Profesora Martha Guisela Gaitn Garavito 20151 Universidad de San Carlos Facultad de Ingeniera rea de Estadstica Anlisis Probabilstico, seccin A M dul Cmprbaci n de hip tesis Introduccin Una hiptesis es un supuesto que se hace respecto a alguna caracterstica de una poblacin. Lacontrastacindehiptesisesunprocedimientoestadsticocuyoobjetivoesdeterminar cuando es razonableconcluir, a partir del anlisis de una muestra, que la poblacin posee determinadapropiedadoparmetrosupuestoycuandonoesrazonablellegaraesa conclusin. En este mdulo se presentan los conceptos fundamentales y los procedimientos estadsticosparaprobarhiptesisrelacionadosconlosparmetros:media,varianzayproporcinde xitos referidos a una poblacin. Objetivos Al finalizar el mdulo el lector estar en capacidad de: -Formular la hiptesis nula y alternativa de un problema dado. -Identificarlaaplicacindecadaunodelosprocedimientosdepruebadehiptesis expuestos. -Interpretar el trmino significancia. -Definir el error tipo 1 y el error tipo 2. -Ensituacionesparticulares,evaluarlaimportanciadelosriesgosdehacerfalsas decisiones. -Comprobar con el procedimiento adecuado la hiptesis nula a determinado nivel de significancia. -Considerando los errores tipo 1 y tipo 2 calcular el tamao de muestra para efectuar una prueba de hiptesis. Hiptesis Esunateoratentativaosuposicinadoptadapreviamenteparaexplicarciertoshechosy guiar una investigacin. Es una aseveracin o conjetura relacionada con el comportamiento de una o ms poblaciones. Profesora Martha Guisela Gaitn Garavito 20152 Es un enunciado que se hace acerca de una caracterstica de la poblacin. Por ejemplo: Suponga que un investigador llevaa cabo un estudio para identificar diferenciasentre dos tiposdesellantesparatuberas,unenunciadopreliminarloplantearadelasiguiente forma: hay diferencia entre los dos tipos de sellantes. Para sealarque caracterstica hace ladiferenciaseleccionarunavariableX,eltiempodesecadodelsellante,formulandola hiptesis: un sellante A ofrece mayor tiempo de secado que un sellante B.As la hiptesishace un supuesto sobre una caracterstica de las poblaciones, el tiempo de secado de los sellantes. Hiptesis nula y alternativa La hiptesis nula Ho est fundamentada en la teora o principio supuestoy establece que la diferencia entre el resultado de la muestra y la teora no es significativa sino debida al azar. Enelejemplo,elinvestigadortienecomoantecedentequeeltiempodesecadoparaun sellanteesconsideradaaceptablesiesaloms4minutos,ydeseacomprobarqueel sellanteAtieneuntiempodesecadosuperioralaceptable.Apesarqueplaneaqueel sellante A tiene un mayor tiempo de secado, la hiptesis nulala planteara como: el tiempo de secado del sellante A es elaceptable yla diferencia que pueda aparecer al estudiar una muestradeestesellantesedebealazaryaqueeltiempodesecadoesunavariable aleatoria. Hiptesis alternativa H1 es una suposicin que contradice la hiptesis nula, implica que las variaciones entre el resultado de la muestra y la teorason significativas es decir que no se debe al azar sino a algn o algunos factores determinantes. En el ejemplo se planteara que el tiempo de secado es mayor que el aceptable. Cualquieraqueseaelplanteamientoconceptualdelashiptesisesrequisito,para contratarlasestadsticamente,questasseestablezcancomosupuestossobrelos parmetros de una variable.En los planteamientos anteriores, las hiptesisestn dadas en funcin del tiempo de secado de un sellante, sin embargo para comprobar que unade ellas es cierta se deben representar enfuncindeunparmetroquedescribalavariabletiempodesecado,estepuedeserel promedio del tiempo de secado de los sellantes que es una medida que representa a toda la poblacin. Las hiptesisque se refieren a parmetros puede clasificarse en: Profesora Martha Guisela Gaitn Garavito 20153 Hiptesis simples cuando se asigna un valor al parmetro por ejemplo, el tiempo promedio de secado del sellante A es de 5.5 aos,el tiempo promediode secado del sellante B es 4.2 aos.Hiptesiscompuesta,cuandoseasignaunconjuntodevaloresposiblesalparmetro,el tiempopromediodesecadodelsellanteAesmenorque5aos,eltiempopromediode secado del sellante B es mayor o igual a 5 aos. Para el contraste es necesario que hiptesis la nula se plantee como una hiptesis simple y la alternativa como una hiptesis compuesta. En el ejemplo Ho: = 3.5 y H1: >3.5Comprobacin de hiptesisEsunprocedimientoformalqueutilizalosinvestigadoresparaprobarlasteoras propuestas,enstesesuponequelosresultadosdelexperimento,omuestreo,estnde acuerdo a cierto modelo o teoray que las variaciones que se presenten entre el parmetro hipottico y el estadstico resultante son debidas al azar. Para llevar a cabo la comprobacin delahiptesissetomaunamuestradeloselementodelapoblacin,calculandoun estadstico y se determina a partir de l si los resultados son consistentes o imposibles con la hiptesis nula planteada lo que implicala aceptacin o el rechazo de la hiptesis.Tomando en cuenta que el resultadode la muestra, valor del estadstico, puede variar por causa al azar o significativa, la prueba consiste en establecer, si Ho es cierta, el conjunto de posiblesvaloresdelestadsticoyhacerenesteconjuntounaparticindedosregiones ReginCrticayRegindeAceptacin,esdecirseidentificaunaparticinderesultados deformaquemarqueloslmitesenteloprobable(variacionesalazar)yloimposible (variacionessignificativasdelcomportamientomuestral)delconjuntoderesultadosdel estadstico.Estoslmitesquedandeterminadosporelniveldesignificanciao,queesla probabilidadsuficientementepequeadeque,silahiptesisnulaesverdadera,el estadstico tenga un valor dentro de cierto intervalo marcado como regin de rechazo.Prueba de hiptesis para la media de una poblacin normal con varianza conocida Las pruebas de hiptesispara muestras de poblaciones normales, se basan en el anlisis del comportamientodelestadsticomediaaritmticadelamuestraysudistribucinmuestral. A continuacin se presenta el razonamiento de la prueba. Se lleva a cabo una investigacin para identificar el precio medio cargado a cierto servicio, se considera que el precio justo es de $10.Profesora Martha Guisela Gaitn Garavito 20154 Planteamiento de la hiptesis Yaqueelproblemaserefierealpreciopromediodelservicio,lashiptesisdeben relacionarseconeseparmetro,elpreciomediodetodoslosserviciosdeesetipo prestados a los clientes. La hiptesis nula debe planearse congruente con cierta teora. El precio justo promedio es $10Ho: = 10 Lahiptesisalternativadebecontradecirlahiptesisnulaypuedeseleccionarseentre: H1 10H1: < 10 H1: >10 Las dos ltimas conducen a una prueba unilateral y la primera a una prueba bilateral 1.Seleccin del estadstico de prueba: al ser una prueba relacionada con el parmetro promedio,elestadsticoserelpromedioaritmticodelamuestra.Hayque recordar que al trabajar con la distribucin normal es prctico usar la transformacin Z.comoladistribucinmuestraldemedias,convarianzaconocidapuede representarse por la distribucin normal, el estadstico de prueba se transformar a ZZ= ( ()/ o ( ) 2.Delimitar las reas de aceptacin y rechazo SupongaqueseseleccionalahiptesisalternativaH1:>10conunnivelde significancia deo= 5%.Se delimitan las reasde aceptaciny rechazode acuerdo a un ensayo unilateral a la derechaObserve que si la hiptesisnula es cierta existe una probabilidad de 5%que la media de la muestra sea superior a cy existe una probabilidad del 95%de que el valor de la media sea menor que c. El valor c que separa las dos regiones se llama valor crtico del estadstico En normal estndar c 5% Rechazo de HoAceptacin de Ho Profesora Martha Guisela Gaitn Garavito 20155 ElvalordeZcsedenominavalordezcrticoylimitatambinlasreasde aceptacin y rechazo en la distribucin normal estndar. Elcriteriodedecisinpuedeestablecerseenestadistribucinas:sila transformacin Z del estadstico es menor que Zc se acepta la hiptesis nula porque los resultados son consistentes con la teoraque sustenta la Ho, si el valor de Z es mayorqueZcserechazalahiptesisnulaporqueexistediferenciasignificativa ente el resultado del estadstico y la teora presentada, la muestra presenta resultados poco probable si la variaciones fueran debidas al azar. 3.Si en el problema se sabe que la desviacin estndar poblacional es $6, al tomar una muestra de 64 servicios de ese tipoque revela un precio promedio de $12 la prueba se efecta de la siguiente forma:Z= (12-10) / 6 64 = 2.66 4.Con el 5% de nivel de significancia Zces 1.645, el valor del estadstico de prueba, 2.66, es mayor que Zcpor lo que est situado en el rea de rechazoy se concluye quenohayevidenciaparaaceptarlahiptesisnula,sistafueracierta,la probabilidad de que el estadstico tenga un valor mayor o igual a2.66 es 0.003que es menor que el nivel de significancia fijado. El valor p de la prueba es 0.003. 5.Despusdeefectuadalapruebasepuedeconcluirquelamuestraevidenciaqueel pecio promedio del servicio es superior al justo de $10 Observaciones.Sialplantearlapruebasehubieraseleccionadocualquieradelas otras opciones de H1 la delimitacin de rea sera; si H1: < 10 Si H1: 10 Zc= 1.645 zc 5% 5% Rechazo de Ho Aceptacinde Ho Profesora Martha Guisela Gaitn Garavito 20156 Elrazonamientoexpuestoanteriormenteparaprobarunahiptesisdemediasse puede resumir de la forma siguiente: a.Aclararqu es lo que se pretende probar con el contraste de la hiptesis. b.Aceptando que se ha hecho un enunciado claro del problema y del objetivo de lapruebaexpresarlahiptesisnulayalternativaentrminoscuantitativosen funcin de algn parmetro dela poblacin involucrada en el estudio.c.Elegir un nivel de significancia d.Seleccionarelmtododepruebatomandoenconsideracinlascondicionesen las que se realiza la investigacin y los supuestos tericos que las sustentan. e.Planificar la realizacin del experimento o procedimiento para la recoleccin de la informacin, seleccionando el tamao de muestra adecuado para el mtodo deprueba seleccionado. f.Realizar el experimento y calcular los estadsticos. g.Efectuar el contraste de la hiptesis. h.Concluirconlainformacindadaporlapruebaydeacuerdoalproblema planteado. Otros procedimientos de prueba de hiptesis Existensituacionesdondelascondicionesdelapoblacinexpuestasenlapruebade medias con varianza conocida no son pertinentes, tambin hay problemas que se relacionan a parmetros diferentes a la media, por lo que es necesario plantear nuevos estadsticos de prueba. La tabla siguiente presenta lo diferentes estadsticos y las condiciones en las que se pueden utilizar para efectuar una prueba de hiptesis. HoEstadsticoCondicinEstadstico de pruebaDistribucinH1rea de rechazo ,= oPoblaciones con varianza conocida y aplicableen el caso de desconocer o y estimarla a partir de S y a poblaciones no normales, siempre que le muestra sea al menos 30 Z= (- )/ (o/)Normal estndar , > o ,< o . o Z>Zc Z >Zc Z Zc zc -zc 2.5%2.5% Profesora Martha Guisela Gaitn Garavito 20157 ,= oPoblacin normal con varianza desconocida y estimada por S , t=( -) /(s/) T de student con n-1 grados de libertad , > o ,< o . o ,t>tc .t30 Z=(P-po)/( (1)

) Normal estndar ,p < po ,p>po ,ppo Z < Zc Z >Zc ZZc EJEMPLOS PRUEBAS DE HIPOTESIS Unaempresa estinteresadaenlanzarunnuevo producto al mercado.Trasrealizaruna campaa publicitaria, se toma la muestra de 1 000 habitantes, de los cuales, 25 no conocan el producto. A un nivel de significacin del 1% apoya el estudio las siguientes hiptesis? a. Ms del 3% de la poblacin no conoce el nuevo producto. b. Menos del 2% de la poblacin no conoce el nuevo producto Datos: n = 1000 x = 25 Donde: x = ocurrencias n = observaciones = proporcin de la muestra = proporcin propuesta Solucin: a) Profesora Martha Guisela Gaitn Garavito 20158 o = 0,01 H0 es aceptada, ya que zde prueba (-0,93) es menor que zdel nivel de significancia ( de tabla2,326),porloquenoesciertoquemsdel3%delapoblacinnoconoceelnuevo producto. b) o = 0,01 Hoesaceptada,yaquezprueba(1,13)esmayorqueztabla-(2,326),porloquenose puede concluir que menos del2% de la poblacin no conoce el nuevo producto. Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca de relojes caen por debajodelas170,000unidadesmensuales,seconsideraraznsuficienteparalanzar una campaa publicitaria que active las ventas de esta marca. Para conocer la evolucin de lasventas,eldepartamentode marketing realizauna encuesta a51establecimientos autorizados, seleccionados aleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas del ltimo mes en relojes de esta marca. A partir de estas cifras se obtienen los siguientes resultados: media = 169.411,8unidades.,desviacinestndar=32.827,5unidades;conunnivelde significacindel5%yenvistaalasituacinreflejadaenlos datos.Seconsiderar oportuno lanzar una nueva campaa publicitaria? Datos: n = 51 Profesora Martha Guisela Gaitn Garavito 20159 S= 32827.5 Por ser la muestra grande se utiliza la prueba Z con la desviacin estndar estimada por la S, esto es o se sustituye por S Solucin: H0: = 170000 H1: < 170000 o = 0,05z de talba -1.645 No es posible rechazar Ho, porque z prueba (-0,12) es mayor que z tabla -(1,645). Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de ventasrealizan40visitasaprofesoresporsemana.Variosdeestosrepresentantespiensan querealizanunnmerodevisitaspromediosuperiora40.Unamuestratomadaalazar durante 8 semanas revel un promedio de 42 visitas semanales y una desviacin estndar de 2 visitas. Suponiendo que las visitas semanales se distribuyen normalmente, utilice un nivel de significancia de 0.5% para aclarar esta cuestin. Datos: = 40 n = 8 Nivel de confianza del 99% Nivel de significacin0,5% = 0,005 Solucin: H0: = 40 H1: > 40 Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7 o = 0,005 Profesora Martha Guisela Gaitn Garavito 201510 Hoesaceptada,yaquetprueba(2,83)esmenorquettabla(3,499),porloquenoes acertado pensar que estn realizando un nmero de visitas promedio superior a 40. Riesgos de hacer falsas decisiones Cuando se toma la decisin de rechazar o no rechazar una hiptesisnula se corre el riesgo de cometer uno de los siguientes errores Errortipo1:rechazarlahiptesisnulacuandoesverdadera,estligadoalplanteamiento de la Ho yal nivel de significanciael querepresenta una probabilidad lo suficientemente pequeaquesilahiptesisnulaesverdadera,lamuestrapresenteunestadsticoconun valor significativamente diferente de al parmetro planteado en ella, por ocurrir este hecho pocoprobable,peroposible,laHodebeserrechazada,sinembargoladecisinest equivocada. Por ejemplo en la hiptesis para la media de una poblacin normal con varianza conocida, si Ho es = o y la alternativa > o Hoserechazasielestadsticoesmayorquec,estoes,serechazaporqueunvalorde mayorquec,estenunarangodevaloresqueespocoprobable(o%probable)que ocurrasiHoesverdadera,peronoimposible,porlotantoalrechazarlasepuedeestar cometiendo el error tipo 1. o es la probabilidad de rechazar una hiptesis nula cuando es verdadera, es la probabilidad de cometer el error tipo 1 que se fija previo a la realizacin del experimento. Error tipo 2 aceptar la hiptesis nula cuando es falsa. El error tipo 2 est ligado con el planteamiento de la hiptesis alternativa, pues cuandoHo esfalso,elverdaderovalordelparmetroseencuentracontenidoenelintervaloqueH1 representa.La magnitud del error tipo 2 se representa por |y es la probabilidad de que el estadstico muestre un valor consistente con Ho a pesar que es falsa.Enelejemplo,suponiendoqueHoesfalsa,quelaverdaderamediaes1(1> o) entoncessielestadsticotieneunvalormenorquec,Honoserechaza,porlareglade decisindelaprueba,sinembargoelestadsticoeselresultadodelaobservacin Profesora Martha Guisela Gaitn Garavito 201511 aleatoria de la distribucin de la poblacin centrada en1.La probabilidad de que de una poblacin con media 1 presente un valor menor que c es |%y representa la probabilidad de cometer el error tipo 2 cuando la media verdadera es 1. PorpresentarunvalormenorquecnoserechazaHoperoesfalsa,entoncesseest cometiendo el error tipo 2 |eslaprobabilidad,conformealaregladedecisindelaprueba,deaceptarlahiptesis nulacuandoenrealidadesfalsa,eslaprobabilidaddecometerelerrortipo2.Como complementode|seencuentralapotenciadelaprueba,queeslaprobabilidadde rechazar la hiptesis nula cuando es falsa, esto es 1-|. | vara dependiendo del verdadero valor del parmetro, si H1 es una hiptesis compuesta | va a existir para cada posible valor que est conforme a ese criterio Ho verdaderaHo falsa Se acepta HoDecisin correctaError tipo 2 Se rechaza HoError tipo 1Decisin correcta

Fuente: M. Mrques (2005) Clculo de la probabilidad del error tipo 2 (b) y de la potencia de la pruebahttp://colposfesz.galeon.com/inferencia/teoria/cap3-13.htm Por ejemplo Los salarios por hora que se pagan en un sector de la industria tiene una distribucin normal con media 13.2 $ y una desviacin estndar de 2.5$ Unacompaapertenecienteaesesectorempelaa40trabajadores,sisedeseaprobarla hiptesisdequelacompaapagasalariosinferioresasusempleados,planteeel procedimiento de prueba. Datosn = 40= 13.2$ o = 2.5$ nivel de significanciao= 1%Z= -2,33 HiptesisHo: = 13.2$H: < 13.2$ Profesora Martha Guisela Gaitn Garavito 201512 Distribucin muestral () = 13.2 $ o() = 2.5 / 40 = 0.3950$ Delimitacin del rea crticaC = 13.2 2.33 (0.3953) = 12.279$ SiHoesverdaderaexisteunaprobabilidadde99%dequelamediadelamuestrasea superior a 12.179 y el 1% de probabilidad de que sea inferior a 12.279. Segn la regla de decisin, si la media de la muestra es inferir a 12.279 se concluye que hay evidenciaparasuponerquelacompaapagasalariosinferiores,quela(mediadela poblacinalaquepertenecelamuestra)esmenorque13.2,peronosetienelacertezaal tomar esta decisin, se puede cometer un error al llegar a esta conclusinpor el hecho de quelamuestrapresentaunresultadopocoprobableparasercongruenteconlateora planteada en Ho. Se puede cometer el error tipo 1. La probabilidad de cometer ese error es o = 1%. Por otra parte si la verdadera media fuera 12.95$existe la posibilidad de no advertirlo y se aceptequelamediaes13.20,laprobabilidaddeestehechoeslaprobabilidaddequela media de la muestra sea superior a 12.279 dado que la verdadera media de la poblacin a la que pertenece la muestra es 12.95, es la probabilidad de cometer el error tipo 2 cuando la media es 12.95,el que se identifica momo |. P ( > 12.279/ = 12.95) = P (Z>12.27912.950.3953 )=P (z > - 1.697) = 1- 0.044= 0.9554 Ahorasupongaquelaverdaderamediaes12$,tambinexistelaposibilidaddeno advertirlo porque la media de la muestra es mayor que 12.279, en este caso P( > 12.279/ = 12 ) es P(Z > 12.27912.0.3953 ) = P( Z > 0.706) = 1- 0.7598 = 0.2401, que es la probabilidad de cometer el errortipo 2 cuando la media verdadera es 12$ Elclculodelaprobabilidaddelerrortipo2puedeefectuarseparatodoslosposibles valores de m que se incluyen en el rango que establece la H1: < 13.2$ Algunas observaciones sobre los errores Loserrorestipo1ytipo2estnrelacionados,undecrementoenlaprobabilidadde ocurrencia de uno de ellos conduce a un incremento en la probabilidad del otro. 13.2 12.95 12.279 Profesora Martha Guisela Gaitn Garavito 201513 Unincrementoeneltamaodelamuestradelexperimentoreducesimultneamentela probabilidad de ocurrencia de los dos errores Si la hiptesis nula es falsa, entonces | se hace mxima a medida que el valor verdadero del parmetroseaproximaalvalorhipottico.Mientrasmsgrandeesladistanciaentrelos valores: hipottico, planteado en la Ho y el verdadero,| es ms pequea. El investigador es el responsable de fijar o y | dndole la importancia que merece cada uno de los errores de acuerdo a la naturaleza del experimento. Eleccin del tamao de la muestra Paracontrolarlamagnituddeloserrorestipo1ytipo2esnecesarioutilizarenel experimento el tamao de muestra apropiado. Losprocedimientosdeclculodetamaodemuestraapropiadospararealizarpruebasde medias y proporciones sepresentan a continuacin. a.Hiptesis relacionadas con la media de una poblacinHo: = o H1 : > o Niveldesignificanciaoyunapotenciadelaprueba,cuandoelverdaderovalorde difiere del hipottico o en o, de(1-|) , = (() +())2 2

2 Z(a) y Z(b) son los valores de la variable normal estndar con o y (1-|) rea acumuladas Por ejemplo Supongaquesedeseaprobarlahiptesisqueelpesodeunproductoes68kgconla alternativadequeesmayora68kg;utilizandounniveldesignificanciade5%y conociendo que la desviacin estndar de los peso es 5Kg. Entonceseltamaodemuestrarequeridoparaquelapruebatengaunapotenciadel 90% cuando la verdadera media del peso sea 69 kg es o = (68-69)2 = 1 Z(a) = 1.645 Z(b) = 1.28 Profesora Martha Guisela Gaitn Garavito 201514 ,n = (1.645+1.28)2*25/1 = 213.16 El tamao de muestra adecuado es de 214 productos b.Hiptesis relacionadas con la proporcin de xitos de una poblacinHo: p = po H1 : p> po Niveldesignificanciaoyunapotenciadelaprueba,cuandoelverdaderovalordep difiere del hipottico po en o, de(1-|), asi p = po+o= p1 , = (()(1 ) + ()1(1 1))^2(1 )^2 EJERCICIOS:1.Pruebelahiptesisdequeelcontenidopromediodelosenvasesdeunlubricante especificoesde10litrossiloscontenidosdeunamuestraaleatoriade10envases son: 10.210.110.19.910.3 9.710.39.810.49.8 2.Se desarrolla una nuevacura paracierto tipo decemento que tiene como resultado uncoeficientedecompresinde5000kg/cm2yunadesviacinde120kg/cm2, pruebelahiptesisqueelcoeficientedecompresinesmenora5000kg/cm2y encuentre la probabilidad de esta. Con una muestra de n=50 piezas de cemento y un coeficiente de compresin de 4970 kg/cm2. Utilice un nivel de significancia del 2%. 3.Supongaqueenelpasado40%detodoslosadultosfavorecanlapenacapital. Tenemos razn para creer que la proporcin de adultos que actualmente favorecen lapenacapitalhaaumentosienunamuestrade15adultos8estnafavordela pena capital utilice un nivel de significancia de 5%.