homotecia nº 9-10 septiembre 2012servicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2012/9-2012.pdf · 2016-08-23 ·...

HOMOTECIA Nº 9 – Año 10 Lunes, 3 de Septiembre de 2012 1

Michael Phelps, Oscar Pistorius y los Juegos Olímpicos Londres 2012. Culminada la gran fiesta mundial de las olimpiadas, campo de batalla actual de los héroes nacionales e internacionales de nuestro tiempo, Venezuela la recordará por la gesta épica de Rubén Limardo Gascón de lograr la medalla de oro en su especialidad de esgrima, cuarenta y cuatro años después que Francisco “Morochito” Rodríguez obtuviera el oro en boxeo (1968, México) y veinte años después que Arlindo De Gouveia lo hiciera igual en taekwondo (1992, Barcelona, España) en calidad de disciplina deportiva invitada. El deporte venezolano ha ganado además, varias medallas de plata y bronce en las citas olímpicas a las que han asistido sus representantes, así como el reconocimiento de destacadas actuaciones mediante diplomas de mérito. Posiblemente el país deberá esperar por mucho tiempo para alcanzar los niveles de potencia que tienen las naciones que logran obtener numerosas preseas en este tipo de competencias. Aún así, hemos sido testigos de gestas deportivas gloriosas como la de Maickel Melamed, que por problemas al nacer, ha vivido más de treinta años con una discapacidad que le ha impedido ser una persona normal; aún así, disputó y culminó el reciente maratón de 42 kilómetros de la Ciudad de Nueva York, proeza que impactó al mundo, sobre todo por su predica personal que se puede resumir en las siguientes expresiones: “No me digas que no; dime como se hace”, "Nada es tan grande como para no intentarlo, y si lo sueñas, haz que pase". Y con base en la orientación y sentido que le queremos dar a este editorial, también es de destacar y admirar la gesta de Fauja Singh, corredor nacido en la India pero nacionalizado británico, quien participó en los 42 kilómetros del maratón de Toronto con 100 años de edad cumplidos, y meritorio más aún, si se considera que comenzó a entrenarse para correr después de cumplidos los 63 años. Recordando a Julio Verne, el gran escritor francés de ciencia ficción, quien en una oportunidad manifestó “sueña hoy para que en el futuro se hagan realidad tus sueños”, y al gran filósofo griego Tales de Mileto, fundador de la escuela Jónica, considerado uno de los siete sabios de la antigua Grecia y hoy en día reconocido como el Padre de la Geometría, quien señaló que “lo más constante en la vida es la esperanza, porque permanece en el hombre después que lo ha perdido todo”; podríamos afirmar que estas son las pautas que rigen este tipo de actitudes excelsas que sobrepasan las que podrían denominarse limitaciones humanas. ¿Por qué citar a Michael Phelps? Evidentemente no es un ser humano con limitaciones físicas. Todo lo contrario. Pero eso no es obstáculo para dejar admirar lo glorioso de sus logros. Phelps ha logrado él solo ganar más medallas olímpicas (22 en total, incluida la hazaña de 18 de oro) que en conjunto hayan podido obtener varias de las naciones participantes en su historia olímpica. No es un logro de un día para otro, es producto de un trabajo de años, con sacrificios, de privarse de anhelos pero que de haberlos disfrutado lo hubieran alejado de las metas propuestas. Los logros de Phelps están por encima del país del cual proviene, porque aunque pueda considerarse que es una nación que invierte grandes recursos económicos para el desarrollo de las potencialidades deportivas de sus ciudadanos, la gran diferencia siempre estará en estos seres, en su calidad humana, en su compromiso personal durante el tiempo de su permanencia en la actividad. Pensamos que el credo de Phelps debería ser: “si la naturaleza me proporcionó las posibilidades, ¿por qué no lograrlo? Nada ni nadie me lo impiden”. Oscar Pistorius. El ser humano que es nombrado así, se le ha estado mencionando y considerando significativamente desde hace varios años y es en 2012 cuando toda una serie de acontecimientos que se sucedieron en torno a su persona, llegan a converger. Participó en estas Olimpiadas 2012, representando a su país Suráfrica, donde lo vimos correr la prueba de 400 metros planos. Nacido con un defecto congénito que al crecer le iba impedir caminar, sus padres tomaron la penosa decisión de que a los once meses de edad, se le amputaran ambas piernas por debajo de la rodilla. Pero sus padres le incentivaron a no sentirse minusválido con respecto a los demás; pudo caminar desde muy joven al utilizar un dispositivo diseñado para ello, llamado Cheetah´s, esas cuchillas flexibles con las que lo vimos correr. Pistorius asume su “normalidad”, por ejemplo, no utilizando las zonas que en los estacionamientos se disponen para los discapacitados y hasta se atrevió a jugar rugby, el deporte nacional de su patria. Es precisamente una lesión en la rodilla lo que lo aleja del rugby y lo hace interesarse por el atletismo. Destaca como atleta paralímpico, obteniendo numerosas medallas. Pero ese sentimiento de no aceptar lo que supuestamente es una desventaja, lo lleva desear su participación en las olimpiadas para “seres normales”. Solicitó hacerlo en las Olimpiadas de Beijing 2008, pero la Federación Internacional de Atletismo, basada en un informe médico que argüía tanto la ventaja que producía su dispositivo artificial para caminar y correr, así como el disponer de una anatomía que permitía abastecer de oxígeno una menor superficie corporal con cada latido del corazón, en detrimento de sus competidores “normales”, le negó su participación. Esto no detuvo a Pistorius quien apeló ante el Tribunal de Arbitraje del Deporte la decisión de la Federación. Este tribunal falló a su favor, fundamentado en que sus condiciones le creaban una evidente desventaja al momento de iniciar una prueba. Tuvo que esperar hasta este 2012 para participar, porque aunque la decisión fue tomada antes de los juegos de Beijing, no le alcanzó para prepararse en el logro de la marca mínima. No podemos negar la emoción que sentimos al verlo debutar en estas olimpiadas 2012. Es un regalo para agradecer eternamente haberlo podido presenciar. Es ese exhorto a vivir que cada ser humano debe siempre estar presto a asumir. Nos imaginamos que es la arenga personal que siempre ha estado en las mentes de seres como Pistorius, Melamed, Singh y en las de tantos esos otros para quienes no solamente es importante caer y levantarse sino también valientemente continuar viviendo.

HENRY BRIGGS 1561 – 1631

Matemático inglés. A el se debe el uso de los logaritmos decimales.

VViiddaa..--

Nació en Warley Wood, cerca de Halifax, en Yorkshire, Inglaterra. Después de estudiar latín y griego en una escuela primaria local, entró en St. John's College, Cambridge, en 1577, y se graduó en 1581. En 1588, fue elegido miembro de St. John's. En 1592 fue nombrado lector de la conferencia de física fundada por Thomas Linacre; también daría algunas conferencias sobre matemática. Durante este período, se interesó en la navegación y la astronomía, en colaboración con Edward Wright. En 1596, se convirtió en catedrático de geometría en el recientemente fundado Gresham College, Londres; ahí daría clases durante casi 23 años, y haría de Gresham College un centro de matemáticas inglesas, desde donde apoyaría notablemente las nuevas ideas de Johannes Kepler. En este momento, Briggs obtuvo una copia de Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, que disparó su imaginación - en sus conferencias en el Gresham College propone la modificación de la escala de logaritmos de la forma hiperbólica 1/e de John Neper (Napier), a otra en la que se toma como unidad el logaritmo de la proporción de diez a uno, y poco después le escribió al inventor sobre el tema. Briggs se activa en muchos ámbitos, y su asesoramiento en astronomía, geodesia, navegación, y otras actividades como la minería, era frecuentemente solicitado. Briggs en 1619 invirtió en la London Company. Tuvo dos hijos: Henry, que más tarde emigró a Virginia, y Thomas, que permaneció en Inglaterra. El cráter lunar Briggs lleva su nombre en su honor. Murió en Oxford el 26 de enero de 1630. Fue enterrado en la capilla del Merton College, Oxford.

MMaatteemmááttiiccaass..--

En 1616 Briggs visitó a Neper (Napier) en Edimburgo con el fin de debatir la propuesta de cambio de los logaritmos de Neper. Al año siguiente repitió su visita para un propósito similar. Durante estas conferencias se acordó la modificación propuesta por Briggs, y en su regreso de su segunda visita a Edimburgo, en 1617, hizo su primera publicación sobre sus logaritmos. En 1619 fue nombrado "Savilian professor" de geometría en Oxford, y renunció a su cátedra de Gresham College, en julio de 1620. Poco después de su asentamiento en Oxford fue hecho maestro de las artes.

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA) Reflexiones

"Creer en un Dios significa comprender que la vida tiene un sentido”. Ludwig Wittgenstein


(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

En 1622 publicó un pequeño artículo en el Northwest Passage to the South Seas, through the Continent of Virginia and Hudson's Bay (Pasaje del Noroeste a los Mares del Sur, a través del continente de Virginia y de la Bahía de Hudson), y en 1624 su Arithmetica Logarithmica, un trabajo que contenía los logaritmos de treinta mil números naturales con catorce decimales (1 a 20000 y 90000 a 100000). También completó una tabla logarítmica de senos y tangentes a la centésima parte de cada grado con catorce decimales, con una tabla de senos con quince decimales, y otra de tangentes y secantes con diez decimales, que fueron impresos en Gouda en 1631 y publicados en 1633 bajo el título de Trigonometria Britannica; este trabajo fue probablemente una continuación de su Logarithmorum Chilias Prima de 1617 ("Introducción a los logaritmos"), donde dio una breve reseña de logaritmos y una larga tabla logarítmica de los primeros 1.000 enteros calculados con 14 decimales. Briggs descubrió, de una forma un tanto oculta y sin demostración, el teorema binomial.

Obras.-

� A Table to find the Height of the Pole, the Magnetical Declination being given (London, 1602, 4to).

� "Tables for the Improvement of Navigation", impresas en la segunda edición del tratado de Edward Wright

titulado Certain Errors in Navigation detected and corrected (London, 1610, 4to).

� A Description of an Instrumental Table to find the part proportional, devised by Mr. Edward Wright (London,

1616 and 1618, 12rno).

� Logarithmorum Chilias prima (London, 1617, 8vo).

� Lucubrationes et Annotationes in opera posthuma J. Neperi (Edinburgh, 1619, 4to).

� Euclidis Elementorum VI. libri priores (London, 1620. folio).

� A Treatise on the North-West Passage to the South Sea (London, 1622, 4to), reimpreso en Pilgrims de Samuel

Purchas, vol. iii. p. 852.

� Arithmetica Logarithmica (London, 1624, folio).

� Trigonometria Britannica (Goudae, 1663, folio).

� Dos Letters to Archbishop Henry Usher.

� Mathematica ab Antiquis minus cognita.


Aportes al conocimiento

RREESSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEE IINNTTEEGGRRAALLEESS IINNTTEERREESSAANNTTEESS ((22))..--

Muchas veces hemos propuesto integrales que pueden ser resueltas por las técnicas comunes de resolución. Pero a veces cuando las resolvemos encontramos que se pueden utilizar para ello varias técnicas. La que vamos a presentar a continuación es una de ellas.

Comprobar si:

( ) ( ) ( ) .249

27

549

8

2

5

343

30

103

7822

2

Cxxx

xLndx

xx

xx ++

−−

++−=

−−

+−∫

Comprobando:

Se puede encontrar una solución de la misma utilizando la técnica de integración por sustituciones trigonométricas. Se procede a arreglar el integrando completando cuadrados en el numerador y en el denominador.

( )( )

4

49103

9478

2

232

22

−−=−−

−−=+−

xxx

xxx

Luego, la integral queda:

( )( )

( )( )

( )(*)

4

49

94

4

49

94

103

784

2

23

2

22

23

2

22

2

=

−−

−−=

−−

−−=−−+−= ∫∫∫

x

x

x

xdx

xx

xxI

Completar cuadrados en el numerador se hace con el fin de facilitar el procedimiento. Transformar en radical al denominador no es necesario si se indica que se va a utilizar la integración por sustitución trigonométrica. Incluirlo aquí sólo tiene un fin didáctico. En la resolución de la integral utilizaremos la expresión previa a ésta en la igualdad.

Resolviendo la integral por sustituciones trigonométricas.

Estudio de la forma:

( ) 2222

23

4

49aubx −≡−−

Luego:

( ) 232

232

2

2

112

7

4

49

−=⇒−=

=⇒=

=⇒=

xuxu

bb

aa

Cambio:

dzzTgzSecdxzSecxzSecxzSecb

au ⋅=⇒+=⇒=−⇒⋅= 2

723

27

27

23

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)



Volviendo a (*):

( )( )[ ]

( )( )[ ]

( )( )[ ]

( )[ ] ( )

( )[ ]

( ) ( )

( )

)()()(

(**)7

112

7

52

7

2

7

112

7

5272

7

72115277

7

2

36257049

7

23657

27

2

2

3657

7

29

2

57

7

2

1

99

99494

321

333

2

2

2

3

3

333

2

33

3

3

2

3

22

3

3

2

33

2

23

3

3

2

2

3

3

4

2

2

3

3

22

2

25

27

4

27

27

2

4492

449

2

25

27

27

27

2

4492

27

2

25

27

27

2

4492

27

2

23

27

2

4492

23

2

III

dzzTg

zSecdz

zTg

zSecdz

zTg

zSec

dzzTg

zSecdz

zTg

zSecdz

zTg

zSecdzzSec

zTg

zSeczSec

dzzSeczTg

zSeczSecdzzSec

zTg

zSec

dzzSeczTg

zSec

dzzTgzSeczTg

zSec

dzzTgzSeczSec

zSecdzzTgzSec

zSec

zSec

dzzTgzSeczSec

zSecdzzTgzSec

zSec

zSec

x

xI

=⋅⋅−⋅⋅−⋅=

=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅−⋅⋅−

⋅=

=⋅−+−

⋅=⋅−−

⋅⋅

=

=⋅

−−

⋅=⋅⋅−

−

⋅=

=⋅⋅−

−−=⋅⋅

−

−−=

=⋅⋅−

−−=⋅⋅

−

−−+=

−−

−−=

∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫∫

Resolviendo por separado las integrales resultantes:

[ ] 1

13

3

3

3

3

3

3

1

2

1

2

1

2

111

CzCotgzCosecLnzCotgzCosec

CxCotgxCosecLnxCotgxCosecdzzCosecdzzSen

dz

zCos

zSenzCosdz

zTg

zSecI

+−+⋅−⋅=

=+−+⋅−===== ∫∫∫∫

22

22222

2323

3

2

2 2

1

2

1

2

1

2CzCotgC

zTgC

uC

uduudzzSeczTgdz

zTg

zSecI +−=+

⋅−=+−=+−==⋅==

−−−

∫∫∫

Cambio de variable utilizado:

dzzSecduzTgu 2=⇒=


HOMOTECIA Nº 9 – Año 10 Lunes, 3 de Septiembre de 2012


( ) 33

3

21

33

2

1

2

12

1

2

1

3

3

zCosecLnzCotgzCosec

zCosecLnzCotgzCosec

dzzCosecdzzCoseczCosec

dzzSen

zCosdzdz

zTg

zSecI

zCoszSen

zCos

−−⋅−=

−+⋅−=

=−=

====

∫∫

∫∫∫

Volviendo a (**) para reunir los tres resultados:

[ ]

[ ]

343

60

343

387

1

7

17

2

7

1

2

1

7

2

7

112

7

52

7

2(**)

33

2

2

2

3

3

−⋅+⋅⋅−=

+−⋅+⋅⋅−=

⋅+−+⋅−⋅=

−−+⋅−⋅⋅=

⋅−⋅⋅−⋅== ∫∫

CotgzCosecLnzCotgzCosec

zCotgzCosecLnzCotgzCosec



dzzTg

zSecdz

zTg

zSecI

?? == zCotgzCosec

Devolviendo el cambio.

Por el cambio inicial:

Secxx

zSec

zSecx

x

⇒−==

−=

=−

−

7

32

27

232

27

23

27

23

En el triángulo rectángulo:

Por Teorema de Pitágoras:

22

222

⇒−=

+=

npm

nmp

Año 10 Lunes, 3 de Septiembre de 2012

( )

[2

2

22

2

1

sec1

zCosecLnzCotgzCosecCzCotg

CzCotgzCosecLnzCotg

dzzCosecdz

dzzCozCosecdzzCoseczCotg

+⋅⋅−=+

=+−−

=−

⋅−=⋅=

∫

∫∫

Volviendo a (**) para reunir los tres resultados:

[

[ ]

*)*(*49

107

11

7

11

7

527

11

7

5

secsec2

1

7

112

2

1

7

52

11

2

33

2

2

3

2

2

3

2

2

2

3

=++

−⋅+⋅⋅+⋅⋅+

=+−+⋅⋅+⋅⋅ +⋅⋅−⋅⋅−

−⋅⋅−

=⋅ ∫

CzCotgzCotg

zCotgzCosecLnzCotgzCoseczCotg

CzCotgzCosecLnzCotgzCoseczCotg

CoLnzCotgzCozCotg

dzzTg

zSec

n

pxzSec =−=

7

32

Por Teorema de Pitágoras:

( ) 4932 2 −−=⇒ xm

( )

( ) 4932

7

4932

32

2

2

−−=

−−

−=

xzCotg

x

xzCosec

5

] 3CzCotg

dz

+−

=

]sec

=+

=

=+−

Cz

CzCotgz




Volviendo a (***):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−⋅+⋅

+−⋅+

−⋅+

−⋅+⋅+−

=

=+−⋅+⋅

+−⋅+⋅

−⋅+−⋅+

−⋅−=

=+−−⋅

+−−⋅

−⋅+−−⋅

−⋅−=

=+−−

+−−

−⋅+−−

−⋅−=

=+−+−

+−+−

−⋅+−+−

−⋅−=

=+−−

+−−

−⋅+−−

−⋅−=

=+−−⋅

⋅+−−

−−⋅+−−

−⋅⋅−=

=+

−−

⋅+−−

−−−

−⋅+−−

⋅−−

−⋅−=

=++−⋅+⋅⋅−==

Cxxxx

xLn

xx

x

Cxxxx

xLn

xx

x

Cxxxx

xLn

xx

x

Cxxxx

xLn

xx

x

Cxxxx

xLn

xx

x

Cxx

xLn

x

x

Cxx

xLn

x

x

Cxxx

xLn

xx

x

CzCotgzCotgzCosecLnzCotgzCosecI

522

5

52

5

343

60

5298

5738

522

5

522

102

343

60

52

32

98

19

1034

10

1034

102

343

60

1034

32

49

38

40124

10

40124

102

343

60

40124

32

49

38

499124

10

499124

102

343

60

499124

32

49

38

4932

10

4932

102

343

60

4932

32

49

38

493249

4910

4932

732

343

60

4932

327

343

38

4932

7

49

10

4932

7

4932

32

343

60

4932

7

4932

32

343

38

49

10

343

60

343

38*)*(*

222

222

222

222

222

22

2

2222

2

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) =+

−⋅+⋅+−+

+−⋅=

=+−⋅+⋅

+−++−⋅=

=+−⋅+⋅

+−+

+−⋅=

=+−⋅+⋅

+−++−⋅=

=+−⋅+⋅

+−+−⋅+⋅

+−⋅+

−⋅=

Cxx

x

x

xLn

Cxx

x

x

xLn

Cxx

x

x

xLn

Cxx

x

x

xLn

Cxx

x

xxxx

xLn

5249

15119

2

5

343

30

5249

15119

2

5

2

1

343

60

5298

30238

2

5

343

60

5298

5738245

2

5

343

60

5298

5738

522

5

52

5

343

60

21

2

Ahora lo que falta es comprobar que el segundo sumando se corresponde con los dos últimos sumandos de la respuesta propuesta:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )5249

15119

5249

15119

2549

13527168

5249

15119

2549

52728

5249

15119

249

27

549

8

5249

15119

−⋅+⋅+−

=−⋅+⋅

+−+−+−+=

−⋅+⋅+−

+−−−+=

−⋅+⋅+−

+−

−=

−⋅+⋅+−

xx

x

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

xx

xx

x

xxxx

x

Se comprueba la igualdad.




También se puede comprobar esta igualdad utilizando la técnica de los Coeficientes indeterminados. Veamos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )BAxBAx

BBxAAxx

xx

xBxA

xx

x

x

B

x

A

xx

x

5215119

5215119

2549

5)2(

5249

15119

2495495249

15119

−++=+−

−++=+−

+−−++=

−⋅+⋅+−

++

−=

−⋅+⋅+−

Comparando coeficientes:

15152:..)

19:)

=−

−=+

BAitii

BAxi

Formando sistema con i) e ii):

=⇒=

=−−=+

⇒

=−−=+

8567

15152

9555

15152

19

AA

BA

BA

BA

BA

Sustituyendo en i) o en ii): 27−=B

Con estos valores de los coeficientes, se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )249

27

549

8

5249

15119

+−

−=

−⋅+⋅+−

xxxx

x

Comprobándose también, de esta manera, la igualdad.

Luego podemos afirmar que la respuesta propuesta para la integral es correcta:

( ) ( ) ( ) Cxxx

xLndx

xx

xxI +

+−

−+

+−=

−−

+−= ∫ 249

27

549

8

2

5

343

30

103

7822

2




Otra alternativa de solución es considerar a la función del integrando como función racional.

Se arregla el integrando para aplicar el Método de Hermite. Se factoriza el denominador:

( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ +=

⇒

−++−=

−−

+−= dxxd

xg

xD

xfdx

xQ

xPHermitedeFórmuladx

xx

xxdx

xx

xxI

)(

)(

)(

)(

)(

)(:

52

78

103

7822

2

22

2

Luego:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( )52)(),()(

32522252522)(

52)(

22

22

+⋅+=′=⇒

−⋅−⋅+=+⋅−⋅+−⋅+⋅=′

−+=

xxxQxQMCDxD

xxxxxxxxQ

xxxQ

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )52

52

52)(

22

−⋅+=−⋅+−+= xx

xx

xxxd

Entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −⋅+++

−⋅++=

−⋅++−=

525252

7822

2

xx

DCx

xx

BAxdx

xx

xxI

Derivamos ambos miembros de la igualdad:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )DBAxDCBxDCAcxxxx

xxDCxxBAxxxAxx

xx

DCx

xx

xBAx

xx

A

xx

xx

xx

DCx

xx

xBAxxxA

xx

xx

1031031023780

52325278

5252

32

5252

78

5252

3252

52

78

2323

2

2222

2

2222

2

−+−+−−−++−−+=+−+⋅−⋅+⋅++−⋅+−−⋅+⋅=+−

−⋅+++

−⋅+−⋅+−

−⋅+=

−⋅++−

−⋅+++

−⋅+−⋅+−−⋅+⋅=

−⋅++−

Comparando Coeficientes:

71310:..)(

83283283102:)(

11:)(

0:)(2

3

==−+−=+⇒−=−−⇒−=−−−

−=⇒=+−=

DBAitiv

DBDBDCBxiii

DADAxii

Cxi

Sustituyendo (ii) en (iv):

( )

)(3203

71031010

7103110

vDB

DBD

DBD

−=−=−++−

=−+−⋅−




Formando y resolviendo sistema de ecuaciones con (iii) y (v):

)(49

303049

6406

2496

3203

832

viDD

DB

DB

DB

DB

=⇒=

=+−=+

⇒

−=−=+

Sustituyendo (vi) en (ii):

)(49

19

49

19

49

49301

49

30viiiAA −=⇒−=−=−=

Sustituyendo (viii) en (iii):

49

1518

49

9028

49

3032 =⇒=+⇒=⋅+ BBB

Luego:

=

=

=

−=

49

30049

15149

19

D

C

B

A

Volviendo a la integral:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))(

(*)5249

30

5249

15119

5249

300

5249

151

49

19

52

78

1

22

2

I

xx

dx

xx

xdx

xx

x

xx

xdx

xx

xxI ∫∫∫ =

−⋅++

−⋅+⋅+−=

−⋅+

+⋅+

−⋅+

+−=

−⋅++−=

Resolviendo por separado a 1I : Por descomposición en Fracciones Simples:

( )( )

??,

(**)52521

==

=−

++

=−+

= ∫∫∫

FE

x

Fdx

x

Edx

xx

dxI

Por Coeficientes Indeterminados:

( )( )( ) ( )

( ) ( )FExFEx

FFxEEx

xFxE

x

F

x

E

xx

2510

251

251

5252

1

+−+⋅+=+⋅++−=

+⋅+−⋅=−

++

=−+




Comparando Coeficientes:

)

)

iia

ia

125..

0

=+−⇒

−=⇒=+⇒

FEit

FEFEx

Formando y resolviendo sistema de ecuaciones con (ia) y (iia):

7

1

7

117

125

022

125

0

=⇒−=⇒=−

=+−=−−

⇒

=+−=+

FEE

FE

FE

FE

FE

Así que:

=

−=

7

17

1

F

E

Volviendo a (**):

11

71

71

1

2

5

7

15

7

12

7

1

57

1

27

1

52(**)

αα ++−=+−++−=

=−

++

−=−

++

−== ∫ ∫∫∫

x

xLnxLnxLn

x

dx

x

dx

x

dx

x

dxI

Volviendo a (*):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ααα +−⋅+⋅

+−+

+−

=++−

+−⋅+⋅

+−=+

+−

⋅+−⋅+⋅

+−=

5249

15119

2

5

343

30

2

5

343

30

5249

15119

2

5

7

1

49

30

5249

15119

xx

x

x

xLn

x

xLn

xx

x

x

xLn

xx

xI

Ahora lo que falta es comprobar que el segundo sumando se corresponde con los dos últimos sumandos de la respuesta

propuesta pero esto ya fue probado en la primera alternativa de solución.

Luego se vuelve a comprobar que la respuesta propuesta para la integral es correcta:

( ) ( ) ( ) .249

27

549

8

2

5

343

30

103

7822

2

α++

−−

++−=

−−

+−= ∫ xxx

xLndx

xx

xxI

En próximos números seguiremos mostrando integrales que sean de resoluciones interesantes.

RAH-PGM


VVeerrssiióónn Del libro ““HHiissttoorriiaa yy FFiilloossooffííaa ddee llaass MMaatteemmááttiiccaass””.. Autor: Ángel Ruiz Zúñiga.

(Primera Entrega)

ÁNGEL RUIZ ZÚÑIGA, matemático, filósofo y educador nacido en San José, Costa Rica. Campo de investigación: educación matemática, historia y filosofía de las matemáticas, filosofía política y desarrollo social, sociología e historia de las ciencias y la tecnología, problemas de la educación superior, y asuntos de la paz mundial y el progreso humano. Autor de numerosos libros y artículos académicos, expositor y conferencista en más de un centenar de congresos internacionales, y organizador constante de eventos científicos internacionales y nacionales, ha sido, también, consultor y asesor en asuntos científicos, académicos, universitarios y políticos durante muchos años dentro y fuera de Costa Rica.

Primera Parte: EN LA ANTIGÜEDAD.

En esta primera parte nos interesa hacer un bosquejo de la historia las matemáticas en la Antigüedad.

Vamos a concentrarnos en los aportes de la Grecia Antigua, una gran civilización que constituye un fundamento de la cultura occidental y de la sociedad mundial que vivimos.

Iniciamos con los aportes las características intelectuales y matemáticas de los egipcios y mesopotámicos, cuya influencia en los desarrollos griegos se dará de una forma permanente, aunque con grados distintos en las diferentes etapas de su evolución. Más aún, en las grandes civilizaciones de la Edad del Bronce encontramos los primeros elementos del desenvolvimiento de una visión científica y cultural que constituye una importante herencia para la humanidad.

En lo que se refiere a las matemáticas y las ciencias en general, la civilización griega, ya parte de la Edad del Hierro, representó un salto cualitativo. Un énfasis en la búsqueda de explicaciones naturalistas, fue un primer paso. Actitudes y métodos deductivos y demostrativos en las matemáticas, es otro elemento. Hay que añadir importantes resultados en la mecánica, la cosmología, la hidrostática, la óptica y otras partes del conocimiento. Estos aportes van a estar siempre rodeados de dimensiones religiosas, místicas, ideológicas y filosóficas. En muchas ocasiones, es imposible separar la indagación de carácter científico de aquellas derivadas de otras fuentes de la cultura social.

Concentramos nuestra descripción primeramente en lo que hemos llamado el mundo presocrático. Aquí nos interesa repasar algunas de las actitudes naturalistas jónicas, pero sobre todo, puesto que se trata de la historia de las matemáticas, los asuntos en torno a la escuela pitagórica y la eleática.

En segundo lugar, seguimos a la evolución socio política, histórica, de la civilización griega, y estudiamos las matemáticas en la ciudad -Estado de Atenas. Ésta misma vivió diferentes momentos, lo que a veces no se consigna con precisión. No obstante, lo que nos va a interesar sobre todo van a ser los aportes o las ideas de dos grandes filósofos: Platón y Aristóteles. Nos parece más apropiado en ese contexto inscribir la obra de ese gran matemático llamado Eudoxo.

Para dar fin a esta etapa clásica de la civilización griega no podemos dejar de darle relevancia a los trabajos de Euclides y Apolonio, que de muchas maneras tuvieron un papel paradigmático en torno a la práctica de las matemáticas.

El siguiente periodo es el del mundo alejandrino o helenístico, que emerge después de la conquista macedonia y la muerte de Alejandro el Grande. El interés para las ciencias y las matemáticas nos refiere fundamentalmente a aquella parte del imperio de Alejandro en Egipto, aunque debe mencionarse que en el mundo seléucida se desarrollaron importantes tradiciones culturales. De primera entrada, deberá subrayarse el hecho de que la cultura alrededor de la ciudad de Alejandría se desarrolló exactamente en un lugar que fue el mismo de una gran civilización de la Edad del Bronce. Las influencias interacciones culturales que esto puede suponer son muchas. También, es posible establecer diferentes fases en este período. Son muchas las figuras importantes de las matemáticas de esta época, pero nos concentraremos en la de Arquímedes, Ptolomeo, Diofanto y Pappus. Y, repetimos, queremos trasmitir una visión general de lo que fue el periodo.

Mucho de las matemáticas de la antigüedad griega podría decirse que fue, más que nada, astronomía, tanto por la fuente de sus problemas, sus métodos, sus motivaciones, como por el influjo de las visiones del universo y la realidad que la condicionaron. Tal vez deba hablarse de cosmo matemáticas o astro matemáticas. El énfasis en la geometría haría más bien decir astro geometría o cosmo geometría. Por eso mismo, hemos destinado un capítulo a algunas de las visiones cosmológicas de la antigüedad griega, por supuesto, rematando en ese importante resultado, desde un punto de vista astronómico y matemático, que fue el trabajo de Ptolomeo.

Con la visión que buscamos en esta parte ya podremos entonces empezar el camino intelectual para estudiar la historia de las matemáticas en la sociedad moderna. Antes, sin embargo, tendremos que incursionar en el influjo de otras culturas del planeta y, también, en las características del escenario cultural y matemático de la Europa medieval.

Capítulo I: Matemáticas en Egipto y Mesopotamia.

¿Dónde o cómo nacen las matemáticas? Es toda una discusión. Sin embargo, hay una pregunta previa: ¿qué son las matemáticas? Si no se responde ésta última, la otra no se puede contestar con rigor, porque podríamos recorrer historias diferentes según lo que creamos son las matemáticas. Hay múltiples posibilidades. Sin embargo, la respuesta a qué son las matemáticas no es fácil. Reflexione un poco: ¿tratan las matemáticas de los conocimientos obtenidos solamente por deducción lógica u otros recursos se podrían admitir? ¿Sin demostraciones no hay matemática? Y, aun más: ¿qué son demostraciones válidas? ¿Tienen las matemáticas objetos de estudios físicos o mentales? ¿Cómo son y dónde están los objetos de las matemáticas? ¿Son las matemáticas una ciencia natural? ¿Son las matemáticas un lenguaje? ¿Se descubren o construyen las matemáticas?

La reflexión y el debate sobre la naturaleza de las matemáticas son muy importantes, pero resulta más apropiado que los realicemos poco a poco a lo largo de todo nuestro libro. La realidad es que, más o menos, todos sabemos a qué se refieren las matemáticas. Y es preferible que primeramente ampliemos nuestra visión sobre estos quehaceres que en la historia se han considerado matemáticos para luego buscar mayor claridad sobre la naturaleza de éstos.




Influjo empírico y práctico en los orígenes de las matemáticas

Podemos decir que las matemáticas en las civilizaciones primitivas, en gran medida, refieren al cálculo de terrenos, a la deccomercio más trivial, a los modelos y diseños en la ropa o al recuento del correr del tiempo en la vida cotidiana. Esto no debe, sin embargo, verse con malos ojos. Porque se trata de un sentido íntimo de las matemáticas, imbricadas en la práctica humana, inmersas interactivame

En relación con las culturas orientales primitivas, señala

"La matemática Oriental se originó como una ciencia práctica pade trabajos públicos, y la recolecta de impuestos. El énfasis inicial estaba naturalmente en la aritmética práctica y la medicultivada durante siglos por un oficio especial cuya tarea no sólo es aplicarlo sino también para instruir en sus secretos, desarrolla abstracción. Gradualmente, llegará a ser estudiada en sí misma. La aritmética no sólo evolucionó hacia el álgemejores, pero también porque era el resultado natural de una ciencia cultivada y desarrollada en las escuelas de escribas. Pomedición se desarrolló hacia los principios -pero no más

Muchas de las matemáticas en las culturas orientales deben buscarsematemático de que disponían.

Dos de las civilizaciones de la Edad del Bronce relevantes para la historia de las ciencias y las matemáticas, importantes nugriegas, fueron la egipcia y la babilónica, pueblos que ocuparon regiones alrededor de importantes ríos: respectivamente, alrdel Tigris y Éufrates. En el caso de estos últimos, es necesario decir que no se trataba de una solade las regiones mencionadas. A pesar de ello, se considera que, en relación con las matemáticas, hubo cierta continuidad y unmás remotos hasta la conquista de esos territorios por parte de los macedonios.

1.1 Egipcios.-

La historia de las matemáticas en Egipto, aunque diferente de la de los babilonios, no trascendió los límites prácticos y la construcciones teóricas.

Según la opinión de los historiadores, Egipto nace alrededor del año cuatro mil a.C. y su máximo esplendor se dio alrededor dque con Mesopotamia, la civilización siguió un curso que se vería drásticamente alterado solo hasta la co

Las principales referencias que tenemos en relación con las matemáticas egipcias son documentos escritos sobre papiro, un matrealmente se tiene muy poca base para una descripción precisa de la naturaleza y los l

Números en Egipto.-

Ahora bien, la multiplicación solo requería conocer la suma y la multiplicación por 2.

Otro detalle interesante es que, salvo en algunos casos, descomponían todas las fracciones en las

llamadas fracciones unitarias. Por ejemplo, como

tabla con la descomposición de fracciones de la forma

otros,

Es conocido el hecho de que la escritura egipcia era realizada por medio de los jeroglíficos, lo que también sucedía con los puede considerar que usaron 3 sistemas de notación diferentes: jeroglífico, hierático y demóticuna adaptación de la notación hierática. Se afirma que los dos primeros se usaron desde temprano en la historia egipcia, y prpapiros mencionados. La última notación habría sido relevante en los periodos griego y romano de los egipcios.

Los egipcios poseían una aritmética básicamente aditiva, es decir, por ejemplo, reducían la división y la multiplicación a susímbolos específicos para las potencias de 10. En la hierática, también se usaba las potencias del 10, pero con menos símbolos.

La notación jeroglífica fue sustituida por la hierática.

A través de esta descomposición los egipcios realizaban operaciones aritmétiproceso complicado.

Para dividir usaban un método parecido al del mínimo común denominador.

Por otro lado, se piensa que tampoco tuvieron mucha conciencia sobr

El método de las fracciones de la unidad permitía ciertas aplicaciones prácticas. En el papiro de un templo.

Los papiros mencionados contenían algo similar a lo que son las ecuaciones lineales en una incógnita. El problema 72 del papi

Si tenemos que intercambiar 100 panes de pesu 10 por un determinado número de panes de pesu 45, ¿cuál es este número determin


Influjo empírico y práctico en los orígenes de las matemáticas

Podemos decir que las matemáticas en las civilizaciones primitivas, en gran medida, refieren al cálculo de terrenos, a la decs y diseños en la ropa o al recuento del correr del tiempo en la vida cotidiana. Esto no debe, sin embargo, verse con

malos ojos. Porque se trata de un sentido íntimo de las matemáticas, imbricadas en la práctica humana, inmersas interactivame

En relación con las culturas orientales primitivas, señala Struik:

"La matemática Oriental se originó como una ciencia práctica para facilitar el cómputo del calendario, la administración de las cosechas, la organización de trabajos públicos, y la recolecta de impuestos. El énfasis inicial estaba naturalmente en la aritmética práctica y la medi

durante siglos por un oficio especial cuya tarea no sólo es aplicarlo sino también para instruir en sus secretos, desarrolla abstracción. Gradualmente, llegará a ser estudiada en sí misma. La aritmética no sólo evolucionó hacia el álgebra porque permitió cómputos prácticos mejores, pero también porque era el resultado natural de una ciencia cultivada y desarrollada en las escuelas de escribas. Po

pero no más- de una geometría teórica”. [Struik, A Concise History of Mathematics

Muchas de las matemáticas en las culturas orientales deben buscarse en esas realizaciones prácticas precisamente, para evaluar el conocimiento

Dos de las civilizaciones de la Edad del Bronce relevantes para la historia de las ciencias y las matemáticas, importantes nugriegas, fueron la egipcia y la babilónica, pueblos que ocuparon regiones alrededor de importantes ríos: respectivamente, alrdel Tigris y Éufrates. En el caso de estos últimos, es necesario decir que no se trataba de una sola civilización sino, más bien, de varios pueblos alrededor de las regiones mencionadas. A pesar de ello, se considera que, en relación con las matemáticas, hubo cierta continuidad y un

itorios por parte de los macedonios.

La historia de las matemáticas en Egipto, aunque diferente de la de los babilonios, no trascendió los límites prácticos y la

Según la opinión de los historiadores, Egipto nace alrededor del año cuatro mil a.C. y su máximo esplendor se dio alrededor dque con Mesopotamia, la civilización siguió un curso que se vería drásticamente alterado solo hasta la conquista macedonia.

Las principales referencias que tenemos en relación con las matemáticas egipcias son documentos escritos sobre papiro, un matrealmente se tiene muy poca base para una descripción precisa de la naturaleza y los límites de la cultura y las matemáticas de esta civilización.

Ahora bien, la multiplicación solo requería conocer la suma y la multiplicación por 2.

Otro detalle interesante es que, salvo en algunos casos, descomponían todas las fracciones en las

. En el papiro de Ahmes aparece una

en fracciones de la unidad. Incluye, entre

NÚMEROS EGIPCIOS, EJEMPLOS.

Es conocido el hecho de que la escritura egipcia era realizada por medio de los jeroglíficos, lo que también sucedía con los símbolos numéricos. Sin embargo, se puede considerar que usaron 3 sistemas de notación diferentes: jeroglífico, hierático y demótico. El primero mediante imágenes, el segundo simbólico, y el tercero una adaptación de la notación hierática. Se afirma que los dos primeros se usaron desde temprano en la historia egipcia, y precisamente el segundo aparece en los

tima notación habría sido relevante en los periodos griego y romano de los egipcios.

Los egipcios poseían una aritmética básicamente aditiva, es decir, por ejemplo, reducían la división y la multiplicación a sumas. En la notación jeroglífica os específicos para las potencias de 10. En la hierática, también se usaba las potencias del 10, pero con menos símbolos.

A través de esta descomposición los egipcios realizaban operaciones aritméticas con todas las fracciones, en particular multiplicaciones y divisiones. Sin embargo, era un

Para dividir usaban un método parecido al del mínimo común denominador.

Por otro lado, se piensa que tampoco tuvieron mucha conciencia sobre la naturaleza de los números irracionales.

El método de las fracciones de la unidad permitía ciertas aplicaciones prácticas. En el papiro de Ahmes, en relación con la distribución de panes y al pago a los empleados de

Los papiros mencionados contenían algo similar a lo que son las ecuaciones lineales en una incógnita. El problema 72 del papiro de Ahmes

Si tenemos que intercambiar 100 panes de pesu 10 por un determinado número de panes de pesu 45, ¿cuál es este número determinado?


12

Podemos decir que las matemáticas en las civilizaciones primitivas, en gran medida, refieren al cálculo de terrenos, a la decoración en cerámica, al s y diseños en la ropa o al recuento del correr del tiempo en la vida cotidiana. Esto no debe, sin embargo, verse con

malos ojos. Porque se trata de un sentido íntimo de las matemáticas, imbricadas en la práctica humana, inmersas interactivamente en su entorno.

ra facilitar el cómputo del calendario, la administración de las cosechas, la organización de trabajos públicos, y la recolecta de impuestos. El énfasis inicial estaba naturalmente en la aritmética práctica y la medición. Sin embargo, una ciencia

durante siglos por un oficio especial cuya tarea no sólo es aplicarlo sino también para instruir en sus secretos, desarrolla tendencias hacia la bra porque permitió cómputos prácticos

mejores, pero también porque era el resultado natural de una ciencia cultivada y desarrollada en las escuelas de escribas. Por estas mismas razones, la A Concise History of Mathematics, p. 18].

en esas realizaciones prácticas precisamente, para evaluar el conocimiento

Dos de las civilizaciones de la Edad del Bronce relevantes para la historia de las ciencias y las matemáticas, importantes nutrientes de las matemáticas griegas, fueron la egipcia y la babilónica, pueblos que ocuparon regiones alrededor de importantes ríos: respectivamente, alrededor del Nilo y alrededor

civilización sino, más bien, de varios pueblos alrededor de las regiones mencionadas. A pesar de ello, se considera que, en relación con las matemáticas, hubo cierta continuidad y una tradición desde los tiempos

La historia de las matemáticas en Egipto, aunque diferente de la de los babilonios, no trascendió los límites prácticos y la evidencia empírica en sus

Según la opinión de los historiadores, Egipto nace alrededor del año cuatro mil a.C. y su máximo esplendor se dio alrededor del año 2500 a.C. Al igual nquista macedonia.

Las principales referencias que tenemos en relación con las matemáticas egipcias son documentos escritos sobre papiro, un material frágil, por lo que ímites de la cultura y las matemáticas de esta civilización.

NÚMEROS EGIPCIOS, EJEMPLOS.

símbolos numéricos. Sin embargo, se o. El primero mediante imágenes, el segundo simbólico, y el tercero

ecisamente el segundo aparece en los

mas. En la notación jeroglífica usaron

cas con todas las fracciones, en particular multiplicaciones y divisiones. Sin embargo, era un

, en relación con la distribución de panes y al pago a los empleados de

Ahmes es:




Hay ecuaciones equivalentes a .1541 =+ xx Y también sistemas como:

034

10022

=−=+

yx

yx

También situaciones como .2 dcx = Aunque, debe decirse, siempre expresadas de una manera verbal.

Al igual que con los babilonios encontramos progresiones aritméticas y geométricas.

Sin embargo, no usaron mucho simbolismo.

En relación con la geometría, la opinión más generalizada es que la usaban, al igual que los babilonios, como un instrumento aritmética y la geometría no aparecían separadas; más bien, lo que se daba era una aplicacióngeométricas que emergían en situaciones del entorno.

Tenían una regla para obtener el área de un círculo; por lo tanto, un método para aproximar a

Según Herodoto, los resultados geométricos de los egipcios estaban vinculados a asuntos relativos a la propiedad de la tierra creados por las crecidas del río Nilo. Aquí encontramos procedimientos para calcular áreas de rectángulos, triángulos y trapezoides e, incluso, mecanismosun círculo. Se sabe que, también, tenían procedimientos para calcular volúmenes de cubos, cilindros y otras figuras. En particuadrada.

Aparecen tripletes pitagóricos, por lo que alguna familiaridad debía

Mucho de lo que hicieron los egipcios en matemáticas está vinculado a transacciones comerciales, edificaciones, cterrenos, y a diversos asuntos de naturaleza práctica en sociedades asentadas básicamente en la agricultura. En relación con la astronomía, la opinión es que su nivel estaba por debajo de los babilonios. No obstante, se rdeterminación del año y un calendario bastante útiles. Lo que sí llama la atención es una combinación de astronomía y geometrtemplos que son hasta nuestros días un símbolo emblemático de esta

Vamos ahora a incursionar en otra gran cultura.

1.2 Babilonios

Los registros que se tienen son de naturaleza arqueológica, en arcilla, y, por supuesto, se encuentran limitados de muchas mavisión exacta de las características en que se desarrollaron cultural y matemáticamente. En relación con3 500 a.C. y terminan en el 539 a.C, fecha en la que estos territorios fueron conquistados por Persia.

Hay alrededor de 500 000 tablillas de arcilla que constituyen las fuentes principales de la cultura bmatemáticas. La mayoría de los registros de que se dispone son del periodo llamado

El sistema cuneiforme de escritura fue descifrado a mediados del sig

La aritmética más desarrollada en la civilización Mesopotámica fue la Acadiana. Dos de las características más importantes de60 y la notación posicional. No obstante, debe señalarse que los babilonios no usaban solamente la base 60. En ocasiones, aparecía la base 10, pero otratambién. Al igual que sucede con otras culturas y sistemas numéricos, con los babilonios se dio una forma combinada de sistcircunstancias históricas o incluso regionales. En lo que sí parece haber consenso es que se dio el uso bastante sistemático relacionados con la astronomía. Esto debe subrayarse:

"Tanto el sistema sexagesimal como el sistema del valor del lugar han permanecido en posesión permanente de la humaen 60 minutos y 3 600 segundos data de los sumerios, al igual que nuestra división del círculo en 360 grados, cada grado en 6segundos. Hay razón para creer que esta opción de 60 en lque 60 tiene muchos divisores también puede haber jugado un papel. Acerca del sistema del valor posicional, su importancia pealfabeto (ambas invenciones reemplazaron un simbolismo complejo por un método fácilmente entendible por muchas personas).


Y también sistemas como:

Aunque, debe decirse, siempre expresadas de una manera verbal.

Al igual que con los babilonios encontramos progresiones aritméticas y geométricas.

En relación con la geometría, la opinión más generalizada es que la usaban, al igual que los babilonios, como un instrumento para resolver problemas prácticos. La aritmética y la geometría no aparecían separadas; más bien, lo que se daba era una aplicación de álgebra y aritmética a problemas relacionados con figuras

Tenían una regla para obtener el área de un círculo; por lo tanto, un método para aproximar a π.

de los egipcios estaban vinculados a asuntos relativos a la propiedad de la tierra creados por las crecidas del río Nilo. Aquí encontramos procedimientos para calcular áreas de rectángulos, triángulos y trapezoides e, incluso, mecanismosun círculo. Se sabe que, también, tenían procedimientos para calcular volúmenes de cubos, cilindros y otras figuras. En parti

Aparecen tripletes pitagóricos, por lo que alguna familiaridad debía tener con el teorema de Pitágoras.

Mucho de lo que hicieron los egipcios en matemáticas está vinculado a transacciones comerciales, edificaciones, cálculo de superficies, medidas de terrenos, y a diversos asuntos de naturaleza práctica en sociedades asentadas básicamente en la agricultura. En relación con la astronomía, la opinión es que su nivel estaba por debajo de los babilonios. No obstante, se reconoce que los egipcios lograron una determinación del año y un calendario bastante útiles. Lo que sí llama la atención es una combinación de astronomía y geometrtemplos que son hasta nuestros días un símbolo emblemático de esta civilización: las pirámides.

NÚMEROS CUNEIFORMES

Los registros que se tienen son de naturaleza arqueológica, en arcilla, y, por supuesto, se encuentran limitados de muchas mavisión exacta de las características en que se desarrollaron cultural y matemáticamente. En relación con Mesopotamia, los registros más antiguos datan del 3 500 a.C. y terminan en el 539 a.C, fecha en la que estos territorios fueron conquistados por Persia.

Hay alrededor de 500 000 tablillas de arcilla que constituyen las fuentes principales de la cultura babilónica, y entre ellas unas 500 son de interés para las matemáticas. La mayoría de los registros de que se dispone son del periodo llamado Antiguo, más o menos alrededor del 2 500 a.C.

El sistema cuneiforme de escritura fue descifrado a mediados del siglo XIX por George Frederick Grotefend y Henry Creswicke Rawlinson.

La aritmética más desarrollada en la civilización Mesopotámica fue la Acadiana. Dos de las características más importantes de su sistema numérico fueron la base . No obstante, debe señalarse que los babilonios no usaban solamente la base 60. En ocasiones, aparecía la base 10, pero otra

también. Al igual que sucede con otras culturas y sistemas numéricos, con los babilonios se dio una forma combinada de sistcircunstancias históricas o incluso regionales. En lo que sí parece haber consenso es que se dio el uso bastante sistemático de la base 60 para todos los cálculos

el sistema del valor del lugar han permanecido en posesión permanente de la humanidad. Nuestra división presente de la hora en 60 minutos y 3 600 segundos data de los sumerios, al igual que nuestra división del círculo en 360 grados, cada grado en 6segundos. Hay razón para creer que esta opción de 60 en lugar de 10 como una unidad ocurrió en un esfuerzo por unificar sistemas de medida, aunque el hecho de que 60 tiene muchos divisores también puede haber jugado un papel. Acerca del sistema del valor posicional, su importancia pealfabeto (ambas invenciones reemplazaron un simbolismo complejo por un método fácilmente entendible por muchas personas).


13

para resolver problemas prácticos. La de álgebra y aritmética a problemas relacionados con figuras

de los egipcios estaban vinculados a asuntos relativos a la propiedad de la tierra creados por las crecidas del río Nilo. Aquí encontramos procedimientos para calcular áreas de rectángulos, triángulos y trapezoides e, incluso, mecanismos para el cálculo del área de un círculo. Se sabe que, también, tenían procedimientos para calcular volúmenes de cubos, cilindros y otras figuras. En particular, un tronco de pirámide

álculo de superficies, medidas de

econoce que los egipcios lograron una determinación del año y un calendario bastante útiles. Lo que sí llama la atención es una combinación de astronomía y geometría para la edificación de

Los registros que se tienen son de naturaleza arqueológica, en arcilla, y, por supuesto, se encuentran limitados de muchas maneras. No nos permiten una Mesopotamia, los registros más antiguos datan del

abilónica, y entre ellas unas 500 son de interés para las , más o menos alrededor del 2 500 a.C.

lo XIX por George Frederick Grotefend y Henry Creswicke Rawlinson.

su sistema numérico fueron la base . No obstante, debe señalarse que los babilonios no usaban solamente la base 60. En ocasiones, aparecía la base 10, pero otras bases

también. Al igual que sucede con otras culturas y sistemas numéricos, con los babilonios se dio una forma combinada de sistemas numéricos determinados por de la base 60 para todos los cálculos

nidad. Nuestra división presente de la hora en 60 minutos y 3 600 segundos data de los sumerios, al igual que nuestra división del círculo en 360 grados, cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60

ugar de 10 como una unidad ocurrió en un esfuerzo por unificar sistemas de medida, aunque el hecho de que 60 tiene muchos divisores también puede haber jugado un papel. Acerca del sistema del valor posicional, su importancia permanente se ha comparado con el




Es razonable suponer que hindúes y griegos obtuvieron las rutas de las caravanas hacia Babilonia; también sabemos que los académicos musulmanes lo describieron como una invención india. La tradición babilónica, sin embargo,Concise History of Mathematics, p. 26].

No poseían sin embargo el cero, ni tampoco algún símbolo para expresar la diferencia entre la parte entera y la fraccionaria de un número. Esimplicaban cierto nivel de ambigüedad en el sistema numérico. De hecho, se afirma que

Para los babilonios, los símbolos fundamentales eran del 1 al 10 y los números del 1 al 59 se formaban combinando algunos de

Sumar y restar era un proceso de poner o quitar símbolos.

La multiplicación se hacía más o menos como se hace hoy; de hecho, dividir era multiplicar por el inverso. Usaban tablas para obtener los inversos.

En algunos problemas concretos aparecen las progresiones aritmética y geométrica.

Se sabe también que los babilonios podían expresar cuadrados, cubos, raíces cuadradas, cúbicas; eso sí: a través de tablas. En efecto, por medio de las tablas podían resolver ecuaciones de la forma: ax3+bx2=c.

También resolvían la ecuación ax=c como nosotros lo haríamos.

Los babilonios estaban en posesión de la fórmula cuadrática. Resolvían ecuaciones como

cbxx

cbxx

=−=+

2

2

siempre con b>0 y c>0.

También hay ejemplos de solución de la general ax +2

Existen otros ejemplos de ecuaciones con 3 incógnitas, pero simples.

,1400222 =++ zyx con 10=− yx y .10=− zy No tenían números negativos, por lo tanto, no eran aceptadas las raíces de ecuaciones

No obstante, se supone que sí podían calcular con números irracionales. De hecho, realizaron un cálculo aproximado asombroso:ubicada actualmente en la Universidad de Yale, nos indica que los babilonios

de 2, mediante la expresión: a

baba

222 +≈+

Este algoritmo permitió obtener la siguiente aproximación: 2

¿De qué manera los babilonios obtuvieron esta expresión? El análisis de las tablillas babilónicas permite conjeturar el proceutilizado.

Es importante subrayar que los problemas algebraicos sólo podían establecerse y, por supuesto, resolverse, de una manera verbal.

En ocasiones, los babilonios emplearon símbolos para las incógnitas pero sin conciencia sobre el significado de ello.

En lo que se refiere a la geometría, para los babilonios ésta no se estudiaba por sí misma, no se consideraba tampoco una disciplina separada, y siempre en relación directa con problemas concretos surgidos del entorno. Sin embargo, conocían las áreas de rectángulos, de triángulos rectángulos, isósceles, trapecios (un lado perpendicular a dos paralelos).Se conoce el uso de algunos tripletes pitagóricos. Es decir, se puede decir que conocían y usaban el teorema de tablilla que se encontró en Susa que plantea:

Hallar el radio del círculo circunscrito al triángulo de lados 50, 50 y 60.

La solución usaba el teorema. Hay otro registro más o menos del año 1000 a.C. en que se ofrece una solución más detallada y con una lógica geométrica innegable:

Hallar la longitud y anchura de la siguiente figura, dadas 0;45 (0,75) y diagonal 1;15 (1,25). [El ";'' es la noinvestigador Otto Neugebauer para separar la parte entera de la fraccionaria, nuestra coma, solo que en forma sexagesimal (ensu libro Mathematische Keilschrift-Texte).]

Tenían conocimiento de algunas propiedades de los triángulos semejantes.

Se dice que conocían el siguiente teorema:

"En un triángulo rectángulo, al trazar una perpendicular desde el ángulo recto hasta la hipotenusa, los triángulos que se forman a cada lado de esta perpendicular son semejantes entre sí y al triángulo entero''.


griegos obtuvieron las rutas de las caravanas hacia Babilonia; también sabemos que los académicos musulmanes lo describieron como una invención india. La tradición babilónica, sin embargo, puede haber influido en la aceptación tardía del sistema posicional”. [

mbargo el cero, ni tampoco algún símbolo para expresar la diferencia entre la parte entera y la fraccionaria de un número. Esimplicaban cierto nivel de ambigüedad en el sistema numérico. De hecho, se afirma que -aunque lo usaban- no se trataba de un sistema posicional absoluto.

Para los babilonios, los símbolos fundamentales eran del 1 al 10 y los números del 1 al 59 se formaban combinando algunos de estos símbolos.

Sumar y restar era un proceso de poner o quitar símbolos.

se hacía más o menos como se hace hoy; de hecho, dividir era multiplicar por el

En algunos problemas concretos aparecen las progresiones aritmética y geométrica.

Se sabe también que los babilonios podían expresar cuadrados, cubos, raíces cuadradas, cúbicas; eso sí: a través de tablas. En efecto, por medio de las tablas podían resolver ecuaciones de la forma: FRACCIONES CUNEIFORMES

como nosotros lo haríamos.

Los babilonios estaban en posesión de la fórmula cuadrática. Resolvían ecuaciones como

cbx=+

Existen otros ejemplos de ecuaciones con 3 incógnitas, pero simples.

No tenían números negativos, por lo tanto, no eran aceptadas las raíces de ecuaciones cuadráticas con soluciones negativas.

No obstante, se supone que sí podían calcular con números irracionales. De hecho, realizaron un cálculo aproximado asombroso:Yale, nos indica que los babilonios lograron desarrollar un algoritmo para determinar aproximadamente el valor

.24511035,12 ≈

¿De qué manera los babilonios obtuvieron esta expresión? El análisis de las tablillas babilónicas permite conjeturar el procedimiento

Es importante subrayar que los problemas algebraicos sólo podían establecerse y, por supuesto, resolverse, de una manera

En ocasiones, los babilonios emplearon símbolos para las incógnitas pero sin conciencia sobre el significado de ello.

que se refiere a la geometría, para los babilonios ésta no se estudiaba por sí misma, no se consideraba tampoco una disciplina separada, y siempre en relación directa con problemas concretos surgidos del entorno. Sin embargo, conocían las

los, de triángulos rectángulos, isósceles, trapecios (un lado perpendicular a dos paralelos). Se conoce el uso de algunos tripletes pitagóricos. Es decir, se puede decir que conocían y usaban el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, hay un problema en una

lados 50, 50 y 60.

el teorema. Hay otro registro más o menos del año 1000 a.C. en que se ofrece una solución más detallada y

Hallar la longitud y anchura de la siguiente figura, dadas 0;45 (0,75) y diagonal 1;15 (1,25). [El ";'' es la notación del investigador Otto Neugebauer para separar la parte entera de la fraccionaria, nuestra coma, solo que en forma sexagesimal (en

Tenían conocimiento de algunas propiedades de los triángulos semejantes.

"En un triángulo rectángulo, al trazar una perpendicular desde el ángulo recto hasta la hipotenusa, los triángulos que se forman a cada lado de esta perpendicular son semejantes entre sí y al triángulo entero''.


14

griegos obtuvieron las rutas de las caravanas hacia Babilonia; también sabemos que los académicos musulmanes lo puede haber influido en la aceptación tardía del sistema posicional”. [Struik, A

mbargo el cero, ni tampoco algún símbolo para expresar la diferencia entre la parte entera y la fraccionaria de un número. Estos problemas a de un sistema posicional absoluto.

estos símbolos.

FRACCIONES CUNEIFORMES

cuadráticas con soluciones negativas.

No obstante, se supone que sí podían calcular con números irracionales. De hecho, realizaron un cálculo aproximado asombroso: el de la 2 . Una tablilla lograron desarrollar un algoritmo para determinar aproximadamente el valor

2EN TABLILLA BABILÓNICA

Pitágoras. Por ejemplo, hay un problema en una

ÁREA BABILÓNICA, 1000 A. C.




Ese teorema lo consigna Euclides. Algunos autores opinan que sobre esto Euclides tuvo que haber tomado fuentes babilónicas.

TRAPEZOIDE BABILONIO

De manera general, en las matemáticas babilonias tanto en la aritmética, el álgebra como en la geometría, las reglas eran establecidas por la prueba y el error, con sustento en la experiencia práctica. No hay evidencia de la idea de estructura lógica, o la de la demostración, o de la necesidad de ofrecer una justificación más allá de lo que la práctica o la evidencia física permitían.

Si se posee la mentalidad deductiva y axiomática que impondrá Grecia y que luego permearía Europa, se empujaría una tendencia a considerar este tipo de resultados como elementales o rudimentarios. Sin embargo, aquí hay un debate. Por ejemplo, porque los métodos de demostración que se pueden asumir como válidos no necesariamente deben establecerse solamente por el recurso a la deducción a partir de primeros principios, por más valiosa y necesaria que ésta pueda ser. La repetición sistemática, el uso, la contrastación con ejemplos o la búsqueda de contraejemplos podrían ser alternativas para asegurar la validez de un resultado.

En todo caso, aunque en geometría hay, también, resultados relevantes, en cuanto al álgebra y la aritmética, no se puede negar que poseían una impresionante sabiduría. Como veremos, el álgebra y la aritmética se verían sometidas a criterios más bien de naturaleza ideológica en el mundo griego, debilitando su progreso.

Si queremos resumir las contribuciones de estas dos civilizaciones en las matemáticas, babilonia y egipcia, debemos señalar una aritmética esencialmente de números enteros y de fracciones, aunque hay cálculo aproximado de irracionales, notación posicional, muy poco simbolismo, relevante desarrollo del álgebra y la aritmética en los babilonios, una geometría que consistía esencialmente de fórmulas empíricas, pero que manejaban resultados que luego serían retomados por los griegos (aunque de otra manera). No aparece la idea de prueba o demostración de la forma como la conocemos en la visión occidental y con los ojos de modernidad, o, en general, la preocupación por una estructura lógica, teórica. Esto será importante a la hora de evaluar con justicia la contribución de la civilización griega a las matemáticas y a la ciencia.

1.3 Biografías.-

Ahmes. Nació alrededor del año 1680 a. C. en Egipto. Fue el escriba que hizo el famoso Papiro Rhinds, considerado la base del legado matemático del antiguo Egipto y encontrado por el escocés Alexander Henry Rhinds en 1858. A pesar de esto, Ahmes nunca se proclamó como el autor del papiro sino sólo como el escriba y además agregaba que el trabajo había sido escrito mucho tiempo antes. En 1863, el papiro llegó al Museo Británico y es muchas veces llamado el “Papiro Ahmes”, en honor al escriba que murió alrededor del año 1 620 a. C. en Egipto.

1.4 Síntesis, análisis, investigación

2. Escriba un pequeño ensayo de 2 o 3 páginas explicando lo que usted piensa que son las matemáticas.

3. Obtenga un atlas con los mapas del mundo. Fotocopie los mapas con las regiones que corresponderían a Egipto y a Mesopotamia. Si puede consiga un atlas histórico para estudiar la situación geográfica de las etapas en la evolución de egipcios y mesopotámicos en los albores de la civilización.

4. Investigue la historia de los pueblos asentados en Egipto y Mesopotamia. En no más de tres páginas haga un resumen de las etapas de su historia.

5. Explique la relación entre las crecidas del Nilo y las matemáticas en Egipto.

6. Explique el concepto de fracción unitaria. Dé 3 ejemplos, que no estén en el libro, de fracciones no unitarias que se descomponen en sumas de unitarias.

7. ¿Cómo afectaba las matemáticas babilónicas que no tuvieran símbolo cero y notación para separar la parte entera de la fraccionaria?

8. Explique sintéticamente las ventajas o desventajas de los métodos de prueba-error y deducción para el progreso de las matemáticas.

9. Ha sido opinión persistente la superioridad de las matemáticas mesopotámicas en relación con las egipcias, como lo afirma Struik:

"La matemática mesopotámica alcanzó un nivel mucho más alto al que la matemática egipcia obtuvo alguna vez. Aquí nosotros podemos

descubrir progresos incluso en el curso de siglos. Ya los textos más viejos, desde el último periodo Sumerio (la tercera dinastía de Ur, c. 2 100

a.C.), muestran una habilidad computacional. Estos textos contienen tablas de multiplicar en las que un sistema sexagesimal bien desarrollado

de numeración se sobrepuso en un sistema decimal original; hay símbolos cuneiformes que indican 1, 60, 3 600, y también 60-1.

Continuará en el próximo número…


MMaarriNació en Varsovia, Zarato de Polonia, El 7 de noviembre

de julio de 1934

La única persona en recibir dos premios Nobel en distintos campos científicos. Aparte de ella,uno de ellos no científico (Paz), John Bardeen recibió dos premios Nobel de Física y

en dos ocasiones: en 1958 y en 1980.

Fuentes:

Wikipedia. Consulta: Diciembre 2, 2011.

Marie Salomea Skłodowska Curie, conocida habitualmente comonacionalizada francesa. Pionera en el campo de la dos premios Nobel, la primera mujer en ser profesora en la

Nacida en Varsovia, localidad perteneciente al Zarato de Polonia durante el Imperio Ruso, vivió allí hasta los 24 años. En 1891 se trasladó a París para continuar sus estudios. Estuvo casada con el físicoPremio Nobel en conjunto con su marido Frédéric Joliot

Biografía hasta 1906.-

Infancia.-

Marie Skłodowska nació el 7 de noviembre de 1867 en Varsovia. Era la quinta hija de Władysław Skłodowski, profesor de enseFísica y Matemáticas al igual que su abuelo, y de Bronisława Boguska, quien fue maestra, pianista y cantante.

Sus hermanos mayores: Zofia (1862), Józef (1863), Bronisława (

En aquel tiempo, la mayor parte de Polonia estaba ocupadaimpuesto su lengua y sus costumbres. Junto con su hermana Helena, Marie asistía a clases clandestinas ofrecidas en un pensionse enseñaba la cultura polaca.

1

Sus primeros años estuvieron marcados por la penosa muerte de su hermana Zofia como consecuencia delmadre a causa de una tuberculosis. Esos eventos hicieron que Marie dejara la religión católica romana y se volviera

Entre sus intereses destacaba la pasión por la lectura (Marie mostró su afición por la lectura a los cuatro años, edad a la qperfectamente), especialmente sobre historia natural y física. En la Secundaria fue siempre la primera alumna de su clase, y se destacó por influir en sus compañeras el entusiasmo por el trabajo. Polaco, ruso, alemán y francés eran algunas de las lenguas que Marie adelante se interesaría por la Física y se graduaría a los 15 años.

Primeros años en Francia.-

En 1891 Marie se inscribe en la Facultad de Ciencias Matemáticas y Naturales de lapasó a llamarse Marie Sklodowska. A pesar de tener una sólida base cultural adquirida de forma autodidacta, Marimejorar sus conocimientos de francés, matemáticas y física, para estar al nivel de sus compañeros.

En 1893 consigue la licenciatura de Física y obtiene el primer puesto dede su promoción. Para financiarse sus estudios de matemáticas, Marie aceptó una beca de lagracias a una conocida llamada Jadwiga Dydyńska. El dinero de la beca (600 rublos) fue res

En 1894 también conoce al que sería su marido, Pierre Curieal año siguiente Pierre se declara a Marie, casándose elcompraron dos bicicletas y se pasaron todo el verano viajando porduraría, hasta la trágica muerte de Pierre, un total de once años. En 1895 se descubrieron losnatural. Marie es animada por Pierre para que haga su


rriiee CCuurriiee 7 de noviembre de 1867, y murió en Passy, Francia1934, a los 66 años de edad.

en distintos campos científicos. Aparte de ella, Linus Pauling obtuvo 2 Nobel diferentes, recibió dos premios Nobel de Física y Frederick Sanger recibió el Premio Nobel de Químic

en dos ocasiones: en 1958 y en 1980.

, conocida habitualmente como Marie Curie, fue una química y física. Pionera en el campo de la radiactividad, fue, entre otros méritos, además de ser la primera persona en recibir

la primera mujer en ser profesora en la Universidad de París.

, localidad perteneciente al Zarato de Polonia durante el Imperio Ruso, vivió allí hasta los 24 años. En 1891 se trasladó para continuar sus estudios. Estuvo casada con el físico Pierre Curie y fue madre de Irene Joliot-Curie

Frédéric Joliot-Curie), y de Eva Curie. Fundó el Instituto Curie en París y en Varsovia.

noviembre de 1867 en Varsovia. Era la quinta hija de Władysław Skłodowski, profesor de enseFísica y Matemáticas al igual que su abuelo, y de Bronisława Boguska, quien fue maestra, pianista y cantante.

), Bronisława (1865) y Helena (1866).

Polonia estaba ocupada por Rusia, que, tras varias revueltas nacionalistas sofocadas violentamente, había impuesto su lengua y sus costumbres. Junto con su hermana Helena, Marie asistía a clases clandestinas ofrecidas en un pension

Sus primeros años estuvieron marcados por la penosa muerte de su hermana Zofia como consecuencia del tifus y, dos años más tarde. Esos eventos hicieron que Marie dejara la religión católica romana y se volviera

Entre sus intereses destacaba la pasión por la lectura (Marie mostró su afición por la lectura a los cuatro años, edad a la qspecialmente sobre historia natural y física. En la Secundaria fue siempre la primera alumna de su clase, y se destacó por

influir en sus compañeras el entusiasmo por el trabajo. Polaco, ruso, alemán y francés eran algunas de las lenguas que Marie adelante se interesaría por la Física y se graduaría a los 15 años.

Marie se inscribe en la Facultad de Ciencias Matemáticas y Naturales de la Universidad de la Sorbona. A partir de ese momento, Marie pasó a llamarse Marie Sklodowska. A pesar de tener una sólida base cultural adquirida de forma autodidacta, Marimejorar sus conocimientos de francés, matemáticas y física, para estar al nivel de sus compañeros.

consigue la licenciatura de Física y obtiene el primer puesto de su promoción; en 1894 también se licencia en Matemáticas, la segunda de su promoción. Para financiarse sus estudios de matemáticas, Marie aceptó una beca de la Fundación Alexandrowitchgracias a una conocida llamada Jadwiga Dydyńska. El dinero de la beca (600 rublos) fue restituido por Marie más tarde.

Pierre Curie, que era profesor de Física. Los dos empiezan a trabajar juntos en los laboratorios y siguiente Pierre se declara a Marie, casándose el 26 de julio, en una boda sencilla en la que les dieron algo de dinero. Con este dinero se

el verano viajando por Francia con ellas, hospedándose en fondas y comiendo poco. Su matrimonio duraría, hasta la trágica muerte de Pierre, un total de once años. En 1895 se descubrieron los rayos X y en 1896

. Marie es animada por Pierre para que haga su tesis doctoral sobre este último descubrimiento.


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Francia, el 4

obtuvo 2 Nobel diferentes, recibió el Premio Nobel de Química

MARIE CURIE

(*1867-†1934)

física polaca, posteriormente , fue, entre otros méritos, además de ser la primera persona en recibir

, localidad perteneciente al Zarato de Polonia durante el Imperio Ruso, vivió allí hasta los 24 años. En 1891 se trasladó (también galardonada con el

en París y en Varsovia.

noviembre de 1867 en Varsovia. Era la quinta hija de Władysław Skłodowski, profesor de enseñanzas medias en

, que, tras varias revueltas nacionalistas sofocadas violentamente, había impuesto su lengua y sus costumbres. Junto con su hermana Helena, Marie asistía a clases clandestinas ofrecidas en un pensionado en las que

y, dos años más tarde, la de su . Esos eventos hicieron que Marie dejara la religión católica romana y se volviera agnóstica.

2

Entre sus intereses destacaba la pasión por la lectura (Marie mostró su afición por la lectura a los cuatro años, edad a la que ya leía specialmente sobre historia natural y física. En la Secundaria fue siempre la primera alumna de su clase, y se destacó por

influir en sus compañeras el entusiasmo por el trabajo. Polaco, ruso, alemán y francés eran algunas de las lenguas que Marie dominaba. Más

. A partir de ese momento, Marie pasó a llamarse Marie Sklodowska. A pesar de tener una sólida base cultural adquirida de forma autodidacta, Marie tuvo que esforzarse para

también se licencia en Matemáticas, la segunda Fundación Alexandrowitch, que le fue otorgada

tituido por Marie más tarde.

, que era profesor de Física. Los dos empiezan a trabajar juntos en los laboratorios y , en una boda sencilla en la que les dieron algo de dinero. Con este dinero se

con ellas, hospedándose en fondas y comiendo poco. Su matrimonio 1896 se descubre la radiactividad




El doctorado.-

RETRATO DE 1903

Tras la doble titulación, el siguiente reto era la obtención delmujer que había logrado doctorarse era la alemana

El primer pascentrarse en los trabajos del físico transmitían unos rayos de naturaleza desconocida. Este trabajo estaba relacionado con el reciente descubrimiento de lostrabajos y, con la ayuda de su esposo, decidió investigar la naturaleza de las radiaciones que producían las sales de uranio.

Dirigida por el propio Betitulada Investigaciones sobre las sustancias radiactivasLippmann. Obtuvo el doctorado y la mención

La cátedra de Física

Tras la muerte de su esposo en 1906, Marie obtuvo la cátedra de Física en la Sorbona que había sido otorgada a Pierre en

El 15 de noviembre de 1906 Marie Curie dio su primera lección. La expectación era máxima, ya que se trataba de la primera vez que una mujer impartía una clase en la universidad. Allí acudió un gran número de personas; muchas de ellas ni siquiera eran estudiantes. En aquella primera sesión, Marie habló sobre la radiactividad.

Estudio de la radiactividad.-

Marie y Pierre estudiaron las hojas radiactivas, en particular elradiactiva que el uranio que se extraía de ella. La emás radiactivo que el uranio.

También descubren que el torio podía producir radiactividad. Tras varios años clases de pechblenda, aislaron dos nuevos elementos químicosnativo. Polonia había sido particionado en el s. XVIIIcon su país nativo para atraer la atención hacia su pérdida de independencia. Elpor razones políticas.

3 El otro elemento fue llamado

Pierre era el encargado de suministrar todos los medios y artilugios para que Marie trabajara. Pierreincluso le obligaba a reposar en cama, además de que los dos sufrían quemaduras y llagas producidas por sus peligrosos trabaj

EL LABORATORIO DE LA CALLE KRAKOWSKIE RZEDMIEŚCIE 66, CERCA DEL VIEJO CENTRO DE VARSOVIA. 1890–91. MARIA SKŁODOWSKA HIZO ALLÍ SUS PRIMEROS ESTUDIOS.

Poco después Marie obtuvo un gramo de cloruro de radio, lo que consiguió tras manipular hasta ocho toneladas de pechblenda. En 1902reuniones sociales, lo que les lleva a la fama. Los científicos les mandaban cartas y lopedían que dieran a conocer todos sus descubrimientos. Tanto Pierre como Marie aceptan y prestan todas sus investigaciones sin querer lucrarse de ello media

Premios Nobel.-

Junto con Henri Becquerellos extraordinarios servicios rendidHenri Becquerel"4 Fue la primera mujer que obtuvo tal galardón. Recibieron por él 15.000utilizaron para hacer regalos a sus familias y comprarse una bañera. Poco después, en 1904, Pierre se consolidó como profesortitular en la Facultad de Ciencias de trabajos. En el mismo año tuvieron a su segunda hija, Ève, tras sufrir Marie un aborto, probablemradiactividad.

El 19 de abril de 1906 ocurrió una tragedia: Pierre fue atropellado por un carruaje de sepudiera hacer por él. Marie quedó muy afectada, pero quería seguir con sus trabajos y rechazó una pensión vitalicia. Además asumió la cátedra de su marido, y fue la primera mujer en dar clases en la universidad en los fundación.

En 1910 demostró que se podía obtener un gramo de radio puro. Al año siguiente recibió en solitario el Premio Nobel de Química «en reconocimiento de sus servicios en el avance de la Química por el descubrimiento de los elementos radio y polonio, el aislamiento del radio y el estudio de la naturaleza y compuestos de este elemento».6 Con una actitud desinteresada, noaislamiento del radio, dejándolo abierto a la investigación de toda la comunidad científica.

Marie Curie fue la primera persona a la que se le concedieron dos Premios Nobel encampos. La otra persona que lo ha obtenido hasta el presente espremios Nobel en el mismo campo lo han obtenidoSanger (Química). Marie Curie presidió, por otra parte, el Instituto del Radio y trabajó en el gran laboratorio Curie. Tiempo después de la muerte de su marido, inició una relación de pareja con elPaul Langevin, quien estaba casado, lo que generó un escándalo periodístico con tintes


Tras la doble titulación, el siguiente reto era la obtención del doctorado. Hasta ese momento, la única mujer que había logrado doctorarse era la alemana Elsa Neumann.

El primer paso era la elección del tema de su tesis. Tras analizarlo con su marido, ambos decidieron centrarse en los trabajos del físico Henri Becquerel, que había descubierto que las saletransmitían unos rayos de naturaleza desconocida. Este trabajo estaba relacionado con el reciente descubrimiento de los rayos X por parte del físico Wilhelm Röntgen. Marie Curie se interesó por estos trabajos y, con la ayuda de su esposo, decidió investigar la naturaleza de las radiaciones que producían las sales de uranio.

Dirigida por el propio Becquerel, el 25 de junio de 1903 Marie defendió su tesis doctoral, Investigaciones sobre las sustancias radiactivas, ante un tribunal presidido por el físico

. Obtuvo el doctorado y la mención cum laude.

, Marie obtuvo la cátedra de Física en la Sorbona que había sido otorgada a Pierre en

de 1906 Marie Curie dio su primera lección. La expectación era máxima, ya que se trataba de la primera vez que una mujer í acudió un gran número de personas; muchas de ellas ni siquiera eran estudiantes. En aquella primera

Marie y Pierre estudiaron las hojas radiactivas, en particular el uranio en forma de pechblenda, que tenía la curiosa propiedad de ser más radiactiva que el uranio que se extraía de ella. La explicación lógica fue suponer que la pechblenda contenía trozos de algún elemento mucho

podía producir radiactividad. Tras varios años de trabajo constante, a través de la concentración de varias elementos químicos. El primero, en 1898, fue nombrado como polonio

s. XVIII entre Rusia, Prusia y Austria, y la esperanza de Skłodowska-Curie fue nombrar al elemecon su país nativo para atraer la atención hacia su pérdida de independencia. El polonio fue el primer elemento químico

El otro elemento fue llamado radio debido a su intensa radiactividad. Siempre trabajaron en estos años en un cobertizo y Pierre era el encargado de suministrar todos los medios y artilugios para que Marie trabajara. Pierre tenía temporadas de una gran fatiga que incluso le obligaba a reposar en cama, además de que los dos sufrían quemaduras y llagas producidas por sus peligrosos trabaj

Poco después Marie obtuvo un gramo de cloruro de radio, lo que consiguió tras manipular hasta ocho toneladas 1902 presentan el resultado y les invitan a todas las sedes científicas, y a todas las cenas y

reuniones sociales, lo que les lleva a la fama. Los científicos les mandaban cartas y lopedían que dieran a conocer todos sus descubrimientos. Tanto Pierre como Marie aceptan y prestan todas sus investigaciones sin querer lucrarse de ello mediante patentes, un hecho que es aplaudido por todo el mundo.

Henri Becquerel y Pierre Curie, Marie fue galardonada con el Premio Nobel de Físicalos extraordinarios servicios rendidos en sus investigaciones conjuntas sobre los fenómenos de radiación descubiertos por

Fue la primera mujer que obtuvo tal galardón. Recibieron por él 15.000 dólaresutilizaron para hacer regalos a sus familias y comprarse una bañera. Poco después, en 1904, Pierre se consolidó como profesortitular en la Facultad de Ciencias de la Sorbona (donde ya enseñaba desde 1900).5La fama les abrumó y se concentraron en sus trabajos. En el mismo año tuvieron a su segunda hija, Ève, tras sufrir Marie un aborto, probablem

ocurrió una tragedia: Pierre fue atropellado por un carruaje de seis toneladas, y murió sin que nada se pudiera hacer por él. Marie quedó muy afectada, pero quería seguir con sus trabajos y rechazó una pensión vitalicia. Además asumió la cátedra de su marido, y fue la primera mujer en dar clases en la universidad en los

demostró que se podía obtener un gramo de radio puro. Al año siguiente recibió en solitario «en reconocimiento de sus servicios en el avance de la Química por el

aislamiento del radio y el estudio de la naturaleza Con una actitud desinteresada, no patentó el proceso de

aislamiento del radio, dejándolo abierto a la investigación de toda la comunidad científica.

Marie Curie fue la primera persona a la que se le concedieron dos Premios Nobel en dos diferentes hasta el presente es Linus Pauling (Química y Paz). Dos

lo han obtenido John Bardeen (Física) y Frederick (Química). Marie Curie presidió, por otra parte, el Instituto del Radio y trabajó en el gran

erte de su marido, inició una relación de pareja con el físico un escándalo periodístico con tintes xenófobos. MARIE Y PIERRE CURIE EN SU LABORATORIO DE PARÍS.


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. Hasta ese momento, la única

o era la elección del tema de su tesis. Tras analizarlo con su marido, ambos decidieron , que había descubierto que las sales de uranio

transmitían unos rayos de naturaleza desconocida. Este trabajo estaba relacionado con el reciente . Marie Curie se interesó por estos

trabajos y, con la ayuda de su esposo, decidió investigar la naturaleza de las radiaciones que producían

Marie defendió su tesis doctoral, nte un tribunal presidido por el físico Gabriel

, Marie obtuvo la cátedra de Física en la Sorbona que había sido otorgada a Pierre en 1904.

de 1906 Marie Curie dio su primera lección. La expectación era máxima, ya que se trataba de la primera vez que una mujer í acudió un gran número de personas; muchas de ellas ni siquiera eran estudiantes. En aquella primera

, que tenía la curiosa propiedad de ser más xplicación lógica fue suponer que la pechblenda contenía trozos de algún elemento mucho

de trabajo constante, a través de la concentración de varias polonio en referencia a su país

Curie fue nombrar al elemento elemento químico que recibió su nombre

debido a su intensa radiactividad. Siempre trabajaron en estos años en un cobertizo y tenía temporadas de una gran fatiga que

incluso le obligaba a reposar en cama, además de que los dos sufrían quemaduras y llagas producidas por sus peligrosos trabajos radiactivos.

Poco después Marie obtuvo un gramo de cloruro de radio, lo que consiguió tras manipular hasta ocho toneladas presentan el resultado y les invitan a todas las sedes científicas, y a todas las cenas y

reuniones sociales, lo que les lleva a la fama. Los científicos les mandaban cartas y los estadounidenses les pedían que dieran a conocer todos sus descubrimientos. Tanto Pierre como Marie aceptan y prestan todas sus

nte patentes, un hecho que es aplaudido por todo el mundo.

Premio Nobel de Física en1903, "en reconocimiento de os en sus investigaciones conjuntas sobre los fenómenos de radiación descubiertos por

dólares, una parte de los cuales la utilizaron para hacer regalos a sus familias y comprarse una bañera. Poco después, en 1904, Pierre se consolidó como profesor

La fama les abrumó y se concentraron en sus trabajos. En el mismo año tuvieron a su segunda hija, Ève, tras sufrir Marie un aborto, probablemente producido por la

is toneladas, y murió sin que nada se pudiera hacer por él. Marie quedó muy afectada, pero quería seguir con sus trabajos y rechazó una pensión vitalicia. Además asumió la cátedra de su marido, y fue la primera mujer en dar clases en la universidad en los 650 años transcurridos desde su

MARIE Y PIERRE CURIE EN SU LABORATORIO DE PARÍS.




Etapa final de su vida.-

Durante la Primera Guerra Mundial Curie propuso el uso de la radiografía móvil para el tratamiento de soldados heridos. El coche llevaba el nombre de Petit Curie. Su hija Irene empieza a ayudarla con 18 años. El gramo de radio lo dona a la investigación científica; luego le darían otro que también donaría al Instituto del Radio de Varsovia. En 1921 visitó los Estados Unidos, donde fue recibida triunfalmente. El motivo del viaje era recaudar fondos para la investigación. En sus últimos años fue asediada por muchos físicos y productores de cosméticos, que usaron material radiactivo sin precauciones.

Muerte, e ingreso en el Panteón de París.-

Sólo unos meses más tarde de su última visita a Polonia, en la primavera de 1934, Curie, después de quedarse ciega, murió, el 4 de julio de 1934, en la Clínica Sancellemoz, cerca de Passy (Alta Saboya, Francia), a causa de una anemia aplásica, probablemente debida a las radiaciones a las que estuvo expuesta en sus trabajos, y cuyos nocivos efectos eran aún desconocidos. Fue enterrada junto a su marido en el cementerio de Sceaux, pocos kilómetros al sur de París.

Sesenta años después, en 1995, sus restos fueron trasladados, junto con los de Pierre, al Panteón de París.7 En el discurso pronunciado en la ceremonia solemne de ingreso, el 20 de abril de 1995,8 el entonces Presidente de la República, François Mitterand, dirigiéndose especialmente a sus nietos y bisnietos, destacó que Marie, que había sido la primera mujer francesa en ser doctora en Ciencias, en profesar en la Sorbona, y también en recibir un Premio Nobel, lo era nuevamente al reposar en el famoso Panteón por sus propios méritos (en lo que sigue siendo la única al día de hoy9 ).

Su hija mayor, Irene Joliot-Curie (1897–1956), también obtuvo el Premio Nobel de Química, en 1935, un año después de la muerte de su madre, por su descubrimiento de la radiactividad artificial. La segunda y longeva hija del matrimonio, Ève (Eva Curie, 1904–2007), periodista, pianista y activista por la infancia, fue el único miembro de la familia que no se dedicó a la ciencia. Escribió una biografía de su madre, Madame Curie, que se publicó simultáneamente en Francia, Inglaterra, Italia España, Estados Unidos y otros países en 1937, y fue un best-seller, aunque en los últimos años se le ha criticado el haberla edulcorado, omitiendo detalles importantes como la relación de Marie, ya viuda, con un antiguo alumno de su marido, el casado Paul Langevin, o los muchos problemas e insultos que Marie tuvo que soportar a causa de algunos importantes círculos científicos franceses, y de cierta prensa sensacionalista.10

DIPLOMA DEL PREMIO NOBEL DE FÍSICA RECIBIDO EN 1903

DIPLOMA DEL PREMIO NOBEL DE QUÍMICA RECIBIDO EN 1911

MONUMENTO, VARSOVIA, 1935

Legado en la cultura popular.-

Durante un período de hiperinflación en los años 1990, su efigie estaba impresa en los billetes de 20.000 zloty en su Polonia natal. Además de la exitosa biografía escrita por su hija Eva Curie en 1937 (publicada en español dentro de la colección Austral), en 1943 se hizo una película biográfica a partir de ella, dirigida por Mervyn LeRoy. En 1997 el director de cine francés Claude Pinoteau estrenó otra película, Les palmes de M. Schutz (conocida en español como Los méritos de Madame Curie), en la que se relata su vida desde que conoce a su marido hasta el descubrimiento del radio.

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Imágenes obtenidas de:

Referencias

1. ↑ Wojciech A. Wierzewski, "Mazowieckie korzenie Marii" ("Marie's Maowsze Rots"), p. 16. 2. ↑ Reid, Robert William (1974). Marie Curie. Londres: Collins. ISBN 0-00-211539-5. "Inusualmente a tan temprana edad, ella se convierte en aquello para lo que T. H. Huxley había justamente

inventado el término: agnóstica." 3. ↑ K. Kabzinska, "Chemical & Polish Aspects of Polonium & Radium Discovery," Przemysł chemiczny (Industria Química), 77:104–7, 1998. Aspectos políticos del nombre polonio. 4. ↑ Antoine H. Becquerel. On radioactivity, a new property of matter. Nobel Lecture, 11-12-1903. The Official Web Site of the Nobel Prize. 5. ↑ Biografía de Pierre Curie. The Official Web Site of the Nobel Prize (en inglés). 6. ↑ Marie Curie. Conference Nobel. En: Les Prix Nobel en 1911. Stockholm, Imprimerie Royale P.A. Norstedt & Söner (1912), con una nota introductora. Edición facsímil en Arbor (2011) 187

(Extra 2): 31-46. Traducción al inglés en: Radium and the New Concepts in Chemistry Nobel Lecture. The Official Web Site of the Nobel Prize 7. ↑ Decreto de 8 de marzo de 1995, autorizando el traslado. 8. ↑ Discours du transfert des cendres de Pierre et Marie Curie au Panthéon (en francés). 9. ↑ La primera fue Sophie Berthelot, en 1907, pero sólo por su condición de esposa del célebre químico. Existen actualmente numerosas reivindicaciones sobre el derecho a estar allí de otras

notables mujeres francesas, vid. Femmes au Panthéon. 10. ↑ Ève Curie. Mother's biography (en inglés). 11. ↑ http://www.imdb.com/title/tt0119855/


FFÉÉLLIIXXNació el 23 de octubre de 1905 y murió el 10 de septiembre de 1983,

ambos acontecimientos en Zúrich, Suiza.

Fue premiado en 1952, junto con Edward Mills Purcellpor "el desarrollo de nuevos métodos en la medición precisa de efectos magnéticos

nucleares".

Fuentes:

• • http://es.geocities.com/fisicas

• Biografías y Vidas.

• Conferencias Nobel , Física 1942-1962, Elsevier Publishing Company, Amsterdam, 1964

Consultas: Diciembre 7, 2011.

Félix Bloch nació en Zurich, Suiza, el 23 de octubre de 1905, siendo soltera Mayer). De 1912 a 1918 asistió a la escuela pública primaria y, posteriormente, el "Gymnasium" (Liceo) del cantón de Zurich, que dejó en el otoño de 1924 después de haber pasado la "Matura", es decir, el ele daba derecho a asistir a una institución de educación superior.

Originalmente había decidido convertirse en ingeniero, por lo que entró directamente al Instituto Federal de Tecnología (Eidgenössische Technische Hochschule) de Zúrich; decidió estudiar física, y por lo que se cambió a la División de Matemáticas y Física en la misma institución.los siguientes dos años asistió, entre otros, a los cursos impartidos porcomo Schrödinger, que enseñaba al mismo tiempo en la Universidad de Zúrich y fue quien hizo que se interesara por los más recientes avances de la mecánica.la física teórica. Después que Schrödinger se fue de Zúrich en el otoño de 1927, continuó sus estudios con Heisenberg en la Universidad de Leipzig, donde recibió su grado de Doctuna tesis doctoral que trataba sobre la mecánica cuántica de los electrones en cristales y el desarrollo de la teoría de la conducción metálica. Varias ayudantías y becas en los años siguientes, le dieron la oportuncon Pauli, Kramers, Heisenberg, Bohr y Fermisobre el poder retenido en partículas cargadas.


XX BBLLOOCCHH Nació el 23 de octubre de 1905 y murió el 10 de septiembre de 1983,

ambos acontecimientos en Zúrich, Suiza.

Edward Mills Purcell, con el Premio Nobel de Física el desarrollo de nuevos métodos en la medición precisa de efectos magnéticos

nucleares".

Elsevier Publishing Company, Amsterdam, 1964

nació en Zurich, Suiza, el 23 de octubre de 1905, siendo sus padres Gustav Bloch y AgnesDe 1912 a 1918 asistió a la escuela pública primaria y, posteriormente, el "Gymnasium" (Liceo) del

cantón de Zurich, que dejó en el otoño de 1924 después de haber pasado la "Matura", es decir, el ele daba derecho a asistir a una institución de educación superior.

Originalmente había decidido convertirse en ingeniero, por lo que entró directamente al Instituto Federal de Tecnología (Eidgenössische Technische Hochschule) de Zúrich; pero luego de un año de estudios de ingeniería, decidió estudiar física, y por lo que se cambió a la División de Matemáticas y Física en la misma institución.los siguientes dos años asistió, entre otros, a los cursos impartidos por Debye

, que enseñaba al mismo tiempo en la Universidad de Zúrich y fue quien hizo que se interesara cánica. Los intereses de Bloch para ese momento lo hicieron inclinarse hacia

Después que Schrödinger se fue de Zúrich en el otoño de 1927, continuó sus estudios con Heisenberg en la Universidad de Leipzig, donde recibió su grado de Doctor en Filosofía en el verano de 1928 con una tesis doctoral que trataba sobre la mecánica cuántica de los electrones en cristales y el desarrollo de la teoría

Varias ayudantías y becas en los años siguientes, le dieron la oportunFermi, y realizar más estudios teóricos sobre el estado sólido, así como

sobre el poder retenido en partículas cargadas.


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FELIX BLOCH (1905-1983)

sus padres Gustav Bloch y Agnes Bloch (de De 1912 a 1918 asistió a la escuela pública primaria y, posteriormente, el "Gymnasium" (Liceo) del

cantón de Zurich, que dejó en el otoño de 1924 después de haber pasado la "Matura", es decir, el examen final que

Originalmente había decidido convertirse en ingeniero, por lo que entró directamente al Instituto Federal de pero luego de un año de estudios de ingeniería,

decidió estudiar física, y por lo que se cambió a la División de Matemáticas y Física en la misma institución. Durante Debye, Scherrer, Weyl, así

, que enseñaba al mismo tiempo en la Universidad de Zúrich y fue quien hizo que se interesara Los intereses de Bloch para ese momento lo hicieron inclinarse hacia

Después que Schrödinger se fue de Zúrich en el otoño de 1927, continuó sus estudios con or en Filosofía en el verano de 1928 con

una tesis doctoral que trataba sobre la mecánica cuántica de los electrones en cristales y el desarrollo de la teoría Varias ayudantías y becas en los años siguientes, le dieron la oportunidad de trabajar

lizar más estudios teóricos sobre el estado sólido, así como




Tras el ascenso de Hitler al poder, Bloch salió de Alemania en la primavera de 1933, y un año más tarde aceptó un puesto que le fue ofrecido en la Universidad de Stamford. El nuevo entorno en el que se encontraba en los Estados Unidos ayudó a la maduración del deseo que tenía desde hacía algún tiempo para realizar investigaciones experimentales. Trabajando con una fuente de neutrones muy simple, se le ocurrió que una prueba directa para el momento magnético de los neutrones libres se podía obtener a través de la observación de la dispersión de hierro. En 1936, publicó un artículo en el que los detalles de este fenómeno fueron elaborados y en el que se señaló que daría lugar a la producción y la observación de haces de neutrones polarizados. El desarrollo de estas ideas le llevó en 1939 a un experimento, realizado en colaboración con L. W. Álvarez en el ciclotrón de Berkeley, en el que se determina el momento magnético del neutrón con una precisión de alrededor de un uno por ciento.

Durante los años de guerra el Dr. Bloch también participó en las primeras etapas del trabajo sobre la energía atómica en la Universidad de Stamford y Los Álamos, y luego en el contador de medidas para radar en la Universidad de Harvard. A través de este último trabajo entró en contacto con los desarrollos modernos de la electrónica que, hacia el final de la guerra, le sugirió que, en conjunción con sus anteriores trabajos sobre el momento magnético del neutrón, un nuevo enfoque hacia la investigación de los momentos nucleares.

Estas investigaciones se iniciaron inmediatamente después de su regreso a Stamford en el otoño de 1945 y dio lugar poco después, en colaboración con W. W. Hansen y M. E. Packard a un nuevo método de inducción nuclear, un procedimiento puramente electromagnético para el estudio de los momentos nucleares en sólidos, líquidos, o gases. Unas semanas después de los primeros experimentos exitosos recibió la noticia del descubrimiento del mismo método realizado de forma independiente y simultáneamente por E. M. Purcell y sus colaboradores en la Universidad de Harvard.

La mayor parte del trabajo de Bloch en los siguientes años lo dedicó a las investigaciones con el uso de este nuevo método. En particular, fue capaz, si se combina con los elementos esenciales de su trabajo anterior sobre el momento magnético del neutrón, de volver a medir esta importante cantidad con una gran precisión en colaboración con D. Nicodemo y H. H. Staub (1948). En uno de sus últimos trabajos teóricos se ocupó principalmente de los problemas que surgieron en relación con experimentos llevados a cabo en su laboratorio.

En 1954, Bloch tuvo una licencia para servir por un año como primer Director General del CERN en Ginebra. Tras su regreso a la Universidad de Stamford, continuó sus investigaciones sobre el magnetismo nuclear, en particular en lo que respecta a la teoría de la relajación. A la vista de nuevos desarrollos, la mayor parte de las últimas ofertas de trabajo recibidas estaban relacionadas con la teoría de la superconductividad y de otros fenómenos a bajas temperaturas.

En 1961, recibió una cátedra cuando fue nombrado Profesor Max Stein de Física de la Universidad de Stamford.

El profesor Bloch se casó en 1940 con la Dra. Lore Misch, una refugiada alemana y también física como él.

Félix Bloch murió el 10 de septiembre de 1983, próximo a cumplir los 78 años.

Imágenes obtenidas de:


II EEnnccuueennttrroo RReeggiioonnaall ddLugar: Auditorio de la Facultad de Ciencias de la EducaciónFecha: 5 de Noviembre de 2011 Hora: 8:00 AM El 5 de noviembre de 2011 se realizó el Evento Doctoral “I Encuentro Regional de Gerencia Autopoiética”, organizado por los dprofesores Andrés Ascanio Marrero e Yraima Aguilar, al cual fueron invitados como ponentes: Dr. José Tadeo Morales, Dr. Franklin Machado, Dra. Nerys Olivares, Msc. Néstor Palacios y Msc. Francisco Gamboa. A los estudcursantes de la asignatura Cálculo II de la Mención Matemática que asistieron al evento, se les encomendó la personal de alguna de las ponencias. Varios presentaron su escrito. Consideramos pertinente, por la información que aportan smotivo del evento, publicar en números sucesivos de la revista algunos de ellos. Si sobre uninformes, los publicaremos en serie de manera secuencial.

Gerencia AutopoiéticaResumen de la Ponencia del

“Ecosustentabilidad: Visión AutopoiéticaPreparado p

Cursante de la Asignatura Cálculo II Educación ambiental.

Es el proceso de aprendizaje de la naturaleza y la interrelación hombreambientalmente informada, preparada para desarrollar actitudes y habilidades prácticas que mejoren la calidad de vida.

Hay que insistir en que la vida humana se desarrolla en estrecha relación con la naturaleza y que su funcionamiento nos afecterror considerar que nuestros avances tecnológicos: coches, grandes casas, industria, etc. nos permiten vivir al margen del restudio de los ecosistemas, de su estructura y de su funcionamiento, nos demuestra la pde la contaminación de la atmósfera es grave especialmente en las grandes ciudades, comerciales, domésticas, agropecuarias y a los motores de loAfectando la vida de la biosfera y provocando problemas de salud en las personas, afectando la fotosíntesis de la plantas y pambientales como el efecto invernadero, la lluvia ácida y la disminución de la capa de ozono que es vital para la vida en la tierra.

La conservación del ambiente consiste en el uso racional de los recursos que nos brinda la naturaleza, para lograr un desarrogarantice la vida de las generaciones futuras.

En un planeta sin agua, sin tierras fértiles, sin árboles, sin aire puro, es imposible la vida, por ello es tan importante qupara nuestros hijos y demás descendientes.

Se ha efectuado recientemente cumbres en las cuales se protección del Medio Ambiente y el Desarrollo, pero se encuentran con la gran dificultad de la falta de recursos. Mientras noenergías y capacidades a los Retos que tienen planteados con el Medio Ambiente, Desarrollo, Cambio Climático y Desastres de habrá que conformarse con decisiones como las adoptadas en la Cumbres de Kioto (1998), de Nairobi (2006) reducir la contaminación atmosférica un 5% o un deseable 25% ó 40% en 2020.los peligros que conlleva, como los fenómenos naturales.

Un fenómeno natural es un cambio en la naturaleza que sucede por sí solo sin intervención humana; entre ellos están las tormeeclipse, rayos, arco iris, tormenta de arena, etc. Y los desastres naturales son los mismos fenómenos a diferencia dedestrucción de diversa magnitud, entre ellos tenemos los terremotos que son causados por el movimiento de la tierra producieny destrucción en la superficie, tsunamis que son provocados por movimientos en el fondocausada por la expulsión de magma desde el interior de la tierra, tornados que son vientos huracanados con trayectoria giratograndes velocidades, huracanes que son vientos cálidos y fríocéanos y ocasionando grandes destrucciones en las poblaciones.

Teoría de Uri Bronfrenbrener.

Los ambientes naturales son la principal fuente de influencia sobre la conducta hu

Microsistemas:

Son el medio donde se desarrolla el ser humano, casa, escuela, vecindario.

Mesosistemas:

Es cuando los padres se unen con los maestros para educar a los niños logrando una interacción con los microsistemas.

Exosistemas:

Es la unión del microsistema y mesosistema, la estructura de la urbanización o localidad.


ddee GGeerreenncciiaa AAuuttooppooiiééttiiccaa Lugar: Auditorio de la Facultad de Ciencias de la Educación

El 5 de noviembre de 2011 se realizó el Evento Doctoral “I Encuentro Regional de Gerencia Autopoiética”, organizado por los doctorandos profesores Andrés Ascanio Marrero e Yraima Aguilar, al cual fueron invitados como ponentes: Dra. Amada Mogollón, Dr. Wilfredo IllasDr. José Tadeo Morales, Dr. Franklin Machado, Dra. Nerys Olivares, Msc. Néstor Palacios y Msc. Francisco Gamboa. A los estudiantes cursantes de la asignatura Cálculo II de la Mención Matemática que asistieron al evento, se les encomendó la elaboración de un resumen personal de alguna de las ponencias. Varios presentaron su escrito. Consideramos pertinente, por la información que aportan sobre el tema motivo del evento, publicar en números sucesivos de la revista algunos de ellos. Si sobre un mismo ponente fueron presentados varios

Gerencia Autopoiética. Resumen de la Ponencia del Msc. Néstor Palacios:

Ecosustentabilidad: Visión Autopoiética”. Preparado por: BR. YADIRA COLMENARES

C. I. Nº: 20.356.941 Cursante de la Asignatura Cálculo II – Mención Matemática – Semestre 2-2011

Es el proceso de aprendizaje de la naturaleza y la interrelación hombre- naturaleza; la educación ambiental se basa en ambientalmente informada, preparada para desarrollar actitudes y habilidades prácticas que mejoren la calidad de vida.

Hay que insistir en que la vida humana se desarrolla en estrecha relación con la naturaleza y que su funcionamiento nos afecterror considerar que nuestros avances tecnológicos: coches, grandes casas, industria, etc. nos permiten vivir al margen del restudio de los ecosistemas, de su estructura y de su funcionamiento, nos demuestra la profundidad de estas relaciones.de la contaminación de la atmósfera es grave especialmente en las grandes ciudades, el mayor índice se debe a las actividades industriales, comerciales, domésticas, agropecuarias y a los motores de los vehículos, por el impacto que tienen las sustancias que arrojan a la atmósfera. Afectando la vida de la biosfera y provocando problemas de salud en las personas, afectando la fotosíntesis de la plantas y p

vernadero, la lluvia ácida y la disminución de la capa de ozono que es vital para la vida en la tierra.

La conservación del ambiente consiste en el uso racional de los recursos que nos brinda la naturaleza, para lograr un desarro

En un planeta sin agua, sin tierras fértiles, sin árboles, sin aire puro, es imposible la vida, por ello es tan importante qu

temente cumbres en las cuales se ha realizado el planteamiento acertado de querer compaginar la existencia de guerras, la protección del Medio Ambiente y el Desarrollo, pero se encuentran con la gran dificultad de la falta de recursos. Mientras noenergías y capacidades a los Retos que tienen planteados con el Medio Ambiente, Desarrollo, Cambio Climático y Desastres de habrá que conformarse con decisiones como las adoptadas en la Cumbres de Kioto (1998), de Nairobi (2006) o de Bali (diciembre de 2007): reducir la contaminación atmosférica un 5% o un deseable 25% ó 40% en 2020. Totalmente insuficientes para evitar el calentamiento del globo y los peligros que conlleva, como los fenómenos naturales.

Un fenómeno natural es un cambio en la naturaleza que sucede por sí solo sin intervención humana; entre ellos están las tormeeclipse, rayos, arco iris, tormenta de arena, etc. Y los desastres naturales son los mismos fenómenos a diferencia dedestrucción de diversa magnitud, entre ellos tenemos los terremotos que son causados por el movimiento de la tierra producieny destrucción en la superficie, tsunamis que son provocados por movimientos en el fondo del océano causando grandes olas, erupción volcánica causada por la expulsión de magma desde el interior de la tierra, tornados que son vientos huracanados con trayectoria giratograndes velocidades, huracanes que son vientos cálidos y fríos que alcanzan velocidades de hasta 240 km/h formando una gran espiral en los océanos y ocasionando grandes destrucciones en las poblaciones.

Los ambientes naturales son la principal fuente de influencia sobre la conducta humana.

Son el medio donde se desarrolla el ser humano, casa, escuela, vecindario.


del microsistema y mesosistema, la estructura de la urbanización o localidad.


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octorandos ilfredo Illas,

iantes elaboración de un resumen

obre el tema mismo ponente fueron presentados varios

naturaleza; la educación ambiental se basa en lograr una población ambientalmente informada, preparada para desarrollar actitudes y habilidades prácticas que mejoren la calidad de vida.

Hay que insistir en que la vida humana se desarrolla en estrecha relación con la naturaleza y que su funcionamiento nos afecta totalmente. Es un error considerar que nuestros avances tecnológicos: coches, grandes casas, industria, etc. nos permiten vivir al margen del resto de la biosfera y el

rofundidad de estas relaciones. Actualmente el problema el mayor índice se debe a las actividades industriales,

s vehículos, por el impacto que tienen las sustancias que arrojan a la atmósfera. Afectando la vida de la biosfera y provocando problemas de salud en las personas, afectando la fotosíntesis de la plantas y provocando problemas

vernadero, la lluvia ácida y la disminución de la capa de ozono que es vital para la vida en la tierra.

La conservación del ambiente consiste en el uso racional de los recursos que nos brinda la naturaleza, para lograr un desarrollo sostenible que

En un planeta sin agua, sin tierras fértiles, sin árboles, sin aire puro, es imposible la vida, por ello es tan importante que conservemos el ambiente

ha realizado el planteamiento acertado de querer compaginar la existencia de guerras, la protección del Medio Ambiente y el Desarrollo, pero se encuentran con la gran dificultad de la falta de recursos. Mientras no dediquen todas sus energías y capacidades a los Retos que tienen planteados con el Medio Ambiente, Desarrollo, Cambio Climático y Desastres de la Naturaleza,

o de Bali (diciembre de 2007): Totalmente insuficientes para evitar el calentamiento del globo y

Un fenómeno natural es un cambio en la naturaleza que sucede por sí solo sin intervención humana; entre ellos están las tormentas, aurora, eclipse, rayos, arco iris, tormenta de arena, etc. Y los desastres naturales son los mismos fenómenos a diferencia de que estos causan daños y destrucción de diversa magnitud, entre ellos tenemos los terremotos que son causados por el movimiento de la tierra produciendo deformaciones

del océano causando grandes olas, erupción volcánica causada por la expulsión de magma desde el interior de la tierra, tornados que son vientos huracanados con trayectoria giratoria que alcanzan

os que alcanzan velocidades de hasta 240 km/h formando una gran espiral en los





Macrosistema:

Es la estructura de la cultura de una ciudad política, económica, clases sociales y valores.

Cronosistema:

Es la historia actual en la que se encuentra el individuo.

Globosistema:

Es la situación ambiental en la que se encuentra la ciudad.

De este modo esta teoría se encarga de demostrar el modo en que el entorno afecta la conducta de los seres humanos a través de un enfoque ecobiopsicosocial poiético.

Autopoiesis:

Para Maturana, la autopoiesis es la propiedad básica de los seres vivos puesto que son sistemas determinados en su estructura, es decir, son sistemas tales que cuando algo externo incide sobre ellos, los efectos dependen de ellos mismos, de su estructura en ese instante, y no de lo externo. Los seres vivos son autónomos, en los que su autonomía se da en su auto referencia y son sistemas cerrados en su dinámica de constitución como sistemas en continua producción de sí mismos

Desarrollo Sustentable:

Se puede llamar de diferentes maneras: Sostenible, Sustentable, Perdurable, tienen el mismo significado, un mismo propósito y se refiere al desarrollo socio-económico que fue formalizado por primera vez en el documento conocido como Informe Brundtland (1987), fruto de los trabajos de la Comisión Mundial de Medio Ambiente y Desarrollo de Naciones Unidas, creada en Asamblea de las Naciones Unidas en 1983. Dicha definición se asumiría en el Principio 3. De la Declaración de Río (1992).

También podemos dividirlo en aspectos importantes o en bases importantes para la sociedad como ambiente, economía y social que conducen a un solo punto y es el bienestar social de todas las naciones donde se debe garantizar calidad de vida satisfacción de las necesidades de la sociedad como alimentación, ropa, vivienda, seguridad, trabajo, entre otros, pues si la pobreza es habitual, el mundo estará encaminado a catástrofes de varios tipos, incluidas las ecológicas. Que hoy en día se está viviendo en muchos países esta realidad de pobreza de catástrofe de muchos casos donde la ecología se está viendo afectada, por eso el calentamiento global, la sobrepoblación, la extinción de especies y es porque no se crea conciencia.

Para ello debe existir un plan de gobierno donde se estructuren reglas y normas que las personas acaten para lograr una mejor forma de vida. La civilización de hoy en día vive para la modernización, no se dan cuenta de todo lo que dañan con eso a la naturaleza, el aire, el agua que consumimos todo está en proceso de extinción si continuamos así. Mi abuela me cuenta que en los tiempos de antes para comerse un pollo había que esperar 6 meses para que el pollo engordara y listo para el consumo ahora con todos los químicos que existen hoy en día un pollo está listo para el consumo en 6 semanas y todo lo que consumimos es químicos; antes para cosechar maíz para hacer las arepas se tardaban 3 meses para poder comer unas arepas ahora en solo 4 semanas tenemos maíz para cosechar y desgerminados, que solo causan daño en el organismo por todas las enfermedades que se desarrollan cada día, cada vez que la tierra recibe todos esos químicos sus propiedades esenciales se van destruyendo poco a poco hasta que sencillamente la tierra no de más frutos, sólo cuando eso ocurra pensaremos en esto que estamos causando. El hombre está causando un gran impacto en la naturaleza con todos esos químicos que siguen inventando solo por la gran cantidad de consumidores que cada día hay en el mundo. Es necesario crear un plan de desarrollo.

No se le da al hombre lo que por derecho debe de tener y es una vida digna, los países más pobres se están yendo a la miseria por que no se piensa en desarrollo, se realiza un plan para desarrollar a largo plazo y nunca se ejecuta, se debe realizar a corto, mediano y largo plazo y así garantizarle una calidad de vida a la sociedad y de resolver todos los problemas existenciales en la economía, pero el desarrollo y el bienestar social, están limitados por el nivel tecnológico, los recursos del medio ambiente y la capacidad del medio ambiente para absorber los efectos de la actividad humana. Ante esta situación, se plantea la posibilidad de mejorar la tecnología y la organización social de forma que el medio ambiente pueda recuperarse al mismo ritmo que es afectado por la actividad humana.

En nuestro país Venezuela se habla de que estamos en desarrollo, pero no podemos hablar de desarrollo cuando la calidad de vida de la población es en pobreza, no se le garantizan ni siquiera los servicios necesarios como lo son: seguridad, salud, vivienda, educación entre otros puntos que si se detallan sería muy extenso. En nuestro país, existe el poder económico, la riqueza suficiente para lograrlo, el Estado debe pensar primero en las necesidades del país para poder ayudar a los demás, no se dice que no ayude pero todo debe empezar por casa primero solventar tus problemas, rescatar los valores y dar conciencia al país para que el desarrollo sea en frutos de bienestar para todos nosotros. Aunque no todo es culpa del estado para poder llegar al desarrollo es que la población ayude a mantener lo que se tenga y no destrozarlo, debemos cuidarlo, ser respetuosos de nuestras cosas, debemos darle un valor muy importante.

Mi consejo es: debemos ser buenos ciudadanos y hacernos sentir como pueblo, no con alborotos ni nada por el estilo no, es rescatando nuestros valores, nuestra conciencia y haciéndole saber al Estado que tiene un pueblo al que debe preocuparse y debe brindarle una calidad de vida digna y veremos todo en nuestro país será mejor y mas fructífero para el día de mañana.

Por esta razón debe existir un cambio radical en la educación ambiental de todo el planeta debemos concientizarnos así como lo dice Uri Bronfrenbrener debemos cuidar los ambientes naturales porque estos son la principal fuente de influencia sobre la conducta humana.

“Los ríos son nuestros hermanos, ellos calman nuestra sed. Los ríos llevan nuestras canoas y alimentan a nuestros hijos. Si os vendemos nuestras tierras, deberéis recordar y enseñar a vuestros hijos que los ríos son nuestros hermanos y hermanos de vosotros; deberéis en adelante dar a los ríos el trato bondadoso que daréis a cualquier hermano”.

"Todo lo que le ocurra a la tierra, le ocurrirá a los hijos de la tierra". Jefe indio Seattle


Reflexiones de Postgrado

Dentro de las asignaturas conducentes de la Maestría en Educación Matemática, ofertada por la Dirección de Estudios para Graduados de la

Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, está incluida “Epistemología de la Educación Matemática”, y esto con el

propósito de fortalecer los fundamentos filosóficos y epistemológicos en el docente de matemática durante sus estudios de cuarto nivel,

tanto en la matemática dimensionada ciencia en sí como sobre el conocimiento propio de su ejercicio profesional.

Fundamentado en este principio, una de las estrategias de trabajo es presentarles a los cursantes una Conferencia Inaugural relacionada con

una de las temáticas a trabajar durante el desarrollo del período lectivo. El propósito de la actividad es que los participantes, reunidos en

equipos, presenten un Ensayo/Pensatorio/Conclusivo sobre el tema tratado en la conferencia.

Para el Periodo Lectivo 1-2012 (enero-abril) se realizó la Conferencia “Holística Cultural: Constructo epistémico en la transición del ser al deber-ser de los

estudiantes en formación en Educación Matemática”, a cargo del Profesor Rafael Ascanio Hernández. Sobre la misma se tuvo como producto la

elaboración de varios Ensayos Pensatorios Conclusivos por los participantes, en su mayoría de gran calidad. Esto motivó a solicitarles

permitieran publicarlos en nuestra Revista HOMOTECIA.

A partir de la edición Nº 7-10 de la revista, comenzamos a publicar la selección mencionada, uno por sección, con características parecidas a

artículos de opinión.

Siguiendo las pautas que siempre hemos establecido, queremos traer a colación lo citado en nuestro índice: si algún lector t iene objeciones sobre las ideas planteadas por los autores de los artículos que publicamos en la revista, agradecemos nos haga l legar a través de nuestra dirección electrónica sus comentarios.

Holística Cultural: Un proceso de transición del Ser (Relativismo) al Deber Ser (Autoridad) del Docente de Matemática

Por: PAUL GARCÍA, C.I. Nº18.254.294; ESTHER RIVAS, C.I. Nº18.362.123 Y MARLYOCER SEQUERA, C.I. Nº 18.957.715

RESUMEN

La Holística Cultural es el objeto de una investigación cualitativa, de carácter etnográfico que tuvo como inquietud inicial el problema educativo acerca del deficiente rendimiento académico de los estudiantes en Matemática. Investigaciones previas han encontrado mejoras parciales y temporales en grupos específicos, por lo que el problema educativo sigue latente y continúa expandiéndose; por tal motivo, dicha investigación plantea las posibilidades teóricas de reconstruir la cultura de los Docentes en formación que den a la institución y a la sociedad una reconstrucción cultural sobre la base de la educación; para lograrlo se propone estudiar la relación existente de considerar a la Matemática como un determinante social en Venezuela, al Docente de esta área como promotor “natural” de tal acción, y cómo afecta este fenómeno en el desarrollo de la sociedad. En la búsqueda de respuestas a una posible relación entre los elementos de la triada señalada, se halló que en la Educación Matemática la tradición convirtió a esta asignatura en un determinante social, donde teniéndose como teoría de aprendizaje dominante al conductismo, sólo se ha dado oportunidades de éxito y beneficios al que responde positivo a los niveles de exigencia en su aprendizaje; y con quienes no ocurre así, se les excluye, relega, trayendo esto como consecuencia un problema social, caracterizado por la pérdida de valores, incremento de la pobreza, la violencia y la inseguridad; por ende, posiblemente al buscar satisfacer la falta de éxito, ha llevado al estudiante a compensarlo convirtiéndose en un desadaptado e irrespetuoso de las normas sociales. Se expresa por tanto que la clave está en hacer de la Educación la vía para una búsqueda perenne de conocimientos, donde la formación cultural del Docente lo haga “un ser inacabado y en constante construcción”, promotor de valores, desarrollando su crecimiento personal, social y humano de manera permanente y continua, por lo que forma competencias como un reconstructor cultural de la sociedad. Por lo anterior, en el estudio realizado fue necesario involucrar a los investigados como investigadores. Se les hizo indagar en sus experiencias para detectar elementos que permiten acuerdos y los que producen conflictos, según la relación que se podían determinar de los mismos con el objeto de estudio, llegándose a las siguientes conclusiones: el constructo holístico cultural desde lo ontológico, posibilitará al Docente conocerse a sí mismo como ser humano; desde lo axiológico permitiría estar consciente de los valores éticos, morales y sociales que debe practicar y transmitir, comprenderá que como docente / ciudadano tiene pertinencia social; que en el acto social y en el educativo, es protagonista de su comunidad, de la institución educativa donde labora y debe promover conductas ajustadas a las leyes. Todo en conjunto da la performatividad del Docente en el contexto de vivir una holística cultural, procurándole competencias para la integración, la convivencia, la cooperación, la eficacia, la creación de valores relacionados con la alteridad, la honestidad, la disciplina, la entrega al servicio, y otros factores que posibilitan que la persona sea cada vez más humana, se hominiza más, en el contexto / ambiente escuela-sociedad.




ENSAYO/PENSATORIO/CONCLUSIVO Hoy más que nunca, nuestra sociedad requiere personas con carácter y que posean valores. Vivimos en una sociedad de permisividad, relativismo y falta de control. La carencia de la autorregulación o autocontrol es la mayor patología de nuestro tiempo. Aristóteles, filósofo griego, exhortó a la moderación para que las personas regulen sus deseos y de este modo prevenir su destrucción y llegar a extremos no deseados. El objetivo de la Educación griega era formar personas virtuosas. En dicha tradición, la virtud se refería a la autorregulación o autocontrol; era el esfuerzo de alterar y dominar las propias conductas y respuestas: acciones, pensamientos, deseos y desempeños. Es decir, la capacidad de disciplinar los procesos básicos mediante el uso de la inteligencia.

En estos tiempos la atención, la priorización, el control de los estímulos, el aplazamiento de los privilegios y la autorregulación son habilidades que fortalecen a la nueva generación en este mundo versátil paulatinamente cambiante. La dificultad educativa muchas veces se relaciona con la decadencia de la autoridad, e incluso con su ausencia en el ámbito escolar, así como en el familiar y social. El término autoridad no debe ser asociado con la palabra disciplina, autoritarismo, obediencia o castigos, sino que debe entenderse como la facultad de lograr el consentimiento del otro, o como la facultad de aceptar las proposiciones que uno formula. Es decir, como la capacidad de influir en la búsqueda del bien, también afirmaba Aristóteles, construyendo al hombre más completo, por tanto, más perfecto. En este sentido, puede decirse que la misión del hombre es encontrar su propio bien y obrar con vistas a su realización.

Al ubicarnos en nuestro panorama real, La sociedad y la Educación Venezolana, ofrece un conjunto de expresiones culturales llena de valores y principios que según sus necesidades transcienden al sujeto para ser útil en ella misma. Pero como resultado de principios no estructurados en el sistema educativo, la enseñanza se ha convertido en un determinante en el rendimiento estudiantil para las asignaturas prácticas, tales como la Matemática; debido a muchos factores como problemas sociales, deficiencia pedagógica y de contenidos pertinentes en la enseñanza, aunado a la pérdida de valores, dificultades en la evaluación por parte del Docente, ha propiciado en considerar el aprendizaje de esta ciencia en un problema de índole social.

Ya para el siglo XX y ahora en el siglo XXI la educación venezolana fue arrastrada como consecuencia de la pobreza excluyendo al estudiante del sistema educativo e incluso a personas que tuviesen problemas que involucran a la sociedad.

Si bien es cierto, lo dicho anteriormente, el estudiante que decide ser Docente y enfrentarse ante esta realidad, ¿Cómo será su perfil?, en su mayoría, de la misma manera como le enseñaron, donde el dominio de los contenidos en el área de Matemática fueron un determinante social y lograron en él un aprendizaje, reforzando esa separación de la educación y la cultura, cuando entre ellas existen una delicada y estrecha compenetración. En este sentido, los Docentes deben propiciar estrategias innovadoras que estimulen y promocionen la iniciativa, creatividad e inventiva del estudiante y que permitan la posibilidad de integrar la Matemática con la realidad y con otras áreas del saber.

Y es por esto, que la Matemática como ciencia, puede proporcionar la regulación de la autoridad y disciplina que son necesarias en nuestra sociedad y sobretodo ser puente en la edificación de una holística cultural, que tenga por objetivo la construcción, en teoría, de una manera de vivir del Docente de Matemática con la intención de proponer regularidades comunes al ser y al deber-ser de éste, alcanzables en las transiciones de su formación académica.

De esta manera, el Docente poco a poco debe internalizar y comprender ¿para qué? y ¿por qué aprender y enseñar?; preguntas que son muy frecuentes en las distintas áreas, especialmente en Matemática. Existe una preconcepción del hacer de la docencia y especialmente en cuanto al Docente de Matemática, en un conductista, un ser excluido de cualidades para impartir enseñanzas de una manera didáctica y constructivista. Es por eso que el Docente debe realizar una metacognición y empatía para encaminar y ajustar los contenidos, según a las necesidades observadas en los estudios desde el punto de vista académico utilizando herramientas Matemáticas cotidianas, comportándose de una manera holística para así formar un acto educativo interactivo entre el Docente – estudiante; también sin perder las cualidades de ser un Docente perfeccionista en su sitio de trabajo, donde debe existir un ambiente apto para impartir los encuentros académicos y evitar el ambiente hostil, componer en conjunto factores que intervengan con igual significado en la transformación, restructuración y retroalimentación del quehacer educativo.

Para finalizar, en el caso particular, Venezuela por ser un país político tiene varias visiones axiológicas y ontológicas, tiene como determinante social la dificultad de hacer cambiar puntos de vista erróneos de los estudiantes, como también cambiar las dificultades de las evaluaciones según las necesidades de los mismos. Por lo que el Docente puede trabajar distintas herramientas útiles y didácticas para aumentar el rendimiento académico en los estudiantes. Fomentar el desarrollo fundamental socio – cultural del estudiante. Imponer cambios importantes en la comunidad, sociedad e instituciones educativas; así como en el currículo educativo con la finalidad de formar estudiantes llenos de conocimientos, valores y vocación para ejercer cualquier rama de la ciencia.

FUENTE BIBLIOGRÁFICA.-

Ascanio, R. (2012). Holística Cultural: Constructo epistémico en la transición del ser al deber-ser de los estudiantes en formación en Educación Matemática. [Conferencia ofrecida en la asignatura Epistemología de la Matemática del programa de Maestría en Educación Matemática de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo].

BIBLIOGRAFÍA DE APOYO.-

AMAYA, J. y PRADO, E. (2011). Homo Sapiens pero Brutus: hacia una inteligencia inteligente y autodisciplinada. Año: 2011. México, D. F.: Editorial: Trillas. Tema: ¿Somos inteligentes para este milenio? “…Aristóteles, filósofo griego, exhorta a la moderación para que las personas regulen sus deseos y de este modo prevenir su destrucción y llegar a extremos no deseados. El objetivo de la Educación griega era formar personas virtuosas. En dicha tradición, la virtud se refería a la autorregulación o autocontrol; era el esfuerzo de alterar y dominarlas propias conductas y respuestas: acciones, pensamientos, deseos y desempeños. La virtud es la capacidad de disciplinar los procesos básicos mediante el uso de una inteligencia…”. (p. 41).


RECONSTRUCCIÓN CULTURAL (2)

RReeccoonnssttrruucccciioonneess ccuullttuurraalleess ddeeDe la matemática griega a la de

Por: Rafael Ascanio HernándezAArrttííccuulloo eenn rreevv

UUnnaa pprrooppuueessttaa ppaarraa llaa rreefflleexx

Una reconstrucción cultural de verificación histórica es la que ha sucedido en la matemática, y la misma en distintas fases epocales. Por ello, se puede considerar que la todavía ocurre; porque contrario a lo que la generalidad piensa, la matemática no es una ciencia de conocimientos acabados. Este conocimiento matemático el hombre lo ha ido transformado en lo que es hoy en respuesta a las crisis en sus fundamentos presentadas en el tiempo.

Los cambios que en la matemática se dieron y se siguen dando en sus fundamentos teóricos, filosóficos y epistemológicos, surgen de las crisis producto de las inconsistencias de los mismos. Así, el matemático se esfuerza por fortalecerlos. Pero al ser la matemática producto de su intelectualidad, cada vez que supera la crisis, realiza una reconstrucción cultural de esta ciencia para en su concepción, hacerla crecer y trascender.

Se tiene evidencia que las primeras dificultades que surgieron en los fundamen

de los números irracionales (Ejemplos: 2

solo existían los números enteros y las razones, estas últimas expresadas como fracciones (números racionales); y enmarcados en la geometría: un segmento de recta era una sucesión muy grande de átomos pero finita, las longitudes de todos los segmentos se podían comparar entre ellas (conmensurables entre sí) y su medida era un número racional.

Pero la crisis se presentó cuando al tratar de determinar la medida de la diagonal de un cuadrado aplicando el conocido Teorema de Pitágoras, el resultado no se correspondía con algún número racional conocido.

El concepto de número que hasta ese momento manejaban los griegos era considerarlo una plu(enteros y fracciones) y se encontraban en ese momento en la necesidad de concebir al número como una magnitud continua, evidentemente dos concepciones opuestas.

En un principio adujeron las explicaciones menos lógicas para rechazarlos.

el edificio matemático que hasta ese momento ellos habían construido. Por ello, apoyados en la situación de que el

primer pitagórico que había divulgado la irracionalidad

es irracional y carente de forma se extermina o debe permanecer oculto. Descubrir a

acceso al temible universo de lo desmesurado, a un ámbito difícil de pensar, irreductible a las normas habituales del cálculo y del discurso bien ordenado (Piaget, 1979).

La solución a la crisis llevó a los griegos a aceptar la econcepto más general de número aritméticoreconstrucción cultural que permitió el crecimiento del conocimiento matemático.

Otra crisis que se puede detallar surgió con las críticas al Cálculo Infinitesimal ((diferencial, integral y de variaciones) desarrollado de forma independiente tanto por Isaac Newton (cálculo de fluxiones) y Gottfried Wilhelm von Leibnizseguidores de ambos, lo utilizaron para aplicarlo en problemas de mecánica y en otras ramas de las ciencias naturales.


RECONSTRUCCIÓN CULTURAL (2)

ee vveerriiffiiccaacciióónn hhiissttóórriiccaa:: a la de finales del siglo XX.

Por: Rafael Ascanio Hernández vviissiióónn xxiióónn yy llaa ddiissccuussiióónn

Una reconstrucción cultural de verificación histórica es la que ha sucedido en la matemática, y la misma en distintas fases epocales. Por ello, se puede considerar que la reconstrucción cultural de la matemática no ha terminado

orque contrario a lo que la generalidad piensa, la matemática no es una ciencia de conocimientos acabados. Este conocimiento matemático el hombre lo ha ido transformado en lo que es hoy en respuesta a las crisis en sus fundamentos presentadas en el tiempo.

Los cambios que en la matemática se dieron y se siguen dando en sus fundamentos teóricos, filosóficos y epistemológicos, surgen de las crisis producto de las inconsistencias de los mismos. Así, el matemático se esfuerza por

matemática producto de su intelectualidad, cada vez que supera la crisis, realiza una reconstrucción cultural de esta ciencia para en su concepción, hacerla crecer y trascender.

Se tiene evidencia que las primeras dificultades que surgieron en los fundamentos de la Matemática fue con la aparición

718281,2...;1415926,3...;2360679,25...;41423,12 ==== eπsolo existían los números enteros y las razones, estas últimas expresadas como fracciones (números racionales); y

ometría: un segmento de recta era una sucesión muy grande de átomos pero finita, las longitudes de todos los segmentos se podían comparar entre ellas (conmensurables entre sí) y su medida era un número racional.

de determinar la medida de la diagonal de un cuadrado aplicando el conocido Teorema de Pitágoras, el resultado no se correspondía con algún número racional conocido.

El concepto de número que hasta ese momento manejaban los griegos era considerarlo una plu(enteros y fracciones) y se encontraban en ese momento en la necesidad de concebir al número como una magnitud continua, evidentemente dos concepciones opuestas.

En un principio adujeron las explicaciones menos lógicas para rechazarlos. Descubrir la existencia de


irracionalidad de 2 se ahogó en un naufragio, hicieron ver que todo lo que

es irracional y carente de forma se extermina o debe permanecer oculto. Descubrir a 2 parecía haber liberado el

acceso al temible universo de lo desmesurado, a un ámbito difícil de pensar, irreductible a las normas habituales del cálculo y del discurso bien ordenado (Piaget, 1979).

La solución a la crisis llevó a los griegos a aceptar la existencia de estas dos acepciones de número, que condujo a un número aritmético. Este cambio en los fundamentos de la matemática produjo una

reconstrucción cultural que permitió el crecimiento del conocimiento matemático.

s que se puede detallar surgió con las críticas al Cálculo Infinitesimal (González, 1995)(diferencial, integral y de variaciones) desarrollado de forma independiente tanto por Isaac Newton (cálculo de

Leibniz (razón de diferenciales), alcanzó un auge tal en su época que los fervientes seguidores de ambos, lo utilizaron para aplicarlo en problemas de mecánica y en otras ramas de las ciencias naturales.


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Una reconstrucción cultural de verificación histórica es la que ha sucedido en la matemática, y la misma en distintas no ha terminado, es decir,

orque contrario a lo que la generalidad piensa, la matemática no es una ciencia de conocimientos acabados. Este conocimiento matemático el hombre lo ha ido transformado en lo que es hoy en respuesta a las crisis en

Los cambios que en la matemática se dieron y se siguen dando en sus fundamentos teóricos, filosóficos y epistemológicos, surgen de las crisis producto de las inconsistencias de los mismos. Así, el matemático se esfuerza por

matemática producto de su intelectualidad, cada vez que supera la crisis, realiza una

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solo existían los números enteros y las razones, estas últimas expresadas como fracciones (números racionales); y ometría: un segmento de recta era una sucesión muy grande de átomos pero finita, las longitudes

de todos los segmentos se podían comparar entre ellas (conmensurables entre sí) y su medida era un número racional.

de determinar la medida de la diagonal de un cuadrado aplicando el conocido

El concepto de número que hasta ese momento manejaban los griegos era considerarlo una pluralidad discontinua (enteros y fracciones) y se encontraban en ese momento en la necesidad de concebir al número como una magnitud

Descubrir la existencia de 2 , derrumbaba


se ahogó en un naufragio, hicieron ver que todo lo que

parecía haber liberado el

acceso al temible universo de lo desmesurado, a un ámbito difícil de pensar, irreductible a las normas habituales del

xistencia de estas dos acepciones de número, que condujo a un . Este cambio en los fundamentos de la matemática produjo una

González, 1995). El cálculo infinitesimal (diferencial, integral y de variaciones) desarrollado de forma independiente tanto por Isaac Newton (cálculo de

(razón de diferenciales), alcanzó un auge tal en su época que los fervientes seguidores de ambos, lo utilizaron para aplicarlo en problemas de mecánica y en otras ramas de las ciencias naturales.




¿Cuándo surge esta crisis? Con un caso particular. Edmond Halley (1656-1742), en cuyo honor se nombró al famoso cometa, amigo y exacerbado seguidor de Newton, criticó a la religión debido a la incomprensibilidad científica de sus principios, lo que trató de demostrar matemáticamente. El reconocido filósofo irlandés George Berkeley (1685-1753), como obispo de la iglesia, estaba preocupado por el debilitamiento de la fe, sobre todo con posiciones como la de Halley. Así que Berkeley trató de conseguir fallas en la matemática que defendía Halley: El cálculo infinitesimal (derivadas, integrales y variaciones).

Berkeley puso en duda los fundamentos del cálculo infinitesimal en base a la siguiente crítica: se consideran incrementos no nulos de las variables aunque muy pequeños (infinitesimales) pero después, para obtener resultados, son considerados iguales a cero. Para Berkeley esto era un absurdo, y hacía más débiles los fundamentos matemáticos que los religiosos.

En un principio, los matemáticos reaccionaron defendiendo a ultranza el cálculo infinitesimal pero sus respuestas no fueron del todo satisfactorias. Al final, aceptaron la validez de la crítica de Berkeley. Comprendieron la falta de rigor del cálculo infinitesimal. La solución vino de parte del matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) quien establece el rigor en el concepto de límite y de otros fundamentos del cálculo; y del matemático alemán Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) quien aportó la Aritmetización del Análisis.

Otra crisis constatada surgió de contradicciones con respecto a la Teoría de Conjuntos, que se debe al matemático alemán de origen ruso George Cantor (1845-1918); en ella se basa toda la llamada Matemática Moderna, siendo muy importante lo constatable de los conjuntos finitos e infinitos, y la posibilidad de definir otros números diferentes a los algebraicos que permiten explicar algunas relaciones matemáticas (los números transfinitos de George Cantor).

La crisis se presenta cuando se consiguen paradojas que contradicen los fundamentos de la Teoría de Conjuntos (González, 1995).

Considérese el siguiente ejemplo.

Definición: Se define como conjunto Universo o Referencial al conjunto que reúne a todos los conjuntos que presentan una misma característica.

Caso: Conjuntos que reúnen a todos los números naturales excepto uno de ellos.

Ejemplos: Naturales sin el cero, Naturales sin el uno, Naturales sin el dos, Naturales sin el tres, etc.

El conjunto Universo de todos ellos no presenta la misma característica común a ellos ya que contiene a todos los números naturales (Paradoja de Russell).

La solución a esta crisis se puede detallar así:

• Reconstrucción de la Teoría de Conjuntos sobre una base axiomática que impida la aparición de paradojas (Zermelo, Fraenkel, Von Neumann, Bernays, etc.)

• Definiciones impredicativas: se descarta que puedan aparecer elementos con diferentes características que las que tienen los elementos que pertenecen a un determinado conjunto.

• Principio del Círculo Vicioso: ningún conjunto puede contener elementos cuya existencia dependa del conjunto dado; es decir, la existencia de un elemento no debe presuponer la existencia del conjunto: primero existen los elementos con una característica común y después se conforma el conjunto.

Las reconstrucciones culturales de los fundamentos matemáticos como soluciones que dieron los matemáticos a estas crisis, no solo afectaron el círculo específico de esta ciencia sino que trascendió hacia el todo enciclopédico cultural de la humanidad. Estos nuevos conocimientos matemáticos, al darse la transposición didáctica, mediante la educación se transmiten de generación en generación; y dentro del contexto de las ciencias, al utilizar éstas a la matemática como su lenguaje, han sido de gran ayuda para el crecimiento tecnológico de la humanidad.




¿Por qué la matemática no es una ciencia de conocimientos acabados? Es aquí donde se constata la reconstrucción cultural

ocurrida y que aun ocurre, en la matemática.

Estas crisis generaron dentro de la matemática tres corrientes filosóficas que hoy se llaman escuelas matemáticas.

Estas corrientes filosóficas son:

El Logicismo, cuyos principios fundamentales hacen referencia a que la matemática es una rama de la lógica, por lo que

todo concepto matemático debe ser formulado en términos de conceptos lógicos y todo Teorema Matemático debe ser

desarrollado como teorema lógico; corriente defendida primordialmente por el filósofo y matemático británico Bertrand

Russell (1872-1970) y el también ingles, el matemático y filósofo Alfred North Whitehead (1861-1947);

El Intuicionismo, que sustenta que la verdad o falsedad de una entidad matemática debe ser construida y se construye en

la mente; siendo hasta ahora su mejor representante el matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966);

El Formalismo, el cual hace referencia a que deben estudiarse las relaciones entre símbolos sin importar a quiénes

representan esos símbolos; es decir la matemática es una colección de sistemas formales: variado juego de signos y

símbolos sin contenido empírico alguno; su máximo representante ha sido el matemático alemán David Hilbert (1862-

1943). (González, 1996).

Los matemáticos que en la actualidad participan en estas escuelas, trabajan en la construcción e innovación del conocimiento

matemático. En el tiempo, al establecerse la validez del mismo, trascenderá hacia el todo cultural social.

Pero en el caso particular de la matemática, no todo conocimiento validado tiene una inmediata aplicación. Puede pasar mucho

tiempo para que esto ocurra, o de acuerdo a las circunstancias, nunca llega a ser considerada su aplicación, lo que lo somete al

descarte histórico. De todas maneras, todo conocimiento que se valide en el transcurso de una reconstrucción cultural es posible

de aplicarse, y la trascendencia de esta aplicación solo será afectada por transformaciones que subsiguientes reconstrucciones

culturales obliguen. Igualmente, en la matemática han surgido otras escuelas y seguirán surgiendo. Esto lo origina la continua

reconstrucción de esta ciencia.

Referencias Bibliográficas.-

• González, F. E. (1995). LA MATEMÁTICA. Una excursión hacia su objeto y su método. ISBN980-327-203-9. Maracay, Venezuela.

• Piaget, J. (1979). Tratado de Lógica y conocimiento científico. Volumen 3: Epistemología de la Matemática”. Buenos Aires. Argentina: Ediciones PAIDOS.


Nació el 30 de octubre de 1946 en

Geometría topológica, Topología algebraica, Teoría de foliaciones,

Medalla Fields de 1982, junto con Alain Connes y Shingrevolucionado completamente el estudio de la Topología de 2 y 3 dimensiones, estableciendo una interacción fructífera entre eAnálisis, la Topología y la Geometría. Sus trabajos sobre Trabajó en la Universidad de Princeton. En la actualidad, desde 2003, es profesor de matemáticas yUniversidad de Cornell.

Fuente: • Wikipedia. .

Consulta: 4 de diciembre de 2011.

William Paul Thurston. Matemático. Pionero en el campo de lala Medalla Fields por su contribución al estudio de las variedades tridimens

Contribuciones matemáticas.-

Foliaciones.-

Sus primeros trabajos, a principios de 1970, fueron principalmente endramático. Sus resultados más importantes son:

• La demostración de que cada estructura de Haefligerimplica, en particular, que cada colector con cero

• La construcción de una familia continua del plano, de foliaciones de codimensión uno en la esfera tridimensional cuya invariante de Godbillon-Vey (después llamada de Claude Godbillon Vey y Jacques) toma todo valor real.

• Con John Mather, demostró que la grupo se considera con respecto a la topología discreta o su

De hecho, Thurston resolvió excelentes problemas pendientes sobre la teoría de foliación en un corto período de tiempo que, según el mismo Thurston, llevó a una especie de éxodo del campo, donde los asesores aconsejaban a los estudiantes alejarde investigaciones en la teoría de foliación porque Thurston la había “limpiado de problemas” (ver “En la prueba de Matemáticas y el Progreso”, en especial la sección 6


WILLIAM PAUL THURSTON

Nació el 30 de octubre de 1946 en Washington, D.C., E. E. U. U.

CCaammppoo ddee IInnvveessttiiggaacciióónn:: Geometría topológica, Topología algebraica, Teoría de foliaciones, Teoría de Grupos, Dinámica de sistemas.

de 1982, junto con Alain Connes y Shing-Tung Yau. Con una fantástica visión para la revolucionado completamente el estudio de la Topología de 2 y 3 dimensiones, estableciendo una interacción fructífera entre eAnálisis, la Topología y la Geometría. Sus trabajos sobre foliaciones en variedades tridimensionales son de un extraordinario valor.

En la actualidad, desde 2003, es profesor de matemáticas y ciencias de la computación

. Pionero en el campo de la topología de baja dimensión. En 1982, fue galardonado con por su contribución al estudio de las variedades tridimensionales.

Sus primeros trabajos, a principios de 1970, fueron principalmente en la teoría de la foliación, en la que tuvo un impacto Sus resultados más importantes son:

estructura de Haefliger en un múltiple puede ser integrado a una foliación (esto implica, en particular, que cada colector con cero característica de Euler admite una foliación de codimensión uno).

familia continua del plano, de foliaciones de codimensión uno en la esfera tridimensional (después llamada de Claude Godbillon Vey y Jacques) toma todo valor real.

cohomología del grupo de homeomorfismos de una dimensión es el mismo si el grupo se considera con respecto a la topología discreta o su topología compacto-abierta .

De hecho, Thurston resolvió excelentes problemas pendientes sobre la teoría de foliación en un corto período de tiempo que, según el mismo Thurston, llevó a una especie de éxodo del campo, donde los asesores aconsejaban a los estudiantes alejarde investigaciones en la teoría de foliación porque Thurston la había “limpiado de problemas” (ver “En la prueba de Matemáticas y el Progreso”, en especial la sección 6 [1] ).

(CONTINÚA EN LA

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Teoría de Grupos, Dinámica de sistemas.

Tung Yau. Con una fantástica visión para la geometría, sus ideas han revolucionado completamente el estudio de la Topología de 2 y 3 dimensiones, estableciendo una interacción fructífera entre el

son de un extraordinario valor. ciencias de la computación en la

En 1982, fue galardonado con

, en la que tuvo un impacto

múltiple puede ser integrado a una foliación (esto admite una foliación de codimensión uno).

familia continua del plano, de foliaciones de codimensión uno en la esfera tridimensional (después llamada de Claude Godbillon Vey y Jacques) toma todo valor real.

de una dimensión es el mismo si el .

De hecho, Thurston resolvió excelentes problemas pendientes sobre la teoría de foliación en un corto período de tiempo que, según el mismo Thurston, llevó a una especie de éxodo del campo, donde los asesores aconsejaban a los estudiantes alejarse de investigaciones en la teoría de foliación porque Thurston la había “limpiado de problemas” (ver “En la prueba de




La Conjetura de geometrización.-

Su más reciente trabajo, comenzado alrededor de la década de 1970, reveló que la geometría hiperbólica ha desempeñado un papel mucho más importante en la teoría general sobre la tridimensionalidad de lo que se creía anteriormente. Antes de Thurston, sólo había un puñado de ejemplos muy conocidos sobre la tridimensionalidad hiperbólicas de volumen finito, como el espacio de Seifert-Weber. Los enfoques independientes y distintos de Robert Riley y Jorgensen Troels a mediados y finales de los años setenta, mostraron que tales ejemplos son menos atípicos de lo que se creía anteriormente; en particular, su trabajo demostró que el complemento del nudo de ocho figuras era hiperbólico . Este fue el primer ejemplo de un nudo hiperbólico.

Inspirado por su trabajo, Thurston tomó medios diferentes, más explícitos, para mostrar la estructura hiperbólica del complemento del nudo de ocho figuras. Mostró que el complemento nudo de ocho figuras podría ser descompuesto como la unión de dos tetraedros regulares ideales hiperbólicos cuyas estructuras hiperbólicas emparejaban correctamente y le dio la estructura hiperbólica al complemento del nudo de ocho figuras. Utilizando las técnicas de la superficie normal de Haken, clasificó la superficie incomprimible del complemento del nudo.

Junto con su análisis sobre las deformaciones de las estructuras hiperbólicas, llegó a la conclusión de que todos menos 10 cortes de Dehn en el nudo de ocho figuras resultan irreductible, no Haken no Seifert, a tridimensional. Estos fueron los primeros ejemplos de este tipo, previamente se había creído que a excepción de ciertos espacios de fibra de Seifert, todas las irreductibles a tridimensional eran Haken. Estos ejemplos fueron en realidad hiperbólicos y motivaron su siguiente teorema revolucionario.

Thurston demostró que, de hecho, la mayoría de los rellenos de Dehn en una cúspide hiperbólica tridimensional daban lugar a la tridimensionalidad hiperbólica. Esta es su célebre teorema sobre los cortes hiperbólicos de Dehn.

Para completar el cuadro, Thurston demostró el teorema de hiperbolización de las dimensiones de Haken . Un corolario particularmente importante es que muchos nudos y enlaces, de hecho, son hiperbólicos. Junto con su teorema de los cortes hiperbólicos de Dehn, demostró que las tridimensionalidades hiperbólicas cerradas existían en gran abundancia.

El teorema de geometrización se ha llamado teorema monstruo de Thurston, debido a lo largo y difícil de su demostración. Las demostraciones completas no fueron escritas sino hasta casi 20 años después. La demostración consiste en una serie de ideas profundas y originales, que han unido muchos campos aparentemente dispares sobre tridimensionalidad.

A Thurston se le solicitó formular su conjetura sobre geometrización. Esto dio una imagen coyuntural sobre la tridimensionalidad que indicaba que todas las tridimensionalidades, admitían cierto tipo de descomposición geométrica que involucraba a ocho geometrías, ahora llamado Modelo Geométrico de Thurston. La geometría hiperbólica es la geometría de mayor prevalencia de este cuadro y también la más complicada. Una demostración de que esta conjetura se desprende del trabajo más reciente de Grigori Perelman (2002-2003).

El Teorema orbifold.-

En su trabajo sobre los cortes hiperbólicos de Dehn, Thurston se dio cuenta de que las estructuras orbifold surgían con naturalidad. Estas estructuras habían sido estudiadas antes de Thurston, pero su obra, sobre todo el siguiente teorema, lo llevaría a la fama. En 1981, anunció el teorema orbifold, una extensión de su teorema de geometrización sobre la configuración de 3-orbifold. Dos equipos de matemáticos alrededor del año 2000 finalmente lograron escribir una demostración completa, basada principalmente en una conferencia que Thurston dio en la década de 1980 en Princeton. Su demostración inicial se apoyó en parte en el trabajo de Hamilton sobre el flujo de Ricci.

Educación y carrera.-

Thurston nació en Washington, DC. Su madre era ama de casa y su padre un ingeniero aeronáutico. Recibió su licenciatura en el New College (ahora llamado New College de Florida) en 1967. Para su tesis de licenciatura, desarrolló fundamentos intuicionistas de la topología. Después de esto, obtuvo un doctorado en matemáticas en la Universidad de California, Berkeley, en 1972. Su tutor doctoral fue Morris W. Hirsch y su tesis fue sobre Foliaciones tridimensionales que constituyen haces circulares.




Tras completar su doctorado, pasó un año en el Instituto de Estudios Avanzados, y luego otro año en el MIT como profesor asistente. En 1974, fue nombrado profesor de Matemáticas en la Universidad de Princeton. En 1991, regresó a la Universidad de California-Berkeley como profesor de Matemáticas y en 1993 se convirtió en Director del Instituto de Matemáticas de Investigación en Ciencias. En 1996, se trasladó a la Universidad de California, en Davis. En 2003, se trasladó de nuevo para convertirse en profesor de Matemáticas en la Universidad de Cornell .

Entre sus estudiantes de doctorado se pueden citar a: encuentran Canary Richard Canary, Renaud Dreyer, David Gabai, William Goldman, Benson Farb, Detlef Hardorp, Craig Hodgson, Richard Kenyon, Steven Kerckhoff, Robert Meyerhoff, Yair Minsky, Lee Mosher, Igor Rivin, Oded Schramm, Richard Schwartz, Martin Bridgeman, William Floyd y Jeffrey Weeks . Su hijo, Dylan Thurston, es profesor asistente de matemáticas en el Barnard College, de la Universidad de Columbia.

Thurston ha vuelto su atención en los últimos años a la educación matemática y llevar las matemáticas al público en general. Se ha desempeñado como editor en matemáticas para la Revista Cuántica, una revista científica para jóvenes, y como jefe del Centro de Geometría. Como director del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas de 1992 a 1997, inició una serie de programas diseñados para aumentar el conocimiento de las matemáticas entre el público.

En 2005, Thurston ganó el primer Premio del Libro AMS, por la geometría tridimensional y topología. El premio reconoce a la excelencia de libros sobre investigación que hace una contribución fundamental a la literatura de investigación. [2]

Thurston tiene un número de Erdős de 2.

Los trabajos seleccionados.-

1. William Thurston, la geometría y la topología tridimensional, notas de clase Princeton (1978-1981).

2. William Thurston. Geometría tridimensional y topología. Vol. 1. Editado por Silvio Levy. Princeton Matemática de la serie, de 35 años. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x 311 pp ISBN 0-691-08304-5

3. William Thurston, estructuras hiperbólicas tridimensionales. I. La deformación de las variedades acylindrical. Ann. de Matemáticas . (2) 124 (1986), no. 2, 203-246.

4. William Thurston, variedades tridimensionales, los grupos kleinianos y la geometría hiperbólica, Bull. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) 6 (1982), 357-381.

5. William Thurston. En la geometría y la dinámica de difeomorfismos de superficie. Toro. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) 19 (1988), Nº 2, 417-431.

6. Epstein, David BA, Cannon, James W., Holt, Derek F.; Levy, Silvio VF, Paterson, Michael S., Thurston, William P. Procesamiento de textos en grupos. Jones y Bartlett Publishers, Boston, MA, 1992. xii 330 páginas ISBN 0-86720-244-0

7. Eliashberg, Yakov M.; Thurston, William P. Confoliations. Ciclo de Conferencias de la Universidad, 13. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998. x 66 pp ISBN 0-8218-0776-5.

homotecia nº 9-10 septiembre 2012servicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2012/9-2012.pdf · 2016-08-23 ·...

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