homotecia nº 7-14 julio 2016 -...

HOMOTECIA Nº 7 – Año 14 Viernes, 1° de Julio de 2016 1

En la misma reunión donde conversábamos con el docente jubilado del Departamento de Matemática y Física de nuestra Facultad de Ciencias de la Educación (FACE) de la Universidad de Carabobo, a quien citamos con una anécdota relacionada con su desempeño laboral en nuestra anterior editorial, también se encontraba otro docente jubilado del departamento quien quiso hacer referencia a una experiencia que le sucedió. Su historia comienza en la época de su niñez, cuando estudiaba educación primaria.

- Yo estudié en un colegio privado en el cual se podía cursar desde pre-escolar, pasando por la primaria y hasta bachillerato para egresar como bachilleres en ciencias o humanidades. Cuando estudiaba uno de los cursos de primaria pero que no recuerdo cuál ya que la maestra que nos atendía la tuvimos por tres cursos seguidos, ella un día llegó con unos tacos de madera sobre los cuales nos dijo que se los habían facilitado en el laboratorio de Mineralogía, una materia que se cursaba en quinto de bachillerato en ciencias. Los mismos eran cuerpos geométricos, es decir estaban relacionados con matemática. A continuación comenzó a enseñárnoslo uno a uno indicando sus nombres y sus principales características. De todos los que nos enseñó, quiero hacer referencia a lo que señaló sobre el cilindro, ya que la anécdota a la que me voy a referir tiene que ver con ello. Nos dijo: `Este otro es un cilindro. Es un cuerpo geométrico que en este caso está limitado por una superficie curva cerrada lateral, esta cubre lo que podemos llamar cuerpo. Dos planos con forma de círculos la cortan, uno por la parte superior y el otro por la inferior, los podemos llamar caras. En sí, el cuerpo hace que exista una distancia entre las dos caras y a esta distancia la podemos llamar altura. La altura puede ser de este tamaño, mucho más grande o mucho más pequeña’. Todo esto nos lo decía utilizando las palmas de sus manos o sus dedos para indicar los detalles a los que se refería. A la siguiente clase sobre matemática, la maestra nos hizo llevar una cartulina blanca, un juego de reglas de geometría y un compás. Sobre la cartulina nos hizo trazar una circunferencia, la cual debía tener un radio de diez centímetros. Luego explicó: ‘La línea curva cerrada que trazaron ya saben que es una circunferencia, pero la región encerrada por la circunferencia se llama círculo. Bien ahora recorten el círculo’. Lo hicimos. Nos preguntó: ‘¿Qué tienen ahora?’. Comenzamos a gritar: ‘¡Una circunferencia! ¡Un círculo!’. Y la maestra: ‘¡No!’. Nos callamos y nos mirábamos entre sí sorprendidos e intrigados. La maestra agregó: ‘Bueno, no sé si lo que pasa es que tienen mala memoria o no aprendieron nada de la clase anterior. A ver: Esta es una cartulina recortada tal como ustedes lo hicieron. Ya circunferencia no es porque no es una línea aunque su borde sí lo es. ¿Será un círculo? Observen esto: Por este lado escribo una A mayúscula y por el otro una B mayúscula. ¿Qué debería pasar si se las muestro frontalmente? Hubo silencio pero en eso Héctor R., un compañerito de clase, respondió: ‘Veríamos la A y la B al mismo tiempo’. La maestra: ‘¿Y por qué no ocurre?’. Otra vez Héctor R.: ‘Porque no están escritas en el mismo lado, están separadas una de la otra’. La maestra, alzando su voz: Entonces, ¿qué cuerpo geométrico es este? Un instante de silencio y casi todos a la vez, respondimos: ¡UN CILÍNDROOOO! La maestra: ‘Entonces si aprendieron. Los felicito’.

El profesor con el tiempo se graduó en la FACE como Licenciado en Educación – Mención Matemática, luego ingresó como docente del departamento y también se casó. Tiene tres hijos. Un día, su hijo menor Luis, cuando cursaba tercer grado de primaria, se le acercó y le dijo:

- Papá, mañana tengo examen de Matemática y seguro van a preguntar sobre cuerpos geométricos.

- ¿En qué quieres que te ayude?

- Dame un ejemplo de cilindro, pero que no sea la lata de refresco. Ya estoy cansado de que cuando le preguntamos a la maestra que nos dé un ejemplo de cilindro, ella responde ‘una lata de refresco’. Igual nosotros. Si nos piden un ejemplo de cilindro, respondemos ‘una lata de refresco’.

- Bien hijo, otro ejemplo puede ser una moneda de dos bolívares - mostrándosela. ¿Estás de acuerdo?

- Mmmm. ¡Sí!

- ¿Entiendes por qué esta moneda es un cilindro?

- ¡Sí!

- ¡Bien!

Pasaron algunos días, y el muchacho llegó con su examen corregido en las manos.

- Papá, tú y que profesor universitario de matemática. Por tu culpa perdí la oportunidad de sacar veinte en el examen.

El muchacho le muestra el examen y este está calificado con diecinueve. El punto lo perdió en la pregunta referida al cilindro: la maestra la tachó como indicación de que era incorrecto el haber escrito que una moneda de dos bolívares era un cilindro.

- Pero hijo, esa respuesta es correcta. Tú me dijiste que entendías por qué una moneda de dos bolívares es un cilindro.

- Si la maestra dice que no lo es, entonces no lo es. Ella es mi maestra. No hablemos más de esto.

El profesor, molesto, fue a hablar con la maestra. Le explicó que se había equivocado al corregir el examen de su hijo en la respuesta del cilindro.

(CONTINÚA EN LA PRÓXIMA PÁGINA)


(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

- Usted no me puede decir eso. Venga para acá. – le dijo la maestra.

Lo llevó hacia su escritorio y de una gaveta sacó el libro que usaba como texto de matemática. Buscó en este y en una determinada página le mostró la fotografía de una moneda de bolívares cinco. Al final de la fotografía había un escrito que decía que la foto correspondía a un círculo. Casualmente tenía al lado una lata de refresco vacía y le dijo ‘esto sí es un cilindro’ . El profesor le preguntó: ‘¿Y cómo le explica usted a sus alumnos que esa lata es un cilindro?’.

- Bueno, les digo que es un cuerpo conformado por dos caras circulares las cuales están separadas por el resto de la lata, la cual presenta una característica física a la que llamaremos altura, es decir la distancia entre las dos caras circulares.

- ¿Y usted no cree que esas mismas características las tiene la moneda de dos bolívares? Lo único es que en la moneda la altura es pequeña.

La maestra se quedó dubitativa, luego asintió. Ante esto, el profesor pensó que la había convencido y le solicitó se lo indicara a su hijo y que además reconsiderara la calificación del examen. También aprovechó para hacerle saber que la foto en el libro estaba siendo mal utilizada por el autor del mismo como representación del círculo: no era ni circunferencia, ni círculo, sólo la fotografía de una moneda de cinco bolívares. Posteriormente, cuando conversó con su hijo sobre qué había pasado con el examen, el muchacho le dijo.

- Tengo la misma nota, la maestra me siguió considerando mala la pregunta y te agradezco no vayas más al colegio a hablar con mi maestra sobre matemática.

Lo doloroso para el profesor es que su hijo Luis más nunca le consultó algo sobre matemática. Ni aun como adulto. Pero esto no quedó allí. Su hijo mayor, Carlos, estudió la carrera Técnico Superior en Mantenimiento Mecánico e Industrial en un reconocido instituto tecnológico de la ciudad de Valencia. Un día llegó y le solicitó a su papá cierta cantidad de dinero para inscribir en el Curso de Verano la asignatura Análisis Matemático II, la cual versaba sobre Técnicas de Integración. El profesor le dio el dinero pero le dijo:

- Pero Carlos, si tenías problemas con esa asignatura yo te hubiera ayudado. Yo la he trabajado en la Universidad y tengo un buen material de la misma.

- Bueno, no es que no la entienda. En realidad no le dediqué el tiempo suficiente. No quería incomodarte. Te informo como salgo en el curso.

Se inscribió en el curso y afortunadamente aprobó con buena calificación. Pero Carlos no fue sincero, había detalles que no quiso aclarar. Pero la luz vino con el caso del otro hijo, el del medio, Tomás. Un día, cuando Tomás cursaba el cuarto año de bachillerato, le dijo a su papá que debía ir al liceo a buscar el boletín con las calificaciones del primer lapso. Tomás había sido un excelente estudiante hasta ahora, por eso fue sorprendido cuando al llegar al liceo, los profesores de matemática, los cuales muchos o habían estudiado con él o habían sido sus alumnos, de forma jocosa le decían:

- En casa de herrero, cuchillo de palo. Jajaja!!!

La razón, Tomás, de todos los de su curso era el de peor rendimiento en Matemática. El profesor le reclamó a su hijo por qué no le había informado que tenía problemas con matemática. Que él lo hubiera ayudado. El muchacho le respondió con el lenguaje desfachatado que le ha caracterizado durante toda su vida:

- ¿Tú estás loco? ¿Tú crees que yo voy a pasar pena como la que pasó Luis cuando te equivocaste con lo del cilindro y le fuiste a reclamar a la maestra? ¿Por qué crees que Carlos nunca te dijo que iba mal en Análisis Matemático II a pesar de todos sus esfuerzos? ¡Por lo mismo! ¡Ya debes ubicarte!

Cuánto dolor sintió en aquel momento el profesor.

Como conclusiones de toda la historia, un aplauso para la maestra de primaria del profesor: estaba bastante clara en qué explicar y cómo hacerlo. Muy mal la maestra de tercer grado de Luis, no sólo fallaba en los fundamentos matemáticos sino que no estaba consciente en el daño que podía causar a una relación familiar por no reflexionar e investigar sobre los conocimientos que se manejan en las clases de matemática. Muy mal también nuestro docente porque como tal, debía saber que los alumnos la mayoría de las veces dicen que entienden lo que se les explica pero es falso. Si Luis le dijo que entendía lo de la moneda y el cilindro, él debió solicitarle que se lo explicara, así se aseguraría que realmente lo entendía.

La lección que nos queda es ¡cuánto poder tenemos los docentes sobre el aprendizaje de nuestros alumnos!: “Si la maestra dice que no lo es, entonces no lo es. Ella es mi maestra”. Es decir el alumno valora como incuestionable lo que le enseñamos. Por ello hay que ser muy cuidadosos con nuestra labor. Podemos dañar la formación y el futuro de estos jóvenes cuyos padres ponen en nuestras manos esta responsabilidad. Educar no es sólo enseñar, también es aprender.

Reflexiones

"Feliz aquél que transmite lo que sabe y aprende lo que enseña". Ana Lins dos Guimarães Peixoto


HENRI LEBESGUE

(1875 – 1941)

Nació el 28 de junio de 1875 en Beauvais, Oise, Picardie; y murió el 26 de julio de 1941 en París, ambas localidades en Francia.

Formuló la Teoría de la medida en 1901 y al año siguiente dio la definición de Integral de Lebesgue que generaliza la noción de la Integral de Riemann.

Imágenes obtenidas de:

El padre de Henri Lebesgue fue un impresor. Henri inició sus estudios en el Collège de Beauvais, luego fue a París dónde estudió primero en el Lycée San Louis y después en el Lycée Louis-le-Grand.

Lebesgue entró en la École Normale Supérieure de París en 1894 y obtuvo el diploma de maestro de matemática en 1897. Durante los próximos dos años que él estudió en su biblioteca dónde leyó los trabajos de Baire sobre funciones discontinuas y comprendió que se podía lograr mucho más en este área. Con el tiempo, se creó una rivalidad considerable entre Baire y Lebesgue a la cual se hará referencia más adelante. Él fue designado como profesor en el Lycée Centrale de Nancy, donde enseñó desde 1899 a 1902. Construyendo sobre el trabajo de otros, incluyendo los de Émile Borel y Camille Jordan, Lebesgue formuló la Teoría de la Medida en 1901 y en su famoso trabajo Sur une généralisation de l’intégrale définie, que apareció en el Comptes Rendus del 29 de abril de 1901, él da la definición de la Integral de Lebesgue que generaliza la noción de la Integral de Riemann, extendiendo el concepto de área de una región bajo una curva para incluir muchas funciones discontinuas. Esta generalización de la integral de Riemann revolucionó el cálculo integral. Hasta finales del siglo XIX, el análisis matemático se limitaba a funciones continuas, basadas fundamentalmente en el método de integración de Riemann.

Su contribución es uno de los logros del análisis moderno que expande considerablemente el alcance del análisis de Fourier. Esta excepcional obra aparece en la tesis doctoral de Lebesgue, Intégrale, longueur, aire, presentada a la Facultad de Ciencias de París en 1902 y el trabajo de 130 páginas fue publicado en Milán en el Annali di Matematica en el mismo año. Habiéndose graduado de doctor, Lebesgue obtuvo su primer nombramiento universitario cuando en 1902 se convirtió en Maître de Conférences en Matemáticas en la Facultad de Ciencias de Rennes. Esto estaba en concordancia con la tradición francesa en general de asignar a los jóvenes académicos en sus primeros puestos de trabajo en localidades de las provincias; luego más tarde cuando ganaban reconocimiento se les nombraba para cargos en los niveles de menor categoría de París.

El 3 de diciembre de 1903 se casó con Louise-Marguerite Vallet y tuvieron dos hijos. Sin embargo el matrimonio sólo duró hasta 1916 cuando se divorciaron.

Un honor que Lebesgue recibió tempranamente en su carrera fue una invitación a dar el Cours Peccot en el Collège de France. Él lo hizo en 1903 y luego recibió una invitación para presentar el Cours Peccot dos años más tarde en 1905. Lebesgue riñó por primera vez con Baire en 1904, cuando Baire dio el Cours Peccot en el Collège de France, siendo Lebesgue el más adecuado para enseñar este curso. Esta rivalidad se convirtió en una discusión de mayor seriedad más tarde en sus vidas. Lebesgue escribió dos monografías, Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions

primitives (1904) y Leçons sur les séries trigonométriques (1906) que surgieron de estos dos cursos realizados y sirvieron para difundir más ampliamente sus ideas importantes. Sin embargo, su obra recibió una recepción hostil de los analistas clásicos, especialmente en Francia. En 1906, fue nombrado a la Facultad de Ciencias de Poitiers y al año siguiente fue nombrado allí profesor de mecánica.

Es necesario que ahora se trate de indicar la forma en que se debe utilizar la Integral de Lebesgue en muchos de los problemas a ser resueltos relacionados con la integración. Fourier había asumido que integrar funciones acotadas término por término de una serie infinita que representa a la función era posible. De esto fue capaz de demostrar que si una función es representable por una serie de funciones trigonométrica entonces esta serie es necesariamente su serie de Fourier. Hay un problema, es decir que una función que no es integrable por Riemann puede representarse como una serie de funciones integrables Riemann uniformemente acotada. Esto demuestra que no tiene hipótesis de Fourier para funciones acotadas.

En 1905 Lebesgue discutió profundamente las diversas condiciones que Lipschitz y Jordan habían utilizado para asegurar que una función f (x) es la suma de sus series de Fourier. Pero lo que Lebesgue demostró fue que la integración término por término de una serie acotada uniformemente de funciones integrables de Lebesgue siempre es válida. Ahora esto significaba que la prueba de Fourier de que si una función es representable por una serie de funciones trigonométrica entonces esta serie es necesariamente sus series de Fourier era válida, ya que ahora podría estar fundamentada sobre un resultado correcto en cuanto a integración término por término de la serie. Como Hawkins escribe en [1]:

En el trabajo de Lebesgue... la definición generalizada de integral fue simplemente el punto de partida de sus contribuciones a la teoría de la integración. Lo que hizo importante a la nueva definición fue que Lebesgue fue capaz de reconocer en él una herramienta analítica capaz de lidiar con - y a superar en gran parte - las numerosas dificultades teóricas que habían surgido en relación con la teoría de integración de Riemann. De hecho, los problemas propuestos por estas dificultades motivaron todos los resultados importantes de Lebesgue.


En 1910 fue nombrado Maître de conférences en análisis matemático de la Sorbona. Durante la primera guerra mundial trabajó para el Ministerio de la Defensa de Francia, y en este momento se riñó con Borel, quien estaba haciendo una tarea similar. Lebesgue ocupó su puesto en la Sorbona hasta 1918, cuando fue ascendido a Profesor de la Aplicación de la Geometría al Análisis. En 1921 fue nombrado Profesor de Matemáticas en el Collège de France, cargo en el que se mantuvo hasta su muerte en 1941. También fue profesor en la École Supérieure de Physique et de Chimie Industrielles de la Ville de París entre 1927 y 1937 y en la École Normale Supérieure de Sèvres.

Es interesante el que Lebesgue no se concentrara a lo largo de su carrera en el campo de trabajo en el cual se inició. Esto fue porque su trabajo era una generalización llamativa, sin embargo, Lebesgue mismo estaba temeroso de las generalizaciones. Él escribió:

Reducido a teorías generales, las matemáticas serían una hermosa forma sin contenido. Moriría rápidamente.

Aunque futuros desarrollos mostraban que sus temores eran infundados, ello permite comprender el curso seguido en su propia obra.

También hizo importantes contribuciones a otras áreas de las matemáticas, incluyendo topología, teoría de la potencia, el problema de Dirichlet, el cálculo de variaciones, teoría de conjuntos, la teoría del área de una superficie y la teoría de la dimensión. Cuando en 1922 publicó Notice sur les

travaux scientifique de M Henri Lebesgue, ya había escrito casi 90 libros y papers. Este último trabajo de noventa y dos páginas también proporciona un análisis del contenido de los papers de Lebesgue. Después de 1922 permaneció activo, pero sus contribuciones fueron dirigidas hacia temas pedagógicos, obra histórica y geometría elemental.

Lebesgue fue honrado con su elección a muchas academias. Fue elegido a la Academia de Ciencias el 29 de mayo de 1922, a la Real Sociedad, a la Real Academia de Ciencias y Letras de Bélgica (6 de junio de 1931), a la Academia de Bolonia, a la Accademia dei Lincei, a la Real Academia Danesa de Ciencias, a la Academia Rumana y la Academia de Ciencias y Letras de Cracovia. También le concedieron doctorados honoris causa de muchas universidades. Recibió numerosos premios incluyendo el Prix Houllevigue (1912), el Prix Poncelet (1914), el Prix Saintour (1917) y el Prix Petit d’Ormoy (1919).

Referencias.- 1. T Hawkins, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).

http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830902520.html 2. Biography in Encyclopaedia Britannica.

http://www.britannica.com/eb/article-9047548/Henri-Leon-Lebesgue Libros:

3. T Hawkins, Lebesgue’s theory of integration. Its origins and development (Madison, Wis.-London, 1970). Artículos:

4. B Bru and P Dugac (eds.), Lettres d’Henri Lebesgue à Émile Borel, in Cahiers du Séminaire d’Histoire des Mathématiques 12 (Paris, 1991), 1-511. 5. J C Burkill, Henri Lebesgue, J. London Math. Soc. 19 (1944), 56-64. 6. J C Burkill, Obituary: Henri Lebesgue. 1875-1941, Obituary Notices of Fellows of the Royal Society of London 4 (1944), 483-490. 7. A Denjoy, L Felix and P Montel, Henri Lebesgue, le savant, le professeur, l’homme, Enseignement Math. (2) 3 (1957), 1-18. 8. J I Diaz, The Lebesgue integral : a tool of applied mathematics (Spanish), Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. (Esp.) 95 (1-2) (2001), 155-163. 9. J Fayet, Obituary: Henri Lebesgue, 1875-1941 (Spanish), Revista Mat. Hisp.-Amer. (4) 1 (1941), 195-197. 10. H Fehr, Obituary: Henri Lebesgue, 1875-1941, Enseignement Math. 38 (1942), 330-332. 11. M Kac, Henri Lebesgue et l’école mathématique polonaise: aperçu et souvenirs, Centième Anniversaire de la naissance de Henri Lebesgue (1875-1941), Enseignement Math. (2) 21

(2-4) (1975), 111-114. 12. M Kac, Henri Lebesgue and the Polish school of mathematics: observations and recollections (Polish), Wiadomosci matematyczne (2) 20 (2) (1978), 189-192. 13. J P Kahane, Naissance et postérité de l’intégrale de Lebesgue, Analysis and its applications, Chennai, 2000 (New Delhi, 2001), 85-99. 14. J P Kahane, Naissance et postérité de l’intégrale de Lebesgue, Gaz. Math. No. 89 (2001), 5-20. 15. J P Kahane, Birth and legacy of the Lebesgue integral (Italian), Lett. Mat. Pristem No. 44 (2002), 39-48. 16. Th Leconte, L’histoire des mathématiques dans la correspondance de Henri Lebesgue, Enseignement Math. (2) 2 (1956), 224-237. 17. K O May, Biographical Sketch of Henri Lebesgue, in Henri Lebesgue, Measure and the Integral (San Francisco, 1966), 1-7. 18. F A Medvedev, Henri Lebesgue’s works on the theory of functions (on the hundredth anniversary of his birth) (Russian), Uspekhi matematicheskikh nauk 30 4(184) (1975), 227-238. 19. B Rodriguez-Salinas, The origins and the beauty of the Lebesgue integral (Spanish), Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. (Esp.) 95 (1-2) (2001), 145-154. 20. A Rosenblatt, Obituary: Henri Lebesgue (Spanish), Revista Ci., Lima 44 (1942), 357-364. 21. P Sergescu, Life and mathematical work of Henri Lebesgue (Romanian), Monografii Mat. 7 (1942), 15-23. 22. S Stoilow, Mathematical work of Henri Lebesgue (Romanian), Mathematica, Timisoara 18 (1942), 13-25. 23. A E Taylor and P Dugac, Quatre lettres de Lebesgue à Fréchet, Rev. Histoire Sci. Appl. 34 (2) (1981), 149-169. 24. J Vicente Gonçalves, Henri Lebesgue (Portuguese), Gaz. Mat., Lisboa 3 (1942), 2-3.

Versión en español por R. Ascanio H. del artículo en inglés de J. J. O’Connor y E. F. Robertson sobre “Henri Lebesgue” (Junio 2004). Fuente: MacTutor History of Mathematics [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lebesgue.html].


Aportes al conocimiento

Elementos Básicos del Cálculo Diferencial (12)

ÍNDICE.- Funciones Reales de Variable Real. Dominio de funciones según las operaciones algebraicas entre ellas: Restricciones para la determinación del dominio en el álgebra de funciones. Ejercicios resueltos. Estudio de funciones reales con dominios conocidos. Ejercicios resueltos. Determinación del dominio de funciones reales de variable real. Función polinómica. Función racional. Función radical. Función logarítmica. Combinaciones de los casos anteriores. Ejercicios resueltos. Determinación del Rango de una Función real de Variable Real. Cálculo del Rango de una función real. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.-

Notaremos al dominio de la función f como fDom , y a su rango como fRgo . Si se afirma que f es una función definida de R en R,

lo que se denota RRf →: , entonces aceptamos que tanto el dominio como el rango de la función f se ubican en el conjunto de los

números reales. Esto implica la definición de función real de variable real:

RealFunciónRealValorxfRxfRgoxf

RealVariablexRxDomx

f

f

→⇒∈∧∈

⇒∈∧∈

:)()()(

:

Dominio de funciones según las operaciones algebraicas entre ellas: Restricciones para la determinación del dominio en el álgebra de funciones.-

[ ]0)(/ =−∩=

∩=

∩=

⋅

±

xgxDomDomDom

DomDomDom

DomDomDom

gfg

f

gfgf

gfgf

Ejercicios resueltos.-

1.- Dadas las funciones ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }4,4,4,4,8,88,16,6,12,4,8,2,4 −−−−=∧= hg , determinar el dominio de

.,, hghghghg ∧⋅−+

Solución: Como se puede observar, no existe un valor de x que haga igual a cero a h(x); luego el dominio de las cuatro funciones es:

hg DomDom ∩ . Luego:

{ } { } { }44,4,816,12,8,4 =∩⇒−−=∧= hghg DomDomDomDom .

2.- Dadas las funciones [ ] RRRRRRRRRRRR →∧→− :4,10: gf , definidas por 4

23)(510)(

+=∧+= xxgxxf , determinar el dominio de

.,, gfgfgfgf ∧⋅−+

Solución:

Se observa que: gfgfgf DomDomDomDom ∩== ⋅± .

Se tiene que [ ] RRRR=∧−= gf DomDom 4,10 . Como [ ] RRRR⊂− 4,10 , entonces [ ] [ ]4,104,10 −=∩− RRRR . De aquí que:

[ ]4,10−=∩== ⋅± gfgfgf DomDomDomDom

HOMOTECIA Nº 7 – Año 14 Viernes, 1° de Julio de 2016

Para determinar el dominio de gf

, hay que obtener la expresión algebraica que define a esta función

valores de la variable hacen cero a la función en el denominador. Procedamos:

( )23

2040510

)(

)()(

423 +

+=+==+ x

xx

xg

xfx

xgf

Luego, al ser un cociente, debe cumplirse que:

32023 −≠⇒≠+ xx

Así que:

[ ,10−=g

fDom

3.- Sean las funciones [ ] RRRR ∧→− :g5,5:f

( ) ( )( )))0() 25 cgfbgfa −+

Solución:

Se tiene que: fgfgf DomDomDom ∩== ⋅±

Siendo [ ] [ ]10,05,5 =∧−= gf DomDom , hagamos una gráfica para determinar el dominio bu

Por observación de la gráfica, se determina que:

== ⋅± gfgf DomDomDom

Calculando las imágenes:

( )

( ) ( ) (

( )( )

( ) ( ) (

( ) :6?)6()

)()()(

?)

)()()(

0?)0()

no

221

32

25

25

221

32

⋅∉⇒=⋅

−−+=−=−

∈=⇒=−

−++=+=+

∈=⇒=+

⋅

−

+

gfDomgfc

xxxgxfxgf

Domxgfb

xxxgxfxgf

Domxgfa

gf

gf

gf

( ) ?)4() =gfd

Para hallar esta imagen hay que determinar si

( ) Cociente168)(

)()(

221

32

→+−

+==

xx

x

xg

xfxg

f

Año 14 Viernes, 1° de Julio de 2016

, hay que obtener la expresión algebraica que define a esta función para de esa manera conocer qué

valores de la variable hacen cero a la función en el denominador. Procedamos:

] { } [ ) ( ]4,,104, 32

32

32 −∪−−=−−

[ ] RRRR→10,0 , definidas por 21

32)( += xxf y 8)( 2 −= xxg

( ) ( ) ....)4())6() gfdgfc ⋅

gDom∩ .

, hagamos una gráfica para determinar el dominio buscado:

Por observación de la gráfica, se determina que:

[ ]5,0=∩ gf DomDom

) ( )

) ( )

.6

12

1)(

6

93526168

2

33)0(

6

99446168

paradefinidaestá

25

2

2

=

−=−⇒−+−=+−

=+⇒+−=+−

x

gfxx

x

gfxx

x

gfDom∈4 . Se debe obtener, entonces, el dominio de esta función. Procedamos:

Cociente

6

para de esa manera conocer qué

168 +x . Obtener:

dominio de esta función. Procedamos:

HOMOTECIA Nº 7 – Año 14 Viernes, 1° de Julio de 2016 7 Luego:

( )

[ ] { } [ ) ( ]

).imagenhay (No4 para definida está no

4

5,44,045,04

04

04

01682

2

=⇒

∉=⇒

∪=−=⇒≠≠−

≠−

≠+−

xgf

gf

gf

Domx

Domx

x

x

xx

4.- Considérense las siguientes funciones: ( )6)(153)( +=∧+= xLogxgxxf . Determine el dominio de )(

)()(

xg

xfxF = .

Solución:

Siendo un cociente de funciones, tenemos que:

{ }0)(/ =−∩== xgxDomDomDomDom gfg

fF.

Entonces, procedemos a calcular por separado gf DomDom y :

* .153)(? +=⇒= xxfDomfComo la función está definida por una raíz de índice par, aplicamos la restricción

correspondiente: [ )∞+−=⇒−≥⇒≥+ ,550153 fDomxx .

* )6()(? +=⇒= xLogxgDomg. Definida la función por un logaritmo, aplicamos la restricción correspondiente:

( )+∞−=⇒−>⇒>+ ,6606 gDomxx .

Siendo )(xg divisor, se debe considerar que: ( ) 516060)( −≠⇒≠+⇒≠+⇒≠ xxxLogxg . Este resultado permite

afirmar que del FDom se debe excluir el -5.

Luego:

{ }

[ ) ( ) { }[ ) { } ( ) ( )+∞−==⇒+∞−=−−+∞−=

=−−+∞−∩+∞−=

==−∩==

,5,55,5

5,6,5

0)(/

gfF

gfg

fF

DomDom

xgxDomDomDomDom

5.- Sean las funciones 93)(63)( 3 +=∧−= ttsttr . Determine el dominio de )(

)()(

ts

trtF = .

Solución:

Calculamos por separado a sr DomDom y :

* .63)(? 3 −=⇒= ttrDomr La función está definida por una raíz de índice impar, por lo que el radicando argumento de la

función puede ser indistintamente positivo, negativo o cero, y esto ocurre cuando la variable toma el valor de cualquier número real.

Así que:

RRRR=rDom.

* 93)(? +=⇒= ttsDoms . La función está definida por una raíz de índice par. Esto significa que el radicando

argumento de la función debería ser mayor o igual a cero, pero al ser la función un divisor la opción igual a cero no se debe considerar. De esta manera:

( )+∞−=⇒−>⇒>+ ,33093 sDomtt .

Luego:

( ) ( ) ( )+∞−==⇒+∞−=+∞−∩=∩== ,3,3,3s

rFsrs

rF DomDomDomDomDomDom RRRR


Estudio de funciones reales con dominios conocidos.-

Una función que se expresa mediante una ecuación y existe una restricción para los valores que puede tomar la variable independiente, es una función real con dominio conocido. Es interesante, entonces, comprobar si en esas condiciones está bien definidas

ff RgoxfDomx ∈⇒∈∀ )( o no ff RgoxfDomx ∉∧∈∃ )( . Este estudio conduce a redefinir a toda función que no esté bien definida.


1.- Sea ZZf →: tal que 23)( += xxf . Decida si está bien definida.

Solución:

Siendo Z dominio y rango, para que no esté bien definida debe haber por lo menos un Zx∈ tal que Zxf ∉)( . Esta situación no ocurre.

Para tener una mejor visión de esto, utilicemos los números enteros {-3, 0, 4}:

Zffx

Zffx

Zffx

∈⇒==∈⇒==

∈−⇒−=−−=

)4(14)4(:4

)0(2)0(:0

)3(7)3(:3

Luego, ZxfZxdefinidabienestáf ∈⇒∈∀ )(: .

2.- Si NNg →: , tal que 32)( −= xxg , estudie si está bien definida.

Solución:

Probando con 0=x , tenemos que Ngg ∉⇒−= )0(3)0( ; g no está bien definida: gg RgoxgDomx ∉∧∈∃ )( .

Redefiniendo a g:

Se puede observar que para 1=x la función tampoco cumple: Ngg ∉⇒−= )1(1)1( .

Se puede verificar que para 2=x sí cumple: Ngg ∈⇒= )2(1)2( . Es evidente que para cualquier valor mayor también.

Luego, la función redefinida queda de la siguiente forma:

{ } NNg →− 1,0: , tal que 32)( −= xxg .

3.- Determinar si ZZf →: , tal que 2

13)(

−= xxf está bien definida.

Solución:

Consideremos los siguientes números enteros como valores de la variable: {-3, -2, 0, 4, 5}. Obtengamos los valores de la función para ellos:

Zffx

Zffx

Zffx

Zffx

Zffx

∈⇒==∉⇒==

∉−⇒−==∉−⇒−=−−=

∈−⇒−=−−=

)5(7)5(:5

)4()4(:4

)()0(:0

)2()2(:2

)3(5)3(:3

211

21

21

27

Por los resultados obtenidos, podemos afirmar que la función no está bien definida: ff RgoxfDomx ∉∧∈∃ )( .

Redefiniendo a f:

Los resultados evidencian que la función cumple cuando la variable toma valores impares y no cuando los toma pares. Se puede redefinir la función excluyendo a los números pares de su dominio. Así que:

{ } ZNkkxxZf →∈∧=− 2/: , tal que 2

13)(

−= xxf .


4.- Estudiar si QZg →: tal que 2

1)(

2 += xxg está bien definida.

Solución:

Es evidente que para cualquier valor que tome la variable, la función cumple. Está bien definida. Comprobemos utilizando para la variable los valores {-2, 0, 3}:

Qggx

Qggx

Qggx

∈⇒==∈⇒==

∈−⇒=−−=

)3(7)3(:3

)0()0(:0

)2()2(:2

21

25

Luego, QxgZxdefinidabienestág ∈⇒∈∀ )(: .

5.- Si RRh →+*: tal que

2

1)(

−= xxh , decidir si h está bien definida.

Solución:

La función h está definida por una raíz cuadrada. Si la función es real, entonces debemos considerar que:

1

01

02

1

≥≥−

≥−

x

x

x

Es decir; que el [ )+∞= ,1hDom pero por el enunciado, tenemos que: *+= RDomh

conformado por los números reales positivos, por lo

que se da que *)1,0( +⊂ R . Cualquier valor que consideremos de este intervalo, por ejemplo x = ½, hará negativo al radicando,

contraviniendo la condición de existencia de una función definida por una raíz de índice par. Veamos:

( ) Rhx ∉−=== −41

2

1

21

21 2

1

:

Entonces, h no está bien definida: hh RgoxhDomx ∉∧∈∃ )( .

Redefiniendo a h:

( ) RRh →−+ 1,0: *

tal que 2

1)(

−= xxh

.

DETERMINACIÓN DEL DOMINIO DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.-

Los ejemplos anteriores permiten concluir que el campo de existencia o dominio de las funciones reales de variable real es el conjunto de los números reales R o subconjuntos de éste. Además, del Álgebra de Funciones se originan tipos determinados de funciones reales y de acuerdo a cada tipo, se hacen restricciones a las variables, lo que permite identificar su campo de existencia o dominio. En esta sección se hará referencia a cómo determinar el dominio de funciones reales tipificadas como Polinómicas, racionales, radicales, logarítmicas, exponenciales y combinaciones de éstas.

1ª) Función Polinómica:

Toda función polinómica está definida por una expresión de la forma:

012

23

31

1)( axaxaxaxaxaxf nn

nn ++++++= −

− L .

Los coeficientes ai son constantes y n es un número entero no negativo. De esta manera, para cualquier valor que tome la variable en R, la función tendrá también un valor en R. De esto se concluye que para toda función polinómica su dominio es el conjunto de los números reales.

( )+∞∞−== ,RDomf

Ejemplo: Si 64)( 532 +−= xxxf entonces RDomf = .


2ª) Función Racional:

Toda función definida por la forma )(

)()(xQ

xPxf = es una función racional; y está definida para cualquier valor real que tome la

variable excepto para aquellos que hacen a 0)( =xQ :

0)()(

)()( ≠⇔∈=∃

xQR

xQxPxf

Ejemplo:

Determina el dominio de 6334)(

++=

xxxf .

Solución:

Al ser función racional, consideramos que:

{ } ( ) ( )+∞−∪−∞−=−−=⇒−≠−≠

≠+≠

,22,22

63

063

0)(

RDomx

x

x

xQ

f

3ª) Función Radical:

Toda función definida por la forma n xPxf )()( = es una función radical. El dominio de la misma queda sujeto a la condición de si el índice

de la raíz es número par o impar. Estas son:

)()(:)()()

0)(:)()()

xPxfimparnúmeronxPxfb

xPparnúmeronxPxfa

n

n

=⇒∧=

≥⇒∧=

Ejemplos:

a) Determina el dominio de 10 2)( += xxf .

Solución:

[ )+∞−=⇒−≥≥+⇒

≥⇒

=⇒

+=

,

024

0)(

)(10

24)(

21

21

10

fDomx

x

xP

parn

xxf

b) ¿Cuál es el dominio de 3 105)( −= xxf ?

Solución:

( )+∞∞−==⇒→−=⇒

=⇒

=⇒

−=

,105)(

)()(

)(3

105)( 3

RDompolinómicafunciónxxf

xPxf

imparn

xxf

f


4ª) Función Logarítmica:

Revisemos primero la definición de logaritmo. La expresión NLogM b= indica que NbM = ( NbNLogM Mb =⇔= ), donde M es el

logaritmo de N, N es el argumento del logaritmo y b es la base del logaritmo. Si utilizamos NLog , hacemos referencia a los logaritmos de base 10 ( NLogNLog 10= ), llamados también decimales, vulgares o

de Briggs: NNLogM M =⇔= 10

Si utilizamos NLn hacemos referencia a los logaritmos de base e ( NLogNLn e= ), llamados también naturales o neperianos:

NeNLnM M =⇔=

Propiedades a considerar cuando se trabaja con logaritmos:

bxxLog

bxxLog

xxLog

xxLog

xxLog

b

b

>⇒>=⇒==⇒=

<<⇒<>⇒>

1)ª5

1)ª4

10)ª3

100)ª2

10)ª1

Otras propiedades:

)()()ª6 xPLnnn exP ⋅=

Un ejemplo es: )32(44)32( +⋅=+ xLnex

)()()ª7 xPeLnxP =

Un ejemplo es: ( ){

32321

32 +=+=+ xeLnxeLn x

Para determinar el dominio de una función logarítmica, tenemos que la misma se define por )()( xPLogxf b= . Su dominio se condiciona

a 0)( >xP .

Ejemplo:

Determine el dominio de )64()( += xLogxf .

Solución:

( )+∞−=⇒−>>+⇒

>⇒

+=

,

064

0)(

)64()(

23

23

fDomx

x

xP

xLogxf

5ª) Combinaciones de los casos anteriores:

Si la expresión de una función involucra dos o más casos de los anteriores, se procede de la siguiente manera: a) Se establecen las condiciones para cada caso.

b) Se interceptan los resultados.

c) Si la función está conformada por la suma o resta de varias combinaciones, entonces se resuelve cada combinación y al final se

interceptan estos resultados. Es conveniente en muchos casos, ayudarse con gráficas.



1.- Determine el dominio de 5

26

32)(

x

xxf

−+= .

Solución:

En primer lugar, f(x) es una función radical de índice impar, por lo que al atenerse a la restricción correspondiente, debemos considerar que:

x

xxPxf

26

32)()(

−+==

Pero al hacer este cambio, la función resultante es una función racional donde debe cumplirse que: 026)( ≠−= xxQ

Luego:

3026 ≠⇒≠− xx

De aquí que el dominio es:

{ } ( ) ( )+∞∪∞−=−= ,33,3RDomf

2.- ¿Cuál es el dominio de 2

42)(

−+=

x

xxf ?

Solución:

f(x) es una función radical de índice par. Para determinar su dominio consideramos la restricción:

02

42)( ≥

−+=

x

xxP

Se obtiene, entonces, una desigualdad racional que al resolverla nos dará el dominio de la función.

Resolviendo la desigualdad:

02

)2(2

02

42

≥−+

≥−+

x

xx

x

Factores: 22 −∧+ xx

Valores o Puntos críticos:

202

202

≠⇒≠−−=⇒=+

xx

xx

Intervalos: ( ] [ ) ( )+∞−−∞− ,2,2,2,2,

Estudio de los signos:

( ]2,−∞− [ )2,2− ( )+∞,2

2+x - + +

2−x - - +

+ - +

Las celdas sombreadas corresponden con el sentido de la desigualdad.

Luego la solución es: ( ] ( )+∞∪−∞−= ,22,fDom


3.- Dada la función 9)4(

84)( +

+−= x

xLog

xxh

Solución:

En este ejemplo tenemos la suma de dos combinaciones. Para facilitar la soluci

1Log

xh )( =

Es decir que resolvemos por separado a I y a II para luego interceptar ambos resultados:

Resolvamos a )4(

84

+−=

xLog

xI :

Identifiquemos cada caso involucrado y de igual manera s

a) →≠+ 0)4(xLog Por ser f(x) el denominador en una función racional.

→≠+ 14x Por condición restrictiva de los argumentos de los logaritmos.

{ }33 −−=⇒−≠ RSx a

b) →>+ 04x Por ser argumento de un logarítmico.

( )+∞−=⇒−> ,44 bSx

c) →≥− 084x

[ )+∞=⇒≥≥

,22

84

cSx

x

Por ser el radicando de una raíz con índice par (si el radical está en el denominador, la condición de igualdad no se debe considerar).

Para hallar IS , interceptamos estas tres soluciones parciales:

puede recurrir a una gráfica:

La zona de triple rayado corresponde a la solución. Entonces:

Resolvamos a →−= 279II x Función radical de índice par. Luego:

⇒≥⇒≥−= 30279)( xxxP

Entonces, tenemos que: Ih SSDom ∩==

La zona de trama más cerrada corresponde a la solución. Entonces:


27+x , determine su dominio.

En este ejemplo tenemos la suma de dos combinaciones. Para facilitar la solución, hagamos lo siguiente:

43421

43421III

xxLog

x279

)4(

84 +++

−

para luego interceptar ambos resultados: III SSS ∩=

Identifiquemos cada caso involucrado y de igual manera señalemos la restricción correspondiente:

el denominador en una función racional.

Por condición restrictiva de los argumentos de los logaritmos.

ser argumento de un logarítmico.


, interceptamos estas tres soluciones parciales: cbaI SSSS ∩∩= . Para una mejor visualización de la solución, se

La zona de triple rayado corresponde a la solución. Entonces: [ )+∞= ,2IS

Función radical de índice par. Luego:

[ )+∞= ,3IIS

IIS∩ . Procedamos a hacer la gráfica:

La zona de trama más cerrada corresponde a la solución. Entonces: [ +∞=∩== ,2IIIh SSSDom

13


. Para una mejor visualización de la solución, se

) [ ) [ )+∞=+∞∩+∞ ,3,3


DETERMINACIÓN DEL RANGO DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.-

RANGO DE LAS FUNCIONES SEGÚN LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS ENTRE ELLAS: RESTRICCIONES PARA LA DETERMINACIÓN DEL RANGO EN EL ÁLGEBRA DE FUNCIONES.

gf

gf

gf

gfgfgf

gfgfgf

RgoxgRgoxfentoncesDomxSi



∈∧∈∈

∈∧∈∈

∈∧∈∈

⋅⋅⋅

±±±

)()(

)()(

)()(

Ejemplo:

Dadas las funciones ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }4,4,4,4,8,88,16,6,12,4,8,2,4 −−−−=∧= hg , se tiene que:

{ } { } { }44,4,816,12,8,4 =∩=⇒−−=∧= + hghghg DomDomDomDomDom . Determine hgRgo + .

Solución:

El rango estará formado por las imágenes de 4 con respecto a g y a h: { }.4,24)4(2)4( =⇒=∧= +hgRgohg

CÁLCULO DEL RANGO DE UNA FUNCIÓN REAL.-

El rango de las funciones reales es el conjunto de los números reales R o subconjuntos de éste. Para determinar cuál es el rango de una función, en la mayoría de los casos dada la función y = f(x), se procede a despejar a x para obtener x = f(y). Entonces se determina el dominio de x = f(y) que viene a ser el rango de y = f(x). Se realiza el proceso utilizando los mismos criterios estudiados anteriormente para determinar el dominio de funciones.

EJERCICIOS RESUELTOS.-

Obtenga el rango de las siguientes funciones:

108)()1 += xxf

Solución:

Procedamos a despejar x:

PolinómicaFunciónyx

yx

xy

→−=

−=

+=

45

81

8

10

108

Al ser f (y) una función polinómica, está definida para todos los números reales. Luego: RRgof =

63

34)()2

++=

x

xxg

Solución:

Despejemos a x:

RacionalFuncióny

yx

yyx

yxxy

xyxyx

xy

→−

−=

−=−⋅−=−

+=+++=

43

63

63)43(

6343

346363

34

Al ser g(y) una función racional, debe cumplirse que 0)( ≠yQ . Así que:

Luego, se tiene que: { } ( ) ( )+∞∪∞−=−= ,, 3

434

34RRgog

34

043

≠≠−

y

y


3

2

42)()3

−+=

x

xxh

Solución:

Despejando a x:

( )RacionalFunción

y

yx

yyx

yxxy

xyxy

x

xy

x

xy

x

xy

→−+

=

+=−⋅+=−

+=−−+=

−+=

−+=

2

42

422

422

422

2

42

2

42

2

42

3

3

33

33

33

3

3

33

3

Al ser h(y) una función racional, debe cumplirse que 0)( ≠yQ . Así que:

3

3

3

2

2

02

≠

≠

≠−

y

y

y

Se tiene entonces que:

{ } ( ) ( )+∞∪∞−=−= ,22,2 333RRgoh

86)4 2 +−= xxy

Solución:


( )( )

paríndicedeRadicalFunciónyyF

yFx

yx

xy

xy

cuadradosdeóncompletaciportrinomioeldoFactorizanxy

perfectocuadradotrinomioFormandoxxy

econvenientcerounSumandoxxy

xxy

xxy

→+=

+=++=

−=+

−=+

→−=+

→+−=+−→−+−=−

−=−

+−=

1)(

3)(

31

31

31

)(31

9698

9968

68

86

2

2

2

2

2

2

Al ser el sumando F(y) una función radical de índice par debe cumplirse que 0)( ≥yP . Así que:

1

01

−≥

≥+

y

y

Luego: [ )+∞−= ,1fRgo


178)()5 2 ++= xxxf

Solución:

Despejando a x:

( )

( )( )

paríndicedeRadicalFunciónyyF

yFx

yx

xy

xy

cuadradosdeóncompletaciPorxy

xxy

xxy

xxy

xxy

→−=

−=−−=

+=−

+=−

→+=−

+=−++=

++=

++=

1)(

4)(

41

41

41

41

817

178

178

178

2

2

2

22

22

22

22

222

2

Al ser el sumando F (y) una función radical de índice par debe cumplirse que 0)( ≥yP .

Así que:

ddesigualdaladoFactorizanyy

PolinómicadDesigualday

→≥−+→≥−

0)1()1(

012

Factores: 11 −∧+ yy

Valores o Puntos Críticos:

101

101

=⇒=−−=⇒=+

yy

yy

Intervalos: ( ] [ ] [ )+∞−−∞− ,1,1,1,1,

Estudio de los signos.

( ]1,−∞− [ ]1,1− [ )+∞,1

1+y - + +

1−y - - +

+ - +

Las celdas sombreadas corresponden con el sentido de la desigualdad.

Luego la solución es:

( ] [ )+∞∪−∞−= ,11,fRgo


136)()6 2 −+= xxxg

Solución:


( )( )

paríndicedeRadicalFunciónyyG

yGx

yx

xy

xy

cuadradosdeóncompletaciPorxy

xxy

xxy

→+=

−=

−+=

+=+

+=+

→+=+

+=+

−+=

4811

61

41

41

4811

61

41

4811

61

2

41

4811

61

2

41

4811

61

2

2

)(

)(

361

136

Al ser el sumando G(y) una función radical de índice par debe cumplirse que 0)( ≥yP . Así que:

811

4811

61 0

−≥≥+

y

y

Luego: [ )+∞−= ,811

gRgo

326128)()7 xxxxh −+−=

Solución:

Despejando a x:

imparíndicedeRadicalFunciónyyH

yHx

yx

xy

xy

xy

xy

RuffinideReglalapordoFactorizanxxxy

xxxy

xxxy

yxh

→=

−=−=

+−=

−−=

−−=

−−=→−−−−=

+−+−=−+−=

=

3

3

3

3

3 33

3

23

32

)(

)(2

2

2

)2(

)2(

)2(

)2()2()2(

8126

6128

)(

Al ser el sumando H(y) una función radical de índice impar, entonces se hace 326128)( xxxyyH −+−==

que es una función

polinómica definida para todo número real.

Así que: RRgoh =


Otra forma de resolver el ejercicio anterior:

326128)()8 xxxxh −+−=

Solución:

Despejando a x:

( )( )( )( ) ( )

( )

imparíndicedeRadicalFunciónyyH

yHx

yx

xy

xy

xy

babbaabapordoFactorizanxy

xxxy

xxxy

xxxy

xxxy

yxh

→=

−=−=

+−=

−−=

−−=

±+±=±→−−=

−⋅⋅+⋅⋅−−=

−⋅⋅+⋅⋅−−=−+−−=

−+−=

=

3

3

3

3

3 33

322333

3223

23

23

32

)(

)(2

2

2

)2(

2

332

22323

84323

8126

6128

)(

Al ser el sumando H(y) una función radical de índice impar, entonces se hace 326128)( xxxyyH −+−== que es una función

polinómica definida para todo número real. Así que: RRgoh =

1287515)()9 23 +++= xxxxf

Solución:

Procediendo a despejar a x:

( ) ( )( )

( )

imparíndicedeRadicalFunciónyyF

yFx

yx

xy

xy

xy

babbaabapordoFactorizanxy

xxxy

xxxy

→−=

−=−−=

+=−

+=−

+=−

±+±=±→++=

++++=+++=

3

3

3

3 33

3

322333

23

23

3)(

5)(

53

53

53

53

3335

31257515

1287515

Al ser el sumando F(y) una función radical de índice impar, entonces se hace 3)( −= yyF que es una función polinómica definida para

todo número real. Así que: RRgof =

+−=1

)()102

x

xxLogxf

Solución:

Por definición de logaritmo:

110

1

22

+−=⇔

+−=

x

xx

x

xxLogy y


Despejando a x:

( ) Grado2ºdeEcuaciónxx

xxx

xxx

xxx

yy

yy

yy

y

→=−⋅+−=−⋅−−

−=+⋅−=+⋅

010101

01010

1010

)1(10

2

2

2

2

Estudiando el discriminante de la Ecuación de 2º Grado:

( )[ ] ( ) 11061010410102110141014 2222 +⋅+=⋅++⋅+=−⋅⋅−+−=−=∆ yyyyyyyacb

La expresión resultante, 1106102 +⋅+=∆ yy , siempre será positiva para cualquier valor que tome “y”

( )Ryyy ∈∀>+⋅+=∆ :01106102 , por lo que la ecuación de 2º grado siempre tendrá por solución dos raíces reales y diferentes.

Esto nos permite afirmar que: RRgof = .

EJERCICIOS PROPUESTOS.- I.- Determine si las siguientes funciones están bien definidas:

)))

)

)

){ }

{ }{ }

.)(:)11

.2

)(:)10

.3;0;7,0;4)(:)9

.05,0;0;2;)(:)8

.2;01,0;3;)(:)7

.2)(:6

.3

12)(:5

.3

12)(:4

.3

2)(:3

.45)(:2

.32)(:1

*

2

2

xxfquetalRRf

xxfquetalRRf

xparavaloresxfquetalRRf

xparavaloresxxfquetalRRf

xparavaloresxxfquetalRRf

xxhquetalQQh

xxgquetalQZg

xxfquetalZZf

xxhquetalQZh

xxgquetalZNg

xxfquetalNNf

+=→

=→

−==→−==→

−==→

+=→

−=→

−=→

−=→

−=→+=→

+

II.- Determine el dominio de las siguientes funciones:

)

)

))

)

)

)

)

)

) 102)(10

152

29

25

12)(8

24

67

65

236

4

2)(5

93

24

233

5

1232

931

2

2

2

3

4

−=−−

+=

−+=

−=

+−+=

−=

−=

+=

+=

−=

xxg

xx

xy

x

xxf

xy

xx

xy

x

xxf

xy

xy

xy

xy

)

))

)

)4

2)(15

3

2)(14

2513

312

10183

)(11

2

2

3 2

4

−=

+−=

−=

−=

+=

x

xxg

x

xxf

uy

xxy

xxh

)

)

)

)

))2(

)(20

2510

125751519

4

1216718

6

12)(17

9

52)(16

42

23

62

23

2

2

−=

+++++=

−−+−

=

−−+=

−+=

xLn

xxh

xx

xxxy

x

xxxy

tt

ttg

x

xxf


) ( ))

5

122

6521 2

−−=

+−=

x

xLny

xxLny

))2(5

)3(23

−−

=xLog

xLny

) 324 += xLogy

)

)

)2

2

1

1)(27

)1(

1)(26

2

44)(25

xxh

xLogxg

x

xxxf

−=

+=

−+−=

))) 8130

229

228

22

2

=+

−==−

yx

xy

xy

)) ( ))))))

)))

9

52)(40

1239

138

472

437

36

161635

234

233

2)(32

31

2

2

2

2

5

22

2

2

3

−+=

−+=

+=−+

−=

=

=+

+==−

−=

=

x

xxf

xxy

xy

xx

xy

xy

yx

xy

xy

xxf

xy

)

)

+−=

+−=

5

2)(42

65)(41 2

x

xLogxh

xxxg

)

) [ ]

)

−++−=

+=

+−=

x

xLog

x

xy

xLogLnLogxf

xLog

xxy

3

2

145

)1()(44

)4(3

43

10

8

2

)

)

+−−+

−−=

−++−

+=

−310

2

2

1

3

123

25

)2(47

)5(5

6

)9(

4)(46

xLog

x

x

xLogy

xLogx

x

xLog

xxf

)

) )25(49

3

2)(48

2

6

−=++=

xLogy

x

xxf

)xxx

xy

103

3250

23

2

−+−=

)

) 10

3

5

3

352

)2(

3)(51

−++

+−=

+−=

x

x

x

xy

xLog

xxf

)

+−−−=

x

xLn

x

xxg

1

3

2)(53

)

)xxLog

xxLogy

x

x

x

xLogxh

1

)3(

2)3(55

2

4

2

)1()(54

−−+−+−=

+++

−−=

+−++

−−=

xLog

x

x

x

xLogy

1

2

2

5

4)56

6

) 102 99

63

2

)(57

++

−−+

+−=

x

x

x

x

x

xLogy

)

)

))9(

132

3

5)(60

91

3

)2(

3)(59

4

3

)3(

3)(58

2

10

4 2

22

+−−++

−+=

−−−++

−−=

+−−−

−+=

xLog

xx

x

xxg

xx

x

xLog

xxh

xx

x

xLog

xxf

)

)

)

−−

−−

−=

−+−

+=

+−=

x

xLogx

xy

xxLog

xy

x

xxLogy

15

14

14

63

9)25(

362

161

4 22

2

)

) 10

82

)2(

13

2

6365

1

7

42

)9(64

xLog

xxxy

xx

xLogy

−++−=

+−−+

++−=

x

xxf

xf

xLog

x

xxf

xLn

xLn

xxf

xLnx

xxf

x

x

x

x

−−−=

+=

−−+

−=

+−−

−=

−+−−=

+−

2

1

9

7)()70

107)()69

)52(

2

5

3)()68

)8(

)4(

5

1)()67

616

2)()66

1

1

2

1

2

2

III.- Considere la función expresada mediante 11 −=x

y .

a) ¿La variable x puede ser negativa?

b) ¿La variable x puede ser igual a cero?

c) ¿La variable x puede ser mayor que 1?

d) ¿Cuál es el dominio de la función?


IV.- Sea la función expresada por xy −= 2 .

a) ¿La variable x puede ser negativa?

b) ¿El elemento x puede ser mayor que 2?

c) ¿Cuál es el dominio de la función?

V.- Cuáles son los dominios de las funciones representadas por:

ConstanteKKye

ttGd

t

ttFc

xxhb

xxga

:;)

1)()

)()

)()

)()

=

=

=

−=

=

VI.- Cuáles son los dominios y rangos de las funciones expresadas por:

2

2

4

1)()

1

1)()

1)()

4)()

xxGd

ttFc

xxfb

zzga

−=

+=

−=

−=

VII.- Halle el rango de las siguientes funciones:

))))

) 211)(5

23

16)(4

512)(3

1362

1512

+=−+=

+=

−+=

+=

xxh

x

xxg

xxf

xxy

xy

))

)

)) 1610

16

39

9

18

2

64167

1636

2

2

2

+=++=

−+=

−−=

−+=

xyx

xy

x

xy

x

xy

xxy

) 12)(11 2 −= ttf

)) 16)(13

8)(122 −=

−=

vvh

uug

)

)12

2)(15

4

3)(14

−−=

−=

r

rrf

w

wwf

)

)

) ( )

)25

2320

4

25)19

1318

6

4417

4316

2

2

2

2

−−=

−+=

+=

++−=

−=

x

xy

x

xy

xy

x

xxy

xy

xxg

xLnxf

−=

−=

3

2)()22

)2(

1)()21

)2(

1)()23

−=

xLnxf

)))

)

) )7()1(328

19614

3.11)(27

2

7)(26

2510)(25

1311)(24

3

2

2

2

+−−=++−=

+−=

+−=

−=

xxxy

ss

ssr

x

xxh

xxxg

xxf

)

)

)

)

+−=

+=

−=

−+−−=

+−=

133

)5()32

)2(31

)1(

)12(130

)2(

4129

2

522

2

x

xxLogy

x

xxLny

xLn

xy

xLn

xxLny

xLny


HHIISSTTOORRVersión Basada en el libro "Historia de tres ciencias básicas";

Actualizado en Abril de 2007. ISBN 959

REVOLUCIÓN DE LA FÍSICA Y SU IMPACTO

La Europa que sirve de escenario al despegue de las ciencias y más particularmente a la Revolución de la Física en la Inglaterra de Isa1727), conformó un complejo panorama político, económico y social

Domina el acontecer político de la primera mitad del siglo, la guerra de los 30 años, (1618 económicos. A partir de la paz de Westfalia, Europa se convierte en un mosaico de estados nacioPapado. A la secularización del estado correspondió una secularización del pensamiento que impulsó el progreso de las ideas c

Hacia la segunda mitad se destacan los desarrollos de dos mod

• El esplendor de la monarquía absoluta de Luis XIV (1643

• El agitado paisaje de las sociedad inglesa con la guerra civil (1642) que conduce a la instauración y vida de la República deposterior restauración de los Estuardos, y finalmente la abdicación de Jacobo II (1660 considera el hito histórico que inaugura el dominio inglés de los mares, del comercio y d

En lo económico se producen zigzageos pero la tendencia expresa un incremento del comercio colonial reflejado en la constitucde la Indias en las tres potencias que emergen como líderes, Holanda, como la Bolsa de Amberes y la Banca nacional. El instalaciones, se incuban novedosas técnicas y proliferan las profesiones que gestan las propias instituciones de nuevo tipo.

No se puede decir que los científicos del siglo mostraron indiferencia por los reconocidos movimientos sociales que bajo el tlugar. Desde John Neper (o Napier, 1550 -1617) en Escocia hasta Newton en Inglaterra tomaron partido ante los acontecimientos que adoptaron un ropaje religioso.

Corresponde a esta etapa un momento singular dentro de la actividad científica: la fundaciónque institucionalizan la profesionalización del hombre de Ciencia, posibilitan el intercambio y divulgación de los resultados, e intentan hacer coherente y uniforme el lenguaje naciente de las ciencias. En 1662, se inicia la Sociedad Real 1703, durante 24 años

Imagen: The Royal Society. www.royalsoc.ac.uk/

Es hacia mediados de este siglo que se crean, en los grandes polos de Europa, las primeras sociedades científicas. En 1662 abre sus puertas la famosa sociedad londinense “Royal Society”, uno de cuyos fundadores fue el más importante químico después, en la próspera Florencia del Ducado de Toscana, comienza sus actividades la Academia de Cimento, actuando como su fuEvangelista Torricelli (1608 – 1647); en 1666 el ministro de Economía y mecenas del arte y de lainaugura la Academia de Ciencias de París, y cierra el período la fundación de la Academia de Ciencias berlinesa, bajo la inel matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646

La aparición de grandes obras filosóficas en el siglo XVII,obra del filósofo inglés Francis Bacon (1561 - 1626). Bacon reclamaba pardel viejo método deductivo en que se basaba la escolástica y defendía el experimento organizado y planificado como el procediconducir la investigación. Sus ideas tuvieron una amplia repercusión, primero en Inglaterra y luego en otros países.

La etapa de naciente formación en las Ciencias tal vez explique la inclinación abarcadora de los científicos de la época. Loscon frecuencia en el campo filosófico, se esfuerzan por explicar los fenómenos en su totalidad, e intentan construir los instrurequeridos para la formalización de los experimentos en el campo de la Mecánica.

La geometría analítica cartesiana, el cálculo diferencial, el cálculo de las variaciones, y la teoría matemática de la probabilidad constituyeron logros dematemáticas que sirvieron en lo inmediato para apoyar el despegue de la Mecánica, y en el posterior desarrollo de la formalizdescribir las leyes de los objetos que son abordados.

La fijación en la memoria escrita de las prioridades en los descubrimientos, los informes presentados en las recién inauguradAcademias, el afán de alimentar el debate que opara insertar en la matriz del tiempo la publicación de las revistas científicas periódicas. El nacimiento de tales revistascomo escenario histórico el Londres de la“Journal des Scavans” y “Philosophical Transactions”. La última llega hasta hoy como publicación de la Royal Society en dos series. La serie A dedicada a problemas de las cielas ciencias biológicas.

Imagen: http://www.ugcs.caltech.edu/~plavchan/ses158/library.htm


RRIIAA DDEE LLAA FFÍÍSSIICCAA (Parte V)Versión Basada en el libro "Historia de tres ciencias básicas"; Autores: Rolando Delgado y Francisco A. Ruiz

Actualizado en Abril de 2007. ISBN 959-257-044-2. Editorial Universidad de Cienfuegos.

REVOLUCIÓN DE LA FÍSICA Y SU IMPACTO EN LAS CIENCIAS DEL SIGLO XVII

que sirve de escenario al despegue de las ciencias y más particularmente a la Revolución de la Física en la Inglaterra de Isa1727), conformó un complejo panorama político, económico y social.

Domina el acontecer político de la primera mitad del siglo, la guerra de los 30 años, (1618 – 1648) resultado de choques de intereses religiosos, políticos y económicos. A partir de la paz de Westfalia, Europa se convierte en un mosaico de estados nacionales que representan el fin del poder del Imperio y del Papado. A la secularización del estado correspondió una secularización del pensamiento que impulsó el progreso de las ideas c

Hacia la segunda mitad se destacan los desarrollos de dos modelos políticos:

El esplendor de la monarquía absoluta de Luis XIV (1643-1715) que cristaliza el liderazgo francés.

El agitado paisaje de las sociedad inglesa con la guerra civil (1642) que conduce a la instauración y vida de la República deposterior restauración de los Estuardos, y finalmente la abdicación de Jacobo II (1660 –1688) mediante la Revolución pacífica de 1688.considera el hito histórico que inaugura el dominio inglés de los mares, del comercio y de la Revolución Industrial.

En lo económico se producen zigzageos pero la tendencia expresa un incremento del comercio colonial reflejado en la constituccomo líderes, Holanda, Inglaterra y Francia. Aparecen las instituciones que prefiguran el naciente capitalismo

como la Bolsa de Amberes y la Banca nacional. El tránsito de la producción artesanal, doméstica, a la manufactura se traduce en la creación de an novedosas técnicas y proliferan las profesiones que gestan las propias instituciones de nuevo tipo.

No se puede decir que los científicos del siglo mostraron indiferencia por los reconocidos movimientos sociales que bajo el t1617) en Escocia hasta Newton en Inglaterra tomaron partido ante los acontecimientos que adoptaron un ropaje

Corresponde a esta etapa un momento singular dentro de la actividad científica: la fundaciónque institucionalizan la profesionalización del hombre de Ciencia, posibilitan el intercambio y divulgación de los resultados, e intentan hacer coherente y uniforme el lenguaje naciente de las ciencias. En 1662, se inicia la

l (Royal Society), la Academia inglesa de las Ciencias, que tendría como su presidente1703, durante 24 años a sir Isaac Newton.

The Royal Society. www.royalsoc.ac.uk/ royalsoc/index.html

rean, en los grandes polos de Europa, las primeras sociedades científicas. En 1662 abre sus puertas la famosa sociedad londinense “Royal Society”, uno de cuyos fundadores fue el más importante químico – físico del siglo, el irlandés Robert Boyle (1627 después, en la próspera Florencia del Ducado de Toscana, comienza sus actividades la Academia de Cimento, actuando como su fu

; en 1666 el ministro de Economía y mecenas del arte y de las ciencias francesas Jeaninaugura la Academia de Ciencias de París, y cierra el período la fundación de la Academia de Ciencias berlinesa, bajo la in

Leibniz (1646 - 1716).

La aparición de grandes obras filosóficas en el siglo XVII, repercuten en el camino que toman las Ciencias Naturales. En este marco es necesario destacar la 1626). Bacon reclamaba para el trabajo científico la aplicación del método inductivo de investigación en lugar

del viejo método deductivo en que se basaba la escolástica y defendía el experimento organizado y planificado como el procediión. Sus ideas tuvieron una amplia repercusión, primero en Inglaterra y luego en otros países.

La etapa de naciente formación en las Ciencias tal vez explique la inclinación abarcadora de los científicos de la época. Losn frecuencia en el campo filosófico, se esfuerzan por explicar los fenómenos en su totalidad, e intentan construir los instru

requeridos para la formalización de los experimentos en el campo de la Mecánica.

ana, el cálculo diferencial, el cálculo de las variaciones, y la teoría matemática de la probabilidad constituyeron logros dematemáticas que sirvieron en lo inmediato para apoyar el despegue de la Mecánica, y en el posterior desarrollo de la formaliz

La fijación en la memoria escrita de las prioridades en los descubrimientos, los informes presentados en las recién inauguradAcademias, el afán de alimentar el debate que ofreciera la necesaria luz en los temas investigados, constituyeron fuerzas motrices para insertar en la matriz del tiempo la publicación de las revistas científicas periódicas. El nacimiento de tales revistascomo escenario histórico el Londres de la Royal Society y el París de la Academié , en fecha de 1665, portando como título “Journal des Scavans” y “Philosophical Transactions”. La última llega hasta hoy como publicación de la Royal Society en dos series. La serie A dedicada a problemas de las ciencias matemáticas, físicas y de las ingenierías y la serie B a los problemas de

http://www.ugcs.caltech.edu/~plavchan/ses158/library.htm

22

(Parte V) Autores: Rolando Delgado y Francisco A. Ruiz

2. Editorial Universidad de Cienfuegos.

EN LAS CIENCIAS DEL SIGLO XVII

que sirve de escenario al despegue de las ciencias y más particularmente a la Revolución de la Física en la Inglaterra de Isaac Newton (1643 –

1648) resultado de choques de intereses religiosos, políticos y nales que representan el fin del poder del Imperio y del

Papado. A la secularización del estado correspondió una secularización del pensamiento que impulsó el progreso de las ideas científicas.

El agitado paisaje de las sociedad inglesa con la guerra civil (1642) que conduce a la instauración y vida de la República de Cromwell (1649-1660), la 1688) mediante la Revolución pacífica de 1688. Esta revolución se

En lo económico se producen zigzageos pero la tendencia expresa un incremento del comercio colonial reflejado en la constitución de las grandes compañías Francia. Aparecen las instituciones que prefiguran el naciente capitalismo

de la producción artesanal, doméstica, a la manufactura se traduce en la creación de an novedosas técnicas y proliferan las profesiones que gestan las propias instituciones de nuevo tipo.

No se puede decir que los científicos del siglo mostraron indiferencia por los reconocidos movimientos sociales que bajo el término de Reforma tuvieron 1617) en Escocia hasta Newton en Inglaterra tomaron partido ante los acontecimientos que adoptaron un ropaje

Corresponde a esta etapa un momento singular dentro de la actividad científica: la fundación de las Sociedades que institucionalizan la profesionalización del hombre de Ciencia, posibilitan el intercambio y divulgación de los resultados, e intentan hacer coherente y uniforme el lenguaje naciente de las ciencias. En 1662, se inicia la

(Royal Society), la Academia inglesa de las Ciencias, que tendría como su presidente a partir de

rean, en los grandes polos de Europa, las primeras sociedades científicas. En 1662 abre sus puertas la famosa

físico del siglo, el irlandés Robert Boyle (1627 – 1691); poco después, en la próspera Florencia del Ducado de Toscana, comienza sus actividades la Academia de Cimento, actuando como su fundador el célebre físico

s ciencias francesas Jean-Baptiste Colbert (1619 – 1683) inaugura la Academia de Ciencias de París, y cierra el período la fundación de la Academia de Ciencias berlinesa, bajo la inspiración del pionero del cálculo,

repercuten en el camino que toman las Ciencias Naturales. En este marco es necesario destacar la a el trabajo científico la aplicación del método inductivo de investigación en lugar

del viejo método deductivo en que se basaba la escolástica y defendía el experimento organizado y planificado como el procedimiento fundamental para

La etapa de naciente formación en las Ciencias tal vez explique la inclinación abarcadora de los científicos de la época. Los grandes matemáticos incursionan n frecuencia en el campo filosófico, se esfuerzan por explicar los fenómenos en su totalidad, e intentan construir los instrumentos matemáticos

ana, el cálculo diferencial, el cálculo de las variaciones, y la teoría matemática de la probabilidad constituyeron logros de las matemáticas que sirvieron en lo inmediato para apoyar el despegue de la Mecánica, y en el posterior desarrollo de la formalización matemática para

La fijación en la memoria escrita de las prioridades en los descubrimientos, los informes presentados en las recién inauguradas

freciera la necesaria luz en los temas investigados, constituyeron fuerzas motrices para insertar en la matriz del tiempo la publicación de las revistas científicas periódicas. El nacimiento de tales revistas tuvo

Royal Society y el París de la Academié , en fecha de 1665, portando como título “Journal des Scavans” y “Philosophical Transactions”. La última llega hasta hoy como publicación de la Royal Society en dos

ncias matemáticas, físicas y de las ingenierías y la serie B a los problemas de

HOMOTECIA Nº 7 – Año 14 Viernes, 1° de Julio de 2016 23 La monumental obra de René Descartes (1596 - 1650) nos lega la creación de la Geometría Analítica. Descartes introduce la noción de plano cartesiano y combina el Álgebra y la Geometría de manera que a partir de sus trabajos los problemas geométricos podían resolverse algebraicamente y las ecuaciones algebraicas podían ilustrarse geométricamente. Se asiste así a una de las bases del cálculo moderno.

Asombra pensar que ya a la altura de este siglo aparecen los primeros inventos modernos de sistemas mecánicos para efectuar cálculos aritméticos. Existen las pruebas documentales de que el matemático escocés John Neper (1550 - 1617) ya a fines del XVI proyecta diferentes sistemas mecánicos para realizar cálculos aritméticos. Pero Neper alcanza la celebridad por la publicación, apenas tres años antes de morir, de sus tablas de logaritmos que fueran muy utilizadas en los siglos siguientes. Además fue uno de los primeros en introducir la moderna notación decimal para expresar fracciones. Neper fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia y años más tarde tomó parte activa en los asuntos políticos promovidos por los protestantes.

La invención de los logaritmos fue aprovechada por el matemático inglés William Oughtred (1574 – 1660), quién en 1632 descubrió que al disponer dos reglas juntas con las escalas logarítmicas impresas, y deslizar una regla sobre la otra podían efectuarse cálculos mecánicamente por medio de logaritmos. La regla de cálculo fue perfeccionada por en 1671, y se convirtió con el paso del tiempo en un instrumento imprescindible para los cálculos aproximados de ingenieros y técnicos. Sólo tres siglos más tarde la calculadora electrónica lo remitió al museo de instrumentos de cálculo.

La teoría matemática de la probabilidad fue inicialmente desarrollada de manera conjunta por Pierre de Fermat (1601 -1665) y Blaise Pascal (1623 – 1662). Una gran resonancia tuvo la teoría de las probabilidades en el desarrollo de las estadísticas matemáticas y sociales.

Cuando Pascal aún no había cumplido los 19 años, veinte años después del invento de la regla de cálculo por el matemático inglés William Oughtred, inaugura el camino de las invenciones de las máquinas calculadoras. Su máquina podía sumar y restar mediante un complejo mecanismo de ruedas dentadas, cada una marcada del uno al diez en su borde. Pascal debió resolver muchos problemas técnicos derivados de la moneda usada en la Francia de la época, una libra contenía 20 soles y un sol, doce dinares, de modo que con esta división de la libra en 240 unidades el mecanismo se tornaba mucho más difícil que si la división hubiera sido en 100 unidades. Sin embargo para 1652 se habían producido 50 prototipos de los cuales unos pocos se habían vendido. La manufactura de la máquina de Pascal cesó este año. Casi al finalizar el siglo XVII Leibniz diseña una máquina superior, pero aún habría que esperar un par de siglos para que se inventara la calculadora comercial electrónica.

La construcción del cálculo infinitesimal fue desarrollada casi simultáneamente por Leibniz y Newton hacia fines del siglo XVII. En rigor, se reconoce que el sistema de Leibniz fue publicado tres años antes que el propuesto por Newton, y la notación adoptada universalmente fue la propuesta por el primero. La época debió generar tal herramienta y dos genios la construyeron. Se enfrascaron luego en una larga disputa por la prioridad y la gloria. Con el Cálculo se inicia la alta Matemática y se parte en dos la historia de esta Ciencia.

Imagen: http://www.mat.usach.cl/histmat/html/leib.html

En el año de 1669 Newton desarrolló el Cálculo Diferencial o método de las fluxiones y lo relaciona con el Cálculo Integral, como una herramienta matemática necesaria para armonizar sus teorías en el campo de la Física. En rigor histórico tres años antes Leibniz había publicado su sistema para el cálculo infinitesimal. Pero a Leibniz se deben también importantes aportaciones en el campo de las invenciones prácticas tales como el diseño de una máquina superior a la de Pascal que multiplicaba por repetición automática de la suma y dividía por repetición de la resta, y la invención de una máquina para el cálculo de tablas trigonométricas. Leibniz, redescubre el sistema de numeración binario ideado por los chinos 3000 a .C., que posteriormente sería fundamental en el campo de la Informática.

La Historia reconoce que es la Física, la ciencia que en todo este período impulsa el desarrollo de la formalización matemática para describir las leyes de los objetos que estudia, en particular el movimiento de los cuerpos bajo un enfoque dinámico. No es casual que como veremos a continuación el nacimiento del Cálculo Diferencial estuviera vinculado con necesidades del propio crecimiento de las Ciencias Físicas.

Es también a partir del siglo XVII que se introduce sólidamente en las prácticas de las investigaciones el método experimental, con el cual se conducen una serie de grandes descubrimientos. El propio diseño del experimento físico impulsó el desarrollo de los instrumentos de medición.

El listado de los instrumentos que resultan exigencia de la época son diseñados y construidos generalmente por los propios investigadores y generan una dialéctica entre teoría y práctica que representa el apoyo o rechazo de la teoría preconcebida o significa el nacimiento de la nueva ley sustentada por la data experimental. El propio Galileo estrena su pequeño telescopio de refracción y encabeza la revolución astronómica; Hooke y Huygens se disputan el título de mejor mecánico del siglo y pretenden registrar el tiempo con la mayor exactitud posible; Torricelli inventa el barómetro y al hacerlo derriba el supuesto principio del “horror vacui”; von Guericke inventa la bomba de vacio con la que se abre un nuevo campo para la experimentación; y de nuevo Hooke que perfecciona el microscopio y descubre un nuevo mundo, e inventa el primer higrómetro, un anemómetro, el barómetro de cuadrante, mecanismos de registros automáticos, que inauguran la meteorología como disciplina científica.

Siete años después de la creación del barómetro por Torricelli, el gran experimentador alemán Otto von Guericke (1602 - 1686) inventó la bomba de vacío que aunque primitiva proporcionó una importante herramienta para la experimentación. En 1657, Guericke condujo su famosa demostración de que caballos tirando en sentidos opuestos eran incapaces de apartar dos hemisferios de una esfera en cuyo interior se había evacuado el aire.

También demostró que usando un pistón en un cilindro cuando el vacío era creado en un lado de un pistón, la atmósfera podía mover el pistón y una considerable masa a lo largo de una determinada distancia, realizando así un trabajo. Este era el principio básico de trabajo de la máquina de vapor de Newcomen que construida a principios del XVIII comenzó la transformación del mundo. Su experimento confirmó los descubrimientos de Torricelli y demostró los efectos espectaculares de la presión atmosférica.

Imagen: Experimenta Nova (ut vocantur) Magdeburgica De Vacuo Spatio, Amsterdam 1672, portada. http://www.imss.fi.it/vuoto/egueri.html

Históricamente la invención del telescopio óptico que impulsa una verdadera revolución astronómica se disputa entre varias personas. Todo lo que puede decirse es que la solicitud de la patente de Hans Lipershey (1570 - 1619) es el registro más temprano de un telescopio realmente existente. Lipershey fabricante de espejuelos en la floreciente ciudad holandesa de Middelburg, es el primer inventor en solicitar la patente (1608) de un dispositivo por medio del cual todas las cosas situadas a una gran distancia pueden verse como si estuvieran cercanas.

La astronomía telescópica tiene en Galileo Galilei a uno de sus fundadores. En alrededor de dos meses, entre diciembre de 1609 y el enero siguiente, Galileo, auxiliado de su estrenado telescopio de refracción hizo más descubrimientos astronómicos que los que nadie había hecho nunca antes. Descubrió las lunas de Júpiter, estructuras alrededor de Saturno, estrellas de la Vía Láctea , los cráteres de la Luna , y las fases de Venus. Este último descubrimiento indicaba que este planeta gira alrededor del Sol lo que constituía una evidencia a favor de la teoría copernicana.

HOMOTECIA Nº 7 – Año 14 Viernes, 1° de Julio de 2016 24 Sus hallazgos celestiales aparecen publicados en un pequeño libro “Mensajero Estelar” editado en mayo de 1610 en Venecia. Alrededor del descubrimiento de las lunas de Júpiter quizás se estableció la primera disputa de prioridad en el terreno astronómico. El litigio surge cuando el astrónomo germano Simon Marius, (1573-1624), quién había viajado a Praga para aprender las técnicas de Brahe, y luego asistido a la Universidad de Padua, publicó en 1614 "El Mundo Joviano descubierto en 1609 mediante el telescopio holandés". Allí afirma haber hecho las primeras observaciones de las lunas de Júpiter, lo que motivó en 1623 la respuesta airada de Galileo en el "Analizador" acusándole del robo de su descubrimiento. Sin embargo Mundus Iovialis contiene otro hallazgo telescópico que no fue nunca cuestionado: el descubrimiento de la Nebulosa de Andrómeda, que por entonces no era resuelta como sistema de estrellas.

La inmensa figura de Galilei tal vez pueda resumirse para todos los tiempos por su célebre frase: " E pour si muove! " símbolo de la desesperada impotencia ante la ciega intolerancia de la Inquisición. Tenía 69 años cuando fue obligado a abjurar de su obra y se le impusiera la pena de cadena perpetua (condena que fuera conmutada por el arresto domiciliario) pero sus ideas, su pensamiento creativo, no pudieron ser encerradas y aún publica en 1638 su última obra que resumiría los resultados sobre el movimiento y los principios de la Mecánica. En 1992, cuando se cumplían 400 años de la conferencia inaugural del joven profesor de matemáticas en la Universidad de Padua, el primer papa no italiano desde 1523, Juan Pablo II (1920 - 2005), en nombre de la Iglesia Católica admitió que en el caso de Galileo se habían cometido errores por los consejeros teológicos pero no reconoció explícitamente que se cometiera un error al condenar a Galileo por el cargo de herejía por su creencia de que la Tierra rota alrededor del sol. Así declaró cerrado el caso de Galileo.

Imagen: http://galileo.rice.edu/bio/index.html

Una avalancha de descubrimientos astronómicos viene sucediendo al empleo del telescopio. El propio astro rey revela ahora un nuevo fenómeno. Aparecen manchas en su superficie y estas manchas observan un desplazamiento relativo. En estas primeras observaciones sobre el fenómeno solar participaron notables astrónomos, amén de quién desde 1610 había revolucionado el conocimiento de la bóveda celeste. Galileo reportó la existencia de las manchas solares en su “Discurso sobre cuerpos flotantes” (1612), y más detenidamente en “Cartas sobre las manchas del sol” que aparecen en 1613.

Con fecha de junio de 1611, con antelación suficiente para su presentación en la feria otoñal del libro de Frankfurt, Johannes Fabricius (1587 – 1616), hijo del astrónomo danés David (1564 -1617), que en 1596 había descubierto la primera estrella variable, escribió un informe sobre las manchas solares impreso en Wittenberg. Al relatar las observaciones hechas, Fabricius no ofrece las fechas de observación ni se muestra un esquema del desplazamiento de las manchas, pero se defiende la idea de que estas manchas pertenecen a la superficie solar y sus desplazamiento revelan que el sol probablemente rota sobre su eje.

Por uno u otro motivo las conclusiones del breve ensayo de Fabricius se eclipsan por la publicación en 1612 del brillante astrónomo alemán Christopher Scheiner (1575-1650) sobre las manchas solares en la cual ofrece una medida de la inclinación del eje de rotación de estas manchas al plano de la eclíptica que se desvía sólo en unos pocos minutos del verdadero valor. Scheiner no solo sobresale por sus aportaciones en la astronomía sino por sus inventos que cubren ámbitos tan distantes como el pantógrafo (1603) y el telescopio terrestre (1609). Pero antes que Fabricius y Scheiner, existe el registro de que ya en 1610, el físico británico Thomas Harriot (1560 - 1621) informó sobre la existencia de las manchas del sol en círculos afines aunque nunca llegó a publicarlos. Esta falta profesional acompañó la vida de Harriot, y aunque hoy se sepa que este físico había descubierto la ley de la refracción de la luz antes que lo hiciera en 1621 el profesor de la Universidad de Leiden, Willebrord van Roijen Snell (1580 – 1626), el reconocimiento universal corresponde a este último.

Convencido de que al menos algunos cuerpos no giraban alrededor de la Tierra , Galileo comenzó a escribir a favor del sistema de Copérnico. En febrero de 1632, luego de 6 años de trabajo, publica su “Diálogo concerniente a los dos sistemas principales del mundo: Ptolemaico y Copernicano”. Desafortunadamente, dentro de las verdades inobjetables a favor del sistema copernicano que la obra defiende, Galileo desarrolla una errónea teoría de las mareas, que ya había sido explicada correctamente por Kepler.

Con la muerte en 1601 de Tycho Brahe, su asistente Kepler se convierte en sucesor en el cargo de Matemático Imperial, y permanece en este puesto hasta 1612. En Praga, Kepler muestra la fecundidad de quién al finalizar el pasado siglo abordara los “Misterios del Cosmos” iniciando la profundización de la teoría heliocéntrica. Orientado al estudio de Marte, le obsesiona una discrepancia entre cálculo y observación detectada en su órbita. La divisa kepleriana de que «el origen de las discrepancias debe hallarse en nuestras hipótesis iniciales» le conduce a rechazar la circularidad de la órbita marciana y la uniformidad del movimiento planetario.

En 1609 Kepler anuncia en “Astronomía Nova” que el movimiento de Marte describe una elipse teniendo al sol en uno de sus focos y que los radios vectores del planeta barren en tiempos iguales áreas iguales. El resultado concuerda con los resultados modernos tan exactamente que la comparación tiene que tener en cuenta los cambios seculares en la órbita de Marte desde la época de Kepler.

Imagen: http://micro.magnet.fsu.edu/optics/timeline/people/kepler.html

En rigor histórico defender a Copérnico después de la obra de Kepler significaba desconocer la dinámica gravitacional y aceptar la santa circularidad de las revoluciones planetarias, pero resulta incomprensible la invisibilidad de los trabajos de Kepler ante la pupila de Galileo. Poco después de la publicación de la obra, la Inquisición prohíbe su venta y ordena a Galileo presentarse en Roma. Encontrado culpable, fue condenado a cadena perpetua, pena que en realidad fue convertida en arresto domiciliario.

Entre 1618 – 1621, Johannes Kepler (1571 -1630) concluye y publica su obra “Epitome astronomiae copernicarnae” que resume su colosal descubrimiento de las leyes que rigen el movimiento planetario alrededor del sol. La santidad circular de las orbitas de Copérnico queda enterrada ante la evidencia kepleriana de que las orbitas planetarias describen una elipse con el sol en un foco. La segunda ley de Kepler, o regla del área, deja establecido que los planetas no giran con un movimiento circular uniforme sino que se desplazan con mayor velocidad a medida que se aproximan al sol, barren iguales áreas en igual período. La importancia de esta ley reside en sustituir el movimiento uniforme “resultante de una perfección natural” por una uniformidad física (la conservación del movimiento angular), absolutamente acorde con la observación y que abre paso hacia una nueva formalización e interpretación dinámica. La ley de la elipticidad y la ley de las áreas relacionaron el movimiento de cada planeta con el Sol, pero la ley armónica que deduce en 1619 cuando ya está en imprenta su obra “La Armonía del Mundo” integra el movimiento de los planetas en un solo sistema. Los cuadrados de los tiempos empleados en las revoluciones de los planetas son entre sí como los cubos de sus distancias medias al Sol está anunciando el nacimiento de la fórmula de la gravitación universal.


La obra del físico – matemático holandés Christian Huygens (1629 -1695) abarca varios campos de la Física del XVII, pero inicia sus trabajos en los ámbitos de la matemática y la astronomía. Alrededor de 1654, su fina capacidad como instrumentista le permite desarrollar nuevos lentes. Usando una de sus propias lentes, Huygens detectó, en 1655, la primera luna de Saturno. El año siguiente descubrió la verdadera forma de los anillos de este planeta.

JEREMIAH HORROCKS

La función predictiva de la ciencia astronómica ha sorprendido en toda época a la humanidad. La predicción de los tránsitos de Venus y Mercurio a través del Sol requieren un conocimiento profundo del movimiento orbital de estos planetas interiores y esta tarea fue cumplida por Kepler a inicios del siglo XVII. Entonces predijo un tránsito de Mercurio en noviembre de 1631 y un tránsito de Venus un mes después, sin que la vida le alcanzara para verlos. El tránsito de Mercurio fue observado en París, justo el mismo día predicho, por el astrónomo Pierre Gassendi (1592-1655), pero la predicción del tránsito de Venus no pudo constatarse ya que el evento ocurrió en la madrugada cuando aún era de noche en Europa. El joven astrónomo Jeremiah Horrocks (1618 - 1641) corrigió los datos reportados por Kepler y auguró que el 4 de diciembre de 1639 sería observado desde Inglaterra un tránsito. Horrocks no sólo observó el fenómeno celeste sino que a partir de sus observaciones dedujo la distancia de la Tierra al Sol en unos 94 millones de km, la más precisa estimación hasta entonces realizada. Su obra Venus in Sole no fue publicada hasta 1662, había muerto 20 años antes, al cumplir los 23 años.

Imagen: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Horrocks.html

En Systema Saturnium (1659), Huygens explicaba las fases y cambios en la forma del anillo y describe sus observaciones sobre la Luna , los planetas, y la nebulosa de Orión. Sus observaciones estelares le llevaron a admitir el principio de que la comparación del brillo entre dos astros serviría para determinar sus distancias relativas. Suponiendo que la estrella Sirio, la más brillante del cielo, es igual al Sol, Huygens estimó que la distancia de la Tierra a Sirio era 27 664 veces la distancia que separa al Sol de nuestro planeta. El error cometido demuestra la elevada imprecisión de su método, la distancia real es más de 20 veces mayor que la estimada por Huygens.

En 1668, el matemático escocés James Gregory (1638 – 1675) en su obra “Geometriae pars universales” incluye una sección dedicada a fenómenos astronómicos en la que retoma la idea de Huygens para calcular distancias cósmicas a partir del brillo relativo de los astros. Esta vez compara a Sirio con Júpiter, cuyo brillo relativo con respecto al Sol puede calcularse indirectamente a partir de la distancia y la reflectividad del planeta. El método es esencialmente correcto y Gregory encontró que Sirio se encuentra a 83 190 unidades astronómicas (unidad astronómica: distancia de la Tierra al Sol, aproximadamente 150 millones de kilómetros), unas 7 veces menos que los 8,7 años – luz que la separan de nuestro planeta. Comenzaba el hombre a penetrar en el conocimiento por lo pronto aproximado de las distancias estelares.

En la segunda mitad del siglo XVI, desde el Observatorio de París, el astrónomo genovés Giovanni Cassini, (1625 - 1712) hace descubrimientos revolucionarios que fueron generalmente interpretados por él de manera conservadora. Entre 1664 y 1666 midió el periodo de rotación sobre su eje de Júpiter y de Marte, y observó que el primero estaba aplanado en sus polos. Una audaz deducción devino de las observaciones de las lunas de Júpiter en 1668, cuando afirmara que las discrepancias en los datos debían atribuirse a que la luz tenía una velocidad finita y que el tiempo requerido para atravesar una distancia igual al semidiámetro de la órbita de la Tierra le lleva entre diez y once minutos.

Pero su punto de vista tradicional le hizo pronto rechazar esta idea y buscar otras explicaciones. Resulta irónico que los datos de Cassini fueron usados por Römer para calcular la velocidad de la luz ocho años más tarde. En 1672, el astrónomo danés Ole Christensen Roemer (1644-1710) comenzó a trabajar en el Observatorio Real de París. Pronto Roemer orientaría su telescopio hacia la luna de Júpiter Io y al determinar el período de sus frecuentes eclipses volvió a encontrar desviaciones en sus observaciones que relacionó con las variaciones en el tiempo que debía demorar la luz en hacer su recorrido al variar las distancias entre la Tierra y Júpiter. Aplicando los cálculos relativamente imprecisos para las distancias entre la Tierra y Júpiter, disponibles durante el siglo XVII, Roemer fue

capaz de hacer la primera estimación de la velocidad de la luz en 220 mil km/seg.

(En la imagen: Ole Christensen Roemer. http://micro.magnet.fsu.edu/optics/timeline/people/roemer.html)

En 1634, con casi 70 años y habiendo sido juzgado como hereje dos años antes, Galileo reaborda y perfecciona las ideas no publicadas en 1590 en "De Motu" sobre los problemas relacionados con los ímpetus, momentos, y centros de gravedad y escribe sus "Discursos y demostraciones matemáticas sobre las dos nuevas ciencias". La obra fue enviada clandestinamente a Leiden, Holanda, dónde se publica. En los "Discursos" desarrolló sus ideas sobre el plano inclinado y más tarde describe un experimento con el empleo del péndulo para verificar su postulado sobre el plano inclinado que le permite deducir el teorema sobre la aceleración de los cuerpos en caída libre. Allana así, al final de su vida, la construcción de lo que hoy todos reconocen como una parte integrante de la Física : la Mecánica.

No solo desarrolla el tratamiento matemático del movimiento acelerado de los cuerpos en la caída libre, sino que diseñó sus famosos experimentos de cuerpos deslizándose por planos inclinados para comprobar sus resultados matemáticos y además para obviar la dificultad que para la época significa la medición de pequeños intervalos de tiempo. Al estudiar el lanzamiento de proyectiles pudo desarrollar las ideas sobre la inercia. También pudo enunciar su famoso principio de relatividad del movimiento, relacionado con la imposibilidad de distinguir si un cuerpo está en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme con experimentos realizados desde el propio cuerpo. Más tarde, con los trabajos de Newton se confirmaron y perfilaron estas ideas sobre el principio de relatividad galileano y solo con los trabajos de Einstein, en la Teoría de la Relatividad, se comprendió que este principio es limitado al caso de las pequeñas velocidades de los cuerpos.

En forma totalizadora puede afirmarse que aunque no vinculó sus estudios de la mecánica de los cuerpos en la Tierra con sus ideas sobre el movimiento de los cuerpos celestes, sus investigaciones pulverizan las ideas aristotélicas sobre el movimiento y demuestran la importancia de introducir el método matemático – experimental en las Ciencias Físicas.

Hacia 1641, Evangelista Torricelli (1608 – 1647), quién actúo como asistente de Galileo en los último diez meses de la vida del pisano, había completado buena parte del trabajo que iba a publicar como Ópera Geométrica en 1644. En la segunda de las tres secciones de este libro bajo el título de "De motu gravium" Torricelli profundiza en el estudio de Galileo sobre el movimiento de proyectiles desarrollando la teoría que describe la trayectoria parabólica de un proyectil lanzado a cualquier ángulo y ofreciendo tablas numéricas para ayudar a los tiradores a encontrar la correcta elevación de sus armas para el alcance del blanco.


De la correspondencia sostenida en 1632 por el joven asistente Evangelista Torricelli (1608 – 1647) con Galileo queda claro que se sentía fascinado por la astronomía. Pero después del juicio seguido contra su maestro entendió que iba a transitar un camino peligroso y decidió orientar sus estudios hacia otros problemas menos controvertidos. A juzgar por los resultados de su reorientación no perdió la ciencia nuevas contribuciones: el Teorema de Torricelli se considera la página fundacional de la Hidrodinámica y en 1643 fue la primera persona en crear un vacío sostenido y descubrir el principio del barómetro.

En 1647 Torricelli contrajo la fiebre tifoidea y a los pocos días murió a la edad de 39 años cuando solo había publicado su ópera prima.

Imagen: www.mat.usach.cl/histmat/html/desc.html

En esta obra también demuestra que el flujo de un líquido a través de un orificio es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido, resultado ahora conocido como el teorema de Torricelli. Esta fue una de las sobresalientes aportaciones de Torricelli a la Hidrodinámica por lo cual ha recibido el título de "padre" de esta disciplina. Además fue la primera persona en crear un vacio sostenido y descubrir el principio del barómetro. En 1643 propuso un experimento más tarde conducido por su colega Vincenzo Viviani (1622- 1703) que demostró que la presión atmosférica determina la altura a la cual un fluido se elevará en un tubo invertido sobre el mismo líquido.

El repertorio de nuevas ideas desarrollado por Copérnico, Kepler y Galilei representa el principal arsenal con que cuenta Isaac Newton (1642 – 1727) para su trabajo de axiomatización de la Mecánica. Pero alrededor de la segunda mitad del siglo y aún paralelamente con el trabajo de Newton se vienen produciendo progresos notables en la expansión del conocimiento acerca del movimiento de los cuerpos.

Por esta época, la Real Sociedad londinense había incluido en su agenda como un tema de investigación, la colisión de los cuerpos elásticos. A esta convocatoria responderían en 1668 con informes o publicaciones de forma independiente John Wallis (1616 - 1703), Christopher Wren (1632 – 1723) y Huygens. El fruto de estos trabajos apunta al descubrimiento de la primera ley de conservación. En particular Huygens demuestra experimentalmente que el momento de una dirección fija antes de la colisión de dos cuerpos es igual al momento en esa dirección tras la colisión.

En el Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum (1673), Huygens describió el primer sistema dinámico jamás estudiado – el péndulo compuesto. Con el tratamiento de Huygens de los fenómenos de impacto, el movimiento circular uniforme y el movimiento del péndulo fueron clarificados los conceptos primarios de la Física , la masa, el peso, el momento, la fuerza y el trabajo.

Como una derivación de la ley de la fuerza centrípeta para el movimiento circular uniforme, Huygens comparte con Hooke, Edmund Halley (1656 – 1742) y Wren la formulación de la ley del cuadrado inverso para la atracción gravitatoria. Halley había mostrado que la tercera ley de Kepler implicaba la ley de atracción del inverso del cuadrado y presentó sus resultados en una reunión en la Royal Society en 1684. La discusión sostenida entre Wren, Hooke y Halley en 1684 durante la presentación del informe de Halley en la Sociedad Real no llegó a demostrar que la ley del inverso del cuadrado implicara órbitas elípticas para los planetas. Halley no dudó en consultar a Newton en Cambridge y allí comprobó que Newton había logrado una solución para este problema, así como otros resultados significativos que no tenía intención de publicar.

A poco de la muerte de Torricelli, en 1647 Pascal publicaba “Nuevos experimentos concernientes al vacío” que provocó la duda de numerosos científicos de la época. Descartes escribió a Huygens “tiene demasiado vacío en la cabeza”. Pero Pascal continuó sus observaciones que le permitieron descubrir que la presión atmosférica decrece con la altura y le hizo suponer que por encima de la atmósfera existe el vacío. En otro ámbito que lo hermana con Torricelli en el estudio de la Mecánica de los Fluidos escribe en 1653 su “Tratado sobre el equilibrio de los líquidos”, en la cual explica la ley de Pascal.

Este tratado representa una descripción total de un sistema de hidrostática, el primero en la historia de la ciencia. Imagen: www.mat.usach.cl/histmat /html/pasc.htm

Ya en medio de la epidemia de la peste de 1665, que condujo a la clausura de la Universidad de Cambridge, apenas con 23 años, Newton comprendió que la fuerza responsable de la caída de la manzana era la misma que obligaba a la Luna a girar alrededor de la Tierra : la gravitación universal. Alrededor de 1666 Newton tenía versiones tempranas de sus tres leyes de movimiento. Había descubierto también la ley que daba la fuerza centrífuga de un cuerpo que se movía uniformemente en una trayectoria circular. Sin embargo, no tenía una correcta comprensión de la mecánica del movimiento circular. La nueva idea de Newton de 1666 fue imaginar que la gravedad de la Tierra influenciaba a la Luna, contrarrestando su fuerza centrífuga. A partir de su ley de la fuerza centrífuga y de la tercera ley del movimiento planetario de Kepler, Newton dedujo la ley del cuadrado inverso. Pero estos progresos permanecían sin publicar hacia 1686, cuando Halley convenció a Newton de la necesidad de publicar un tratado completo de su nueva física y su aplicación a la astronomía. Un año después salían de la imprenta sus Philosophiae naturalis principia matemática.

La resonancia alcanzada por sus Principia no ha sido igualada por ningún otro libro científico. Newton analizó el movimiento de los cuerpos en medios resistentes y no resistentes bajo la acción de fuerzas centrípetas. Los resultados fueron aplicados a los cuerpos en órbita, proyectiles, péndulos, y a la caída libre cerca de la Tierra. Además demostró que los planetas eran atraídos hacia el Sol por una fuerza que varía con el cuadrado inverso de la distancia y generalizó que todos los cuerpos celestes se atraen mutuamente unos a otros.

Una generalización posterior condujo a Newton a la ley de la gravitación universal “... toda la materia atrae a toda la otra materia con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos”.

La capacidad de su teoría de integrar una amplia variedad de fenómenos tales como las órbitas excéntricas de los cometas, las mareas y sus variaciones, la precesión del eje de la Tierra, y la perturbación del movimiento de la Luna por la gravedad del Sol, convertiría con el tiempo a Newton en una leyenda de las ciencias.

Los historiadores coinciden que si no fuera por Halley probablemente la obra de Newton “Principia Matemática” no hubiera existido. Se reconoce en Halley la devoción que muestra por la obra de su colega, que le aparta de su propio trabajo, y asume los gastos de impresión. Esta misión la asume cuando a la muerte de su padre se vio envuelto en asuntos legales, familiares y de propiedad que exigían de su atención. Desde 1695 Halley emprendió un cuidadoso estudio de la órbita de los cometas.

Se atrevió a rechazar el criterio de Newton sobre el carácter parabólico de las órbitas de los cometas proponiendo que podían describir órbitas elípticas. Utilizando su teoría, calculó que el cometa de 1682 (ahora llamado cometa Halley) era periódico y era el mismo objeto que el cometa de 1531 y 1607. En 1705 publicó la predicción de que volvería en 76 años, indicando que aparecería en diciembre de 1758. Con cierto retraso, se haría observable la trayectoria del cometa, quince años después de la muerte de Halley.

Imagen: http://micro.magnet.fsu.edu/optics/timeline/people/halley.html


Sin embargo en su época sus teorías no fueron universalmente reconocidas y no pocos científicos rechazaban la idea de la acción a distancia y continuaban creyendo en la teoría del vórtice de Descartes en la que las fuerzas funcionan a través del contacto. Para el propio Newton esta concepción sólo fue admitida como una necesidad resultante de la observación. La idea sobre los campos físicos, ejemplo de los cuales es el campo gravitatorio, y de su carácter objetivo, no había sido aún desarrollada.

En particular, en el primer libro “El movimiento de los cuerpos” estudia los casos de las llamadas fuerzas centrales del tipo de dependencia con el inverso del cuadrado de la distancia, y la ley de las áreas, enunciada por Kepler, que le permitió establecer su Teoría de la Gravitación Universal y que llevó a las ideas sobre las propiedades inerciales y gravitacionales de los cuerpos medidas a través de las masas. En este primer libro también se trata el caso de los movimientos ascendentes y descendentes de los cuerpos y la teoría sobre el movimiento pendular. Concluye el libro con el estudio del movimiento de los cuerpos pequeños y con la explicación de las leyes de la reflexión y refracción de la luz considerando el rayo luminoso como un haz de pequeñas partículas.

En el segundo libro “Movimiento de los cuerpos en medios resistentes” analiza el caso de las fuerzas viscosas dependientes funcionalmente de varias formas con la rapidez del movimiento de los cuerpos en dichos medios. También incluye la Hidrostática y la Dinámica de los Fluidos, las ondas en medios elásticos y el estudio de los vórtices en fluidos.

En el tercer libro “El sistema del mundo” presenta sus cuatro reglas para el “razonamiento filosófico” que son:

1. “No se deben admitir otras causas que las necesarias para explicar los fenómenos”.

2. “Los efectos del mismo género deben siempre ser atribuidos, en la medida que sea posible, a la misma causa”.

3. “Las cualidades de los cuerpos que no sean susceptibles de aumento ni disminución y que pertenecen a todos los cuerpos sobre los que se pueden hacer experimentos, deben ser miradas como pertenecientes a todos los cuerpos en general”.

4. "En la filosofía experimental, las proposiciones sacadas por inducción de los fenómenos deben ser miradas, a pesar de las hipótesis contrarias, como exactas o aproximadamente verdaderas, hasta que algunos otros fenómenos las confirmen enteramente o hagan ver que están sujetas a excepciones”.

Newton, el genio, fue una personalidad inestable que mostró un enfermizo recelo a la crítica que podrían recibir sus trabajos, motivo por el cual se retrasaba en publicar sus resultados. Ya con 45 años desde su cátedra universitaria se opuso a los designios del Rey Jacobo II por convertir Cambridge en una institución católica. Esta posición le brindó relaciones con los dirigentes del régimen que sucedió a la Revolución Gloriosa de 1688, y ocupó durante los últimos 24 años de su vida la presidencia de la Royal Society.

Sin embargo desde 1693, tras sufrir una segunda depresión nerviosa, Newton se retiró de la investigación y solo intervino en la larga controversia con Leibnitz por la paternidad del cálculo infinitesimal.

Imagen: http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Gallery/Gallery1.html

Estas reglas tienen un incalculable valor epistemológico para la Ciencia. Las dos primeras están relacionadas con el método de la modelación, que consiste en esencia en la acumulación de datos de la observación de un conjunto de fenómenos y al extraer lo esencial de ellos, proponer un modelo físico – matemático de esos fenómenos y de los sistemas donde ellos se producen y luego pasar al experimento, diseñado al efecto, para comprobar la validez del modelo.

De otro lado, estas dos primeras reglas expresan el pensamiento newtoniano sobre la relación causa – efecto penetrado por el enfoque determinista emanado de su propia descripción de la Mecánica , pero sin dudas, y la Ciencia lo ha demostrado plenamente, son válidas estas ideas para los casos de los sistemas macroscópicos. La tercera regla avanza un método para la generalización de las conclusiones científicas, lo que ha sido un poderoso instrumento en manos de la Ciencia.

Por último, la cuarta regla hace referencia a la objetividad del conocimiento si este es levantado sobre una sólida base experimental y a la vez permite la adecuada combinación entre el carácter absoluto de ese conocimiento en un momento histórico determinado y su carácter relativo en el decurso del tiempo, fertilizando la idea de lo que más tarde se conoció como el Principio de Correspondencia, que invalida la concepción del relativismo a ultranza.

La obra de Newton se destaca por haber erigido la Mecánica sobre la base de tres leyes básicas, capaces de resolver todos los casos de movimientos de cuerpos (macroscópicos) referidos a un sistema inercial de referencia. Para tener una idea del grado de validez de este núcleo teórico, para el caso macroscópico de bajas velocidades, bastará con saber que el diseño, control y corrección de las órbitas de los satélites terrestres y las naves cósmicas que el hombre utiliza en la actualidad, son realizados enteramente con arreglo a las predicciones de estas tres leyes.

Robert Hooke (1635 – 1702), asistente de Boyle en Oxford, y primer director de experimentación de la Real Sociedad de Londres libró encendidas polémicas con Newton y con Huygens. Reclamó la prioridad y acusó de robo de sus ideas a Newton al publicar en 1672 su teoría de la luz, y reaccionó de igual manera al publicarse la primera edición de los Principia desatando una disputa sobre la paternidad de la ley de las fuerzas del cuadrado inverso. Newton respondió indignado eliminando toda referencia a Hooke en sus trabajos. Los historiadores han reconocido que en todo caso Hooke no supo convertir en teorías comprehensivas sus ideas originales.

En la década del 60 construyó un microscopio perfeccionado con lámpara y condensador gracias al cual fue el primero en descubrir la existencia de células en tejidos vegetales que reporta ya en 1665 en una de las obras magistrales del siglo XVII, Micrographia. En 1660 había descubierto un caso de la ley de Hooke mientras trabajaba en los diseños de muelles de balance de relojes. Sin embargo Hooke sólo anunció la ley general de elasticidad en su conferencia "De Resortes" dada en 1678.

Imagen: www.its.caltech.edu/~atomic/snowcrystals/earlyobs/micrographia.jpg

La principal crítica a las ideas newtonianas se relaciona con su concepción del espacio y el tiempo como receptáculos vacíos en los cuales se mueven los cuerpos. Pero se necesitaron 218 años para que Einstein pusiera en la palestra sus ideas sobre el carácter relativo de estas formas de existencia de la materia con su Teoría de la Relatividad Especial y luego con la Teoría General de la Relatividad que le permitiría actualizar las concepciones sobre la gravitación universal.

No dejan de tener interés las ideas de Newton acerca de la naturaleza de la luz. Su explicación de las leyes de la reflexión y refracción de la luz considerando el haz luminoso como un haz de pequeñas partículas, encontró la contraposición de otros investigadores. Este debate estuvo precedido por un grupo de descubrimientos que serán brevemente considerados.

HOMOTECIA Nº 7 – Año 14 Viernes, 1° de Julio de 2016 28 Según Newton, el primer desarrollo sugerente de la teoría del arco iris se debió al veneciano Marco Antonio de Dominis (1566- 1624). Dominis en 1611 publica en Venecia, un trabajo científico titulado: "Tractatus de radiis visus et lucis in vitris, perspectivis et iride", en el cual admite que en cada gota de lluvia la luz sufre dos refracciones y una reflexión intermedia. El reconocimiento a este descubrimiento es atribuido más generalmente a Descartes. Dominis, personalidad contradictoria formada en las Universidades de Padua y Brescia escribió a su salida de la Sociedad de Jesús, virulentos ataques a las autoridades de Roma. Luego de largos años de acusaciones y de perdones finalmente la Inquisición lo declara hereje y lo confina en el Castillo de San Angelo, donde muere. Su proceso continúa después de su muerte y a los pocos meses es ratificada su herejía, quemados sus restos y sus obras.

Como fue deslizado anteriormente, entre las conquistas en el campo de la óptica de este siglo se encuentra el descubrimiento en 1621 de la ley de la refracción de la luz. Snell encontró una relación característica entre el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción. La ley demuestra que cada sustancia tiene una relación de desviación específica, el índice de refracción. A un mayor ángulo de refracción corresponde un mayor índice de refracción para una sustancia específica. Al morir en 1626, a la temprana edad de 46 años en Leiden, no podía imaginar que unos setenta años después se reconocería su descubrimiento y este hecho haría ingresar su nombre en los libros de óptica de cualquier fecha posterior. Pero ya Snell en 1617, al publicar “Eratosthenes Batavus”, describía la metodología de la triangulación para medir la Tierra con lo cual tejía las bases de la geodesia moderna.

Cuando en 1658 el célebre físico danés Christian Huygens (1629-1695) publica los principios para la construcción de un reloj de péndulo la relojería comenzó a perfeccionarse y la variable tiempo es atrapada por el hombre con mayor precisión. Gracias a la obra de Huygens en el terreno de la Mecánica fueron clarificados los conceptos primarios de la Física, como la masa, el peso, el momento, la fuerza y el trabajo.

En Inglaterra Huygens participó en sesiones de la Real Sociedad donde conoció a Newton, y otros grandes de la Mecánica pero se ignora qué discusiones hubo entre ellos. Existen los testimonios que atestiguan la admiración que profesó hacia Newton pero se sabe que calificó de absurda la teoría de la gravitación en el sentido de considerar la acción a distancia de las fuerzas. Por otra parte Huygens desarrolló la óptica ondulatoria como modelo opuesto a la teoría corpuscular desarrollada por Newton. Imagen: www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/PictDisplay/Huygens.html

Se ha afirmado que la obra del profesor jesuita Francesco M. Grimaldi (1613 - 1653) atrajo a Newton al campo de la óptica. En 1666 aparece publicada la obra “Física-matemática de la Luz” en la cual se sugiere la naturaleza ondulatoria de la luz y se formula las bases geométricas para una teoría ondulatoria de la luz. Grimaldi se considera el descubridor de la difracción de la luz, fenómeno al cual le dio su nombre: división en fracciones. Ofrece con su estudio las bases para la posterior invención de la red de difracción, tarea conducida a principios del siglo XIX, por el óptico alemán Joseph von Fraunhofer que impulsó el nacimiento de la espectroscopia. A Grimaldi corresponde también el mérito de ser el primero en nombrar los accidentes visibles de la luna en 1651. Con Giovanni Batista Riccioli (1598 - 1671) compuso un muy preciso selenógrafo, publicado en la obra de Riccioli "Almagestum Novum", la mejor descripción de la superficie lunar construida por el hombre hasta esa época.

En 1669 el profesor de la Escuela de Medicina de la Universidad de Copenhague Erasmus Bartholin (1625 -1698) descubre el “insólito” fenómeno de la polarización de la luz al atravesar un cristal de espato de Islandia. En su “Experimenta crystalli Islandici disdiaclastici quibus mira & insolita refractio detegitur” Bartholin describe la geometría de los cristales y la doble refracción que experimenta la luz a su paso. Durante sus experimentos observó que cuando los cristales del espato de Islandia son rotados sobre sus ejes, uno de las dos imágenes se mueve en un círculo alrededor de la otra, lo que constituye una fuerte evidencia de que los cristales dividen la luz en dos diferentes rayos. Bartholin creía que el cristal tenía dos conjuntos de poros por donde el rayo de luz se dividía y se propagaba. Es también reconocido por su trabajo en la medicina en particular por la introducción de la quinina en la lucha contra la malaria.

En 1676 Huygens regresó a la Haya y se afirma que entonces se sintió atraído por el estudio de la obra de Bartholin y el fenómeno de la doble polarización. También por entonces conoció de los trabajos de Römer que daban una velocidad aproximada para la luz determinada por la observación de las lunas de Júpiter, lo que confirmaba sus tesis de la finitud de la velocidad de la luz. Dos años más tarde publica en París su Traité de la lumiere, en el cual considera la luz como la propagación de un movimiento ondulatorio en un medio sutil, el éter que llena todo el espacio y a partir de estos supuestos explica con éxito las leyes de la óptica geométrica. Huygens constató que una esfera de luz en expansión se comporta como si cada punto en el frente de onda fuera una nueva fuente de radiación de la misma frecuencia y fase. Al concebir la luz como ondas mecánicas, explica diferentes fenómenos ópticos entre los que se incluye la polarización de la luz-

Fermat no compartió con Descartes sus puntos de vista sobre óptica, publicados en "Dioptrica" como un apéndice a su Discurso del Método (1637). A partir de la hipótesis de que la luz viaja más rápidamente en el más denso de los 2 medios involucrados, Descartes deduce la ley de refracción. Muchos años después Fermat encontró la hipótesis cartesiana contradictoria con el principio aristotélico de que en la naturaleza, el camino más corto se toma siempre. Con esta idea en la mente y a través del uso de su método para determinar mínimos y máximos, Fermat estableció en 1658 lo que normalmente se describe como el principio del tiempo mínimo. De esta máxima pueden deducirse la ley de refracción y la ley de reflexión de la luz.

Imagen: http://micro.magnet.fsu.edu/optics/timeline/people/fermat.html

Los estudios sobre la electricidad en este siglo encontraron, a 29 años de la publicación de “De Magnete”, una relativa continuidad con los trabajos del jesuita italiano Niccolo Cabeo (1596 – 1650). En su obra “Philosophia magnetica” publicado en 1629, se describen observaciones de que los cuerpos cargados eléctricamente podían atraer a objetos no electrificados y también notó que dos objetos cargados se repelen. Estos efectos eléctricos se atribuyeron a la liberación por el cuerpo electrificado por frotamiento de un efluvio que desplaza al aire alrededor del objeto ligero provocando su aproximación. La repulsión no es vista como una nueva fuerza creada sino simplemente como la reocupación del aire original del espacio entre los cuerpos que separa al objeto ligero. La comprobación experimental de estas hipótesis debió esperar por mecanismos de creación de un vacío relativo. Y esto sólo ocurrió cuando el grupo de Oxford investigaba diversos fenómenos con el vacío creado por la bomba de Hooke.

La publicación de Robert Boyle en 1675 “Experiments and Notes about the Mechanical Origine or Production of Electricity” da cuenta de que los fenómenos eléctricos eran igualmente observables en sistemas a presiones reducidas y rechazó así el efecto puramente mecánico del efluvio eléctrico de Cabeo.

HOMOTECIA Nº 7 – Año 14 Viernes, 1° de Julio de 2016 29 Pero por los tiempos que Boyle investigaba estos efectos, precisamente el ya mencionado inventor de la bomba de vacío Otto von Guericke no solo construyó la primera máquina que producía electricidad por fricción en 1672 sino que descubrió la atracción y la repulsión eléctrica. Su máquina eléctrica consistió en una esfera de azufre montada sobre un eje de hierro que en cierto modo imitaba la rotación de la Tierra. Cuando esta esfera se rotaba y frotaba con la mano manifestaba reacciones eléctricas, es decir, toda suerte de pequeños fragmentos, como hojas de papel, oro o plata, se veían atraídos por el globo de azufre. Esta acción se observaba también con gotas de agua o el humo que pasaran cerca de la esfera. Von Guericke, a diferencia de Cabeo reconoció la repulsión como “una virtud expulsiva”. Y estuvo a punto de describir la descarga eléctrica de los cuerpos cargados por contacto con algún otro objeto, al apreciar que cuando esto ocurre el objeto se siente re-atraído por el cuerpo electrificado. Sus experimentos con el globo de azufre y una pluma revelan que una conexión existe entre la virtud expulsiva y el aire caliente procedente de una vela, pues al pasar la pluma a unas pulgadas del foco caliente la conducta de la pluma cambia súbitamente y vuela hacia el globo en “búsqueda de protección”, como si la virtud expulsiva fuera disipada.

En la última década del siglo el astrónomo inglés Edmund Halley sugiere que la Tierra consiste de esferas dentro de esferas cada una de las cuales rotan lentamente con respecto a la otra y es independientemente magnetizada. Era un primer intento de explicar por qué la declinación magnética varía con el tiempo.

Hasta la invención de la máquina de producir electricidad por fricción de Von Guericke nadie había observado la transferencia de electricidad de un cuerpo a otro. Sus experimentos demostraron que conectando a un globo de azufre electrificado un hilo de lino se ejerce su virtud eléctrica atractiva sobre un cuerpo. Además Guericke reporta que la bola de azufre en la oscuridad cuando era enérgicamente frotada se hacía luminosa.

Da la impresión de que el propio Guericke no aprecia la trascendencia de sus descubrimientos, al no continuar profundizando sobre estos hechos y desviar su atención hacia otros campos de la investigación.

En el otro extremo de la cuerda, en el ámbito de la Biología, los métodos cuantitativos y experimentales de la Mecánica no dejarían de tener una notable resonancia. No sorprende que fueran Padua y Bolonia los escenarios desde donde se iniciara este movimiento como tampoco que fuera la Medicina la disciplina escogida por la historia para producir esta nueva orientación.

Desde el siglo XVI, la Universidad de Padua representaba uno de los centros promotores de la revolución anatómica que encuentra en Fabrici el fundador de la embriología científica y de cuyas observaciones de las venas emerge la obra “De venarum ostiolis” (1603) con representaciones sistemáticas y precisas sobre las válvulas venosas.

Un año antes de la publicación de la obra de Fabrici se doctoraba en Padua, luego de cinco años de estudios, un joven médico inglés, graduado en Cambridge, de nombre William Harvey (1578-1657). Harvey en las próximas décadas demostraría que la función del corazón en el cuerpo humano es bombear la sangre a través de un torrente circulatorio que cumple una trayectoria circular. Se abría paso una Revolución en la Fisiología que se apartaba de los designios sobrenaturales atribuidos a los procesos vitales y en particular al corazón.

En la región fronteriza entre la Física y la Química se van dando los primeros pasos hacia una comprensión de la naturaleza del calor y la máxima galileana de “medir todo lo que es mesurable y pretender hacer mesurable lo que por ahora no lo es” va penetrando el pensamiento y la acción de los que investigan en este campo.

El renacimiento de la atomística antigua se ve impulsado por el filósofo y matemático francés referido arriba, Descartes, quien penetra diversos campos del conocimiento en el siglo XVII. De manera hipotética Descartes planteó la singular idea de que las propiedades de las sustancias dependían de la forma que adoptaban sus partículas constituyentes. Así el agua debía presentar como corpúsculos elementales partículas largas, lisas y resbaladizas; partículas puntiagudas debían formar las sales; pesadas y redondas debían ser las del mercurio. Puede considerarse a Descartes el iniciador de la Estereoquímica o Química Espacial, pero sus ideas no podrían tener un ulterior desarrollo en esta época. Debía antes desarrollarse la Mecánica de Newton, para que Dalton, a inicios del XIX, pudiera atribuir a la masa, la propiedad fundamental de los átomos.

Correspondió a Santoro Santorio (1561-1635), en la Universidad de Padua, ser el primero en inscribir en la Medicina el precepto del padre de la nueva Mecánica el pisano Galilei, “medir todo lo que sea medible” cuando introduce en la práctica médica instrumentos de medición como la primera versión del medidor del pulso (pulsilogium) sobre la base de la longitud del péndulo que se hacia isocrónico con las pulsaciones cardíacas, o versiones apropiadas del termoscopio galileano para la medición de la temperatura de los pacientes en la mano, la boca o en el aire exhalado.

Imagen: www.kp.sik.si/1027.jpg

Pero no es Descartes un exponente único de esta línea de pensamiento, incluso antes el químico holandés Daniel Sennert (1572-1637), defendía la

existencia de partículas elementales a las cuales llamó mínimas e intentó interpretar diferentes transformaciones físico- químicas como las condensaciones y destilaciones a partir de las mínimas. Su contemporáneo Joachim Jungius, (1587-1657) consideraba igualmente que numerosas transformaciones implicaba el cambio de los átomos y poco después el autodidacta italiano de Química y Medicina, Angelo Sala (1576 –1637) atribuye a los corpúsculos función esencial en las transformaciones, considerando la fermentación como una reagrupación de partículas elementales que conducía a la formación de nuevas sustancias.

Anteriormente Galilei había inventado el termoscopio (1592), instrumento simple e inexacto pero con el cual había dado nacimiento a la termometría y por consiguiente a la termodinámica. Fueron precisamente sus discípulos, los académicos florentinos los que convierten el instrumento de Galileo en el termómetro de líquido llenado al principio con agua, luego con alcohol y por fin, ya en el siguiente siglo con mercurio. Ellos descubrieron que la lectura dada por un termómetro para la temperatura de mezclas de agua y hielo es siempre la misma. La práctica demostraba que existían estados con temperaturas constantes, pero el desarrollo de una escala termométrica debió esperar por los trabajos del discípulo del gran químico holandés Hermann Boerhaave, el físico alemán Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736) en las primeras décadas del XVIII.


En 1628 el médico inglés William Harvey (1578-1657), 26 años después de doctorarse en Padua, publica “De motus cordis”, donde concluye que tanto en el hombre como en los animales la sangre es mantenida en un circuito con un tipo de movimiento circular incesante, y que ésta es una actividad o función del corazón que lleva a cabo por medio de su pulsación, y que en suma constituye la única razón para ese movimiento pulsátil del corazón. Se abría paso una Revolución en la Fisiología que se apartaba de los designios sobrenaturales atribuidos a los procesos vitales y en particular al corazón.

Imagen: www.homeoint.org/morrell/articles/esoteric.htm

El fisiólogo italiano Marcello Malphigi (1628-1694) introduce el microscopio de Hooke para realizar observaciones de los tejidos y ello le permite, al tiempo que inaugura la Anatomía Microscópica, descubrir la red de capilares pulmonares que conectan las venas con las arterias, y que vienen a explicar el vacío dejado por Harvey en la explicación del ciclo circulatorio. No es Malpighi un representante aislado de los cambios generados por la matriz de la época, a partir de ahora los planteamientos y soluciones de los problemas de esta disciplina se apoyan cada vez más en los logros de la Mecánica de la Física y de la Química apartándose de explicaciones basadas en tendencias esenciales o en designios sobrenaturales.

Imagen: http://micro.magnet.fsu.edu/optics/timeline/people/malpighi.html

La hipótesis de que el calor está asociado al movimiento interno de las partículas diminutas constituyentes de los cuerpos nos viene del filósofo inglés Francis Bacon (1561 – 1626), que arriba a la misma basándose en la observación común de que el martilleo sobre una lámina de metal produce su calentamiento. Otra suposición engendrada a principios de siglo (1613) era defendida por Galilei al considerar el calor como sustancia, cuerpo o fluido termógeno que no se produce ni se elimina, solo se redistribuye entre los cuerpos. Anteriormente Galilei había inventado el termoscopio (1592), instrumento simple e inexacto pero con el cual había dado nacimiento a la termometría y por consiguiente a la termodinámica.

Asombra que un anatomista como Franciscus Sylvius (1614 –1672) haya abordado la investigación del calor liberado cuando se mezcla un ácido con alambres de hierro dando los primeros pasos de la termoquímica desarrollada en el siguiente siglo por el británico Joseph Black (1728 – 1799), convirtiéndose así en uno de los fundadores de la tradición forjada en la Universidad de Leiden. Su magisterio se exalta con la labor de mentor de Burchard de Volder (1643-1709), un entusiasta seguidor de Boyle que fundó el primer laboratorio de Física de Leiden y que influye notablemente en el célebre profesor holandés, Hermann Boerhaave (1668-1738).

En la línea de medir los cambios en la masa newtoniana durante las reacciones químicas aparece un personaje que es para muchos el más auténtico protagonista del período de transición de la alquimia hacia la química, el médico, y químico-físico flamenco Johannes Baptiste van Helmont (1577 –1644).

Este afán por introducir la balanza, adelantándose casi un siglo a las prácticas de la experimentación cuantitativa de la Escuela Francesa liderada por Lavoisier, que debía conducir más tarde o más temprano a los fundamentos de la ley de conservación de la masa, se refleja también en la actividad del francés Jean Rey (1583-1645). Van Helmont y Rey “rozaron” la fomulación de la ley de conservación la masa enunciada más de un siglo después por el químico ruso Mijaíl Vasílievich Lomonósov (1711-1765).

Un personaje que es para muchos el más auténtico protagonista del período de transición de la alquimia hacia la química, el médico, y químico-físico flamenco Johannes Baptiste van Helmont (1577 –1644) se destaca por su apasionada defensa de que el estudio de la naturaleza debía conducirse por los naturalistas y no por los sacerdotes. La célebre Universidad de Lovaina (fundada en 1425) donde recibió su enciclopédica formación consideró sus ideas como herejía y presentó la correspondiente acusación ante la Santa Inquisición. Condenado a tres años de prisión, luego de ser liberado sufre un régimen de arresto domiciliario y la prohibición de publicar sus trabajos sin previa autorización de la Iglesia.

Imagen: mattson.creighton.edu/History_Gas_Chemistry/van%20Helmont

En la obra del químico-físico irlandés Robert Boyle (1627 – 1691) “Origen de formas y características según la filosofía corpuscular” publicada en 1666, el autor desarrolla el atomismo de sus predecesores y postula la existencia de partículas de materia primaria que se combinan de diversas maneras para formar lo que él llamó corpúsculos, de cuyo movimiento y estructura se derivaban todos los fenómenos observables.

La actuación como figura central del llamado grupo de Oxford integrado además por Hooke y el médico y fisiólogo inglés John Mayow (1641-1679) alienta el objetivo de descifrar el papel del aire en fenómenos aparentemente distantes como la combustión de materias orgánicas, la oxidación de metales, y la respiración. Corre el 1665 cuando demuestra empleando una bomba de vacío que una vela no arde en el vacío y los animales no pueden vivir sin el aire, lo que traducido al pensamiento teórico origina el criterio de que la respiracion y la combustión son dos fenómenos similares. Hooke, compartía las ideas básicas de su mentor y en su obra “Micrographia”, publicada en 1665 consideraba el aire como una mezcla de partículas diferentes entra las cuales hay un tipo responsable de la combustión y otra clase que no se alteraba durante las reacciones químicas y daba cuenta de la elasticidad observada. Por su parte Mayow suma nuevas evidencias, perfeccionando las experiencias neumáticas de Boyle, de que el aire es una mezcla de componentes y que en la respiración al igual que en la combustión sólo participa una parte de él.

Aunque la más conocida contribución del químico-físico irlandés Robert Boyle (1627 – 1691) a las ciencias, sea la llamada ley de Boyle – Mariotte, ley de compresibilidad de los gases, publicada en 1662 en la segunda edición de su obra “Elasticidad y peso del aire” y descubierta de manera independiente y hacia la misma fecha por el físico francés Edme Mariotte (1620-1684), lo cierto es Boyle representa lo más avanzado en el pensamiento químico de la época. En el balance del XVII hay que reconocer que Boyle fue una de las figuras centrales en el proceso de demolición del entramado alquimista, en el conocimiento de las relaciones entre las sustancias, en el fortalecimiento de la práctica de introducir la balanza en el examen de los fenómenos químicos, y en la reevaluación del papel de los aires a la luz de su participación en los importantes procesos de combustión y de respiración.

Imagen: www.mat.usach.cl/histmat/html/boyl.html

HOMOTECIA Nº 7 – Año 14 Viernes, 1° de Julio de 2016 31 Con la Revolución Científica inaugurada por Newton se abría paso el paradigma mecánico, que exigiría en este siglo, y propiciara en el XVIII, el desarrollo de un nuevo instrumental matemático. Un invento, aparentemente casual, desplazaría la pupila de investigadores hacia la electrostática. Mientras, la irrupción de los métodos de la experimentación cuantitativa hacia la Alquimia y otros campos de la Medicina, provocaría el fallecimiento de la primera y el nacimiento de nuevas áreas en la segunda.

BIBLIOGRAFÍA:

Altshuler José (2003): A propósito de Galileo. Editorial Gente Nueva. La Habana.

Barattin Luisa (2000): Galileo Galilei. Institute and Museum of the History of Science of Florence, Italy. http://galileo.imss.firenze.it/museo/4/index.html

Blatchley R., Shepelavy J (1992): Robert Boyle: Mighty Chemist. History of Chemistry. Woodrow Wilson Summer Institute. http://www.woodrow.org/teachers/chemistry/institutes/1992/Boyle.html

Collections thématiques Gallica (2003): La création des académies et des périodiques. Les sciences au XVIIe siècle. Gallica, la Bibliothèque numerique: Bibliothèque Nationale de France. http://gallica.bnf.fr/themes/SciXVII.htm

Davidson Michael W. (2003): Pioneers in Optics. Timeline in Optics. Florida State University. http://micro.magnet.fsu.edu/optics/timeline/people/index.html Giovanni Borelli Pierre de Fermat Christiaan Huygens Hans Lippershey Marcello Malphigi Ole Christensen Roemer Willebrord Snell

De la Selva, Teresa (1993): III. En donde se ve que, en 1690, Mecánica y Astronomía van delante de la Química. Fondo de Cultura Económica. México. http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/118/htm/alquimia.htm

Díaz Pazos Patricio (2002): Biografías. A Horcajadas en el Tiempo. William Herschel http://www.astrocosmo.cl/biografi/b-w_herschel.htm Christian Huygens http://www.astrocosmo.cl/biografi/b-c_huygens.htm Johannes Kepler. http://www.astrocosmo.cl/biografi/b-j_kepler.htm Gottfried Wilhelm von Leibniz. http://www.astrocosmo.cl/biografi/b-g_leibniz.htm

Enciclopedia Encarta (2006): 3 La Física a partir de Newton. "Física." Microsoft® Encarta® 2006 [DVD]. Microsoft Corporation, 2005.

Escohotado Antonio (2006): 3. Kepler. Tema XII. La Cosmología Renacentista. Génesis y evolución del análisis científico. http://www.escohotado.com/genesisyevoluciondelanalisiscientifico/tema12.htm Idem: 1. Proyectiles y otros graves. 2. El genio de Pisa. Tema XIII. La Ciencia Nueva. Génesis y evolución del análisis científico. http://www.escohotado.com/genesisyevoluciondelanalisiscientifico/tema13.htm Ibidem: 1.El atomismo. 2. Los principios matemáticos de la Filosofía Natural. Tema XV. La visión newtoniana del mundo. Génesis y evolución del análisis científico. http://www.escohotado.com/genesisyevoluciondelanalisiscientifico/tema13.htm

Hormigón M.y Ausejo E. (2002): Historia de las Ciencias y las Técnicas. Cronología. IV Revolución Científica S XV – XVII. Universidad de Zaragoza http://www.campus-oei.org/salactsi/historia4.htm

MacDonell Joseph (2005): Jesuit Scientists. Mathematics Department. Fairfield University. Connecticut. Estados Unidos. http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/sjscient.htm Scheiner http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/sj/scientists/scheiner.htm Riccioli http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/sj/scientists/scientists/riccioli.htm Grimaldi http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/sj/scientists/grimaldi.htm

O'Connor J. J., Robertson E. F. (2000): Mathematicians born from 1500 to 1599. School of Mathematics and Statistics. University of St Andrew. Scotland. Napier, Galilei, Kepler, Oughtred, Jungius, Gassendi, Descartes, Harriot. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Indexes/1500_1599.html Idem: Mathematicians born from 1600 to 1649. Bartholin, Boyle, Hooke, Horrocks, Huygens, Leibniz, Newton, Pascal, Torricelli, Wallis. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Indexes/1600_1649.html Mathematicians born from 1650 to 1699. Halley Ibidem: History Topics. School of Mathematics and Statistics. University of St Andrews. Scotland. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Indexes/HistoryTopics.html

Pérez Tamayo Ruy (1998): II.4 William Harvey. II. Los científicos de la Revolución Científica: Vesalio, Galileo, Harvey, Newton, Hooke y Leibniz. ¿Existe el método científico? El Colegio Nacional y el Fondo de Cultura Económica. México. http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/161/html/sec_14.html

The Royal Society (2000): History of the Royal Society. http://www.royalsoc.ac.uk/royalsoc/index.html


Universidad Católica de Chile (2004): IX. Medicina del Barroco. Apuntes de Historia de la Medicina. Escuela de Medicina. Pontificia. Universidad Católica de Chile. http://escuela.med.puc.cl/publ/HistoriaMedicina/Indice.html http://escuela.med.puc.cl/paginas/publicaciones/HistoriaMedicina/HistMed_10.html

Vega Miche Rebeca: Siglos XVI y XVII. Historia de la Química. Facultad de Química de la Universidad de la Habana. http://www.fq.uh.cu/fich.php?id=12&in_id=4

Verdugo Pamela (1997): Los matemáticos y su Historia. Universidad de Santiago de Chile. http://www.mat.usach.cl/histmat/html/desc.html

Westfall Richard S. (1995): Catalog of the Scientific Community in the 16th and 17th Centuries. Consultados: Boyle, Boerhaave, Cabeo, David and

Johannes Fabrici, Guericke, Halley, Harvey, Harriot, Hooke, Kepler, Lipperhey, Mayow, Marius, Mercator,Newton, Santorio, Sylvius, Viviani, Wren.

http://galileo.rice.edu/lib/catalog.html http://galileo.rice.edu/Catalog/NewFiles/wren.html http://galileo.rice.edu/sci/viviani.html http://galileo.rice.edu/sci/lipperhey.html http://galileo.rice.edu/sci/santorio.html http://galileo.rice.edu/Catalog/NewFiles/cabeo.html http://galileo.rice.edu/Catalog/NewFiles/halley.html http://galileo.rice.edu/Catalog/NewFiles/helmont.html

Williams S. Henry, Williams H. Edward (1904): A History of Science, vol II. Chapter VIII. Medicine in the sixteenth and seventeenth centuries. Chapter X. The successors of Galileo in Physical Science. Chapter XII. Newton and the Law of Gravitation. Chapter XIII. Instruments of precision in the age of Newton. Chapter XIV. Progress in electricity from Gilbert and Von Guericke to Franklin. http://www.nalanda.nitc.ac.in/resources/english/etext-project/history/science/book2.section8.html

Zubov V.P. (1962): Los principios fundamentales de la Física de Newton. 193 – 205. Las ideas básicas de la Física: ensayos sobre su desarrollo. Ediciones Pueblos Unidos. Montevideo.


JJoohhaann VVaann ddeerr WWaaaallss Nació el 23 de noviembre de 1837 en Leiden, y murió el 8 de marzo de 1923 en Ámsterdam; ambas localidades en los Países bajos.

Ganador en 1910 del Premio Nobel en Física. Por su trabajo en la ecuación del estado de los gases y los líquidos.

Fuente: Biografías y Vidas.

JOHAN VAN DER WAALS (1837-1923)

Johan Diderik Van der Waals. Profesor de las universidades de La Haya (1877) y Ámsterdam (1908), es conocido por la ecuación del estado de los gases reales (ecuación de Van der Waals) que permite una mayor aproximación a la realidad física que la ecuación de los gases ideales, al tener en cuenta las fuerzas de interacción existentes entre las moléculas; tal aportación le supuso la concesión, en 1910, del Premio Nobel de Física. Desarrolló, además, investigaciones sobre la disociación electrolítica, sobre la teoría termodinámica de la capilaridad y sobre estática de fluidos. Estudió así mismo las fuerzas de atracción de naturaleza electrostática (fuerzas de Van der Waals) ejercidas entre las moléculas constitutivas de la materia, que tienen su origen en la distribución de cargas positivas y negativas en la molécula.

Los gases reales no cumplen las leyes de Boyle-Mariotte y Charles-Gay-Lussac con total exactitud; la desviación respecto al comportamiento ideal depende de la presión, la temperatura y el gas de que se trate. A temperaturas ordinarias, al bajar la presión los gases reales son más compresibles que lo que deberían serlo de acuerdo con la ley de Boyle-Mariotte, hasta llegar a una determinada presión a la que empiezan a comprimirse menos de lo que lo haría un gas ideal.

En 1873 Van der Waals argumentó que, dado el cambio de signo en la desviación del comportamiento real respecto al ideal, esta desviación había de deberse a dos causas opuestas. La primera es la existencia de fuerzas de atracción entre las moléculas, que hacen que la presión observada (medida a partir de los choques de las moléculas de gas contra la pared del recipiente) sea menor que la presión que realmente tiene el gas. Van der Waals razonó que la desviación debe ser inversamente proporcional al cuadrado del número de moléculas por unidad de volumen.

La segunda es que las moléculas no son puntos materiales, sino que ocupan un volumen, por lo que el volumen de que realmente disponen las moléculas es menor que el volumen total ocupado por el gas; esta corrección ya había sido introducida por Clausius. De acuerdo con los términos de corrección introducidos, Van der Waals formuló la ecuación que lleva su nombre, que se ajusta mejor que la de los gases ideales al comportamiento real de los gases, aunque tampoco es rigurosamente exacta, ya que las dos constantes que introdujo en la formulación varían algo en función de la presión y la temperatura.

JOHAN VAN DER WAALS

Imágenes obtenidas de:


OOttttoo WWNació el 27 de marzo de 1847 en Königsberg, Reino de Prusia (hoy

murió el 26 de febrero de 193

GGaannaaddoorr ddeell PPrreemmiioo NNooPor su contribución en el desarrollo de la química orgánica e industrial

FFUUEENNTTEESS:: BBiiooggrraaffííaa

Hijo de Gerhard Wallach y su esposa, de soltera Thoma Otillie. Su padre Potsdam.

Estudios

Durante sus primeros años escolares estudió humanística aquellos días, temas como la química no se enseñaba en la escuela

En 1867 se fue a Gotinga a estudiar química con WöhlerMagnus G.

Estudió en las universidades de Berlín y Gotinga; llegó a lectorBonn.

Se doctoró en 1869 en Gotinga, y más tarde trabajó en

En 1876 llegó su nombramiento como Profesor Extraordinario. Cuando en obligaron a especializarse en esta dirección.

Docencia

En 1889 fue nombrado director del Instituto Químico de la Universidad de Gotinga y permaneció en esta institución hasta su ju

En 1889 dirigió el Instituto Químico de la Universidad de Gotinga.

Labor científica

Su labor científica estuvo enfocada fundamentalmente al estudio sistemático de los terpenos, compuestos naturales presentes eextraen en forma de aceites esenciales. Se dedicó soactualmente como “reacciones de Wallach”.

Realizó las primeras investigaciones en tintes de anilina y su trabajo pionero en química orgánica. A menudo, la realización fueron a la luz de las velas, estudió la estructura molecular de los aceites esenciales (líquidos o los árboles).

En 1887 demostró que los terpenos (hidrocarburos monocíclicos que se encuentran en las plantas, tales como tienen una unidad fundamental de cinco átomos de carbono, y pueden ser derivadas por biosíntesis del isopreno.

Estudió los llamados aceites etéreos con el fin de llevar a cabo su clasificación. De estos estudios sacó la conclusión de quemparentadas, y formaban parte del llamado grupo de los terrenos. Su estructura está compuesta por anillos bencénicos saturadsemejanza. Sus diferencias residen en el número de anillos y en los grupos laterales unidos a éstos

La guerra

Después de la guerra intentó por tercera vez para establecer su residencia en Berlín, trabajando con una empresa de nueva crela fabricación de anilina" (más tarde "Agfa"), pero su frágil salud no podía soportar los permaneció durante 19 años.

Muerte

Murió el 26 de febrero de 1931 en Gotinga, Alemania

Premios

Por el desarrollo de la química orgánica y por sus trabajos en el campo de los compuestos alicíclicos, le concedieron, en Sus trabajos han contribuido grandemente al desarrollo de la industria de los perfumes y de los aceites esenciales.

Sus honores incluyen otras Becas de Honor de la Sociedad Química (Tecnológico de Brunswick. En 1912 se convirtió en miembro honorario de la Asociación alemana de Química.

Recibió la Orden Imperial del Águila en 1911, la Medalla Davy

Obras

En 1895 escribió lo que ahora se llama la regla de Wallach, que establece que los cristales racémica son más densos que los cristalespuros. Escribió más de 150 artículos sobre el tema de los

En su primera publicación (1884) se planteó la cuestión de la diversidad de los distintos miembros del grupo C 10 H 16.

Fue autor de los libros Tablas de análisis químico (1880


WWaallllaacchh Reino de Prusia (hoy Kaliningrado, perteneciente a Rusia) y

de 1931 en Gotinga, Alemania.

oobbeell eenn QQuuíímmiiccaa eenn 11991100.. Por su contribución en el desarrollo de la química orgánica e industrial.

íaass yy VViiddaass –– WWiikkiippeeddiiaa

d Wallach y su esposa, de soltera Thoma Otillie. Su padre fue un funcionario de alto rango, que más tarde se convirtió en auditor general en

humanística en el "Gymnasium" de Potsdam. Wallach tenía un gusto profundo por la no se enseñaba en la escuela del nivel secundaria.

Wöhler, Fittig y Hübner, pero pronto se fue a Berlín para estudiar durante un semestre en AW Hofmann y

y Gotinga; llegó a lector (conferencista) en 1873, y fue profesor de química, de

, y más tarde trabajó en Bonn y Berlín.

llegó su nombramiento como Profesor Extraordinario. Cuando en 1879 la Cátedra de Farmacología quedó vacante se vio obligado a ocuparla, y le

En 1889 fue nombrado director del Instituto Químico de la Universidad de Gotinga y permaneció en esta institución hasta su ju

o de la Universidad de Gotinga.

Su labor científica estuvo enfocada fundamentalmente al estudio sistemático de los terpenos, compuestos naturales presentes eextraen en forma de aceites esenciales. Se dedicó sobre todo al campo de los terpenos acíclicos, y descubrió toda una serie de reacciones conocidas

Realizó las primeras investigaciones en tintes de anilina y su trabajo pionero en química orgánica. A menudo, la realización fueron a la luz de las velas, estudió la estructura molecular de los aceites esenciales (líquidos aromáticos extraídos de las

demostró que los terpenos (hidrocarburos monocíclicos que se encuentran en las plantas, tales como albahacaenen una unidad fundamental de cinco átomos de carbono, y pueden ser derivadas por biosíntesis del isopreno.

Estudió los llamados aceites etéreos con el fin de llevar a cabo su clasificación. De estos estudios sacó la conclusión de quemparentadas, y formaban parte del llamado grupo de los terrenos. Su estructura está compuesta por anillos bencénicos saturadsemejanza. Sus diferencias residen en el número de anillos y en los grupos laterales unidos a éstos.

Después de la guerra intentó por tercera vez para establecer su residencia en Berlín, trabajando con una empresa de nueva crela fabricación de anilina" (más tarde "Agfa"), pero su frágil salud no podía soportar los humos nocivos de la fábrica,

Alemania.

rollo de la química orgánica y por sus trabajos en el campo de los compuestos alicíclicos, le concedieron, en Sus trabajos han contribuido grandemente al desarrollo de la industria de los perfumes y de los aceites esenciales.

Sus honores incluyen otras Becas de Honor de la Sociedad Química (1908), Doctor Honoris Causa de las Universidades de se convirtió en miembro honorario de la Asociación alemana de Química.

Medalla Davy de Oro y Plata en 1912, y en 1915 la Real Orden de la Corona.

escribió lo que ahora se llama la regla de Wallach, que establece que los cristales racémica son más densos que los cristalespuros. Escribió más de 150 artículos sobre el tema de los terpenos.

) se planteó la cuestión de la diversidad de los distintos miembros del grupo C 10 H 16.

1880) y Terpeno y el alcanfor (1909).

34

OTTO WALLACH (1847-1931)

un funcionario de alto rango, que más tarde se convirtió en auditor general en

Wallach tenía un gusto profundo por la historia y el arte, en

para estudiar durante un semestre en AW Hofmann y

, de 1876 a 1889, en la Universidad de

la Cátedra de Farmacología quedó vacante se vio obligado a ocuparla, y le

En 1889 fue nombrado director del Instituto Químico de la Universidad de Gotinga y permaneció en esta institución hasta su jubilación en 1915.

Su labor científica estuvo enfocada fundamentalmente al estudio sistemático de los terpenos, compuestos naturales presentes en las plantas, de las que se acíclicos, y descubrió toda una serie de reacciones conocidas

Realizó las primeras investigaciones en tintes de anilina y su trabajo pionero en química orgánica. A menudo, la realización de sus primeras investigaciones aromáticos extraídos de las flores, hierbas, frutos, hojas, raíces

albahaca, alcanfor, limón, menta y naranja)

Estudió los llamados aceites etéreos con el fin de llevar a cabo su clasificación. De estos estudios sacó la conclusión de que estas sustancias estaban emparentadas, y formaban parte del llamado grupo de los terrenos. Su estructura está compuesta por anillos bencénicos saturados, y en esto consiste su

Después de la guerra intentó por tercera vez para establecer su residencia en Berlín, trabajando con una empresa de nueva creación "Acción-sociedad para fábrica, y en 1872 regresó a Bonn, donde

rollo de la química orgánica y por sus trabajos en el campo de los compuestos alicíclicos, le concedieron, en 1910, el Premio Nobel de Química.

), Doctor Honoris Causa de las Universidades de Mánchester, Leipzig y el Instituto

la Real Orden de la Corona.

escribió lo que ahora se llama la regla de Wallach, que establece que los cristales racémica son más densos que los cristales de los enantiómeros


EENNSS“E l contexto epistemológico de la enseñanza de la matemática

ESCRITOS (Parte I) (Febrero 2015). Autor:

Por: FANNY M. ARÉVALO P.

Cel.: 0416-8788327 MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

El presente ensayo hace referencia al trabajo epistemológico de la enseñanza de la matemática”, el mismo está fragmentado en una serie de escritos para el desarrollo de la cátedra, y en esta oportunidad se consideran los escritos del trece (13) al diecinueve (19), entre los cuales figuran interrogantes como: ¿cuál es el nivel que debe tener el conocimiento universitario?, ¿cuándo una persona es culta?, ¿puede haber personas incultas?, con base en el conocimiento mundializado ¿problemas matemáticos o problemas didácticos?

En función de estas interrogantes, se desarrollará dicho documento, por lo que se dará inicio señalando que al hablarse de formación docente es necesario tener y profesionales de cada aprendiz, por lo que pensar sólo en herramientas que permitan el desenvolvimiento en los distintos niveles educativos, especialmente los niveles de básica, media y diversificada, es coartar las posibilidades del futuro docente e imposibilita corregir las deficiencias previas; en este sentido, respondería que el nivel que debe tener el conocimiento universitario es el máximo y el mejor que se pueda dar, es decir, ha de capacitarse en adaptarse a cualquier nivel educativo al momento de desenvolverse en el campo laboral. Para lograr las metas planteadas, se debe hacer énfasis y ser exigentes en las asignaturas dirigidas a la formación de profesión docente de la mención así como con el resto de las asignaturas del pensum, ya sean consideradas básicas o complementarias, ya que todas aportan fortalezas para el desenvolvimiento profesional y la no superación de las mismas

Por lo que coincido con la afirmación citada del Dr. Bifano C. (2009), “La universidad será lo que sus profesores quieran que sea”; pues la excelencia de las universidades crece a medida que sus profesorelo hacen, es por ello, que los profesores deben valorarse y aumentar su autoestima como profesional, para que luego los demás puedan valorarlos.

Otra interrogante que aparece en los escritos es: ¿cuándo una persona es culta? A simple impresión también respondería que: una persona es culta cuando mantiene normas de educación y buen comportamiento ante sus semejantes, pero a medida que revisaba el escrito, podía darme cuenta que es mucho más complejo y hasta contradictorio que eso. Porque se deben considhumanos tanto socio-cultural como lo relacionado con el tipo de bienes materiales que producen para vivir. Por lo que involucra reglas, estilos de vida, ideas y creencias, costumbres de su grupo social, la herencia y transmisión por contacto con los seres mayores de su núcleo familiar.


Basado en: SSEEÑÑAANNZZAA DDEE LL AA MM AATTEEMM ÁÁTTII CCAA

l contexto epistemológico de la enseñanza de la matemáticaFebrero 2015). Autor: Dr. Rafael Ascanio Hernández. Referencias a los Escritos del

ENSAYO

FANNY M. ARÉVALO P. – C. I. Nº: 12.204.224 > Diciembre 2015

8788327 – E-mail: [email protected] MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA – FACE - UC

RREESSUUMM EENN

El presente ensayo hace referencia al trabajo realizado por el Dr. Ascanio R. sobre “El contexto epistemológico de la enseñanza de la matemática”, el mismo está fragmentado en una serie de escritos para el desarrollo de la cátedra, y en esta oportunidad se consideran los escritos del trece (13) al

ecinueve (19), entre los cuales figuran interrogantes como: ¿cuál es el nivel que debe tener el conocimiento universitario?, ¿cuándo una persona es culta?, ¿puede haber personas incultas?, con base en el conocimiento mundializado ¿cuáles competencias formar en el aprendiz?, ¿problemas matemáticos o problemas didácticos?

En función de estas interrogantes, se desarrollará dicho documento, por lo que se dará inicio señalando que al hablarse de formación docente es necesario tener presente y considerar las aspiraciones personales y profesionales de cada aprendiz, por lo que pensar sólo en herramientas que permitan el desenvolvimiento en los distintos niveles educativos, especialmente los niveles de básica, media y

coartar las posibilidades del futuro docente e imposibilita corregir las deficiencias previas; en este sentido, respondería que el nivel que debe tener el conocimiento universitario es el máximo y el mejor que se pueda dar, es decir, ha de capacitarse en todos los niveles para que el egresado pueda adaptarse a cualquier nivel educativo al momento de desenvolverse en el campo laboral. Para lograr las metas planteadas, se debe hacer énfasis y ser exigentes en las asignaturas dirigidas a la formación de profesión docente de la mención así como con el resto de las asignaturas del pensum, ya sean consideradas básicas o complementarias, ya que todas aportan fortalezas para el desenvolvimiento profesional y la no superación de las mismas debería conllevar a la no promoción del aprendiz.

Por lo que coincido con la afirmación citada del Dr. Bifano C. (2009), “La universidad será lo que sus profesores quieran que sea”; pues la excelencia de las universidades crece a medida que sus profesorelo hacen, es por ello, que los profesores deben valorarse y aumentar su autoestima como profesional, para que luego los demás puedan valorarlos.

Otra interrogante que aparece en los escritos es: ¿cuándo una persona es culta? A simple impresión respondería que: una persona es culta cuando mantiene normas de educación y buen

comportamiento ante sus semejantes, pero a medida que revisaba el escrito, podía darme cuenta que es mucho más complejo y hasta contradictorio que eso. Porque se deben considerar todos los fenómenos

cultural como lo relacionado con el tipo de bienes materiales que producen para vivir. Por lo que involucra reglas, estilos de vida, ideas y creencias, costumbres de su grupo social, la

por contacto con los seres mayores de su núcleo familiar.

35

l contexto epistemológico de la enseñanza de la matemática”. Escritos del 13 al 19.

realizado por el Dr. Ascanio R. sobre “El contexto epistemológico de la enseñanza de la matemática”, el mismo está fragmentado en una serie de escritos para el desarrollo de la cátedra, y en esta oportunidad se consideran los escritos del trece (13) al

ecinueve (19), entre los cuales figuran interrogantes como: ¿cuál es el nivel que debe tener el conocimiento universitario?, ¿cuándo una persona es culta?, ¿puede haber personas incultas?,

¿cuáles competencias formar en el aprendiz?,

En función de estas interrogantes, se desarrollará dicho documento, por lo que se dará inicio señalando presente y considerar las aspiraciones personales

y profesionales de cada aprendiz, por lo que pensar sólo en herramientas que permitan el desenvolvimiento en los distintos niveles educativos, especialmente los niveles de básica, media y

coartar las posibilidades del futuro docente e imposibilita corregir las deficiencias previas; en este sentido, respondería que el nivel que debe tener el conocimiento universitario es el máximo y el

todos los niveles para que el egresado pueda adaptarse a cualquier nivel educativo al momento de desenvolverse en el campo laboral. Para lograr las metas planteadas, se debe hacer énfasis y ser exigentes en las asignaturas dirigidas a la formación de la profesión docente de la mención así como con el resto de las asignaturas del pensum, ya sean consideradas básicas o complementarias, ya que todas aportan fortalezas para el desenvolvimiento

debería conllevar a la no promoción del aprendiz.

Por lo que coincido con la afirmación citada del Dr. Bifano C. (2009), “La universidad será lo que sus profesores quieran que sea”; pues la excelencia de las universidades crece a medida que sus profesores lo hacen, es por ello, que los profesores deben valorarse y aumentar su autoestima como profesional, para

Otra interrogante que aparece en los escritos es: ¿cuándo una persona es culta? A simple impresión respondería que: una persona es culta cuando mantiene normas de educación y buen

comportamiento ante sus semejantes, pero a medida que revisaba el escrito, podía darme cuenta que es erar todos los fenómenos

cultural como lo relacionado con el tipo de bienes materiales que producen para vivir. Por lo que involucra reglas, estilos de vida, ideas y creencias, costumbres de su grupo social, la


Con lo anteriormente señalado podría entonces expresar que una persona es culta cuando manifiesta y practica hábitos de generalidad social que la identifique con los parámetros culturales de su sociedad (tales como: habilidades y destrezas, lenguaje, creencias, costumbres, hábitos permitidos, normativas de regulación del sistema social, económico y político), ya que estos deben asimilarse y adaptarse a los cambios de épocas, descartándose la posibilidad genética o natural de transmisión de información cultural. Esto es siguiendo los principios de la teoría de la información, donde la concepción científica de cultura “es la información transmitida por el aprendizaje social entre animales de una misma especie”, entonces, lo avanzado de la cultura de una sociedad lo determinará el número de memes (la unidad o trozo elemental de información adquirida) presentes en los cerebros de los miembros que la integran. Si bien queremos una sociedad culta en cuanto a conocimientos matemáticos, pues debemos fomentar y promover el mayor número posible de memes del área y en muchos cerebros...

Para lograr estos objetivos, se debe potenciar la didáctica de la matemática, donde se siembre en el actual aprendiz, las raíces de la génesis de la innovación y el descubrimiento matemático, del posible futuro hacedor de matemática, el matemático puro; entendiéndose por didáctica: “la manera individual y particular mediante la cual un docente procura la transposición del conocimiento disciplinario, que en el medio educativo se traduce como la construcción del conocimiento matemático”.

Con base en el conocimiento mundializado las competencias que se deben formar en este aprendiz han de ser: La competencia lectora (capacidad para comprender, emplear, reflexionar e interesarse en textos escritos virtuales y físicos, con el fin de desarrollar sus conocimientos, su potencial personal y su participación en la sociedad). La competencia científica (capacidad de un individuo que tiene un conocimiento científico y lo utiliza para comprender y tomar decisiones en su actividad cotidiana). La competencia matemática (capacidad para identificar y entender la función que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios fundados, utilizar y relacionarse con las matemáticas de forma que pueda satisfacer las necesidades de la vida diaria de un ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo).

El último aspecto discutido es referente a los llamados problemas matemáticos, son denominados así aquellos ejercicios de raciocinio que se pueden resolver utilizando procedimientos matemáticos y de lógica; pues un nombre más adecuado es el de problemas didácticos ya que estos sirven para enseñar a los estudiantes a asociar situaciones del mundo real con el lenguaje formal y abstracto de las matemáticas. Un problema matemático es el que resuelve un matemático dentro de su ciencia para hallar la respuesta a una interrogante de dicha disciplina, por lo que un problema está caracterizado por no conocerse de antemano la solución que se ha de obtener. Entonces, ni problemas matemáticos ni problemas didácticos, la acepción más adecuada es la asociada con la definición presentada al inicio del párrafo: “ejercicios de raciocinio que se pueden resolver utilizando procedimientos matemáticos y de lógica”.

Otras referencias

Ascanio, R. (2011). Holística Cultural. Constructo Epistémico en la transición del Ser al Deber-Ser de los

alumnos en formación en Educación Matemática. Tesis Doctoral en Educación. Universidad de Carabobo: Valencia, Venezuela.

DATOS DE LA AUTORA:

Fanny M. Arévalo P. Natural de la ciudad de Barinas, edo. Barinas, Venezuela. Fecha de nacimiento: 13-07-1975. Ingeniero en Computación, egresada de la Universidad Fermín Toro (1999). Profesora en Informática, egresada de la UPEL- IMPM (2012). Especialista en Tecnología de la Computación en Educación, egresada de la Universidad de Carabobo (2014). Docente contratada en la UNELLEZ – VPDS, en el programa de Ingeniería, Arquitectura y Tecnología, en la carrera Ingeniería en Informática. Docente por horas en la Escuela Técnica Comercial Raimundo Andueza Palacio, en la mención Informática.


POR: ÁNGEL GONZÁLEZ – C. I. Nº: 19480394 > Diciembre 2015 Telf. Nº: 0241-4155509. Cel. Nº: 0424-4440437. E-mail: [email protected]

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA – FACE - UC

Muchas veces los docentes nos preparamos para un ámbito en específico, obviando una gama de posibilidades que nos rodean en el sistema educativo, siendo este sistema la lucha de la gran mayoría, ya no solo es el hecho de obtener un título sino el obtener un cargo, dejando a un lado el legado impartido durante el pregrado. Pero son las necesidades las que hacen posible estas medidas.

El nivel o excelencia trasciende más allá de la educación adquirida durante pregrado. El aporte que cada docente en formación adquiere de sus profesores, es el punto de partida de toda la formación académica, para bien o mejor, la información la fortalecemos y la hacemos propia de acuerdo a la recepción que obtengamos de ella.

Es preciso determinar que como aprendices somos capaces de mal interpretar la información, haciendo de multiplicadores de errores que trascienden en la cultura donde hacemos vida, como docentes tenemos el poder de corregir y auto reflexionar ante aquellas fallas cometidas en el proceso de formación enseñanza y aprendizaje.

No solo se forman docentes en un área específica, se forman docentes integrales, ya que así el pregrado los prepara, que se tenga mayor dominio en cierto contenidos hace la diferencia entre varios, pero la formación y la aplicación de habilidades y destrezas impartidas durante el proceso de formación es el mismo; no se están formando matemáticos, biólogos, físicos u otros, en la escuela o en el mismo liceo, sino que solo son ciudadanos llenos de preguntas que tienen que ver con cualquier índole social, estaremos preparados o bien nos preparamos para estas situaciones. Es aquí la razón de no solo bloquearse a un conocimiento específico y absoluto, la sociedad exige ciudadanos íntegros, capaces de formar a individuos en personas similares y autónomas de sus propias decisiones y acciones, con valores éticos y morales, que solo en casa se fortalecen.

Todas estas virtudes y fortalezas, conducen a pensar que solo son cultos aquellos que poseen un buen estilo de vida, profesional y lleno de exigencias culturales y personales a los que la sociedad les exige. El ser culto es una expresión de todo ser humano, es algo innato que se manifiesta a través de acciones que se ponen en evidencia en ciertas ocasiones. Pero el ser culto es tácito del ser humano, no es algo material que poseemos unos u otros, es más que una regla, es un elemento que forma parte de la personalidad y experiencia de todo individuo. Incluso como docentes, el ser culto es un punto con mayor acentuación, donde el poder cultural a través de la palabra es de suma importancia en los procesos de aprendizajes. Afianzados de la didáctica empleada para que el conocimiento llegue de mejor forma sea globalizado o mundializado, con el fin de que el conocimiento de la matemática sea contextualizado por los aprendices y donde este saber sea empleado para fines comunes de su vida, con la visión de reflexionar, entender y comprender que a través de la matemática el camino a resolver problemas es más fácil.

Como docente y como humanos somos afectivos, por ende siempre expresamos un lado humano que ligado a la aplicación del contenido puede llegar hacer una didáctica exitosa, aunque muchas veces estas situaciones afectivas son erróneas en diversos grupos de aprendices, pero está en ellos, la parte afectiva hacia la matemática lo que hace la diferencia entre muchos, logrando éxitos y méritos, que con la concepción de la matemática el proceso para alcanzar estos logros se hace más rápido o más lento. La lógica es importante en la resolución de cualquier problema, sea de matemática o no, es un problema como tal, el cual amerita una solución lógica y razonable. Todos los problemas requieren de métodos para su resolución, la vida en cierta forma lo es. Seguimos métodos para realizar las cosas y aprendemos a través de errores que se fortalecen de la práctica por el luchar ante una solución.

DATOS DEL AUTOR:

Ángel Alfonso González Delgado. Licenciado en Educación Mención Matemática (Universidad de Carabobo). Actualmente cursando la Maestría en Educación Matemática (Postgrado Face –UC) y Contaduría Pública (Faces – UC).


Por: RAMÓN NAVAS – C. I. Nº: 18.958.947 > Noviembre 2015 Cel: 0414-4201242 E-mail: [email protected]


Cuando era estudiante de pregrado era común escuchar de mis compañeros de estudios que muchas de las asignaturas que veíamos, con respecto a nuestra mención, más nunca la íbamos a usar, ya que no son parte de los contenidos matemáticos para la educación básica y media diversificada.

Desde mi punto de vista, los contenidos matemáticos que se encuentran dentro del pensum de nuestras carreras no son más que parte disciplinaria, pero no se queda sólo en ello, sino que estos contenidos nos permiten el desarrollo del pensamiento lógico que nos prepara para afrontar las realidades actuales de nuestro entorno social, de lo cual debemos desarrollar un pensamiento lógico que nos permita pensar de mejor modo sobre los problemas locales.

Por otro lado, ¿Quién va a formar los docentes de matemática universitarios sino nuestra facultad de educación? Sin duda debemos estar preparados para cualquier asignatura de nuestra área a cualquier nivel ya sea universitario o no, por lo que es de vital importancia mantener el nivel durante toda la formación docente del pregrado. Para Ascanio (2015), no podemos pensar que nuestra función es únicamente aportar herramientas para que el egresado se desenvuelva sólo para la educación básica y media diversificada.

Tampoco debemos darle importancia exclusivamente a las asignaturas dirigidas específicamente a nuestra mención, es de hacer notar que la carrera por la cual optamos fue como licenciados en educación matemática, más no somos matemáticos, físicos, biólogos, químicos, por lo que ante todo somos docentes, lo cual da igual importancia a aquellas materias complementarias o básicas.

Sin duda no sólo hacen falta las herramientas específicas de cada mención sino todas aquellas que sea posible de adquirir. La formación de un docente no va dirigida para que el licenciado de educación se desenvuelva exclusivamente sólo en un área en específico (Ascanio, ob. Cit.). El estar preparado para cualquier contexto no sólo nos convierte en un docente de calidad y culto, sino que también somos agentes transformadores lo cual influirá en gran medida en todo el proceso educativo.

¿Existen personas incultas? Para Ascanio (ob. Cit.), una persona inculta pudiera interpretarse como un individuo sin cultura, lo cual lo hace improbable, ya que la tendencia es aceptar que si los seres humanos se desarrollan en un núcleo social, esto los lleva a compartir diversas creencias, valores, costumbres, tradiciones y educación; es decir de una manera u otra practican una cultura.

Lo que sí es posible encontrar son personas poco culturizadas o altamente culturizadas (Ascanio, ob. Cit.). ¿Pero desde que momento empezamos a culturizarnos para llegar a estos “niveles”? Comparto la idea que la persona desde el momento que nace empieza a adaptarse a su entorno, aceptando y practicando modos de pensar, acogiendo ideas y creencias, así como la manera de hablar y sus comportamientos, todo esto pone en evidencia que la persona se desenvuelve en el contexto de las características de una determinada práctica cultural.

De manera personal, hace unos meses tuve un encuentro inesperado con quien fue mi profesora de 2do Grado de Educación Básica, ella recuerda con mucha alegría que un día del padre, entre las actividades planteadas en clases, era describir cada estudiante a su papá, la mayoría de sus discentes lo definieron como cariñoso, amoroso, etc., mientras que la palabra que yo use para describirlo fue: “Leal”, muchos de mis compañeros, según comenta la profesora, no conocían el significado de dicha palabra por lo que la profesora tuvo que aclarar a que me refería. Sin duda que el entorno en cual no desenvolvemos nos hace adaptarnos a cierta cultura influyendo en nuestra forma de actuar, de pensar, de hablar e incluso el modo en que nos expresarnos, como el ejemplo que acabo de comentar.

Debemos comprender que la didáctica de la matemática no se basa en la producción del conocimiento, sin embargo en la procura del docente en la transposición del conocimiento sin duda se genera una construcción del conocimiento matemático, siendo este el fin último. (Ascanio, ob. Cit.). Por ello, debemos entender que lo que se quiere alcanzar con la didáctica no esel tradicional desarrollo de potencialidades algorítmicas, sino más bien formar un estudiante en la incertidumbre, donde la innovación y el descubrimiento matemático sean la base de dicha formación.

Para Ascanio (ob. Cit.), el estudiante debe estar formando bajo las siguientes competencias:

1. La Competencia Lectora, manifestada como la capacidad de una persona para comprender, emplear, reflexionar e interesarse en textos escritos, virtuales o en físico, de una disciplina o de una cultura en general.

2. La Competencia Científica, manifestada como la capacidad de un individuo que tiene conocimiento científico y lo utiliza para identificar temas, adquirir nuevos conocimientos, explicar fenómenos científicos y obtener conclusiones basándose en evidencias acerca de problemas relacionados con la ciencia.

3. La Competencia Matemática, más entendida como el 'logro por el ser humano del uso socializado de la matemática, se

considera como la capacidad manifestada por una persona para analizar, razonar y comunicar de forma eficaz; e igualmente plantear, resolver e interpretar problemas contextualizados a modelos matemáticos en una variedad de situaciones que incluyen conceptos matemáticos cuantitativos, espaciales, de probabilidad, o de otro tipo.


Estas son competencias que sin duda ofrecen herramientas al estudiante para tomar decisiones ante situaciones problemática, le convierte en un ser previsivo ante posibles dificultades, convirtiéndose en un individuo productivo y esencial dentro de su entorno social o comunidad; de esa manera tendrá mejores oportunidades en la vida, sin importar que su ocupación profesional tenga o no una relación muy estrecha con la matemática.

Uno de los problemas actuales con respeto a muchos estudiantes se presenta con el patrón que trae el discente desde el punto de vista afectivo con la asignatura matemática, muchos de estos valores han sido formados desde incluso la familia, donde en algunos casos son los mismos padres quienes crean un rechazo hacia estos contenidos por el simple hecho de no haber tenido una experiencia positiva durante sus estudios o la formación de su carrera. Todo esto ha ido creando falsos paradigmas acerca de la matemática, como una asignatura filtro, donde son muy pocos lo aprobados, donde no todos están hechos para la matemática, debido a esta situación el estudiante ya se siente predispuesto al encontrase con estos contenidos, dificultando nuestro trabajo como mediador entre lo disciplinario y el proceso de aprendizaje del aprendiz.

En lo particular, me desempeño como docente de la asignatura Matemática I en la Universidad José Antonio Páez en las facultades de Ciencias Sociales e Ingeniería, en el anterior semestre en mi asignatura hubo un mayor número de aprobados que en la asignatura Historia Contemporánea, donde el número de reprobados fue bastante escandaloso, esto no hace más que corroborar que los paradigmas acerca de esta asignatura son simples estereotipos que no necesariamente van ajustados con la realidad.

En otro orden de ideas, comúnmente nos referimos a problema matemático, problema didáctico o simplemente ejercicios de raciocinio como si significaran lo mismo, sin embargo para Ascanio (ob. Cit.), los tres tienen diferentes significados, y en si dependerá de cómo se encuentre estructurado y cual sea el fin que persigue la resolución del mismo. Veamos la siguiente comparación:

Muchas veces tendemos a referirnos a problema matemático a un planteamiento donde se enuncia los datos necesarios para resolverlo, luego el discente debe ejecutar un método para llegar a la solución, y por último este llega al resultado mediante la aplicación de reglas de razonamiento y la información aportada por los datos. Sin embargo, este tipo de planteamientos no pueden ser definidos como problemas matemáticos o incluso también podría ponerse en duda que fuera ciertamente un problema.

Para Ascanio (ob.cit.) un problema matemático es el que resuelve un matemático dentro de su ciencia; es decir halla la respuesta a una interrogante relacionada con conocimientos propios de la naturaleza de la matemática, en el caso anterior nosotros simplemente estamos dando un resultado a una interrogante pero no estamos resolviendo un problema matemático en sí, lo que nos hace pensar que pudiéramos definirlo entonces como un simple problema didáctico el cual tiene un fin educativo, que no es más que la aplicación de los contenidos obtenidos por parte del estudiante.

Entonces, ¿será realmente un problema? Se concibe un problema como un obstáculo arrojado ante la inteligencia para ser superado, una dificultad que exige ser resuelta, una cuestión que reclama ser aclarada. (Ascanio, ob. Cit.). Es decir, para definirlo como problema el resultado debe ser realmente una incógnita (solución que nadie conoce). En algunos casos hay planteamientos donde también se informa cuál es el resultado que se ha de obtener, así el estudiante determina el o los patrones de resolución de los problemas, persiguiendo como final mostrar el logro de la respuesta sugerida, omitiendo cualesquiera otros procedimientos lógicos matemáticos que descartó durante el proceso de resolución porque lo alejaban de la obtención del resultado correcto. Didácticamente, al proceder así el estudiante deja de proporcionar al docente información sobre cuánto aprendizaje ha alcanzado, aunque no es común observar algoritmos con estas características. En la práctica, este tipo último de planteamientos para Ascanio (ob. Cit.) pueden ser definidos simplemente como: ejercicios de raciocinio que se pueden resolver utilizando procedimientos matemáticos y de lógica.

Para culminar me gustaría dejar la siguiente reflexión:

“No te preocupes con tus problemas con las matemáticas, los míos son todavía mayores”. Albert Einstein.

DATOS DEL AUTOR:

RAMÓN ALEJANDRO NAVAS TORREALBA. Natural de la ciudad de Valencia, edo. Carabobo, Venezuela. Fecha de nacimiento: 13/10/1988. Licenciado en Educación Matemática, egresado de la Universidad de Carabobo (2014). Experto en Tecnología de la Informática y Comunicación: HTLM Online, Linux Básico, Linux Avanzado. Docente de las asignaturas: Matemática I y II en la Universidad José Antonio Páez, Facultad de Ingeniería. Facultad de Ciencias Sociales. San Diego, Estado Carabobo


Por: MAIRA MENDOZA Cel.: 0412-4659627 E

MAESTRÍA EN ED

EL NIVEL DE CULTURIZACIÓN DE LOS QUE ENSEÑAN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

En referencia a los contenidos y el nivel que se debe manejar relacieducativo, es necesario que se tenga presente que estos deben trascender por encima de lo que es el conocimiento nivel de básica, si bien la mayor carga de empleo se encuentra en estos niveles, estos se verían en la obligación de laborar únicamente corte matemático que se imparten en las diferentes car

Es así como las universidades y la calidad de los que egresan de las mismas se verá determinado, por el nivel de exigencia qusolo en lo que se refiere a las asignaturas correspondientes a las especialidades, si no las deformación integral como profesionales, especialmente en el área de la educación donde al impartir los conocimientos se globaltemas diversos.

Por otra parte el que los profesionales tengan un buen dominio de las diferentes asignaturas, podrá cubrir espacios en blanco provenientes de sua nivel de básica y diversificada, donde existen debilidades, que pueden llegar a influir en el proceso de la enseñanza,modo general para fortalecer, cada una de las áreas del conocimiento, egresando así de las universidades profesionales de calde educación pues estos serán los encargados de formar el futuro

Esto es un hecho de gran importancia, y es que el avance socioconducta por parte de los que integran de forma directa las comunidadellegar a realizar un individuo, sino por el perfil que manifiesta en cuanto a la relación de convivencia que tiene con los agcapacidad que tiene para de una forma u otra relacionarse con los semejantes pertenecientes al mismo grupo cultural.

Es entonces que la cultura no será algo que solamente se desarrollarimitando a los familiares en el hogar y que determinarfactor que incentiva, si culturalmente existe en el entorno del estudiante De igual manera se puede presentar el caso contrario,

Entonces, ¿qué es lo que se debe formar como culto? respete las normas y reglamentos presentes en su entorno, y aunque este tenga toda la libertad de manifestar sus ideales, lo haga de forma elocuente respetuosa. Pero por otra parte, la cultura definida como todo aquello que encierra las creencias, los valores, la religión, los btransmitidas según los fragmentos de información que se puedan almacenar en la memoria.todos esos acontecimientos de información que van almacenándose de forma progresiva en el cerebro, que han sido denominados cindividuo lograr tener muy pocos de estos en su cerebro.

En otro orden de ideas, en cuanto a la didáctica, no es correcto referirse a esta como la hacedora de los conocimientos, sino como el método particular en el que un docente busca la transmisión de los contenidos, solo se busca el desarrollo de los diferentes algoritmos matemáticos, si no las capacidades matemáticas en sí.

En consecuencia, en lo que se refiere al conocimiento mundializadocientíficas y matemáticas. Increíblemente el conocimiento en el ámbito matemático, se encuentra estrechamente influenciado por las competencias lectoras y científicas, ya que el nivel de lecto-escritura de un matemática en el entorno como una herramienta en el ámbito científico experimental.

Al referirnos al desarrollo de las competencias matemáticas, no se hace hingrandes problemas matemáticos, sino más bien a la capacidad determinados, es decir sin importar la asignatura que estos estudien en sus vidas futuras, la matemática debe ser un componente fundamental que los ayude a solucionar sus problemáticas de forma más efectiva.

Increíblemente existe un alto nivel de la influencia de lo manteniendo año tras año y que influye no solo en el ámbito escolar, sino infundirán el miedo a sentir por la asignatura matemática por lo que esta situación ha creado que en el entorno de la matemática exista una cultura social y es que determinará la lentitud o rapidez en los procesos mentales que posea el individuo.

Por eso ya existe una marcada tendencia social en relación a los contenidos matemáticos, aun cuando ya se ha demostrado que easignatura con mayor número de aplazados, lo que hace ver que la predisposición antes mencionada va por encima de un factor afectivpropia de la asignatura, es más un hecho cultural.

Por lo que los docentes matemáticos deben centrarse más ematemático, ya que muchas veces un docente puede ser realmente excelente pero esto no garantizara el éxito de los estudiantescontar con la consideración de sus estudiantes pero tampoco este factor influirá en el aprendizaje, pues la motivación es algo interno dentro dindividuo.

Es importante entonces que los docentes se planteen más que en proponer situaciones de carácter pedagógico, donde se vinculen el entorno y las necesidades de orden social con los contenidos matemátse encuentra establecida una respuesta, y que más que representar un

DATOS DE LA AUTORA:

Maira Alejandra Mendoza Calzada. Natural de Bejuma, edo. Carabobo. Venezuela. Fecha de Nacimiento: 15Matemática (Universidad de Carabobo). Actualmente cursando Maestría en Educación Matemática. Se ha desempeñado como docente en Nacional Experimental De La Fuerza Armada Nacional Bolivariana (U.N.E.F.A), y en las Instituciones Educativas: Física), U.E CNEL (b) “ADOLFO VALBUENA BRAVO” (Matemática y Desarrollo de habilidades del pensamiento (Matemática y Física).


MAIRA MENDOZA – C. I. Nº: 21.455.599 > Octubre 2015 4659627 E-mail: [email protected]


EL NIVEL DE CULTURIZACIÓN DE LOS QUE ENSEÑAN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

En referencia a los contenidos y el nivel que se debe manejar relacionado a la formación que deben tener los docentes antes de , es necesario que se tenga presente que estos deben trascender por encima de lo que es el conocimiento disciplinario

nivel de básica, si bien la mayor carga de empleo se encuentra en estos niveles, ya que esto limitaría de forma total las aspiraciones de los docentes, pues únicamente en los niveles de educación básica sin aspirar a un cargo a nivel universitario en las asignaturas de

corte matemático que se imparten en las diferentes carreras.

Es así como las universidades y la calidad de los que egresan de las mismas se verá determinado, por el nivel de exigencia qusolo en lo que se refiere a las asignaturas correspondientes a las especialidades, si no las de corte básico, que también tienen gran niformación integral como profesionales, especialmente en el área de la educación donde al impartir los conocimientos se global

ue los profesionales tengan un buen dominio de las diferentes asignaturas, podrá cubrir espacios en blanco provenientes de subásica y diversificada, donde existen debilidades, que pueden llegar a influir en el proceso de la enseñanza,

modo general para fortalecer, cada una de las áreas del conocimiento, egresando así de las universidades profesionales de calde educación pues estos serán los encargados de formar el futuro del país, base de su desarrollo.

Esto es un hecho de gran importancia, y es que el avance socio-cultural permitirá no solo la mejora académica, sino la repetición de estos patrones de conducta por parte de los que integran de forma directa las comunidades, donde ser culto no solo se determinará por la cantidad de estudios que pueda llegar a realizar un individuo, sino por el perfil que manifiesta en cuanto a la relación de convivencia que tiene con los ag

e para de una forma u otra relacionarse con los semejantes pertenecientes al mismo grupo cultural.

entonces que la cultura no será algo que solamente se desarrollará en las escuelas, sino que son actitudes, que se enmarcan desde el nacimiento, y que determinará el rumbo que seguirá un estudiante en cuanto a su desarrollo educativo, pues si bien esto no es un

el entorno del estudiante algo que lo predisponga a concluir sus estudiosse puede presentar el caso contrario, dándose así situaciones donde el docente muchas veces no tiene tantas posibilidades de intervenir.

¿qué es lo que se debe formar como culto? Para poder decir que estamos formando un individuo culto, debemos hacer que este sea alguien que entorno, y aunque este tenga toda la libertad de manifestar sus ideales, lo haga de forma elocuente

uosa. Pero por otra parte, la cultura definida como todo aquello que encierra las creencias, los valores, la religión, los btransmitidas según los fragmentos de información que se puedan almacenar en la memoria. ¿Cómo aprender cultura?, la cultura vista de esta forma, serán todos esos acontecimientos de información que van almacenándose de forma progresiva en el cerebro, que han sido denominados cindividuo lograr tener muy pocos de estos en su cerebro.

, no es correcto referirse a esta como la hacedora de los conocimientos, sino como el método particular en el que un docente busca la transmisión de los contenidos, en los que debe enfocarse en cómo enseñar. Son aquellos denominasolo se busca el desarrollo de los diferentes algoritmos matemáticos, si no las capacidades matemáticas en sí.

en lo que se refiere al conocimiento mundializado, las competencias que se deben desarrollar se encuentran ncreíblemente el conocimiento en el ámbito matemático, se encuentra estrechamente influenciado por las competencias lectoras

escritura de un individuo, determina los niveles de su comprensión escolar y a su vez la contextualización de la matemática en el entorno como una herramienta en el ámbito científico experimental.

Al referirnos al desarrollo de las competencias matemáticas, no se hace hincapié a las capacidades que deben tener nuestros estudiantes de resolver grandes problemas matemáticos, sino más bien a la capacidad en la que se debe desarrollar habilidades para la toma de decisiones en momentos

gnatura que estos estudien en sus vidas futuras, la matemática debe ser un componente fundamental que los ayude a solucionar sus problemáticas de forma más efectiva.

la influencia de lo afectivo en lo que refiere a la enseñanza de la matemática, una predisposición que se ha venido manteniendo año tras año y que influye no solo en el ámbito escolar, sino en lo social, lo cultural y hasta en lo familiar,

r la asignatura matemática por parte de sus hijos, miedo previamente infundido a su vez por algún familiar entorno de la matemática exista una cultura social y es que al poco o much

la lentitud o rapidez en los procesos mentales que posea el individuo.

Por eso ya existe una marcada tendencia social en relación a los contenidos matemáticos, aun cuando ya se ha demostrado que etura con mayor número de aplazados, lo que hace ver que la predisposición antes mencionada va por encima de un factor afectiv

Por lo que los docentes matemáticos deben centrarse más en indagar cuál es el proceso de transferencia de los conocimientos, por encima del hecho matemático, ya que muchas veces un docente puede ser realmente excelente pero esto no garantizara el éxito de los estudiantes

deración de sus estudiantes pero tampoco este factor influirá en el aprendizaje, pues la motivación es algo interno dentro d

Es importante entonces que los docentes se planteen más que resolver problemas matemáticos, que son propios del situaciones de carácter pedagógico, donde se vinculen el entorno y las necesidades de orden social con los contenidos matemát

se encuentra establecida una respuesta, y que más que representar un obstáculo sean una oportunidad para su crecimiento académico.

Natural de Bejuma, edo. Carabobo. Venezuela. Fecha de Nacimiento: 15-03-1992. Licenciada en Educación Mención ). Actualmente cursando Maestría en Educación Matemática. Se ha desempeñado como docente en

Nacional Experimental De La Fuerza Armada Nacional Bolivariana (U.N.E.F.A), y en las Instituciones Educativas: U.E “Colegio Valle Verde” (MatemátFísica), U.E CNEL (b) “ADOLFO VALBUENA BRAVO” (Matemática y Desarrollo de habilidades del pensamiento – DHP) y LN “ANTONIO M. LETTERON”

40

a la formación que deben tener los docentes antes de ingresar al campo disciplinario que se debe manejar en el

total las aspiraciones de los docentes, pues en los niveles de educación básica sin aspirar a un cargo a nivel universitario en las asignaturas de

Es así como las universidades y la calidad de los que egresan de las mismas se verá determinado, por el nivel de exigencia que tengan los profesores y no corte básico, que también tienen gran nivel de influencia en la

formación integral como profesionales, especialmente en el área de la educación donde al impartir los conocimientos se globalizarán e interrelacionarán con

ue los profesionales tengan un buen dominio de las diferentes asignaturas, podrá cubrir espacios en blanco provenientes de su formación básica y diversificada, donde existen debilidades, que pueden llegar a influir en el proceso de la enseñanza, por lo que la exigencia debe ser a

modo general para fortalecer, cada una de las áreas del conocimiento, egresando así de las universidades profesionales de calidad. Más aun cuando se trata

cultural permitirá no solo la mejora académica, sino la repetición de estos patrones de por la cantidad de estudios que pueda

llegar a realizar un individuo, sino por el perfil que manifiesta en cuanto a la relación de convivencia que tiene con los agentes del entorno, es decir, la

en las escuelas, sino que son actitudes, que se enmarcan desde el nacimiento, un estudiante en cuanto a su desarrollo educativo, pues si bien esto no es un

sus estudios, este no descansará hasta lograrlo. así situaciones donde el docente muchas veces no tiene tantas posibilidades de intervenir.

ara poder decir que estamos formando un individuo culto, debemos hacer que este sea alguien que entorno, y aunque este tenga toda la libertad de manifestar sus ideales, lo haga de forma elocuente pero

uosa. Pero por otra parte, la cultura definida como todo aquello que encierra las creencias, los valores, la religión, los bailes, entre otros, serán ltura?, la cultura vista de esta forma, serán

todos esos acontecimientos de información que van almacenándose de forma progresiva en el cerebro, que han sido denominados como “memes”, pero un

, no es correcto referirse a esta como la hacedora de los conocimientos, sino como el método particular en el uellos denominados mundializados, donde no

rrollar se encuentran definidas como lectoras, ncreíblemente el conocimiento en el ámbito matemático, se encuentra estrechamente influenciado por las competencias lectoras

individuo, determina los niveles de su comprensión escolar y a su vez la contextualización de la

capié a las capacidades que deben tener nuestros estudiantes de resolver que se debe desarrollar habilidades para la toma de decisiones en momentos

gnatura que estos estudien en sus vidas futuras, la matemática debe ser un componente fundamental que los

enseñanza de la matemática, una predisposición que se ha venido familiar, y así será muy común que los padres

infundido a su vez por algún familiar ancestro a estos, o mucho dominio que se tenga de ésta,

Por eso ya existe una marcada tendencia social en relación a los contenidos matemáticos, aun cuando ya se ha demostrado que en Venezuela no es la tura con mayor número de aplazados, lo que hace ver que la predisposición antes mencionada va por encima de un factor afectivo y de la complejidad

l es el proceso de transferencia de los conocimientos, por encima del hecho matemático, ya que muchas veces un docente puede ser realmente excelente pero esto no garantizara el éxito de los estudiantes, así mismo este puede

deración de sus estudiantes pero tampoco este factor influirá en el aprendizaje, pues la motivación es algo interno dentro de cada

del quehacer de los matemáticas puros, situaciones de carácter pedagógico, donde se vinculen el entorno y las necesidades de orden social con los contenidos matemáticos, donde ya

obstáculo sean una oportunidad para su crecimiento académico.

1992. Licenciada en Educación Mención ). Actualmente cursando Maestría en Educación Matemática. Se ha desempeñado como docente en Universidad

U.E “Colegio Valle Verde” (Matemática y DHP) y LN “ANTONIO M. LETTERON”


UUnn gguuaarr iiqquueeññoo ddii rr iiggeeddooccttoorr aaddooss ddee cciiee

Autor: Julett Pineda | @JulePineda

Tomado de

http://www.efectococuyo.com/principales/un-guariqueno-dirige

eeuu

Enviado por: Licenciado Francisco Ponte

A José Castillo, las matemáticas le gustaron desde siempre. No solo quería estudiarlas, sino también aplicarlas para resolver problemas en lvida real. Así fue como este guariqueño, nacido en Calabozo ciencia para luego irse a Estados Unidos a seguir especializándose. Hoy en día, dirige uno de los mejores doctorados en Nortebusca venezolanos para que cursen el programa.

En 1980, José Castillo tomó la decisión de irse de Venezuela. Tras estudiar Matemáticas en la Universidad Central de Venezuela, se dio cuenta de que no había ninguna oferta que le permitiera estudiar la aplicación de la ciencia. Fue cuando decidió continuar suUniversidad de Texas, en Austin, y en la Universidad de Nuevo México.

No obstante, fue en la Universidad Estatal de San Diegoquiso. Primero, se desempeñó como profesor; enComputacionales de esa misma casa de estudio; y en 2001, creó un programa doctoral en esta misma ciencia.

Ahora, asegura, busca darles a otros venezolanos la oportunidad de hacer elcongresos y conferencias, capta jóvenes que estén interesados en prepararse para mejorar la situación actual del país.

“Soy latinoamericano y quiero contribuir con Latinoamérica”, dice Castpreparados. Mucha gente cree que aquí los jóvenes se preparan mejor, pero eso no es verdad”.

Hasta los momentos, desde su creación en el año 2002, unos que es financiada por el mismo centro de investigaciones.

“Es un doctorado interdisciplinario . Hemos visto que la educación tradicional es muy análoga: la gente se especializa en una cosa muy pequeña y nosotros queremos que los estudiantes puedan trabajar en diferentes áreas”, señala.

Para Castillo, la gente suele conocer un pequeño grupo de universidades en los Estados Unidos; sin embargo, agrega que la UniEstatal de San Diego ofrece este doctorado, calificado como

“Yo no conseguí trabajo en Venezuela, pero la idea es que la gente contribuya con el desarrollo del país. Por eso sigo tratanestudiantes que tengan ese mismo tipo de visión”, dice. Según el investigadpetrolero y el industrial.

El procedimiento de captación de estudiantes no solo se repite entre venezolanos, sino también en el resto de la región. Las guariqueño llegan a toda Latinoamérica y asegura que la situación de la ciencia en el país no es muy diferente de la de sus vecinos.

“Es muy parecido. Ahora es difícil de comparar; pero, en general, Venezuela no es la que está en peores condiciones. Saca a MArgentina y Uruguay y verás que la mayoría de los países están atrasados en esta materia”, resalta.

La preferencia de otras carreras y la falta de demanda en las ciencias no solo es un fenómeno criollo. Incluso, en los Estadofalta de interés también está presente. “Acá hay muy poca gente estudiando matemáticas. Más de 50% de las personas que estudian ciencias son extranjeros”, precisa.

A pesar de haberse ido hace 36 años, Castillo no se separa de Venezuela. Ni en su búsqueda de nuevos estudiante“Toda mi familia vive allá. Tengo dos hijos y todos mis hermanos y hermanas”, cuenta. “Extraño la cultura, la música, el tipo

Confiesa que todos los domingos, religiosamente, come arepas con perico en su casa y que todospreparar hallacas, incluso con sus estudiantes. También las noticias sobre Venezuela forman parte de su rutina.

Castillo asegura que cada día hacen falta nuevas investigaciones en ciencias computacionales y señala su país de origen, hay muy buenos profesionales trabajando por la ciencia. Aunque las condiciones sean adversas.

“Hay gente que está haciendo investigaciones de punta allá. Y, en menor cantidad, hay gente que colaboruniversidades y no se sabe de ellos ni se habla de sus proyectos”, denuncia el profesor.

Para cambiar la situación, asegura que es necesario reformular cómo financiar los proyectos para que incentivos para hacerlo. Sobre la situación país, cuenta, no se desaniman ni él ni sus estudiantes.

“Yo creo que es importante no perder las perspectivas. Ha habido situaciones similares en la historia y, sin embargo, todo essiempre soy optimista, por naturaleza”, dice el guariqueño.


ee uunnoo ddee llooss mmeejj oorr eess eenncciiaa eenn EEEEUUUU

Julett Pineda | @JulePineda > 29 mayo, 2016

Tomado de:

dirige-uno-de-los-mejores-doctorados-de-ciencia-en-

, las matemáticas le gustaron desde siempre. No solo quería estudiarlas, sino también aplicarlas para resolver problemas en lnacido en Calabozo —como el compositor Antonio Estévez, indica

ciencia para luego irse a Estados Unidos a seguir especializándose. Hoy en día, dirige uno de los mejores doctorados en Nortebusca venezolanos para que cursen el programa.

Castillo tomó la decisión de irse de Venezuela. Tras estudiar Matemáticas en la Universidad Central de Venezuela, se dio cuenta de que no había ninguna oferta que le permitiera estudiar la aplicación de la ciencia. Fue cuando decidió continuar suUniversidad de Texas, en Austin, y en la Universidad de Nuevo México.

Universidad Estatal de San Diego, en California, donde pudo aplicar las matemáticas de la manera en que siempre quiso. Primero, se desempeñó como profesor; en 1999, se convirtió en el director del Centro de Investigación de Ciencias

de esa misma casa de estudio; y en 2001, creó un programa doctoral en esta misma ciencia.

Ahora, asegura, busca darles a otros venezolanos la oportunidad de hacer el doctorado. Viaja a Venezuela al menos dos veces al año, y, entre congresos y conferencias, capta jóvenes que estén interesados en prepararse para mejorar la situación actual del país.

“Soy latinoamericano y quiero contribuir con Latinoamérica”, dice Castillo vía Skype. “Los estudiantes en Venezuela . Mucha gente cree que aquí los jóvenes se preparan mejor, pero eso no es verdad”.

Hasta los momentos, desde su creación en el año 2002, unos 17 venezolanos han pasado por el doctoradoque es financiada por el mismo centro de investigaciones.

. Hemos visto que la educación tradicional es muy análoga: la gente se especializa en una cosa muy os estudiantes puedan trabajar en diferentes áreas”, señala.

Para Castillo, la gente suele conocer un pequeño grupo de universidades en los Estados Unidos; sin embargo, agrega que la UniEstatal de San Diego ofrece este doctorado, calificado como uno de los mejores 15 en Norteamérica.

“Yo no conseguí trabajo en Venezuela, pero la idea es que la gente contribuya con el desarrollo del país. Por eso sigo tratanestudiantes que tengan ese mismo tipo de visión”, dice. Según el investigador, los estudios en esta materia podrían ayudar en temas como el

El procedimiento de captación de estudiantes no solo se repite entre venezolanos, sino también en el resto de la región. Las oda Latinoamérica y asegura que la situación de la ciencia en el país no es muy diferente de la de sus vecinos.

“Es muy parecido. Ahora es difícil de comparar; pero, en general, Venezuela no es la que está en peores condiciones. Saca a Mentina y Uruguay y verás que la mayoría de los países están atrasados en esta materia”, resalta.

La preferencia de otras carreras y la falta de demanda en las ciencias no solo es un fenómeno criollo. Incluso, en los Estadombién está presente. “Acá hay muy poca gente estudiando matemáticas. Más de 50% de las personas que estudian ciencias

A pesar de haberse ido hace 36 años, Castillo no se separa de Venezuela. Ni en su búsqueda de nuevos estudiante“Toda mi familia vive allá. Tengo dos hijos y todos mis hermanos y hermanas”, cuenta. “Extraño la cultura, la música, el tipo

Confiesa que todos los domingos, religiosamente, come arepas con perico en su casa y que todos los diciembres prevalece la tradición de preparar hallacas, incluso con sus estudiantes. También las noticias sobre Venezuela forman parte de su rutina.

Castillo asegura que cada día hacen falta nuevas investigaciones en ciencias computacionales y señala que, a pesar de la situación actual de su país de origen, hay muy buenos profesionales trabajando por la ciencia. Aunque las condiciones sean adversas.

“Hay gente que está haciendo investigaciones de punta allá. Y, en menor cantidad, hay gente que colaboruniversidades y no se sabe de ellos ni se habla de sus proyectos”, denuncia el profesor.

Para cambiar la situación, asegura que es necesario reformular cómo financiar los proyectos para que asíivos para hacerlo. Sobre la situación país, cuenta, no se desaniman ni él ni sus estudiantes.

“Yo creo que es importante no perder las perspectivas. Ha habido situaciones similares en la historia y, sin embargo, todo esr naturaleza”, dice el guariqueño.

41

, las matemáticas le gustaron desde siempre. No solo quería estudiarlas, sino también aplicarlas para resolver problemas en la itor Antonio Estévez, indica— sacó su licenciatura en esta

ciencia para luego irse a Estados Unidos a seguir especializándose. Hoy en día, dirige uno de los mejores doctorados en Norteamérica y

Castillo tomó la decisión de irse de Venezuela. Tras estudiar Matemáticas en la Universidad Central de Venezuela, se dio cuenta de que no había ninguna oferta que le permitiera estudiar la aplicación de la ciencia. Fue cuando decidió continuar su carrera en la

, en California, donde pudo aplicar las matemáticas de la manera en que siempre Centro de Investigación de Ciencias

de esa misma casa de estudio; y en 2001, creó un programa doctoral en esta misma ciencia.

al menos dos veces al año, y, entre congresos y conferencias, capta jóvenes que estén interesados en prepararse para mejorar la situación actual del país.

illo vía Skype. “Los estudiantes en Venezuela están muy bien

17 venezolanos han pasado por el doctorado. El programa incluye una beca

. Hemos visto que la educación tradicional es muy análoga: la gente se especializa en una cosa muy

Para Castillo, la gente suele conocer un pequeño grupo de universidades en los Estados Unidos; sin embargo, agrega que la Universidad

“Yo no conseguí trabajo en Venezuela, pero la idea es que la gente contribuya con el desarrollo del país. Por eso sigo tratando de conseguir or, los estudios en esta materia podrían ayudar en temas como el

El procedimiento de captación de estudiantes no solo se repite entre venezolanos, sino también en el resto de la región. Las conferencias del oda Latinoamérica y asegura que la situación de la ciencia en el país no es muy diferente de la de sus vecinos.

“Es muy parecido. Ahora es difícil de comparar; pero, en general, Venezuela no es la que está en peores condiciones. Saca a México, Brasil,

La preferencia de otras carreras y la falta de demanda en las ciencias no solo es un fenómeno criollo. Incluso, en los Estados Unidos, esta mbién está presente. “Acá hay muy poca gente estudiando matemáticas. Más de 50% de las personas que estudian ciencias

A pesar de haberse ido hace 36 años, Castillo no se separa de Venezuela. Ni en su búsqueda de nuevos estudiantes ni en sus tradiciones. “Toda mi familia vive allá. Tengo dos hijos y todos mis hermanos y hermanas”, cuenta. “Extraño la cultura, la música, el tipo de gente”.

los diciembres prevalece la tradición de preparar hallacas, incluso con sus estudiantes. También las noticias sobre Venezuela forman parte de su rutina.

que, a pesar de la situación actual de su país de origen, hay muy buenos profesionales trabajando por la ciencia. Aunque las condiciones sean adversas.

“Hay gente que está haciendo investigaciones de punta allá. Y, en menor cantidad, hay gente que colabora con profesores de estas

así también los profesores tengan

“Yo creo que es importante no perder las perspectivas. Ha habido situaciones similares en la historia y, sin embargo, todo eso pasó. Yo


12 de Julio de 2016

111111222 aaañññooosss dddeeelll nnnaaaccciiimmmiiieeennn

Uno de los grandes poetas del siglo XX

Fuente: Notitarde.com

Ricardo Eliécer Neftalí Reyes Basoaltode Pablo Neruda.

Escritor, diplomático y militante político de izquierda, Pablo Neruda nació en Parralde julio de 1904. Lo marcó la muerte cuando él tenía un mes de nacido. Su padre, José del Carmen Reyes Morales, lo llevó a la ciudad de Temuco, donde estudió e inició con éxito su carrera literaria al publperiódico “La Mañana”.

Su talento floreció pronto y en 1924, apenas con 20 años, publicó su poemario ‘Veinte poemas de amor y una canción desesperada’, un pequeño libro que lo catapultó a la fama y que contiene el famoso “Poema 20”, el más conocido del vate chileno. Otras de sus obras conocidas son: elementales” (1954) y sus memorias póstumas

Su carrera diplomática se inició en 1927 y gracias a ella conoce en Argentina al gran poeta españFederico García Lorca.

Neruda se casó tres veces. Sus esposas fueronUrrutia, quien lo acompañó hasta su muerte.

En octubre de 1971 ganó el Premio Nobel de Literaturaen Francia, regresa a Chile en 1972, donde fallece un año después, el 23 de seacontecimiento del cual se cumplen este año 43 años.


12 de Julio de 2016

nnntttooo dddeee PPPaaabbblllooo NNNeeerrruuudddaaa

Uno de los grandes poetas del siglo XX

Ricardo Eliécer Neftalí Reyes Basoalto, conocido mundialmente bajo el celebérrimo seudónimo

Escritor, diplomático y militante político de izquierda, Pablo Neruda nació en Parralo de 1904. Lo marcó la muerte de su madre por tuberculosis, Rosa Basoalto Opazo, apenas

cuando él tenía un mes de nacido. Su padre, José del Carmen Reyes Morales, lo llevó a la ciudad de Temuco, donde estudió e inició con éxito su carrera literaria al publicar sus primeros versos en el

Su talento floreció pronto y en 1924, apenas con 20 años, publicó su poemario ‘Veinte poemas de amor y una canción desesperada’, un pequeño libro que lo catapultó a la fama y que contiene el

, el más conocido del vate chileno. Otras de sus obras conocidas son: (1954) y sus memorias póstumas “Confieso que he vivido” (1974).

Su carrera diplomática se inició en 1927 y gracias a ella conoce en Argentina al gran poeta españ

Neruda se casó tres veces. Sus esposas fueron María Antonieta Hagenaar, Delia del Carrilquien lo acompañó hasta su muerte.

Premio Nobel de Literatura y, tras desempeñarse como embajadregresa a Chile en 1972, donde fallece un año después, el 23 de se

acontecimiento del cual se cumplen este año 43 años.

42

PABLO NERUDA (1904-1973)

, conocido mundialmente bajo el celebérrimo seudónimo

Escritor, diplomático y militante político de izquierda, Pablo Neruda nació en Parral, en Chile, el 12 por tuberculosis, Rosa Basoalto Opazo, apenas

cuando él tenía un mes de nacido. Su padre, José del Carmen Reyes Morales, lo llevó a la ciudad de icar sus primeros versos en el

Su talento floreció pronto y en 1924, apenas con 20 años, publicó su poemario ‘Veinte poemas de amor y una canción desesperada’, un pequeño libro que lo catapultó a la fama y que contiene el

, el más conocido del vate chileno. Otras de sus obras conocidas son: “Odas (1974).

Su carrera diplomática se inició en 1927 y gracias a ella conoce en Argentina al gran poeta español

María Antonieta Hagenaar, Delia del Carril y Matilde

y, tras desempeñarse como embajador regresa a Chile en 1972, donde fallece un año después, el 23 de septiembre de 1973,


PPEERRSSII WWAARRRREENN DDIIAACCOONNIISS

Nació el 31 de Enero de 1945 en la ciudad de Nueva York, EE. UU.

Los padres de Persi Diaconis eran músicos profesionales y, desde la edad de cinco años hasta la edad de catorce años, Persi estudió violín en la famosa Escuela Juilliard de Nueva York. Su hermano y su hermana también estudiaron música y se convirtieron en músicos profesionales. Persi también aprendió trucos de magia de la edad de cinco años y, al crecer, hizo de esto un hobby que llegó a dominar en su vida cotidiana. Asistió a la George Washington High School de Nueva York, donde ingresó en el Club de Magia, pero su fascinación por las matemáticas también se remonta a este tiempo [4]:

Conocí a Martin Gardner cuando tenía 13 años. Fue un personaje fascinante y empecé a leer lo que escribió.

Su interés por las matemáticas no estaba tan alejado de su interés por la magia, puesto que él usaba las matemáticas en muchos de sus trucos. De hecho conoció a Martin Gardner debido a que ambos compartían el mismo interés por la magia; Gardner utilizó más tarde algunas de las ideas que Diaconis le mostró en su columna "Juegos matemáticos" en Scientific American. Diaconis se había graduado en la George Washington High School a los quince años pero, cuando tenía catorce años, Dai Vernon, el famoso experto canadiense en prestidigitación que vivía en Nueva York, invitó a Diaconis a unirse a él en una de sus giras americanas realizando espectáculos de magia. Diaconis dejó el colegio sin decírselo a sus padres y se fue con Dai Vernon. Martin Gardner dijo [5]:

Era un profesional tiburón de las cartas, o un mecánico de las cartas, como se les llama comercialmente. Él trabajó en barcos que realizaban la travesía entre Nueva York y América del Sur. Por supuesto, nadie sospechaba de su habilidad con las cartas ya que era apenas un adolescente.

Aunque había dejado la escuela secundaria sin graduarse, Diaconis lo había realizado excepcionalmente bien mientras permaneció en la escuela y los profesores decidieron darle las calificaciones aprobatorias en los exámenes que no presentó [4]:

Yo había sido impulsado a través del sistema escolar de Nueva York rápidamente y antes de dejarla, presenté un montón de exámenes para obtener becas y esas cosas. Volví a Nueva York y seguía recibiendo el correo como que si me hubiera graduado. Cartas del ejército diciendo "Estimado licenciado, tal vez te interesaría...” Y yo había ganado algunas becas - una beca por méritos y otros detalles. Y pensé: "Vaya, esto es divertido. No sabía que al graduarse de la escuela secundaria, hay todas estas oportunidades pero que no puedo tomar”. Pero seguía recibiendo estas cartas, entonces fui a la escuela y me dije, "de alguna manera me gradúo"... y el Subdirector dijo: "Oh, Diaconis. Sí, los profesores se reunieron y decidieron no había ningún problema y decidieron darte el grado, así que ya tú te graduaste”.

Diaconis dejó Dai Vernon después de un par de años y trabajó haciendo su propio dinero tocando en clubes de Chicago. En esta época se hacía llamar Persi Warren [1]:

Al final me quedé en Nueva York, haciendo magia y promoviéndola como una disciplina académica, inventando trucos, dando clases y coleccionando viejos libros sobre magia, lo que aún hago. Era simplemente mi vida, lo hice con toda mi energía.

Uno de sus amigos, Charles Radin, era un físico matemático de la Universidad de Texas y habían ido juntos un día a una librería. Radin dijo que Introduction to Probability Theory and its Applications (Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones) de William Feller era el mejor libro que hay para aprender probabilidad [4]:

Pensé que podría hacer algo. ... Así que compré el libro escrito por Feller y pensé, "Bueno, acabo de leer este libro". Y no pude entenderlo. No sabía cálculo, o al menos no lo suficiente.

Para aprender más matemáticas, Diaconis comenzó a estudiar en el City College de Nueva York. Inició tomando clases nocturnas en 1968 y pagó su carrera ganando dinero con sus espectáculos de magia. Pronto decidió graduarse y obtuvo una licenciatura de matemáticas por el City College de Nueva York en enero de 1971. Él quería continuar en la escuela para graduados pero eran pocas las instituciones que hacían selecciones a mediados de año. Harvard fue uno de estos lugares y Diaconis quería ir allí pero dudó si el Departamento de Matemáticas aceptaría a un estudiante con un título universitario obtenido en el City College de Nueva York. Martin Gardner, sin embargo, lo ayudó en esta instancia [5]:

Persi estaba muy impaciente por entrar a Harvard. El jefe del Departamento de Estadísticas de Harvard era Frederick Mosteller, quien es un aficionado a la magia. Era muy activo en la magia, y su imagen ha estado en la portada de revistas sobre magia. Yo conocía a Mosteller poco, así que le escribí una carta y dijo "Este joven estudiante es uno de los mejores mecánicos de la tarjeta en el país. Tiene un fantástico segundo trato y trato de fondo”. (Estos son términos de ofertas falsas en juegos de cartas. Cuando se trata de una cubierta, hay una forma de tratar la segunda carta en lugar de la carta de arriba, y hay una forma de tratar la carta de abajo en lugar de la primera carta.) Tengo una carta de la respuesta de Mosteller, quien dijo: "Si él está dispuesto a cosas importantes en estadística, yo le consigo su entrada en Harvard". Así que le pregunté a Persi si estaba dispuesto a especializarse en estadísticas, y él dijo: "¡Por supuesto!" Así entró, y consiguió su doctorado en estadística...

HOMOTECIA Nº 4 – Año 14 Viernes, 1° de Abril de 2016 44

De hecho, cuando Diaconis fue entrevistado por Mosteller antes de comenzar sus estudios de posgrado, Mosteller sugirió que le gustaría pensar acerca de la distribución de los divisores primos de un entero escogido al azar. Diaconis había pensado en el problema y luego había discutido con Hironari Onishi quien le había enseñado matemáticas en el City College. Él continuó trabajando en ello, discutiendo ideas con Mosteller, durante su primer año como estudiante graduado en Harvard y eventualmente se publicaron los resultados en la Journal of

Number Theory como el trabajo en conjunto de tres autores, titulado Second-order terms for the variances and covariances of the number

of prime factors-including the square free case (1977). Este no fue el primer trabajo publicado de Diaconis ya que su trabajo, Buffon’s

problem with a long needle, había sido publicado en la Journal of Applied Probability el año anterior. Durante su primer año en Harvard, el año académico 1971-1972, Diaconis estudió una maestría y luego continuó estudiando en Harvard para obtener un doctorado, lo cual hizo en 1974 con su tesis Weak and Strong Averages in Probability and the Theory of Numbers.

Después de conseguir su doctorado, Diaconis fue nombrado Profesor Asistente de Estadística en la Universidad de Stanford. Luego fue ascendido a Profesor Asociado de Estadística en Stanford en 1979 y, dos años más tarde, se convirtió en Profesor Titular. Mientras permanecía en Stanford, mantuvo sus contactos con Harvard, siendo Profesor Visitante en el Departamento de Estadísticas de Harvard en 1981-1982 y en el Departamento de Matemáticas de Harvard en 1985-1986. En 1987 abandonó Stanford cuando lo designaron Profesor George Vasmer Leverett de Matemáticas en Harvard. Después de pasar 1996-1998 como Profesor David Duncan de la Universidad de Cornell, Diaconis regresó a Stanford donde fue nombrado Profesor Mary V. Sunseri en el Departamento de Estadística y en el Departamento de Matemáticas. Además, Diaconis ha actuado como consultor de Scientific American (1972-1980), en los Jet Propulsion Laboratories (1974), el los Bell Telephone Laboratories, de Murray Hill, en New Jersey (1974-), en el Stanford Linear Accelerator (1977-) y en Teledyne, Cryptography Division (1993-1999).

In 1988 publicó el importante libro Group representations in probability and statistics. Philippe Bougerol escribe en un informe:

El propósito de este pequeño libro es mostrar cómo puede utilizarse la teoría matemática de las representaciones de grupo en la resolución de problemas muy concretos de probabilidad y estadística. Principalmente se refiere a grupos finitos no conmutativos. ... Este libro es notable. Por un lado es un libro de investigación (la mayoría del material aparece dentro de un libro por primera vez), usando herramientas de uno de los principales campos activos en "matemática pura". Por otro lado, es muy claro y autónomo. Tanto el matemático puro y el estadístico aplicado encuentrarán placer y emoción al leerlo. El texto está lleno de ejemplos atractivos. Contiene muchas preguntas abiertas y estoy seguro de que será el punto de partida para nuevas investigaciones sobre el tema.

Diaconis fue Conferencista Earle Raymond Hedrick de la Asociación Matemática de América en 1989. En 1990 fue orador invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos en Kyoto, dando la Conferencia Applications of group representations to statistical problems. En el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Berlín en 1998 fue Ponente Plenario dirigiendo la ponencia From shuffling cards to

walking around the building: an introduction to modern Markov chain theory. En su Resumen, él dice:

... encuestas recientes sobre avances en el tema clásico de las Cadenas de Markov. Tasas delineadas de convergencia están disponibles para muchas cadenas. Los ejemplos incluyen el barajeo de cartas, una variedad de procedimientos de simulación utilizados en física y trabajos estadísticos, y pasos aleatorios en las cámaras de un edificio. Las técnicas utilizadas son una combinación de herramientas de la geometría, PDE, teoría de grupos y probabilidad.

Durante el tiempo transcurrido entre estos dos congresos, fue orador principal en el Coloquio de Saint Andrews de la Sociedad matemática de Edimburgo en 1996 y Conferencista Gibbs de la Sociedad Matemática Americana en 1997. Tres años más tarde, en el 2000, fue Conferencista John von Neumann de la sociedad Industrial y Matemáticas Aplicadas. En el 2001 fue conferencista principal en Grupos de Saint Andrews en Oxford, dando una serie de conferencias sobre Random walks on groups: characters and geometry. Comienza la introducción a la versión escrita de estas conferencias como sigue:

Estas notas se refieren a dos historias. La primera es un Resumen de un enfoque general para estudiar el paseo aleatorio de grupos finitos. Esta involucra el carácter de la teoría de grupo y la geometría de grupo en varios conjuntos generados. La segunda es la vida y obra de un solo ejemplo: transposiciones al azar en el grupo simétrico. Este fue el primer ejemplo donde se delinearon las estimaciones obtenidas.

Fue Conferencista Patten en el campus Bloomigton de la Universidad de Indiana en marzo de 2004 dando las conferencias On Coincidences and The Search for Randomness. En este momento la Universidad de Indiana dio el siguiente Resumen de las contribuciones en investigación de Diaconis:

Entre los aspectos más destacados de su investigación es pionero en el trabajo sobre la velocidad de convergencia de las Cadenas de Markov en equilibrio, un campo creciente con numerosas aplicaciones a la estadística, física e informática. Su dramático y famoso "fenómeno de corte" no ha sido nada menos que increíble. Junto con David Freedman de Berkeley, Diaconis ha hecho contribuciones fundamentales y dramáticas a la estadística bayesiana. Pero el impacto de sus contribuciones se extiende más allá de la probabilidad y la estadística. Como un mago y un estadístico, Diaconis ha desmentido con autoridad inusual muchas investigaciones sobre la percepción extra sensorial y paranormal, y ha expuesto como falsas, las afirmaciones de varios videntes, incluido Uri Geller.1

En abril de 2004, fue Conferencista de la Plenaria del Coloquio Matemático Británico en la Universidad de Warwick donde habló sobre La

búsqueda de la aleatoriedad.

1 Uri Geller es un ilusionista, militar, escritor y modelo israelí, conocido por declarar tener poderes psíquicos.

HOMOTECIA Nº 4 – Año 14 Viernes, 1° de Abril de 2016 45

Las contribuciones de Diaconis han sido reconocidas con prestigiosos premios. Recibió el Premio Rollo Davidson de la Universidad de Cambridge (1981) y el Premio Van Wijngaarden (2006). Obtuvo diplomas honorarios de la Universidad de Chicago (2003), la Université Paul Sabatier, Toulouse (2003), la Universidad de Uppsala (2005), del Queen Mary College de la Universidad de Londres (2006) y de la Universidad de Economía y Negocios de Atenas (2009). Fue elegido miembro del Instituto de Estadística Matemática en 1981, fue su Conferencista Wald en 1987 y Presidente del Instituto en 1997-1998. Fue elegido miembro de la Academia Americana de Artes y Ciencias (1989), miembro de la Asociación Americana de Estadística (1994), miembro de la Academia Nacional de Ciencias (1995) y miembro de la Sociedad Filosófica Americana (2005).

En el 2012, Diaconis recibió el Premio Levi L. Conant de la Sociedad Matemática Americana por su trabajo The Markov chain Monte Carlo

revolution, publicado en el Boletín de la Sociedad Matemática Americana en 2009. El premio fue presentado en la 118a reunión anual de la

Sociedad en Boston, en enero de 2012. La notificación del premio comienza así:

Este maravilloso artículo es un resumen animado y atractivo de modernos métodos de probabilidad y estadística y sus aplicaciones. Abre con un ejemplo fascinante de la vida real: un psicólogo de prisiones aparece en la Universidad de Stanford con mensajes codificados escritos por presos, y Marc Coram utiliza el algoritmo Metrópolis para descifrarlos. A partir de ahí, el artículo se pone aún más ¡emocionante! Después de una descripción muy accesible de las Cadenas de Markov desde sus inicios, Diaconis coloridamente muestra muchas de las aplicaciones y localizaciones de estas ideas. En el camino, señala algunas matemáticas muy interesantes y algunas fascinantes preguntas abiertas, especialmente sobre el tiempo transcurrido en situaciones concretas del algoritmo Metrópolis, que es un método específico de Monte Carlo para la construcción de Cadenas de Markov. El artículo destaca también el uso de métodos espectrales para deducir las estimaciones para la longitud de la cadena necesaria para alcanzar un mezclado.

Diaconis contestó:

Como asiduo lector de artículos expositivos, me emociona que los míos les parezcan útiles. El Boletín hace un gran servicio publicándolos. Si me dan la oportunidad, quiero señalar a otros dos artículos recientemente publicados en el Boletín, de los cuales estoy orgulloso: “Patterns in eigenvalues” (Patrones de valores propios) (mi conferencia Gibbs de 2002) y “On adding a list of numbers (and other one-dependent determinantal processes)” [Sobre adición de una lista de números (y otros procesos uni-dependientes determinados)] (con A. Borodin y J. Fulman, en 2009). Me comprometo a seguir intentándolo. Gracias.

Diaconis recibió un honor adicional en el 2013 cuando el viernes 13 de septiembre, en el Salón de la Juventud de Saint Andrews, recibió un título honorífico durante una ceremonia de graduación especial que formó parte de las celebraciones del 600 aniversario de la Universidad de Saint Andrews. Fue uno de los diecisiete "expertos internacionales y pensadores", "algunas de las mejores mentes de nuestra generación", que fueron honrados de este modo.

Diaconis está casado con Susan Holmes, una profesora de estadística en Stanford; tienen dos hijas, Emma y Camille. Se termina esta biografía mirando su último notable libro Magical Mathematics: The Mathematical Ideas that Animate Great Magic Tricks en el que es co-autor con Ron Graham. El editor, Princeton University Press, escribe:

“Magical Mathematics” revela los secretos de la increíble y divertida realización de trucos - y las profundas ideas matemáticas detrás de ellos - que sorprenderían incluso el mejor de los magos. Persi Diaconis y Ron Graham ofrecen sencillas instrucciones paso a paso para cada truco, explicando cómo configurar el efecto y ofreciendo consejos sobre qué decir y hacer mientras los realizan. Cada truco introduce una nueva idea matemática, y variando los trucos a su vez lleva a los lectores al umbral mismo de los conocimientos matemáticos de hoy. Por ejemplo, se encuentra el Principio de Gilbreath - un efecto fantástico donde las cartas permanecen controladas a pesar de ser barajadas - para compartir una conexión íntima con el Conjunto de Mandelbrot. Otros trucos vinculan los secretos matemáticos de combinatoria, teoría de grafos, teoría de números, topología, la hipótesis de Riemann y aún el mismísimo Último Teorema de Fermat.

Los revisores de este trabajo lo han colmado de alabanzas. Citando el comentario de Barry Mazur:

Este es un libro maravilloso, único y atractivo. Diaconis y Graham lograron transmitir lo asombroso y las maravillas de las matemáticas y de los trucos de magia, especialmente aquellos que dependen fundamentalmente de ideas matemáticas. Se extienden sobre muchos temas deliciosos, que nos da una visión personal encantadora de la historia y la práctica de la magia de las matemáticas y de la fascinante conexión entre las dos culturas. “Magical Mathematics” tendrá en nosotros sus completamente devotos lectores.

Referencias.-

Libros: 1. D J Albers and G L Alexanderson, Mathematical people: profiles and interviews (A K Peters, Ltd., 2008). 2. M Cook, Mathematicians: An outer view of an inner world (Princeton University Press, Princeton, 2009). 3. D Salsburg, The Lady Tasting Tea: How Statistics Revolutionized Science in the Twentieth Century (Macmillan, 2002). Artículos:

4. M H DeGroot, A Conversation with Persi Diaconis, Statistical Science 1 (3) (1986), 319-334. 5. A Jackson, Interview with Martin Gardner, Notices Amer. Math. Soc. 52 (6) (2005), 602-611. 6. E Landhuis, Lifelong debunker takes on arbiter of neutral choices. Magician-turned-mathematician uncovers bias in a flip of a coin, Stanford News

(7 June 2004). 7. Y K Leong, Persi Diaconis : The Lure of Magic and Mathematics. An interview of Persi Diaconis, Newsletter of Institute for Mathematical Sciences,

NUS (2) (2003), 12-15. 8. J Rehmeyer, Shuffling the cards: Math does the trick. When to stop shuffling depends on the game, ScienceNews (Friday, 7 November 2008).

Versión en español por R. Ascanio H. del artículo en inglés de J. J. O’Connor y E. F. Robertson sobre “Persi Diaconis” (Julio2011). Fuente: MacTutor History of Mathematics [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Diaconis.html].

homotecia nº 7-14 julio 2016 -...

Documents