.11.9, b|an . Análogamente como a0bn+a1abn-1+ ... an-1 an-1b +anan =0 implica que a0bn=-a(a1bn-1+ ... + anan-1), es decir a|a0bn y como 1=(a,b) obtenemos que a|a0. Ejemplo 6.6.22. El polinomio f(x)=(2x+3)(x+2)=2x2+7x+6∈ℤ[x] tiene como raíces en ℚ: α=-3/2 y β=-2. Observe como respecto a la raíz α=-3/2, que –3|6 y 2|2. Además al tratar con la raíz β=-2 se tiene que –2|6.

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Ejemplo 6.6.23. Para el polinomio f(x)=x2-2∈ℤ[x] como ninguno de los factores de 2:1,-1,2 y –2, es raíz de f(x), entonces en virtud del Teorema anterior f(x) no tiene raíces en ℚ La metodología utilizada en 6.6.18 es utilizable en la demostración del Criterio de Eisenstein, presentado a cotinuación. Teorema 6.6.24. (Criterio de Eisenstein) Sean D un dominio entero, I un ideal primo de D y f(x)=anxn+an-1xn-1+ ... +a0∈D[x], con n>1, tal que an-1, .... ,a0∈I, pero an∉I y a0∉I2. Entonces f(x) es irreducible en D[x].

Demostración. Si f(x) fuera factorizable en D[x], entonces por ser o(f(x))>1, existirían r(x),s(x)∈D[x] tales que o(r(x))>0 y o(s(x))>0 (Ver Ejercicio 6.7.6) y f(x)=r(x)s(x). De tal manera que al considerar el homomorfismo γ de D[x] en (D/I)[x] definido para d0+d1x+ ... +dmxm∈D[x] como γ(d0+d1x+ ... +dmxm)=(I+d0)+(I+d1)x+ … +(I+dm)xm, se obtiene que γ(f(x))= γ( anxn+an-1xn-1 + ... +a0)= (I+ an)xn+(I+an-1)xn-1+ ... +(I+a0), pero como a0, a1, ..., an-1∈I, entonces γ(f(x))=(I+ an)xn=γ(r(x).s(x)). Lo cual indica la identidad entre el término constante del polinomio (I+ an)xn, es decir I, y el término constante del polinomio γ(r(x).s(x)), a saber I+b0c0, si r(x)=b0+b1x+ ... + bjxj y s(x)= c0+c1x+ ... +crxr , con j+r=n.

Es decir I= I+b0c0, y por lo tanto, según 5.1.19, b0c0∈I, infiriéndose por ser I un ideal primo, de acuerdo a la Definición 6.3.4, que b0∈I∨c0∈I. Pero como no es posible que b0∈I∧c0∈I porque a0∉I2, supongamos c0∈I ∧ b0∉I.

Es inmediato que cr∉I, porque si cr∈I, entonces como I es un ideal tambièn bjcr∈I, pero esto no es posible ya que bjcr=an y an∉I .

Por lo tanto debe existir k, entero positivo mínimo, tal que k≤r y ck∉I. Entonces ck-1, …c0∈I y por ser I ideal se deduce que ck-1b1, … ,c0bk∈I y así ck-1b1+ … +c0bk∈I Razón para inferir que I+ ak = I+ckb0+ck-1b1,+ … +c0bk = I+ckb0. Por lo tanto, en vista de que k≤r<n (Ver Problema 6.7.8), se tendrà ak∈I y en consecuencia I+ckb0=I. Es decir ckb0∈I y por ser I un ideal primo concluimos que ck∈I∨b0∈I. Absurdo porque ck∉I∧ b0∉I. Luego f(x) es irreducible en D[x].

6.6.25. El teorema anterior no es válido si n=1. Por ejemplo si f(x)=3x+6∈ℤ[x], entonces a pesar de que 6∈I, 3∉I y 6∉I2, si I=2ℤ, se tiene que f(x) es factorizable ℤ[x], puesto que f(x)=3(x+2) y ambos factores 3 y (x+2) no son unidades en ℤ[x]. El teorema anterior tiene los siguientes corolarios: Corolario 6.6.26. Sean D un dominio entero de factorizaciòn única, FD el campo de fraccionarios de D, I un ideal primo de D y f(x)=anxn+an-1xn-1+ ... +a0∈D[x], con n>1, tal que an-1, .... ,a0∈I, pero an ∉I y a0∉I2. Entonces f(x) es irreducible en FD[x].

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Demostración. De acuerdo con el teorema anterior, f(x) es irreducible en D[x]. Pero como D un dominio entero de factorizaciòn única, entonces de acuerdo con el Teorema 6.6.4 se infiere que f(x) es irreducible en FD[x]. Corolario 6.6.27. Si f(x)=xn+an-1xn-1+ ... +a0∈ℤ[x], con n≥1 y p∈ℤ tal que p es primo en ℤ y an-1| p, , ..., a0|p, pero a0p2. Entonces f(x) es irreducible en ℤ[x], y por tanto f(x) es irreducible en ℚ[x] Demostración Basta considerar I = y observar que an-1∈I, , ..., a0∈I, pero a0∉I2, para concluir según el teorema anterior que f(x) es irreducible en ℤ[x]. Además de acuerdo al Corolario anterior f(x) es irreducible en ℚ[x]. Ejemplo 6.6.28. Sea f(x)=x4+3x2+9x+3∈ℤ[x], entonces dado que 3|3, 3|9, 9†3 se deduce según el corolario anterior que f(x) es irreducible en ℤ[x] y por consiguiente, según Corolario 6.6.27, f(x) es irreducible en ℚ[x]. Ejemplo 6.6.29. La situación planteada en el Ejemplo 6.6.23 respecto del polinomio x2-2∈ℤ[x] se generaliza al polinomio f(x) = xn-p, si n∈ℤ, n≥2, p∈ℤ y p es un primo en ℤ, ya que de acuerdo al Corolario 6.6.27 f(x) es irreducible en ℚ[x] El siguiente resultado amplia el campo de aplicación del Criterio de Eisenstein. 6.6.30. Si D es un dominio entero y γ es la función de D[x] en D[x] definida como γ(f(x))=f(x+α), con α∈D, entonces γ es un automorfismo y en consecuencia si f(x+α) es factorizable en D[x], entonces f(x) es factorizable en D[x] Ejemplo 6.6.31. Si f(x)=x4+4x3+6x2+2x+1 es irreduible en ℤ[x]. En efecto, al considerar f(x-1)=x4-4x3+6x2-4x+1+4x3+12x2+12x+4+6x2+12x+6+2x+1=x4+12x2+20x+6, el primo 2 tiene las siguientes cualidades: 2|6, 2|20, 2|12, pero 46. Entonces según el Corolario 6.6.27 f(x-1) es irreducible en ℤ[x] y en consecuencia de acuerdo al numeral anterior f(x) es irreducible en ℤ[x]. Ejemplo 6.6.32. Por el mismo argumento utilizado en el ejemplo anterior si p es un primo

en ℤ, entonces el polinomio Φp(x)=1x1xp

−− =xp-1+xp-2+ ... +x+1 es irreducible en ℚ puesto

que Φp(x+1) = x

11)(x p −+ = xp-1+pxp-2+ ... ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kp

xp-k-1 + … +p. Por lo tanto p es un factor del

coeficiente de xp-2 y p es un factor del término independiente, pero p2 no es factor de dicho término independiente. Por último si 0<k<p, se infiere que ((p-k)!,p)=1 y (k!,p)=1, ya que p

es primo y (p-k)!k! es un factor de p!, puesto que ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kp

=p!/(p-k)!k! ∈ℤ, entonces de acuerdo

280

con 4.11.9, se deduce que (p-k)!k! es un factor de 2.3 … .(p-1) y así ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kp

=pr, para algún

r∈ℤ. Es decir p es un factor de ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kp

. En consecuencia con el Corolario 6.6.27, Φp(x) es

ireducible en ℚ[x].

6.7. EJERCICIOS. 6.7.1. Demuestre que si FD es el campo de fraccionarios de un domio entero D con elemento unitario 1, entonces existe R subanillo de FD tal que D≈R. Sug(Verifique, que ⎨a/1/a∈D⎬ es un subanillo de FD y que f de D en R definida como f(a)=a/1, siempre que a∈D, es un homomorfismo biyectivo). 6.7.2 Si F es un campo, p(x)∈F[x] tal que o(p(x)=1 y p(x)=q(x)r(x), con q(x),r(x)∈F[x], demuestre que q(x)∈F* o r(x)∈F*. 6.7.3. Si D es un dominio entero I es un ideal primo de D, demuestre que (D/I)[x]≈(D[x])/I[x] 6.7.4. Si D es un dominio y f(x) es factorizable en D[x], demuestre que si f(x) es de grado 2 o 3, entonces f(x) tiene una factor del tipo g(x)=ax+b, con a,b∈D y a≠0 6.7.5. Demuestre que el polinomio f(x)=x2+x+2 es factorizable en ℤ4[x],pero no lo es en ℤ2[x] 6.7.6. Si f(x)∈ℤ[x] tal que f(x) es factorizable en ℤ[x] y f(x) es mónico, entonces existen g(x),h(x)∈ℤ[x] con o(g(x))>0 y o(h(x))>0 tales que f(x)=g(x)h(x) 6.7.7. Si D es un dominio entero e I es un ideal de D, i)demuestre que γ de D[x] en (D/I)(x) definido para f(x)=a0+ ... +anxn∈Dx], como γ(f(x))= f(x)= (I+a0)+ ... +(I+an)xn es un homomorfrismo de anillos.ii) demuestre que si f(x)∈D[x] con o(f(x))>0 tal que f(x) es irreducible en (D/I)(x), entonces f(x) es irreducible en D[x]. 6.7.8. Analizar la validez del Teorema 6.6.24, al replantearlo así: Si D es un dominio entero de factorizaciòn ùnica, f(x)= anxn+an-1xn-1+ ... +a0∈D[x], o(f(x))≥1 e I un ideal primo de D tal que an-1, .... ,a0∈I, pero an ∉I y a0∉I2. Entonces f(x) es irreducible en FD[x].

6.8. MÉTODO DE CANTOR PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONJUNTO ℝ DE LOS NÚMEROS REALES. En la sección 3.8 abordamos la construcción del comjunto ℝ de los números reales, por el método de las “cortaduras de Dedekind”. Ahora presentaremos el método de las sucesiones

281

debido a Cantor. Recordemos que en la sección 1.10 construimos los números naturales aplicando los axiomas de Peano. Y posteriormente en 1.15 construimos ℤ y Q, denominados el primero como el conjunto de los números enteros y el segundo, el de los números racionales . Hablaremos entonces de ℚℕ, en el sentido de 3.1.10, es decir como el conjunto de todas las

sucesiones de números racionales. Es decir: ℚℕ =(aj)j∈ℕ/ aj∈ℚ, que como se señala en ese mismo numeral dicho conjunto con la suma y multiplicación de sucesiones es un anillo conmutativo con elemento unitario La idea general es la de considerar al subanillo C(ℚ) de

las sucesiones de Cauchy y su ideal ℵ(ℚ), conformado por las sucesiones de Cauchy convergentes a cero. En seguida demostrar que ℵ(ℚ) es un ideal maximal de C(ℚ) para concluir, al aplicar el

Teorema 6.3.12, que el conjunto ℜ = C(ℚ)/ ℵ( ℚ)es un campo, que al introducirle un orden

total deviene en el campo ℝ de los números reales. Debemos entonces iniciar aclarando los conceptos de convergencia y sucesión de Cauchy,

teniendo en cuenta que si a∈ℚ, entonces , según la Definición 1.15.19: a=⎩⎨⎧

<≥

0a si a,-0a si a,

Definición 6.8.1.Si a=(an)n∈ℕ∈ ℚℕ y L∈ℚ, diremos que an converge a L, cuando n tiende a

infinito, notado nnalim

∞→=L, si dado ε∈ℚ +, existe M∈ℕ, tal que si n∈ℕ y n>M, entonces an-

L<ε. En tal caso diremos que L es un punto límite de a en ℚ, o que “a converge en ℚ”. 6.8.2 En la situación anterior también se acostumbra a decir que una sucesión a=(an)n∈ℕ∈ ℚℕ converge en ℚ, si existe L∈ℚ, tal que nn

alim∞→

=L. Veamos en seguida que toda sucesión

de ℚℕ, convergente en ℚ tiene un único punto límite en ℚ Teorema 6.8.3. Si a=(an)n∈ℕ∈ ℚℕes convergente en ℚ, entonces a converge a un único L∈ℚ Demostración. Supongamos que existen L, L´∈ ℚ tales que nn

alim∞→

=L y nnalim

∞→= L´. Entonces

de acuerdo con la Definición 6.8.1, dado ε∈ℚ+, existen M,M´∈ℕ, tales que si n,k∈ℕ con

n>M y k>M´, entonces an-L<ε/2 y ak-L´<ε/2. Por lo tanto, si K∈ℕ y K=maxM,M´, tenemos para n∈ℕ, con n>K que an-L<ε/2 y an-L´<ε/2 y consecuencia L-L´=(an-L´)+(L-an)≤an-L´+L-an<ε. Luego para cualquier ε∈ ℚ +, se infiere queL-L´<ε, y de acuerdo al Teorema 1.15.21 L-L´=0, es decir L=L´ . Luego el punto de convergencia de a en Q es único

282

Ejemplo 6.8.4. Si an =1/n, con n∈ℕ*=n∈ℕ/n≠0, entonces nnalim

∞→=0.

Demostración. Si ε∈ℚ con 0<ε<1, (Ver 6.8.5) entonces 1/ε>1. Veamos ahora que

K=n∈ℕ*/n≥1/ε es tal que K≠∅. En efecto, como ε∈ℚ y 0<ε<1, entonces ε=p/q, con

p,q∈ℕ tales que p<q y en consecuencia 1/ε=q/p y al ser p≥1, se deduce que 1≥1/p y así q≥q/p=1/ε. Por lo tanto existe existe α∈K tal que α=minK. Por último, si n∈ℕ* y n>α, entonces 1/n<1/α, pero como α≥1/ε, se infiere que 1/α≤ε. Luego, si n>α, entonces 1/n<ε y por lo tanto nn

alim∞→

=0.

Observe que si por ejemplo ε=1/2, entonces con cualquier M∈ℕ, tal que M>2 se tiene que si n∈ℕ con n>M, entonces los siguientes términos de la sucesión an=1/n: 1/3,1/4,1/5, ..., son todos tales que:1/n<1/2, si n∈ℕ y n>M. 6.8.5. En el Ejemplo 6.8.4 ε fue restringido al intervalo (0 , 1). Esto es suficiente para probar la existencia del límite en cuestión, porque si ε≥1, al considerar un ε0 tal que 0<ε0<1, se demostró que existe un un natural M(L, ε0) tal que si n∈ℕ y n>M(L,ε0), entonces an-L<ε0. Pero como ε0<ε, se deduce que an-L<ε. De esta manera se concluye la validez de la afirmación: (∀ε>0)(∃N∈ℕ)(∀n)(n∈ℕ∧n>N⇒an-L<ε). Ejemplo 6.8.6. Si an=1/2n, siempre que n∈ℕ, entonces nn

alim∞→

=0. En efecto, 2n>n, (Ver

1.12.20ii) si n∈ℕ y n>1, y por tanto 1/2n<1/n. Pero como según 6.8.7 n1lim

n ∞→=0, entonces

dado ε∈Q, con 0<ε<1, existe N∈ℕ tal que 1/n<ε, si n∈ℕ y n>N, lo cual implica que 1/2n<ε, siempre que n>N. Luego nn

alim∞→

=0.

6.8.7. Una prueba para saber si se comprende la Definición 6.8.1, es explorar que se entiende cuando se habla de una sucesión a∈ℚℕ que no converge en ℚ, o simplemente

explicar el significado de la expresión: “la sucesión a∈ℚℕ diverge en ℚ”. Esa afirmación

implica en primer lugar que si L∈ℚ, entonces nnalim

∞→≠L. En consecuencia: “a=(an)n∈ℕ∈ℚℕ

diverge en ℚ” significa, que dado L∈ℚ existe ε∈ℚ + tal que para cada M∈ℕ es posible

encontrar n∈ℕ, n>M para el cual an-L≥ε. Ejercitemos el concepto anterior con el siguiente ejemplo: Ejemplo 6.8.8. La sucesión an=(-1)n, si n∈ℕ diverge en ℚ. En efecto, si L=1, basta tomar

ε=1/2, para encontrar que para cualquier M∈ℕ, si n∈ℕ y n>M, pero n es impar, se tiene que an=-1, y por consiguiente an-L=-1-1=2>ε=1/2.

283

Si L=-1, nuevamente con ε=1/2, al considerar M∈ℕ, si n∈ℕ y n>M, pero n es par, se infiere que an=1, y por consiguiente an-L=1+1=2>ε=1/2. Si L∈ℚ, con L≠1 y L≠-1, entonces hay 3 opciones: o L>1 o -1<L<1, o L<-1. Si L>1, basta considerar ε∈ℚ tal que 0<ε<1-L, para confrontar que si M∈ℕ, entonces con cualquier n entero positivo par, se deduce que an-L>ε. Situación análoga se presenta con L<-1 al considere ε∈ℚ+ y ε<-1-L, ya que para n entero impar an-L>ε. En la situación –1<L<1, basta considerar ε<miniL-1, L+1, porque al fijar M∈ℕ y n∈ℕ tal que n>M, entonces con cualquier opción: n par o n impar, se tendrá an-L>ε. El proceso anterior se puede simplificar al observar que la subsucesión de los pares converge a 1 mientras que la de los impares converge a –1. Aclaremos entonces el concepto de subsucesión y planteemos el problema de manera general: Definición 6.8.9. Si a=(ak)k∈ℕ∈ℚℕ, y γ una función de ℕ en ℕ tal que γ(i)< γ(j), siempre

que i,j∈ℕ e, i<j, entonces diremos que b=(aγ(i))i∈ℕ , es una subsucesión de a. Teorema 6.8.10. Si a= (ak)k∈ℕ∈ℚℕ, y nn

alim∞→

=L∈ℚ, entonces cualquier subsucesión b de a

converge a L. Demostración. Si nn

alim∞→

=L y b es una subsucesión de a=(aj)j∈N. Entonces si ε∈ℚ+, la

Definición 6.8.1, implica la existencia de M∈ℕ tal que si n∈ℕ y n>M, entonces an-L<ε. Por lo tanto, al ser b una subsucesión de a, tenemos que b= (aγ (i))i∈ℕ donde γ es una función de ℕ en ℕ tal que γ (i)< γ (j), siempre que i,j∈ℕ e, i<j. Pero como γ(k)/k∈ℕ es un subconjunto infinito de ℕ, por ser γ una función inyectiva y ℕ un conjunto infinito; entonces existe K∈ℕ, tal que γ(K)>M. Razón para concluir que si k∈ℕ y k>K, entonces γ(k)>M y por consiguiente aγ(k)-L<ε. Lo cual indica, según la Definición 6.8.1, que

(k)kalim γ∞→

=L.

6.8.11. Observe que al aplicar el teorema anterior en el Ejemplo 6.8.8 obtenemos nn

alim∞→

≠L,

siempre que L∈ℚ . Ya que si L≠1, la sucesión a no converge a L, porque la subsucesión p de los pares converge a 1, y si L≠-1, entonces la subsucesión i de los impares descarta a L como límite de a, porque i converge a –1. Luego la sucesión a no converge a ningún L∈ℚ, y por ello

la sucesión a diverge en ℚ.

284

6.8.12. Generalizando el razonamiento anterior, se demuestra que si una sucesión a∈ℚℕ,

tiene dos subsucesiones c y d tales que c converge a L∈ℚ, d converge a L´∈ℚ y L≠L´,

entonces a diverge en ℚ. (Ver Ejercicio 6.9.4). Ejemplo 6.8.13. El caso de la sucesión divergente presentado en el Ejemplo 6.8.8 no es el único modelo. También la sucesión de los mismos naturales, es decir si a es una sucesión definida en ℕ, como an=n, si n∈ℕ, es otro caso de sucesión divergente en ℚ. En este no se aprecia una aplicación evidente del Teorema 6.8.10, ante lo cual debemos nuevamente demostrar que si L∈ℚ, entonces nn

alim∞→

≠L. Obviamente hay dos posibilidades

para L: o L∈ℤ o L∉ℤ. Si L∈ℤ, consideremos ε∈ℚ + y ε<1. Entonces si M∈ℕ, existe de todas maneras n∈ℕ, tal que n>maxL,M lo cual indica que n>M y n>L. Por consiguiente n-L≥1>ε y consecuencia la sucesión a no converge a ningún entero. Si L∈ℚ pero L∉ℤ, entonces existe k∈ℤ tal que k<L<k+1 (Ver Ejercicio 6.9.1) . De tal

manera que si ε=k+1-L∈ℚ+ y enfocar un natural M, encontramos que si n∈ℕ con

n>maxk+1,M, obtenemos que n=k+1+j, donde j∈ℤ tal que j>1.Por lo tanto k+1+j-L>k+1-L=ε. Luego la sucesión a, tampoco converge a L∈ℚ tal que L∉ℤ. En síntesis L no converge a ningún número racional y por ello a diverge en ℚ Es notorio que mientras en el Ejemplo 6.8.8, se tiene que an≤1, siempre que n∈ℕ, esto no sucede en el Ejemplo anterior. Puesto que si n∈ℕ, entonces también n+1∈ℕ y n<n+1. Es decir la sucesión a del Ejemplo 6.8.8 es conocida como acotada, en los términos de la siguiente de la siguiente definición. Definición.6.8.14. Una sucesión a=(ak)k∈ℕ∈ ℚℕ es acotada en ℚ, si existe M∈Q+, tal que

an<M, siempre que n∈ℕ 6.8.15. En consonancia con la definición anterior una sucesión a=(ak) k∈ℕ∈Qℕ no es acotada en ℚ, si para cada M∈ℚ +, existe n∈ℕ tal que an≥M Veamos en seguida que toda sucesión de ℚ convergente en ℚ es acotada en ℚ.

285

Teorema 6.8.16 Si a=(ak)k∈ℕ∈ ℚℕes una sucesión convergente en ℚ, entonces a es acotada

en ℚ. Demostración. Supongamos que nn

alim∞→

=L∈ ℚ, entonces según la Definición 6.8.1 dado

ε=(L+1)∈ℚ +, existe M∈ℕ, tal que si n∈ℕ y n>M, entonces an-L<L+1. Y por lo tanto como an-L ≤an-L<L+1, entonces an<2L+1, siempre que n>M (1) De otra parte, si consideramos K>maxa1, ...,aM, 2L+1, tenemos que si n∈ℕ, entonces an<K, ya que si 1≤n≤M, entonces an<K, pero si n>M, entonces (1) informa an<2L+1. Es decir an<K. Luego a es acotada en ℚ. Al aplicar el teorema anterior, al Ejercicio 6.8.13, obtenemos que por ser la sucesión an=n, para n∈ℕ, no acotada, entonces ella es diverge en ℚ Note que este tipo de divergencia es diferente al del Ejercicio 6.8.13. Ella es conocida como una divergencia a más infinito, según la siguiente definición. Definición 6.8.17. Una sucesión a=(ak)k∈N∈ ℚℕ diverge a más infinito en Q, notada

nnalim

∞→=+∞, si para cada M∈ℚ, existe n∈ℕ, tal que an≥M.

Prosigamos con la definición de sucesiones de Cauchy. Definición 6.8.18. Una sucesión a=(ak)k∈N∈ℚℕ es una sucesión de Cauchy en ℚ, si para

cada ε∈ℚ+ existe M∈ℕ, tal que si n,m∈ℕ, con n≥M y m≥M, entonces an-am<ε. Además

notaremos como C(ℚ) el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy en ℚ 6.8.19. Si a∈ℚℕ y a es convergente en ℚ, entonces a∈ C(ℚ), porque si a converge a L∈ℚ, equivale a decir que si ε∈ℚ y ε>o, existe N∈ℕ tal que para todo n∈ N, si n>N, entoncesan-

L<ε/2. Por lo tanto, si n,m∈ℕ tales que n>N y n>N, se infiere que an-L<ε/2 y am-L<ε/2, razón para afirmar que an- am <an- L +an- L < ε. Luego a es una sucesión de cauchy. Es decir toda suceión convergente es de cauchy. Antes de verificar que C(ℚ) es un subanillo del anillo ℚℕ verifiquemos que los elementos de

C(ℚ) son acotados en ℚ. Lema 6.8.20. Si a=(an)n∈ℕ∈C (ℚ), entonces a es acotada en ℚ.

286

Demostración. Dado que 1>0, según la definición anterior, existe M∈ℕ tal que si n,m∈, con n≥M y m≥M, entonces an-am<1. En particular tendremos que si n>M, entonces an-aM<1 y por consiguiente, si n>M, entonces an<1+aM (1). Por lo tanto, si K>maxa1, ...,aM, obtenemos que si n∈ℕ, pero n≤M, entonces an<K. Pero si n>M, entonces según (1) an<1+aM<1+K. De tal manera quem si C=1+K, entonces an<C, siempre que n∈ℕ. Luego, de acuerdo a la Definición 6.8.14, a es acotada en ℚ Otra propiedad natural en las sucesiones de Cauchy no convergentes a cero, es la de que a partir de determinado término de la sucesión, estos se alejen del 0. Esto lo plantea el siguiente Lema: Lema 6.8.21. Si a=(an)n∈ℕ∈C(ℚ) y a no converge a 0, entonces existe S∈ℕ tal que an>2-S, si n≥S. Demostración. Si a no converge a 0 entonces, de acuerdo a 6.8.7, existe ε∈Q+ tal que para cada N∈ℕ, es posible encontrar p∈ℕ p>N, tal que ap≥ε (1). Pero como n

n 21lim

∞→=0,

entonces debe existir K∈ℕ tal que 1/2K<ε/2 (Ver Ejercicio 6.9.2). Además como a∈C(ℚ), la

Definición 6.8.18 indica que existe M∈ℕ tal que an-am<ε/2, si n,m∈ℕ con n≥M y m≥M. En consecuencia, si S=maxK,M, se infiere que 1/2S<ε/2 (*) y an-am<ε/2, si n,m∈ℕ con n≥S y m≥S. Teniendo en cuenta ahora que an-am≥am-an, obtenemos que an≥am-ε/2 (2), si n,m∈ℕ con n≥S y m≥S (2). Aplicando en seguida (1) para N=S, podemos encontrar p∈ℕ, p>S tal que ap≥ε (3), transformándose (2), con m=p, en an≥ap-ε/2 (4), si n∈ℕ con n≥S. Por lo tanto según (3) y (4) an≥ε-ε/2=ε/2. Por último, considerando *, obtenemos que an>1/2S, si n∈ℕ y n≥S. Demostremos ahora sí el siguiente Teorema: Teorema 6.8.22. C(ℚ) es un subanillo del anillo ℚ ℕ , y en consecuencia C(ℚ) es un anillo conmutativo con elemento unitario.

Demostración.- Según el Teorema 4.3.3 para comprobar que C(ℚ) es un subanillo del anillo

Qℕ basta verificar que si a,b∈C(ℚ), entonces a-b,ab∈C (ℚ). Sean entonces a=(an)n∈ℕy b= (bn)n∈ℕ un par de sucesiones en C(ℚ), y demostremos primero

que a-b∈C (Q).

287

En efecto, como a,b∈C (Q) la Definición 6.8.18 implica que dado ε∈ ℚ + existen N,M∈ℚ+

tales que si n,m,p,q∈ℕ con n≥N,m≥N,p≥M y q≥M, entonces an-am<ε/2 y bp-bq<ε/2. En consecuencia, si R=maxN,M, tenemos que si n,m∈ℕ con n≥R,m≥R, entonces an-am<ε/2 y bn-bm<ε/2 (1) De otra parte: (an-bn)- (am-bm)= (an- am)+(bm-bn)≤ (an- am)+ (bm-bn). En consecuencia, de acuerdo con (1), si n,m∈ℕ con n≥N,m≥N, entonces (an-bn)- (am-bm)< ε, comprobándose así, según la Definición 6.8.18, que a-b∈ C(ℚ). Para demostrar que ab∈C(Q), al tener en cuenta el Lema 6.8.20, por ser a,b∈C (ℚ), existirán

C,D∈ℚ+ tales que an<C y bn<D, si n∈ℕ. (2). Pero como anbn-ambm=an(bn-bm)+bm(an-am)≤anbn-bm+ bman-am, entonces al considerar el resultado obtenido en (2), se deduce que anbn-ambm<C bn-bm+Dan-am (3). Ahora como (1) puede ser presentado así: si n,m∈ℕ con n>N,m>N, entonces an-am<ε/2C y bn-bm<ε/2D, entonces (3) se transforma en: existe M∈ℕ tal que si n≥M y m≥M, entonces anbn-ambm<ε. Demostrándose así, según la Definición 6.8.18, que ab∈C(ℚ) Además es un anillo conmutativo ya que ℚ ℕ lo es y la sucesión an=1, siempre que n∈ℕ, es

obviamente una sucesión de Cauchy en ℚ. Avanzando en nuestros propósito notemos al conjunto de las sucesiones de Cauchy en ℚ

convergentes a cero como ℵ(Q), definamos, para a,b∈ℚℕ :a≤b y a<b si an≤bn. Definición 6.8.23. Si a,b∈ ℚℕ tales que a=(an)n∈ℕ y b=(bn)n∈ℕ, diremos: i) a≤b si an≤bn,

siempre que n∈ℕ y ii) a<b si a≤b y a≠b. Estamos en condiciobes de demostrar el siguiente teorema: Teorema 6.8.24. ℵ( ℚ) es un ideal maximal de C(ℚ). Además si a∈C(ℚ) y b∈ℵ( ℚ) son

tales que 0≤a≤b, entonces a∈ℵ( ℚ) Demostración. Verifiquemos inicialmente que ℵ( ℚ) es un ideal de C(ℚ). Para ello, de

acuerdo al Teorema 4.7.11 debemos comprobar que si a,b∈ℵ( ℚ) y c∈C(ℚ), entonces:i) a-

b∈ℵ( ℚ) y ii) ca∈ℵ( ℚ). si a,b∈ℵ( ℚ), entonces dado ε∈ ℚ + existe M∈ℕ tal que si n∈ℕ y n>M, entonces an<ε/2

y bn<ε/2. En consecuencia comoan-bn=an+(-bn)≤an+bn, si consideramos n∈ℕ,

288

con n>M, se infiere que an-bn<ε Luego nnnbalim −

∞→=0 , razón para concluir que a-

b∈ℵ(Q), ya que según el Teorema anterior a-b∈C(ℚ). Como a∈ℵ(Q) y c∈C(ℚ), entonces existe C∈ ℚ+ tal que cn<C, siempre que n∈ℕ y dado

ε∈ ℚ+ existe M∈ℕ tal que si n∈ℕ y n>M, entonces an<ε/C. Por lo tanto quecn an= cn

an<Can, entonces al considerar n∈ℕ, pero n>M, obtenemos que cn an<ε. Luego

nnnaclim

∞→=0. Pero como de acuerdo al Teorema anterior sabemos que ca∈C(ℚ), inferimos que

ca∈ℵ(Q). Para demostrar que ℵ( ℚ) es un ideal maximal de C(ℚ), debemos verficar que si X es un

ideal de C(ℚ) tal que ℵ( ℚ)⊆X , entonces X=C (ℚ). La linea central de esta demostración es

la de constatar que 1∈X lo cual conduce a que X=C(ℚ), ya que si a∈C(ℚ), entonces por ser X un ideal ello implicaría que a.1=a∈X. Pero para llegar a que 1∈X, debemos encontra a∈X tal que exista a-1 ∈C(ℚ), y así concluir que aa-1 =1∈X. A partir de que ℵ( ℚ)⊂X inferimos que existe a∈X tal que a=(an)n∈ℕ∉ℵ( ℚ). Esta sucesión a es el primer candidato para obtener la sucesión a-1. Pero para ello se necesita an≠0, si n∈ℕ, situación que podemos garantizar para aquellos términos de la sucesión a ubicados después de una cierta posición K, ya que como esta sucesión a no es convergente a cero, obtenemos según el Lema 6.8.21 que existe K∈ℕ tal que an>2-K, si n≥K. Pero para los términos de a, anteriores a la posición K no está garantizado que sean todos diferentes de cero. La idea es cambiar a los términos de la sucesión a anteriores a la posición K, que sea nulos por 1 y verificar posteriormente que esta nueva sucesión b es también de Cauchy. Todo consiste en sumarle a la sucesión a, otra sucesión de X, de tal manera que no altere los términos de a diferentes a cero y cambien los términos de a nulos por 1. Por esa razón definimos la siguiente sucesión:

hn=⎩⎨⎧

=≠

0a si ,10a si ,0

n

n . Esta sucesión converge a cero ya que an≠0, siempre que n≥K. Es decir como

todos los términos hn a partir n=K son nulos, cuncluimos que h=(hn)n∈ℕ converge a cero y es obviamente de Cauhy. Luego h∈ℵ( ℚ) y como ℵ( ℚ)⊆X, tenemos que también h∈X. Luego

a,b∈X y por ser X es un ideal de C(ℚ) obtenemos que b=a+h∈X. Ya hemos entonces encontrado b=(bn)n∈ℕ con bn=an+hn tal que bn∈ ℚ*. En consecuencia

podemos hablar de b-1 =(1/bn)n∈ℕ y se trata ahora de verificar que b-1∈C(ℚ); es decir que b-1 sea una sucesión de Cauhy. En términos generales queremos comprobar que si una sucesión b=(bn)n∈ℕ∈C(ℚ) es tal que bn≠0, siempre que n∈ℕ, entonces b-1 =(bn

-1))n∈ℕ∈C(ℚ).

289

En efecto, |1/bn-1-1/bm|=|(bm-bn)/bnbm|(1). Pero como b=(bn)n∈ℕ ∈ ℚℕ y b no converge a cero

entonces, por el Lema 6.8.21, existe K∈ℕ tal que bn≥2-K, si n∈ℕ y n≥K. Luego bnbm≥2-2K, si n,m∈ℕ con n≥K y m≥K. Además por el solo hecho de que b=(bn)n∈ℕ∈C(ℚ),

obtenemos que para ε∈ℚ+, existe M∈ℕ tal que si n,m∈ℕ, con n≥M y m≥M, entonces bn-bm<ε.2-2K Por lo tanto si R=maxM,K, y n,m∈ℕ, con n≥R y m≥R, obtenemos bn

-1-bm-1<ε.2-2K/2-

2K=ε. Luego b-1∈ C(ℚ).y tal como lo habíamos dicho, ello implica, por ser X un ideal de C(ℚ).

y b∈X, que 1=b-1b∈X, razón para concluir que X= C(ℚ) y por consiguiente C(ℚ)) es un ideal

maximal de C(ℚ).. Por último, es evidente que si a∈ C(ℚ), y b∈ℵ(ℚ)tal que 0≤a≤b, entonces a∈ C(ℚ)). (Ver Ejercicio 6.9. 5) Estamos ya en condiciones de presentar al conjunto ℜ de los números reales: Teorema 6.8.25. ℜ= C(ℚ)./ ℵ(ℚ) es un campo, que llamaremos el conjunto de los números reales. Demostración. Es inmediato, porque de acuerdo al teorema anterior ℵ(ℚ) es ideal maximal

de C(ℚ)., que según el Teorema 6.8.22 es una anillo conmutativo con elemento unitario, configurándose así las condiciones para que de acuerdo al Teorema 6.3.12 se pueda concluir que ℜ es un campo. Procedemos enseguida a introducir la relación < en ℜ, que señalará una relación entre clases, sobre la base de conocer la relación <, entre los elementos representantes de dichas clases. Definición 6.8.26. Si A,B∈ℜ, diremos que A<B, si A≠B y existen α∈A y β∈B tales que α<β. Si A,B∈ℜ, entonces según el Teorema 6.8.25 existen a,b∈ C(ℚ) tales que A=ℵ(ℚ)+a y B=

ℵ(ℚ)+b De tal manera que si A<B, entonces según la Definición anterior existen α=r+a y

β=s+b, con r,s∈ℵ(Q) tales que r+a<s+b, y por lo tanto a<(s-r)+b. Pero como s-r∈ℵ(Q), entonces a<h+b, donde h = r-s∈ℵ(Q). Recíprocamente, si a<h+b, para algún h∈ℵ(ℚ), entonces como a∈A=ℵ(ℚ)+a y

h+b∈ℵ(ℚ)+b, tenemos que existen α=a∈A y β=h+b∈ℵ(ℚ)+b, tales que α<β, y por

290

consiguiente, como A≠B, se deduce según la definición anterior que A<B. De esta manera hemos probado el siguiente resultado: Teorema 6.8.27 Si A=ℵ(ℚ)+a y B=ℵ(ℚ)+b son elementos de ℜ, con A≠B, entonces A<B,

si y solo si existe h∈ℵ(ℚ), tal que a<h+b. Realmente para que ℵ(ℚ)+a <ℵ(ℚ)+b no es necesario que an<bn, para todo n∈ℕ. El siguiente teorema analiza tal situación. Teorema 6.8.28. Si a=(an)n∈, b=(bn)n∈ℕ son sucesiones de C(Q), A=ℵ(ℚ)+a y B=ℵ(ℚ)+b

elementos de ℜ, con A≠B, y además existe M∈ℕ, tal que an<bn, si n∈ℕ y n≥M, entonces ℵ(ℚ)+a<ℵ(ℚ)+b.

Demostración. Definamos h de la siguiente manera: hn=⎩⎨⎧

<+−≥

Mn si1,)b(aMn si 0,

nn

.

Evidentemente h=(hn)n∈ℕ∈ℵ(ℚ), puesto que hn=0, si n≥M. Además bn+hn=bn, si n≥M. Pero como en la condición n≥M se tiene an<bn , inferimos que an<bn+hn, si n≥M. Y si n<M, entonces bn+hn= bn+(an-bn)+1=an+1>an. Luego an <bn+hn, si n<M, configurándose así la validez de la propuesta a<b+h, para algún h∈ℵ(ℚ), lo cual implica, en virtud del Teorema

anterior, que ℵ(ℚ)+a< ℵ(ℚ)+b Ensayemos ampliar las relaciones ≤ y ≥ en ℜ.de la siguiente manera: Definición 6.8.29. Si A, B∈ℜ, decimos que A≤B, si A<B o A=B; y A≥B, si B≤A 6.8.30. Con la notación definida anteriormente el Teorema 6.8.27 se puede presentar así: Si A=ℵ(ℚ)+a y B=ℵ(ℚ)+b son elementos de ℜ, entonces A≤B, si y solo si existe h∈ℵ(Q), tal que a≤h+b. Lo cual es evidente, porque si A≠B, entonces de acuerdo al Teorema 6.8.27 A<B, si y solo si existe h∈ℵ(Q), tal que a<h+b. Pero por 5.1.19 sabemos que A=B si y solo si a-b∈ℵ(ℚ), por lo tanto A=B, si y solo si existe h∈ℵ(Q) tal que a=h+b Demostremos a continuación las siguientes propiedades de la relación ≤ en ℜ. Teorema 6.8.31. Si A=ℵ(ℚ)+a, B=ℵ(ℚ)+b y C=ℵ(ℚ)+c son elementos de ℜ, entonces i) A≤A; ii) Si A<B y B<C, entonces A<C. Por lo tanto, si A≤B y B≤C, entonces A≤C iii) Si A≤B y B≤A, entonces A=B, iv) Si A<B, entonces A+C<B+C. Por lo tanto: si A≤B, entonces A+C≤B+C Demostración. i) Evidentemente A≤A, ya que como A= ℵ(ℚ)+a, con a∈C(Q), y en Q es válido afirmar a≤a , se deduce, según 6.8.30, que A≤A.

291

ii) Si A<B y B<C, al aplicar sucesivamente el Teorema 6.8.27, obtenemos h,v∈ℵ(Q) tales a<b+h y b<c+v. Por lo tanto a<c+(h+v) Pero como h+v∈ℵ( Q), se infiere que a<s+c, con s∈ℵ(Q), condición para que con base en el Teorema 6.8.27, se concluya que A<C. ii) Si A≤B y B≤A, entonces A=B, porque si A≠B, tendríamos que A<B y B<A. En consecuecia según lo demostrado en ii) se infiere que A<A. Y esto no es posible según la Definición 6.8.26. Luego A=B. iv) Ya sabemos que si A≤B, entonces a≤b+h, para algún h∈ℵ(Q) y por consiguiente a+c≤(b+c)+h., lo cual implica, según el Teorema 6.8.27 que A+C≤B+C. Con el fin de demostrar que todos los elementos de ℜ son comparables deacuerdo a ≤, avanzemos con la demostración del siguiente Lema: Lema 6.8.32. Si A=ℵ(Q)+a∈ℜ, entonces A>ℵ(Q)=0, si y solo si existe K∈ℕ tal que an> 2-k , para todo n∈ℕ y n≥K. Y A<0, si y solo si existe K∈ℕ tal que an<-2-K, si n≥K. Demostración. Si A>0, entonces A≠0 y según 5.1.19 a∉ℵ(Q) Por consiguiente de acuerdo a 6.8.21, existe K∈ℕ tal que an>2-K, si n≥K. Es decir, o an>2-K, o , an<-2-K, si n≥K. Pero como A>0, entonces no puede suceder que an<-2-K, si n≥K, porque si definimios

bn=⎩⎨⎧

≥

<+

Kn si ,1/2-

Kn si 1,an

n , entonces b=(bn)n∈ℕ∈ℵ(Q) y a<b, razón para concluir, según el

Teorema 6.8.27, que A< ℵ(Q)=0. Pero esto no es posible, porque al haber aceptado que A>ℵ(Q), tendríamos, según el Teorema 6.8.31, que ℵ(Q)<ℵ(Q), lo cual contradice lo definido en 6.8.26. Luego, an>2-K , si n≥K.

Recíprocamente, si an>2-K, para todo n∈ℕ y n≥K, entonces al definir bn =⎩⎨⎧

≥

<−

Kn si ,1/2

Kn si 1,an

n ,

se infiere que b=(bn)n∈ℕ∈ℵ(Q) y b<a, puesto que si n<K, entonces bn=an-1<an, y si n≥k, se tiene que bn=1/2n≤1/2k<an. Por lo tanto el Teorema 6.8.27, permite deducir que A>0. La demostración de la equivalencia A<0 si y solo si existe K∈ℕ tal que an<-2-K, si n≥K, está prácticamente resuelta en el razonamiento anterior (Ver Ejercicio 6.9.3) 6.8.33. Al notar ℜ+=A∈ℜ/A>ℵ(ℚ)=0 y ℜ

-=A∈ℜ/A<0, el siguiente Corolario verifica

que ℜ, es la unión disyunta de los conjuntos 0, ℜ+ y ℜ-Es decir ℜ=ℜ+∪ℜ

-∪0.

Corolario 6.8.34. i) Si A=ℵ(ℚ)+a∈ℜ y A≠0, entonces siempre es posible una y sola una

de las siguientes opciones: o A∈ℜ+ o -A∈ℜ-. Además: ii) Si A,B∈ℜ+, entonces A+B∈ℜ+;

iii) Si A,B∈ℜ-, entonces A+B∈ℜ

- y iv) Si A∈ℜ-, entonces -A∈ℜ+

292

Demostración. i) Si A≠0 y A∈ℵ(ℚ), entonces según 5.1.19 a∉ℵ(ℚ) y por consiguiente de

acuerdo a 6.8.21, existe K∈ℕ tal que an>2-K, si n≥K. Pero como esto sucede en ℚ, siempre es posible una y sola una de las siguientes opciones: an>2-K, o an<-2-K, si n≥K. Por lo tanto, si an>2-K, para n≥K, entonces, por el Lema 6.8.32, A>0. Pero si an -<2-K, para n≥K, nuevamente por el Lema 6.8.32 obtenemos que A<0. En consecuencia A>0 o –A>0. De tal manera que si A≠0, se tiene que o A∈ℜ+ o -A∈ℜ

-.

Si A,B∈ℜ+, entonces A>0 y B>0, o equivalentemente 0<A y 0<B. Por lo tanto, de acuerdo al Teorema 6.8.31 iv), se tiene que B<A+B y 0<B, y por el aparte ii) de ese mismo teorema se deduce que 0<A+B, es decir A+b∈ℜ+ Análogamente, si A,B∈ℜ+, entonces A<0 y B<0. Por lo tanto A+B<B y B<0; y así A+B<0, razón para deducir que A+B∈ℜ

-

Si A∈ℜ

- entonces -A≠0 y según i) -A∈ℜ+ o -A∈ℜ

-, y por tanto -A∈ℜ+ , porque si –A

∈ℜ-, al haber aceptado por hipótesis que A∈ℜ-, de acuerdo a iii) tendríamos que –

A+A∈ℜ-, y esto no es posible ya que 0∉ℜ-, puesto 0<0 es absurdo

Corolario 6.8.35. Si A,B∈ℜ, tales que A>0 y B>0, entonces AB>0. Demostración. Si A=ℵ(ℚ)+a y B=ℵ(ℚ)+b, entonces según el Lema 6.8.32 existen

M,N∈ℕ tales que an>2-K y bn>2-K, si n∈ℕy n≥K, con K=maxM,N. Por lo tanto an bn<2-

2K, si n≥2K, y en consecuencia, según ese mismo Lema, AB=ℵ(Q)+ab>0. Teorema 6.8.36. Si A,B∈ℜ, entonces solo es posible una y sola una de las siguientes afirmaciones: o A=B o A<B o B<A. Demostración. Veamos que la posibilidad de una de ellas excluye a los dos restantes. Evidentemente, si A=B, la Definición 6.8.26 excluye tanto la eventualidad A<B como B<A. Similarmente la opción A<B excluye por Definición 6.8.26, la oportunidad para A=B. Y el Teorema 6.8.31 no permite oportunidad a B<A, puesto que ello implicaría A<A, que por Definición 6.8.26 no es posible. Análogamente, intercambindo A por B y B por A en el razonamiento anterior, inferimos que la oportunidad para B<A, deja sin posibiladades tanto A=B como a A<B. Ahora veamos que siempre debe ocurrir una de ellas. En efecto, sabemos que obligatoriamente solo es posible una de las opciones A=B o A≠B. Pero si A≠B, entonces como A-B∈ℜ y A-B≠0, ya que A≠B, entonces por el Teorema 6.8.27, se tiene que A-B>0 o B-A>0. Por lo tanto, si A-B>0 el Teorema 6.8.31 (iv), implica que (A-B)+B>B; luego A>B. Análogamente la disyuntuiva B-A>0, intercambiando B por A y A por B en el razonamiento anterior conduce a que B>A

293

6.8.37. A la sucesión con términos rn=r∈ℚ, si n∈ℕ, o sea la sucesión constante r, la notaremos abreviadamente como r, y su correspondiente clase en ℜ, la presentaremos como ℵ(Q)+r Con esta escritura es inmediato ver que si r∈ℚ y la sucesión constante r es tal que r∈ℵ( ℚ), entonces r=0, porque en vista de la convergencia de la sucesión r a 0, y de su carácter constante se deduce de la Definición 6.8.1 que |r|<ε para todo ε∈ℚ +. Estamos en condiciones de avanzar en la comprensión de que entre dos reales, siempre existe un racional, entendiento que A<B<C significa que A0, entonces por la Definición 6.8.26 existe h∈ℵ(Q ) y

a1∈A tal que a1>h. Por lo tanto a= a1-h(an)n∈ℕ∈A y a>0. Además, si b=(bn) n∈ℕ∈B, entonces como A= ℵ(ℚ)+a y B=ℵ(ℚ) +b, y B-A>0, se tendrá por el Lema 6.8.32, que

existe m∈ℕ tal que bn-an>2-m, si n≥m. Pero como a,b∈C(ℚ) se infiere que existe r∈ℕ tal que an-ap<2-(m+2) y bn-bp<2-(m+2), si n≥r y p≥r. De tal manera que si q=maxr,m+2, entonces q≥m+2, pero como también q≥r, se tiene que an-ap<2-(m+2) y bn-bp<2-(m+2), si n≥q y p≥q. Pero al considerar que a∈C(ℚ), entonces de acuerdo al Lema 6.8.20, la sucesión a será

acotada y en consecuencia existe j∈ℕ, con j>1 tal que para cualquier n∈ℕ, y en particular para cualquier n∈ℕ con n≥q, se tiene que an<2-q(j-1). Pero como a>0, entonces an>0, para cualquier n∈ℕ, y la expresión anterior se transforma en: existe j∈ℕ, con j>1 tal que para cualquier n∈ℕ, y en particular para cualquier n∈ℕ con n>q, se tiene que an<2-q(j-1) Luego K=j∈ℕ*/ an<2-q(j-1), si n≥q≠∅ y por consiguiente K tiene un mínimo elemento k. Ahora como no es posible que j=1∈K, porque si 1∈K ello implicaría que an<0, si n∈ℕ y n≥q, y ello entra en contradicción con que a>0. Entonces k>1, razón para afirmar que k-1≥1, ya que k∈ℤ, y por lo tanto 2-q(k-1)>0 y de todas maneras an<2-q(k-1), si n≥q, porque k∈K . En estas condiciones por el Teorema 6.8.28se infiere que A<ℵ(ℚ).+ 2-q(k-1). De otra parte como k es el mínimo de K y k-1∈ℕ, entonces as≥2-q(k-2), para algún s≥q. Por lo tanto, para n≥q, se tiene: bn= bs-(bs-bn)≥ bs-bs-bn≥bs-2-(m+2)>as+2-m-2-(m+2)≥2-q(k-2)+3.2-(m+2)≥ 2-q(k-2)+3.2-q=2-q(k+1). Luego ℵ(ℚ)+ 2-q(k+1)<B. Pero como 2-q(k-1)<2-q(k+1), tendremos según la Definición

294

6.8.26 que ℵ(Q).+ 2-q(k-1)< ℵ(ℚ).+ 2-q(k+1). Razón para concluir que A<ℵ(ℚ)+ 2-q(k+1)<B Al generalizar para Γ⊆ℜ los conceptos de cota superior, e inferior, y supremo e ínfimo, de la Definición 3.8.4, planteamos el siguiente teorema: Teorema 6.8.39. Si Γ⊆ℜ, Γ≠∅, y Γ es acotado superiormente, entonces Γ tiene un supremo en ℜ. Demostración.Demostremos en primer lugar que el teorema es válido si Γ⊆ℜ+=A∈ℜ/A>0 Al considerar que Γ es acotado superiormente existe B∈ℜ tal que para cualquier A∈Γ se tiene que A≤B. Si B∈Γ, entonces B es el supremo de Γ (Ver Ejercicio 6.7.4) y el teorema quedaría demostrado. Pero si B∉Γ, entonces para cualquier A∈Γ, inferimos que A<B. Pero el caso interesante es cuando B no es la única cota superior de Γ, porque si B es la única cota superior de Γ, se tendría que precisamente B sería el supremo de Γ (Ver Ejercicio 6. 9. 13). En consecuencia se puede hablar de otra cota superior C de Γ, tal que B≠C. En estas condiciones al acudir al Teorema 6.8.36, obtenemos que B<C o C<B. Si C<B, de acuerdo al Teorema 6.8.38 existen p,j∈ℕ tales que C<ℵ(ℚ)+ 2-pj<B. Por lo tanto ℵ(ℚ )+ 2-pj es cota superior de Γ. Definamos para cada n∈ℕ, Cn=k∈ℕ/ℵ(ℚ)+2-nk es cota superior de Γ y demostremos que

Cn≠∅, para todo n∈ℕ. En efecto, como 2-nj>2-pj, para n,p∈ℕ y n<p, entonces ℵ(ℚ)+ 2-nj>ℵ(Q)+ 2-pj y por lo tanto

ℵ(ℚ)+ 2-nj es cota superior de Γ, razón para concluir que Cn≠∅, si n<p, ya que j∈Cn. Pero si n≥p, entonces n-p∈ℕ y por lo tanto 2n-p∈ℕ, lo cual indica que si j∈ℕ, tambien 2n-

pj=k∈ℕ. Pero como 2-n(2n-pj)=2-pj, concluimos que (ℵ(ℚ)+2-n(2n-pj))= ℵ(ℚ)+2-pj y en

consecuencia ℵ(ℚ)+2-nk es cota superior de Γ, infieriéndose así que k∈Cn, y por tanto Cn≠∅, si n≥p. Luego Cn≠∅, para todo n∈ℕ. Si cn=minCn, entonces cn>0, ya que si cn=0, ello implicaría ℵ(ℚ) es cota superior de Γ, pero

esto no es posible porqué los elementos de Γ son positivos. Luego cn-1∈ℕ. Además, si ℵ(ℚ)+2-n cn∈Γ, para algún n∈ℕ, entonces ℵ(ℚ)+2-ncn sería el extremo superior de Γ. Pero

si ℵ(ℚ)+2-n cn∉Γ, entonces de todas maneras ℵ(ℚ)+2-ncn>B, para todo B∈Γ y para todo

n∈ℕ.

295

Como cn=minCn se deduce que ℵ(ℚ))+2-m (cm –1) no será cota superior de Γ, lo cual indica

la existencia de B∈Γ tal que ℵ(ℚ)+2-n (cm –1)<B. Pero como B<ℵ(Q)+2-ncn, obtenemos

que ℵ(ℚ)+2-m (cm –1)< B<ℵ(ℚ)+2-ncn, y por lo tanto 2-m(cm –1)<2-ncn. Luego 2-mcm-2-

ncn≤2-m, y en consecuencia, 0<2-mcm-2-ncn≤2-m , si n≥m (Ver Ejercicio 6. 9. 13) .Concluyendo así que la sucesión a=(2-ncn)n∈ℕ∈C(ℚ).(Ver Ejercicio 6. 9. 13) Por lo tanto

A= ℵ(ℚ)+a∈ℜ. Demostremos primero que A es una cota superio de Γ. En efecto, si A no fuera cota superior de Γ, existirían b=( bn)n∈ℕ y B=ℵ(ℚ)+b∈Γ tales que

A<B. Luego B-A>0 y por el Lema 6.8.32 existe m∈ℕ tal que bn-an>2-m, siempre que n≥m. Pero como sabemos que ℵ(ℚ)+2-mcm es cota superior de Γ y B∈Γ, entonces

B<ℵ(Q+2-mcm, y por ende ℵ(ℚ)+2-mcm-B>0. En consecuencia de acuerdo al Lema 6.8.32

existe q∈ℕ tal que 2-mcm-bn>2-q, si n≥q. En particular bn<2-mcm-2-q<2-mcm, si n≥q. Al considerar n=maxm,q obtenemos: 2-m<bn-an=bn-2-ncn<2-mcm-2-ncn≤2-m. Es decir 2-m<2-m, lo cual no es posible según la Definición 6.8.26. Luego A es una cota superior de Γ. Probemos ahora que A es la menor de las cotas superiores de Γ. Razonando nuevamente por el absurdo, si existiera C∈ℜ tal que C es cota superior de Γ, pero C<A, entonces por el Teorema 6.8.38, exciste k,q∈ℕ tales que C<ℵ(ℚ)+2-qk<A. Por

lo tanto A-ℵ(ℚ)+2-qk>0, y según el Lema 6.8.32 existiría m≥q tal que 2-ncn-2-qk>2-m, si n≥m. En consecuencia tendríamos: 2-m(cm-1)= 2-mcm-2-m>2-qk. Luego ℵ(ℚ)+2-m(cm-1)> ℵ(Q)+2-qk>C. Pero como C es cota

superior de Γ, obtenemos que ℵ(ℚ)+2-m(cm-1) es cota superior de Γ, a pesar de que cm-1<cm, contradiciendo la definición de cm. Luego A es la menor de las cotas superiores de Γ, y por consiguiente A=supΓ. Verifiquemos ahora que al demostrar el teorema para Γ⊂ℜ+, podemos inferirlo para cual cualquier subconjunto no vacío de ℜ acotado s uperiormente. En efecto, si Γ⊄ℜ+, las posibilidades para Γ⊂ℜ, son: i) Γ⊂ℜ-=A∈ℜ/A<0, o ii) Existen A∈ℜ+ y B∈ℜ

-, tales que A,B∈Γ.

296

Si Γ=ℜ-, entonces 0 es el extremo superior de Γ. Pero si Γ⊂ℜ

-, definamos -Γ=-A /A∈Γ,

para obtener según el Corolario 6.8.34, que ℘=-Γ⊂ℜ+: En esta situación consideremos ℑ=A∈ℜ+/A≤X, para cualquier X∈℘ y demostremos que ℑ≠∅. En efecto, 0 es cota superior de Γ, pero como Γ≠ℜ-, entonces 0 no es el extremo superior de Γ, lo cual indica que existe Y<0 tal que Y es cota superior de Γ. Por lo tanto Y≥X, para todo X∈Γ, y en consecuencia 0<–Y≤-X. Es decir: 0<-Y≤Z, para todo Z∈℘, de lo cual se deduce que –Y ∈ℑ. Es decir ℑ≠∅. Como por definición ℑ⊂ℜ+, y además ya demostramos que ℑ≠∅, para fijarle un extermo superior a ℑ, solo basta verificar, de acuerdo a lo demostrado anteriormente, que ℑ tiene una cota superior, pero esto es inmediato puesto que todos los elementos de ℘ son, por definición de ℑ, cotas superiores de ℑ. Supongamos entonces que C es el extremo superior de ℑ y comprobemos que –C es el extremo superior de Γ. En efecto, dado que C es el extremo superior de ℑ, y que los elementos de ℘ son, por definición de ℘, cotas superiores de ℑ, entonces C≤X, siempre que X∈℘, lo cual infiere que -X≤-C, para cualquier X∈℘. Luego Z ≤-C, siempre que Z∈Γ y en consecuencia –C es cota superior de Γ. Además, si D es cota superior de Γ, entonces D tiene varias opciones: i) D∈Γ o ii)D<0 y D∉Γ, o iii) D>0. Es evidente que al ocurrir D>0, se tiene que -C<D, puesto que -C<0 ya que C>0. Ahora, si D∈Γ, entonces por ser cota superior de Γ, D≥X para todo X∈Γ.Luego -D≤-X y –D>0 y en consecuencia -D∈ℑ. Por lo tanto –D≤C (1), ya que C es el extremo superior de ℑ. Pero también al considerar que D∈Γ y a la vez D cota superior de Γ, se infiere que D es el extremo superior de Γ. Es decir: D≤-C (2), ya que –C es cota superior de Γ. Luego por (1) y (2) D≤-C≤D Es decir –C=D. Por último, si D<0 y D∉Γ, entonces -D∈ℑ, y por lo tanto -D≤C, y así -C≤D. Luego en todos los casos obtenemos que –C es la menor de las cotas superiores de Γ, concluyendo concluyéndose la validéz del teorema cuando Γ⊂ℜ-. En la situación ii), es decir, si existen A∈ℜ+ y B∈ℜ-, tales que A,B∈Γ. Entonces Ω=X∈Γ/X>0≠∅, ya que A∈Ω. Además como Ω⊂Γ y como Γ está acotado superiormente, concluímos que Ω es un subconjunto no vacío de ℜ+, acotado superiormente, y por lo tanto de acuerdo a lo demostrado Ω tiene un extremo superior C∈ℜ+. Es fácil concluir que C es el extremo superior de Γ, porque en primer lugar C es cota superior de Γ, ya que C≥X, para todo X∈Γ, tal que X>0, porque X satisface esas

297

condiciones, si y solo si X∈Ω. Además como C>0, entonces C>X, para todo X∈Γ, con X≤0. Y si D es una cota superior de Γ, también D es cota superior de Ω, pero como C es el extremo superior de Ω, entonces C≤D. Así concluímos que todo subconjunto no vacío de ℜ, acotado superiormente tiene un extremo superior. 6.8.40. El resultado del teorema anterior no es válido en Q. Por ejemplo, al considerar

K=x∈Q+/x2<2, tenemos que 3 es cota superior de K, porque si existiera k∈K tal que k≥3, entonces k2≥9, pero como 9>2, se infiere que k2>2 y así k∉K, contradiciendo que k∈K. Luego K es acotado superiormente en ℚ . Pero K no tiene supremo en Q, porque si α∈Q fuera cota superior de K, entonces β=α-r, con r=(α2-2)/2α cumple en primer lugar que β<α, pùesto que r>0 . Además β es cota superior de K, puesto que β=(α2+2)/2α y si existiere k∈K tal que β<k, entonces α2+2-2αk=(α-k)2+2-k2<0. Esto es contradictorio porque como (α-k)2≥0 y 2-k2>0, ya que k2<2, entonces α2+2-2αk >0, Hemos demostrado así que no existe una cota superior mínima de K en ℚ, y por lo tanto K no

tiene extremo superior en ℚ. No es difícil probar el siguiente Corolario (Ver Ejercicio 6. 9. 12 ) Corolario 6.8.41. Si Γ⊆ℜ, Γ≠∅, y Γ es acotado inferiormente, entonces Γ tiene un ínfimo en ℜ. 6.8.42. Conclusiones: Todos los resultados obtenidos en 3.8.34, para la construcción de los números reales por el método de las cortaduras de Dedekind son válidos Veámoslo: 1) En el conjunto ℜ=C(ℚ)/ℵ(ℚ), definimos una suma y un producto, de tal manera que el anillo < ℜ,+, •> resultó, según el Teorema 6.8.25, un campo 2) La Definición 6.8.29, permitió introducir la relación notada como “ ≤” en ℜ, que según la Definición 1.17.1 i) es un pseudo orden u orden parcial, porque de acuerdo al Teorema 6.8.31 ≤: es reflexiva simétrica y transitiva. Además tiene las siguientes propiedades:. i) Si C,D,E∈ℜ, y C<D, entonces C+E<D+E (Ver Teorema 6.8.31 iv); ii) Si C,D∈ℜ, tales que C>0* y D>0*, entonces CD>0; iii) C,D∈ℜ, entonces siempre es posible una y sola una de las siguientes opciones: C=D o C<D o D<C. Y iv) De acuerdo al Teorema 6.8.42 Si Γ⊆ℜ, Γ≠∅, y Γ es acotado superiormente, entonces Γ tiene un supremo en ℜ. 3) Note que hemos partido de la construcción del conjunto ℕ de los números naturales en la sección 1.10 y posteriormente se construyeron los conjuntos ℤ y ℚ, en la sección 1.15. El

298

proceso de construcción de los números reales, lo desarrollamos primero mediante las cortaduras de Dedekind en la sección 3.8 y en la presente con el estilo de Cantor. 4) También es importante observar que si r∈Q, en 6.8.37 notamos como r a la sucesión an=r, para cualquier n∈ℕ, entonces la relación f de ℚ en ℜ que a cada r∈ℚ le hace

corresponder f(r)= ℵ(ℚ)+r=[r], tiene las siguientes propiedades: Teorema 6.8.43. La relación f de Q en ℜ, definida para r∈ℚ, como f(r)=[r] =ℵ(ℚ)+r, es un

isomorfismo de anillos de ℚ en ℜ. Demostración. Evidentemente f es una función de ℚ en ℜ (Ver Ejercicio 6.11.3) y además,

si [r]=[s], entonces ℵ(ℚ)+r=ℵ(ℚ)+s, lo cual significa que r-s∈ℵ(ℚ), y por lo tanto, de acuerdo a 6.8.37, se deduce que r-s=0. Luego r=s, y por lo tanto f es inyectiva. Además como f(r+s)=[r+s] =[r]+[s]=f(r)+f(s) y f(rs)=[r][s]=f(r)f(s), si r,s∈ℚ, concluímos

que f es un homorfismos del ℚ en el anillo ℜ, y por lo tanto isomorfismo de anillos de ℚ en ℜ 6.8.44.El Teorema 3.4.9. y el teorema anterior permiten ver que el anillo o el campo ℚ

admite una extensión isomorfa ℜ. Esa extensión se nota como ℝ Vamos a finalizar la presente sección probando que a partir de ℜ es posible construir un conjunto como ℕ. Iniciemos planteando la siguiente definición: Definición 6.8.45. Si K⊂ℜ, diremos que K es un conjunto de peano si : i) 0∈K y ii) si a∈K, entonces a+1∈K. Naturalmente un ejemplo de conjunto de peano en ℜ, es el mismo ℜ. En ese sentido vale la pena analizar las siguientes propiedades de los conjuntos de peano en ℜ, que nos permitirán ir identificando al conjunto P=∩ K⊆ℜ/K es un conjunto de peanocon el

conjunto ℕ de los números naturales, sobre todo en la consideración de 0 como el natural más pequeño, y en la no existencia de naturales entre dos naturales sucesivos. Teorema: 6.8.46 Si P=∩ K⊆ℜ/K es un conjunto de peano, entonces a) 0,1∈P y 0 es el mínimo de P; b) Si x∈P y x≥1, entonces x-1∈P; c) Si x∈ℜ y 0<x<1, entonces x∉P; d) si x∈P y z∈ℜ tal que x<z<x+1, entonces z∉P; e) Si x,y∈P tales que x≤y, entonces y-x∈P, lo cual a su vez implica que si x,y∈P y x≤y, entonces existe h∈P tal que y=x+h.

299

Demostración. a) Si K⊆ℜ tal que que K sea un conjunto de peano, entonces de acuerdo a la Definición 6.8.45 i) se tiene que 0∈K, y también de acuerdo a la parte ii) de esa misma definición 1∈K, puesto que 1=0+1. Entonces 0,1∈P. Además 0 es el elemento mínimo de P, porque P0=x∈P/x≥0, es un conjunto de peano (Ver Ejercicio 6.11.4 ) y por consiguiente si x∈P, entonces por definición de P, se tiene que x∈P0, razón para concluir que x≥0. Es decir 0 es el elemento más pequeño de P. b) Consideremos K=x∈P/si x≥1 entonces x-1∈P, y demostremos que K es conjunto de peano. En efecto: 0∈K, puesto que es válida la implicación: si 0≥1 entonces -1∈P, puesto que según lo demostrado en a) la afirmación 0≥1 es falsa. Además debemos probar que si x∈K entonces x+1∈K. Es decir se trata de aceptar que x∈K y concluir que x+1∈K. Pero probar que x+1∈K, equivale a comprobar que x+1∈P y la implicación x+1≥1 entonces x∈P. En primer lugar x+1∈P, puesto que x∈K y por consiguiente x∈P, entonces como P es un conjunto de peano se tiene que x+1∈P. Además implicación x+1≥1 entonces x∈P, es trivialmente válida ya que x+1≥1, puesto que al tener que x∈P, también tenemos que x∈P0, y por lo tanto x≥0. Y por hipótesis x∈P. Luego x+1∈K. Es decir hemos comprobado que si x∈K entonces x+1∈K. Al haber concluido que K =x∈P/si x≥1 entonces x-1∈Pes un conjunto de peano, inferimos, que si x≥1 y x∈P= P=∩ K⊆ℜ/K es un conjunto de peano, entonces x∈K, razón para concluir que x-1∈P. c) Evidentemente S=x∈P/x=0 o x≥1 es un conjunto de peano (Ver Ejercicio 6.11.4 ). Por lo tanto, si 0<x<1, debe ser que x∉P, ya que si x∈ P=∩ K⊆ℜ/K es un conjunto de peano, entonces x∈S. Entonces x=0 o x≥1, lo cual no es posible porque x>0 y x<1. d) si x∈P y z∈ℜ tal que x<z<x+1, y z∈P, entonces z∈S=x∈P/x=0 o x≥1 y por lo tanto z=0 o z≥1. En consecuencia, si z=0, tendríamos x<0<x+1, lo cual no es posible, porque según a) 0 es el menor elemento de P. Si z≥1, entonces la opción z=1, implica que x<1<x+1. Es decir, de acuerdo a c), x=0 (Ejercicio 6.11.5), y por tanto 1<1. Absurdo. Si z>1, entonces como x<z, se deduce que x≠0, porque si x=0, ello implicaría 0<z<1, con z∈P, contradiciendo lo probado en c). Es decir, x≠0 y por consiguiente x≥1. Pero si x=1, se infiere que 1<z<2, y en consecuencia, por ser z>1, se tiene que z=1+h, con h>0. De tal manera que 1<1+h<2. Luego 0<h<1. Por tanto como z∈P, y z=1+h≥1, entonces por b) h=z- 1∈P, pero esto no esposible ya que 0<h<1 y de acuerdo con c) h∉P.

300

Luego si z>1, también se puede afirmar que x>1. y en esas condiciones dado que z=x+h, con h>0, por ser x<z, podemos escribir que z=(x-1)+(h+1), con x-1∈P, según b). Veamos que ello implica que si z∈P, entonces h+1∈P. Para demostrar lo anterior, al considerar T=a∈P/Si a+(b+1)∈P, entonces b+1∈P, obtenemos que T es un conjunto de peano, ya que 0∈T, puesto que si 0+(b+1)∈P, entonces b+1∈P. Además, si a∈T, ello implica que a∈P y si a+(b+1)∈P, entonces b+1∈P. Por lo tanto si (a+1)+(b+1)∈P, se deduce de acuerdo con b), que a+(b+1)∈P. Pero como a∈P, entonces b+1∈P. Luego a+1∈P. Así las cosas, al aceptar que x-1∈P, entonces la definición de P implica que x-1∈T. Pero como z=(x-1)+(h+1)∈P, entonces h+1∈P y por tanto, según b) h∈P. Pero esto no es viable ya que la inecuación x<x+h<x+1, implica que 0<h<1, y por tanto h∉P Luego, si x∈P y z∈ℜ tal que x<z<x+1, entonces z∉P. e) Si x,y∈P y x≤y, definamos R=x∈P/si y∈P y y≥x, entonces y-x∈P y comprobemos que R es un conjunto de peano. Evidentemente 0∈R (Ver Ejercicio 6.11.6). Además, si x∈R, con x>0 y y∈P tal que y≥x+1, entonces en primer lugar como x+1>x, se infiere que y>x, y por lo tanto dado que x∈R, se deduce que y-x∈P. Además y-x≥1, porque y≥x+1. Luego, según b) se deduce que y-(x+1)=(y-x)-1∈P. Al demostrar que R es un conjunto de peano, se infiere que si x,y∈P tales que x≤y, entonces y-x∈P. Además en vista de que si x,y∈P y x≤y, entonces h=y-x∈P, tendremos como consecuencia de que x=y+h, y de la Definición

Continuando en el propósito de relacionar al conjunto P=∩K⊂ℜ/K es un conjunto de

peano con el conjunto de los números naturales ℕ, es importante ver el comportamiento de la suma y el producto de ℜ restringida a P. Esa es la razón del siguiente teorema: Teorema. 6.8.47. Si + y o son respectivamente la suma y el producto de ℜ, entonces <P,+> <P,o> son estructuras asociativas y modulativas. Demostración. Con respecto a la suma de ℜ restringida a P consideremos U=x∈P/Si y∈P, entonces x+y∈P y demostremos que U es un conjunto de peano. Evidentemente 0∈U. Además, si x∈U, la definición de U implica que x∈P, y si y∈P, entonces x+y∈P. Pero como P es un conjunto de peano obtenemos que x+1∈P y (x+y)+1∈P . Por último teniendo en cuenta que (x+y)+1=(x+1)+y, concluimos que (x+1)+y∈P. Luego x+1∈U. Por lo tanto, si x,y∈P, entonces según la definición de P, se tiene que x∈U, ya que U es un conjunto de peano y por lo tanto x+y∈P, razón para concluir de acuerdo al Corolario 1.1.29 que la suma de ℜ es operación en P

301

Análogamente el conjunto V=x∈P/si y∈P entonces xoy∈Pes un conjunto de peano, ya que es evidente que 0∈V, y si x∈V, entonces x∈P y si y∈P entonces xoy∈P. Por lo tanto al tener en cuenta que P es un conjunto de peano se deduce que x+1∈P, y como ya se demostró que + es operación en P se infiere que xoy+y∈P . Pero como en <ℜ,+,o> es válido afirmar que xoy+y=(x+1)oy, concluimos que (x+1)oy∈P. Luego si x∈P, entonces (x+1)∈P, y así se demuestra que V es un conjunto de peano. En consecuencia, si x,y∈P, entonces x∈V, lo cual implica xoy∈P y por lo tanto de acuerdo al Corolario 1.1.29, el producto usual en ℜ es una operación en P. Por último la asociatividad de <ℜ,+,o>, implica la asociatividad de <P,+> y <P,+o>, y por ser P un conjunto de peano 0,1∈P, de donde se deduce que <P,+> y <P,o> son estructuras algebraicas modulativa. 6.8.48. Por ser válida la propiedad cancelativa en la estructura algebraica <ℜ,+>, también lo será en <P,+>, puesto que P⊂ℜ. Es decir, es válido afirmar que si a,b,c∈P tales que a+b=a+c, entonces b=c. Además el que P⊂ℜ, permite deducir que la relación ≤ de ℜ restringida a P es un orden parcial en P. 6.8.49. Las siguientes propiedades de P son válidas: i) Todo subconjunto finito no vacío de P tiene un elemento mínimo y un elemento máximo. Y ii) Si h∈ℜ+ y h∉P, entonces existe α∈P tal que α<h<α+1. i) Es inmediato porque si K⊆P tal que K≠∅ y K es finito, entonces si K no tuviera elemento máximo y x∈K, debiera existir h1∈K tal que x<h1. Pero por esa misma razón también debiera existir h2∈K tal que h1<h2. De tal manera que por ese procedimiento podemos obtener lo que se podría llamar una cadena ascendente infinita x<h1<h2<h3<.... de elementos de K, entrando así en contradicción con el carácter finito de K. Luego K debe tener un elemento máximo De manera análoga se deduce que K posee un elemento mínimo, para ello basta cambiar “ <” por “>” en el razonamiento anterior y obtener contradictoriamente con el carácter finito de K, una cadena descendente infinita x>h1>h2>h3>.... de elementos de K La afirmación ii) se deduce de i) porque K=x∈P/x<h, es un subconjunto no vacío de P, puesto que 0∈K ya que 0<h. Además K es un subconjunto finito de P, y entonces de acuerdo con i) K tiene un elemento máximo. De tal manera que si α∈P es el elemento máximo de P, entonces en primer lugar α<h, porque α∈P, y en segundo lugar por ser α el elemento máximo de K, ello implica que α+1∉K, es decir o α+1=h o h<α+1: Perocomo h∉P,entonces h<α+1.Luego existe α∈P tal que α<h<α+1. El siguiente teorema explica que todo subconjunto no vacío de P tiene un elemento mínimo. Mientras que la existencia misma de P, indica que no es válido afirmar la presencia de elementos máximos en subconjuntos no vacíos de P. Teorema. 6.8.50; Todo subconjunto A no vacío de P, tiene un elemento mínimo.

302

Demostración. Si 0∈A, entonces 0 es elemento mínimo de A, pero si A⊆P tal que 0∉A y A≠∅. Entonces A es un subconjunto no vacío de P y por lo tanto de ℜ, y además 0 es cota inferior de A razón para concluir, según el Corolario 6.8.41, que A tiene un extremo inferior b∈ℜ. Veamos en primer lugar que b∈P. Si b∉P, entonces como de todas maneras 0 es cota inferior de A se tiene que b≥0, pero dado que b∉P y 0∈P, obligatoriamente b>0, y por ello existiríade acuerdo a 6.8.49 ii) α∈P tal que α<b<α+1. Pero en esta situación α+1 sería cota inferior de A, ya que si existiera x∈A tal que x<α+1, entonces como b≤x, por ser b el extremo inferior de A, se deduce que α<x<α+1, lo cual, según el Teorema 6.8.43 d), no es posible pues x∈P, porque x∈A. Luego b∈P. También es cierto que b∈A, porque si b∉A, entonces b+1 sería cota inferior de A, ya que si x∈A y x≠b, entonces no es posible que x<b+1, en vista de que al ser b<x, puesto que b es cota inferior de A y x∈A, tendríamos que b<x<b+1. Lo cual no es posible, según el Teorema 6.8.43 d). Luego b+1 será cota inferior de A. Absurdo puesto que b es la mayor de las cotas inferiores y en este caso b<b+1. Luego b∈A y así b es el mínimo de A.

6.9 EJERCICIOS.

6.9.1. Si L∈ℚ tal que L∉ℤ, entonces existe k∈ℤ tal que k<L<k+1. Sugerencia: Si Lℚ+ y

L>1, entonces L=p/q, con p,q∈ℤ+ tales p>q. Aplique el Teorema del Residuo a p y q.) 6.9.2 Sabiendo que n

n 21lim

∞→=0, demuestre que K∈ℕ tal que 1/2K<ε/2

6.9.3. Si A=ℵ(ℚ)+a∈ℜ, demuestre que A<0 si y solo si existe K∈ℤ+ tal que an<-2-K, si n≥K. 6.9.4 Demuestre que c y d son dos subsucesiones de una sucesión a en ℚ tales que c

converge a L∈ℚ, d converge a L´∈ℵℚ y L≠L´, entonces a diverge en ℚ

6.9. 5. Demuestre que si a∈C(ℚ), y b∈ℵ(ℚ) tal que 0≤a≤b, entonces a∈ℵ(ℚ).

6. 9. 6. Demuestre que si a∈C(ℚ), y b∈ℵ(ℚ) tal que 0≤a≤b, entonces a∈ℵ(ℚ).

6. 9. 7. Demuestre que si a∈ℚ tal que a<ε, siempre que ε>0 y ε∈ℚ, entonces a=0.

6. 9. 8. Dado que nn 2

1lim∞→

=0 demuestre que existe K∈ℕ tal que 1/2K<ε/2

6. 9. 9 Demostrar: i) Si B∈ℜ es una cota superior de X⊂ℜ tal que B∈X, entonces B es el supremo de X , ii) Si B es la única cota superior X⊂ℜ, entonces B es el supremo de X, iii) Si B∈ℜ y B es cota superior de X⊂ℜ, entonces B es el supremo de X, si y solo si para cada ε>0, existe H∈X tal que B-ε<H 6. 9. 10 Extienda el concepto de ínfimo de la Definición 3.8.4 a ℜ y demuestre: i) Todo subconjunto no vació de ℜ acotado inferiormente tiene un ínfimo.

303

6. 9. 11 Respecto al Teorema 6.8.38, verifique que basta demostrarlo para 0<A<B. 6. 9. 12. Demuestre el Corolario 6.8.41. 6. 9. 13 Relativo al Teorema 6.8.39, en el que se definió Cn=k∈ℕ/ℵ(ℚ).+ 2-nk es cota

superior de Γ, demuestre que si n,m∈ℕ tales que n≥m, entonces cm≥cn. Además demuestre que (2-n cn )n∈ℕ ∈C(ℚ). 6. 9. 14. Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones:

i) Ningún racional es un entero. ii) Todo entero es un racional. iii) Toda sucesión en ℵ(ℚ) es de cauchy.

iv) Si a es convergente en ℚ, entonces a∈C(ℚ).

v) C(ℚ ) es un subanillo del anillo ℚℕ

vi) si a∈C(ℚ) y b∈ℵ(ℚ) son tales que 0≤a≤b, entonces a∈ℵ(Q)

vii) El Teorema 6.8.39 es válido en ℚ.

6.10.CAMPOS DE DEDEKIND. El objetivo es demostrar que el único campo, salvo isomorfismos, que cumple la conclusión 2) de 6.8.42, es el campo ℝ de los números reales Partamos entonces definiendo campo de Dedekind, teniendo en cuenta que de acuerdo a 3.1.20, nuestros anillos son no nulos y en consecuencia tienen como mínimo 2 elementos. Definición 6.10.1. Si <F,+,o> es un campo y ≤ es un orden total en F (Definición 1.17.1 (ii)), diremos que <F,+,o,≤> es un campo de Dedekind, si: 1) Si a,b,c∈F tales a≤b, entonces a+c≤b+c. 2) Si a,b∈F* tales que 0≤a y 0≤b, entonces 0≤ab. 3) Si K⊆F, K≠∅ y K es acotado superiormente, entonces K tiene un extremo superior. 6.10. 2. i) La condición 1) de la Definición 6.10.1 se precisa particularizando la parte aditiva asi: <F,+≤> es un grupo totalmente ordenado, si a) <F,+> es un grupo, con más de un elemento, b) ≤ es un orden total en F y c) Si a,b,c∈F tales que a≤b, entonces a+c≤b+c. La condición c) se acostumbra a expresar afirmando que la operación + es compatible con el orden ≤.. ii) Aclarando que aa⇔a<b. Entonces en la condición 2) si a∈F* y 0≤a, diremos que a es estrictamente positivo, o simplemente que a es positivo, y lo notaremos como a>0. Por lo

304

tanto, si a,b∈F tales que a>0 y b>0, entonces a+b>0 y ab>0(Ver Ejercicio 6.11.2). De otra parte plantear que a≥b, equivale a decir que b≤a. iii) Análogamente, si a∈F, a≤0 y a≠0, expresaremos que a<0 y por lo tanto, si a,b∈F, con a<0 y b<0, entonces a+b<0 (Ver Ejercicio 6.11.2) iv) Si a∈F tal que a>0 y n∈ℤ+, entonces na>0: En efecto, como según 3.1.15 para k∈ℤ

ka=⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−−>+−

=

0k:si),a)(k(0k:si,aa)1k(

0k:si,0, es válido si n=1, porque 1a>0, ya que 1a=a y a>0. Y si

aceptamos como hipótesis de inducción que na>0, con n∈ℤ+, entonces como (n+1)a=na+a y a su vez na>0 y a>0, entonces de acuerdo a ii) (n+1)a>0. Luego na>0, si a∈F tal que a>0 y n∈ℤ+ Más generalmente se puede afirmar que si a∈F tal que a>0 y n∈ℤ tal que n≥0, entonces na≥0. v) Si a∈F tal que a<0 y n∈ℤ+, entonces na<0, ya que si n=1, se tiene 1.a<0, lo cual es válido puesto que 1.a=a y a<0. Si aceptamos que na<0, entonces (n+1)a=na+a, pero como por hipótesis de inducción na<0 y por hipótesis general a<0, se infiere de acuerdo a iii) que na+a<0. Es decir (n+1)a<0. Por lo tanto: Si a<0 y n∈ℤ+, entonces na<0. vi) Si a∈F y a>0, entonces –a<0, porque si –a>0, entonces a+(-a)>a+0. Es decir 0>a, pero ya teníamos que a>0. vii) Si a∈F, a>0 y n∈ℤ, con n<0, entonces se infiere según v) que na<0, ya que na=(-n)(-a), -n ∈ℤ+, porque n<0 y –a<0 . viii) Si n,m∈ℤ y a∈F tales que m≤n y a>0, entonces ma≤na. En efecto dado que m≤n, se infiere que n-m≥0, y de acuerdo a iv) (n-m)a≥0. Pero como (n-m)a na-ma, se infiere que na-ma≥0 y por lo tanto na≤ma. ix) Si a∈F, a>0 y n∈ℤ tal que na=0, entonces n=0. Porque si n≠0, entonces n>0 o n<0. Si n>0, se infiere por iv) que na>0, lo cual no es posible porque como na=0, tendríamos 0>0. Luego no es posible n>0. Pero si n<0, entonces vii) indica que na<0, relación tampoco aceptable porque de ella se deduce 0<0, en vista de na=0. Es decir tampoco es posible n<0. Y por lo tanto n=0. Es también importante para nuestros propósitos definir los conceptos de grupo y campo arquimedeano, de la siguiente manera: Definición 6.10 3. Si <G,+,≤> es un grupo totalmente ordenado con más de un elemento y 0 es el módulo de <G, +>, entonces <G,+,≤> es un grupo ordenado arquimedeano, si para cada a,b∈G, con a>0 y b>0, existe n∈ℤ* tal que na>b. Además un campo <F,+,o≤> totalmente ordenado es arquimedeano, si <F,+,≤> es un grupo ordenado arquimedeano.

305

Ejemplo 6.10 4. Si la Definición 6.10.1. se generaliza a anillos y ℤ es el anillo de los enteros, entonces <ℤ,+,o ≤> es un anillo totalmente ordenado de Dedekind. En efecto, a sabemos que <ℤ,+,o≤> satisface las condiciones 1) y 2) de la Definición 6.10.1.y de acuerdo al desarrollo de la demostración del Teorema 6.8.39, basta demostrar que todo subconjunto B no vacío de enteros positivos acotado superiormente tiene un extremo superior. Pero en esas condiciones B⊆ℕ, y por lo tanto B tendrá un extremo superior. Veamos ciertas cualidades de los elementos definidos: Teorema 6.10 5. Si <G,+≤> es un grupo ordenado arquimedeano tal que existe a∈G, a>0, y a es el mínimo elemento positivo de G, entonces G es isomorfo al grupo ℤ aditivo de los enteros.

Demostración. Para comprobarlo estudiemos la aplicación f de ℤ en G, definida como f(n)=na, si n∈ℤ. Evidentemente f es una función y además f es un homomorfismo de grupos, puesto que si n.m∈ℤ, entonces f(n+m)=(n+m)a=na+ma=f(n)+f(m). También f es inyectivo, ya que si n,m∈ℤ tales que na=ma, entonces na-ma=0 y por lo tanto (n-m)a=0. Aplicando ahora 6.10. 2 vii), se deduce que n-m=0, o sea que n=m y en consecuencia f seria inyectiva, razón para concluir f es un isomorfismo de grupos.

Veamos que G=<a>. Para tal fin verifiquemos que si b∈G, entonces b∈<a>. Como la demostración es inmediata si b=0, resta probar que si b∈G y b>0, entonces b∈<a>, así como verificar que si b∈G y b<0, entonces b∈<a>.

En efecto, si b∈G y b>0, entonces el conjunto K=n∈ℕ/b<na≠∅, porque como G es un grupo ordenado arquimedeano, entonces por la Definición 6.10 3 existe n∈ℕ tal que b<na. Entonces n∈K. Así las cosas K tiene un elemento mínimo, que notaremos como m.

Dado que m=minK, se deduce que m>0, porque si m=0, obtendríamos que b<0a=0, y por tanto ba<0, lo cual no es posible ya que b>0. Pero tampoco es posible que m=1, porque ello implicaría que b<a, negando así que a es el menor elemento positivo de G. Luego m>1.

Además, al considerar m=minK, obtenemos que (m-1)a≤b<ma, y como G es un grupo ordenado, por 6.10. 2 i) se tiene que (1-m)a+(m-1)a≤(1-m)a+b<(1-m)a+ma y por tanto: 0≤(1-m)a+b<a. Pero como a su vez, por hipótesis a es el menor elemento positivo de G, se deduce que no es posible (1-m)a+b>0, y por lo tanto (1-m)a+b=0, lo cual implica que (m-1)a=b. Luego b∈<a>.

Es decir, si b∈G y b>0, entonces b∈<a>.

Si b∈G, pero b<0, entonces –b>0, y según lo demostrado anteriormente, -b∈<a>. Entonces existe n∈ℤ tal que –b=na, lo que permite inferir que b=(-n)a y por consiguiente b∈<a>.

306

Luego G=<a>, y en esas condiciones la función f de ℤ en G definida como f(n)=na, si n∈ℤ, resulta ser un isomorfismo biyectivo y por ende ℤ≈G

Otro resultado importante es el siguiente:

Teorema 6.10.6. Si <G,+,≤> es un grupo ordenado arquimedeano que no tiene un mínimo elemento positivo, entonces i) Si g∈G y g>0, entonces existe c∈G, c>0 tal que 2c<g; ii) Si h,g∈G tales que g>0 y h>0, entonces g+h=h+g; iii) <G,+> es un grupo abeliano. Demostración. i) Como G no tiene un elemento mínimo positivo y g∈G, con g>0, entonces existe c∈G tal que c>0 y c<g, lo cual implica que g-c>0, y por esa misma razón existe existe d∈G, tal que 0<d<g-c. Luego c<d+c<g y al ser d+c∈G, se deduce que es posible encontrar b∈G tal que c<b<g. De tal manera que los conjuntos A=x∈ℤ+/xc<g y B=x∈ℤ+/xb<g son no vacíos puesto que 1∈A y 1∈B. Pero también A y B son finitos, puesto que al ser G arquimedeano existen P,Q∈ℤ+ tales que Pc>g y Qb>g. En consecuencia existen M y N máximos enteros positivos tales Mc<g y Nb<g. Entonces M>N, porque si N≥M, tendríamos, por definición de M que Nc≥g, pero como g>Nb, inferimos que Nc>Nb. Luego c>b, lo cual no es posible por que c<b. Por consiguiente M≥2, y así 2c<g.

ii) Si existieran h,g∈G tales que h+g≠g+h, por ejemplo (h+g)-(g+h)=c>0, entonces por i) existe d∈G, d>0 tal que 2d<c. Además como G es arquimedeano, es posible localizar M y N máximos enteros positivos tales que Md≤h<(M+1)d y Nd≤g<(N+1)d. Por lo tanto (M+N)d≤h+g<(M+1)d+(N+1)d=(M+N+2)d, y a su vez –(M+N+2)d<–(g+h)≤-(M+N)d. Luego (M+N)d-(M+N+2)d <c < (M+N+2)d-(M+N)d = 2d. Luego c<2d y esto no es posible ya que 2d<c. Luego h+g=g+h, siempre h,g∈G, con h>0 y g>0.

iii) Sabemos por ii) que h+g=g+h, siempre h,g∈G, con h>0 y g>0. Además h+g=g+h, cuando h=0 o g=0. Ahora si h,g∈G, con h<0 y g<0, entonces existen a,b∈G, a>0 y b>0, tales que h=-a y g=-b. Pero como –(a+b)=(-b)+(-a) y por ii) –(a+b)=-(b+a)=(-a) +(-b), se deduce que (-a)+(-b) =(-b)+(-a). Entonces h+g=g+h, si h,g∈G, con h<0 y g<0.

Si h>0 y g<0, entonces –g>0 y de acuerdo a ii) h+(-g)=(-g)+h. De tal manera que g+((h+(-g)) +g)=g+((-g)+h))+g, y por tanto g+h=h+g. Análogamente, si h<0 y g>0, intercambiando h por g y por h, en el razonamiento inmediatamente anterior concluímo que si g>0 y h<o, entonces h+g=g+h.

Luego h+g=g+h, siempre que h,g∈G.

Para avanzar en el propósito señalado es importante ampliar el concepto de isomorfismo entre grupos, al de isomorfismo entre grupos totalmente ordenados, de la siguiente manera:

Definición 6.10 7. Si <G1,+,≤> y <G2,+,≤> son grupos totalmente ordenados y f de G1 en G2 es una función, diremos que f es un isomorfismo de grupos totalmente ordenados, si para a,b∈G1 se tiene que:

307

1) f(a+b)=f(a)+f(b) y 2) si a<b, entonces f(a)<f(b). Si además f es sobre diremos que <G1,+,≤> es isomorfo a <G2,+,≤>, notado<G1,+,≤>≈<G2,+,≤>

6.10 8. En la definición anterior se entiende que + en a+b, y < en a<b, corresponden a la suma de G1 y al orden de G1, mientras que + en f(a)+f(b) y < en f(a)<f(b), se refieren a la suma y al orden de G2

Análogamente para campo se plantea la siguiente definición:

Definición 6.10.9. Si <K1,+,≤> y <K2,+,≤> son campos totalmente ordenados y f de K1 en K2 es una función, diremos que f es un isomorfismo de campos totalmente ordenados, si para a,b∈K1 se tiene que:

1) f(a+b)=f(a)+f(b), 2) f(ab)=f(a)f(b) y3) si a<b, entonces f(a)<f(b). Si además f es sobre, diremos que <K1,+,≤> es isomorfo a <K2,+,≤>, notado como: <K1,+,≤> ≈ <K2,+,≤>

Teorema 6.10.10. Si <G,+≤> un grupo ordenado arquimedeano abeliano y a∈G, a>0, entonces existe un único isomorfismo fa de <G,+,≤> en <Q,+,≤> tal que fa(a)=1.

Demostración. Iniciemos definiendo para cada x∈G, al conjunto Lx=r∈ℚ/(∃m,n)(m∈ℤ ∧

n∈ℕ*)(r=m/n ∧ ma<nx) y demostremos las siguientes propiedades de Lx:

1) Si r∈Lx y p/q≤r, donde p∈ℤ y q∈ℕ*, entonces pa<qx. Es decir p/q∈Lx.

En efecto como p/q≤r y q∈ℕ*, entonces p≤qr (i). Pero por ser r∈Lx, se tiene que existen m∈ℤ y n∈ℕ* tales que r=m/n, razón para deducir en primer lugar, al sustituir en (i) que np≤qm, y en segundo lugar por la definición de Lx inferir que ma<nx (ii). Entonces dado (i) y la consideración a>0 y n∈ℕ* implica , por 6.10. 2, iv y viii) que n(pa)=(np)a≤(qm)a=q(ma). Aplicando ahora (ii), por ser q∈ℕ* se puede asegurar que q(ma)<q(nx), y por consiguiente n(pa)<q(nx)=n(qx), indicando ello que pa<qx, porque si pa≥qx, entonces según 6.10. 2, iv, al aceptar que n∈ℕ*, se infiere que n(pa)≥n(qx), contradiciendo n(pa)<n(qx).

2) Lx≠∅.

En efecto, si x≥0, entonces -x≤0, y en vista de que a>0, tendremos que –x<a. Luego -a<x, y así, según la definición de Lx, se infiere que -1∈Lx. Es decir, en el supuesto x≥0, es válido afirmar que Lx≠∅.

Pero si x<0, entonces –x>0, en consecuencia ya que G es arquimedeano, por la Definición 6.10 3, existe m∈ℕ* tal que –x<ma. Razón para deducir que (-ma)<x. Es decir, por definición de Lx, se concluye que –m∈Lx Luego también la consideración x<0, implica que Lx≠∅.

De esta manera tiene sentido afirmar que si x∈G,entonces Lx≠∅.

308

3) Lx es acotado superiormente y además Lx tiene un entero máximo.

En efecto, nuevamente por la Definición 6.10 3, al ser G un grupo ordenado arquimedeano si x>0, existe n∈ℤ* tal que na>x. Situación que ubica a n como una cota superior de Lx, porque si n no fuera cota superior de Lx, existiría r=s/t∈Lx tal que n<r. Por lo tanto, según 1) na<x, lo cual no es posible ya que na>x. Luego si x∈G y x>0, entonces Lx es acotado superiormente.

Para comprobar que bajo el supuesto x∈G y x>0, Lx tiene un entero máximo, al haber encontrado que n∈ℤ* es una cota superior de Lx, se deduce que si c es el extremo superior de Lx, entonces 0<x≤c≤n, y en consecuencia como según 1) 0∈ Lx,. Por tanto J=z∈ℤ/z∈Lx y z<c≠∅, puesto que 0∈J Razón para concluir que J tiene un elemento máximo y de esta manera Lx tiene un entero máximo, si x∈G y x>0.

Ahora, si x≤0 y s=u/v∈Lx, entonces ua<vx. Pero como v∈ℕ* y x≤0, entonces vx≤0. Luego ua<0. Teniendo en cuenta que a>0, inferimos que u<0, lo cual a su vez implica que s=u/v<0, puesto que v∈ℕ*. Luego 0 es cota superior de Lx. Resultado que asegura la certeza de implicación, si x∈G y x≤0, entonces Lx es acotado superiormente.

En la situación x≤0 se presenta a su vez que si c es el extremo superior de Lx, entonces x≤c≤0, pero como ℤ carece de mínimo debe existir z∈ℤ tal que z<x, y por lo tanto al acudir a 1) se deduce que z∈ Lx. Es decir J≠∅ y así J tiene un elemento máximo y por ende Lx también tiene un entero máximo.

Luego, si x∈G, entonces Lx es acotado superiormente y Lx tiene un entero máximo.

4) Si x,y∈G, entonces Lx+y=Lx+Ly.

Pues si x,y∈G y m/n∈Lx+y, donde m∈ℤ y n∈ℕ*, se deduce por definición de Lx+y, que ma<n(x+y). De tal manera que n(x+y)-ma>0. En consecuencia, por ser G un grupo ordenado arquimedeano, se infiere por Definición 6.10 3 la existencia de q∈ℕ* tal que a<q(n(x+y)-ma). Desigualdad a partir de la cual se deduce que a+mqa<nq(x+y), y por tanto (mq+1)a<nq(x+y) (i).

Teniendo en cuenta 3) sabemos que Lnqx es acotado superiormente y existe un entero máximo j tal que j∈Lnqx. Entonces en primer lugar como j∈Lnqx, se tiene que ja<nqx, de donde se infiere que (j/nq)∈Lx (*). En segundo lugar j+1∉Lnqx, puesto que j es el máximo entero tal que j∈Lnqx. Por lo tanto, (j+1)a≥nqx. (ii)

Consideremos k=mq-j (iii). Entonces dado que (nq)x+(nq)y = (nq)(x+y), aplicando suesivamente (i), (iii) y (ii), obtenemos (nq)x+(nq)y = (nq)(x+y)>(mq+1)a= (j+k+1)a =(j+1)a+ka ≥nqx+ka. Luego (nq)y>ka y en consecuencia por la definición de Ly se deduce que (k/nq)∈Ly (**)y por consiguiente acudiendo a (*) y (**) se concluye que m/n = (j/nq)+(k/nq)∈Lx+Ly. Luegon Lx+y⊆Lx+Ly. (•)

309

Recípocamente, Si m/n∈Lx y p/q∈Ly, con m,p∈ℤ y n,q∈ℕ*, entonces ma<nx y pa<qy, y por lo tanto: (mq+np)a = (mq)a+(np)a= q(ma)+n(pa)<q(nx)+n(qy)=nq(x+y). Luego (mq+np)a < nq(x+y) y por ende (m/n)+(p/q) = (nq+np)/nq ∈Lx+y . Luego Lx+Ly⊆Lx+y.(• •)

De las contenencias (•) y (••) se deduce que Lx+Ly=Lx+y. Si se Define fa(x)=supLx, para x∈G, evidentemente fa es una función de G en ℝ. Además como según 3) Lx+y=Lx+Ly, y por esa razón supLx+y=sup(Lx+Ly)= sup(Lx) +sup(Ly) (Ver Ejercicio 6.11.7), entonces fa(x+y)= fa(x)+ fa(y). Luego fa cumple la condición 1) de la Definición 6.10 7.

Probaremos enseguida la condición 2) de la Definición 6.10 7..

Si x,y∈G y x<y, entonces y-x>0. Por lo tanto, en vista de que G es un grupo ordenado arquimedeno, de acuerdo a la Definición 6.10 3 debe existir n∈ℕ* tal que a<n(y-x). Pero como n∈ℕ*, se infiere que 1/n∈Ly-x. Entonces por defnición de fa, se infiere que 1/n≤fa(y-x), para obtener que fa (y)= fa (y-x)+ fa (x)≥1/n+ fa(x)> fa(x). Luego fa(y)> fa(x), y así fa satisface la condición 2) de la Definición 6.10 7, y como ya habíamos demostrado que fa también cumple la condición 1) Definición 6.10 7, se ha demostrado que fa es un ismorfismo de <G,+≤> en <ℝ,+≤>

También fa(a)=1, porque si m/n∈La, entonces ma<na y por lo tanto na-ma>0, por lo tanto (n-m)a>0, lo cual implica que n-m>0, razón para entender que n>m. Como los recíprocos de los pasos anteriores son válido, concluímos que La=m/n/m∈ℤ, n∈ℕ* y m<n y en consecuencia sup(La)=1, puesto que m/n∈La, si y solo si m<n, es decir m/n∈La, si y solo si m/n<1. Luego fa(a)=1.

Por último comprobemos la unicidad de fa.

Sea g un isomorfismo de <G,+,≤> en <ℝ,+,≤> tal que g(a)=1, demostraremos que g= fa. Razonando por el absurdo, si existiera x∈G tal que g(x)< fa(x), entonces por el Teorema 6.8.38 existe r=p/q∈Q, q∈ℕ*, tal que g(x)<p/q< fa(x), entonces por la definición de fa, se deduce que p/q<r, para algún r∈Lx, (Ver Ejercicio), y entonces de acuerdo a 1) pa<qx. En consecuencia:

p=pg(a)=g(pa)<g(qx)<qg(x)<qp/q=p. Luego p<p, lo cual no es posible y por eso tampoco es posible encontrar x∈G tal que g(x)< fa(x).

Análogamente, si existiera x∈G tal que fa(x)<g(x), entonces existiría p/q∈ℚ, con p∈ℤ y

q∈ℕ*, tal que fa(x)<p/q<g(x), por lo tanto p/q∉Lx y en esas condiciones pa≥qx. Luego: p=pg(a)=g(pa)≥g(qx)=qg(x)>qp/q=p. Por esa razón tampoco es posible encontrar x∈G tal que fa(x)<g(x). De esta manera se concluye que g= fa

310

Teorema 6.10.11. Si K es un campo ordenado arquimedeano, entonces existe un único isomomorfismo del campo ordenado K en el campo ordenado R de los números reales.

Demostración. Puesto que 1∈K y 1>0 (Ver Ejercicio 6.11.1) el Teorema 6.10.10 garantiza la existencia de un único isomorfismo f del grupo <K,+,≤> en el grupo <ℝ,+,≤> tal que f(1)=1, por lo tanto al tenor de la Definición 6.10.9 solo resta probar que. f(ab)=f(a)f(b), siempre que a,b∈K

En primer lugar, si s∈K, con s>0, entonces Ms definida de K en K como Ms(x)=sx, siempre que x∈K es un automorfismo del grupo <K,+>. Además, 1sM − = 1

sM − . (Ver Ejercicio). Por lo tanto, si s∈K y s>0, entonces por ser f un automorfismo del grupo <K,+>, entonces la Definición 6.10 7 ii) indica que f(s)>f(0), entonces f(s)>0 y en consecuencia (f(s))-1>0. De tal manera que 1(f(s))

M − ofoMs es un isomorfismo de <K,+≤> en <ℝ,+≤> y

por tanto 1(f(s))M − ofoMs(1)= 1(f(s))

M − (f(s))=(f(s))-1f(s)=1.

Al conocer a f como el único isomorfismo de <K,+≤> en <ℝ,+,≤> tal que f(1)=1, entonces 1(f(s))M − ofoMs=f. Pero como 1(f(s))M − = 1

f(s)M − , se deduce que foMs=Mf(s)of. Así las cosas, si

t∈K, se tiene que f(st)=Mf(s)(f(t))=f(s)f(t). Luego f es un isomorfismo del campo ordenado arquimedano K en el campo ℝ

Teorema 6.10 12. Si K es un campo ordenado arquimedeano que carece de elemento positivo mínimo, entonces para cada a∈K,a>0, existe un único isomorfismo fa de <K,+,≤> en <ℝ,+,≤> tal que fa(a)=1, que además es sobreyectivo y por lo tanto <K,+,≤>≈<ℝ,+,≤>.

Demostración. Según el Teorema 6.10.10, si a∈K y a>0, existe un único isomorfismo fa de <G,+≤> en <ℝ,+≤>. Por tanto, si fa(G)=H, entonces <H,+, ≤> es un grupo ordenado de Dedekind que no posee un elemento positivo mínimo y además <H,+, ≤>≈ <K,+≤>. El propósito es demostrar que H=ℝ.

Probemos primero que si s=infH+=infh∈H/h>0., entonces s=0. En efecto, es imposible que s<0, porque 0 es cota inferior de H+, y ello negaría a s como la mayor cota inferior de H+. Si s>0, se tendría que s∉H, porque si s∈H, entonces s sería el elemento positivo mínimo de H, contrario al supuesto de que H carece de tal elemento. En consecuencia por la definición de s y por el Teorema 6.10.6 i) exitiría x∈H tal que s<x<2s y también existiría y∈H tal que s<y<x, en consecuencia x-y∈H y 0<x-y<s. Lo cual no es posible porque s es cota inferior de H. Luego s=0.

En segundo lugar probemos que si u,v∈ℝ tales u<v, entonces existe w∈H tal que u<w<v.

Al suponer que u≥0, entonces como 0<v-u, y 0=infH, existe x∈H tal que 0<x<v-u. Aplicando ahora que H es arquimedeano, consideremos a n como el más pequeño entero positivo tal que u<nx. Por lo tanto, dado que n>0 se tiene que n-1∈ℕ y por lo tanto: (n-1)x≤u<nx. Es decir u<nx=x+(n-1)x<v-u+u=v, y al tomar w=nx∈H, se obtiene que u<w<v.

311

Si u<0<v, entonces basta tomar w=0∈H, porque <H,+> es un grupo. Por último, si u<v≤0, entonces como –v≥0 y –u>0, ya probamos que existe x∈H tal que –v<x<-u, y en cosecuencia u<-x<v. Luego tomando w=-x∈H, se deduce que u<w<v.

De esta manera se concluye que si u,v∈H y u<v, entonces existe w∈H tal que u<w<v.

Ahora si demostremos que H=ℝ. En efecto, si c∈ℝ, definamos C=x∈H/x≤c. Entonces C es un subconjunto no vacío de H que posee una cota superior en H. Porque como c-1<c, existe x∈H tal que c-1<x<c. Es decir x∈C, y así C≠∅. Además como c<c+1, existe y∈H tal que c<y<c+1, es decir, y es cota superior de C en H.

Sea entonces b=supC∈H. Entonces b=c, porque si b<c de acuerdo a lo demostrado existiría x∈H tal que b<x<c, y así x∈C, lo cual no es posible porque b es cota superior de C. Análogamente intercambiando b por c y c por b se deduce que tampoco es posible c<b. Luego b=c y así c∈H y por tanto ℝ⊆H. Es decir ℝ=H.

Teorema 6.10 13. Si K es un campo ordenado de Dedekind, entonces K≈ℝ. Y por lo tanto el único automorfismo del campo ℝ es la idéntica.

Demostración. Sabemos según el Teorema 6.10.11 que existe un único isomorfismo f del campo K en el campo ℝ, pero como además si a∈K y a>0, entonces a/2>0 y a/2<a, entonces K no tiene un mínimo elemento positivo, y de acuerdo al teorema 6.10 12 ese isomorfismo es sobre. Luego K≈R. Por último como la idéntica es un automorfismo del campo ℝ, y solamente existe un automorfismo del campo ℝ, se deduce que el único automorfismo del campo ℝ es la idéntica

6.10 14. Es evidente que <ℝ+,o≤>, con o=producto usual en ℝ, es un grupo ordenado de Dedekind Por lo tanto según el Teorema 6.10.10, si a>0 y a∈ℝ, entonces existe un único isomorfismo fa del grupo <ℝ+,o,≤.> en el grupo <ℝ,+,≤> tal que fa(a)=1. Con base en esta información planteamos la siguiente definición:

Definición 6.10 15. Si a∈ℝ+ y a>1, entonces la función logarítmica de base a es el único ismorfismo fa de <ℝ+,o,≤> en <ℝ,+≤> tal que fa(a)=1. Si 0<a<1, la función logarítmica de base a es 1af − oJ, donde J is la función de ℝ+ en ℝ+ definida como J(x)=x-1. Además la función logarítmica de base a, la notaremos como loga.

6.10 16. La definición anterior permite demostrar las siguientes propiedades, para x,y∈ℝ+ y n∈ℤ i) loga(xy)= loga(x)+ loga(y); loga(1)=0; iii) loga(x-1)= -loga(x), iv) loga(xn)=n loga(x) , v) loga(a)=1; vi) Si a>1, la función loga es creciente. Pero si 0<a<1, entonces la función J es decreciente y por tanto loga es decreciente. De todas maneras loga es biyectiva y contará con una función inversa, que justifica la siguiente definición:

Definición 6.10 17. Sea a∈ℝ+ tal que a≠1, entonces la función exponencial de base a es la función 1

alog − de <ℝ,+,≤> sobre <ℝ+,o,≤>, que abreviaremos como 1alog − =expa.

312

6.10 18. La función expa tiene las siguientes propiedades, para todo x,y∈ℝ y n∈ℤ:

expa.(x+y) = expa.(x)expa.(y); ii) expa(-x) = (expa.(x))-1 ; exp(nx) = (expa(x))n; iv) expa(n) = n

a (1))(exp =an., (Ver Ejercicio 6.11.8). La propiedad iv), induce la notación expa.(x)=ax,

definiendo 1x=1, para cualquier x∈ℝ. De tal manera que es verificable comprobar, para todo x,y∈ℝ y n∈ℤ, se tiene que:

1) ax+y=axay; 2) anx=(ax)n; 3) a-x=(ax)-1 (Ver Ejercicio 6.11.8)

6.10 19. Es importante anotar que si a>1, entonces expa.es estrctitamente creciente, puesto que loga lo es. Perosi 0<a<1, entonces expa.es estrictamente decreciente porque loga lo es.

Teorema 6.10 20. Si a∈ℝ+ y a≠1, entonces para todo x,y∈ℝ: 1) logaxy=ylogax; 2) axy=(ax)y

;3) (ab)x=axbx.

Demostración. Si a>1 y x>0, pero x≠1 y b=logax, se tiene en consecuencia que expa y 1b

M − son estrictamente creciente. Además como a>1, entonces loga es estrictamente creciente. Por tanto g definida como g= 1bM − ologaoexpx es una función estrictamente

creciente de ℝ sobre ℝ.

Pero también g es un automorfismo del grupo <ℝ,+>, puesto que g es una composición de automorfismos de <ℝ,+>, pero ello también implica que g es también un automorfismo del grupo ordenado<ℝ,+,≤> (Ver Ejercicio 6.11.9), para el cual g(1)=1.Entonces como de acuerdo al Teorema 6.10.10 existe un único automorfismo f del grupo ordenado <ℝ,+≤> tal que f(1)=1, y la idéntica lo es, tendremos que g=i. Además como 1−b

M = 1−bM , inferimos

que logaoexpx=Mb..

Luego logaoexpx(y)=yb=ylogax , entonces logaxy=y logax.

Análogamente, si 0<x<1, basta cambiar > por < y estrictamente creciente por estrictamente decreciente, en el razonamiento anterior, para concluir que logaxy=y logax.

Si x=1, loga1y=0=yloga1. Luego logaxy=y logax, si y∈ℝ, a>1 y x>0

Si 0<a<1, x>0 y y∈ℝ, entonces según la Definición 6.10 15, se tiene que:

logaxy = 1alog − (xy)-1 = 1alog − (x-y) =-y 1alog − (x) = -ylogax-1=-y(-logax)=ylogax.

2) Si x,y∈ℝ y a∈ℝ, tal que a>0 y a≠1, entonces logaaxy = loga(expa(xy))=logoexpa(xy)=xy= yx=y(logaoexpa)(x) =yloga(expax)=ylogaax=loga(ax)y. Luego logaaxy= loga(ax)y, y como loga es inyectiva, entonces axy=(ax)y. Como además 1xy=1=1y=(1x)y, se deduce la validez de 2).

313

3) Si a,b∈ℝ, a>0 y b>0, y x∈ℝ, entonces log2(ab)x=x log2(ab)=x log2a+x log2b= log2ax+log2bx = log2axbx, entonces (ab)x=axbx, para cualquier x∈ℝ.

Teorema 6.10 21. Si a∈ℝ+ y n∈ℕ*, entonces la ecuación xn=a, tiene una única solución en ℝ. Esa solución se acostumbra a notar como α= n a

Demostración. Dado que la afirmación es evidente si a=0, supondremos que a>0. Por lo tanto si x=a1/n, entonces xn =(a1/n)n=a, según 2) del Teorema anterior. Luego a1/n es una solución de la ecuación xn=a. Teniendo en cuenta ahora que la función f de <ℤ,+> en el grupo multiplicativo <ℝ+,o>, definida como f(x)=xn, es un isomorfismo (Ver Ejercicio 6.11.10), entonces si existen α,β∈ℝ+ tal que αn=a y βn=a, entonces f(α)=f(β) y por lo tanto α=β, ya que f es inyectiva. Es decir xn=a, tiene una única solución en ℝ

Teorema 6.10 22. Si a∈ℝ, entonces a≥0 si y solo si existe α∈ℝ talque α2=a.

Demostración. Evidentemente, si existe α∈ℝ talque α2=a, entonces a≥0. Y el recíproco es consecuencia del teorema anterior.

6.11. EJERCICIOS.

6.11.1 Si K es un campo ordenado arquimedeano tal que 1∈K, entonces 1>0 6.11.2 si a,b∈F tales que a>0 y b>0, Demuestre que a+b>0 y ab>0. Análogamente, si a∈F, si a,b∈F, con a<0 y b<0, demuestre que a+b<0 Tal como se presentó en 6.10. 2 ii y iii) 6.11.3. Demuestre que f de Q en ℜ, definida (r)=¨[r] es un isomorfismo de anillos de ℚ en ℜ.(Ver Teorema 6.8.43) 6.11.4. Demuestre i) P0=x∈P/x≥0, es un conjunto de peano ; ii) S=x∈P/x=0 o x≥1 es un conjunto de peano 6.11.5. Demuestre que si x∈ℕ y x<1, entonces x=0. 6.11.6 Si R=x∈P/si y∈P y y≥x, entonces y-x∈P demuestre que 0∈R 6.11.7. Demuestre que si A y B son subconjuntos acotados superiormente de ℝ, entonces sup(A+B)=sup(A)+sup(B).

6.11.8. Demuestre para todo x,y∈ℝ y n∈ℤ, se tiene que: expa.(x+y) = expa.(x)expa.(y); ii) expa(-x) = (expa.(x))-1 ; exp(nx) = (expa(x))n; iv) expa(n) = n

a (1))(exp =an. Demuestre

también que para todo x,y∈ℝ y n∈ℤ, se tiene que:

1) ax+y=axay; 2) anx=(ax)n; 3) a-x=(ax)-1 .

6.11.9.En relación con el Teorema 6.10 20 demuestre que g= 1bM − ologaoexpx es un

automorfismo del grupo ordenado<ℝ,+,≤>

314

6.11.10Demuestre que la función f de <ℤ,+> en el grupo multiplicativo <ℝ+,o>, definida como f(x)=xn, es un isomorfismo.

315

CAPÍTULO 7. TEOREMAS DE SYLOWS En el Teorema de Lagrange (5.1.20) demostramos que el número de elementos de un subgrupo H de un grupo finito G, es un divisor del número de elementos de G. A pesar de que el recíproco de este Teorema es válido para grupos cíclicos finitos, como se demostró en el Teorema 5.2.7 y que ello también es cierto para grupos abelianos finitos, dicho resultado no se cumple en general. El Ejercicio 7.5.22 nos muestra el caso de un grupo con 12 elementos para el cual no existen subgrupos con 6 elementos. El objetivo del presente Capítulo es precisamente analizar ciertos divisores del orden de un grupo finito a los que le corresponde subgrupos con ese número de elementos. En el Teorema 5.2.10 se demostró, para grupos abelianos finitos, la existencia de subgrupos cuyo orden es un divisor primo del número de elementos del respectivo grupo. Demostraremos la validez de dicho resultado para grupos finitos en general.. Con el ánimo de contar con una buena maquinaria para alcanzar nuestro propósito, estudiaremos a continuación las propiedades de la relación conjugado en un grupo.

7. 1. LA RELACION CONJUGADO Y LA ECUACION DE CLASE Definición 7.1.1. Si G es un grupo y a,b∈G, diremos que b es conjugado con a, nota a∼b, si existe c∈G tal que b=c-1ac. 7.1.2. Evidentemente ∼ es una relación de equivalencia en G ( Ver Ejercicio 7.5.1) y en consecuencia ∼ divide al grupo G en clases de equivalencias. De tal manera que para cada a∈G escribiremos la clase de equivalencia como C(a). Según la Definición anterior C(a)=x-1 ax/ x∈G. Al número de elementos de C(a), lo simbolizaremos como Ca. Ejemplo 7.1.3. En el grupo multiplicativo de los cuaterniones, K=1,-1,i,-i,j,-j,k,-k, C(1)=1, C(-1)=-1, C(i)=C(-i)=i,-i , C(j)=C(-j)=j,-j y C(k)=k,-k. Por lo tanto Ci=Cj=Ck=2 y C1=C-1=1. Observe que K= U

KxC(x)

∈

Un par de subgrupos importantes en el cálculo del número de elementos de Ca y en la elaboración de la ecuación de clases de un grupo G son el normalizador de, notado N(a), para a∈G, y el centro de G, notado Z(G), definidos en el Ejercicio 4.2.10 ii) y iii) que actualizamos en la siguiente definición:

316

Definición 7.1.4. Si G es un grupo, entonces: i) Z(G)=x∈G/(∀y∈G)(xy=yx), lo llamaremos el centro de G; ii) si a∈G, entonces N(a)=(x∈G/xa=ax, se define como el normalizador de a en G. Ejemplo 7.1.5. Relativo al Ejemplo 7.1.3 Z(K)=1, N(1)=N(-1)=K, N(i)=1,-1,i,-i, N(j)=1,-1,j,-j y N(k)=1,-1,k,-k. En el siguiente Teorema demostraremos que Z(G) y N(a) son subgrupos de G y una caracterización de los elementos de Z(G). Teorema 7.1.6. Si G es un grupo y a∈G, entonces: i)N(a) y Z(G) son subgrupos de G. ii)a∈Z(G), si y sólo si N(a)=G. En consecuencia: a∈Z(G), si y sólo si o(N(a))=o(G). Demostración. Según la Definición 7.1.4, N(a)⊆G y además N(a)≠ ∅, porque e∈N(a). De otra parte, si α,β∈N(a), entonces: (αβ-1)a = (αβ-1)(a(ββ-1)) = (αβ-1)((aβ)β-1) =(αβ-1)(βa)β-1) = α(β-1β)(aβ-1)=(αa)β-1= (aα)β-1

= a(αβ-1). (Ver Ejercicio 7.5.4). Luego αβ-1∈N(a) y por lo tanto, como también demostramos que N(a) es un subconjunto no vacío de G, el Teorema 4.1.7 implica que N(a)≾G. Si a∈Z(G), la Definición 7.1.4, implica que a conmuta con todos los elementos de G, lo cual nos indica que G⊆N(a) y como a su vez N(a) ⊆G, concluimos que G = N(a). Recíprocamente, si G=N(a) es porque a conmuta con cualquier elemento de G y de acuerdo a la Definición de Z(G), a es uno de sus elementos. En consecuencia hemos demostrado que a∈Z(G), si y sólo si N(a)=G y por esta razón: a∈Z(G) si y sólo si o(N(a))=o(G) 7.1.7. Retornando al caso del grupo multiplicativo K de los cuaterniones, observamos que: c1=c-1= o(K)/o(N(1)=o(K)/o(N(-1))= 1 y ci=c-i=cj=c-j=ckc-k= o(K)/o(N(i))=o(K)/o(N(-i) = o(K)/ o(N(j))=o(K)/o(N(-j))=o(K))/o(N(k))=o(K)/o(N(-k))=8/4=2. En el siguiente Teorema demostraremos la validez general de la situación anterior. Teorema 7.1.8. Si G es un grupo finito y α∈G, entonces Cα=o(G)/o(N(α)). Luego el número de elementos de G conjugados con α, coincide con el número de clases laterales derecha o izquierda de N(α) en G. Demostración. Para demostrarlo basta con encontrar una correspondencia biunívoca entre C(α) y G/N(α), si α∈G. La forma de los elementos de C(α) Sugiere que dicha correspondencia puede ser f(xαx-1) = N(α)x, para cada x∈G.

317

Comprobemos que si x,y∈G, entonces x-1αx=y-1αy si y sólo si, N(α)x=N(α)y. En efecto, si x-1αx=y-1αy, entonces αx=xy-1αy. Por lo tanto αxy-1=xy-1α. Es decir, α(xy-1) = (xy-1)α. En consecuencia xy-1∈ N(α), razón por la cual 5.1.8 asegura que N(α)x=N(α)y. La equivalencia de los argumentos anteriores permiten deducir que f es una función inyectiva de C(α) en G/N(α), que además es sobre puesto que cualquier N(α)x∈G/N(α) es imagen, según f, de x-1αx∈C(α). Luego f es una biyección entre los conjuntos finitos C(α) y G/N(α), infiriéndose de ello el que o(C(α))=o(G/N(α)). En estas condiciones, el Teorema de Lagrange (5.1.20) , permite concluir que Cα= o(G)/o(N(α)). 7.1.9. Recordemos que en el Ejemplo 7.1.3, demostramos, para el grupo K de los cuaterniones, que K = C(1)∪C(i)∪C(j)∪C(k). Pero como las clases conjugadas son disyuntas entre si, tendremos : o(K) = c1+ci+cj+ck. La igualdad anterior en la cual solamente 1∈Z(K), es conocida como la ecuación de clase del grupo K. Demostraremos en seguida su validez para grupos finitos. Teorema 7.1.10. (Ecuación de Clase) Si G es un grupo finito y C(a1), ... , C(an) son las diferentes clases que la relación ∼ induce en G, entonces (1) C(ai)=ai, si y sólo si ai∈Z(G).Luego o(xi∈G/

ixC =1) =o(Z(G)) y ii) o(G) = o(Z(G))+ ∑

∉Z(G)ixix

C

Demostración. Si C(xi)=xi, el Teorema 7.1.8, implica que

ixC =o(G)/o(N(xi)=1 y por lo

tanto, o(G)=o(N(xi)). Pero este resultado tiene como condición necesaria y suficiente, según el Teorema7.1.6, que xi∈Z(G). Luego xi∈G/

ixC =1=Z(G) y por ende

o(xi/ix

C =1)=o(Z(G)).

En vista de que los C(xi) conforman una partición de G, se tiene que

o(G)= ∑∑∑∉

+∈

=Z(G)ix

ixC

Z(G)ixix

Cn

1=i ixC . De tal manera que al aplicar el Teorema

7.1.8, obtenemos o(G)=o(Z(G))+ ∑∉Z(G)ix

ixC

7.2. APLICACIONES De acuerdo al Teorema 7.1.6, si G es un grupo, entonces Z(G)≼G. Por lo tanto, como mínimo, e∈Z(G). El siguiente Teorema demuestra bajo que condiciones podemos garantizar la existencia de otros elementos de G, diferentes al módulo, que conmuten con cualquier otro elemento de G. Teorema 7.2.1. Si G es un grupo tal que o(G)=pk, con k∈ℤ + y p un primo en ℤ, entonces p⎪o(Z(G)) y por lo tanto, Z(G)≠<e>.

318

Demostración. Si C(x1), ... ,C(xn) son las n diferentes clases conjugadas de G, entonces como o(G) =pk, la cuación de clase implica que pk = o(Z(G))+ ∑

∉Z(G)ixix

C . Además, si

xi∉Z(G), para algún i, entonces N(xi)≠G y por lo tanto o(N(xi)<pk, ya que N(xi)⊆G. Por tanto, según el Teorema de Lagrange ((5.1.20)) o(N(xi))⎪pk. Luego o(N(xi))=pk(i), con 0<k(i)<k razón para concluir que p⎪o(G)/o(N(xi)), si xi∉Z(G) y por ende p⎪ ∑

∉Z(G)ixix

C .

En estas condiciones, como además p⎪o(G), se deduce que p⎪o(Z(G)), pues de acuerdo a la ecuación de clase o(Z(G))= o(G)- ∑

∉Z(G)ixix

C .. La conclusión p⎪o(Z(G)), conduce a que

o(Z(G))>1, por ser p>1, ya que p es primo en ℤ. Luego Z(G)≠<e>. El Teorema 5.2.10 demostró la validez del recíproco del Teorema de Lagrange (5.1.20) para factores primos de grupo abelianos finitos. A continuación con el Teorema de Cauchy ampliaremos eses resultado a grupos finitos en general. En el Ejercicio 7.5.21 esbozaremos otra Demostración del Teorema de Cauchy, debida a James H Mckay (“Otra Demostración del Teorema de Cauchy sobre grupos, American Mathematical Monthly, Vol. 66 (1959)). 7.2.2 (Teorema de Cauchy). Si G es un grupo finito y p es un primo positivo en ℤ tal que p⎪o(G), entonces G tiene un subgrupo de orden p. Demostración. Comprobaremos este resultado por inducción sobre o(G). Si o(G)=1, la afirmación en cuestión es vacíamente cierta. A manera de hipótesis de inducción, supongamos que el Teorema es válido para cualquier grupo de orden estrictamente menor que el orden de G. Demostremos inicialmente que si p⎪o(G), entonces o existe un subgrupo propio H de G tal que p⎪o(H), o G es abeliano, caso demostrado en el Teorema 5.2.10. Sean C(x1), ... , C(xn), las n diferentes clases conjugadas de G. y abordemos las dos únicas relaciones posibles entre p y o(Z(G)): p⎪o(Z(G)) o po(Z(G)). Si p⎪o(Z(G)), a su vez tenemos dos opciones: o Z(G) = G o Z(G)≠G. Si Z(G)=G, entonces G es abeliano y esa es una de las opciones en nuestro propósito inicial. Si Z(G)≠G, entonces obtenemos la otra posibilidad, puesto que Z(G) es un subgrupo propio de G y además p⎪o(Z(G)).

319

Revisemos las implicaciones de la opción po(Z(G)). En este caso, la ecuación de clase de G, señala la existencia de xi∉Z(G) tal que p

ixC .

Porque si p fuera factor de cada uno de los ix

C tales que xi∉Z(G), entonces p también sería

factor ∑∉Z(G)ix

ixC . y como p⎪o(G), se concluye p⎪o(Z(G)), propuesta imposible ya que

habíamos supuesto que po(Z(G)). Al haber obtenido xi∉Z(G) tal que p

ixC , podemos asegurar, de acuerdo al Teorema

7.1.8, que po(G)/o(N(xi)). Pero como p⎪o(G)= ix

C o(N(xi)) y (p, ix

C )=1, ya que p es

primo y pix

C , entonces 3.1.37, infiere que p⎪o(N(xi)).

De acuerdo al Teorema 7.1.6, se tiene que N(xi) es el subgrupo, objetivo de una de las opciones de nuestro propósito inicial, ya que según dicho Teorema N(xi) es un subgrupo propio de G, porque que xi∉Z(G) y hemos demostrado que p⎪o(N(xi)). Resumiendo, hemos alcanzado el objetivo inicial, consistente en la validez de la propuesta: si p⎪o(G), entonces o G es abeliano o existe o existe un subgrupo propio H de G tal que p⎪o(H). Este resultado es crucial, porque ya sabemos que el Teorema es válido para grupos abelianos y la existencia de un subgrupo propio H de G tal que p⎪o(H), implica por hipótesis de inducción, aplicada a H, que existe K≼H tal que o(K)=p y obviamente K≼G. El Teorema presentado a continuación, además de ser una aproximación a uno de los Teoremas de Sylow, lo utilizaremos para demostrar la equivalencia de dos presentaciones del Primer Teorema de Sylow. Este asegura la existencia de subgrupos con un número de elementos que coincide con un factor del orden de G, si o(G)=pk, con p primo y k∈ℤ+. Es decir el recíproco del Teorema de Lagrange es válido en este tipo de subgrupos. Teorema 7.2.3. Si G es un grupo finito tal que o(G)=pk, con p>0, p primo en ℤ y k∈ℤ+, entonces para cada r∈ℤ, con r∈[1,k], existe H≼G tal que o(H)= pr. Demostración. Al razonar por inducción sobre k, el Teorema es inmediato para k=1, puesto que en esta situación el único r en cuestión sería r=1, y el subgrupo de G sería el mismo G. Supongamos que el Teorema es válido para cualquier grupo cuyo orden sea pr, r obviamente entero positivo, r< k. Como o(G)=pk, con k∈ℤ+, el Teorema 7.2.1 implica que p⎪o(Z(G)). Acudiendo ahora al Teorema de Cauchy (7.2.2), debe existir N≼≾Z(G), tal que o(N)=p.

320

El subgrupo N de Z(G) es obviamente normal en G (Ver Ejercicio 7.5.5) y por ello, según 5.1.15, G/N con el producto de clases es un grupo. Observemos que por ser o(G/N)=o(G)/o(N)=pk/p=pk-1<o(G)=pk, es aplicable, al grupo G/N, la hipótesis de inducción. Por lo tanto, si r∈ℤ y r∈(1,k), entonces r-1≤k-1 y debe existir por consiguiente ℵ≼G/N, tal que o(ℵ)=pr-1. Del Teorema 5.3.1 sabemos que f:G→G/N, definido como f(g)=Ng, si g∈G, es un homomorfismo de grupos. Por lo tanto, de acuerdo al Teorema 4.7.6 ii) H=f-1(ℵ)≾G. Pero como f-1(ℵ)=h∈G/f(h)∈ℵ, obviamente ℵ=H/N (Ver Ejercicio 7.5.8). Luego o(ℵ) = o(H)/o(N) y en consecuencia o(H)=o(ℵ)o(N)=pr. De esta manera hemos encontrado un subgrupo H de G con pr elementos. Con el objetivo de aproximarnos a la presentación más general del Primer Teorema de Sylow y también con el ánimo de familiarizarnos un poco más con el tema, verificaremos el siguiente resultado.

Teorema 7.2.4. Si G es un grupo tal que o(G)=pk, con p primo en ℤ , p>0 y k∈ℤ+, entonces existen N0, ...., Nr, subgrupos de G, tales que G0=N0⊇N1⊇ ... ⊇Nr, donde Ni∆Ni-1 y Ni-1/Ni es abeliano. Demostración. Razonando por inducción sobre k, tenemos que si k=1; o(G)=p y por consiguiente G es abeliano. Así las cosas, la cadena de subgrupos en cuestión, se reduce a N0=G y N1=<e>, la cual satisface los requerimientos exigidos, ya que obviamente N1∆G y G/N1 es abeliano, porque G lo es. Supongamos válido el Teorema para cualquier grupo cuyo número de elementos sea pj, con j∈ ℤ + y j<k. Por ser o(G)=pk, con p primo y k∈ℤ +, por el Teorema 7.2.1, p⎪o(Z(G)) y en consecuencia, según el Teorema 7.2.2, existe N≼Z(G) tal que tal que o(N)=p. Además N∆G, puesto que N≼Z(G). Pero como o(G/N)=pk-1, la hipótesis de inducción plantea la existencia de r subgrupos ℵi de G/N tales que G/N=ℵ0⊇ℵ1⊇ ... ⊇ℵr , ℵi∆ℵi-1 y ℵi-1/ℵi es abeliano. Pero como los grupos ℵi pueden ser escritos en la forma ℵi=Ni/N, con Ni≼G. (Ver Problema 7.5.8), obtenemos de esta manera los subgrupos de G: N0, ... , Nr que cumplen lo exigido por el Teorema.

7.3 p-GRUPOS y p-SUBGRUPOS DE SYLOW

321

Comencemos definiendo a los grupos motivos de los dos últimos Teoremas. Definición 7.3.1. Si p∈ℤ+ y p es primo en ℤ, diremos que un grupo G es un p-grupo, si o(G)=pn , para algún n∈ℤ+ Un caso especial de p-grupos lo conforman los p-subgupos de Sylow, definidos a continuación. Definición 7.3.2. Un subgrupo P de un grupo G, es un p-subgrupo de Sylow de G, si P es un p-grupo maximal, en el conjunto de los subgrupos, p-grupos de G. Es decir, un subgrupo P de un grupo G es un p-subgrupo de Sylow de G, si: i) P es un p-grupo y ii) Si H≼G y H es un p-grupo tal que P⊆H, entonces P=H.. El siguiente teorema indica la forma que tiene el órden de los elementos de un p-grupo. Teorema 7.3.3. Un grupo finito G es un p-grupo, si y solo si todos los elementos de G diferentes al módulo tienen orden de la forma pk con k∈ℤ+. Demostración. Si G es un grupo tal que o(G)=pn, entonces al considerar a∈G, a≠e, el Lema 4.9.7, nos asegura que o(a)=o(<a>) y por lo tanto el Teorema de Lagrange garantiza la relación o(a)⎪o(G)=pn. Es decir o(a)=pk, con k∈Z+. Recíprocamente, si cualquier elemento de G, diferente al módulo, tiene un orden de la forma pk, con k∈ ℤ+, entonces o(G) es de la misma forma, porque si existiera un primo q≠p y q≠-p, tal que q⎪o(G), obtendríamos, según el Teorema de Cauchy, (7.2.2), un subgrupo H de G tal que o(H)=q. Pero ello implicaría, de acuerdo al Corolario 5.2.1, que H es cíclico. En consecuencia, existe a∈G tal que H=<a> y nuevamente Lema 4.9.7, implicaría que o(a)=q, pero como o(a)=pk, para algún k∈ ℤ+, tendríamos que q=pk=z, contradiciendo así al Teorema 4.11.12, pues si k=1, de todas maneras p y q no son asociados, y si k>1, estaríamos en presencia de dos factorizaciones de z, con dos números diferentes de factores primos. O más senciallamente q no sería primo. Relativo a los p-subgrupos de Sylow, resolveremos a continuación los tres Teoremas de Sylow, iniciando con la presentación del más comúnmente conocido como el Primer Teorema de Sylow.

Teorema 7.3.4. (Primer Teorema de Sylow). Si G es un grupo finito y p es un entero positivo primo, factor de o(G), tal que, para algún k∈ℤ+, pk⎪o(G), pero pk+1o(G), entonces existe H≼G con o(H)=pk. Demostración. A semejanza de los Teoremas anteriores, razonaremos por inducción sobre el o(G).

322

La primera situación puede tener una de dos formas: o(G)=1 ó o(G)=2. En el primer caso el Teorema es vacíamente cierto, porque 1 no tiene factores primos. Si o(G)=2, entonces el 2-grupo es el mismo G Supongamos que el Teorema es válido para todos los grupos con un número de elementos estrictamente menor que o(G). Iniciemos teniendo en cuenta que p y o(Z(G)) se relacionan obviamente de una de las siguientes manera: o p⎪o(Z(G)) o po(Z(G)). Se demostrará que el Teorema es válido en ambas eventualidades. Si p⎪o(Z(G)), el Teorema de Cauchy, (7.2.2) garantiza la existencia de N≼Z(G) tal que con o(N)=p. Además N∆G, porque N≼Z(G) (ver Problema 7.5.5), lo cual implica que G/N es un grupo. Sobre el grupo G/N, demostremos: a) o(G/N)<o(G), b)pk-1 ⎪o(G/N), pero pko(G/N). La afirmación a) es inmediata, por cuanto de acuerdo a 5.1.21 o(G/N)=o(G)/o(N) y por ser o(N)=p>1; se concluye que o(G/N)<o(G). Con relación a b), al considerar la hipótesis: pk⎪o(G)y pk+1o(G), concluimos que o(G)=pkm, como m∈ℤ+ y (p,m)=1. Entonces o(G/N)=o(G)/o(N)=mpk/p=mpk-1<o(G). Luego pk-1⎪o(G/N), pero pko(G/N), porque de lo contrario (p,m)≠1(Ver Problema 7.5.6 ) Las cualidades a) y b) de G/N, indican que éste satisface la hipótesis de inducción y por lo tanto existirá ℵ≼G/N con o(ℵ)=pk-1. Ya sabemos que existe H≼G tal que ℵ=H/N (Ver Problema 7.5.8), de tal manera que 5.1.21, permite arribar a o(H)= o(ℵ).o(N)=pk. Luego en la circunstancia p⎪o(Z(G)), existe H≼G tal que o(H)=pk. Si po(Z(G)), la ecuación de clase (Teorema 7.1.10) nos indica la existencia de xi∉Z(G) tal que po(G)/o(N(xi), porque si p fuera un factor de cada uno de los o(G)/o(N(xi), entonces p⎪o(Z(G)), contrario a nuestro supuesto. En consecuencia existe i∈Z+ tal que o(G)/o(N(xi))=n∈ℤ+, con (n,p)=1. Por lo tanto, o(N(xi))n= =mpk. Luego pk⎪o(N(xi)n, pero como (p,n)=1, entonces (pk,n)=1 y por lo tanto 3.1.37 indica que pk⎪o(N(xi)) y pk+1 o(N(xi)), porque pk+1 o(G). Además, por una parte el Teorema 7.1.6 indica que N(xi)≼G y por otra N(xi)≠G ya que xi∉Z(G). En consecuencia estamos en las condiciones de la hipótesis de inducción, razón para deducir que existe K≼N(xi), y por consiguiente también K≼G, tal que o(K)=pk. Demostrándose así también la validez del Teorema para el caso po(Z(G)) La misma línea de argumentación utilizada para demostrar el Primer Teorema de Sylow permite verificar un resultado de mayor alcance como el siguiente (Ver Ejercicio 7.5.9):

323

7.3.5. Si p>0, y G es un grupo finito tal que p es primo en ℤ y p es un factor de o(G), tal que para algún k∈ℤ+, pk⎪o(G) pero pk+1o(G), entonces para cada entero r∈(0,k] existe un subgrupo H de G con pr elementos. 7.3.6. Obviamente el Primer Teorema de Sylow es un corolario de 7.3.5. A pesar de ello 7.3.5 también es una consecuencia de 7.2.3 y del Primer Teorema de Sylow. En efecto, si G es un grupo finito tal que pk⎪o(G) pero pk+1o(G), con p primo y k∈ℤ+, entonces el Primer Teorema de Sylow garantiza la existencia de H≼G tal que o(H)=pk. En consecuencia, si el entero r∈(0,k] el Teorema 7.2.3 implica la existencia de K≼H, y por lo tanto también K≼G, con o(K)=pr Una presentación más poderosa del Primer Teorema de Sylow es obtenida con base en el concepto de clase doble, que desarrollaremos a continuación. Definición 7.3.7. Si H y K son subgrupos del grupo G y x∈G, entonces HxK=hxk/h∈H y k∈K, es llamado una clase doble de H y K en G A semejanza de las clases laterales, las clases dobles inducen una partición de G, tal como lo afirma el siguiente Teorema: Teorema 7.3.8. Si G es un grupo y H y K son subgrupos de G, entonces: i) HxK≠∅, si x∈G. ii) G= U

GxHxK

∈

iii) Si x,y∈G, entonces o HxK=HyK o HxK∩HyK=∅. iv) Si G es finito, es posible encontrar x1, ... , xr∈G, tales que las clases Hx1K, ..., HxrK son

diferentes entre si y o(G)=∑r

1=iiK)o(Hx .

Demostración. Es inmediato que HxK≠∅, puesto que x∈HxK ya que x=exe, donde e es el módulo de G y por consiguiente e es simultáneamente elemento de H y K, en vista de que ellos son subgrupos de G. (Teorema 4.1.4). También es obvio que G = U

GxHxK

∈, porque en primer lugar, U

GxHxK

∈⊆G, pues por

Definición cada HxK⊆G. En segundo lugar, si x∈G, en la Demostración de i) vimos que x∈HxK y por ello x∈ U

GxHxK

∈. Luego G= U

GxHxK

∈.

Para demostrar iii), razonando por el absurdo, al considerar la existencia de x,y∈G tales que HxK∩HyK≠∅, existiría z∈G tal que z∈HxK y z∈HyK. Razón por la cual z=h1xk1=h2yk2, con h1,h2∈H y k1,k2∈K. Entonces x=h3yk3 (1)y y=h4xk4,(2) donde h3,h4∈H y k3, k4∈K. En consecuencia, si w∈HxK, entonces existirán h∈H y k∈K tales que w=hxk y por sustitución de (1) w=hh3yk3k∈HyK y por ende HxK⊆HyK. Recíprocamente, si w∈HyK,

324

es porque w=hyk, con h∈H y k∈K. De tal manera, que al sustituir por (2): w=hh4xk4k∈HxK. Luego HyK⊆HxK. Demostrándose así que HxK=HyK. La afirmación iv) es una consecuencia de ii) y iii) Antes de demostrar el siguiente teorema relativo a conteo de clases laterales en clases laterales dobles, aclaremos algunos términos y ciertos resultados. 7.3.9. Si G es un grupo, H≼G y A⊆G, hablaremos de clases laterales derechas o izquierda de H en A. Por ejemplo: Si H y K son subgrupos de G, entonces el conjunto de las clases laterales derechas de H en HxK, estará conformado por aquellas clases laterales derechas de H en G, de la forma Hg, como g∈HxK Es decir: g=hxk, con h∈H y k∈K. Por lo tanto Hg=Hxk. En consecuencia el conjunto de las clases laterales derechas de H en HxK es Hxk/k∈K. Análogamente el conjunto de las clases laterales izquierdas de K en Hxk es hxK/h∈H 7.3.10. Por cuestiones de comodidad, en adelante al número de clases laterales derechas o izquierdas de H en G lo notaremos como [G:H], en vez de IH(G). El siguiente Lema es pieza fundamental en la demostración del aludido Teorema de Sylow. Teorema 7.3.11. Sean G es un grupo, H y K son subgrupos de G y x∈G. Si notamos A= 1x− Hx y D =A∩K, entonces: i) El número de clases laterales izquierdas de K en AK es igual [A:D],. ii) El número de clases laterales derechas de A en AK es igual [K:D]. Demostración. Si r=[A:D], entonces existirán r clases laterales izquierdas diferentes de D

en A, que notaremos como D, u2D, ... ,urD, y en consecuencia tendremos que A= Ur

i1=i

Du ,

con u1D=D, teniendo en cuenta que los ui∈A. Constatemos ahora que el conjunto de las clases laterales izquierdas de K en AK, está conformado por: K, u2K, u3K, ... , urK. Evidentemente los uiK son clases laterales izquierdas de K en AK, puesto que cada ui=uie∈AK pues ui∈A y e∈K, por ser K≼G (Teorema 4.1.4). Por otra parte, cualquier clase lateral izquierda de K en AK, es de la forma akK con a∈A y k∈K, y por lo tanto es de la forma aK, con a∈A, entonces existe ui∈D tal que a∈uiD. Luego a=uid, para algún d∈D. De tal manera que aK=uidK=uiK, puesto que d∈K, ya que d∈D=A∩K. También los uiK son diferentes entre si, porque si uiK=ujK, con ui≠uj, 5.1.19, indicaría que uiuj

-1∈K. Pero como también uiuj-1 ∈A, tendríamos que uiuj

-1∈D y en consecuencia uiD=ujD, lo cual es imposible en vista de que habíamos supuesto, que si ui≠uj, entonces uiD≠ujD.

325

Con relación a ii): Si [K:D]=r, entonces existirán r clases laterales derechas de D en K, a

saber: D,Du2, ... , Dur, tales que K= Ur

1=i iDu , con Du1=D. y los ui∈K.

Demostremos que A,Au2, ... , Aur son las diferentes clases laterales derechas de A en AK. Es indiscutible que los Aui son clases laterales derechas de A en AK, porque cada ui=eui∈AK y e∈A=x-1Hx, ya que e=x-1ex. Además, si Ak es una clase lateral izquierda de A en K, entonces k∈K y por consiguiente k∈Dui, para algún ui. Entonces k=dui, con d∈D. Luego Ak=Adui=Aui, ya que Ad=A, puesto que d∈D=A∩K. También los Aui son diferentes entre si, puesto que si Aui=Auj, a pesar de que ui≠uj, entonces uiuj

-1∈A, pero como también uiuj-1∈K, tendríamos que uiuj

-1∈A∩K=D y en consecuencia Dui=Duj, lo cual no es posible ya que ui≠uj. Luego A, Au2, ... , Aur, integran las r diferentes clases laterales de A en AK. Teorema 7.3.12. Sean G un grupo, H y K subgrupos de G y x∈G. Si A =x-1Hx, entonces: i) El número de clases laterales izquierdas de K en HxK es igual al número de clases laterales izquierdas de K en AK ii) El número de clases laterales derechas de H en HxK es igual al número de clases laterales derechas de A en AK Demostración. Si R, el conjunto conformado por todas las clases laterales izquierdas de K en AK, tiene r-elementos; veamos que el conjunto de las clases laterales izquierdas de K en HxK, también tiene r-elementos. Se trata de comprobar que o(R)=ohxK\h∈H. Para concluirlo, observemos que los elementos de R son de la forma aK, con a∈A y A=x-1Hx, de tal manera que aK=x-1hxK, para algún h∈H, lo cual sugiere demostrar que la relación g:R→hxK/h∈H, definida como g(x-1hxK) =hxK, es una biyección. Demostrémoslo: Verificar que g es función y que g es inyectiva equivale a verificar, para h,h1∈H, que x-1hxK= x-1h1xK, si y sólo si hxK=h1xK. Al respecto, si x-1hxK = x-1h1xK, entonces como x-1hx∈x-1hxK, también x-1hx∈x-1h1xK y por consiguiente x-1hx = x-1 h1xk, para algún k∈K Luego hx= h1xk, indicándonos ello que las clases laterales izquierda hxK y h1xK, tienen un elemento en común, razón por la cual coinciden La equivalencia de cada uno de los pasos de la argumentación anterior, nos confirma que g es una inyección. Además también es obvio que g es sobre, porque cualquier hxK es imagen de x-1hK. Por lo tanto, como R tiene r-elementos, también existirán únicamente r clases laterales izquierdas de K en HxK..

326

Procediendo de manera análoga a lo desarrollado en la demostración de la primera parte, si R es el conjunto de clases laterales derechas de A en AK, se demuestra que la aplicación g:R→Hxk/k∈K, definida como g(x-1Hxk)=Hxk es una biyección y por lo tanto, o(Hxk/k∈K) es igual al número de clases laterales derecha de A en AK. Lema 7.3.13. Sean G un grupo, H y K subgrupos de G y x∈G. Sí A =x-1Hx y D=A∩K, entonces: i) El número de clases laterales izquierdas de K en HxK es igual [A:D], y ii) El número de clases laterales derechas de H en Hxk es [K:D] Demostración. Sabemos por el Teorema 7.3.12que el número de clases laterales izquierdas de K en HxK es igual al número de clases laterales izquierdas de K en AK. Y por el Teorema 7.3.11. el número de clases laterales izquierdas de K en A es igual [A:D]. Luego el número de clases laterales izquierdas de K en HxK es igual [A:D]. Con relación a ii), por el Teorema 7.3.12(ii) el número de clases laterales derechas de H en Hxk es igual al número de clases laterales derechas de A en AK. Pero como de acuerdo al Teorema 7.3.11.ii) número de clases laterales derechas de A en AK es igual a [K:D], concluimos que el número de clases laterales derechas de H en Hxk es igual [K:D] Otro resultado básico en la Demostración del aludido Teorema de Sylow, es lo que podíamos llamar la ecuación de clases de un grupo correspondiente a las clases dobles de un subgrupo del mismo. Dicha ecuación la demostraremos en el siguiente Lema: Lema 7.3.14. Si G es un grupo finito y H≼G, entonces existen x1, ... ,xr tales que [G:H]=[K:H]+∑ai, donde ai =o(Hxih/h∈Hy ai≠1, x1=e y K=N(H)=x∈G/Hx=xH. Demostración. Es inmediato verificar que N(H), conocido como el normalizador de H, es un subgrupo de G (Ver Ejercicio 7.5.1 Demuetre que si G es un grupo y H≼G, entonces N(H)=⎨x∈G/Nx=xN⎬=⎨x∈G/xN-1 =N⎬∆G.. 7.5.2). Además, tampoco ofrece mayores dificultades el verificar que H∆N(H).

Según el Teorema 7.3.8 existen x1=e, x2,...,xr∈G tales que G= Ur

1=iHHx

i, donde los HxiH

son las diferentes clases dobles de H en G y por consiguiente son disyuntas entre si. Veamos que [G:H]= ∑ai, donde ia =o(Hxih/h∈Hy ai≠1. Para ello basta ver que G/H =

Ur

i1=i

Hh/hHx ∈ , puesto que los Hxih, con h∈H, son o iguales o disyuntos entre si. .

Evidentemente, Ur

i1=i

Hh/hHx ∈ ⊆G/H, ya que para cada i, Hxih/h∈H⊆G/H.

327

Además si Hg∈G/H, entonces g∈G y por lo tanto g∈HxiH, para algún i. Luego existen h,h’∈H tales que g=hx1h’. Así las cosas Hg=Hx1h’∈Hx1h/h∈H. Por lo tanto

G/H⊆ Ur

i1=i

Hh/hHx ∈ .

De esta manera obtenemos que G/H= Ur

i1=i

Hh/hHx ∈ , lo cual implica [G:H]=∑r

1ia (1).

Observemos ahora que si xi∈K=N(H) y h∈H, entonces como H∆K, xih = h’xi, para algún h’∈H, por lo tanto ai=1, si xi∈K, ya que Hxih/h∈H=Hxi. En consideración con este resultado obtenemos:

[G:H]= ∑r

1=ia i

a + ∑≠1

ia i

a . Resta verificar que ∑=1

ia i

a =[K:H].

Veámoslo:

Si X∈ U1=

ia

Hh/hHxi ∈ , entonces X∈Hxih/∈H], para algún i tal que ai=1. Pero como

Hxih/h∈H es el conjunto de las clases laterales derecha de H en HxiH, por el Lema 7.3.13, obtenemos que ai=[H: 1

ix− Hxi∩H]=1. Luego H= 1ix− Hxi ∩H y por lo tanto, H⊂ 1

ix−

Hxi. . Pero como ese par de conjuntos tienen el mismo número de elementos, inferimos que H= 1

ix− Hxi, lo cual implica que xiH=Hxi. Por consiguiente xi∈K y en consecuencia Hxih/h∈H=Hxi. Entonces X=Hxi∈K/H. Hemos demostrado que

U1=

ia

Hh/hHxi ∈ ⊆G/H.(a)

De otra parte, si Hk∈K/H, entonces como k∈K y de todas maneras K⊂G; k∈G, obteniéndose así k∈HxiH, para algún i. Así las cosas: k=hxih’, con h,h’∈H. Pero como K≤G también xi∈K, deduciéndose que Hk=Hxih’∈Hxih/h∈H y en estas condiciones h∈

U1=

ia

Hh/hHxi ∈ , puesto que ai=1, ya que xi∈K. Por lo tanto, K/H⊂

U1=

ia

Hh/hHxi ∈ (b).

De (a) y (b) obtenemos que G/H= U1=

ia

Hh/hHxi ∈ y como los Hxih/h∈H son

disyuntos, inferimos que [K:h]= ∑=1

ia i

a , demostrándose con ello la ecuación en cuestión.

Ilustremos la ecuación de clases del lema anterior mediante el siguiente ejemplo:

328

Ejemplo 7.3.15. En S3=i0, i1, i2, u1, u2, u3, consideremos el subgrupo H=i0, u1 y calculemos la ecuación doble de clases correspondiente: Construyamos cada uno de los Hxih/h∈H, con xi∈S3: i0, u1io, i0, u1iou1=i0, u1u1, i0, u1u1u1=i0, u1 Además: i0, u1i1, i0, u1i1u1=i0, u1i2, i0, u1i2u1=i0, u1u2, i0, u1u2u1=i0, u1u3, i0, u1u3u1=i2,u2, u3, i1. Por lo tanto: Hxih/h∈H=i0, u1,i2,u2, u3, i1, obteniéndose en este caso r=2, x1=i0, x2=i1. Además como K=N(H)=H; [K:H]=1. También [s3:H]=6/2=3. Con esta información la ecuación de clases aludida se cumple evidentemente. El Lema anterior, agiliza la demostración de la generalización del siguiente Teorema de Sylow, sobretodo si tenemos en cuenta que la primera parte ya se demostró en 7.3.5. Teorema 7.3.16. Si G es un grupo finito con pms elementos, donde p,m,s∈ℤ+, p es primo en ℤ y ps, entonces para cada entero i∈(0,m], existe un subgrupo de orden pi. Además cada subgrupo de orden pi, con el entero i∈(0,m) es un subgrupo normal de al menos un subgrupo de orden pi+1 Demostración. En vista de lo demostrado en 7.3.5, únicamente verificaremos que cada subgrupo de orden pi, con i∈(0,m] es un subgrupo normal de al menos un subgrupo con pi+1

elementos. Basta suponer m>1, puesto que si m=1 no es posible encontrar un entero i∈(0,1) y el teorema sería vacíamente válido. Sea entonces P un subgrupo de G con pi elementos, donde el entero i∈(0,m). Ello nos indica que [G:P]=o(G)/o(P)=pm-is y como m-i>0 concluimos que p⎪[G:P]. (1). Además, si Px1P, ... ,PxrP son las diferentes clases dobles de P en G y ai=o(Pxip/p∈P), por el Lema 7.3.13 ai=[P:( 1

ix − Pxi) ∩P]. Por lo tanto, si ai≠1, entonces ( 1ix − Pxi)∩P≠P y en

consecuencia xi-1Pxi∩P es un subgrupo propio de P del que sabemos que o(P)=pi. Entonces,

según el Teorema de Lagrange (5.1.20), o(xi-1 Pxi∩P)=pk, con el entero k∈[0,i).

Pero como ai=[P:xi

-1Pxi∩P]=o(P)/o(xi-1 Pxi∩P)=pi-k y ai≠1; i-k>0, obteniéndose que

p⎪ai.(2). La información obtenida en (1) y (2) aplicada a la ecuación de clase del Lema 7.3.14, a saber : [G:P]=[K:P]+ ∑

≠1ia i

a , implica que p⎪[K:P], condición que, según el Teorema de

Cauchy (7.2.2), asegura la existencia H~≼K/P tal que o(H~ )=p.

329

Del subgrupo H~ sabemos que existe H≼G tal que H~ =H/P. y que en consecuencia P∆H. Además, por ser o(H~ )=o(H)/o(P); o(H)=o(H~ )o(P)=pi+1. De esta manera hemos construido H≼G tal que P∆H y o(H)= pi+1, finalizando la demostración de este teorema. Recordemos que de acuerdo a la Definición 7.3.2, P es un p subgrupo de Sylow de un grupo G, si P es un p grupo maximal en el conjunto de los p grupos, subgrupos de G. El siguiente Corolario plantea la existencia de p subgrupos de Sylow, en grupos G con o(G)=pms, donde ps. Teorema 7.3.17. Si G es un grupo finito y o(G)= pms, donde p,m,s∈ ℤ + y p es un primo en ℤ tal que ps, entonces cualquier subgrupo de G con pm elementos es un p sylow subgrupo de G. Demostración. En efecto, si K es un subgrupo de G con pm elementos, entonces K es un p subgrupo de Sylow de G, puesto que si existiera un p grupo H≼G, tal que K⊆H, se tendría que o(H)=pk, con k∈ℤ + y m≤k. Pero como no es posible m<k, ya que ps, entonces m=k. En estas condiciones K y H tienen el mismo número de elementos y como K⊆H, inferimos que K=H. Luego K es un p grupo maximal en el conjunto de los p grupos, subgrupos de G, y por ello, según Definición 7.3.2, K es un p subgrupo de Sylow de G Corolario 7.3.18. Si G es un grupo finito y o(G)= pms, donde p,m,s∈ ℤ + y p es un primo en ℤ tal que ps, entonces i)G contiene un p subgrupo de Sylow. ii) Cada p subgrupo de G está contenido en algún p subgrupo de Sylow de G. Demostración. La conclusión i) es inmediata porque el subgrupo K de G con pm elementos, que existe de acuerdo al Teorema 7.3.16 es, según Teorema 7.3.17, un p subgrupo de Sylow de G Con relación a ii), si el p grupo H≼G, es tal que o(H)=pm , el Teorema 7.3.17 nos indica que H es un p subgrupo de Sylow de G. Por lo tanto H mismo es el p subgrupo de Sylow que contiene a H. Si el p grupo H≼G, es tal que o(H)=pk, donde el entero k∈(0,m), entonces por el Teorema 7.3.16, existe H1≼G tal que H⊆H1 y o(H1)= pk+1. El mismo argumento aplicado sucesivamente r veces, con r∈ℤ +, tal que k+r=m, permite obtener una cadena de p grupos: H⊆H1⊆ ... ⊆Hr, en la que para cada i ;o(Hi)= pk+i. En consecuencia o(Hr)= pk+r= pm. Luego Hr, según Teorema 7.3.17, es un p subgrupo de Sylow, que en particular contiene al p grupo H. El siguiente Corolario es una aplicación del Teorema 7.3.16 a los p grupos.

330

Corolario 7.3.19. Si G es un grupo tal que o(G)=pm, con p,m∈ℤ+ y p primo en ℤ, entonces cualquier subgrupo propio de G está contenido en algún subgrupo con pm-1 elementos. Además todos los subgrupos con pm-1 elementos son normales en G. Demostración. Si H es un subgrupo propio de G, entonces o(H)=pk, donde el entero k∈(0,m). En caso de que k=m-1, no hay discusión. Pero si k<m-1, sabemos que existe r∈ ℤ+ para el cual k+r=m-1 y al aplicar el Teorema 7.3.16, encontramos H1≼G, con o(H1)= pk+1, tal que H1⊆H. De tal manera que al aplicar sucesivamente este argumento r veces obtenemos H1⊆H2⊆ ... ⊆Hr, donde o(Hi)=pk+i. En particular o(Hr)=pm-1 y H⊆Hr. Obviamente, cualquier subgrupo de G con pm-1 elementos es un subgrupo normal de G, puesto que, según el Teorema 7.3.16, él sería un subgrupo normal de algún subgrupo de G con pm elementos. Pero como o(G)=pm, el único subgrupo de G con pm elementos es el mismo G El segundo y tercer Teoremas de Sylow plantean una interesante relación entre los diferentes p subgrupos de Sylow de un mismo grupo y el número de ellos. En el segundo Teorema de Sylow demostraremos que dos p subgrupos de Sylow de un grupo son conjugados en el sentido de la siguiente definición: Definición 7.3.20. Si G es un grupo, diremos que los subconjuntos H y K de G, son conjugados, si existe g∈G tal que H=g-1Kg=g-1kg/k∈K. Teorema 7.3.21. (Segundo Teorema de Sylow) Todos los p subgrupos de Sylow de un grupo finito G son conjugados. Demostración. Si H y K son dos p subgrupos de Sylow de G, entonces ellos tienen mp elementos, donde pm+1o(G). Además de acuerdo al Teorema 7.3.8 iv), existen r clases

dobles Hx1K, ... , HxrK tales que G=Ur

1=iiKHx .

Veamos que gK/g∈G= Ur

1=iHK/hhxi ∈ , en el cual los hxiK/h∈H son las clases

laterales izquierdas de K en HxiK.

Evidentemente Ur

1=iHK/hhxi ∈ ⊆gK/g∈G, puesto que cada i, se tiene que

hxiK/h∈H⊆gK/g∈G. De otra parte si rK∈gK/g∈G, entonces r∈G y por consiguiente r∈HxiK, para algún i. razón por la cual existen h∈H y k∈K tales que r=hxik. En consecuencia rK= hxikK= hxiK∈hxiK/h∈H. Luego, según la definición de unión de conjuntos,

rK∈ Ur

1=iHK/hhxi ∈ , concluyéndose así que gK/g∈G⊆ U

r

1=iHK/hhxi ∈ .

331

Las dos contenencias demostradas implican que Ur

1=iHK/hhxi ∈ =gk/g∈G. Pero como

hxiK/h∈H son disyuntos dos a dos, puesto que los HxiK lo son, entonces [G:K]= ∑r

1=i ia ,

donde ai=o(hxiK/h∈H. Al considerar 7.3.13, ai=[xi-1Hxi: 1

ix− Hxi∩K]=K))Hxo((x

)Hxo(x

i1

i

i1

i

∩−

−

y

como se trata de cociente de potencias de p, entonces o ai=ps, con s∈ℤ+ o ai=1. Sin embargo

no todos los ai son potencias de p, porque si ellos fuera así, p⎪[G:K], lo cual es imposible, porque o(K)=pm y pm+1o(G). Por lo tanto podemos aceptar un ai=[xi

-1Hxi: xi-1Hxi∩K]=1, infiriéndose que xi

-1Hxi= 1ix−

Hxi∩K y por lo tanto xi-1Hxi⊆K. Pero como ese par de subgrupos tienen el mismo número

de elementos, obtenemos que xi-1 Hxi =K. Es decir, según la Definición 7.3.20, H y K son

conjugados. El que todos los p subgrupos de Sylow de un grupo G sean conjugados, implica que basta con conocer a uno de tales grupos para identificar a los demás. Puesto que si P es un p subgrupo de Sylow del, grupo G, entonces ℘=g-1Pg/g∈G representa a la familia de todos los p subgrupos de Sylow de G. De tal manera que calcular el número de p subgrupos de Sylow de G, es contar los elementos ℘. En este sentido, al ser F, definida de G/N(P) en ℘ como F(N(P)g)=g-1Pg una biyección (Ver Ejercicio 7.5.10), hemos demostrado el siguiente Teorema: Teorema 7.3.22. Si P es un p subgrupo de Sylow de un grupo finito G, entonces el número de tales subgrupos es o(G)/o(N(P)) y por consiguiente es un factor de o(G). Con la intención de analizar otras propiedades del número de p subgrupos de Sylow de un grupo, desarrollaremos los siguientes resultados, relativos al número de elementos de las clases dobles. En primer lugar abordaremos el conteo de HK, cuando H y K son subgrupos de un grupo finito G: Como HK=hk/h∈H y k∈K, entonces, si H=h1, ... ,hr y K=k1, ... ,ks, tenemos que HK=h1k1,, ... ,h1ks, .... ,hrk1, ... ,hrks. Por lo tanto, haciendo caso omiso de los elementos repetidos, encontramos nominalmente o(H)o(K) elementos de HK. Observemos que acontece cuando un par de elementos de la lista anterior se repite, por ejemplo, si hikj=hmkn, obtenemos que hm

-1hi =knkj-1 =u∈H∩K y por lo tanto, hi=hmu y kj

=u-1kn.(1) Recíprocamente, si u∈H∩K, al considerar cualquier hikj∈HK, se tiene que jikh = (hiu) (u-1kj)) (2). Es decir, hikj se repite, por lo menos, tantas veces como elementos tenga H∩K. Pero como según (1), cada vez que ello sucede, adopta la forma (2), cada hikj se repetirá exactamente o(H∩K) veces. De esta manera hemos demostrado que :

332

Teorema 7.3.23. Si G es un grupo finito y H y K son subgrupos de G, entonces o(HK)=o(H)o(K)/o(H∩K) . El resultado del Teorema anterior facilita el conteo del número de elementos de la clase doble HgH, donde H es un subgrupo del grupo finito G y g∈G; puesto que los conjuntos HgH y HgHg-1 tienen el mismo número de elementos, ya que f:HgH →HgHg-1 definida como f(hgh1)=hgh1g-1 es evidentemente una biyección. Pero como según el Teorema anterior, o((H)(gHg-1))=o(H)o(gHg-1)/o(H∩gHg-1) = (o(H))2/o(H∩gHg-1), obtenemos el siguiente resultado: Teorema 7.3.24. Si G es un grupo finito y H≼G, entonces para cada g∈G; o((H)(gHg-1))= (o(H))2/o(H∩gHg-1). Por último plantearemos lo que podríamos llamar una segunda ecuación de clases dobles: Teorema 7.3.25. Si G es un grupo, H≼G y Hx1H, ... , HxrH, son las diferentes clases dobles de H en G, entonces o(G)= o(N(H)+ ∑

∉N(H)ix

H)o(Hxi .

Demostración. Por el Teorema 7.3.8 iv)o(G)=∑=

r

1iiH)o(Hx . En consecuencia al clasificar

a los xi en relación con su pertenencia al N(H), obtenemos: o(G)= ∑∈N(H)ix

H)o(Hxi +

∑∉N(H)ix

H)o(Hxi . (1).

Con relación a la primera sumatoria, si xi∈N(H), entonces xi∈x∈G/Hx=xH, y por consiguiente o(HxiH)=o(Hxi)=o(H) Por lo tanto el valor de esa sumatoria es o(Hxi/xi∈N(H)).o(H), el cual es de cálculo inmediato ya que Hxi/xi∈N(H)=N(H)/H y por lo tanto o(Hxi/xi∈N(H))=o(N(H))/o(H).. En consecuencia al sustituir en (1) obtenemos: o(G)=o(N(H)).+ ∑

∉N(H)ix

H)o(Hxi

Con estos elementos podemos abordar el Tercer Teorema de Sylow. Teorema 7.3.26. (Tercer Teorema de Sylow). Si G es un grupo finito y s es el número de p subgrupos de Sylow de G, entonces s≡1 modp. Demostración. Si P es un p subgrupo de Sylow de G, el Teorema 7.3.22 ilustra que s=o(G)/o(N(P)) y la ecuación de clases dobles del Teorema anterior cobra la forma s=1+

∑∉N(P)ix

Po(Pxi )/o(N(P)). En vista de que o(PxiP) = o(P.xiP 1ix− ) al aplicar el Teorema

333

7.3.24, obtenemos que o(PxiP)=(o(P))2/o(P∩xiP 1ix − ) y por consiguiente

s=1+ ∑∉

∩N(P)ix

Pxx/o(P(o(P)) -1ii

2 ) /o(N(P).

Teniendo en cuenta ahora que si xi∉N(P), entonces xiP 1ix− ≠P y por consiguiente P∩

xiP 1ix− es un subgrupo propio de P, ya que de tenerse P∩xiP 1

ix− =P, ello implicaría que P⊆P∩xiP 1

ix− . Pero como ese par de conjuntos tienen el mismo número de elementos concluiríamos P=xiPxi

-1, contradiciendo el resultado, P≠ xiPxi-1, demostrado anteriormente.

Al ser P∩xiP 1

ix− un subgrupo propio de P, se deduce que si o(P)=pk, con k∈ ℤ +, entonces

o(P∩xiPxi-1)= i

rp , donde 0≤ri<k y ri,k∈ ℤ.

Por lo tanto, si xi∉N(P), entonces o(P)/o(P∩xiPxi-1)= ir-kp , con k-ri∈ℤ+, transformándose

la ecuación de clases dobles en s=1+(pk+1 ∑∉

−

N(P)ix

ir-kp 1 )/o(N(P)= . Luego

(pk+1 ∑∉

−

N(P)i

x

ir-kp1 )/o(N(P))∈ℤ. Hay dos opciones o(N(P))pk+1 o o(N(P))pk+1. Si ocurre

la primera opción se tendría que N(P)=P y por lo tanto pk+1/o(N(P))=p y por consiguiente

s=1+p ∑∉

−

N(P)ix

ir-kp 1 . Pero ∑∉

−

N(P)i

x

ir-kp1

∈ ℤ, se deduce que s=1+up. Es decir s≡1 modp .

Pero si pk+1o(N(P)), entonces o(N(P) ∑∉

−

N(P)i

x

ir-kp1 , de donde se deduce que

( ∑∉

−

N(P)i

x

ir-kp1 )/o(N(P))∈ℤ y por consiguiente pk( ∑

∉

−

N(P)i

x

ir-kp1 )/o(N(P))=u∈ℤ, razón por la

cual s≡1 modp, ya que al final de cuentas; s = 1+up, con u∈ ℤ. En seguida, estudiaremos algunos resultados relativos a grupos finitos.

7.3.27. El recíproco del teorema anterior no es válido. Es decir si G es un grupo, p es un factor primo de o(G), s∈ℤ+ tal que s=1+kp y s es un factor de o(G), entonces ello no implica que el numeros de p sylows subgrupos de G sea s. Por ejemplo si G = ℤ6. el grupo aditivo residual modulo 6, entonces s=1+2=3, pero en G solo hay un 2 sylow subrupo, que es H=0,3 .

7.4. GRUPOS DE ORDENES p, p2, p3, pq..

334

Al iniciar esta discusión sabíamos, según el Teorema de Lagrange, que los grupos con p-elementos donde p∈ ℤ+ y p es un primo en ℤ, tienen como únicos subgrupos a los triviales, puesto que los únicos factores del primo p son 1y p. En segundo lugar según 5.2.1, los grupos de orden p son cíclicos. En consecuencia es válido el siguiente teorema Teorema 7.4.1. Si G es un grupo con p elementos y p es un numero primo, entonces G es un grupo cíclico cuyos únicos subgrupos son los triviales. El recíproco del Teorema anterior ya fue demostrado en el Teorema 5.2.8 Para el caso o(G)=p2, demostraremos el siguiente Teorema: Teorema 7.4.2. Si G es un grupo con p2 elementos y p es primo en ℤ, entonces G es abeliano. Demostración. Por ser Z(G)≼G y G un grupo finito, el Teorema de Lagrange(5.1.20), nos indica que o(Z(G))⎪o(G)=p2. Pero como p es un número primo; o o(Z(G))=1, o, o(Z(G))=p, o o(Z(G))=p2. La primera opción no es posible, porque según el Teorema 7.2.1, Z(G)≠e Igual suerte corre la segunda opción. En efecto, si o(Z(G))=p, inferimos que Z(G)≠G. En consecuencia existe a∈G tal que a∉Z(G). Pero como Z(G)⊂N(a) ya que Z(G)≠N(a), porque de lo contrario, a∈Z(G), se tiene que o(Z(G))<o(N(a))≤o(G). Por lo tanto, o(N(a))>p y por el Teorema de Lagrange o(N(a))⎪p2=G, situación que plantea como única opción el que o(N(a))=p2. Lo cual no es posible porque como en estas condiciones N(a)=G, el Teorema 7.1.6 ii) implica que a∈Z(G), contradiciendo así el resultado a∉Z(G) Nos queda únicamente la opción o(Z(G))=p2, obteniéndose de esta manera que G=Z(G) y por consiguiente G es abeliano Los resultados obtenidos enseñan que si p es primo, los grupos con p o p2 elementos son abelianos. Esta afirmación no puede extenderse a los grupos con p3 elementos. El siguiente ejemplo verifica la validez de esta afirmación. Ejemplo 7.4.3. Sean ℤp =0,1, ... , p-1 y A = (x,y,z) / x,y,z∈Zp.donde obviamente A tiene p3. Definamos * en A de la siguiente manera: Si (a,b,c),(d,e,f)∈A; (a,b,c)*(d,e,f) = (a+d, b+e, c+f-bd), donde las operaciones en lado derecho son la suma y multiplicación módulo p. No es difícil verificar que * es una operación asociativa en A. (Ver Ejercicio 7.5.11).Además * es modulativa, puesto que (a,b,c)*(0,0,0)=(a+0,b+0,c+0-b0)=(a,b,c). También * es invertiva, porque (a,b,c)*(-a,-b,-c-ab)=(a-a,b-b,c+(-c-ab)-(-b)a)=(0,0,0).

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Luego A es un grupo con p3 elementos, pero A no es abeliano en vista de que (1,0,0)*(0,1,0)=(1+0,0+1,0+0-0.0)=(1,1,0) mientras que (0,1,0)*(1,0,0)=(0+1,1+0,0+0-1.1)=(1,1,-1). Con relación a los grupos con pq elementos, donde p y q son primos, ya sabemos que no siempre son abelianos, puesto que precisamente en 2.12.5 demostramos que S3 es un grupo no abelianos con 6 elementos. El siguiente Teorema demuestra que la situación de S3 puede generalizarse y explica bajo que condiciones los grupos con pq elementos son abelianos. Por ejemplo en S3 solo existe un subgrupo con tres elementos, a saber H=i0,i1,i2 , mientras que son subgrupos con dos elementos: H1=i0,u1, H2=i0,u2, H3=i0,u3. Observe que en este caso 3≡1 mod2. Teorema 7.4.4. Si G es un grupo con pq elementos, siendo p y q primos con p<q y q ≡/ 1 modp entonces i)G contiene un único subgrupo con q elementos. y un único subgrupo con p elementos y ii)G es cíclico.. Demostración. Como o(G)=pq con p y primos, p<g, entonces p⎪o(G) y q⎪o(G) pero p2o(G) y q2o(G); por lo tanto, según el Corolario 7.3.18 (i), existen un p subgrupo de Sylow ,P, de G y un q subgrupo de Sylow, Q, de G. Si las cantidades correspondiente de tales subgrupos se notan con sp y sq , respectivamente, lo Teoremas 7.3.22 y 7.3.26. implican que sp⎪pq , sq⎪pq, sp≡1 modp y sq≡1 modq, Estamos interesados en demostrar que sq=1 Al tener que sq⎪pq, entonces por ser p y q primos, forzosamente debe darse por lo menos una de las siguientes alternativas: sq =p, o sq = q, o sq = pq,. o sq =1. Obviamente la opción sq = q debe descartarse, ya que al ser sq≡1 modq, sq≠q, puesto que sq = 1+kq, con k∈ℤ, k≥0. Igual acontece con sq = p. En efecto, como sq = 1+kq, con k∈ℤ, k≥0, entonces no es posible k=0, porque así sq=1 y ello no es posible porque p≠1, por ser p un primo. Y si k>0, tendríamos que q<1+kq= sq, pero como p<q, entonces p< sq. Por último, si sq = pq = 1+kq, entonces q(p-k)=1 y en esas condiciones q no es un primo. Luego sq=1 y por ello existe un único q subgrupo de Sylow, Q, de G, que según el Teorema 7.3.4, tiene q elementos. Intercambiando a q por p y por q, en la argumentación mediante la cual descartamos las alternativas sq = q, o sq = pq, se demuestra la imposibilidad sp = p o sp = pq. Tampoco es posible sq = p, porque ello implicaría p=1+kq, para algún q∈ ℤ ... Es decir p≡1 modq. De esta manera concluimos que G también tiene un único p subgrupo de Sylow, P, con p elementos.

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Además como q ≡/ 1 modp, en particular q≠1+kp = sp. La unicidad de P y Q implica que ellos son subgrupos normales de G. Además como, según Teorema 7.3.3, los elementos de P y Q son de orden p y q, respectivamente, salvo e, entonces P∩Q=e. Es inmediato, que si α∈P y β∈Q, entonces αβ=βα. En efecto, α-1β-1αβ=(α-1β-1α)β∈Q, pues α-1β-1α∈Q, por ser Q∆G, A su vez también α -1

β-1αβ =α-1(β-1αβ)∈P ya que β-1αβ∈P, porque P∆G. Entonces α-1β-1αβ∈P∩Q=e y por consiguiente α-1β-1αβ=e, verificándose así que αβ=βα. La igualdad demostrada en el párrafo anterior conduce a que (αβ)n = αnβn, si α∈P,β∈Q y n∈ℤ. (1). Ahora, como todo grupo de orden primo es cíclico, podemos considerar P=<a> y Q = , con a,b∈G. Demostraremos que G = <ab>. Para ello debemos verificar : I) (ab)pq = e y II) Si k∈ℤ + y k<pq, entonces (ab)k ≠ e. El objetivo I) es inmediato, porque según (1), (ab)pq = apqbpq. Pero como a∈P y b∈Q; ap =e y bq=e. Por lo tanto: (ab)pq = (ap)q(bq)p=e. Con relación a II), razonando por el absurdo, al existir k∈ℤ+ tal que k<pq y (ab)k = e, entonces akbk = e y en consecuencia ak = b-k∈Q. Por lo tanto ak∈P∩Q = e y por ello ak = e. Análogamente bk = a-k∈P y bk∈Q. Es decir, bk = e, porque bk∈P∩Q. Teniendo en cuenta que o(a) = p y o(b) = q, pues o(P) = p y o(Q) = q, con p y q primos y a,b∉e, se deduce que p⎪k y q⎪k. Pero como p y q son primos, entonces pq⎪k, lo cual es imposible, ya que habíamos considerado k<pq. Luego (ab)k≠e, si k∈ ℤ + y k<pq 7.4.5. Sabemos que S3 es el grupo no abeliano con el menor número de elementos. Demostraremos que es el único grupo, salvo isomorfismos, no abeliano con 6 elementos. En efecto, si G=e,a.b,c,d,f es un grupo no abeliano con 6 elementos, entonces de acuerdo con el Teorema de Cauchuy (7.2.2) existe un elemento de G con órden 3. Supongamos que dicho elemento es a, entonces=H=e,a,a2≼G. Pero como a2 debe ser igual a algún elemento de G, supongamos que a2=b. Es decir H= e,a,by de acuerdo con el Teorema .7.4.4, H es el único subgrupo de G con 3 elementos. En consecuencia o(a)=3 y o(b)=3. Además a2=b, b2=a y ab=ba=e.

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También según el Teorema de Cauchy (7.2.2) debe existir por lo menos un elemento de orden 2. Supongamos que c es tal que o(c)=2. Obviamente o(d)=o(e)=2, porque no es posible que o(d)=6, porque ello implicaría que G es cíclico contradiciendo que G no es abeliano. Tampoco o(d)=3, porque entonces K=e,d,d2 =H y en consecuencia d∈H, implicándose que d=e o d=a o d=b. Pero ninguna de esas opciones es posible. Análogamente se demuestra que o(f)=2 y así las cosas G tiene los siguientes subgrupos con 2 elementos: P=e,c y Q=e,d y R=e,f. Luego c2=d2=f2=e. Además no puede ser ac=e, ya que si ac=e, entonces ac=ab y por tanto c=b. Igualdad imposible. Por lo tanto hay dos opciones ac=d o ac=f. Si ac=d, entonces dc=a . Pero tambien acd=e y por ende cd=b. Ademas como bac=bd, entonces c=bd. De otra parte aac=ad, luego bc=ad. Pero como ad≠e, ad≠a, ad≠d, ad≠b y ad≠c, se tiene que ad=f y por ende af=c. Analogamente bc=f. y en consecuencia bf=d., fd=a. Tomando nuevamente ac=d, se infiere que acb=db, pero acb≠a, acb≠b, db≠b y db≠e. A su vez db≠c, porque si db=c, entonces dbc=e y en consecuencia bc=d, pero esto no es posible ya que bc=f. Luego db=f. Otra vez de ac=d obtenemos que fac=fd=a y al tener en cuenta dc=a, podemos decir que fa=d. y como af=c, se obliga a que ac=d, fc=b,fb=c, cb=d. Por último de ac=d se deduce que acf=df, pero como df≠d, df≠f, df≠e, acf≠a y acf≠f , solo quedan dos opciones df=c o df=b. Como la opción acf=c, implicaría f=e, porque cf=f, ya que af=c, entonces df=b y por ende da=c, ca=f y cf=a. Una opcion para la tabla de G es:

e a b c d f e e a b c d f a a b e d f c b b e a f c d c c F d e b a d d c e a e b f f d c b a e

De tal manera que para construir un isomorfismo F de S3 en G debemos inicialmente definir F(e)= i0, F(a)=i1, F(b)=i2. Para definir lo restante debemos tener en cuenta que la igualdad ac=d, definió prácticamente la tabla y en este caso para que F sea un homomorfimos debe cumplirse que F(a)F(c)=F(d), o equivalentemente i1F(c)=F(d), en consecuencia si definimos F(d)=u2, entonces ello implica que F(c)=u1, puesto que i1u1=u2. y F(f)=u3.

Veamos unos cuantos casos que permitan vislumbrar que F es un homomorfismo de grupos. No tiene problemas ver que F(ab)=F(a)F(b), así como F(cd)= F(c )F(d), F(cf)=F(c)F(f) y en general cuando se procede con el `producto de elementos de orden 2 o con el producto de elementos de orden 3 en G. Faltaría verificar con productos de elementos de orden 2 y orden 3. Por ejemplo F(ac)=F(d)= u2 . Pero como F(a)F(c)= i1u1=u2 , se deduce que F(ac)= F(a)F(c). Análogamente F(ca)=F(f)=u3 y F(c)F(a)=u1i1=u3. Luego F(ca)=F(c)F(a).

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El resto se comprueba análogamente a los dos casos anteriores (Ver Ejercicio) y así F es un homomorfismo biyectivo y en consecuencia G≈S3. 7.4.6. Al tener que un grupo no abeliano con 6 elementos tiene un unico subgrupo con 3 elementos y 3 subgrupos con 2 elementos, el Teorema 7.3.21 indica que el subgrupo con 3 elementos es normal, mientras que ninguno de los subgrupos con 2 elementos lo es. 7.4.7. El siguiente resultado presenta otra manera de resolver el problema anterior: Si G es un grupo y H≼G, entonces al considerar A=Ha/a∈G y S(A) =f/f es una biyeccion de A en A, entonces para cada b∈G se tiene que Tb definida en A como. Tb(Ha) =Hab-1, es una biyeccion de A en A y por consiguiente Tb∈S(A). De tal manera que ψ de G en S(A) definida para cada b∈G como ψ(b) =Tb resulta ser un homorfismo de G sobre S(A), puesto que TaoTb =Tab ya que para cada c∈G se tiene que TaoTb (c) = Ta (Hcb-1) = Hcb-1 a-1 =Hc(ab)-1 = Tab (c) En consecuencia ψ(ab) = ψ(a)oψ (b), y así ψ es un homomorfismo de G en S(A), cuyo nucleo K(ψ) sabemos que es un subrupo normal de G. Pero que ademas es el mayor subgrupo normal de G contenido en H. En efecto, K(ψ)⊆H, porque si a∈ K(ψ), entonces Ta =I= función idéntica en S(A). Por lo tanto, para cualquier x∈G se infiere que Ta(x)=Hxa-1 =Hx.. En particular si x=e, se deduce que Ha-1=H. Luego a-1∈H, pero como H≼G, entonces a∈H. K(ψ)⊆H. Por último, si N∆G tal que K(ψ)⊆N⊆H, entonces al considerar n∈N, se tiene que Tn(Ha)=Han-1.=Ha , en vista de que ana-1∈N, puesto que N∆G y por consiguiente ana-1∈H. Luego Tn=I= idéntica en S(A), razón para deducir que n∈ K(ψ). Luego K(ψ)=N, infiriéndose que K(ψ) es el mayor subrupo normal de G contenido en H. Apliquemos el resultado anterior al caso en que G sea un grupo con 6 elementos no abeliano, que como ya sabemos tiene un subgrupo H con 2 elementos y en consecuencia A tiene 3 elementos y así S(A) cuenta con 6 elementos. En esta circunstancias ψ es un homomorfismo de G en S(A), cuyo núcleo K(ψ) es el mayor subgrupo normal de G contenido en H. Pero como H no es normal en G , se deduce que K(ψ) consta únicamente del modulo e, y así (ψ es un isomorfismo, que resulta ser sobre porque tanto G como S(A) tiene 6 elementos. Luego G≈ S(A) ≈S3. En el desarrollo del presente capítulo hemos encontrado dos tipos excluyentes de grupos. Aquellos, que a semejanza de los de orden primo, tienen como únicos subgrupos normales a los triviales, y los que contienen subgrupos normales no triviales. En esa línea presentamos la siguiente Definición: Definición 7.4.8. Un grupo G es simple, si sus únicos subgrupos normales son los triviales, es decir: G y e.

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En la terminología de la Definición presentada, los grupos no simples admiten subgrupos normales no triviales. Es el caso, según el Teorema anterior, de los grupos G, con o(G) = pq, con p y q primos, en los que podemos ubicar el subgrupo Q tal que o(Q) = q. También son ejemplos de grupos no simples los grupos G con pn elementos, siendo p primo y n∈ ℤ+, n≥2, porque según el Teorema 7.3.16, existe un subgrupo H tal que o(H) = pn-1, que es subgrupo normal de algún subgrupo con pn, coincidente con G, y por lo tanto H∆G. Finalizaremos demostrando el siguiente resultado: Teorema 7.4.9. Todos los grupos con menos de 60 elementos y orden no primo, son no simples. Demostración. De acuerdo al Teorema 7.3.26., son no simples los grupos de los siguientes órdenes: 6 = 2.3, 10 = 2.5, 14 = 2.7, 22 = 2.11, 26 = 2.13, 34 = 2.17, 38 = 2.19, 42 = 2.21, 46 = 2.23, 58 = 2.29, 15 = 5.3, 21 = 3.7, 33 = 3.11, 39 = 3.13, 51 = 3.17, 57 = 3.19, 35 = 5.7 y 55 = 5.11. De igual manera no es difícil comprobar que son no simples los grupos de órdenes: 18, 20, 28, 40, 44, 45 y 50, que cuentan, respectivamente, con subgrupos normales de órdenes: 9, 5, 7, 5, 11, 5 y 25.(Ver Ejercicio 7.5.12). De tal manera que solamente resta verificar la naturaleza no simple de los grupos con 12, 24, 30, 48 y 56 elementos. Si G es un grupo con 12 elementos, entonces existirán S2 subgrupos de Sylow, que de acuerdo al Teorema 7.3.26., es tal que S2 = 1+2k, con k∈ ℤ y k≥0, pero como según el Teorema 7.3.22, s2⎪12, las únicas opciones son s2 = 1 ó s2 = 3. Si s2 =1, el 2 grupo de Sylow es normal y por lo tanto G es no simple. Si s2 = 3, entonces como el número de 2 Sylow subgrupos serían 3, podemos trabajar bajo el supuesto de aceptar la existencia de un par de subgrupos H y K de G,, con H≠K, tales que o(H)=o(G)=4. En consecuencia H∩K≠H. Pero como de todas maneras H∩K≼H, el Teorema de Lagrange indica que o(H∩K)⎪o(H)=4. Por lo tanto, o (H∩K) = 1, o o(H∩K) = 2. No es posible que o(H∩K) = 1, porque de ser así, al acudir al Teorema 7.3.23, o(HK) = o(H)o(K)/o(H∩K) = 16. Resultado absurdo, por cuanto o(HK) ≤ o(G), ya que HK⊆G. En estas condiciones la única opción viable es o(H∩K) = 2, la cual implica que o(H/H∩K)= o(K/H∩K) = 2. Razón por la cual H∩K∆H y H∩K∆K (Ver Problema 7.5.6) y por lo tanto, H⊆N(H∩K) y K⊆N(H∩K). Es decir, N(H∩K) contiene simultáneamente a los subgrupos H y K. Pero como H≠K, entonces H≠N(H∩K), porque si H = N(H∩K), también K⊆H, infiriéndose que H = K, ya que H y K tienen el mismo número de elementos. Luego H≠N(H∩K), es decir o(H)<o(N(H∩K)).

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La situación anterior nos indica que o(N(H∩K))>o(H) = 4, y a su vez, según el Teorema de Lagrange, o(N(H∩K))⎪o(G)=12, ya que N(H∩K)≼G. Luego, o o(N(H∩K) = 6 o o(N(H∩K)) = 12. La alternativa o(N(H∩K)) = 6 no es factible, puesto 4⎪o(N(H∩K)), en vista de que de acuerdo al Teorema de Lagrange 4 = o(H)⎪o(N(H∩K)), por ser H≼N(H∩K). Luego o(N(H∩K))=12 y ello nos lleva a que N(H∩K) = G y así H∩K es un subgrupo normal de G, obteniéndose que G no es simple. El procedimiento para verificar que los grupos con 24 o 28 elementos son simples es similar al utilizado en el caso de los de orden 12, porque si el grupo G cuenta con 24 elementos y H y K son dos 2-subgrupos de Sylow, con H≠K, entonces las opciones para o(H∩K), son o(H∩K) = 1, o o(H∩K) = 2, o o(H∩K) = 4. El Teorema 7.3.23 nos permite descartar las dos primeras opciones y al razonar análogamente a la alternativa o(H∩K) = 2 presentada en la Demostración de los grupos con 12 elementos, la eventualidad o(H∩K) = 4, del caso de los grupos con 24 elementos, conduce a que H∩K∆G y en consecuencia G es no simple. Abordemos en seguida la situación para los grupos de orden 30: Si o(G) = 30, entonces G tiene 1 o 10, 3-subgrupos de Sylow; 1 o 6, 5-subgrupos de Sylow. Al respecto ya sabemos que la unicidad, en los 3-subgrupos de Sylow, o los 5-subgrupos de Sylow, implica que G es no simple. Veamos que no es posible que G contenga 10, 3-subgrupos de Sylow y 6, 5-Sylow subgrupos. En efecto, si H y K, con H≠K, fueran un par de 3-subgrupos de Sylow de G, es decir, H y K son de orden 3. Como ya sabemos que H∩K≠H, y a la vez H∩K≼H, entonces o(H∩K)⎪o(H)=3 y o(H∩K)<3. Indicándonos ello que o(H∩K) =1. Así las cosas, H∩K = e, razón por la cual cada uno de los 10, 3subgrupos de Sylow, contará con dos elementos de orden 3, que no figurarán en ninguno de los restantes 3 subgrupos de sylow. Es decir, existirán 20 elementos de orden 3 en G. Si de otra parte tuviéramos 6 subgrupos de orden 5, acudiendo a un razonamiento análogo, concluiríamos que G cuenta con 24 elementos diferentes de orden 5, que sumados a los 20 de orden 3, sumarían un total de 44 elementos, resultado que no es posible puesto que G es de orden 30. Abordemos por último a los grupos con 56 elementos, que contarán con 1 o 7, 2-subgrupos de Sylow y 1 u 8, 7-Sylow subgrupos de G. Hemos visto que la unicidad de los 2-subgrupos de Sylow o de los 7-subgrupos de Sylow, implica la no simplicidad de G.

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Confrontemos la eventualidad de que existan 8 subgrupos de orden 7 y 7 subgrupos de orden 8. Razonando como en el caso o(G) = 30, la presencia de 8 subgrupos de orden 7, nos muestra a 48 elementos de orden 7. Si H y K, con H≠K, son un par de subgrupos de G con 8 elementos, integrantes de la colección de 7 aludidas, las alternativas para o(H∩K) son: o(, H∩K)=1 o, o(H∩K) = 2, o o(H∩K) = 4. Al igual que en el caso o(G) = 12, no es posible que o(H∩K) = 1. Tampoco es posible (H∩K) = 2, porque como o(H∪K) = o(H) + o(K) - o(H∩K) = 14, entonces G tendría por lo menos 14 elementos de orden 8, que sumados a los 48 de orden 7, estarían contando 62 elementos de G, resultado que no concuerda con la hipótesis: o(G) = 56 elementos. Luego la única alternativa es o(H∩K) = 4, y en esta situación la línea de razonamiento utilizada en el caso o(G) = 12, conduce a que N(H∩K) = G. Entonces H∩K∆G y por lo tanto G es no simple.

7.5 EJERCICIOS. 7.5.1 Demuetre que si G es un grupo y H≼G, entonces N(H)=⎨x∈G/Nx=xN⎬=⎨x∈G/xN-1

=N⎬∆G.. 7.5.2. Demuestre que la relación ∼ definida en la Definición 7.1.1. es de equivalencia. 7.5.3. En el grupo multiplicativo K, de los cuaterniones, demuestre: i)) c(i) = c(-i) = i,-i,. ii) c(1) = c(-1) = -1), iii) c(j) = c(-j) = j,-j, iv) c(k) = k,-k, v) Z(K) = 1,-1, vi) N(i) = N(-i) = 1,-1,i,-i, vii) N(K) = N(-K) = 1,-1,k,-k. 7.5.4 Relativo al Teorema 7.1.6, demuestre que si α,β∈N(a), entonces (αβ-1)a = (α β-1)(a(ββ-1)) = (αβ-1)((aβ)β-1) =(αβ-1)(βa)β-1) = α(β-1β)(aβ-1)=(αa)β-1= (aα)β-1 = a(αββ-1 ) 7.5.5 Demuestre que si G es un grupo N≼Z(G), entonces N∆G. 7.5.6. Demuestre que si G es un grupo y N≼G tal que o(G/N)=2, entonces N∆G. 7.5.7. Demuestre que si G es un grupo y p,kó∈Z+ tales que es primo en Z y pk⎪o(G), pero pk+1o(G), entonces o(G)=pkm, como m∈Z+ y (p,m)=1. Ii) Si N∆G tal que o(N)=p, entonces G/N es un grupo tal que o(G/N)<o(G), pk-1⎪o(G/N), pero pKo(G/N). 7.5.8. Si G es un grupo, N∆G y f:G→G/N es el homomorfismo de grupos definido como f(g)=Ng, si g∈G, demuestre que si H~≼G/N, .entonces H~ =H/N, donde H=f-1 (H~ ).

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7.5.9 Verifique que la misma línea de argumentación utilizada para demostrar el Primer Teorema de Sylow (7.3.4) permite comprobar la siguiente afirmación: Si G es un grupo finito y p es un entero primo factor de o(G), tal que para algún k∈ℤ +, pk⎪o(G) pero pk+1o(G), entonces para cada entero r∈(0,k] existe H≼ G, tal que o(H)= pr . 7.5.10. Si P es un p sylow subgrupo de G y ℘=g-1Pg/g∈G, demuestre: i) ℘ representa a la familia de todos los p subgrupos de Sylow de G, ii) F, definida de G/N(P) en ℘ como F(N(P)g)=g-1Pg una biyección. Sugerencia[Probar que F es una biyección equivale a verificar que si g,h∈G, ℤ si p∈P, entonces las ecuaciones gpg-1=hxh-1 y gxg-1=hph-1 tienen solución en P. De otra parte, si gPg-1=hPh-1, entonces para cada p∈P existe q∈P tal que p(g-1h)= (g-1h)q. Entonces (g-1h)q(g-1h)-1 ∈P y por consiguiente (g-1h)∈N(P). Por último es obvio que cualquier g-1Pg es imagen de N(P)g, según F. 7.5.11. Demuestre que * en 7.4.3 es una operación asociativa. 7.5.12. Demuestre que los grupos de órdenes: 18, 20, 28, 40, 44, 45 y 50, cuentan, respectivamente, con subgrupos normales de órdenes: 9, 5, 7, 5, 11, 5 y 25 Con el ánimo de montar el armazón teórico que nos permita esbozar la Demostración del Teorema de Cauchy, debida a James H Mckey, planteamos la siguiente Definición: Definición 7.5.13. Si G es un grupo y X es un conjunto, diremos que G actúa sobre X, o que G es un grupo de transformaciones de X, si existe una función ⊗ :GxX→X, tal que si g∈G y x∈X, entonces al notar ⊗(g,x) = g⊗x, se cumplirá para g1,g2∈G y x∈X,: i) g1⊗(g2⊗x) = (g1g2)⊗x y ii) e⊗x = x, donde e es el módulo de G y la operación en g1g2 es la de G. Los resultados planteados a continuación no serán utilizados en la Demostración del Teorema de Cauchy, sin embargo, ellos son útiles para comprender la Definición anterior. 7.5.14 SA = f:A→A/ f es una biyección y G =< SA , o>, con o = composición de funciones demuestre i) que el grupo G actúa sobre A, mediante ⊗, definida para f∈G y a∈A, como f⊗a = f(a), ii) El único f∈G tal que f⊗x = x, para cualquier x∈A, es f = IA = Idéntica en A. 7.5.15. Si G es un grupo de transformaciones de un conjunto X, demuestre que cada g∈G, determina una función g: X→X, definida como g⊗x = g(x), si x∈X 7.5.16. i) Si G es un grupo y H≼G, demuestre que G actúa sobre G/H=gH/g∈G, mediante * definida como g⊗αH = gαH, para g,α∈G ii) Si G = S3 y H = i0, i1, i2¿Será i0 el único elemento de G tal que i0*⊗H = gH, si g∈G?, iii)¿Será válida la igualdad ∩ Gg

1gHg∈

− = e?.¿Se cumplirá ésta igualdad, si H = i1,u1?

343

Planteamos a continuación, la siguiente Definición: Definición 7.5.17. Un grupo de G de transformaciones de un conjunto X actúa efectivamente sobre X, o es efectiva, si el único g∈G tal que g⊗x = x, para todo x∈X, es g = e = módulo de G. 7.5.18. Si G es un grupo de transformaciones de un conjunto X y G0 =g∈G/g⊗x=x, para todo x∈X, demostrar: i) G0≼G ii)G, actúa efectivamente sobre el conjunto K de las clases

laterales izquierdas de G en K, si y solo si 1gHg / g G ∈∩ = e. Sugerencia[ Si G

actúa efectivamente sobre K y x∈ 1gHg / g G ∈∩ , entonces para cualquier g∈G x∈gHg-

1y por consiguiente si g∈G existe h∈H tal que x=ghg-1 . En consecuencia x⊗gH= gH. Recíprocamente, si 1gHg / g G ∈∩ =e, y x∈G tal que para cualquier g∈G, x⊗gH=gH,

entonces xgH=gH, lo cual permite deducir que x∈gHg-1, para cualquier g∈G. Continuando con los elementos básicos para la demostración del Teorema de Cauchy, definiremos la relación que en X induce la función ⊗ de uno de sus grupos de transformaciones: Definición 7.5.19. Si G es un grupo que actúa sobre un conjunto X mediante ⊗ , diremos, para x,y∈X, que xRy, si existe g∈G tal que y = g⊗x. 7.5.20. i)Demuestre que R en la definición anterior es una relación de equivalencia en X. ii)Demuestre que si x∈X, su clase de equivalencia, según R , es G⊗x= g⊗x/g∈G iii)si Gx =g∈G/g⊗x = x, demuestre que o(G⊗x)=o(G)/o(Gx). Sugerencia[Demuestre que si x∈X, entonces F definida de G⊗x en G/Gx, como F(g⊗x)=gGx, para g∈G es una biyección. Al respecto, si g,r∈G tales que g⊗x=r⊗x, entonces r-1⊗(g⊗x)=x y por consiguiente r-1g∈Gx De otra parte, si gGx=rGx, entonces r-1g∈Gx, o equivalentemente: (r-1g)⊗x=x y en consecuencia r⊗(r-1⊗(g⊗x))=r*x. O sea que r(r-1)⊗(g⊗x)=r⊗x. Luego g⊗x=r⊗x

7.5.21.(Teorema de Cauchy) si G es un grupo finito y p es un numero primo tal que p⎪o(G), entonces existe H≼G con o(H)=p. Sugerencia: si X =(a1,a2,...,ap)/ai∈G y a1.a2.....ap = e, demuestre: i) o(X) = np-1 , (tenga en cuenta que si a1, ...,ap-1∈G, entonces (a1. ... .ap-1)∈G y por lo tanto también (a1. ... .ap-1)-1

∈G) con n = o(G) ii)si H = <k> es un grupo cíclico arbitrario con p-elementos, entonces H actúa sobre X mediante *, definida como:

ki⊗(a1,a2,...,ap)=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

− 1>i si )),a,...,(a*(k*k

1=i si ),a,a,...,a,(a

0=i si ),a,...,(a

p11i

1p32

p1

344

(En este caso para demostrar que ki⊗(kj⊗(a1, ... ,ap)=ki⊗kj⊗(a1, ... ,ap), razone por inducción matemática sobre j) iii) si x∈X, entonces x = (a1, ... , ap) con a1 =- = ... = ap = a∈G, o existe por lo menos i, j∈ ℤ +, con i≠j, tales ai≠aj . Por lo tanto; o(H⊗x)= 1 ó o(H⊗x)=p. Como los diferentes H⊗x conforman una partición X, entonces al considerar que existen m clases con un sólo elemento y r de p elementos, tendremos que o(X) = np-1 = m + rp y por consiguiente, p⎪m, lo cual implica que m>1. De esta manera concluimos en aceptar a por lo menos un x = (a1, ... , ap)∈X con a1 =- = ... = ap = a∈G y a≠e, infiriéndose que ap = e y por consiguiente K = <a> es un subgrupo de G con p elementos 7.5.22. Demuestre que el subconjunto K de S4, cuyos 12 elementos relacionamos a

continuación es un subgrupo de S4.

i0 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛43214321

, i1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛24314321

, i2 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛14234321

, i3 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛31244321

, i4 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛13424321

, i5 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛32414321

i6 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛23144321

, i7= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛41324321

, i8 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛42134321

, i9 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21434321

, i10 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛12344321

, i11 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛34124321

. Además

demuestre que no tiene subgrupos de orden 6.

Sugerenciaerencia: i) Razonando por el absurdo, suponga que existe H≼K tal que o(H) = 6.

ii) Demuestre que i9, i10,e i11, son de orden 2, mientras que i1, i2, ... ,i8, son de orden 3. iii)

El Teorema de Cauchy implica que H contiene un subgrupo de orden 3 y uno de orden 2.

Como consecuencia de lo anterior H tiene por lo menos 8 elementos.

7.4.13. Con relación a la Demostración del Teorema 7.2.4 verifique que los subgrupos N0,

N1, ... , Nr, obtenidos en la parte final de dicho razonamiento, satisfacen N0⊃N1⊃ ... ⊃Nr y

además Ni∆Ni-1 y Ni-1/Ni es abeliano.

7.5.23. En el Teorema 7.3.8 demuestre que iv) es una consecuencia de ii) y iii)

7.4.24. Demuestre que la aplicación g de R en Hxk/k∈K, presentada al final de la

demostración del Teorema 7.3.12, es una biyección.

345

7.5.25. Si G es un grupo que cuenta con un p grupo P y un q grupo Q, demuestre que si

p≠q, entonces P∩Q = e.

7.5.26. En el Teorema 7.4.4 demuestre que (xy)n = xnyn, si x∈P y y∈Q.

7.5.27. Demuestre que los grupos con 18, 20, 28, 40, 44 y 50 elementos son no simples.

7.5.28. Demuestre que los grupos de orden 24 y 48 son no simples.

7.5.29. Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones:

1. Si G es un grupo y a∈G, entonces N(a)⊆Z(G).

2. Si G es un grupo y a∈G, entonces Z(G)≼N(a).

3. Un grupo G es un p grupo, si todos sus elementos son de orden p.

4. Si G es un grupo finito y m∈ ℤ + tal que m⎪o(G), entonces existe a∈G tal que o(a) = m.

5. Si P es un p grupo y P≼G, entonces P es un p subgrupo de Sylow de G.

6. Si G es un grupo y H y K son subgrupos de G, entonces HK≤G.

7. Si G es un grupo y H y K son subgrupos de G, entonces o(HK)= o(H)o(K).

8. Si G es un p grupo y o(G) = p3, entonces G es abeliano.

9. Si G es un grupo y o(G) = pq, con p y q primos, entonces G es abeliano.

10. Si H es el único subgrupo de G, con o(H) elementos, entonces H∆G.

346

7.6. OTRA DEMOSTRACION DE LOS TEOREMAS DE CAUCY Y SYLOW. Definición 7.6.1. Si G es un grupo, diremos que G actúa sobre X, o que G es un grupo de transformaciones de X o que X es un G grupo, si existe una función ⊗ :XxG→X, tal que si x∈X y g∈G , entonces al notar ⊗(x,g) = x⊗g, se cumplirá para x∈X y a,b∈G: i) x⊗(ab) = (x⊗a) ⊗b y ii) x⊗e = x, donde e es el módulo de G y la operación en ab es la de G. 7.6.2. En la situación de la definición anterior se acostumbra también a decir que G es un grupo de transformaciones de X mediante ⊗; o que G es un grupo que actúa sobre X mediante ⊗, o que X es un G es un grupo mediante ⊗. Ejemplo 7.6.3. Si G es un grupo, entonces G actúa sobre G, al considerar a⊗b=ab, si a,b∈G. Ejemplo 7.6.4. Si X es un G es un grupo mediante ⊗, entonces G0 = ⎨g∈G/(∀x)(x∈X⇒x⊗g=x)⎬∆G. Primero verifiquemos G0≼G. Evidentemente e∈G0 puesto que, por Definición 7.6.1, x⊗e=x, siempre que x∈G. Además, si a,b∈G0 y x∈G, entonces: x ⊗(ab)=(x⊗a)⊗b Por Definición 7.6.1 =x⊗b Porque a∈G0 =x Porque b∈G0.

Entonces ab∈G0. Por último: De acuerdo a la Definición 7.6.1, al considerar x∈X y a∈G, se tiene que (x⊗ a-1)⊗a= x⊗(a-1a)=x⊗e=x. Pero como e= a-1a=aa-1, se deduce que x⊗(a-1a)=x⊗(aa-1) =x. Por lo tanto (x⊗a-1)⊗a=(x⊗a)⊗a-1=x De tal manera que si a∈G0, entonces como x⊗a-1∈X, se tiene que (x⊗a-1 )⊗a= x⊗a-1 y por lo tanto x⊗ a-1=x.. Luego a-1 ∈G0. Una vez demostrado que G0≼G, comprobemos que ghg-1∈G0, si g∈G y h∈G0, En efecto, si x∈X, entonces: x⊗(ghg-1) = (x⊗g)⊗h)⊗g-1 Por Definición 7.6.1 = (x⊗g) ⊗g-1) Porque h∈G0 = x⊗(gg-1) Por Definición. 7.6.1 = x⊗e Porque gg-1=e = x Por Definición. 7.6.1

347

Entonces x⊗ (ghg-1)=x y por consiguiente ghg-1∈G0.Es decir, de acuerdo con la Definición 4.7.4, G0∆G. Definición 7.6.5. Si G es un grupo que actúa sobre X mediante ⊗, y a,b∈X, entonces diremos que aRb, si existe g∈G tal que b=a⊗g.. Teorema 7.6.6 La relación R definida anteriormente es una relación de equivalencia en X. Demostración. Si x∈X, entonces evidentemente xRx, puesto que por definición x=x⊗e. Además, si x,y∈X y xRy, entonces existe g∈G tal que y=x⊗g y en consecuencia y⊗g-1= (x⊗g)⊗g-1)=x⊗(gg-1)=x⊗e= x. Luego yRx.y por tanto se ha demostrado que si xRy, entonces yRx. Por último si x,w,z∈X tales que xRw y wRz, entonces existen u,v∈G tales que w=x⊗u y z=w⊗v, por lo tanto z=(x⊗u)⊗v=x⊗(uv), infiriéndose que xRz. Así se ha demostrado que R es una relación de equivalencia en X. 7.6.7 Si x∈X, la clase de equivalencia de x respecto de R, la llamaremos la orbita de x en G, según R, que notaremos como x⊗G Por lo tanto x⊗G=⎨y∈X/xRy⎬=⎨y∈X/(∃g∈G)(y=x⊗g⎬ = ⎨x⊗g/g∈G⎬. Además G/R = ⎨x⊗G/x∈X⎬. Ejemplo 7.6.8. Si G es un grupo que actúa sobre X mediante ⊗ y x∈X, entonces el estabilizador de x, notado Gx definido como Gx=⎨g∈G/x⊗g=x⎬, es tal que Gx≼G. En efecto, e∈Gx, puesto que por Definición x⊗e=x. Si a,b∈Gx, x⊗(ab)=(x⊗a)⊗b=x⊗b=x. Luego ab∈Gx Por último, si a∈Gx, entonces x⊗a=x y por ser ⊗ función, se infiere que (x⊗a) ⊗a-1= x⊗ a-1. Pero como (x⊗a) ⊗a-1=x⊗e=x, se deduce que x⊗ a-1=x. Luego a-1∈Gx. Teorema 7.6.9: Si X es un G es un grupo mediante ⊗ y x∈X, entonces o(x⊗G)=o(G/Gx). Demostración. Basta ver que f definida de x⊗G en G/Gx, como f(x⊗g)=Gxg es una biyección. f es función inyectiva porque obviamente está definida en x⊗G y f(x⊗g)∈G/Gx. Además, si x⊗g=x⊗h, para g,h∈G, entonces Gxg=Gxh, puesto que al tener que x⊗g=x⊗h, ello equivale a que x=x⊗(hg-1), lo cual ocurre si y solo si hg-1∈Gx. Por último f es sobre, porque cualquier Gxg es imagen según f de x⊗g.

348

Notación 7.6.10. Si X es un G grupo, mediante ⊗, entonces XG=⎨x∈X/(∀g∈G)(x⊗g=x⎬. 7.6.11. Obviamente si X es un G grupo, mediante ⊗, entonces las siguientes propuestas son equivalentes:

i) x∈XG ii) x⊗G=⎨x⎬. iii) Gx=G. Ver Ejercicicio7.7.3.

Teorema (7.6.12). La nueva ecuación de clases. Si X es un G grupo, mediante ⊗ y X es finito, entonces o(X)= o(XG)+

Gx X

o(x G)∉

⊗∑ .

Demostración. Como X es finito existen r òrbitas diferentes x1⊗G, … xr⊗G, tales que

X=r

ii 1

x=∪ ⊗G y por consiguiente o(X)=∑

=

⊗r

1ii G)o(x . Además como según la nota anterior

x⊗G = ⎨x⎬, si y solo si x∈XG, se infiere que si XG=⎨x1, … xs⎬, entonces

o(X)=o(XG)+r

ii=s 1

o(x G)+

⊗∑ . Mas generalmente o(X)= o(XG)+Gx X

o(x G)∉

⊗∑ .

Teorema 7.6.13. Si G es un p grupo y X es un G conjunto finito, entonces o(X)≡ o(XG) mod p. Demostración. Como según 7.6.12 o(X)- o(XG)=

Gx Xo(x G)

∉

⊗∑ , al considerar el Teorema

7.6.9, se deduce que o(X)- o(XG)= )o(G)/o(GXx

x∑∉ G

Pero como o(Gx)<o(G), puesto que

Gx⊂G, ya que si Gx=G, entonces según 7.6.11 se tendría que x∈XG, contradiciendo que x∉XG. Entonces al ser G un p grupo y Gx un subgrupo propio de G, se infiere que p|o(G)/o(Gx), si x∉XG (Ver Ejercicio 7.7.5) y por consiguiente p| ∑

∉

⊗Xx

G)o(x . Luego

o(X)- o(XG)=kp, para algún k∈ℤ +. Es decir o(X)≡o(XG) mod p. 7.6.14. Si G es un grupo y ℑ es la familia de todos los subgrupos de G, entonces al definir ⊗ de ℑxG en ℑ, para g∈G y H∈ℑ, como H⊗g=g-1Hg, evidentemente ⊗ es una función ℑxG en ℑ y G actúa sobre ℑ mediante ⊗ puesto que H⊗e=H, porque al ser H≼G se sabe por el Teorema 4.1.4 que e∈H y por consiguiente e-1He=H, si e es el módulo de G. Además, si a,b∈G y H∈ℑ, entonces H⊗(ab)=(ab)-1H(ab)=(b-1a-1)H(ab)=b-1(a-1Ha)b=b-1

(H⊗a)b= (H⊗a) ⊗b. (Ver Ejercicio 7.7.4 ). Luego G actúa sobre ℑ mediante ⊗.

349

Además si definimos HG=⎨g∈G/ H⊗g=H⎬, entonces al recordar que según 7.5.1 que el Normalizador de H= N(H)= ⎨g∈G/ gHg-1=H⎬, se infiere que HG=N(H). La siguiente propiedad es importante para la demostración de los teoremas de Sylow. Teorema 7.6.15. Si G es un grupo, p∈ℤ+, p primo en ℤ tal que p|o(G) y H es un p subgrupo de G, entonces o(N(H)/H)≡o(G/H) mod p, con G/H=⎨Hg/g∈G⎬ Demostración. Definamos ⊗ de (G/H)xH en G/H para h∈H y aH∈G/H, como Ha⊗h=Hah.. Entonces ⊗ es una función de (G/H)xH en G/H, puesto que evidentemente está definida en (G/H)xH y si (bH,a)∈ G/HxH, entonces Ha⊗h=Hah∈G/H. Además, si a=b∈H y Hc=Hd∈G/H, entonces cd-1∈H y dado que a=b, también (ca)(b-1d-1)∈H. Pero como según el Teorema 22..33..44 se tiene que (b-1d-1)=(db)-1, se infiere que (ca) (db)-1∈H. Entonces por 5.5.5 obtenemos que Hca=Hdb y así Hc⊗a=Hd⊗b.. De otra parte Ha⊗e=Ha y Hg⊗(ab)=Hg(ab)=H(ga)b=(H(ga)) ⊗b=((Hg)⊗a)⊗b. Al considerar el Teorema 7.6.13 aplicado a X=G/H y al p subgrupo H de G, se tiene o(G/H)≡o(XH) mod p. Pero dado que XH=⎨Hg/(∀h∈H)(Hgh=Hg)⎬=⎨Hg/(∀h∈H)(Hghg-1 ) =H) ⎬=⎨Hg/(∀h∈H)(ghg-1∈H ⎬=⎨Hg/g∈N(H)⎬=N(H)/H. Es decir XH=N(H)/H y por lo tanto o(N(H)/H)≡o(G/H) mod p. Definición 7.6.16. Un grupo de G de transformaciones de un conjunto X actúa efectivamente sobre X, o es efectiva, si el único g∈G tal que x⊗g = x, para todo x∈X, es g = e = módulo de G. 7.6.17. G actúa efectivamente sobre el conjunto K de las clases laterales izquierdas de G,

como gH⊗a=agH, si y solo si 1

g G

gHg∈∩ =e.(1)

En efecto, si G actúa efectivamente sobre K y x∈ 1

g G

gHg∈∩ , para probar que x=e, basta

probar que si g∈G, entonces xgH=gH. En efecto, si g∈G se tiene que como por (1) x∈ gHg-1 existe h∈H tal que x=ghg-1. En consecuencia x⊗gH=xgH= gH. Recíprocamente, si 1

g G

gHg∈∩ =e y x∈G tal que para cualquier g∈G, gH⊗x=gH, entonces

xgH=gH, lo cual permite deducir que xg∈gH y por ende xg=gh, para algún h∈H. Luego x=ghg-1∈gHg-1, para cualquier g∈G. Es decir, x∈ 1

g G

gHg∈∩ =e y por lo tanto x=e. Es decir

G actúa efectivamente sobre el conjunto K de las clases laterales izquierdas de G.

350

7.6.18.(Teorema de Cauchy) Si G es un grupo finito y p es un entero positivo tal que p es primo en ℤ y p es un factor de n=o(G), entonces existe H≼G tal que o(H)=p. Demostración En primer lugar demostremos que si X =(a1,a2,...,ap)/a1,a2,...,ap∈G ∧ a1.a2.....ap = e, entonces f definida para cada (a1,a2,...,ap)∈X como f(a1,a2,...,ap)= (a1,a2,...,ap-1) es una biyección de X en K=G1x … xGp-1, con G=G1= … =Gp-1, porque evidentemente f es una funciòn y si f(a1,a2,...,ap)= f(b1,b2,...,bp), entonces (a1,a2,...,ap-1)= (b1,b2,...,bp-1) y por ende se tendrá que a1=b1,.....ap-1=ap-1. Pero como (a1,a2,...,ap),(b1,b2,...,bp)∈X, se infiere que a1a2...ap= b1b2...bp = e y por lo tanto en vista de que a1=b1,.....ap-1= ap-1, se deduce que ap=(a1. ... .ap-1)-1 =(b1. ... .bp-1)-1 =bp . Luego (a1,a2,...,ap)=(b1,b2,...,bp) y así f es inyectiva. Por último f es sobre porque cualquier el término (a1,a2,...,ap-1)∈K es tal que f(a1,a2,...,ap)= (a1,a2,...,ap-1), si ap=(a1a2... .ap-1)-1 Es decir f es una biyección de X en K y por esa razón o(X)=o(K). Pero como o(K)= np-1, concluímos que o(X)= np-1 Si H = <k> es un grupo cíclico arbitrario con p-elementos, entonces H actúa sobre X mediante ⊗, definida como:

(a1,a2,...,ap)⊗ki = 1 p

2 3 p 1

i 11 p

(a ,...,a ), si i=0

(a ,a ,...,a ,a ), si i=1

((a ,...,a ) k ) k, si i>−

⎧⎪⎪⎨⎪

⊗ ⊗⎪⎩ 1

Porque en primer lugar para i∈ℤ+.es válida la igualdad e ⊗ ki = e , si e =(e1, …,ep), con e1=… =ep =e=módulo de G. Y por inducción matemática sobre j se verifica que (a1, ... ,ap)⊗(kikj) =((a1, ... ,ap) ⊗ki ) ⊗ kj, (Ver Ejercicio 7.7.7 ) Si x∈X, entonces o x = (a1, ... , ap) con a1 =a2 = ... = ap = a∈G, o existe por lo menos i, j∈ℤ +, con i≠j, tales que ai≠aj . Por lo tanto, si x = (a1, ... , ap) con a1 =a2 = ... = ap = a, entonces Hx=⎨h∈H/h⊗x=x⎬=H y por lo tanto según el Teorema 7.6.9 o(H⊗x)= 1. Pero si e existen i,j∈ℤ +, con i≠j, tales que ai≠aj, entonces o(Hx)<o(H) y por lo tanto como o(Hx)|o(H) y o(H)=p entonces o(Hx)=1 y así el Teorema 7.6.9 indica que o(H⊗x)=p, Como los diferentes H⊗x conforman una partición X, entonces al considerar que existen m clases con un sólo elemento y r de p elementos, tendremos que o(X) = np-1 = m + rp y por consiguiente, p⎪m, lo cual implica que m>1. De esta manera concluimos en aceptar a por lo menos un x = (a1, ... , ap)∈X con a1 =.. = ap = a∈G y a≠e, infiriéndose que ap = e y por consiguiente L = <a> es un subgrupo de G con p elementos. 7.6.19. Primer Teorema de Sylow. Si G es un grupo finito tal que o(G)=mpn, con n,m,p∈ ℤ+ tales que p es primo en ℤ y pm, entonces:

i) Para cada i∈ℤ con 0<i<n, existe H≼G tal que o(H)=pi.

351

ii) Si H≼G tal que o(H)= pi , entonces existe K∆G tal que H⊂K y o(K)=pi+1. Demostración. i) Al razonar por inducción sobre i, el resultado es, según el Teorema de Cauchy, válido para i=1. Aceptemos el teorema válido para todo j∈ℤ+ tal que j≤i y probémoslo para j=i+1. Sea entonces H≼G tal que o(H)=pi , al considerar N(H), se tiene que N(H)/H es un grupo por ser H∆N(H) y además como, según el Teorema 7.6.15, o(N(H)/H)≡o(G/H) mod p y p|o(G/H), entonces p|o(N(H)/H) y en consecuencia con el Teorema de Cauchy, existe Ũ≼N(H)/H tal que p|o(Ũ). Por lo tanto al considerar el homomorfismo canónico γ de N(H) en N(H)/H, definido como γ(n)=Hn, si n∈N(H), se tiene que U=γ-1(Ũ)≼N(H) tal que H⊆U. Además Ũ=U/H y por tanto o(U)=o(Ũ).o(H)=pi+1. ii) Si H≼G tal que o(H)=pi, al acudir a la argumentación anterior, se garantiza la existencia de U tal que U=γ-1(Ũ)≼N(H) y H⊆U.Pero como N(H)∆G también U∆G. 7.6.20. Segundo Teorema de Sylow. Si H y K son subgrupos de sylow de un grupo finito y G, entonces H y K son conjugados. Demstración. Sea X=G/K, entonces H actúa sobre G/K, mediante ⊗ de XxH en X definida como Kg⊗h=Kgh, si g∈G y h∈H. Según Teorema 7.6.13, o(XH)≡o(G/H) mod p, pero como po(G/H), entonces po(XH).y así o(XH)≠0 (ver Ejercicio 7.7.8) De otra parte, dado que XH=⎨x∈X/(∀h∈H)(x⊗h=x⎬= ⎨Ka∈G/K/(∀h∈H)(Kah=Ka⎬ y en vista de que o(XH)≠0, debe existir a∈G tal que a∈XH y por tanto (∀h∈H)(Kah=Ka. De donde se infiere que H= a-1Ka. (Ver Ejercicio 7.7.8).. 7.6.21. Tercer Teorema de Sylow: Si G es un grupo finito, p∈ℤ+ tal que p es primo en ℤ, p|o(G) y s es el número de p sylow subgrupos de G, entonces s≡1 mod p. Demostración. Sea X la colección de todos los p subgrupos de sylow de G y sea P un p un p subgrupo de sylow de G. Definamos ⊗ de XxP en X, para cada K∈X y x∈P como K⊗x=x-1Kx . Entonces como P actúa sobre X, mediante ⊗ (Ver Problema 7.7.9) y por el Teorema 7.6.13, o(XP)≡o(X)modp.(1) Procedamos a ver quien es XP=⎨T∈X/(∀h∈P)(T⊗h=T⎬=⎨T∈X/(∀h∈P)(h-1Th=T⎬. Por lo tanto, si h∈P y T∈Xp, entonces, por definición h-1Th=T. Es decir h∈N(T) y por ende P ≼N(T). Pero como también T≼N(T) y tanto P como T son p subgrupos de sylow de G, se infiere que P y T son p subgrupos de sylow de N(T). Entonces, según el teorema anterior P y T son conjugados en N(T). Es decir existe α∈N(T) tal que P=αTα-1 Por último dado que α∈N(T) se deduce que αTα-1 =T. Luego T=P y por consiguiente XP =⎨P⎬ y así o(XP)=1.

352

Al sustitur en (1) se deduce que 1≡o(X)modp, es decir s≡1 modp.

7.7. EJERCICIO 7.7.1 . Si SA = f:A→A/ f es una biyección y G =< SA , o>, con o = composición de funciones demuestre i) que el grupo G actúa sobre A, mediante ⊗, definida para f∈G y a∈A, como f⊗a = f(a), ii) El único f∈G tal que f⊗x = x, para cualquier x∈A, es f = IA = Idéntica en A. 7.7.2. i) Si G = S3 y H = i0, i1, i2¿Será i0 el único elemento de G tal que i0*⊗H = gH, si g∈G?, iii)¿Será válida la igualdad 1

g G

gHg∈∩ = e?.¿Se cumplirá ésta igualdad, si H =

i1,u1? 7.7.3 Si X es un G grupo, mediante ⊗, demuestre que las siguientes propuestas son equivalentes:

i) x∈XG ii) x⊗G=⎨x⎬. iii) Gx=G.

7.7.4 Respecto de 7.6.14, demuestre: H⊗(ab)=(ab)-1H(ab)=(b-1a-1)H(ab)=b-1(a-1Ha)b=b-1

(H⊗a)b= (H⊗a) ⊗b. 7.7.5 Si X es un G grupo y x∉ XG,.demuestre que si G es un p subgrupo, para p un primo en ℤ, entonces p⎢o(G)/o(Gx). 7.7.6. En 7.6.13 justificar las igualdades: a⊗(b⊗H)=a⊗(bHb-1) =abHb-1a-1=(ab)H(ab)-1 = (ab) ⊗H. 7.7.7 . En la demostración del Teorema de Cauchy, verifique que si ki⊗(a1,a2,...,ap)=

1 p

2 3 p 1

i 11 p

(a ,...,a ), si i=0

(a ,a ,...,a ,a ), si i=1

k (k (a ,...,a )), si i>−

⎧⎪⎪⎨⎪

⊗ ⊗⎪⎩ 1

, entonces para todo i∈ +se tiene que: ki⊗(kj⊗(a1, ...

,ap)=ki⊗kj⊗(a1, ... ,ap), ). 7.7.8. Relativo al Teorema 7.6.20, demuestre: i) si po(G/H), entonces po(XH).y por lo tanto o(XH)≠0 y ii) Si (∀h∈H)(Kah=Ka, entonces H= a-1Ka 7.7.9 Sobre el Teorema 7.6.21, demuestre que al Definir ⊗ de XxP en X, para cada K∈X y x∈T como T⊗x=x-1Tx , P actúa sobre X, mediante ⊗

353

7.7.10. Si en la Definición 7.6.1, hubiéramos definido para G un grupo que X es un G conjunto, si existe una función ⊗ de GxX en tal que:; i) e⊗x y (ab)⊗x=a⊗(b⊗x) . ¿ Que implicaciones hubiera tenido ello, por ejemplo en el desarrollo de la demostración del Teorema 7.6.15, Sug[Analizar la certeza de la igualdad (hk)⊗(Hg)=h⊗(k⊗Hg), estudiándola para G=S3 y H=⎨i0,u1⎬] 7.7.11. Analizar si hay o no error en el siguiente proyecto de demostración del Tercer Teorema de Sylow: Si X la colección de todos los p subgrupos de sylow de G, es decir o(X)=s, y definamos ⊗ de XxG en X, para P∈X y g∈G como P⊗g=g-1Pg, entonce X es G grupo, según ⊗ y así s≡o(XG)modp. (1) Pero como XG=⎨P∈X/(∀g)(g∈G⇒gPg-1=P⎬, se deduce que o(XG)=1, ya que si H,K∈XG, entonces H y K son p sylows sugrupos de G, razón para dedicir que existe g∈G tal que H=gKg-1 y al considerar que K∈XG, en particular se tiene que g-1Kg =K. Luego H=K. De tal manera que al sustituir en (1) se obtiene que s≡1modp. 7.7.12. ¿Será válido afirmar que si H es un p sylow subgrupo de un grupo G y H∆G, entonces H es el único p sylow subgrupo de G?

7.8. PRODUCTOS DIRECTOS Y EXTERNOS DE GRUPOS. Teorema 7.8.1. Si G1, …,Gn son n grupos y G= G1x …xGn=⎨(x1, …,xn)/x1∈G1∧ … ∧ xn ∈ Gn⎬, entonces: i) • definido para (x1, …,xn), (y1, …,yn)∈G, como (x1, …,xn)•(y1, …, yn) = (x1y1, …,xnyn), donde la operación en xiyi, es la operación de Gi, para i∈⎨1, …,n⎬, es una operación G; ii) G con la operación • es un grupo. Demostración: Evidentemente • está definida en G y cumple la cerradura en G, puesto que si (x1, …,xn), (y1, …,yn)∈G, entonces (x1, …,xn)•(y1, …,yn)=(x1y1, …,xnyn)∈G. En consecuencia para probar que se trata de una operación resta probar que si (x1, …,xn), (y1, …,yn), (w1, …,wn), (z1, …,zn)∈G tales que (x1, …,xn)= (y1, …,yn) y (w1, …,wn)=(z1, …,zn), entonces (x1, …,xn)•(w1, …,wn)= (y1, …,yn)•(z1, …,zn) En efecto, si (x1, …,xn)= (y1, …,yn) y (w1, …,wn)=(z1, …,zn), entonces x1=y1∧ … ∧xn=yn ∧w1=z1∧ … ∧wn=wn. Por tanto al tener en cuenta que los respectivos productos son operaciones en G1, …,Gn, se deduce que x1w1=y1z1∧ … ∧xnwn=ynzn y así se infiere que (x1w1, …, xnwn)=(y1z1, … ,ynzn). Es decir por definición (x1, …,xn)•(w1, …,wn)= (y1, …,yn)•(z1, …,zn). Además, si (x1, …,xn), (y1, …,yn), (z1, …,zn)∈G, entonces:

354

(x1, …,xn)•( (y1, …,yn)•(z1, …,zn))= (x1, …,xn) • (y1z1 …,ynzn) Por Definición. = (x1(y1z1), …, xn(ynzn)) Por Definición = ((x1y1)z1, …, (xnyn )zn) Asociativa de Gi = (x1y1, … , xnyn)•(z1, .. ,zn) Por Definición = ((x1, …,xn)•(y1, …,yn))•(z1, …,zn) Por Definición Es decir <G, •> es asociativa. Además, si e1, … ,en son los respectivos módulos de G1, … ,Gn, entonces obviamente e= ( e1, … ,en) es el módulo de G y si (x1, …,xn)∈G, entonces (x1, …,xn)-1=( 1 1

1 nx , ..., x ). Luego G es un grupo. 7.8.2. i) El grupo G del teorema anterior se le conoce como el producto directo interno de

los grupos G1, …,Gn. También se acostumbra a notar como G=n

ii=1

G∏

ii) En adelante escribiremos (x1, …,xn)(y1, …,yn), en vez de (x1, …,xn)•(y1, …,yn).

iii) Si los grupos G1, …, Gni son grupos abelianos aditivos, notaremos G=n

ii=1

G∑ y se dirá

que G es la suma directa externa de los grupos G1, …, Gn

7.8.3. i) Algunas propiedades de los grupos G1, … ,Gn, pueden ser heredadas por G=n

ii=1

G∏ .

Por ejemplo, es evidente que si los grupos G1, …, Gn son conmutativos, entonces G también es conmutativo. ii) También si cada uno de los grupos G1, … ,Gn son finitos, por ejemplo o(G1)=k1 … ,o(Gn)=kn, entonces G es finito y o(G)= k1 … .kn. iii) Otras propiedades de los grupos G1, … ,Gn no son heredadas por G. Por ejemplos si los

grupos G1, … ,Gn son cíclicos, no necesariamente el grupo G=n

ii=1

G∏ es cíclico. Es el caso

de G= ℤℤ22xxℤℤ22,, aa ppeessaarr ddee qquuee ℤℤ22 eess ccíícclliiccoo,, GG nnoo lloo eess,, ppuueessttoo qquuee ppaarraa ccuuaallqquuiieerr ((aa,,bb))∈∈GG 22((aa,,bb))==((00,,00)) yy eenn ccoonnsseeccuueennjjcciiaa oo((aa,,bb))≤≤22<<oo((GG)).. EEss ddeecciirr nniinnggúúnn eelleemmeennttoo ddee GG eess ggeenneerraaddoorr ddee GG,, ppoorrqquuee ssii aallggúúnn ((cc,,dd))∈∈GG,, ffuueerraa ggeenneerraaddoorr ddee ssee tteennddrrííaa qquuee oo((cc,,dd))==44 yy sseeggúúnn lloo ddeemmoossttrraaddoo oo((cc,,dd))<<44.. LLuueeggoo GG nnoo eess ccíícclliiccoo..

iv) Pero G= ℤ2xℤ3 sí es cíclico, con generador es (1,1) y además o(G)=6. Puesto que (1,0)=3(1,1) y (0,1)=4(1,1). Entonces si (a,b)∈G, se tiene que (a,b)=a(1,0)+ b(0,1) =3a(1,1) +4b(1,1)=(3a+4b)(1,1). Luego (a,b)= (3a+4b)(1,1)∈<(1,1)> y por ende G=<(1,1)>. Es decir

355

G es cíclico. Pero dado que ℤ6 es el único grupo cíclico con 6 elementos, salvo isomorfismos, concluimos que ℤ2x ℤ3 ≈ ℤ6. Al notar que (2,3)=(0,0), veremos la validez de su generalización. Pero antes demostraremos el siguiente resultado:

Lema 7.8.4. Si G1, …,Gk son grupos y a= (a1, …,ak)∈

k

ki=1

G∏ , tal que o(a1)=r1, … ,o(ak)=rk,

en los respectivos grupos G1, …,Gk, entonces o(a)=[ r1, … ,rk]=mínimo común múltiplo de r1, … ,rk (Ver 4.17.9) Demostración. Por el problema 4.17.9 sabemos que n= [ r1, … ,rk]= r1. … .rk/d, donde d

=( r1, … ,rk). Además (a1, …,ak)n=2 1 1

1 3 k 2 3 k k 2 k-1r r rr ( .r . ...r ) r ( .r . ... .r ) r ( .r . ...r )d d d

1 2 k(a ,a . ... ,a =(e1, … ,ek), donde ei es el módulo de Gi, para i∈⎨`1,2, …, k⎬. Y si am=(e1, … ,ek), entonces ri|m, para cada i∈⎨`1,2, …, k⎬, y por lo definido en 4.17.9, se tiene n|m. Luego o(a)=[ r1, … ,rk] Teorema. 7.8.5. G= ℤnx ℤm .≈ ℤnm si y solo si (n,m)=1. Demostración. Si (n,m)=d>1, entonces al considerar (r,s)∈G se tiene, según el Lema 7.8.4, que o(r,s)=o(r)o(s)/d≤nm/d<nm, ya que d>1. Luego o(r,s)<nm=o(G). Entonces ningún elemento G es generador de G y así ℤnxℤm. ≈/ ℤnm, puesto que G no es cíclico. Hemos

demostrado que si G= ℤnx ℤm .≈ ℤnm , entonces (n,m)=1. Recíprocamente, si (n,m)=1, entonces existen β,γ∈ℤ tales que βn+γm=1. De tal manera que si consideramos α=βn, se infiere α+γm=1 y por tanto α-1=γm. Es decir α≡0 mod n y α≡1 mod m. Luego α(1,1)=(0,1). Análogamente si en βn+γm=1 consideramos δ=γm, obtenemos βn+δ=1 y por lo tanto δ-1=-βn. O equivalentemente: δ≡1 mod n y δ≡0 mod m. Entonces δ(1,1)=(1,0). Por lo tanto si (a,b)∈G, entonces (a,b)=a(1,0)+b(0,1)= δ(1,1)+ α(1,1)= (δ+ α)(1,1).Pero dado que δ+ α∈ℤ, se infiere que (a,b)=ξ(1,1), para algún ξ∈ℤ. Luego G=<(1,1)> y así G es cíclico y en consecuencia ℤnx ℤm.≈ ℤnm El resultado anterior puede ser generalizado por inducción así:

Corolario 7.8.6. El grupo G=i

k

ni

∏ ≈1 kn . ... .n si y solo (ni,nj)=1, siempre i,j∈⎨1, …,k⎬,

con i≠j. Además, si n= 1 kn n1 kp . ... .p , donde n1, …nk ,p1, … ,pk∈ℤ y los p1, … ,pk son k primos

diferentes en ℤ, entonces ℤn≈ ini

k

pi=1∏

356

Ahora miraremos la relación entre el producto directo externo de subgrupos y su producto directo interno, según la siguiente definición: Definicion 7.8.7. Si G es un grupo y H1, …,Hk, son subgrupos de G, diremos que G es el producto directo interno de H1, …,Hk, o sencillamente el producto interno de H1, …,Hk, si

ϒ definida de H=k

ii=1

H∏ en G, para (h1, … ,hk)∈H, como ϒ(h1, … ,hk)= h1. … .hk, es un

isomorfismo sobre de grupos. Teorema 7.8.8. Si G es un grupo y G es el producto directo interno de los subgrupos H1, …,Hk de G, entonces cada g∈G, se puede escribir de manera única como g= h1 … hk, donde h1∈H1∧ … ∧hk∈Hk Demostración. Como G es el producto directo interno de los subgrupos H1, …,Hk de G,

entonces, por la definición, existe un isomorfismo sobre ϒ de H=k

ii=1

H∏ en G y por

consiguinte cada g∈G es tal que g= h1 … hk, donde h1∈H1∧ … ∧hk∈Hk. Solo resta probar que es de manera única, pero ello es inmediato, porque si g= h1 … hk = r1 … rk, donde h1,r1∈H1∧ … ∧ hk,rk∈Hk, entonces de acuerdo con la definición anterior ϒ(h1, … ,hk)= ϒ(r1, … ,rk), pero como ϒ es inyectivo se infiere que (h1, … ,hk)= (r1, … ,rk). Es decir h1=r1∧ … .∧ hk=rk. Entonces entonces cada g∈G, se puede escribir de manera única como g= h1 … hk, donde h1∈H1∧ … ∧hk∈Hk. Teorema 7.8.9. Si G es un grupo y H y K son subgrupos de G, entonces G es el producto directo interno de H y K, si y solo si:

i) H∩K=⎨e⎬ ii) hk=kh, siempre que h∈H y k∈K. iii) Si T=⎨hk/h∈H∧k∈K⎬, entonces G= / es subgrupo de G y T SS S ⊆∩

Demostración. G es el producto directo interno de H y K, existe un isomorfismo ϒ de HxK en G tl que ϒ(h,k)=hk, siempre que h∈H y k∈K. Por lo tanto, si h∈H y h∈K, entonces ϒ(h,e)=h y también ϒ(e,h)=h. Pero como ϒ es inyectivo, entonces (h,e)=(e,h) y por lo tanto h=e. Luego H∩K=⎨e⎬

Si h∈H y k∈K, entonces (h,e), (e,k)∈HxK y por lo tanto ϒ(h.k)= ϒ((h,e)(e,k))= ϒ((e,k)(h,e)). Pero como ϒ es un homomorfismo, se deduce que ϒ(h.k)= ϒ(h,e) ϒ(e,k)= ϒ(e,k) ϒ(h,e). Es decir hk=kh.

357

Si S≼G tal que T⊆S y g∈G, entonces de acuerdo con la definición existe ϒ definida de HxK sobre G y por tanto existen h∈H y k∈K tal que g=hk. Indicando ello que g∈T y como T⊆S, también g∈S. Luego / es subgrupo de G y T SS S ⊆∩ Recíprocamente, si se cumple i), ii) y iii), veamos que ϒ de HxK en G definida como ϒ(h.k)=hk. Siempre h∈H y k∈K es un homomorfismo biyectivo de grupos. Como es evidente que ϒ es una función, probemos: a) ϒ es un homomorfismo; b) ϒ es 1-1 y c) ϒ es sobre. a) Si (a,b),(c,d)∈HxK, entonces ϒ((a,b)(c,d)) = ϒ(ac,bd) Por definición de producto en HxK =(ac)(bd) Por definición de ϒ =a(cb)d Por la sociativa en G =a(bc)d Por ii) ya que b∈H y c∈K =(ab)(cd) Por la sociativa en G ϒ(a,b) ϒ(c,d) Por definición de ϒ. Luego ϒ es un homomorfismo de grupos. Si h,a∈H y k,b∈K tal que hk=ab, entonces a-1h=bk-1. Pero como a-1h∈H y bk-1, se infiere a-1h∈H∩K y bk-1∈ H∩K. Pero como por hipótesis H∩K=⎨e⎬, concluimos que a-1h=e y bk-1 =e. Luego a=h y b=k. Es decir ϒ es inyectiva. Es inmediato que por ii) T es un grupo, y por lo tanto como G= S/S es subgrupo de G y T S⊆∩ se infiere que si g∈G, entonces g∈T y así existen h∈H y k∈K tales que g=hk. Luego existe (h,k)∈HxK tl que ϒ(h,k)=hk=g y por lo tanto ϒ es sobre. Teorema 7.8.10. Si G es un grupo tal que H y K son subgrupos normales de G, entonces G es el producto directo directo de H y K, si y solo si: i) G=H.K; ii) H∩K=⎨e⎬y iii)Si a,b∈H y c,d∈K tales que ac=bd, entonces a=c y b=d. En efecto si G es el producto directo de H y K, i) es consecuencia de que G≈HxK, mientras que por el Teorema anterior ii) y iii) son consecuencia de que G es el producto directo de H y K. Para el recíproco, queϒ sea biyectiva es consecuencia de i) y iii). Restando solo probar que ϒ sea un homomorfismo, para lo cual basta con la asociatividad de G y que hk=kh, si h∈H y k∈K. Pero que hk=kh es consecuencia de que H y K sean subgrupos normales de G y de ii), porque como hkh-1k-1=( hkh-1)k-1∈K, puesto hkh-1∈K, ya que K∆G y k-1∈K. Pero

358

también hkh-1k-1=h(kh-1k-1)∈H , porque kh-1k-1∈H, en vista de que H∆G y h∈H. Es decir hkh-1k-1∈ H∩K=⎨e⎬ y así hk=kh. Teorema 7.8.11.Todo grupo abeliano finito es el producto directo de sus subgrupos de sylow. Demostración. Dado que o(G) es finito, podemos suponer de acuerdo con 4.16.7 que o(G)= 1 kn n

1 kp . ... .p , donde p1, … ,pk son k primos en ℤ diferentes y n1, …,nk∈ℤ+. En consecuencia exitiràn, por ser G abeliano, P1, …Pk, grupos de sylow, tales que Pi∩Pj=⎨e⎬, si i,j∈ ⎨1,2, …, j⎬ e i≠j. Si g∈G, g≠e, razonando por inducción sobre o(G), si g∈P1, …Pk ., y o(g)<o(G), se deduce que <g>=K1. … .Kr, donde K1,. … .,Kr son subgrupos de sylow de <g>. Por lo tanto g=α1. … .αr, donde α1∈K1, …,αr∈Kr. Pero como cada subgrupo Ki es subgrupo de algùn Pj se infiere que K1,. … .,Kr⊆ P1 . … .Pk y por lo tanto g∈ P1. ….Pk. Es decir G= P1. ….Pk.

Si o(g)=o(G), entonces G es cíclico y por lo tanto G≈ℤo(G) ≈ nii

k

pi 1=∏Z ,de acuerdo con el

Corolario 7.8.6 Pero como además los Pi son cíclicos, se deduce qure Pi≈ niip

Z .Luego

nii

k

pi 1=∏Z ≈

k

ii 1

P=

∏ . Es decir P=k

ii 1

P=

∏ ≈G, de tal manera que existe un isomorfismo f de G en

P, de tal que como H= P1 . … .Pk≼G, por ser G abeliano, entonces f(H)≼P. Pero como f(H)= P, porque para cualquier (g1, … ,gk)∈P es imagen, según f, de g1. … .gk∈H, se infiere que G= P1. ….Pk. Por lo tanto, si a1. … . ak= b1. … . bk∈H, entonces f(a1. … . ak)=f(b1. … . bk ) y por lo tanto (f(a1), … . ,f(ak))=(f(b1), … . f(bk)) (Ver Ejercicio 7. 9.5) y así f(a1)= f(b1), … f(ak)= f(bk), para deducir al considerar la cualidad inyectiva de f, que a1=b1∧… ∧ ak=bk. En conclusión se ha demostrado, que P1, …, Pk son k subgrupos de G tales que: i) tales que Pi∩Pj=⎨e⎬, si i,j∈ ⎨1,2, …, j⎬ e i≠j; ii) G= P1. ….Pk.y iii) Si a1. … . ak= b1. … . bk∈ P1 . … .Pk, entonces a1=b1∧… ∧ ak=bk. En estas condiciones, la extensión inductiva del Teorema 7.8.10, implica que G es el producto directo de sus subgrupos de sylow. Teorema 7.8.12: Todo grupo abeliano finito es el producto directo de grupos cíclicos. Demostración. Dado el resultado anterior, basta Suponer o(G)=pn, con p,n∈ℤ+ y p primo en ℤ, indicando el Teorema de Cauchy la existencia de un elemento de G con orden pk, para algún k∈ℤ+

En consecuencia podemos iniciar considerando a1∈G tal que a1 sea de orden maximal. Entendiendo que “a1 es de orden maximal”, equivale a afirmar que si α∈G, entonces

359

o(α)≤o(a1). La cualidad o(a1)|o(G), hace viable la expresión: o(a1)= 1np , para algún n1∈ℤ+ y n1≤n Si A1=<a1> y G =G/A1, concluimos que o( G )=o(G)/o(A1)= 1nnp − , con n1<n , porque si n1=n, se tendría que G=<a1>, y así el teorema quedaría demostrado. Entonces al ser n-n1>0, según el Teorema de Cauchy, existe un elemento de G de orden pr, con r∈ℤ+, garantizándose la presencia de 2b ∈ G , tal que 2b sea de orden maximal, por ejemplo o( 2b )= 2np , con n2∈ℤ+. Luego 2b =A1+ b2 para algún b2∈G y obviamente b2∉A1, porque o( 2b )>0. Veamos que n2≤n1. En efecto, si o(b2)= pr , para algún r∈ℤ+, entonces como (A1+b2)o(b

2)

=A1, se infiere que n2≤r, pero como r≤n1, por ser a1 de orden maximal en G, concluimos que n2≤n1. También como 2np

2b ∈A1=<a1>, porque o( 2b )= 2np , es válido decir que 2np2b =a1

i, para

algún i∈ℕ y por tanto 2n1npi1)(a

−

= 2n1n2n pp2 )(b

−

= 1np2b . Pero 1np

2b =e, porque

como r≤n1 por ser o(b2)=pr y n1=o(a1) maximal, se cumple n1=r+s=t, para algún s∈ℕ y en consecuencia 1np

2b = srp

2b+

=sr pp

2 )(b =e. Luego 2n1npi1)(a

−

=e. Es decir existe j∈ℕ tal que i 21 nnp − =j 1np , para con j∈ℕ, y así se obtiene que j 2np =i. De tal manera que al considerar a2= a1

-jb2, se tiene en primer lugar que a2≠e, porque si a2=e, entonces b2=a1j y por ello

b2∈A1, lo cual implicaría que o( 2b )=0, contradiciendo o( 2b )>0, ya que o( 2b )= 2np , con n2

entero positivo. Además 2np2a = 2n2n p

2jp

1 ba − =a1-ia1

i= e. Veamos ahora que A1∩A2=<e>, si A2=<a2>. En efecto, si a2

t∈A1, entonces a2t=a1

s y por lo tanto (a1

-jb2)t= a1s∈A1. Razón para deducir que b2

t∈A1 puesto que a1-jt∈A1. Luego

(A1+b2)t=A1 y como o(A1+b2)= 2np , se infiere que 2np |t. Por lo tanto, ya que 2np2a =e,

obtenemos que a2t=e. Es decir A1∩A2=<e>.

Sea 3b =A1A2+b3∈G/A1.A2 de orden maximal, con o( 3b )= 3np . Si suponemos que o(A1+b3)=pk, al tener en cuenta que o(A1+b2)= 2np es maximal, inferimos que n2=k+r, para

algún r∈ℕ y en consecuencia 2np31 )b(A + =

rkp31 )b(A

+

+ = rk pp

31 ))b((A + = A1,.resultado

indicador de que: 2np3b ∈A1 y por ende 2np

3b ∈A1.A2, pero como o( 3b )= 3np se concluye que n3≤n2. De otra parte 3np

3b =a1ia2

j en vista de que 3np3b ∈A1.A2. Veamos que 3np |i y 3np |j.

En efecto, dado que 2np3b ∈A1 y 3n2nPj

2i1 )a(a

−

= 3n2n3n Pp3 )(b

−

= 2np3b , se deduce que 3n2npj

2 )(a−

∈A1, es decir (A1+a2)r=A1, si r=j 32 n-np y al ser válido que o(A1+a2)= 2np , se deduce que 2np |

j 32 n-np y por tanto j 32 n-np =k 2np . Luego k 3np =j y así 3np |j . También 1p3b

n

=e y en

360

consecuencia como 3n1nPj2

i1 )a(a

−

= 3n1n3n Pp3 )b (

−

= 1p3b

n

, se puede afirmar que 3n1nPj2

i1 )a(a

−

=e y así 3n1nPi

1)(a−

= 3n1njp2a

−− ∈A2, infiriéndose que 3n1nPi1)(a

−

∈A1∩A2=<e>. Es decir 3n1nPi1)(a

−

=e y por ende 1np |i 31 nnp − , razón para concluir que 3np |i.

Luego 3np3b = 3n3n sp

2rp1 aa y al considerar a3=a1

-ra2-s b3 obtenemos que 3np

3a =e y si A3 =<a3>, también A3∩(A1A2)=<e>, porque si a3

v∈A1A2 , entonces como a3v = ( a1

-ra2-s b3)v =

a1-rva2

-svb3 y como a1-rva2

-svb3v ∈(A1A2), se infiere que b3

v∈(A1A2) y por lo tanto 3np |v. Demostrándose que a3

v =e. Resumiendo como consecuencia del carácter finito de G, existen los subgrupos cíclicos A1=<a1>, A2=<a2>, …, Ak=<ak> tales que: i) o(A1)= 1np , o(A2)= 2np , … o(Ak)= knp , ii) n1≥ n2≥… ≥ nk , iii) G=A1A2. … .Ak y iv) Ai∩( A1A2. … .Ai-1)=<e>, para todo i. Por lo tanto Si ci,di∈Ai tales que c1. c2 . … .cn = d1. d2 . … .dn , entonces (c1. c2 . … .cn)dn

-

1= d1. d2 . … .dn-1 , lo cual implica cndn-1∈A1A2 . … .An-1, pero como también cndn

-1∈An y An ∩ A1A2 . … .An-1 <e>, concluimos que cndn

-1=e. Luego cn=dn y por la ley cancelativa c1. c2 . … .cn-1 = d1. d2 . … .dn-1, igualdad que según el razonamiento anterior permite verificar que cn-1= dn-1

-1 , en virtud de que cn-1dn-1-1 ∈An-1 ∩A1. … . An-2=<e>. Aplicando

sucesivamente esta argumentación arribamos a c1=d1, c2=d2, … , cn=dn

7.9 Ejercicios.

7. 9.1. Si G es un grupo abeliano y H y K son subgrupos de G, entonces HK≼G. 7. 9.2. Si G1, …Gk, son grupos, i∈⎨1,2, …,k⎬ y ei es el módulo de Gi, demuestre que ⎨e1⎬x …xGi x⎨ei+1⎬x. … . ⎨ek⎬≼ G1x …xGk. 7. 9.3. Si G, G1, …Gk, son grupos, entonces G es el producto directo de los grupos G1, …Gk, si y solo si: i) G= Si G1 …. Gk, son grupos y ii) G1x … xGk≈ G1 …. Gk. 7. 9.4. Si G1, …Gk , H1, …Hk son grupos tales que G1≈H1∧ … ∧ Gk≈Hk, entonces

k

ii=1

G∏ ≈k

ii=

H∏

7. 9.5. En relación con el Teorema 7.8.11, demuestre que si a1. … . ak∈H, entonces f(a1. … . ak) = (f(a1), … . ,f(ak). 7. 9.6.-Relativo a la demostración del Teorema 7.8.5, critique la siguiente demostración según la cual G= n mx no es cíclico: Si n mx =<(a,b)>, entonces como (0,1)∈G, debe existir c∈ tal que c(a,b)=(0,1) y por consiguiente ca≡0 mod n y cb≡1 mod m. Pero también (1,0)∈G y por tanto existe d∈ tal que (1,0)=d(a,b) y por ende da≡1 mod n y db≡0 modm. Análogamente (1,1)∈G, implica que existe e∈ tal que ea≡1 mod n y eb≡ mod m. De cb≡1 mod m y eb≡ mod m, se observa que c y e son inversos multiplicativos de b en H= *

m con el producto residual módulo. Pero como en una estructura asociativa y modulativa, como G, cada elemento de G tiene a lo más un inverso, se infiere que c=e.

361

Análogamente, da≡1 mod n y ea≡1 mod n, implican que d=e. Luego c=d=e; igualdad que conduce a un absurdo, porque como ca≡0 mod n y da≡1 mod n, entonces ca≡0 mod n y ca≡1 mod n. Es decir 0≡1 modn. 7.9.7.-Relativo a la demostración del Teorema 7.8.5, examine la siguiente demostración según la cual G= n mx =<(1,1)>, entonces (n,m)=1: En efecto, como (1,0)=∈G, se infiere que a≡1 mod n y a≡0 modm, para cierto a∈ . Por tanto existen α,β∈ tal que a-1=αn y a=βm. Luego βm+(-α)n=1 y así (n,m)=1. 7.10. APLICACIONES. Teorema 7.11.1. Si F es un campo y f(x)∈F[x] tal que o(f(x))=n∈ ℤ+, entonces el número de raíces de f(x) es a lo más n. Demostración. Procediendo por inducción sobre n, el teorema es obvio si f(x)=ax+b, con a∈F*, puiesto que su única raíz es α=-ba-1∈F ya que –b,a-1∈F, por ser F un campo y a∈F*. Su pogamos que el teorema es válido para cualquier polinomio en F[x] de grado menor que n. Si f(x)∈ F[x] tal que o(f(x))=n y f(x) no tiene raices en F, el teortema está demostrado. Pero si existe α∈F tal que α es raíz de f(x), entonces existe g(x)∈ F[x], tal que f(x)=(x-α)g(x). Por consiguiente o(g(x))=n-1<n y por hipótesis de inducción, g(x) tiene a lo más n-1 raíces en F. Razón para deducir que f(x) tiene a lo más n raíces en F, puesto que las raíces de f(x) son α y las g(x). Teorema 7.12.2. Si F es un campo finito, entonces su grupo multiplicativo F* es cíclico. Demostración. Puesto que F* es abeliano, todos sus subgrupos serán normales y en consecuencia, para cada p∈ℤ tal que p⎢o(F*), existe un único subgrupo de sylow, P, que por el Teorema Cauchy tiene por lo menos un elemento de orden p. Entonces podemos suponer que existe α∈P, tal que α tiene orden maximal en P.

De tal manera que si o(α)=pn, para algún n∈ℤ+, entonces la ecuación npx -1=0 tiene, según

el teorema anterior cuenta con a lo más pn soluciones y además para cualquier r∈P, por ser

P un p grupo y α de orden maximal, se tiene que o(r)=pq con q ≤k. Es decir o(r)|pk , y por ende r es solución de la ecuación

npx -1=0. Razón para deducir que o(P)≤pk=o(α) y así <α>=P, ya que <α>⊆P y por consiguiente o(α)≤o(P). Luego P es cíclico y así P≈ np

Además, según el teorema 7.8.11, F* es el producto directo interno de sus subgrupos de sylow. Es decir, si P1, …,Pk son todos los subgrupos de sylow de F*, se tiene que F*= P1. ….Pk y por tanto P1. ….Pk ≈ P1.x … xPk. Pero como Pi≈ ni

ip, para cada i∈⎨1,2, ..,k⎬,

entonces, según 7. 9.3, k

ii=1

P∏ ≈ nii

k

pi=1∏ . Por último en vista de que los i kn n

i kp ,..., p son

primos relativos el Corolario 7.8.6 permite deducir que nii

k

pi=1∏ ≈ ℤγ, con

γ= i kn ni kp . ... .p Luego F*≈ ℤγ, y por lo tanto F* es cíclico.

363

CAPÍTULO 8. MODULOS Y ESPACIOS VECTORIALES.

8.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS. Iniciemos con la siguiente Definición de módulo: Definición 8.1.13. Sean A un anillo, <M,+> un grupo abeliano y * una función de AxM en M. Diremos que <A, M, *> es un A módulo a la izquierda, si para todo a,b∈A y para todo m,n∈M, al notar la imagen de (a,m)∈AxM, según *, como a∗m, se tiene que: M1 : (a+b) ∗m = a∗m+b∗m. M2 : (ab) ∗m = a∗ (b∗m) M3 : a∗ (m+n) = a∗m+a∗n . Si además 1∈A, también se cumple: M4 : 1∗n = n. 8.1.14 .A la función ∗ de la Definición anterior se le llama una acción de A sobre M. En tal caso se conviene afirmar que A actúa a la izquierda sobre M. Análogamente, M es un A módulo a la derecha cuando A actúa a la derecha sobre M, es decir, si existe una función ∗ de MxA en A tal que para m,n∈M y a,b∈A se cumple :i) m∗(a+b) = m∗a +m∗b, ii) m∗(ab) = (m∗a) ∗b , iii) (m+n) ∗a = m∗a+n∗b y si 1∈A; n∗1=n 8.1. 15. Todos lo módulos a los que nos referiremos serán a la izquierda y unitarios. Es decir, satisfacen M1,M2,M3 y la propiedad M4. A ellos los trataremos sencillamente como A módulos. Un espacio vectorial V sobre A, es un A módulo especial, de acuerdo a la siguiente Definición: Definición 8.1. 16. Si V es un K módulo, con K un campo, diremos que V es un espacio vectorial sobre K 8.1. 17. De todas maneras al señalar que M es un A módulo, debe hacerse bajo la reserva de que dado un anillo con elemento unitario y un grupo abeliano M, no siempre es posible definir una única ación de A sobre M. Es decir, no siempre es posible obtener a partir de la pareja <A,M> un único A módulo. Ello dependerá el número de acciones que se puedan definir de A en M. Aunque ello sea así en algunos casos como los siguientes ejemplos, que obviamente no los aborda a todos. Ejemplo 8.1. 18. Todo anillo A con elemento unitario es un A módulo. Además este A módulo es único. La posibilidad de un A módulo es consecuencia de considerar como acción de A sobre A, al producto de A; teniendo en cuenta que según la Definición 3.1.1, <A, +> es un grupo abeliano y <A, . .> una estructura algebraica. (Ver Ejercicio 8. 2. 1).

364

Para verificar la unicidad de tal A módulo, supongamos que existe otra acción * de A en A. Se trata de comprobar, que si r,s∈A, entonces r*s = rs. En primer lugar es inmediato que si r∈A, entonces r*1=r., ya que como en A, r=1r, tenemos que r*1=(1r)*1 y en consecuencia según M4 : r*1=(1r)*1=1r. O sea que r*1 = r, puesto que en A, 1r=r.

Luego r*s = r*(s*1) y al aplicar M2, se tiene que r*s = r*(s*1) =(rs)*1, lo cual implica, de acuerdo a lo demostrado en el párrafo anterior, que r*s = rs De esta manera hemos demostrado que el producto del anillo A es la única acción posible de A sobre A. Ejemplo 8.1.19. Si ℤ es el conjunto de los enteros y M es un grupo abeliano, entonces existe un único ℤ módulo M. Se trata de verificar primero que para M grupo abeliano multiplicativo < ℤ, M, *> es un ℤ módulo, si se define, en el sentido de la Definición 22..33..22, n∗a = an, para n∈Z, y a∈M;. mientras que si M es un grupo abeliano aditivo, entonces < ℤ, M, *> es un ℤ módulo si se define n∗a = na, en el sentido de 22..33..99..(iii). Primero debemos comprobar que * es una función de ℤ xM en M. Al respecto es evidente que * es una relación de ℤ xM en M definida en ℤ xM. Además, si z,w∈ ℤ y m,n∈M son tales que z = w y m = n, entonces al considerar, por ejemplo <M,+>, debemos comprobar que zm = wn. Es inmediato comprobar que procediendo por inducción sobre z, el planteamiento es válido cuando z=w=0, ya que 0m =0.n = 0, según 22..33..99..(iii). Y si aceptamos como hipótesis de inducción que (z-1)m = (w-1)n, entonces al aplicar 22..33..99..(iii), obtenemos que zm = (z-1)m+m. Por tanto como (z-1)m = (w-1)n, según hipótesis de inducción, y m= n, entonces por ser + operación en M, se infiere que zm = (w-1)n+n. En consecuencia nuevamente 22..33..99..(iii), permite implicar que zm = wn. Luego, si z,w∈ ℤ +, m,n∈M son tales que z = w y m = n, entonces zm = wn Por último, si z = w<0, entonces según 22..33..99..(iii) zm = (-z)(-m). Pero como –z>0, -z = -w , y, –m =-n, ya que z = w y m=n, el resultado demostrado anteriormente permite deducir que zm =(-z)(-m) = (-w)(-n) = wn. En conclusión, de acuerdo al Teorema 1.1.13, * es una función de ℤ xM en <M,+>. Y al traducir el razonamiento anterior a la notación multiplicativa, se deduce que *es una función de ℤ xM en <M,•>. Ahora veamos que * es una acción de ℤ xM en M:

365

Para el caso multiplicativo, si n,m∈ ℤ y a∈G; demostrar M1 , es comprobar que (n+m)∗a = (n∗a)(.n∗a) . O equivalentemente que an+m = anam, lo cual es válido de acuerdo al Teorema 22..33..44, parte vii)d. En las mismas condiciones M2 es la propuesta (mn)∗a = m∗(n∗a), que de acuerdo a nuestra Definición, se expresa como amn = (an)m, identidad también válida según el Teorema 22..33..44, parte vii)f. Para el caso M3 es m∗(ab) = (m∗a)(m∗b), que por Definición corresponde a la igualdad: (ab)m = ambm, también válida en grupos abelianos, según 22..33..99..ii). Por último, la Definición 22..33..22, infiere la validez de 1∗a = a, puesto que según ella a1 = a. En la alternativa aditiva, las afirmaciones: (n+m) ∗a = n∗a+m∗a, (nm) ∗a = n∗ (m∗a), m∗ (a+b) = m∗a+m∗b y 1*a = a, se refieren a: (n+m)a=na+ma, (nm)a=n(ma), m(a+b)=ma+mb y 1a =a. (Ver Ejercicio 8. 2. 2). Resta verificar ahora que * definida de ℤ xM en M como z*n=zn, es la única acción posible de ℤ sobre tal que M, para el caso <M,+>. Análogamente, z*n = nz es la única acción posible de ℤ sobre M en la alternativa <M,•>. En efecto, si ∆ es otra acción de ℤ sobre M, razonando inductivamente tenemos 1*m=1∆m=m, siempre que m∈M. Y si suponemos a manera de hipótesis de inducción que para z∈ ℤ +, z*n=z∆n, entonces: (z+1)*n=z*n+1*n=z∆n+1∆n=(z+1)∆n. Luego z*n=z∆n, para cualquier z∈ ℤ + y n∈M. Si z∈ℤ y z<0, entonces z∆n=(-z)∆(-n). Pero como –z>0 y -n∈M, entonces, según lo demostrado anteriormente: z∆n=(-z)*(-n)=(-z)(-n)=zn=z*n Antes de continuar con otros ejemplos, observemos lo siguiente en relación con el Ejemplo anterior: 8.1.20. El resultado aprobado no es válido cuando ℤ es sustituido por ℤn. Por ejemplo si tomamos el anillo ℤ4 y M=< ℤ8,+>, tenemos que (2+3)*.5 =1*5=1.5=5. Mientras que 2*5+3*5=2.5+3.5=2+7=1. Luego (2+3)*5 ≠ 2*3+3*5. Importante es Observar que la suma en 2+3 es la de ℤ4, pero en 2+7 es la de Z8. Además se destaca que en ℤ 8, o(3)=8 y 84.. El siguiente resultado muestra bajo que condiciones se puede sustituir ℤ por ℤ n.

366

8.1.21. Si en el grupo abeliano <M,+>, cada elemento es de orden finito y divisor de n∈ ℤ

+, entonces existe una única acción de ℤ n en M. Veamos primero que * es una acción de ℤ n sobre M, si se define k*m = km (en el sentido de 22..33..99..(iii)), para k un entero residual módulo n y m∈M. Evidentemente * es una función de ℤnxM en M, porqué si z∈ℤn y m∈M, entonces zm∈M y por lo tanto z*m∈M. Además, si i=j∈ℤn y n=m∈M, entonces al considerar que i,j∈ℤ, con i≡j modn, pero i,j∈[0.n), se tiene que en ℤ también i=j. Por lo tanto según resultado comprobado en el desarrollo de la Demostración de 8.1.19: in=jm, concluyéndose así que i*n=j*m. Para verificar M1, consideremos a,b∈ ℤn y m∈M. Entonces (a+b) ∗m= r*m =rm(1), donde r es el residuo de dividir a+b, sumado usualmente, entre n, ya que ya que a,b∈ ℤn. Es decir, al sumar usualmente en R: a+b=cn+r (2), con c,r∈ℤ y r∈[0,n). De otra parte al aplicar el Teorema del Residuo (2.5.4), obtenemos: a=do(m)+s y b=eo(m)+t donde d,e,s,t∈ℤ y s,t∈[0,n) (3) Por lo tanto a∗m+b∗m = am+bm=(do(m)+s)m+(eo(m)+t)m=sm+tm (4), ya que d(o(m))m = d(o(m)m) = (eo(m))m =e(o(m)m)=0, puesto que de acuerdo a 4.9.5 o(m)m=0 En consecuencia: (a+b)*m =rm Por(1) =(a+b-cn)m Por (2) =(do(m)+s+eo(m)+t-cn)m Por (3) =( do(m)+s+eo(m)+t-cko(m))m Porque o(m)n =sm+tm. º Por 22..33..99.. y porque (do(m))m =(eo(m)m

=(cko(m))m=0, según . 4.9.5. Luego (a+b)*m=sm+tm. Pero como según (4) a*m+b*m=sm+tm, obtenemos que (a+b)*m=a*m+b*m. Para demostrar M2, si a,b∈ℤn,, entonces:

(ab)*m=r*m=rm, donde r∈ℤ tal que para la multiplicación usual en R: ab=cn+r (5) con c∈Z r∈[0,n). De tal manera que al sustituir en rm por lo señalado en (5) y los valores de a y b por lo indicado en 3), y proceder similarmente al razonamiento anterior, obtenemos que: (ab) ∗m = (st)m (6). Mientras que a∗ (b∗m) = a(bm) = (do(m)+s)((eo(m)+t)m) = (d(o(m)+s)tm = s(tm)=(st)m. Por lo tanto a*(b*m)=(st)m (7). De (6) y (7) concluimos que (ab)*m = a*(b*m). La prueba de M3 no encierra mayores dificultades, ya que por Definición de * y 22..33..99..: a*(m+n)=a(m+n)=am+an=a*m+a*m.

367

Por último es evidente que 1*m=m, pues por Definición de * y 22..33..99..: 1*m=1.m=m. Resta comprobar que * es la única acción posible de ℤn sobre M. Pero esto se verifica utilizando la misma técnica inductiva desarrollada anteriormente. Más adelante veremos la posibilidad de que a partir de la pareja <A,M>, con A un anillo unitario y M un grupo abeliano se pueda obtener más de un A módulo. Esto será más fácil con los espacios vectoriales definidos a continuación: Definición 8.1. 22. Sean F un campo y <V, +> un grupo abeliano, diremos que V es un espacio vectorial sobre F, si V es un F módulo. Analicemos los siguientes ejemplos: Ejemplo 8.1.23. Si F y E son campos tales que E es una extensión de F, es decir F es un subanillo de F, entonces E es un espacio vectorial sobre F, si consideramos al producto de E como la acción de E sobre Ejemplo 8.1. 24. Si A un anillo con elemento unitario 1 y n∈ℤ+, vimos en el Ejercicio 2.4.26 que <An, +> es un grupo abeliano. Si además definimos α∗(a1, ...,an) = (αa1, ..., αan), para α∈A, (a1, ...,an)∈An y la operación en αai, el producto de A, obtenemos que An es un A módulo (Ver Ejercicio 8. 2. 5). Por ejemplo: ℤn es un ℤ módulo 8.1.25 Cuando A es un campo, An es un espacio vectorial sobre A. En particular, si A = R = números reales; se tiene que Rn es un espacio vectorial sobre R, si definimos α∗ (a1, ...,an) = (αa1, ..., αan), para α∈R y (a1, ...,an)∈Rn. Análogamente Qn, con Q.= números racionales, es un espacio vectorial sobre Q y ℂn es un espacio vectorial sobre ℂ = números complejos. Los resultados anteriores son un caso particular del siguiente: Ejemplo 8.1. 26. Si M1, M2, ... ,Mn, son n A módulos, entonces nuevamente por el Ejercicio 2.4.26, si K= M1xM2x ... xMn =(m1,m2, ...,mn)/m1∈M1,m2∈M2, ... ,mn∈Mn, entonces K es un grupo abeliano, si definimos (m1,m2, ...,mn)+ (k1,k2, ...,kn) =(m1+k1,m2+k2, ... ,mn+kn), siempre que (m1,m2, ...,mn), (k1,k2, ...,kn)∈K y la suma en mi+ki sea la suma de Mi, para i=1, i=2, ... ,i=n. Si en estas condiciones definimos a∆(m1,m2, ...,mn) = (a*m1,a*m2, ... ,a*mn) donde * en a*mi es la acción de A sobre Mi, entonces K es un A módulo. (K es llamado la suma directa externa de M1, M2, ... ,Mn. Ejemplo 8.1.27. Evidentemente si M es un A módulo y K es un subanillo de A, con elemento unitario 1, entones M es un K módulo. Más aún, si A es un campo y K es un subcampo de A, obtenemos que M es un espacio vectorial sobre K. En particular, ℂn por ser un espacio vectorial sobre ℂ lo es también sobre ℝ y sobre Q; mientras que ℂn es solamente un ℤ módulo, cuando ℤ = conjunto de los enteros.

368

Ejemplo 8.1. 28. Si M es un A módulo e I es un ideal de A tal que i∗m = 0, para todo i∈I y m∈M, (es decir, I es un anulador de M), entonces M es un A/I módulo, si se define, para a∈A y m∈M: (I+a)∆m = a∗m, donde * es la acción de A sobre M. En efecto, es evidente que ∆ es una relación (A/I)XM en M definida en (A/I)XM. En consecuencia, según el Teorema 1.1.13, para demostrar que ∆ es una función solo resta verificar que si I+a,I+b∈A/I y m,n∈M tales que I+a=I+b y m=n, entonces (I+a)∆m=(I+b)∆m. En efecto, si a,b∈A tales que I+a=I+b, entonces según 5.1.19, a-b∈I y por lo tanto, si m ∈M; (a-b) ∗m=0. O sea que a∗m-b∗m=0, y en consecuencia a∗m = b∗m (1), ya que esto sucede en el grupo <M,+>. Además si m = n∈M , al ser b∈A y * una función de AxM en M, se tiene que b*m = b*n (2). Así las cosas, de (1) y (2) se infiere que a∗m =. b*n. Concluyéndose así que (I+a)∆m=(I+b)∆n. Es decir, ∆ es una función de (A/I)XM en M. Para demostrar M1, M2 y M3, al considerar I+a, I+b∈I/A y m,n∈M, tenemos: [(I+a)+(I+b)]∆m = [I+(a+b)]∆m=(a+b) ∗m= a*m+b∗m=(I+a)∆m+(I+b)∆m. Se infiere por lo tanto que ∆ satisface M1 Con relación a M2; [(I+a)(I+b)∆m = ([I+ab]∆m=(ab) ∗m = a∗(b∗m) = (I+a)∆(b∗m) = [(I+a)]∆[(I+b)∆m]. Análogamente, para M3: (I+a)∆(m+n) = a∗(m+n)=a∗m+a∗n=(I+a)∆m+(I+b)∆n. Por último como 1∈A, entonces (I+1)∆m=1∗m=m. Luego ∆ también cumple M4, demostrándose así que M es un A/I módulo. Además si I es un ideal maximal, entonces M es un espacio vectorial sobre A/I, ya que A/I, según el Teorema 6.3.12, es un campo. 8.1. 29. Observe que en relación con 8.1.21, tenemos que <M, +> es un grupo abeliano y n∈Z+ tal que zg = 0, para todo z∈nZ y todo g∈M, puesto que o(m)n, entonces según el ejemplo anterior, M es un ℤ/nℤ módulo. Note que si la operación de M es notada multiplicativamente, entonces para cualquier g∈M, gn = e = módulo de G. Por lo tanto la correspondiente acción de ℤ/nℤ sobre G se define como (nℤ +z)∆g = z*g = gz. O más abreviadamente z*g=gz, si z es un entero residual módulo n y g∈M.

La notación abreviada se explica porque según el Teorema 6.2.5, ℤ/nℤ ≈ ℤ n, razón por la cual este tipo de grupos son ℤ n módulos. En particular, si p es un número primo y k∈ℤ +

369

tal que kpg = e, para todo g∈G y G es abeliano, entonces G es un ℤ kp módulo. Es decir,

todo p grupo, en el sentido de la Definición 7.3.1 un ℤ kp módulo. • 8.1. 30. Si M es un A módulo y N≤M; no necesariamente N es un A módulo. Por ejemplo: , Qn es un Q módulo, pero a pesar de que ℤ n ≤Qn, ℤ n no es un Q módulo, porque si n=3,

(1,2,3)∈ℤ 3, pero 51 (1,2,3)=(1/5,2/5,3,5)∉ℤ 3

Naturalmente ocurren casos en los que M es un A módulo, N≼M y también N es un A módulo. Por ejemplo, si ℂ es el grupo aditivo de los números complejos y ℝ el grupo aditivo de los números reales, sabemos que ℝn ≼ ℂ n, y a su vez ℂ n y ℝn son ℝ módulos. Precisamente ese tipo de subgrupos de M los llamaremos A submódulo, de acuerdo a la siguiente Definición. Definición 8.1. 31. Si M es un A módulo y H≼M, diremos que H es un A submódulo de M, si H es un A módulo. Definición 8.1. 32. Si V es un espacio vectorial sobre F y S≼V, diremos que S es un F subespacio vectorial de V, si S es un espacio vectorial sobre F. No ofrece mayores dificultades demostrar las siguientes caracterizaciones de submódulo y subespacio vectorial. Teorema 8.1. 33. Si M es un A módulo y H≼M, entonces H es un A submódulo de M, si y sólo si, a∗h∈H, siempre que a∈A y h∈H. Corolario 8.1. 34. Si V es un espacio vectorial sobre F y S≼V, entones S es un F subespacio vectorial de V, si y sólo si S es un F submódulo de V. Es decir, S⊂V es un subespacio vectorial de V sobre F, si y solo si: i) S≼V y ii) Si f∈F y v∈S, entonces f*v∈S. Si V es un espacio vectorial sobre F, el siguiente ejemplo transforma a V en un F[x] módulo, para lo cual necesitamos del concepto de transformación lineal que definiremos enseguida. Esto nos permitirá mostrar la existencia de parejas <A,M>, con A anillo unitario y M un grupo abeliano, en las que es posible construir más de una acción de A sobre M. Definición 8.1. 35. Si V es un espacio vectorial sobre F, diremos que una función T, de V en V, es una transformación lineal de V, si T(α∗a+β∗b) = α∗T(a)+β∗T(b), siempre que α,β∈F y a,b∈V.

370

8.1. 36 Recordemos que si T es una función de V en V y k∈ℤ, entonces obtenemos la

función Tk de la siguiente manera: Tk(v)=⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

>

=

− 0k si ),()(T1k si )),(T(T

0k si ,

1-

1-k

vv

v

k

8.1. 37. No es difícil Demostrar que si V es un espacio vectorial sobre F y T es una transformación lineal de V, entonces Tk, con k∈ℤ, también es una transformación lineal de V (Ver Ejercicio 8. 2. 6) Ejemplo 8.1. 38. Si V es un espacio vectorial sobre F y T es una transformación lineal de V, entonces es posible transformar a V en un F[x] módulo, mediante ∆ definido para v∈V

y p(x) =∑=

n

0j

jjxa ∈F[x], como p(x)∆v = ∑

=

∗n

0j

jj (v)Ta .= p(T(v)).

En efecto, ∆ es evidentemente una función de F[x]xV en V. Además, si p(x) =a0+ … +anxn y g(x) = b0+ … +bmxm son elementos de F[x], con n≤m y v∈V, entonces (p(x)+q(x))∆v= ((a0+b0 … +(an +bn) xn) +(bn+1xn+1+ … +bmxm) ∆v = (a0+b0)*v+ … +(an +bn)*Tn(v)) +bn+1*Tn+1(v)+ … +bm *Tm(v)

=( (v)n

0kkTka∑

=∗ +( (v)∑

=∗

n

0kkTkb + (v)∑

=∗

m

1+nkkTkb )= ∑

=∗

n

0k(v)kTka + )(v

m

0kkTkb∑

=∗ = p(x)∆v+

q(x)∆v. Luego ∆ satisface M1. De otra parte, si además w∈V, entonces p(x)∆(v+w) =a0*(v+w)+a1*T(v+w)+ … +an *Tn(v+w) = a0*v+a1*T(v)+ … +an *Tn(v) + a0*w+a1*T(w)+ … +an *Tn(w) =p(x)∆v+p(x)∆w. O sea que ∆ satisface M2. Por último, para demostrar (p(x)q(x))∆v = p(x)∆(q(x)∆v), razonemos por inducción sobre m Si m=0, entonces también n=0, y la igualdad anterior es inmediata.

Consideremos ahora g(x) = ∑=

1+m

0kkxkb , con bm+1 ≠0, entonces g(x)= ∑

=

m

0kkxkb +

bm+1xm+1. Por lo tanto (p(x)g(x))∆v=(( ∑=

n

0kkxka )( ∑

=

m

0kkxkb + 1mb + xm+1.))∆v =

( ∑=

n

0kkxka ∑

=

m

0kkxkb +( ∑

=

n

0kkxka )bm+1xm+1.)∆v = ( k

mn

1k

k

1jjjk xba∑∑

+

= =− + ∑

=

n

0kbka 1+m xk+m+1)∆v

371

= )(vTba kmn

1k

k

1jjjk ∗∑∑

+

= =− + ∑

=∗ ++

n

0k(v)Tbka 1mk

1+m = ∑∑= =

+∗m

0i

n

k

kiik (v)Tba + ∑

=∗ ++

n

0k(v)Tbka

1mk1+m =

∑∑= =

+∗1+m

0i

n

k

kiik (v)Tba (Ver Ejercicio 8.2..7)

8.1.39. Según lo visto en el ejercicio anterior, se colige que la acción ∆ de F[x] sobre V, es una extensión de la acción ∗ de F sobre V, a F[x] sobre V. . El ejemplo anterior también demuestra que a la pareja conformada por el espacio vectorial V sobre un campo F y a la transformación lineal T, le corresponde un F[x] módulo, V. Por ejemplo: i) El anillo ℝ de los números reales, al proceder como en el Ejemplo 8.1. 18, es un ℝ módulo y en consecuencia, por ser ℝ un campo, de acuerdo a la Definición 8.1. 22, R es un espacio vectorial sobre ℝ. De tal manera, que si λ∈ℝ, entonces Tλ definida como Tλ(x) = λx, si x∈ ℝ es una transformación lineal de ℝ en ℝ. Por lo tanto al considerar el anillo ℝ[x], tenemos que según el ejemplo anterior éste actúa sobre ℝ, mediante ∆ definida para p(x)= a0+a1x+ …+anxn ∈R[x] y r∈ℝ, como p(x)∆r = a0r+a1λr+ …+anλnr De esta manera sobre la base de la pareja < ℝ[x], ℝ> es posible construir infinitas acciones de ℝ[x] sobre ℝ. Es decir dotar a dicha pareja de infinitas estructuras de ℝ [x] módulos. ii) Si V es un espacio vectorial sobre F, ∗ la acción de F sobre V y T la transformación lineal idéntica, entonces ∆ es una acción de F[x] sobre V, si está definida para p(x) = a0+a1x+ …+anxn ∈F[x] y v∈V, como p(x)∆v = a0 *v+a1*v+ …+an*v iii) Si T es la transformación lineal nula, entonces p(x)∆v = ao ∗v. , es una acción de F[x] sobre V, que coincide con la acción de F sobre V. 8.1. 40. El recíproco de la afirmación anterior también es válida: es decir, si V es un F[x] módulo, es posible obtener una pareja conformada por un espacio vectorial V sobre F y una transformación lineal T de V en V, que permita transformar a V en el F[x] módulo en cuestión En efecto, si ∗ es la acción de F[x] sobre V, en particular ∗ es una acción de F sobre V, y por lo tanto V es un espacio vectorial sobre F. De tal manera que si consideramos T de V en V, definida como T(α∗v) = (αx)∗v, que es la manera como actúa el polinomio p(x) = αx∈F[x] sobre v, entonces obviamente T es una transformación lineal, porque , si α,β∈F y v,w∈V, según la Definición de T, la Definición 8.1.13 y la conmutatividad de F[x], tenemos que T(α∗v+β∗w) = x∗(α∗v+β∗w) = x∗(α∗v) + x∗(β∗w) = (xα)∗ v +(x β)∗w) = (αx) ∗v + (βx) ∗w = α∗(x∗v) + β∗(x∗w) = α∗T(v) + β∗T(w).

372

Resta verificar que la aplicación F[x]xV en V, definida para p(x) =a0+a1x+ …+anxn∈F[x] y v∈V, como p(x)ov =a0v+a1T(v)+ …+anTn(v), es tal que p(x)ov = p(x)∗v, lo cual es inmediato, puesto que p(x)ov = a0v+a1T(v)+ …+anTn(v) = a0v+a1(x*v) + …+an (xn*v) = a0v+(a1x*)v) + …+(an xn )*v) = p(x)∗v.; ya que razonando inductivamente se demuestra que Ti(v) = xi ∗v. En efecto: T0(v)=x0*v,. es una afirmación válida, ya que T0(v) =v y x0*v=1*v=v. Y si aceptamos que Ti(v) = xi ∗v, entonces Ti+1(v) = T(Ti (v)) = T(xi ∗v) =T(1*(xi ∗v)= x ∗(xi ∗v) = (xxi )∗v = xi+1 ∗v. 8.1. 41. Si V es un F[x] módulo, con F un campo, y W es un F[x] submódulo de V, entonces W es un F submódulo de V y en consecuencia W es un subespacio vectorial de V sobre F. Recíprocamente si V es un F[x módulo, W es un subespacio vectorial de V sobre F y T es la acción sobre x, es decir T(v) = x∗v, para v∈V, no necesariamente, T(W)⊂W y en consecuencia no siempre W será un F[x] submódulo de V. Por ejemplo, si en 8.1. 24, consideremos el F módulo Fn, con F un campo, tenemos que Fn es un espacio vectorial sobre F. De tal manera que al definir T de Fn en Fn, como T(x1, x2, ...,xn) = (x2,, ... , xn,0), se tiene que T es una transformación lineal (Ver Ejercicio), y en consecuencia, según Ejemplo 1. 1. 42. Fn es un F[x] módulo, con F[x] actuando sobre Fn, de acuerdo a ∗ definida como p(x)∗v = p(T(v)). En esta situación W = (x1 , ... ,xn)∈Fn \ x1 = ... =xn es un subespacio vectorial de Fn sobre F, sin embargo, T(W) ⊂/ W, porque si (x1 , ... xn)∈W tal que x1 ≠0, entonces T(x1 , ... ,xn) = (x2, ... ,xn, 0)∉W.

8. 2 EJERCICIOS. 8. 2. 1. Demuestre que si A e una anillo con elemento unitario, entonces A es un A módulo, al tomar el producto • de A, como la acción de A sobre A, 8. 2. 2. Demuestre que si G es un grupo aditivo abeliano, y definimos * de ℤ xG en G como n*a = na, (en el sentido de 3.1.15) donde n∈ℤ y a∈G, entonces para n,m∈ℤ y a,b∈G, tenemos: i) (n+m) ∗a = n∗a+m∗a, ii) (nm) ∗a = n∗ (m∗a), iii) m∗ (a+b) = m∗a+m∗b y iv)1*a = a. Es decir, G es un ℤ módulo 8. 2. 3. Si <M.+> es un grupo abeliano y K=Hom(M) es el anillo de los homomorfismos de grupos de M en M, o más abreviadamente, el anillo de los endomorfismos de M, definido en el Ejemplo 3. 5.6, entonces M es un K módulo, si definimos la acción * de K sobre M, como f*m=f(m), para f∈K y m∈M. 8. 2. 4. Demuestre que si M es un A módulo, entonces: i) Para a∈A, fa definida como fa(x) = a*x, es homomorfismo de grupos de M en M, donde * es la acción de A sobre M y x∈M; ii) Si A* =fa/a∈A, entonces <A*, +,o> es un anillo, si se considera: + = suma de funciones y o = composición de funciones, iii) Demuestre que g definida de A en A*, como g(a)=fa es un homomorfismo de anillos;. y si N es el núcleo de g, entonces A/N≈A*

373

8. 2. 5. Si A un anillo con elemento unitario 1, M = <An, +> (n∈Z+), en el sentido del Ejercicio 2.4.26, y definimos α∗(a1, ...,an) = (αa1, ..., αan), para α∈A, (a1, ...,an)∈An y la operación en αai, el producto de A, demuestre que An es un A módulo. 8. 2. 6 Demuestre que si V es un espacio vectorial sobre F y T es una transformación lineal de V, entonces Tk, con k∈Z, también es una transformación lineal de V 8.2..7. Demuestre que si T es una transformación lineal de V en V, donde V es un espacio

vectorial sobre F, entonces ∑ ∑= =

+∗m

i

nki

ik0 0k

(v)Tba + ∑ ∗=

++n

0k(v)Tbka 1mk

+1m =

∑ ∑= =

+∗1+m

i

nki

ik0 0k

(v)Tba

8.2.8. Demuestre que si M es un A módulo y 1 es el elemento unitario de A, entonces i)0*m=0 y α*0=0, para α∈A y m∈M ii) Si A es un anillo con división y (α, n) ∈AxM tal que α*n=0, entonces α=0 o n=0 y iii) (-1)*m=-m, para cualquier m∈M 8.2.9. Si M es un A módulo, α∈A, m∈M, y: a1,a2, ...,an, α1,α2, ...αn ∈A , entonces: i)α*(-m) =(-α)*m=-(α*m). ii) α*(a1+ …+an) =α*a1+ …+α*ak iii) (α1+ …+αk)*m =α1*m+ …+αk*m iv. α*(km)=k(α*m)=(kα)*m, si k∈Z 8.2.10. Demuestre que si M es un A módulo y a∈A, tal que a tiene inverso multiplicativo a la izquierda en A, entonces a*m≠0, para cualquier m∈M*. 8.2.11. Si M es un A módulo y N⊂M, demuestre que N es un A submódulo de M, si y solo si i) N≠∅ y ii) n+a*m∈N, siempre que n,m∈N y a∈A. 8.2.12. Si K=0,3⊂ℤ 6, demuestre que K es un ℤ submódulo de ℤ 6 8.2.13. Demuestre que K=a1ℤxa2 ℤx ...xanℤ, con a1,a2, ...,an∈ ℤ, es un ℤ submódulo del ℤ módulo ℤ n. 8.2.14. Generalizando el ejercicio anterior, demuestre que si A es un anillo con elemento unitario y M=An es el A módulo, en el sentido del Ejemplo 8.1. 24 y K1,K2, ...,Kn, son ideales de A, entonces K1x,K2x ...xKn es un A submódulo de M. 8.2.15. El concepto de homomorfismo planteado en grupos y anillos puede extenderse para los módulos de la siguiente manera:

374

Sean M y N A módulos, y f una función de M en N, se dirá que f es un homomorfismo del A módulo M en el A módulo N, o que f es un homomorfismo A módulo, si: i) f(a+b) = f(a)+f(b) y ii) f(α*a)=α∆f(a), siempre que α,β∈A y a,b∈M, donde * es la acción de A sobre M y ∆ es la acción de A sobre N. La suma en a+b es la de M, mientras que la suma de f(a)+f(b) es la de N. En caso de que M=N, f será calificado como un endomorfismo A módulo de M. Cuando f de M en N sea un homomorfismo A módulo inyectivo, afirmaremos que f es un isomorfismo A módulo. Pero si f es una biyección, diremos que M y N son A módulos isomorfos, situación que notaremos como M≈N. Por último, si N=M, entonces f es llamado un automorfismo A módulo de M. Con base en lo anterior, demuestre: i) Si f es un homomorfismo del A módulo M, en el A módulo N, entonces: a) f es un homomorfismo del grupo M en el grupo N; b) f(0) = 0, c)f(-a) = -f(a), si a∈M ii) Demuestre que el recíproco de a) en la propuesta anterior no es cierto. Sugerencia[Considere el anillo A = F[x], con F un campo y G=<F[x],+>. Demuestre: 1) la aplicación ω de F[x] en F[x], definida como ω(f(x)) = ω(f(x2)), si f(x)∈F[x], es un homomorfismo de grupos; 2) Como A con el producto de polinomios es un A módulo, razone por el absurdo suponiendo que ω es un A homomorfismo y evalúe ω(x) y xω(1)]. iii) Pero si f es un endomorfismo del grupo M, demuestre que f es un endomorfismo ℤ módulo de M iv) De manera más general demuestre que si f es un homomorfismo del grupo abeliano M sobre el grupo abeliano N, entonces f es un homomorfismo del ℤ módulo M sobre el ℤ módulo N. v) Demuestre que no todo A homomorfismo es un homomorfismo de anillos. Sugerencia[Si ℤ es el anillo de los enteros, demuestre que f(z) =2z es un ℤ homomorfismo, pero f no es un homomorfismo de anillos] vi) Si n∈ℤ+ y f es un endomorfismo de un grupo M tal que para cualquier m∈M, o(m)n, entonces f es un endomorfismo de M ℤn módulo. vii) Si M es un A módulo, entonces la idéntica en M es un automorfismo de M, A módulo. viii) Si f es una función del A módulo M, en el B módulo N, entonces f es un isomorfismo, del A módulo M, en el B módulo si y sólo si f-1 es un isomorfismo de B módulo N en el A módulo M.

375

ix) Si f y g son homomorfismos del A módulo M en el A módulo N y del A módulo N en el A módulo O, respectivamente, entonces gof es un homomorfismo del A módulo M en el A módulo O. x) Si U1,U2, ...,Un son n subespacios del espacio vectorial V sobre F, y K= U1+U2+ ...+Un conformado por aquellos elementos de .la forma α = u1+u2+ ...+un tales que a) u1∈U1,u2∈U2, ...,un∈Un y b) Si α,β∈K y α= u1+u2+ ...+un= v1+v2+ ...+vn=β, entonces u1=v1,u2=v2, ...,un=vn. Entonces al definir + en K, como (u1+u2+ ...+un)+(v1+v2+ ...+vn) = (u1+v1)+(u2+v2)+ ... +(un+vn), se tiene que K con dicha suma es un grupo abeliano. xi) Demuestre que K es un subespacio vectorial de V. (K es conocido como la suma directa de U1,U2, ...Un.) Además si existen U1,U2, ...Un, n subespacios vectoriales de V tales que V = U1+U2+ ...+Un, diremos que V es suma directa de U1,U2, ...Un. xii). Si U1,U2, ...Un, son n subespacios vectoriales del espacio vectorial V sobre F, demuestre que U1+U2+ ... +Un ≈ U1xU2x ... xUn 8.2.16a) Demuestre que N=< 2, ⊕ > es un grupo, si ⊕ es definida como (a,b) ⊕ (c,d)=(a+c+1,b+d-1), para (a,b),(c,d)∈ 2 y + = suma usual en R, b) Demuestre que N es un R módulo c) Demuestre que f definida de M=< 2,+>, de acuerdo a 8.1.25, en N, como f(x,y)=(x+y-1,x+y+1), para x,y∈R, es un isomorfismo del R módulo M en el R módulo N. 8.2.17.Siguiendo el mismo modelo desarrollado en la teoría de los homomorfismos de grupos y de anillos, iniciemos recordando que si M es un A módulo y K≤M, entonces K∆M, ya que M es abeliano y en consecuencia M/K=m+K/m∈M, con la suma de clases es un grupo abeliano. También podemos plantear el concepto de núcleo de un A homomorfismo, de la siguiente manera: Si f es A un homomorfismo del A módulo M en el A módulo N, definimos el núcleo de f, notado como N(f), de la siguiente manera: N(f)=m∈M/f(m)=0, donde 0 es módulo de <N,+>. Con base en lo anterior, si f es un homomorfismo del A módulo M en el A módulo N de núcleo K, entonces demuestre: i) Si f es un homomorfismo de un A módulo M en un A módulo N de núcleo K , demuestre que K es un A submódulo de M. ii) Si R es el anillo de los números reales y A = n es el R módulo, entonces: a) πi de n en 2, definida como πi

(x1, ...,xn) = xi es un R homomorfismo; b) Encuentre el núcleo de πi)

376

8.2.18 Demuestre que si M es un A módulo y K≤M, entonces al definir ∆ como a∆(m+K)=K+a*m, donde a∈A, m∈M, y * la acción de A sobre, se tiene que M/K es un A módulo. 8.2.19. Estamos ahora en condiciones de probar la versión de los Teoremas de homomorfismos de grupos 2.8.1, 4.7.6, 5.3.1 , 5.3.2 y 5.3.5. Ellos cobran la siguiente forma: i) Relativo a la Definición de A isomorfismo planteada en el problema 8.2.15, demuestre que ≈ es una relación de equivalencia en el conjunto de todos los A módulos ii) Si f es un A homomorfismo del A módulo M en el A módulo N, entonces a) f(K) es un submódulo de N, si K es un submódulo de M; b) f-1(K) es un submódulo de M, si K es un submódulo de N; c) Si m∈M, entonces <m> = zm/z∈Z es un submódulo de M y f(<m>) = <f(m)>; c) Existe una correspondencia biunívoca entre los submódulos de N y los submódulos de M que contienen al núcleo de f. iii) Si M es un A módulo y N es un submódulo de M, entonces existe un homomorfismo A módulo de M en M/N,. Sugerencia[Ya que según el Teorema 5.3.1 la función de M en M/N, definida como f(m) = m+N, para m∈M, es un homomorfismo de grupos, solo resta demostrar, que si a∈A, entonces f(a*m) = a∆f(m), siempre que m∈M, donde * es la acción A sobre M y ∆ es la acción de A sobre M/N definida en el Problema 8.2.17 iv) Si f es un A homomorfismo del A módulo M en el A módulo N de núcleo K, entonces: a) G/K≈f(G). v) Si H es un submódulo de N, K es un submódulo de M, y P es un submódulo de K, entonces N/H≈M/K≈(M/P)/(K/P) Los siguientes problemas discuten sobre el números de homomorfismos definibles entre A módulos. 8.2.20.Al considerar los ℤ módulos ℤ 2 y ℤ 3, ¿cuántos ℤ homomorfismos se pueden definir de ℤ2 en ℤ3; ¿cuantos de ℤ3 en ℤ2. Sugerencia[Si f es un Z homomorfismo de Z2 en Z3, entonces f(0=0 y las opciones para f(1) son; : f(1)=0; f(1)=1 y f(1)=2. Descarte la posibilidad f(1)=2, calculando f(0) y f(1+1), para obtener dos A homomorfismos. Pero si f es un ℤ homomorfismo de ℤ3 en ℤ2, observe que además del homomorfismo nulo sola queda la opción f(1)=1. 8.2.21. Analizar cuantos ℤ homomorfismos se pueden definir en los siguientes casos: i) de ℤ2 en ℤ4 ii)de ℤ4en ℤ2? Sugerencia[Estudie las posibilidades f(1)=0, y g(1)=2. Y descarte las opciones h(1)=2 y q(1)=3.Esto cuando se trate de ℤ homomorfismos de ℤ 2 en ℤ 4. Para el caso de ℤ homomorfismos de ℤ 4 en ℤ 2, analice f(1) = 0 y g(1) =1] iii) De ℤ 9

377

en ℤ 15, iv) de ℤ 15 en ℤ 9. [ 8.2.22. En general, si n,m∈ℤ +, entonces sólo se pueden definir d ℤ homomorfismos de ℤ n en ℤ m, donde d= (n,m). Sugerencia [Considere n = dk y d = dp y demuestre que los únicos ℤ homomorfismos que se pueden definir de ℤn en ℤ m, son f0(1) = 0, f1(1) = p, f2(1) = 2p , ... fd-1(1) = (d-1)p.] 8.2.23. Si Homℤ (ℤ n, ℤ m ) = f/f es un ℤ homomorfismo de ℤ n en ℤ m, demuestre que Homℤ (ℤ n, ℤ m ) ≈ ℤ d , con d = (n,m). 8.2.24. Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Si M es un A módulo y (a,m)∈AxM, entonces a•m∈M, si • es la acción de A sobre M. ii) Si M es un A módulo y (a,m)∈AxM tal que am=0, entonces a=0 o m=0. iii) Si <M,+> es un grupo y ℤ es el anillo de los enteros, entonces • definido para (n,m)∈ ℤ xM, como n•m=nm (nm definido de acuerdo al sentido de 22..33..99..(iii)) es una acción de ℤ sobre M.. iv) Si M es un A módulo y K es un subanillo de A, entonces M es un K módulo. v) Si M es un A módulo y H≤M, entonces H es un A submódulo.de M. vi) Si V es un espacio vectorial sobre K y W≤V, entonces W es un subespacio vectorial de V sobre K. vii) Si M es un A módulo y H≤M tal que a•h∈H, siempre que a∈A, h∈H y • sea la acción de A sobre M, entonces H es un A submódulo de M. viii) Si A y M son anillos tales que M es una A módulo, entonces A es un M módulo. ix) Si F y V son campos tales que V es un espacio vectorial sobre F, entonces F es un espacio vectorial sobre V

8.3. ESPACIOS VECTORIALES. Trataremos en esta sección con más detalles el concepto de espacio vectorial, dado que su contenido es básico para el estudio de los capítulos finales. Al aludir a V como un espacio vectorial sobre un campo F, o más directamente V espacio vectorial sobre F, a los elementos de V los llamaremos vectores, mientras que a los de F se identificarán como escalares. Además, si α∈F y v∈V, en vez de escribir α•v, anotaremos αv, si no se presta a confusión sobre la acción de F sobre V, que de todas maneras llamaremos el producto de un escalar por un vector. Iniciaremos tratando los conceptos de dependencia e independencia lineal, de acuerdo a la siguiente definición. Definición 8.3.1. Si V es un espacio sobre F y S⊆V, entonces: i) S es linealmente dependiente, si existen n vectores diferentes, n≥2, v1,v2, ... ,vn∈S y n escalares, α1,α2, ...

378

,αn∈F, no todos iguales a cero, tales que ∑=

αn

1iiiv =0; ii) S es linealmente independiente, si S

no es linealmente dependiente. Pero si S=v, entonces S es linealmente dependiente, si v=0 y S es linealmente independiente, si v≠0 o S=∅. 8.3.2. i) Si 0∈S, S≠0, entonces S es linealmente dependiente, porque como S≠0, existe v∈S, v≠0. Por lo tanto, si α∈F, α≠0, es válido afirmar que α0+ ∑

≠∈ 0vS,v0v =0. (Al menos que F

sea el anillo F=0(Recuerde que desde 3.1.20 la teoría se ha venido desarrollando para anillos A≠0) ii) Si S tiene más de un elemento, y existen v,w∈S, v≠w, y α∈F, α≠0, tales que v=αw, entonces S es linealmente dependiente, puesto que si v=αw, con α≠0, se tiene también que v+(-α)w=0. Pero el recíproco de la afirmación anterior no es cierto. Por ejemplo en V=R3, el espacio vectorial sobre R, definido en el Ejemplo 8.1.25, si S=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,2,3), entonces S es linealmente dependiente, puesto que 1(1,0,0) + 2(0,1,0) + 3(0,01)-1(1,2,3) = (0,0,0). Sin embargo no es posible encontrar v,w∈S, v≠w, y α∈F, α≠0, tales que v=αw. (Ver Ejercicio 8.4.1) De acuerdo a la Definición 8.1.13, el siguiente teorema es de demostración inmediata: Teorema 8.3.3. Si V es un espacio vectorial sobre F y S⊂V, entonces S es linealmente

independiente, si y solo si: para todo v1, ..., vn∈F y para todo α1, ... , αn∈F, si ∑=

αn

1iiiv =0,

entonces α1=α2= ... αn=0.

Ejemplo 8.3.4. En ℝ3 el conjunto S=(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) es linealmente independiente, ya que si a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=(0,0,0), entonces (a,b,c)=(0,0,0) y por consiguiente a=b=c=0. En general al abordar ℝn, el conjunto S=e1,e2, ... ,en, es

linealmente independiente, si ei =(x1,x2, ... ,xn) es tal que xk=⎩⎨⎧

=≠

ik si 1,ik si ,00.

Ejemplo 8.3.5. Si V=ℝ2 y S=(x,x)/x∈ℝes según 8.3.2 linealmente dependiente, ya que al considerar (2,2) y (1,1), que son un par de elementos de S, se tiene que (2,2)=2(1,1).

Ejemplo 8.3.6. En S=(x,x2)/x∈ℝ⊂ℝ2., dado que (1,1),(2,4),(3,9)∈S, se deduce, de acuerdo a la Definición 8.3.1, que S es linealmente dependiente, puesto que 3(1,1)-3(2,4)+(3,9)=(0,0),

379

Ejemplo 8.3.7. Nuevamente en V= ℝ2, si S=(1,1),(2,4), se tiene que S es linealmente independiente, puesto que si a,b∈R tales que a(1,1)+b(2,4)=(0,0), entonces a+2b=0 y a+4b=0. Y este par de ecuaciones tiene como única solución a=b=0. Ya que si b≠0, entonces 2b=4b y por lo tanto 2=4. Y si a≠0, entonces a/2 = a/4; o sea que también 2=4.• Ejemplo 8.3.8. Al considerar V un espacio vectorial sobre F y S⊂V, S≠∅, se tiene que

<S>=∑=

n

1iiv /n∈ℤ+ , vi=∑

=

αin

1kikikw , αik∈F , wik∈S y ni∈ℤ+ es un subespacio vectorial de

V en F, llamado el subespacio generado por S. Para demostrarlo, el Corolario 8.1. 34 indica que debemos verificar: i) <S>≤V y ii) Si f∈F y s∈<S>, entonces fs∈S. Para demostrar i), como <S>≠∅, ya que S≠∅, entonces el Teorema 4.1.7, en su versión aditiva, orienta a demostrar que s-t∈<S>, si s,t∈<S>. Pero esto es inmediato, porque

s,t∈<S>, entonces s=∑=

n

1iiv y t=∑

=

m

1iiw , con αi,βi∈F, vi=∑

=

αin

1kikikw ,wi=∑

=

im

1ikik w'α

k

,

wik,w’ik∈S y n,m∈N+. De tal manera que s-t=∑=

n

1iiv -∑

=

m

1iiw = ∑

=

n

1iiv +∑

=

−m

1iiw . Por lo tanto

al considerar vn+i=-wi, para i=1, i=2, ...,i=m, obtenemos que s-t= ∑+

=

mn

1iiv ∈<S> El objetivo ii)

es inmediato, porque si s=∑=

n

1iiv ∈<S> y f∈F, entonces fs=f∑

=

n

1iiv . Pero la condición M3 de

la Definición 8.1.13, implica que fs= ∑=

n

1iifv ∈<S> (Ver Ejercicio 8.4.2)

8.3.9. Es inmediato probar que si V es un espacio vectorial y K=v1, ....vn⊂V es linealmente dependiente, entonces existe vi∈K tal que vi∈<K-vi.En efecto, por ser K linealmente dependiente, existirán α1, ... , αn∈F, no todos nulos, tales que α1v1+ ... + αnvn=0. De tal manera que si αi≠0, entonces vi = ¡Error!v1+ ...+ ¡Error!vi-1+¡Error!vi+1 ... +¡Error!vn, y por tanto vi∈<K-vi 8.3.10. En adelante si S=v1, ...,vn⊂V, donde V es un espacio vectorial sobre F, nos referiremos a S como linealmente dependientes o independientes; o de manera más ágil a v1, ...,vn como vectores linealmente dependientes o independientes. 8.3.11. Del Ejemplo 8.3.4 sabemos que S=(1,0),(0,1) es linealmente independiente al considerar el espacio vectorial V= ℝ 2 sobre ℝ. Además es evidente que <S>= ℝ 2

Es decir S⊂ ℝ 2 , tal que S es linealmente independiente y <S>= ℝ 2

380

Pero S no es el único subconjunto linealmente independiente de V= ℝ2 que genera a V. En efecto, cualquier subconjunto K de ℝ2 linealmente independiente, con dos vectores, es tal que <K>=V. (Ver Ejercicio8.4.3)

Ahora no todos los subconjuntos de V= ℝ2 linealmente independiente generan a V. Por ejemplo, si W=u⊂ ℝ2 , con u≠0 entonces W es linealmente independiente, pero <W>≠ ℝ 2 En efecto:

Si u=(a,b), es linealmente independiente, entonces a≠0 o b≠0. Por lo tanto <W>≠ℝ2,

porque si a=b, tenemos que (1,2)∉<W>, ya que si (1,2)=α(a.b), para algún α∈ℝ*, entonces αa=1 y αa=2. O sea que 1=2. Pero si a≠b, entonces (1,1)∉<W>, pues si (1,1)=β(a,b), para algún β∈R*, ello implicaría que βa=βb=1. Es decir a=b.

ii) Es decir no existe T⊂ ℝ2, T linealmente independiente, tal que o(T)=1 y <T>= ℝ2. En este sentido S=e1,e2 el subconjunto de ℝ2 con el menor número de vectores linealmente independiente, tal que <S>= ℝ 2.

iii) Pero también 2 es el mayor número de vectores linealmente independiente en ℝ 2

En efecto, si S=u,v,w⊂ℝ2 tal que o(S)=3 y S es linealmente independiente, al considerar u=(a1,b1), v=(a2,b3) y w=(a3,b3) y αu+βv+γw=0, obtenemos: αa1+βa2+γa3=0; αb1+βb2+γb3=0. De tal manera que si α=-1, entonces : βa2+γa3=a1 y βb2+γb3=b1. Observe

que β=2332

1331

babababa

−− y γ=

2332

2112

babababa

−− , satisfacen las dos igualdades anteriores (Ver Ejercicio

8.4.4) Además a2b3-a3b2≠0, porque si a2b3=a3b2(1), entonces como a3≠0 y b3≠0, ya que si a3=0, se tiene obligatoriamente que a1≠0 y a2≠0, pues si a1=0 o a2=0, entonces o u y w serían linealmente dependiente, o v y w serían linealmente dependientes. Por lo tanto, a2(a1,b1)-

a1(a2,b2)+3

1221

bbaba − (0,b3)=(0,0). Es decir u,v,w serían linealmente dependientes

Y si b3=0, entonces b1≠0 y b2≠0 (Ver Ejercicio 8.4.5) y en consecuencia b2(a1,b1)-b1(a2,b2)+

3

1221

ababa − (a3,0). Luego u,v,w son linealmente dependientes

381

Luego a3≠0 y b3≠0. Por consiguiente de 1) se deduce que 3

2

aa =

3

2

bb , lo cual implica que los

vectores v y w son linealmente dependientes. (Ver Ejercicio 8.4.6) También es cierto que a1b3-a3b1≠0, porque si a1b3=a3b1, se tendría que los vectores u y w serían linealmente dependientes (Ver Ejercicio 8.4.6). Análogamente a2b1-a1b2≠0 Luego β≠0 y γ≠0, y ello conduce a afirmar que los vectores u,v,w, son linealmente dependientes. Para concluir que 2 el mayor número de vectores linealmente independientes que existen en ℝ2.

8.3.12 al considerar el espacio vectorial V= ℝ3 sobre ℝ, se tiene que S= (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) es linealmente independiente.. Además, ℝ3 =<S> (Ver Ejercicio 8.4.7). Pero también si T = e1 , e2 o T=e1,e3o T=e2,e3, entonces T es linealmente independiente, con la particularidad de que <T>≠ℝ3, puesto que el vector (1,1,1)∈ℝ3 y sin embargo (1,1,1)∉ <T>. (Ver Ejercicio 8.4.7) Análogamente U =e1 o U=e2 o U=e3, entonces U un linealmente independiente en ℝ3, pero ≠ℝ3. (Ver Ejercicio 8.4.7)

Más aún, en general si W=u,v⊂ℝ3, es tal que u≠v, donde u=(a,b,c) y v=(d,e,f), veamos que <W>≠ℝ3.

En efecto, si (b,c)≠λ(e,f), siempre que λ∈ℝ y <W>= ℝ3, entonces existen α,β∈ ℝ tales que αu+βv=e1(1), y por consiguiente obtenemos el siguiente juego de ecuaciones: i) αa+βd=1; ii) αb+βe=0 y iii)αc+βf=0. Pero si αb+βe=0 y αc+βf=0, entonces la única posibilidad es α=β=0 (Ver Ejercicio 8.4.8) .Pero esto no es posible, porque en (1), ello indicaría que e1=(0,0,0), Si existiera λ∈ℝ tal que (b,c)=λ(e,f), y <u,v>= ℝ3, entonces en primer lugar e≠0 y f≠0, porque si e=0, entonces b=0, o sea que u=(a,0,c), v=(d,0,f) y (0,1,0)∉<u,v>. Y si f=0, entonces c=0, y por ende u=(a,b,0) y v=(d,e,0), razón para deducir que (0,0,1) )∉<u,v>.

Además, si <u,v>=ℝ3 , existirían γ,δ∈ℝ tales que γu+δv=(1,2,3), y por lo tanto, γa+δd=1; e(γλ+δ)=2 y f(γλ+δ)=3, obteniendo que f/e=3/2.. Pero si en vez de (1,2,3) consideramos (4,5,7), habríamos obtenido que e/f=7/5 Luego 7/5=3/2 .

En conclusión no existe K=u,v⊂ℝ3, tal que u≠v y <K>= ℝ3. En particular si u y v son vectores linealmente independientes de ℝ3, entonces u≠v, y por lo tanto <u,v>≠ℝ 3. Es

382

decir, no es posible encontrar K=u,v⊂ℝ3, tal que K sea linealmente independiente y <K>= ℝ3. También no es difícil comprobar que si K=, entonces <K>≠ℝ3 (Ver Ejercicio 8.4.9). De tal manera que S =(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) es un conjunto de vectores con 3 elementos, linealmente independiente tal que <S>= ℝ3. Y además, si U es un conjunto de vectores de V linealmente independiente, con menos de 3 elementos; entonces ≠ ℝ3

Tampoco es posible encontrar T⊂ ℝ3 tal que T sea linealmente independiente, pero que T cuente con más de tres vectores. Pero esto es bastante dispendioso demostrarlo directamente. Más adelante veremos que e1,e2,e3 es una base de ℝ3 y por ello no va ser posible encontrar un conjunto como S A los conjuntos como S=e1,e2,e3⊂ℝ3=V del ejemplo anterior, o S=e1,e2,⊂ ℝ 2=V, del ejemplo 8.3.11, que son linealmente independientes en sus respectivos espacios vectoriales, y que además los generan los clasificaremos de acuerdo a la Definición:8.3.13, y acerca de ellos probaremos: i) Ningún subconjunto de V linealmente independiente con menos elementos que S genera a V y ii) El número de elementos de S es el mayor número de vectores linealmente independientes en V. De manera más general probaremos que S será una base de V, si y solo si S es un conjunto maximal de vectores linealmente independiente de V Iniciemos entonces con la siguiente definición: Definición 8.3.13. Si V es un espacio vectorial sobre F y K⊂V, diremos que K es una base de V, si K es linealmente independiente y <K>=V. Nos habíamos propuesto demostrar que si K es una base con n elementos de un espacio vectorial V sobre F, y T⊂V tal que T es linealmente independiente, con m elementos, pero m<n, entonces T no es una base de V. El siguiente teorema es un avance en esa dirección. Teorema 8.3.14. Si V es un espacio vectorial sobre F y K=v1, ... , vn⊂V, tal que <K>=V, Entonces K es una base de V, si y solo si ningún subconjunto propio de K es un generador de V, y por lo tanto ningún subconjunto propio de K es una base de V. Demostración. En efecto, si A=w1,..., wk⊂K con k<n, entonces debe existir vi∈K, tal que vi∉A. En consecuencia, si K es una base de V, al razonar por el absurdo y considerar que V=<A>, tendríamos que vi∈<A>, lo cual indica que vi= α1w1+ ... +αkwk. Por lo tanto, α1w1+ ... +αkwk- vi=0, concluyéndose así que T=w1, ... ,wk,vi⊂K es linealmente dependiente y por consiguiente, según la Definición 8.3.1, K es linealmente dependiente, contradiciendo la hipótesis, ya que como K es una base de V, la Definición 8.3.13 señala a K como linealmente independiente.

383

Recíprocamente, si ningún subconjunto propio de K es un generador de V, entonces como <K>=V, según la Definición 8.3.13, para probar que K es una base de V basta verificar que K es linealmente independiente. Si K fuera linealmente dependiente, entonces de acuerdo a 8.3.9, existirá vi∈K tal que vi∈<K-vi. Por lo tanto T=K-vi⊂K y además <T>=V.(Ver Ejercicio 8.4.10) Pero esto no es posible ya que T es un subconjunto propio de K que genera a V, y K por hipótesis no admite tales subconjuntos El resultado anterior implica los siguientes resultados, indicado el primero que al agregar a una base V un elemento que no pertenezca a dicha base, ésta deja de ser una base de V. Y el segundo resultado enseña que a partir de un generador de V es posible obtener una base para V. Corolario 8.3.15. Si V es un espacio vectorial sobre F, K=v1, ... , vn es una base de V y w∈V tal que w∉K, entonces S=w,v1, ... , vn no es una base de V. Demostración. Como w∉K, entonces S no es según el Teorema 8.3.14 una base para V ya que K es un subconjunto propio de S y <K>=V, de acuerdo a la Definición 8.3.13:, pues K es una base de V Corolario 8.3.16. Si V es un espacio vectorial sobre F y K es un generador de V, entonces K contiene una base para V. Demostración. En efecto, si K no contiene subconjuntos propios que generen a V, entonces K es de acuerdo al teorema anterior una base de V. Pero si K contiene a un subconjunto propio T1, tal que T1 genera a V, aplicamos a T1 el mismo razonamiento utilizado para K. Es decir: o T1 según el Teorema anterior es una base para V, porque no contiene subconjuntos propios que generan a V, o T1 contiene un subconjunto propio T2 tal que T2 genera a V. Es decir, al repetirse i veces la segunda opción, se tendría una cadena Ti⊂ Ti-1⊂ ... ⊂ T2⊂T1⊂K, tal que <Ti>=V. Esta cadena descendente en el peor de los casos llegaría a Tk=v, con v∈K, tal que < Tk >=V, ya que el único subconjunto propio de Tk es ∅ y <∅>=∅, asegurando con ello la existencia de un subconjunto propio de K, que genera a V y no admite subconjuntos propios que generen a V. Naturalmente todo subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independiente es también linealmente independiente. Y si se trata de un subconjunto propio de una base del espacio vectorial respectivo, el Teorema 8.3.14 indica que dicho subconjunto no es una base. También es fácil deducir que si V es un espacio vectorial sobre F y K es una base de V, entonces K no es la única base de V. Por ejemplo en el espacio vectorial V=R2 sobre R,

384

sabemos que K=(1,0),(0,1) es una base de V, pero también K’ =(2,0),(0,1) es una base de V. Más aún, a partir de cualquier vector no nulo v∈V, es posible conformar a partir de v, agregándole un vector de K, una base para V. Eso acabó de suceder con el vector v=(2,0) y el conjunto K’, en el párrafo anterior. Tal resultado puede ser generalizado, pero antes demostremos el siguiente resultado: Teorema 8.3.17. Si V es un espacio vectorial sobre F, K=v1, ...,vn es una base de V w∈V, w≠0, entonces existe vi∈K tal que vi∈<S>, con S=w, v1, ...,vi-1,vi+1, ..., vn, y S es una base de V. Demostración. Si K’=w, v1, ...,vn y w∈K, entonces K’=K y el teorema sería válido. Pero si w∉K, entonces, según el Corolario 8.3.15, K’ no es una base para V. Luego por la Definición 8.3.13, K’ es linealmente dependiente, y por consiguiente existen α,α1, ... , αn∈F, no todos iguales a cero, tales que αw+α1v1+ ... +αnvn=0 (*). Esta igualdad implica que α≠0, porque si α=0, entonces α1v1+ ... +αnvn=0, indicando ello, según el Teorema 8.3.3, que α1= ... =αn=0, porque los vectores v1, ... ,vn son linealmente independientes. Es decir α=α1= ... =αn=0, y esto no es posible porque ya habíamos dicho que no todos ellos son iguales a cero. Además también algún αi≠0, porque si α1= ... =αn=0, entonces αw=0 y como α≠0, se tendría que w=0, y esto no es posible porque habíamos supuesto que w≠0. En consecuencia al despejar w en (*) encontramos γ1, ..., γi, ...γn∈F tales que γi≠0:y w =γ1v1+ ..., γivi+ ...γnvn (1),. Luego vi∈< K’-vi> y por tanto < K’-vi>=V. Además S= K’-vi es linealmente independiente. Ya que si βw+β1v1+ ...+βi-1vi-1+βi vi+1+ +βn-1vn=0 (2),( sumatoria en la que no figura el vector vi) con β, β1, ... , βi-1 ,βi , βn-1∈F. Entonces al sustituir (1) en (2) obtenemos una combinación lineal del vector 0 en F mediante los vectores de K , en la que el coeficiente de vi es βγi. Pero como K es linealmente independiente se infiere que βγi =0. Teniendo en cuenta ahora que F es un campo, y γi≠0, obtenemos que β=0. Así las cosas (2) se transforma en β1v1+ ... +βi-1vi-1+βi+1vi+1+ +βnvn=0 Aplicando nuevamente que K es linealmente independiente se deduce que β1= ... =βi-1=βi+1= βn=0. Luego β=β1= =βi-1=βi+1= =βn=0 y por tanto S es linealmente independiente. Luego S es linealmente independiente, y al tener que <S>=V, concluimos de acuerdo a la Definición 8.3.13, que S es una base de V. 8.3.18. En el teorema anterior hemos probado, que si V es un espacio vectorial sobre F, K=v1, ...,vn es una base de V w∈V, w≠0, entonces w puede remplazar a alguno de los vi en K y obtener así una nueva base para V. Pero la técnica utilizada permite demostrar que

385

éste vi, puede ser cualquier vi∈K tal que vi∈<S>, con S=w, v1, ...,vi-1,vi+1, ..., vn, y así S es una base de V. De manera más general veremos que a partir de cualquier conjunto de vectores linealmente independientes es posible construir una base para V. Esto va a significar un avance hacia nuestro segundo objetivo. Es decir, en el sentido de probar que el número de vectores de la base representa el máximo número de vectores linealmente independientes en el respectivo espacio vectorial. Teorema 8.3.19. Si V es un espacio vectorial sobre F, K=v1, ... ,vn es una base de V, con n elementos y T=w1, ... ,wm⊂Ves tal que T es linealmente independiente , entonces para cada k∈ℤ, con 1≤k<n, existen rk+1, ...rn∈K, tales que S=w1,...,wk,rk+1,..., rn es una base para V. Demostración. Razonando por inducción matemática sobre k, y dejando fijo a n, tenemos que si k=1, entonces de acuerdo al Teorema anterior, existe vi tal que S=w1,v1, ...,vi-1,vi+1, ...,vn es una base de V, quedando así demostrado el teorema para k=1. Si ahora aceptamos el teorema válido para k∈ℤ con 1<k<n, y consideramos w1, ...,wk,wk+1 entonces por hipótesis de inducción existen rk+1, ...rn∈K, tales que R=w1,...,wk,rk+1,..., rn es una base de V. Aplicando ahora lo demostrado anteriormente para R y H=wk+1 obtenemos que n-1 de los n elementos de R junto con wk+1 conforman una base U de V. Veamos que una base W de V, se puede obtener de R al excluir uno de los ri y agregar wk+1 . En efecto, al ser R una base de V entonces, según el Corolario 8.3.15 U* = w1,...,wk, wk+1, rk+1,..., rn no es una base de V y por tanto U* es linealmente dependiente. Así las cosas es posible encontrar algún j tal que δj≠0, y algún i tal que algún i, tal que γj≠0, de tal manera que δ1w1+ ... +δkwk+δk+1wk+1+ γk+1rk+1+... +γnrn=0. En estas condiciones δk+1≠0 , ya que si δk+1=0, entonces δ1w1+ ... +δkwk+ γk+1rk+1+... +γnrn=0. Pero como los vectores w1, ... ,wk, rk+1,... ,rn son linealmente independiente, entonces δ1= ... =δk=γk+1=γk+2=... =γn = 0. , y esto no es posible porque ya teníamos que no todos ellos son cero. Por consiguiente wk+1 = λ1w1+ ... +λkwk+λk+1rk+1+... +λnrn ( 3). Pero no es cierto que para todo i, se tenga que λi=0, porque de ser así, entonces los vectores w1, ...,wk+1 serían linealmente dependiente y ello no es posible porque los vectores w1, ... ,wm son linealmente independientes. En consecuencia, si λk+i≠0 obtendríamos que rk+i∈<W>, con W=w1, ...,wk+1,rk+1, ...,rk+i-1, rk+i+1, ...,rn . Por lo tanto, según 8.3.18 W es una base de V. Ahora estamos en condiciones de probar el siguiente teorema:

386

Teorema 8.3.20. Si V es un espacio vectorial sobre F, K=v1, ... ,vn es una base de V, con n elementos, entonces cualquier conjunto de vectores de V linealmente independiente con n elementos es una base de V. Demostración. Supongamos que W=w1, ... ,wn⊂V es linealmente independiente, entonces según la Definición 8.3.13 para probar que W es una base de V, solo resta verificar que <W>=V. Para ello comprobemos que si vi∈K, entonces vi∈<W>. Si vi∈K, entonces puesto que T=w1, ... ,wn-1es linealmente independiente, ya que T⊂W y W es linealmente independiente, según el teorema anterior debe existir vk∈K tal que B=w1, ... ,wn-1,vkes una base para V. En consecuencia, wn∈ y por lo tanto wn=α1w1+ ...+αn-1wn-1+αvk. Pero α≠0, porque si α=0, tendríamos que W sería linealmente dependiente, y ello no es posible ya que W es por hipótesis linealmente dependiente. Por lo tanto vk∈<W>. Y como vi∈, tendremos que vi∈<W> Teorema 8.3.21. Si V es un espacio vectorial sobre F y K es una base de V con n elementos, entonces n es el mayor número de vectores linealmente independiente en V. Demostración. Si W es un conjunto de vectores de V, linealmente independientes, con m vectores, pero n<m, entonces W contiene un subconjunto L con n vectores. Y de acuerdo al Teorema anterior, L sería una base de V. Pero como <L>=V y L⊂W, entonces <W>=V, lo que conduce a concluir que W es una base de V, contradiciendo al Teorema 8.3.14, puesto que L es un subconjunto propio de W y .<L>=V, por ser L una base de V. En consecuencia no es posible que exista un conjunto de vectores de V, linealmente independientes, con m vector tal que n<m. Teorema 8.3.22. Si V es un espacio vectorial sobre F y K es una base de V con n elementos, entonces dos base de V tienen el mismo número de elementos. Demostración. Si W =w1, ...,wm fuera otra base de V, con m elementos, entonces de todas maneras W sería linealmente independiente, y en consecuencia de acuerdo al teorema anterior, m≤n. Pero como también podemos considerar a W como una base para V y a K linealmente independiente en V, nuevamente el teorema anterior implicará que n≤m. Luego m≤n y n≤m. Luego n=m, y por lo tanto dos bases de V tienen el mismo número de elementos. Estamos ahora en condiciones de definir el concepto de dimensión de un espacio vectorial. Definición 8.3.23. Si V es una espacio vectorial sobre F y K es una base de V con n elementos, diremos que n es la dimensión de V sobre F, notada dimFV=n.

387

8.3.24. Es obvio que dimFV tiene un único valor, porque si dimFV=n y dimFV=m, y m≠n, entonces según la definición anterior, existirían dos bases V con diferentes número de elementos, contradiciendo al Teorema 8.3.21 8.3.25. Es importante anotar que si V es un espacio vectorial sobre F, no siempre se garantiza la existencia de una base con un número finito de elementos. Por ejemplo, si V=F[x], el conjunto de todos los polinomios en la indeterminada x con coeficientes en F, entonces el conjunto infinito R=1, x, x2, .., xn, ... es una base de F[x] sobre F. Para un caso como ese planteamos la siguiente definición: Definición 8.3.26. Si V es un espacio vectorial sobre F y no existe una base de V con un número finito de elementos, diremos que V es de dimensión infinita sobre F Observe que cuando se planteó en 8.1.25, para F un campo, que Fn es un espacio vectorial sobre F, y que en particular, si ℝ = conjunto de los números reales, entonces ℝn es un espacio vectorial sobre ℝ, al considerar a V como un espacio vectorial sobre F, de dimensión n, vale la pena preguntar que relación existe entre los espacios vectoriales Fn y V, ambos sobre F.

Al respecto es evidente, al referirnos al espacio vectorial V= ℝn sobre ℝ, que si ei=(x1,

...,xn), donde xj=⎩⎨⎧

=≠

ij si 1,ij si ,00, entonces K =e1,e2, ... ,enes una base de V sobre ℝ. Además

observe que al considerar v= (α|, ...αn)∈ ℝn, entonces v = ∑=

n

i 1iieα , notación en la cual

interesa el orden de los elemento de K. De tal manera que si V es un espacio vectorial sobre F de dimensión n y K=v1, , ... ,vn es

una base ordenada de V y v∈V, entonces como v = ∑=

n

i 1ii vα , donde cada αi∈F, se trata de

buscar una relación entre v y (αi, ...,αn)∈Fn. Primero que todo debe aclararse qué se entiende por una base ordenada. Al respecto, si en ℝ2, consideramos la base ordenada K1=e1,e2, entonces (a,b)∈ℝ2, respecto de esta base

tiene la forma (a,b)=ae1+be2. En general si V= ℝn y v= (x1, ...,xn)∈ℝn, entonces v=∑=

=

ni

i 1iiex

De tal manera que K=e1, ...,enes una base de V. Pero como de todas maneras en un conjunto no importa el orden en que se escriban los elementos. Es decir, da lo mismo a,b que b,a. O sea que a,b=b,a. Debemos hablar más bien de la secuencia o sucesión K=(ek)1≤k≤n., que sabemos, según 3.1.10, se trata de una restricción de un elemento de VN, al

388

conjunto 1,2, ...n. Es decir K es una función de 1,2, ...n en V, definida como K(i)=ei, Además a la sucesión (aj, ...,an), la escribiremos como (ak)j≤k≤n. Con esta notación vamos a plantear las siguientes definiciones: Definición 8.3.27. Si s= (ak)1≤k≤n, es una sucesión de vectores del espacio vectorial V sobre F, diremos que b∈V es una combinación lineal de s, si existe una sucesión (γk)1≤k≤n de

elementos de F tales que b=∑=

n

k 1kkaγ

Generalicemos la definición anterior de la siguiente manera: Definición 8.3.28. Sean V un espacio vectorial sobre F, S⊂V, S≠∅, y b∈V. Diremos que b es una combinación lineal de S, si existe s= (ak)1≤k≤n, sucesión de vectores de S, tal que b es una combinación lineal de s. Podemos interrogarnos sobre que relación existe entre la afirmaciones: “v∈V es una combinación de S =a1, ..., an ”, y “v∈V es una combinación lineal de la sucesión s= (ak)1≤k≤n.” Veamos: Si v∈V es una combinación lineal de la sucesión s=(ak)1≤k≤n, de vectores del espacio vectorial V sobre F, entonces de acuerdo a la definición anterior v es una combinación lineal de S=a1, ..., an. Recíprocamente, si v∈V es una combinación lineal de S=a1, ..., an, entonces según la definición anterior, existe una sucesión t= (bk)1≤k≤m de elementos de S tal que v es una combinación lineal de t. Pero se trata de verificar que v es una combinación lineal de la sucesión s= (ak)1≤k≤n. Miremos un caso particular para formarnos una idea sobre como proceder en general. Sea S=a,b,c,d es un conjunto con 4 elementos y supongamos (ak)1≤k≤7 = (a,b,a,c,b,d,b), (bk)1≤k≤5=(c,a,d,a,c) y v=α1c+α2a+α3d+α4a+α5c. Se trata de escribir al vector b como combinación lineal de (ak)1≤k≤7. Vamos tomar ordenadamente cada término de la sucesión (ak)1≤k≤7, para ir transformando al vector v en una transformación lineal de la sucesión de vectores (ak)1≤k≤7. Iniciamos con a1=a, y observamos que b2=b4=a, de tal manera que v = (α2 + α4)a + α1c + α3d+α5c.Situación que nos permite considerar β1=α2+α4 y obtener que v = β1a + α1c +α3d+α5c. En seguida notamos que a2=b∉c,a,d=b1, ...,b5, razón para considerar que β2=0 y escribir v=β1a+β2b+ α1c+α3d+α5c.

389

Al abordar a3=a, vemos que ya él ha sido considerado cuando tratamos a1, y por ello debemos notar β3=0. De esta manera obtenemos que v=β1a+β2b+β3a+α1c+α3d+α5c. Como a4=c∈c,a,d y a4=c1=c5, tenemos que si β4=(α1+α5), entonces v=β1a+β2b+β3a+β4c+α3d. Para a5=. b∉c,a,d, y por tanto si β5=0, entonces v=β1a+β2b+β3a+β4c+β5b+α3d. Ahora a6=b3=d∈c,a,d y por lo tanto, si consideramos β6= α3, obtenemos: v=β1a + β2b + β3a+β4c+β5b+β6d. Por último a7=b, que ya fue tenido en cuenta en a2, y así si β7=0, entonces v=β1a+β2b+β3a+β4c+β5b+β6d +β7b. Se ha logrado concluir que v=α1c+α2a+α3d+α4a+α5c=β1a+β2b+β3a+β4c+β5b+β6d +β7b. Es decir, si v es una combinación lineal de la sucedió (bk)1≤k≤5=(c,a,d,a,c), entonces también b es una combinación lineal de la sucesión (ak)1≤k≤7 = (a,b,a,c,b,d,b) Retomando a la línea general, si V es un espacio vectorial sobre F y v∈V es una combinación lineal de la sucesión (bk)1≤k≤m de elementos del conjunto S=a1, ... ,an⊂V., entonces de acuerdo a la Definición 8.3.26, existe una sucesión (αi)1≤i≤m de elementos de F tal que v=α1b1+ … + αnbm Pero los ak∈S, se clasifican inicialmente de la siguiente manera o ak∈b1, ...,bmo ak∉b1, ...,bm A su vez en la opción ak∈b1, ...,bm, hay dos posibilidades, o ak es el primero término que ocurre con ese valor en la sucesión (ak)1≤k≤n. Es decir ak≠aj, para cualquier j∈ℕ, tal que 1≤j<k. ( es el caso de a1=a, a4=c y a6=d). O ak no es el primer término con ese valor en dicha sucesión O equivalentemente ak=ai, para algún i∈ℕ tal que 1≤i<k.( así sucede con a3=a y a5 = a7=b) Si ak∈b1, ...,bmy ak≠aj, para cualquier j∈ℕ, tal que 1≤j<k., entonces ak =bi, para algún i∈N tal que 1≤i≤m. Esto permite definir βk= ∑

= kaibiα

Si ak∈b1, ... ,bm y ak=ai, para algún i∈ℕ tal que 1≤i<k., entonces si j es el mínimo de tales i, tendríamos que el término αk está incluido en los sumandos βj, razón para considerar que βk=0. Si ak∉b1, ...,bm, entonces definamos βk=0. De tal manera que si

βk=⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤=∉

∑=

<≤≠

ki1 que talialgún para ,ibka o mb, ... ,1bka si 0,kaib

ki1 que siempre ,iaka si iα

se tiene que b=∑=

m

1kkk bα =∑

=

n

1ikkaβ . O sea que b es una combinación lineal de la sucesión

(ak)1≤k≤n.

390

De esta manera hemos probado el siguiente teorema: Teorema 8.3.29. Si V es un espacio vectorial sobre F, v∈V y (ak)1≤k≤n es una sucesión de vectores de V, entonces v es una combinación lineal de la sucesión (ak)1≤k≤n, si y solo si v es una combinación lineal del conjunto S=a1, ..., an. La siguiente definición plantea lo que entendemos por el conjunto generado por una sucesión de vectores. Definición 8.3.30. Si V es un espacio vectorial sobre F y s=(ak)1≤k≤n es una sucesión de vectores de V, entonces el generado por s, notado <s>, es el conjunto de todas las combinaciones lineales de s. O sea que <s>=α1a1+ … +αnan / α1, , αn∈F 8.3.31. Si V es un espacio vectorial sobre F y s=(ak)1≤k≤n es una sucesión de vectores de V, entonces <s>=<a1, ...,an>. Ello es consecuencia inmediata de la definición anterior y del Teorema 8.3.29. Ahora vale la pena plantear los conceptos de dependencia e independencia lineal en términos de sucesiones de vectores. Definición 8.3.32. Si V es un espacio vectorial sobre F y S⊂V, entonces S es linealmente dependiente, si existen s=(ak)1≤k≤n , sucesión de vectores de S, con n≥2, y una sucesión γ=(αi)1≤i≤n, de elementos de F, no todos iguales a cero, (o sea que αj≠0, para algún j∈[1,2, ... ,n) tales que α1a1+ … +αnan=0. ii) S es linealmente independiente, si S no es linealmente dependiente. Pero si S=v, entonces S es linealmente dependiente, si v=0; y S es linealmente independiente, si v≠0 o S=∅. El siguiente teorema de caracterización de la independencia lineal de vectores, es de verificación inmediata. (Ver Ejercicio 8.4.11). Teorema 8.3.33. Si V es un espacio vectorial sobre F, y s=(ak)1≤k≤n es una sucesión de vectores de V, entonces S=a1, ...,an, es linealmente independiente, si y solo si para toda para toda sucesión t=(bk)1≤k≤m de vectores de S y para toda sucesión (αk)1≤k≤m, de elementos de F, si α1b1+ … +αmbm=0, entonces αi=0, para todo i∈ℕ, con 1≤i≤n. Estamos ahora en condiciones para definir base ordenada finita de un espacio vectorial. Definición. 8.3.34. Si V es un espacio vectorial sobre F y s= (ak)1≤k≤n, es una sucesión de vectores de V, diremos que s es una base ordenada de V sobre F, si S=a1, ...,anes una base para V sobre F. 8.3.35. Observe que si V es un espacio vectorial sobre F, entonces S=a1, ...,anes una base para V sobre F, si y solo si cualquier sucesión de n vectores diferentes de S es una base ordenada para V sobre F.

391

En efecto, si S =a1, ...,an es una base de V sobre F y (bk)1≤k≤n, es una sucesión de n vectores diferentes entre si de S, entonces S=a1, ...,an=b1, ... ,bny por lo tanto b1, ... ,bn es una base para V sobre F, lo cual, según la definición anterior, implica que (bk)1≤k≤n, es una base ordenada para V sobre F. Recíprocamente, si t= (bk)1≤k≤n, es una sucesión de n vectores diferentes entre si de S=a1, ...,an, tal que t es una base ordenada para V sobre F, entonces de acuerdo a la definición anterior, T=b1, ...,bn es una base para V sobre F. Pero como T=S, obtenemos que S es una base para V sobre F. Con la nueva terminología, los resultados demostrados en 8.3.14, 8.3.16, 8.3.19, 8.3.20, 8.3.21, y 8.3.22, cobran la siguiente forma: 8.3.36. Si V es un espacio vectorial sobre F y s= (ak)1≤k≤n, es una sucesión de vectores de V, entonces s base ordenada de V sobre F si y solo si ningún subconjunto propio de S=a1, ...,an es un generador de V, y por lo tanto no es una base de V. 8.3.37. Si V es un espacio vectorial sobre F y S=a1, ...,an es un generador de V, entonces S contiene una base ordenada de V. 8.3.38. Si V es un espacio vectorial sobre F, s=vk1≤k≤n es una base ordenada de V, con n elementos y T=wk1≤k≤m es una sucesión de vectores linealmente independiente, entonces para cada k∈ℤ, con 1≤k<n, existen vik+1,..., vin ∈S=v1, ...,vn tales que (w1,...,wk,vik+1,..., vin) es una base ordenada para V. 8.3.39. Si V es un espacio vectorial sobre F, s=vk1≤k≤n es una base ordenada de V, con n elementos, entonces cualquier sucesión de vectores de V linealmente independiente con n elementos es una base ordenada de V. 8.3.40. Si V es un espacio vectorial sobre F y s es una base ordenada de V con n elementos, entonces n es el mayor número de vectores linealmente independiente en V. 8.3.41. Si V es un espacio vectorial sobre F y s es una base ordenada de V con n elementos, entonces dos base ordenadas de V tienen el mismo número de elementos. Entonces el concepto de dimensión definido en 8.3.23, adopta la siguiente forma: Definición 8.3.42. Diremos que un espacio vectorial V sobre F es de dimensión n, notado dimVF = n, si existe una base ordenada s= (ak)1≤k≤n.de V sobre F. Ahora ya estamos en condiciones de resolver la relación entre el espacio vectorial V sobre F y el espacio vectorial Fn sobre F. Al respecto demostraremos que se trata de espacio vectoriales isomorfos en el sentido definido en 8.2.15. Teorema 8.3.43. Si V es un espacio vectorial sobre F de dimensión n, entonces V≈Fn.

392

Demostración. Si (vk)1≤k≤n una base ordenada de V sobre F, entonces al considerar v∈V existirá una sucesión (αi)i≤1≤n, de escalares de F tal que v=α1v1+ … +αnvn .Expresión que muestra la posibilidad de que f definida de V en Fn como f(v)=f(α1v1+ … +αnvn)=(α1, ...,αn) corresponda al homomorfismo biyectivo requerido para concluir que V≈Fn. Evidentemente f es una función de V en Fn. Además f es inyectiva, porque si (α1, ... ,αn)=(β1, ..., βn), entonces α1=β1, ...,αn=βn y por consiguiente α1v1+ … +αnvn =β1v1+ … +βnvn. También f es sobreyectiva, ya que cualquier (α1, ... ,αn)∈ Fn es imagen de v=α1v1+ … +αnvn ∈V, según f. Si v= α1v1+ … +αnvn y w=β1v1+ … +βnvn son vectores de V, entonces f(v+w) = f ((α1 +β1) v1 + (α2+ β2)v2 + …+(αn +βn) vn) = (α1+β1, ... , αn+βn) = (α1, ... , αn)+(β1, ... ,βn) = f(v)+f(w).

Por último, f(αv)=f(α(α1v1+ … +αnvn ))=f(αα1v1+ … +ααnvn ) = (αα1, ... ,ααn)=α(α1, ...

,αn) = αf(v). Luego F es un isomorfismo de V sobre Fn y por lo tanto: V≈Fn

8.4. EJERCICIOS

8.4.1. Si S=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,2,3)⊂ℝ3, demuestre que no es posible encontrar v,w∈S, v≠w, y α∈F, α≠0, tales que v=αw. 8.4.2. Si V es un espacio vectorial sobre F y S⊂V, s=v1+ …+vn∈<S> y α∈F, demuestre que αs= αv1+ …+αvn ∈<S>

8.4.3. Demuestre que cualquier subconjunto K de ℝ2 linealmente independiente, con dos vectores, es tal que <K>=V..

8.4.4. Si α,β,γ,a2,a3,b2,b3∈ℝ tales que βa2+γa3=a1 y βb2+γb3=b1, demuestre que

β=2332

1331

babababa

−− y γ=

2332

2112

babababa

−− , satisfacen las dos igualdades anteriores

8.4.5 En 8.3.11 demuestre que si b3=0, entonces b1≠0 y b2≠0 y en consecuencia b2(a1,b1)-

b1(a2,b2)+ 3

1221

ababa − (a3,0).

393

8.4.6 Nuevamente en 8.3.11 demuestre que si 3

2

aa =

3

2

bb , , entonces los vectores v y w son

linealmente dependientes. También demuestre que si. a1b3=a3b1, se tendría que los vectores u y w serían linealmente dependientes. Y análogamente a2b1-a1b2≠0. 8.4.7 Demuestre que S= (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) es linealmente independiente,.y que ℝ3 =<S>. Además demuestre que si T = e1 , e2 o T=e1,e3o T=e2,e3, entonces T es linealmente independiente, con la particularidad de que <T>≠ ℝ3, puesto que el vector (1,1,1)∈R3 y sin embargo (1,1,1)∉ <T>. Análogamente compruebe que si U =e1 o U=e2 o U=e3, entonces U un linealmente independiente de ℝ3, pero ≠ ℝ3.. 8.4.8. Si b,c,f∈ℝ tales que (b,c)≠λ(e,f), siempre que λ∈ℝ , demuestre αb+βe=0 y αc+βf=0, si y solo si α=β=0. 8.4.9. Demuestre que si K=⊂ ℝ3, entonces <K>≠ ℝ3 8.4.10. Si V es un espacio vectorial sobre F y S⊂V tal <S>=V y v∈<S>, entonces <S-v> = V 8.4.11. Demuestre el Teorema 8.3.33. 8.4.12. Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Si ℝ es elconjunto de los números reales, V= ℂℂ2 , ℂℂ =números complejos, y definimos * en ℝxV como c*(a,b)=(ac,bc), donde el producto en ac y bc, es el producto usual de un real por un complejo, entonces ℂℂ 2 es un espacio vectorial sobre ℝ ℂ.

ii) Si ℝ es elconjunto de los números reales, M= ℝ2, entonces es posible definir un espacio vectorial de V sobre R. iii) Si V es un espacio vectorial sobre F y S⊂V tal que 0∈S, entonces S es linealmente independiente. iv) Si V es un espacio vectorial sobre F y S⊂V tal que 0∈S, entonces S es linealmente dependiente. v) Si V es un espacio vectorial sobre F y S⊂V tal que 0∉S, entonces S es linealmente independiente. vi) Si V es un espacio vectorial sobre F y S⊂V tal que S=v, entonces S es linealmente independiente. vii) Si V es un espacio vectorial sobre F y S⊂V tal que 0∉S y S=ventonces S es linealmente independiente. viii) Si V es un espacio vectorial sobre F y S⊂V tal que S=∅, entonces S es linealmente independiente. ix) Si V es un espacio vectorial sobre F y S⊂V tal que S=∅, entonces S es linealmente dependiente x) Si V es un espacio vectorial sobre F y S es una base de V, entonces S es linealmente dependiente.

394

xi) Si V es un espacio vectorial sobre F y S es una base de V, entonces S es linealmente independiente.

xii) Si V es un espacio vectorial sobre F y S es una base de V, entonces S es finito.

xiii) Si V es un espacio vectorial sobre F y S es una base de V, entonces 0∈S.

xiv) Si V es un espacio vectorial sobre F y S es una base de V, entonces S es infinito.

xv) Si V es un espacio vectorial sobre F y S es una base de V, tal que S tiene n elementos, entonces n es el menor número de vectores linealmente independiente en V.

xvi) Si V es un espacio vectorial sobre F y S es una base de V, tal que S tiene n elementos, entonces n es el mayor número de vectores linealmente independientes. xvii) Si V es un espacio vectorial sobre F y S⊂V, entonces existe T⊂V tal que T es linealmente independiente y S∪T es una basede V. xvii) Si V es un espacio vectorial sobre F y S⊂V, tal que S es linealmente independiente, entonces existe T⊂V tal que T es linealmente independiente y S∪T es una basede V. xix) Si V es un espacio vectorial sobre F y S es una base de V con n elementos, entonces cualquier base de V tiene n elementos. xx) Si V es un espacio vectorial sobre F de dimensión finita, entonces V tiene una única base.

395

CAPÍTULO 9. EXTENSIONES DE CAMPOS.

9.1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES ELEMENTALES 9.1.1 De la Definición 3.4.8 conocemos cuando un anillo A es una extensión de un anillo B. Trabajaremos con la siguiente versión de esa definición en campos.

Definición 9.1.2 Si F y K son campos, diremos que F es un campo extensión de K, si K es un subanillo de F.

Ejemplo 9.1.3: Dada la cadena ascendente de campos: Q⊂ℝ⊂ ℂℂ, y teniendo en cuenta que el anillo de los racionales es un subanillo del anillo ℝ de los reales, que ℝ es un subanillo del anillo de los complejos ℂℂ, se deduce que ℂℂ es un campo extensión de ℝ y . Además ℝ es un campo extensión de . Ejemplo 9.1.4. Si F es un campo, ℤ es el conjunto de los enteros y K=n1|n∈ℤ, (donde 1 es elemento unitario de F) entonces F es un campo extensión de K. El campo K es conocido como el subcampo primo de F. Además, al considerar el Problema 3.2.27., se tendrá que CF=0 o CF=p, con p∈ℤ + y p un primo en ℤ. En consecuencia K≈ ℤ o K≈ ℤ p. (Ver Ejercicio 9.2. 1). De la extensión ℂℂ de ℝ, sabemos que la ecuación x2+1=0 no tiene solución en ℝ, pero que i∈ ℂℂ sí es solución de dicha ecuación. En general veremos que si F es un campo y f(x)∈F[x] con f(x) no constante, entonces es posible encontrar una extensión K de F tal que existe α∈F solución, o raíz, de f(x)=0. Afirmación que basta comprobar para polinomios irreducibles en F[x], en vista de que según el Teorema 4.14.37 todo polinomio no constante de F[x] se puede expresar como un producto finito de polinomios irreducibles en F[x], y porque además cualquier raíz o solución de p(x)=0, donde p(x) es un factor de f(x), también lo es de f(x)=0. 9.1.5- De acuerdo con 8.1.23, sabemos que si E es un campo extensión de un campo F, entonces E es un espacio vectorial sobre F al considerar <E,+> y el producto de E como la acción de E sobre F. Además la dimensión de dicho espacio vectorial la notaremos como [E:V] Teorema 9.1.6 Si F es un campo y p(x) es un polinomio irreducible de F[x] con o(p(x)=n>0, entonces existe una extensión E de F tal que:i) es posible encontrar β∈E solución de la ecuación p(x)=0 y ii) T=1,β, ...,βn-1 es una base de E sobre F. Es decir E=α0⊕α1oβ⊕α2β2 ⊕...+αn-1oβn-1/α0,α1, ..., αn-1∈F.

396

Demostración. Si p(x) fuera un polinomio de grado 1 en F[x], o equivalentemente, si p(x)=ax+b, con a,b∈F y a≠0, entonces β=-a-1b∈F es tal que p(β)=0. Y en este caso la extensión de F sería F. Pero si p(x)=a0+a1x+ ... +anxn y o(p(x))≥2, como de todas maneras p(x) es un polinomio irreducible en F[x], tendremos de acuerdo al Teorema 4.14.39 que I=<p(x)> es un ideal maximal de F[x], y en consecuencia, según el Teorema 6.3.12, V=F[x]/I es un campo. Así las cosas el Teorema 6.2.1 garantiza la existencia de un homomorfismo s de F[x] en V definido como s(p(x))=I+p(x). Entonces al considerar a w =s|F como la restricción de s al campo F, se obtiene que w un homomorfismo del campo F en V, definido para a∈F como w(a)=I+a. De tal manera que al considerar el Problema 4.8.10,. se deduce que o w es el homomorfismo nulo o w es inyectivo. En consecuencia, dado que no puede ser nulo porque w(1)=V+1≠V, puesto que 1∉V (Ver Ejercicio 9.2.2), se deduce que w es inyectivo. Razón para concluir que F≈w(F)⊂V La existencia del isomorfismo w de F en V sugiere, según el Teorema 3.4.9, la existencia de un campo E=F∪K´, E extensión de F tal que E≈V. De tal manera que g(e) = h-1(e), si e∈E, con h(x)=x, si x∈K´o h(x)=w-1(x), si x∈w(F), es de acuerdo a lo demostrado en dicho Teorema un isomorfismo de E sobre V, donde K´=x∈V/x∉w(F). Por lo tanto, ya que g es sobre, y como α=1+x∈V, se deduce la existencia de β∈E tal g(β)=α, y por consiguiente, si (x)p =(I+a0)+...+(I+an)xn, entonces p (g(β))= p (α)=I (Ver Ejercicio 9.2.3); y por ende (I+a0)+...+(I+an)(g(β)n=I. O sea que I+a0+…+an(g(β)n=I, lo cual implica que a0+…+an (g(β)n∈I , y ya que la única constante en I es 0, se deduce que a0+…+an

(g(β)n=0. Teniendo en cuenta ahora que g(β)=α, obtenemos que β∉F, porque Si β∈F, entonces g(β)=I+β y por lo tanto como α=I+x tenemos que I+β=I+x. Luego x-β∈<p(x)> Es decir existe h(x)∈F[x] tal que x-β=h(x)p(x), y esto no es posible por que o(p(x))>2. Luego β∈K´, razón para deducir que g(β)=β y así como p (g(β))=I, obtenemos que p (β)=I. O sea que I+p(β)=I, lo cual implica que p(β)∈I. Pero como I es un ideal maximal de F[x], el único elemento constante de I es 0. Luego p(β)=0, para algún β∈E. Al observar a <E, ⊕> como un espacio vectorial sobre F, según 8.1.23, e intentar buscar una base para dicho espacio vectorial, notamos que si I+f(x)∈K´, entonces de acuerdo al Teorema del Residuo (2.5.4), existen c(x), r(x)∈F[x] tales que f(x)=c(x)p(x)+r(x), donde r(x)=0 o 0<o(r(x)<o(p(x). Por lo tanto I+f(x)=I+r(x)=I+(ao+a1x+...an-1xn-1), donde a0, ..., an-1∈F . Esto permite deducir que I+f(x)=a0⊕a1o(I+x) ⊕...⊕an-1o(I+xn-1), con ⊕ y o tal como se definieron en la demostración del Teorema 3.4.9.

397

En consecuencia tenemos que T=1,I+x, ....I+xn-1 es tal que <T>=E, restando solamente probar que T es linealmente independiente sobre F, para concluir que T es una base del espacio vectorial E sobre F. En consecuencia supongamos que b0 ⊕b1o(I+x) ⊕...⊕bn-1(I+xn-1)=0, entonces b0 ⊕(I+b1x) ⊕...⊕ (I+ bn-1xn-1)=0. Por tanto, según la definición ⊕ obtenemos que (I+bo)+(I+b1x)+…+(I+bn-1)xn-1=I. Luego I+bo+...+bn-1xn-1=I, implicando ello que bo+...+bn-1

xn-1 ∈I, y por tanto b0=b1= ...=bn-1=0. Luego T=1,I+x, ....I+xn-1es linealmente independiente sobre F, indicando ello que E=α0⊕α1oβ⊕α2β2 ⊕...⊕αn-1oβn-1/α0,α1, ..., αn-1∈F. con α=I+x 9.1.7. Al haber comprobado en el desarrollo de la demostración anterior que E≈F[x]/ <p(x)> se muestra la posibilidad de trabajar en el campo V=F[x]/<p(x)>, para eludir el manejo de las operaciones ⊕ y o de E. Al respecto, si a,b∈E, entonces sabemos que por ser E==F∪K´, se presentan las siguientes opciones: a,b∈F, o a,b∈K´, o a∈F y b∈F∈K´, o a∈K´ y b∈F. En vista de que en las dos primeras alternativas a⊕b y aob se desarrollan según las operaciones de F y V, respectivamente, vale la pena mirar la tercera posibilidad puesta que la cuarta se desarrolla de manera análoga intercambiando b por a y a por b. Por lo tanto, si a∈F y b∈K´, entonces b=I+f(x), para algún f(x)∈F[x] y así a⊕b=(I+a)+I+f(x)=I+(a+f(x) y análogamente aob=I+af(x); donde las peraciones en a+f(x) y af(x) son la suma y el producto en F[x]. Todo esto comprueba la validez de trabajar con F[x]/<p(x)> en vez de E. De todas manera el siguiente teorema, propuesto como ejercicio (Ver Ejercicio 9.2.4) garantiza la validez del teorema anterior trabajando con V en vez de en E. Teorema 9.1.8. Sean E y V campos tales que E≈V, entonces i) Si f es el isomorfismo de E sobre V y p(x)=a0+a1x+ ... +anxn∈E[x], entonces p(x)=0 tiene solución en E, si y solo si

(x)p = f(a0)+f(a1)x+ ... +f(an)xn=0, tiene solución en V. ii) Si E y es una extensión de un campo F, entonces [E:F]=n, si y solo si [V:f(F)]=n. 9.1.9. Nuevamente considerando la situación en V=F[x]/I tal como se plateó en 9.1.7, conociendo la suma y el producto de clases en V planteadas en el Capítulo 6, es importante determinar como serían esas operaciones en la nueva presentación de V. En tal sentido, si f(x), g(x)∈F[x], entonces ¿cómo se escriben (f(x)+<p(x)>)+( g(x)+<p(x)) y (f(x)+<p(x)>)( g(x)+<p(x)) en términos de la base T?. En efecto, según el Teorema 4.14.1, se tiene que f(x)+g(x)=c(x)p(x)+r(x) y f(x)g(x)=d(x)p(x)+q(x), donde c(x),r(x),d(x),q(x)∈F[x], r(x)=0 o o(r(x)<n, y q(x)=0 o o(q(x))<n. En consecuencia (f(x)+<p(x)>)+(g(x)+<p(x))=<p(x)>+r(x) y (f(x)+<p(x)>) (g(x)+<p(x)>) = <p(x)>+ q(x) Por lo tanto los residuos adoptan la siguiente forma: r(x)=c0+c1x+ ... +cnxn-1 y q(x)= d0+d1x+ ... +dnxn-1, c0,c1, ... cn, d0,d1, ... ,dn∈F, y así (f(x)+<p(x)>)+(g(x)+<p(x)>)= c0+c1x+ ... +cnxn-

398

1+<p(x)>= c0+c1(x+<p(x)>)+ ... +cn (x+<p(x)>)n-1=c0+c1α+ ... +cnαn-1 y análogamente (f(x)+<p(x)>)(g(x)+<p(x)>)= d0+d1α+ ... +dnαn-1. Abreviadamente el proceso anterior se simboliza de la siguiente manera f(x)+g(x)≡r(x) mod p(x) y f(x)g(x)≡q(x) mod p(x), donde r(x) es el residuo de dividir f(x)+g(x) entre p(x) y q(x) es el residuo de dividir f(x)+g(x) entre p(x). Así hemos demostrado el siguiente resultado: Corolario 9.1.10. Si F es un campo, p(x)∈F[x] tal que p(x) es irreducible en F[x], entonces i)α=x+<p(x)> es una raíz en V=F[x]/<p(x)>de (x)p = f(a0)+f(a1)x+ ... +f(an)xn , donde f es un isomorfismo de Fx] sobre V.; ii) T=1,α, ... ,αn-1 es una base de V sobre F y en consecuencia V=b0+b1α+ ... +bnαn-1/ b0 ,b1, ... ,bn∈F; iii) Si h(x),g(x)∈F[x], entonces h(x)+g(x)≡r(x) mod p(x) y h(x)g(x)≡q(x) mod p(x), donde r(x) es el residuo de dividir h(x)+g(x) entre p(x) y q(x) es el residuo de dividir h(x)g(x) entre p(x). Ejemplo 9.1.11. Al considerar el polinomio p(x)=x2+1∈ℝ[x], notamos en primer lugar que la ecuación p(x)=0 no tiene solución en ℝ, y por lo tanto de acuerdo al Corolario 6.6.13 p(x) es irreducible en ℝ[x]. Pero de acuerdo al resultado i) anterior α=x+<p(x>∈ℝ[x]/<p(x)> es tal que α2+1=0, y además según la conclusión ii) del aludido resultado , se tiene que T=1,α es una base de V como espacio vectorial sobre R. Es decir, V=a+bα/a,b∈ℝ. No es difícil comprobar que la función ξ de V en ℂ=conjunto de los números complejos, definida como ξ(a+bα)=a+bi, es un isomorfismo de V sobre ℂ. Es decir: V≈ℂ. Ejemplo 9.1.12. El polinomio f(x)=x3-2x-2 es según el Corolario 6.6.27 irreducible en Q[x] y en consecuencia por ser de grado 3 el Corolario 6.6.13 indica que f(x) no tiene raíces en Q. Por esa razón el Corolario 9.1.10 indica que f(x) tiene una raíz α∈V= [x]/<f(x)> =a+bα +cα2/ a,b,c∈ …

Es interesante calcular :i) (1+α)(1+α+α2) y ii) 2αα1α2

+++ . En efecto: (1+α)(1+α+α2)=

1+2α+2α2+α3, pero como α es raíz de f(x) tenemos que α3-2α-2=0, y por lo tanto α3=2α+2. En consecuencia (1+α)(1+α+α2)= 1+2α+2α2+α3=1+2α+2α2+2α+2= 1+4α+2α2. ii) En primer lugar al plantear (1+α+α2)(a+bα+cα2)=1 y tener en cuenta que α3=2α+2, obtenemos que a+2b+(a+3b+4c) α+(a+b+3c) α2=1.Es decir a+2b=1, a+3b+4c=0 y a+b+3c=0. Se obtiene entonces un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas cuyas

soluciomes son a=5/7, b=1/7 y c=-2/7. Entonces 71 (1+α+α2)(5+α-2α2)=1 y por lo tanto

(1+α+α2)-1=71 (5+α-2α2).Lo cual indica que 2αα1

α2++

+ = 71 (5+α-2α2)(2+α )= -

73 (2+α-α2)

399

Definición 9.1.13. Si F y K son campos y α1, ...,αn∈K, entonces: i) al menor campo que contiene a F y a α1, ...,αn, lo notaremos como E=F(α1, ...,αn). ii) En particular si E=F(α) se dice que E es una extensión simple de F. 9.1.14. Si F es un campo y p(x)∈F[x] tal que p(x) es un polinomio irreducible en F[x] de grado n, tomamos la decisión en 9.1.7 de trabajar con V=F[x]/<p(x)> en vez de la extensión K de F construida en el Teorema 9.1.6. Pero si sabemos que E es una extensión de F y α∈E tal que α es una raíz de p(x), el siguiente teorema plantea una relación interesante entre V y F(α). Teorema 9.1.15. Si F es un campo, E es una extensión de F y α∈E tal que α es raíz del polinomio irreducible en p(x) en F[x], entonces V=F[x]/<p(x)>≈F(α). Además F(α) = a0+ a1α+ ..,.+an-1αn-1/ a0,a1, ..,.,an-1∈F. Demostración. En primer lugar es evidente que la función Ψ de F[x] en F(α) definida para g(x) = a0+ .. +akxk∈F[x] como Ψ(g(x))= a0+ .. +akαk, es un homomorfismo de anillos de núcleo <p(x)> (Ver Ejercicio 9.2.6). En consecuencia dado que Ψ(F[x])⊂F(α) y además como Ψ(F[x]) es un campo tal que F⊂Ψ(F[x]) y α∈Ψ(F[x]), entonces como de acuerdo con la Definición 9.1.13 F(α) es el menor campo que contiene a F y a α, entonces F(α)=Ψ(F[x]) y por tanto Ψ es un homomorfismo sobreyectivo de anillos, razón para deducir según el Corolario 6.2.3 que F(α)≈F[x]/<p(x)>. Por último como en 9.1.7 resaltamos que E≈F[x]/ <p(x)>, donde E=a0⊕a1oα⊕a2α2 ⊕...+an-

1oαn-1/a0,a1, ..., an-1∈F con α=<p(x)>+x, se deduce que E≈F[x]/<p(x)>≈F(α), y por lo tanto E≈F(α), mediante la aplicación que transforma a0⊕a1oα⊕a2α2 ⊕...⊕an-1oαn-1, en a0+a1α+a2α2 +...+an-1oαn-1

Ejemplo 9.1.16. Es evidente que el polinomio p(x)=x3+x+1 es irreducible en ℤ 2, puesto que p(0)=1 y p(1)=1, en ℤ2. Es decir p(x) no tiene raices en ℤ2, y como p(x) es de grado 2, el Corolario 6.6.13 indica que p(x) es irreducible en ℤ2. En consecuencia, de acuerdo al Corolario 9.1.10 p(x) tiene una raíz α∈ℤ2[x]/<p(x)> y además según el Teorema anterior ℤℤ 2[x]/<p(x)>≈ℤ 2(α)=a+bα+cα2/a,b,c∈ℤ 2. Por supuesto que al ser α raíz del polinomio p(x), se infiere que α3+α+1=0, lo cual implica que α3=-α-1=α+1, puesto que en ℤ2 se tiene que –1=1. Este resultado plantea enseguida averiguar quienes son los elementos de K=αn/n∈ℤ.Es decir quienes son las potencias de α. Al respecto tenemos α4=α2+α, α5=α3+α2=α+1+α2, α6=α2+α+α3=α2+α+α+1=α2+1 y α7=α3+α=α+1+α=1. De tal manra que K=1,α,α2,α3,α4,α5,α6. De otra partre note que ℤ2(α)=a + bα + cα2/a,b,c∈ℤ2=0, 1, α, α2,1+α, α+α2, 1+α+α2

,1+α2 =0,1,α,α2,α3,α4,α5,α6. Luego K=(ℤ 2(α))*

400

Ejemplo 9.1.17. Desde el Capítulo 1 nos hemos venido refiriendo al conjunto K = a+b 2 /a,b∈ . Ahora podemos entender que K= (√2), puesto que al considerar el polinomio p(x)=x2-2∈ [x], entonces como √2∈ℝ, aplicando el Teorema anterior

obtenemos que (√2)≈ ℚ [x]/<p(x)> y además (√2)=a+b√2/a,b∈ . Respecto del polinomio p(x)=x2-2, observe que también α=- 2 es una raíz de p(x) y que en

consecuencia (-√2)=a-b√2/a,b∈ . Además ℚ(√2)≈ ℚ(-√2), puesto que la función ϕ de

ℚ(√2) en ℚ(-√2) definida como ϕ(a+b √2)=a-b√2 es un isomorfismo de anillos (Ver Ejercicio 9.2.7). El resultado anterior lo generaliza el siguiente teorema, que además amplia lo planteado en el Teorema 9.1.8. Teorema 9.1.18. Sean ϕ un isomorfismo de anillos del campo F sobre el campo F´, p(x)∈F[x] un polinomio irreducible en F[x], p´(x) el polinomio obtenido a partir de p(x) aplicando ϕ a los coeficientes de p(x), α una raíz de p(x) en alguna extensión de F y β una raíz de p´(x) en alguna extensión de F´ , entonces existe un isomorfismo de anillos de F(α) en F(β) que envía α en β. Demostración. La función γ de F[x] en F´[x] definida para f(x)=a0+...+akxk∈F[x] como γ(f(x))=ϕ(a0)+ ... +ϕ(ak)xk es un isomorfismo de anillos (Ver Ejercicio 9.2.8), entonces dado que I´=<p´(x> es un ideal de F´(x) tal que γ-1(I´)=<p(x)>=I el Corolario 6.2.4 implica F[x]/I≈F´[x]/I´. En esta situación, según el Teorema anterior, F(α)≈F[x]/I y F´[x]/I´≈F´(β) el Teorema 3.4.4 garantiza que F(α)≈F´(β). Por último, si p(x)=b0+ ... +bnxn, entonces el isomorfismo correspondiente a F(α)≈F´(β), es obtenido mediante la siguiente composición: si r0, ...,rn-1∈F, entonces r0+ ...+rn-1αn-1 →I+ (r0+ ...+rn-1xn-1)→I´+ (ϕ(r0 )+ ...+ϕ(rn-1 )xn-1)→ϕ(r0 )+ ...+ϕrn-1 )β n—1. Es decir, r0 + ...+ 1nr − αn-1→ ϕ(r0 )+ ...+ ϕ(rn-1) βn-1 . Por lo tanto α→ϕ(1)β=β. Ejemplo. 9.1.19. Al considerar p(x)=x3-2∈Q[x] se sabe que no tiene raíces en ℚ y por ser de

grado 3 es irreducible en ℚ y α= 3 2 ∈ℝ es una raíz de p(x).En consecuencia

ℚQ( 3 2 )=a+b 3 2 +c( 3 2 )2/a,b,c∈ℚ, pero como 3 22

3i1 +− y 3 22

3i1 −− son

raíces en ℂ de p(x), entonces según el teorema anterior ℚ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−2

3i12 3 ≈ ℚ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−2

3i12 3 , mediante un isomorfismo tal que 3 22

3i1 +− → 3 22

3i1 −− .

401

9.2. EJERCICIOS. 9.2. 1. Si F es un campo y K=n1|n∈ℤ, demuestre que K es un campo talque K≈ℤ o K≈ ℤp. 9.2.2. Si D es un dominio entero, p(x)∈D[x] tal que o(p(x))>0 y c∈D, demuestre que c∈I=<p(x)> si y solo si c=0. 9.2.3. Si F es un campo y p(x)=a0+ ... +anxn∈F[x] tal que p(x) es irreducible en F, demuestre que si I=<p(x)>y se define (x)p =(I+a0)+...+(I+an)xn, entonces p (α)=I, donde α=1+x. 9.2.4. Demuestre el Teorema 9.1.8 9.2.5. En el Ejemplo 9.1.12 al considerar V= ℚ[x]/<f(x)> =a+bα+cα2/a,b,c∈ℚ, demostrar

:i)1+2α≡0mod f(x); ii) Demostrar que existen a,b,c∈ℚ tales que (a+bα+cα2) (1+2α)=1, iii) Demuestre que las ecuaciones a+4c =1; b+2 a+4c=0 y c+2b = 0, tiene como solución: a = -7/9 , b=-2/9 y c=4/9. 9.2.6. Si α∈K, demuestre que Ψ de F[x] en F(α) definida para g(x) = a0+ .. +akxk∈F[x] como Ψ(g(x))= a0+ .. +akαk, es un homomorfismo de anillos y si p∈F[x] tal que p(α)=0, entonces de núcleo de Ψ es <p(x)>, 9.2.7. Demuestre que ϕ de ℚ(√2) en ℚ(-√2) definida como ϕ(a+b√2)=a-b√2 es un isomorfismo de anillos. 9.2.8 Demuestre que si ϕ es un ismorfismos de F en F´,entonces la relación γ de F[x] en F´[x] definida para f(x)=a0+...+akxk∈F[x] como γ(f(x))=ϕ(a0)+ ... +ϕ(ak)xk es un isomorfismo de anillos.

9.3. EXTENSIONES ALGEBRAICAS. En la presente sección siempre K será una extensión de F. Definición 9.3.1. Si α∈K, se dice que α es algebraico sobre F, si existe p(x)∈F[x], p(x) no nulo, tal que α es una raíz de p(x). Si α no es algebraica sobre F, diremos que α es trascendental sobre F. Si cada elemento de K es algebraico sobre F, afirmaremos que K es una extensión algebraica de F 9.3.2. Obviamente si α∈F, entonces α es algebraico sobre, puesto que p(x)=x-α es tal que p(x)∈F[x] y p(α)=0. Además, si α es algebraico sobre F, entonces α es algebraico sobre

402

cualquier extensión L de F, puesto que si p(x)∈F[x] y p(α)=0, entonces como F⊆L, también p(x)∈L[x]. Ejemplo 9.3.3. α=√2∈ℝ es algebraico sobre ℚ, ya que α es raíz de p(x)=x2-2∈ℚ[x]. Pero el

polinomio p(x) no es el único polinomio en ℚ[x] que tiene como raíz a α. Por ejemplo

f(x)=x3-x2-2x+2∈ℚ[x] es tal que f(α)=0 y además se nota que g(x)=(x-1)p(x) tiene como raíz

a α. Más aún, en general todos los polinomios del tipo h(x)=g(x)p(x) con g(x)∈ℚ[x] cumplen que h(α)=0, puesto que p(α)=0. Pero de todas maneras el polinomio p(x), como polinomio mónico tal que p(α)=0, es el polinomio de esas características con el menor grado posible. El siguiente teorema demuestra que un polinomio en esas condiciones es único. Teorema 9.3.4. Si α∈K y α es algebraico sobre F, entonces existe un único polinomio mónico minimal m(x)∈F[x] tal que m(α)=0. Además si f(x)∈F[x] entonces f(α)=0, si y solo si m(x)|f(x). Demostración. Si α∈F, entonces el polinomio mónico minimal es m(x)=x-α∈F[x] .Si α∉F, entonces como hemos supuesto que α es algebraico sobre F, por la Definición 9.3.1, existe

f(x)∈F[x], f(x) no nulo, tal que f(α)=0. En estas condiciones o(f(x)) ∈ℤ+, ya que si no fuera así tendríamos que f(x)=c, y como f(α)=0, ello implicaría que c=0, contradiciendo así que f(x) es no nulo. En consecuencia K=n∈ℤ+/(∃h(x)∈F[x])(h(α)=0 ∧o(h(x))=n)≠∅, ya que o(f(x))∈K. Por tanto K tiene un elemento mínimo, garantizando así la existencia de un polinomio minimal p(x)∈F[x] no nulo tal que p(α)=0. A su vez p(x) puede transformarse en un polinomio mónico, porque si an es el coeficiente del término de mayor grado en F[x], entonces como an∈F, an≠0 y F es un campo tenemos que an

-1∈F, condición para que m(x)=an-

1p(x) sea un polinomio mónico minimal en F[x] tal que m(α)=0. Ahora el polinomio m(x) es único, porque si existiera otro polinomio mónico minimal n(x)∈F[x] tal que n(α)=0, entonces de acuerdo al Teorema 4.14.1 existen c(x),r(x)∈F[x] tales que m(x)=c(x)n(x)+r(x), donde r(x)=0 o o(r(x))<o(n(x)). Pero como m(α)=c(α)n(α)+r(α) y m(α)=n(α)=0, obtenemos que r(α)=0. Situación que por ser o(r(x))<o(n(x)), el carácter minimal de n(x), implica que r(x)=0. Luego m(x)=c(x)n(x) y al tener según el Lema 33..66..14 que o(m(x))=o(c(x))+o(n(x)), obtenemos que o(c(x))=0, puesto que o(m(x))=o(n(x)). Luego c(x) es un polinomio constante en F[x] y dado que m(x) y n(x) son polinomios mónicos y m(x)=c(x)n(x), se deduce que c(x)=1. Luego m(x)=n(x), garantizándose así la unicidad de m(x). Por último si f(x)∈F[x] es tal que f(α)=0, siendo f(x) no nulo, nuevamente recurriendo al Teorema 4.14.1 encontramos que existen d(x),s(x)∈F[x] tales que f(x)=d(x)m(x)+ s(x), donde s(x)=0 o o(s(x))<o(m(x)). Desigualdad que obliga por el carácter minimal de m(x) a que s(x)=0, ya que también s(α)=0. Luego f(x)=d(x)m(x) y por tanto m(x)|f(x).

403

Recíprocamente si m(x)|f(x), entonces por definición existe e(x)∈F[x] tal que f(x)=e(x)m(x) y así f(α)=0. Definición 9.3.5. Si α∈K y α es algebraico sobre F, entonces el polinomio m(x) del teorema anterior se le llama el polinomio minimal de α sobre F y el grado de m(x) es el grado de α sobre F, notado o(α). 9.3.6. Según la Definición anterior, se deduce que si p(x)∈F[x] y p(x) es un polinomio no nulo tal que p(α)=0, entonces o(α)≤o(p(x). Es obvio puesto que según la Definición anterior, o(α)=mink∈ℤ +/k=o(f(x)) con f(x)∈ F[x] y f(α)=0 Ejemplos 9.3.7. m(x)=x2-2 es el polinomio minimal de √2 sobre ℚ y n(x)= x3-2 es el

polinomio minimal de 3 2 sobre ℚ. En general para n∈ℤ y n>1, p(x)=xn-2 es según el

Corolario 6.6.27 irreducible sobre ℚ, entonces al considerar n 2 como la raíz n ésima

positiva real de 2, p(x) es el polinomio minimal de n 2 sobre ℚ. 9.3.8. Veamos que √2+√3 es algebraico sobre ℚ de grado 4. Para ello si consideramos x=√2+√3, obtenemos que x2=5+2√2√3 y por lo tanto x4-10 x2 +25 = 24, y en consecuencia x4-10x2+1=0. Proceso que nos indica que √2+√3 es raíz del polinomio p(x)=

x4+ 10 x2+1. Veamos ahora que p(x) es irreducible sobre ℚ. En efecto, si p(x) fuera reducible habrían dos opciones, primero p(x) es el producto de un polinomio de grado 1 por otro de grado 3, o dos polinomios de grado2. La primera opción no es posible porque ello implicaría que p(x) tendría una raíz en ℚ y por

consiguiente en ℚ, en cuyo caso las únicas posiblidades son α=1 o α=-1. Pero p(1)≠0 y p(-1)≠0. La segunda opción implicaría que x4-10x2+1=(x2+bx+c)(x2+dx+e). Entonces b+d=0; e+c+bd=-10, cd+eb=0 y ce=1. Si c=e=1, d+b=0 , 2+bd=-10, d+b=0 . Es decir, b2=12, lo cual no es posible en ℚ. Si c=e=-1, entonces –2+bd=-10, o sea que bd=-8 y como d+b=0, se deduce que b2=8. igualdad que no es posible para ningún b∈ ℚ. Luego p(x) es irreducible sobre ℚ y por lo tanto o(√2+√3)=4.

404

9.3.9. Es importante señalar sobre que campo es algebraico un cierto elemento, ya que su grado depende de éste. Por ejemplo ya vimos que si n∈ℤ y n>1, entonces n 2 es algebraico de grado n sobre ℚ, pero n 2 es algebraico de grado 1 sobre ℝ puesto que n 2 es raíz del

polinomio p(x)=x- n 2 que es mónico e irreducible en ℝ[x] y de grado 1. Corolario 9.3.10. Si α∈K, K es una extensión de L y F, y además L es una extensión de F tal que α es algebraico tanto en L como en F, entonces n(x)|m(x), si m(x) es polinomio minimal de α en F y n(x) es el polinomios minimales de α en L.. Demostración. Como por hipótesis m(x)∈L[x] y F[x]⊆L[x], entonces m(x)∈L[x]. Pero como además m(α)=0, y n(x) es el polinomio minimal de α en L, al recurrir al Teorema 9.3.4 se infiere que n(x)|m(x). Al traducir el resultado del Teorema 9.1.15 a la terminología del polinomio minimal se obtiene la primera conclusión del siguiente resultado Teorema 9.3.11. Si α∈K, tal que α es algebraico sobre F y m(x)∈F[x] es el polinomio minimal de α sobre F, entonces F[x]/<m(x)>≈F(α). Además [F(α):F]=o(m(x))=o(α). Demostración. El Teorema 9.1.15 permite inferir que F[x]/<m(x)>≈F(α) y si n= o(α), entonces F(α) = a0+ a1α+ ..,.+an-1αn-1/ a0,a1, ..,.,an-∈F. Evidentemente 1,α, ...,αn-1 es una base de F(α) sobre F, puesto que como por definición los elementos de F(α) son combinaciones lineales en F de los elementos de 1,α, ...,αn-1, para demostrar que ellos conforman una base de F(α) sobre F, solo basta probar que son linealmentes independientes. Pero esto es inmediato, porque si a0+ a1α+ ..,.+an-1αn-1=0, para ciertos a0,a1, ..,.,an-1∈F y algún ai≠0, entonces al considerar k=maxj/aj≠0se infiere que el polinomio p(x)= a0+ a1x+ ..,.+an-1xn-1 es de grado k<n y además p(α)=0. Pero esto no es posible puesto n es el grado de m(x). Teorema 9.3.12 Si K es una extensión de F, α∈K y [K:F]=n∈ℤ+, entonces α es raíz de un polinomio en F[x] de grado a lo más n. Es decir α es algebraico sobre F de grado a lo más n. Y si α es raíz de un polinomio en F[x] de grado n, entonces [F(α):F]≤n. Demostración. Supongamos que [K:F]=n, entonces 1,α, ...,αn son n+1 elementos de K linealmente dependientes y por lo tanto existirán a0,a1, ...an∈F tales que a0+a1α+ ... +anαn=0. Lo cual indica que α es una raíz del polinomio p(x)= a0+a1x+ ... +anxn. Luego α es algebraico sobre F de grado a lo más n, porque si m(x) es su polinomio minimal, entonces de acuerdo al Corolario 9.3.10 m(x)|p(x) y por lo tanto o(α)=o(m(x))≤n. Si de otra parte α es raíz de un polinomio p(x)∈F[x] tal que o(p(x)= n, entonces como ello indica que α es algebraico sobre F, al considerar m(x)∈F[x] su polinomio minimal, por el

405

Corolario 9.3.10 m(x)|p(x), orientando ello que o(m(x))≤o(p(x))=n. Pero como además el teorema anterior indica que [F(α):F]=o(m(x)), entonces [F(α):F]≤n. El siguiente es un corolario del teorema anterior, de fácil demostración. (Ver Ejercicio 9.4.2) Corolario 9.3.13. Si α∈K, entonces α es algebraico sobre F, si y solo si F(α) es una extensión finita de F.. 9.3.14 Al intentar generalizar el resultado anterior a extensiones algebraicas, tenemos que si K es una extensión finita de F y α∈K, entonces como F(α) es un subcampo de K, se infiere que F(α) es un subespacio vectorial de K sobre F, y en consecuencia [F(α):F]≤[K:F]. Pero como por hipótesis [K:F] es finito, entonces [F(α):F] es finito. Razón para concluir, según el Corolario anterior, que α es algebraico sobre F. Es decir K es algebraico sobre F. Luego si K es una extensión finita de F, entonces K es algebraico sobre F. Vamos a ver que el recíproco de ésta afirmación es falso. Pero para poder dar un contraejemplo necesitamos en primer lugar saber como están relacionados F(α) y F(α,β). El siguiente teorema aclara el problema Teorema 9.3.15. Si α y β son elementos de alguna extensión de F, entonces F(α,β)=(F(α))(β). Demostración. En primer lugar para demostrar que F(α,β)⊆(F(α))(β), basta con verificar, según la Definición 9.1.13, que α,β∈(F(α))(β) y que F⊆(F(α))(β). Pero ambas propuestas son evidentes puesto que según la Definición 9.1.13 β∈(F(α))(β) y F(α)⊆(F(α))(β). Pero como según esa misma definición α∈F(α) y F⊆F(α), se deduce que también α∈(F(α))(β) y F⊆(F(α))(β). Luego α,β∈(F(α))(β) y F⊆(F(α))(β). Entonces como según la Definición 9.1.13 F(α,β) es el mínimo campo que tiene entre sus elementos a α y a β, y además contiene a F, se deduce que F(α,β)⊆(F(α))(β). Pero también (F(α))(β)⊆F(α,β), para lo cual basta con probar que β∈F(α,β) y que F(α)⊆F(α,β). Pero esto es inmediato porque de la Definición 9.1.13 se tiene que β∈F(α,β) y como además α∈F(α,β) y F⊆F(α,β), se deduce que F(α)⊆F(α,β). Luego F(α,β)⊆(F(α))(β) y (F(α))(β)⊆F(α,β).Es decir F(α,β)=(F(α))(β). Veamos en seguida el siguiente resultado que nos permite avanzar hacia el contra ejemplo buscado. Teorema 9.3.16. Si K es una extensión de F y F es una extensión de L tal que [K:F]=n y [F:L]=m, entonces [K:L]=nm. Es decir: [K:L]=[K:F][F:L] Demostración. Sean v1, ...vn y w1, ...wm las respectivas bases de los espacios vectoriales K sobre F y F sobre L. Vamos a probar que los vectores v1w1,v1w2, ...v1wm,v2w1,v2w2, ...,v2wm, ...,vnw1,vnw2,..,vnwm conforman una base del espacio vectorial K sobre L.

406

En efecto, si α∈K entonces al considerar a v1, ...vn como una base de K sobre F, podremos escribir que α=a1v1+ ...anvn, donde a1, ...,an∈F . Ahora, en vista de que w1, ...wm es una base del espacio vectorial F sobre L, se infiere que a1=b11 w1+ ...+b1m wm, a2= b21 w1, ...+b2m wm, ... y an=bn1 w1, ...+bnm wm, donde los bij son elemntos de L. Por lo tanto α = (b11 w1+ ...+b1m wm)v1+ ... + ( bn1w1, ...+bnm wm)vn . Con lo cual se demuestra que los elementos de K son combinaciones lineales de los vectores v1w1,v1w2, ...v1wm,v2w1,v2w2, ...,v2wm, ...,vnw1,vnw2,..,vnwm sobre L. Veamos que los vectores v1w1,v1w2, ...v1wm,v2w1,v2w2, ...,v2wm, ...,vnw1,vnw2,..,vnwm son linealmenete independientes sobre L. En efectos, si l11v1w1 + l12v1w2+ ...+ l1mv1wm+ l21v2w1+ l22v2w2, ...+ l2mv2wm+ ...+ ln1vnw1+ ln2vnw2+..+ lnmvnwm=0, donde los lij∈L, entonces también se obtiene que (l11w1 + l12w2 + ...+ l1mwm) v1+ (l21w1+ l22w2, ...+ l2mwm) v2+ ...+ (ln1w1+ ln2w2+..+ lnmwm) vn. Pero como los li ∈ L y los wj ∈ F, y L ⊆F, se infiere que los liwj ∈ F y en consecuencia los vectores l11w1 + l12w2 + ...+ l1m wm, l21w1+ l22w2 + ...+ l2mwm, ... ,ln1w1+ ln2w2+..+ lnmwm son vectores de F. Teniendo en cuenta que los vectores v1, ...vn son vectrores de K linealmente independieste sobre F, se deduce que l11w1 + l12w2 + ...+ l1m wm=0, l21w1+ l22w2 + ...+ l2mwm=0, ... y ln1w1+ ln2w2+..+ lnmwm=0. Finalmente al tener en cuenta que los wj son linealmente independientes sobre L, concluímos que para todo i y j lij=0. Luego los vectores viwj son linealmente independientes sobre L. Veamos enseguida algunas consecuencias del Teorema anterior. Corolario 9.3.17. Si K es una extensión de finita F y F es una extensión finita de L entonces [K:L]=nm. Es decir: [F:L] | [K:L]. 9.3.18. Es obvio que si ℚ es el conjunto de los números racionales, entoncesQ(√2)⊆Q, y

ℚ(√2)≠ℚ, porque √2∈ℚ(√2), pero √2∉ℚ También 3 2 ∉ℚ(√2), porque si 3 2 ∈ ℚ(√2),

entonces ℚ( 3 2 )⊆ℚ(√2) (Ver Ejercicio 9.4.3) y como [ℚ(√2):Q]=2 y [ℚ( 3 2 ):ℚ]=3,

entonces de acuerdo al Corolario anterior 3|2, lo cual es falso. Luego ℚ (√2)≠ℚ( 3 2 ) 9.3.19. Comprobemos que α= 2 + 3 5 es algebraico de grado 6 sobre ℚ = el conjunto de

los números racionales ℚ En efecto, si x= 2 + 3 5 , entonces (x- 2 )3=5 y por lo tanto x3-

3x2 2 +6x+2 2 =5, obteniéndose que x3 +6x-5= 2 (3x2-2). Elevando al cuadrado en ambos miembros obtenemos: (x3 +6x)2-10(x3 +6x)+25=2(3x2-2)2; y así x6+12x4+36x2-10x3-60x+25 =18x4-24x2+8; lo cual permite inferir que x6-6x4-10x3+60x2-60x+17=0. Este proceso conduce a que α=√2+ 3 5 es raíz del polinomio p(x)= x6-6x4-10x3+60x2-60x+17.

Es difícil comprobar que p(x) es irreducible sobr ℚ, Pero como de todas maneras dado que

6|[ℚ(√2+ 3 5 ):ℚ], se presentan las siguientes posibilidades [ℚ(√2+ 3 5 ):ℚ]=2 o

[ℚ (√2+ 3 5 ): ℚ]=3 o [ℚ (√2+ 3 5 ): ℚ]=6.

407

Veamos que las dos priumeras opciones no son viables: En efecto: Si [ℚ( 2 + 3 5 ):ℚ]=2, entonces ℚ(√2+ 3 5 )=a+b(√2+ 3 5 )/a,b∈ ℚ y por lo tanto

(√2+ 3 5 )2=a+b(√2+ 3 5 ), lo cual indica que 2+2√2 3 5 +( 3 5 )2=a+b√2+b 3 5 (*) En

consecuencia, teniendo en cuenta que [ℚ(√2)( 3 5 ): ℚ(√2)]=3 (Ver Ejercicio) se deduce

que 1, 3 5 ,( 3 5 )2es una base de ℚ(√2)( 3 5 ) sobre ℚ(√2). Entonces por (*) 1=0.

Absurdo. Luego [ℚ(√2+ 3 5 ): ℚ]≠2. Si [ℚ( 2 + 3 5 ):ℚ]=3, se tendría que ( 2 + 3 5 )3=a+b( 2 + 3 5 )+c( 2 + 3 5 )2. Entonces

2√2+6 3 5 +3√2( 3 5 )2+5=a+b√2+b( 3 5 )+2c+2c√2 3 5 +c( 3 5 )2. Pero como [ℚ( 3 5 )(√2):

ℚ( 3 5 )]=2, se deduce que 1,√2 es una base de ℚ( 3 5 )(√2) sobre ℚ( 3 5 ) y por tanto

6 3 5 +5= b( 3 5 )+ c( 3 5 )2 y al tener en cuenta que 1, 3 5 ,( 3 5 )2 es una base de ℚ( 3 5 )

sobre ℚ se concluye el absurdo 5=0. Definitivamente: [ℚ( 2 + 3 5 ):ℚ]=6. 9.3.20.. En vista de que ℚ( 2 + 3 5 )⊆ℚ(√2, 3 5 ) se tendra que ℚ( 2 + 3 5 )=ℚ(√2, 3 5 )

ya que también [ℚ(√2, 3 5 ): ℚ]=[ℚ (√2, 3 5 ): ℚ(√2)] [Q(√2):ℚ].= 3o2=6= [ℚ (√2+ 3 5 ):

ℚ]. 9.3.21. En el ejemplo anterior observamos que los órdenes o(√2)=2 y o( 3 5 )=3, son primos

relativos. Además o(ℚ( 2 , 3 5 )=2.3=6. Veamos que en general a,b∈K algebraicos sobre F tales que o(a)=n, o(b)=m y (n,m)=1, entonces [F(a,b):F]=nm. En efecto, según el Corolario 9.3.17 n,m|[F(a,b):F] Pero como (n.m)=1, entonces de acuerdo al Corolario 4.11.9 nm|[F(a,b):F]y por consiguiente nm≤[F(a,b):F]. De otra parte, como por el Teorema 9.3.15 F(a,b)=F(a)(b), entonces por el Corolario 9.3.10 [F(a,b):F(a)]≤m y en consecuencia al aplicar el Teorema 9.3.16 se infiere que [F(a,b):F]≤mn. Luego mn≤[F(a,b):F]≤mn, es decir: [F(a,b):F]=mn. Observe que si no se cumple que (n,m)=1, el resultado anterior no necesariamente es válido. Por ejemplo, si a=√2 y b= 6 2 , y ℚ =números racionales, entonces [ℚ(a,b): ℚ(a)]=3, puesto

que p(x)=x3- 2 es tal que p(b)=0 y en consecuencia [ℚ(a,b): ℚ(a)]|3. Pero como 3 es un

entero primo inferimos que [ℚ(a,b): ℚ(a)]=1 o [ℚ(a,b): ℚ(a)]=3. Alternativas en la que no

408

es posible que [ℚ(a,b): ℚ(a)]=1, porque ello implicaría que el polinomio minimal de b en

ℚ (a) es de la forma r(x)=x+c, con c∈ ℚ(a). Entonces r(b)=0, lo cual indica que b∈ ℚ(a),

relación imposible porque de aceptarlo tendríamos que ℚ(b)⊆ℚ(a) y en consecuecia

o(b)≤o(a). Es decir 6≤3, lo cual es falso. Entonces [ℚ(a,b): ℚ(a)]=3. Luego [ℚ(a,b): ℚ]=[ℚ(a,b): ℚ(a)][ ℚ(a): ℚ]=3.2=6≠12 Teorema 9.3.22. Si K es una extensión de F y α, β∈K, entonces α y β son algberaicos sobre F, si y solo si F(α,β) es una extensión finita de F. Demostración. Si F(α,β) es una extensión finita de F, entonces como F(α,β)=F(α)(β) y de acuerdo al Teorema 9.3.16 [F(α)(β):F]=[ F(α)(β):F(α)][F(α):F], se tiene que F(α) es una extensión finita de F y por consiguiente, según 9.3.13, α es algebraico sobre F. Análogamente, en vista de que F(α,β)=F(β,α), entonces F(β,α) es una extensión finta de F y de la igualdad [F(β,α):F]=[ [F(β,α):F(β)][F(β):F], se infiere que F(β) es una extensión finita de F , razón para afirmar β es algebraico sobre F. Recíprocamente, si α y β son algebraicos sobre F, entonces como F(α) es una extensión de F se deduce que β es algebraico sobre F(α), lo cual implica de acuerdo a 9.3.13 que F(α,β) es una extensión finita de F(α) y al considerar, de acuerdo al Teorema anterior, que [F(α)(β):F]=[ F(α)(β):F(α)] [F(α):F] y la veracidad de la afirmación F(α) es extensión finita de F, por ser α algebraico sobre F, se deduce que F(α)(β) es una extensión finita de F. Es decir, F(α,β) es una extensión finita de F Teorema 9.3.23. Si K es una extensión de F, entonces los elementos de K algebraicos sobre F son un subcampo de K. Demostración. Basta ver que si a,b∈K tales que a y b son algeberaicos sobre F, entonces a-b es algebraico sobre F y si b≠0, entonces ab-1 es también algebraico sobre F.(Ver Ejercicio 9.4.1) Para demotrarlo, según 9.3.13 debe verificarse que F(a+b) y F(ab-1 ) son extensiones finitas de F, lo cual es inmediato ya que como F(a+b)⊆F(a,b) y F(ab-1) ⊆F(a,b), entonces F(a+b) y F(ab-1) son subespacios vectoriales de F(a,b) sobre F y por tanton F(a+b) y F(ab-1) son extensiones finitas de F. Es decir, a+b y ab-1

son algebraicos sobre F.. En 9.3.14 se probó que si K es una extensión finita de F, entonces K es una extensión algebraica de F. El siguiente ejemplo demuestra que el recíproco de ese resultado no es válido. Ejemplo 9.3.24. Si K=x∈ / x es algebraico sobre ℚ, entonces de acuerdo al teorema

anterior K es un campo y como además ℚ⊂K también K es una extensión algebraica de ℚ,

409

pero K no es una extensión finita de ℚ, puesto que si [K: ℚ]=n, entonces como 1n 2+ ∈K,

ℚ( 1n 2+ ) es un subespacio de K y ¨[ℚ( 1n 2+ ):ℚ]=n+1, se tendría que n+1<n, lo cual es

absurdo. Luego K no es una extensión infinita de ℚ.

9.4. EJERCICIOS 9.4.1. Demuestre que si K es un campo y F⊆K tal que F≠∅, entonces K es una extensión de F, si y solo si, a-b∈F y ademá si b≠0, también ab-1∈F, siempre que a,b∈F 9.4.2. Demuestre que si α∈K, entonces α es algebraico sobre F, si y solo si F(α) es una extensión finita de F. 9.4.3. Demuestre que si K es una extensión de F y α,β∈K tales que β∈F(α), entonces F(β)⊆F(α) Analizar la validez de la siguiente argumentación, que presenta un atajo para resolver más rápidamente lo planteado Ejemplo 9.3.19, se presenta la siguiente argumentación: Como según el Corolario 9.3.17 [ℚ( 3 5 ):ℚ]|[ℚ(√2+ 3 5 ):ℚ], se deduce que 3| [ℚ(√2+ 3 5 ):Q]. Análogamente también [ℚ(√2):ℚ]|[ℚ(√2+ 3 5 ):ℚ] y por lo tanto 2|

[ℚ (√2+ 3 5 ): ℚ]. En consecuencia 3|[ℚ(√2+ 3 5 ): ℚ] y 2|[ℚ (√2+ 3 5 ): ℚ]. Entonces como

2 y 3 son primos relativos, se deduce que 6|[ℚ(√2+ 3 5 ): ℚ].Pero como ya probamos que

[ℚ (√2+ 3 5 ): ℚ]|6, se deduce que [ℚ(√2+ 3 5 ): ℚ] = 6..

9.5. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPAS Abordaremos una discusión sobre la posibilidad de ciertas construcciones geométricas mediante la utilización de regla y compás. Inicialmente miraremos el problema intutitivamente y después para poder avanzar formalizaremos lo observado un poco empíricamente. Aclararemos para comenzar los siguientesconceptos: 9.5.1 Una regla es simplemente una recta, en la que se identifica un segmento que se le asigna longitud 1 9.5.2. Un número real positivo b es construible, si a partir del segmento de longitud 1 se puede construir un segmento de longitud b solo por medio de regla y compas.

410

9.5.3 Aceptaremos los siguientes procedimientos:

1. Si se puede contruir un segmento de longitud b sobre una recta L, entonces ese longitud b puede ser trasladado mediante el uso del compas a cualquier otra recta K.

2. Si P es un punto que no está en una recta L, entonces es posible pasar una recta paralela a L que pase por el punto P.

3. Si n es un entero no negativo, entonces se puede construir un segmento de longitud n.

Con base en lo anterior se pueden demostrar las siguientes propiedades: 9.5.4 Si a y b son reales no negativos contruibles, entonces a+b, ab y a/b, si b≠0, son construibles. En particular como los enteros son construibles se deduce que los números racionales no negativos son construíbles. Si el segmento AB sobre una recta L es de longitud a y el segmento CD sobre una recta K es de longitud B, entonces de acuerdo con 1. del numeral anterior el segmento CD puede ser trasladado a la recta L ubicándolo después de B, y así obtener un segmento de longitud a+b. Luego a+b es construíble. A C O U B Supongamos en el gráfico anterior que el segmento OA es de magnitud a, el segmento OU es de magnitud 1 y el segmento OB es de magnitud b. Además de cuerdo con 2 del numeral anterior podemos trazar a la recta que contiene al segmento CB paralela a la recta que contiene el segmento AU. Por lo tanto el triángulo AOU es semejante al triángulo COB. En consecuencia OC/OA =OB/OU y por lo tanto OC=OA.OB=ab. Luego ab es construíble. A C O U B En el gráfico anterior OA es de magnitud a, OU de magnitud 1, OB de magnitud b y la recta que contiene a CU es paralela a la recta que contiene al segmento AB. Por lo tanto OC/OU=OA/OB. Luego OC es de magnitud a/b. Es decir a/b es construíble y como los racionales no negativos son cocientes de enteros con denominador positivo, ambos construíbles según 3 del numeral anterior, entonces los racionalesno negativos son construíbles. 9.5.5. También algunos irracionales son construíbles. Por ejemplo 2 es construible por que es construible con regla y compas un triángulo rectángulo cuyos catetos tengan longitud 1.

411

Pero también es construíble √3, porque se puede construir con regla y compas un triángulo rectángulo cuyos catetos sean de magnitud 1 y √2. En general si n es un entero positivo entonces √n es construíble, puesto que al razonar por inducción se tiene que al aceptar a

1-n como construíble, también es contruíble un triángulo rectángulo de catetos 1 y 1-n , cuya hipotenusa tiene longitud √n Más ampliamente, si a es un real no negativo y a es construíble, entonces a también lo .

En efecto: la figura anterior consiste de un círculo con centro B, radio (a+1)/2, un segmento de recta EC perpendicular con el segmento AD, considerando de antemano el valor 1 para el segmento CD. Dada esta situación en los triángulos rectángulos ECD, AED y ACE tenemos respectivamente: (EC)2=(ED)2-1, (ED)2 =(a+1)2 –(AE)2 y (AE)2=(EC)2+a2. Por lo tanto: (EC)2=(a+1)2-(AE)2-1=(a+1)2-(EC)2-a2-1 y en consecuencia 2(EC)2=2a, obteniéndose así que (EC)= a . En la intención de hacer más comprensibles los pasos posteriores intentaremos formalizar un poco lo realizado hasta ahora en materia. Definición 9.5.6. Si E⊆ℝ2, entonces: I) Una recta (círculo) es construible en E, si dicha recta (círculo) pasa por dos puntos diferentes de E. II) Un punto es construible en E, si dicho punto es la intersección o de dos rectas diferentes construibles en E, o de un círculo y una recta construible en E , o de dos círculos diferentes construibles en E . III) C(E) es el conjunto de todos los puntos construibles en E. 9.5.7. Si E consta de un único punto de ℝ2, entonces obviamente C(E)=∅. Pero si E tiene por lo menos dos puntos diferentes y p∈E, es viable considerar q∈E, q≠p, para obtener una recta L que pasa por esos dos puntos y un círculo C con centro en q y pase por p. Entonces la recta L y el círculo C se intersectan en el punto p, y en consecuencia p∈C(E). Luego E⊆C(E). 9.5.8 En el plano cartesiano ℝ2 , ℝ=números reales, al notar E0=(0,0),(1,0), obtenemos E1=C(E0), en el cual podemos asegurar que (2,0)∈E1 puesto que (2,0) es el punto intersección de la recta que pasa por los puntos (0,0) y (1,0) (eje X) con el círculo que pasa por (0,0) con centro (1,0).

412

Si n∈ℕ y n≥1 entonces (0,0),(1,0), ...,(n,0)∈En-1. Puesto que (0,0),(1,0)∈E0 y si (0,0),(1,0), ...,(n-1,0)∈En-2, se infiere según la Definición 9.5.6 que (n,0)∈C(En-2) =En-1 puesto que (n-2,0),(n-1,0)∈En-2 y (n,0) es un punto de intersección entre el eje X y el círculo que pasa por (n-2,0), con centro en el punto (n-1,0). De acuerdo a lo anterior tenemos que si n≥1, entonces (0,0),(1,0), ...,(n+1,0)∈En. ¿Qué otro punto es elemento de En?. Al respecto observe que (-1,0)∈E1, puesto que (-1,0) es una intersección del eje X con el círculo que tiene como centro a (0,0) y pasa por el punto (1,0). De tal manera para n≥1 y n∈N se tiene que (-1,0)∈En. Además P=(1/2,√3/2) es un punto de corte entre los circulos con centros en (0,0) y (1,0), y que pasan respectivamente por los puntos (1,0) y (0,0). Afirmación verificable al examinar sus correspondientes ecuaciones x2+y2=1 y (x-1)2+y2=1. Luego P∈E1 y por lo tanto P∈En, si n≥1 y n∈N. Ya vimos que el eje X es construible en E1. Pero también es cierto que el eje Y es construible en E1. En efecto, el círculo con centro (1,0) y que pase por (-1,0) corta al círculo con centro (-1,0) y que pasa por (1,0) en los puntos (0, 3 ), (0,- 3 ), puesto que la ecuación del primer círculo es (x-1)2+y2=4, mientras que la ecuación correspondiente al segundo círculo es (x+1)2+y2=4. Y al considerar x=0 en cualquiera de ellas obtenemos que 1+y2=4 y por consiguiente y2=3. Ecuación que tiene como soluciones √3 y -√3, obteniéndose así que los puntos (0, √3), (0,- √3)∈E2, ya que son puntos de corte de los círculos en cuestión, construidos con base en puntos de E1. Luego también (0, √3), (0,- √3)∈En, si n≥2 La recta que une los puntos (0, √3), (0,- √3) de E2 es conocida como el Eje Y. Quien resulta ser una recta que pasa por el punto (0,0) y es perpendicular al eje X.

1) De lo anterior se concluye: a) Si n∈ℕ, entonces (n,0)∈Ek, para algún k∈ℕ b) los ejes X y Y son construibles en E1 y E2. En general se puede demostrar que si n∈ℤ, entonces (n,0)∈Ek. (Ver Ejercicio 9.6.1)

2) Inductivamente definimos En=⎩⎨⎧

≥=

− 1n si )E(C0n si )0,1(),0,0(

1n

3) Notaremos H=∪⎨En/n∈ℕ⎬ El siguiente teorema muestra ciertas propiedades interesantes de la familia T=Enn∈ℕ ℕ y del conjunto H. Teorema 9.5.9. Si n,m∈ℕ tales que n<m, entonces En⊆Em y H=C(H).

413

Demostración. De acuerdo con 9.5.7 se tiene que En⊆C(En)=En+1. Por lo tanto si al razonar inductivamente aceptamos que En ⊆En+1⊆...⊆Em-1, entonces como nuevamente según 9.5.7 Em-1 ⊆Em se infiere que En ⊆Em. Luego si n,m∈ℕ tales que n<m, entonces En ⊆Em. De otra parte, como ya se sabe que H⊆C(H), al considerar p∈C(H) la Definición 9.5.6 indica la existencia de R1 y R2, círculos o rectas construibles en H tales que p es uno de sus puntos de intersección. Pero como también según la Definición 9.5.6 R1 y R2 están cada uno asociados a un par de puntos diferentes en H. Es decir, si R1 es una recta entonces R1 pasa por un par de puntos P y Q de H, o si R1 es círculo entonces por ejemplo tiene como centro a P y pasa por el punto Q. Análogamente corresponde a R2 un par de puntos S y T elementos H. De esta manera por la definición de H existirán En,Em,ErEt tales que P∈En, Q∈Em, S∈Er y T∈Et. Por lo tanto si u=maxm,n,r,t entonces según lo probado inicialmente en este Teorema se infiere que En ⊆ Eu , Em⊆ Eu Er⊆ Eu y Et⊆ Eu. De esta manera P,Q,S,T∈Eu y así R1 y R2 son construibles en Eu y como p esta en la intersección de R1 y R2 se deduce que p∈Eu+1. Luego p∈∪En/n∈ ℕ=H, ℕ =números naturales y en consecuencia C(H)⊆H, concluyéndose entonces que H=C(H). Con base en lo anterior planteamos la siguiente definición: Definición 9.5.10. Si (x,y)∈ℝ2 entonces (x,y) es construible, si (x,y)∈En, para algún n∈ℕ . Teorema 9.5.11. Si a∈ℝ y si cualquiera de los puntos (a,0), (-a,0), (0,a) o (0,-a) es construible en ℝ2, entonces los tres restantes son construible en ℝ2 Además, si (a,0) es

construible en ℝ2 también (a,a) es construible en ℝ2. Demostración. Si a=0 la afirmación es trivial. Pero si a≠0 y (a,0) es construible en ℝ2 entonces (-a,0), (0,a) y (0,-a) también lo son porque (-a,0), (0,a) y (0,-a) son puntos de intersección los ejes X y Y con el círculo con centro en (0,0) y que pasa por el punto (a,0). Razonando análogamente cambiando (a,0) por cualquiera de los otros tres puntos (-a,0), (0,a) y (0,-a), se demuestran los otros tres casos. Por último, si (a,0) es construible en ℝ2, entonces según lo demostrado anteriormente también (0,a) es construible en ℝ2 y en consecuencia son construibles el círculo C1 con centro (a,0) y que pasa por (0,0), y el círculo C2 con centro (0,a) y que pasa por (0,0), con ecuaciones (x-a)2+y2=a2 y x2+(y-a)2 =a2, respectivamente. Peron como C1 y C2 se intersectan en (a,a), concluímos según la Definición 9.5.6 que (a,a) es construible. La siguiente definición nos indica cuando un número real es construible.

414

Definición 9.5.12. Un número real a es construible si (a,0) es construible. 9.5.13. Esquemáticamente tenemos: 1) (∀a∈ℝ)(a es construible ⇔(a,0) es construible). En consecuencia de acuerdo a la definición anterior y el Teorema 9.5.11 se deduce que: 2) (∀a∈ℝ)(a es construible ⇔(-a,0) es construible); 3) (∀a∈ℝ)(a es un real construible ⇔(0,a) es construible), 4) (∀a∈ℝ)(a es construible ⇔(0,-a) es construible). 5) (∀a∈ℝ)(a es construible ⇔-a es construible). 6) De 9.5.8 (1a) y de la Definición 9.5.12 se deduce que si n∈ℤ, entonces n es construible 7) Si a es un real construible, entonces a+1 también es un real construible, puesto que la recta que pasa por los puntos (0,a) y (-a,0) (cuya ecuación es y=x+a), corta a la recta que pasa por los punto (1,0) y (1,1)(con ecuación x=1), en el punto (1,1+a).

8) En general si a es un real construible y n∈ℤ, entonces a+n también es un real construible, ya que al razonar por inducción, la afirmación es válida si n=0. Y al aceptar que a+n es un real construible también a+(n+1) es un real construible puesto que a+(n+1)=(a+n)+1 y según 7) (a+n)+1 es un real construible ya que por hipótesis a+n es un real construible. Ejemplo 9.5.14. Si a es un real construible, entonces a2 también es un real construible. En efecto, la recta L que pasa por los puntos P(a,a) y Q(a2,0) tiene como ecuación y-a

=a1

1−

(x-a) y por lo tanto la recta L pasa por el punto (1,1+a).Es decir la recta L pasa por

los puntos (a,a) y (1,1+a), ambos construibles, y corta al eje X en el punto (a2,0). Luego a2 es un real construible. Teorema 9.5.15. Si a,b∈ℝ, entonces a y b son construibles, si y solo si (a,b) es construible en ℝ2. Demostración. Si a y b son reales construibles, el Teorema 9.5.11 indica que (a,0), (a,a), (0,b) y (b,b) son construibles. Y (a,b) es precisamente la intersección de la recta que une los (a,0) y (a,a) con la recta que une los puntos (0,b) y (b,b). Luego (a,b) es construible. Recíprocamente, si (a,b) es construible, entonces el círculo con centro (a,b) y que pasa por el punto (0,0) es (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 corta al eje X en (2a,0) y al eje Y en (0, 2b). De otra parte el círculo con centro en (2a,0) y que pasa por el origen tiene ecuación (x-2a)2+y2=4a2 y el círculo con centro (0,0) y pasa por (2a,0) tiene ecuación x2+y2=4a2. En consecuencia 4a2–4ax+ =0 y por lo tanto x=a y al sustituir este valor en la ecuación x2+y2=4a2 se obtiene y2=3a2 que tiene como soluciones √3a y -√3a. Es decir: el par de círculos se cortan en los puntos P=(a, √3a) y Q=(a, -√3a). Análogamente el círculo con centro (0,0) y que

415

pasa por (0,2b) ( con ecuación x2+y2=4b2) corta al círculo con centro (0,2b) que por (0,0) (con ecuación x2+(y-2b)2=4b2) en los puntos R= (√3b,b) y S= (-√3b,b). Obviamente la recta que une los puntos P y Q corta al eje X en (a,0). Luego por la Definición 9.5.12 a es construible. Además como la recta que une los puntos R y S corta al eje Y en el punto (0,b), entonces también (b,0) es construible y por lo tanto b es construible. Teorema 9.5.16. El conjunto K de los reales construibles es un sub campo del campo R de los números reales. Demostración. En primer lugar K≠∅ puesto que 0∈K. De otra parte, si a,b∈K entonces según 9.5.13 (0,a),(a,0) son construibles. Además de acuerdo al Teorema 9.5.11 también (b,b) es construible. Como la ecuación de la recta L que pasa por los puntos (0,a),(a,0) es y=a-x, mientras que la ecuación de la recta M que pasa por los puntos (b,0) y (b,b) es x=b, obtenemos que el punto de intersección de las rectas L y M es (b,a-b). En consecuencia de acuerdo a la Definición 9.5.6 (b,a-b) es construible y por el Teorema 9.5.15 a-b es construible. Hemos demostrado entonces que K≠∅ y a-b∈K, si a,b∈K. Además si a,b∈K y b≠0, entonces la recta L que pasa por los puntos P(b,b) y Q(a/b,0) tiene como ecuación y=[b2/(b2-a)](x-b)+b y por lo tanto si x=b2-a+b se tiene que y=b2+b. Luego la recta L pasa por los puntos construibles (b,b) y (b2-a+b, b2+1) y corta al eje X en (a/b,0). Luego a/b es construible. Es decir, de acuerdo al Teorema 4.3.7, K es un subcampo del campo ℝ de los números reales. 9.5.17. Corolario. Si p∈ℚ.= el conjunto de los números racionales, entonces p es construible. Demostración. Si p∈ℚ, entonces p=r/s, con r,s∈ℤ y s≠0. Pero como según 9.5.13 5) r y s son reales construibles, al aplicar el teorema anterior se tiene que r/s también es un real construibles. 9.5.18. Si a es un real construible y a>0, entonces como el círculo con centro ½(a+1) que pasa por (0,0) intersecta en el punto (a,√a) a la recta que por (a,a) y (a,0) , se infiere que √a es un real construible, si a es un real positivo construible. Agotado con el numeral anterior todo lo relativo a los números reales construibles, avancemos a los números complejos construibles. Para ello planteamos la siguiente definición de número complejo construible. Definición 9.5.19. Un número complejo a+bi es un número complejo construible si a y b son números reales construibles. Ejemplo 9.5.20. El número complejo i es un número complejo construible puesto que i=0+1i..

416

Ejemplo 9.5.21. Si a∈ℝ y a es construible, entonces a es o un número real construible o un número complejo construible puesto que si a=0 el resultado es evidente. Si a>0 según 9.5.18 a es un número real construible. Pero si a<0 entonces √a es un complejo

construible puesto que en esta circunstancias √a = ±i a− y ± a− es construible, según

9.5.18, ya que a− es un número real construible en vista de que –a>0 y –a es construible ya que por hipótesis a es construible.. En consecuecia si a∈ℝ tal que a2 es construible, entonces √a2 es construible. Luego |a| es contruible y por ende a es construible. (Ver Ejercicio 9.6.3) Análogo al Teorema 9.5.16 se tiene que el conjunto de los números complejos es un subcampo de ℂ. Además el siguiente teorema plantea una generalización del resultado obtenido en 9.5.18. Teorema 9.5.22. El conjunto M de todos los números complejos construibles es un sub campo del campo C de los números complejos. Además si u y v son números complejos construibles, entonces las raíces de la ecuación z2+uz+v=0 son construibles. Demostración. Evidentemente si K es el conjunto de los reales conbstruibles, entonces M=K+iK=a+ib/a,b∈K y 0,1∈M. Además si a+ib, c+id∈M, entonces (a+ib)-(c+id)∈M, y si c+di≠0 también (a+ib)/(c+id)∈M, puesto que como (a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d) y si e=c2+d2, entonces (a+ib)/(c+id) =(ac-bd)/e +i(bc-ad)/e, se deduce que (a+ib)-(c+id), (a+ib)/(c+id) ∈K puesto que al ser K un campo, según Teorema 9.5.16, se tiene que (a-c),

(b-d), 22 dcbdac

+− , 22 dc

adbc+−

∈K. En consecuencia con el Teorema 4.3.7 M es un subcampo de

ℂ. Si w es raíz de la ecuación z2+uz+v =0, entonces w2+uw+v =0. Pero como ( w2 + uw +1/4) +(v-1/4) = (w+1/2)2+(v-1/4), tenemos que (w+1/2)2+(v-1/4)=0 y por lo tanto (w+1/2)2∈M (Ver Ejercicio 9.6.2) Veamos que w+1/2 es construible. Se trata de demostrar en general que si β es un número complejo construible y α es un complejo tal que α2=β, entonces α también es un complejo construible. Es decir si β es un complejo contruible, entonces √β es construible. Para tal efecto supongamos que α=x+iy y β=a+ib, entonces como α2=β se infiere que x2-y2=a (1) y 2xy=b (2) . Si x=0, entonces –y2=a, o sea y2=-a y en consecuencia con 9.5.18 y es un número real construible. Consideremos x≠0. De (1) y (2) se tiene x2-b2/4x2 =a y en consecuencia x4-¼b2-ax2=0. Luego (x4-ax2+¼a2)-¼(a2+b2)=0, indicando ello que (x2-½a)2= ¼(a2+b2). Pero como ¼(a2+b2) es un número real construible, entonces según 9.5.18 (x2-

417

½a) es un real construible, es decir x2 es un real construible(Ver Ejercicio 9.6.4) y por lo tanto según 9.5.21 x es construible. Al tener que x es un real construible, entonces como 2xy=b y x≠0, resulta que también y es un número real construible puesto que y=b/2x. Luego x y y son números reales construibles y por consiguiente por definición α=x+iy es un número complejo construible. Al tener que w+1/2 es construible se infiere que w es construible (Ver Ejercicio 9.6.2) Teorema 9.5.23. Si z∈ℂ, entonces z es un complejo construible, si y solo si existe una sucesión de campos (Kj)0≤j≤m tal que 1) Q=K0⊆K1 ⊆ ... ⊆ Km ; 2) [Kj:Kj-1]≤2 y 3) z∈Km. Demostración. Si z=x+iy es un complejo construible, entonces (x,y) es una pareja de números reales construibles, y en consecuencia tanto x como y son números reales construibles. El objetivo es encontrar para x y para y, sucesiones de campos que cumplan las condiciones 1), 2) y 3). Para que una vez logrado ello se avance en demostrar que existe una sucesión de campos <Ki>0≤i≤r que cumple 1) y 2) y que además x,y∈Kr. Pero como Kr.⊆ Kr.(i), entonces se habrá encontrado una sucesión de campos <Ki>0≤i≤r+1, con Kr+1=Kr(i), que cumple las condiciones 1) y 2) y además x+iy∈Kr+1. Probemos primero que si para cada uno de los elementos x de un conjunto finito D⊆ℝ existe una sucesión de campos <Ki

x>0≤i≤r que cumple 1) y 2) tal que x∈x

xrK , entonces

existe una sucesión <Ki>0≤i≤n que cumple 1) y 2), tal que para cualquier x∈D se tiene que x∈Kn. Si D⊆ ℂ y D consta de un único número real, la afirmación es una trivialidad. Supongamos que la afirmación es válida para todo D⊆ℂ tal que D sea el recorrido de la sucesión <xi>1≤i≤n. Y demostrémoslo para el caso en que D sea el recorrido de la sucesión <xi>1≤i≤n+1. Sea D⊆ℂ tal que D es el recorrido de la sucesión <xi>1≤i≤n+1 y supongamos que para cada x∈D existe <Ki

x>0≤i≤r que cumple 1) y 2) tal que x∈ Kix. Por hipótesis existe una sucesión

de campos <Ki>0≤i≤n que cumple 1) y 2) tal que x1,x2, ...,xn∈Kn. Y también estamos suponiendo que existe una sucesión de campos <Li>0≤i≤m que cumple 1) y 2) tal que xn+1∈Lm Definamos <Hi>0≤i≤n+m de la siguiente manera: Hi=Ki, si i∈ℤ y 0≤i≤n. Pero como para cada j∈ ℤ, 0≤j≤m existe cj∈ℂ tal que Lj= )(cL j1j− , definimos Hn+1=Kn(c1), Hn+2=Kn(c1,c2), ..., Hn+m=Kn(c1,c2, ...,cm).

418

Más detalladamente tenemos que como también <Ki>0≤i≤n cumple 1) y 2), existirán a1, ...,an∈C tales que Ki=Ki-1(ai) y por ser K0= ℚ, se tiene que la sucesión <Hi>0≤i≤n+m cumple

que ℚ⊆ℚ(a1)⊆ ℚ(a1,a2)⊆... ⊆ ℚ(a1, ...,an)⊆ℚ(a1, ...,an,c1)⊆… ⊆ ℚ(a1, ...,an,c1, …,cm).

Pero como xn+1∈Lm= ℚ(c1,c2, ...,cm), entonces Lm⊆ ℚ(a1, ...,an,c1, …,cm) = Hn+m. Luego xn+1∈Hn+m, y por lo tanto <Hi>0≤i≤n+m cumple 1) y 3). Solo resta probar que [Hi:Hi-1] ≤2. Ya sabemos [Hi:Hi-1]≤2 cuando 0≤i≤n, veamos que dicha desigualdad también es válida cuando n<i≤n+m. Se trata de comprobar que [ℚ(a1, ...,an,c1, ...,ci): ℚ(a1, ...,an,c1, ...,ci-1 ) ] ≤2.

Pero esto es inmediato ya que al ser [ℚ(c1, ...,ci): ℚ(c1,...,ci-1)]≤2 , ello equivale a decir que

existe un polinomio de grado a lo más 2 con coeficientes en ℚ(c1,...,ci-1) que tiene como una

de sus raíces a ci, pero como ℚ (c1,...,ci-1)⊆ ℚ (a1, ...,an,c1, ...,ci-1), entonces dicho polinomio

también tiene sus coeficientes en ℚ (a1, ...,an,c1, ...,ci-1), obteniéndose así que [ℚ (a1, ...,an,c1,

...,ci): ℚ (a1, ...,an,c1, ...,ci-1)]≤2. Retomando el hilo de la demostración al aceptar que z=x+iy es un número complejo construible y que en consecuencia (x, y) es una pareja ordenada de reales construible, y por lo tanto según la Definición 9.5.10 existe n∈ℚ tal que (x,y)∈En. Podemos definir sobre

esta base Dn=z∈ℝ/(∃w∈ℝ)((z,w)∈En∨(w,z)∈En y al seleccionar solamente aquellos Dn tales que para cada elemento de Dn se pueda definir una sucesión de campos que cumpla 1),2) y 3), obtenemos S=n∈ℕ / para cada elemento de Dn se pueda definir una sucesión de campos que cumpla 1),2) y 3) En primer lugar 0∈S ya que D0=0,1 puesto que (0,0),(0,1)∈E0. Además la referida cadena de campos consta solamente de ℚ. Razonando por inducción si aceptemos que n∈S, entonces cada elemento de Dn admite una sucesión de campos que cumple 1),2) y 3) y si x∈Dn+1, entonces existe y∈ℝ tal que (x,y)∈En+1 o (y,x)∈En+1=C(En). En consecuencia (x,y) o (y,x) es la intersección de dos rectas o de dos círculos o de un círculo y una recta determinados por dos puntos P,Q∈En. Por lo tanto, si P=(a,b) y Q=(c,d), se tendrá que T=a,b,c,d⊆Dn y además T es finito, razón asegurar que existirá una secuencia de campos <Ki>0≤i≤n que cumple 1), 2) y además a,b,c,d∈Kn. Pero como (x,y) o (y,x) es la intersección de dos rectas o de dos círculos o de un círculo y una recta determinados por los puntos P,Q∈En, entonces x y y son soluciones de una ecuación con coeficiente en En de grado a lo más 2. Es decir [Kn(x):Kn]≤2. De esta manera existe una sucesión de campos, K1, ..., Kn, Kn(x) que cumplen 1) y 2) y además x∈Km(x). Luego n+1∈S

419

Por lo tanto S=ℕ, y en consecuencia si (x,y)∈ℝ2 y (x,y) es construible, entonces existe n∈N tal que (x,y)∈En, razón para deducir que x,y∈Dn, pero como S= ℕ se deduce tanto para x como para y existe una sucesión de campos que satisface 1), 2),3) y por lo tanto existe una sucesión de campos <Ki>0≤i≤n que satisface 1), 2) y además x,y∈Kn. Recíprocamente, si aceptamos la existencia de la sucesión de campos (Kj)0≤j≤m tal que 1) ℚ =K0⊆K1 ⊆ ... ⊆ Km ; 2) [Kj:Kj-1]≤2 y 3) z∈Km, obtenemos que z es construible para el caso

m=0, por que en tal situación z∈ℚ y todos los elementos de ℚ son construibles. Razonando por inducción al aceptar que la posibilidad de obtener una sucesión de campos (Kj)0≤j≤r, con r∈ ℕ, 0≤r≤m que cumple 1) ℚ =K0⊆K1 ⊆ ... ⊆ Kr ; 2) [Kj:Kj-1]≤2 y 3) z∈Kr , se deduce que z es construible, se debe verificar que si se obtiene una sucesión de campos (Kj)0≤j≤r+1 tal 1) ℚ =K0⊆K1 ⊆ ... ⊆ Kr+1 ; 2) [Kj:Kj-1]≤2 y 3) z∈Kr+1, entonces z es construible. En efecto como Kr+1= Kr(u), para algún u∈ℂ, [Kr(u): Kr]≤2 y z∈ Kr(u), entonces existirán α,β,γ ∈Kr tales que α+βz+γz2=0. Por lo tanto α,β y γ según la hipótesis de inducción son complejos construibles y al aplicar el Teorema 9.5.22 obtenemos que z es un complejo construible. Una consecuencia importante del teorema anterior es la siguiente: Teorema 9.5.24. Todo número complejo z construible es algebraico sobre ℚ y su grado es una potencia de 2. Demostración. Si z es algebraico sobre ℚ, entonces de acuerdo con el con el teorema

anterior existe una sucesión de campos (Kj)0≤j≤n tal que 1) ℚ =K0⊆K1 ⊆ ... ⊆ Km ; 2) [Kj:Kj-

1 ] ≤2 y 3) z∈Kn. Pero como [Km: ℚ]=[Km:Km-1] [Km-1:Km-2]. ... [K1: ℚ], resulta que [Km: ℚ]

es un producto finito de factores iguales a 1 o a 2 y por lo tanto [Km: ℚ] es potencia de 2.

Pero como z∈Km entonces ℚ (z) es un sub espacio vectorial sobre ℚ de Km y por tanto

[ℚ (z): ℚ]| [Km: ℚ], o sea que el grado de z sobre ℚ es también una potencia de 2. Estamos ahora en condiciones de abordar algunos de los problemas planteados de construcción. Pero antes de ello es importante definir que se entiende por un segmento construible y un ángulo construible.

420

Definición 9.5.25. Si A=(a,b) y B=(c,d) son puntos de ℝ2, diremos que el segmento AB es construible, si su longitud es construible. Es decir, si 22 b)(da)(c −+− es construible. 9.5.26. Para demostrar que no es posible la cuadratura del círculo, es necesario estar informado de la trascendencia del número π. Es decir que el número π no es algebraica, afirmación que se demuestra por métodos del Análisis Matemático, de lo cual se deduce que π no es construible. Aclarado lo anterior, como el área de un círculo con radio unitario es π, si fuera posible construir un cuadrado de área π entonces el lado dicho cuadrado sería π , indicando ello que π es construible, lo cual no es cierto, porque al aceptar que π es construible también se tendría que π es construible y esta conclusión es falsa. 9.5.27. Dado un cubo de volumen unitario, no es posible duplicar el volumen de ese cubo con regla y compás. Porque si fuera posible obtener el cubo de volumen 2, entonces su lado tendría longitud 3 2 . Pero α= 3 2 no es construible puesto que α es raíz del polinomio x3-2 que es irreducible en ℚ. Ejemplo 9.5.28. Si AB es un segmento construible de longitud 4 y C es el punto medio del segmento AB, entonces no es posible construir un punto P sobre el segmento AB tal que el producto de las longitudes de los PA, PB y PC sea 2, puesto que tanto al ubicar P entre A y C, como al ubicar P entre C y B, se tendrá α(2-α)(4-α)=2 y por lo tanto α es solución del polinomio p(x)= x3-6x2+8x-2 que es irreducible en ℚ y por lo tanto si ℚ=nùmeros

racionales, entonces [ℚ (α):ℚ]=3, lo cual indica que α no es construible. Definición 9.5.29. Si a∈ℝ, entonces el ángulo de a grados es construible, si Cos(a) es construible. 9.5.30. Si Cos(a) es construible también Sen(a) es construible puesto que Sen(a) = aCos1 2− 9.5.31. Los ángulos de 30°, 60°, 45° y 90° son construibles porque Cos30o = 3 /2, Cos60o=1/2, Cos45o = 2 /2 y Cos90=0 , y todos esos números son construibles. 9.5.32. Pero es imposible trisecar con regla y compás un ángulo de 60o. Para entenderlo observamos que en la identidad trigonométrica Cos3a=4Cos3a-Cosa, al tomar a=π/9 obtenemos que 1/2 = 4Cos320o-Cos20o. Es decir 8Cos320o-2Cos20o-1=0 y por lo tanto α= Cos20o es raíz del polinomio 8x3-2x-1, que es irreducible sobre ℚ. Luego α es algebraico de grado 3 sobre y por eso α no es construible y así no es construible el ángulo de 20o.

421

El siguiente teorema muestra una propiedad importante relativa a los ángulos construibles. Teorema 9.5.33. Si K =n∈ℤ/el ángulo de no es construible, entonces <K,+> es un grupo y si n∈K, también n/2∈K. Demostración. Si n,m∈K, entonces como Cos(n+m)=Cos(n)Cos(m)-Sen(n)Sen(m) y en vista de que tanto Cos(n) como Cos(m) son construibles, por que n,m∈K y consecuencia Sen(n) y Sen(m) son construibles, se deduce que Cos(n+m) es construible y por lo tanto n+m∈K. También 0∈K, porque Cos0=1 y si n∈K también -n∈K puesto que Cos(-n)=Cos(n). Como Cosn/2= 1)2(Cos(n) + se infiere que Cos(n/2) es construible. Es decir n/2∈K. 9.5.34 En general no se puede afirmar que si un ángulo de a grados no es construible y n∈Z, entonces el ángulo de (1/n)a grados no es construible. Por ejemplo el ángulo de 180 grados es un ángulo construible, porque Cos180=-1, pero el ángulo 20o no es construible, como se demostrará posteriormente. Ejemplo 9.5.35. El ángulo π/5 es construible. En efecto, Cos5x= 16cos5x-20cos3x+5cosx. Por lo tanto al sustituir x= π/5, se infiere que 16cos5π/5-20cos3π/5 +5cosπ/5+1=0 y así cosπ/5 es solución de la ecuación 16x5-20x3+5x+1=0, pero 16x5-20x3+5x+1=(16x4-16x3-4x2+4x+1)(x+1) y como cosπ/5 no es solución de x+1, entonces cosπ/5 es solución de 16x4-16x3-4x2+4x+1=0. De otra parte dado que 16x4-16x3-4x2+4x+1=(2x)4-2(2x)3-(2x)2+2(2x)+1, se infiere que 2 cosπ/5 es una raíz del polinomio x4-2x3-x2+2x+1=(x2-x-1)2, deduciéndose así que 2cosπ/5 es solución de x2-x-1, que es un polinomio irreducible en ℚ. Luego 2cosπ/5 es de grado 2

sobre ℚ y por lo tanto 2cosπ/5 es construible. Es decir cosπ/5 es construible y así el ángulo π/5 es construible. El siguiente teorema permite identificar una buena cantidad de ángulos construibles. Teorema 9.5.36. Si n∈ℤ = Conjunto de los números enteros, entonces un ángulo de grado n es construible si y solo si n es múltiplo de 3. Demostración. Supongamos que n es múltiplo de 3, al razonar por inducción para demostrar que la afirmación es válido si n=3, debemos demostrar que π/60 es construible. Pero esto es inmediato porque como π/5 y π/6 son ángulos construibles, entonces también lo es π/5-π/6=π/30 y por lo tanto también ½(π/30) es un ángulo construible. Es decir, π/60 es construible.

422

Al aceptar que a n múltiplo de 3 le corresponde un ángulo de n grado construible, entonces

para n+3, tenemos que 180

3n +π=(n/180) π +(3/180)π. Pero como (n/180) π es un ángulo

construible, por hipótesis, y demostramos que (3/180)π es también un ángulo construibles,

entonces 180

3n + π es un ángulo construible.

Se ha demostrado entonces que si n∈ℤ *, tal que n es múltiplo de 3, entonces el ángulo de n grados es construible. Pero como Cos(-a)=Cosa la afirmación anterior se extiende para n∈ℤ = Conjunto de los números enteros y n múltiplo de 3. Recíprocamente, si n∈ℤ es tal que el ángulo de n grados es construible, como por el Teorema del Residuo (2.5.4) n=3c+r, con r∈ℤ, 0≤r<3, debemos demostrar que r=0. Para ello basta ver que los ángulos de 1 y 2 grados no son construibles. Al recurrir a la identidad Cos3a=4Cos3a-3Cosa, entonces para a=π/9, se tiene que Cosπ/3=4Cos3π/9-3Cosπ/9, es decir 8Cos3π/9-6Cosπ/9-1=0. Luego Cosπ/9 es solución del polinomio p(x)= 8x3-6x-1, que es irreducible en ℚ y en consecuencia el grado Cosπ/9 sobre ℚ es 3, razón para deducir que Cosπ/9 no es construible. Es decir el ángulo de 20 grados no es construible, y en consecuencia los de grado 1 y 2 no son construibles. Demostrar que un polígono regular de siete lados no se puede inscribir en una circunferencia implica que el ángulo 2π/7 no es construible. El siguiente teorema demuestra esa afirmación. Teorema 9.5.37. El ángulo 2π/7 no es construible. Demostración. Como Cos7x = 64Cos7x-112Cos5x+56cos3x-7cosx, al remplazar x=2π/7 obtenemos: 1 = 64Cos72π/7-112Cos52π/7+ 56Cos32π/7 -7Cos2π/7. Luego α=Cos2π/7 es raíz del polinomio p(x) = 64x7-112x5+56x3-7x-1. Pero como p(x)=(x-1)(64x6+64x5-48x4-48x3+8x2+8x+1) y α no es raíz de x-1, se deduce que α es raíz de q(x)= 64x6+64x5-48x4-48x3+8x2+8x+1=(2x)6+2(2x)5-3(2x)4-6(2x)3+2(2x)2+4(2x)+1. En consecuencia β=2Cos2π/7 es raíz del polinomio r(x) = x6+2x5-3x4-6x3+2x2+4x+1= (x3+x2-2x+1)2. Razón para creer que β es raíz del polinomio s(x) = x3+x2-2x-1 que por ser irreducible en ℚ se concluye que el grado de β sobre ℚ es 3 y por ende β no es construible en ℚ. Es decir Cos2π/7 no es construible en ℚ y por lo tanto el ángulo 2π/7 no es construible.

423

9.6. EJERCICIOS 9.6.1. Demuestre que si n∈ℤ, entonces existe k∈ tal que n∈Ek. 9.6.2. Demuestre que si z,v,w∈ tales que v y w son construibles y z+v=w, entonces z es construible. 9.6.3 Demuestre que si a∈ℝℝ tal que |a| es contruible, entonces a es construible 9.6.4 Demuestre que si a y b son reales construibles tales que (x2-½a)2= ¼(a2+b2), entonces x2-½a es construible. 9.6.5. Demuestre que : (∀a∈ℝℝ)(a es construible ⇔(a,0) es construible ∨ (-a,0) es cosntruible∨ (0,a) es construible ∨ (0-a) es construible ∨ -a es construible 9.6.6. Analizar la validez de cada una de las siguientes afirmaciones.

i) Si ℚ = racionales y n∈ ℚ, entonces (n,0)∈E1. ii) Si ℚ = racionales y n∈ ℚ ; entonces (n,0)∈En. iii) E1=(0,0),(1,0),(-1,0),(2,0) iv) (3,0)∈E1 v) (-1,0)∈E1.

424

EXAMEN DE ALGEBRA.

1 Demuestre que 2+ 5 i no es primo en D=a+b 5 i/a,b∈ℤ, pero 2+ 5 i es irreducible en D. ¿Qué se deduce de de ese resultado?. ¿Será válido el recíproco?

2 Si D es un dominio entero de factorización única con elemento unitario 1, FD es su campo de fraccionarios y p(x)∈D[x] tal que p(x) factorizable en FD[x], demuestre que p(x) es factorizable en D[x].

3 Analizar si los siguientes polinomios son factorizables o no en el respectivo anillo: i- f(x)=2x2+1∈ℤ3[x]; ii f(x)=2x2+1∈ℤ[x]; iii- f(x)=x2+x+1∈ℤ2[x], iv- f(x)=x2+x+1∈ℤ[x]., v- f(x)=x4+3x2+9x+3∈ℤ[x].

4 Demuestre que los ideales de K[x] son de la formaI=<f(x)>= q(x)f(x)/q(x)εC[x], donde f(x)∈K[x]. Además, si I≠0, demuestre que cualquier polinomio f(x)εI, tal que f(x) sea de grado minimal en I, es generador deI.

EXAMEN DE ALGEBRA. 1

Demuestre que 2+ 5 i no es primo en D=a+b 5 i/a,b∈ℤ, pero 2+ 5 i es irreducible en D. ¿Qué se deduce de de ese resultado?. ¿Será válido el recíproco?

2 Si D es un dominio entero de factorización única con elemento unitario 1, FD es su campo de fraccionarios y p(x)∈D[x] tal que p(x) factorizable en FD[x], demuestre que p(x) es factorizable en D[x].

3 Analizar si los siguientes polinomios son factorizables o no en el respectivo anillo: i- f(x)=2x2+1∈ℤ3[x]; ii f(x)=2x2+1∈ℤ[x]; iii- f(x)=x2+x+1∈ℤ2[x], iv- f(x)=x2+x+1∈ℤ[x]., v- f(x)=x4+3x2+9x+3∈ℤ[x].

4 Demuestre que los ideales de K[x] son de la formaI=<f(x)>= q(x)f(x)/q(x)εC[x], donde f(x)∈K[x]. Además, si I≠0, demuestre que cualquier polinomio f(x)εI, tal que f(x) sea de grado minimal en I, es generador deI.

EXAMEN FINAL DE ALGEBRA 1

Si G es un grupo finito y p es un primo en ℤ tal que p⎪o(G),demuestre que G tiene un subgrupo de orden p.

425

2 Demuestre que si G es un grupo finito tal que todos los elementos de G diferentes al módulo tienen orden de la forma pk con k∈ℤ+, entonces G es es un p-grupo.

3 Si G es un grupo con pq elementos, siendo p y q primos con p<q y q 1 modp, demostrar i)G contiene un único subgrupo con q elementos. y un único subgrupo con p elementos y ii)G es cíclico.

4 . Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones:




4. Si H es el único subgrupo de G, con o(H) elementos, entonces H∆G


Si G es un grupo finito y p es un primo en ℤ tal que p⎪o(G),demuestre que G tiene un subgrupo de orden p.

2 Demuestre que si G es un grupo finito tal que todos los elementos de G diferentes al módulo tienen orden de la forma pk con k∈ℤ+, entonces G es es un p-grupo.

3 Si G es un grupo con pq elementos, siendo p y q primos con p<q y q 1 modp, demostrar i)G contiene un único subgrupo con q elementos. y un único subgrupo con p elementos y ii)G es cíclico.

4 . Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones:




4. Si H es el único subgrupo de G, con o(H) elementos, entonces H∆G


A) Encuentre los divisores de cero en ℤ10, B) Si n∈ ℤ+, demuestre que 1 y n-1 son unidades ℤn. C) ¿Serán 1 y n-1 las únicas unidades en ℤn siempre que n∈ ℤ+?

2

426

Si Q(R) es el anillo de los cuaterniones reales, y además, α=i+2j y β=1+3k, son un par de elementos de Q(R), calcular: i) α.+β; ii) α.β iii) β-1.

3 Demuestre que si un anillo tiene más de un elemento unitario a la izquierda o a la derecha, entonces carece de elemento unitario.

4 Si <A,+.o> es un anillo con elemento unitario y U es el conjunto de todas las unidades de A, demuestre que es un grupo.

5 Analice la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Si G es un grupo y H⊆G tal que la operación de G es operación en H, entonces H con la operación de G es un grupo; ii) Si G es un grupo y a∈G, entonces <a>=an/n∈ℤes un subgrupo de G; iii) Si A es una anillo y a,b∈A*, entonces la ecuación ax=b tiene solución en A; iv) Si A es una anillo y a,b∈A, entonces la ecuación a+x=b tiene solución en A. v) Todos los anillos son conmutativos.

EXAMEN FINAL ALGEBRA. 1

Demuestre que <ℤn,+>, el grupo aditivo residual módulo n, es el único grupo cíclico con n elementos, salvo isomorfismos.

2 Si G es un grupo y a∈G, demuestre i) <a>=an/n∈ℤ es el menor subgrupo H de G tal que a∈H. Es decir, si H≼G tal que a∈H, entonces <a>⊆H. ii) Utilizando el resultado anterior demuestre que <a>=∩H/H≼G ∧a∈H

3 Analizar que propiedades de un anillo A son heredadas por los sub anillos de A..

4 Si f de G en K es un homomorfismo de grupos, H≼G y N≼K, demuestre que f(H)≼K y f-

1(N)≼G.

5 Analice la validez de las siguientes afirmaciones: i) existe un subgrupo H de ℤ tal que H≠nℤ, para cualquier n∈ℤ; ii) Si G es un grupo y N es un subgrupo normal de G, entonces N=gNg-1= gng-1/n∈N, para cualquier g∈G; iii) La unión de subgrupos de un grupo G, es un subgrupo de G, iv) Si G es un grupo y H≼ G, entonces gHg-1≼G , para cualquier g∈G, v) si G es un grupo finito y H≼G, entonces (gHg-1)=o(H), para cualquier g∈G.

EXAMEN FINAL ALGEBRA.

427

1 Demuestre que < ℤn,+>, el grupo aditivo residual módulo n, es el único grupo cíclico con n elementos, salvo isomorfismos.

2 Si G es un grupo y a∈G, demuestre i) <a>=an/n∈ℤ es el menor subgrupo H de G tal que a∈H. Es decir, si H≼G tal que a∈H, entonces <a>⊆H. ii) Utilizando el resultado anterior demuestre que <a>=∩H/H≼G ∧a∈H

3 Analizar que propiedades de un anillo A son heredadas por los sub anillos de A..

4 Si f de G en K es un homomorfismo de grupos, H≼G y N≼K, demuestre que f(H)≼K y f-

1(N)≼G.

5 Analice la validez de las siguientes afirmaciones: i) i) existe un subgrupo H de ℤ tal que H≠nℤ, para cualquier n∈ℤ; ii) Si G es un grupo y N es un subgrupo normal de G, entonces N=gNg-1= gng-1/n∈N, para cualquier g∈G; iii) La unión de subgrupos de un grupo G, es un subgrupo de G, iv) Si G es un grupo y H≼ G, entonces gHg-1≼G , para cualquier g∈G, v) si G es un grupo finito y H≼G, entonces (gHg-1)=o(H), para cualquier g∈G.


Si f:G→G` es un homomorfismo de grupos de núcleo K, Demostrar que G`/N`≈G/N≈(G/K)/(N/K), donde N`∆G` y N=f-1 (N`). 2 Si G es es un grupo H≼G tal que G/H con el producto de clases es grupo, demuestre H∆G.

3 Si G=ℤ4xℤ6 y H = (0,0) ,(0,1) ,(0,2) ,(0,3), (0,4), (0,5)= <(0,1)>, demuestre: i) H≾G, ii)

G/H es un grupo, iii) o(G/H)= 4. iv) ℤ4xℤ2/<(0,1)>≈ ℤ4.. 4

Demuestre que si H≼G tal que IH(G) = 2, entonces H∆G. 5

Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i Si G es un grupo y ℘ es una partición de G, entonces el producto de clases está bien definido en ℘. iiSi G es un grupo y ℘ es una partición de G, entonces el elemento de ℘ que contiene al módulo de G es un subgrupo de G. iii Si G es un grupo y ℘ es una partición de G, es posible encontrar un elemento de G, que figure simultáneamente en dos integrantes diferentes de ℘. iv. Si G es un grupo finito, H≼G y α,ßεG, entonces o(Hα)=(ßH).

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Si f:G→G` es un homomorfismo de grupos de núcleo K, Demostrar que G`/N`≈G/N≈(G/K)/(N/K), donde N`∆G` y N=f-1 (N`).

2 Si G es es un grupo H≼G tal que G/H con el producto de clases es grupo, demuestre H∆G.

3 Si G=ℤ4xℤ6 y H = (0,0) ,(0,1) ,(0,2) ,(0,3), (0,4), (0,5)= <(0,1)>, demuestre: i) H≾G, ii)

G/H es un grupo, iii) o(G/H)= 4. iv) ℤ4xℤ2/<(0,1)>≈ ℤ4.. 4

Demuestre que si H≼G tal que IH(G) = 2, entonces H∆G. 5

Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i Si G es un grupo y ℘ es una partición de G, entonces el producto de clases está bien definido en ℘. iiSi G es un grupo y ℘ es una partición de G, entonces el elemento de ℘ que contiene al módulo de G es un subgrupo de G. iiiSi G es un grupo y ℘ es una partición de G, es posible encontrar un elemento de G, que figure simultáneamente en dos integrantes diferentes de ℘. iv Si G es un grupo finito, H≼G y α,ßεG, entonces o(Hα)=o(ßH).

PRIMER EXAMEN DE ALGEBRA 1

En cada caso analizar si definida para a,b∈G es o no una operación en G :i)G=

Z=enteros, b≠0: ab=ab

ba + , suma y producto usuales en Z , ii) G=R=reales;

ab=maxa,b; iii) iii)G= R=reales: ab=a/b; iv) I= irracionales: ab=a+b, +=suma usual en R.

2

Analizar las propiedades de las siguientes tablas: i) aaa+

; ii) aaaaeeaeo

; iii)

baebaabaebeebae−

3 Completar las siguientes propuestas para <G,o> estructura algebraica: i) e∈G, e es un módulo de <G,o>⇔; ii) e∈G, e no es un módulo de <G,o>⇔; iii) e∈G, e es un módulo de <G,o> y a,b∈G, ⇒b es un inverso de a ⇔; iv) <G,o> estructura algebraica no asociativa ⇔; v) <G,o> estructura algebraica no conmutativa. ⇔.

4

429

Al considerar la tabla. 22323232.

, calcule 2.3.2.2.3.3 de tres maneras diferentes. ¿Qué

se puede deducir de esos resultados? 5

Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones:

i) Si <G, o> es una estructura algebraica y a,b,c∈G tales que aob=aoc; entonces b=c; ii) Si <G, o> es una estructura algebraica y a,b∈G, entonces aob∈G; iii) Si <G, o> es una estructura algebraica y a,b∈G tales aob=a, entonces <G, o> es modulativa; Si <G, o> es una estructura algebraica modulativa, entoces <G,o> tiene un único módulo.

PRIMER EXAMEN DE ALGEBRA

1 En cada caso analizar si definida para a,b∈G es o no una operación en G :i)G=

Z=enteros, b≠0: ab=ab

ba + , suma y producto usuales en Z , ii) G=R=reales;

ab=maxa,b; iii) iii)G= R=reales: ab=a/b; iv) I= irracionales: ab=a+b, +=suma usual en R.

2

Analizar las propiedades de las siguientes tablas: i) aaa+

; ii) aaaaeeaeo

; iii)

baebaabaebeebae−

3 Completar las siguientes propuestas para <G,o> estructura algebraica: i) e∈G, e es un módulo de <G,o>⇔; ii) e∈G, e no es un módulo de <G,o>⇔; iii) e∈G, e es un módulo de <G,o> y a,b∈G, ⇒b es un inverso de a ⇔; iv) <G,o> estructura algebraica no asociativa ⇔; v) <G,o> estructura algebraica no conmutativa. ⇔.

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Al considerar la tabla. 22323232.

, calcule 2.3.2.2.3.3 de tres maneras diferentes. ¿Qué

se puede deducir de esos resultados? 5

Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Si <G, o> es una estructura algebraica y a,b,c∈G tales que aob=aoc; entonces b=c; ii) Si <G, o> es una estructura algebraica y a,b∈G, entonces aob∈G; iii) Si <G, o> es una estructura algebraica y a,b∈G tales aob=a, entonces <G, o> es modulativa; Si <G, o> es una estructura algebraica modulativa, entonces <G,o> tiene un único módulo.

PRIMER EXAMEN ALGEBRA 11

430

1 .EXAMEN DE ALGEBRA

1 Demuestre que si <G,o> es una estructura algebraica asociativa tal que G≠∅ y las ecuaciones ax=b y xa=b tienen soluciones únicas en G, siempre que a,b∈G, entonces G es un grupo. 2 Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: Es posible definir una operación en un conjunto vacío. Si <H,o> y <G,o> son estructuras algebraicas, G⊆H, a,c∈G y b∈H tales que aob=c, entonces b∈G. La afirmación anterior es válida si <G,o> es un grupo. Si G es un grupo abeliano y a,b∈G, entonces (ab)-1=a-1 b-1 3 Demuestre que las propuestas P y Q son equivalente, si <G,o> es una estructura algebraica asociativas y e∈G: P= i) aoe=a, para cualquier a∈G y ii) Para cada a∈G, existe b∈G tal que ab=e. Q = i) eoa=a, para cualquier a∈G y ii) Para cada a∈G, existe b∈G tal que ba=e. 4 i) Si G es un grupo, a∈G y n es un entero, defina an. ii) Utilizando la definición anterior, demuestre que an= (a-1)-n. i Programa de Erlangen De Wikipedia Se conoce como Programa de Erlangen a un programa de investigación publicado por Felix Klein en 1872 con el título de Vergleichende Betrachtungen über neuere

geometrische Forschungen. Este Programa de Enlangen — Klein estaba en ese entonces en Erlangen — propuso un nuevo tipo de solución a los problemas de la geometría del tiempo. El artículo en sí supone un verdadero hito en la historia de la Geometría y de la Matemática en general. 395 El Programa de Erlangen Con motivo de su ingreso como profesor en la Facultad de Filosofía y al Senado de la Universidad de Erlangen, Klein escribió una memoria en 1872 (que por cierto no llego a leer en público) que puede considerarse, junto a la Conferencia de Riemann y a los

431

Elementos de Euclides, como los puntos esenciales del estudio de la Geometría. La idea de la memoria, conocida como el Programa de Erlangen, es bastante sencilla. Se trata de dar una definición formal de lo que es una geometría, más allá de la idea más o menos intuitiva que tenemos de ella. Ante la aparición de las nuevas geometrías no euclidianas, parece lógico preguntarse qué es la Geometría, máxime cuando la propia idea de la geometría euclidiana se había visto modificada desde la irrupción de los métodos algebraicos y analíticos. Empieza a no estar tan claro que la Geometría sea el estudio de puntos, lineas (rectas o curvas) y superficies, puesto que el propio Análisis Matemático (sobretodo en el estudio de Ecuaciones Diferenciales) parece que también estudia tales objetos. Por otra parte, los métodos analíticos y algebraicos también son aplicables a las geometrías no euclidianas. Hay, digamos, dos niveles de distinciones: por un lado, la de las geometrías no euclidianas y la geometría euclidiana, por otro lado, la distinción entre el método sintético, el algebraico y el analítico. ¿Qué es entonces la Geometría? • Klein da respuesta a esta pregunta introduciendo en la Geometría un nuevo concepto de caracter algebraico: el concepto de grupo.. El concepto de grupo no es invención de Klein, pero es él el que descubre un hecho fundamental que lo relaciona con las distintas geometrías: cada geometría es el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se le aplican un tipo de transformaciones. Esas propiedades, por no cambiar, las denomina invariantes, y las transformaciones que

432

a un invariante no le hacen cambiar han de tener estructura de grupo bajo la operación de composición (componer dos transformaciones es hacer una de ellas y aplicarle la otra transformación al resultado de la primera). Así Klein descubre que, por ejemplo, la geometría euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rígidos (como las simetrías, giros y traslaciones), que la geometría afín es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las translaciones, que la geometría proyectiva es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las proyectividades, e incluso que la Topología es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las funciones continuas y de inversa continua, entre otras. El descubrimiento de Klein es fundamental, ya que por un lado nos permite clasificar las geometrías, comprendiendo cuál es una "subgeometría" de cual, por otro lado nos permite comprender qué es el estudio general de la Geometría (como disciplina matemática) y por último, pero no menos importante, es la confirmación de que los métodos sintético y algebraico no dan geometrías distintas, sino que realmente estudian 396 la misma geometría en cada caso. Se pone fin así a la distinción entre el método sintético y el algebraico-analítico

EXAMEN DE ESTRUCTURAS (1) 1

Analizar la veracidad: i) Todos los grupos son abelianos; ii) ii) Si <G,o> es una estructura algebraica asociativa, entonces <G,o> es un grupo si y solo G tiene un único módulo a la derecha; iii) Si <G,o> es una estructura algebraica asociativa, modulativa e invertiva a la derecha, entonces <G,o> es un grupo; iv) Si G es un grupo tal que para todo a,b∈G se cumple que (ab)2=a2b2, entonces G es abeliano..

2 Critique la siguiente definición de grupo: Una estructura algebrica <G,o> es un grupo si i) <G,o> es asociativa; ii) existe e∈G tal que para algún a∈G, a.e=a; iii) <G,o> es invertiva a la derecha. ¿En que sentido será válida?

3

433

Si SA=⎨f/ f es una biyección de A en A⎬, demostrar: i) o definida para f,g∈ SA como fog(a)=f(g(a)), siempre que a∈A es una operación en A; ii) < SA,.o> es un grupo; iii) ¿Será abeliano?.

4 Demuestre que Si M el conjunto de las matrices complejas triangulares superiores de orden 3x3, es decir M está conformado por las matrices complejas A=(aij),tales que aii0 y aij= 0, si i>j, entonces <M , o> es un grupo no abeliano, si o es el producto usual de matrices.

5 Si G es un grupo tal que para todo a,b∈G se tiene que (ab)5=a5b5 y (ab)3=a3b3, entonces G es abeliano

EXAMEN DE ESTRUCTURAS (2)

Analizar la veracidad: i) Es posible que un grupo tenga dos módulos a la derecha diferentes; ii) Si entonces <G,o> es una estructura algebraica asociativa, entonces <G,o> es un grupo si y solo son válidas las dos leyes cancelativas en <G,o>; iii) Si <G,o> es una estructura algebraica asociativa, entonces <G,o> es un grupo si y solo si para todo a,b∈G y para todo n,m∈Z+, se cumple que anam=an+m; iv) Si G es un grupo, a∈G y n∈Z+, entonces an=a.an-1.

2 Critique la siguiente definición de grupo: Una estructura algebrica <G,o> es un grupo si¨<G,o> es asociativa bajo la suma; ii) existe ⎨e⎬ tal que pra cualquier a∈G se tiene que ae=a y iii) Cada elemento de G tiene un inverso lateral izquierdo.

3 Si G es un grupo y g∈G, demuestre: i) τg definida para cada ∈G como τg(a)=gag-1 es una función biyectiva de G en G; ii) Si a,b∈G, entonces τg(an)= τg(a) τg(b).

4 Si G es un grupo y n∈ℤ y a,b∈G, demostrar: i) (ab)n=a(ba)n-1b ; ii) si (ab)n=anbn, entonces: a) (ab)n-1=bn-1an-1; b) anbn-1= bn-1an y c) (aba-1b-1)n(n-1)=e.

5. Demuestre que si G es un grupo tal que para tres enteros consecutivos, se cumple que (ab)=anbn, para todo a,b∈G, entonces G es abeliano.


Analizar la veracidad: i) Es posible definir un estructura de grupos en un conjunto vacío; ii) Si G≠∅ , entonces <G,o> es un grupo si y solo son válidas las dos leyes cancelativas en <G,o>; iii) Si <G,o> es un grupo m∈Z, entonces an =(a-1)-n; iv) Si G es un grupo y a,b∈G, entonces (ab)-1=a-1b-1

434

2 Critique la siguiente definición de grupos: Una estructura algebrica <G,o> es un grupo si: i) Es asociativa; existe e∈G tal que para cualquier x se tiene ex=x y iii) Si a∈G, entonces existe b tal que ab=e

3 Si A es un conjunto con tres elementos, i) encuentre SA, el conjunto de todas las bisecciones de A en A, ii) Demuestre o definida para f,g∈ SA como fog(a)=f(g(a)), siempre que a∈A es una operación en SA. y iii) Encuentre la tabla de <Sa,o>.

4 Si G es un grupo finito, demuestre que existe N∈ℤ+ tal que para cualquier aεG, se tiene aN=e.

5 Si G es un grupo finito con un número par de elementos, demuestre que existe a∈G, a≠e= módulo de G tal que a2=e. Presente un caso particular para ilustrarlo anterior.


Analizar la veracidad: i) Todas la estructuras algebraicas son grupos; ii) Si G≠∅ , entonces <G,o> es un grupo si y solo si las ecuaciones ax=b y xa=b, tienen soluciones únicas en G; iii) Si G es un grupo y a,b∈G, entonces (ab)2=a2b2; iv) Si <G,o> es un grupo con 4 elementos, entonces es posible encontrar H⊆G tal que H tiene 3 elementos y <H,o> es a su vez un grupo.

2

Una estructura algebraica <G,o> es un grupo si¨<G,o> es asociativa bajo la suma; ii) existe ⎨e⎬ tal que psra cualquier a∈G se tiene que ae=a y iii) Cada elemento de G tiene un inverso lateral.

3

1) Si <K,o> y< G,*> son grupos demuestre que si L=KxG y x es definido para (a,b),(c,d)∈ KxG, como (a,b)x(c,d)=(aoc,b*d), demuestre que <L,x> es un grupo; ii) Elabore la tabla para Z2xZ3.

4 Si G ≠∅, demuestre que una estructura algebraica <G,o> asociativa es un grupo, si y sólo si las ecuaciones ax=b y xa=b, tienen soluciones en G, siempre que a,b∈G..

5 Si G=⎨e, a,b,c⎬ es un grupo con 4 elementos, donde e=módulo de G, encuentre todas las tablas posibles de G.

EXAMEN DE ESTRUCTURAS (5) 1

Analizar la veracidad: i) Los grupos son las únicas estructuras algebraicas que tiene un único módulo.; ii) <G,o> es un grupo si y solo si <G,o> es asociativa y las ecuaciones ax=b

435

y xa=b, tienen soluciones únicas en G.; iii) Todos los grupos con tres elementos son abelianos; iv) Si G es un grupos y a,b∈G tales que para algún c, se tiene que ac=b, enton c∈G.

2 Critique la siguiente definición de grupos: Una estructura algebrica <G,o> es un grupo si: i) Es asociativa; ii) Existe e∈G tal que para cualquier x∈G se tiene que ex=x, iii) Si a∈G, entonces existe b∈G tal que ab=e

3 Si <G,o> es un grupo, a∈G, y <a>=⎨an/n∈Z⎬, entonces: Demuestre que < <a>, o> es un grupo; ii) En encuentre todos los grupos de la forma K=<a>, si a∈Z3

4 Sea G ≠∅ y G finito, demuestre que una estructura algebraica <G,o> asociativa es un grupo, si y sólo si cumple las dos leyes cancelativas.

5 Si Zn es el conjunto de las clases residuales módulo n, efedctuar los siguientes cálculos: i) Si n=4, encuentre -2; ii) Si n=5, encuentre todos los elementos que tienen inveros multiplicativos. iii) Encuentre en Z3 , Z5, Z6, Z8, los elementos no nulos cuyo producto residual sea 0.

algebra abastracta (jorge de oro)

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