iii.1.- prueba de hipotesis y errores fundamentos

Unidad III PRUEBA DE HIPÓTESIS Paquete Didáctico

GRUPO 401C 68

UNIDAD IIIPrueba

deHipótesis

Propósito

El alumno: Conoce y comprende los conceptos y características de la Prueba de Hipótesis con varianza real conocida Desarrolla los procedimientos y métodos para los problemas en Prueba de Hipótesis Estadística mas frecuente en el análisis de una población

Temática:

3.1 Hipótesis Estadística 3.1.1 Definición 3.1.2 Elementos que componen la Prueba Hipótesis Estadística.

3.2 Errores en una Prueba de Hipótesis, nivel de significancia

3.3 Prueba de Hipótesis para la media poblacional.

3.4 Prueba de Hipótesis para una proporción poblacional.


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Los Aprendizajes de esta unidad son:

El alumno:

1. Comprende que las hipótesis estadísticas sobre los parámetros pueden ser o no rechazadas.

2. Conoce los tipos de error que pueden cometerse con respecto a los supuestos hechos sobre un parámetro.

3. Identifica los elementos que intervienen en una prueba de hipótesis. 4. Determina y representa gráficamente la región de rechazo. 5. Aplica el procedimiento de la prueba de hipótesis para obtener información

suficiente que contribuya a tomar decisiones acerca del valor de un parámetro.

6. Explica los resultados obtenidos de una prueba de hipótesis.

7. Plantea y resuelve problemas de aplicación.

El que sabe, puede darse el lujo de opinar; pero el que no, debe callar.

Lo difícil es darse cuenta cuando no se sabe.


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Naturaleza de la prueba de hipótesis

Todo mundo toma decisiones en la vida diaria. Algunas de estas decisiones son de fundamental importancia y otras son aparentemente insignificantes. Todas las decisiones siguen el mismo patrón básico. Se ponderan las alternativas; luego con base en las convicciones y preferencias personales, y cuáles sean los hechos disponibles, se llega a una decisión y se emprende la acción idónea. La prueba de hipótesis sigue casi el mismo proceso, excepto que implica información estadística.

Ejemplo 3.1 Suponiendo que un amigo del CCH Oriente va a hacer una fiesta (con cualquier pretexto) a la que estas invitado. Debes tomar una decisión: ir o no ir. Decisión simple, buena tal vez, salvo que tu deseas asistir sólo si estas convencido de que la fiesta será más divertida que las reuniones clásicas se de tu amigo; además, definitivamente no quieres asistir si solo va a ser un desastre de fiesta. Tú has asumido la posición de que “la fiesta será un fracaso” y no asistirás a menos de que te convenzas de lo contrario. Tú amigo te asegura “¡la fiesta será un éxito!”. ¿Asistirás o no?

El proceso de toma de decisiones comienza con la identificación de algo de interés y luego con el planteamiento de dos hipótesis al respecto.

Hipótesis: Afirmación de que algo es verdadero.

La afirmación de tu amigo “¡La fiesta será un éxito!” es una hipótesis. Tú posición de que la “fiesta será un fracaso” también es una hipótesis.

3.1 Hipótesis Estadística 3.1.1 Definición

El objetivo de una prueba de hipótesis es comprobar si la afirmación que se hace sobre un parámetro poblacional, basándose en las conclusiones obtenidas para la misma conclusión es correcta o incorrecta. Una prueba estadística es una proporción que se hace sobre los parámetros de una distribución de probabilidad de una variable aleatoria. Dicha hipótesis puede ser verdadera o falsa, por lo que se puede aceptar o rechazar.

Prueba de Hipótesis Estadística Proceso que permite tomar una decisión entre dos hipótesis opuestas. Estas hipótesis se plantean de modo que una es la negación de la otra (de esta forma una de ellas siempre es verdadera y la otra siempre es falsa). Luego, una hipótesis se prueba con la esperanza de poder demostrar que su ocurrencia es muy improbable, implicándose así que la otra hipótesis es probablemente la verdadera.


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3.1.2 Elementos que componen la Prueba Hipótesis Estadística.

En una prueba de significación, se platean dos hipótesis excluyentes, la primera se le conoce con el nombre de Hipótesis nula que se denota por H0 y la segunda es llamada Hipótesis alterna que denotaremos por Ha. La hipótesis nula indica que la proposición es verdadera, mientras la hipótesis alterna indica la proposición es falsa.

Hipótesis Nula, 0HEs la hipótesis que se prueba. Por lo general, es una afirmación sobre un parámetro poblacional que tiene un valor específico. La hipótesis nula se denomina así por que es el “punto la investigación inicial” de la investigación (en su interpretación a menudo se usa la frase “no hay diferencia”).

Hipótesis Alternativa, aHEs la afirmación sobre el mismo parámetro de la población que se usa en la hipótesis nula. En general, es una afirmación que especifica que el parámetro de la población tiene un valor diferente, de alguna manera, del valor proporcionado en la hipótesis nula. El rechazo de la hipótesis nula implica la probable veracidad de la hipótesis alternativa.

Con respecto al ejemplo 3.1 de la fiesta de tu amigo, los dos puntos de vista o hipótesis opuestos son: “¡La fiesta será un éxito!” y la “fiesta será un fracaso” ¿Cuál afirmación se vuelve la hipótesis nula y cuál la alternativa?

Un paso muy importante es determinar las afirmaciones de la hipótesis nula y alternativa. La idea básica de la prueba de hipótesis es que los hechos tengan la

posibilidad de “refutar” la 0H . La hipótesis nula es la afirmación que podría ser refutada por los hechos. Su interés (convicción o resultado deseado), como la persona que realiza la prueba, se expresa en la hipótesis alternativa. Siendo tú quien toma la decisión, considera que los hechos demostrarán la factibilidad de su “teoría” al demostrar la improbabilidad de la veracidad de la hipótesis nula.

Algunas veces, la hipótesis alternativa se denomina Hipótesis de investigación, ya que representa lo que el investigador espera encontrar como “verdadero” (de ser así, el investigador publicará un artículo sobre la investigación). Debido a que “los hechos” (quien asiste a la fiesta, qué ofrecerá en ésta, etc.) sólo pueden demostrar la improbabilidad de que la reunión sea un fracaso, su postura inicial, “la fiesta será un fracaso” se convierte en la hipótesis nula. Así, la afirmación se amigo, “¡La fiesta será un éxito!” se vuelve una hipótesis alternativa.

0H : “la fiesta será un fracaso” contra.

aH : “¡La fiesta será un éxito!”


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Ejemplo 3.2 Se está probando un nuevo diseño de bolsas de aire, usadas en los automóviles, y se tiene interés en cuanto a que quizá no se abran de manera adecuada. Determina la hipótesis nula y alternativa.

Solución Las dos posibilidades opuestas son: “las bolsas se abren correctamente” o “las bolsas no abren correctamente”. La prueba sólo puede producir hechos que desacrediten la hipótesis:”las Bolsas se abren correctamente”. En consecuencia:

Hipótesis nula 0H : “se abren correctamente” Hipótesis alternativa aH : “no se abren correctamente”.

La hipótesis alternativa puede ser la afirmación que el investigador desea demostrar que es verdadera.

Ejemplo 3.3 Un ingeniero desea demostrar que la nueva fórmula que acaba desarrollar da por resultado una pintura que seca más rápido. Determina la hipótesis nula y alternativa.

Solución Las dos posibilidades opuestas son “seca más rápido” y “no seca más rápido”. Debido a que el ingeniero desea demostrar la afirmación que dice: “seca más rápido” y, por tanto,

aH : “la pintura elaborada con la nueva fórmula que seca más rápido”

0H : “la pintura elaborada con la nueva fórmula que no seca más rápido.”

Ocasionalmente, podría ser razonable esperar que los hechos no conduzcan al rechazo de la hipótesis nula. Éste es el caso del ejercicio 3.4.

Ejemplo 3.4 Suponiendo que un detergente de marca es mejor que otro que vende la tienda de la esquina y deseamos probar ambos productos porque preferiría comprar el detergente más barato, que es el que expende la tienda. Establece las hipótesis nula y alternativa.

Solución Tú sospecha, “el detergente de marca es mejor que el detergente que vende la tienda de la esquina” es la razón para realizar la prueba, por lo que se vuelve la hipótesis alternativa.

0H : “No hay diferencia en el desempeño de los detergentes”

aH : “El detergente de marca es mejor que el detergente que vende la tienda de la esquina.”


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Sin embargo, como consumidor, espera no rechazar la hipótesis nula por razones presupuestarias.

3.2 Errores en una Prueba de Hipótesis, nivel de significancia

En el proceso de emplear una muestra para tomar una decisión poblacional, contrastando dos hipótesis, se pueden cometer dos equivocaciones:

Decisión correcta de tipo A ocurre cuando la hipótesis nula es verdadera y se decide a su favor. Decisión correcta de tipo B ocurre cuando la hipótesis nula es falsa y la decisión es en oposición a la hipótesis nula. Error del tipo I. Se comete este cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera, es decir, cuando la hipótesis nula es verdadera pero se decide en contra de ella. Error del tipo II. Se comete cuando se acepta una hipótesis que por ser falsa debería ser rechazada.

Ejemplo 3.5 Describe los 4 resultados posibles y las acciones resultantes que ocurrirían para la prueba de hipótesis del ejercicio 3.4

Solución Recuerda que 0H : “No hay diferencia en el desempeño de los detergentes”

aH : “El detergente de marca es mejor que el detergente que vende la tienda de la esquina.”

La hipótesis nula es verdadera La hipótesis nula es falsa No

rechazar 0HDecisión correcta de tipo A Veracidad de la situación: No hay diferencia entre los detergentes. Conclusión:Se determino que no hay diferencia. Acción: El consumidor compra el detergente más barato, ahorra dinero y obtiene los mismos resultados

Error de tipo II Veracidad de la situación: El detergente de marca es mejor Conclusión:Se determinó que no hay diferencia Acción: El consumidor compra el detergente más barato, ahorra dinero, pero obtiene peores resultados.

Rechazar 0H Error de tipo I Veracidad de la situación: Non hay diferencia entre los detergentes. Conclusión:Se determinó que el detergente de marca es mejor. Acción: El consumidor compra el detergente de marca, gasta dinero extra sin obtener mejores resultados.

Decisión correcta de tipo B Veracidad de la situación: El detergente de marca es mejor Conclusión:Se determino que el detergente de marca es mejor Acción: El consumidor compra el detergente de marca, gasta más y obtiene mejores resultados.

Cuando se toma una decisión, sería agradable escoger siempre la opción correcta. Sin embargo, esto no es posible en estadística, ya que la decisión se toma con base en la información muestral. Lo mejor que puede esperarse es controlar la probabilidad con


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que ocurre un error. La probabilidad asignada al error de tipo I se denomina . La probabilidad del error de tipo II se denomina .

Tabla 3.1 Probabilidad con que ocurren las decisiones. Decisión incorrecta Tipo Probabilidad Decisión correcta Tipo Probabilidad

Se rechaza una 0Hverdadera

I No se rechaza una

0H verdadera

A 1

No se rechaza una

0H falsa

II Se rechaza una 0Hfalsa

B 1

Para controlar estos errores, a cada uno se le asigna una pequeña probabilidad. Los valores de probabilidad de mayor uso para (alfa) y (beta) son 0.01 y 0.05. La probabilidad asignada a cada error depende de la gravedad de éstos. Mientras más grave es un error, menos se desea que ocurra, y en consecuencia se le asigna una menor probabilidad. Alfa y beta son probabilidades de errores, cada una bajo condiciones separadas, y no pueden combinarse. Así, no es posible determinar una sola probabilidad para tomar una decisión incorrecta. De manera semejante, las dos decisiones correctas son distintas y ajenas, y cada una tiene su propia probabilidad; 1 es la probabilidad de tomar una decisión correcta cuando la hipótesis nula es verdadera, y 1 es la probabilidad de tomar decisión correcta cuando la hipótesis nula es falsa. A 1 se le denomina potencia de la prueba estadística, ya que mide la capacidad de una prueba de hipótesis para rechazar una hipótesis nula falsa, lo que es una característica muy importante.

Contrastes mediante la distribución normal Como se ve en la figura 3.1 podemos tener 95% de confianza de que si la hipótesis es verdadera, entonces el valor de z para un estadístico muestral S estará entre -1.96 y 1.96 (Por que el área bajo la curva normal entre esos valores es 0.95). Sin embargo, si al escoger una sola muestra al azar hallamos que el valor de z de un estadístico está fuera de ese rango, debemos concluir que tal suceso podría ocurrir con una probabilidad de sólo 0.05 (el área total sombreada en la figura) si la hipótesis dada fuera cierta. Diremos entonces que esta z difiere de forma significativa de lo que sería de esperar bajo la hipótesis, y nos veríamos empujados a rechazar la hipótesis.

z = -1.96 z = 1.96 Región de rechazo Región de Aceptación Región de rechazo Figura 3.1

0.095 Región crítica 0.025

Región crítica 0.025


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El área sombreada 0.05 es el nivel de significación del contraste. Representa la probabilidad de equivocarnos al rechazar la hipótesis (o sea, la probabilidad de un error de Tipo I). Así pues, decimos que la hipótesis se rechaza a un nivel de significación 0.05, o que el valor de z del estadístico muestral dado es significativo al nivel 0.05.

El conjunto de z fuera del rango – 1.96 a 1.96 se llama región crítica de la hipótesis región de rechazo de la hipótesis, o región de significación. El conjunto de z en el rango – 1.96 a 1.96 se conoce como región de aceptación de la hipótesis o región de no significación. Basados en las anteriores observaciones, podemos formular la siguiente regla de decisión (o contraste de hipótesis o significación):

Regla de decisión a) Si la estadística de prueba cae dentro de la región crítica, se rechaza 0H (el

valor crítico forma parte de dicha región). b) Si la estadística de prueba está en la región no crítica, no rechaza 0H .

Rechazar la hipótesis al nivel de significación 0.05 si el valor de z para el estadístico S está fuera del rango – 1.96 a 1.96 (o si z >1.96 0 z<-1.96). Esto equivale a decir que el estadístico muestral observado es significativo al nivel 0.05

Aceptar la hipótesis en caso contrario (o, si se desea, no tomar decisión alguna). Dado que z juega tan importante papel en el contraste de hipótesis, se le llama un estadístico de contraste.

Hay que hacer notar que se utiliza también otro nivel de significación. Por ejemplo, si se usa el nivel 0.01, debe sustituirse el 1.96 de antes por 2.58, es conveniente apoyarse en la tabla 2.2 de la unidad II.

Nivel de Confianza 99.73% 99% 98% 96% 95.45% 95% 90% 80% 75% 68.27% 50%

Valores críticos

cz 3 2.58 2.33 2.05 2 1.96 1.645 1.28 1.15 1 0.67450.0027 0.01 0.02 0.04 0.0455 0.05 0.10 0.20 0.25 0.3173 0.5

Tabla 2.2 Algunos Niveles de confianza que se utilizan en la práctica.


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Problemas que deberán resolver los alumnos

Ejercicios 3.1 1. Escribe la hipótesis nula y alternativa para cada una de las situaciones:

a) Se está investigando una queja de que “la entrega especial por correo tarda mucho” en llegar al destinatario.

b) Quiere demostrarse que las personas encuentran el nuevo diseño de una mecedora más cómoda que la anterior.

c) Quiere demostrarse que fumar afecta la calidad de vida de una persona. d) Se está probando una nueva fórmula de acondicionador de cabello,

esperando demostrar que es efectiva contra la orzuela.

2. Al revisar un paracaídas, el inspector busca cualquier indicio de que el paracaídas no pudiera abrirse.

a) Escribe las hipótesis nula y alternativa. b) Describe los cuatro resultados posibles que puedan obtenerse, dependiendo de

la veracidad de la hipótesis nula y la decisión tomada. c) Describe la gravedad de los dos errores posibles.

3. Cuando una doctora en la escena de un accidente grave revisa a cada víctima, administra asistencia médica idónea a todos los lesionados, a menos que esté segura de que alguna persona haya fallecido.

a) Escriba las hipótesis nula y alternativa. b) Describa los cuatro resultados posibles que pueden obtenerse, dependiendo de

la veracidad de la hipótesis nula y la decisión tomada. c) Describe la gravedad de los dos errores posibles.

4. Describe la acción que resultaría en un error de tipo I y en un error de tipo II si se prueba cada una de las siguientes hipótesis nulas (recuerda que la hipótesis alternativa es la negación de la hipótesis nula)

a) 0H : La mayoría de los canadienses favorece las leyes contra las armas de asalto.

b) 0H : Este menú de comida rápida no es bajo en sal.

c) 0H : No hay desperdicio en el gasto gubernamental.


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5. a) Si la hipótesis nula es verdadera, ¿qué error de decisión podría cometerse? b) Si la hipótesis nula es falsa, ¿qué error de decisión podría cometerse?

c) Si se toma la decisión de “rechazar 0H ”, ¿Qué error de decisión podría haberse cometido?

d) Si se toma la decisión de “no rechazar 0H ”, ¿Qué error de decisión podría haberse cometido?

6. La directora de una agencia de publicidad está preocupada sobre la eficacia de un comercial de televisión.

a) ¿Qué hipótesis está probando si comete un error de tipo I cuando erróneamente afirma que el comercial es eficaz?

b) ¿Qué hipótesis está probando si comete un error de tipo II cuando erróneamente afirma que el comercial es eficaz?


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Enfoque del valor- probabilidad.

La ley de tricotomía del álgebra establece que la relación entre dos valores numéricos debe cumplir una de las tres condiciones siguientes: <, =, o >. Estas tres posibilidades deben tomarse en cuenta entre las dos hipótesis opuestas a fin de que éstas sean negaciones mutuas. Las tres combinaciones posibles de signos e hipótesis se muestran en la tabla 3.2. Recuerda que la hipótesis nula asigna un valor específico al parámetro en cuestión y por lo tanto “igual”, siempre forma parte de dicha hipótesis.

Tabla 3.2 Las tres afirmaciones de las hipótesis nula y alternativa

Hipótesis nula 1. mayor que o igual a ( )2.menor que o igual a ( )3. igual a ( = )

Hipótesis alternativa 1. menor que (<) 2. mayor que (>) 3. no es igual a ( )

La hipótesis nula debe escribirse sólo con el signo igual (“se asigna un valor”). Cuando “igual” se junta con “menor que” o con “mayor que”, el signo combinado se escribe al lado de la hipótesis nula como recordatorio de que los tres signos han sido tomados en cuenta para escribir estas dos afirmaciones opuestas.

Detalles importantes: 1. La hipótesis nula especifica un valor particular de un parámetro de la población. 2. La hipótesis alternativa puede asumir tres formas. Cada una de ellas determina

una ubicación específica de la(s) región (regiones) crítica(s), como se muestra en la tabla 3.3.

3. Para muchas pruebas de hipótesis, el signo aH “apunta” en la dirección en que está localizada la región crítica. (piensa en el signo de desigualdad como si fuese al mismo tiempo menor que < y mayor que >, apuntando así en ambas direcciones.)

Signo en la hipótesis alternativa

< >

Región crítica Una región lado izquierdo prueba de una cola

Dos regiones La mitad a cada lado Prueba de dos colas

Una región Lado derecho Prueba de una cola.

Tabla 3.3 La hipótesis alternativa puede asumir tres formas

El valor asignado a , se le denomina nivel de significancia de la prueba de hipótesis. Alfa no puede interpretarse más que como el riesgo (o probabilidad) de rechazar la hipótesis nula cuando realmente es verdadera. Raras veces es posible determinar si la

hipótesis nula es falsa o verdadera; sólo se decide “rechazar 0H ” o “no rechazar 0H ”.La frecuencia relativa con que se rechaza una hipótesis verdadera es , aunque nunca se llega a saber el valor de la primera con que se comete un error de decisión. Los dos conceptos son bastante diferentes; es decir, un error de tipo I y de decisión son dos cosas distintas.

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