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HOMOTECIA Nº 4–Año 9 Viernes, 1º de Abril de 2011 1

Saberes. El origen de la comunicación y el lenguaje. No es una tarea fácil determinar de forma precisa cómo fueron los primeros intentos de los seres humanos para comunicarse. Lo que si es cierto es que a medida que la humanidad fue evolucionando hacia los tiempos actuales, el proceso de comunicación entre las personas también lo hizo. Este hecho está directamente relacionado con los mecanismos de socialización seguidos por las personas, entendiéndose éste como producto de la necesidad de reunirse en comunidades para la subsistencia. Hay que imaginarse que, en la era primitiva, los seres humanos difícilmente tuvieran desarrollado un lenguaje hablado como el que hoy manifiestan, y buscaran comunicarse entre sí emitiendo, por ejemplo, gritos y exclamaciones, acompañadas de expresiones corporales, cuyas reminiscencias modernas se pueden observar por la existencia de un número significativo de idiomas guturales manifestados en el habla de los habitantes de algunos países. Pero, ¿cómo se llega a la articulación de palabras en el contexto de los idiomas modernos? En primer lugar, la articulación de palabras se relaciona con el desarrollo fisiológico: la práctica de intentar la comunicación oral desde la era primitiva permitió desarrollar capacidades de foniatría. En segundo lugar, vivir en comunidad y relacionarse con otras comunidades, llevó al surgimiento de objetivos y necesidades similares; urgía entonces una forma de comunicación, por lo menos oral, para todos. El paso del tiempo llevó a la utilización habitual de patrones y códigos de habla entre los pobladores de una misma comunidad y a su vez entre comunidades vecinas, configurando un lenguaje que permitió la interacción entre ellas. Posiblemente, compartir un mismo lenguaje llevó a estas comunidades conformar una nación, proceso generalizado a nivel mundial. Pero por obvias pruebas antropológicas, no fue la forma oral el único intento utilizado por los seres humanos para comunicarse entre ellos. También lo hicieron de forma gráfica, como el caso de los conocidos dibujos rupestres, incluso con esculturas rudimentarias, pinturas, danzas cuyos vestigios persisten como costumbres tradicionales y folclóricas en muchos países. Lo cierto es que estas instancias iniciales de la comunicación humana, posibilitaron el desarrollo de la escritura, la imprenta, la radio, la televisión, la telefonía, el teatro, el cine, el arte escultórico y pictórico, y en general, el de todos esos elementos que han ayudado a conformar la cultura actual de la humanidad; e indudablemente que el crecimiento de la necesidad de comunicación de la sociedad mundial, ha conducido al desarrollo contemporáneo de las tecnologías de la comunicación y de la información.

PPllaattóónn Nació el 427 AC, y falleció el 347 AC, ambos eventos en Atenas, Grecia.

Fuente: Documento en línea.

Platón se veía como un hombre joven que había sido puesto en una carrera política. Los excesos de la vida política de los atenienses parecen haberlo persuadido a rendirse a las ambiciones políticas. En particular la ejecución de Sócrates en el año 399 AC tuvo un efecto muy profundo en él.

Platón estudió primeramente filosofía con su gran maestro Sócrates. Después estudió matemáticas con Arquitas de Tarento y con Teodoro de Cirene. Asimismo viajó por Egipto, Sicilia e Italia en compañía del matemático Eudoxio. A su regreso fundó en Atenas su famosa escuela filosófica: La Academia.

Sin lugar a dudas Platón es mejor conocido por su obra filosófica. Sin embargo, su influencia en las matemáticas helénicas es bastante considerable. Creía que era imposible estudiar la Filosofía sin el conocimiento previo de las matemáticas. Tal vez sea éste el motivo por el cual hizo colocar, a la entrada de la Academia, su célebre y significativa frase: “no entres aquí si no eres geómetra”. Esta y otras proposiciones como “los números gobiernan al mundo”, nos hacen ver que estaba directamente influenciado por las teorías pitagóricas.

Primeramente se deben a él algunas reglas metodológicas, dogmatizando en la Geometría el uso exclusivo de la regla y el compás, lo que se aceptó en tiempos posteriores y aún en nuestros días. Pensaba Platón que los geómetras se rebajaban cuando usaban otros instrumentos que no fueran los mencionados. Se debe también a este filósofo las directivas que debían darse en la enseñanza de la Geometría; es decir, la organización de la exposición geométrica desde el punto de vista lógico, como debe enseñarse y que camino debe seguirse.

Se debe a Platón la mayor claridad de las definiciones, axiomas y postulados.

Según Platón, el estudio de la Geometría debía empezarse en el orden siguiente: 1.-Definiciones, 2.-Axiomas 3.- Postulados y 4.-Teoremas.

A esta directiva de Platón se adaptaron los matemáticos posteriores a él, principalmente Euclides.

Reflexiones Sobre sabiduría: “Aunque podamos ser eruditos por el saber de otro, sólo podemos ser sabios por nuestra propia sabiduría”.

Montaigne

En “Invitación a la Filosofía” de André Comte –Sponville, (2002). Pág. 155. España: Ediciones Paidos Ibérica, S. A.

HOMOTECIA Nº 4 – Año 9 Viernes, 1º de abril de 2011

PPaassaaddoo--PPrreesPor: Prof. Domingo E. Urbáez S. (DEUS)

Podríamos llegar a pensar que el pasado, el presente y el futuro

pierden la característica que tuvieron en algún momento. Así, el pasado fue en algún momento un futuro que se

hizo presente hasta llegar a ser lo que es en este momento, el pasado. El presente fue un futuro que s

presente y que inmediatamente después es pasado. El futuro es lo que será, pero que ya es y que pronto fue.

Lo que sucede es que estos tres tiempos aparentemente distintos unos de otros suceden a una velocidad tan

rápida que no podemos distinguir con claridad donde se separan uno de otro.

Si consideramos la trayectoria de una función como una realidad real en el campo de los números reales,

podríamos decir que tres puntos consecutivos de dicha trayectoria corresponden al pasado, presente y futuro

de la realidad real. Pero sucede que estos tres puntos son independientes, pues cada punto como afirmamos

anteriormente son el pasado, presente y futuro de un momento. El pasado, presente y futuro del primer punto

no es el mismo del segundo y tercero.

Cada punto representa un momento, pero los momentos no han de ser iguales, y como no son iguales, sus tres

tiempos no lo serán tampoco. Sin embargo, debido a la gran velocidad con la que se unen, tienden a

confundirse entre si.

Pero la unión consecutiva de moment

trayectoria de una función matemática no es más que la unión consecutiva de momentos que forman un suceso

y que dependiendo de la magnitud de este y relevancia pasa a ser un acontecim

Año 9 Viernes, 1º de abril de 2011

eesseennttee--FFuuttuurroo Domingo E. Urbáez S. (DEUS)

Podríamos llegar a pensar que el pasado, el presente y el futuro son un mismo elemento, y por lo tanto nunca


hizo presente hasta llegar a ser lo que es en este momento, el pasado. El presente fue un futuro que s



n claridad donde se separan uno de otro.



la realidad real. Pero sucede que estos tres puntos son independientes, pues cada punto como afirmamos


no es el mismo del segundo y tercero.

nto representa un momento, pero los momentos no han de ser iguales, y como no son iguales, sus tres


Pero la unión consecutiva de momentos forma sucesos reales. Se puede afirmar, en base a lo anterior, que la


y que dependiendo de la magnitud de este y relevancia pasa a ser un acontecimiento. Gráficamente:

2

son un mismo elemento, y por lo tanto nunca


hizo presente hasta llegar a ser lo que es en este momento, el pasado. El presente fue un futuro que se hizo





la realidad real. Pero sucede que estos tres puntos son independientes, pues cada punto como afirmamos


nto representa un momento, pero los momentos no han de ser iguales, y como no son iguales, sus tres


os forma sucesos reales. Se puede afirmar, en base a lo anterior, que la


iento. Gráficamente:

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)


(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

Llámese F (x) al suceso producido; M

intersección de una línea causal con una línea de efectos. La línea causal es paralela al eje de las ordenadas por

lo que es perpendicular al eje de las abscisas. La línea causal es independiente como lo es todo valor del eje de

las abscisas. La línea de efectos es paralela al eje de las abscisas y perpendicular al eje de las ordenadas. La

línea de efectos es dependiente de la línea causa

una causa anterior es una causa para un efecto futuro; y así sucesivamente.

Pero aquí nos encontramos con una duda. Si existe una causa, existe un efecto para dicha causa, y si existe un

efecto, existe una consecuencia para dicho efecto, por lo que una causa produce de hecho una consecuencia.

En fin, necesitaríamos otro eje para representar las consecuencias, y es aquí donde entra el eje Z (cota).

Entonces una línea de sucesos estudiada en un plano

sucesos estudiado en el espacio tridimensional. Y si estudiáramos el comportamiento de este cuerpo

necesitaríamos agregar otra dimensión: el tiempo. Puesto que este cuerpo no se encuentra en reposo y

necesita moverse.

Por otra parte, un momento estaría constituido de la siguiente manera:

De donde se pueden derivar nueve combinaciones de un momento, las cuales son:

Pasado-Causa

Pasado-Efecto

Pasado-Consecuencia

Pero como hemos afirmado anteriormente, el pasado, presente y futuro son iguales; la causa, el efecto y

consecuencia también lo son. Por lo tanto, sus combinaciones también lo serán.

Para elaborar una tabla con estas combinaciones, se hace necesario codificar cada una de estas características.

La codificación es la siguiente:


Llámese F (x) al suceso producido; Mo y M1 a los momentos; un momento a su vez está constituido por la


lar al eje de las abscisas. La línea causal es independiente como lo es todo valor del eje de


línea de efectos es dependiente de la línea causal. Sin embargo hay que aclarar que un efecto producido por

una causa anterior es una causa para un efecto futuro; y así sucesivamente.


iste una consecuencia para dicho efecto, por lo que una causa produce de hecho una consecuencia.


Entonces una línea de sucesos estudiada en un plano de dos dimensiones, se convertiría en un cuerpo de



Por otra parte, un momento estaría constituido de la siguiente manera:

De donde se pueden derivar nueve combinaciones de un momento, las cuales son:

Presente-Causa Futuro-Causa

Presente-Efecto Futuro-Efecto

Consecuencia Presente-Consecuencia Futuro-Consecuencia


también lo son. Por lo tanto, sus combinaciones también lo serán.


3

a los momentos; un momento a su vez está constituido por la


lar al eje de las abscisas. La línea causal es independiente como lo es todo valor del eje de


l. Sin embargo hay que aclarar que un efecto producido por


iste una consecuencia para dicho efecto, por lo que una causa produce de hecho una consecuencia.


de dos dimensiones, se convertiría en un cuerpo de



Consecuencia




HOMOTECIA Nº 4 – Año 9 Viernes, 1º de abril de 2011 (VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

Una línea de sucesos con ésta característica sería la siguiente:

Sin embargo, esta sería sólo una visión de las tantas que existen. La siguiente tabla muestra una diversidad de

perspectivas de algunos momentos con respecto a otros. Hay que aclarar que las nueve líneas de sucesos son

las mismas difiriendo sólo en estas perspectivas.

Línea de

Sucesos Mo M1

Primera φψ 10 φψ 20

Segunda φψ 20 φψ 01

Tercera φψ 01 φψ 11

Cuarta φψ 11 φψ 21

Quinta φψ 21 φψ 02

Sexta φψ 02 φψ12

Séptima φψ12 φψ 22

Octava φψ 22 φψ 00

Novena φψ 00 φψ 10

Se ha aclarado con dicho cuadro que

menos en la dimensión en que éste momento sucede o en la línea de sucesos de éste.

Ahora bien, la unión indefinida de estos momentos de un punto A (origen) a un punto B

conocemos por situación. Esta viene representada por un segmento de la línea de sucesos.

Una línea de sucesos englobaría únicamente la realidad o el conjunto de hechos que vive una persona. Es obvio

que esta línea relacionaría a esta persona con otras. Sin embargo, cada línea de sucesos es independiente y

personal. Por lo que podríamos decir que como deben existir infinitas líneas de sucesos para poder relacionar

todo un sistema. La unión de todas estas líneas formaría en el espacio un

Si aplicamos el principio de Correspondencia que indica que así como suceden las cosas en lo bajo así también

suceden en lo alto y viceversa, podríamos decir que si existe un cuerpo geométrico que puede explicar las

condiciones de vida de diversas personas y entes de un sistema deben existir, por lo menos eso creo, otros

cuerpos geométricos con otros sistemas, y así como estos pueden existir, también podemos relacionarlos a

través de técnicas apropiadas para ello.


Una línea de sucesos con ésta característica sería la siguiente:

sería sólo una visión de las tantas que existen. La siguiente tabla muestra una diversidad de


las mismas difiriendo sólo en estas perspectivas.

M2 M3 M4 M5 M6

φψ 01 φψ 11 φψ 21 φψ 02 φψ12

φψ 11 φψ 21 φψ 02 φψ12 φψ 22

φψ 21 φψ 02 φψ12 φψ 22 φψ 00

φψ 02 φψ12 φψ 22 φψ 00 φψ 10

φψ12 φψ 22 φψ 00 φψ 10 φψ 20

φψ 22 φψ 00 φψ 10 φψ 20 φψ 01

φψ 00 φψ 10 φψ 20 φψ 01 φψ 11

φψ 10 φψ 20 φψ 01 φψ 11 φψ 21

φψ 20 φψ 01 φψ 11 φψ 21 φψ 02

Se ha aclarado con dicho cuadro que cuando un momento Mo es ( φψ10 ) más ninguno lo puede ser, por lo


Ahora bien, la unión indefinida de estos momentos de un punto A (origen) a un punto B



persona con otras. Sin embargo, cada línea de sucesos es independiente y


todo un sistema. La unión de todas estas líneas formaría en el espacio un cuerpo geométrico.



de diversas personas y entes de un sistema deben existir, por lo menos eso creo, otros


través de técnicas apropiadas para ello.

4

sería sólo una visión de las tantas que existen. La siguiente tabla muestra una diversidad de


M7 M8

φ φψ 22 φψ 00

φ φψ 00 φψ 10

φ φψ 10 φψ 20

φ φψ 20 φψ 01

φ φψ 01 φψ 11

φ φψ 11 φψ 21

φψ 21 φψ 02

φ φψ 02 φψ12

φ φψ12 φψ 22

) más ninguno lo puede ser, por lo


Ahora bien, la unión indefinida de estos momentos de un punto A (origen) a un punto B (extremo) crea lo que



persona con otras. Sin embargo, cada línea de sucesos es independiente y


cuerpo geométrico.



de diversas personas y entes de un sistema deben existir, por lo menos eso creo, otros


HOMOTECIA Nº 4 – Año 9 Viernes, 1º de abril de 2011 5

Aportes al conocimiento

EEssttuuddiioo ddeell CCoommppoorrttaammiieennttoo IInntteerrnnoo ddee llooss AArrgguummeennttooss ddee ffuunncciioonneess::

MMééttooddoo ddee llaa CCIINNTTAA ((33))..

Continuando con la presentación del Método de la CINTA, en el escrito de hoy trataremos del Segundo Caso.

♦♦♦♦ Segundo Caso: F(x)=(a1X+b1).(a2X+b2).(a3X+b3)....(anX+bn)

Un producto de funciones lineales, no es más que la factorización de un polinomio. Con el método de estudio de los signos de

una función “Tabla de intervalos” se puede estudiar una función conformada por el producto de “n” factores lineales. Pero

también se puede construir la CINTA para dicha configuración. La condición necesaria y suficiente para este caso, es

que todos los valores cero deben ser distintos.

F(x)=(a1X+b1).(a2X+b2).(a3X+b3).(a4X+b4)....(anX+bn)

1°) Se hallan los puntos de corte con el eje “x”, mejor conocidos como “valores cero”.

Vc1: x = - b1 /a1

Vc2: x = - b2 /a2

Vc3: x = - b3 /a3

.

.

.

Vcn: x = - bn/an

2°) Cálculo del signo final: Se cuentan las pendientes negativas presentes en la función y luego si dicho número de

pendientes negativas es par, entonces el signo final es (+). Si el número de pendientes negativas es impar, el signo final será

(-).

3°) Construcción de la CINTA: Debe tomarse en cuenta que en los valores cero F(x)=0.

-∞ Vc1 Vc2 Vc3 Vc4 Vcn ∞

F(x) - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + Si el número de pendientes negativas es par. -∞ Vc1 Vc2 Vc3 Vc4 Vcn ∞

F(x) + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 -

Siendo el número de pendientes negativas impar.




En la CINTA, Los signos se irán alternando empezando desde el intervalo del extremo derecho (donde SIEMPRE se ubica al

signo final), hasta el intervalo del extremo izquierdo; es decir, el recorrido en la CINTA siempre se hará de derecha a

izquierda.

Ejemplo: Estudie el comportamiento de la siguiente función:

F(x)=(-x–3)(-x+2)(x+1)(x+2)(-2x+5)(-3x+9)(2x)(4x+2)(7x–3)(8x + 2)

Se resolverá por la Regla de la CINTA y luego por el método de la Tabla de intervalos para comprobar los resultados.

Solución:

Aplicando Regla de la CINTA:

1) Valores cero:

Vc1: - x – 3 = 0 ⇒ x = -3

Vc2: - x + 2 = 0 ⇒ x = 2

Vc3: x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Vc4: x + 2 = 0 ⇒ x = -2

Vc5: -2x +5 = 0 ⇒ x = 5/2

Vc6: -3x +9 = 0 ⇒ x = 3

Vc7: 2x = 0 ⇒ x = 0

Vc8: 4x + 2 = 0 ⇒ x = -1/2

Vc9: 7x – 3 = 0 ⇒ x = 3/7

Vc10: - 8x + 2= 0 ⇒ x = 1/4

2) Signo Final: Las pendientes negativas son los números negativos que acompañan a las variables en los productos de los

binomios.

Número de pendientes negativas=5 (impar). Es decir: El signo final será (-)

3) Construcción de la CINTA...

-∞ -3 -2 -1 -1/2 0 1/4 3/7 2 5/2 3 ∞

F(x) - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 -

Luego:

F(x) > 0 ⇔ x ∈ (-3, -2) ∪ (-1, -1/2) ∪ (0, 1/4) ∪ (3/7, 2) ∪ (5/2, 3)

F(x) < 0 ⇔ x ∈ (-∞, -3) ∪ (-2, -1) ∪ (-1/2, 0) ∪ (1/4, 3/7) ∪ (2, 5/2) ∪ (3, ∞)

F(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ [-3, -2] ∪ [-1, -1/2] ∪ [0, 1/4] ∪ [3/7, 2] ∪ [5/2, 3]

F(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ (-∞, -3] ∪ [-2, -1] ∪ [-1/2, 0] ∪ [1/4, 3/7] ∪ [2, 5/2] ∪ [3, ∞)

F(x) = 0 ⇔ x ∈ {-3, -2, -1, -1/2,0 ,1/4 ,3/7 ,2 ,5/2 , 3}


Se debe tomar en cuenta que en TODOS los

valores cero de un producto de funciones

lineales la función se hace cero; es decir:



Método de la Tabla de Intervalos:

1) Calculo de los valores cero:

Vc1: - x – 3 = 0 ⇒ x = -3

Vc2: - x + 2 = 0 ⇒ x = 2

Vc3: x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Vc4: x + 2 = 0 ⇒ x = -2

Vc5: -2x +5 = 0 ⇒ x = 5/2

Vc6: -3x +9 = 0 ⇒ x = 3

Vc7: 2x = 0 ⇒ x = 0

Vc8: 4x + 2 = 0 ⇒ x = -1/2

Vc9: 7x – 3 = 0 ⇒ x = 3/7

Vc10: - 8x + 2= 0 ⇒ x = 1/4

2) construcción de la tabla de intervalos...

-∞ -3 -2 -1 -1/2 0 1/4 3/7 2 5/2 3 ∞

-x – 3 + - - - - - - - - - - -x + 2 + + + + + + + + - - - X + 1 - - - + + + + + + + + X + 2 - - + + + + + + + + +

-2x + 5 + + + + + + + + + - - -3x + 9 + + + + + + + + + + -

2x - - - - - + + + + + + 4x + 2 - - - - + + + + + + + 7x – 3 - - - - - - - + + + + -8x + 2 + + + + + + - - - - -

I - + - + - + - + - + -

Luego:

F(x) > 0 ⇔ x ∈ (-3, -2) ∪ (-1, -1/2) ∪ (0, 1/4) ∪ (3/7, 2) ∪ (5/2, 3)

F(x) < 0 ⇔ x ∈ (-∞, -3) ∪ (-2, -1) ∪ (-1/2, 0) ∪ (1/4, 3/7) ∪ (2, 5/2) ∪ (3, ∞)

*F(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ [-3, -2] ∪ [-1, -1/2] ∪ [0, 1/4] ∪ [3/7, 2] ∪ [5/2, 3]

*F(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ (-∞, -3] ∪ [-2, -1] ∪ [-1/2, 0] ∪ [1/4, 3/7] ∪ [2, 5/2] ∪ [3, ∞)

*F(x) = 0 ⇔ x ∈ {-3, -2, -1, -1/2, 0, 1/4, 3/7, 2, 5/2, 3}

Cómo se habrá podido observar: ¡los resultados son iguales!

NOTA: El método “Tabla de intervalos”, no hace explícito los comportamientos de la función indicadas con un

(*), ya que no indica donde la función se hace cero; en cambio la regla de la CINTA hace explícito cualquier tipo

de comportamiento que tome la función.

La Regla de la CINTA, se puede extender a otras funciones que presenten configuraciones similares.

Continuará en el próximo número…


SSiirr JJaammeess HHooppwwoooodd JJeeaannss

Nació el 11 de septiembre de 1877, en Ormskirk, Lancashire; y falleció el 16 de

septiembre de 1946, en Dorking, Surrey, ambas localidades en Inglaterra.

DDeessttaaccaaddoo físico, astrónomo y matemático

JAMES H. JEANS (*1877-†1946)

Tras estudiar en el Colegio Trinity en Cambridge, fue profesor de matemáticas aplicadas en la Universidad de

Princeton (1905-1909), catedrático de la misma disciplina en Cambridge (1910-1912) e investigador del

Observatorio de Mount Wilson (1923-1944).

Fruto de sus estudios sobre dinámica, radiación y física atómica fueron obras como: “Teoría Dinámica de los

Gases” (1904), “Las Mecánicas teóricas” (1906), “Teoría Matemática de la Electricidad y el Magnetismo” (1908),

“La Radiación y la Teoría Cuántica” (1914), “Problemas de Cosmogonía y la Dinámica Estelar” (1919), por la

que recibió el premio Adams de la Universidad de Cambridge, y “Astronomía y Cosmogonía” (1928).

Entre sus obras de divulgación se encuentran “El universo alrededor de nosotros” (1929) y “A través del

espacio y del tiempo” (1934). Recibió preciados galardones y el título de Caballero (1928). Fue presidente de la

Real Sociedad de Astronomía (1925-1927) y de la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia (1934).

Realizó importantes aportaciones a las matemáticas aplicadas, la física teórica, la dinámica sideral y la

cosmogonía teórica y, en varios de sus libros, informó al público de las repercusiones astronómicas de las

nuevas teorías atómicas.

Detallando la biografía de James Jeans.

Recibió su educación en la Escuela Mercantil Taylors de Northwood y en el Colegio Trinity de Cambridge. Fue Segundo Lugar al finalizar sus estudios en la Universidad de Cambridge en 1898. Enseñó en esa misma universidad hasta que se trasladó para impartir clases en la Universidad de Princeton en 1904 como profesor de matemática aplicada. Volvió a Cambridge en 1910.

Hizo contribuciones importantes en muchas áreas de la física, incluyendo la teoría cuántica, la teoría de la radiación y la evolución estelar. Su análisis de los cuerpos en rotación le llevó a concluir que la teoría de Pierre-Simon Laplace de que el sistema solar se formó a partir de una nube de gas era errónea. En su lugar propuso que los planetas al principio se condensaron a partir de material retirado del sol por una hipotética colisión con otra estrella. Esta teoría no se acepta hoy en día.

Jeans, junto con Arthur Eddington, es el pionero de la excelencia británica en cosmología, que ha perdurado hasta el día de hoy. Fue el primero en proponer una teoría del estado estacionario basada en la hipótesis de la creación continua de materia en el universo. Esta teoría se demostró falsa con el descubrimiento de la radiación de fondo de microondas, que se interpretó como la “firma” del Big Bang.

Su reputación científica se basa en las monografías “La Teoría Dinámica de Gases” (1904), “Las Mecánicas teóricas” (1906), y “La Teoría matemática de la Electricidad y el Magnetismo” (1908). Tras retirarse en 1929, escribió varios libros de divulgación científica: “Las Estrellas en Sus Cursos” (1931), “El Universo Alrededor de Nosotros”, “A través del Espacio y el Tiempo” (1934), “El Nuevo Fondo de Ciencia” (1933), y “El Universo Misterioso”. Estos libros le reportaron popularidad como divulgador de los descubrimientos científicos de su época, especialmente en los campos de la relatividad y la cosmología.




También escribió el libro “La Física y la Filosofíarealidad desde dos perspectivas diferentes:

Se casó dos veces. Primero con la organista y arpista austríaca Suzanne Hock

En la Escuela Mercantil Taylors, donde estudió, actualmente se otorga la “Beca Académica James Jeans” para el candidato a los exámenes de ingreso que consiga resultados excepcionales en todas las asignaturas, principalmente en matemática y ciencias.

Uno de los descubrimientos más importantes de Jeans, es la “Lcrítico de una nube interestelar en el espacio. Depende de la masa, tamaño y densidad de la nube. Una nube menor de la longitud de Jeans no tendrá gravedad suficiente para superar las fuerzas de gases exógenas, mientras que una nube mayor de dicha longitud se colapsará en una estrella

Jeans aportó otra versión de la ecuación, llamada “una nube debe conseguir antes de ser capaz de colapsarse.

También ayudó a descubrir la “Ley de Rayleighun cuerpo negro con la temperatura de la fuente de emisión:

Algunas citas de Sir James Hopwood Jeans:

- El curso del conocimiento se enfrenta a una realidad no mecánica: el universo empieza a parecerse más a

un gran pensamiento que a una máquina. La men

la materia... deberíamos, en cambio, honrarla como a creadora y gobernadora del reino de la materia.

La vida existe en el universo sólo porque el átomo de carbono posee ciertas propiedades excepcion

Acerca de los viajes al pasado:

- Se debe conseguir estar más quieto que quieto.

En “A través del Espacio y del Tiempo”

Premios y honores:

- Medalla de oro de la Real Sociedad de Astronomía en 1922. - Ordenado Caballero en 1928. - El Cráter Jeans de la Luna está nombrado así - Presidente de la 25ª sesión del El Congreso de la Ciencia en 1938.


También escribió el libro “La Física y la Filosofía” (1943) donde explora los diferentes puntos de vista de la realidad desde dos perspectivas diferentes: ciencia y filosofía.

Se casó dos veces. Primero con la poetisa estadounidense Charlotte Mitchell en 1907, y después con la Suzanne Hock (más conocida como Susi Jeans) en 1935.

la Mercantil Taylors, donde estudió, actualmente se otorga la “Beca Académica James Jeans” para el candidato a los exámenes de ingreso que consiga resultados excepcionales en todas las asignaturas, principalmente en matemática y ciencias.

rimientos más importantes de Jeans, es la “Longitud de Jeans”, que viene siendo el radio lar en el espacio. Depende de la masa, tamaño y densidad de la nube. Una nube

menor de la longitud de Jeans no tendrá gravedad suficiente para superar las fuerzas de gases exógenas, mientras que una nube mayor de dicha longitud se colapsará en una estrella.

Gmp

TkBJ π

λ4

15=

Jeans aportó otra versión de la ecuación, llamada “Inestabilidad de Jeans”, cuya solución es la masa crítica que antes de ser capaz de colapsarse.

“Ley de Rayleigh-Jeans”, que relaciona la densidad de energía de la radiación de la temperatura de la fuente de emisión:

48)(

λπλ T

kf ⋅=

Algunas citas de Sir James Hopwood Jeans:

El curso del conocimiento se enfrenta a una realidad no mecánica: el universo empieza a parecerse más a

un gran pensamiento que a una máquina. La mente deja de parecer un intruso accidental en el reino de


La vida existe en el universo sólo porque el átomo de carbono posee ciertas propiedades excepcion

En “El Universo Misterioso”

Se debe conseguir estar más quieto que quieto.

“A través del Espacio y del Tiempo” (Through Space and Time).

Sociedad de Astronomía en 1922.

está nombrado así en su honor, al igual que el Cráter JeansPresidente de la 25ª sesión del El Congreso de la Ciencia en 1938.

FUENTES:

Compilado de Biografías

9

” (1943) donde explora los diferentes puntos de vista de la

en 1907, y después con la (más conocida como Susi Jeans) en 1935.

la Mercantil Taylors, donde estudió, actualmente se otorga la “Beca Académica James Jeans” para el candidato a los exámenes de ingreso que consiga resultados excepcionales en todas las asignaturas,

”, que viene siendo el radio lar en el espacio. Depende de la masa, tamaño y densidad de la nube. Una nube

menor de la longitud de Jeans no tendrá gravedad suficiente para superar las fuerzas de gases exógenas,

”, cuya solución es la masa crítica que

”, que relaciona la densidad de energía de la radiación de

El curso del conocimiento se enfrenta a una realidad no mecánica: el universo empieza a parecerse más a

te deja de parecer un intruso accidental en el reino de


La vida existe en el universo sólo porque el átomo de carbono posee ciertas propiedades excepcionales.

(The Mysterious Universe).

Cráter Jeans en Marte.

FUENTES:

Compilado de Biografías


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Por: JESÚS LARA POPOCA [email protected]

Licenciado en Matemáticas, Universidad Veracruzana. Instituto Tecnológico de la Música (ITM), Universidad La Salle, Cuernavaca, México

La ciencia es una forma racional y metódica de explorar y conocer la realidad, mientras que el arte

por lo regular se entiende como una forma de experimentar y comunicar emociones. Pero ¿qué sucede

cuando los papeles se invierten y la ciencia se vuelve una forma de experimentar emociones y placer

estético, mientras que el arte se convierte en una manera de explorar y conocer la realidad?

La matemática como ciencia o como lenguaje de la ciencia, permite explorar el mundo real, cierto,

pero también es un manantial de experiencias estéticas y emotivas. Esta aparente dualidad representa

una de las relaciones más importantes entre la música y la matemática. Imagino que alguna vez habrás

escuchado, querido lector, que la música y la matemática tienen mucho en común. Lo que seguramente

nunca has escuchado es una explicación detallada de cual es esta relación. La razón principal es que a

primera vista parece haber muchas formas de relacionar ambas disciplinas, pero bajo una inspección más

detallada y rigurosa, se vuelve evidente que si existe tal relación, no es tan natural ni tan superficial. De

hecho, hasta ahora se tienen relaciones parciales de pequeñas áreas de la música con pequeñas áreas de

la matemática.

El interés por esta relación no es algo nuevo. Puede ser rastreado por lo menos a la época de la

escuela pitagórica en donde se estudiaban ambas disciplinas como prerrequisito para ser iniciado en los

estudios más profundos (esotéricos).

A lo largo de la historia podemos encontrar varios intentos de combinar o relacionar música y

matemáticas. Algunos de ellos han tenido repercusión en la forma en que experimentamos el fenómeno

musical. Un claro ejemplo de ello es el desarrollo en el siglo XVII del sistema temperado de afinación por

Andreas Werckmeister. Aunque aparentemente el desarrollo de este sistema, mismo que se usa hasta

nuestros días, no fue un intento como tal de establecer una relación entre música y matemática, sí sentó

un precedente de lo que serían trabajos posteriores en esta intersección del conocimiento humano. La

razón es que se plantea un nuevo sistema de afinación en términos matemáticos (numéricos).

Hasta el siglo XX, la mayor parte de los trabajos en esta área eran estudios de acústica aplicada a

la construcción de instrumentos, desarrollo o justificación de sistemas de afinación, inclusive algunos

intentos de justificación de la teoría musical en términos acústicos.

El primer gran encuentro entre música y matemática, se da a principios del siglo XX, cuando la

música sufre esa gran metamorfosis de lo tonal a lo atonal. La nueva teoría musical incorpora, o mejor

aún, se fundamenta totalmente en conceptos de teoría de conjuntos. A partir de ese momento se inicia

una estrecha colaboración entre el mundo de la teoría y la composición musical y las teorías matemáticas.

Durante este periodo nace la teoría del microtonalismo, el dodecafonismo, la música estocástica, la

composición por algoritmos y la música electroacústica entre otras.




A principios del siglo XX, Joseph Schillinger desarrolla su sistema de

composición y publica su libro “Mathematical Basis of the Arts” (Las Bases

Matemáticas del Arte) en el cual, mediante conceptos aritméticos y geométricos

desarrolla conceptos generales de las artes visuales y de la música. El sistema de

composición Schillinger es una aventura en los terrenos de la abstracción y la

generalización de los conceptos musicales y de los procesos que intervienen en la

composición musical (la abstracción y la generalización son el corazón de la

matemática moderna). Empleando notación simbólica (matemática) desarrolla en

general los conceptos de escala, melodía, ritmo, armonía, contrapunto, orquestación

y, en pocas palabras, los componentes básicos de la composición y el análisis

musical. La teoría del sonido 13 desarrollada por Julián Carrillo representa otra

aventura sonora justificada mediante conceptos aritméticos en la que se divide el

tono en una cierta cantidad, mayor que dos, de partes iguales, con lo que se

expande la cantidad de sonidos a disposición del compositor y el teórico.

A la par de estos desarrollos en teoría musical, se inicia una corriente de

estudio de las estructuras musicales mediante teorías matemáticas. Estos

trabajos, desarrollados por matemáticos, físicos, ingenieros y científicos de la

computación, toman algún fenómeno musical en particular y lo estudian

aplicando herramientas (teorías) propias de su área de conocimiento. Un

ejemplo puede ser el estudio de los intervalos musicales en una escala mayor

mediante teoría de grupos (álgebra).

La composición mediante algoritmos computacionales y, en general, la

invasión de la computadora en la vida moderna, ha presentado un nuevo

problema en la investigación músicomatemática, a saber, la formalización del

lenguaje y la teoría musical. En cierta forma, todo trabajo de investigación o de

matematización de fenómenos musicales implica un cierto nivel de

formalización.

Podemos entender por formalización de un cierto fenómeno, teoría o proceso, el estructurarlo,

traducirlo y presentarlo de tal forma que sea comprensible para una computadora. Un claro ejemplo de

este proceso es el ajedrez. Cuando aprendemos a jugar, regularmente nos enseñan las reglas básicas, y

con la práctica, vamos aprendiendo el resto de las reglas, pero sobre todo, las estrategias. Para que una

computadora pueda jugar al ajedrez y ganar, es necesario “explicarle” la diferencia entre una reina y un

peón. No sólo la diferencia en los posibles movimientos, sino también el valor o la importancia de una

pieza con respecto a la otra. Cuando la computadora tiene esta información, puede tomar una decisión

que implique sacrificar una pieza para defender otra, o para poner en aprietos a su oponente. Este mismo

proceso de formalización para la música ha probado ser una buena fuente de temas de investigación,

pero sobre todo de frustración para aquellos que deciden abordar el problema. Al parecer la solución final

de este problema está íntimamente ligado a la definición satisfactoria de lo que es el fenómeno musical,

empresa que, como cualquier plática de sobremesa con apasionados del tema muestra, se antoja

imposible.

El estudio formal del lenguaje y la teoría musical no implica, o no va encaminado a justificar el

fenómeno musical desde un punto de vista científico. Más bien nos permitiría una comprensión más

amplia del fenómeno musical. De la misma forma que la comprensión teórica de lo que sucede en una

aurora boreal no minimiza el placer de observarla, la comprensión y el estudio formal de la música no

tiene porque interferir en el proceso artístico de dicho fenómeno.

Por último, sería interesante ver en un futuro que el estudio matemático de la música permitiera

desarrollar nuevas estructuras matemáticas, es decir, que sea ahora la música la que contribuya al

desarrollo de nuevas teorías matemáticas, o que permitiera comprender fenómenos matemáticos con

argumentos musicales. Aunque parece poco probable, si algo hemos aprendido históricamente es que en

este proceso de exploración nunca se puede decir la última palabra.


FFííssiiccaa,, QQuuíímmiiccaa,, BBiioollooggííaa yy oottrraass cciieenncciiaass……..

¿¿EEll mmeetteeoorriittoo qquuee ttrraajjoo

llaass iinnssttrruucccciioonneess ppaarraa

llaa vviiddaa eenn llaa TTiieerrrraa?? Tomado de: Notitarde.com

Miércoles, 2 de marzo de 2011

(Foto: Archivo Notitarde)

BBC mundo

Un meteorito descubierto en la Antártida le daría fuerza al argumento de que la vida en la Tierra pudo haberse iniciado gracias a un impulso desde el espacio, aseguran científicos.

El análisis del meteorito muestra que es rico en el gas amoniaco.

Contiene el elemento nitrógeno, que se encuentra en las proteínas y el ADN que forman la base de la vida como la conocemos.

Los investigadores dicen que meteoritos como estos podrían haber llegado a la Tierra para suministrar los ingredientes que hacían falta para la vida.

Detalles del estudio publicado por investigadores en la Universidad Estatal de Arizona y la Universidad de California, Santa Cruz, aparecen en la revista académica Proceedings of the National Academy of Sciences.

El nuevo estudio se basa en el análisis de cerca de 4 gramos de polvo extraído de un meteorito llamado Grave Nunataks 95229, descubierto en 1995.

Se demostró que el polvo contenía abundantes cantidades de amoniaco, entre otras sustancias.

Nitrógeno

La profesora Sandra Pizzarello, directora de la investigación dice que el estudio "muestra que hay asteroides allá afuera que cuando se fragmentaron y se volvieron meteoritos, podrían haber llegado a la Tierra con una atractiva mezcla de componentes, incluyendo una gran cantidad de amoniaco".




Meteoritos como ese podrían haber suministrado a la Tierra la cantidad suficiente de nitrógeno en la forma correcta para que surgiesen las formas primitivas de vida, sostiene.

Estudios previos se han enfocado en el meteorito "Murchison", que llegó a Australia en 1969 y el que se encontró que era rico en compuestos orgánicos.

La profesora dice que algunas de las moléculas encontradas ahí corresponderían a momentos posteriores de la historia de la vida.

Ella cree que esos compuestos son demasiado complejos para haber jugado un papel en la vida en la Tierra.

Cinturón de asteroides

La teoría de que el planeta fue fertilizado por un cometa o un asteroide surge parcialmente de la creencia de que la Tierra original no podría haber ofrecido el inventario completo de moléculas simples necesario para el proceso que llevó a la vida primitiva.

La sugerencia es que el Cinturón de Asteroides, entre Marte y Júpiter, lejos del calor y la presión de los planetas en formación, podría haber sido un mejor lugar para ese proceso.

Caroline Smith, una experta en meteoritos en el Museo de Historia Natural de Londres está de acuerdo en que el factor importante en el nuevo estudio es el nitrógeno, aunque le gustaría ver resultados similares repetidos en otros meteoritos.

"Uno de los problemas de la biología temprana en la Tierra antigua es que necesita mucho nitrógeno para que todos esos procesos pre biológicos ocurran. Y por supuesto hay nitrógeno en el amoniaco.

"Una gran parte de la evidencia muestra que no había mucho amoníaco en la Tierra primitiva, así que, ¿de dónde llegó?", pregunta.

Todavía no se sabe qué fue lo que llevó específicamente a que la vida comenzara en la Tierra.

Pizzarello tiene como hipótesis que material de un meteorito pudo haber interactuado con ambientes en la Tierra como volcanes, pero esas son suposiciones.

"Encuentras esos materiales extraterrestres (en los meteoritos) que tienen lo que necesitas", asegura, "pero el cómo y el cuándo, en qué ambiente y por cuál mecanismo, realmente, no lo sabemos".


CARL GUSTAV JACOB JACOBI (*1804-†1851)

Nació el 10 de diciembre de 1804 en Postdam, Prusia, hoy ubicada en Alemania; y murió el 18 de febrero de 1851 en Berlín, Alemania.

Jacobi fue el segundo de cuatro hermanos. El padre de Jacobi fue un banquero judío.

Jacobi fue educado por un hermano de su madlos doce años, después entró en el Gymnasium (Liceo) en Postdam. Jacobi tenía buenos conocimientos y mucho talento, así que lo incluyeron en el último curso. Acabó, por lo tanto, los estudios del Gymnasium con doce años en 1817. Como en la Universno aceptaban alumnos con menos de 16 años, permaneció en el Gymnasium hasta 1821. Aunque Jacobi, durante este tiempo leyó el libro de “Introductio in analysin infinitorum” e intentó resolver las ecuaciones quínticas por radicales,demasiada atención a las matemáticas.

En 1821 entró en la Universidad de Berlín, sin una idea clara de lo que quería estudiar. Durante dos años estudió Filosofía, Clásicas y Matemática y al final se decidió por Matemática. En esta época la Universidad de Berlín no destacaba en Matemática.

En 1824 Jacobi había superado las pruebas necesarias para enseñar Matemática, Latín y Griego en las escuelas secundarias. En 1825 leyó su tesis doctoral y le propusieron preparase la habilitación (unos estudios que le permitirían enseñar en la Universidad). Este mismo año le ofrecieron un puesto en uno de los mejores Gymnasium de Berlín. Por esta época, Jacobi cambió de religión (se hizo Cristiano), lo que le permitía enseñar en la Universidad de Berlín. El futuro en la Universidad de Berlín no era prometedor para Jacobi, por lo que, en 1826 se cambió a la Universidad de Königsberg donde coincidió con Franz Neumann y Bessel. Para ese entonces, ya había hecho sus principales descubrimientos sobre teoría de números cuando llegó a Königsberg. Decidió escribirle a contándole sus descubrimientos y Gaussimpresionado que escribió a Bessel interesándose por Jacobi.

En 1827 Jacobi, que había estudiado las funciones elípticas, escribió a Legendre que era la máxima autoridad en el tema en esa época. Legendreimpresionado por el trabajo de Jacobi. En 1829 Jacobi publicó “Fundamenta nova theoria functionum”


el 10 de diciembre de 1804 en Postdam, Prusia, hoy ubicada en Alemania; y murió el 18 de febrero de

Jacobi fue el segundo de cuatro hermanos. El padre de

Jacobi fue educado por un hermano de su madre hasta los doce años, después entró en el Gymnasium (Liceo) en Postdam. Jacobi tenía buenos conocimientos y mucho talento, así que lo incluyeron en el último curso. Acabó, por lo tanto, los estudios del Gymnasium con doce años en 1817. Como en la Universidad de Berlín no aceptaban alumnos con menos de 16 años, permaneció en el Gymnasium hasta 1821. Aunque Jacobi, durante este tiempo leyó el libro de Euler

e intentó resolver las ecuaciones quínticas por radicales, no prestó

En 1821 entró en la Universidad de Berlín, sin una idea clara de lo que quería estudiar. Durante dos años

ió Filosofía, Clásicas y Matemática y al final se decidió por Matemática. En esta época la Universidad

En 1824 Jacobi había superado las pruebas necesarias para enseñar Matemática, Latín y Griego en las

darias. En 1825 leyó su tesis doctoral y le propusieron preparase la habilitación (unos estudios que le permitirían enseñar en la Universidad). Este mismo año le ofrecieron un puesto en uno de los mejores Gymnasium de Berlín. Por esta época, Jacobi

de religión (se hizo Cristiano), lo que le permitía El futuro en la

Universidad de Berlín no era prometedor para Jacobi, por lo que, en 1826 se cambió a la Universidad de Königsberg donde coincidió con Franz Neumann y essel. Para ese entonces, ya había hecho sus

principales descubrimientos sobre teoría de números cuando llegó a Königsberg. Decidió escribirle a Gauss

Gauss quedó tan impresionado que escribió a Bessel interesándose por

En 1827 Jacobi, que había estudiado las funciones que era la máxima

Legendre quedó impresionado por el trabajo de Jacobi. En 1829 Jacobi

Fundamenta nova theoria functionum”. Este

trabajo es fundamental en la teoría de funciones elípticas.

En 1831 se casó.

En 1832 Jacobi fue ascendido a procompleto. Fue un profesor excelente y esto atrajo a muchos alumnos a Königsberg. En 1834 Kummer, que era profesor en un Gymnasium en Liegnitz, envió a Jacobi sus trabajos sobre ecuaciones diferenciales. Jacobi reconoció inmediatamente el talKummer. Jacobi investigó sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y en determinantes.

En 1842, Jacobi y Bessel representaron a Prusia en la reunión de la Asociación Británica de Ciencias Avanzadas, celebrada en Manchester.

En 1843 le diagnosticaron diabetes y el médico le recomendó que fuese a Italia donde el clima era mejor. Jacobi, a pesar de haber heredado una pequeña fortuna de su padre, no era rico, pues la depresión económica en Prusia le había arruinado. esta época y al ver su situación escribió a Alexander von Humboldt, pidiéndole ayuda del rey Federico Guillermo IV para Jacobi. Como consecuencia dintervención de Dirichlet, Jacobi recibió una ayuda económica que le permitió viajar a Roma en 1843.

El clima de Italia mejoró la salud de Jacobi y vpublicar. Aprovechando su estancia en Roma, estudió el manuscrito de la Aritmética

En 1844 el rey Federico Guillermo IV concedió udispensa a Jacobi que le permitió ingresar en la Universidad de Berlín, y una ayuda económica para sus cuidados.

En 1848 la situación socioeconómica era mala en Alemania. El desempleo y las malas cosechas provocaron malestar en la población y hubo disLas noticias de que el rey de Francia había sido derrocado y hecho prisionero, fueron aprovechadas por socialistas y republicanos que alimentaron la revolución en Alemania. Jacobi hizo un discurso en el Club Constitucional de Berlín que molestó tamonárquicos como a los republicanos, en consecuencia, la petición de Jacobi de formar parte del gobierno de la Universidad de Berlín, fue denegada por el gobierno de Prusia.

En 1849 la revolución fue completamente derrotada. El gobierno, todavía molesto con Jacobi, le retiró el suplemento a su salario y Jacobi tuvo que irse a Gotha. Unos meses después, Jacobi aceptó un puesto en la Universidad de Viena. El gobierno de Prusia se dio cuenta de lo que perderían e hicieron concesiones que permitieron a Jacobi enseñar en Berlín mientras su familia vivía en Gotha.

En 1851 Jacobi enfermó de gripe y cuando todavía no se había recuperado, contrajo la viruela y murió.

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trabajo es fundamental en la teoría de funciones

En 1832 Jacobi fue ascendido a profesor a tiempo completo. Fue un profesor excelente y esto atrajo a muchos alumnos a Königsberg. En 1834 Kummer, que era profesor en un Gymnasium en Liegnitz, envió a Jacobi sus trabajos sobre ecuaciones diferenciales. Jacobi reconoció inmediatamente el talento de

Jacobi investigó sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y en

En 1842, Jacobi y Bessel representaron a Prusia en la reunión de la Asociación Británica de Ciencias Avanzadas, celebrada en Manchester.

le diagnosticaron diabetes y el médico le recomendó que fuese a Italia donde el clima era mejor. Jacobi, a pesar de haber heredado una pequeña fortuna de su padre, no era rico, pues la depresión económica en Prusia le había arruinado. Dirichlet visitó a Jacobi en esta época y al ver su situación escribió a Alexander von Humboldt, pidiéndole ayuda del rey Federico Guillermo IV para Jacobi. Como consecuencia de la

, Jacobi recibió una ayuda económica que le permitió viajar a Roma en 1843.

El clima de Italia mejoró la salud de Jacobi y volvió a publicar. Aprovechando su estancia en Roma, estudió el

de Diofanto.

En 1844 el rey Federico Guillermo IV concedió una dispensa a Jacobi que le permitió ingresar en la Universidad de Berlín, y una ayuda económica para sus

En 1848 la situación socioeconómica era mala en Alemania. El desempleo y las malas cosechas provocaron malestar en la población y hubo disturbios. Las noticias de que el rey de Francia había sido derrocado y hecho prisionero, fueron aprovechadas por socialistas y republicanos que alimentaron la revolución en Alemania. Jacobi hizo un discurso en el Club Constitucional de Berlín que molestó tanto a los monárquicos como a los republicanos, en consecuencia, la petición de Jacobi de formar parte del gobierno de la Universidad de Berlín, fue denegada por el gobierno de

En 1849 la revolución fue completamente derrotada. El molesto con Jacobi, le retiró el

suplemento a su salario y Jacobi tuvo que irse a Gotha. Unos meses después, Jacobi aceptó un puesto en la Universidad de Viena. El gobierno de Prusia se dio cuenta de lo que perderían e hicieron concesiones que

a Jacobi enseñar en Berlín mientras su

En 1851 Jacobi enfermó de gripe y cuando todavía no se había recuperado, contrajo la viruela y murió.

FUENTE: Wikipedia.

homotecia nº 4-9 - ucservicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2011/4-2011.pdf · homotecia nº 4–año 9...

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