Calculo II Actividad presencial # 1 La integral definida

UNIVERSIDAD ESTATAL DEL SUR DE MANAB

CARRERA DE INGENIERA EN COMPUTACION Y REDES

Algebra Lineal Actividad presencial # 1 Sistemas de Ecuaciones Lineales y

MatricesSumario: 1.1 Introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales 1.2 Eliminacin Gaussiana 1.3 Matrices y operaciones con matrices

1.4 Inversas: Reglas de la aritmtica de matrices

1.5 Matrices elementales y un mtodo para determinar A 1.6 Otros resultados sobre sistemas de ecuaciones e invertibilidad 1.7 Matrices diagonales, triangulares y simtricas.Bibliografa:

Texto: Introduccin al Algebra Lineal, Howard Anton, Tomo I, Captulo1, Pg. 21 94Objetivos:

1. Definir e interpretar el concepto de ecuaciones lineales.2. Describir, definir e interpretar el proceso para resolver sistemas de ecuaciones lineales incluyendo problemas de aplicacin.3. Describir el mtodo para reducir una matriz aumentada a una forma suficientemente simple.4. Enunciar, interpretar y aplicar algunas de las propiedades de las matrices.5. Aplicar el concepto y propiedades de las matrices para determinar la inversa de una matriz invertible.1.1 Introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales.El tema de los sistemas de ecuaciones lineales y sus posibles soluciones es uno de los estudios mas importante dentro del Algebra Lineal. En esta seccin se introducir la terminologa bsica y se analizar un mtodo para resolver estos sistemas.Ecuaciones Lineales.- Una recta en el plano xy puede representarse algebraicamente por una ecuacin de la forma:

1.2 Eliminacin gaussiana.En esta parte se explica el procedimiento sistemtico para resolver sistemas de ecuaciones lineales; el mtodo que se basa en la idea de reducir la matriz aumentada en una forma simple para que el sistema de ecuaciones se pueda resolver por inspeccin

1.3 Matrices y Operaciones con matricesLos arreglos rectangulares de nmeros reales surgen en muchos contextos distintos a las matrices aumentadas de sistemas de ecuaciones lineales. En esta parte estos arreglos consideran como objetos en si y se desarrollaran algunas de sus propiedades para aplicarlas posteriormente.

1.4 Inversas: Reglas de la aritmtica de matricesAnalizaremos algunas de las propiedades de las propiedades de las operaciones aritmticas sobre matrices. Se vera que muchas de las reglas bsicas de la aritmtica de los nmeros reales tambin se cumplen para matrices, aunque unas cuantas no.

1.5 Matrices elementales y un mtodo para determinar AEn esta seccin se obtendr el algoritmo para obtener la inversa de una matriz invertible y se analizaran algunas propiedades bsicas de las matrices invertibles.1.6 Otros resultados sobre sistemas de ecuaciones e invertibilidadEn esta parte se establecern mas resultados sobre sistemas de ecuaciones lineales e invertibilidad de matrices. El trabajo dar por resultado un mtodo totalmente nuevo para resolver sistemas de n ecuaciones con n incgnitas.

1.7 Matrices diagonales, triangulares y simtricas

Se consideran aqu ciertas clases de matrices que tienen formas especiales. Estas matrices se encuentran entre las mas importantes del Algebra Lineal y se presentan en muchos casos de aplicacin.

Calculo II Actividad presencial # 2

Teoremas fundamentales del Clculo Integral. Integral indefinida y clculo de integrales inmediatas

Sumario: Secciones

2.1 Introduccin -

2.2 Antiderivada o primitiva de una funcin Seccin 4.7

2.3 Teoremas fundamentales del Clculo Integral Seccin 5.4

2.4 La integral indefinida Secciones 5.5,7.4, 7.5, 8.4,

8.6

2.5 Propiedades de la integral indefinida Seccin 5.5

2.6 Clculo de integrales inmediatas

Bibliografa:

Texto: Anlisis Matemtico B. Demidovich Tomo I, Captulo 4, Seccin 4.7 Pg. 218 226; Captulo 5, Secciones 5.4 y 5.5 Pg. 251 267, Captulo 7, Secciones 7.4 y 7.5 Pg. 368 382, Captulo 8, Seccin 8.4 Pg. 426 431 y Seccin 8.6, Pg. 438 444

Objetivos:

1. Enunciar e interpretar los dos teoremas fundamentales del Clculo Integral.

2. Definir e interpretar geomtricamente el concepto de integral indefinida.

3. Describir la relacin existente entre el concepto de primitiva o antiderivada, integral definida e integral indefinida de una funcin.

4. Calcular integrales indefinidas sencillas.

5. Calcular integrales definidas a partir de las integrales indefinidas y de la aplicacin del 2do. Teorema Fundamental del Clculo.

2.1 Introduccin

En esta actividad profundizaremos, en primer lugar, en el concepto de antiderivada de una funcin, de importancia en el planteamiento de los dos Teoremas Fundamentales del Clculo Integral. Veremos las posibilidades que estos nos brindan, adems de mostrar la relacin entre la derivada y la integral.

Daremos el concepto de integral indefinida y veremos cmo calcular integrales indefinidas inmediatas.

2.2 Antiderivada o primitiva de una funcin

En el Estudio Independiente de la actividad anterior se defini el concepto de antiderivada o primitiva de una funcin f en un cierto intervalo I como cualquier funcin F tal que F = f en I.

As, por ejemplo, dada la funcin f(x) = x2 + 1 se tiene que F(x) = x3/3 + x es una antiderivada de f(x) pues F (x) = x2 + 1 = f(x). Ser sta la nica antiderivada de f(x)? No, por ejemplo, G(x) = x3/3 + x +5 es otra antiderivada de f(x) pues tambin se cumple que G (x) = x2 + 1 = f(x). Nos preguntamos ahora:

1. Cuntas antiderivadas tiene una funcin dada?

2. Qu relacin existe entre dos antiderivadas cualesquiera de una funcin dada?

La respuesta a ambas preguntas la veremos en el siguiente teorema:

Teorema 1

Si F1(x) y F2(x) son dos antiderivadas de una funcin f(x) en I entonces existe una constante C tal que F2(x) = F1(x) + C para toda x en I.

Demostremos que si F1(x) y F2(x) son dos primitivas de una funcin f(x) entonces ambas se diferencian en una constante. En efecto, si F1(x) y F2(x) son dos primitivas de f(x) entonces F1(x) = F2 (x) = f(x) de donde F1(x) - F2 (x) = (F1(x) - F2(x)) = 0 lo que significa que F1(x) - F2(x) es constante en I, o sea, existe una constante C tal que F1(x) - F2(x) = C. Luego F2(x) = F1(x) + C para toda x en I.

Esto quiere decir que si F(x) es una primitiva de f(x) en I entonces todas las dems primitivas son de la forma F(x) + C, siendo C una constante cualquiera.

Veremos en el transcurso de la clase la relacin entre el concepto de primitiva o antiderivada, integral definida e integral indefinida.

2.3 Teoremas fundamentales del Clculo Integral

Sea f(x) continua en [a, b] y f(x)>0.

Como se vi anteriormente, el rea bajo la curva y = f(x) en [a, b] es . En correspondencia, el rea sombreada A(x) (Fig. 1) ser igual a la integral

Fig. 1

Como f es continua en [a, b] tambin lo es en [a, x] para todo x en [a, b], y si es continua en [a, x] tambin es integrable en dicho intervalo, entonces existe la funcin

Aunque en la integral definida no tiene significado particular la variable indicada en el diferencial, siempre que coincida con uno de los lmites de integracin se utiliza otra variable para distinguirla. As, por ejemplo, en el caso anterior escribimos .

Esta integral se conoce como integral definida con lmite superior variable, la cual en general no tiene por qu representar el valor de un rea..

Primer Teorema Fundamental del Clculo Integral.

Si f es continua en [a, b] y entonces F es derivable en [a, b] y .

Si x coincide con a b, se consideran las derivadas laterales correspondientes.

Observe que F(x) es justamente una antiderivada o primitiva de la funcin f(x).

Ejemplo 1

Calculemos

f(x) = exlnx es continua en [x, 2x+1] para cualquier x > 0. Entonces se cumple que:

.

Si consideramos

entonces F(x) = - G(x) + H(2x+1) y F(x) = - G(x) + H(2x+1)

G(x) se calcula de manera inmediata al aplicar el teorema. As: G(x) = exlnx

Para calcular H(2x+1) debemos aplicar la Regla de la Cadena, pues H(2x+1) = ex+1 ln(2x+1).(2x+1) = 2 ex+1 ln(2x+1)

Luego se tiene que

El 2do. Teorema Fundamental del Clculo establece una relacin entre la integral definida y las antiderivadas de una funcin.

Sea f continua en [a, b]. Sea integral definida con lmite superior variable una antiderivada de f.

Sea F otra antiderivada de f en [a, b] luego A(x) = F(x) + C (1)

Hallemos C.

Si x = a entonces A(a)= F(a) + C pero luego C = - F(a)

Sustituyendo en (1)

A(x) = F(x) F(a) (2)

Por otra parte . Sustituyendo x por b en (2) se tiene que A(b) = F(b)- F(a) de donde por carcter transitivo

Segundo Teorema Fundamental del Clculo Integral.

Si f es continua en [a, b] y F es una antiderivada o primitiva de f, entonces:

Observaciones:

1. En este teorema se relacionan el concepto de antiderivada y de integral definida de una funcin.

2. Resulta interesante que el clculo de un objeto tan complejo como una integral definida que involucra a todos los puntos del intervalo [a,b] se reduce a un simple clculo en solo dos puntos, los extremos del intervalo.

3. Desde el punto de vista prctico, el clculo de una integral definida se reduce a hallar una antiderivada de dicha funcin y evaluarla en los lmites de integracin. Usualmente se utiliza la notacin

Ejemplo 2

Calcular:

Busquemos primero una antiderivada de la funcin f(x) = 5x4 + x3 + 4x + 3. La ms simple es: F(x) = x5 + x4/4 + 2x2 + 3x

Luego aplicando el Segundo Teorema Fundamental del Clculo Integral se tiene que

2.4 La integral indefinida

Definicin 1

Si f(x) posee una antiderivada o primitiva F(x) en un intervalo I, el conjunto de todas las antiderivadas de f(x) en I se denomina integral indefinida de f(x) en I. Se denota por el smbolo .

O sea, siendo C una constante cualquiera. Luego el clculo de una integral indefinida se reduce a la determinacin de una antiderivada o primitiva del integrando. Este proceso se conoce con el nombre de integracin.

Retornando al Segundo Teorema Fundamental del Clculo Integral vemos que calculando la integral indefinida de una funcin podemos calcular la integral definida de la misma. Basta evaluar una de sus antiderivadas en los lmites de integracin.

Observacin

La integral definida de una funcin es un nmero, mientras que la integral indefinida de dicha funcin es una familia de funciones que se diferencian todas en una constante.

La interpretacin geomtrica puede verla en la Fig. 2, donde la integral indefinida de f(x) se puede interpretar como la familia de curvas que se obtienen mediante una traslacin paralela al eje x.

Fig. 2

Ejemplo 3

2.5 Propiedades de la integral indefinida

La primera propiedad se deriva de las propias definiciones de antiderivada e integral indefinida.

Teorema 2

1. Si f(x) es derivable en cierto intervalo I entonces

2. Si f(x) posee antiderivada en cierto intervalo I entonces

Anlogo a como vimos en el caso de integrales definidas tenemos el siguiente resultado:

Teorema 3

Si f(x) y g(x) son funciones que poseen primitivas en un intervalo [a,b] y ( y ( dos nmeros reales cualesquiera entonces la funcin (f +(g tambin posee primitiva en [a,b] y se cumple que

Este teorema establece que la integral indefinida de una combinacin lineal de funciones es la combinacin lineal de las integrales indefinidas de las respectivas funciones.

2.6 Clculo de integrales inmediatas

Existen integrales muy fciles de calcular, que no se reducen nicamente a aquellas cuyo integrando es una funcin elemental como cosx.

Ejemplo 4

Calcular

Esta es tambin una integral simple de calcular. Si tenemos presente que una antiderivada de la funcin senx es cosx y que aplicando la Regla de la Cadena (cos5x)=-5sen5x entonces la integral dada podemos considerarla inmediata. Basta completar el diferencial multiplicando y dividiendo por 5, de donde:

Ejemplo 5

Calcular

Sabemos que una antiderivada de xn es xn+1/(n+1). En el integrando no tenemos en la base de la potencia a x sino a 2x + 1, cuya derivada es 2, luego solo bastara completar el diferencial con un 2 para que integre como potencia. Luego,

Ejemplo 6

Nos preguntamos ahora cmo calcular, por ejemplo,

Es esta integral tambin de las llamadas integrales inmediatas, donde a simple vista puede determinar una antiderivada de la misma?

La respuesta depende mucho de la experiencia de la persona en el clculo de integrales indefinidas.

Si tenemos siempre en mente que lo primero que intentamos hacer es pensar en una funcin cuya funcin derivada est en el integrando (o salvo una constante por la que se puede multiplicar y dividir la integral), o sea, pensar en una antiderivada, y conocemos las antiderivadas de las funciones elementales fundamentales pudiramos decir que la integral dada es inmediata, pues la antiderivada de la exponencial es ella misma y (esenx)= esenx.cosx, luego

= esenx + CDe la misma manera pudiramos decir que es inmediata, ya que la funcin sec2x integra como tgx (por cuanto (tgx)= sec2x) y como aplicando la Regla de la Cadena se tiene que (tg4x)= 4sec2 4x lo nico que se necesita es completar el diferencial y tendremos que:

Hay otras integrales como donde puede ser ms difcil encontrar una antiderivada a simple vista. En la prxima actividad estudiaremos el primer mtodo de integracin en el caso de tener que calcular integrales ms complicadas.

Estudio Independiente

Estudie la clase leyendo adems cuidadosamente la bibliografa orientada. Preste atencin a los ejercicios y problemas resueltos.

Resuelva para la actividad presencial los ejercicios:

1. Del Ejercicio 4.7 de la Pg. 224: 2,6,9,11,13,15,19

2. Del Ejercicio 5.4 de la Pg. 258: 3, 9, 32, 51 y 53

3. Del Ejercicio 5.5 de la Pg. 266: 1, 11, 17

4. Del Ejercicio 7.4 de la Pg. 373: 14, 16, 19 y 20

5. Del Ejercicio 8.4 de la Pg. 430: 1, 3, 4, 12 y 31

6. Del Ejercicio 8.6 de la Pg. 443: 31 y 35

Calculo II Actividad presencial # 3

Mtodo de integracin por sustitucin

Sumario: Secciones

3.1 Introduccin -

3.2 Mtodo de sustitucin o cambio de variable Seccin 5.5

3.3 Mtodo de sustitucin trigonomtrica Seccin 9.3

3.4 Sustituciones diversas Seccin 9.2, 9.5, 9.6

Bibliografa:

Texto: Anlisis Matemtico B. Demidovich Captulo 5, Seccin 5.5 Pg. 260 267, Captulo 9 Secciones 9.2 y 9.3 Pg. 467 476, Secciones 9.5 y 9.6 Pg. 483 490.

Objetivos:

1. Caracterizar el mtodo de sustitucin

2. Aplicar diversas sustituciones al clculo de integrales

3.1 Introduccin

Hasta el momento hemos calculado integrales inmediatas, denominando as aquellas integrales donde es simple obtener una primitiva o antiderivada de la funcin integrando. Una gran cantidad de integrales no son de este tipo.

En esta actividad abordaremos uno de los mtodos generales de integracin: el mtodo de sustitucin. La fundamentacin de este mtodo es una consecuencia directa de una regla bien conocida: la Regla de la Cadena. La esencia de este mtodo, como de otros, es transformar la integral dada en una integral inmediata o mucho ms simple de calcular que la integral original.

3.2 Mtodo de sustitucin o cambio de variable en el clculo de integrales

Sea F(u) una primitiva de la funcin f(u) en el intervalo I y sea u = g(x) una funcin con derivada continua en el intervalo J tal que g(J) ( I. Entonces aplicando la Regla de la Cadena se tiene que: Dx F(g(x)) = F (g(x)). g(x) = f(g(x)). g(x)Supongamos debemos calcular . Entonces se tiene que

= (1)Puesto que u =g(x) entonces du = g(x)dx y se tiene que

Este resultado es conocido como mtodo de cambio de variable o de sustitucin. El objetivo del cambio de variable es reducir la integral a una integral ms fcil de calcular.

Observacin

Con la hiptesis que la funcin g(x) tenga derivada continua en el intervalo J estamos garantizando que la integral del miembro izquierdo en (1) exista, aunque no es una condicin necesaria para ello. Pero esta condicin s garantiza algo necesario: que la funcin u =g(x) tenga inversa x =g -1(u). Ejemplo 1

Calcular

Observe que la expresin x2dx es casi el diferencial de la funcin x3 + 1 pues

d(x3 + 1) = 3x2dx. Entonces multiplicando y dividiendo por 3 en el integrando y aplicando la propiedad de linealidad tenemos que:

Si ahora hacemos la sustitucin u = x3 + 1 tenemos que du = 3x2dx. Luego:

Esta es una integral inmediata. Puesto que:

, entonces

Por qu la sustitucin realizada es exitosa? Porque se redujo a una integral indefinida mucho ms simple de calcular, en este caso una integral inmediata.

Ejemplo 2

Calcular

Si hacemos u = lnx entonces du = (1/x)dx. De ah

En general se cumple que

Un ejemplo de aplicacin de lo anterior es el siguiente:

(u = cosx)

Observacin

Constate en ambos ejemplos que una vez realizada una sustitucin del tipo u = g(x) solo puede aparecer la variable u en el integrando de la integral transformada. Una vez calculada una primitiva de la misma en trminos de u, se sustituye sta por g(x) dando la respuesta en funcin de la variable original x.

En ocasiones al tratar de calcular la integral es conveniente aplicar una sustitucin, pero de otro tipo. Si efectuamos el cambio de variable x = ((t) donde ( es una funcin continua, con funcin inversa (-1 y con derivada ( continua, entonces se cumple que:

Observe que la funcin f(((t))((t) que aparece en la integral en el miembro derecho es integrable por las hiptesis que asumimos. Se calcula la integral en funcin de la variable t y posteriormente usando la funcin (-1 se sustituye la variable t por la variable x.

Una de las sustituciones de este tipo, que resulta conveniente en el clculo de algunas integrales, involucra funciones trigonomtricas como veremos en el prximo epgrafe.

3.3 Mtodo de sustitucin trigonomtrica

Ante todo queremos recordar algunas identidades trigonomtricas muy utilizadas en el clculo de integrales donde aparecen funciones trigonomtricas o como las que abordaremos en este epgrafe:

sen2x = 2senxcos, cos2x = cos2x sen2x,

Supongamos que tenemos en el integrando una expresin del tipo con a > 0. Entonces si hacemos la sustitucin x = asent obtenemos que:

Observe que los valores que puede tomar t deben estar en el conjunto imagen o contradominio de la funcin inversa, en este caso de la funcin arcsenx.

De esta manera hemos eliminado el radical.

Es la nica sustitucin posible? No, podramos haber seleccionado la sustitucin x = acost . En este caso 0 ( t ( (Veamos un ejemplo de este tipo de sustitucin.

Ejemplo 3

Calcular

Si hacemos la sustitucin x = 2sent (en este caso a = 2) obtenemos que:

x2 = 4sen2t y dx = 2costdtEntonces:

Para expresar el resultado en funcin de la variable original utilicemos un mtodo geomtrico. Supongamos primero que 0 < t < (/2

Podemos interpretar el ngulo t como uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo con cateto opuesto de longitud x, hipotenusa de longitud 2, y por Pitgoras la longitud del otro cateto sera (Fig. 1)

Puesto que sen2t = 2sentcost, entonces sen2t =

Por tanto:

Puede demostrarse fcilmente que el anlisis realizado es vlido si -(/2 < t < 0.En el texto en la Seccin 9.3 aparecen otras sustituciones de este tipo que le recomendamos estudie con detenimiento.

3.4 Sustituciones diversas

Existen otros tipos de sustituciones que pueden utilizarse en el clculo de una integral, pudiendo agruparse de acuerdo a las caractersticas de la funcin integrando. Presentaremos a continuacin otros dos ejemplos con caractersticas diferentes a las abordadas hasta el momento y le proponemos en relacin a otros tipos de sustituciones que estudie la Seccin 9.2 del texto (Pg. 467 470) donde se abordan integrales con funciones trigonomtricas y las Secciones 9.5, 9.6 (Pg. 483 490).

Ejemplo 4

Calcular

La funcin polinomial f(x) = x2 4x +8 no puede descomponerse en el producto de dos factores del tipo (x - a) (x - b) con a y b reales, por cuanto f(x) = 0 no tiene races reales. Las integrales donde aparecen fracciones racionales de este tipo siendo el numerador una constante y el denominador un polinomio irreducible las encontrar (y necesitar saber calcularlas), al abordar un numeroso grupo de integrales cuyo integrando es una funcin racional ms general, como veremos en la prxima actividad.

Veamos cmo proceder en este caso. Hagamos primero un completamiento cuadrtico de la siguiente manera:

x2 4x +8 = (x2 4x ) + 8 = (x2 2(x)(2) ) + 8 = (x2 2(x)(2) + (2)2) + 8 (2)2 = (x 2)2 + 4

Hagamos ahora la sustitucin u = x 2. Puesto que du = dx tenemos que:

La integral obtenida podemos considerarla inmediata, pues si una antiderivada de es arctanu entonces una antiderivada de es (comprubelo). De donde:

Ejemplo 5

Calcular

En los casos donde aparecen en el integrando expresiones de la forma pudiera ser recomendable una sustitucin del tipo u =f(x).

En el ejemplo, donde aparecen dos expresiones de la forma mencionada, pero con diferentes valores de n, la sustitucin se hace utilizando como valor de n el mnimo comn mltiplo de ambos, con el objetivo de eliminar el radical.

Puesto que el mnimo comn mltiplo de 2 y 3 es 6, entonces planteamos la sustitucin

Entonces

Observe que al realizar la sustitucin se obtuvo una fraccin racional impropia. Efectuando la divisin se obtuvo un polinomio y una fraccin racional propia, ambos muy fciles de integrar pues la integral de la fraccin racional propia obtenida tambin es inmediata.

Estudio Independiente

Estudie la clase leyendo adems cuidadosamente la bibliografa orientada. Preste atencin a los ejercicios y problemas resueltos.

Resuelva para la actividad presencial los ejercicios:

1. Del Ejercicio 5.5 de la Pg. 266: 3, 5, 7

2. Del Ejercicio 9.2 de la Pg. 470: 2

3. Del Ejercicio 9.3 de la Pg. 476: 3, 4, 11, 13, 19

4. Del Ejercicio 9.5 de la Pg. 486: 4, 9

5. Del Ejercicio 9.6 de la Pg. 489: 5, 8

Calculo II Actividad presencial # 4

Mtodo de integracin por sustitucin

Objetivos:

1. Caracterizar el mtodo de sustitucin

2. Aplicar diversas sustituciones al clculo de integrales

Desarrollo

Comenzar la actividad haciendo un resumen de los principales tipos de sustituciones abordadas en la Actividad no presencial # 15

1. Calcular las siguientes integrales:

a. b.

Respuesta

a. Busquemos primero una antiderivada de

Haciendo el cambio de variable u = arcsenx se tiene que. Luego

De ah que una antiderivada de f(x) sea arcsen2x/2.

Aplicando el 2do. Teorema Fundamental del Clculo:

Observacin: Pudo hacerse el cambio de variable en los lmites de integracin en funcin de u.

b. Haciendo el cambio de variable u = cosx se tiene que du = -senxdx. Luego:

Aplicando el 2do. Teorema Fundamental del Clculo:

EMBED Equation.3 2. Calcular: a. b.

Respuesta

a. Haciendo el cambio de variable u = lnx se tiene que du =(1/x)dx. Entonces:

b. Haciendo el cambio de variable u = x3 se tiene que du =3x2dx. Entonces:

3.

Respuesta

Haciendo x = 3tant dx = 3sec2tdt

Entonces:

Aplicando el tringulo trigonomtrico:

4. Calcular

Respuesta

Haciendo el cambio de variable u = tenemos que x = u2, dx = 2u

Para x = 4 se tiene que u = 2. Para x = 9 entonces u = 3. Luego:

= 2[(3-2)-4(ln|u+4|)] = 2 [1 4(ln7 ln6)] = 2 + 8ln(6/7)

Calculo II Actividad presencial # 5

Mtodo de integracin por partes e integracin de fracciones racionales

Sumario: Secciones

5.1 Introduccin -

5.2 Mtodo de integracin por partes Seccin 9.1

5.3 Integracin de fracciones racionales Seccin 9.4

Bibliografa:

Texto: Anlisis Matemtico B. Demidovich Tomo II, Captulo 9 Seccin 9.1 Pg. 460 467; Seccin 9.4 Pg. 476 483

Objetivos:

1. Caracterizar el mtodo de integracin por partes.

2. Calcular integrales aplicando este mtodo

3. Caracterizar el mtodo de integracin mediante descomposicin en fracciones parciales o simples.

4. Calcular integrales aplicando este mtodo.

5.1 Introduccin

Supongamos que necesitamos calcular integrales como las siguientes:

Estas integrales no son inmediatas, y los mtodos vistos hasta ahora para el clculo de integrales no nos permiten hallar las antiderivadas de estas funciones. En ambos ejemplos el integrando est compuesto por el producto de dos funciones y no existe propiedad alguna que relacione la integral con las integrales

El mtodo de integracin por partes nos permitir calcular integrales como las planteadas.

Concluiremos con un mtodo para calcular integrales donde el integrando es un tipo particular de funcin: una funcin racional. Aplicaremos dicho mtodo al clculo de la integral

5.2 Mtodo de integracin por partes

Teorema 1

Sean f(x) y g(x) funciones con derivada continua. Entonces:

Demostracin

Por la regla de la derivacin del producto:

Integrando ambos miembros

(1)

Puesto que , despejando en (1) se obtiene:

EMBED Equation.3 Quedando as demostrado el teorema.

Se acostumbra designar a f(x) por u y a g(x)dx por dv; es decir:

Luego la frmula queda como sigue:

Cundo es recomendable utilizar este mtodo?

Cuando al intentar calcular la integral vemos que la expresin h(x)dx puede escribirse como el producto de dos factores u y dv, de modo que a travs del proceso inverso sea sencillo hallar du y v y a su vez la integral sea inmediata o ms simple de calcular que la original, o sea, que.

Observacin:

Este teorema tiene su anlogo en el caso de una integral definida, que podemos expresar como sigue:

Teorema 1

Sean f(x) y g(x) dos funciones con derivadas f (x) y g(x) integrables en el intervalo [a, b]. Entonces:

Ejemplo 1

Calcular

Seleccionando u = x y dv = senxdx entonces se tiene que

du = dx y

Luego:

En la prctica en el clculo de v lo que se selecciona es una antiderivada (la ms simple, o sea, siendo , se selecciona aquella donde C = 0). Compruebe que si hubiramos planteado y hubiramos trabajado con esta expresin, al final obtenamos el mismo resultado.

Veamos qu sucede si hacemos la otra seleccin.

Si ahora consideramos u =sen x y dv = xdx entonces se tiene que

du = cosxdx y

Luego:

Observe que la integral: es ms compleja que la inicial ().

Ejemplo 2

Calcular

Teniendo en cuenta que ya calculamos la integral indefinida y aplicando el Teorema 1 tenemos que:

Ejemplo 3

Calcular

Seleccionando u = lnx y dv = xdx entonces se tiene que

du = dx/x y

Luego:

Observaciones:

1. Si la funcin integrando la constituye el producto de dos funciones, donde una de ellas es xn y la otra funcin es: senx, cos x o sec2 x; en general se hace u = xn. Pero si la otra funcin es cualquiera de las funciones: ln x, arctan x o arcsen x, entonces se toma dv = xndx.

2. En ocasiones es necesario aplicar reiteradamente el mtodo de integracin por partes. Suele ocurrir en integrales del tipo , donde p(x) es un polinomio. En estos casos es conveniente seleccionar siempre u = p(x). Le proponemos calcule la integral

3. En otros casos el mtodo permite, aplicado ms de una vez, encontrar una ecuacin que satisface la integral buscada. Dos casos de este tipo son e que le proponemos trate de calcular.

5.3 Integracin de fracciones racionales

Ya conoce que:

1. Una funcin racional es el cociente de dos funciones polinomiales, o sea, toda funcin de la forma h(x) = f(x) / g(x), siendo f(x) y g(x) dos funciones polinomiales.

2. Una funcin racional es propia si el grado de f(x) es estrictamente menor que el grado de g(x). En caso contrario diremos que es impropia.

Una funcin racional h(x) = f(x) / g(x) es irreducible si los polinomios f(x) y g(x) no tienen ceros comunes. Nos interesar solo aquellos casos donde la funcin racional es irreducible, ya que en caso contrario, antes de integrar, los factores comunes en la descomposicin en factores de f(x) y g(x) se simplifican.

Puede demostrarse que toda funcin racional propia se puede expresar de forma nica como una suma de expresiones racionales cuyos denominadores son polinomios de grado menor o igual a dos; es decir:

donde cada trmino Fk es de la forma:

siendo A, B, p, q, a, b, c ( R , m, n ( N con b2 4ac < 0, es decir, ax2 + bx + c no se puede expresar como un producto de dos factores (x - () (x - () siendo ( y ( nmeros reales.

La suma: es la descomposicin en fracciones simples de .

A cada Fk se le llama fraccin parcial.

El mtodo que abordaremos para calcular integrales donde el integrando es una funcin racional se basa en descomponer la funcin racional (en caso de ser impropia) como una suma de una funcin polinomial y una funcin racional propia la cual se expresa como una suma de fracciones parciales de las descritas anteriormente. Entonces se reduce a integrar una funcin polinomial (muy simple) y las fracciones parciales que son relativamente sencillas de calcular.

Los pasos a seguir para el clculo de este tipo de integrales son los siguientes:

1. Determinar si la fraccin racional es propia o impropia.

2. Si es impropia reducirla a la suma de un polinomio ms una fraccin propia.

3. Expresar la fraccin propia como una suma de fracciones simples o parciales.

4. Hallar los coeficientes de las fracciones simples obtenidas.

5. Calcular las integrales.

Cmo abordar el paso 3? Cmo se expresa una fraccin propia como una suma de fracciones simples o parciales?

Sea q(x) el denominador de la fraccin propia obtenida en el paso 2, el cual puede expresarse en el producto de factores irreducibles

q(x) = (p1x + q1)m1... (pkx + qk)mk. (a1x2 + b1x + c1)n1... (asx2 + bsx + cs)nsPuede demostrarse que:

1. Cada factor del tipo (pix + qi)mi (con mi ( 1) en q(x) aporta mi sumandos a la suma de fracciones simples:

siendo A1, ...,Ami nmeros reales.

2. Cada factor del tipo (aix2 + bix + ci)ni (con ni ( 1) en q(x) aporta ni sumandos a la suma de fracciones simples:

siendo los Bi, Ci nmeros reales

Ejemplo 4

Descomponga en fracciones simples de las descritas anteriormente la funcin racional propia:

Puesto que x6 + 8x4 + 16x2 = x2(x2 + 4)2 tenemos que el factor x2 (del tipo 1 en la clasificacin anterior) aporta dos sumandos, ambos con una constante en el numerador. El factor (x2 + 4)2 (del tipo 2 en la clasificacin anterior) aporta dos sumandos, ambos con una funcin lineal en el numerador.

Tenemos entonces que:

Si quisiramos calcular la integral correspondiente, entonces en el paso 4 del mtodo habra que calcular los coeficientes A, B, C, D, E y F.

Ejemplo 5

Apliquemos el mtodo en el clculo de la integral

La funcin integrando es una fraccin la cual no es propia, por lo que hay efectuar la divisin entre los polinomios del numerador y del denominador para expresarla como una suma de fracciones parciales. De la divisin se obtiene:

Puesto que

Apliquemos el mtodo de los coeficientes indeterminados estudiado en la Matemtica Bsica para determinar los coeficientes A, B y C.

x2 + x 1 = A(x2 +1) + (Bx + C)(x 2)

Efectuando la multiplicacin y agrupando trminos semejantes obtenemos:

x2 + x 1 = (A + B) x2 + (-2B + C) x + (A 2C)

De donde se obtiene el sistema de ecuaciones lineales no homogneo:

A + B = 1

-2B + C = 1

A 2C = 1

Cuya solucin es A = 1, B = 0, C = 1 (comprubelo). Entonces:

=

Mtodo de integracin por partes e integracin de fracciones racionales

Calcule las integrales siguientes:

1.

2.

3.

4.

6. Calcular

La fraccin del integrando es propia luego se puede expresar como una suma de fracciones parciales.

Para calcular los coeficientes A, B y C.

Multiplicando y agrupando convenientemente obtenemos el sistema de ecuaciones lineales:

A + C = 2

-4A + B + 2C = -25 cuya solucin es A = 5, B = 1, C = -3

-5A -5B + C = -33

7. Calcular

Puesto que: x3 + 3x x2 3 = (x 1)( x2 + 3) se tiene que:

.

Estudio Independiente

Lea cuidadosamente la bibliografa orientada, prestando atencin a los ejercicios y problemas resueltos.

Resuelva los ejercicios:

Del Ejercicio 9.1 de la Pg. 465: 1 al 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 19.

Del Ejercicio 9.4 de la Pg. 482: 1 al 7 , 9, 18.

t

x

2

t

x

3

EMBED Equation.3

MODULO DE: ALGEBRA LINEAL DOCENTE: ING. ARIEL MARCILLO PINCAY

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