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ALGEBRA IICM 214
Modulo II
Basado en el Manual Sucesiones y Series de:
Angela Corbo Lioi, Mercedes Fernandez Miranday Marıa Soledad Romo Lopez
Indice general
1. SIMBOLOS Σ, Π y
(n
k
)3
1.1. LA SUMATORIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. EL SIMBOLO DEL PRODUCTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. EL NUMERO COMBINATORIO
(n
k
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1. El sımbolo factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2. Propiedades del factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3. El numero combinatorio
(n
k
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4. Propiedades de
(n
k
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. EL PRINCIPIO DE INDUCCION 112.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. EL PRINCIPIO DE INDUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. DESARROLLO DE (a+ b)n , n ∈ N 153.1. TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. ANALISIS COMBINATORIO 224.1. PERMUTACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2. PERMUTACIONES DE n OBJETOS DISTINTOS TOMADOS DE k EN k . . . 264.3. COMBINACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4. PROBLEMAS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1
5. PROGRESIONES 315.1. NOCION DE SUCESION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2. PROGRESIONES ARITMETICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.1. Termino general de orden k y suma de k terminos . . . . . . . . . . . . . . 325.3. PROGRESIONES GEOMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3.1. Termino general de orden k y suma de k terminos . . . . . . . . . . . . . . 335.4. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6. EJERCICIOS PROPUESTOS 35
7. SUCESIONES 427.1. PROPIEDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8. SERIES 498.1. SERIES CONVERGENTES Y DIVERGENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.2. ALGUNAS SERIES TIPICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.2.1. Series Telescopicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.2.2. Series Geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.2.3. Series p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.3. SERIES DE TERMINOS POSITIVOS. CRITERIOS DE CONVERGENCIA. . . 628.3.1. Criterio de comparacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.3.2. Criterio de comparacion por lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.3.3. Criterio de la razon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.3.4. Criterio de la raız . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.3.5. Criterio de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.4. SERIES ALTERNANTES. CRITERIO DE LEIBNITZ . . . . . . . . . . . . . . . 728.5. CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.5.1. Criterio de Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.6. SERIES DE POTENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.6.1. Criterio de Convergencia para Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . 80
9. SERIES DE TAYLOR 85
10.EJERCICIOS PROPUESTOS 91
2
Capıtulo 1
SIMBOLOS Σ, Π y
(n
k
)1.1. LA SUMATORIA
Definicion 1.1. En muchas situaciones es conveniente abreviar la notacion de una suma determinos que admiten una ley comun. Ası, para expresar la suma de los n elementos de unconjunto de terminos numericos ordenados a1, a2, . . . , an escribimos:
n∑i=1
ai = a1 + a2 + · · ·+ an, n ∈ N
El sımbolo Σ se llama sumatoria yn∑i=1
ai se lee ”suma de los ai desde i = 1 hasta n”.
1.1.1. Propiedades
1.1∑i=1
ai = a1
2.n∑i=1
ai =n∑j=1
aj =n∑k=1
ak
3.n∑i=1
c = nc, con c una constante
4.n∑i=1
cai = cn∑i=1
ai, con c una constante
5.n∑i=1
ai +n∑i=1
bi =n∑i=1
(ai + bi)
3
6.n∑i=1
ai =k∑i=1
ai +n∑
i=k+1
ai, con 1 < k < n
7.n∑i=1
ai =n+1∑j=2
aj−1 =n−1∑k=0
ak+1
8.n∑i=1
(ai−1 − ai) = a0 − an,n∑i=1
(ai − ai−1) = an − a0
1.1.2. Ejercicios Resueltos
Ejemplo 1.1. Encontrar el valor numerico de las siguientes sumas: (i)3∑i=1
ii (ii)5∑
k=1
1
k (k + 1).
Solucion
(i)3∑i=1
ii = 11 + 22 + 33 = 32.
(ii)5∑
k=1
1
k (k + 1)=
1
1 · 2+
1
2 · 3+
1
3 · 4+
1
4 · 5+
1
5 · 6=
5
6.
Ejemplo 1.2. Expresar la suma de los n primeros terminos usando el sımbolo de sumatoria:
i) −2− 3− 4− 5− . . .
ii) 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + . . .
iii)1
1 · 2+
1
2 · 3+
1
3 · 4+ . . .
iv)1
n+ 1+
1
n+ 2+
1
n+ 3+ . . .
v) a+ aq + aq2 + . . .
Soluciones
i) −2 − 3 − 4 − 5 − · · · − (n + 1) = (−2) + (−3) + (−4) + · · · + (−(n + 1)) =n+1∑i=2
(−i), otra
forma de resolver el problema es: −2− 3− 4− 5− · · · − (n+ 1) = (−1− 1) + (−1− 2) +
(−1− 3) + · · ·+ (−1− n) =n∑i=1
(−1− i).
4
ii) 1+4+7+10+· · ·+(1+3n) = (1 + 3 · 0)+(1 + 3 · 1)+(1 + 3 · 2)+· · ·+(1+3·n) =n∑i=0
[1+3i],
otra alternativa: 1 + 4 + 7 + 10 + · · ·+ (1 + 3 · n) =n+1∑i=1
[1 + 3 (i− 1)].
iii)1
1 · 2+
1
2 · 3+
1
3 · 4+ · · ·+ 1
n · (n+ 1)=
n∑i=1
1
i (i+ 1).
iv)1
n+ 1+
1
n+ 2+
1
n+ 3+ · · ·+ 1
n+ n=
n∑i=1
1
n+ i
v) a+ aq + aq2 + · · ·+ aqn−1 = aq0 + aq1 + aq2 + · · ·+ aqn−1 =n∑i=1
aqi−1 =n−1∑i=0
aqi
Ejemplo 1.3. Utilice propiedades para verificar:
i)n∑k=1
(2k − 1) = n2
ii)n∑k=1
k =n2 + n
2
iii)n+2∑j=1
(j − 1)4 −n∑k=1
k4 = (n+ 1)4
Soluciones:
i)n∑k=1
(2k − 1) =n∑k=1
[k2 − (k − 1)2
]= n2 − 02, por propiedad 8
= n2
ii)n∑k=1
k =n∑k=1
[(2k − 1)− k + 1]
n∑k=1
k =n∑k=1
(2k − 1)−n∑k=1
k +n∑k=1
1
Luego:
2n∑i=1
k =n∑k=1
(2k − 1) +n∑k=1
1
5
2n∑i=1
k = n2 + n, por i) y Prop. 3
n∑i=1
k =n2 + n
2
iii)n+2∑j=1
(j − 1)4 −n∑k=1
k4
=n∑j=1
(j − 1)4 +n+2∑j=n+1
(j − 1)4 −n∑k=1
k4 por propiedad 6
=n∑j=1
(j − 1)4 + (n+ 1− 1)4 + (n+ 2− 1)4 −n∑j=1
j4 por propiedad 2
=n∑j=1
[(j − 1)4 − j4] + n4 + (n+ 1)4 por propiedad 5
= [04 − n4] + n4 + (n+ 1)4 por propiedad 8
= (n+ 1)4
1.2. EL SIMBOLO DEL PRODUCTO
Definicion 1.2. Analogamente al caso de la suma, el producto de n terminos numericos orde-nadas a1, a2, . . . , an lo expresamos abreviadamente.
n∏i=1
= a1 · a2 · a3 · · · · · an
1.2.1. Propiedades
1.1∏i=1
ai = a1
2.n∏i=1
ai =n∏j=1
aj =n∏k=1
ak
3.n∏i=1
c = cn, con c constante
4.n∏i=1
cai = cnn∏i=1
ai, con c constante
6
5.
(n∏i=1
ai
)(n∏i=1
bi
)=
n∏i=1
(aibi)
6.n∏i=1
ai =
(n−1∏i=1
ai
)an = a1
(n∏i=2
ai
)
1.2.2. Ejercicios resueltos
Ejemplo 1.4. Verifique la formula:
n∏i=1
(ei+1 − ei
)= (e− 1)n e
n(n+1)2 ,
si se sabe quen∑i=1
i =n (n+ 1)
2
Solucion: Sean∏i=1
(ei+1 − ei
)=
n∏i=1
ei (e− 1)
= (e− 1)nn∏i=1
ei, por propiedad (4)
= (e− 1)n e1+2+···+n
= (e− 1)n e∑n
i=1 i
= (e− 1)n en(n+1)
2 , por hipotesis.
Ejemplo 1.5. Verifique la formula:
n∏i=1
(n− i+ 1) =n∏i=1
i.
Solucion:n∏i=1
(n− i+ 1) = n (n− 1) (n− 2) · · · · 1
= 1 · . . . (n− 2) (n− 1)n, por conmutatividad
=n∏i=1
i
7
1.3. EL NUMERO COMBINATORIO
(n
k
)1.3.1. El sımbolo factorial
Definicion 1.3. Si n ∈ N, entonces al producto de los n primeros numeros naturales se denominan factorial y se denota por n!, o sea
n! =n∏i=1
i,∀n ∈ N.
Por definicion 0! = 1
1.3.2. Propiedades del factorial
1. n! = n (n− 1)!, ∀n ∈ N ∪ {0}.
2.(n+ k)!
n!= (n+ 1) (n+ 2) . . . (n+ k), ∀n, k ∈ N ∪ {0}.
1.3.3. El numero combinatorio
(n
k
)Definicion 1.4. Si n, k ∈ N ∪ {0} tal que n ≥ k, entonces se define(
n
k
)=
n!
(n− k)!k!,
llamado numero combinatorio
(n
k
)Observacion 1.1.
a)
(n
k
)se lee n sobre k.
b) Como 0! = 1, es posible tomar k = 0 o n = k en
(n
k
).
Ejemplos:
1.
(5
3
)=
5!
(5− 3)!3!=
5!
2!3!=
3!20
3!2= 10
2.
(3
0
)=
3!
(3− 0)!0!=
3!
3!1= 1
3.
(7
7
)=
7!
(7− 7)!7!=
1
0!= 1
8
1.3.4. Propiedades de
(n
k
)1.
(n
k
)es un numero natural para todo n, k ∈ N ∪ {0} tal que n ≥ k.
2.
(n
0
)=
(n
n
)= 1, ∀n ∈ N ∪ {0}
3.
(n
k
)=
(n
n− k
), ∀n, k ∈ N ∪ {0}, tales que n ≥ k. En particular
(n
1
)=
(n
n− 1
)= n,
∀n ∈ N.
4.
(n
k
)+
(n
k + 1
)=
(n+ 1
k + 1
), ∀n, k ∈ N ∪ {0} tales que n ≥ k + 1.
5.
(n
k
)=n (n− 1) (n− 2) . . . (n− (k − 1))
k (k − 1) · · · 1.
1.3.5. Ejercicios resueltos
Ejemplo 1.6. Calcular a)
(8∏j=3
j
)/9!, b)
n! (n− 3)!
(n+ 1)! (n− 4)!
Solucion:
a)
(8∏j=3
j
)/9! =
3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 81 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9
=1
18.
b)n! (n− 3)!
(n+ 1)! (n− 4)!=
n! (n− 4)! (n− 3)
n! (n+ 1) (n− 4)!, por propiedad 1.3.2
=n− 3
n+ 1
Ejemplo 1.7. Verifique las propiedades 3 y 4.Solucion:
a) Debemos verificar que:
(n
k
)=
(n
n− k
).(
n
n− k
)=
n!
(n− (n− k))! (n− k)!, por definicion
=n!
k! (n− k)!=
n!
(n− k)!k!=
(n
k
), por definicion.
9
b) Debemos verificar
(n
k
)+
(n
k + 1
)=
(n+ 1
k + 1
).(
n
k
)+
(n
k + 1
)=
(n+ 1
k + 1
)=
n!
(n− k)!k!+
n!
(n− k − 1)! (k + 1)!, por definicion
=n!
(n− k − 1)! (n− k) k!+
n!
(n− k − 1)!k! (k + 1), por propiedad 1.3.2
=n!
(n− k − 1)!k!
[1
n− k+
1
k + 1
]=
n!
(n− k − 1)!k!
[k + 1 + n− k(n− k) (k + 1)
]=
n! (n+ 1)
(n− k − 1)! (n− k) k! (k + 1)
=(n+ 1)!
(n− k)! (k + 1)!, por propiedad 1.3.2
=(n+ 1
k+1
), por definicion.
Ejemplo 1.8. Utilice solo propiedades para calcular
(324
322
).
Solucion:(324
322
)=
(324
2
), por propiedad 3
=324 · 323
1 · 2, por propiedad 5
=162·323
=52326.
10
Capıtulo 2
EL PRINCIPIO DE INDUCCION
2.1. INTRODUCCION
La “induccion” al contrario de la “deduccion” consiste en obtener una proposicion general apartir de proposiciones particulares.
Por ejemplo si se considera la proposicion particular: “el numero 639 es un multiplo de 3”, sepodrıa concluir que:
a) Todo numero natural terminado en 9 es un multiplo de 3
b) Si en un numero la suma de sus cifras es multiplo de 3, el numero es multiplo de 3.
Es claro que a) es una conclusion falsa y se puede ver que b) es verdadera. Ambas sonproposiciones que dependen de numero naturales.
Surge entonces el problema siguiente:
¿Como demostrar que proposicion (por ejemplo una formula) que dependa de un numeronatural, es valida para todo numero natural?
Ejemplo 2.1. Suma de los n primeros numeros naturales impares.Los numeros naturales impares son:
1, 3, 5, . . . , 2n− 1, . . .
Luego las sumas de los n primeros numeros naturales impares para n = 1, 2, 3, 4, etc. serıan:
1 = 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 162, etc.
Entonces es claro que uno puede conjeturar:
11
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2, o sean∑i=1
(2i− 1) = n2
¿Como demostrar que esta formula es valida para todo n ∈ N?. Pues aquı solo se ha verificadopara n = 1, n = 2, n = 3, n = 4. Nada asegura que la formula sea valida para n = 2327.
Ejemplo 2.2. Consideremos la expresion f (n) = n2 + n+ 41.Si n = 1, f (1) = 43.Si n = 2, f (2) = 47.Si n = 3, f (3) = 53.Si n = 4, f (4) = 61, etc.Luego se puede conjeturar: f (n) = n2 + n+ 41 es un numero primo.¿Es esto valido para todo numero natural n? En este caso la respuesta es ¡NO!, pues clara-
mentef (41) = 412 + 41 + 41 = 41 (41 + 1 + 1) = 41 · 43
f (41) no es un numero primo, mas aun se puede ver que f (n) es un numero primo paran = 1, 2, . . . , 39 pero falla para n = 40.
2.2. EL PRINCIPIO DE INDUCCION
Teorema 2.1. (Principio de induccion)Sea p (n) una funcion proposicional en N que satisface las siguientes propiedades:
i) p (1) es verdadera.
ii) Para cada n ∈ N se tiene p (n)⇒ p (n+ 1), es verdadera.
Entonces: p (n) es verdadera para todo numero natural n.
Existen proposiciones que no son validas para todo numero natural, pero si lo son para todoslos naturales mayores o iguales que cierto n0 ∈ N.
En este caso el teorema se enuncia de la siguiente manera
Teorema 2.2. Sea n0 un numero natural fijo y sea p (n) una funcion proposicional en N quesatisface las siguientes propiedades:
i) p (n0) es verdadera.
ii) Para cada n ∈ N tal que n ≥ n0 se tiene p (n)⇒ p (n+ 1), es verdadera.
Entonces: p (n) es verdadera para todo numero natural n ≥ n0.
12
Observacion 2.1. Otra forma de redactar los teoremas anteriores es la siguiente:Dada una proposicion que depende de un numero natural n, si se cumple que:
i) n = n0 la proposicion es valida.
ii) Si para cada n = k la proposicion es valida, implica que para n = k + 1 la proposiciontambien es valida.
Entonces la proposicion es valida para todo n ≥ n0.En ii) se llama hipotesis de induccion al antecedente de la implicacion y tesis de induccion
al consecuente.
2.3. EJERCICIOS RESUELTOS
Ejemplo 2.3. Demuestre que la suma de los n primeros numeros impares es n2.
Solucion: Para demostrar:n∑i=1
(2i− 1) = n2, ∀n ∈ N
Utilizando el principio de induccion:i) Si n = n0 = 1,1∑i=1
(2i− 1) = 2 · 1− 1 = 1, 12 = 1
Luego la proposicion es valida para n = 1.
ii) Para n = k; Hipotesis de Induccion:
k∑i=1
(2i− 1) = k2.
Para n = k + 1; Tesis de Induccion:
k+1∑i=1
(2i− 1) = (k + 1)2 .
Demostracion de la tesis de induccion:k+1∑i=1
(2i− 1) =k∑i=1
(2i− 1) + (2 (k + 1)− 1)
= k2 + 2k + 2− 1, por la hipotesis de induccion= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
luego de i) y ii) se tiene:n∑i=1
(2i− 1) = n2 es valida para todo n ∈ N.
13
Ejemplo 2.4. Determinar todos los numeros naturales para los cuales n! > 2n
Solucion:Si n = 1, 2, 3 resulta una proposicion falsa. Por demostrar la proposicion es verdadera para
todo n ∈ N, tal que n ≥ 4.
i) Si n = 4; se tiene 4! = 24, 24 = 16. Luego 24 > 16, o sea la proposicion es valida.ii) Para n = k; Hipotesis de induccion:
k! > 2k
Para n = k + 1; Tesis de induccion:
(k + 1)! > 2k+1
Demostracion de la tesis de induccion:
(k + 1)! = k! (k + 1) > 2k (k + 1) por hipotesis de induccion
> 2k2, pues k ≥ 4 ∴ k + 1 ≥ 5 > 2
= 2k+1
Luego (k + 1)! > 2k+1.
Ası por i), ii) la proposicion n! > 2n es valida ∀n ∈ N, n ≥ 4.
14
Capıtulo 3
DESARROLLO DE (a + b)n , n ∈ N
3.1. TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON
Usaremos el principio de induccion y las propiedades de sumatoria presentadas en elCapıtulo 1, para demostrar un teorema previo que nos permitira obtener una formula para eldesarrollo de la potencia n-esima de un binomio (teorema del binomio de Newton).
Observacion 3.1. Cualquiera que sea x ∈ R, se tiene:
(1 + x)0 = 1
(1 + x)1 = 1 + x
(1 + x)2 = 1 + 2x+ x2
(1 + x)3 = 1 + 3x+ 3x2 + x3
(1 + x)4 = 1 + 4x+ 6x2 + 4x3 + x4
Usando el numero combinatorio podemos escribir las expresiones anteriores como:
(1 + x)0 =
(0
0
)x0
(1 + x)1 =
(1
0
)x0 +
(1
1
)x1
(1 + x)2 =
(2
0
)x0 +
(2
1
)x1 +
(2
2
)x2
(1 + x)3 =
(3
0
)x0 +
(3
1
)x1 +
(3
2
)x2 +
(3
3
)x3
15
(1 + x)4 =
(4
0
)x0 +
(4
1
)x1 +
(4
2
)x2 +
(4
3
)x3 +
(4
4
)x4
Esto induce el siguiente teorema.
Teorema 3.1. Sea x ∈ R− {0}; entonces
(1 + x)n =n∑i=0
(n
i
)xi,∀n ∈ N.
Demostracion:i) Para n = 1 es valido, pues:
(1 + x)1 =1∑i=0
(1
i
)xi =
(1
0
)x0 +
(1
1
)x1 = 1 + x
ii) Para n = k, hipotesis de induccion:
(1 + x)k =k∑i=0
(k
i
)xi
Para n = k + 1, tesis de induccion:
(1 + x)k+1 =k+1∑i=0
(k + 1
i
)xi
Demostracion de la tesis de induccion:
16
(1 + x)k+1 = (1 + x) (1 + x)k
= (1 + x)k∑i=0
(k
i
)xi, por hipotesis de induccion
= 1k∑i=0
(k
i
)xi + x
k∑i=0
(k
i
)xi
=k∑i=0
(k
i
)xi +
k∑i=0
(k
i
)xi+1
=
(k
0
)x0 +
k∑i=1
(k
i
)xi +
k+1∑j=1
(k
j − 1
)xj
=
(k
0
)x0 +
k∑i=1
(k
i
)xi +
k∑j=1
(k
j − 1
)xj +
(k
k
)xk+1
=
(k
0
)x0 +
k∑i=1
(k
i
)xi +
k∑i=1
(k
i− 1
)xi +
(k
k
)xk+1
=
(k
0
)x0 +
k∑i=1
[(k
i
)+
(k
i− 1
)]xi +
(k
k
)xk+1
=
(k + 1
0
)x0 +
k∑i=1
(k + 1
i
)xi +
(k + 1
k + 1
)xk+1 =
k+1∑i=0
(k + 1
i
)xi
Luego de i), ii) tenemos que (1 + x)n =n∑i=0
(n
i
)xi es valido ∀n ∈ N.
Teorema 3.2. (Binomio de Newton)Sea a, b ∈ R. Entonces:
(a+ b)n =n∑i=0
(n
i
)an−i · bi,∀n ∈ N
Demostracion: Si a = b = 0, el teorema es evidente.Supongamos a 6= 0. Entonces ∀n ∈ N:
(a+ b)n = an(
1 +b
a
)n= an
n∑i=0
(n
i
)(b
a
)i, tomando x =
b
aen el teorema anterior
=n∑i=0
(n
i
)an · b
i
ai=
n∑i=0
(n
i
)an−i · bi
Observacion 3.2. En el desarrollo de (a+ b)n se tiene:
17
1. Hay n+ 1 terminos o sumandos
2. El termino que ocupa el lugar k + 1 esta dado por:
Tk+1 =
(n
k
)an−kbk, k = 0, 1, 2, . . . , n.
3. Los ceoficientes
(n
k
)se distribuyen simetricamente, es decir son iguales si equidistan de
los extremos, debido a que
(n
k
)=
(n
n− k
).
18
4. Por ultimo hay una interesante disposicion triangular de los numeros combinatorios
(n
k
)que se llama Triangulo de Pascal. (
0
0
)= 1
(1
0
)= 1
(1
1
)= 1
(2
0
)= 1
(2
1
)= 2
(2
2
)= 1
(3
0
)= 1
(3
1
)= 3
(3
2
)= 3
(3
3
)= 1
(4
0
)= 1
(4
1
)= 4
(4
2
)= 6
(4
3
)= 4
(4
4
)= 1
. . . etc.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
. . . etc.
19
3.2. EJERCICIOS RESUELTOS
Ejemplo 3.1. Hallar el coeficiente de x4 en el desarrollo de (1 + x4)
(x2 +
1
x2
)14
Solucion:
(1 + x4
)(x2 +
1
x2
)14
=
(x2 +
1
x2
)14
+ x4(x2 +
1
x2
)14
En el desarrollo de
(x2 +
1
x2
)14
el termino general es:
(14
k
)(x2)14−k ( 1
x2
)k=
(14
k
)x28−4k
Si 28− 4k = 4, o sea k = 6, obtenemos el coeficiente de x4 que es
(14
6
).
Analogamente en el desarrollo de x4(x2 +
1
x2
)14
el termino general es:
x4(
14
k
)(x2)14−k ( 1
x2
)k=
(14
k
)x32−4k
Si 32 − 4k = 4, o sea k = 7, obtenemos el coeficiente de x4 que es
(14
7
). Finalmente el
coeficiente de x4 pedido es
(14
6
)+
(14
7
).
Ejemplo 3.2. Demuestre que el coeficiente del termino central de (1 + x)2n es igual a la sumade los coeficientes de los dos terminos centrales de (1 + x)2n−1, donde n ∈ N.
Solucion:El termino central de (1 + x)2n es el termino que ocupa el lugar central en el desarrollo de
este binomio. Como el desarrollo de (1 + x)2n tiene 2n+ 1 terminos, 2n+ 1 impar, hay un unico
termino central ubicado en el lugar n+ 1, que es Tn+1 =
(2n
n
)xn
Analogamente en el desarrollo de (1 + x)2n−1 hay dos terminos centrales que ocupan los lugaresn y n+ 1, que son Tn y Tn+1.
Luego debemos verificar la siguiente igualdad:(2n
n
)=
(2n− 1
n− 1
)+
(2n− 1
n
)la cual es verdadera por propiedad 1.3.4.4.
20
Ejemplo 3.3. Verifique quen∑k=0
(n
k
)= 2n.
Solucion:
2n = (1 + 1)n =n∑k=0
(n
k
)1n−k1k =
n∑k=0
(n
k
).
21
Capıtulo 4
ANALISIS COMBINATORIO
El objetivo de este capıtulo es el de proporcionar un conocimiento basico para el estudio dela Estadıstica y el Calculo de Probabilidades.
El analisis combinatorio esta fundamentado en dos principios basicos que se apoyan en lossiguientes teoremas de la Teorıa de Conjuntos.
Teorema 4.1. Si X, Y son dos conjuntos finitos. Entonces
# (X × Y ) = (#X) (#Y )
Nota: #X significa el numero de elementos de X.
Teorema 4.2. Si X, Y conjuntos finitos tales que X ∩ Y = ∅. Entonces
# (X ∪ Y ) = #X + #Y
Consideremos dos sucesos (acontecimientos) A,B. Si denotamos por XA el conjunto de todaslas formas en que se puede presentar el suceso A y XB el conjunto de todas las formas en que sepresenta B, entonces un elemento de XA×XB corresponde a la ocurrencia de un suceso del tipoA y un suceso del tipo B.
Luego tenemos por el Teorema 4.1:
Principio Basico Multiplicativo: Si un suceso A puede presentarse de p formas distintasy si cuando esto ha ocurrido, otro suceso B puede presentarse de q formas distintas, entonces elnumero de formas en que ambos sucesos pueden presentarse a la vez es p · q.
Ahora por el Teorema 4.2
Principio Basico Aditivo: Si A y B son los sucesos tales que:
a) A puede efectuarse de p maneras diferentes,
b) B puede efectuarse de q maneras diferentes,
22
c) A y B no pueden efectuarse simultaneamente,
y si S es el suceso que consiste en efectuar A o B, entonces S se puede realizar de p + qmaneras diferentes.
Ejemplo 4.1. Un comite de seis personas formados por Alicia, Benjamin, Clara, Adolfo, Edgardoy Francisco debe escoger un presidente, un secretario y un tesorero.
a) ¿De cuantas maneras se puede realizar la eleccion?
b) ¿De cuantas formas se puede realizar si el presidente debe ser Alicia o Benjamin?
Solucion:a) Usamos el Principio Basico Multiplicativo.El presidente puede ser elegido de 6 maneras diferentes. Una vez seleccionado el presidente, el
secretario puede ser elegido de 5 formas diferentes. Tambien una vez seleccionado el presidente yel secretario, el tesorero puede ser elegido de 4 maneras diferentes. Por lo tanto, el numero totalde posibilidades es 6 · 5 · 4 = 120.
b) Con un razonamiento semejante al utilizado en a), si Alicia es presidente hay 5 · 4 = 20formas para seleccionar los cargos restantes. Ahora si Benjamin es presidente hay 20 modos paraescoger los cargos restantes. Como estos casos son disjuntos, por el Principio Basico Aditivoexisten 20 + 20 = 40 posibilidades.
4.1. PERMUTACIONES
Definicion 4.1. Una permutacion de n elementos diferentes x1, x2, x3, . . . , xn es un ordenamien-to de los n elementos x1, x2, x3, . . . , xn.
Ejemplo 4.2. Si tenemos los elementos a, b y c entonces existen 6 permutaciones las cuales son:abc, acb, bac, bca, cab, cba
10 20 30 10 20 30 10 20 30
a b c a c b b a c
10 20 30 10 20 30 10 20 30
b c a c a b c b a
23
Este ejemplo ilustra el siguiente teorema
Teorema 4.3. El numero total de permutaciones de n objetos diferentes tomados a la vez es n!.Notacion: pn = n!
Demostracion: Se usa el principio de multiplicacion. Una permutacion de n elementos se con-truye en n pasos sucesivos: se elige el primer elemento; se elige el segundo;. . . ; se elige el ultimoelemento. El primer elemento se puede seleccionar de n maneras. Una vez elegido, el segundoelemento se puede seleccionar de n − 1 maneras. Una vez elegido, el tercer elemento se puedeseleccionar de n− 2 maneras, y ası sucesivamente. Por el principio de la multiplicacion existen
n · (n− 1) · (n− 2) · . . . ·2 · 1 = n!
Observacion 4.1.
a) De acuerdo al ejemplo 4.2.
• El primer casillero (o primer lugar), se puede ocupar de 3 maneras diferentes
• Una vez ocupado el primer casillero quedan 2 objetos disponibles. Luego el segundocasillero puede ser ocupado de 2 maneras diferentes.
• Cuando ya estan ocupado el primer y el segundo casillero, el tercer casillero se ocupade una unica manera.
• Por el principio multiplicativo los 3 casilleros a la vez pueden ser llenados de 3·2·1 = 3!maneras.
24
b) Tambien podemos encontrar todas las permutaciones por medio del “diagrama del arbol”(ver figura 4.1)
Figura: 4.1
Ejercicio: ¿De cuantas maneras se puede ordenar 6 libros en un estante?Solucion: P6 = 6! = 720, luego se pueden ordenar 6 libros de 720 formas distintas.
Nota: Si no todos los objetos dados son diferentes, se calcula su numero de premutaciones atraves del siguiente teorema.
Teorema 4.4. (Permutaciones con repeticiones) Si n objetos dados pueden dividirse en r clasestales que hay:
n1 objetos identicos de tipo 1n2 objetos identicos de tipo 2n3 objetos identicos de tipo 3· · · · · ·nr objetos identicos de tipo r
Entonces, el numero de permutaciones de estos objetos tomados todos a la vez esta dada por
P n1,n2,...,nrn =
n!
n1!n2! · · ·nr!
Ejemplo 4.3. ¿De cuantas maneras pueden colocarse en lınea 9 bolitas de las cuales 4 sonblancas, 3 amarillas y 2 azules?
Solucion:
P 4,3,29 =
9!
4!3!2!=
4! · 5 · 6 · 7 · 8 · 94!3!2!
=2520
2= 1260 maneras de ordenar las bolitas.
25
4.2. PERMUTACIONES DE n OBJETOS DISTINTOS
TOMADOS DE k EN k
Teorema 4.5. El numero de permutaciones (o secuencias) de n objetos que se seleccionan entrek elementos disponibles (sin reemplazo) es:
P nk =
n!
(n− k)!= n (n− 1) (n− 2) . . . (n− k + 1)
con n ≥ k
Demostracion:Debe contarse el numero de maneras de ordenar k elementos seleccionados de un conjunto
de n elementos. El primer elemento se puede elegir de n maneras. Una vez que se elige el primerelemento, el segundo se puede seleccionar de n − 1 maneras. Continuamos eligiendo elementoshasta que, habiendo elegido el elemento k − 1, pasamos al elemento k que se puede seleccionarde n− k+ 1 maneras. Por el principio de la multiplicacion, el numero de permutaciones k de unconjunto de n objetos distinto es
n (n− 1) (n− 2) · · · (n− k + 1)
Ejemplo 4.4. ¿Cuantas palabras de 3 letras se puede formar usando las letras a, b, c, d?Solucion:
P 43 =
4!
(4− 3)!= 24, luego se pueden formar 24 palabras de 3 letras usando las letras a, b, c y
d. Ahora sı tenemos con repeticion tenemos la siguiente regla:nk, con n ≥ k o n < k.
Ejemplo 4.5. ¿Cuantos numeros de tres cifras con repeticion se puede formar usando los si-guientes dıgitos 7, 4, 8, 5, 3?
Solucion:Como se pueden repetir los dıgitos y son 5 de ellos, podemos colocar en la posicion de las
centenas cualquiera de los cinco y en la posicion de las decenas tambien 5 dıgitos al igual que enla posicion de las unidades, por lo tanto, el resultado es 53, es decir
P 53 (repeticion)=53=125 numeros
4.3. COMBINACIONES
Definicion 4.2. Sea X = {x1, x2, x3, . . . .xn} un conjunto con n elementos (diferentes).Una combinacion k de X es una seleccion no ordenada de k elementos de X (es decir, un
subconjunto de X de k elementos).
Al numero total de combinaciones de orden de k lo denotamos Cnk o tambien
(n
k
).
26
Teorema 4.6. El numero total de combinaciones de k objetos que se seleccionaron de entre n
objetos diferentes es Cnk =
n!
k! (n− k)!
Demostracion: Cada una de las combinaciones de los n objetos, tomados de k elementos puedeordenarse de Pk = k! maneras diferentes (Teorema 4.3), por lo tanto por el principio multiplicativoel numero total de permutaciones de n objetos tomados de k elementos
P nk = Cn
kPk
Luego Cnk =
P nk
Pk=
n!(n−k)!
k!=
n!
(n− k)!k!
Ejemplo 4.6. Para contestar un examen un alumno debe contestar 4 de 7 preguntas. ¿Cuantasmaneras tiene el alumno de seleccionar las 4 preguntas?
Solucion:
Como el orden de las respuestas no interesa, el numero pedido es C74 =
7!
4! (7− 4)!=
7!
4!3!= 35
formas de seleccionar las 4 preguntas.
Ejemplo 4.7. En un grupo de 16 ninos y 11 ninas, ¿de cuantas maneras puede formarse ungrupo compuesto por 4 ninos y 3 ninas?
Solucion:Como no interesa el orden para formar los grupos, los 4 ninos pueden seleccionarse entre los
16 disponibles de C164 formas, por otro lado las 3 ninas pueden seleccionarse de entre las 11 ninas
de C113 .
Usando el principio Multiplicativo concluimos que,
C164 · C11
3 =16!
4! (16− 4!)
11!
3! (11− 3)!= 1820 · 165 = 300300
maneras pueden formarse los grupos.
Ejemplo 4.8. Una senora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene,
a) ¿Cuantas maneras tiene de invitarlos?
b) ¿Cuantas maneras tiene si entre ellos esta una pareja de recien casados y no asisten el unosin el otro?
c) ¿Cuantas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos?
Solucion:
a) C115 = 11!
5!6!= 462 maneras de invitarlos. Es decir, se pueden formar 462 grupos de 5 personas
para ser invitadas.
b) La senora tiene dos alternativas para hacer la invitacion:
27
i) No invitar a la pareja C20 · C9
5 =2!
0! (2− 0)!
9!
5! (9− 5)!= 1 · 126 = 126
ii) Invitar a la pareja C22 · C9
3 = 2!2!(2−2)!
9!3!(9−3)! = 1 · 84 = 84
Luego, usando principio de adicion tenemos 126 + 84 = 210 formas de invitarlos.
c) Al igual que la letra b) la senora tiene dos alternativas para hacer la invitacion:
i) No invitar a Rafael y ni Arturo
C20 · C9
5 =2!
0! (2− 0)!
9!
5! (9− 5)!= 1 · 126 = 126
ii) Que invite solo a uno de ellos
C21 · C9
5 =2!
1! (2− 1)!
9!
5! (9− 5)!= 2 · 126 = 252
Ası hay 126 + 252 = 378 maneras de hacer la invitacion
4.4. PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo 4.9. Se tiene 12 probetas en un laboratorio: 7 con soluciones acidas y las restantes consoluciones alcalinas.
a) ¿De cuantas maneras se puede ordenar 5 de ellas de modo que las soluciones acidas yalcalinas queden alternadas?
b) Para un experimento se debe escoger 9 del total de soluciones de modo que a lo mas haya3 alcalinas. ¿ De cuantas maneras se pueden escoger?
Solucion:
a) Al ordenar las soluciones de la manera pedida la primera puede ser acida o alcalina
i) Si la primera es acida tenemos:
10 20 30 40 50
Ac. Alc. Ac. Alc. Ac.
El primer lugar se puede ocupar de 7 maneras.
El tercer lugar se puede ocupar de 6 maneras.
El quinto lugar se puede ocupar de 5 maneras
28
Luego las soluciones acidas se pueden ubicar de 7·6·5 maneras. O sea de P 73 = 210 maneras.
Analogamente las soluciones alcalinas se pueden ubicar en el 20 y 40 lugar de P 52 = 5!
3!= 20
maneras.
Luego todas las soluciones se pueden ubicar en los 5 lugares de 210 · 20 = 4200 maneras.
ii) Si la primera solucion que se ubica es alcalina, se tiene:
10 20 30 40 50
Alc. Ac. Alc. Ac. Alc.
y en forma analoga al caso anterior las soluciones alcalinas se pueden ubicar de P 53 =
5!
2!=
60 maneras, y las soluciones acidas de P 72 =
7!
5!= 42 maneras.
iii) Aplicando el principio aditivo, el numero de maneras en que se puede ordenar en formaalternada las cinco soluciones es:
4200 + 2520 = 6720, maneras
b) El numero de soluciones alcalinas a considerar puede ser 2 o 3, tomados en cuenta que hay
solo 7 soluciones acidas.
i) Si se toman 2 alcalinas, debe tomarse 7 acidas. En este caso las 9 soluciones se puedenescoger de
C52 · C7
7 = 10 maneras.
ii) Si se toman 3 alcalinas, las 9 soluciones se escogen de:
C53 · C7
6 = 70 maneras.
Aplicando el principio aditivo, resulta que el numero total de maneras de escoger las 9soluciones en las condiciones pedidas es:
10 + 70 = 80 maneras.
29
Ejemplo 4.10. ¿De cuantas maneras pueden guardarse 12 herramientas distintas usando 2cajas?
Solucion:En cada caja debe guardarse a lo menos 1 herramienta y a lo mas 11. Basta determinar el
numero de maneras en que las herramientas se pueden guardar en una de las cajas solamente.Por combinaciones y principio aditivo se tiene:
C121 + C12
2 + · · ·+ C1211 =
12∑k=0
C12k − C12
0 − C1212 = 212 − 2 = 4094.
Ejemplo 4.11. ¿De cuantas maneras un estudiante puede distribuir los dıas de una semana demodo que dedique cuatro de ellos para matematicas, dos para fısica y uno para descansar?
Solucion:Es un problema de permutaciones con repeticion, ya que no podemos diferenciar los dıas en
que se estudia un ramo determinado. Luego el numero de maneras en que el estudiante puededistribuir los dıas es:
7!
4!2!1!= 105 maneras
Ejemplo 4.12. ¿De cuantas maneras se pueden sentar 7 personas alrededor de una mesa redon-da? ¿De cuantas maneras si 3 de ellas deben quedar juntas?
Solucion:En una mesa redonda no hay un lugar ”de preferencia”. Ubicamos una de las personas en
un lugar fijo A de la mesa. Luego nos quedan 6 personas para ubicar en los 6 lugares restantes.Ası las 7 personas se pueden ubicar de:
P6 = 6! maneras
Ahora si 3 de las personas deben quedar juntas, se consideran como un bloque. Luego es lomismo que ubicar 5 personas en una mesa redonda. Por lo anterior estas se pueden ubicar de4! maneras, y como las 3 personas que van en bloque se pueden ordenar de 3! maneras por elprincipio multiplicativo las 7 personas se ubican de
4! · 3! = 144 maneras.
30
Capıtulo 5
PROGRESIONES
5.1. NOCION DE SUCESION
Definicion 5.1. Dado un conjunto S 6= ∅, se llama sucesion en S a una funcion
a : N −→ S
Si S = R, entonces a : N −→ R se dice una sucesion real.
Si se tiene una sucesion a : N −→ S llamamos termino de la sucesion a las imagenesa (1) , a (2) , . . . , a (n) , . . . y se denotan por a1, a2, . . . , an, . . .
En general una sucesion a : N −→ S se denotara por {an}∞n=1 = {an}n∈N o bien por {an}simplemente.
Observemos que {an} = {a1, a2, . . . , an, . . . } es solo una notacion y no un conjunto ya quepuede haber terminos repetidos.
Por ejemplo:La sucesion a : N −→ S tal que
an =
{1 si n es par−1 si n es impar
tiene por terminos−1, 1,−1, 1, . . . .
Esta sucesion se denota: {an} = {1,−1, 1,−1, . . . }
Definicion 5.2. Dada una sucesion {an}, terminos ak, k ∈ N, se dice termino de lugar k de ella,o bien el k-esimo termino.
Asıa1 : 10 terminoa2 : 20 termino, etc
31
5.2. PROGRESIONES ARITMETICAS
Definicion 5.3. Sea {an} una sucesion real. Se dice que {an} es una progresion aritmetica siexiste un numero real d, llamado diferencia, tal que
ak+1 − ak = d,∀k ∈ N
Observacion 5.1.
a) Un numero finito de terminos reales se dicen en progresion aritmetica si ellas forman partede una progresion aritmetica.
b) Dados dos numeros reales a, b distintos, se dice que x1, x2, . . . , xr son medios aritmeticosentre a y b si a, x1, x2, . . . , xr, b estan en la progresion aritmetica.
c) Si a, b ∈ R, se llama el medio aritmetico entre a y b al numero x ∈ R tal que a, x, b estanen la progresion aritmetica.
5.2.1. Termino general de orden k y suma de k terminos
Sea {an} una progresion aritmetica con diferencia d.
Teorema 5.1. El termino general de orden k es
ak = a1 + (k − 1) d,∀k ∈ N.
Teorema 5.2. La suma de los primeros k terminos de una P.A. esta dada por:
Sk =k∑i=1
ai,
entonces
Sk =k
2[a1 + ak] ,∀k ∈ N.
Corolario 5.1.
Sk =k
2[2a1 + (k − 1) d] , ∀k ∈ N
Observacion 5.2. Los teoremas 5.1, 5.2 se demuestran por induccion.
32
5.3. PROGRESIONES GEOMETRICAS
Definicion 5.4. Sea {an} una sucesion real con sus terminos no nulos. Se dice que {an} es unaprogresion geometrica si existe un numero real r, llamado razon, tal que:
ak+1
ak= r,∀k ∈ N.
Observacion 5.3. Al igual que en las progresiones aritmeticas, un numero finito de termi-nos estan en progresion geometrica si ellos forman parte de una progresion geometrica. Ademasx1, . . . , xp son medios geometricos entre dos numeros reales no nulos a y b si a, x1, . . . , xp, b estanen progresion geometrica.
5.3.1. Termino general de orden k y suma de k terminos
Sea {an} una progresion geometrica de razon r 6= 1
Teorema 5.3. El termino general de orden k es:ak = a1 · rk−1,∀k ∈ N.
Teorema 5.4. La suma de los primeros k terminos de una P.G. esta dada por:
Sk = a11− rk
1− r,∀k ∈ N.
5.4. EJERCICIOS RESUELTOS
Ejemplo 5.1. En una progresion aritmetica cuyo primer termino es a1, si la suma de los pprimeros terminos es cero, demuestre que la suma de los siguientes q terminos es igual a:
−a1 (p+ q) q
p− 1
Solucion:Sp = p
2(2a1 + (p− 1) d) = 0 como p 6= 0, 2a1 + (p− 1) d = 0 de donde d = −2a1
p−1 . AdemasS∗ = Sp+q − Sp, siendo S∗ la suma de los q terminos que siguen a los p primeros.
Como Sp = 0, S∗ = Sp+q, por lo tanto
S∗ =p+ q
2·[2 · a1 + (p+ q − 1)
−2 · a1p− 1
]=
p+ q
2· −2 · a1p− 2 · a1 − 2a1 · p− 2 · a1 · q + 2 · a1
p− 1
=p+ q
2· −2 · a1 · q
p− 1
=−a1 (p+ q) q
p− 1
33
Ejemplo 5.2. 400 kg de papas almacenadas pierden peso hasta llegar a 380 kg en la primerasemana. En cada una de las semanas siguientes la perdida del peso es la mitad del peso perdidoen la semana anterior. Despues de 9 semanas el propietario determina vender el lote de papas¿compensara la perdida de peso vendido a $240 el kg de papa, cuyo precio original era $200 enkg?
Solucion:Sea a1 = 20kg (perdida de peso en la primera semana), luego r = 1
2. Ası
Sq = 201−
(12
)91− 1
2
= 39,921875kg.
Es la perdida de peso en las 9 semanas, quedando 50.078125kg para la venta.Precio de costo de las papas: $80.000, Precio de venta: $86.418.Luego hay ganancia, y se compensa la perdida de peso.
34
Capıtulo 6
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Obtenga una formula para las siguientes sumas:
a) S =n+2∑k=1
(j − 1)4 −n∑k=1
k4.
b) S =n∑k=1
a−k, si |a| > 1.
Indicacion: 1− xn = (1− x) (1 + x+ x2 + · · ·+ xn−1)
c) S =n∑k=1
log
(1 +
1
k (k + 2)
).
d) S =n∑k=1
k!k.
e) S =2n∑k=1
(−1)k (2k + 1), si se sabe que
n∑k=1
(4k − 1) = 2n2 + n,n∑k=1
(4k + 1) = 2n2 + 3n.
2. Use induccion matematica para demostrar las siguientes proposiciones:
a) La suma de los primeros n numeros naturales esn (n+ 1)
2.
b) La suma de los n primeros numeros naturales impares es n2
c) 1 + 3 + 6 + 10 + · · ·+ n (n+ 1)
2=n (n+ 1) (n+ 2)
6, ∀n ∈ N.
d) 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · ·+ n (n+ 2) =n (n+ 1) (2n+ 7)
6,∀n ∈ N.
e) 2n ≥ 1 + n, ∀n ∈ N.
35
f) 2n−1 ≤ n!, ∀n ∈ N.g) 10n+2 + 4 · 10n + 4 es divisible por 9, ∀n ∈ N.
h) 22n + (−1)n+1 es divisible por 5, ∀n ∈ N.
i) 2n + 1 es divisible por 3, si n es cualquier numero natural impar.
j)n∑i=1
(2i− 1)2 =1
3n (2n+ 1) (2n− 1) ,∀n ∈ N.
k) Si a1 = 1 y ak+1 =√
3ak, donde k ∈ N y k > 1.
Entonces an < an+1,∀n ∈ N
3. Considere la formula siguiente:
n∑i=1
(2i− 1) = 25 + n2, donde n ∈ N.
a) Demuestre que si esta formula es valida para n = k, entonces lo es tambien paran = k + 1.
b) ¿Es posible concluir que la formula es valida para todo numero natural n? Justifique.
4. Decida si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:
a)100∑n=0
n4 =100∑n=1
n4.
b)100∑i=0
2 = 200.
c)100∑k=0
(2 + k) = 2 +100∑k=0
k
d)n∑i=1
1
i (i+ 1)=
1
n (n+ 1), ∀n ∈ N
5. Evalue:
a)5∏i=1
(1 +
1
i
)
b)
(3∏i=1
it
)(6∏i=4
i
)
c) (1− x)3∏
k=1
(1 + x2k−1
)
36
6. Simplifique y calcule:
a)
6∏j=3
j
5!
b) (n− 1)!n+3∏i=n
i
c)n! (2n− 1)!
(n− 2)! (2n)!
d)(2n+ 1)! (n+ 1)!
(n− 2)! (2n+ 3)!
e)
(43
41
)f)
(n+ 2
n− 1
)g)
(2n
n
)[(n− 1)!]2
7. Calcule n en cada caso:
a) 6! · n = 9!
b)
(n
n− 2
)= 10
c)
(2n
3
)= 11
(n
3
)d)
(28n
)(24n−4
) =2700
(n− 3) (n− 2)
8. Demuestre que:
a) en(n+1)
2 (e− 1)n =n∏i=1
(ei+1 − ei
),∀n ∈ N.
b)n∏i=1
(2i− 1) =(2n)!
2nn!,∀n ∈ N.
c)n+1∏i=1
(1 + q2
i−1)
=1− q2n+1
1− q,∀n ∈ N.
9. Demuestre por induccion matematica:
37
i) 12 + 22 + · · ·+ n2 =n (n+ 1) (2n+ 1)
6.
ii) 13 + 23 + · · ·+ n3 =
[n (n+ 1)
2
]2iii) Utilice i), ii) para obtener formulas para:
a)n+1∑i=1
(2i− 1)2.
b)n+1∑i=1
(2i)3
10. Escriba el desarrollo de:
a) (x+ 4)5 b)(x
2− 2y
)4c)
(1
x− 2√x
)6
11. Encuentre y simplifique:
a) El septimo termino del desarrollo de
(x+
3
2x3
)10
.
b) El termino independiente de x en el desarrollo de
(2x2 − 1
x
)12
.
c) El termino central en el desarrollo de
(y2 − x
2y
)8
.
d) El coeficiente de x18 en el desarrollo de
(x2 − 30
x
)15
.
e) El termino que contiene a x2 en el desarrollo de
(3√x− 2
x2
)27
.
f) El coeficiente de x4 en el desarrollo de (1− x) (1 + x)15.
g) El coeficiente de x25 en el desarrollo de (1 + x)50(
1 +1
x+ x2
).
h) El valor de k, si los coeficientes xk y de xk+1 son iguales en el desarrollo de (3x+ 2)19.
i) El termino constante y los terminos centrales en el desarrollo de (x2n + 2x−n)45
.
12. En 5 butacas de la primera fila de un teatro de debe ubicar a 5 personas, 3 hombres y 2mujeres.
a) ¿De cuantas maneras se les puede ubicar?
b) ¿De cuantas maneras si los hombres se sientan juntos y las mujeres tambien?
c) ¿De cuantas maneras si solo las mujeres se sientan juntas?
38
d) ¿De cuantas maneras si deben ir alternados?
e) ¿De cuantas maneras si hay una pareja que quiere quedar junta?
13. Con los dıgitos 2,3,5,6,7 y 9 se formaran numeros de tres dıgitos distintos.
a) ¿Cuantos son?
b) ¿Cuantos de ellos son menores que 400?
c) ¿Cuantos de ellos son pares?
d) ¿Cuantos de ellos son mutiplos de 5?
14. Considere las letras de la palabra “CRISTAL”.
a) ¿Cuantas “palabras” de 4 letras distintas se pueden formar?
b) ¿Cuantas de ellas contienen solo consonantes?
c) ¿Cuantas de ellas comienzan por vocal y terminan en consonante?
d) ¿Cuantas contienen la letra “L”?
e) ¿Cuantas comienzan por “T” y terminan en vocal?
f) ¿Cuantas comienzan por “T” y contienen la letra “S”?
g) ¿Cuantas contienen dos vocales?
15. Una delegacion de 4 estudiantes de un colegio se selecciona todos los anos para asistir a laAsociacion de Estudiantes. Si la delegacion se escogera de un total de 12 estudiantes:
a) ¿De cuantas maneras se puede escoger la delegacion?
b) ¿De cuantas maneras si 2 de los estudiantes no pueden ir juntos?
c) ¿De cuantas maneras si hay 2 estudiantes que solo van si son ambos escogidos?
16. Un alumnos debe contesttar 8 a 10 preguntas de un examen.
a) ¿De cuantas maneras puede contestar el examen?
b) ¿De cuantas maneras si las 3 primeras preguntas son obligatorias?
c) ¿De cuantas maneras si se debe contestar por lo menos 4 de las 5 primeras preguntas?
17. a) ¿De cuantas maneras puede elegirse un comite de 5 tecnicos de un total de 7 mecanicosy 5 electricos, si el comite debe contener al menos 1 mecanico y al menos 1 electrico?
b) ¿Cuantas senales diferentes, cada una de 6 banderas colgando en lınea, pueden for-marse con 4 banderas rojas identicas y dos azules identicas?
39
c) En una reunion social cada una de las personas saluda, dandole la mano, a cada unade las restantes. En total se hacen 45 saludos. ¿Cuantas personas habıa en la reunion?
d) ¿De cuantas maneras pueden repartirse 12 objetos distintos entre 4 personas?
e) ¿De cuantas maneras se puede repartir 5 regalos distintos a dos ninos si uno de ellosrecibira 3 y el otro 2 regalos?
f) ¿Cuantos numeros multiplos de 5, con 4 dıgitos, son mayores que 2000 y menores que8000?¿Cuantos de ellos tienen los 4 dıgitos distintos?
18. Encuentre los valores que faltan: a1, d, an, Sn en las Progresiones Aritmeticas (P.A.) siguien-tes
a) a1 = 10, d = 2, n = 17.
b) a1 = 13, an = 56, n = 24.
c) Sn = −792, a1 = 7, n = 72.
d) Sn = 891, a1 = 7, d = 2.
19. i) Determine el primer termino y la diferencia de una P.A cuyo decimo termino es 25 yel termino del lugar 45 es 91.
ii) La suma de los primeros 50 terminos de una P.A es 200, y la suma de los 50 terminossiguientes es 2700. Encuentre la P.A.
iii) Interpole 4 medios aritmeticos entre -9 y 26.
iv) La suma de tres terminos consecutivos de una P.A. es 30 y la suma de sus cuadradoses 318 ¿Cuales son los numeros en P.A.?
v) La suma de los 15 primeros terminos de una P.A. es 270. Determine la P.A. si sabeque el termino de lugar 15 es 39.
20. a) Una persona acepta un empleo con un sueldo de 3000 dolares por el primer mes y conun aumento de 100 dolares por cada mes que sigue ¿Cuantos anos debera trabajarpara que su entrada mensual sea de 9000 dolares? ¿Cuanto habra ganado, en total, alcabo de un ano y medio?
b) Un reloj marca solamente las horas con numero de tanidos correspondiente ¿Cuantostanidos da, en total, entre las 2h.15min. y las 11h.20min. ?
c) Calcule las suma de n terminos de la P.A.
2a2 − 1
a, 4a− 3
a,6a2 − 5
a.
d) Determine el valor de k, si 8k + 4, 6k − 2, 2k − 7 estan en progresion aritmetica.
21. Determine los valores que faltan: a1, r, an, Sn, de las siguientes Progresiones Geometricas(P.G.):
40
a) a1 = 2, r = 2, n = 7.
b) a1 = 5, r = 3, an = 3645.
c) Sn = 765, a1 = 3, an = 384.
d) Sn = 7651, an = 5103, r = 3.
22. a) Interpole cuatro medios geometricos entre 160 y 5.
b) Halle tres numeros en P.G cuya suma sea 19 y cuyo producto sea 216.
c) Halle la suma de los n primeros terminos de la P. G.
1
1 + x2,
1
(1 + x2)2,
1
(1 + x2)3, . . . , . . .
23. i) Encuentre la suma de todos los numeros entre 14 y 84, ambos inclusive, que no seanmultiplos de 3.
ii) Sea f : R −→ R, f (x) = ex. Si a1, a2, a3 estan en P.A., demuestre que f (a1) , f (a2) , f (a3)estan en progresion geometrica
iii) Demuestre que: a, b, c estan en P.A. es equivalente a 1b−a ,
12b, 1b−c esta en P.G.
24. a) Un cuerpo en caıda libre recorre aproximandamente 4.9m en el primer segundo, 14.7men el segundo siguiente; 24.5m en el tercer segundo; etc. ¿Cuantos metros recorre elcuerpo al cabo de 5 bombeadas?
b) Una bomba de vacıo extrae la cuarta parte del aire contenido en un recipiente en cadabombeada. ¿Que porcentaje de aire, del que orginalmente contenıa el recipiente, quedadespues de 15 segundos?
c) Un quımico tiene un precipitado compuesto de 1gr. de una sustancia y 1gr. de im-pureza. En cada lavado logra reducir la impureza a la mitad ¿Cuantos lavados sonnecesarios para que la impureza sea menor que 0.0001gr?
d) Una pelota es lanzada desde 1m. de altura. Si cada vez que rebota alcanza la mitadde la altura que antes alcanzo, calcule la distancia que recorre antes de detenerse.
e) En un estanque cae agua a razon de dos galones por minuto en el primer minuto, 4galones por minuto en el segundo minuto, 6 galones por minuto en el tercer minuto,etc. ¿Cuanta agua habra en el estanque despues de transcurrida 1 hora? Suponga queel estanque estaba inicialmente vacıo.
f) Un cierto cultivo de bacterias, se duplica cada 20 minutos. ¿En cuanto aumenta (odisminuye) el numero original de bacterias en el cultivo al cabo de 2 horas, suponiendoque ninguna desaparece?
41
Capıtulo 7
SUCESIONES
Definicion 7.1. Una sucesion (real) es una funcion
a : N −→ R
para el cual anotamos:a (n) = an,∀n ∈ N.
El grafico de una sucesion a sera entonces el conjunto de los pares ordenados (n, an) , n ∈ N.En adelante: {an}n∈N o bien (an)n∈N o bien {an : n ∈ N} o bien {a1, a2, . . . , an . . . } denotara lasucesion a : N −→ R, n −→ an
Dada la sucesion {an}n∈N, llamamos termino de orden k o bien k-esimo termino o bien terminode lugar k, al elemento ak.
Ejemplo 7.1.
1.
{1
n
}n∈N
denota la sucesion a :−→ R donde a1 = 1, a2 =1
2, a3 =
1
3, . . . , an =
1
n, . . .
O sea
{1
n
}n∈N
=
{1,
1
2,1
3, . . . ,
1
n, . . .
}2. {3}n∈N es la sucesion constante 3, donde an = 3,∀n ∈ N. La sucesion constante 0 se llama
sucesion nula.
3.
{n
n+ 1
}n∈N
es la sucesion cuyo n-esimo termino es an = nn+1
, o sea
{n
n+ 1
}={
12, 23, 34, . . . , n
n+1, . . .
}.
4. an =
{1 si n es impar, n ∈ N2
n+ 2si n es par, n ∈ N ∀n ∈ N.
42
Entonces {an}n∈N es la sucesion: {1,
1
2, 1,
1
3, 1,
1
4, . . .
}Observacion 7.1. Las sucesiones de los ejemplos 1 y 4 tienen los mismos elementos comoconjuntos pero son sucesiones diferentes. Esto se aprecia al confeccionar sus graficos:
Figura: Grafico de
{1
n
}Figura: Grafico de {an}n∈N
Algebra de Sucesiones
Como las sucesiones reales son funciones reales, con ellas se pueden efectuar todas las opera-ciones que se hacen con funciones reales, y se tiene:
Dadas las sucesiones {an} y {bn}, entonces:
a) {an}+ {bn} = {an + bn}: suma de sucesiones
b) {an} · {bn} = {an · bn}: producto de sucesiones
c){an}{bn}
=
{anbn
}, si bn 6= 0, ∀n ∈ N: cuociente de sucesiones
d) α ∈ R, α · {an} = {αan}: multiplicacion de una sucesion por un escalar
43
Sucesiones Convergentes
Sea {an} una sucesion. Si {an} tiene lımite en infinito (como funcion), diremos que la sucesion{an} es convergente. O sea
{an} es convergente⇔ ∃ l = lımn→∞
an.
En este caso diremos que {an} converge a l y que l es el lımite de la sucesion. Si el lımite noexiste, la sucesion es divergente.
Observacion 7.2. La sucesion {an} es la funcion a : n → an. Para estudiar el lımite de lafuncion a, esta se extiende a cualquier real x, pues
lımn→∞
an = lımn→∞
a (n) = lımx→∞
a (x) .
Por ejemplo: para
{1
n
}n∈N
, se tiene que lımn→∞
1
n= lım
x→∞
1
x= 0. Luego { 1
n}n∈N es una sucesion
convergente.
7.1. PROPIEDADES
1. El lımite de una sucesion es unica.
2. Son validos para sucesiones, todos los teoremas de lımites de funciones. Ası tenemos:
a) α ∈ R y {an} converge a l, entonces α{an} converge a αl.
b) Si {an} converge a l y {bn} converge a l′ entonces:
{an} ± {bn} converge a l ± l′
{an} · {bn} converge a l · l′
{anbn} converge a l
l′, siempre que bn 6= 0, ∀n ∈ N, y que l′ 6= 0
Ejemplo 7.2.
1. Toda sucesion constante es convergente. {C}n∈N converge a C, si C es constante.
2.
{n
n+ 1
}n∈N
es convergente a 1, ya que lımn→∞
n
n+ 1= lım
x→∞
x
x+ 1= 1.
3. {n}n∈N es divergente.
4.
{n2
2n+ 1
}n∈N
es divergente, ya que lımn→∞
n2
2n+ 1= lım
x→∞
x2
2x+ 1= lım
x→∞
2x
2=∞.
44
5. Veamos la convergencia de{n sin
π
n
}n∈N
lımn→∞
n sinπ
n= lım
x→∞x sin
π
x= lım
x→∞
sin πx
1x
= lımx→∞
− πx2
cos πx
− 1x2
= π lımx→∞
cosπ
x= π · 1 = π
6. Sea {an} tal que an = (−1)n · n+ 1
n
como an =
{n+1n
si n es par−n+1
nsi n es impar
resulta que los terminos pares tienen como lımite 1 y
los impares lımite -1. Luego @ lımn→∞
an y ası {an} es divergente.
7. La sucesion
{n2 sin π
n
2n+ 1
}n∈N
es convergente ya que:
Sean an =n
2n+ 1y bn = n sin π
n. Entonces claramente la sucesion dada es {an} · {bn}.
Como las sucesion {an} converge a 12
(pues lım
n→∞
n
2n+ 1=
1
2
)y la sucesion {bn} converge
a π, la sucesion dada converge a1
2π. O sea
{n2 sin π
n
2n+ 1
}n∈N
converge a π2
Proposicion 7.1. Se tiene los siguientes casos especiales:
i) Si p > 0,
{1
np
}n∈N
converge a 0.
ii) Si p > 0, { n√p}n∈N converge a 1.
iii) { n√n}n∈N converge a 1.
Demostracion:ii) lım
n→∞n√p = lım
n→∞p
1n = p0 = 1.
45
iii) Sea l = lımn→∞
n√n, luego
ln l = ln[
lımn→∞
n1n
]= lım
n→∞ln(n
1n
)= lım
n→∞
1
nlnn
= lımn→∞
lnn
n
= lımn→∞
1n
1, por L’Hopital
= 0O sea ln l = 0 y ası l = 1
Sucesiones Monotonas
Definicion 7.2. Sea {an} una sucesion. Considerando que las sucesiones son funciones reales,tenemos que:
a) {an} es creciente ⇔ an ≤ an+1 ∀ n ∈ N{an} es decreciente ⇔ an ≥ an+1 ∀ n ∈ N{an} es monotona ⇔ {an} es creciente o {an} es decreciente.
b) x ∈ R, x es cota inferior de {an} ⇔ x ≤ an, ∀ n ∈ Ny ∈ R, x es cota superior de {an} ⇔ y ≥ an, ∀ n ∈ N
c) {an} es acotada superiormente ssi tiene al menos una cota superior.
{an} es acotada inferiormente si, y solo si tiene al menos una cota inferior.
{an} es acotada si, y solo si es acotada superior e inferiormente.
NOTA 1. {an} es acotada ssi ∃ M ∈ R+ tal que |an| ≤M , ∀ n ∈ N.
NOTA 2. {an} es creciente (o decreciente) ssi f (x) = ax, x real positivo, es funcion realcreciente, esto es f ′(x) > 0 (o decreciente f ′ (x) < 0).
Teorema 7.1. (condiciones de convergencia)
1. Toda sucesion creciente y acotada superiormente es convergente.
2. Toda sucesion decreciente y acotada inferiormente es convergente.
3. Toda sucesion convergente es acotada.
4. Si {an} es monotona, entonces : {an} es convergente ⇔ {an} es acotada.
Observacion 7.3. a) De (1) y (2) del teorema se deduce que:
46
{an} monotona y acotada ⇒ {an} convergente
b) De (3) tenemos, por la contrapositiva de la implicacion, que:
{an} no esta acotada ⇒ {an} es divergente.
Sin embargo, si {an} es acotada, no necesariamente es convergente. Por ejemplo la su-
cesion
{(−1)n
n
n+ 1
}n∈N
es una sucesion acotada, pues:
∣∣∣∣(−1)nn
n+ 1
∣∣∣∣ ≤ 1, pero no es
convergente (los terminos pares tienen lımite 1 y los impares -1).
c) Una sucesion convergente no necesariamente es monotona. Por ejemplo
{(−1)n
1
n
}n∈N
converge a 0 y no es creciente ni decreciente, o sea no es monotona. Este ejemplo sirvetambien para comprobar que: una sucesion acotada no necesariamente es monotona.
Ejemplo 7.3. Estudiar la monotonıa, cotas y convergencia de las sucesiones
a) {21/n}n∈N
b)
{100000 n
1 + n2
}n∈N
c)
{n2 + 1
n
}n∈N
Solucion:
a) • Monotonıa: Sea f (x) = 21x , x ∈ R+.
Como f ′ (x) =−2
1x ln 2
x2< 0, resulta que f (x) es decreciente, luego {21/n}n∈N es
monotona decreciente.
• Cotas:∣∣∣2 1
n
∣∣∣ =∣∣ n√
2∣∣ ≤ 2, ∀n ∈ N (2 es cota superior y -2 es cota inferior), la sucesion
es acotada.
• Convergencia: como es monotona y acotada, es convergente.
b) • Monotonıa:
f (x) =100000 x
1 + x2, x ∈ R
f ′ (x) =100000 (1 + x2)− 100000x · 2x
(1 + x2)2
f ′ (x) =100000− 100000x2
(1 + x2)2< 0
∴ la sucesion dada es monotona decreciente.
47
• Cotas:
∣∣∣∣100000n
1 + n2
∣∣∣∣ < 100000, ∀ n ∈ N
Luego 100000 es cota superior y -100000 cota inferior.
• Convergencia: como es monotona y acotada, es convergente.
c) • Monotonıa: f (x) =x2 + 1
x
f ′ (x) =2x · x− (x2 + 1) · 1
x2=x2 − 1
x2≥ 0, ∀ x ∈ R+
∴ la sucesion es monotona creciente.
• Cotas: la sucesion dada es
{2,
5
2,10
3,17
4, . . . ,
n2 + 1
n, . . .
}. Luego 2 es cota inferior y
no hay cota superior.
∴ la sucesion solo es acotada inferiormente. No es entonces acotada.
• Convergencia: como no es acotada superiormente, es divergente. O bien: como
lımn→∞
n2 + 1
n= lım
x→∞
x2 + 1
x=∞
resulta que la sucesion es divergente.
Ejemplo 7.4. Toda sucesion constante es convergente, pues es monotona (es creciente y decre-ciente a la vez) y es acotada.
Ejemplo 7.5. La sucesion {an} donde an =
{1 si n impar2
n+2si n par
no es creciente ni decreciente, luego no es monotona por el grafico de esta sucesion (ejemplo7.1) se ve claramente que esta acotada superiormente por 1 e inferiormente por 0. Luego no esconvergente.
48
Capıtulo 8
SERIES
Definicion 8.1. Si {an} es una sucesion y Sn = a1 + · · · + an =n∑i=1
ai, entonces la sucesion
{Sn}n∈N se llama serie infinita o simplemente una serie.
Ası tenemos entonces que la serie {Sn}, donde Sn =n∑i=1
ai es tal que:
S1 = a1S2 = a1 + a2 = S1 + a2· · · · · · · · ·
Sn = a1 + a2 + · · ·+ an =n∑i=1
ai = Sn−1 + an
Sn+1 = a1 + a2 + · · ·+ an + an+1 =n+1∑i=1
ai = Sn + an+1
· · · · · · · · ·
O sea una serie es una sucesion de la forma:
{a1, a1 + a2, . . . , a1 + a2 + · · ·+ an, . . . }
Por esto, habitualmente se usa la notacion:
∞∑n=1
an para la serie {a1, a1 + a2, . . . , a1 + a2 + · · ·+ an, . . . }
y llamamos
a) Terminos de la serie a los terminos de la sucesion {an}.
b) Sumas parciales de la serie a los terminos de la sucesion {Sn}, donde Sn =n∑i=1
ai, ∀ n ∈ N.
49
Ejemplo 8.1.
1. Los terminos de la serie∞∑n=1
1
3nson
1
3,
1
32,
1
33, . . . ,
1
3n, . . . . Esta serie es la sucesion de
sumas parciales:
S1 =1
3
S2 =1
3+
1
32
· · · · · · · · ·Sn =
1
3+
1
32+ · · ·+ 1
3n· · · · · · · · ·
Como Sn es la suma de los n primeros terminos de la progresion geometrica de razon 13
y conprimer termino 1
3, se tiene que
Sn =1
3·
1−(13
)n1− 1
3
=1
2
[1− 1
3n
]∀ n ∈ N.
2. Dada la serie∞∑n=1
1
n (n+ 1)halle los 4 primeros terminos y las 4 primeras sumas parciales.
Ademas determine una formula para Sn, la n-esima suma parcial.
Solucion:
Si an = 1n(n+1)
, los 4 primeros terminos de la serie son:
a1 =1
1 · 2=
1
2
a2 =1
2 · 3=
1
6
a3 =1
3 · 4=
1
12
a4 =1
4 · 5=
1
20
y las 4 primeras sumas parciales :
50
S1 =1
2
S2 = S1 + a2 =1
2+
1
6=
4
6=
2
3=
2
2 + 1
S3 = S2 + a3 =2
3+
1
12=
9
12=
3
4=
3
3 + 1
S4 = S3 + a4 =3
4+
1
20=
16
20=
4
5=
4
4 + 1
Ahora: Sn =n∑i=1
1
i (i+ 1)=
n
n+ 1, lo cual se puede comprobar facilmente por induccion
NOTA: En estos ejemplos fue posible encontrar una formula para Sn. En general no siempreesto es posible.
8.1. SERIES CONVERGENTES Y DIVERGENTES
Definicion 8.2. La serie∞∑n=1
an es una serie convergente si, y solo si la sucesion de sumas
parciales es convergente. Luego:
Si Sn =n∑i=1
ai, entonces:
S =∞∑n=1
an es convergente ⇔ ∃ S = lımn→∞
Sn.
Si una serie∞∑n=1
an es convergente, el lımite S de la sucesion de sumas parciales se llama la
suma de la serie y en este caso anotamos:
∞∑n=1
an = S
Si una serie no es convergente, se dice serie divergente.
Ejemplo 8.2. 1. Por lo visto en los ejemplos anteriores se tiene
51
a)∞∑n=1
1
3nes una serie convergente pues
lımn→∞
Sn = lımn→∞
1
2
[1− 1
3n
]=
1
2
Luego 12
es la suma de la serie, o sea∞∑n=1
1
3n=
1
2
b)∞∑n=1
1
n (n+ 1)es una serie convergente pues:
lımn→∞
Sn = lımn→∞
n
n+ 1= 1
Luego 1 es la suma de la serie y se tiene
∞∑n=1
1
n (n+ 1)= 1
2. La serie∞∑n=1
2 tiene por sumas parciales:
S1 = 2S2 = 2 + 2 = 4S3 = 4 + 2 = 6· · · · · · · · ·Sn = 2 + · · ·+ 2︸ ︷︷ ︸
n veces
= 2n
· · · · · · · · ·Luego lım
n→∞Sn = +∞ o sea @ lım
n→∞Sn en R y ası la serie es divergente y no tiene suma.
3. La serie∞∑n=1
(−1)n es divergente, ya que:
S1 = −1
S2 = (−1) + (−1)2 = 0
S3 = 0 + (−1)3 = −1
S4 = −1 + (−1)4 = 0· · · · · · · · ·S2t−1 = −1, ∀ t ∈ NS2t = 0, ∀ t ∈ N
Luego @ lımn→∞
Sn y la serie es divergente.
52
Teorema 8.1. Si la serie∞∑n=1
an es convergente, entonces
lımn→∞
an = 0
Demostracion: Como la serie es convergente, ∃ S ∈ R, S =∞∑n=1
an y S = lımn→∞
Sn, donde
Sn =n∑i=1
ai, ∀ n ∈ N. Luego:
|an| = |Sn − Sn−1|
= |Sn − S + S − Sn−1|
≤ |Sn − S|+ |S − Sn−1| (∗)
Si tomamos un n muy grande, como S = lımn→∞
Sn, resulta que Sn y Sn−1 se aproximan a S. De
este modo podemos hacer (∗) tan pequeno como se quiera. Ası tenemos que lımn→∞
an = 0.
ConsecuenciaTomando en cuenta la contrarecıproca del Teorema 8.1 se obtiene:
lımn→∞
an 6= 0 ∨ @ lımn→∞
an ⇒∞∑n=1
an es divergente,
que llamaremos CRITERIO DE LA DIVERGENCIA.
Ejemplo 8.3.
1. Si C 6= 0 es una constante, entonces∞∑n=1
C es una serie divergente, pues
lımn→∞
C = C 6= 0
2. La serie∞∑n=1
2n
nes divergente, pues
lımn→∞
2n
n= lım
x→∞
2x
x
= lımx→∞
2x ln 2
1por L’Hopital
= ∞
53
3. Para la serie∞∑n=1
n
n2 + 1no se tiene informacion con el criterio de la divergencia, pues
lımn→∞
n
n2 + 1= 0. Mas adelante podremos estudiar esta serie con otros criterios.
Observacion 8.1.
Dadas las series∞∑n=1
an y∞∑n=1
bn. Cada una de estas series es una sucesion de sumas parciales
y la suma de estas sucesiones se llamara la “Serie Suma”. Se tiene ası que:
∞∑n=1
an +∞∑n=1
bn =∞∑n=1
(an + bn)
tambien podemos obtener la multiplicacion de una serie por un escalar:
α∞∑n=1
an =∞∑n=1
αan
Ademas:∞∑n=1
an −∞∑n=1
bn =∞∑n=1
an + (−1) ·∞∑n=1
bn
Ejemplo 8.4.
∞∑n=1
1
n−∞∑n=1
1
n+ 1=
∞∑n=1
1
n+ (−1) ·
∞∑n=1
1
n+ 1
=∞∑n=1
[1
n+ (−1) · 1
n+ 1
]=
∞∑n=1
[1
n− 1
n+ 1
]=
∞∑n=1
1
n (n+ 1)
Teorema 8.2.
1. Si dos series difieren en un numero finito de terminos, entonces ambas convergen o ambasdivergen.
2. Dadas dos series convergentes, la suma y la resta de las series es convergente. Si una seriees convergente y otra divergente, entonces la suma de ellas es divergente.
54
3. Si la serie∞∑n=1
an es convergente a la suma S, entonces α∞∑n=1
an converge a la suma αS,
∀α ∈ R− {0}.
Ejemplo 8.5.
1. Considere la serie (∗) 3− 1
2+
8
3− 1
4+
32
5+
64
6+ · · ·+ 2n
n+ . . .
Esta serie difiere en 4 terminos con la serie∞∑n=1
2n
ny como esta ultima es una serie diver-
gente (ejemplo 8.3), resulta que la serie dada en (∗) es divergente.
2. La serie√
2 +√
6 + 1 + 2 + 22 + · · ·+ 2n + . . . es una serie divergente pues es igual a
√2 +√
6 + 1 +∞∑n=1
2n
y la serie∞∑n=1
2n es divergente (por criterio de la divergencia).
3.∞∑n=1
3n + 5
3n=∞∑n=1
(1 +
5
3n
)=∞∑n=1
1 + 5∞∑n=1
1
3n.
Como la serie∞∑n=1
1 es divergente y la serie∞∑n=1
1
3nes convergente, se tiene que
∞∑n=1
3n + 5
3nes divergente (teorema 8.2).
8.2. ALGUNAS SERIES TIPICAS
8.2.1. Series Telescopicas
Definicion 8.3 (Series Telescopicas). Una serie∞∑n=1
an es una serie telescopica si, y solo si es
posible encontrar una sucesion {bn} tal que:
an = bn − bn+1, ∀ n ∈ N
o bienan = bn+1 − bn, ∀ n ∈ N
55
Ejemplo 8.6.∞∑n=1
1
n (n+ 1)=∞∑n=1
(1
n− 1
n+ 1
)luego se trata de una serie telescopica donde bn = 1
n. (Ejemplo 8.4)
Teorema 8.3.
Sea∞∑n=1
an una serie telescopica con an = bn − bn+1.
Entonces:
i)∞∑n=1
an diverge ⇔ {bn} diverge
ii)∞∑n=1
an converge ⇔ {bn} converge.
En el caso ii) la suma de la serie∞∑n=1
an es S = b1 − lımn→∞
bn
Demostracion:
Como∞∑n=1
an =∞∑n=1
(bn − bn+1) , las sumas parciales de esta serie son:
S1 = a1 = b1 − b2S2 = a1 + a2 = (b1 − b2) + (b2 − b3) = b1 − b3S3 = S2 + a3 = (b1 − b3) + (b3 − b4) = b1 − b4· · · · · · · · ·
Luego si Sn = b1 − bn+1, se tiene:
Sn+1 = Sn + an+1 = (b1 − bn+1) + (bn+1 +−bn+2) = b1 − bn+2
O sea Sn = b1 − bn+1, ∀n ∈ N.Luego la sucesion de las sumas parciales depende directamente de la sucesion {bn}.De este modo se tiene el Teorema y
lımn→∞
Sn = b1 − lımn→∞
bn+1, donde lımn→∞
bn+1 = lımn→∞
bn
en el caso que haya convergencia.
NOTA: Si la serie telescopica∞∑n=1
an es tal que an = bn+1 − bn, entonces
∞∑n=1
an =∞∑n=1
(bn+1 − bn) = −∞∑n=1
(bn − bn+1) .
56
Luego podemos usar el teorema 8.3 y en caso que sea convergente, la suma de la serie es:
lımn→∞
bn − b1.
Ejemplo 8.7.
1. Por ejemplo 8.4, la serie∞∑n=1
1
n (n+ 1)=∞∑n=1
(1
n− 1
n+ 1
)es serie telescopica con bn = 1
n.
La sucesion
{1
n
}es convergente, luego:
∞∑n=1
1
n (n+ 1)= 1− lım
n→∞
1
n= 1
2. Estudiemos la convergencia de la serie
∞∑n=1
1
(2n− 1) (2n+ 1).
En este caso el criterio de la divergencia no sirve. Descompongamos el termino de la serieen suma de fracciones:
1
(2n− 1) (2n+ 1)=
A
2n− 1+
B
2n+ 1.
Resolviendo la suma de la derecha e igualando, obtenemos:
A =1
2
B = −1
2
Luego:1
(2n− 1) (2n+ 1)=
12
2n− 1−
12
2n+ 1=
1
2
(1
2n− 1− 1
2n+ 1
)O sea la serie dada es (Serie telescopica):
1
2
∞∑n=1
(1
2n− 1− 1
2n+ 1
)
Considerando bn =1
2n− 1tenemos que {bn} es convergente a 0, luego la serie
∞∑n=1
(1
2n− 1− 1
2n+ 1
)57
es convergente y su suma es:
b1 − lımn→∞
bn = 1− 0 = 1
Luego la serie dada es convergente y se tiene que:
∞∑n=1
1
(2n− 1) (2n+ 1)=
1
2
∞∑n=1
(1
2n− 1− 1
2n+ 1
)=
1
2· 1 =
1
2
3. La serie∞∑n=1
ln
(n+ 1
n
)es una serie telescopica donde bn = lnn pues
ln
(n+ 1
n
)= ln (n+ 1)− lnn.
Como lımn→∞
lnn = ∞ la sucesion {lnn} es divergente, luego la serie∞∑n=1
ln
(n+ 1
n
)es
divergente.
8.2.2. Series Geometricas
Definicion 8.4. Una serie geometrica es aquella en que los terminos de la serie constituyen unaprogresion geometrica.
Ası entonces toda serie geometrica tiene la forma:
∞∑n=1
arn−1 = a+ a · r + a · r2 + · · ·+ a · rn−1 + . . .
donde a 6= 0, r 6= 0. Decimos que r es la razon de la serie y a es el primer termino.
Teorema 8.4.
Sea∞∑n=1
arn−1 una serie geometrica. Entonces
∞∑n=1
arn−1es convergente⇔ |r| < 1
En este caso la suma de la serie se calcula por:
∞∑n=1
arn−1 =a
1− r
58
Demostracion:
Las sumas parciales de la serie geometrica∞∑n=1
arn−1 son:
Sn = a+ ar + ar2 + · · ·+ arn−1,∀n ∈ N
O sea Sn es la suma de los n primeros terminos de una progresion geometrica con primertermino a y razon r.
Aplicando la formula de la suma de los n primeros terminos de una progresion geometrica:
Sn = a · 1− rn
1− r,∀n ∈ N.
Entonces:
a) Si |r| < 1, se tiene:
lımn→∞
Sn = a · 1
1− rlımn→∞
(1− rn) =a
1− rpues lım
n→∞rn = 0 en este caso.
b) Si |r| ≥ 1 se tiene que la serie∞∑n=1
a · rn−1 es tal que @ lımn→∞
a · rn−1, luego por el criterio de
la divergencia tenemos que∞∑n=1
arn−1 diverge.
Ası:
|r| < 1⇒∞∑n=1
a · rn−1 converge
|r| ≥ 1⇒∞∑n=1
a · rn−1 diverge
Tomando la contrapositiva o contrarecıproca de esta ultima implicacion, tenemos que:
∞∑n=1
a · rn−1 converge⇒ |r| < 1
y por lo tanto hemos demostrado el teorema.
59
Ejemplo 8.8.
1. Decida si son convergentes las siguientes series y en caso que lo sean calcule su suma.
a)∞∑n=1
(−5)n−1
b)∞∑n=1
(−2)n
3n−1
c)∞∑n=1
e−2n
Solucion:
a) La serie geometrica con 1er termino a = 1 y razon r = −5. Como |r| = 5 > 1 la seriees divergente.
b)∞∑n=1
(−2)n
3n−1=
∞∑n=1
(−2) · (−2)n−1
3n−1= (−2) ·
∞∑n=1
(−2
3
)n−1. La serie
∞∑n=1
(−2
3
)n−1es
una serie geometrica con 1er termino a = 1 y con razon r =−2
3y como |r| = 2
3< 1,
es convergente y su suma es:
1
1−(−2
3
) =1
1 + 23
=3
5
Luego la serie∞∑n=1
(−2)n
3n−1= (−2) ·
∞∑n=1
(−2
3
)n−1es convergente y su suma es
(−2) · 3
5= −6
5.
c)∞∑n=1
e−2n =∞∑n=1
(e−2)n
=∞∑n=1
(1
e2
)nes serie geometrica con primer termino a = 1
e2y
razon r = 1e2
, luego |r| < 1 y la serie es convergente. Su suma es:
S =1e2
1− 1e2
=1
e2 − 1
2. Analice la convergencia de la serie∞∑n=1
2n + n2 + n
2n+1n (n+ 1)
Solucion:
60
∞∑n=1
2n + n2 + n
2n+1n (n+ 1)=
∞∑n=1
2n + n (n+ 1)
2n+1n (n+ 1)
=∞∑n=1
[1
2n (n+ 1)+
1
2n+1
]= 1
2
∞∑n=1
1
n (n+ 1)+∞∑n=1
1
2n+1
La serie∞∑n=1
1
n (n+ 1)es serie telescopica convergente con suma S1 = 1.
La serie∞∑n=1
1
2n+1es serie geometrica con primer termino a =
1
22y razon r =
1
2, luego es
convergente (|r| < 1) y con suma S2 =122
1− 12
=1
2. Luego la serie dada es convergente y su
suma es:
S =1
2S1 + S2 = 1
8.2.3. Series p
Definicion 8.5. Toda serie de la forma:
∞∑n=1
1
np= 1 +
1
2p+
1
3p+ · · ·+ 1
np+ . . .
donde p es una constante real positiva, se llama una serie p. En el caso particular que p = 1,∞∑n=1
1
nse llama serie armonica.
Para las series p se tiene el teorema que damos a continuacion, el cual se demostrara cuandose estudie el criterio de la integral (Teorema 8.11). El caso p = 1 de la serie armonica se puededemostrar utilizando teoremas de calculo sobre sucesiones llamadas ”Sucesiones de Cauchy ”.
Teorema 8.5. La serie p,∞∑n=1
1
np, es convergente si, y solo si p > 1 (Luego diverge ssi 0 < p ≤ 1).
Consecuencia:
La serie armonica∞∑n=1
1
nes divergente
Ası entonces∞∑n=1
1
ndiverge y lım
n→∞
1
n= 0, de donde esta serie es un contraejemplo para mostrar
que
lımn→∞
an = 0 ;∞∑n=1
an es convergente
61
O sea si tenemos una serie∞∑n=1
an con lımn→∞
an = 0 esta serie puede ser convergente o divergente
y para estudiarla se deberan usar otros criterios que se veran mas adelante.
Ejemplo 8.9.
1. Analice la convergencia de la serie∞∑k=1
(k + 2)−2
Solucion:∞∑k=1
(k + 2)−2 =∞∑k=1
1
(k + 2)2=
1
32+
1
42+ · · ·+ 1
n2+
1
(n+ 1)2+
1
(n+ 2)2+ . . .
=
(∞∑k=1
1
k2
)− 1− 1
22
y como∞∑k=1
1
k2es serie p con p = 2 > 1, es convergente, resulta que
∞∑k=1
(k + 2)−2 es
convergente.
2. Muestre que la serie∞∑k=1
(√1 + k
)−1es divergente.
Solucion:
∞∑k=1
(√1 + k
)−1=∞∑k=1
1
(1 + k)1/2=
(∞∑k=1
k−12 − 1
11/2
)
donde∞∑k=1
k−12 una serie p con p =
1
2, y como 0 < p ≤ 1, es divergente. Luego la serie es
divergente.
8.3. SERIES DE TERMINOS POSITIVOS. CRITERIOS
DE CONVERGENCIA.
Definicion 8.6. Diremos que∞∑n=1
an es una serie de terminos positivos cuando an > 0, ∀ n ∈ N.
Observacion 8.2. Para estudiar la convergencia de una serie de terminos positivos, siemprees util comenzar con el criterio de la divergencia. Ademas si se conoce la sucesion de sumasparciales de una serie de terminos positivos, entonces por criterio de convergencia de sucesionesse tiene:
62
Teorema 8.6.
Si {Sn}n∈N es una sucesion de sumas parciales de la serie de terminos positivos∞∑n=1
an en-
tonces:
a) {S}n∈N es acotada superiormente ⇒∞∑n=1
an converge.
b) lımn→∞
Sn =∞ ⇒∞∑n=1
an diverge.
Fuera de estos hay muchos criterios de convergencia para series de terminos positivos. Acontinuacion daremos, sin demostracion, algunos de los mas usados.
8.3.1. Criterio de comparacion
Teorema 8.7.
Dada la serie∞∑n=1
an de terminos positivos, se tiene:
a) Si∞∑n=1
bn es otra serie, conocida, de terminos positivos tal que an ≤ bn, ∀ n ∈ N, y∞∑n=1
bn
es convergente, entonces∞∑n=1
an es convergente.
b) Si∞∑n=1
cn es otra serie, conocida, de terminos positivos tal que cn ≤ an, ∀ n ∈ N, y∞∑n=1
cn
es divergente, entonces∞∑n=1
an es divergente.
Ejemplo 8.10. Estudiar la convergencia de las series:
a)∞∑n=1
1
2n+1 + 1
b)∞∑n=1
1√2n− 1
c)∞∑n=1
1
n2n
63
d)∞∑n=1
2n+ 1
(n2 + 1) (n2 + 2n+ 2)
Solucion:
a) La serie∞∑n=1
1
2n+1 + 1se puede comparar con la serie
∞∑n=1
1
2n+1que es una serie geometrica
de razon 12< 1, luego es convergente. Como
an =1
2n+1 + 1≤ bn =
1
2n+1, ∀ n ∈ N
por criterio de comparacion resulta∞∑n=1
1
2n+1 + 1convergente.
b)∞∑n=1
1√2n− 1
es comparable con∞∑n=1
1
n, serie armonica divergente.
Como:
(n− 1)2 ≥ 0 ∀ n ∈ Nn2 − 2n+ 1 ≥ 0
n2 ≥ 2n− 1
n ≥√
2n− 1
cn =1
n≤ 1√
2n− 1= an
Luego∞∑n=1
1√2n− 1
es divergente, por el criterio de comparacion.
c) Comparemos la serie dada con∞∑n=1
1
2n, serie geometrica convergente, de razon r =
1
2con
|r| < 1. Como
an =1
n2n≤ 1
2n= bn, ∀n ∈ N
resulta por el criterio de comparacion que∞∑n=1
1
n2nes convergente.
d) Se tiene:
an =2n+ 1
(n2 + 1) (n2 + 2n+ 2)≤ 2n+ 1
n2n2≤ 3n
n4=
3
n3= bn
y la serie∞∑n=1
3
n3= 3
∞∑n=1
1
n3es convergente, pues
∞∑n=1
1
n3es serie p con p = 3 > 1. Luego la
serie dada es convergente.
64
8.3.2. Criterio de comparacion por lımite
Teorema 8.8.
Dadas dos series de terminos positivos∞∑n=1
an y∞∑n=1
bn tales que l = lımn→∞
anbn. Entonces:
1. Si l > 0, entonces ambas series convergen o ambas divergen.
2. Si l = 0 y∞∑n=1
bn converge, entonces∞∑n=1
an converge.
3. Si l =∞ y∞∑n=1
bn diverge, entonces∞∑n=1
an diverge.
Ejemplo 8.11. Estudiar la convergencia de las siguientes series
a)∞∑n=1
1√2n− 1
b)∞∑n=1
sin1
n
c)∞∑n=1
ln (n+ 1)
n2
Solucion:
a)∞∑n=1
1√2n− 1
se compara con∞∑n=1
1√n
que es serie p divergente
(con p =
1
2< 1
)
l = lımn→∞
anbn
= lımn→∞
1√2n−11√n
= lımn→∞
√n
2n− 1=
√1
2> 0
∴ ambas series divergen por criterio de comparacion por lımite.
b) Se compara con∞∑n=1
1
n, serie armonica divergente.
l = lımn→∞
anbn
= lımn→∞
sin 1n
1n
= 1 > 0
∴ ambas series divergen por criterio de comparacion por lımite.
65
c) Comparamos con∞∑n=1
1
n2, serie p convergente (p = 2 > 1) .
l = lımn→∞
anbn
= lımn→∞
ln(n+1)n2
1n2
= lımn→∞
ln (n+ 1) = +∞
En este caso el criterio de comparacion por lımite no entrega informacion. Luego debemos
buscar otra serie para comparar. Usemos la serie∞∑n=1
1
n3/2que es serie p convergente.
l = lımn→∞
anbn
= lımn→∞
ln(n+1)n2
1n3/2
= lımn→∞
ln (n+ 1)
n1/2L’ Hopital
= lımn→∞
1n+1
12n−1/2
= 2 lımn→∞
n1/2
n+ 1L’ Hopital
= 2 lımn→∞
12n−1/2
1= 0
Luego por criterio de comparacion por lımite, la serie∞∑n=1
ln (n+ 1)
n2es convergente.
8.3.3. Criterio de la razon
Teorema 8.9.
Dada la serie∞∑n=1
an de terminos positivos, y
l = lımn→∞
an+1
an
se tiene:
1. Si l < 1, entonces∞∑n=1
an converge.
2. Si l > 1 o bien l =∞ entonces∞∑n=1
an diverge.
3. Para l = 1, no hay informacion.
Ejemplo 8.12. Estudie la convergencia de las series:
a)∞∑n=1
(2n)!
2 · 4 · 6 · · · · (2n)b)
∞∑n=1
(n!)2 2n
(2n+ 2)!c)
∞∑n=1
n!
nn
66
Solucion:
a) Por el criterio de la razon:
l = lımn→∞
an+1
an= lım
n→∞=
(2n+ 2)!2 · 4 · · · · · 2n2 · 4 · · · · · (2n) (2n+ 2) · (2n)!
= lımn→∞
(2n+ 1) (2n+ 2)
2n+ 2.
∴ l =∞, luego la serie diverge.
b) Por criterio de la razon:
l = lımn→∞
an+1
an= lım
n→∞
[(n+ 1)!]22n+1 (2n+ 2)!
(2n+ 4)! (n!)2 2n
= lımn→∞
[(n+ 1)!
n!]2
2
(2n+ 3) (2n+ 4)
= lımn→∞
(n+ 1)2 2
(2n+ 3) (2n+ 4)=
1
2< 1.
Luego la serie es convergente.
c) Por el criterio de la razon:
l = lımn→∞
an+1
an= lım
n→∞
(n+ 1)! · nn
(n+ 1)n+1 · n!= lım
n→∞
(n+ 1) · nn
(n+ 1) · (n+ 1)n
= lımn→∞
(n
n+ 1
)n= lım
n→∞
(n+ 1
n
)−n= lım
n→∞
[(1 +
1
n
)n]−1=
1
e
∴ l < 1 y ası la serie dada es convergente.
8.3.4. Criterio de la raız
Teorema 8.10.
Sea∞∑n=1
an una serie de terminos positivos, entonces si:
lımn→∞
n√an = l
se tiene que:
i) l < 1⇒∞∑n=1
an converge.
67
ii) l > 1⇒∞∑n=1
an diverge.
iii) l = 1, no hay informacion.
Ejemplo 8.13. Aplique el criterio de la raız para estudiar la convergencia de las siguientesseries:
1.∞∑n=1
2n
n2
2.∞∑n=2
1
(lnn)n
3.∞∑n=1
(1− 1
n
)n
4.∞∑n=1
an
np, a > 1
Solucion:
1. n
√2n
n2=
2
( n√n)
2 .
Luego l = lımn→∞
n√an = lım
n→∞
2
( n√n)
2 =2
12= 2 > 1.
Entonces la serie dada diverge.
2. n
√1
(lnn)n=
1
lnn. Luego l = lım n
√an = lım
n→∞
1
lnn= 0 < 1.
O sea la serie dada converge.
3. l = lımn→∞
n
√(1− 1
n
)n= lım
n→∞
(1− 1
n
)= 1.
Entonces el criterio de la raız no nos da informacion. Usando el criterio de la divergencia,se tiene:
lımn→∞
(1− 1
n
)n= lım
u→0(1 + u)−
1u =
(lımu→0
(1 + u)1u
)−1= e−1
donde u = − 1
n. Por lo tanto la serie diverge
4. l = lımn→∞
n
√an
np= a · lım
n→∞
1
np/n= a · lım
n→∞
1
(n1/n)p = a · 1
1p= a > 1.
Luego la serie diverge ∀ p ∈ R.
68
8.3.5. Criterio de la integral
Teorema 8.11.Sea y = f (x) la funcion obtenida al introducir la variable x en lugar de la variable n en el
n-esimo termino de la serie de terminos positivos∞∑n=1
an, (o sea f (n) = an,∀n ∈ N.) Entonces,
si f es funcion continua, decreciente y de valores positivos ∀x ≥ m, con m fijo en N, se tiene:
1. Si existe
∫ ∞1
f (x) dx, la serie∞∑n=m
an converge.
2. Si
∫ ∞1
f (x) dx =∞, la serie∞∑n=m
an diverge.
Observacion 8.3. Recordar que:∫ ∞1
f (x) dx = lımb→∞
∫ b
1
f (x) dx
Ejemplo 8.14. Utilice el criterio de la integral para estudiar la convergencia de las siguientesseries:
1.∞∑n=1
1
np(serie p)
2.∞∑n=1
1
n√n+ 1
3.∞∑n=2
1
n (lnn)2
4.∞∑n=2
1
n2sin
π
n
Solucion:
1. i) f (x) =1
xp= x−p es funcion continua y de valores positivos ∀ x ≥ 1.
ii) f ′ (x) = −px−p−1 = − −pxp+1
< 0, ∀ x ≥ 1, pues como es una serie p se tiene p > 0.
Luego f (x) es decreciente ∀ x ≥ 1.
Por i), ii) el criterio de la integral es aplicable.
I =
∫ ∞1
f (x) dx =
∫ ∞1
x−pdx = lımb→∞
∫ b
1
x−p dx
69
pero ∫x−pdx =
lnx si p = 1x−p+1
−p+ 1si p 6= 1
CASO 1: Si p = 1, I = lımb→∞
[lnx]x=bx=1 = lımb→∞
ln b = +∞
∴ la serie p, p = 1, es divergente.
CASO 2: Si p > 1,
I = lımb→∞
[x−p+1
−p+ 1
]x=bx=1
= lımb→∞
[b−p+1
−p+ 1− 1
−p+ 1
]
= lımb→∞
[1
bp−1 · (−p+ 1)− 1
−p+ 1
]
= − 1
−p+ 1, pues b > 1
Luego en este caso la integral existe y la serie es convergente.
CASO 3: Si 0 < p < 1, I = lımb→∞
[b−p+1
−p+ 1− 1
−p+ 1
]= ∞, pues 0 < −p + 1 < 1. De este
modo la serie diverge.
NOTA: Este ejemplo es la demostracion del Teorema 8.5 para la convergencia de la seriep.
2. f (x) =1
x√x+ 1
i) f es continua y de valores positivos, ∀x ≥ 1.
ii) x1 > x2 ≥ 1 ⇒ x1√x1 + 1 > x2
√x2 + 1
⇒ 1
x1√x1 + 1
<1
x2√x2 + 1
⇒ f (x1) < f (x2) .
Luego f es decreciente ∀ x ≥ 1.
Por i), ii) el criterio de la integral es aplicable.
I =
∫ ∞1
1
x√x+ 1
dx = lımb→∞
∫ b
1
dx
x√x+ 1
Se tiene:
70
∫ b
1
dx
x√x+ 1
= 2
∫ √b+1
√2
du
u2 − 1con u2 = x+ 1
= 2
∫ √b+1
√2
[1
2 (u− 1)− 1
2 (u+ 1)
]du
= [ln (u− 1)− ln (u+ 1)]√b+1√2
=
[lnu− 1
u+ 1
]√b+1
√2
= ln
√b+ 1− 1√b+ 1 + 1
− ln
√2− 1√2 + 1
Luego: I = lımb→∞
∫ b
1
dx
x√x+ 1
= − ln
√2− 1√2 + 1
y la serie es convergente.
3. f (x) =1
x (lnx)2
i) f es funcion continua y de valores positivos, ∀ x ≥ 2.
ii) f ′(x) =−[(lnx)2 + 2 lnx
]x2(lnx)4
< 0, ∀ x ≥ 2. Por lo tanto f es decreciente.
Luego podemos aplicar el criterio de la integral.
∫ ∞2
f (x) dx = lımb→∞
∫ b
2
1
(lnx)2· 1
xdx = lım
b→∞
[− 1
lnx
] ∣∣∣∣x=bx=2
= − lımb→∞
[1
ln b− 1
ln 2
]=
1
ln 2
Por lo tanto la serie dada es convergente.
4. f (x) =1
x2sin
π
x
i) f es continua y de valores positivos, ∀ x ≥ 2.
ii) f ′ (x) =−2
x3sin
π
x+
1
x2
(cos
π
x
)(− π
x2
)< 0, ∀ x ≥ 2. O sea f es decreciente ∀ x ≥ 2.
Por i), ii) podemos aplicar el criterio de la integral.
∫ ∞1
f (x) dx = lımb→∞
∫ b
1
1
x2sin
π
xdx = lım
b→∞
[1
πcos
π
x
] ∣∣∣∣x=bx=2
= lımb→∞
1
π
(cos
π
b− cos
π
2
)=
1
π
71
De este modo la serie dada converge.
8.4. SERIES ALTERNANTES. CRITERIO DE LEIBNITZ
Definicion 8.7. Si an > 0, ∀ n ∈ N, entonces la serie
∞∑n=1
(−1)n+1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·+ (−1)n+1 an + . . .
y la serie∞∑n=1
(−1)n an = −a1 + a2 − a3 + a4 + · · ·+ (−1)n an + . . .
se llaman series alternantes.
Teorema 8.12. (Criterio de Leibnitz)
La serie∞∑n=1
(−1)n+1 an es una serie convergente si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. an > 0, ∀n ∈ N
2. {an} decreciente
3. lımn→∞
an = 0
Observacion 8.4.
1. Como∞∑n=1
(−1)n an = −∞∑n=1
(−1)n+1 an, el criterio de Leibnitz es valido para cualquier serie
alternada.
2. Si lımn→∞
an 6= 0 o @ lımn→∞
an, entonces por criterio de la divergencia∞∑n=1
(−1)n an es diver-
gente.
Ejemplo 8.15. Estudie la convergencia de las siguientes series alternas:
1.∞∑n=1
(−1)n
(ln (n+ 1))n+1 .
2.∞∑n=1
(−1)n+1
np, p ∈ R+ (serie p alternante)
3.∞∑n=1
(−1)n arctan1
2n+ 1
72
4.∞∑n=1
(−1)n−1 sin1
n
5.∞∑n=1
(−1)n+1
(10 +
1
n
)Solucion:
1. an =1
(ln (n+ 1))n+1 , an+1 =1
(ln (n+ 2))n+2
i) Como n ≥ 1, ln (n+ 1) > 0 y por lo tanto an > 0, ∀ n ∈ N.ii) La funcion y = lnx es creciente, luego
(ln (n+ 1))n+1 < (ln (n+ 2))n+2 ⇒ 1
(ln (n+ 1))n+1 >1
(ln (n+ 2))n+2
Es decir: an > an+1, ∀ n ∈ N
iii) lımn→∞
an = lımn→∞
1
(ln (n+ 1))n+1 = 0
Luego por i), ii), iii) la serie es convergente.
2. Si p ∈ R+ :
i) an =1
npes positivo, ∀ n ∈ N
ii) {an} = { 1
np} es decreciente ya que:
f (x) =1
xp⇒ f ′ (x) =
−pxp+1
< 0, ∀ x ≥ 1
iii) lımn→∞
an = lımn→∞
1
np= 0
Luego por el criterio de Leibnitz:
La serie p alternante∞∑n=1
(−1)n
np, p ∈ R+, es convergente.
3. an = arctan1
2n+ 1,
i) an es positivo, ∀n ∈ N
73
ii) Sea f (x) = arctan1
2x+ 1, entonces
f ′ (x) =1
1 +(
12x+1
)2 · −2
(2x+ 1)2< 0,∀x ≥ 1.
Luego, la sucesion {an} es decreciente.
iii) lımn→∞
an = lımn→∞
arctan1
2n+ 1= arctan 0 = 0
Por lo tanto, por criterio de Leibnitz, la serie es convergente.
4. Si an = sin1
n, se tiene:
i) an es positivo, ∀n ≥ 1
ii) Si f (x) = sin1
x, f ′ (x) =
− cos 1x
x2< 0,∀x ≥ 1. Luego {an} es decreciente.
iii) lımn→∞
an = sin 0 = 0
Ası, por criterio de Leibnitz, la serie converge.
5. Si an = 10 +1
n, la sucesion {an} es de terminos positivos y decreciente, pero
lımn→∞
an = 10 6= 0. Luego no podemos aplicar el criterio de Leibnitz. Observemos que
lımn→∞
(−1)n+1
(10 +
1
n
)no existe,
ya que:
Si n es par (−1)n+1
(10 +
1
n
)= −
(10 +
1
n
)converge a −10.
cuando n→∞
Si n es impar (−1)n+1
(10 +
1
n
)= +
(10 +
1
n
)converge a 10 cuando n→∞.
Luego, por criterio de la divergencia, la serie diverge.
74
8.5. CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL
Definicion 8.8. Sea∞∑n=1
an una serie de terminos arbitrarios. Se dice que:
a)∞∑n=1
an converge absolutamente ⇔∞∑n=1
|an| converge.
b)∞∑n=1
an converge condicionalmente ⇔∞∑n=1
an converge y∞∑n=1
|an| diverge.
NOTA: El siguiente Teorema nos facilita el estudio de la convergencia absoluta de una serie.
Teorema 8.13.
Dada la serie de terminos arbitrarios∞∑n=1
an, se tiene que:
∞∑n=1
|an| converge ⇒∞∑n=1
an converge
Consecuencia
∞∑n=1
an converge absolutamente ⇔∞∑n=1
|an| converge
Observacion 8.5.
Al estudiar la convergencia absoluta de una serie∞∑n=1
an, se analiza la convergencia de∞∑n=1
|an|,
para la cual se pueden aplicar todos los criterios de convergencia estudiados para series de termi-nos positivos.
Cuando al estudiar la convergencia de una serie por el criterio de la razon, este no nos dainformacion, se suele usar el criterio de Raabe que damos a continuacion.
8.5.1. Criterio de Raabe
Teorema 8.14.
Si∞∑n=1
an es serie de terminos no nulos y si L = lımn→∞
n
(1−
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣), entonces:
a) L > 1⇒∞∑n=1
an converge absolutamente.
75
b) L < 1⇒∞∑n=1
an diverge o bien converge condicionalmente.
c) L = 1, no hay informacion.
Ejemplo 8.16. Estudie la convergencia absoluta y condicional de las siguientes series:
1.∞∑n=1
(−1)nn!
nn
2.∞∑n=1
(−1)n
np, p ∈ R+
3.∞∑n=1
sin
(nπ − 1
n
)
4.∞∑n=1
1 · 4 · 7 · · · · · (3n− 2)
3 · 6 · 9 · · · · · (3n)
Solucion:
1. Estudiamos la serie de los valores absolutos:∞∑n=1
∣∣∣∣(−1)nn!
nn
∣∣∣∣ =∞∑n=1
n!
nn
Usemos el criterio de la razon:
an+1
an=
(n+ 1)!nn
(n+ 1)n+1 n!=
(n+ 1)nn
(n+ 1)n+1 =nn
(n+ 1)n=
(n
n+ 1
)nl = lım
n→∞
an+1
an= lım
n→∞
(n+ 1
n
)−n= lım
n→∞[
(1 +
1
n
)n]−1 = e−1
Luego, como lımn→
an+1
an= lım
n→∞
(n+ 1
n
)−n= lım
n→∞
[(1 +
1
n
)n]−1= e−1
Luego, como l < 1, la serie de los valores absolutos converge, por lo tanto la serie dada esabsolutamente convergente.
2.∞∑n=1
∣∣∣∣(−1)n
np
∣∣∣∣ =∞∑n=1
1
npque es serie p.
Luego:
p > 1 la serie p alternante es absolutamente convergente. 0 < p ≤ 1 la serie p alternanteconverge condicionalmente
3. Se tiene que
76
∞∑n=1
sin
(nπ − 1
n
)=
∞∑n=1
(sinnπ · cos
1
n− cosnπ · sin 1
n
)=
∞∑n=1
(0− (−1)n · sin 1
n
)=
∞∑n=1
(−1)n+1 sin1
n
Por lo visto en el Ejemplo 8.15 (4), esta serie converge. Estudiemos ahora si la serieconverge absolutamente o condicionalmente.
∞∑n=1
∣∣∣∣(−1)n+1 sin1
n
∣∣∣∣ =∞∑n=1
sin1
n
Por criterio de comparacion por lımite con la serie armonica (divergente), se tiene:
l = lımn→∞
anbn
= lımn→
sin 1n
1n
= lımx→0
sinx
x= 1 > 0
Luego la serie de los valores absolutos es divergente.
En conclusion la serie∞∑n=1
sin
(nπ − 1
n
)es condicionalmente convergente.
4. Por criterio de la razon:
l = lımn→∞
an+1
an= lım
n→∞
1 · 4 · 7 · · · · · (3n− 2) (3n+ 1) · 3 · 6 · 9 · · · · · (3n)
3 · 6 · 9 · · · · · (3n) (3n+ 3) · 1 · 4 · 7 · · · · · (3n− 2)= lım
n→∞
3n+ 1
3n+ 3= 1
Luego no hay informacion
Usando el criterio de Raabe.
77
L = lımn→∞
n
(1−
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣)
= lımn→∞
n
(1− 3n+ 1
3n+ 3
)
= lımn→∞
1− 3n+13n+31n
= lımn→∞
−3(3n+3)+3(3n+1)
(3n+3)2
− 1n2
L’Hopital
= lımn→∞
6n2
(3n+ 3)2=
2
3< 1
Luego, como L < 1, la serie dada diverge, ya que la serie es de terminos positivos y no sepuede presentar la convergencia condicional.
8.6. SERIES DE POTENCIAS
Definicion 8.9. Sea a un numero real fijo, cn ∈ R,∀n ∈ N y x una variable real. Una serie dela forma:
∞∑n=0
cn (x− a)n = c0 + c1 (x− a) + c2 (x− a)2 + · · ·+ cn (x− a)n + . . .
se llama serie de potencias en x − a y la sucesion {cn} es la sucesion de coeficientes de laserie.
Si a = 0, la serie∞∑n=0
cnxn se denomina una serie de potencias en x.
Observacion 8.6.
1. En una serie de potencias cada termino es una funcion de x.
2. Si en una serie de potencias se reemplaza x por un numero real fijo, se obtiene una se-rie numerica como las ya estudiadas. Se presenta entonces el siguiente problema: ¿ paraque valores de x ∈ R la serie numerica resultante es convergente?
3. No podemos aplicar a series de potencias directamente los criterios para series numericas,a menos que demos valores reales a x.
4. Notemos que la serie de potencias∞∑n=0
cn (x− a)n converge, por lo menos, para x = a.
78
Teorema 8.15.
Sea∞∑n=0
cn (x− a)n una serie de potencias. Si:
S = {x0 ∈ R :∞∑n=0
cn (x0 − a)n converge absolutamente}
entonces S es uno de los tres conjuntos siguientes:
i) S = {a}
ii) S = R = (−∞,+∞)
iii) S es un intervalo de extremos a− R y a+ R donde R =1
l, l = lım
n→∞
∣∣∣∣cn+1
cn
∣∣∣∣. En este caso,
a se llama el centro del intervalo y R es el radio del intervalo.
Demostracion:Es claro que a ∈ S.
Si x0 ∈ S, x0 6= a, usemos criterio de la razon para∞∑n=0
|cn (x0 − a)n |
L = lımn→∞
∣∣∣∣∣cn+1 (x0 − a)n+1
cn (x0 − a)n
∣∣∣∣∣ = |x0 − a| · lımn→∞
∣∣∣∣cn+1
cn
∣∣∣∣Llamemos l = lım
n→∞
∣∣∣∣cn+1
cn
∣∣∣∣, (si l existe, l ∈ R+ ∪ {0}). Luego L = |x0 − a| · l.
Por el criterio de la razon:∞∑n=0
cn (x0 − a) es absolutamente convergente
cuando 0 ≤ L < 1. Por lo tanto l ∈ R+.
Caso 1: Si l = 0, L = 0 ∀ x0 ∈ R. Entonces S = R y se tiene (ii).
Caso 2: Si l 6= 0, tenemos:
|x0 − a|l < 1
|x0 − a| <1
l
−1
l< x0 − a <
1
l
a− 1
l< x0 < a+
1
l;
79
Luego x0 pertenece al intervalo de extremos a− 1
ly a+
1
l. Ası que se cumple iii) con R =
1
l.
Caso 3: Si l = ∞ o bien l no existe, de todas maneras la serie de potencias converge parax0 = a y se tiene i).
Definicion 8.10. Dada la serie de potencias∞∑n=0
cn (x− a)n,
1. Existe R ∈ R+ ∪ {0}, llamado radio de convergencia de la serie, tal que:
i) La serie converge absolutamente ∀ x0 ∈ R tal que |x0 − a| < R.
ii) La serie diverge ∀x0 ∈ R, |x0 − a| > R.
2. El conjunto de todos los valores de x para los cuales la serie de potencias converge se llamaintervalo de convergencia de la serie.
Observacion 8.7. Dada∞∑n=0
cn (x− a)n, si l = lımn→∞
∣∣∣∣cn+1
cn
∣∣∣∣ , entonces el radio de convergencia
es:
R =
1
lsi l ∈ R+
0 si l =∞∞ si l = 0
8.6.1. Criterio de Convergencia para Series de Potencias
Teorema 8.16.
Sea∞∑n=0
cn (x− a)n una serie de potencias para la cual R es un radio de convergencia y
l = lımn→∞
∣∣∣∣cn+1
cn
∣∣∣∣.Entonces:
i) Si l ∈ R+, la serie converge absolutamente en el intervalo abierto (a−R, a+R) y diverge
absolutamente en R− [a−R, a+R], donde R =1
l
ii) Si l = 0, la serie converge absolutamente en R = (−∞,+∞).
iii) Si l =∞, la serie converge absolutamente solo en x = a.
Observacion 8.8. En el teorema 8.16 i) se debe analizar la convergencia de la serie en losextremos del intervalo (a−R, a+R) usando los criterios para series numericas.
80
Ejemplo 8.17. Para las siguientes series de potencias, determine: radio de convergencia, inter-valo de convergencia, intervalo de convergencia absoluta.
1. 1 +x
2 · 12+
x2
4 · 22+
x3
8 · 32+ . . .
2.∞∑n=0
en+1 (x− 1)n
n!
3.∞∑n=0
n! (x− 3)n
4.∞∑n=1
xn
n+√n
5.∞∑n=0
(−1)n (x− 2)n+1
n+ 1
Solucion:
1. La serie dada es 1 +∞∑n=1
xn
2nn2, serie de potencias en x,
c0 = 1
cn =1
2nn2,∀ ∈ N
Para su estudio basta analizar la serie∞∑n=1
xn
2nn2
Luego: l = lımn→∞
∣∣∣∣cn+1
cn
∣∣∣∣ = lımn→∞
2nn2
2n+1 (n+ 1)2=
1
2lımn→∞
(n
n+ 1
)2
=1
2
l =1
2∈ R+
Por lo tanto el radio de convergencia es
R = 2
Por el criterio de convergencia, la serie converge absolutamente en (−2, 2) y diverge enR− [−2, 2] = (−∞,−2) ∪ (2,+∞) .
Debemos analizar los extremos x = −2 x = 2.
81
a) Si x = −2, la serie original se presenta como:
∞∑n=1
(−2)n
2nn2=∞∑n=1
(−1)n
n2
que es serie p alternante con p = 2 > 1, la cual converge absolutamente.
b) Si x = 2, la serie resultante es:
∞∑n=1
2n
2nn2=∞∑n=1
1
n2
serie p, p = 2 > 1, la cual converge. Como es serie de terminos positivos esta serieconverge absolutamente.
Luego:
Intervalo de convergencia [−2, 2]
Intervalo de convergencia absoluta [−2, 2]
y la serie diverge en (−∞,−2) ∪ (2,+∞).
2. Es serie de potencias en x− 1, para la cual cn =en+1
n!, a = 1
l = lımn→∞
∣∣∣∣cn+1
cn
∣∣∣∣ = lımn→∞
en+2n!
(n+ 1)!en+1= lım
n→∞
e
n+ 1= 0
Luego el radio de convergencia esR = +∞
y el intervalo de convergencia absoluta es R.
3. Es serie de potencias en x− 3, para la cual cn = n!, a = 3.
l = lımn→∞
∣∣∣∣cn+1
cn
∣∣∣∣ = lımn→∞
(n+ 1)!
n!= +∞
Luego el radio de convergencia esR = 0
El intervalo de convergencia absoluta es {3} y la serie diverge en R− {3}.
4. La serie dada es serie de potencias con: cn =1
n+√n
, a = 0.
l = lımn→∞
∣∣∣∣cn+1
cn
∣∣∣∣ = lımn→∞
n+√n
(n+ 1) +√n+ 1
= lımn→∞
1 +√
1n
1 + 1n
+√
1n
+ 1n2
= 1
82
Luego el radio de convergencia esR = 1
La serie converge absolutamente en (−1, 1) y debemos estudiar los extremos.
a) x = 1, la serie resultante es∞∑n=1
1
n+√n
Por el criterio de comparacion con la serie∞∑n=1
1
2n=
1
2
∞∑n=1
1
ndivergente, se tiene:
2n > n+√n⇒ 1
2n<
1
n+√n
Luego la serie∞∑n=1
1
n+√n
diverge.
b) x = −1, la serie resultante es∞∑n=1
(−1)n
n+√n
Por a) la serie de los valores absolutos
diverge.
Por el criterio de Leibnitz:
i)
{1
n+√n
}es decreciente ya que si f (y) =
1
y +√y, f ′ (y) < 0,∀y > 0
ii) lımn→∞
1
n+√n
= 0
Resulta que la serie alterna∞∑n=1
(−1)n
n+√n
es convergente, pero no es absolutamente
convergente, luego es condicionalmente convergente.
Por lo tanto:
• El intervalo de convergencia de la serie de potencias dada es [−1, 1)
• El intervalo de convergencia absoluta es (−1, 1)
• La serie diverge en R− [−1, 1)
• La serie converge condicionalmente en x = −1.
5. Es serie de potencias en x− 2, para la cual: cn =(−1)n
n+ 1, a = 2
l = lımn→∞
=
∣∣∣∣cn+1
cn
∣∣∣∣ = lımn→∞
|(−1)n+1 (n+ 1)
(n+ 2) (−1)n| = lım
n→∞
n+ 1
n+ 2= 1
El radio de convergencia es R = 1 y la serie de potencias converge absolutamente en(2− 1, 2 + 1) = (1, 3) Debemos analizar los extremos de este intervalo:
83
a) Si x = 1 la serie resultante es
∞∑n=0
(−1)n (−1)n+1
n+ 1=∞∑n=0
(−1)2n+1
n+ 1= −
∞∑n=0
1
n+ 1= −
∞∑n=0
1
n
la cual es serie armonica divergente.
b) Si x = 3 la serie resultante es
∞∑n=0
(−1)n
n+ 1=∞∑n=1
(−1)n−1
n(serie armonica alternante)
la cual es condicionalmente convergente (ver Ejemplo 8.16.2).
Por lo tanto:
intervalo de convergencia: (1, 3].
intervalo de convergencia absoluta: (1, 3).
la serie diverge en R− (1, 3].
la serie converge condicionalmente en x = 3.
84
Capıtulo 9
SERIES DE TAYLOR
Observacion 9.1. Si una serie de potencias∞∑n=0
cn (x− a)n tiene por intervalo de convergencia
J , entonces la suma de la serie existe para cada x ∈ J . Luego la suma de la serie es una funcionen J :
∞∑n=0
cn (x− a)n = f (x) , ∀ x ∈ J
Ademas se tiene el siguiente teorema.
Teorema 9.1.
Una serie de potencias∞∑n=0
cn (x− a)n se puede derivar e integrar termino a termino dentro
de su intervalo de convergencia. Mas precisamente: si J es el intervalo de convergencia de la
serie∞∑n=0
cn (x− a)n = f (x) , ∀ x ∈ J , entonces:
a) La “serie derivada”∞∑n=1
ncn (x− a)n−1 converge ∀ x ∈ J y su suma es f ′ (x), ∀ x ∈ J . O
sea f ′(x) =∞∑n=1
ncn(x− a)n−1, ∀x ∈ J .
b) La “serie integrada”∞∑n=0
cnn+ 1
(x− a)n+1 converge ∀ x ∈ J y su suma es
∫ x
0
f (t) dt,
∀ x ∈ J . O sea
∫ x
0
f(t) dt =∞∑n=0
cnn+ 1
(x− a)n+1, ∀x ∈ J .
85
Definicion 9.1. Sea f una funcion real definida en un intervalo J . Diremos que una serie de
potencias∞∑n=0
cn (x− a)n representa a f (x) ∀ x ∈ J si, y solo si para cada b ∈ J, f (b) es la
suma de la serie numerica∞∑n=0
cn (b− a)n .
Observacion 9.2.
∞∑n=0
cn (x− a)n representa a f en J
⇔ f (x) =∞∑n=0
cn (x− a)n , ∀ x ∈ J.
Ademas:
∞∑n=0
cn (x− a)n representa a f en J
⇒ i)∞∑n=0
ncn (x− a)n−1 representa a f ′ en J ∀x ∈ J
ii)∞∑n=0
cnn+ 1
(x− a)n+1 representa a
∫ x
0
f (t) dt en J
Ejemplo 9.1. Sea f (x) =2
2− x, entonces:
f (x) =1
1− 12x
es la suma de la serie geometrica∞∑n=0
(1
2x
)n=∞∑n=0
xn
2npara cada x donde la serie converge.
Esta serie geometrica converge si, y solo si |12x| < 1. Luego la serie converge en |x| < 2, es
decir en el intervalo (−2, 2).
Si x = −2, tenemos la serie numerica∞∑n=0
(−1)n que es divergente.
Si x = 2, la serie numerica que resulta es∞∑n=0
1n que es divergente.
Luego (−2, 2) es el intervalo de convergencia de la serie y tenemos que:
∞∑n=0
xn
2nrepresenta a f (x) =
2
2− xen (−2, 2)
En otras palabras:
86
f (x) =2
2− x=∞∑n=0
xn
2n, ∀ x ∈ (−2, 2)
Ademas derivando termino a termino:
f ′ (x) =2
2− x=∞∑n=1
n
2nxn−1 =
∞∑n=0
n+ 1
2n+1xn
Ası:
2
(2− x)2=∞∑n=0
n+ 1
2n+1xn, ∀ x ∈ (−2, 2)
Ahora integrando: ∫ x
0
f (t) dt = −2 ln (2− x) =∞∑n=0
xn+1
2n (n+ 1)
de donde:
ln (2− x) = −1
2
∞∑n=0
xn+1
2n (n+ 1), ∀ x ∈ (−2, 2)
Teorema 9.2. (Teorema de Taylor)Sea f una funcion infinitamente diferenciable para a ∈ R.Entonces la serie de potencias
∞∑n=0
f (n) (a)
n!(x− a)n = f (a) +
f ′ (a)
1!(x− a) +
f ′′ (a)
2!(x− a)2 + · · ·
representa a f en el intervalo de convergencia de la serie.Esta serie de potencias se llama el desarrollo de Taylor de f alrededor de a o bien la expansion
de Taylor de f en a.En particular si a = 0, la serie
∞∑n=0
f (n) (0)
n!xn
se llama la serie de MacLaurin de la funcion f .
Observacion 9.3. En el ejemplo dado anteriormente vemos que la serie de potencias encontrada,
que representa a f (x) =2
2− xen (−2, 2), es la serie de Taylor de f alrededor de a = 0, es decir
es la serie de MacLaurin de f .
Mas generalmente se tiene:
87
Teorema 9.3.
Si∞∑n=0
an (x− a)n es una serie de potencias que representa a una funcion f en un intervalo
J , entonces esta es la serie de Taylor de f alrededor de a en J .
Ejemplo 9.2. Encuentre el desarrollo en serie de Taylor de f alrededor de a y determine elintervalo donde esta serie representa a f .
a) f (x) = sinx, a = 0
b) f (x) = cos x, a = 0
c) f (x) = ln (1 + x) , a = 1
Solucion
a)
n f (n) (x) f (n) (0)0 sinx 01 cosx 12 − sinx 03 − cosx -14 sinx 0· · · · · · · · ·
Luego
f (n) (0) =
{0 si n es par
(−1)k si n = 2k + 1
Por lo tanto:
0 +1
1!x+
0
2!x2 +
(−1)
3!x3 +
0
4!x4 + · · · = x
1!− x3
3!+x5
5!− · · ·+ (−1)k x2k+1
(2k + 1)!+ . . .
=∞∑k=0
(−1)k x2k+1
(2k + 1)!
es la serie de Taylor de f (x) = sin x alrededor de a = 0, es decir es la serie de Mac Laurin.
Debemos calcular su intervalo de convergencia:
l = lımn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lımn→∞
∣∣∣∣∣(−1)n+1 (2n+ 1)!
(2n+ 3)! (−1)n
∣∣∣∣∣ = lımn→∞
1
(2n+ 2) (2n+ 3)= 0
88
El radio de convergencia es entonces
R = +∞
Luego la serie converge ∀ x ∈ R y se tiene:
sinx =∞∑n=0
(−1)n · x2n+1
(2n+ 1)!, ∀ x ∈ R
b) Como cosx =d
dx(sinx) , usando la serie de Mac Laurin para sinx en a) y la derivamos
termino a termino:
cosx =∞∑n=0
(−1)n (2n+ 1)x2n
(2n+ 1)!=∞∑n=0
(−1)n x2n
(2n)!= 1− x2
2!+x4
4!− x6
6!+ · · ·
Luego:
cosx =∞∑n=0
(−1)n x2n
(2n)!,∀ x ∈ R
es el desarrollo de Mac Laurin de coseno.
c) La funcion f (x) = ln (1 + x) es infinitamente derivable ∀x > −1. Tomando a = 1 > −1,se tiene:
n f (n) (x) f (n) (1)0 ln (x+ 1) ln 2
11
x+ 1= (x+ 1)−1 2−1
2 (−1) (x+ 1)−2 (−1) 2−2 = (−1)1 1! · 2−23 (−1) (−2) (x+ 1)−3 (−1) (−2) 2−3 = (−1)2 2! · 2−34 (−1) (−2) (−3) (x+ 1)−4 (−1) (−2) (−3) 2−4 = (−1)3 3! · 2−4· · · · · · · · ·
Luego el desarrollo de Taylor alrededor de a = 1 es:
∞∑n=0
f (n) (x− 1)n
n!= ln 2 +
2−1
1!(x− 1) +
(−1) 1! · 2−2
2!(x− 1)2 +
(−1)2 2! · 2−3
3!(x− 1)3
+(−1)3 3! · 2−4
4!(x− 1)4 + . . .
= ln 2 +(x− 1)
1 · 2+
(−1)1 (x− 1)2
2 · 22+
(−1)2 (x− 1)3
3 · 23+
(−1)3 (x− 1)4
4 · 24+ . . .
= ln 2 +∞∑n=1
(−1)n−1 (x− 1)n
n · 2n
89
Es necesario encontrar el intervalo de convergencia de esta serie:
l = lımn→∞
∣∣∣∣ (−1)n n2n
(n+ 1) 2n+1 (−1)n−1
∣∣∣∣ = lımn→∞
n
2 (n+ 1)=
1
2> 0
Luego el radio de convergencia es R = 2 y la serie converge en el intervalo
(1− 2, 1 + 2) = (−1, 3).
Si x = −1, la serie numerica resultante es
∞∑n=1
(−1)n−1 (−2)n
n2n=∞∑n=1
(−1)n−1 (−1)n 2n
n · 2n= −
∞∑n=1
1
n
la cual es divergente.
Si x = 3, se tiene la serie:
∞∑n=1
(−1)n−1 2n
n · 2n=∞∑n=1
(−1)n−1
n,
serie armonica alternante que es convergente.
Luego el intervalo de convergencia es (−1, 3] y se tiene:
ln (1 + x) = ln 2 +∞∑n=1
(−1)n−1 (x− 1)n
n · 2n, ∀ x ∈ (−1, 3]
Este es el desarrollo de Taylor alrededor de a = 1 de la funcion f (x) = ln (1 + x), querepresenta a la funcion en el intervalo (−1, 3].
90
Capıtulo 10
EJERCICIOS PROPUESTOS
A) Sucesiones.
1. Examine las siguientes sucesiones y decida si son monotonas (creciente o decreciente),acotadas superior o inferiormente y la convergencia.
a)
{3n− 1
4n+ 5
}b)
{5n
1 + 52n
}c) {n2 + (−1)n · n}
d)
{n!
1 · 3 · 5 · · · · · (2n− 1)
}e) {sinnπ}
2. Demuestre que la sucesion
{(n!)2
(2n)!
}es monotona.
3. Determine si la sucesion
{1 +
n
n+ 1cos(nπ
2
)}converge o diverge.
4. Halle el lımite, si existe de las sucesiones siguientes:
a)
{n2
n!
}b)
{lnn
n
}n≥3
c)
{n
n− 1− n+ 1
n
}e)
{(−1)n
n+
1 + (−1)n
2
}
91
B) Series Numericas.
1. La suma de n terminos de una serie es: Sn = a1 + · · ·+ an =n+ 1
nDemuestre que la serie converge y calcule la suma de la serie.
2. La suma de n terminos de una serie Sn =1
n2. Encuentre los terminos de la serie y su suma,
siempre que sea posible.
3. Calculando la sucesion de sumas parciales, determine si las series convergen o divergen:
a)∞∑n=1
(−1)n+1
b)∞∑n=1
(cosn− cos (n+ 1))
4. Si p es un numero real positivo, determine las sumas parciales y la suma de la serie:
1 + e−p + e−2p + e−3p + . . .
5. Decida si son convergentes o divergentes:
i) 4 + 2 +4
3+ 1 +
4
5+
2
3+
4
7+ . . .
ii) 1 +√
2 + 2√
2 + 4 + 4√
2 + . . .
iii)√
3 +√
13 + 1 + 1 +1
2+
1
4+
1
8+
1
16+ . . .
iv)2
3− 1
3+
1
6− 1
12+
1
24− . . .
v) 1 +1
2+
2
3+
3
4+
4
5+ . . .
6. Determine si las series siguientes son convergentes o divergentes y calcule su suma, sies posible, en el caso que sean convergentes (Utilice teoremas basicos; series armonicas,geometricas, telescopicas, serie p).
a)∞∑n=0
(1
3
)nb)∞∑n=1
(−1)n
4n−1c)∞∑n=0
e−2n
d)∞∑n=1
(5n−1
7n+1+
5
n7
)e)∞∑n=1
2
(2n+ 3) (2n+ 5)f)
∞∑n=1
en + 1
e2n+1
g)∞∑n=2
(n+ 1) ln (n+ 1)− n lnn
lnnn ln (n+ 1)n+1 h)∞∑n=1
(1
5n+
2n+ 1
n2 (n+ 1)2
)i)∞∑n=1
(5
3n−1+
n
(n+ 1)!
)j)∞∑n=1
13√n2
92
7. Utilice el Criterio de comparacion o bien el criterio de comparacion en su forma lımite paradecidir si las series son convergentes o divergentes.
a)∞∑n=0
1
n2nb)∞∑n=0
n2
4n3 + 1c)∞∑n=0
1√n
d)∞∑n=0
| sinn|n2
e)∞∑n=0
1√n3 + 1
f)∞∑n=0
2n3 − 3n2
7n4 + 100n3 + 7
g)∞∑n=0
sin
(1
n
)8. Utilice el Criterio de la integral para decidir la convergencia o divergencia de las series:
a)∞∑n=1
n2e−n b)∞∑n=1
e1/n
n2c)∞∑n=1
1
n2 + 4d)
∞∑n=1
n
n2 + 4e)∞∑n=1
n
(n2 + 4)2
9. Por el criterio de la razon diga si las siguientes series son convergentes o divergentes:
a)∞∑n=1
1
n (lnn)2
b)∞∑n=1
5n+1
n34n+2
c)∞∑n=1
(n+ 5)!
2n · n2 · n!
d)∞∑n=1
n!
nn
e)∞∑n=1
1 · 3 · 5 · · · · · (2n+ 1)
n!
10. Decida la convergencia o divergencia de las series siguientes, usando el criterio de la raız.
a)∞∑n=1
1
nn
b)∞∑n=1
(n
n+ 1
)n2
c)∞∑n=1
(n√n+ 1
)nd)
∞∑n=1
(lnn)−n
93
11. Analice la convergencia o divergencia de las siguientes series, aplicando el criterio que ustedestime conveniente:
a)∞∑n=1
(n!)2 2n
(2n+ 2)!
b)∞∑n=1
sin 1n
n2
c)∞∑n=1
3nn!
nn
d)∞∑j=1
1
jln
(1 +
1
j
)
e)∞∑n=1
(2n2 + 3n+ 5
)·(
1
2
)nf)
∞∑n=1
n√n
(n+ 1) 3√n4 + 1
g)∞∑n=1
e1/n
n2
h)∞∑n=2
1
ln (lnn)
SERIES DE TERMINOS ARBITRARIOS
I. Determine para cada una se las siguientes series si son divergentes, condicionales o absolu-tamente convergentes:
1.∞∑n=1
(−1)n2n
n!
2.∞∑n=1
(−1)nn2
n!
3.∞∑n=1
(−1)nn!
2n+1
4.∞∑n=2
(−1)n+1 1
n (lnn)2
5.∞∑n=1
(−1)n√n2 + 1
94
6.∞∑n=0
(−1)n
ln (en + e−n)
7.∞∑n=1
ln
(n sin
1
n2
)8.
1
2+
3
1 · 2− 5
2 · 3+
7
3 · 4− 9
4 · 5+ . . .
9.∞∑n=1
(−5)n−1
n · n!
10.∞∑n=1
(−1)n ln
(1 +
1
n
)
11.∞∑n=1
(−1)n (n+ 1)
n√n
12.∞∑n=1
(n!)2
2n2
13.∞∑n=1
(−1)n (n− 1)
(n+ 1) n√n
14.∞∑n=1
(−1)n (−2)n+1
2n−1 lnn
15.∞∑n=1
(−1)n−1
2n− 1sin
(1√n
)
II. a) Si p ∈ R, estudie la convergencia de∞∑n=1
np
b) Si p ∈ R+, estudie la convergencia de∞∑n=1
pnnp
c) Demuestre que:
∞∑n=1
an converge absolutamente ⇒∞∑n=1
a2n y∞∑n=1
an1 + an
convergen absolutamente.
III. Decida si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando con un contra-ejemplo en caso que sean falsas.
a) lımn→∞
an = 0⇒∞∑n=1
an es convergente.
95
b) lımn→∞
an 6= 0⇒∞∑n=1
an es divergente.
c)∞∑n=1
an es convergente y∞∑n=1
bn es convergente ⇒∞∑n=1
(an + bn) es convergente.
d)∞∑n=1
an es divergente y∞∑n=1
bn es divergente ⇒∞∑n=1
(an + bn) es divergente.
e) Toda serie alternante convergente es condicionalmente convergente.
f) Si∞∑n=1
|an| es divergente ⇒∞∑n=1
an es divergente.
g) Si∞∑n=1
an es convergente ⇒∞∑n=1
|an| es convergente.
SERIES DE POTENCIAS.Para cada una de las siguientes series de potencias, determine: radio de convergencia, intervalo
de convergencia, intervalo de convergencia absoluta, puntos de convergencia condicional, intervalode divergencia
1.∞∑n=1
(n!)2 xn
(2n)!
2.∞∑n=0
(−1)n (x− 2)n+1
n+ 1
3.∞∑n=0
(−1)n (x+ 1)n
n2 + 1
4.∞∑n=1
n2xn
n!
5.∞∑n=1
x2n+1
4n
6.∞∑n=1
3nx2n+1
√n
7.∞∑n=1
(−4)n x2n
3n− 1
96
8.∞∑n=1
(−1)n xn+1
2n−1 lnn
9.(ln 2) (x− 5)√
2+
(ln 3) (x− 5)2√3
+(ln 4) (x− 5)3√
4+ . . .
SERIES DE TAYLOR
I. Encuentre la serie de Taylor alrededor de x = a para la funcion f y determine los valoresde x para los cuales la serie representa a f .
a) f (x) =1
x+ 1, a = 0
b) f (x) = sinh 2x, a = 0
c) f (x) =1
2− x, a = 1
d) f (x) =√x+ 1, a = 0
e) f (x) = e−3x, a =1
3
II. Demuestre que:
1. ex =∞∑n=0
xn
n!, ∀ x ∈ R
2. sinx =∞∑n=0
(−1)n x2n+1
(2n+ 1)!, ∀ x ∈ R
3. cosx =∞∑n=0
(−1)n x2n
(2n)!, ∀ x ∈ R
4. ax =∞∑n=0
(log a)n xn
n!, ∀ x ∈ R
5. (1 + x)p = 1 +∞∑n=1
p (p− 1) · · · · · (p− n+ 1)
n!· xn ∀ x, |x| < 1
6. log
√1 + x
1− x=∞∑n=0
x2n+1
2n+ 1∀ x, |x| < 1
III. Utilice II. para:
a) Hallar la suma de la serie:∞∑n=0
n+ 1
n!
97
b) Demostrar quee−x
2
x=∞∑n=0
(−1)n x2n−1
n!, ∀ x 6= 0
c) Encontrar la serie de Taylor de f (x) =1
e3x2
98