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INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO NACIONAL DE PROMOCIÓN SOCIAL Creada mediante decreto 000255 de 01 de julio de 2003

Educación Preescolar – Básica- Media Técnica y Académico San Vicente del Caguán

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GUÍA “TRABAJO EN CASA” No 5

AREA / ASIGNATURA: Algebra GRADO: Noveno PERIODO: II

DOCENTE: ALBA NELLY OBREGON R. - JORGE ENRIQUE MORENO B.

MODO DE ENTREGA

FECHA DE ENTREGA

Las actividades se entregaran de acuerdo al medio de comunicación que se ajuste al estudiante. (Quienes trabajen en la plataforma teams las actividades se desarrollaran en el horario de clase establecido) Del 01 de Junio al 10 de Julio.

ESTANDAR: Identifico diferentes métodos

para solucionar sistemas de ecuaciones

lineales

COMPETENCIA: Desarrolla y aplica estrategias

adecuadas en el planteamiento y solución de

problemas relacionados con sistemas de

ecuaciones lineales.

TEMA Y CONTENIDO

1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Toda ecuación de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 donde a, b pertenece R, es una ecuación lineal con dos

incógnitas 𝒙 y 𝒚. Cada pareja ordenada de números reales que satisface esta ecuación es una

solución de ella.

Ejemplo, en la ecuación lineal 𝟑𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟐, la pareja ordenada (4, 2) es una solución de la

ecuación porque al reemplazar 𝒙 = 𝟒 y 𝒚 = 𝟐 se tiene que:

3(4) − 5(2) = 2

12 − 10 = 2

Esta solución no es la única y para encontrar las soluciones de la ecuación, se despeja 𝒚 y luego,

se asignan valores arbitrarios a 𝒙.

De esta forma, si se asignan valores 𝒙, se pueden obtener infinitos valores para 𝒚. Así, se dice que

la ecuación 𝟑𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟐 es una ecuación indeterminada.

Toda ecuación lineal con dos incógnitas, es una ecuación indeterminada y un conjunto formado

por dos o más ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales.



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Por ejemplo, el conjunto cuyas ecuaciones son:

Corresponde a un sistema de 2 x 2 porque está formado por dos ecuaciones con dos incógnitas.

La solución de este sistema es la pareja (2, 4), ya que satisface las dos ecuaciones

simultáneamente. Es decir,

2(2) − 4 = 4 − 4 = 0

3(2) + 2(4) = 6 + 8 = 14

Solucionar un sistema de ecuaciones lineales consiste en hallar las soluciones que son

comunes a todas las ecuaciones del sistema.

Métodos de solución de sistemas de 2 x 2

un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solución, infinitas soluciones o ninguna

solución.

Para encontrar la solución o soluciones de un sistema de ecuaciones 2 x 2, se pueden utilizar

varios métodos como: el método gráfico, el método de sustitución, el método de igualación, el

método de reducción y el método por determinantes.

2. MÉTODO GRÁFICO

Consiste en representar gráficamente las rectas que corresponden a las ecuaciones que forman el

sistema, luego, el punto de corte entre las dos rectas determina la solución del sistema.

El método grafico puede presentar 3 casos.

1. Las rectas se cortan en un solo punto:

En este caso el sistema tiene una única solución, que se determina por los valores (𝒙, 𝒚) y que

corresponden a las coordenadas del punto de corte.



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Ejemplo, para solucionar gráficamente el sistema

Se realizan los siguientes pasos:

Se escribe la ecuación de la forma explicita 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Se representan las rectas en el mismo plano y se ubica el

punto de corte.

Como las rectas se cortan en (-2,5), entonces la solución

del sistema es

𝒙 = −𝟐 y 𝒚 = 𝟓 (ver figura 1)

2. Las rectas coinciden en todos los puntos

En este caso, el sistema tiene infinitas soluciones, es decir, es indeterminado.

Por ejemplo, el sistema tiene infinitas soluciones

Se realizan los mismos pasos que el caso anterior, es

decir, Se despeja la incógnita (𝑦) en ambas ecuaciones.

Se construye, para cada una de las dos funciones

obtenidas, la tabla de valores correspondientes.

Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes

coordenados.

Al graficar se observa que las rectas coinciden en todos los puntos- (ver figura 2)



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3. Las rectas son paralelas

En este caso, las rectas no tienen puntos en común. Es decir, el sistema no tiene solución.

Por ejemplo, el sistema de ecuaciones no tiene solución

Se realizan los mismos pasos, es decir,

Se despeja la incógnita (𝑦) en ambas ecuaciones.

Se construye, para cada una de las dos funciones obtenidas, la tabla de valores

correspondientes.

Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

Al graficar, las rectas no se cortan, por tanto, el sistema NO

tiene solución (ver figura 3)

3. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución se realizan los

siguientes pasos:

Primero, se despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones dadas.

Segundo, se reemplaza la expresión obtenida en el primer paso en la otra ecuación y se

resuelve.

Tercero se encuentra el valor de la otra variable reemplazando en cualquiera de las

ecuaciones del sistema, el valor de la variable que se halló en el segundo paso por último

se verifican las soluciones.

Ejemplo:



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1. Resolver el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.

.⌊𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟓 (𝟏)𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟕 (𝟐)

⌋

(I) Se despeja (𝒚) en la primera ecuación (1).

𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟓

𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟓 Así obtenemos el valor de 𝒚

(II) En la ecuación (2) reemplazamos (𝒚) por el valor obtenido en (I) 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟕

𝟑𝒙 − 𝟐(𝟐𝒙 − 𝟓) = 𝟕

(III) Se resuelven las operaciones en (II)

𝟑𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟕

−𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟕

(IV) Se despeja la x

−𝒙 = 𝟕 − 𝟏𝟎

−𝒙 = −𝟑

(−𝟏) − 𝒙 = −𝟑 (−𝟏) Se multiplica a ambos lados de la igualdad para por (-1) para

. que la variable no quede negativa

𝒙 = 𝟑

(V) Se reemplaza el valor de 𝒙 en la primera ecuación (1)

𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟓

𝟐(𝟑) − 𝒚 = 𝟓 resolvemos las operaciones



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𝟔 − 𝒚 = 𝟓 Despejamos (𝒚)

𝒚 = 𝟏

Por lo tanto, la solución del sistema es 𝒙 = 𝟑 y 𝒚 = 𝟏

ACTIVIDAD A DESARROLLAR

Actividad de aprendizaje 1.

1. Resuelve de forma gráfica los siguientes sistemas.

a. {𝟐𝒙 = 𝟓𝒚 + 𝟏𝟎

𝒚 = 𝟐

𝟓𝒙 − 𝟐

b. {𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟏

−𝟖𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟔

2. Escribe el sistema de ecuaciones que corresponde a la gráfica.

Actividad de aprendizaje 2.

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución.



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a. {𝟔𝒎 + 𝟑𝒏 = 𝟒

𝒎 =𝟏

𝟐𝒏

b. {

𝟏

𝟐𝒙 −

𝟏

𝟑𝒏 = 𝟐

𝟏

𝟒𝒙 −

𝟐

𝟑𝒏 = 𝟔

2. {𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟏

𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟐 b. {

𝟑𝒚 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎

𝟑𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟎

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Teniendo en cuenta la situación por la que estamos atravesando y el contexto en el que nos

encontramos, se tendrá en cuenta varios aspectos esenciales a la hora de evaluar del trabajo en

casa realizado por los estudiantes, como son: la responsabilidad, puntualidad, buen manejo de la

plataforma (Microsoft Teams) o Whatsapp y la participación.

PROFUNDIZACIÓN

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Toda ecuación de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 donde a, b pertenece R, es una ecuación lineal con dos incógnitas 𝒙 y 𝒚. Toda ecuación lineal con dos incógnitas, es una ecuación indeterminada y un conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales. Método gráfico Consiste en representar gráficamente las rectas que corresponden a las ecuaciones que forman el sistema, luego, el punto de corte entre las dos rectas determina la solución del sistema. Método de sustitución Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución se realizan los siguientes pasos:

Primero, se despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones dadas.

Segundo, se reemplaza la expresión obtenida en el primer paso en la otra ecuación y se resuelve.

Tercero se encuentra el valor de la otra variable reemplazando en cualquiera de las ecuaciones del sistema, el valor de la variable que se halló en el segundo paso por último se verifican las soluciones.



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GUÍA “TRABAJO EN CASA” No 6

TEMA Y CONTENIDO

1. MÉTODO DE IGUALACIÓN

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación, se llevan a cabo los

siguientes pasos:

Primero, se despeja una de las dos variables en las ecuaciones dadas.

Segundo, se igualan las expresiones obtenidas en el primer paso y se resuelve.

Tercero, se encuentra el valor de la otra variable reemplazando en alguna de las

ecuaciones despejadas, el valor de la variable encontrada en el segundo paso.

Por último, se verifican las soluciones

Ejemplo:

Encontrar la solución del sistema por el método de igualación



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2. ETODO DE REDUCCION

En este método se combinan las ecuaciones del sistema con el fin de reducir las dos ecuaciones

del sistema a una sola, por tanto, se siguen los siguientes pasos:

Primero, se multiplican los términos de una o ambas ecuaciones por constantes escogidas

para que los coeficientes de x (o de y) se diferencien solo en el signo.

Segundo, se suman las ecuaciones y se resuelve las ecuaciones resultantes, si es posible.

Tercero, se encuentran el valor de la otra variable reemplazando e alguna de las

ecuaciones originales, el valor de la variable encontrada.

Ejemplo



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Por tanto, la solución del sistema es x = -3 y Y = - 7



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3. PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Existen que se pueden solucionar a partir del planteamiento de un sistema de ecuaciones lineales.

Para su solución se debe llevar a cabo los siguientes pasos.

Primero se lee con atención el problema, primero en forma general y luego parte por parte.

Segundo, se determinan las incógnitas que se plantean en el problema.

Tercero, se plantea el sistema de ecuaciones.

Finalmente, se soluciona el sistema y se verifican las soluciones.

Por ejemplo, resuelve los siguientes problemas:

1. La suma de dos números es el doble de su diferencia. El número mayor es 6 unidades

mayor que el doble del más pequeño. Halla los números.

X = número mayor

Y = número menor



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ACTIVIDAD A DESARROLLAR

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por método de

igualación.

a. b



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2. Plantea un sistema de ecuaciones por el método de reducción de cada problema

y resuelve.

a. La suma de dos números es – 50 y su diferencia es 10. Halla los números.

b. En una granja hay 50 animales entre gallinas y vacas. Si el número de patas

(patas para caminar) es 140. ¿Cuántos animales hay en la granja de cada

especie?

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Teniendo en cuenta la situación por la que estamos atravesando y el contexto en el que nos

encontramos, se tendrá en cuenta varios aspectos esenciales a la hora de evaluar del trabajo en

casa realizado por los estudiantes, como son: la responsabilidad, puntualidad, buen manejo de la

plataforma (Microsoft Teams) o Whatsapp y la participación.

PROFUNDIZACIÓN

Cuando se resuelve un sistema por el método de reducción, al transformar las dos ecuaciones en

una sola se pueden presentar casos especiales como:

Si en la ecuación resultante se tiene 0 = c, donde c es una constante diferente de cero

entonces, el sistema no tiene solución y se llama inconsistente.

Si en la ecuación resultante tiene 0 = 0, entonces el sistema tiene infinitas soluciones y se

le llama dependiente o indeterminado.

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