algebra lineal - modulo 2010

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.

- 1 -

MODULO

ALGEBRA LINEAL

CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS Bogotá D. C., 2010


- 2 -

A mi padre, JUAN ARTURO ZÚÑIGA R., quien fue el primero en enseñarme el hermoso mundo de la matemáticas, y quien me ha apoyado incondicionalmente en todas mis

empresas.


- 3 -

COMITÉ DIRECTIVO Jaime Alberto Leal Afanador Rector Gloria Herrera Vicerrectora Académica Roberto Salazar Ramos Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General MÓDULO CURSO ÁLGEBRA LINEAL PRIMERA EDICIÓN REVISADA © Copyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia ISBN 2010 Bogotá, Colombia


- 4 -


- 5 -

AL ESTUDIANTE

El propósito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementos teóricos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes para contextualizarlos en su campo de formación disciplinar. El Algebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un significativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en diversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativo del profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en las más diversas disciplinas. En este sentido y por su carácter mismo, el curso hace aportes significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, en tanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstracción, el análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc. El curso académico se estructura básicamente en dos unidades didácticas. La primera contempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de Ecuaciones Lineales, Rectas, Planos e Introducción a los Espacios Vectoriales. A través del curso académico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificación cognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta cognitivas mediante la articulación de los fundamentos teóricos a la identificación de núcleos problémicos en los diferentes campos de formación disciplinar. Es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinámica del uso de los recursos informáticos y telemáticos como herramientas de apoyo a los procesos de aprendizaje. En este sentido, el curso académico de Algebra Lineal articulará a su desarrollo actividades mediadas por estas tecnologías, como búsquedas de información en la Web, interactividades sincrónicas o asincrónicas para orientar acciones de acompañamiento individual o de pequeño grupo colaborativo y acceso a información disponible en la plataforma virtual de la universidad. La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso se tomará como estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espíritu investigativo. En este sentido, se espera que el estudiante amplíe la gama de opciones documentales que aportan a la resignificación cognitiva. Estas fuentes documentales son obviamente de diferentes orígenes, a las cuales se tendrá acceso a través de: material impreso, bibliotecas virtuales, hemerotecas, sitios Web, etc.


- 6 -

TABLA DE CONTENIDO

Pag. UNIDAD 1- Vectores, Matrices y Determinantes 1.1 CAPITULO 1: VECTORES EN 2R …………………………………………….10

Lección 1: NOCION DE DISTANCIA ……………………………………….12 Lección 2: SEGMENTOS DIRIGIDOS……………………………………….15 Lección 3: DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR…………………..21 Lección 4: ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES………………24 Lección 5: PROYECCIONES……………………………………………………53

1.2. CAPITULO 2: VECTORES EN 3R …………………………………………….59 Lección 6: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS…………………………..63 Lección 7: VECTORES BASE…………………………………………………..67 Lección 8: PRODUCTO VECTORIAL………………………………………..73

1.3 CAPITULO 3: MATRICES……………………………………………………...82 Lección 9: OPERACIONES CON MATRICES…………………………….84 Lección 10: SUMA DE MATRICES……………………………………………85 Lección 11: MULTIPLICACION DE MATRICES…………………………..89 Lección 12: OPERACIONES SOBRE MATRICES………………………….93 Lección 13: MATRICES ELEMENTALES……………………………………106

1.4 CAPITULO 4: DETERMINANTES…………………………………………..132 Lección 14: ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES…..139 Lección 15: INVERSAS………………………………………………………………141 Lección 16: INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CRUZ…………………………………………………………………….148

UNIDAD 2 – Sistemas Lineales de ecuaciones, rectas, planos y Espacios Vectoriales 2.1 CAPITULO 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES……………….164

Lección 17: PRIMER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: ELIMINACION GAUSSIANA………………………………………….187 Lección 18: SEGUNDO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: METODO DE GAUSS – JORDAN…………………………………..190 Lección 19: TERCER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: REGLA DE CRAMER…………………………………………………….196 Lección 20: CUARTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: EMPLEANDO LA FACTORIZACION LU……………………………199 Lección 21: QUINTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA……………………………….204

Lección 22: SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS…………………………207


- 7 -

2.2 CAPITULO 6: RECTAS EN 3R ……………………………………………….209

Lección 23: RECTAS EN 3R ……………………………………………………….209 Lección 24: ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA……………………….211 Lección 25: ECUACION PARAMETRICA DE LA RECTA…………….......214 Lección 26: ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA……………………….215

2.3 CAPITULO 7: PLANOS……………………………………………………….222 Lección 27: ECUACION DEL PLANO……………………………………………222 Lección 28: PLANOS PARALELOS……………………………………………….225 Lección 29: ECUACION DE LA RECTA DE INTERSECCION DE DOS PLANOS NO PARALELOS………………………………….226

2.4 CAPITULO 8: ESPACIOS VECTORIALES………………………………..230 Lección 30: DEFINICIÓN Y EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES………………………………………………………..230


- 8 -

UNIDAD 1

VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES


- 9 -

OBJETIVO GENERAL

Que el estudiante comprenda el conjunto de conocimientos relacionados con los fundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los vectores, matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales y situaciones particulares en diferentes campos del saber.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de nociones como la de vector, complementado con un manejo pertinente de las operaciones con los mismos.

Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de matriz, lo lleve a

espacios mas generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad las distintas operaciones que con ellas puede realizar y que le permitirán utilizar herramientas como el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolver a futuro sistemas lineales.


- 10 -

CAPITULO 1


- 11 -


- 12 -

LECCION 1 1.1 NOCION DE DISTANCIA Ahora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entre ellos. Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometría elemental, llamado Teorema de Pitágoras, que nos establece que:


- 13 -

100

10086

2

222

a

aa

Dado que a es una distancia, entonces consideramos únicamente los valores positivos, es decir,

10a unidades.


- 14 -


- 15 -

LECCION 2


- 16 -


- 17 -


- 18 -


- 19 -


- 20 -


- 21 -

LECCION 3


- 22 -


- 23 -


- 24 -

LECCION 4


- 25 -


- 26 -


- 27 -


- 28 -


- 29 -


- 30 -


- 31 -


- 32 -


- 33 -


- 34 -


- 35 -


- 36 -


- 37 -


- 38 -


- 39 -


- 40 -


- 41 -


- 42 -


- 43 -


- 44 -


- 45 -


- 46 -


- 47 -


- 48 -


- 49 -


- 50 -


- 51 -


- 52 -


- 53 -

LECCION 5


- 54 -


- 55 -


- 56 -


- 57 -


- 58 -


- 59 -

CAPITULO 2


- 60 -


- 61 -


- 62 -


- 63 -

LECCION 6


- 64 -


- 65 -


- 66 -


- 67 -

LECCION 7


- 68 -


- 69 -


- 70 -


- 71 -


- 72 -


- 73 -

LECCION 8


- 74 -

Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición. Pag. 251


- 75 -

Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición. Pag. 263


- 76 -


- 77 -


- 78 -


- 79 -


- 80 -


- 81 -


- 82 -

CAPITULO 3


- 83 -


- 84 -

LECCION 9


- 85 -

LECCION 10


- 86 -


- 87 -


- 88 -


- 89 -

LECCION 11


- 90 -


- 91 -


- 92 -


- 93 -

LECCION 12


- 94 -


- 95 -


- 96 -


- 97 -


- 98 -


- 99 -


- 100 -


- 101 -


- 102 -


- 103 -


- 104 -


- 105 -


- 106 -


- 107 -


- 108 -


- 109 -


- 110 -


- 111 -


- 112 -


- 113 -


- 114 -


- 115 -


- 116 -

100011001

1E , por lo tanto

100011001

11E

100

0610

001

2E , por lo tanto

100060001

12E

100010021

3E , por lo tanto

100010021

13E

160010001

4E , por lo tanto

160010001

14E

3100

010

001

5E , por lo tanto

300010001

15E

100

0103501

6E , por lo tanto

100

0103501

16E

1006110

001

7E , por lo tanto

1006110

001

17E

Ahora realicemos el siguiente producto 1

71

61

21

1 EEEE


- 117 -

300010001

160010001

100010021

100060001

100011001

1006110

001

100

0103501

Realicemos los productos de izquierda a derecha, tenemos:

1006110

001

100

0103501

300010001

160010001

100010021

100061001

Seguimos

1006110

001

100

0103501

300010001

160010001

100041021

Seguimos

1006110

001

100

0103501

300010001

160041021

Seguimos

1006110

001

100

0103501

360041021


- 118 -

Seguimos

1006110

001

36035413521

Finalmente

260141221

En conclusión, hemos visto que dada una matriz A, si esta es invertible, tanto A como su

inversa pueden ser escritas como el producto de matrices elementales (ya que, las

inversas de las matrices elementales son a su vez matrices elementales.


- 119 -


- 120 -


- 121 -


- 122 -


- 123 -


- 124 -


- 125 -


- 126 -


- 127 -


- 128 -


- 129 -


- 130 -


- 131 -


- 132 -

CAPITULO 4


- 133 -


- 134 -


- 135 -


- 136 -


- 137 -


- 138 -


- 139 -

LECCION 14


- 140 -


- 141 -


- 142 -


- 143 -


- 144 -


- 145 -


- 146 -


- 147 -


- 148 -

LECCION 16


- 149 -


- 150 -


- 151 -


- 152 -


- 153 -


- 154 -


- 155 -


- 156 -


- 157 -


- 158 -


- 159 -


- 160 -


- 161 -


- 162 -

UNIDAD 2

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS Y ESPACIOS VECTORIALES


- 163 -

OBJETIVO GENERAL

Que el estudiante comprenda los fundamentos teóricos que soportan la concepción de los sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a través del complejo ejercicio mental de abstracción, estudio, análisis e interpretación de fuentes bibliográficas referenciadas y casos específicos de aplicación en diferentes áreas del conocimiento.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio. Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que son obtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan.

Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de lo que es un sistema de

ecuaciones lineales, lo lleve a espacios más generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad los distintos procedimientos que le permiten obtener una solución del mismo (en el caso en que sea posible)


- 164 -

CAPITULO 5


- 165 -


- 166 -


- 167 -


- 168 -


- 169 -


- 170 -


- 171 -


- 172 -


- 173 -


- 174 -


- 175 -


- 176 -


- 177 -


- 178 -


- 179 -


- 180 -


- 181 -


- 182 -


- 183 -


- 184 -


- 185 -


- 186 -


- 187 -

LECCION 17


- 188 -


- 189 -


- 190 -

LECCION 18


- 191 -


- 192 -


- 193 -


- 194 -


- 195 -


- 196 -

LECCION 19


- 197 -


- 198 -


- 199 -

LECCION 20


- 200 -


- 201 -


- 202 -


- 203 -


- 204 -

LECCION 21

5.5. QUINTO METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA El objetivo es resolver un sistema de la forma bAX (con A de nn ), donde A es invertible. Partiendo del sistema bAX , podemos multiplicar a izquierda por 1A (Que existe, dado que A es invertible), con lo que nos queda:

bAAXA 11 Agrupando obtenemos bAXAA 11 Simplificando bAXI 1 Finalmente

bAX 1 La ultima afirmación, nos indica que se A es de nn e invertible, entonces la solución del sistema lineal bAX , la encontramos de la forma bAX 1 . Ejemplo Dado el sistema lineal

17457114

211032

321

321

321

xxxxxx

xxx

Determine si el sistema tiene solución única o no. De tener solución única, encuentre su inversa y úsela para resolver el sistema. Solución Para determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular su determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá única solución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única) Encontremos el determinante:

225457114

1032

DetA

Recordemos que tenemos dos procedimientos para hallar la inversa: 1. Empleando el método de reducción de Gauss- Jordán

2. Empleando determinantes ( AdjAA

A *det

11 )


- 205 -

Voy a emplear el método de reducción de Gauss- Jordán. Se deja al estudiante la invitación a realizarlo también por el otro método.

Por lo tanto, dado que la matriz A pudo ser reducida (por medio de operaciones elementales) a la matriz identidad, se tiene que la matriz del lado derecho es la inversa de A. Es decir,

121 f

12 4 ff

13 7 ff 27

1 f

21 23 ff

23 211 ff 3225

14 f

31 1413 ff

32 719 ff


- 206 -

22514

22511

253

22538

22562

251

22513

22538

251

1A

Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación bAX 1 . Donde,

171121

b

Por tanto,

171121

22514

22511

253

22538

22562

251

22513

22538

251

X

212

X

Es decir, la solución es 2;1;2 321 xxx


- 207 -

LECCION 22

SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS


- 208 -


- 209 -

CAPITULO 6

LECCION 23


- 210 -


- 211 -

LECCION 24


- 212 -


- 213 -


- 214 -

LECCION 25


- 215 -

LECCION 26


- 216 -


- 217 -


- 218 -


- 219 -


- 220 -


- 221 -


- 222 -

CAPITULO 7

LECCION 27


- 223 -


- 224 -


- 225 -


- 226 -

LECCION 29 Para ver que 1n y 2n son paralelos, puede emplear cualquiera de las dos siguientes condiciones


- 227 -


- 228 -


- 229 -


- 230 -

CAPITULO 8

LECCION 30


- 231 -


- 232 -


- 233 -


- 234 -


- 235 -


- 236 -


- 237 -


- 238 -


- 239 -


- 240 -


- 241 -


- 242 -


- 243 -


- 244 -


- 245 -


- 246 -


- 247 -


- 248 -


- 249 -


- 250 -

algebra lineal - modulo 2010

Documents