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CAPITULO 6

CAPITULO 6 LA ELIPSE

CAPITULO 6 LA ELIPSE6.1 Definicin

Una elipse es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano, en forma tal que la suma de las distancias del punto a otros dos puntos fijos sea una constante (2a).Los puntos fijos se llaman focos , el punto medio del segmento que los une es el centro de la elipse y la recta que pasa por ellos es el eje.

6.2 ConstruccinPara construir una elipse, trazamos su eje y se localizan los focos F, F y los vrtices V, V . Ahora, elegimos cualquier punto Q del segmento FF . Trazamos arcos por encima y por debajo del eje , usando los focos como centros y con un radio igual a QV. A continuacin, usando los mismos centros y con radio igual a QV , trazamos arcos que corten a los arcos anteriores, obtenindose cuatro puntos sobre la elipse. Se pueden hallar otros puntos variando la posicin del punto Q.

Figura 6.1Se demuestra la validez de esta construccin, observando que para el punto P se cumple:

FP + FP = QV + QV = VV= 2a6.3 Ecuacin ordinaria de la elipse con centro en el origen.

a) Eje mayor el eje X. Con el propsito de hallar una forma sencilla de la ecuacin de la elipse, supondremos, que los focos son los puntos fijos F(c, 0) y F(-c, 0) sobre el eje X y como centro el punto medio de FF en el origen 0, como se pude observar en la figura 6.2.

Figura 6.2Observamos que la distancia entre los focos es 2c unidades, siendo c 0. Si P(x, y ) es un punto cualquiera sobre la elipse y si 2a ( a c ) es la suma de la distancias del punto a cada uno de los focos , entonces, de acuerdo a la definicin de la elipse tenemos:

Despejando el primer radical y elevando al cuadrado la ecuacin resultante:

Volviendo a despejar el radical y simplificando:

Elevando al cuadrado la ecuacin anterior:

La expresin a2 - c2 es positiva y la podemos hacer igual a b2, para obtener:

Dividiendo la expresin anterior entre a2b2 obtenemos finalmente:

que es la ecuacin de la elipse en forma ordinaria con centro en el origen y eje focal sobre el eje X.

Despejando a c2 de la expresin b2 = a2 - c2 , hallamos que la cantidad a2 - b2 = c2 es positiva, por lo tanto , se cumple que, en valor absoluto a b .

Dado que la ecuacin (6.1) slo contiene potencias pares de x e y , se puede probar, mediante los criterios de simetra, que la elipse se es simtrica con respecto a los ejes de coordenadas x e y , y con respecto al origen.

Si en la ecuacin (6.1) se despeja y en funcin de x y x en funcin de y, obtenemos.

La primera ecuacin nos indica que la variable y, toma valores reales, slo si, el subradical a2 - x2 es no negativo, es decir :

La variable x, slo puede tomar valores comprendidos entre -a y a y se excluyen aquellos valores para los cuales x | a. Si x = a , entonces y = 0 , es decir, la elipse, corta al eje X en ( a, 0), como se muestra en la figura 6.3

La segunda ecuacin seala que la variable x , adquiere valores reales, slo si, el subradical b2 - y2 es no negativo, esto es:

Es decir, la variable y, slo puede tomar valores comprendidos entre -b y b y se excluyen aquellos valores para los cuales | y | b. Si y = b, entonces x = 0 , esto es, la elipse corta al eje Y en (0, b), segn se muestra en la figura 6.3

Figura 6.3Al segmento de recta VV de longitud 2a que pasa por los focos de la elipse se le llama eje mayor; a la cuerda BB de longitud 2b que pasa por el centro y es perpendicular al eje mayor , se le llama eje menor. Las longitudes correspondientes al semieje mayor y semieje menor se representan por a y b respectivamente. Los puntos extremos V y V del eje mayor son los vrtices de la elipse ; los puntos extremos B y B del eje menor son los covrtices de la elipse.

Al deducir la ecuacin de la elipse, se utiliz la relacin b2 = a2 - c2 , la cual, se puede escribir como:

cuya interpretacin geomtrica es: La longitud del segmento, trazado desde un foco hasta un extremo del semieje menor es igual a la longitud del semieje mayor, es decir FB = OV.

A la cuerda LR ( LR ) perpendicular al eje mayor que pasa por el foco F ( F ) se le llama Lado recto. Si en la ecuacin (6.1) sustituimos las coordenadas ( c , y ) que corresponden a uno de los extremos del lado recto, hallamos:

de donde, se obtiene que, la longitud del lado recto LR, es igual a:

Otra cantidad importante en el estudio de una elipse es su excentricidad , que se representa por e y est dada por la expresin:

Esta cantidad proporciona informacin acerca de la forma que tiene una elipse. Si suponemos que a tiene un valor fijo, observamos que, conforme c a entonces e 1 y b 0, esto es, la elipse se achata, degenerando en un segmento de recta de longitud 2a. Si c 0 entonces, e 0 y b a, es decir, la elipse degenera en una circunferencia de radio a. En una elipse , siempre se cumplir la desigualdad 0 e 1.

b) Eje mayor el eje Y. De manera semejante , se demuestra que la ecuacin de una elipse con centro en el origen , eje mayor el eje Y y focos en los puntos (0, c), est dada por:

siendo a b.

La longitud del lado recto LR y la excentricidad e , tambin estn dadas por las ecuaciones (6.2) y (6.3). Las coordenadas de los dems elementos se muestran en la figura (6.4).

Figura 6.4A las expresiones (6.1) y (6.2) se les conoce como formas ordinarias de la ecuacin de la elipse. En estas ecuaciones, el trmino con mayor denominador, nos indica en su correspondiente numerador, el eje ( X o Y ), con el cual coincide el eje mayor de la elipse.

Ejemplo1. Hallar: a) la longitud del semieje mayor y semieje menor; c) las coordenadas de los vrtices y focos; d) la excentricidad y e) la longitud del lado recto de la elipse: 16x2 + 25y2= 400.

Solucin. Dividiendo ambos lados de la ecuacin entre 400, se tiene:

la cual representa una elipse con centro en el origen y eje focal el eje X. Por lo tanto, es una ecuacin de la forma (6.1), entonces:

Elementos de la elipse:

Vrtices: V(a,0) = V(5,0) y V(-a,0) = V(-5,0)

Covrtices: B(0,b) = B(0,4) , B(0,-b) = B(0,-4)

Focos: F(c,0) = F(3,0) y F(-c,0) = F(-3,0)

Extremos del lado recto: L(3, -16/5) y R(3, 16/5) , L(-3,-16/5) y R(-3,16/5)

Longitud del lado recto: LR = 2b2 / a = 32/5

Excentricidad : e = c / a = 3 /5

Grfica:

Ejemplo 2.- Hallar: a) las longitudes del semieje mayor y semieje menor; c) las coordenadas de los vtices y focos; d) la excentricidad y e) la longitud del lado recto de la elipse: 16x2 + 9y2= 576.

Solucin. Dividiendo ambos lados de la ecuacin entre 576, se tiene:

la cual representa una elipse con centro en el origen y eje focal el eje Y. Por lo tanto, es una ecuacin de la forma (6.4), entonces:

Elementos de la elipse :

Vrtices: V(0, a) = V(0,8) y V(0,-a) = V(0, -8)

Covrtices: B(b,0) = B(6,0) y B(-b,0) = B(-6, 0)

Focos: F( 0, c) = F(0, 27) y F( 0, - c) = F(0, -27)

Extremos del lado recto: L (-9/2, 2 y R(9/2, 2 , L(-9/2, -2 y R(9/2, -2Longitud del lado recto: LR = 2b2 / a = 72 / 8 = 9

Excentricidad : e = c / a = 27 / 8 = 7 / 4

Grfica:

Ejemplo 3.- Hallar la ecuacin de la elipse que satisface las condiciones siguientes: Focos en ( 4, 0) , vrtices en ( 5, 0).

Solucin: Si localizamos los vrtices y focos en el plano cartesiano, observaremos que es una elipse con centro en el origen y eje mayor el eje X . Por lo tanto:

y dado que la ecuacin de la elipse es de la forma (6.1), hallamos:

Elementos de la elipse:

Vrtices: V(5,0), V(-5,0)

Covrtices: B(0,3) , B(0,-3)

Focos: F(4,0), F(-4,0)

Extremos del lado recto: L(4,-9/5) y R(4, 9/5) , L(-4, -9/5), R(-4, 9/5)

Longitud del lado recto: LR = 18/5

Excentricidad: e = c / a = 4 / 5

Grfica:

Ejemplo 4.- Hallar la ecuacin de la elipse que satisface las condiciones siguientes: Focos en ( 0,) , semieje menor igual a 8.

Solucin: Si localizamos los focos en el plano cartesiano, observaremos que es una elipse con centro en el origen y eje mayor el eje Y . Por lo tanto:

y dado que la ecuacin de la elipse es de la forma (6.4), hallamos:

Elementos de la elipse:

Vrtices: V(0,10) , V(0,-10)

Covrtices : B( 8, 0) , B(-8, 0)

Focos: F(0,6) , F(0,-6)

Extremos del lado recto: L( -32/5 , 6) y R( 32/5, 6) , L(-32/5, -6) , R(32/5 ,-6)

Longitud del lado recto: LR = 64/5

Excentricidad : e = c / a = 3 / 5

Grfica :

Ejemplo 5.- Hallar la ecuacin de la elipse con centro en el origen , semieje mayor de 4 unidades de longitud sobre el eje Y , y la longitud del lado recto igual a 9/2.

Solucin: Conociendo la longitud del semieje mayor a = 4 y la longitud del lado recto , podemos determinar la longitud del semieje menor b.

dado que, el eje mayor, est sobre el eje Y , la ecuacin de la elipse tiene la forma (6.4). Por lo tanto.

6.4 Ecuacin ordinaria de la elipse con centro fuera del origen.

a) Eje mayor paralelo al eje X. Cuando el centro C( h, k ) se encuentra fuera del origen del sistema de coordenadas y el eje mayor es paralelo al eje X, podemos determinar la ecuacin, considerando a un sistema de coordenadas X0Y , cuyo origen se encuentra en el centro de la elipse, segn se muestra en la figura (6.4).

Figura 6.4La ecuacin de la elipse con respecto a al sistema de coordenadas X0Y, est dada por :

en donde xy y representan las coordenadas de un punto P de la elipse, con respecto a este sistema. Para expresar esta ecuacin con respecto al sistema X0Y , usaremos una traslacin de ejes.

De la figura 6.4 observamos que:

que al sustituir en la ecuacin de la elipse con centro en X0Y:

que es la ecu