homotecia n 1-2009.doc)

EDITORIAL Hemos comenzado a vivir el año 2009. A diferencia de épocas anteriores, donde mostrábamos un optimismo eufórico deseándonos el venir de días buenos y de paz, sin situaciones apremiantes, disponer de oportunidades y el calificativo de logró para todo proyecto emprendido; hoy la característica principal que mostramos es el estar atentos y con mucha preocupación, a esos factores internos y externos que afectan el devenir nacional.

Desde el ámbito universitario, ambos tipos de factores llaman nuestra atención, por su específica incidencia sobre la naturaleza de lo que representa la institución universitaria de la cual formamos parte, no desde la concepción física como es la Universidad de Carabobo en nuestro caso; sino desde la concepción teórica y universal de la institución universitaria en sí como creadora de saberes, propulsora de la libertad, el pluralismo y la democracia, autónoma y al alcance de todos, generadora de pautas sociales para el modo de vida de una nación.

Ante ambas preocupaciones, consideramos que los externos a pesar de lo grave que sería un efecto negativo de los mismos sobre la institución universitaria y el país, tienen factibles salidas ya que aunque en su mayoría surgen de contrapartes ideológicas, pueden ser atendidos diplomáticamente. En este sentido, nos preocupan más los internos porque, en forma evidente mas que en un parece que, nos han hecho ver que molestamos.

En las universidades se confrontan las ideas “a favor” y “en contra”, algunas veces hasta de forma radical, pero la universidad como institución por su naturaleza está por encima de esta diatriba porque para ello surgió. Es decir que la universidad, sin dejar al lado el compromiso de ayudar a construir un país, es institucionalista, auténtica y libre, no permeable a la intervención de terceros. Por ello molesta.

El sábado trece de diciembre del año anterior, tomaron posesión en acto solemne, las autoridades rectorales de nuestra Alma Mater para el periodo 2008-2012. Por obligación institucional, por formación, por moral, por ética, es de esperarse que durante este tiempo de su gestión mantengan esa actitud que hasta ahora han manifestado quienes le han precedido: no plegarse sumisamente a una parcialidad ideológica. Es preferible sufrir los avatares de una disidencia razonada que verter nuestra conciencia y nuestra moral en una ciénega de donde la falta de valores nos impida luego emerger.

REFLEXIONES

"Obra de modo que la máxima de tu

voluntad pueda ser en todo tiempo principio de una ley general".

IMMANUEL KANT

RReevviissttaa HHOOMMOOTTEECCIIAA PPuubblliiccaaddaa ppoorr::

CCÁÁTTEEDDRRAA DDEE CCÁÁLLCCUULLOO

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA YY FFÍÍSSIICCAA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

UNIVERSIDAD DE CARABOBO

COORDINADORES DE PUBLICACIÓN

Prof. Rafael Ascanio H. Prof. Próspero González M.

Contribuyentes al Cálculo

John von Neumann Nació en Budapest, Imperio Austro-Húngaro el 28 de diciembre de 1903. Su nombre en húngaro es MARGITTAI NEUMANN JÁNOS LAJOS. Murió en Washington, D. C., Estados Unidos el 8 de febrero de 1957, donde se le conoció como JOHN VON NEUMANN (“Von Neumann” se pronuncia "fon Noiman"). Es considerado por muchos como la mente más genial del siglo XX, comparable solo a la de Albert Einstein.

JOHN VON NEUMANN

(1903-1957)

Tuvo tanto la ciudadanía húngara como la estadounidense, de ascendencia judía. Realizó contribuciones importantes en física cuántica, análisis funcional, teoría de conjuntos, informática, economía, análisis numérico, hidrodinámica (de explosiones), estadística y muchos otros campos de la matemática. Recibió su doctorado en matemáticas de la Universidad de Budapest a los 23 años.

Fue una de las cuatro personas seleccionadas para la primera facultad del Institute for Advanced Study (Instituto para Estudios Avanzados). Trabajó en el Proyecto Manhattan. Junto con Edward Teller y Stanislaw Ulam, resolvió pasos fundamentales de la física nuclear involucrada en reacciones termonucleares y la bomba de hidrógeno.

Es considerado el padre de la teoría de juegos y publicó el clásico libro Theory of Games and economic behavior ('Teoría de juegos y comportamiento económico'), junto a Oskar Morgenstern, en 1944. También concibió el concepto de "MAD" (Mutually Assured Destruction o 'destrucción mutua asegurada'), concepto que dominó la estrategia nuclear estadounidense durante los tiempos de posguerra.

Fue pionero de la computadora digital moderna y de la aplicación de la teoría operadora a la mecánica cuántica. Trabajó con Eckert y Mauchly en la Universidad de Pennsylvania, donde publicó un artículo acerca del almacenamiento de programas. El concepto de programa almacenado permitió la lectura de un programa dentro de la memoria de la computadora, y después la ejecución de las instrucciones del mismo sin tener que volverlas a escribir. La primera computadora en usar el citado concepto fue la llamada EDVAC (Electronic Discrete-Variable Automatic Computer, es decir 'computadora automática electrónica de variable discreta'), desarrollada por Von Neumann, Eckert y Mauchly. Los programas almacenados dieron a las computadoras flexibilidad y confiabilidad, haciéndolas más rápidas y menos sujetas a errores que los programas mecánicos.

Otra de sus inquietudes fue la capacidad de las máquinas de autorreplicarse, lo que le llevó al concepto de lo que ahora llamamos máquinas de Von Neumann o autómatas celulares.

LÓGICA

La axiomatización de las matemáticas, de acuerdo con el modelo de Los Elementos de Euclides, había alcanzado nuevos niveles de rigor y envergadura a finales del siglo XIX; particularmente en aritmética (gracias a Richard Dedekind y Giuseppe Peano) y geometría (gracias a David Hilbert). A comienzos del siglo XX, de cualquier manera, la teoría de conjuntos, la nueva rama de las matemáticas inventada por Georg Cantor y puesta en crisis por Bertrand Russell con el descubrimiento de su famosa paradoja (sobre el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos), no había sido formalizada. La paradoja de Russell consistía en la observación de que si el conjunto x (de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos) es un miembro de sí mismo, entonces debe pertenecer al conjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí mismos y, por otra parte, si el conjunto x no pertenece a sí mismo, entonces debe pertenecer al conjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí mismos y, por lo tanto, debe pertenecer a sí mismo.

(Continúa en la siguiente página)

LAS IDEAS Y OPINIONES DE LOS AUTORES DE LOS ARTÍCULOS QUE PUBLICAMOS EN HOMOTECIA SON RESPONSABILIDAD DE LOS MISMOS. SI ALGÚN LECTOR TIENE OBJECIONES SOBRE ÉSTAS, AGRADECEMOS NOS HAGA LLEGAR POR ESCRITO SUS COMENTARIOS.

HHOOMMOOTTEECCIIAA Tiraje: 100 ejemplares

CÁTEDRA DE CÁLCULO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA - FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN - UNIVERSIDAD DE CARABOBO PUBLICACIÓN PERIODICA Nº 1 - AÑO 7 e-mail: [email protected] Valencia, 7 de Enero de 2009

HOMOTECIA Nº 1–Año 7 Miércoles, 7 de Enero de 2009

2

(Viene de la página anterior)

El problema de una axiomatización adecuada de la teoría de conjuntos fue resuelto, implícitamente, cerca de 20 años después, gracias a Ernst Zermelo y Abraham Frankel, por medio de una serie de principios que permitieron la construcción de todos los conjuntos utilizados en la práctica actual de las matemáticas, pero que no excluía, explícitamente, la posibilidad de la existencia de conjuntos que pertenecieran a sí mismos. En su tesis doctoral de 1925, Von Neumann demostró cómo era posible excluir esta posibilidad en dos formas complementarias: el axioma de la fundación y la noción de clase.

El axioma de la fundación establecía que cada conjunto puede ser construido de abajo hacía arriba en una sucesión de pasos ordenada por medio de los principios de Zermelo y Frankel, de tal manera que si un conjunto pertenece a otro, entonces, el primero debe, necesariamente, ir antes del segundo en la sucesión (con esto se excluye la posibilidad de que un conjunto pertenezca a sí mismo). Con el objetivo de demostrar que la adición de este nuevo axioma a los otros no implicaba contradicciones, Von Neumann introdujo un método de demostración (llamado método de los modelos internos) que más tarde se convertiría en un instrumento esencial de la teoría de conjuntos.

La segunda aproximación al problema toma como base la noción de clase y define un conjunto como una clase que pertenece a otras clases, mientras una clase de propiedad es definida como una clase que no pertenece a otras clases. Mientras en la aproximación Zermelo/Frankel los axiomas impiden la construcción de un conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, en la aproximación de Von Neumann la clase de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos puede ser construida pero es una clase de propiedad y no un conjunto.

Con esta contribución de Von Neumann, el sistema axiomático de la teoría de conjuntos se hizo completamente satisfactorio y la siguiente cuestión era si aquel era o no definitivo y no estaba sujeto a mejoras. Una respuesta fuertemente negativa llegó en septiembre de 1930 al histórico-matemático Congreso de Konigsberg, en el cual Kurt Gödel anunció su famoso primer teorema de la incompletitud: los sistemas axiomáticos usuales son incompletos, en el sentido de que no pueden probar cada verdad que es expresable en su lenguaje. Este resultado fue lo suficientemente innovador como para confundir a la mayoría de matemáticos de aquella época. Pero Von Neumann, que había participado en el congreso, confirmó su fama de pensador instantáneo y, en menos de un mes, estaba en la capacidad de comunicarle a Gödel una interesante consecuencia de su teorema: los sistemas axiomáticos usuales son incapaces de demostrar su propia consistencia. Ésta es, precisamente, la consecuencia que ha atraído la mayor atención, incluso si Gödel, originalmente, la consideraba como una simple curiosidad, la habría derivado independientemente, es por esta razón que el resultado es llamado el segundo teorema de Gödel, sin mención alguna a Von Neumann.

MECÁNICA CUÁNTICA

En el Congreso Internacional de Matemáticas de 1900, David Hilbert presentó su famosa lista de 23 problemas considerada central para el desarrollo de las matemáticas del nuevo siglo: el sexto problema era la axiomatización de las teorías físicas. Entre las nuevas teorías físicas del siglo la única que tenía todavía que recibir tal tratamiento para finales de la década de 1930 era la mecánica cuántica. De hecho, la mecánica cuántica se encontraba, en ese momento, en una condición de crisis de fundamentos, similar a aquella que pasó la teoría de conjuntos a comienzos de siglo, enfrentando problemas tanto de naturaleza filosófica como técnica; por otra parte, su aparente indeterminismo no había sido reducido, como Albert Einstein creía que debía ser en orden de que la teoría se hiciera satisfactoria y completa, a una explicación de forma determinista; además, todavía existían dos formulaciones heurísticas distintas, pero equivalentes: la supuesta matriz mecánica de Werner Heisenberg y la onda mecánica de Erwin Schrödinger, pero no había todavía una formulación teorética unificada satisfactoria.

Después de haber completado la axiomatización de la teoría de conjuntos, Von Neumann empezó a enfrentarse a la axiomatización de la mecánica cuántica. Inmediatamente, en 1926, comprendió que un sistema cuántico podría ser considerado como un punto en un llamado espacio de Hilbert, análogo al espacio de fase 6N dimensional (N es el número de partículas, 3 coordenadas generales y 3 momentos canónicos para cada una) de la mecánica clásica, pero con infinidad de dimensiones (correspondiente a la infinidad de estados posibles del sistema) en su lugar: las cantidades de la física tradicional (i. e. posición y momento) podrían estar, entonces, representadas como operadores lineales particulares operando en esos espacios. La física de la mecánica cuántica era, debido a eso, reducida a las matemáticas de los operadores lineales Hermitianos en los espacios de Hilbert.

Por ejemplo, el famoso principio de incertidumbre de Heisenberg, según el cual la determinación de la posición de una partícula impide la determinación de su momento y viceversa, es trasladado a la no-conmutatividad de los dos operadores correspondientes. Esta nueva formulación matemática incluía, como clases especiales, las formulaciones tanto de Heisenberg como de Scrödinger y culminó en el clásico de 1932 Las Fundamentaciones Matemáticas de la Mecánica Cuántica. De cualquier manera, los físicos, en general, terminaron prefiriendo otra aproximación diferente a la de Von Neumann (la cual era considerada extremadamente elegante y satisfactoria por los matemáticos). Esta aproximación, formulada en 1930 por Paul Dirac y que estaba basada en un extraño tipo de función (la llamada delta de Dirac), fue severamente criticada por Von Neumann.

De cualquier forma, el tratamiento abstracto de Von Neumann le permitió también confrontar el problema extremadamente profundo y fundamental del determinismo vs. el no-determinismo y en el libro demostró un teorema de acuerdo con el cual es imposible que la mecánica cuántica sea derivada por aproximación estadística de una teoría determinista del mismo tipo de la utilizada en mecánica clásica. Esta demostración contenía un error conceptual, pero ayudó a inaugurar una línea de investigaciones que, gracias al trabajo de John Stuart Bell en 1964 sobre el teorema de Bell y los experimentos de Alain Aspect en 1982, eventualmente demostraron que la física cuántica, en definitiva, requiere una noción de la realidad substancialmente diferente de la manejada en física clásica.

En un trabajo complementario de 1936, Von Neumann probó (junto con Garret Birkhoff) que la mecánica cuántica también requiere una lógica substancialmente diferente de la lógica clásica. Por ejemplo, la luz (los fotones) no puede pasar a través de dos filtros sucesivos que estén polarizados perpendicularmente (v. g. uno horizontal y el otro vertical) y por eso, a fortiori, la luz no puede pasar si un tercer filtro, polarizado diagonalmente, es adicionado a los otros dos ya sea antes o después de ellos en la sucesión. Pero si el tercer filtro es puesto entre los otros dos, los fotones sí pasarán. Éste hecho experimental es traducido en términos lógicos como la no-conmutatividad de la conjunción, es decir ABBA ∧≠∧ . También se demostró que las leyes de distribución de la lógica clásica,

( ) ( ) ( )RPQPRQP ∨∧∨=∧∨ y ( ) ( ) ( )RPQPRQP ∧∨∧=∨∧ , no son válidas para la teoría cuántica. La razón para esto es que una

disyunción cuántica, diferente al caso de la disyunción clásica, puede ser verdadera incluso cuando ambos disjuntos son falsos y esto es, a su vez, atribuible al hecho de que es frecuente el caso, en mecánica cuántica, de que un par de alternativas son semánticamente determinadas, mientras cada uno de sus miembros son necesariamente indeterminados. Esta última propiedad puede ser ilustrada con un simple ejemplo. Supóngase que se está tratando con partículas (como electrones) de espín (momento angular) semi-integral, por lo que sólo hay dos posibles valores: positivo o negativo. Entonces, un principio de indeterminación establece que el espín, relativo a dos direcciones diferentes (v.g., x ∧ y), resulta en un par de cantidades incompatibles. Supóngase que el estado φ de cierto electrón verifica la proposición "el espín del electrón x es positivo".

(Continúa en la siguiente página)


3


Por el principio de indeterminación, el valor del espín en la dirección y será completamente indeterminado para φ. Entonces, φ no puede verificar ni la proposición "el espín en la dirección de y es positivo" ni la proposición "el espín en la dirección de y es negativo". Sin embargo, la disyunción de la proposición "el espín en la dirección y es positivo o negativo" debe ser verdadera para φ. En el caso de la distribución es, por lo tanto, posible tener una situación en la cual ( ) AACBA =∧=∨∧ 1 ,

mientras ( ) ( ) 000 =∨=∧∨∧ CABA .

ECONOMÍA

Hasta la década de 1930, el campo de la economía parecía involucrar el uso de una gran cantidad de matemáticas y números, pero casi todo era superficial o irrelevante. La economía era usada, sobre todo, con el objetivo de proveer, inútilmente, formulaciones precisas y soluciones a problemas que eran, de hecho, intrínsecamente vagos. La economía se encontraba en un estado similar al de la física del siglo XVII: todavía esperando por el desarrollo de un lenguaje apropiado a través del cual expresarse y resolver sus problemas. Mientras la física, por supuesto, había encontrado su lenguaje en el cálculo infinitesimal, Von Neumann propuso el lenguaje de la teoría del juego y la teoría del equilibrio general para la economía.

Su primera contribución significativa fue el teorema minimax de 1928. Este teorema establece que en ciertos juegos llamados zero-sum (suma cero), involucrando información perfecta (esto es, cada jugador conoce de antemano la estrategia de su oponente y sus consecuencias), existe una estrategia que permite a ambos jugadores minimizar su máxima pérdida (de ahí el nombre minimax). En particular, cuando se examina cada posible estrategia, un jugador debe considerar todas las respuestas posibles del jugador adversario y la pérdida máxima que puede acarrear. El jugador juega, entonces, con la estrategia que resulta en la minimización de su máxima pérdida. Tal estrategia es llamada óptima para ambos jugadores sólo en caso de que sus minimaxes sean iguales (en valor absoluto) y contrarios (en signo). Si el valor común es cero el juego se convierte en un sinsentido.

Von Neumann eventualmente perfeccionó y extendió el teorema minimax para incluir juegos que involucran información imperfecta y juegos de más de dos jugadores. Este trabajo culminó en el clásico de 1944 La Teoría de Juegos y El Comportamiento Económico (escrito con Oskar Morgenstern).

La segunda contribución importante de Von Neumann en esta área fue la solución, en 1937, a un problema descrito por Leon Walras en 1874: la existencia de situaciones de equilibrio en modelos matemáticos de desarrollo del mercado basado en oferta y demanda. Primero reconoció que tal modelo tendría que estar expresado por medio de inecuaciones (como se hace actualmente, 2006) y no de ecuaciones (como solía hacerse) y, entonces, encontró la solución al problema de Walras aplicando un teorema de punto fijo derivado del trabajo de Luitzen Brouwer. La importancia perdurable del trabajo en equilibrio general y la metodología de los teoremas de punto fijo es resaltada por la concesión del Premio Nobel, en 1972, a Kenneth Arrow y, en 1983, a Gerard Debreu.

Von Neumann (junto con Morgenstern en su libro de 1944) fue el primero en emplear el método de prueba, utilizado en teoría de juego, conocido como backward induction (inducción retrógrada). [1].

ARMAMENTISMO

En 1937 Von Neumann, habiendo obtenido recientemente su ciudadanía americana, empezó a interesarse en problemas de matemática aplicada. Se convirtió rápidamente en uno de los más grandes expertos en materia de explosivos y se comprometió con un gran número de consultorías militares, principalmente para la Marina de Estados Unidos (parece posible que prefiriera socializar con almirantes más que con generales, porque a los primeros solía invitarlos a beber una copa, mientras a los últimos simplemente un café).

Un resultado notable en el campo de explosiones fue el descubrimiento de que las bombas de larga dimensión son más devastadoras si se detonan antes de tocar el suelo, por la fuerza adicional causada por las ondas de detonación (los medios mantuvieron, simplemente, que Von Neumann había descubierto que es mejor perder un objetivo que acertarlo). Las más famosas (o infames) aplicaciones de este descubrimiento ocurrieron el 6 y 9 de agosto de 1945, cuando dos proyectiles nucleares fueron detonados sobre las tierras de Hiroshima y Nagasaki, a la altitud precisa, calculada por el mismo Von Neumann, con el objetivo de que produjeran el mayor daño posible.

Von Neumann había sido llevado al Proyecto Manhattan con el objetivo de que ayudara a diseñar los explosivos de contacto necesitados para comprimir el núcleo de plutonio del dispositivo Trinity test y el arma "Fat Man" caída en Nagasaki. Desde un punto de vista político, Von Neumann era un miembro del comité cuyo trabajo era seleccionar "objetivos" potenciales. La primera elección de Von Neumann, la ciudad de Kyoto, fue rechazada por el secretario de guerra Henry Stimson.

Después de la guerra, Robert Oppenheimer había hecho notar que los físicos tenían un "pecado conocido" como resultado de su desarrollo de las primeras bombas atómicas. La respuesta de Von Neumann, algo cínica, fue que "algunas veces alguien confiesa un pecado con el fin de darse el crédito por él". En cualquier caso, él continuó imperturbable en su trabajo y, eventualmente, se convirtió, junto con Edward Teller, en uno de los más convencidos defensores del proyecto sucesivo de la construcción de la bomba de hidrógeno. Von Neumann había colaborado con el espía Klaus Fuchs en el desarrollo de la bomba de hidrógeno y los dos archivaron una patente secreta sobre "mejora en métodos y medios para la utilización de energía nuclear" en 1946, la cual esbozaba un esquema para el uso de la explosión de una bomba de fisión en la compresión de combustible de fusión antes de procurar iniciar una reacción termonuclear. Aunque aquella no era la clave para el éxito del diseño de la bomba de hidrógeno — Teller-Ulam design —, fue juzgada más adelante por haber sido un paso en la dirección correcta hacia el logro de éste, incluso cuando no era perseguido inmediatamente.

El trabajo de Von Neumann en la bomba de hidrógeno se encontraba también en el dominio de la computación, donde él y Stanislaw Ulam desarrollaron simulaciones computacionales en las nuevas calculadoras digitales de Von Neumann para los cómputos hidrodinámicos necesarios. Fue durante este tiempo que contribuyó al desarrollo del método de Monte Carlo, el cual permitía la aproximación de problemas muy complicados a través del uso de números aleatorios. Como utilizar listas de "verdaderos" números aleatorios era demasiado lento para el ENIAC, Von Neumann elaboró una forma tosca de hacer números pseudoaleatorios, utilizando el método middle-square (medio-cuadrado). Aunque este método ha sido criticado retrospectivamente como demasiado tosco, Von Neumann era consciente de eso en aquel entonces: él lo justificó por ser más rápido (en términos de tiempo computacional) que cualquier otro método a su disposición en ese momento y también hizo notar que cuando aquel fallaba lo hacía de manera muy obvia, no como otros métodos que podían ser sutilmente incorrectos.

En 1952 la primera bomba de hidrógeno, Ivy Mike, fue detonada en el atolón de Enewetak. (Continúa en la siguiente página)


4


CIENCIA COMPUTACIONAL

Von Neumann le dio su nombre a la arquitectura de Von Neumann, utilizada en casi todos los computadores, por su publicación del concepto; aunque muchos piensan que este nombramiento ignora la contribución de J. Presper Eckert y John William Mauchly, quienes aportaron al concepto durante su trabajo en ENIAC.1 Virtualmente, cada computador personal, microcomputador, minicomputador y supercomputador es una máquina de Von Neumann. También creó el campo de los autómatas celulares sin computadores, construyendo los primeros ejemplos de autómatas autorreplicables con lápiz y papel. El concepto de constructor universal fue presentado en su trabajo póstumo Teoría de los Autómatas Autorreproductivos. El término "máquina de Von Neumann" se refiere alternativamente a las máquinas autorreplicativas. Von Neumann probó que el camino más efectivo para las operaciones mineras a gran escala, como minar una luna entera o un cinturón de asteroides, es a través del uso de máquinas auto-replicativas, para tomar ventaja del crecimiento exponencial de tales mecanismos.

Adicional a su trabajo en arquitectura computacional, Von Neumann es acreditado con al menos una contribución al estudio de algoritmos. Donald Knuth denomina a Von Neumann como el inventor, en 1945, del conocido algoritmo merge sort, en el cual la primera y segunda mitad de un array (vector) son cada una clasificadas recursivamente y luego fusionadas juntas.

IDENTIFICACIÓN DE VON NEUMANN

EN EL LABORATORIO NACIONAL LOS ÁLAMOS También se comprometió en la investigación de problemas en el campo de la hidrodinámica numérica. Junto con R. D. Richtmyer desarrolló un algoritmo definiendo viscosidad artificial, que probó la esencia para el entendimiento de las ondas de choque. Puede decirse que no entenderíamos mucho de astronáutica y ni siquiera habríamos desarrollado jets y motores espaciales sin ese trabajo. El problema a resolver era que cuando los computadores resuelven problemas hidro o aerodinámicos, buscan poner muchos puntos de grilla computacionales en regiones con onda de choque de discontinuidad aguda. La viscosidad artificial era un truco matemático para suavizar levemente la transición del choque sin sacrificar la física básica.

1 ↑ David A. Patterson y John L. Hennessy, Organización y diseño de computadores, Aravaca. McGraw-Hill / Interamericana de España, S.A., 09/1994

Algunas fotografías de JOHN VON NEUMANN

Tomado de: Wikipedia® Wikimedia Foundation, Inc. 3 Julio 2008


5

CCÁÁLLCCUULLOO IINNTTEEGGRRAALL

LLAA IINNTTEEGGRRAALL DDEEFFIINNIIDDAA CÁLCULO DE LA INTEGRAL DEFINIDA COMO LÍMITE DE LA SUMA INTEGRAL O SUMA DE RIEMANN: INTEGRAL DE RIEMANN

EJEMPLOS.-

1.- Calcule la integral definida ∫b

adx utilizando Sumas de Riemann.

Solución: Previo se debe considerar que lo indicado en el ejemplo significa que la ∫∫ ⋅=

b

a

b

adxdx 1 .

Para obtener la Suma de Riemann se utiliza: ∑−

=

∆=1

0

)(n

i

iin xxfS

La amplitud de todos y cada uno de los subintervalos se calcula por : n

abxi

−=∆ .

Los puntos ix se determinan por: n

iabaxixx ii

⋅−+=∆⋅+=

)(0

.

Pero para este ejemplo 1)(

)( =

⋅−+=

n

iabafxf i

; en consecuencia:

(*)1.1)(1

0

1

0

1

0

=⋅−

=

−=∆= ∑∑∑

−

=

−

=

−

=

n

i

n

i

n

i

iinn

ab

n

abxxfS

Para resolver la sumatoria ∑−

=

1

0

1n

i

, se utiliza la propiedad constantekconkrsks

ri

;)1( ⋅+−=∑=

. Siendo así, entonces: nn

i

=∑−

=

1

0

1 .

Luego, volviendo a (*): abSabnn

abn −=⇒−=⋅

−

Calculando el límite de la Suma de Riemann: ababLimSLim

nn

n−=−=

∞→∞→)( .

Por lo que se puede concluir que:

abdxIb

a−== ∫0

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)


6

(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

2.- Obtenga el valor de ∫−1

2

2dxx utilizando Sumas de Riemann.

Solución:

Si ∫−1

2

2dxx , entonces 2)()( ii xxf = .

Calculando la amplitud de los subintervalos: nn

xi3)2(1

=−−

=∆ .

Los puntos ix vienen dado por: n

ixixx ii

320 +−=∆⋅+= .

Como 2

32

32)(

+−=

+−=n

i

n

ifxf i

, en consecuencia:

[ ] (*)912

143912

433

2333

2)·(1

0

1

0

2

2

1

0

1

02

21

0

21

0

21

0

=

++⋅=

+−⋅=

+−⋅=

⋅

+−=∆= ∑ ∑∑∑∑∑∑−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

iin in

innn

i

n

i

nn

i

nnn

ixxfS

Ahora es necesario resolver las sumatorias parciales planteadas.

a) ∑−

=

1

0

1n

i

. Por propiedades de las sumatorias se tiene que: krsks

ri

⋅+−=∑=

)1( . Si se adapta al caso del ejercicio, entonces:

1111)101(11

0

1

0

∑∑−

=

−

=

=⇒=⋅+−−=n

i

n

i

n .

b) ∑−

=

1

0

n

i

i . Por sumatoria notable se tiene que: 2

)1(

1

+=∑

=

nni

n

i

. Si se adapta al caso del ejercicio, entonces: ( )2

11

0

nni

n

i

−=∑

−

=

.

c) ∑−

=

1

0

2n

i

i . Por sumatoria notable se tiene que: 6

)12()1(

1

2 ++=∑

=

nnni

n

i

. Si se hace la adaptación al caso del ejercicio, entonces:

( )6

)12(11

0

2 −−=∑

−

=

nnni

n

i

.

Estos valores obtenidos se llevan a (*) y se obtiene la expresión de la Suma de Riemann.

Volviendo a (*):

2

2

2

222

2

2

996

2

996

2

3323

2

39662

3

2

)12)(1(3)1(64

3

6

)12()1(9

2

)1(124

3(*)

n

nnS

n

nn

n

nn

nn

nnn

n

n

nnnn

n

nnn

n

nn

nn

nS

n

n

++=⇒

++=

++⋅=

+−++−⋅=

=

−−+−−⋅=

−−⋅+

−⋅−⋅==

Calculando el límite de la Suma de Riemann: 32

6

2

9962

2

==++

=∞→∞→ n

nnLimSLimn

nn

.

Luego:

31

2

2

0 == ∫− dxxI

En el próximo número, presentaremos otros tópicos relacionados con la Integral Definida.


7

El más famoso de los matemáticos israelíes comunicó a la Academia de Ciencias

de Israel sus conclusiones: «El código de la Biblia es un hecho demostrado.»

¿Presenta, pues, la Biblia, al igual que la mecánica cuántica, todas las variantes posibles? ¿O anuncia predicciones invariables,

talladas en piedra? Algunas, como la del asesinato de Rabin, han ocurrido sin lugar a dudas. ¿Es esto cierto para todas las

predicciones? Albert Einstein, jamás quiso aceptar la idea de que el universo estuviera gobernado por el azar, «Dios -afirmaba

Einstein- no juega a los dados.»

Tomado de Google el 08-11-2008. Fechado: 10/10/2005 w w w . i t o n g a d o l . c o m . a r / i m á g e n e s / a u m a n n c o n n e n e . j p e g

DOCTOR ROBERT J. AUMANN

Matemático Israelí

Yisrael Robert John Aumann Nació en Fráncfort del Meno, Alemania, el 8 de junio de 1930. Su familia emigró a Estados Unidos en 1938. Se licenció en Matemáticas en el City College de Nueva York en 1950. Obtuvo la Maestría en 1952 y el Doctorado en 1955, ambos por el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT). Es considerado matemático israelí. Miembro de la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos. Miembro de los «Profesores para un Israel Fuerte» (PSI), un grupo político de la derecha israelí. Es profesor del centro para el Estudio de la Racionalidad de la Universidad Hebrea de Jerusalén, en Israel. Fue galardonado con el Premio Nobel de Economía en 2005 por «haber ampliado nuestra comprensión de conflicto y cooperación en la teoría de juegos». Compartió el premio con Thomas Schelling.

La mayoría de los científicos creen que el principio de incertidumbre es una propiedad fundamental e ineluctable del mundo. Según este principio no habría un futuro único sino muchos futuros posibles. Recurramos nuevamente a Hawking: «La mecánica cuántica no predice un único resultado definido para cada observación. Predice, en cambio, los diferentes resultados posibles y sus probabilidades de ocurrir.»

¿Presenta, pues, la Biblia, al igual que la mecánica cuántica, todas las variantes posibles? ¿O anuncia predicciones invariables, talladas en piedra? Algunas, como la del asesinato de Rabin, han ocurrido sin lugar a dudas. ¿Es esto cierto para todas las predicciones? Si bien no contamos aún con experiencia suficiente como para responder a esta pregunta, podría ser que ni siquiera la regla aparentemente inamovible del principio de incertidumbre rigiese en el caso del código. De hecho, toda la ciencia convencional y la totalidad de los conceptos convencionales de realidad podrían perder toda relevancia si un ser situado fuera del sistema, fuera de nuestras tres dimensiones, fuera del tiempo, hubiera codificado la Biblia. De ser así, el código no tendría que obedecer ninguna de nuestras leyes, ya fueran científicas o no.

Hasta Hawking admite que nuestras reglas del azar no tienen por qué aplicarse a Dios: «Nada nos impide imaginar un sistema de leyes capaz de determinar los acontecimientos para un ser sobrenatural.» Desde el momento en que aceptamos que no estamos solos -y que existe una inteligencia que trasciende la nuestra-todo lo demás requiere un reposicionamiento. El gran genio de la ciencia contemporánea, Albert Einstein, jamás quiso aceptar la idea de que el universo estuviera gobernado por el azar. «No hay duda de que la mecánica cuántica causa gran impresión. Pero –objetaba Einstein-una voz interna me dice que todavía no hemos llegado al meollo del asunto. La teoría habla de muchas cosas pero no nos acerca ni un ápice al secreto del "Gran Jefe".» «Dios -afirmaba Einstein- no juega a los dados.» ¿Era posible que un código oculto en la Biblia hubiera registrado una serie de hechos miles de años antes a que éstos ocurrieran, hubiera consignado nuestra historia anticipándose a ella y fuera capaz de revelarnos un futuro que nosotros aún no habíamos vívido?

Abrumado por estas preguntas, me dirigí al matemático más célebre de Israel, el doctor Robert J. Aumann. Se trata de uno de los expertos mundiales en teoría de juegos, miembro de las academias de ciencias estadounidense e israelí. «El código de la Biblia -dijo tajante Aumann-es un hecho. El planteamiento científico es impecable y los resultados de Rips son altamente significativos, de un modo inusual en el mundo de la ciencia. He leído sus trabajos con atención; los resultados son claros y están perfectamente desarrollados. Es más de cuanto se puede pedir en términos estadísticos. El rendimiento más exigente no suele pasar de una probabilidad en un millar. Los resultados de Rips son significativos como mínimo a un nivel de una en cien mil. No es nada frecuente ver resultados así en la experimentación científica. «Es de vital importancia continuó Aumann-dispensarle a éste el mismo tratamiento que a cualquier otro experimento científico, ser muy fríos, muy metódicos, hacer las pruebas pertinentes y verificar los resultados. Por lo que a mí respecta, el código de la Biblia no ofrece dudas. Le hablo como contable. He revisado los libros y no hay cuenta que no cuadre. Son de una limpidez inmaculada.»

Al principio, Aumann había albergado serias dudas. Le resultaba difícil aceptar que un código oculto en la Biblia pudiera revelar el futuro. «Es algo que se contradecía con mi formación matemática e incluso con los planteamientos religiosos a los que me había amoldado. Se aleja tanto del conocimiento científico... No ha habido nada igual en siglos y siglos de ciencia moderna.» Aumann habló con destacados matemáticos de Israel, de Estados Unidos, de Europa, del mundo entero. Ninguno pudo señalar el más mínimo fallo en el procedimiento de Rips. Aumann siguió durante años los trabajos de Rips y dedicó varios meses a revisarlos en detalle. Finalmente, el 19 de marzo de 1996, el más famoso de los matemáticos israelíes comunicó a la Academia de Ciencias de Israel sus conclusiones: «El código de la Biblia es un hecho demostrado.»

Pero el código esconde grandes misterios aún no desentrañados. Rips, que es quien más sabe del tema, lo compara con un gigantesco puzzle de millares de piezas de las que nosotros conocemos apenas unos cientos. «Si el código cobrara amplia difusión -previene Rips-y la gente intentase emplearlo para predecir el futuro, deberían saber que es muy complejo. Allí pueden estar contempladas todas las probabilidades y aquello que hagamos Podría determinar los acontecimientos. Quizá fue hecho así a fin de preservar el libre albedrío. Lo peor que podría ocurrir es que alguna gente interpretara lo que está codificado en la Biblia como mandamientos, como órdenes a cumplir. Porque no es eso, es sólo información, no pueden ser sino probabilidades.»

Sin embargo, si el código de la Biblia contempla todas las probabilidades, la gran pregunta, lejos de desaparecer, asume otra magnitud: ¿cómo puede un código contener cada instante de la historia humana? En términos históricos, el asesinato de Rabin, el escándalo del Watergate, incluso la llegada del hombre a la Luna no son más que momentos puntuales.

¿Cómo pueden estar codificados todos y cada uno de esos momentos en un solo libro? Le pregunté a Rips si había algún límite a la información del código.

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¿Qué proporción de nuestra historia podía contener la Biblia? «La entera totalidad -contestó el matemático. Volvió a citar la frase que me había leído en ocasión de nuestro primer encuentro, las palabras de aquel sabio dieciochesco, el Genio de Vilna-: Es regla que todo lo que fue, es y será hasta el fin de los tiempos está incluido en la Torá.»

Pero ¿cómo podía ser esto cierto si el texto original del Antiguo Testamento constaba exactamente de 304805 letras? «En teoría, la información que pudo ser codificada no tiene límite –dijo Rips y, cogiendo mi cuaderno de notas, empezó a desarrollar una ecuación-.

Teniendo un conjunto finito podemos buscar el conjunto exponencial y, a continuación, el conjunto de todos los subconjuntos. Además, cada elemento de cada conjunto puede estar activo o inactivo.»

Rips había escrito en el cuaderno la siguiente fórmula: S, P(S),P(P(S)) = P2(s)..., PK(S). Aunque se me escapaban los detalles matemáticos, entendí lo que quería demostrarme: de una base de datos limitada pueden extraerse incontables combinaciones y permutaciones. «Diez o veinte billones como mínimo. Para hacernos una idea: si empezamos a contar desde uno -explicó Rips-sin parar, noche y día, tardaríamos cien años en llegar a tres billones.» En otras palabras, el código secreto de la Biblia contiene más información de la que podríamos dedicarnos a contar, no ya a encontrar en el texto, a lo largo de varias vidas. Sin tomar en cuenta cada uno de los «crucigramas» que genera la intersección de dos, tres o diez palabras distintas. Rips piensa que la información codificada es incalculable y, probablemente, infinita. Y eso que sólo estamos hablando del nivel inicial y menos complejo del código de la Biblia. Siempre hemos tenido a la Biblia por un libro. Ahora sabemos que bajo esa forma se esconden otras. Por ejemplo, la de programa informático. Y no porque Rips haya introducido su contenido en un ordenador sino porque su autor original lo diseño para que fuera interactivo y cambiante. Podemos considerar el código de la Biblia como una serie de revelaciones temporizadas, es decir, sólo descifrables mediante la tecnología de la época a que aluden las predicciones. Quizá se trate de una forma de información inimaginable para nosotros, del mismo modo que la informática habría resultado inconcebible para los nómadas que hace tres mil años poblaban el desierto. «Seguramente consta de varios niveles más de profundidad -aventura Rips-, pero por el momento carecemos de un modelo matemático lo bastante potente como para acceder a ellos. Sin duda ha de parecerse más a un holograma que a un crucigrama. Estamos hurgando en matrices bidimensionales y probablemente deberíamos buscar en tres dimensiones como mínimo, sólo que ignoramos cómo hacerlo.» Nadie puede explicar, por otra parte, cómo fue creado el código. Todos los científicos, matemáticos y físicos que han aceptado su existencia coinciden en señalar que ni los más veloces ordenadores de que disponemos -incluidos todos los Crays de la gran sala central del Pentágono, las unidades principales de la IBM y todos los ordenadores del mundo trabajando juntos-podrían obtener un texto como el que fue codificado hace tres mil años. «Me resulta imposible imaginar -dice Rips-cómo o quién pudo hacer algo así. Estamos ante una mente que supera nuestra imaginación.» El programa de ordenador gracias al cual hemos podido acceder al código no será, sin duda, la última forma que adopte la Biblia. Es probable que su próxima encarnación ya exista y esté esperando a que inventemos la máquina capaz de descubrirla. «Es más -advierte Rips-, me temo que ni siquiera lograremos acabar de descodificar toda la información a la que tenemos acceso. Incluso a este primer nivel, la información parece infinita.» No sabemos todavía si todo el pasado y todo el futuro de cada uno de nosotros están contenidos en algún nivel superior y por ahora inaccesible del código secreto de la Biblia. Ello la convertiría, en efecto, en el Libro de la Vida. Lo que sí parece evidente es que el nivel de codificación al que hemos logrado acceder contiene todos los acontecimientos relevantes de la historia mundial.

Todos los líderes de la segunda guerra mundial -Roosevelt, Churchill, Stalin, Hitler- están allí. «América», «revolución» y 1776 («5536») aparecen en el mismo sector. «Napoleón» está codificado junto a «Francia», pero también junto a «Waterloo» y «Elba». La revolución que cambió la faz del siglo XX, la «revolución» comunista en «Rusia», está codificada al lado del año en que triunfó, 1917 («5678»). Grandes artistas y escritores, inventores y científicos, tanto antiguos como actuales, aparecen por doquier en el texto oculto. «Homero» está descrito como «poeta griego». «Shakespeare» forma parte de una misma secuencia codificada que no sólo revela su nombre sino también sus logros: «Shakespeare» -«llevó a escena» -«Hamlet»-«Macbeth». «Beethoven» y «Johann Bach» aparecen como «compositores alemanes», y «Mozart» es un «compositor» de «música». «Rembrandt» está codificado junto a «holandés» y «pintor». «Picasso» figura como «el artista». También los grandes avances tecnológicos están registrados en el código. Los «hermanos Wright» están conectados con la palabra «aeroplano». «Edison» figura junto a «electricidad» y «bombilla», «Marconi» junto a «radio». Los dos científicos cuyas definiciones del universo continúan rigiendo el mundo moderno, Newton y Einstein, se encuentran en el código junto a sus principales descubrimientos.

Al lado de «Newton», el hombre que describió el funcionamiento de nuestro sistema solar y la fuerza gravitatoria que mantiene en su sitio a los planetas, aparece la palabra «gravedad». Hasta los intentos del propio Newton por encontrar en la Biblia un código capaz de revelar el futuro están consignados en el texto oculto: cerca del nombre del astrónomo puede leerse «código de la Biblia». A Einstein se lo menciona una vez. En la proximidad se lee «vaticinaron una persona sesuda». La palabra «ciencia», intercalada con la frase «un nuevo y excelente conocimiento», cruza el nombre. Y justo encima de «Einstein» el código predice: «revolucionó la realidad».

También su teoría de la relatividad está codificada. De hecho, la explicación global del universo que Einstein buscaba y no encontró, la teoría unificada completa, podría encontrarse codificada en la Biblia desde hace tres mil años. Junto al nombre del científico, la única vez que éste aparece, y asimismo al mencionar la teoría de la relatividad, el código da la siguiente pista: «añadir una quinta parte». Lo cual parece indicar que no encontraremos la respuesta que buscaba Einstein en nuestro espacio de tres dimensiones ni al añadir la cuarta dimensión temporal, sino en una quinta dimensión cuya existencia ningún físico cuántico pone hoy en entredicho.

«En los textos religiosos más antiguos -observó Rips-también se menciona una quinta dimensión. La llaman "profundidad del bien y del mal".» ¿Cielo e infierno? Estas cuestiones en otro tiempo preocupaban al hombre, pero pocos científicos actuales, y aún menos periodistas, suelen tomarlas en serio. Sin embargo, el código secreto de la Biblia vuelve a situarnos ante las grandes preguntas de antaño. ¿Prueba el código que hay un Dios? Para Eli Rips, la respuesta es sí. «El código de la Biblia ofrece pruebas científicas inapelables», declara el matemático. Pero Rips creía en Dios antes de encontrar tales pruebas. Muchos otros coincidirán con él en que por fin tenemos pruebas seculares de su existencia. Por mi parte, sólo sé que ningún humano pudo haber codificado la Biblia de esta manera. Contamos, pues, con la primera prueba científica de que existe, o al menos existió en la época en que fue escrita la Biblia, una inteligencia que trasciende la nuestra. Ignoro si se trata de Dios. Pero estoy seguro de que codificar información en la Biblia respecto de hechos que ocurrirían tres mil años después no está al alcance de ningún ser humano.

Si tanto el asesinato de Rabin como la guerra del Golfo y el impacto de un cometa en Júpiter están codificados, y no hay duda de que lo están, sólo es posible que lo hiciera una inteligencia muy distinta de la nuestra. El código de la Biblia nos empuja a aceptar algo que el texto bíblico no puede sino inducirnos a creer: no estamos solos.

Pero el código no sólo anuncia la existencia de su codificador. También pretende hacernos llegar una advertencia.


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Tomado de:

SSEEMMIIOOLLOOGGIIAA PPrriimmeerraa ppaarrttee

ANTECEDENTES. DEFINICIÓN.

La semiología o semiótica es la ciencia que estudia los signos y las leyes que los gobiernan (del griego semeion = signo, logos = estudio). Según Ferdinand Saussure (en 1916) la lengua es un sistema de signos, de allí que la lingüística es sólo una parte de una ciencia más general llamada Semiología. La lengua es un hecho social, una convención social; es arbitraria. El habla es un hecho individual. El sistema es una estructura en la cual las partes funcionan como un todo. El funcionamiento de un organismo depende de cada parte. El signo es todo lo que se puede interpretar, sea cosa, hecho o persona. El signo está compuesto de un Significado: "imagen mental" que varía según la cultura, y un Significante: "no siempre es lingüístico, puede ser una imagen". El símbolo es un signo polivalente. Apunta a muchos significados.

Posteriormente esta concepción de De Saussure tuvo una relectura: la semiología forma parte de un sistema más abarcativo que es la lingüística, ya que el lenguaje verbal es el más rico, porque permite abstracciones que otros lenguajes (por ejemplo el gestual) no permiten.

Actualmente el debate está centrado en el análisis del lenguaje visual, entendiéndose como el más rico y abarcativo de todos...

SEMIOLOGÍA DE LA COMUNICACIÓN Y DE LA SIGNIFICACIÓN.

Ahora bien, la idea de la semiología como ciencia se estanca hasta que Eric Buyssens en 1943 la desempolva y le dará forma orgánica. "Todos los hechos de la lengua son hechos comunicativos", pero no siempre los hechos comunicativos son hechos de lengua. Por lo tanto, para Buyssens, la semiología es una especie de lingüística ampliada. Con él se comienza a hablar de la "Semiología de la Comunicación".

En el análisis del tema lo sucede Roland Barthes que en 1960 estudia otros códigos que no son el verbal, pero encuentra que el verbal es el más rico. En esta época comienza el auge de la imagen, pero para él será un siglo de escritura por antonomasia (cualquier imagen tiene un texto de anclaje, un significado, si no está, el mismo espectador hace su traducción al lenguaje verbal). Con R. Barthes se comienza a hablar de la "Semiología de la Significación".

Tenemos así dos visiones, la primera designada como "Semiología de la Comunicación" tiene a la semiología como ciencia general y como subclase a la lingüística, mientras que la segunda, según Roland Barthes se designa como "Semiología de la Significación o Connotación" y en ella tendremos a la lengua como ciencia general y como subclase a la semiología. (Análisis realizado por Luis Prieto en su obra Semiología).

EL SIGNO.

Para De Saussure el signo es la unión de significado y significante, es decir, 2 componentes: el concepto y la imagen acústica.

Para Charles Peirce un signo es algo que está para alguien en lugar de algo (el objeto) y crea en la mente de ese alguien su interpretante. Está en lugar del objeto no en cuanto a su totalidad sino como una especie de idea. Tenemos tres componentes: signo, objeto, significación. Y nos dice que se pueden dividir por su naturaleza o por sus relaciones con los objetos dinámicos:

a) La división de los signos por su naturaleza nos da: Tipo y Tono.

� Tipo: tiene una identidad definida aunque admite una gran variedad de apariencias. � Tono: no tiene identidad, es la mera cualidad de la apariencia.

b) La división de los signos por sus relaciones con los objetos dinámicos puede ser: Icono, Índice y Símbolo.

� Icono: es un signo que está determinado por su objeto dinámico en virtud de su propia naturaleza interna (una pintura, ideograma, etc.).

� Índice: es un signo determinado por su objeto dinámico en virtud de estar en relación real con él (síntomas de una enfermedad, golpes en una puerta cerrada, etc.).

� Símbolo: es un signo determinado por su objeto dinámico, en el sentido que así será interpretado. Por lo tanto depende de una convención o hábito (cualquier palabra o signo convencional, etc.).

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)


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FUNCIONES DEL LENGUAJE.

Cada uno de los seis (6) factores constitutivos de la comunicación verbal da lugar a una función lingüística diferente:

Dispositivo de la Comunicación

Referente

Mensaje

Canal Emisor

Código

Receptor

Factores de la Comunicación Función Lingüística Emisor Emotiva Referente Referencial Mensaje Poética Canal Fática Código Metalingüística Receptor Conativa

a) Función Emotiva: (o expresiva) apunta hacia una expresión directa de la actitud del emisor. Terminología denotativa y connotativa. Predomina la subjetividad del emisor, no tanto lo que dice o como lo dice, sino quien lo dice. Tiende a dar la impresión de cierta emoción. El factor de la comunicación es el Emisor. Géneros periodísticos: opinión, editorial, artículo.

b) Función Referencial: (o informativa, o denotativa, o cognitiva) está orientada hacia el "contexto" que ambienta y rodea la comunicación. Tiene que ver con todo el tema que provoca la comunicación y no sólo con el mensaje. El discurso es objetivo y verosímil y la terminología es denotativa. El factor de la comunicación es el Referente. Géneros periodísticos: noticia, crónica, periodismo científico, de investigación.

c) Función Poética: pone el acento sobre el mensaje en si mismo, sea de cualquier género periodístico, literario, político, etc. Por lo tanto busca producir un hecho estético. Para esto se utilizan metáforas, figuras retóricas. El factor de la comunicación es el Mensaje. Géneros periodísticos: titulares, frases, chistes, humor.

d) Función Fática: sirve esencialmente para verificar si el circuito funciona; es decir, establecer, prolongar e interrumpir la comunicación. Chequear si tengo la atención del interlocutor. El factor de la comunicación es el Canal. Géneros periodísticos: ritos, frases, gestos, formato, escenografía.

e) Función Metalingüística: apunta a verificar si el emisor y el receptor utilizan el mismo código. De allí que se hable de Metalenguaje. Se explican términos cuyo significado se desconoce. El estudio del lenguaje es el estudio del código, propiamente. El factor de la comunicación es el Código. Géneros periodísticos: suplementos científicos, artísticos, temas específicos.

f) Función Conativa: (o apelativa) está orientada específicamente al destinatario (receptor). Su expresión gramatical más pura está en el vocativo y el imperativo. El factor de la comunicación es el Receptor. Géneros periodísticos: discurso periodístico, publicitario, político (programas de TV.)

Bibliografía

� Bajtín, Mijaíl, Estética de la creación verbal. Ed. Siglo XXI, México. 1982. � Barthes, Roland, Análisis estructural del relato. Ed. Tiempo Contemporáneo, Bs. As. 1978. � Barthes, Roland, Elementos de Semiología. Ed. A. Corazón, Madrid. 1971. � Barthes, Roland, La cámara lúcida. Ed. Paidós, México. 1985. � Barthes, Roland, Lo obvio y lo obtuso. Ed. Paidós, México. 1982. � Barthes, Roland, Mitologías. Ed. Siglo XXI, México. 1980. � Blanco, D., Metodología del análisis semiológico. Ed. Univ. de Lima, Lima. 1989. � Bourdieu, Pierre, Sociología y cultura. Ed. Grijalbo, Méjico. 1991. � De Saussure, Ferdinand, Curso de Lingüística General. Ed. Losada, Bs. As. 1986. � Eco, Umberto, La definición del arte. Ed. Martínez Roca, Barcelona. 1985. � Eco, Umberto, La estrategia de la ilusión. Ed. Lumen, Barcelona. 1987. � Eco, Umberto, Los limites de la interpretación. Ed. Lumen, Barcelona. 1982. � Eco, Umberto, Semiótica y filosofía del lenguaje. Ed. Lumen, Barcelona. 1990. � Eco, Umberto, Tratado de semiótica general. Ed. Lumen, Barcelona. 1990. � Foucault, M., El discurso del poder. Ed. Siglo XXI, México. 1987. � Guiraud, P., La semiología. Ed. Siglo XXI, México. 1983. � Halliday, M., El lenguaje como semiótica social. Ed. Fdo. Cultura Económica, México. 1982. � Jakobson, Roman, "Linguistique et poétique" en Essais de linguistique générale. Ed. Minuit, Paris. 1963. � Kerbrat-Orecchioni, Catherine, L'énonciation. De la subjectivite dans le langage. Ed. Armand Colin, Paris. 1980. � Lipovetsky, G., El imperio de lo efímero. Ed. Anagrama, Barcelona. 1990. � Lotman, J. y Escuela de Tartu, Semiótica de la cultura. Ed. Cátedra, Madrid. 1979. � Lyons, John, Semántica. Ed. Teide, Barcelona. 1980. � McLuhan, El medio es el mensaje. Ed. Paidós, Barcelona. 1992. � Moles, A.A., El afiche en la sociedad urbana. Ed. Paidós, Bs. As. 1976. � Peirce, Charles, La ciencia de la Semiótica. Ed. Nueva Visión, Bs. As. 1974. � Prieto, Luis, Sémiologie (mimeo), 1975. � Van Dijk, Teun, Texto y contexto. Semántica y pragmática del discurso. Ed. Cátedra, Madrid. 1980. � Vilches, Lorenzo, Manipulación de la información televisiva. Ed. Paidós, Barcelona. 1989.

…Continuará en el próximo número


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Amenidades

IIlluussiioonneess ÓÓppttiiccaass

SILUETAS ENTRE COLUMNAS

¿CUÁNTAS PATAS TIENE ESTE

ELEFANTE?

LA MANO FRACTAL

DADOS IMPOSIBLES

LA ESCALERA SIN FINAL:

¿Dónde comienza, dónde termina?

CARRO CONFUNDIDO: ¿Hacia dónde va?

Sudoku!!!

¡Cumpliendo un compromiso!

Estimados Lectores: En el número anterior de HOMOTECIA anunciamos que el Sudoko que estábamos presentando en el mismo, representaba el cierre del ciclo de su

publicación en nuestra revista. Nos comprometimos de todas maneras, publicar la

respuesta al mismo en el siguiente número y ese es el compromiso que queremos cumplir.

He aquí la respuesta:


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GALERIA

FRANCISCO JOSÉ DUARTE ISAVA

(1883-1972)

Por Jesús A. Guerrero Ordaz. Asociación Larense de Astronomía, ALDA.

El más grande matemático venezolano y uno de los que ha logrado mayor

proyección mundial, nace en la ciudad de Maracaibo, estado Zulia, el 06 de enero

de 1883, en una numerosa familia constituida por el general Francisco Antonio

Duarte Sánchez y doña Delfina Matilde del Carmen Isava González de Duarte. Es

el sexto de un total de diez hijos.

Recibe la instrucción primaria y una parte sustancial de la secundaria de sus

padres. Según sus propias palabras, no asistió nunca a una escuela pública.

Su infancia y juventud transcurren en la ciudad de Puerto Cabello, en donde vive

hasta los 19 años de edad. Es en esta ciudad en donde la Universidad de

Carabobo habilita sus estudios privados y le otorga el título de Bachiller y

Agrimensor, en febrero de 1900.

En el año 1903 ingresa a la Universidad Central de Venezuela, UCV, a estudiar

Ingeniería Civil, título que obtiene el 25 de marzo de 1908.

Es durante esta época en donde comienza a descollar el inmenso espíritu

matemático de Francisco J. Duarte: en 1907, a la edad de 24 años, presenta ante

la Academia de Ciencias de Paris un trabajo sobre el número π en donde calcula

hasta 200 decimales del mismo. A pesar de haber presentado el trabajo en 1907,

la fecha de su manuscrito data del año 1902. Resulta un hecho abrumador que

para esa época, un joven de 19 años, haya iniciado un cálculo tan minucioso y

exhaustivo de una de las constantes fundamentales que ha conocido la

humanidad.

En 1909 inicia su fase de profesor universitario, la cual realizará de manera

discontinua a lo largo de su vida. Su labor de docencia se inicia en la Universidad

Central de Venezuela, entre los años 1909–1911 y 1936-1939, como profesor de

Geometría Analítica, Algebra Superior, Análisis Infinitesimal y Mecánica

Racional y entre los años 1954-1956, como profesor de Algebra Superior en la

Universidad Santa María, en la ciudad Caracas.

Desde muy joven, participó en las tareas de demarcación de los límites de

Venezuela. Entre los años 1911 y 1917 forma parte de la comisión de límites con

Colombia, Brasil y Guayana Inglesa. Este trabajo culminará con la elaboración

del Mapa Físico y Político de Venezuela, tal como la conocemos en la actualidad.

Su ejemplar desempeño hace que lo nombren cartógrafo jefe de la Comisión de

Arbitramiento de los límites con Colombia, en la ciudad de Berna, Suiza, entre

los años 1919-1922. Posteriormente, dirigirá las comisiones venezolanas

demarcadoras de los límites con Colombia, entre los años 1922-1924, y con

Brasil, 1929-1932.

Entre los años de 1920 y 1921 asiste en calidad de oyente al curso de Análisis

Matemático de la Universidad de Sorbona, París y se radica por algunos años en

Europa, produciendo trabajos con los profesores R. de Montessus de Ballore, de

la Universidad de París y Dimitri Miriamanoff, de la Universidad de Ginebra.

Entre sus obras con estos connotados matemáticos figura en 1925, la Tabla de

Logaritmos con 12 decimales, para los valores enteros del 1 al 1.000, publicado

por el Ministerio de Obras Públicas de París; en 1927, “Nouvelles tables de Log

n! à 33 decimales” (Nuevas Tablas de Logaritmos n! con 33 decimales),

publicada en Ginebra y París y en 1933, “Nouvelles tables logarithmiques à 36

décimales” (Nuevas Tablas Logarítmicas con 36 decimales), publicada en París.

Sabemos que Francisco J. Duarte dedicó parte de su tiempo al estudio y

divulgación de la astronomía. En el año 1920, publicó en París el interesante

trabajo: “Determination des Positions Géographiques par les Méthodes des

hauteurs égales” (Determinación de las Posiciones Geográficas por el Método de

las Alturas Iguales), en donde modifica un método elaborado por el doctor

Stechert, director del Observatorio Naval de Hamburgo. El mencionado doctor, al

leer la excelente simplificación que hizo Duarte, le escribió planteándole que ese

trabajo seguramente traería nuevos adeptos al método de alturas iguales.

Estando en Europa inicia su etapa de funcionario público, ya que acepta ser

cónsul de Venezuela en Ginebra, cargo que desempeña desde el 07 de enero de

1924 hasta 1929.

En 1933 funda la Academia de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales, en la

ciudad de Caracas, institución que posteriormente preside en los lapsos 1941-

1945 y 1954-1957.

El 04 de enero de 1936, es nombrado director del Observatorio Astronómico y

Meteorológico “Juan Manuel Cagigal”. Por espacio de 6 años dirigió

acertadamente la primera institución astronómica de Venezuela.

El 22 de abril de 1937 es elegido Presidente del Colegio de Ingenieros de

Venezuela, cargo que ostentó hasta 1939.

Fue un intenso organizador y máximo exponente de la ciencia en Venezuela en

su época. Representó a su país en la Asamblea del Mapa Mundial, celebrada en

Londres en el año 1928. También fue un participante activo en los Encuentros

Internacionales de Matemáticos de Bologna (1928), Zurich (1932) y Boston

(1950); Congresos de la Unión Geodésica y Geofísica Internacional de Madrid

(1924), Praga (1928), Lisboa (1932) y Bruselas (1951); los Congresos

Internacionales para el uso pacífico de la Energía Atómica, celebrados en

Ginebra en 1955 y 1958.

Desde el año 1941 hasta 1968, se desempeñó como director de fronteras del

Ministerio de Relaciones Exteriores de Venezuela, cargo que le permitió

participar en la delimitación de las fronteras venezolanas con los países vecinos,

fundamentalmente con Brasil.

Entre sus membresías más connotadas figuran las de las Academias de Ciencias

de Venezuela, Madrid, Colombia y Perú; las de las Sociedades Matemáticas de

los Estados Unidos, Berlín, Palermo, Suiza, Bruselas, España y de las Sociedades

Astronómicas de Francia, Alemania y México.

En 1970 se realizó en Caracas el III Congreso Bolivariano de Matemáticas, en

donde el doctor Duarte fungió de Presidente Honorario. En ese congreso propuso

la creación de una asociación de matemáticos venezolanos, pero la falta de

interés de los participantes impidió su cristalización. Esa situación perduró hasta

el año 1980, cuando, ya muerto el doctor Duarte, se constituyó la Sociedad

Venezolana de Matemáticas (SVM), durante el Tercer Congreso Venezolano de

Matemáticas, celebrado entre el 15 y el 18 de Octubre de 1980, en la ciudad de

Maracaibo.

Durante su vida, Francisco J. Duarte publicó 7 libros, más de 80 trabajos

matemáticos en revistas de renombre internacional, presentó 20 soluciones a

problemas en la prestigiosa revista American Mathematical Monthly y escribió

una gran cantidad de notas de prensa que incluyen biografías de matemáticos

famosos, tales como Le Verrier, Gauss, Hermite, Galois, Abel, Tycho Brahe,

Picard y Cauchy, entre otros.

Algunas de sus obras más importantes son:

� Sobre las formas algebraicas de los sistemas de cónicas. Caracas:

Litografía de Vidal e Hijo, 1908.

� Lecciones de análisis infinitesimal. Caracas: Tipografía Americana,

1943.

� Teoría analítica de los eclipses de sol y de las ocultaciones de

estrellas por la luna. Caracas: Tipografía Americana, 1944.

� Sobre las geometrías no euclidianas: notas históricas y

bibliográficas. Caracas: Tipografía Americana, 1945.

� Monografía sobre los números π y e. Notas históricas y

bibliográficas. Caracas: Tipografía Americana, 1949.

� Tablas logarítmicas de factoriales primarios desde 2 hasta 10007 con

33 decimales. Caracas: Tipografía Americana, 1953.

� Bibliografía de Euclides, Arquímedes y Newton. Caracas: Academia

de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales, 1967.

A lo largo de toda su vida recibió innumerables muestras de cariño y aprecio por

parte de instituciones nacionales e internacionales. Recibió el titulo de Doctor

Honoris Causa de parte de la Universidad Central de Venezuela (27 de mayo

1965) y Universidad de Oriente (12 de febrero de 1969). Es el primer venezolano

a quién se le erigió un busto en vida (1969), en la Academia Nacional de

Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales. Fue condecorado con la Medalla de

Honor de Instrucción Pública y la Orden del Libertador en su primera clase

(1967), la cual le fue impuesta por un mensajero, pues se opuso rotundamente a

recibirla con mayores honores. En el año 1973, en un homenaje post-morten, se

bautizó al Centro de Investigaciones de Astronomía, en construcción en el estado

Mérida, con su nombre.

Muchos de sus manuscritos, que incluyen documentos científicos,

correspondencia, apuntes y trabajos inéditos, fueron donados por su esposa e

hijo, a la Universidad Simón Bolívar, para su preservación y cuidado.

Sin duda alguna, Francisco J. Duarte, es uno de los científicos venezolanos de

mayor proyección durante el siglo pasado. Su pasión por los números lo condujo

a profundizar en las matemáticas como ningún otro venezolano de su época. Su

frase “Considero el trabajo matemático como una necesidad estética,

exactamente como un pintor o un compositor” nos revela su dimensión humana,

que enlaza indisolublemente el trabajo científico con las más sublimes obras de

la especie humana.

Fuentes:

Fundación Polar, Diccionario de Historia de Venezuela, 2ª Edición, Caracas: Fundación Polar, 1997.

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