Unidad 2

ÁLGEBRA

2.1. Operaciones con expresiones algebraicas 2.2. Factor común. 2.3. Factorización de un binomio. 2.4. Factorización de un trinomio 2.5. Simplificación de fracciones algebraicas. 2.6. Adición y sustracción de fracciones algebraicas. 2.7. Multiplicación de fracciones algebraicas. 2.8. División de fracciones algebraicas. 2.9. Combinación de las operaciones con fracciones

algebraicas

Álgebra.

Operaciones con expresiones algebraicas Expresión algebraica. Es la combinación de símbolos (números y letras), a través de las diferentes operaciones fundamentales. Los términos de la expresión algebraica corresponden a cada una de sus partes, las cuales están separadas entre sí por los signos + o -. Ejemplo: Expresiones Algebraicas.

En todo término se distingue el coeficiente numérico y el factor literal. En el

término , -5 es el coeficiente numérico, es el factor literal. En el factor literal, los números que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el número de veces que se toman dichas letras como factores. Si la expresión algebraica tiene un solo término se denomina monomio, si tiene dos términos se denomina binomio, si tiene tres términos se denomina trinomio. Si la expresión algebraica tiene en general más de un término, se denomina polinomio. Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal. Al reducir términos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno solo. Ejemplo: Reducción de términos semejantes.

Los términos , , y son semejantes. Una expresión

algebraica que resulta al considerar todos los términos es: + +

. AL reducirla el resultado es: y. Cuando se trabaja con expresiones algebraicas, es importante considerar que las letras representan números reales, por lo tanto deben ser tratadas como tales y pueden ser reemplazadas por números reales u otras expresiones algebraicas. Propiedades de las fracciones. Anteriormente se definió que una fracción de la forma a/b es un número racional, en el cual a es el numerador y b es el denominador de la fracción. Tanto a como b pertenecen al conjunto de los números enteros, con la restricción de que b no puede ser cero. Para manipular fracciones es necesario considerar las siguientes propiedades:

Ejemplo de aplicación:

Propiedades de los exponentes. Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación en que se repite un mismo factor un cierto número de veces. = a . a . a …a

: n es la potencia a : es la base n : es el exponente Si el exponente es fraccionario tenemos una expresión algebraica con radicales.

Esto es =√ =√ . En general,

= √

Para simplificar expresiones que poseen exponentes, se deben respetar las siguientes leyes:

Ejemplo

Ejemplo

Solución:

Productos notables. Los productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente, sin hacer paso a paso la multiplicación. Son como las tablas de multiplicar del álgebra elemental. Los principales productos notables son:

Los productos notables pueden facilitar cálculos aritméticos, como se observa en el siguiente ejemplo.

Factorización. Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como el producto más simple de sus factores. Para llevarla a cabo, lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor común, si es que lo hay, y luego analizar si el factor no común corresponde al desarrollo de uno o más de los productos notables. Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorización si las leemos de derecha a izquierda. A continuación se ilustra la operatividad de los casos de factorización: ▪ Factor común

▪ Agrupación de términos

▪ Trinomio cuadrado perfecto

▪ Diferencia de cuadrados perfectos

▪ Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

▪ Trinomio de la forma

▪ Trinomio de la forma

En este caso se deben buscar dos números reales cuya suma algebraica sea -13 y cuya multiplicación sea -90. Descomponiendo -90 en factores más elementales se obtienen los números -18 y 5. ▪ Cubo perfecto de binomios

▪ Suma o diferencia de dos potencias impares

A continuación enfocaremos nuestra atención hacia el estudio de algunas técnicas que se utilizan en la factorización de polinomios. Factorización por factor común. La factorización de polinomios por factor común consiste básicamente en la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, para esto recordemos que esta propiedad expresa:

Si a IR; b IR; c IR; entonces a . (b + c) = a . b + a . c En forma más general,

Si a IR; b IR; c IR entonces: a . (b + c) = a . b + a . c En forma más general, si:

Entonces,

Y en tal caso decimos que:

es una factorización de la expresión: y que a es un factor común de los sumandos:

Ejemplo: Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

Solución:

Ejemplo:

a.) Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

Solución:

* Usando la propiedad distributiva se puede demostrar que: a - b = (-1) (b - a) Ejercicios Propuestos: Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

Factorizar por agrupación. Dado un polinomio en el cual no existe un factor común no constante a todos los sumandos que lo componen, en algunos casos es posible obtener la factorización de dicho polinomio, realizando una "agrupación conveniente" de aquellos sumandos que poseen un factor común. Ejemplo: Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

Solución

Ejercicios Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

Factorización por fórmulas notables En esta sección enunciamos algunos teoremas en los cuales se establecen ciertas identidades, que denominaremos fórmulas notables, y que serán utilizadas para factorizar algunas expresiones algebraicas. Teorema Si a IR; b IR entonces se cumple que:

Demostración:

Por lo tanto ( ) y decimos que ( ) es factorización de la expresión

Ejemplo: Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

Solución:

Ejercicios propuestos Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

Teorema

Si a IR; b IR entonces se cumple que:

Ejemplo Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

Solución:

Teorema

Si a IR; b IR entonces se cumple que:

Ejemplo Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

Solución:

Ejercicios Propuestos: Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

Teorema

Si a IR; b IR entonces se cumple que:

Ejemplo: Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

Solución:

Ejercicios Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

Teorema

Si a R; b R entonces se cumple que:

Ejemplo: Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

Solución:

Ejercicios. Factorice totalmente cada una de las siguientes expresiones:

Miscelánea de ejemplos: Ejemplo: Productos notables y factorización.

Ejemplo: Productos notables y factorización.

Ejemplo: Productos notables y factorización.

Racionalización. Racionalizar el denominador de una fracción es convertir una fracción cuyo denominador es irracional en una fracción equivalente, cuyo denominador sea racional. Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fracción, desaparece todo signo radical del denominador. Ejemplo:

Ejemplo:

Simplificación de Expresiones algebraicas. Continuando con lo expuesto en el tema 2.1 de operaciones algebraicas, es necesario acotar lo siguiente: Realizar operaciones con expresiones algebraicas, consiste básicamente en aplicar las propiedades de las operaciones definidas en el conjunto de los números reales (asociatividad, conmutatividad, distributividad, etc) así como las propiedades de las potencias y de los radicales. Con el fin de lograr una mejor comprensión del tema, por parte del estudiante, primero nos abocaremos a realizar operaciones con monomios, para posteriormente efectuar operaciones con expresiones algebraicas en general.

Suma de monomios semejantes. La suma de monomios semejantes entre sí, es igual a un monomio cuyo coeficiente es igual a la suma de los coeficientes de los monomios dados y cuyo factor literal es el factor literal de los monomios dados. Ejemplo: Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

Solución:

Solución:

Nota: En general la suma de monomios no semejantes entre sí no es igual a un monomio. Ahora en expresiones algebraicas, realice lo que se solicita:

Solución:

Ejercicios Propuestos: Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

Ejemplos:

Solución:

Ejercicios Propuestos: Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

Multiplicación de Monomios. El producto de dos o más monomios es igual a un monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los monomios dados y cuyo factor literal es el producto de los factores literales de los monomios dados. Ejemplos: Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

Solución:

Solución:

Ejercicios Propuestos: Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

Simplificación de fracciones con monomios. Una fracción con monomio (o cociente de monomios) esta simplificada si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1. Las fracciones formadas por los coeficientes de los monomios involucrados

están expresadas en su forma más simple.

2. Las variables que aparecen en el numerador son diferentes de las que aparecen en el denominador y no se repiten

3. Las potencias de las variables involucradas tienen exponentes positivos.

Ejemplos:

Solución

Solución:

En los ejercicios de este tipo se aplica que:

Ejercicios Propuestos: Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

A continuación nuestro objetivo es realizar operaciones con expresiones algebraicas en general, para esto se siguen procedimientos similares a los usados al efectuar operaciones con monomios. Ejemplo: Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

Solución:

Solución:

Solución:

Para la solución de estos ejercicios se aplicó:

Solución:

e) Solución:

Ejercicios Propuestos:

1.) Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones:

2.) Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

3.) Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

Definiciones. a.) Si un polinomio no involucra variable recibe el nombre de polinomio

constante. b.) Si un polinomio involucra n variables recibe el nombre de polinomio en n

variables

i:) es un polinomio en dos variables.

ii:) es un polinomio en una variable.

iii:)

√ es un polinomio constante.

1.) Dado un polinomio en una variable x; este se puede denotar por alguna de

las siguientes expresiones:

2.) Dado un polinomio en dos variables x e y; este se puede denotar por

alguna de las siguientes expresiones:

3.) Dado un polinomio en tres variables x; y; z; este se puede denotar por

alguna de las siguientes expresiones:

En forma análoga se denotan los polinomios en n variables Ejemplo:

a.) El polinomio +1 se puede denotar por A(x), y en tal caso escribimos

A(x) =

b.) El polinomio se puede denotar por R(a; b), y en tal caso escribimos: R(a; b) = :

c.) El polinomio se puede denotar por A(x; y; z), y en tal caso escribimos:

A(x; y; z) =

División de fracciones algebraicas. División de polinomios en una variable. Podemos observar que al efectuar la suma, la resta y el producto de dos polinomios, se obtiene otro polinomio. Sin embargo al dividir un polinomio por otro polinomio el resultado no necesariamente es un polinomio. No obstante en cuanto a la división de polinomios se tiene el siguiente teorema: Teorema 1.

(Algoritmo de la división). Dados dos polinomios A(x) y B(x), con B(x) 0, existen polinomios Q(x) y R(x) tales que: A(x) = B(x) . Q(x) + R(x) con el grado de R(x) menor que el grado de B(x) o R(x) = 0 A(x) recibe el nombre de dividendo, B(x) el de divisor, Q(x) el de cociente y R(x) el de residuo. Los polinomios Q(x) y R(x) se obtiene al efectuar la división de A(x) por B(x) mediante el siguiente procedimiento. Procedimiento para efectuar la división de A(x) por B(x):

a.) Ordenar los polinomios A(x) y B(x), en forma descendente de acuerdo con el exponente de la variable.

b.) Se divide el primer sumando del dividendo (el de mayor exponente) por el primer sumando del divisor (el de mayor exponente); el resultado es un sumando del cociente.

c.) Se multiplica el sumando del cociente obtenido en el paso anterior por el divisor, y el resultado se resta del dividendo, obteniendo un residuo \ parcial".

d.) Si el residuo obtenido en el paso anterior es cero o de grado menor que el divisor, ahí término el procedimiento, en caso contrario se repiten los pasos (a), (b), (c) y (d), pero tomando como dividendo el residuo obtenido en el paso anterior.

Ejemplo:

Sea A(x) = y B(x) = Efectúe la división de A(x) por B(x), e indique el cociente y el residuo.

Solución:

Aquí el cociente es y el residuo es - 4. Ejemplo:

Efectuar la división de A(x) por B(x) donde A(x) = ; B(x) = Solución:

Aquí el cociente es – +1 y el residuo es – Además:

= ( )( – ) + (– ) Teorema 2.

Sean A(x); B(x); Q(x) y R(x) polinomios tales que B(x) 0. Si A(x) = B(x) . Q(x) + R(x), entonces:

Demostración:

Ejemplo:

entonces por el teorema anterior se cumple que:

entonces por el teorema anterior se cumple que:

Ejercicios: Para cada par de polinomios A(x) y B(x) que se den a continuación, realice la división de A(x) por B(x) e indique el cociente y el residuo que se obtiene al efectuar esta división.

División Sintética. La división sintética es un procedimiento \abreviado" para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio P(x) de grado n; n 1, por un

polinomio de la forma , con IR, a partir de los coeficiente de P(x) y el cero

de . El procedimiento que usaremos para realizar la división sintética de un polinomio P(x), por un polinomio de la forma, lo ilustraremos a través de ejemplos: Ejemplo: Sean P(x) y Q(x) polinomios tales que:

Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir P(x) por Q(x): a.) Usando el método estudiado anteriormente (División larga) b.) Usando división sintética

Solución:

b.) Usando división sintética, P(x) se divide por Q(x) de la siguiente manera:

Donde los números 4, 15 y 40 son los coeficientes del cociente y 122 el residuo de la división. Observe que, según la parte (a) de este ejercicio, los números obtenidos en la tercera fila son los coeficientes del cociente y el residuo, como se muestra en el esquema anterior. Los números representados en la primera fila son los coeficientes de P(x) (dividendo) y el cero de x-3 (divisor). Los números representados en la segunda fila se obtienen de la siguiente forma: 12 es el producto de 4 y 3 45 es el producto de 15 y 3 120 es el producto de 40 y 3

Los números representados en la tercera fila se obtienen de la siguiente forma: 4 es el coeficiente de x-3 en P(x),

15 es la suma de 3 y 12