algebra lineal modulo junio 2008 pdf

8/9/2019 Algebra Lineal Modulo Junio 2008 PDF

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MODULO

LGEBRA LINEAL

CAMILO ZIGA

A mi padre, JUAN ARTURO ZIGA R., quien fue el primero en ensearme el hermoso mundode la matemticas, y quien me ha apoyado incondicionalmente en todas mis empresas.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

UNIDAD DE CIENCIAS BSICASBogot D. C., 2008


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COMIT DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal Afanador

Rector

Gloria Herrera

Vicerrectora Acadmica

Roberto Salazar Ramos

Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedaggicas

Maribel Crdoba Guerrero

Secretaria General

MDULOCURSO LGEBRA LINEALPRIMERA EDICIN

Copyright

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN

2008

Bogot, Colombia


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AL ESTUDIANTE

El propsito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementos

tericos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes paracontextualizarlos en su campo de formacin disciplinar.

El Algebra Lineal es un rea de las matemticas que en las ltimas dcadas ha tenido unsignificativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad endiversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativodel profesional de hoy en da como herramienta de apoyo para resolver problemas en lasms diversas disciplinas. En este sentido y por su carcter mismo, el curso hace aportessignificativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemtica en el estudiante, entanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstraccin, el

anlisis, la sntesis, la induccin, la deduccin, etc.

El curso acadmico se estructura bsicamente en dos unidades didcticas. La primeracontempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de EcuacionesLineales, Rectas, Planos e Introduccin a los Espacios Vectoriales.

A travs del curso acadmico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificacincognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta cognitivas mediante laarticulacin de los fundamentos tericos a la identificacin de ncleos problmicos en losdiferentes campos de formacin disciplinar.

Es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinmica del uso delos recursos informticos y telemticos como herramientas de apoyo a los procesos deaprendizaje. En este sentido, el curso acadmico de Algebra Lineal articular a sudesarrollo actividades mediadas por estas tecnologas, como bsquedas de informacinen la Web, interactividades sincrnicas o asincrnicas para orientar acciones deacompaamiento individual o de pequeo grupo colaborativo y acceso a informacindisponible en la plataforma virtual de la universidad.

La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso setomar como estrategia pedaggica que apunte al fortalecimiento del esprituinvestigativo. En este sentido, se espera que el estudiante ample la gama de opcionesdocumentales que aportan a la resignificacin cognitiva. Estas fuentes documentales sonobviamente de diferentes orgenes, a las cuales se tendr acceso a travs de: materialimpreso, bibliotecas virtuales, hemerotecas, sitios Web, etc.


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TABLA DE CONTENIDO

UNIDAD I

1. VECTORES EN 2R .91.1 NOCION DEDISTANCIA .11

1.2 SEGMENTOS DIRIGIDOS141.3 DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR.201.4 ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES..23

1.4.1 Multiplicacin de un vector por un escalar.231.4.2 Suma de Vectores351.4.3 Diferencia de vectores..391.4.4 Producto escalar43

1.5

PROYECCIONES

..522. VECTORES EN 3R ..582.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS622.2 VECTORES BASE..662.3 PRODUCTO VECTORIAL..72PROBLEMAS . 77

AUTOEVALUACION.. 793. MATRICES..81

3.1 OPERACIONES CON MATRICES833.1.1 Suma de matrices843.1.2 Multiplicacin por escalar873.1.3 Multiplicacin de matrices..88

3.2 OPERACIONES SOBRE MATRICES...923.2.1 Forma escalonada y forma escalonada reducida953.2.2 Inversa de una matriz..993.2.3 Matrices Elementales1053.2.4 La Factorizacin LU..119

4. DETERMINANTES1314.1 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES1384.2 INVERSAS .140INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CRUZ.147

PROBLEMAS155AUTOEVALUACION.159

UNIDAD II

5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES1635.1 PRIMER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES

ELIMINACION GAUSSIANA..186

5.2 SEGUNDO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALESMETODO DE GAUSS JORDAN.189


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5.3 TERCER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALESREGLA DE CRAMER..195

5.4 CUARTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALESEMPLEANDO LA FACTORIZACION LU.198

5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALESEMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA..203SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS..206

6. RECTAS EN 3R ..2087. PLANOS..2208. ESPACIOS VECTORIALES....228PROBLEMAS ..235

AUTOEVALUACION.239


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UNIDAD 1

VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES


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OBJETIVO GENERAL

Que el estudiante comprenda el conjunto de conocimientos relacionados con losfundamentos bsicos que constituyen el campo terico y aplicativo de los vectores,matrices y determinantes a travs del estudio y anlisis de fuentes documentales ysituaciones particulares en diferentes campos del saber.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Evidenciar en el estudiante una apropiacin conceptual que refleje elentendimiento de nociones como la de vector, complementado con un manejo

pertinente de las operaciones con los mismos.

Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de matriz, lo lleve aespacios mas generales y reconozca su importancia en aplicaciones masespecificas. Adems, debe entender y manejar con propiedad las distintasoperaciones que con ellas puede realizar y que le permitirn utilizar herramientascomo el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolvera futuro sistemas lineales.


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1.1 NOCION DE DISTANCIAAhora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro inters es encontrar la distancia entreellos.Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometra elemental, llamado Teorema de Pitgoras, quenos establece que:


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100

100

86

2

222

a

a

a

Dado que a es una distancia, entonces consideramos nicamente los valores positivos, es decir,

10a unidades.


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Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEALAutor: Stanley Grossman. Quinta Edicin.

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Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEALAutor: Stanley Grossman. Quinta Edicin.Pag. 263


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100

011

001

1E , por lo tanto

100

011

0011

1E

100

06

10

001

2E , por lo tanto

100

060

0011

2E

100

010

021

3E , por lo tanto

100

010

0211

3E

160

010

001

4E , por lo tanto

160

010

0011

4E

3100

010

001

5E , por lo tanto

300

010

0011

5E

100

010

3

501

6E , por lo tanto

100

010

3

501

1

6E

100

6

110

001

7E , por lo tanto

100

6

110

0011

7E

Ahora realicemos el siguiente producto

1

7

1

6

1

2

1

1

EEEE


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300

010

001

160

010

001

100

010

021

100

060

001

100

011

001

100

6

110

001

100

010

3501

Realicemos los productos de izquierda a derecha, tenemos:

100

6

110

001

100

010

3

501

300010

001

160010

001

100010

021

100061

001

Seguimos

100

6

110

001

100

010

3

501

300

010

001

160

010

001

100

041

021

Seguimos

100

6

110

001

100

010

3

501

300

010

001

160

041

021

Seguimos

100

6

110

001

100

010

3

501

360

041

021


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Seguimos

100

6

110

001

360

3

541

3

521

Finalmente

260

141

221

En conclusin, hemos visto que dada una matriz A, si esta es invertible, tanto A como su

inversa pueden ser escritas como el producto de matrices elementales (ya que, las

inversas de las matrices elementales son a su vez matrices elementales.


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UNIDAD 2

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS YESPACIOS VECTORIALES


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OBJETIVO GENERAL

Que el estudiante comprenda los fundamentos tericos que soportan la concepcin delos sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a travs delcomplejo ejercicio mental de abstraccin, estudio, anlisis e interpretacin de fuentesbibliogrficas referenciadas y casos especficos de aplicacin en diferentes reas delconocimiento.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Evidenciar en el estudiante una apropiacin conceptual que refleje elentendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio.

Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que sonobtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan.

Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de lo que es un sistema deecuaciones lineales, lo lleve a espacios ms generales y reconozca su importanciaen aplicaciones mas especificas. Adems, debe entender y manejar con propiedadlos distintos procedimientos que le permiten obtener una solucin del mismo (enel caso en que sea posible)


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5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALESEMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA

El objetivo es resolver un sistema de la forma bAX (con A de nn ), donde A esinvertible.

Partiendo del sistema bAX , podemos multiplicar a izquierda por 1A (Que existe,dado que A es invertible), con lo que nos queda:

bAAXA 11 Agrupando obtenemos

bAXAA 11 Simplificando bAXI 1 Finalmente

bAX1

La ultima afirmacin, nos indica que se A es de nn e invertible, entonces la solucin

del sistema lineal bAX , la encontramos de la forma bAX 1 .

Ejemplo

Dado el sistema lineal

17457

114

211032

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Determine si el sistema tiene solucin nica o no. De tener solucin nica, encuentre suinversa y sela para resolver el sistema.

Solucin

Para determinar si el sistema tiene solucin nica o no, debemos calcular sudeterminante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendr nicasolucin y adems la inversa de la matriz de coeficientes existir (y esta ser nica)

Encontremos el determinante:


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- 195 -

225

457

114

1032

DetA

Recordemos que tenemos dos procedimientos para hallar la inversa:

1. Empleando el mtodo de reduccin de Gauss- Jordn2. Empleando determinantes ( AdjA

AA *

det

11 )

Voy a emplear el mtodo de reduccin de Gauss- Jordn. Se deja al estudiante lainvitacin a realizarlo tambin por el otro mtodo.

12

1f

12 4 ff

13 7 ff 2

7

1f

212

3ff

232

11ff 3

225

14f


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Por lo tanto, dado que la matriz A pudo ser reducida (por medio de operacioneselementales) a la matriz identidad, se tiene que la matriz del lado derecho es la inversade A.Es decir,

225

14

225

11

25

3225

38

225

62

25

1225

13

225

38

25

1

1A

Finalmente, para obtener la solucin del sistema, consideramos la ecuacin bAX 1 .Donde,

17

11

21

b

Por tanto,

17

11

21

225

14

225

11

25

3225

38

225

62

25

1225

13

225

38

25

1

X

2

12

X

Es decir, la solucin es 2;1;2 321 xxx

3114

13ff

327

19ff


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- 198 -


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