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Las ideas y opiniones de los autores de los artículos que publicamos en HOMOTECIA son responsabilidad de los mismos. Si algún lector tiene objeciones sobre éstas, agradecemos nos haga llegar por escrito sus comentarios.

EDITORIAL Los nuevos conocimientos matemáticos ¿constituyen un descubrimiento o una invención? Cuando se habla de descubrimiento de un objeto nuevo se está haciendo referencia a que el mismo existía antes de ser conocido, como es el caso del continente americano luego de la llegada de Colón. En el caso de la invención, se hace referencia a una creación no preexistente, entendiéndose “creación” como una combinación no realizada hasta entonces de elementos preexistentes, implicando una cierta libertad para elegir a los elementos y a las combinaciones.

Pero, ¿hablar de “invención matemática” será del todo cierto? Tomemos como ejemplo la demostración del “Último Teorema de Fermat” por parte del matemático inglés Andrew Wiles en 1995. Indudablemente que su demostración es un conocimiento nuevo, un objeto nuevo, que permite otorgar a Wiles excelsos méritos. Es el caso que, en la etapa final de su trabajo, intentó la demostración trabajando por separado con las teorías de Iwasawa y de Kolyvagin-Flach; y con ninguna de las dos tuvo éxito ya que ambas para el caso eran insuficientes; pero como señala J. Hadamard, si hay invención matemática, uno de los pasos de este proceso es la iluminación, ésto fue lo que ocurrió con Wiles cuando vislumbró que podía utilizar simultáneamente a ambas como complemento una de la otra, convirtiéndose su creación en una gran genialidad y en un gran aporte al conocimiento humano. ¿Por qué entonces considerar que el logro de Wiles no es totalmente una invención? Sencillamente porque tuvo la necesidad de un tercero: Taniyama-Shimura, Iwasawa, Kolyvagin-Flach, y todos los otros que trabajaron sobre este tópico.

Pero tampoco puede decirse que es un descubrimiento porque exactamente el mérito de Wiles está en que esta demostración no existía antes que él la probara.

Queda entonces para la discusión el dilema si es cierto o no referirse al conocimiento matemático nuevo como un descubrimiento o una invención.

REFLEXIONES "Cada fracaso enseña al hombre algo que necesitaba aprender."

Charles Dickens

RReevviissttaa HHOOMMOOTTEECCIIAA

PPuubblliiccaaddaa ppoorr::

CCáátteeddrraa ddee CCáállccuulloo

DDeeppaarrttaammeennttoo ddee MMaatteemmááttiiccaa yy FFííssiiccaa

Facultad de Ciencias de la Educación

DISTRIBUCIÓN GRATUITA

COORDINADORES DE PUBLICACIÓN

Prof. Rafael Ascanio H. Prof. Próspero González M.

MARÍA GAETANA AGNESI (16 DE MAYO DE 1718 - 9 DE ENERO DE 1799)

Nacida y fallecida en Milán, Italia. Se distinguió con gran precocidad como políglota y polemista ilustrada. Se la recuerda sobre

todo como matemática, aunque también se la califica de lingüista, filósofa, y más raramente teóloga.

En 1748 publicó Instituzioni analítiche ad uso della gioventù italiana, tratado al que se atribuye haber sido el primer libro de texto que trató conjuntamente el cálculo diferencial y el cálculo integral, explicitando además su naturaleza de problemas inversos. Traducidas al inglés y francés, las Instituzioni tuvieron gran impacto en la enseñanza, pues armonizaban en un discurso único materiales dispersos y heterogéneos de matemáticos anteriores, mostrando por primera vez una secuencia lógica y didáctica desde el álgebra hasta las ecuaciones diferenciales.

Entre 1750 y 1752 consta que era catedrática de matemáticas en la Universidad de Bolonia, seguramente de forma honorífica. Durante los cuarenta y siete años siguientes, dedicó su vida y hacienda a la caridad y al cuidado de los pobres, hasta encontrar la muerte en el mismo hospicio que había dirigido, ya fuera como menesterosa residente, como monja de la congregación, o más probablemente como ambas cosas, pues tal era el sentido de su vocación.

Su nombre está a veces en el índice de los libros de geometría analítica y de cálculo, siempre asociado a la curva llamada indebidamente, y ya sin posibilidad de enmienda, "bruja" de Agnesi; los dos sustantivos son inciertos: Agnesi no descubrió esa curva, ni lo pretendió, y el nombre de "bruja" seguramente lo aportó el azar de una mala traducción al inglés, reproducida aguas abajo en español. Pero sobre todo, recordarla sólo por esa curva, un ejemplo más de su monumental tratado, no le hace justicia.

Para la historia de las matemáticas Agnesi es importante por su influencia en la divulgación del cálculo. También es uno de los personajes más citados en las reflexiones sobre el papel histórico de la mujer en la matemática: baste considerar que las Instituzioni analítiche son según algunos la obra matemática de autoría femenina más antigua que se conserva.

Infancia y juventud

Agnesi nació en Milán el 16 de mayo de 1718, siendo la primera hija de Pietro Agnesi y Anna Brivio. Habría de ser la mayor de 21 hermanos, nacidos de las tres esposas que tuvo su padre. Es considerada una niña prodigio.

No está clara la ocupación de Pietro Agnesi, aunque se tiende a descartar su relación con el mundo académico de la Universidad de Bolonia, largamente supuesta, y a considerarlo únicamente un rico hombre de negocios; menos aun se conoce de su madre. Sí es seguro que eran ricos, quizá por el negocio de la seda, y sobre todo ilustrados, y que se esmeraron en la educación de María con medios que --para los que se los pudieran permitir-- eran habituales en la época: preceptores y profesores particulares, y reuniones de intelectuales convocadas en el salón del hogar familiar, en las que se debatían cuestiones filosóficas, especialmente de filosofía natural: cuestiones cercanas a lo que hoy llamamos física.

Aunque estos eventos desagradaban a María Gaetana, de carácter retraído y solitario, el respeto a su padre y sus precoces facultades discursivas, que resaltaban en esos grupos unidas a las musicales de su hermana María Teresa, hicieron que las sesiones del salón de los Agnesi se hicieran famosas, con un punto de leyenda, por el don de lenguas y la discreción de la hija mayor, con el acompañamiento musical de la menor.

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)

HHOOMMOOTTEECCIIAA Tiraje: 100 ejemplares

CÁTEDRA DE CÁLCULO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA - FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN - UNIVERSIDAD DE CARABOBO PUBLICACIÓN PERIODICA Nº 5 - AÑO 6 e-mail: [email protected] Valencia, 2 de Mayo de 2008

HOMOTECIA Nº 5– AÑO 6 Viernes, 2 de Mayo de 2008 2 (VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

Se atribuye a Agnesi haber adquirido antes de los trece años el dominio del latín, el griego, el hebreo, el francés, el español y el alemán.

Precocidad y poliglotía son objetivos favoritos de la mitificación, así que según la fuente que se consulte, la edad de referencia puede bajar a los 5 años, y el número y nombre de los idiomas puede oscilar.

Sobre cuánto hay de verdad (seguramente mucho) y cuánto de énfasis de los narradores (sin duda algo) en la precocidad de María Gaetana, es revelador el ejemplo de su primer ensayo filosófico: algunos quieren que lo redactara en latín a los 9 años, siendo además el asunto tratado la reivindicación del derecho a la educación superior de las mujeres. La historia merece escepticismo, pero tiene detrás realidades sorprendentes, y por supuesto una omisión ornamental: parece que el ensayo existió, su tema era efectivamente la defensa de la formación académica femenina, y la edad de la niña era realmente de 9 años... pero se trataba de un ejercicio de traducción propuesto por uno de sus tutores, que había escrito él mismo o tomado de otra fuente el texto original en italiano. María Gaetana lo tradujo al latín, supervisada o no por su tutor, lo memorizó y lo expuso públicamente.

Las descripciones de estas actuaciones de la joven María que nos han dejado algunos testigos sugieren un empeño exhibicionista de su padre, rozando el espectáculo circense. La chica de 20 años que discurría en perfecto latín ("puro, fácil y preciso", "como el de un ángel", dicen los testigos) sobre el origen de las fuentes y los ríos, las mareas, las teorías de Ptolomeo y Newton o la función del hígado, y que venía ofreciendo funciones similares desde los 5 o los 9 años, tenía que sentirse hastiada de su papel. Un visitante pone en su boca: "Lamento haberlo sometido a esto; sé que por cada oyente interesado tengo veinte mortalmente aburridos".

La formación que se administró a María Gaetana en su infancia y juventud tuvo siempre a la religión al lado de la ciencia: los tutores, preceptores e intelectuales contertulios del salón del palacio familiar frecuentemente visten el hábito. Tal ocurre con el jesuita y geómetra Giovanni Saccheri, con el monje y matemático Ramiro Rampinelli, o con el también jesuita y matemático Vincenzo Ricatti (hijo de Jacopo Francesco Ricatti, famoso por la ecuación que lleva su nombre). Era el ambiente que algún autor ha bautizado como "la Ilustración católica".

No es de extrañar entonces que María Gaetana, retraída y solitaria en el fondo, muy religiosa, y con vocación científica, aspire a dejar el mundo y entrar en un convento, como ya había hecho su hermana Giuseppa Teresa. Algunos dicen que una enfermedad de adolescencia reforzó esas convicciones y ese deseo.

La muerte de su madre durante el parto de su octavo hijo da lugar a un pacto entre María Gaetana y su padre. A cambio de no tomar los hábitos, seguir viviendo en casa, y cuidar de él y de sus hermanos, pide a su padre "poder ir a misa siempre que quiera, vestir sencilla y humildemente, y no tener que asistir a bailes y fiestas". Su padre contraerá nupcias otras dos veces, muriendo su segunda esposa tras darle dos hijos, a los que siguieron once de la tercera. Se atribuye a María Gaetana el papel de madre de sus veinte hermanos, la carga correspondiente, y también el dolor que supone perderlos; la mayoría no superaron la infancia, y se dice que sólo cuatro los treinta años.

En 1738 Pietro Agnesi pudo publicar un profundo libro de su hija de 20 años, Propositiones Philosóphicae, en el que se compendiaba la defensa de 191 tesis filosóficas debatidas o propuestas en esos encuentros sociales que María Gaetana detestaba.

Estudios y obra en matemáticas: Las "Instituzioni".-

A partir de los 20 años, Agnesi abandona toda actividad social y se concentra en el estudio de las matemáticas y la religión; su retiro no hubiera sido mayor de haber tomado los hábitos. La gran influencia que tuvo en su formación el monje matemático Ramiro Rampinelli, que había enseñado matemáticas en Roma y en Bolonia, enfatiza ese ambiente científico-monacal que presidió la vida de la matemática italiana. Rampinelli aportó a Agnesi el contacto con los Ricatti, que tuvieron también gran influencia sobre ella; sabemos que Vincenzo se prestó a leer la versión final de las Instituzioni por indicación de su padre, y también que aportó material propio, al que María Gaetana esperó para iniciar la impresión del libro.

En 1748 se publica en Milán la obra más famosa de Agnesi, Instituzioni analítiche ad uso della gioventú italiana, cuya edición ha de costear y realizar ella misma. Sorprendentemente, la imprenta está en la mansión de los Agnesi, y María Gaetana misma dirige los trabajos. El primer tomo está dedicado a las magnitudes finitas, en tanto que el segundo se ocupa del análisis de infinitesimales.

La obra adquiere rápidamente notoriedad entre los matemáticos de la época. Las Instituzioni exponen con claridad los conceptos a través del uso acertado de múltiples ejemplos, y tienen la virtud de armonizar los trabajos, hasta entonces dispersos, de muchos matemáticos, homogeneizándolos en un conjunto único y coherente. Recuérdese que todavía se hablaba de las fluxiones de Newton y de los diferenciales de Leibnitz, y que la creación de los símbolos que hoy utilizamos en cálculo, debida sobre todo a Leibnitz y a Euler, era muy reciente. Las 1.000 páginas de texto y las 50 de ilustraciones resultan sin embargo muy familiares al lector moderno, reflejando el mayor mérito de Agnesi: crear el primer texto completo de Cálculo, desde el álgebra hasta las ecuaciones diferenciales. Superando además tentativas anteriores, singularmente la de L'Hopital en su libro Analyse des infiniment petits.

Se ha destacado del libro el tratamiento de los máximos y mínimos, y por supuesto la visión integrada del cálculo, presentando en la misma obra el diferencial y el integral, y considerándolos explícitamente como problemas complementariamente inversos, idea que en 1748 no era vieja ni obvia. Se ha elogiado repetidamente la claridad, el orden, la precisión, y el uso afortunado de los ejemplos.

FRONTISPICIO DE LA PRIMERA EDICIÓN DE LAS INSTITUZIONI

Por supuesto, el carácter pionero de la obra implicaba también algunas carencias: las funciones trigonométricas tenían poca presencia (la edición francesa añadió material para corregir esto), y no se trataban las series de potencias, entre otras lagunas.

En 1775 la Real Academia de Ciencias publica en París la edición francesa, y en 1801, dos años después de la muerte de María, se publica la inglesa, traducida por John Colson, de Cambridge (tuvo que traducirla bastante antes, porque murió en 1760)1.

Agnesi también escribió un comentario al Traite analytique des sections coniques, del marqués de L'Hôpital, que lamentablemente nunca fue publicado, pese a que los que tuvieron oportunidad de ver el manuscrito lo consideraron de gran importancia.


HOMOTECIA Nº 5– AÑO 6 Viernes, 2 de Mayo de 2008 3

(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

LA "BRUJA" DE AGNESI.-

Entre los afortunados ejemplos del libro hay uno, al final del primer volumen, que consiguió para María Gaetana Agnesi un lugar en los

índices onomásticos de los libros de texto, y en los manuales de fórmulas y tablas matemáticas, y que la ha hecho famosa en mayor medida que todos sus otros méritos: la "bruja" de Agnesi.

Se trata de una curva que Fermat había estudiado en 1703, y para la que Grandi, en 1718, había dado un método de construcción. Lo de "bruja" es un error de traducción; sólo usan ese término el inglés y las lenguas que han copiado el nombre del inglés. Grandi llamó a

la curva versoria en latín, y versiera en italiano. Es un término naval, que identifica la cuerda o cabo que hace girar la vela. María Gaetana Agnesi escribió a su vez la versiera, añadiendo el artículo femenino. John Colson, un traductor de Cambridge con poco conocimiento del italiano, llama a la curva witch ('bruja'), debido a que "confundió" versiera con avversiera (que en italiano significa 'diablesa', 'demonia'. La dependencia que el idioma español tenía del idioma inglés acabó por embrujarla también en castellano. En otros idiomas se habla de loci (en latín, 'lugares' geométricos, curvas) de Agnesi.

La curva es asintótica al eje X, a la derecha y a la izquierda, y sólo se representa por tanto en un entorno del origen, en el que alcanza un máximo justo al cruzar el eje Y. Ese entorno montañoso, y la altura del máximo, vienen determinados por un único parámetro a, que es precisamente la altura del punto máximo alcanzado en x = 0, es decir, el punto (0, a) siempre está en la curva y además es su valor máximo.

El método de construcción es sencillo; para obtener un punto cualquiera de la curva:

• Trácese una circunferencia, con centro en el punto (0, a/2) • Desde el origen, (0, 0), trácense rectas que crucen con la recta y=a (recta OA en la figura, en la que a=10) • El punto P de la bruja será aquel en que se crucen las rectas BP (horizontal que pasa por el corte entre OA y la

circunferencia) y AP (vertical que pasa por el corte entre OA y la recta y=a).

El conjunto de las rectas OA del plano determina el de los puntos de la curva de Agnesi. Con un poco de geometría (sólo se requieren criterios de igualdad de ángulos, de semejanza de triángulos y el teorema de pitágoras, más

muy poca álgebra) se demuestra que la ecuación de la bruja de Agnesi es:

Y las ecuaciones paramétricas son:

Agnesi no presenta ecuaciones paramétricas, pese a que el tratamiento hubiera sido más sencillo, a través de x = a · cotg θ y y = a · sen2θ.




LA ETAPA RELIGIOSA.-

En 1750 el padre de María enferma gravemente, y ella es designada por el papa Benedicto XIV para la cátedra de matemáticas y filosofía natural de la Universidad de Bolonia. Se encuentran referencias que sugieren que el Papa hizo esa oferta para que María sustituyera a su padre en la cátedra, pero hoy se sabe que eso es muy poco probable, simplemente porque parece que Pietro Agnesi no tuvo actividad académica, ni en Bolonia ni en ningún otro sitio.

La confusión —una más — puede ser reveladora de la consideración de la mujer en esa época y en las de los cronistas posteriores: pese a que consta sin duda que Benedicto XIV era aficionado a las matemáticas, que había elogiado las Instituzioni, y que además estaba patrióticamente orgulloso de que su autora fuera italiana, y pese a que nunca hubo la más mínima evidencia de que Pietro Agnesi ocupara esa cátedra, subsiste la teoría de que a María se le ofrece la cátedra para sustituir a su padre enfermo, en lugar de la más sencilla de que se le ofrece "per se", por sus méritos como matemática.

María seguramente no ejerció nunca esa cátedra. En ese momento, a partir de la enfermedad del padre, posiblemente ya había decidido abandonar las matemáticas, e incluso el mundo. Por otro lado, muy probablemente la cátedra fuera más que nada una mención honorífica a la autora de las Instituzioni, gesto común en la época.

Pietro Agnesi muere en 1752, y a partir de ese momento María se siente libre para atender a sus tendencias religiosas: se da al estudio de la Teología, al parecer especialmente de la Patrística, dedica su fortuna a obras de caridad, terminando en la miseria, ejerce desde 1771 por designación del arzobispo Tozzobonelli como directora del Hospicio Trivulzio de Milán, se concentra en el cuidado de los menesterosos y enfermos, sobre todo mujeres mayores, y muere ella misma en la institución que dirigía, el 9 de enero de 1799.

Las incertidumbres y la leyenda la acompañan hasta la muerte: unos sugieren que si murió en el Hospicio Trivulzio es porque sus donaciones la habían sumido en la pobreza, y era ahora una residente menesterosa más. Otros sostienen que había cumplido por fin sus deseos, y era monja agustiniana (o "monja azul", por el color del hábito) del hospicio.

Notas.-

1. ↑ En Google libros puede consultarse un facsímil del volumen I de la traducción de Colson, Analytical Institutions Bibliografía.-

• Mazzotti, Massimo (2007). The world of Maria Gaetana Agnesi, mathematician of God. Baltimore: Johns Hopkins University Press.

Tomado de: Wikipedia ® Wikimedia Foundation, Inc. [Consulta: 22 Dic 2007]


TRABAJANDO EN CÁLCULO Por: Prof. Rafael Ascanio H. – Prof. Próspero González M.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA - FACE – UC

CÁLCULO INTEGRAL: INTEGRAL INDEFINIDA.

INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES.-

Ejercicios resueltos: A continuación, presentamos algunos ejercicios resueltos por la técnica de integración por descomposición en fracciones simples, también llamadas fracciones parciales.

1. - Obtenga ( )x x dx

x x x

2

3 2

3 1

2

− −

+ −⋅∫

Solución: Factorizando el denominador: ( ) ( )( )1222 223 −+=−+=−+ xxxxxxxxx . Producto de factores lineales de primer grado que no se repiten (Caso 1).

Luego: ( )

( )Ix x dx

x x x

Adx

x

Bdx

x

Cdx

x=

− −

+ −= +

++

−=∫ ∫ ∫ ∫

2

3 2

3 1

2 2 1*

A B C= = =? ? ?

Por Coeficientes Indeterminados:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) AxCBAxCBAxx

CxCxBxBxAAxAxxx

xxx

xCxxBxxxA

xxx

xx

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

2213

2213

2

2112

2

13

122

13

22

2222

2323

2

23

2

−+−+++=−−

++−+−+=−−−+

++−+−+=

−+

−−−

++

+=−+

−−

Comparando coeficientes: )))iii

ii

i

( )ivAAit

CBAx

CBAx

21

2

12..

32

1

=⇒−=−⇒

−=+−⇒

=++⇒

Sustituciones:

(iv) en (i): ( )vCB2

1=+

(iv) en (ii): ( )viCB2

72 −=+−

Formando y resolviendo sistema de ecuaciones entre (v) y (vi):

( )viiCC

CB

CB

133

2

72

2

1

−=⇒−=

−=+−

=+

Sustituyendo (vii) en (v):

B B− = ⇒ =11

2

3

2

Entonces, volviendo a (*):

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

Cx

xxLnC

x

xxLn

CxLnxLnxLnCxLnxLnxLn

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

+−

+=+

−

+=

=+−−++=+−−++=

=−

−+

+=−

−+

++= ∫∫∫∫∫∫

2

33

3

23

21

1

2

1

2

12122

3

2

1122

3

2

1

1

1

2*




2.- Halle: dxxx

xx∫ −

−3

35.

Solución:

En esta integral se observa que el grado del numerador es igual al grado del denominador, [ ] [ ])()( xQgrxPgr = . Para poder aplicar la técnica de

integración por descomposición en fracciones simples, se debe aplicar en primer lugar el algoritmo de la división de polinomios:

)(

(*)4

54

54

55

1

3333

3

I

Cdxxx

xxdx

xx

xdxdx

xx

xdx

xx

xxI =+

−+=

−+=

−

+=−−

= ∫∫∫∫∫

:1I Se resuelve por descomposición en fracciones simples.

Se factoriza el denominador:

)1()1()1( 23 −⋅+⋅=−⋅=− xxxxxxx (Factores lineales de primer grado que no se repiten).

Luego:

(**)111()1(

4431 =

−+

++=

−⋅+⋅=

−= ∫ ∫ ∫∫∫ x

Cdx

x

Bdx

x

Adx

xxx

xdxdx

xx

xI

??? === CBA

Por Coeficientes indeterminados:

AxCBxCBAxx

AxCBxCBAx

CxCxBxBxAAxx

xx

xxCxxBxA

xx

x

x

C

x

B

x

A

xx

x

−+−+++=++⋅

−+−+++=

++−+−=−

++−+−=

−

−+

++=

−

)()(040

)()(4

4

)()()1(4

11

4

22

2

222

3

222

3

3

Comparando términos:

)(00..)

4)

0) 2

ivAAitiii

CBxii

CBAxi

=→=−→

=+−→

=++→

Sustituyendo (iv) en (i):

)(000

0

vCBCB

CBA

=+→=++

=++

Formando sistema de ecuaciones con (ii) y (v):

)(242

0

4

viCC

CB

CB

=→=

=+

=+−

Sustituyendo (vi) en (v): 2020 −=→=+→=+ BBCB

Volviendo a (**):

Cx

xLnIC

x

xLnC

x

xLn

CxLnxLnCxLnxLn

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dxI

+

+

−=⇒+

+

−=+

+

−=

=+−++−=+−++−=

=−

++

−=−

⋅+

+

⋅−+

⋅== ∫∫∫∫ ∫

2

1

2

2

2

22

1

1

1

1

1

)1(

)1(

)1()1(1212

12

12

1

2

1

)2(0(**)

Volviendo a (*):

Cx

xLnxI +

+−

+==2

1

15(*)

En la próxima entrega, presentaremos la resolución de otro grupo de integrales resueltas por esta técnica.


EELL ÚÚLLTTIIMMOO TTEEOORREEMMAA DDEE FFEERRMMAATT ((UU.. TT.. FF..)) Por: Lic. Karla Camacho

Maestría en Educación Matemática FACE-UC

EL INICIO.-

Pierre de Fermat nació el 17 de agosto de 1601 y murió el 12 de enero de 1665. Es, quizás, el más famoso teórico de los números que haya existido. Es por ello sorprendente el hecho que Fermat fue abogado y que las matemáticas fueron para él sólo una afición. Sorprende más aún el que únicamente haya publicado un artículo matemático en toda su vida y que lo hiciera de manera anónima, como un apéndice para el libro de un colega.

Dado que Fermat se rehusó a publicar su obra, fue su hijo Samuel quien se dio a la tarea de recopilar sus trabajos matemáticos, sus cartas, sus comentarios escritos en libros, etc., con el propósito de publicar las ideas matemáticas de su padre. Fue así como se dio a conocer el famoso “último teorema”, el cual fue hallado por Samuel en una nota marginal escrita en un libro.

PIERRE DE FERMAT

(1601-1665)

ANDREW WILES

(Nacido en Cambridge, Inglaterra, el 11 de abril de 1953)

Fermat escribió: “Es imposible para un cubo ser escrito como la suma de dos cubos o para una cuarta potencia ser escrita como la suma de dos cuartas potencias, o en general, para cualquier número que sea una potencia mayor que la segunda ser escrito como la suma de dos potencias similares”. Y escribió otra nota: “tengo una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición pero este margen es demasiado angosto para contenerla”. El teorema establece que:

xn + yn = zn no tiene soluciones enteras diferentes de cero para x, y, z, cuando n > 2.

La nota fue escrita alrededor de 1630, cuando estudiaba en la Aritmética de Diofanto que el Teorema de Pitágoras es x2 + y2 = z2, y además que se llaman ternas pitagóricas a las formadas por tres números enteros (x, y, z) que satisfacen la ecuación del teorema. Fermat quiso alterar la ecuación obteniendo la conjetura antes mencionada.

Aunque existen evidencias de que Fermat supo al menos cómo demostrar los casos especiales de n = 3 y n = 4, el matemático jamás volvió a hacer mención del teorema general.

U. T. F.: INTENTOS POR DEMOSTRARLO.-

Entre los intentos reconocidos por demostrarlo, se tienen:

1753. Leonard Euler (1707-1783). Da el primer avance en la prueba del U.T.F. Planteó la solución para el caso n = 4 utilizando un método de prueba conocido como “Método del Descenso Infinito”.

Sophie Germain (1776 -1831). Se comunicó mediante cartas con Gauss y Legendre bajo el seudónimo “Monsieur Leblanc”, porque en esa época a la mujer se le prohibía ingresar en el campo de la investigación. Para demostrar el U.T.F. adoptó la estrategia: sea p primo y (2p+1) también primo. Los primos de Germain incluyen al 5, pero no al 13 (pues 27 no es primo).

1847. Dirichlet-Legendre. Utilizaron el método de Germain y de manera independiente probaron que con el caso n = 5 no hay soluciones.

1839. Gabriel Lamé (1795-1870) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Por separado agregaron algunas técnicas ingeniosas al método de Germain y lograron una prueba a la que luego se le detectó una falla.

1966. Conjetura Taniyama-Shimura: Un aporte significativo en la demostración del U.T.F. Goro Shimura y Yutaka Taniyama. Plantean una conjetura que sería fundamental en la prueba definitiva del U.T.F.: “Las formas modulares y las ecuaciones elípticas son una misma cosa”. Las ecuaciones elípticas ya habían sido estudiadas por Diofanto y su solución pertenece al conjunto de los números enteros; y son de la forma y3 = x3 + ax2 + bx +c, con a, b y c números enteros. Las Formas Modulares descubiertas en el siglo XIX se pueden desplazar, intercambiar, rotar y reflejar en un número infinito de maneras y aún así permanecen inalteradas, lo que hace de ellas los objetos matemáticos más simétricos. Desafortunadamente dibujar, o incluso imaginarse una forma modular es imposible. Las Formas Modulares viven en un espacio hiperbólico.

YUTAKA TANIYAMA (1927-1958)

GORO SHIMURA (1926- )

1975. Andrew Wiles. Matemático de origen inglés, inicia sus estudios de postgrado y deja de lado, temporalmente la inquietud que había tenido desde niño, el U.T.F.; y se dedicó a estudiar las curvas elípticas, éstas ya habían sido estudiadas por Diofanto de Alejandría.

1984. Gerhard Frey. Había llegado a la dramática conclusión de que la verdad del U.T.F. sería una consecuencia inmediata de la demostración de la conjetura de Taniyama – Shimura, es decir, T − S ⇒ U.T.F. Por primera vez en cien años el problema matemático más difícil del mundo parecía vulnerable”.


HOMOTECIA Nº 5– AÑO 6 Viernes, 2 de Mayo de 2008 8 (VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

1986. Ken Ribet. Probó que la ecuación de Frey no es modular; así, sólo quedaba por demostrar que la conjetura de T-S era verdadera y por el método de Reducción al Absurdo el U.T.F. era verdadero. Pero recordemos que los matemáticos tenían 30 años tratando de probar la conjetura de T-S y no habían podido, ni el propio Ribet intentó demostrarla. Pero sería Andrew Wiles el que daría el paso definitivo.

U.T.F. PASOS DEFINITIVOS.-

1986. Andrew Wiles. Se enteró del trabajo de Ribet y en los próximos 18 meses dedicó su estudio a todo lo relacionado con ecuaciones elípticas (de las cuales era seguramente una de las personas que más sabía) y las formas modulares.

Wiles trabajaba solo y en secreto, parecía imitar a Fermat, con esto no quería ninguna distracción y lograr máxima concentración; además de su deseo de gloria, los años siguientes a 1986 Wiles descubrió una serie de resultados extraordinarios, pero no publicó nada hasta no completar la demostración. Wiles hacía todo lo contrario de lo que hacen los matemáticos contemporáneos, es decir, comunicar sobre los resultados de sus investigaciones; sólo su esposa conocía lo que Wiles estaba haciendo con respecto al U.T.F.

Entre los avances de Wiles se tiene que: Utilizó los grupos de Galois dando una nueva manera de ver el problema. Había probado que el primer elemento de cada ecuación elíptica podía hacerse corresponder con el primer elemento de una forma modular. Estaba tratando de completar un enfoque inductivo y había utilizado la teoría de Kenkichi Iwasawa con la idea de ver que si un elemento de una ecuación elíptica era modular también lo era la siguiente pieza y por lo tanto todas las demás. Luego de ver que la teoría de Iwasawa era insuficiente aplicó el método de Kolyvagin-Flach (Método K-F).

1993. Wiles anunció en Cambridge una serie de conferencias tituladas: “Formas modulares, ecuaciones elípticas y representaciones de Galois”, y el 23 de junio de ese año, al culminar su última conferencia escribió el U.T.F, todos los asistentes lo aplaudieron, el escrito de 200 páginas fue dividido en seis partes para su revisión por parte de los jueces. Dos meses después se verificó que el método de K-F fallaba y todos los intentos por reparar el fallo habían fracasado. Wiles quedó sumido en la depresión.

KENKICHI IWASAWA

(Septiembre 11, 1917 – Octubre 26, 1998)

U.T.F. LA DEMOSTRACIÓN El 19 de septiembre de 1994 Wiles, examinando porqué el método de K-F no funcionaba encontró una revelación increíble, por sí sola la teoría de Iwasawa era insuficiente y por si solo el método de K-F era insuficiente, así la idea era utilizarlos simultáneamente pues uno era el complemento del otro. Wlies comentó “Era tan indescriptiblemente bello, era tan sencillo y elegante. No podía entender como lo había pasado por alto y simplemente lo miré, incrédulo, durante veinte minutos... No podía contenerme, estaba entusiasmado. Fue el momento más importante de mi vida laboral. Nada de lo que haga en el futuro significará tanto”.

El día del cumpleaños de su esposa, Wiles tenía en sus manos el manuscrito completo sobre la prueba del U.T.F. Esta vez la prueba era definitiva y completa, y se desarrollada en 2 artículos para un total de 130 páginas, publicados en Annals of Mathematics (mayo de 1995).

Durante 8 años Wiles reunió todos los adelantos de la teoría de los números del siglo XX y combinó nuevas técnicas con las tradicionales, abriendo nuevas líneas de investigación para gran variedad de problemas.

La cadena BBC de Londres emitió un documental con el título Horizon: El último teorema de Fermat, además se han publicado libros donde se han ampliado aquellas revelaciones y conversaciones privadas, junto con la gran riqueza de la historia de Fermat y de las matemáticas que siempre han rodeado dicho problema, en estos se expone una relación completa y esclarecedora de una de las más grandes historias en los anales del pensamiento humano.

Todo lo antes expuesto, es un breve resumen de la actividad que lleva a cabo el Matemático, descubre e inventa la matemática, ahora bien, está en nosotros los educadores incentivar a nuestros estudiantes a comprenderla y por qué no a crearla también.

ANDREW WILES, el día de la conferencia donde presentó su primer intento de demostración pública del Último Teorema de Fermat.

"[...] y esto demuestra el último teorema de Fermat. Creo que lo dejaré aquí".

Lo siguiente fue una estruendosa ovación.

HOMOTECIA Nº 5– AÑO 6 Viernes, 2 de Mayo de 2008 9 SEGÚN INVESTIGACIONES RECIENTES

LLooss iinnddiiooss ssee aaddeellaannttaarroonn 225500 aaññooss aall ddeessccuubbrriimmiieennttoo ddee NNeewwttoonn

Autor: Mike Addelman Fecha Original: 13 de agosto de 2007

Publicado en Kanijo - 15 de Agosto de 2007

Una escuela poco conocida de eruditos en el sureste de la India descubrió uno de los principios modernos de las matemáticas cientos de años antes que Newton de acuerdo con una nueva investigación.

El Dr. George Gheverghese Joseph de la Universidad de Manchester dice que la “Escuela de Kerala” identificó las “series infinitas” – uno de los componentes básicos del cálculo – hacia el año 1350.

El descubrimiento, actual – y equivocadamente – es atribuido en los libros de texto a Sir Isaac Newton y Gottfried Leibnitz a finales del siglo XVII.

El equipo de las Universidades de Manchester y Exeter revela que la Escuela de Kerala también descubrió lo que sumaban las series de Pi y lo usaron para calcular valores correctos de Pi con 9, 10, y más tarde 17 posiciones decimales.

Y hay una prueba circunstancial fuerte de que los indios pasaron sus descubrimientos a los misioneros Jesuitas con conocimientos matemáticos que visitaron la India durante el siglo XV.

Tal conocimiento, argumentan, pudo finalmente haber pasado a manos del mismo Newton.

El Dr. Joseph hizo estos hallazgos mientras filtraba oscuros papeles indios para una tercera edición aún no publicada de su libro ‘The Crest of the Peacock: the Non-European Roots of Mathematics’ (La cresta del pavo real: Las raíces no europeas de las matemáticas) por Princeton University Press.

Dijo: “Los inicios de las matemáticas modernas se ven normalmente en los logros europeos pero los descubrimientos en la India medieval entre los siglos XIV al XVI han sido ignorados u olvidados”.

“La brillantez del trabajo de Newton a finales del siglo XVII no tiene objeción – especialmente cuando llegó al algoritmo del cálculo”. “Pero otros nombres de la Escuela de Kerala, especialmente Madhava y Nilakantha, deberían estar hombro con hombro con él dados sus descubrimientos de otros grandes componentes del cálculo - las series infinitas”.

“Hay muchas razones por que la contribución de la Escuela de Kerala no ha sido reconocida - una primera razón es el rechazo a las ideas científicas que provienen del mundo no europeo – un legado del colonialismo europeo y más allá”.

“Pero también hay poco conocimiento sobre la forma medieval del lenguaje local de Kerala, el Malayalam, en el cual está escrita gran parte de los textos originales, tales como el Yuktibhasa, y documentación de estos notables matemáticos”.

Añadió: “Por alguna insondable razón, el estándar de las pruebas requeridas para afirmar la transmisión de conocimiento del Este al Oeste es mayor que el estándar de pruebas para del Oeste al Este”.

“Ciertamente es difícil imaginar que el Oeste abandonase una tradición de 500 años de importar conocimiento y libros de la India y el mundo islámico”.

“Pero hemos encontrado pruebas que van más allá de esto: por ejemplo, hubo muchos oportunidades de recopilar la información cuando los jesuitas europeos se presentaron en el área en aquella época”.

“Se les enseñó a los que tenían un conocimiento amplio de matemáticas y estaban bien versados en las lenguas locales”.

“Y hubo una gran motivación: el Papa Gregorio XIII estableció un comité para modernizar el calendario Juliano”.

“En el comité estaba el jesuita alemán astrónomo/matemático Clavius que repetidamente solicitaba información sobre cómo la gente construía calendarios en otras partes del mundo. La Escuela de Kerala era indudablemente un líder en esta área”.

“De forma similar había una creciente necesidad de unos mejores métodos de navegación incluyendo mantener unos tiempos precisos en los viajes de exploración y se les ofreció grandes premios a los matemáticos que se especializaban en astronomía”.

“De nuevo, hubo muchas peticiones de información a lo largo de todo el mundo por parte de los principales investigadores jesuitas de Europa. Los matemáticos de Kerala tenían una enorme habilidad en esta área”.


UUnnaa pprrooppuueessttaa

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Por: Antonio Mazón Ávila - Beatriz Fabelo Rodríguez

Introducción. En este trabajo se proporcionan los fundamentos lógicos esenciales para la formación de conceptos, sustentados en la Lógica Formal y la Lógica Dialéctica, así como las vías de formación a través de las ciencias anteriores. Todo esto aplicado a través del Proceso de Enseñanza Aprendizaje de la Matemática, además se elabora la propuesta que contribuye a la formación de conceptos en una asignatura.

Desarrollo. Fundamentos científicos-lógicos para la formación de conceptos. El contenido de la Matemática está conformado por definiciones, conceptos, teoremas y procedimientos, también llamados componentes de la misma. Haremos a continuación un breve análisis de cada uno de ellos. Concepto: Forma de pensamiento abstracto que refleja los indicios sustanciales de una clase de objetos homogéneos o de un objeto

(Guétmanova, A. Y otros, 1991) son sustanciales los indicios que tomados por separado, son imprescindibles y todos juntos son suficientes para distinguir el concepto dado de los demás.

Son modos básicos de la formación de conceptos, el análisis, la síntesis, la comparación, la abstracción y la generalización. En cada concepto se pueden distinguir el contenido y la extensión.

Por contenido del concepto se entiende el conjunto de propiedades esenciales que determinan el mismo y extensión al conjunto de objetos que poseen esas propiedades esenciales. El contenido y la extensión del concepto, guardan una íntima relación: cuanto más amplio sea el contenido del concepto, más estrecha será su extensión y viceversa. Esta se denomina “Ley de la Lógica Formal de Razón Inversa entre la extensión y el contenido del concepto” Entre dos conceptos existe una relación de subordinación, cuando entre los contenidos y las extensiones de tales conceptos existe la siguiente dependencia: los caracteres esenciales del primer concepto constituyen sólo una parte de los caracteres esenciales del segundo, el cual posee además de dichos caracteres algunos otros; la extensión del segundo concepto, en cambio cae por completo dentro del campo del primero como parte del mismo. Al concepto de mayor extensión se le llama subordinadamente (concepto superior) y el de extensión menor subordinado (sub concepto) Gorski D; Tavants P.).

Al razonar, pasamos con mucha frecuencia de un concepto que tiene determinada extensión a otro concepto cuya extensión no constituye más que una parte de aquel. Este proceso de pensar se encuentra relacionado con las operaciones lógicas de limitación y generalización, a través de ellas podemos definir nuevos conceptos, constituyendo esta, la vía lógico-formal. Se llama limitación del concepto a la operación lógica gracias a la cual se restringe la extensión de aquel añadiendo a sus caracteres un nuevo carácter que se refiere sólo a una parte de los objetos que abarca la extensión de dicho concepto inicial. La operación inversa a la que acabamos de definir se llama generalización del concepto.

Definición: Se llama definición a la operación lógica por medio de la cual concretamos los rasgos esenciales del concepto, y se le diferencia de

todos los que son parecidos (orientaciones metodológicas duodécimo grado 1991, Matemática).

En Matemática, las definiciones pueden ser implícitas o explícitas. Es implícita cuando no se dan directamente las propiedades esenciales del concepto, sino que se determina por alguna relación en la que interviene. Las ecuaciones matemáticas, desigualdades, etc. Constituyen definiciones implícitas. En las definiciones explícitas se concretan los rasgos esenciales del concepto o al menos un sistema de propiedades necesarias y suficientes.

Son necesarias las propiedades que pertenecen a todos los objetos que integran la extensión del concepto y también poseen otras que no están incluidas en la extensión (O. Metodológicas, duodécimo grado Matemática 1991).

Son propiedades suficientes las que sólo poseen los objetos que pertenecen a la extensión del concepto (O. Metodológicas duodécimo grado Matemática 1991).

Proposición: Todo enunciado verbal o escrito que tiene un valor de verdad, es decir que es necesariamente verdadero o falso. Las

proposiciones matemáticas verdaderas son axiomas o teoremas matemáticos. La verdad de un teorema debe comprobarse con una demostración. Una definición es una afirmación formulándose de la manera más conveniente, de ella no puede decirse que sea verdadera o falsa.

Procedimiento Algorítmico: Según Landa se entiende por ello una sucesión de indicaciones, exacta y determinada unívocamente para la

realización de una serie de operaciones elementales (o de sistema de tales operaciones) para resolver ejercicios de una determinada clase o de un determinado tipo (Jungk Werner, 1979).

La definición debe comprender las condiciones necesarias y suficientes para demostrar todas las propiedades del objeto investigativo (Leibniz Metodología del conocimiento científico).




Werner Jungk asevera que el núcleo de la formación de conceptos es la búsqueda de características necesarias y suficientes.

La Lógica Formal estudia los actos del pensar haciendo abstracción del contenido concreto de los pensamientos, tomando sólo el procedimiento general de conexión entre las partes del contenido dado. Esta estudia una particularidad de los objetos del pensar: su estabilidad cualitativa, su relativa inmutabilidad, su identidad en cierto aspecto y en determinadas propiedades. Esta no “suprime” y no prohíbe el movimiento, el desarrollo del mundo material, sino que se abstrae de él y examina los casos en estado de relativo reposo.

La Lógica Dialéctica investiga los objetos y fenómenos de la realidad de modo multilateral en su conexión e interdependencia general, en su movimiento y desarrollo y conceptúa la quietud como un caso particular del movimiento.

Esta aborda el problema de la verdad en toda su dimensión, no puede hacer abstracción del contenido concreto de los conceptos, juicios y razonamientos en todo el proceso del pensar, ya que únicamente el análisis concreto de los objetos en condiciones concretas de espacio y tiempo permiten desentrañar la esencia.

Tampoco puede prescindir del desarrollo histórico del pensamiento humano.

Otro objeto básico de la L. D. constituye el estudio del proceso de formación y desarrollo del conocimiento mismo. La revelación dialéctica de los conocimientos implica no una simple enumeración de sus propiedades (aspectos sustanciales), como ocurre en la definición lógico-formal de los conceptos; se quiere desentrañar la interconexión entre estos aspectos sustanciales, un enfoque histórico del fenómeno reflejado en el concepto y de sus facetas sustanciales, mostrar sus contradicciones dialécticas (Andreiev I).

La esencia de un concepto es un sistema de propiedades y, por tanto, para operar con los conceptos es fundamentar aprender como se determinan las propiedades y se asocian a los diferentes objetos. Para aprender a distinguir propiedades de los objetos se necesitan las habilidades de observar y comparar a fin de poder establecer semejanzas y diferencias entre objetos y, a partir de estas comparaciones, determinar las propiedades.

El proceso de elaboración de conceptos tiene tres fases.

a) La primera fase se caracteriza por consideraciones y ejercicios preparatorios.

Antes de definir el concepto en clase el alumno trabaja con elementos del mismo, es decir lo va conociendo parcialmente. b) La segunda fase esencial es la formación de conceptos. En esta está presente:

- el nivel de partida

- la motivación y la orientación hacia el objetivo.

- Obtención del conocimiento: este es el sistema de propiedades necesarias y suficientes.

c) La tercera fase consiste en la asimilación del concepto, a estas pertenecen las ejercitaciones, profundizaciones, sistematizaciones y

aplicaciones. Para asimilar un concepto el alumno debe poder:

- Identificar el concepto.

- Brindar una idea geométrica del concepto.

- Indicar contraejemplos.

- Señalar casos especiales.

- Indicar casos límite

- Establecer relación entre concepto Superior y concepto Subordinado.

- Aplicar el concepto.

¿Cómo se aprende? Estableciendo relaciones significativas. Para que el aprendizaje de un concepto sea duradero, este ha de ser significativo. En sentido general y amplio, un aprendizaje significativo es aquel que partiendo de conocimientos, actitudes, motivaciones, intereses y experiencia previa del estudiante hace que el nuevo contenido cobre para él un determinado sentido. El aprendizaje significativo potencia el establecimiento de relaciones: relaciones entre aprendizaje, relaciones entre los nuevos contenidos y el mundo afectivo y motivacional de los estudiantes, relaciones entre los conceptos ya adquiridos y los nuevos conceptos que se forman, relaciones entre el conocimiento y la vida, entre la teoría y la practica. A partir de esta relación significativa, el contenido de los nuevos conceptos cobra un verdadero valor para la persona y aumentan las posibilidades de que dicho aprendizaje sea duradero, recuperable, generalizable y transferible a nuevas situaciones (característica de un aprendizaje eficiente, así como de pasar a formar parte de un sistema de convicciones del sujeto.




Después de haber estudiado las particularidades relativas a la formación de conceptos, elaboramos la propuesta siguiente: 1- Seleccionar de la asignatura los conceptos que necesitan ser asimilados por los estudiantes a un nivel productivo. 2- Plantear problemas relacionados con la especialidad que cursan los estudiantes.

En general, esta situación se caracteriza por al existencia de un nuevo objeto de actividad intelectual y la aspiración a dominarlo. Surge sobre la base de la interacción por parte del sujeto de aprendizaje y el objeto del conocimiento y solo en el caso en que esta interacción de inmediato no determine la obtención de resultados. El estudiante tiene claro algunos aspectos y relaciones y otros no, pero a la vez, siente que algo conoce y, si busca encuentra la solución. Por cuanto no puede resolver la cuestión sólo con los conocimientos que posee, se ve en la necesidad de buscar vías para hacerlo. Otro aspecto importante es que para el estudiante este nuevo objeto tiene un valor, un significado, pues lo aproxima a su futuro desempeño profesional, esto garantiza que el estudiante actué de forma consciente, por que ve el nuevo objeto como necesario, de ahí que aumenten las posibilidades para que el aprendizaje sea duradero, recuperable, generalizable y transferible a nuevas situaciones.

3- Utilizar de forma complementaria la vía lógico- formal y lógico – dialéctica para definir dichos conceptos. 4- Proporcional la interpretación geométrica del concepto. 5- Destacar propiedades necesarias y suficientes para el concepto. 6- Establecer relación entre concepto Superior y concepto subordinado. 7- Precisar casos especiales y límites del concepto. 8- Indicar demostraciones por contraejemplos. 9- Obtención de nuevas teorías en la asignatura y resolver problemas con el concepto definido. 10- Controlar en evaluaciones frecuente y parcial la asimilación del concepto a través de un problema.

Conclusiones. 1- La propuesta elaborada aproxima al estudiante a su desempeño profesional. 2- La propuesta puede ser utilizada por las asignaturas de Matemática de diferentes carreras. 3- Mediante la aplicación de la propuesta, el estudiante se apropiará de conceptos fundamentales de la Matemática, a través del Proceso de

Enseñanza Aprendizaje de la misma. BIBLIOGRAFÍA.

1. Andréiev, I. Problemas Lógicos del Conocimiento Científico. Editorial Progreso 1984.

2. Ausubel D.P. (1976) Psicología Educativa. Un punto de vista cognoscitivo. México: Trillas (Ed. Orig. 1968).

3. Guétmanova, A. Lógica. Editorial Progreso. 1989

4. Guétmanova, A. y otros. , Diccionario de Lógica: En forma simple sobre lo complejo. Editorial Progreso, Moscú. 1991

5. Jungk, Werner. Conferencias sobre Metodología de la Enseñanza de la Matemática (2) Primera Parte. Editorial de Libros para la educación. Ministerio de Educación. La Habana, 1979.

6. Kopnin, P. V. Lógica Dialéctica. Ciencias Económicas y Sociales

7. Orientaciones metodológicas duodécimo grado, 1991. Matemática

8. Petrovski, A., 1985. Psicología Evolutiva y Pedagógica. Editorial Progreso. Moscú. 1985

9. Sanz, T. Estudio de los procedimientos lógicos de identificación y clasificación. Tesis para optar por el grado de Doctora en Ciencias Pedagógicas. 1989.

Créditos:

MSc Antonio Mazón Ávila - Universidad de Pinar del Río, Cuba - Lic. Beatriz Fabelo Rodríguez - E.V.C.E de Pinar del Río, Cuba. [email protected]


AACCTTIIVVIIDDAADD AACCAADDÉÉMMIICCAA

“Epistemología de la Educación Matemática” El pasado 18 de abril del corriente año, se llevó a cabo un Evento Académico, organizado por los cursantes de la Asignatura “Epistemología de la Educación Matemática”, conducente a la Maestría en Educación Matemática de la Facultad de Ciencias de la Educación (FACE) de nuestra Universidad de Carabobo, bajo la coordinación de los profesores Rafael Ascanio H. y Próspero González M., ambos docentes de esta asignatura en el lapso Enero-Abril 2008, siendo el último de los nombrados, coordinador encargado de dicha maestría.

DR. FREDY ENRIQUE GONZÁLEZ

El invitado especial para esta actividad fue el Doctor Fredy Enrique González, profesor de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL) de Maracay. El doctor Fredy González es un destacado profesional de la docencia en matemática, reconocido nacional e internacionalmente y de su trayectoria se puede destacar lo siguiente: Profesor de Matemática y Contabilidad, título obtenido en el Instituto Pedagógico de Caracas en 1974. Estudios de Maestría en Educación Superior en el Instituto Pedagógico de Maracay a partir de 1976. Master en Matemática - Mención Docencia, título obtenido en la Universidad de Carabobo en 1984. Doctor en Educación, título obtenido en la Universidad de Carabobo en 1997. Profesor en los liceos “Manuel Atanasio Girardot” y “Agustín Codazzi” de Maracay, Estado Aragua. Profesor del Instituto Pedagógico de Maracay-IPMAR. Subdirector de Investigación y Postgrado de la UPEL-Maracay durante el período 1999-2003. Docente del Área de postgrado de la facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo. Director-Fundador de la REVISTA PARADIGMA en 1980, publicación universitaria venezolana de gran prestigio, de circulación nacional e internacional, lo que ha permitido el intercambio con más de cien publicaciones que sirven de base al acervo documental del Centro de Información y Documentación del Instituto Pedagógico de Maracay. Autor de cinco libros sobre enseñanza de la Matemática. Autor de numerosos artículos científicos relacionados con la Educación Matemática y aspectos epistemológicos de la investigación que han sido publicados en

varias revistas, tanto nacionales (PARADIGMA, PLANIUC, ENFOQUES, INVESTIGACION Y POSTGRADO, CIEAPRO, MENSAJE) e internacionales (EDUCACION MATEMATICA de México). Arbitro de artículos científicos de revistas nacionales e internacionales. Autor de la letra del himno del Liceo “Manuel Atanasio Girardot”. Miembro de la comisión nacional para la reforma de la educación básica venezolana. Miembro de la comisión representante del Instituto Pedagógico de Maracay en su proceso de homologación de programas de estudios, previo a su incorporación a la UPEL. Gerente del Centro de Información y Documentación del Instituto Pedagógico de Maracay desde 1995 hasta 2003. Miembro de la Junta Directiva de la Fundación para el Desarrollo de la Ciencia y la Tecnología FUNDACITE del Estado Aragua. Presidente de la Junta Directiva Nacional de la Asociación Venezolana de Educación Matemática ASOVEMAT. Coordinador del Núcleo de Investigación en Educación Matemática “Dr. Emilio Medina” de la UPEL Maracay, del Centro de Investigaciones Educacionales Paradigma; en éste dirige la Línea de Investigación en Ciencias Cognitivas. Entre los reconocimientos recibidos se tienen: Beca del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Tecnológicas CONICIT (1981). Distinguido como Investigador Destacado por los miembros de la comunidad académica nacional (Asociación de Profesores de la UPEL Maracay, 1993). Premio Nacional a la Labor Investigativa (Universidad Pedagógica Experimental Libertador, UPEL). El Dr. Fredy González participó en este evento en los siguientes momentos:

8:30 AM. Conversatorio con los cursantes de la asignatura “Epistemología de la Educación Matemática”. Temática: “Epistemología de la Educación Matemática. Experiencias Académicas. Puntualizaciones”. Intercambio de Ideas.

3:00 PM. Conferencia: “Epistemología de la Educación Matemática”. Sesión de preguntas y respuestas. Como actividad programada en el contexto del desarrollo del curso de la Asignatura “Epistemología de la Educación Matemática”, el objetivo de este evento estuvo dirigido a la estimulación del intercambio de ideas acerca de ciertas preguntas referidas a la enseñanza y aprendizaje de la matemática desde la epistemología.

Lo anterior surge de considerar como fundamental la preparación de los profesionales de la enseñanza de la matemática en todos los niveles educativos. Esto por dos motivos, uno cultural y otro profesional, ambos centrados en la figura misma del docente que, en primer lugar debe

realizar una transposición didáctica del saber al saber enseñar, y en segundo lugar debe comunicarse con ellos haciendo uso de los temas de matemática, en lo cual se pone de manifiesto la necesidad de una formación epistemológica, ya sea para realizar transposición didáctica como para hacer eficaz esa comunicación.

Atendiendo a esta necesidad, el Dr. Fredy González, se preocupó en establecer una conversación con los cursantes de la Asignatura “Epistemología de la Educación Matemática”, con el fin de superar dudas e inquietudes acerca del hecho epistemológico en la enseñanza de la matemática. El evento terminó con reconocimientos al ponente y con la adquisición de compromisos para futuros encuentros relacionados con aspectos generados de la temática tratada.

Del evento…

Anécdota de pasillo

• Profesor, respecto al informe que debo entregarle... el mío es referente a software educativo y su impacto en el ámbito educativo. Sin embargo, tratando de investigar y leer sobre el tema, no le he conseguido relación epistémica a mi trabajo, debido a que en sí, mi proyecto es de aplicación de un software educativo en la educación básica... Si me podría dar una idea de un enfoque relacionado con mi trabajo, se lo agradecería. • Bien, por ahora es importante que comiences planteando cuál es tu objeto de estudio. La relación epistémica que señalas no haz encontrado, no es una herramienta didáctica o de investigación que la tomes de un anaquel y la incorpores a tu escrito. No, lo epistemológico está ahí, en el sentido y en la importancia que le das a lo que quieres investigar, en las razones que te impulsan a realizar este estudio. Recuerda que hay una epistemología propia del docente, una epistemología de sí mismo. Cuando justifiques el por qué de realizar esa investigación que mencionas, tendrás que reflexionar sobre el sentido y el propósito que le darás a los posibles resultados que obtendrás. En ello habrá algo de epistemología, sobre todo de tu epistemología.


AAllgguunnaass mmaarraavviillllaass ddee llaa IInnggeenniieerrííaa ddee eessttee SSiigglloo XXXXII Una manifestación del llamado Primer Mundo

CONSTRUCCIÓN DE UN PARQUE EÓLICO EN EL MAR

Un parque eólico es una agrupación de aerogeneradores que se utilizan generalmente para la producción de energía eléctrica.

Los parques eólicos se pueden situar en tierra o en el mar (offshore), siendo los primeros los más habituales, aunque los parques offshore han experimentado un crecimiento importante en Europa en los últimos años.

Parque eólico en el mar (offshore), en Copenhague

El número de aerogeneradores que componen un parque es muy variable, y depende fundamentalmente de la superficie disponible y de las características del viento en el emplazamiento. Antes de montar un parque eólico se estudia el viento en el emplazamiento elegido durante un tiempo que suele ser superior a un año. Para ello se instalan veletas y anemómetros. Con los datos recogidos se traza una rosa de los vientos que indica las direcciones predominantes del viento y su velocidad.

Los parques eólicos proporcionan diferente cantidad de energía dependiendo de las diferencias sobre diseño, situación de las turbinas, y por el hecho de que los antiguos diseños de turbinas eran menos eficientes y capaces de adaptarse a los cambios de dirección y velocidad del viento.

Una vista del Complejo Eólico terminado.- A 20 Km. de la costa de Dinamarca, se halla Horns Rev, el mayor parque eólico marino del mundo. Cuenta con 80 torres que se elevan a 110 m. de altura y generan un total de 160 MW de energía, por encima de la producción de los parques en tierra. Algunos datos de interés

A pesar de su elevado coste, su enorme potencial energético ha convertido a los parques eólicos marinos en la gran alternativa. Además, algunos ecologistas llevan años criticando el impacto visual de los parques en tierra, por lo que colocarlos mar adentro es una buena forma de ponerlos fuera del alcance de la vista.

Una vista del Complejo Eólico terminado

Dinamarca es el país pionero en este tipo de energía y cuenta con los mayores parques de eólicos marinos del planeta. En la actualidad el 50% del consumo eléctrico familiar danés proviene de estos parques. En el resto de Europa destacan algunos proyectos, como la instalación de 3.000 aerogeneradores en el Reino Unido, con capacidad para abastecer al 15% de la población británica. España, que destaca en el uso de la energía eólica terrestre, no ha situado de momento ni un solo generador mar adentro. Existe un proyecto para instalar un parque entre Barbate y Conil, en la costa de Cádiz, pero cuenta con la oposición de los pescadores locales (que temen que afecte a las rutas migratorias de los atunes) y de las autoridades locales (que temen que el impacto visual ahuyente a los turistas). Tomado de: Wikipedia® Wikimedia Foundation, Inc. – Marzo 23, 2008.


AMENIDADES

DDee iinntteerrééss

Sonda "Cassini" Descubren sistema de anillos en torno a la luna Rhea TOMADO DE: el carabobeño.com Artículo publicado el: 06/03/2008

Washington (DPA).- No sólo Saturno, sino también su segunda mayor luna Rhea está rodeada por un anillo, estableció un equipo de astrónomos utilizando la sonda espacial "Cassini". El sistema de anillos en torno a Rhea es el primero que se haya encontrado alrededor de una luna, informó hoy el Instituto Max- Planck para investigación del sistema solar en Katlenburg-Lindau, Alemania. El resultado de las investigaciones, en las que participaron investigadores alemanes, británicos y estadounidenses, fue difundido en la última edición de la revista especializada estadounidense "Science". La sonda "Cassini" gira alrededor de Saturno desde el año 2004, y también analiza su luna helada. La segunda mayor de estas lunas tras Titán es Rhea. Este cuerpo celeste con un diámetro de 1.528 kilómetros rodea a su planeta madre a una distancia media de 526.000 kilómetros cada cuatro días y medio. Con la ayuda de instrumentos especiales de medición como detectores de electrones y polvo a bordo de "Cassini", el equipo internacional de científicos estableció que Rhea está rodeada de un sistema de anillos.

SATURNO – SONDA “CASSINI”

Créditos foto: NASA

A PRIMER PLANO: LUNA RHEA

Créditos foto: NASA/JPL/JHUAPL

Sudoku!!! El juego numérico que activa la inteligencia

Recuerda: la regla para hacerlo es rellenar cada fila, cada columna y cada caja de 3x3 con los números del 1 al 9 sin repetirlos.

La respuesta del anterior:

Y ahora……

¡¡¡Nuevo Reto!!!

Tomado de: Mephan, M. (Comp.) (2005). Sudoku. El nuevo juego numérico que activa la inteligencia. Caracas-Venezuela: Editorial Random House Mondadori.

¡Éxito y hasta el próximo encuentro!


GALERIA

TEANO (s. VI AC)

AUTORA: Mónica Sáinz Herrero

El marco histórico en el que nos situamos para estudiar la vida de Teano es el de la antigua Grecia.

Durante el periodo de la Grecia clásica se edificó una matemática original y brillante y se tomaron algunos elementos de civilizaciones vecinas que construyeron quienes les precedieron tanto en Babilonia como en Egipto.

Por lo que sabemos hoy el tipo de conocimientos que nos revelan los papiros egipcios es de carácter eminentemente práctico, y tratan sobre cuestiones de cálculo aritmético y mediciones geométricas.

Tales, Pitágoras y Teano aparecen en el siglo VI antes de nuestra era. Son figuras indefinidas históricamente, ya que no ha quedado ninguna obra matemática suya y ni siquiera existe constancia de que las escribieran.

A Tales se le considera el primer matemático, a Pitágoras el padre de la matemática y a Teano la primera mujer matemática.

Pitágoras (572-497 a. n. e.) fue filósofo, astrónomo y matemático, fundó la escuela pitagórica, orden de tipo comunal y secreto, donde se daba una gran importancia a la educación tanto en hombres como mujeres. El lema de la escuela fue "todo es número" pues que en la Naturaleza todo podía explicarse mediante números.

Teano nació en Crotona, fue discípula de Pitágoras y se casó con él. Enseñó en la escuela pitagórica. Se conservan fragmentos de cartas y escritos que prueban que fue una mujer que escribió mucho, y eso mismo le atribuye la tradición, , que considera como suyos varios tratados de matemáticas, física y medicina. El tratado Sobre la Piedad del que se conserva un fragmento con una reflexión sobre el número se piensa que es de Teano. Se le atribuyen otros tratados sobre los poliedros regulares y sobre la teoría de la proporción, en particular sobre la proporción áurea.

Después de la rebelión contra el gobierno de Crotona, a la muerte de Pitágoras, Teano pasó a dirigir la comunidad, con la escuela destruida y sus miembros exiliados y dispersos, sin embargo con la ayuda de dos de sus hijas, difundió los conocimientos matemáticos y filosóficos por Grecia y por Egipto.

FUENTE BIBLIOGRÁFICA: El Juego de Ada, Matemáticas en las Matemáticas, de Lourdes Figueiras. Ed. Sur

GRACE CHISHOLM YOUNG (1868-1944)

Foto: De la página de Internet: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Chisholm Young.html

AUTORA: Sandra Sáinz Herrero

Nació en Inglaterra, durante la época victoriana. Su familia gozaba de una privilegiada situación y de una elevada educación. Su padre había tenido un prestigioso cargo en el Departamento de Pesas y Medidas del gobierno británico y la madre era una consumada pianista que, junto a su padre, daba recitales de violín y de piano. Era la más pequeña de cuatro hermanos, todos eran hombres menos ella. Solo le enseñaban lo que quería aprender que era cálculo mental y música, que le enseñaba su madre hasta los diez años. A los diecisiete pasó los exámenes de Cambridge, pero no le dejaron seguir estudiando por ser mujer. Más tarde a los veintiún años decidió continuar estudiando.

Escribió Primer libro de Geometría en el que opinaba sobre el interés que tenía enseñar geometría utilizando cuerpos geométricos en tres dimensiones. Quería estudiar medicina pero su madre no aprobó esa elección, por lo que con el apoyo de su padre comenzó a estudiar matemáticas. Entró en la universidad de Cambridge. Tuvo dificultades para asistir a clases de Arthur Cayley (1821-1895) pero obtuvo allí su licenciatura. Para proseguir su carrera como matemática debió abandonar su país, pues en él aún no era posible que una mujer se doctorase, e ir a Göttingen. Grace consiguió doctorarse, la podemos considerar como la primera mujer que consiguió doctorarse en matemáticas de una forma "normal".

Volvió a Inglaterra, y su tesis fue reproducida y enviada a aquellas personas que le pudieran interesar. Una de estas personas fue William Young que le pidió su colaboración para escribir un libro de astronomía. Willian la solicitó en matrimonio y ella lo rechazó, pero la insistencia de Willian no cesó hasta que se casaron. Durante el primer año de matrimonio vivieron en Cambridge a final de ese año nació su primer hijo y además Willian decidió trasladarse a Alemania, pasaron gran parte de su vida viajando por: Alemania, Inglaterra, Suiza e Italia. Tuvo seis hijos y una familia tan numerosa no permitía desarrollar muchas actividades fuera del hogar. Ella elaboró una serie de textos, e hizo unas aportaciones a la Integral de Lebesque y estudio de las Derivadas de las Funciones Reales.

FUENTE BIBLIOGRÁFICA: El juego de Ada; Lourdes Figueiras Ocaña, María Molero Aparicio, Adela Salvador Alcaide, Nieves Zuasti Soravilla. (161-163).

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