unidad 4 teoría del productor
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EconomıaGeneral
Jose DavidSolorzano
III Cuatrimestre 2013
Economıa GeneralTeorıa del Productor
Jose David Solorzano
Noviembre 2013
EconomıaGeneral
Jose DavidSolorzano
III Cuatrimestre 2013
Produccion y ofertaIntroduccion
En esta parte estudiaremos la produccion y oferta de bienes economi-cos
Los agentes a analizar seran las empresas, y aunque todas lasempresas tienen diferentes objetivos, se tomara como fin de laempresas el maximizar produccion y beneficios
Se discutira acerca de las funciones de produccion y de costos
Las empresas tienen que elegir la cantidad optima de insumosnecesaria para la produccion
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Funciones de produccionModelizacion
La principal actividad de las empresas es convertir insumos enproductos finales
Los economistas estan interesados en estudiar las decisiones quelas empresas toman pero evitando las cuestiones tecnicas (eso estrabajo de los ingenieros)
Por tal razon, se tienen modelos abstractos de produccion, quemuestran la relacion entre insumos y productos. A estos se lellaman funciones de produccion
q = f (k , l ,m, ...)
donde q representa la cantidad producida de cierto bien en unperıodo de tiempo, k el uso de capital, l las horas de trabajo, mla materia prima utilizada.
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Productividad marginalCambio en la produccion
Para el analisis posterior, se simplificara la funcion de produccion
q = f (k , l)
Para estudiar la variacion en un factor, se define el producto mar-ginal
Producto marginal
El producto marginal de un factor productivo es el producto adicio-nal que podemos obtener empleando una unidad mas de ese factor,manteniendo todo lo demas constante
producto marginal del capital = PMgk =∂q
∂k= fk
producto marginal del trabajo = PMgl =∂q
∂l= fl
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Producto marginal decrecienteComportamiento del producto marginal
El producto marginal de un factor productivo dependera de lacantidad utilizada de ese factor
A medida que se tiene mayor cantidad de factor, la productividadmarginal es menor
∂PMgk∂k
=∂2f
∂k2= fkk = f11 < 0
∂PMgl∂l
=∂2f
∂l2= fll = f22 < 0
Las variaciones de la productividad marginal de cierto factor, comoel trabajo, tambien depende de otros factores, como el capital
En la mayor parte de los casos ∂PMl
∂k = flk > 0. Es decir, laproductividad del trabajo aumenta cuando aumenta el capital
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Productividad promedioProductividad del trabajo
Muchas veces se entiende la productividad del trabajo como laproductividad promedio, que es la produccion por unidad de tra-bajo.
Ejemplo: Cantidad de cafe cortado por hora de trabajo
El producto promedio del trabajo (PPl) se define como
PPl =producto
factor trabajo=
q
l=
f (k, l)
l
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Mapa de isocuantasCurvas de nivel de las funciones de produccion
Isocuanta
Una isocuanta muestra las combinaciones de k y l que producen de-terminada cantidad de un bien (por ejemplo, q0). Matematicamente,una isocuanta registra el conjunto de k y l que cumple con
f (k , l) = q0
Es un concepto analogo al de las curvas de indiferencias, pero enel caso de las isocuantas el nivel de cada curva es cuantificable.
Las isocuantas registran niveles de produccion mas altos a medidaque se aleja del origen
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Mapa de isocuantasGrafico
A continuacion un mapa de isocuantas con diferentes niveles deproduccion
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Tasa tecnica de sustitucionTTS
Tasa tecnica de sustitucion
La tasa tecnica de sustitucion(TTS) muestra la tasa a la que se puedesustituir capital por trabajo manteniendo constante la produccion a lolargo de una isocuanta. Matematicamente,
TTS(l por k) = −dk
dl
∣∣∣∣q−q0
De manera alternativa tenemos que
TTS(l por k) =∂q∂l∂q∂k
=PMglPMgk
Esta expresion sera positiva en la mayorıa de los casos porque lasproductividades marginales son positivas
Tambien debe ser decreciente para asegurar la convexidad de lasisocuantas
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Rendimientos a escalaCambios de la produccion ante incrementos de los factores
Es importante saber si los factores de produccion aumentan encierta proporcion, por ejemplo se duplican, que pasa con la canti-dad producida
La cantidad producida puede aumentar en la misma proporcion,en una mayor, o en una menor proporcion.
Rendimientos a escala
Si la funcion de produccion esta determinada por q = f (k, l) y simultiplicamos todos los factores por la misma constante positiva t > 1,clasificamos los rendimientos a escala de la siguiente manera:
Efecto en la produccion Rendimientos a escalaf (tk , tl) = tf (k , l) = tq Constantesf (tk , tl) < tf (k , l) = tq Decrecientesf (tk , tl) > tf (k , l) = tq Crecientes
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Rendimientos a escalaDiferentes rendimientos a escala
Es posible que una funcion de produccion tenga diferentes rendi-mientos a escala para diferentes niveles
Para medir localmente los rendimientos a escala se utiliza la elas-ticidad de escala,
eq,t =∂f (tk , tl)
∂t
t
f (tk , tl)
donde la expresion se evaluara en t = 1
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Rendimientos a escala constantes
Existen diversas razones que explican por que una funcion de pro-duccion puede mostrar rendimientos a escala constantes
Por ejemplo, si la empresa opera varias plantas identicas, al au-mentar la cantidad de plantas se aumenta la produccion en lamisma proporcion
La funcion de produccion con rendimientos a escala constantes eshomogenea de grado 1
f (tk, tl) = t1f (k , l) = tq
Se sabe que si una funcion es homogenea de grado k, entoncessus derivadas son homogeneas de grado k − 1. Esto implica quelas funciones de productividad marginal son homogeneas de gradocero
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Rendimientos a escala constantes
Las funciones de productividad marginal son
PMgk =∂f (k , l)
∂k=∂f (tk , tl)
∂k
PMgl =∂f (k , l)
∂l=∂f (tk, tl)
∂l
Si hacemos t = 1/l tendremos
PMgk =∂f
(kl , 1
)∂k
PMgl =∂f
(kl , 1
)∂l
Esto quiere decir que la productividad marginal de un factor de-pende exclusivamente de la razon del capital sobre el trabajo. Estoayuda a explicar las diferencias de productividad entre paıses
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Funciones homoteticas de produccion
Debido a que la TTS es el cociente de las productividades mar-ginales, para una funcion de rendimientos a escala constantes laTTS dependera solo de la razon de los factores de produccion
Por tanto las isocuantas seran expansiones radiales de otra iso-cuanta
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Elasticidad de sustitucionFacilidad de sustitucion
Se trata de cuantificar la facilidad con la cual se puede sustituirun factor por otro
Esto va a depender de la forma de la isocuanta
A lo largo de una isocuanta la TTS disminuye a medida que k/ldisminuye
Si la TTS no cambia cuando k/l varıa, entonces se puede de-cir que la sustitucion es facil porque la razon de productividadesmarginales no varıa cuando cambia la combinacion de factores
Si la TTS cambia con rapidez ante variaciones de k/l se dice que lasustitucion es difıcil, porque pequenas variaciones de la combina-cion de factores tiene efectos significativos en las productividadesrelativas
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Elasticidad de sustitucionDefinicion
Elasticidad de sustitucion
En el caso de la funcion de produccion q = f (k, l), la elasticidadde sustitucion (σ) mide la variacion porcentual de k/l respecto a lavariacion porcentual de la TTS a lo largo de la isocuanta
σ =∆ %(k/l)
∆ %TTS=
d(k/l)
dTTS· TTSk/l
=∂ ln k/l
∂ lnTTS
Dado que k/l y la TTS se mueven en la misma direccion, el valorde σ es positivo
Un valor alto de σ implica que la TTS no cambiara mucho conrespecto a k/l y la isocuanta sera relativamente plana. Si σ tieneun valor bajo, la TTS cambiara sustancialmente a medida quevarıa k/l y la isocuanta sera bastante curvada
Una forma alternativa para encontrar la elasticidad de sustitucion
σ =fk · flf · fk,l
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Elasticidad de sustitucionGrafica
En la grafica se observa que al moverse del punto A al B se cambiade niveles de k y l y la TTS
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Funciones de produccionCaso 1: Lineales (σ = ∞)
Las funciones lineales vienen dadas por:
q = f (k , l) = ak + bl
Esta funcion muestra rendimientos constantes a escala.
f (tk , tl) = atk + btl = t(ak, bl) = tf (k, l)
Dado que la TTS es constante a lo largo de una isocuanta, en ladefinicion de σ el denominador es cero, por tanto σ es infinito.
Rara vez se encuentra en la practica tanta facilidad de sustitucion.
Se puede considerar el capital y trabajo como sustitutos perfectos
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Funciones de produccionCaso 2: Proporciones fijas (σ = 0)
La funcion de produccion de proporciones fijas se caracteriza porque no puede sustituirse los factores (σ = 0)
Una empresa con esta funcion de produccion siempre operara enel vertice del grafico, porque fuera de este punto estarıa siendoineficiente
Entonces k/l es constante, por tanto σ = 0
La funcion esta determinada por
q = mın (ak, bl)
Cuando ak = bl es que los factores son utilizados plenamente
Esta funcion de produccion tiene muchas aplicaciones. Por ejem-plo, muchas maquinas exigen la presencia de una cantidad deter-minada de personas para operarlas
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Funciones de produccionCaso 3: Cobb-Douglas(σ = 1)
La funcion de produccion Cobb-Douglas ofrece un caso intermediode los dos casos extremos anteriores
La expresion matematica de la funcion es
q = f (k , l) = Akalb
donde A,a y b son constantes positivas
Supongamos que todos los factores de produccion se multiplicanpor t
f (tk, tl) = A(tk)a(tl)b = ata+bkalb = ta+bf (k, l)
Si a+b = 1 entonces la funcion Cobb-Douglas tiene rendimientosconstantes a escala, si a+b > 1 rendimientos crecientes a escala,y si a + b < 1 se tendra rendimientos decrecientes a escala.
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Funciones de produccionCaso 4: Funcion de produccion CES
La funcion que generaliza los tres casos anteriores, a cualquier σes la funcion con elasticidad de sustitucion constante (CES)
La funcion esta determinada por
q = f (k , l) = [kρ + lρ]γ/ρ
para ρ ≤ 1, ρ 6= 0 y γ > 0
El exponente γ/ρ permite introducir explıcitamente los factores derendimientos a escala. Si γ > 1 la funcion muestra rendimientoscrecientes a escala, pero si γ < 1 tiene rendimientos decrecientes
Si se aplica la definicion de elasticidad de sustitucion se obtiene
σ =1
1− ρPor tanto, el caso lineal, el de proporciones fijas y el Cobb-Douglascorresponden a ρ = 1, ρ = −∞ y ρ = 0.
Con frecuencia se utiliza la funcion CES con poderaciones β (0 ≤β ≤ 1)
q = f (k , l) = [βkρ + (1− β)lρ]γ/ρ
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Funciones de produccionGrafica
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Avances tecnologicosGrafica
Los avances tecnologicos desplazan la isocuanta q0 hacia el origen
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Avances tecnologicosMedicion
Supongamos que una funcion de produccion viene dada por
q = A(t)f (k , l)
Los cambios de A a lo largo del tiempo representan los avancestecnologicos, por tanto dA/dt > 0 (teoricamente)
Si diferenciamos con respecto al tiempo
dq
dt=
dA
dt· f (k , l) + A · df (k , l)
dt
=dA
dt· qA
+q
f (k , l)
[∂f
∂k· dkdt
+∂f
∂l· dldt
]Si se divide entre q se obtiene
dq/dt
q=
dA/dt
A+∂f /∂k
f (k , l)· dk/dt
k+∂f /∂l
f (k, l)· dldt
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Contabilidad del crecimientoEcuacion
Agregando k y l en las expresiones anteriores
dq/dt
q=
dA/dt
A+∂f
∂k· k
f (k , l)· dk/dt
k+∂f
∂l· l
f (k, l)· dt/dt
l
Ahora le llamaremos Gx a las expresiones dx/dtx , son las tasas de
crecimientos y:
∂f
∂k· k
f (k, l)=
∂q
∂k· kq
= eq,k = elasticidad de la produccion respecto al factor capital
∂f
∂l· l
f (k, l)=
∂q
∂l· l
q
= eq,l = elasticidad de la produccion respecto al factor trabajo
Por tanto la ecuacion de crecimiento final es
Gq = GA + eq,kGk + eq,lGl
Esto implica que la tasa de crecimiento de la produccion se puededesagregar en tres componentes
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Funciones de costosDefinicion de costos
Hay que hacer una distincion entre costo contable y costo economi-co
Los economistas y los contadores toman los costos laborales deforma similar. Es el costo por pago de salarios.
Sin embargo para el caso de los costos de capital, los contadorestoman en cuenta el precio de la maquina y aplican una depre-ciacion, mientras que los economistas lo toman como el valor dealquiler de esa maquina
Por tanto, el costo economico de un factor de produccion es elpago necesario para mantenerlo en su uso actual. Asimismo, elcosto economico de un factor es la remuneracion que ese factorrecibirıa en su mejor empleo alternativo.
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Costo totalSupuestos
Asumimos que la produccion depende del trabajo (l , medido enhotas-hombre) y un capital homogeneo (k, medido en horas-maquina
Los costos empresariales estan incluidos en los costos del capital
Tambien suponemos que los factores de produccion son contra-tados en mercados de factores perfectamente competitivos. Losprecios del trabajo y del capital son w y v respectivamente
Por tanto, el total del costo de la empresa esta dado por:
costo total = C = wl + vk
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Minimizacion de costosDerivacion matematica
Se trata de un problema de minimizacion con restricciones
Buscamos minimizar el total de costos dado q = f (k, l) = q0.Podemos definir el lagrangiano:
L = wl + vk + λ[q0 − f (k, l)]
Las condiciones de primer orden con restricciones son:
∂L
∂l= w − λ∂f
∂l= 0
∂L
∂k= v − λ∂f
∂k= 0
∂L
∂λ= q0 − f (k , l) = 0
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Minimizacion de costosSolucion
Las condiciones de primer orden dan como resultado:
w
v=∂f /∂l
∂f /∂k= TTS(l para k)
Manipulando un poco los resultados tenemos
fkv
=flw
Entonces, para minimizar los costos la productividad marginal porunidad monetaria debe ser igual para todos los factores
Tambien tenemosw
fl=
v
fk= λ
Esto representa el costo adicional de obtener una unidad mas deproducto contratando mas trabajo o mas capital.
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Minimizacion de costosGrafico
Se busca la lınea de costos menor que permita un nivel de pro-duccion determinada por la isocuanta
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La senda de expansion de la empresaDiferentes nivel de produccion
Una empresa busca estar en el punto de minimizacion de costospara cada nivel de produccion deseado
Para los diferentes niveles de produccion existiran diferentes com-binaciones de trabajo y capital que minimicen el costo total, siem-pre y cuando los precios de los factores permanezcan constantes
Si seguimos el rastro de esos puntos, nos da lo que llamamossenda de expansion de la empresa
Si la funcion de produccion es homotetica la senda de expansionsera una lınea recta de pendiente positiva
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La senda de expansion de la empresaGrafica
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Le senda de expansion de la empresaGrafica
Si se tiene que el trabajo es un factor inferior, es decir que serequiere menos trabajo a mayores niveles de produccion,se tienela siguiente senda de expansion
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Funciones de costosDefinicion
Funcion de costo total
La funcion de costo total muestra que, para un conjunto cualquiera delos precios de los factores y para un nivel cualquiera de produccion, elcosto total mınimo contraıdo por la empresa es
C = C (v ,w , q)
La funcion de costo total aumenta a medida que aumenta la pro-duccion q
Esta funcion se obtiene al sustituir en el costo total los valoresoptimos de trabajo y capital resultantes del proceso de minimiza-cion
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Funciones de costo promedio y costo marginalDefiniciones
A menudo resulta conveniente analizar el costo por unidad deproducto. Para esto se utilizan dos medidas: el costo promedio,que es el costo por unidad de producto, y el costo marginal, quees el costo de producir una unidad mas
La funcion de costo promedio (CP) se calcula dividiendo el costototal entre la cantidad
costo promedio = CP(v ,w , q) =C (v ,w , q)
q
La funcion de costo marginal (CMg) se calcula con la variacion delcosto total que se deriva de una variacion del nivel de produccion:
costo marginal = CMg(v ,w , q) =∂C (v ,w , q)
∂q
Estas dos medidas dependen del nivel de produccion y de los pre-cios de los factores productivos
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Costo total, Costo promedio y Costo marginalFuncion con rendimientos a escala constante
Supongamos que tenemos una funcion con rendimientos a escalaconstantes y
C (q = 1) = vk1 + w1
Ası que para producir m unidades tendrıamos
C (q = m) = vmk1 + vml1 = m(vk1 + wl1)
= m · C (q = 1)
estableciendose ası una proporcionalidad entre produccion y costos
En este caso la funcion de costos totales es igual a C = aq ypor tanto el costo promedio y costo marginal son iguales CP =CMg = a
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Costo total, Costo promedio y Costo marginalGrafico
Para el caso de funciones con rendimiento constante a escala setienen las siguientes graficas de Costo total, Costo promedio yCosto marginal
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Costo total, Costo promedio y Costo marginalFuncion de costos cubica
Podemos tener una curva de costo total que sea inicialmenteconcava y finalmente convexa, lo que significa que en un prin-cipio los costos aumentan pero con una tasa cada vez menor yluego los costos comienzan a aumentar progresivamente a mayorvelocidad
Este puede ser un caso en el que exista un tercer factor que per-manece fijo a medida que aumenta la cantidad de trabajo y capitalque se utilizan
El costo marginal va a tener una forma de “U”porque disminuyea lo largo de la parte concava y aumenta en la siguiente parte.Esta funcion es siempre mayor que cero
El costo promedio empieza siendo igual al costo marginal, peroa medida que aumenta la produccion CP > CMg porque el CPrefleja los costos marginales de todas las unidades producidas perolos menores costos marginales hacen decrecer el Costo promediohasta que llegan a ser iguales en el punto mınimo de CP y luegoCMg > CP
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Costo total, Costo promedio y Costo marginalGrafico
Para el caso de funciones de costos cubica se tienen las siguientesgraficas de Costo total, Costo promedio y Costo marginal
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Sustitucion de factoresAlternativa a la elasticidad de sustitucion
Un cambio en el precio de un factor hara que la empresa queminimiza sus cosos modifique su conjunto de factores
Se quiere conocer como afecta la variacion de precios en la susti-tucion de factores
Para esto tenemos una medida de elasticidad de sustitucion unpoco diferente de la planteada anteriormente
s =∂k/l
∂w/v· w/vk/l
=∂ ln k/l
∂ lnw/v
Esta es una definicion alternativa y mas intuitiva de la elasticidadde sustitucion
Valores altos de s indican que las empresas cambian sustancial-mente los factores cuando hay variacion de precios, valores bajosindica lo contrario
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Demanda condicionada de los factoresLema de Shephard
El proceso de minimizacion de costos crea una demanda implıcitade factores de produccion
Esta demanda depende, o lo que es lo mismo, esta condicionadaa la cantidad que se desea producir
Para encontrar estas demandas se puede utilizar el lema de Shep-hard con las funciones de costo. Esto es:
∂C (v ,w , q)
∂v= kc(v ,w , q)
∂C (v ,w , q)
∂w= lc(v ,w , q)
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Corto plazo y largo plazoDiferencias
Se asume que en el corto plazo una empresa tiene flexibilidadlimitada para sus acciones
En este caso suponemos que el factor capital se mantiene fijo aun nivel k1 y la empresa solo tiene libertad para variar el factortrabajo. Por tanto
q = f (k1, l)
Esto implica que en el corto plazo es muy difıcil variar el nivel decapital pero si se puede variar el nivel de trabajo
Se puede enunciar la funcion de costo total a corto plazo comosigue
CTcp = vk1 + wl
El termino vk1 se entiende como un costo fijo (no varıa en el cortoplazo) y el termino wl se entiende como costo variable
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Costo fijo y costo variableDefinicion
Lo anterior nos permite plantear las siguientes definiciones
Costo fijo
El costo fijo a corto plazo es aquel que se refiere a los factores que laempresa no puede variar a corto plazo.
Costo variable
El costo variable a corto plazo es aquel que se refiere a los factoresque la empresa puede variar para cambiar el nivel de su produccion.
La importancia de esta diferenciacion es que el costo variable sepuede evitar si no se produce nada pero el costo fijo siempre sedebe pagar, independientemente del nivel de produccion (inclusocero).
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Costos a corto plazo no optimosNo se da la minimizacion de costos
Dado que en el corto plazo el capital es fijo, la empresa no puedeigual su TTS al cociente de precio de factores. Se tienen entoncespuntos con mas o menos capital del necesario
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Curvas de costos a corto y largo plazoRelacion
Las curvas de costo a largo plazo son las curvas de costo mınimoporque en este caso si se pueden decidir las combinaciones detrabajo y capital optimos
Se sabe que las curvas de costo a largo plazo siempre estaran pordebajo de las curvas de costos a corto plazo, a excepcion de unpunto en el que los costos son iguales
Expresado de otra forma CTcp > CT excepto para un punto enel que CTcp = CT
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Curvas de costos a corto y largo plazoGrafico
La relacion entre curvos de costo a corto y a largo plazo se expresagraficamente de la siguiente manera
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Costo promedio y costo marginal a corto plazoCosto por unidad producida
Podemos obtener las curvas de costo promedio y costo marginalque se deriven de la funcion de costos a corto plazo
Matematicamente se tiene
CPcp =costo total
produccion total=
CTcp
q
CMgcp =cambio de costo total
variacion de produccion total=∂CTcp
∂q
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Curva de oferta a corto plazoEmpresa tomadora de precios
A corto plazo una empresa tomadora de precios producira el nivelde produccion en el cual CMgcp = P. Sin embargo a preciosinferiores al costo promedio la empresa optara por no producir