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  • A L G E B R AA S S W E L I O B A L D O R

    #Nfi)ADOR, DIRECTOR Y JEFE DE* CATEDRA DE MATEMATICAS

    COLEGIO BALDOR.ABjANA, CUBA.

    > i : DE LA CATEDRA DE

    J\7 E M ATICAS, STEV EN S S t f lD E M Y . HOBOKEN,W ^-JERSEY, U S A.

    f jiOFESOR DE MATEMATICAS.S foT P E T E R S C O LLEG E.

    SEY CITY, NEW-JERSEY

    CON GRAFICOS Y 6523 EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON RESPUESTAS

    DCIM A SEX TA REIM PRESI N M XICO, 1998

    O ^ PA IA CULTURAL EDITORA Y DISTRIBUIDORA DE TEXTO S AMERICANOS. T " * (CCEDTA) Y CODICE AMERICA, S.A. MIAMI, FLORIDA; U S A

    PUBLICACIONES CULTURAL, S.A. de C.V. MEXICO

    I rPUBLICACIONES

    CULTURAL

  • lgebraDerechos reservados: 1983, Compaa Editora y Distribuidora de textos Americanos, S.A. (CCEDTA)Cdice, Ediciones y Distribuciones, S.A.O CDICE AMRICA

    De esta edicin: 1983, PUBLICACIONES CULTURAL, S.A. de C.V.Renacimiento 180 Colonia San Juan Tlihuaca Delegacin Azcapotzalco, C.P. 02400, Mxico, D.F.

    Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial.Registro nm. 129

    ISBN 84-357-0062-3 (Cdice, Amrica)ISBN 968-439-211 -7 (Publicaciones Cultural S.A. de C.V.)

    Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrnicaso mecnicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

    Impreso en Mxico Printed in Mxico

    Primera edicin: 1982 Dcima quinta reimpresin: 1997 Dcima sexta reimpresin: 1998

    Esta obra se termin de imprimir en enero de 1998 en los talleres de Compaa Editorial Ultra, S.A. de C.V.

    Centeno No. 162 Local 2, Col. Granjas Esmeralda C.P. 09810, Mxico, D.F.

  • Para responder a la gentil deferencia que han tenido con esta obra los Profesores y Alumnos de la Amrica Latina, hemos introducido, en la presente edicin, una serie de mejoras que tienden a que este libro sea ms eficaz e interesante.

    Hemos procurado que la presentacin constituya por si sola una poderosa fuente de motivacin para el trabajo escolar. El contenido ha sido cuidadosamente revisado y se han introducido diversos cuadros y tablas para un aprendizaje ms vital y efectivo. El uso del color, en su doble aspecto esttico y funcional, hacen de esta obra, sin lugar a dudas, el Algebra ms pedaggica y novedosa de las publicadas hasta hoy en idioma espaol.

    Los Editores han estimado oportuno introducir algunos aa

    didos que contribuyan a completar el contenido de los programas vigentes. Tales aadidos son, para enumerar slo algunos, las Notas sobre el Concepto de Nmero; Nota sobre las cantidades complejas e imaginarias y el Cuadro de los Tipos Bsicos de Descomposicin Factorial.

    Esperamos que el Profesorado de Hispanoamrica sepa aquilatar el ingente esfuerzo rendido por todos los tcnicos que han intervenido en la confeccin de esta obra. Slo nos queda reiterar nuestro ms profundo agradecimiento por la acogida que le han dispensado siempre.

    Los E ditores

  • Con acendrada devocin y justo orgullo, dedico este esfuerzo editorial, a la inolvidable memoria de mi madre, Profesora Doa Ana Luisa Serrano y Poncet, que fuera Presidenta de esta Empresa durante los arios 1921 a 1926.

    Dr. Jos A. Lpez Serrano

  • NCEPTO DE NUM ERO EN LOS PUEBLOS PRIM l- fio y el conteo del nmero de animales que posean;'OS (25 ,000-5/000 A. C .) Medir y contar fueron as surgi la Aritmtica. El origen del Algebra esprimeras actividad* matemticas del hombre pri- posterior. Pasaron cientos de siglos para que el hom-yo. Haciendo marcas en los troncos de los rboles bre alcanzara un concepto abstracto del nmero, base*aban# estos primeros pueblos, la medicin del tiem- indispensable para la formacin de la ciencia algebraica.

    PRELIMINARES

    O )1 ) ALGEBRA es la ram a de la M atem tica que estudia la cantidad consid erada del m odo ms general posible.

    CARACTER DEL ALGEBRA Y SU DIFERENCIACON LA ARITMETICAE l concepto de la cantidad en A lgebra es m ucho ms am plio que en

    A ritm tica .E n A ritm tica las cantidades se representan por nm eros y stos ex

    p resan valores determ inados. As, 20 expresa u n solo valor: veinte; para exp resar un valor m ayor o m enor que ste habr que escribir un nm ero d is tin to de 20 .

    En A lgebra, para lograr la generalizacin, las cantidades se representan p o r m edio de letras, las cuales pueden represen tar todos los valores. As, a rep resen ta el valor q u e nosotros le asignemos, y por tan to puede rep resen ta r 20 o ms de 20 o menos de 20, a nuestra eleccin, aunque conv iene ad v e rtir que cuando en un problem a asignamos a una letra un valor d e te rm in ad o , esa le tra no puede represen tar, en el m ism o problem a, otro valor d is tin to del q u e le hemos asignado.

    ( T ) NOTACION ALGEBRAICALos smbolos usados en A lgebra para rep resen ta r las cantidades son los

    nm eros y las letras.

    5

  • 6 a l g e b r a

    Los nmeros se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.

    Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

    Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d . ..

    Las cantidades desconocidas se representan por las ltimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

    Una misma letra puede representar distintos valores diferencindolos por medio de comillas; por ejemplo: a a " , a'", que se leen a prima, a segunda, a tercera, o tambin por medio de subndices; por ejemplo: alt a2, (h, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.

    .4 ) FORMULAS

    Consecuencia de la generalizacin que implica la representacin de las cantidades por medio de letras son las frmulas algebraicas.

    Frmula algebraica es la representacin, por medio de letras, de una regla o de un principio general.

    As, la Geometra ensea que el rea de un rectngulo es A = b X igual al producto de su base por su altura; luego, llamando A _ al rea del rectngulo, b a la base y h a la altura, la frmula 'representar de un modo general el rea de cualquier rectngulo, pues el rea de un rectngulo dado se obtendr con slo sustituir A = b xh= S m X2 m =6 m J b y h en la frmula anterior por sus valores en el caso dado. As, si la base de un rec- _ tngulo es 3 m. y su altura 2 m., su rea ser: '

    El rea de otro rectngulo cuya /4= 6x/i= 8 m.x3^ m.=28 m.2. base fuera 8 m. y su altura 3 m. sera: /* Q , +

    SIGNOS DEL ALGEBRALos signos empleados en Algebra son de tres clases: Signos de Ope

    racin, Signos de Relacin y Signos de Agrupacin.

    ( T ) SIGNOS DE OPERACIONEn Algebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que

    en Aritmtica: Suma, Resta, Multiplicacin, Divisin, Elevacin a Potencias y Extraccin de Races, que se indican con los signos siguientes:

    El Signo de la Suma es +, que se lee ms. As a + b se lee a ms b.

    ( ) En el Cap. XVIII , pgi na 270, se estudia ampl i ament e todo lo relacionado con las frmulas algebraicas.

  • FR ILIM 'M A K # 7

    El Signo de la Resta es , que se lee menos. As, a b se lee a menos b '\

    El Signo de la M ultiplicacin es X, que se lee m ultiplicado por. As, a x b se lee a m ultiplicado por b*\

    En lugar del signo X suele emplearse un punto entre los factores y tam bin se indica la m ultiplicacin colocando los factores entre parntesis.As, a .b y (

  • ( T ) SIGNOS DE RELACIONSe emplean estos signos para indicar la relacin que existe entre dos

    cantidades. Los principales son:=, que se lee igual a. As, a = b se lee a igual a b.>, que se lee mayor que. As, x + y > m se lee x + y mayor que ra. ) -^ - { c d }indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.

    MODO DE RESOLVER LOS PROBLEMAS EN ARITMETICA Y EN ALGEBRAExponemos a continuacin un ejemplo para hacer notar la difeiencia

    entre el mtodo aritmtico y el algebraico en la resolucin de problemas, fundado este ltimo en la notacin algebraica y en la generalizacin que sta implica.

    Las edades de A y B suman 48 aos. Si la edad de B es 5 veces la edad de A, qu edad tiene cada uno?

    METODO ARITMETICO

    Edad de A ms edad de 5 = 48 aos.Como la edad de B es 5 veces la de A, tendremos:

    Edad de A ms 5 veces la edad de A 48 aos.O sea, 6 veces la edad de A = 48 aos;luego, Edad de A= 8 aos. R.

    Edad de 3 = 8 aos X 5 = 40 aos. R.

    METODO ALGEBRAICO

    Como la edad de A es una cantidad desconocida la represento por x. Sea x = edad de A .Entonces 5x = edad de B.

    Como ambas edades suman 48 aos, tendremos: x + 5x = 48 aos;

    o sea, 6x = 48 aos.

    8 LGEBRA

  • CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS # 9

    Si 6 veces x equivale a 48 aos, x valdr la sexta parte de 48 aos,o sea

    Entoncesx = 8 aos, edad de A . R.

    5x = S aos X 5 = 40 aos, edad de B . R.

    CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVASEn Algebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en

    dos sentidos opuestos o que son de condicin o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condicin o modo de ser (valor relativo) de la cantidad por medio de los signos + y , anteponiendo el signo + a las cantidades tomadas en un sentido determ inado (cantidades positivas) y anteponiendo el signo a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (cantidades negativas).

    As, el haber se designa con el signo + y las deudaj con el signo . Para expresar que una persona tiene $100 de haber, diremos que tiene + $100, y para expresar que debe $100, diremos que tiene $100.

    Los grados sobre cero del term m etro se designan con el signo + y los grados bajo cero con el signo . As, para indicar que el termmetro marca 10 sobre cero escribiremos + 10 y para indicar que marca 8 o bajo cero escribiremos 8 o

    El cam ino recorrido a la derecha o hacia arriba