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COLEGIO LUIS PATRON ROSANO CICLO 4 NOCTURNO LIC. CARLOS GARCIA SEÑA CICLO 4 NOCTURNO OBSERVACION POSIBLEMETE TENGA ALGUNOS ERRORES DE TRANSCRIPCION LOS POSIBLES ERRORES ME LOS ENVIAN 1

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COLEGIO LUIS PATRON ROSANOCICLO 4 NOCTURNO

LIC. CARLOS GARCIA SEÑA

CICLO 4 NOCTURNO

OBSERVACION POSIBLEMETE TENGA ALGUNOS ERRORES DE TRANSCRIPCIONLOS POSIBLES ERRORES ME LOS ENVIANAL CORREO [email protected]

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COLEGIO LUIS PATRON ROSANOCICLO 4 NOCTURNO

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NIVEL 4

UNIDAD 0: INTRODUCCIÓN

UNIDAD 1: NUMEROS REALES 0. Introducción

1. Números naturales y propiedades2. Números enteros y propiedades3. Números racionales y propiedades4. Números irracionales5. El conjunto de los números reales operaciones y propiedades5.1La recta numérica o real5.2Relacion de orden5.3Operaciones con los números reales5.3.1(+,-,x,) y propiedades5.3.2Potenciacion radicación logaritmación

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

Sección 1 : Introducción al álgebra

1. Expresiones Algebraicas 2. Grados Relativo y Absoluto 3. Polinomios Completos 4. Polinomios Ordenados 5. Polinomios Homogéneos 6. Ejemplos

Sección 2 : Operaciones con monomios

1. Términos Semejantes

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2. Suma y Resta de Monomios 3. Multiplicación de Monomios 4. División de Monomios 5. Potenciación de Monomios 6. Radicación de Monomios

Sección 3 : operaciones con polinomios

1. Términos Semejantes 2. Suma y Resta de Polinomios 3. Multiplicación de Polinomios 4. Potenciac ión de Polinomios 5. Productos Notables 6. División 7. Cocientes Notables

Sección 4 : factorización

1. Factor Común Monomio 2. Factor Común Polinomio 3. Factorización por Agrupación de Términos

UNIDAD 3: FUNCION Y ECUACIONES LINEALES

1. Función2. Producto cartesiano3. Correspondencia entre conjuntos4. Clases de funciones5. Ejemplos6. Ecuaciones7. Tipo de ecuaciones8. Resolución de ecuaciones

LinealCuadráticaBicuadrática

UNIDAD 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1. Sistema de ecuaciones2. Sistemas de ecuaciones lineales

Método de sustituciónMétodo fe igualaciónMétodo de reducciónRepresentación gráfica

UNIDAD 5: NUMEROS COMPLEJOS

1. Introducción2. Historia3. Propiedades4. El plano complejo5. Soluciones complejas

BIBLIOGRAFIA

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UNIDAD 0 : INTRODUCCIÓN

Sí los cálculos no estuvieran sujetos a dudas y contradicciones, la matemática sería, al final de una simplicidad insípida, tibia, apagada, sin interés alguno. No habría raciocinio, ni sofismas, ni artificio; la teoría más interesante desaparecería entre las nebulosidades de las nociones inútiles. Presentándose, sin embargo, aún en las fórmulas más perfectas y rígidas, las dudas, incertidumbre y contradicciones, el matemático toma del carcaj de su inteligencia, sus armas y se apresta a combatir. Donde el ignorante ve incertidumbre y contradicciones, el geómetra demuestra que existe firmeza y armonía. 1

Observación:De la segunda unidad en adelante no se plantean ejercicios en él modulo, queda a opción del profesor escogerlos y aplicarlos a sus alumnos. Separadamente. C..G.S.

1 Tomado del texto: El hombre que calculaba Pág. 26

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UNIDAD 1: NUMEROS REALES

0. INTRODUCCIÓN

Antes de iniciar el estudio de los números reales, se hace una revisión de los conjuntos numéricos dados en niveles anteriores, enumerar sus principales propiedades y recordar cuales operaciones están definidas en ellos y cuales no están definidas.

1.NUMEROS NATURALES Y PROPIEDADES El conjunto de los números naturales se representa por la letra N y sus elementos son: N = 0,1,2,3,4,5,6,7... PROPIEDADES

1. N es un conjunto infinito2. Entre dos números naturales siempre existe un numero finito de números naturales.

Por ejemplo: Entre 12 y 13 existe cero números naturales. Entre 4 y7 existen dos números naturales Entre 10 y 39 existen 28 números naturales

3. N tiene al cero como primer elemento. No tiene ultimo elemento.4. Todo numero natural tiene sucesor.

6 es el sucesor de 5 89 es el sucesor de 885. Todo numero natural excepto el cero tiene antecesor.

8 es el antecesor de 9 78 es el antecesor de 796. Un numero natural y su sucesor se llaman consecutivos.

34 y 35 son consecutivos 786 y 787 son consecutivos7. En la recta numérica a cada numero natural le corresponde un punto y solo uno,

Sobre la recta. Los números naturales no completan la recta.

8. N es un conjunto ordenado por la relación

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9. Operaciones en N.Las operaciones de adición, multiplicación y potenciación siempre son posibles en N. La sustracción, división y radicación no siempre son posibles.

ACTIVIDAD 1

1. Por que los números naturales es un conjunto ordenado?2. Escribe el consecutivo de los siguientes números

34 –78 –3 - 60 – 100 – 0 - 100003 – 100000060

3. Escribe el antecesor de los números si tienen

4 – 5 – 0 – 100 – 999 – 100023 – 1

4. Coloca en la raya la relación >, < o =

56___45 23_____74 1001______547 101_____1001 7845_____456

0___2 5____0 123____124

5. Explique por que 5>2 y trate de generalizar observa la recta numérica6. En la última ronda del campeonato alemán de fútbol el equipo del Bayer Munich

obtuvo tres puntos más que el Hamburgo. El PSV Doven obtuvo el doble de puntos que el Bonn que igualó al Hamburgo en puntos. Si el Bayer Munich cuenta con trece puntos:

a. Cuántos puntos obtuvo cada equipo?

b. Ordeno los equipos según el puntaje de menor a mayor

2. LOS NUMEROS ENTEROS Y PROPIEDADES

El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z. Z = ...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...

PROPIEDADES.

1. Z es un conjunto infinito2. Entre dos números enteros siempre existe un numero finito de números enteros.

Entre –7 y 1 existen siete números enteros.

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Entre – 2 y 2 existen tres números enteros.3. Z no tiene ni primer ni último elemento.4. En la recta numérica los números enteros positivos están a la derecha y los enteros

negativos a la izquierda. El entero cero va en el centro de la recta. A cada numero entero le corresponde uno y solo un punto de la recta. Los números enteros no completan la recta numérica.

5. N es subconjunto de Z ( N Z)6. Todo numero entero tiene sucesor7. Todo numero entero tiene antecesor8. Un numero entero y su sucesor se llaman consecutivos

-3 y –4 son consecutivos 9. Los números enteros es un conjunto ordenado por la relación

10. Operaciones en Z.Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y la potenciación de base entera y exponte natural, siempre son posibles en Z. Mientras que la división, potenciación de exponente negativo y la radicación no siempre son posibles en Z.

ACTIVIDAD 2

1. Analiza las propiedades de N y los Z que conclusiones puedes sacar?2. Cuántos números naturales están comprendidos entre:

a) 23 y 31 b) 765 y 876 c) –3 y 53. Cuántos números enteros están comprendidos entre:

a) -8 y 4 b) -6 y –5 c) 2 y –3 d) -5 y 04. Coloca , ó según corresponda en :

-3 ____ 7 4_____ -5 -2____ -56 -564_____ -453 -(-7 )___ 7

-3 + 6 –89 +76______ 34 – 67 + 65 -123 x 6____ 53 64___26

-5 +8 +(-45)-876_______ 7x (-5) + 300 -3 – 4 –78 +675x (-4) +654___-543

3. LOS NUMEROS RACIONALES Y PROPIEDADES. El conjunto de los números racionales se representan por Q. Los números racionales se

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Crearon para poder resolver los casos no posibles de división entre números enteros Z. Q = { a / b tal que a, b Z y b 0 }

PROPIEDADES

1. Q es un conjunto infinito.

2. Q es un conjunto denso, es decir entre dos números racionales existen infinitos

números racionales

3. Q no tiene primero ni último elemento.

4. N C Z C Q

5. Ningún número racional tiene sucesor ni antecesor

6. Q es un conjunto ordenado por la relación

7. En Q siempre son posibles las operaciones de adición, la sustracción, la

multiplicación, la división (con divisor distinto de cero) y la potenciación de base

racional y exponente entero (excepto 0 ).

En Q no son siempre posibles la potenciación de base racional y exponente racional

y la radicación.

8. Todo número racional se puede transformar en una expresión decimal periódica.

9. El conjunto de los números racionales es el conjunto de las expresiones decimales

4. LOS NUMEROS IRRACIONALES

El conjunto de los números irracionales se representa por la letra I.Los números irracionales son los números de infinitas cifras decimales no periódicas.Ejemplos: , , , -

El conjunto de números irracionales no completa la recta.

ACTIVIDAD 3

CUESTIONARIO DE SELECCIÓN MÚLTIPLE1. Si a, b Z, a > -3 y b < 5, entonces:

A. (a – b) > 2 B. (a – b) < 2 C. (a – b) < -8 D. (a – b) > 8

2. Si a, b y c son números enteros, entonces sólo una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

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A. Si a < 0 y b < 0, entonces a . b < 0 B. Si a < b, entonces (b – a) < 0.C. Si 0 < a y b < 0, entonces a > b. D. Si a < b, entonces a – c > b – c

3. Si a/b Q tal que 0 < a/b < 1, entonces sólo una de las siguientes afirmaciones es cierta.A. (a/b)2 < (a/b)3 B. (a/b)2 > (a/b) C. (a/b)2 > 1 D. (a/b)2 > (a/b)3

4. Dada la expresión decimal periódica 7,517, uno de los siguientes números racionales está representada por ella:A. 7517 B. 3584 C. 512 D. 3721 1000 990 990 495

5. Una pelota de caucho se deja caer desde una altura de 9 metros. Si cada vez rebota un tercio de la altura desde la cual ha caído esa vez, entonces la altura que alcanza después del quinto rebote es.A. 1/3 m B. 1/9 m C. 1/27m D. 1/81 m

5. EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES, OPERACIONES Y PROPIEDADES.

NUMEROS REALES.

Un número real es un número que puede representarse mediante una expresión decimal de infinitas cifras.Notación: Si Q: conjunto de números racionales I: conjunto de números irracionales R: conjunto de números realesEntonces:

R= Q U IEl conjunto R de los reales lo forman los números racionales y los números irracionales.Como Q R, I R, entonces existen números reales positivos y números reales negativos.R+: conjunto de números reales positivosR-: conjunto de números reales negativos.

R = R+ U R- U {0}

5.1 LA RECTA NUMÉRICA O RECTA REAL.

la representación geométrica de los números reales es de gran importancia en el estudio de las matemáticas. Analizamos que al representar el conjunto de los números racionales sobre la recta numérica aparecen ciertos “agujeros”, a los cuales no corresponde ningún número racional. A estos “agujeros” o puntos, les corresponde un número irracional.

Entre dos números reales existen infinitos números reales (recuerde que Q R, es decir, R es un conjunto denso pero sin “agujeros” (recuerde que los “agujeros” han sido cubiertos por los irracionales) , por tanto decimos que el conjunto R es denso y continuo.

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El conjunto R de los números reales completa la recta.

Observa la ubicación de los números.

- ... | | | | | | | | | | | | | | | | | | |::: -4 -3 -2 -1 -0.5 0 ½ 1 3/2 2 5/2 3 4 5 A todo número real corresponde un punto sobre la recta y a todo punto sobre la recta corresponde un número real.

5.2 RELACION DE ORDEN EN LOS REALES

Las relaciones de orden – menor que – “y” – mayor que – en los números reales se definen de la misma forma que en el conjunto de los números racionales.Si r es un número real, sólo se puede presentar una de las siguientes condiciones:r > 0 (r es positivo) -r >0 (r es negativo) r = 0 (r es cero)

si q y p son números reales y se cumple que q < p, al representar estos reales en la recta, q está a la izquierda de p.

Si q y p están expresados como decimales positivos, para saber cuál de los dos es el menor, se comparan sus cifras decimales y se busca el primer digito en que las representaciones decimales difieren. El número cuya representación decimal tiene el menor digito en este lugar es el menor.

EJEMPLO 1:Establecer la relación “- menor que – “ entre los números reales 0,364218392 y 0,364318092.Solución.Al comparar los dígitos uno a uno se observa que:

0,364218392 < 0,364318092 porque 3 > 2.

Ordena de menor a mayor los siguientes números reales positivos:a. 0,6311812 b. 0,6412012 c. 0,6312113 d. 0,6312714e. 0,6299879 f. 0,6311913 g. 0,6311739 h. 0,6321812i. 0,6392124 j. 0,6412313

Si los dos decimales son negativos se busca el dígito en que las representaciones difieren. El número cuya representación tiene el mayor dígito en este lugar, es el menor.

EJEMPLO 2

Establecer la relación de orden entre los números –0, 43169 y –0,43153.Solución:

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Se comparan los dígitos uno a uno y se observa que –0,43169 < -0,43153 porque 6 > 5.Ordena los siguientes números reales negativos de menor a mayor:-7,214318 -7,234318 -7,214492 -7,211935 -7,234212 -7, 214217 -7,224226 -7,211936 -7,212028 -7,234320

ACTIVIDAD 4

1. Indica cuáles de las siguientes relaciones son falsas y cuáles son ciertas:a) N Z b)Z I c) R Q = Q d) Q U N U Z = Q

2. Di qué relaciones son ciertas:a) 3 I b Z c) –1/5 R d) –4 N

3. Representa sobre una recta los siguientes números reales:a) 2/3 b) –3/5 c) 6 d) –4 e) f) ¾ g) –5/6 h) 1 i) –9 j)-

4. Ordena de menor a mayor cada uno de los números del ejercicio tres

5. De los siguientes pares de números reales di cuál es el mayor:a) 3 y –3 b) 1 y –10 c) –1 y 0 d) 2/3 y ¼e) 3/5 y ¾ f) i) 3,05 y 3,5 j) 2/3 y –1 k) –8 y 1/10 l) –3/4 y 0

6.Un número elevado al cuadrado es igual a 8. ¿Cuál es el número?

7. El área de un cuadrado es igual a 128m2, ¿cuántos metros mide cada lado?

8. ¿ es un número irracional?. Justifica tu respuesta.

5.3 OPERACIONES CON LOS NUMEROS REALES

Estudiar las operaciones en el computo de los números reales es simplemente extender lo ya aprendido sobre adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación en los números enteros y racionales.

Como los números reales no se pueden escribir exactos, ya que son expresiones decimales infinitas, debemos truncar o aproximar la expresión decimal.

Se llama truncar una expresión decimal al proceso de tomar un número determinado de sus cifras decimales y descartar las otras.

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Para aproximar una cantidad a cierta cifra decimal, se busca la cifra que le sigue. Si esta es mayor o igual que cinco, se le suma uno a la cifra de aproximación. En caso que la cifra siguiente fuese menor que cinco, se descarta esta cifra y todas las que siguen.

Ejemplo 1: Si N = 4,26872476 truncar hasta las milésimas. Solución: N = 4268

Ejemplo 2 : aproximar el número N = 5,384638 hasta las milésimas .Solución: como se quiere aproximar hasta las milésimas, se observan las cifras decimales de tercero y cuarto orden. Como 6 > 5, entonces se aproximan las milésimas a la siguiente unidad y queda 4,385

Ejemplo 3 : aproximar el número 5,3824 hasta las centésimas .Solución: 5,38. Porque las centésimas del dígito es 8 y las milésimas el dígito es menor que 5.

ACTIVIDAD 51. Aproxima hasta las décimas

a) 64,12138 d) 0,04919b) 99,0382 e) 0,03826c) 17,921021 f) 39,128

1.2 Los números anteriores aproxímalos hasta las centésimas. 1.3 Los números anteriores aproxímalos hasta las milésimas

2. Truncar en la segunda cifra decimal los siguientes números reales:a. 64,29413 d. 0,034912 g. 349,191193 j. 13,001712 m. 13,491826b. 62,6934318 e. 64,921831 h. 11119,64213 k. 0,039128 n. 1,42139c. 0,0078 f. 431,42126 i. 4,912138 l. 0,042139 o. 0,394218

5.3.1 OPERACIONES CON LOS NUMEROS REALES

Adición+ : R x R R(a, b) a + b(8, 3) 8 + 3 = 11(1/2, 5 ) ½ + 5 = 11/2

Sustracción - : R x R R(a, b) a + ( - b ) = a – b(5, 2) 5 + (- 2 ) = 5 – 2 = 3(-3, 4) (-3 ) + (- 4 ) = - 3 – 4 = - 7

Multiplicación X : R x R R(a, b ) a x b = (a ) (b) = ab(5, 4 ) 5 x 4 = 20 (- 3 , 2 ) (- 3) (2) = - 6

División : R x R R(a, b) a * b = a x 1/b = a / b (9, 3) 9 * 3 = 9 x 1/3 = 9/3 = 3(- 2 , 4 ) - 2 * 4 = (- 2 ) (1/4) = - ½

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En las definiciones anteriores podemos observar que:La sustracción es la operación inversa a la adición, pues sencillamente es adicionar un número positivo con un número negativo.

a – b = a + (- b )

la división es la operación inversa a la multiplicación, porque hay que multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.

a b = a x 1/b

recordemos que con los números reales existe inverso aditivo e inverso multiplicativo llamado también recíproco. Veamos lo que es el recíproco de un número real.

Ejemplo.Efectuemos 2/3 x 3/2Solución 2/3 x 3/2 = 2 x 3 = 6 = 1

3 x 2 6

como el producto es 1, 3/2 es el recíproco de 2/3 ó 2/3 es el recíproco de 3/2.

Si a 0, b 0 y a/b x b/a = 1, entonces b/a es el recíproco de a/b y viceversa

Propiedades PropiedadesAdición: + : R x R R; (a, b) a + b Multiplicación: x : R x R; (a,b) a x b Clausurativa Si a, b, R, entonces a+ b = c, c R

Conmutativa Si a, b, cR entonces, (a+ b)+ c = a + (b + c)

Asociativa Si a, b, c R entonces, (a + b)+ c = a+ (b+c)

Modulativa Si a R, existe 0 R tal que a + 0= 0+a = a

Invertiva Si a R, a 0, existe – a R, tal quea+ (- a ) = (- a ) + a = 0

Clausurativa Si a, b R, entonces a . b = c, c R

Conmutativa Si a, b R, entonces a . b = b . a

Asociativa Si a, b, c R, entonces (a . b) . c = a . (b. c)

Modulativa Si a R, existe 1 R, tal que a x 1 =1x a =a

Invertiva Si a R, a 0, existe un único 1/a R, tal que a x 1/a = 1/a x a = 1

Distributiva: si a, b, c R, entonces, a x (b + c) = (a . b) + / a . c)

Propiedad que relaciona la adición, multiplicación y la igualdad

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Si a, b R y a = b, entonces, a + c = b + c, c R.

Si a, b R y a = b, entonces a . c = b . c, c R

Propiedad que relaciona la adición, la multiplicación y el orden.

Si a, b R y a < b, entonces a . c < b . c, c R y c > 04 < 8, entonces, 4 x 3 < 8 x 3

Con esas propiedades podemos obtener muchas más propiedades que nos permiten construir otra rama importante de la matemática que es el álgebra.

Veamos algunos ejemplos de aplicación.

a) Si a, b R, entonces, a ( – b) = ( - a ) (b) = - (ab)b) Si a, b, c R, entonces, a (b – c ) = ab – ac

ACTIVIDAD 6

1. Di la propiedad que justifica cada una de las siguientes igualdades.a) 7 + 5 + 9 = (7 + 5) + 9 g) 11 + (y + 7) = (y + 7) + 11 b) 8 + 0 = 8 h) b + (-b) = ( - b) + b = 0c) 17 + 41 = 41 + 17 i) (x + s) + (t + u) = x + [s + (t + u)]d) (6 + 2) + 4 = 6 + (2 + 4) j) 0,5 + 0,9 + 0,15 = 0,5+ (0,9 + 0,15)e) x + 0 = 0 + x = x k) 1/5 + 0 = 0 + 1/5f) (w + x) + (y + z) =[(w + x ) ]+ z+y l. + = +

2. Explica la propiedad que justifica cada una de las siguientes igualdades.

a. 3 x 9 = 9 x 3 f. 5 x 4 = 20b. –5 x 9 x 10 = - 5 x (9 x 10) g. 8 x 1/8 = 1c. m . 1/m = 1 h. 3 x (2 + 4) = (3 x 2) + (3 x 4)d. y . 1 = 1 . y = y i. x 1= e. t (u + s) = tu + ts j. mnw = (mn) w = m (nw)

5.3.2 POTENCIACION, RADICACIÓN Y LOGARITMACION

POTENCIACION DE LOS NUMEROS REALESEstudiamos ya que para cualquier número a se tiene que a + a = 2ª y que a x a = a2 (léase a al cuadrado) y como a + a = 3ª, se infiere que a x a x a = a 3 (léase a, al cubo) y así sucesivamente; generalizando:

a = a1

a . a = a2 a . a . a = a3

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a . a .a . .... = an, para todo n Z+ y a R

Donde a es base, n el exponente y a la potencia n de a.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

1.MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASEEjemplo 1Efectuemos la operación: a4 . a3, con a R

Solucióna4 = a . a . a. a

a3 = a . a . aluego, a4 . a3 = a . a . a . a . a. a. a

= a . a . a . a . a . a . a = a7

Observemos queque a7 resulta de dejar como base a y adicionar los exponentes (4 + 3 = 7)

Ejemplo 2Efectuemos la operación: 42 x 44

Solución 42 = 4 x 4

43 = 4 x 4 x 4 x 4 por lo tanto, 42 x 44 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4

= 46

Observemos que 46 se puede obtener directamente dejando la base (4) igual y adicionando los exponentes (2 + 4 = 6).

EN GENERAL SE CONCLUYE QUE:Para todo a R, con a 0 y m, n Z+, se cumple que am . an = am + n

2. DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASEanalicemos por medio de los siguientes ejemplos lo que sucede cuando dividimos potencias de bases iguales.

Ejemplo 1Realicemos el ejercicio 35 33

Solución

35 = 3 x 3x 3 x 3 x 333 = 3 x 3 x 3

35 33 = 3 x 3x 3 x 3 x 3 3 x 3 x 3

= 3 x 3

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= 32

observemos que 32 resulta de dejar como base el 3 y el exponente resulta de restar exponentes (5 – 3 = 2)

Ejemplo 2

Efectuemos la operación x4 x6, con x R y x 0Solución

x4 = x . x . x . xx6 = x . x . x . x . x . x

Luego x4 x6 = x . x . x . x x . x . x . x . x . x

= 1 x . x

= 1 x2

EN GENERAL SE CONCLUYE QUE:Para todo a R, a 0 y m, n Z , se tiene:

a m = am-n , si m > n an

a m =1 si , m=n an

= , m<n

3.POTENCIA DE UNA POTENCIAAnalicemos cómo desarrollamos la potencia de una potencia.

Ejemplo 1 Desarrollemos: (42 )4

Solución (42)2 = (42) (42) (42) (42)

= (4 x 4) (4 x 4) (4 x 4) (4 x 4)= 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4

= 48

Observemos que 48 resulta de dejar la base (4) igual y el exponente resulta de multiplicar los exponentes (2 x 4 = 8)

Es decir: (42 )2 = 42 x 4 = 48

Ejemplo 2Desarrollemos (x3)2 , con x R y x 0Solución

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(x3 )2 = (x3 ) (x3 )= (x . x . x) (x . x . x)

= x . x . x . x . x . x= x6

Observemos que x6 se puede obtener directamente, dejando la base igual y multiplicando los exponentes, o sea: (x3 )2 = x3 x 2 = x6.

Generalizando, obtenemos la propiedad para hallar la potencia de una potencia.

Para todo a R, a 0, m, n N, se tiene:(am )n = am x n

4. POTENCIA DE UN PRODUCTOVeamos lo que sucede con la potencia de un producto.

Ejemplo 1Efectuemos el siguiente ejercicio (5 x 3)3

Solución (5 x 3)3 = (5 x 3) (5 x 3) (5 x 3)

= 5 x 3 x 5 x 3 x 5 x 3Propiedad asociativa de la multiplicación = (5 x 5 x 5) (3 x 3 x 3)

= 53 x 33

Ejemplo 2Desarrollemos: (x . y)4, con x, y R Solución

(x . y)4 = (xy) (xy) (xy) (xy) = x . y . x . y . x . y

= (x . x . x . x ) (y . y . y . y) = x4 y4

Generalizando, obtenemos la propiedad para hallar la potencia de un producto.

Si a, b R, n N se tiene: (a . b)n = an . bn

5. POTENCIA DE UN COCIENTE

Analicemos la potencia de un cociente.

Ejemplo 1

Efectuemos: (2/6)3

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Solución

(2/6)3 = (2/6) (2/6) (2/6):

Multiplicando los fraccionarios: = 2 x 2 x 2 6 x 6 x 6= 2 3 63

Efectuemos: (x / y)4

Solución (x / y)4 = (x / y) (x / y) (x / y)

Multiplicando los fraccionarios: = x . x. x . x y . y .y . y= x4 / y4

Generalizando, obtenemos la propiedad de la potencia de un cociente.Si a, b R, b 0, n N se tiene que:

(a / n)n = an / nn

ACTIVIDAD 7

1. Resuelve las siguientes potencias.a) 32 . 33 c) (0,2)2 (0,2)4 (0,2)5

b) 74 . 75 d) (- 1 )3 (- 1 )2 (- 1 )4 (- 1 )

2. Resuelve los siguientes ejercicios.a) 53 e) ( - 1 )3 i) (0,7)3

b) 64 f) ( - 5 )5 j) (0,4)4

c) 25 g) 43 k) (4 + 5)2

d) (- 3 )2 h) ( - 7 )2 l) ( 8 – 2)2

3. Usando la propiedad de multiplicación de potencias de igual base, resuelve.a) 32 . 33 g) (0,3) (0,3)3 (0,3)4 (0,3)2

b) 44 . 45 h) (- 0,08)3 (- 0,08)2

c) 23 . 22 . 24 I) (1,9) (1,9)3 (1,9)5

d) (- 3)2 . (- 3) (- 3)3 (- 3)4 j) (0,003)2 (0,003)3

e) (- 1) (- 1)2 (- 1)3 (- 1)6 k) ( - 3,5)2 ( - 3,5)4

f) (0,2)2 (0,2)3 l) (8 ) (8 )3 (8 )5

4. Desarrolla los siguientes ejercicios usando las propiedades vistas y dando el resultado final cuando sean cantidades numéricas.a) 52 x 53 f) x8 / x4 k) y3n – 2 y3n + 2

b) 35 x 32 g) t4 / t6 l) 7 x 7 x 7 x 7x 7 74 x 75 x 76 x 710

c) (24 )2 h) (s . u)3 m) x n + 1 . x2n

d) 610 / 67 I) [ (32 )3 }4 n) [ 54 / 53]2

e) 212 / 215 j) [ (2 /3)3 ]2 o) (za + 1 . z2a + 2 ) (z2a + 3))

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5. Realiza cada uno de los siguientes cocientes siguiendo las indicaciones del ejemplo.

a) =

b) =

c)

7. ¿La potenciación goza de la propiedad (Ley) conmutativa?. Explica con ejemplos tu respuesta.

8. Si un número negativo lo elevamos al cuadrado, ¿el número obtenido es: a) negativo? b) positivo?

9. Si elevas un número al cuadrado y luego deseas obtener el número inicial, ¿qué clase operación debes realizar?.

10. Caso especial: exponente negativoTodo número elevado a un exponente negativo es igual que un quebrado que tiene por numerador la unidad y por denominador el mismo número, pero con exponente positivo.Ejemplos: 3 3 = 3 3 1 = 3-2

35 33 32

3-2 = 1/32

3 = 33 – 5 = 3-2

3

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A. Utilizando los dos procedimientos sugeridos por la ilustración, realiza cada una de las siguientes divisiones:

a) 2324 b) 3 / 3 c) / d) (0,7)4/ (0,7)8

e) (2/3) 3 f) ( ¾) g) ( ½) 3 h) (1/ ) 4 (2/3)4 (3/4) (1/2)7 (1/ )6

B. Expresa con exponente positivo cada una de las siguientes potencias escritas con exponentes negativo:

3-5 = 1/35 a) 2-5 b)3-4 c) a-2

d) 1 /2-3 e) (2 / 3)-1 f) (0,03)-3

g) (3 / 4)-a h) (- 2 ) I)

C. Expresa con exponente negativo cada una de las siguientes potencias escritas con exponente positivo:

1 / 35 3-5 / 1 a) 1 / 24 b) 1 / a3 c) 25 / 1d) 36 / 1 e) (2/3)4 f) ( - 0,1)3

RADICACION EN LOS NUMEROS REALES

Raíz cuadrada de números reales Revisemos el concepto de raíz cuadrada de números enteros vistos en grados anteriores. Observemos:Si 42 = 16, entonces se tiene que: =4 4y – 4 son las raíces cuadradas Pero (- 4)2 = 16, entonces se tiene que: = -4 de 16

Si 82 = 64, entonces tenemos que: =8 8y – 8 son las raíces cuadradas

Pero, (-8 )2 = 64, entonces tenemos que: =-8 de 64.

Si a2 = a . a, entonces tenemos que: = a a y –a son las raíces cua -Pero, (– a)2 = (- a) (- a), entonces: = -a drada de a2

La raíz cuadrada (cuyo signo es ) de un número positivo es otro número que multiplicado por sí mismo dos veces dé la cantidad subradical o radicando.

= a, si se cumple que x = a2

Si a es una raíz cuadrada de x, entonces – a, también es una raíz cuadrada de x.La raíz cuadrada positiva de x se nota: y la raíz cuadrada negativa se nota -

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RAÍZ CÚBICA DE NÚMEROS REALES Observemos los siguientes planteamientos y deduzcamos lo que es raíz cúbica.

Si 53 = 125, entonces = 5

Si 83 = 512, entonces ...

Si ( - 3)3 = - 27 ...

Si a3 = a. a . a, entonces...

La raíz cúbica de un número es otro número que multiplicado por si mismo 3 veces, de la cantidad

subradical o radicando:

= a, si se cumple que x = aRAÍZ N-ÉSIMA DE NÚMEROS REALES.Analicemos los siguientes ejemplos y obtengamos la conclusión para hallar cualquier raíz de un número real dado.

Ejemplo 1Hallemos:

Solución Descomponiendo 81 en los factores primos obtenemos: 81 = 34

Tomando raíz cuarta en ambos miembros: = 4

Resolviendo: = 3

Ejemplo 2

Hallemos

Solución Descomponiendo 64 en los factores primos, tenemos: 64 = 26

Tomando en ambos miembros tenemos: 6

= 2

La raíz n-ésima de un número x es otro a, que elevado al exponente n nos dé como resultado x.

RAÍZ DE ÍNDICE IMPAR DE UN NÚMERO REAL

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Tomemos índices impares de algunas raíces y analicemos lo que sucede.

a) 2

b -2

c -a

Observemos que las raíces, tienen índice impar y todas tienen un solo valor, la cual es del mismo sino del radicando.

Todo radical de índice impar, tiene una sola raíz, la cual es del mismo signo que el radicando.

RAÍZ DE ÍNDICE DE UN NÚMERO REAL.

Todo radical de índice par y radicando positivo tiene dos raíces de igual valor y signo contrario.

Ningún radical de índice par y radicando negativo tiene raíces reales.

OTRAS PROPIEDADES DE LA RADICACIÓNPara radicales de índice n y m mayores o iguales que 2, se cumplen las siguientes propiedades:

Raíz enésima de un productoLa raíz de un producto es igual al producto de las raíces del mismo índice de cada uno de los factores.

= .

La igualdad anterior, leída de derecha a izquierda, expresa que para multiplicar radicales del mismo índice se multiplican los radicandos.

Raíz enésima de un cocienteLa raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces, del mismo índice, del dividendo y del divisor.

=

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También se puede utilizar la formula para dividir radicales del mismo índice.

Raíz de una raízLa raíz de otra raíz es igual a una sola raíz que tiene como índice el producto de los índices, y como radicando, el radicando dado.

=

ACTIVIDAD 8

1. En los siguientes ejercicios halla la raíz cuadrada.

A) D) B) E) - C) -

2. El área de un cuadrado es de 625m2 ¿cuánto mide el lado del cuadrado?

3. Si la longitud de un rectángulo es de 12 cm y el ancho es de 5 cm, ¿cuánto mide su diagonal?

4. Un joven se desplaza hacia el norte 4 km y otro hacia el este 3 km ¿a qué distancia se encuentra uno del otro?

5. Encuentra la raíz cúbica de:

A) B) C) D)

6. Halla el resultado de las siguientes raices

A) B) C) D) -

7. De las siguientes enunciados di cuáles son verdaderos y cuáles son falso.

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a) La raíz cuadrada de un número real siempre es positiva. b) La raíz de índice impar de un número negativo no es un número real.c) Todo radical de índice par tiene dos raíces reales.d) Un radical de índice par de un número negativo tiene una sola raíz.

EXPONENTES FRACCIONARIOS EN LOS REALESObservemos las siguientes operaciones y relacionemos los resultados con la radicación.

Ejemplo Hallemos los valores de: a) (41/2)2 b) (51/3)3 c) (71/4)4 d) (a1/n)n

Solución

a) (41/2)2 = (41/2) (41/2) 41/2 + ½ = 42/2 = 41 = 4

b) (51/3)3 = (51/3) (51/3) (51/3) = 51/3 + 1/3 + 1/3 = 53/3 = 51 = 5

c) (71/4)4 = (7)1/4 x 4 = 74/4 = 71 = 7

d) (a1/n)n = (a)1/n x n = an/n = a1 = a

observemos los resultados obtenidos, tenemos que: 41/2 es lo mismo que porque al elevar 41/2 al cuadrado el resultado es 4.

También podemos afirmar:

Si (51/3)3 = 5, entonces 51/3 =

Si (71/4)4 = 7, entonces 71/4 =

Si (a1/n)n = a, entonces a1/n =

Si n Z+ y a es un número positivo o 0, tenemos:

(a1/n)n = an/n = a y a1/n =

La regla anterior se puede hacer extensiva a exponentes fraccionarios, cuyo numerador sea diferente de 1. Veámoslo:

Ejemplo

Desarrollemos las siguientes potencias: a) (21/3)2 b) (32/3) c) (x7/6)5

Solución

a) (21/3)2 = (22)1/3

b) (32/3)4 = (3)8/3 = (3)8 x 1/3 = (38)1/3

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c) (x7/6)5 = (x)36/6 = (x)35 x 1/6 = (x35)1/6

Por lo tanto: a) (21/3)2 (22)1/3 =

b) (32/3)4 = (38)1/3 =

c) (x7/6)5 = (x35)1/6 =

am/n = (am)1/n = Evitando las raíces pares de los números negativos.

Exponente del radicando.

= (am)1/n = am/n Indice de la raíz

RACIONALIZACÓN DE DENOMINADORES

Ya vimos que en algunas oportunidades el número real se puede expresar de la forma a/b,

en la que b no es un número racional. Esto ocurre por ejemplo con las expresiones

, etc

Interesa encontrar otras expresiones equivalentes a éstas, en las que b sea un número racional.

Este proceso se llama racionalización de denominadores, aunque, como se sabe, estas expresiones no son fracciones (cociente de enteros).

Para racionalizar estas expresiones, se amplifica la fracción, multiplicando los dos términos por la raíz del denominador.

En general se tiene:

ACTIVIDAD 9

1. Expresa las siguientes potencias en forma de radical.a) 21/4 c) 51/3 e) 41/5 g) 61/2 i) 31/6 k) m1/n m) b1/x

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b) 52/3 d) 84/5 f) m5/6 h) 43/2 j) 73/4 l) xy2/3 n) t8/5

2. Expresa las siguientes raíces en forma de potencia (exponente fraccionario).

A) B) C) D)

3. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

A) B) C) D) E)

4. Racionaliza el denominador de cada una de las siguientes expresiones y simplifica:

A) B) C) D) E)

LOGARITMACION DE NUMEROS REALES

Si a y b son dos números reales, el logaritmo en base a de b (loga b) será otro número real x tal que

ax = b

Es decir, el logaritmo en base a de b es el exponente al cual se debe elevar a para obtener b.Ejemplos: Log2 16 = 4 pues 24 = 16

Log5 1/25 = - 2 pues 5-2 = 1/25

APROXIMACIÓN DE UN LOGARITMO MEDIANTE EL USO DE LA CALCULADORA.Encontrar el logaritmo de algunos números no siempre es inmediato como en los anteriores ejemplos. Cuando encontramos expresiones como

3x = 500No resulta fácil decir a qué es igual log3 500; pero con ayuda de la calculadora y la tecla xy

podemos encontrar algunas aproximaciones que nos permiten estimar el valor de x.35,6 = 469,763235,7 = 524,3137

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x está entre 5,6 y 5,7

Veamos las siguientes aproximaciones al valor de x:35,651, 355,652, 35,653, .... 35,659

Si comprobamos el resultado de cada una de las anteriores operaciones, encontraremos que x está entre 35,656 y 35,657

Continuando este procedimiento se obtendrían aproximaciones más exactas de x en 3X = 500

ACTIVIDAD 10

1. Halla los siguientes logaritmos:a) Log3 81 c) Log4 1/64 e) Log-2 (- 8 ) b) Log5 625 d) Log2 1/16 f) Log-3 243

2. Halla los siguientes logaritmos, mediante aproximaciones. Usa la calculadora:a) Log2 200 c) Log4 1.000 e) Log4 340b) Log3 700 d) Log3 600 f) Log5 500

ACTIVIDAD 11

6. Resuelve:a) 53 . 58 h) [ (1 / 8)2 ]3

b) 62 . 65 i) [ (4 / 3)3 ]5

c) 75 . 7-2 j) 32 . 52

d) 95 94 k) 95 . 35

e) 62 64 l) 122 42

f) (3/5)8 (3/5)3 m) (6 / 8)3 (1 / 4)3 g) (52)2

7. Halla los siguientes logaritmos:a) Log15 50.625 c) Log3 243b) Log7 117.649 d) Log8 32.768

8. Halla los siguientes logaritmos mediante aproximaciones. Utiliza la calculadora.a) Log6 7.850 c) Log2 318b) Log4 4.185 d) Log5 28.750

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9. Realiza cada una de las operaciones indicadas:a) (2 / 3 + 0,6) – (2 / 5 – 0,3) b)

c) [ ( --0,6) . (--0,2)] (--1,2) d) (3 / 2 – 1 / 2) . (2 / 3 – 5 / 3)

e) 0,5 – 0,2 0.3 + 0,12

10. Simplifica los siguientes radicales

A) B) C)

11. Resuelve

a) b)

UNIDAD 2 : ÁLGEBRA

Esta unidad constará de varias secciones con ejemplos ilustrativos. En ninguna sección se plantean actividades ellas se colocaran después de cada tema estudiado.

SECCION 1: INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

1.Expresiones AlgebraicasExpresiones algebraicas son todas aquellas que tienen una parte numérica y una parte literal. Por ejemplo, la expresión 8a3b2c es una expresión algebraica, en este caso un monomio, el cual tiene como parte numérica al número 8 y como parte literal a3b2c. Nótese que los exponentes se consideran parte literal.Profundizando un poco más en lo mencionado líneas arriba, existen básicamente dos tipos de expresiones algebraicas, y son:a) Monomios: Es una sola expresión algebraica. Ejemplos de monomios son:

4x4y2 como se puede ver es una sola expresión con parte numérica y parte literal

8a3b2cen este caso la letra c no tiene exponente, cuando esto suceda se asume que dicho exponente es 1, así: 8a3b2c1

m2n3 en este caso aparentemente no hay una parte numérica, cuando esto

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suceda nosotros sabremos que hay un 1, así: 1m2n3

b) Polinomios: Son dos o más expresiones algebraicas (con diferente parte literal) que se están sumando o restando. Ejemplos de polinomios son:

3x2y +5x3y2Este es un polinomio de dos términos o binomio. Aunque las partes literales aparentemente son iguales, estas son diferentes, pues los exponentes no son iguales.

3x4 +xyz -2y2z Ahora tenemos un polinomio de tres términos o trinomio.

a3 –a2b +2ab2 -5b3 Otro ejemplo de polinomio.

2.Grados Relativo y AbsolutoEn toda expresión algebraica encontraremos grados relativos (están en relación a cada una de las letras de la expresión algebraica) y un grado absoluto (referido a toda la expresión).a) En un monomio:    a.1) Grado Relativo: Veamos unos ejemplos para comprenderlo mejor:

4a3b2

En este caso tenemos dos letras, entonces tendremos dos grados relativos, uno con respecto a la letra a y otro con respecto a la letra b. En ambos casos el grado relativo no será otra cosa que el exponente que afecta a cada letra. La parte numérica no tiene ninguna importancia.GR(a) = 3     (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)GR(b) = 2     (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

x5y3z

En este caso debemos recordar que la letra sin exponente llevara un 1: x5y3y1

GR(x) = 5     (el Grado Relativo con respecto a la letra x es 5)GR(y) = 3     (el Grado Relativo con respecto a la letra y es 3)GR(z) = 1     (el Grado Relativo con respecto a la letra z es 1)

    a.2) Grado Absoluto: Trabajaremos en los mismos ejemplos del caso anterior para comprender mejor:

4a3b2

El Grado Absoluto de un monomio, no es otra cosa que la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras. En este caso sumaremos el exponente de la letra a con el exponente de la letra b:GA = 3 +2 = 5     (el Grado Absoluto es 5)

x5y3zRecordamos que el exponente de la letra y es 1: x5y3y1

GA = 5 +3 +1 = 9     (el Grado Absoluto es 9)

b) En un polinomio:    b.1) Grado Relativo: Veamos un ejemplo para ver mejor como se halla el Grado Relativo:

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4a3b2 +5a5bEn este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica. Entonces tendremos dos grados relativos.

4a3b2 +5a5b1 Antes de seguir trabajando completo los exponentes que "no se ven"

4a3b2 +5a5b1

Estamos viendo que para el caso de la letra a, tenemos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la letra a al mayor de estos exponentes (en este caso 5)GR(a) = 5     (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)

4a3b2 +5a5b1

Para la letra b hacemos lo mismo, es decir, comparamos los exponentes que afectan a dicha letra (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como Grado Relativo (en este caso 2).GR(b) = 2     (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

Nótese que los grados relativos no son necesariamente del mismo término, en el caso que hemos visto uno de los grados relativos salió del primer termino y otro del

segundo.

    b.2) Grado Absoluto: Sigamos con el mismo ejemplo:

4a3b2 +5a5bEste ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos un solo Grado Absoluto.

4a3b2 +5a5b1 Completo los exponentes que "no se ven" con 1.

4a3b2 +5a5b1Trabajo independientemente cada termino y sumo los exponentes, en el primer termino tengo los exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.

4a3b2 +5a5b1 Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están los exponentes 5 y 1, mismos que sumados dan 6.

4a3b2 +5a5b1Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor, en este caso entre el 5 y el 6, me quedare con el 6.GA = 6     (el Grado Absoluto es 6)

 

3. Polinomios Completos

Nosotros podemos decir que un polinomio es completo con respecto a una letra cuando contiene todos los exponentes consecutivos de una letra, desde el más alto, al más bajo. Por ejemplo, si nos dan el polinomio: 6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5, y

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nos dicen que evaluemos si este es completo, nosotros debemos observar los exponentes.Para facilitarnos las cosas hemos completado los exponentes: 6x3 -5x1 +3x5 +x2 -x4

+5x0

Como podemos observar, al termino en el cual la letra x no tenia exponente le hemos colocado el 1 que correspondía.Cuando encontremos un número solo (como en el ejemplo encontramos el número

5), a este se le llama término independiente y se asume que lleva la misma letra que los demás términos elevado a exponente 0.Observemos los exponentes, encontramos que el más alto es 5 (en el término +3x5), y estarán también el 4, el 3, el 2, el 1 y el 0. Es decir, entre el 5 y el 0 estarán todos los números consecutivos, entonces nosotros afirmamos que se trata de un polinomio completo.

4. Polinomios ordenados

En el ejemplo anterior hemos visto los exponentes del polinomio están todos los números consecutivos entre el 0 y el 5, pero están en completo desorden.El polinomio era (luego de completarlo):  6x3 -5x1 +3x5 +x2 -x4 +5x0

Empezaba con exponente 3, luego bajaba a exponente 1, subía a exponente 5, bajaba a exponente 2, subía a exponente 4 y finalmente bajaba a exponente 0.Veamos ahora el siguiente polinomio: 5a2 +3a3 -a5 +a8

Evidentemente no es un polinomio completo, pero veamos como van sus exponentes. Empieza con exponente 2, luego sube a exponente 3, sube a exponente 5 y finalmente sube a exponente 8. Es decir, los exponentes van subiendo; si esto sucede nosotros decimos que se trata de un polinomio ordenado ascendente.Lógicamente también puede haber un polinomio ordenado en forma descendente:5x6 +3x5 -2x2 +x, el cual, después de completarlo quedaría: 5x6 +3x5 -2x2 +x1

Nótese que los exponentes van bajando, será entonces un polinomio ordenado descendente.Existe un tipo muy especial de polinomio que comparte las características de un polinomio completo y de un polinomio ordenado, a este se le conoce como polinomio completo y ordenado. Por ejemplo:x6 +3x5 -2x4 +3x3 -x2 +6x -1, que es lo mismo que decir, x6 +3x5 -2x4 +3x3 -x2 +6x1 -1x0

En este último ejemplo observamos, primero que están todos los exponentes consecutivos del 0 al 6; pero además que estos exponentes están ordenados en forma ascendente ya que siempre van subiendo. Por lo tanto, nosotros decimos que estamos frente a un polinomio completo y ordenado.

5. Polinomios Homogéneos

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Recordemos que un polinomio esta formado por dos o más términos que se están sumando o restando. Así podemos decir que el siguiente: 3a2b + 5ab2 -3abc, es un polinomio de tres términos: el primero de ellos es 3a2b, el segundo es +5ab2 y el tercero es -3abc.Ahora voy a sumar los exponentes de cada término:Primer término:        3a2b1, sumados los exponentes 2 +1 =3Segundo término:    +5a1b2, sumados los exponentes 1 +2 = 3Tercer término:        -3a1b1c1, sumados los exponentes 1 +1 +1 = 3Observamos que en todos los casos el resultado de la suma de los exponentes de cada término es el mismo (para nuestro ejemplo es 3), entonces nosotros podemos decir que se trata de un polinomio homogéneo.Ahora, existe también un polinomio que reúne características de un polinomio completo, de un polinomio ordenado y de un polinomio homogéneo. A este se le llama polinomio completo, ordenado y homogéneo. Por ejemplo:2a4 -3a3b + a2b2 +5ab3 -b4

El polinomio anterior se puede escribir también de la siguiente manera:2a4b0 -3a3b1 + a2b2 +5a1b3 -a0b4

Hemos completado los términos donde no había una de las letras con esta elevada a exponente 0, y hemos colocado el exponente 1 en donde no había exponente.Veamos primero para la letra a: están todos los exponentes consecutivos del 4 al 0, y además están ordenados. Ahora para la letra b: también están todos los exponentes consecutivos del 0 al 4 y además están ordenados. Podemos afirmar que se trata de un polinomio completo y ordenado.Evaluemos ahora la suma de los exponentes término por término: para el primer término será 4 +0 =4; para el segundo 3 +1 =4; para el tercero 2 +2 =4; para el cuarto 1 +3 =4; para el quinto y último 0 +4 =4. Vemos que todos los resultados son iguales, podemos afirmar que se trata de un polinomio homogéneo.Finalmente el polinomio: 2a4 -3a3b + a2b2 +5ab3 -b4, es un polinomio completo, ordenado y homogéneo.

6. EJEMPLOS

Hallar los grados relativos y el grado absoluto de los siguientes monomios:

a) 3ab2c3d4

Solución:3a1b2c3d4

GR(a) = 1GR(b) = 2GR(c) = 3GR(d) = 4GA  = 10

b) 2mn3

Solución:2m1n3

GR(m) = 1GR(n)  = 3

GA = 4

c) xyz

Solución:x1y1z1

GR(x) = 1GR(y) = 1GR(z) = 1

GA = 3

Hallar los grados relativos y el grado absoluto de los siguientes polinomios:

a) 4x2y -5xy3 +3xyz Solución: b) b3 -2a2b2 +3a3c Solución:

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4x2y1 -5x1y3 +3x1y1z1

GR(x) = 2GR(y) = 3GR(z) = 1GA  =  4

b3 -2a2b2 +3a3c1

GR(a) = 3GR(b) = 3GR(c) = 1GA  =  4

Determinar que características tienen los siguientes polinomios:

a) 3x2 +5x4 -3x +2 -x3 P. Completo b) 2a4 -3a2 +a P. Ordenado

c) 3a4 +a2b2 – 5xy3 P. Homogéneo d) 5 +3x +2x3 -x5 P. Ordenado

e) 3a4 -a3b +2ª2b2 +5ab3 –b4 P. Completo, Ordenado y Homogéneo

f) 3x5 +x4 -2x3 +3x2 -x +1 P. Completo y Ordenado

SECCION 2 : OPERACIONES CON MONOMIOS

Ahora que ya sabemos que y cuales son las expresiones algebraicas empezaremos a trabajar con ellas. Veamos lo referente a los monomios.

1. Términos Semejantes

Antes de pasar a evaluar las diferentes operaciones con monomios, conviene ver este concepto, el de los términos semejantes.Observemos la siguiente pareja de expresiones algebraicas:   a) 4x2y3          b) 2x2y3

Vemos que en ambas expresiones se repite la parte literal, en ambos monomios hay x2, así mismo, en ambos monomios hay y3.Cuando la parte literal en dos monomios sea igual, entonces estaremos hablando de términos semejantes.No importara el orden de las letras en la parte literal, así, los monomios: 6a3b2c , cb2a3 , también representan términos semejantes pues en ambos encontramos a3, b2 y c1.

2. Suma y Resta de Monomios

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Para poder sumar o restar monomios estos deberán ser términos semejantes. Veamos el caso siguiente:Digamos que queremos sumar los monomios: a) 3m2n          b) 6m2nPrimero que nada deberemos evaluar si son términos semejantes: vemos primero que m2 esta en ambos monomios, y vemos luego que n1 también esta en ambos monomios, llegando a la conclusión que son términos semejantes y por ende se podrán sumar:3m2n + 6m2n                pero solamente sumaremos la parte numérica3m2n + 6m2n                en este caso sumo 3 + 6 = 99m2n                             será el monomio respuesta (nótese que la parte literal sigue igual)Muy similar será el trabajo en la resta, por ejemplo digamos que queremos restar: 5x4y3 -x4y3

Evaluaremos primero si son términos semejantes. Observamos que en ambos casos habrá el termino x4 y también el termino y3, por lo tanto serán términos semejantes. Procedemos a la resta:5x4y3 -1x4y3               ahora restare solamente la parte numérica (colocamos el 1 para verlo más claramente)5x4y3 -1x4y3               en este caso resto 5 - 1 = 44x4y3                          será el monomio respuestaEn el caso de que encontremos que los términos no son semejantes, no se podrán sumar ni restar los términos, por ejemplo, 3a2b +2a3b, no son términos semejantes, mientras que en uno de ellos encontramos a2 en el otro encontramos a3; la respuesta de esta suma quedaría solamente como: 3a2b +2a3b

3. Multiplicación de Monomios

Para multiplicar monomios no será necesario que sean términos semejantes. Podremos multiplicar entre ellos a cualquier monomio. Por ejemplo, se desea multiplicar: a) 5x2y5    b) 2x3y2zDebemos tratar por separado a la parte numérica y a la parte literal. Primero evaluemos la parte numérica:(5x2y5)(2x3y2z)            la parte numérica es algo que ya conocemos y que no cambiara, 5x2 = 10En la parte literal debemos tomar especial cuidado con las letras que se repiten en los términos pues los exponentes se sumaran. Primero vemos que se repite la letra x, y luego la letra y:(5x2y5)(2x3y2z)            primero para la letra x, sumamos los exponentes 2+3 = 5(5x2y5)(2x3y2z)            ahora sumamos los exponentes de la letra y, 5+2 = 7(5x2y3)(2x3y2z)            finalmente la letra z no se repite por lo cual solo la colocare tal como estaAtención con la respuesta: 10x5y7zRecordemos siempre que la parte numérica se multiplica y en la parte literal se suman los exponentes de las letras que se repiten.

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4. División de Monomios

Para dividir polinomios tampoco es necesario que sean términos semejantes. Por ejemplo yo podré dividir los monomios, 81a2b3c4d5 entre 3b2c2 (nótese que en el divisor deberán estar las mismas letras que en el dividendo, de ninguna manera podría dividirse, por ejemplo, 81a2b3c4d5 entre 3x2y2)Entonces tenemos:    81a2b3c4d5 ÷ 3b2c2

Primero dividiremos la parte numérica como tradicionalmente lo hacemos, es decir: 81÷3 = 27Ahora en la parte literal, restaremos los exponentes de las letras que se repiten, en este caso, la letra b y la letra c:81a2b3c4d5 ÷ 3b2c2                en este caso restamos 3 - 2 = 181a2b3c4d5 ÷ 3b2c2                en este caso restamos 4 - 2 = 2Entonces la respuesta será: 27a2bc2d5   (el exponente 1 de la letra b no lo he puesto por no ser necesario)Cabe resaltar que en algunos casos la letra "desaparecerá", esto ocurrirá cuando su exponente resulte 0 (cero). Por ejemplo en: 5a2b2 ÷ ab2 (al restar los exponentes para la letra b dará como resultado 0: 2 - 2 = 0)El resultado para este caso seria: 5a

5. Potenciación de Monomios

Recordemos siempre que un monomio tiene una parte numérica y otra parte literal. Primero trabajaremos la parte numérica como siempre lo hemos hecho, es decir, aplicando la definición de potencia. Luego trabajaremos con la parte literal, en la cual multiplicaremos el exponente de cada letra por el exponente de la potencia dada.En el ejemplo: (3x2y)4, se nos pide elevar el monomio 3x2y a potencia 4Tal como hemos dicho primero haremos la parte numérica: 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81Y ahora pasaremos a la parte literal: (x2y1)4 = x2x4y1x4 = x8y4

Finalmente la respuesta será: 81x8y4

Otro ejemplo, podría ser: (ab2c3d4)5

Recordemos que cuando no vemos la parte literal, en realidad hay un 1 (uno), 15 = 1En la parte literal tendremos: (a1b2c3d4)5 = a1x5b2x5c3x5d4x5 = a5b10c15d20

Finalmente la respuesta será: a5b10c15d20

6. Radicación de Monomios

Al igual que en la potenciación, en el caso de la radicación debemos trabajar por separado la parte numérica y la parte literal. A la parte numérica le sacaremos la raíz correspondiente; y en la parte numérica dividiremos el exponente de cada

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letra entre el grado del radical (en una raíz cuadrada el grado del radical es dos, en una raíz cúbica el grado del radical es tres, y así sucesivamente).En el ejemplo, √(16x4y6), se nos pide sacar la raíz cuadrada del monomio 16x4y6

Empezaremos por la parte numérica: √16 = 4Ahora, en la parte literal: √x4y6 = x4÷2y6÷2 = x2y3    (el grado del radical es 2)Finalmente la respuesta será: 4x2y3

El ejemplo, ³√(27a9b3), nos pide sacar la raíz cúbica del monomio 27a9b3

Empezaremos por la parte numérica: ³√27 = 3Ahora, en la parte literal: ³√a9b3 = a9÷3y3÷3 = x3y1    (el grado del radical es 3)Finalmente la respuesta será: 3a3b

SECCION 3: OPERACIONES CON POLINOMIOS

1. Términos Semejantes

Antes de pasar a evaluar las diferentes operaciones con polinomios, conviene revisar nuevamente los términos semejantes.Observemos la siguiente pareja de expresiones algebraicas:   a) 4x2y3          b) 2x2y3

Vemos que en ambas expresiones se repite la parte literal, en ambos monomios hay x2, así mismo, en ambos monomios hay y3.Cuando la parte literal en dos términos sea igual, entonces estaremos hablando de términos semejantes.No importara el orden de las letras en la parte literal, así, los monomios: 6a3b2c , cb2a3 , también representan términos semejantes pues en ambos encontramos a3, b2 y

2. Suma y Resta de Polinomios

En un polinomio podremos sumar o restar solamente los términos semejantes, todo lo demás quedara exactamente igual.Digamos que queremos sumar los polinomios siguientes:P1: 5x2y +3xy2

P2: 3x3 -2x2y +xy2 -4y3

Entonces la suma será:P1 + P2: 5x2y +3xy2 +3x3 -2x2y +1xy2 -4y3

(como se puede ver he añadido el numero 1 en el  término que no lo tenia para facilitar la operación)Ahora debemos ver si hay términos semejantes:P1 + P2: 5x2y +3xy2 +3x3 -2x2y +1xy2 -4y3

(hemos marcado con rojo los términos que tienen x2y, hemos marcado con azul los términos con xy2)Operamos los términos con x2y: 5x2y  -2x2y = 3x2yOperamos los términos con xy2: 3xy2 +1xy2 = 4xy2

Introducimos los resultados parciales en nuestro polinomio respuesta:

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P1 + P2: 3x2y +4xy2 +3x3 -4y3   (esta es la respuesta)Para realizar una resta, el procedimiento es similar, pero debemos tener mucho cuidado con los

signos. Digamos que ahora quiero restar P1 -P2:P1 - P2: 5x2y +3xy2 -(3x3 -2x2y +1xy2 -4y3)  Nótese que P2 lo he puesto entre paréntesisP1 - P2: 5x2y +3xy2 -3x3 +2x2y -1xy2 +4y3   Ahora vemos como hemos cambiado el signo a todo P2Ahora recién buscamos los términos semejantes y realizamos las operaciones:P1 - P2: 5x2y +3xy2 -3x3 +2x2y -1xy2 +4y3

P1 - P2: 7x2y +2xy2 +3x3 -4y3   (esta es la respuesta)

3. Multiplicación de Polinomios

En la multiplicación de polinomios tendremos que multiplicar todos los términos entre ellos. Evaluemos el siguiente ejemplo en el cual queremos multiplicar P1xP2:P1: 5x2y +3xy2

P2: 3x3 -2x2y +xy2 -4y3

Entonces:P1xP2: (5x2y +3xy2)(3x3 -2x2y +xy2 -4y3)P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)     He colocado con rojo el numero 1 donde puede necesitarse.Ahora tendré que multiplicar el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio:P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)(5x2y1)(3x3)        = 15x5y1    (el exponente 1 esta con rojo ya que sabemos que no es necesario ponerlo)(5x2y1)(-2x2y1)   =  -10x4y2

(5x2y1)(+1x1y2)  =  5x3y3

(5x2y1)(-4y3)      =  -20x2y4

Hacemos lo mismo con el segundo término del primer polinomio:P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)(+3x1y2)(3x3)        =  +9x4y2

(+3x1y2)(-2x2y1)   =  -6x3y3

(+3x1y2)(+1x1y2)  =  +3x2y4

(+3x1y2)(-4y3)      =  -12x1y5    (el exponente 1 esta con rojo ya que sabemos que no es necesario ponerlo)Ahora acomodamos la respuesta:P1xP2: 15x5y1 -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12x1y5

P1xP2: 15x5y -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5 (eliminamos los 1 innecesarios)Ahora vemos si hay términos semejantes que podamos sumar o restar:P1xP2: 15x5y -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5

Tenemos que simplificar los términos semejantes:Operamos los términos con x4y2: -10x4y2 +9x4y2 = -1x4y2

Operamos los términos con x3y3: +5x3y3 -6x3y3 = -1x3y3

Operamos los términos con x2y4: -20x2y4 +3x2y4 = -17x2y4

Ahora si, presentamos la respuesta:

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P1xP2: 15x5y -1x4y2 -1x3y3 -17x2y4 -12xy5

Recordemos siempre que la parte numérica se multiplica y en la parte literal se suman los exponentes de las letras que se repiten.4. Potenciación de Polinomios

La potenciación de polinomios se apoya en el concepto fundamental de potencia, mismo que se define:bn = b x b x b x b x................... x bLo cual quiere decir que multiplicare una base (b) por si misma una cantidad n de veces (n es el exponente).Entonces para resolver el siguiente ejemplo: (3a3b + 5b3)2

Tendré que efectuar la siguiente multiplicación: (3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3)Ya que el exponente 2 me indica que lo debo multiplicar por si mismo dos veces.Finalmente tendremos:(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +15a3b4 +15a3b4 +25b6

(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +15a3b4 +15a3b4 +25b6

(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +30a3b4 +25b6

5. Productos Notables

Existen algunas respuestas características para algunos casos en los que debemos multiplicar, estos son los productos notables. Los principales son:a) Cuadrado de la suma de dos cantidades:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.Por ejemplo: (5x +7)2 = (5x)2 + 2(5x)(7) + (7)2

El cuadrado del primer término es: (5x1)2 = 25x2

El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70xEl cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49Finalmente la respuesta será: (5x +7)2 = 25x2 + 70x + 49b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.Por ejemplo: (5x -7)2 = (5x)2 - 2(5x)(7) + (7)2

El cuadrado del primer término es: (5x1)2 = 25x2

El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70xEl cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49Finalmente la respuesta será: (5x -7)2 = 25x2 - 70x + 49c) Diferencia de Cuadrados: (a + b) (a - b) = a2 - b2

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.Por ejemplo: (4a +7y3)(4a -7y3) = (4a)2 - (7y3)2

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El cuadrado del primer término es:  (4a1)2 = 16a2

El cuadrado del segundo término es: (7y3)2 = 49y6

Finalmente la respuesta será: (4a +7y3)(4a -7y3) = 16a2 - 49y6

d) Cubo de la suma de dos cantidades:El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.Por ejemplo: (2a + 4b)3 = (2a)3 +3(2a)2(4b) +3(2a)(4b)2 + (4b)3

El cubo del primer término es: (2a1)3 = 8a3

El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(2a1)2(4b) = 48a2bEl triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(2a)(4b1)2 = 96ab2

El cubo del segundo término es: (4b1)3 = 64b3

Finalmente la respuesta será: (2a + 4b)3 = 8a3 + 48a2b + 96ab2 + 64b3

e) Cubo de la diferencia de dos cantidades:El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.Por ejemplo: (4a - 2b)3 = (4a)3 -3(4a)2(2b) +3(4a)(2b)2 - (2b)3

El cubo del primer término es: (4a1)3 = 64a3

El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(4a1)2(2b) = 96a2bEl triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(4a)(2b1)2 = 48ab2

El cubo del segundo término es: (2b1)3 = 8b3

Finalmente la respuesta será: (4a - 2b)3 = 64a3 - 96a2b + 48ab2 - 8b3

6. División de Polinomios

La división de polinomios es, tal vez, la operación más complicada dentro de las expresiones algebraicas. Debemos tener mucho cuidado al resolverlas.Básicamente tenemos dos casos:a) División de un polinomio entre un monomio:En este caso tendremos que dividir cada uno de los términos del polinomio entre el monomio.Vamos a resolver un ejemplo: (4x2y -2xy2 + 8x3) ÷ 2xHaremos: 4x2y ÷ 2x1 = 2x1yLuego:      -2x1y2 ÷ 2x1 = -1y2

Luego:      8x3 ÷ 2x1 = 4x2

Finalmente la respuesta será: 2xy -1y2 + 4x2

b) División de dos polinomios:En este caso lo mejor es ir directamente a un ejemplo:(x4 +4x3 +x2 -x) ÷ (x2 + x), mismo que completando los grados seria: (x4 +4x3 +x2 -x1) ÷ (x2 + x1)Acomodémoslo como una división tradicional:x4 +4x3 +x2 -x1           ÷ x2 + x1        (seleccionamos el primer término del dividendo y del divisor)Dividimos los términos seleccionados: x4÷ x2 = x2  (la respuesta será parte del cociente)Multiplicamos la respuesta por el divisor: x2 (x2 + x) = x4 +x3  A la respuesta le cambiamos el signo: -x4 -x3   (esto se sumara o restara con el divisor)x4 +4x3 +x2 -x1           ÷ x2 + x1        

-x4 -1x3                          x2

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      3x3 +x2 -x1                                   (seleccionamos el primer término de lo que va quedando y del divisor)Dividimos los términos seleccionados: 3x3÷ x2 = 3x1  (la respuesta será parte del cociente)Multiplicamos la respuesta por el divisor: 3x1 (x2 + x) = 3x3 +3x2 A la respuesta le cambiamos el signo: -3x3 -3x2   (esto se sumara o restara con el divisor)x4 +4x3 +x2 -x1           ÷ x2 + x1        

-x4 -1x3                          x2 +3x      3x3 +x2 -x1

    -3x3 -3x2

            -2x2 -x1                                   (seleccionamos el primer término de lo que va quedando y del divisor)Dividimos los términos seleccionados: -2x2÷ x2 = -2  (la respuesta será parte del cociente)Multiplicamos la respuesta por el divisor: -2 (x2 + x) = -2x2 -2x1 A la respuesta le cambiamos el signo: +2x2 +2x1   (esto se sumara o restara con el divisor)x4 +4x3 +x2 -x1           ÷ x2 + x1        

-x4 -1x3                          x2 +3x -2     (será el cociente o respuesta)      3x3 +x2 -x1

    -3x3 -3x2

            -2x2 -x1

          +2x2 +2x1

                      x1            (será el residuo)

7. Cocientes Notables

Existirán algunos casos en los cuales podemos dividir dos polinomios fácilmente pues sus respuestas son conocidas:a) Primer caso: (an +bn) ÷ (a + b)En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un numero impar.Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x5 + y5) ÷ (x + y)Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por x5-1 = x4

A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x3), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x3yPara los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que este desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.(x5 + y5) ÷ (x + y) = x4 -x3b + x2y2 -xy3 +y4

b) Segundo caso: (an -bn) ÷ (a - b)En este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importara si el exponente es un numero par o impar.Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x6 - y6) ÷ (x - y)La mecánica es prácticamente la misma que en el caso (a), con la única diferencia que en la respuesta todos los términos se estarán sumando (es decir todos los signos serán más).(x6 + y6) ÷ (x + y) = x5 +x4b + x3y2 +x2y3 +xy4+y5

c) Tercer caso: (an -bn) ÷ (a + b)En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un numero par.

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Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x4 - y4) ÷ (x + y)Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por x4-1 = x3

A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x2), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x2yPara los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que este desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.(x4 - y4) ÷ (x + y) = x3 -x2b + xy2 -y3

SECCION 4: FACTORIZACION

La factorización de expresiones algebraicas consiste en buscar el origen de las mismas, en descomponerlas. Veremos las principales técnicas.

1.Factor Común Monomio

Este método busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio. Este factor resultara ser un monomio, mismo que debemos encontrar.Dado un polinomio cualesquiera, lo primero que tendremos que hacer para hallar el Factor Común Monomio será encontrar el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de la parte numérica de todos los términos.Dado el siguiente polinomio: 8x4 -4x2y + 16x5y2

Hallaremos el M.C.D. de la parte numérica: 8x4 -4x2y + 16x5y2

Entonces el M.C.D. de 8, 4 y 16 es: 4 (este numero será la parte numérica del monomio que busco)Ahora observo mi polinomio: 8x4 -4x2y + 16x5y2

Me doy cuenta que la letra x se repite en los tres términos, entonces buscare la que tenga menor exponente, misma que resulta ser x2 (la tomo como parte literal del monomio que busco)Como no hay otra letra que se repita en todos los términos, empiezo a construir mi monomio.Recuerdo que la parte numérica era 4 y la parte literal era x2, entonces será: 4x2

El monomio que he encontrado dividirá a todos y cada uno de los términos del polinomio, así:8x4 ÷ 4x2 = 2x2

-4x2y ÷ 4x2 = -y16x5y2 ÷ 4x2 = 4x3y2

Construimos el polinomio: (2x2 -y +4x3y2)Ahora presentamos el monomio por el polinomio: 4x2(2x2 -y +4x3y2)

2.Factor Común Polinomio

En este caso también se busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio, pero ahora este factor será otro polinomio.Veamos el siguiente ejemplo:5x2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x -y), entonces ese será el factor

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común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5x2 + 3x +7)Finalmente la respuesta será: (x -y)(5x2 + 3x +7)En algunos casos debemos "jugar" con el numero 1, por ejemplo en: 5a2(3 +b) +3 +bQue yo puedo escribirlo como: 5a2(3a +b) +1(3a +b)Entonces la respuesta seria: (3a +b) (5a2 +1)

3. Factorización por Agrupación de Términos

En la factorización por agrupación de términos hacemos una mezcla de las anteriores técnicas de factorización.Dado un polinomio cualesquiera debemos primero formar grupos de terminos con características comunes (de preferencia de dos términos cada grupo) y a cada uno de estos grupos le sacaremos el Factor Común Monomio.Veamos el ejemplo: 5x4y + 3x2y -9xy -15xy2

De acuerdo a las características lo podría agrupar: 5x4y + 3x3y -9y -15xy2

El primer grupo es: 5x4y -15xy2

Y su Factor Común Monomio: 5xy (x3 -3y)El segundo grupo es: 3x3y -9yY su Factor Común Monomio: 3y (x3 -3y)Entonces: 5x4y + 3x2y -9xy -15xy2 = 5xy (x3 -3y) +3y (x3 -3y)Y ahora aplicamos Factor común Polinomio, ya que nos damos cuenta que el polinomio (x3 -3y) se repite.La respuesta finalmente será: (x3 -3y)(5xy +3y)

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UNIDAD 3. FUNCION Y ECUACIONES LINEALES

1. Función

Término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El

término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René

Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán

Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una

curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el

definido en 1829 por el matemático alemán Peter Dirichlet. Dirichlet entendió la

función como una variable y, llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o

determinados de una forma definida según los valores que se asignen a la variable

independiente x, o a varias variables independientes x1, x2, ..., xk.

Los valores, tanto de la variable dependiente, como de las variables independientes, son

números reales o complejos. La expresión y = f(x), leída “y es función de x” indica la

interdependencia entre las variables x e y; f(x) se daba normalmente en forma explícita,

como f(x) = x2 - 3x + 5, o mediante una regla expresada en palabras, como f(x) es el

primer entero mayor que x para todos aquellos x que sean reales. Si a es un número,

entonces f(a) es el valor de la función para el valor x = a. Así, en el primer ejemplo, f(3)

= 32 - 3 · 3 + 5 = 5, f(-4) = (-4)2 - 3(-4) + 5 = 33; en el segundo ejemplo, f(3) = f(3,1) =

f(p) = 4.

La aparición de la teoría de conjuntos primero extendió, y luego alteró sustancialmente,

el concepto de función. El concepto de función en las matemáticas de nuestros días

queda ilustrado a continuación. Sean X e Y dos conjuntos con elementos cualesquiera; la

variable x representa un elemento del conjunto X, y la variable y representa un elemento

del conjunto Y. Los elementos de ambos conjuntos pueden ser o no números, y los

elementos de X no tienen que ser necesariamente del mismo tipo que los de Y. Por

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ejemplo, X puede ser el conjunto de los doce signos del zodíaco e Y el conjunto de los

enteros positivos. Sea P el conjunto de todos los posibles pares ordenados (x, y) y sea F

un subconjunto de P con la propiedad de que si (x1, y1) y (x2, y2) son dos elementos de

F, entonces si y1 ≠ y2 implica que x1 ≠ x2 esto es, F contiene no más de un par

ordenado con una x dada como primer elemento. (Si x1 ≠ x2, sin embargo, puede ocurrir

que y1 = y2 ). Una función queda ahora definida como el conjunto F de pares

ordenados, con la condición señalada, y se escribe F: X → Y. El conjunto X1 de las x

que aparecen como primer elemento de los pares ordenados de F se denomina dominio

de la función F; el conjunto Y1 de las y que aparecen como segundo elemento de los

pares ordenados se denomina rango de la función F. De esta manera, {(Piscis, 7),

(Sagitario, 4), (Capricornio, 4)} es una función en la que X = conjunto de los doce

signos del zodíaco e Y = conjunto de los enteros positivos; el dominio son los tres

signos mencionados y el rango son 4 y 7.

El concepto moderno de función está relacionado con la idea de Dirichlet. Dirichlet

consideró que y = x2 - 3x + 5 era una función; hoy en día, se considera que y = x2 - 3x +

5 es la relación que determina la y correspondiente a una x dada para un par ordenado de

la función ; así, la relación anterior determina que (3, 5), (-4, 33) son dos de los infinitos

elementos de la función. Aunque y = f(x) se usa hoy todavía, es más correcto si se lee “y

está funcionalmente relacionado con x”.

Las funciones se denominan también transformaciones o aplicaciones en muchas

ramas de las matemáticas. Si el conjunto Y1 es un subconjunto propio de Y (esto es, al

menos una y pertenece a Y pero no a Y1), entonces F es una función, transformación o

aplicación del dominio X1 en Y; si Y1 = Y, F es una función, transformación o

aplicación de X1 sobre Y.

2.PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS  

Si A y B son dos conjuntos, el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de la

forma (a, b), donde a pertenece a A y b pertenece a B, se denomina producto cartesiano de A y B,

que se escribe normalmente A × B. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {x, y, z}, entonces A × B =

{(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}. Y B × A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}. En

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este caso, A ×  B≠ B × A, pues al ser pares ordenados, el par (1, x) es distinto del par (x, 1).

3. CORRESPONDENCIA ENTRE CONJUNTOS  

Los elementos del conjunto A = {1, 2, 3} se pueden relacionar o hacer corresponder mediante

una correspondencia f con los del conjunto B = {x, y, z} de modo que a todo elemento de A le

corresponda uno, ninguno o varios elementos de B. Por ejemplo:

Esto se puede expresar también así: f(1) = {x, z}, f(2) = , f(3) = {z}. También se puede decir

que f = {(1, x), (1, z), (3, z)}. Por tanto, una correspondencia entre dos conjuntos A y B es un

subconjunto del producto cartesiano A × B.

Cuando una correspondencia es tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno

y sólo uno del segundo conjunto, entonces se llama aplicación.

4. CLASES DE FUNCIONES

Consideremos una aplicación de un conjunto de partida E en un conjunto de llegada F. Esta

aplicación asocia a un elemento x del conjunto E un elemento y del conjunto F. El elemento y se

denomina imagen del elemento x, mientras que el elemento x se llama antecedente del elemento

y.

Las aplicaciones inyectivas, o inyecciones, son aquéllas en las que todo elemento del conjunto

de llegada F tiene como máximo un antecedente en el conjunto de partida E. En otras palabras,

una aplicación no es inyectiva si existen al menos dos elementos de E distintos que tienen la

misma imagen en F.

Una aplicación suprayectiva, o sobreyección, es aquélla en la que todo elemento de llegada F

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tiene al menos un antecedente en el conjunto de partida E.

Una aplicación se llama aplicación biyectiva o biyección cuando es a la vez inyectiva y

suprayectiva. A menudo, el concepto de aplicación se confunde con el de función. A diferencia

de una aplicación, no todos los elementos del conjunto de partida de una función tienen

necesariamente una imagen en el conjunto de llegada. Por ejemplo, la correspondencia que

asocia a un número su cuadrado es una aplicación; sin embargo, la que asocia a un número su

inversa no es una aplicación porque 0 no tiene imagen.

5.EJEMPLOS  

El concepto de aplicación aparece en todos los ámbitos de las matemáticas. La designación de la

variable depende del conjunto de partida.

En análisis, la variable se designa a menudo por x. Una aplicación f de un conjunto A en un

conjunto B se designa del modo siguiente:

En geometría, las traslaciones son ejemplos de aplicación. La aplicación idéntica es una

aplicación en la que todo elemento tiene por imagen a sí mismo.

6.ECUACIONES

Ecuación, igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es decir, es una

igualdad entre expresiones algebraicas.

Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación:

primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha.

Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de las

incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede tener una, ninguna o

varias soluciones. Por ejemplo:

3x – 7 = x + 1 es una ecuación con una incógnita. Tiene una

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única solución: x = 4.

x2 + y2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.

2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de

solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como

solución única x = 4

7. TIPOS DE ECUACIONES  

Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones. Las ecuaciones

con varias incógnitas, sin embargo, suelen tener infinitas soluciones; por ello, estas ecuaciones

interesa estudiarlas cuando forman sistemas de ecuaciones. Las ecuaciones con una incógnita

pueden ser de distintos tipos: polinómicas, racionales, exponenciales, trigonométricas…

Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x. O bien,

son de tal forma que al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión. 3x3 - 5x2 + 3x +

2 = 0 es una ecuación polinómica.

Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llaman ecuaciones lineales. 5x + 7

= 3 es lineal y también lo es (x - 5)2 + 3 = x2 - 1 porque al desarrollar y simplificar se obtiene -

10x + 29 = 0.

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, se llaman cuadráticas. Son

ecuaciones de este tipo: x2 - 5x + 3 = 0, (x – 2)2 + 7x =5 + x.

Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical, como

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; por

ejemplo:

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En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente:

2x + 4x + 1 - 18 = 0

En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función trigonométrica;

por ejemplo:

sen (p/4 + x) – cos x = 1

8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES  

Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien concluir que no tiene solución.

Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya fisonomía sea más sencilla. Así,

mediante una serie de pasos sucesivos se llega a una última ecuación del tipo x = s en la que la

incógnita está despejada (es decir, aislada en el primer miembro), con lo que la solución es

evidente.

8.1 ECUACION LINEAL

Por ejemplo, para resolver la ecuación 5x – 6 = 3x + 12 se procede como se explica a

continuación.

Para pasar los términos en x al primer miembro y los números al segundo miembro, se resta en

ambos miembros 3x y se suma 6, con lo que queda:

5x – 3x = 12 + 6

Y simplificando, 2x = 18.

Para despejar la x se divide por 2 en ambos miembros:

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x = 18/2 = 9

La solución es, evidentemente, x = 9.

Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales. Es

el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.

8.2. Resolución de ecuaciones cuadráticas  

La expresión general de una ecuación cuadrática (polinomio de segundo grado) es:

ax2 + bx + c = 0

con a ≠ 0. Para resolverla se aplica la fórmula:

Por ejemplo, la ecuación 2x2 + 5x – 3 = 0 de coeficientes a = 2, b = 5, c = -3, se resuelve así:

Hay dos soluciones: x1 = 1/2; x2 = -3.

Esta misma ecuación se podría haber resuelto despejando la x. Para ello, se multiplica la

ecuación por 2:

4x2 + 10x – 6 = 0

Se pasa el 6 al segundo miembro:

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4x2 + 10x = 6

Se suman 25/4 para completar un cuadrado perfecto (el cuadrado de una suma) en el primer

miembro:

4x2 + 10x + 25/4 = 6 + 25/4

Simplificando:

(2x + 5/2)2 = 49/4

Extrayendo la raíz cuadrada y recordando que si A2 = B2 entonces A = ±B:

2x + 5/2 = ±7/2

Como consecuencia del signo ±, la igualdad da lugar a dos ecuaciones:

2x + 5/2 = 7/2

2x + 5/2 = -7/2

Resolviéndolas se obtiene:

4x + 5 = 7 → 4x = 2 → x1 = 1/2

4x + 5 = -7 → 4x = -12 → x2 = -3

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Siguiendo este largo proceso se obtienen las mismas soluciones que mediante la fórmula inicial.

Es claro que la aplicación de ésta es un procedimiento mucho más cómodo. De hecho, la

fórmula se obtiene algebraicamente a partir de la ecuación general mediante un proceso similar

al que se ha seguido para resolver esta ecuación concreta.

Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas porque les falta

uno de los términos:

ax2 + bx = 0

ax2 + c = 0

Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas despejando

directamente la x.

En el primer caso,

ax2 + bx = 0 → (ax + b)x = 0

Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0. Por ejemplo:

3x2 + 5x = 0 → (3x + 5)x = 0

Las soluciones son: x = 0; x = -5/3.

En el segundo caso,

ax2 + c = 0 → ax2 = -c → x2 = -c/a

Por ejemplo:

3x2 - 17 = 0 → 3x2 = 17

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Las soluciones son:

8.3. Resolución de ecuaciones bicuadradas

 Se llama bicuadrada la ecuación de la forma:

ax4 + bx2 + c = 0 (1)

es decir, una ecuación polinómica de cuarto grado que no tiene términos de grado impar. Si se

realiza el cambio de variable x2 = y, con lo cual x4 = y2, entonces se transforma en una ecuación

de segundo grado:

ay2 + by + c = 0 (2)

Cada una de sus soluciones puede dar lugar a dos, una o ninguna solución de la ecuación inicial.

Así, si y es solución de la ecuación (2), se verifica que:

si y1 > 0 , entonces x1 = √y1, x2 = -√y1 son raíces de (1);

si y1 = 0 , también x1 = 0 es raíz de (1);

si y1 < 0 , x2 = y1 no da lugar a ninguna solución real de x.

Por ejemplo, la ecuación bicuadrada:

x4 - x2 – 12 = 0

se transforma, mediante el cambio de variable x2 = y, en la ecuación de segundo grado:

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y2 - y - 12 = 0

Cuyas soluciones son

y1 = 4, y2 = -3

Para y1 = 4: x2 = 4

Luego, x1 =2, x2 = -2 son soluciones de la ecuación bicuadrada.

Para y2 = -3: x2 = -3

Por tanto, las únicas raíces de la ecuación x4 - x2 - 12 = 0 son x1 = 2, x2 = -2.

UNIDAD 4. SISTEMA DE ECUACIONES

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1.Sistema de ecuaciones

Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias

ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.

Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que cada una de ellas

puede tener infinitas soluciones. Se llama solución del sistema a una solución común a todas

las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones

o concluir que no tiene solución. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o

ambos carecen de solución, se dice que son equivalentes.

Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen solución,

compatibles.

Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones 2x - 5y = 16 y 4x + y = 10 se expresa así

La solución de este sistema es x = 3, y = -2 porque es solución de ambas ecuaciones. Es, por

tanto, un sistema compatible.

El sistema

es incompatible, pues no tiene solución.

Los sistemas de ecuaciones lineales (es decir, ecuaciones del tipo ax + by = c, ax + by + cz = d,

…) son especialmente interesantes por las múltiples aplicaciones que tienen en diversas ciencias.

2.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma ax + by = c, ax + by + cz = d,…, es

decir, si las incógnitas aparecen sin exponentes (elevadas a 1).

Un sistema de ecuaciones lineales compatible, o bien tiene solución única (es determinado), o tiene infinitas soluciones (es indeterminado).

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Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el método de

sustitución, el método de igualación y el método de reducción. A continuación se aplican en la

resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

2.1 El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las

ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una ecuación con una

incógnita que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha incógnita se obtiene, de

inmediato, el valor de la otra. Para resolver el sistema

por el método de sustitución conviene despejar la y de la segunda ecuación:

y = 10 - 4x

Ahora se sustituye su valor en la primera:

2x - 5(10 - 4x) = 16

Se resuelve la ecuación resultante, pues sólo tiene una incógnita:

2x – 50 + 20x = 1622x = 66 x = 66/22 = 3

Ahora el valor de x se sustituye en la expresión de y obtenida antes:

y = 10 - 4x = 10 - 4·3 = 10 - 12 = -2

Se ha obtenido así la solución x = 3, y = -2.

2.2 El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e

igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se

obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita.

Para resolver por igualación el sistema anterior:

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se puede despejar la x en ambas ecuaciones e igualar sus expresiones:

Ahora se resuelve esta ecuación:

2(16 + 5y) = 10 – y32 + 10y = 10 – y11y = -22y = -2

Por último, se sustituye el valor de y en alguna de las expresiones de x:

Se ha obtenido la solución x = 3, y = -2.

2.3 El método de reducción consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo

coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha

incógnita, dando lugar a una ecuación con sólo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el

valor de la incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede

obtener el valor de la otra incógnita.

Para resolver por reducción el mismo sistema:

se multiplican los dos miembros de la primera ecuación por 2 con el fin de que el coeficiente de

la x sea el mismo en ambas ecuaciones:

4x - 10y = 324x + y = 10

Ahora, restando miembro a miembro se obtiene la ecuación siguiente:

-11y = 22

Se resuelve:

y = -2

Y se sustituye en una de las ecuaciones iniciales:

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2x - 5(-2) = 162x + 10 = 162x = 6x = 3

La solución es x = 3, y = -2.

Representación gráfica

Una ecuación lineal con dos incógnitas, ax + by = c, se representa mediante una recta.

La representación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste en un par

de rectas. Si éstas se cortan, el sistema es compatible determinado y las coordenadas del punto

de corte son la solución del sistema. Si las rectas son paralelas, el sistema es incompatible. Si las

rectas son coincidentes (son la misma recta), el sistema es compatible indeterminado: sus

soluciones son los puntos de la recta.

Por ejemplo, el sistema de ecuaciones

se representa del siguiente modo:

El punto en que se cortan las rectas, (2,1), es la solución del sistema: x = 2, y = 1.

Una ecuación lineal con tres incógnitas, ax + by + cz = d, se representa mediante un plano. La

representación de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas consiste en tres

planos cuya posición relativa determina que el sistema sea compatible o incompatible. Si los tres

planos se cortan en un punto, el sistema es compatible determinado y si se cortan en una recta, el

sistema es compatible indeterminado, pues tiene infinitas soluciones.

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UNIDAD 5 :NUMEROS COMPLEJOS

1.INTRODUCCIÓN

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Número complejo, expresión de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es Á.

Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica

de las llamadas cuerpo en matemáticas. En física e ingeniería los números complejos se utilizan

para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas. El número i aparece explícitamente

en la ecuación de onda de Schrödinger que es fundamental en la teoría cuántica del átomo. El

análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha

aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño de alas de avión.

2. HISTORIA  

Los números complejos aparecieron al buscar soluciones para ecuaciones como x2 = -1. No

existe ningún número real x cuyo cuadrado sea -1, por lo que los matemáticos de la antigüedad

concluyeron que no tenía solución. Sin embargo, a mediados del siglo XVI, el filósofo y

matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con

soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo,

Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como

El matemático suizo Leonhard Euler introdujo el moderno símbolo i para Á en 1777 y formuló

la expresión

que relaciona cuatro de los números más importantes en matemáticas. El matemático alemán

Carl F. Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del

álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz

compleja. En 1825, continuando con el estudio de las funciones complejas, el matemático

francés Augustin L. Cauchy generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales

para funciones de variable compleja.

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3.PROPIEDADES

En un número complejo a + bi, a se conoce como la parte real y b como la parte imaginaria. El

número complejo -2 + 3i tiene parte real -2 y parte imaginaria 3. La adición de números

complejos se realiza sumando las partes reales e imaginarias por separado. Por ejemplo, para

sumar 1 + 4i y 2 - 2i se suman las partes reales 1 y 2, y a continuación las partes imaginarias 4 y

-2, dando el número complejo 3 + 2i. La regla general para la adición es

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

La multiplicación de números complejos se basa en que i · i = -1, y en asumir que esta operación

es distributiva respecto de la adición. Esto genera la siguiente regla para la multiplicación:

(a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Utilizando esta regla se tiene, por ejemplo, que

(1 + 4i)·(2 - 2i) = 10 + 6i

Si z = a + bi es un número complejo cualquiera, el complejo conjugado de z es

y el valor absoluto o módulo de z es

Así, el conjugado de 1 + 4i es 1 - 4i y su módulo es

Una relación fundamental entre el valor absoluto y el complejo conjugado es que

4. EL PLANO COMPLEJO  

De la misma manera que los números reales se pueden representar como puntos de una línea, los

números complejos se pueden representar como puntos de un plano. El número complejo a + bi

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es aquel punto del plano con coordenada x igual a la parte real a, y coordenada y igual a la parte

imaginaria b. Los complejos 1 + 4i y 2 - 2i aparecen en la figura 1 y corresponden a los puntos

(1,4) y (2,-2) del plano. En 1806, el matemático francés Jean-Robert Argand representó

geométricamente los números complejos como puntos del plano, por lo que la figura 1 es

conocida como diagrama de Argand. Si un número complejo se considera como un vector que

une el origen y el punto correspondiente, la adición de números complejos es igual a la suma

corriente de vectores. La figura 1 muestra el número complejo 3 + 2i obtenido al sumar los

vectores 1 + 4i y 2 - 2i.

Dado que los puntos del plano se pueden definir en función de sus coordenadas polares r y è

(véase Sistema de coordenadas), todo número complejo z se puede escribir de la forma

z = r (cos è + i sen è)

donde r es el módulo de z o distancia del punto al origen y è es el argumento de z o ángulo entre

z y el eje de las x. Si z = r (cos è + i sen è) y w = s (cos Ö + i sen Ö) son dos números complejos

en forma polar, entonces el producto (en forma polar) viene dado por

zw = rs (cos(è + Ö) + isen(è + Ö))

Este cálculo tiene una sencilla interpretación geométrica que se muestra en la figura 2.

5. SOLUCIONES COMPLEJAS  

Existen muchas ecuaciones polinómicas (véase Teoría de ecuaciones) que no tienen soluciones

reales, como

x2 + 1 = 0

Sin embargo, si se permite que x sea compleja, la ecuación tiene como soluciones x = ±i, donde i

y -i son las raíces del polinomio x2 + 1. La ecuación

x2 - 2x + 2 = 0

tiene como soluciones x = 1 ± i. El gran logro de Gauss fue demostrar que todo polinomio no

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Page 63: Modulo Algebra

COLEGIO LUIS PATRON ROSANOCICLO 4 NOCTURNO

LIC. CARLOS GARCIA SEÑA

trivial (es decir, que tiene al menos una raíz distinta de cero) con coeficientes complejos tiene al

menos una raíz compleja. De aquí se deduce que todo polinomio complejo de grado n tiene

exactamente n raíces, no necesariamente distintas. Por tanto, todo polinomio complejo de grado

n se puede escribir como producto de n factores lineales complejos.

BIBLIOGRAFIA

Enciclopedia Encarta Microsoft

Matemática Constructiva Nº 9

Matemática con tecnología aplicada Nº 9

Álgebra de Baldor.

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