homotecia nº 5-2009 - servicio.bc.uc.edu.veservicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2009/5-2009.pdf ·...

EDITORIAL En la editorial de HOMOTECIA Nº 7–Año 6 (01-07-2008) hicimos referencia a la ocurrencia en las instalaciones del Campus Bárbula de la Universidad de Carabobo, de hechos graves, llenos de violencia y de carácter delictivo; y afirmamos en esa oportunidad que estos hechos posiblemente habían ocurrido por la facilidad que se origina del impedimento que tienen las fuerzas públicas de seguridad, a acceder a las instalaciones universitarias, consecuencia de las series de garantías que ofrece a los universitarios y a la institución nuestra apreciada autonomía en cuanto a la inviolabilidad de su área. Pero estas conductas se mantuvieron dentro del recinto y su entorno, y así como la universidad continuó su accionar de hacer academia y ayudar a construir el país, paralelamente un sub mundo funcionaba en los espacios universitarios, donde un grupo minoritario de estudiantes o no, que utilizando como normas la violencia y la agresión, usufructuaba para su beneficio económico estos espacios a los cuales su naturaleza los tiene predestinados para el crecimiento de los conocimientos y del saber, pero que ellos los convirtieron en tierra sin ley. Afirmamos también en el citado editorial que si estos hechos no eran controlados y seguía sucediendo esta ola de delitos, nuestras autoridades se verían obligadas a dejar sin efecto dicha autonomía y permitir la entrada de las fuerzas públicas. Pues bien, el día 25 de marzo de 2009 se realizó la primera vuelta de elecciones de los nuevos decanos en las distintas facultades ucistas. Días previos, se corrieron rumores que los violentos conformadores del sub mundo paralelo amenazaron a las autoridades universitarias de alterar el orden del proceso electoral hasta suspenderlo si no se satisfacían sus requerimientos económicos, es decir exigían el pago por “peajes”, “protección” y “vacunas”. Lo que parece claro fue que las autoridades se negaron a aceptar tal solicitud, y aunque ésta no se hizo pública, sí se pudo leer en prensa que intentaron hacer sus mejores esfuerzos para tomar las más adecuadas medidas de seguridad y así anular cualquier acción delictiva de estos antisociales, enemigos de la universidad. Pero no hubo medida que valiera, ese día 25 en la tarde noche, cuando ya la comunidad ucista se preparaba para celebrar el final de esa fiesta democrática que constituye la elección y renovación de sus decanos, se arremetió contra las mesas electorales de varias facultades, se produjo un intenso tiroteo, y en medio de la trifulca un violento del sub mundo extinguió para siempre la luz del Bachiller Luis Alberto Vásquez Blanco. Y ya las autoridades no tuvieron más alternativas: hubo que permitir el acceso a las fuerzas públicas de seguridad y aparentemente, por lo que se ha leído en la prensa regional, además de investigar sobre el asesinato de Luis Alberto, aprovecharon para hacer averiguaciones sobre otros hechos. Lamentablemente, como afirmaba una conocida profesora, tuvo que ocurrir esta desgracia para que nuestras autoridades universitarias tuvieran una razón irrefutable para, ayudadas por los organismos policiales, tratar de erradicar de nuestra institución esta enfermedad: La inseguridad provocada por la violencia y la agresión.

REFLEXIONES “Es cierto que nuestras vidas son como llamas y algún día se apagarán, pero dejen que sea la propia naturaleza quien decida cuando”.

R. A. H.

RReevviissttaa HHOOMMOOTTEECCIIAA PPuubblliiccaaddoo ppoorr::

CCÁÁTTEEDDRRAA DDEE CCÁÁLLCCUULLOO

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA YY FFÍÍSSIICCAA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

UNIVERSIDAD DE CARABOBO

COORDINADORES DE PUBLICACIÓN

Prof. Rafael Ascanio H. Prof. Próspero González M.

PPaaffnnuuttii CChheebbyysshhoovv

“Chebyshev” Pafnuti Lvóvich Chebyshov, matemático cuyo nombre en ruso se escribe Пафнутий Львович Чебышёв, nació el 26 de mayo de 1821 y murió el 8 de diciembre de 1894. Su nombre se translitera también como Tchebychev, Tchebycheff, Tschebyscheff, Čebišev o Chebyshev.

PAFNUTI LVÓVICH CHEBYSHOV

(1821-1894)

Primeros años.

Uno entre nueve hermanos, nació en el pueblo de Okatovo, en el distrito de Borovsk, provincia de Kaluga. Su padre era el rico terrateniente Lev Pávlovich Chebyshov. Pafnuti Lvóvich recibió su educación primaria en su casa, de su madre Agrafena Ivánovna Chebyshova (lectura y escritura) y de su prima Avdotia Kvintiliánovna Sujareva (francés y aritmética). Su profesora de música jugó también un papel importante en la educación de Chebyshov, ya que "llevó su mente a la exactitud y el análisis", según mencionó el propio Chebyshov.

Es posible que durante su adolescencia y desarrollo, fuera de importancia una minusvalía física, cuyas razones son desconocidas: cojeó desde su niñez y caminaba ayudado por un bastón. Por tanto sus padres desistieron de la idea de hacer de él carrera como oficial, aunque él hubiera seguido la tradición de la familia. Su impedimento le alejó de la mayoría de los juegos infantiles, así que muy pronto se dedicó a una pasión que determinaría el resto de su vida: la construcción de mecanismos.

En 1832 la familia se trasladó a Moscú principalmente por razón de la educación de sus hijos mayores (Pafnuti y Pavel, que serían abogados). La educación continuó en el hogar, siendo contratado como profesor de matemática y física P.N. Pogorelski, tenido por uno de los mejores maestros de Moscú, y que había educado, entre otros, al escritor Iván Turgénev. Para las otras materias se invitaron también a maestros de excelente reputación.

Estudios universitarios.

Chebyshov pasó los exámenes de admisión el verano de 1837 y en septiembre comenzó los estudios de matemática en el segundo departamento filosófico de la universidad de Moscú. Entre sus profesores se contaron Nikolái Brashman, N.E. Zernov y Dmitri Perevoshchikov. No hay duda que, de entre ellos, Brashman tuvo la mayor influencia sobre Chebyshov. Le instruyó en mecánica práctica y probablemente le mostró el trabajo del ingeniero francés Jean-Victor Poncelet. En 1841 se le concedió la medalla de plata por su trabajo "cálculo de las raíces de ecuaciones" que había terminado en 1838. En esta contribución Chebyshov derivó una aproximación algorítmica para la solución de ecuaciones algebraicas de n-ésimo grado basándose en el algoritmo de Newton. En ese mismo año terminó sus estudios como el "candidato más sobresaliente".

En 1841 la situación económica de Chebyshov cambió drásticamente. Se declaró una hambruna en Rusia, sus padres se vieron forzados a dejar la ciudad e incapaces de seguir manteniendo a sus hijos. De todas maneras, decidió continuar sus estudios matemáticos y se preparó para los exámenes de maestría que se distribuían durante medio año. Aprobó el examen final en octubre de 1843. En 1846 defendió su tesis "Un intento de análisis elemental de la teoría probabilística".

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)

LAS IDEAS Y OPINIONES DE LOS AUTORES DE LOS ARTÍCULOS QUE PUBLICAMOS EN HOMOTECIA SON RESPONSABILIDAD DE LOS MISMOS. SI ALGÚN LECTOR TIENE OBJECIONES SOBRE ESTAS IDEAS Y OPINIONES PLANTEADAS, AGRADECEMOS NOS HAGA LLEGAR A TRAVÉS DE NUESTRA DIRECCIÓN ELECTRÓNICA, [email protected], SUS COMENTARIOS.

HHOOMMOOTTEECCIIAA Tiraje: 100 ejemplares

CÁTEDRA DE CÁLCULO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA - FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN - UNIVERSIDAD DE CARABOBO Publicación Periódica Nº 5 - AÑO 7 e-mail: [email protected]

© Rafael Ascanio H. – 2009. Hecho el Depósito de Ley. Depósito Legal: PP200902CA3088 - Valencia, 4 de Mayo de 2009

HOMOTECIA Nº 5–Año 7 Lunes, 4 de Mayo de 2009

2

(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

El biógrafo Prudnikov asume que Chebyshov fue dirigido a esta rama de la matemática tras conocer la publicación reciente de libros de teoría probabilística o por el crecimiento de la industria aseguradora en Rusia.

Años de adulto.

En 1847 Chebyshov defendió su disertación pro venia legendi "Sobre la integración con la ayuda de algoritmos" ante la Universidad de San Petersburgo y obtuvo así el derecho a enseñar allí. En ese tiempo Víktor Buniakovski editó unos trabajos de Leonhard Euler redescubiertos por P. N. Fuss, lo que animó a Chebyshov a dedicarse a estudiarlos. De esta manera encontró la base de sus temas de interés. Ya en 1848 había enviado su trabajo en teoría de congruencias para su doctorado, que defendió en mayo de 1849. Tras un año fue elegido como profesor extraordinario en la Universidad de San Petersburgo, para convertirse en profesor ordinario en 1860. En 1872, tras 25 años de enseñanza, se convirtió en profesor meritado. En 1882 dejó la universidad y dedicó completamente su vida a la investigación.

Aparte de sus lecciones en la universidad, de 1852 a 1858 Chebyshov enseñó mecánica práctica en el Liceo Imperial de Tsárskoye Seló (ahora Pushkin), un suburbio sureño de San Petersburgo.

Sus logros científicos dan razón de su elección como académico junior (adjunto) en 1856. Más adelante se convirtió en miembro extraordinario de la Academia Imperial de Ciencias (1856) y en miembro ordinario en 1858. Más aún, asumió otros cargos honorables y fue condecorado varias veces: en 1856 se convirtió en miembro del comité científico del ministerio de educación nacional, a lo que siguió en 1859 la pertenencia ordinaria al departamento de ordenanza de la academia con la adopción de la jefatura de la comisión para cuestiones matemáticas de acuerdo a la ordenanza y experimentos relacionados a la teoría de tiro. La Academia de París le escogió como miembro corresponsal en 1860 y como miembro de pleno derecho en 1874. En 1893 fue elegido miembro honorario de la Sociedad Matemática de San Petersburgo, fundada recientemente en 1890.

Pafnuti Lvóvich Chebyshov murió el 26 de noviembre de 1894 en San Petersburgo

Contribuciones matemáticas.

Es conocido por su trabajo en el área de la probabilidad y estadística. La desigualdad de Chebyshov dice que la probabilidad de que una variable aleatoria esté distanciada de su media en más de a veces la desviación típica es menor o igual que 1/a2. Si

)(XE es la media (o la esperanza matemática) y σ es la desviación típica, entonces podemos redefinir la relación como:

( )2

1)(Pr

aaXEX ≤≥− σ

para todo número real positivo a. La desigualdad de Chebyshov se emplea para demostrar que la ley débil de los números grandes y el teorema de Bertrand-Chebyshov (1845|1850) que establece que la cantidad de números primos menores que n es p(n) = n / log(n) + o(n).

Legado.

Entre sus estudiantes estuvieron Dmitry Grave, Aleksandr Korkin, Aleksandr Lyapunov y Andrei Markov.

Tomado de: Wikipedia® Wikimedia Foundation, Inc.

18 Diciembre 2008

Algunos retratos conocidos de Pafnuti Lvóvich Chebyshov–“CHEBYSHEV”


3

CCÁÁLLCCUULLOO IINNTTEEGGRRAALL

LLAA IINNTTEEGGRRAALL DDEEFFIINNIIDDAA

TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL.-

REGLA DE LEIBNIZ.-

La Regla de Leibniz, al igual que con la Primera Parte del Teorema Fundamental del Cálculo Integral, también trata sobre derivadas de funciones expresadas mediante ecuaciones integrales donde se utilizan integrales definidas cuyos límites de integración están conformados por variables o por funciones en esas variables; pero permite utilizar un procedimiento de menor complejidad. Lo que si está claro es que al aplicar ambos procedimientos, se obtiene el mismo resultado.

A continuación, se enuncia la Regla de Leibniz:

Si u(x) y v(x) son funciones de x derivables, entonces:

[ ] [ ]dx

dvxvf

dx

duxufdttf

dx

d xu

xv⋅−⋅=

∫ )()()(

)(

)(

Esta expresión también se conoce como Fórmula Newton-Leibniz.

Comprobación:

Considérese la ecuación integral ∫)(

)()(

xu

xvdttf y a F una antiderivada de f en [a, b]. Si se evalúa aplicando la Segunda Parte

del Teorema Fundamental del Cálculo Integral, resulta:

[ ] [ ])()()()(

)(xvFxuFdttf

xu

xv−=∫

Luego si se deriva en ambos miembros de la igualdad, se obtiene:

[ ] [ ]{ }

[ ] [ ]

[ ] [ ]dx

dvxvf

dx

duxufdttf

dx

d

dx

dvxvF

dx

duxuFdttf

dx

d

xvFxuFdx

ddttf

dx

d

xu

xv

xu

xv

xu

xv

⋅−⋅=

⋅′−⋅′=

−=

∫

∫

∫

)()()(

)()()(

)()()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

Quedando así comprobada la fórmula correspondiente a la Regla de Leibniz.



4


RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS APLICANDO LA REGLA DE LEIBNIZ.

1.- Determine la derivada de dttxFCosx

Senx∫ += 21)( .

Solución:

Se aplica la Regla de Leibniz. Debe considerarse, entonces, que:

Senxxv

Cosxxu

ttf

==

+=

)(

)(

1)( 2

Luego:

Cosxdx

dv

Senxdx

du

xSenvf

xCosuf

=

−=

+=

+=2

2

1)(

1)(

De aquí que:

xSenCosxxCosSenxCosxxSenSenxxCosdttdx

d Cosx

Senx

22222 111)(11 +−+−=⋅+−−⋅+=

+∫

2.- Obtenga la derivada de ∫−

=xx

xdttTgxF

32

)( .

Solución:

Para aplicar la Regla de Leibniz, se debe considerar que:

xxv

xxxu

tTgtf

=

−==

)(

3)(

)(2

Por lo que:

xdx

dv

xdx

du

xTgvf

xxTguf

2

1

32

)(

)3()( 2

=

−=

=

−=

Entonces:

x

xTgxxTgx

xxTgxxxTgdttTg

dx

d

dx

dF xx

x 2)3()32(

2

1)32()3( 2232

−−−=⋅−−⋅−=

= ∫−

En el próximo número, seguiremos con el estudio de Teoremas en el Cálculo Integral.


5

PPAARRAADDIIGGMMAASS YY CCUURRRRIICCUULLUUMM Por: Rafael Ascanio H.

La actual existencia del ser humano, marcada por una contemporaneidad donde abruma una explosión tecnológica, hace evidente que el desarrollo histórico de la humanidad ha pasado por grandes saltos que han demarcado épocas, evidenciadas con los modos de vidas que en estas devinieron, así como los cambios de intereses sociales que las mismas requirieron. Se puede hablar que mediante este proceso, la humanidad se modernizó pero relacionando este término con el incremento de las comodidades que la tecnología le permite al hombre disfrutar en la actualidad. Especulando un poco, se podría iniciar una discusión donde el punto álgido sería debatir sobre si la humanidad ha actuado intencionalmente para alcanzar estos logros, y más aun, si existe un proyecto de logro final en su acción.

Difícil desarrollar esta temática desde estas opciones, pero si hay que iniciarla deben considerarse los siguientes aspectos:

• Primero, el ser humano como especie, sobre todo como especie con racionalidad, busca preservarse; y esto lo ha conducido a buscar mejores condiciones de vida, producir ciencia y a mejorar cada día la forma de organizarse socialmente.

• Segundo, el mejoramiento de las condiciones de vida conduce a la transformación del medio ambiente y para lograr esta transformación, se tiene que buscar en la naturaleza. De aquí el surgimiento, en uno de los casos posibles a citar, el de las ciencias naturales basadas en la experimentación, en la sociedad occidental. Lo natural como ámbito existe antes que el ser humano, y así éste descubre en la naturaleza lo que necesita y en base a esta necesidad, transforma lo natural para darle la utilidad que le interesa. Aquí también se incluye la necesidad de la persona de conocerse a sí misma mental y biológicamente porque la preservación de la especie también tiene que ver con la salud, mental y física; es sumamente importante que cada persona nazca sana, crezca sana, para que sea más longeva y por lo tanto socialmente más aprovechable.

• Tercero, conseguir un logro no debe ser un hecho finito, efímero o fugaz. Debe suscitarse un encadenamiento: un logro debe conducir a otro, y este otro nuevo logro debe ser mejor. En consecuencia, es una necesidad de especie del ser humano de transmitir todo este bagaje de logros y alcances a las generaciones posteriores, y el mejor medio para hacerlo es la educación, que cuando es sistemática, lo ha hecho mediante sistemas educativos donde la organización de la infraestructura educacional, muestra a la escuela como el instrumento para realizar la transmisión a la persona de lo que la sociedad, de acuerdo a sus intereses, le interesa que se le transmita. Cuando no es sistemática, la educación la proporciona la cultura general que comparten los seres humanos pero que de igual manera está afectada por los factores que influyen sobre la educación sistemática.

En consecuencia por lo anterior, surgen algunas preguntas pertinentes: ¿por qué algunas sociedades han perdurado en el tiempo, aunque sus características actuales sean diferentes a las que presentaron en sus orígenes?, ¿por qué otras han desaparecido? Es aquí cuando tenemos que comenzar hablar de paradigmas.

Perdurar en el tiempo puede ser producto del azar, pero indudablemente señalar que sobre esto existe un efecto paradigmático no es un error. Paradigma puede definirse como un esquema de interpretación básico, que comprende supuestos teóricos generales, leyes y técnicas que adopta una comunidad de científicos.

Sin dejar a un lado esta definición, para el profesor Próspero González M., de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, un paradigma es un evento instantáneo, multi-intenso y recursivo (no repite situaciones anteriores aunque constituya un bucle entre hechos) que llega y transforma, estableciendo un nuevo modelo dentro de la naturaleza social en la que surge. Esta idea de P. González M., la manejaremos durante el resto de este escrito.

Se entiende que cuando surja un paradigma más poderoso que el que produjo el modelo existente, este paradigma emergente ocasionará la sustitución del modelo ahora considerado anterior o antiguo.

Tal proceso puede explicar la permanencia de una sociedad en el tiempo, donde un cambio paradigmático posibilita nuevas características en la misma.

De igual manera, también puede explicar la desaparición de una sociedad. Recientemente, por televisión, Discovery Channel específicamente, presentaron un documental que hacía referencia a la desaparición de una cultura precolombina, relacionada con los Mayas, ubicada en Centroamérica. Las evidencias antropológicas de esta civilización muestran que su desarrollo le pudo haber permitido trascender en el tiempo por lo menos hasta la abrupta irrupción en América de los españoles conquistadores; pero no fue así, desapareció totalmente mucho antes. El estudio científico que se realizó sobre esta situación arrojó que lo que causó tal desaparición fue el efecto que sobre la zona produjo la reiterada acción del fenómeno atmosférico que hoy se conoce como “El Niño”. Pero lo que llama la atención de esto, es que la desaparición se pudo haber evitado con sólo “mudarse del sitio”.

Cabe preguntarse por qué no lo hicieron. Una probable explicación estaría en el modelo social vigente en ese momento, producto de un cambio paradigmático previo, sobre el cual se normó el comportamiento de esta comunidad en referencia, donde el “esquema de interpretación básico, que comprende supuestos teóricos generales, leyes y técnicas que adopta una comunidad de científicos”, adaptado a su cultura se identificaba más con creencias y explicaciones mágicas con las cuales interpretaban los fenómenos naturales. Esta interpretación, inmutable en el tiempo, posiblemente produjo una inercia paradigmática que no le permitió romper con el viejo modelo producto del cambio paradigmático previo y peor aún, no permitió la emergencia de un paradigma más poderoso que les hiciera ver y entender que el apego a este sitio los llevaría a la desaparición.

Volviendo al tema educativo, y estando claro el papel que la educación tiene en la evolución de la humanidad, indudablemente que el modelo post-paradigma vigente en una sociedad marcará su comportamiento pero también sus necesidades. Siendo educarse una necesidad natural para las personas, la tendencia socializadora conduce a la organización y administración de la educación en función de sus intereses. Surge así el curriculum o currículo.



6


¿Qué es curriculum o currículo? No es fácil definirlo. Desde la antigüedad siempre existió la preocupación sobre el contenido que se debe enseñar y sobre los medios de enseñanza que se deben utilizar. Esto origina que se forme el concepto básico de currículo, relacionado estrechamente con la organización y administración de la educación. Siguiendo las ideas que se citaron previamente, puede decirse que currículo es la estrategia que se usa para adaptar la herencia cultural a los objetivos de la escuela, de tal manera que esta adaptación permita crear más cultura; es decir, todas las experiencias que el estudiante lleva a cabo bajo la tutela de la escuela produce una serie estructurada de resultados buscados.

Pero esto deja ver que la importancia del currículo va más allá de considerarlo una estrategia. En realidad lo trasciende, y por sí mismo se hace objeto de un estudio más profundo.

Encuadrado entre el modelo post-paradigma por el que se rige la sociedad, el currículo presentará como fundamentos más importantes, los psicológicos, los epistemológicos, los antropológicos, los sociológicos.

Estos fundamentos llevan a identificar líneas o tendencias paradigmáticas históricas, definidas por la secuencia lo filosófico-lo psicológico-lo sociológico.

Una de estas líneas conduce al esencialismo-conductismo-permanencia social. El esencialismo queda enmarcado entre dos posiciones antagónicas pero que se complementan: el idealismo y el realismo. La corriente idealista invita al individuo a la búsqueda de la verdad, a alcanzar el conocimiento verdadero. La corriente realista invita al conocimiento del mundo tangible. Como teoría del aprendizaje, participa aquí el Conductismo en función de la necesidad de obtener resultados que promuevan el éxito estudiantil en base al trabajo individual y siendo el papel de la escuela transmitir lo esencial de la cultura, su objetivo es que la persona quede bien insertada en la sociedad (permanencia social).

La visión idealista y la realista del esencialismo afectarán eclecticamente al currículo, reflejándose en los contenidos programáticos de las asignaturas incluidas en los planes de estudios de cualquiera de los niveles escolares. Aquí convergen idealismo y realismo cuando se asume que el ser humano al percibir las características de una cosa tangible, la generaliza dentro de un contexto previo de conocimientos; una variación con respecto a este contexto produce un nuevo aprendizaje.

Otra de estas líneas conduce al experimentalismo-cognotivismo-cambio social. Dentro del experimentalismo, el advenimiento o vigencia de un nuevo modelo post-paradigma no implica el cambio del mundo físico sino un cambio en la manera de ver al mundo, de percibir al mundo. La teoría de aprendizaje cognotivista se centra en el ser humano en cuanto al respeto de su racionalidad, integrado a un proceso de participación grupal. Así surgen las teorías de cerebros e inteligencias múltiples, de la inteligencia emocional, el aprendizaje cooperativo. El efecto de esta posición paradigmática sobre el currículo educativo debe conducir a cambios culturales, al cambio social.

Otra línea paradigmática es el existencialismo-humanismo-evolución social. La posición filosófica del existencialismo vuelve a tomar auge en los primeros años del siglo pasado, cuando se argumenta que el ser humano está amenazado en su individualidad, en su realidad concreta y por ello se hace mucho énfasis en la soledad de la persona, en lo imposible o difícil que resulta para ella encontrar la verdad por medio de una decisión intelectual, y en el carácter personal y subjetivo de la vida humana. Esta tendencia filosófica declara que la manera real de conocer el mundo, en la existencia, es la intuición, posición considerada como una mala interpretación de la fenomenología. Su postulado básico expresa que el ser humano no es una esencia sino una existencia; por lo tanto, debe definirla y construirla cada día como parte de su enfrentamiento a las circunstancias que lo rodean.

Estas tendencias paradigmáticas generales conducen a concebir el currículo desde tres modelos post-paradigma educativos que se pueden definir como el tradicionalista, el conceptual-empirista y el reconceptualista.

En el tradicionalista, el currículo se concibe como el trabajo escrito, planificado, de lo que debe hacer el docente en las instituciones escolares; es decir, el docente es quien implanta el currículo.

En el conceptual-empirista, se concibe al currículo como el campo de investigación de la educación. Investigar queda involucrado al trabajo en el aula, por lo que el trabajo curricular se concentra en la investigación de la enseñanza, la metodología, el escenario escolar, la administración, los alumnos y los profesores.

En el reconceptualista, se concibe al currículo como un proceso dialéctico entre el proceso de planificar, ejecutar y evaluar la educación. Hacer currículo es reelaborar constante y continuamente la educación. El currículo no es inerte así como tampoco lo es la educación; por esto los conocimientos se reelaboran constantemente en las personas y en consecuencia, se reconceptualiza en la educación. Esto explica lo dialéctico del currículo bajo este paradigma, en lo que tiene que ver con los procesos y la práctica educativos. De hecho, reconceptualizar es un fenómeno intelectual, propio de cada hombre o mujer, por lo que “hacer currículo” conduce a la discusión en grupo de las ideas particulares para intentar darle forma al currículo que debe manejarse en una institución escolar.

Pero cómo llegar a una concepción particular de currículo. Se puede aceptar que currículo es todo lo que se ha dicho de él en este escrito. Desde mucho antes de la mitad del siglo pasado hasta estos primeros años del actual, la tendencia educativa es producir aprendizaje bajo la influencia de los principios del constructivismo. Así, muchos docentes piensan que se es constructivista porque supuestamente se elaboran estrategias constructivistas. El error aquí es que constructivismo como tal, no es una metodología o una técnica de trabajo. Constructivismo es una forma de ser. Para ser constructivista hay que ser mentalmente construido como constructivista, y aplicar esto no se reduce al ámbito escolar sino que se extiende al núcleo familiar (esposo, esposa, padre, madre, hijo, hija, hermano, hermana y otros nexos) y a la participación ciudadana. Podemos en este momento imaginarnos los inconvenientes de un docente de matemática al intentar ser totalmente constructivista en su labor luego que su vida profesional la ha desarrollado usando al conductismo como el camino para producir el éxito de sus estudiantes.

Por otro lado, la globalización en la que está inmersa la humanidad en la actualidad, ha producido nuevos intereses sociales e individuales, así como también nuevas necesidades. De igual manera, el desarrollo vertiginoso que han tenido las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC), cuya mejor expresión es el inmenso volumen de información que se dispone en la red electrónica (Internet), hace evidente que aprender no se reduce a lo que se enseña en la escuela. Pero, ¿se debe descartar a la escuela? La respuesta es no. En este caso, lo que se debe proponer es ampliar los intentos de definiciones actuales para llegar a la redimensión del concepto de currículo.

La clave es que en vez de afirmar que el currículo se utiliza para que la persona se eduque adquiriendo nuevos conocimientos, se cambie por el concepto de currículo como posibilitador de un proceso que promueve la culturización de esta persona para el logro de un mejor ser humano.

LECTURAS UTILIZADAS.-

Gimeno S., J y Pérez G, A. I. “Comprender y transformar la enseñanza”. Morata.

Hernández, F. y Sancho, J. M. (1993). “Para enseñar no basta con saber la asignatura”. Fernando Hernández – Juana María Sancho. Papeles de Pedagogía. España: Paidós.

Orta de U., A. y Useche, J. A. “Currículum”. Universidad Pedagógica Experimental Libertador.


7

Portal de Pablo ©2003 Pablo Angulo

RReellaattiivviiddaadd,, EEssppaacciioo yy TTiieemmppoo Preparado por: Pablo G. Ostrov

Seguramente todos conocemos la famosa anécdota que relata cómo Galileo Galilei trataba de hacer comprender a las autoridades eclesiásticas de que la Tierra se movía. Por más que el astrónomo italiano intentó hacer entrar en razón a sus censores, ellos hicieron caso omiso de sus pruebas, argumentando que, como la Biblia dice que Josué ordenó detenerse al Sol y no a la Tierra, es el Sol el que se mueve mientras la Tierra permanece fija. Bajo amenaza de tortura, Galileo fue obligado a retractarse y tuvo que pasar los últimos años de su vida bajo arresto domiciliario.

Un argumento que intentaba apelar al sentido común sostenía que la Tierra no se mueve “porque no se nota el movimiento”. Es verdad que, cuando tomamos el tren a Buenos Aires nos damos cuenta si estamos detenidos o andando: cuando el tren avanza, se sacude. ¿Pero qué pasa si viajamos en barco? El barco se menea a causa del oleaje, y más se va a menear cuanto más picado esté el mar; pero si estamos encerrados dentro de una bodega sin ventanas no vamos a poder saber si estamos navegando o detenidos en mitad del océano.

Supongamos que en nuestra bodega hay una claraboya y vemos cruzar otra nave de Norte a Sur, ¿nos dice esto algo sobre nuestro propio movimiento?

Hay varias posibilidades:

a) nosotros estamos anclados y el otro barco se mueve hacia el Sur;

b) el otro barco es el que está anclado y nosotros navegamos con rumbo Norte;

c) ambas embarcaciones navegan hacia el Norte, pero nosotros vamos más rápido y nos adelantamos;

d) los dos navíos viajan hacia el Sur, y el nuestro es el más lento y está siendo adelantado; o

e) nosotros nos dirigimos al Norte y el otro barco va para el Sur.

Las únicas posibilidades que quedan excluidas son que ambos buques estén anclados, o que ambos naveguen con idéntica velocidad y rumbo.

Aún si nos asomamos para poder ver la superficie del mar, sólo vamos a poder saber si nos movemos respecto del agua. Si se agota el fuel-oil y se paran los motores, la nave se quedará “quieta”, pero eventualmente la corriente la llevará hacia algún lado. Al capitán le interesará saber si nos acercamos o nos alejamos de la costa.

Está claro entonces que antes de ponerse a discutir qué objetos se mueven y cuáles no, es necesario decir con respecto a qué, es decir establecer un sistema de referencia.

Volvamos entonces a nuestro asiento en el tren. Si al pasar por Plátanos, una mujer le dice a un hijo revoltoso “quédate quieto”, se entiende que lo que le quiere decir es que se quede en su asiento.

Hay una forma sencilla de relacionar las posiciones y velocidades medidas desde distintos sistemas de referencia. Supongamos que nuestro asiento está exactamente a veinticinco metros por delante del furgón de cola; ¿a qué distancia estamos de Plátanos? Es evidente que estamos veinticinco metros más lejos que el furgón. ¿Y a qué distancia está el furgón de Plátanos? Si el tren viaja a cuarenta kilómetros por hora y pasamos por Plátanos hace quince minutos, el furgón estará a diez kilómetros de Plátanos; y nosotros estaremos veinticinco metros más lejos, a diez mil veinticinco metros de Plátanos.

Supongamos ahora que nos levantamos del asiento y caminamos hacia la locomotora. Si caminamos a cinco kilómetros por hora, como el tren va a cuarenta, vamos a alejarnos de Plátanos a cuarenta y cinco kilómetros por hora. Si damos media vuelta y caminamos hacia el furgón, también estaremos alejándonos de Plátanos, pero a treinta y cinco kilómetros por hora.

Todo esto es bastante obvio. Está claro que tenemos que sumar nuestra velocidad a la del tren (o restarla si caminamos para atrás) para saber a qué velocidad nos movemos respecto de la estación. Si queremos saber a qué distancia estamos de la estación, sumamos la distancia que separa al furgón de cola de la estación a la que nos separa a nosotros del furgón. Estas operaciones son prácticamente intuitivas y se las conoce como transformaciones de Galileo.

Hace unos tres siglos, Isaac Newton inventó; las leyes que describen el movimiento de los cuerpos (más adelante voy a aclarar por qué digo “inventó” y no “descubrió”). Por ejemplo, si dejo caer una moneda desde una altura de un metro con veintidós centímetros, usando las leyes de Newton puedo predecir que chocará contra el suelo en medio segundo y a una velocidad de unos dieciocho kilómetros por hora. Si repito el experimento arriba del tren, viajando a cuarenta kilómetros por hora, sucederá exactamente lo mismo y la moneda también caerá delante de mis zapatillas. Durante el medio segundo que le lleva a la moneda caer, el tren (y mis pies) habrán recorrido algo más de once metros con once centímetros. Entonces, vista desde la estación, la moneda habrá caído siguiendo una trayectoria inclinada, “acompañando” al tren. En otras palabras, la moneda va a caer delante de mis zapatillas de igual forma independientemente de que el tren se mueva o no. En términos matemáticos, este hecho se expresa diciendo que las ecuaciones de Newton son invariantes ante las transformaciones de Galileo.



8


Cuando íbamos a la escuela nos decían “grafique las siguientes curvas” y teníamos que dibujar la representación gráfica de cada ecuación. Por ejemplo, la representación gráfica de “y igual equis al cuadrado” es una parábola, por lo que dicha ecuación se llama “ecuación de la parábola”; la ecuación cuya gráfica es una línea recta se denomina “ecuación de la recta”, etc.

Hay ecuaciones, algo más complicadas que las estudiadas en el colegio, cuyas soluciones son curvas ondulantes. Se las conoce como “ecuación de la onda” y son utilizadas por los físicos para describir algunos fenómenos de la naturaleza y para reventar a estudiantes incautos. Por ejemplo, si tiramos una moneda dentro de una palangana llena de agua se formarán ondas circulares alrededor del lugar donde caiga. El sonido, en cambio, son rápidas variaciones de la presión del aire. La forma en que se propagan estas variaciones se puede describir mediante una ecuación de ondas, por eso se habla de “ondas sonoras” aunque (al contrario de la superficie del agua del ejemplo de la palangana) en este caso no haya nada que “ondule”.

Volvamos arriba del tren y supongamos que un policía balea a un sospechoso. Si queremos saber a qué velocidad van las balas respecto de tierra firme tenemos que usar la transformación de Galileo, es decir, a la velocidad con que las balas salen de la pistola le sumamos la velocidad del tren (suponiendo que el vigilante tiró para adelante). ¿Pero qué pasa si la locomotora hace sonar la bocina? El sonido se propaga siempre a la misma velocidad a través del aire, independientemente del movimiento de la locomotora. Podemos incluso utilizar esta propiedad para medir la velocidad del tren respecto del aire: si el tren va a cuarenta kilómetros por hora (suponiendo que no haya viento) desde nuestro punto de vista el aire va a soplar hacia atrás a esa velocidad. Entonces, cuando suena la bocina, para nosotros el sonido va a viajar para atrás a cuarenta kilómetros por hora más rápido que lo normal y para adelante a cuarenta kilómetros por hora más despacio, por lo que vamos a poder deducir que el tren avanza precisamente a esa velocidad. Notemos que el vigilante no podría llegar a esta conclusión ni aún disparando tiros para todos lados.

James Clerk Maxwell fue un físico que vivió durante el siglo XIX y que, trabajando con las ecuaciones matemáticas que describen los fenómenos eléctricos y magnéticos llegó una “ecuación de ondas”. Predijo entonces, en forma totalmente teórica, la existencia de “ondas electromagnéticas” y sugirió que la luz podía ser un ejemplo de este tipo de ondas. Maxwell murió antes que se inventara la radio, pero hoy sabemos que tanto la luz, el calor, las microondas, las ondas de radio, de TV, radar, etc. son todas ondas electromagnéticas.

Si le pedimos a un físico que calcule la intensidad del campo electromagnético a diez kilómetros de una emisora de radio en un momento dado, va a tener que resolver una ecuación de ondas. Por eso hablamos de ondas electromagnéticas, aunque como en el caso del sonido, no haya nada que “ondule”.

Ahora bien: el sonido son “ondas de presión” que se propagan por el aire, pero la luz y el calor llegan a nosotros desde el Sol y no hay aire entre la Tierra y el Sol. Se supuso, entonces, que tenía que existir un medio muy tenue que llenara todo el espacio, a través del cual se propagaban las ondas electromagnéticas. A este medio se lo llamó el éter luminífero, por eso en los primeros programas de radio los locutores hablaban de las “ondas del éter”. Recordemos el ejemplo de la locomotora: como sabemos a qué velocidad se propaga el sonido por el aire, midiendo la velocidad del sonido respecto de la locomotora podemos calcular la velocidad del tren. Siguiendo el mismo razonamiento, como sabemos a qué velocidad se propaga la luz a través del “éter luminífero”, si medimos la velocidad de la luz respecto de la Tierra vamos a poder deducir a qué velocidad se mueve la Tierra a través del éter.

Michelson, en uno de los más célebres experimentos de la física, midió la velocidad de la luz respecto de la Tierra en distintas direcciones y obtuvo siempre el mismo resultado, como si la Tierra estuviera quieta respecto del éter.

Como la tierra gira alrededor del Sol a una velocidad de unos treinta kilómetros por segundo, deberíamos esperar que si repetimos el experimento seis meses después tendríamos que encontrar una diferencia de sesenta kilómetros por segundo, ya que la Tierra habrá dado media vuelta al Sol y estará moviéndose “hacia atrás”.

Tengamos presente que nunca nadie midió ni detectó de ninguna forma al éter. Simplemente se creía en su existencia porque se pensaba que la luz necesitaba algún medio material para propagarse. Para explicar el resultado negativo del experimento de Michelson, algunos intentaron proponer que la Tierra “arrastra” un poco de éter mientras se mueve (como el aire adentro de un vagón de tren). En cambio, Einstein postuló que la luz se propaga a través del vacío y que su velocidad, medida desde cualquier sistema de referencia, es siempre la misma. Naturalmente, esto era exactamente lo que sugería el resultado de la experiencia de Michelson, pero las ideas de Einstein iban contra el “sentido común”: Volvamos al tren y supongamos que la locomotora enciende la luz. Si medimos la velocidad con que sale la luz de la locomotora, vamos a encontrar que viaja aproximadamente a trescientos mil kilómetros por segundo. Si el tren viaja a cuarenta kilómetros por hora, sería lógico esperar que la velocidad de la luz medida desde la estación fuera cuarenta kilómetros por hora mayor. Pero lo que sucede en la naturaleza es precisamente lo que dice Einstein: el resultado de medir la velocidad de la luz desde el tren en movimiento o desde la estación es exactamente el mismo. No hay forma de convencer a la luz para que vaya más rápido.

Está claro entonces que no hay que usar las transformaciones de Galileo (sumar o restar velocidades y distancias) para pasar de un sistema de referencia a otro. Si la velocidad de la luz es la misma para cualquier sistema, tenemos que usar las transformaciones de Lorentz (son unas ecuaciones algo más complicadas que las de Galileo). Ahora bien: las ecuaciones de Maxwell (las ecuaciones de las ondas electromagnéticas) son invariantes ante las transformaciones de Lorentz. Hablando en criollo, esto quiere decir que el guarda puede iluminar con su linterna para todos lados, pero la luz se va a comportar de forma exactamente igual a como lo haría si el tren estuviera quieto ¡y eso es exactamente lo que pasa!

Las ideas de Einstein (que al fin y al cabo no había hecho más que aceptar el resultado de la experiencia de Michelson tal cual era) revolucionaron profundamente la física. Si reconocemos que lo correcto es utilizar las transformaciones de Lorentz para relacionar distintos sistemas de referencia, el hecho de que la velocidad de la luz sea siempre la misma deja de ser un fenómeno incómodo. Pero las ecuaciones de Newton no son invariantes ante las transformaciones de Lorentz, lo que significa que la teoría de Newton “está mal”.



9


Ahora puedo justificar por qué dije que Newton inventó sus leyes; si hubiera dicho descubrió; habría dado la falsa impresión de que dichas leyes eran una propiedad de la naturaleza previamente existente que él sacó a la luz. Si hubiera sido así, no podría resultar luego que estas leyes estuvieran equivocadas. Por más que nos enseñen que las cosas se caen al suelo “por la ley de gravedad”, el hecho es que esto ocurría de manera exactamente igual antes de que Newton naciera, y continuaron cayendo exactamente de la misma forma luego de que Einstein encontrara que las leyes de Newton eran “incorrectas”.

Hace unos trescientos años, Newton elaboró una teoría que predice los movimientos de todos los planetas y satélites con asombrosa precisión, y el movimiento del planeta Mercurio con un error muy pequeño; se necesitan observaciones astronómicas muy precisas para detectar esa mínima diferencia (por eso escribí entre comillas la palabra “incorrectas”. Pero la teoría de la relatividad de Einstein es igualmente exacta para los movimientos de todos los planetas, y funciona también incluso para Mercurio. Por eso es mejor.

Otro punto en que la teoría de Einstein es contraria al sentido común es la dilatación del tiempo. Como vimos, cuando usábamos las transformaciones de Galileo para vincular medidas hechas respecto de distintos sistemas de referencia, teníamos que sumar o restar distancias y velocidades. Pero con las transformaciones de Lorentz no es tan sencillo, ya que también interviene el tiempo: El tiempo arriba del tren que se mueve transcurre más lentamente que en la estación.

Naturalmente la dilatación del tiempo es tan pequeña que es imperceptible en un viaje en tren. Pero supongamos que la velocidad de la luz, en vez de ser de trescientos mil kilómetros por segundo (más de mil millones de kilómetros por hora) fuera de sólo cincuenta kilómetros por hora. En ese caso, si tomamos el tren en La Plata a las dos de la tarde y nos bajamos luego de media hora de viaje (a cuarenta kilómetros por hora), vamos a encontrarnos con que todo el mundo nos dice que son las tres menos diez. Si inmediatamente tomamos el tren para volver nos va a llevar otra media hora llegar, pero en La Plata se habrán hecho ya las cuatro menos veinte. Esto no quiere decir que los relojes adelanten ni atrasen: nosotros, arriba del tren, no notaremos nada raro; sólo vamos a haber hecho un viaje de media hora de ida y media hora de vuelta. La gente que nos esperó en La Plata tampoco va a haber notado nada extraño, pero nos dirá que nuestro viaje duró cincuenta minutos de ida y cincuenta de vuelta. En el mundo real, como la luz viaja a más de mil millones de kilómetros por hora y no a cincuenta, aunque viajáramos en tren continuamente durante cincuenta años sólo nos ahorraríamos una millonésima de segundo.

Todos estos fenómenos parecen curiosidades teóricas, ya que no los percibimos en la vida cotidiana. No existen ni trenes, ni aviones, ni cohetes, ni ningún tipo de vehículo capaz de acercarse a la velocidad de la luz. Pero sí hay relojes extraordinariamente precisos: los relojes atómicos. En un experimento realizado en 1971 se embarcaron cuatro de estos relojes en aviones comerciales y se comprobó que el tiempo realmente transcurre como lo predice la teoría de la relatividad. La revista Scientific American dijo que esta era la verificación más barata de la teoría, ya que costó unos ocho mil dólares, de los cuales siete mil seiscientos se gastaron en los pasajes de avión.

A pesar de lo fantástico que resulta el fenómeno de dilatación del tiempo, la teoría de la relatividad ha resultado bastante ingrata para los autores de ciencia ficción, ya que prohíbe viajar más rápido que la luz. Esto plantea inconvenientes insalvables para las historias de viajes más allá del sistema solar.

¿Qué es lo que ocurre en el mundo real cuando intentamos superar la velocidad de la luz? De nuevo, no tenemos forma de acelerar a un cuerpo a tal velocidad, pero sí existen poderosísimos aceleradores de partículas (los ciclotrones y sincrotrones) que pueden acelerar las partículas que constituyen la materia. Supongamos otra vez que la velocidad de la luz fuera de sólo cincuenta kilómetros por hora y que dispusiéramos de un “tenistrón” capaz de acelerar pelotas de tenis. Ponemos en marcha el aparato y al cabo de una hora nuestras pelotas van a cuarenta kilómetros por hora. Esperamos otra hora y van a cuarenta y cinco. Lo dejamos funcionando una semana entera y van a cuarenta y ocho. Las pelotas aumentan continuamente su velocidad: cada vez les costará más llegar a los cuarenta y nueve, cuarenta y nueve y medio, etc., pero nunca llegarán a los cincuenta. Sin embargo, si nos interponemos en el camino de una pelota que ha sido acelerada durante solamente una hora, apenas recibiremos un leve pelotazo, mientras que si tratamos de detener una que ha estado en el “tenistrón” durante un día, nos golpeará como si fuera de plomo macizo. Y si cometemos la osadía de ponernos delante de una pelota que ha sido acelerada durante varias semanas, será como si nos atropellara una locomotora, aunque las tres pelotas viajen casi a la misma velocidad. Las pelotas no irán más rápido, pero pegan cada vez más fuerte. Salvando las distancias, pasa lo mismo en los aceleradores de partículas de verdad: las partículas ganan cada vez más “impulso”, pero nunca pueden alcanzar la velocidad de la luz. En muchos cuentos de ciencia ficción el recurso salvador es decir que en el futuro se descubre un error en las teorías de Einstein, y que sí se puede sobrepasar la velocidad de la luz.

Como vimos, Einstein encontró que la teoría de Newton “estaba mal” y eso no significó que las cosas comenzaran a caerse para arriba. Incluso si decimos que la teoría de Newton es “incorrecta”, da la impresión de que entonces la teoría de Einstein es la “correcta”. Mañana mismo o dentro de algunos años, un hipotético físico, por ejemplo Jacob Newtenstein, puede descubrir que la teoría de Einstein “está mal” en serio. Pero aunque eso pase, las cosas no van a empezar a caerse contra el techo, ni a moverse más rápido que la luz.

Einstein simplemente elaboró una descripción de la naturaleza más precisa que la de Newton, y es posible que alguien halle una aún mejor. Pero la naturaleza no va a modificar su comportamiento para satisfacer la teoría de algún físico: es el científico quien deberá exprimir sus sesos para que su teoría describa a la naturaleza mejor que todas las teorías anteriores.


10

Algunos de los fenómenos naturales extraños del planeta, son extremadamente efímeros y además enormemente localizados y altamente inalcanzables. Estamos presentando desde el Nº 4-2009, de uno en uno, siete de las increíbles anomalías de la naturaleza que han sido observadas.

LLaass ccoolluummnnaass ddee bbaassaallttoo

EN CANARIAS EXISTEN FORMACIONES DE ESTE TIPO

Al enfriarse, las densas corrientes de lava se contrajeron en un ángulo vertical con la dirección de las corrientes, produciendo una figura geométrica de aspecto insólito. Este es el proceso por el que se generan las columnas basálticas, de forma hexagonal regular y de una perfección casi artificial. Entre las más famosas están las “Gigant´s Causeway” en Irlanda y las “Devil´s Tower” en Estados Unidos, aunque tampoco desmerecen “Los Órganos” en la isla de La Gomera en las Islas Canarias.


11

RRééccoorrddss mmaatteemmááttiiccooss Por: Pascual PEIRÓ CODINA

[email protected] Recibido: Dic. 2008

Leo en una página matemática en Internet que se ha encontrado el número primo 225.964.951 -1, con un millón de dígitos más que el último descubierto, gracias al proyecto GIMPS (siglas de Gran Búsqueda de números Primos de Mersenne por Internet). La organización Electronic Frontier Foundation ha establecido un premio de 100.000 dólares para quien descubra el primer número primo con 10 millones de dígitos y como el nuevo número sólo tiene 9.152.052 dígitos, sus autores están algo decepcionados. Yo opino que no deben preocuparse, ya Euclides demostró que existen infinitos números primos, así que el próximo que encuentren seguro que tiene los ansiados diez millones de dígitos.

La Mathematical Association of America convocó un concurso para obtener polinomios que generen números primos. Si vemos los resultados, los polinomios tienen coeficientes ¡de más de 15 cifras! ¿Esto se puede considerar investigación matemática? ¿Es lícito pasar a la historia por poner a trabajar una máquina durante días y que obtenga un record numérico?

En el caso de los números primos está claro que su aplicación práctica justifica este trabajo ya que el cifrado de mensajes factorizando contribuye a la seguridad de la información con transmisión digital y así números primos con miles de cifras pueden resultar muy valiosos.

Me parece interesante el trabajo de programar potentes computadoras para buscar números que cumplan cualquier condición, reconozco el trabajo que esto supone y los resultados –que se publican en periódicos como noticias curiosas- acercan a la gente al mundo de los números, pero no creo que esto merezca muchas páginas en la historia de las matemáticas.

Distinto sería el caso de encontrar números que nieguen una conjetura. Por ejemplo, si un programa informático hubiera encontrado tres números naturales a, b, c cumpliendo a6+b6=c6, el último teorema de Fermat no existiría o si se encontrara un número perfecto impar, muchos matemáticos dejarían de intentar demostrar que no existen.

LEONARD EULER

(1707-1783)

Así, y dado que se va a celebrar el tercer centenario del nacimiento de Euler, me gustaría reivindicar el poder del genio humano frente a la capacidad de realizar millones de cálculos por segundo. Todos los aficionados a las matemáticas conocemos un poco del genial trabajo que nos legó Euler, simplemente citaré cuatro ejemplos:

1) Polinomios que generan números primos.

Euler propuso el polinomio x2 + x + 41= 0 como generador de 40 números primos distintos para x = 0, 1,..., 39.

Los números son: 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447 1523 1601.

Aquí termina la serie porque para x=40, 402 + 40 + 41= 1681 = 412 no es número primo.

Un simple programa informático (sin pretensiones de trabajar con coeficientes muy grandes) nos proporciona muchísimos polinomios que generan más de 40 números primos, por ejemplo:

x2 − 79x +1601= 0, x2 − 77x +1523 = 0, x2 − 75x +1447 = 0, x2 − 73x +1373 = 0, x2 − 71x +1301= 0, x2 − 69x +1231= 0, x2 − 67x +1163 = 0 , .....................

x2 − 79x +1601= 0 genera 80 números primos, pero si nos fijamos bien comprobaremos que son los 40 que encontró Euler repetidos: 1601 1523 1447 1373 1301 1231 1163 1097 1033 971 911 853 797 743 691 641 593 547 503 461 421 383 347 313 281 251 223 197 173 151 131 113 97 83 71 61 53 47 43 41 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447 1523 1601.

Un cambio de variable transforma el polinomio de Euler en el anterior y también se puede hacer un cambio en cada uno de los polinomios que he citado: (x − 40)2 + (x − 40) + 41= x2 − 79x +1601.

Gráficamente, si desplazamos los puntos de la parábola y=x2+x+41, 40 unidades a la derecha, aparecen los puntos simétricos (los 40 números primos repetidos).

2) Números amigos.

Dado que los once divisores de 220 suman 284 (1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110= 284) y los cinco divisores de 284 suman 220 (1+2+4+71+142=220) se dice que 220 y 284 son números amigos.

Un programa informático nos proporciona las parejas de números amigos: 220 y 284, 1184 y 1210, 2620 y 2924, 5020 y 5564, 6232 y 6368,..................

Euler descubrió que 122265 y 139815 son números amigos y encontró ¡59 parejas más!

3) Una suma infinita.

Euler da una fantástica demostración de la suma infinita:

Simplemente introduciendo las fórmulas en una hoja de cálculo se puede conseguir la suma de miles de términos (he sumado medio millón de términos):

No sé si es tan fácil darse cuenta de que el número generado

tiene relación con el número π. 4) El recorrido del caballo de ajedrez.

Yo mismo diseñe un programa para construir el recorrido del caballo de ajedrez, como explico en otro artículo, donde concluyo con el increíble recorrido de Euler en el que, además, filas y columnas suman 260 formando así un cuadrado mágico:

* “Las matemáticas clásicas” son las que aprendemos en nuestra enseñanza, así –por ejemplo- a nuestros alumnos y alumnas se les explica qué es un número primo, cómo averiguar si un número es o no primo, cómo factorizar un número,... Todo esto con lápiz y papel, no creo que sirva de mucho que vean en la pantalla del ordenador cómo surgen miles y miles de números primos. Más adelante, en educación secundaria y universitaria, aprenden propiedades, teoremas,...

Por supuesto que existe un software matemático utilísimo para complementar su aprendizaje, pero pienso que es importante que valoren su esfuerzo, no el de una máquina que resuelve todo en segundos.

Euler ha pasado a la historia como uno de los más geniales matemáticos que ha existido y existirán, dejemos que los matemáticos sigan escribiendo páginas de esta gran historia.

Pascual Peiró Codina Licenciado en Matemáticas


12

GALERIA

EMMA LEHMER (1906-2007)

Emma Markovna Lehmer nació en Samara, Rusia, el 6 de noviembre de 1906, todavía dentro del periodo cronológico correspondiente al Imperio Ruso; y falleció en Berkeley, California, E. E. U. U., el 7 de mayo de 2007, próxima a cumplir los ciento un años. Fue considerada una matemática estadounidense a pesar de su origen ruso, conocida por su trabajo en las leyes de la reciprocidad en la teoría de números algebraica. Se centró, más que en otros aspectos de mayor abstracción de la teoría, en campos de números complejos y en números enteros.

El trabajo de su padre, como representante de una empresa rusa productora de azúcar, hizo que la familia se mudara a Harbin, en Manchuria, en 1910. Emma fue educada en su casa hasta los catorce, cuando se fundó una escuela en la zona. Consiguió emigrar a Estados Unidos para recibir la educación superior.

En Estados Unidos comenzó a estudiar ingeniería, en 1924, en la Universidad de California, Berkeley, pero posteriormente encontró su lugar en las matemáticas. En la universidad conoció al también estudiante de matemáticas Derrick Henry Lehmer, que era hijo de uno de sus profesores, Derrick Norman Lehmer, y con quien se casó en 1928, poco después de graduarse en matemáticas. Tuvieron dos hijos, Laura (1932) y Donald (1934).

Ambos ingresaron en la Universidad de Brown, donde Emma obtuvo la Maestría en 1930.

Entre los trabajos de Emma se incluye una traducción del ruso al inglés del libro de Pontryagin Grupos topológicos. Además, ella y Derrick H. Lehmer trabajaron en colaboración en muchas ocasiones: 21 de las 60 publicaciones hechas por Emma fueron fruto de un trabajo en conjunto. Sus publicaciones trataron principalmente de teoría de números y de la computación, con un especial énfasis en las leyes de reciprocidad, números primos especiales y congruencias.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Emma_Lehmer" Consulta: 11 Noviembre 2008.

JOHN ALLEN PAULOS

(Nació en 1945)

John Allen Paulos, nacido en E. E. U. U., el 4 de julio de 1945 es profesor de matemáticas y escritor, especializado en el ensayo divulgativo sobre las matemáticas y su implicación en la sociedad.

Paulos se crió en Chicago y Milwaukee y obtuvo un doctorado en matemáticas por la Universidad de Wisconsin. Actualmente ejerce como profesor en la Universidad Temple de Philadelphia. Su trabajo académico se centra en lógica matemática y teoría de la probabilidad.

Ha sido y es colaborador en diversos medios de comunicación, incluso ha ejercido como profesor adjunto en la Escuela de periodismo de la Universidad de Columbia. También ha pronunciado numerosas conferencias y ha recibido premios por su tarea divulgativa.

Obras

De sus trabajos literarios, por orden cronológico tenemos los siguientes (la fecha incluida corresponde a la publicación de la primera edición traducida al castellano).

1988: Pienso luego río. 1990: El hombre anumérico. 1993: Más allá de los números. 1996: Un matemático lee el periódico. 1999: Érase una vez un número. 2004: Un matemático invierte en la bolsa. 2007: Irreligion: A Mathematician Explains Why the

Arguments for God Just Don't Add Up.

Articulista

Se ha desempeñado como columnista para el Diario Daily News de Filadelfia, durante dos años, y tiene la Columna Who's Counting de ABCNews.com.

Premios

Recibió en 2003 el Premio por la promoción del conocimiento público de la ciencia y tecnología de la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia, AAAS en sus siglas en inglés.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/John_Allen_Paulos" Consulta: 11 Noviembre 2008.

homotecia nº 5-2009 - servicio.bc.uc.edu.veservicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2009/5-2009.pdf ·...

Documents