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Sesión 15Sesión 15

Prueba de Hipótesis para la Prueba de Hipótesis para la Diferencia de medias

Estadística IIEquipo Docente: Iris Gallardo ‐ Andrés Antivilo – Francisco Marro

¿En qué contexto es útil una prueba de hi ót i l dif i d di ?hipótesis para la diferencia de medias?

1. Cuando se trabaja simultáneamente con una variable categóricaj g(posible VI) y una variable dependiente (posible VD).

• Se debe considerar el número de niveles de la variable categórica.El bj ti l l d l i bl tit ti• El objetivo es comparar los valores de la variable cuantitativa enfunción de los niveles de la variable categórica.

• Se asume que los grupos son independientes.q g p p• ¿Es posible asumir que la población se distribuye normalmente?2. Cuando se trabaja con muestras relacionadas, lo que significa dos

di i tit ti l imediciones cuantitativas en el mismo grupo.• Lo habitual es considerar al mismo grupo de sujetos medidos dos

veces; también se pueden comparar a pares de sujetos (ej:; p p p j ( jgemelos).


Actividad 1:Determine las variable(s) incluida(s) en el objetivo Determine las variable(s) incluida(s) en el objetivo

y si las muestras son independientes o no.

• Establecer el nivel de satisfacción conyugal quemuestran ambos miembros de la pareja transcurridos 7muestran ambos miembros de la pareja transcurridos 7años de matrimonio.

• Evaluar el grado de impacto que tiene un tratamiento• Evaluar el grado de impacto que tiene un tratamientopara controlar la ansiedad entre hombres y mujeres.

• Determinar el efecto que tiene un taller de• Determinar el efecto que tiene un taller dereforzamiento en Estadística Inferencial paraestudiantes que asisten y no asisten a clases.estudiantes que asisten y no asisten a clases.


Contexto de la prueba de Hipótesis para l dif i d dila diferencia de medias

• Dos poblaciones Y1 e Y2 con medias μ1 y μ2 y dos• Dos poblaciones Y1 e Y2, con medias μ1 y μ2, y dosmuestras de tamaño n1 y n2, que se han seleccionadoaleatoriamente de su población.p

• Lo que se pretende, en términos generales, es contrastarla hipótesis de que las medias poblacionales no difieren.la hipótesis de que las medias poblacionales no difieren.

• Es decir: μ1 = μ2.

• ¿Cómo realizar dicho contraste?• ¿Cómo realizar dicho contraste?


Posibilidades en la Prueba de Hipótesis t i d di tpara muestras independientes

1. Las poblaciones se distribuyen normalmente con1. Las poblaciones se distribuyen normalmente convarianzas conocidas.

2. Las poblaciones se distribuyen normalmente conp yvarianzas desconocidas pero iguales.

3. Las poblaciones se distribuyen normalmente conp yvarianzas desconocidas y diferentes.

4. Las Poblaciones no se distribuyen normalmente.

Para escoger entre 2 y 3 debemos analizar el IC para lag y prazón de varianzas: el resultado permitirá tomar laopción correcta.


1. Poblaciones normalmente distribuidas i i lcon varianzas iguales

• Si es posible conocer las varianzas poblacionales se• Si es posible conocer las varianzas poblacionales, seutiliza como estadístico de prueba a Z.

• En este caso Ho: μx μy = 0 (Contraste bilateral)• En este caso Ho: μx – μy = 0 (Contraste bilateral).

• La fórmula es la siguiente (ver Dócimas de hipótesisparamétricas)paramétricas):

0X YZ δ− − 022yx

Z

n nσσ

=

+x yn n


2. Poblaciones normalmente distribuidas i d id i lcon varianzas desconocidas pero iguales

• En primer lugar se debe establecer si efectivamente las varianzasp gpoblacionales son iguales (Supuesto).

• Para ello es necesario construir un IC para la razón de varianzas (seb i ili d l dí i F)obtiene utilizando el estadístico F).

• Ya verificada la igualdad de varianzas, se utiliza como estadístico deprueba a T.prueba a T.

• La Ho es: μx – μy = 0 (Contraste bilateral) y el estadístico se calcula así:

X Y δ 0

1 1X YT

S pn n

δ− −=

⋅ +

Nota: Sp es la Varianza ponderada.

x yn n


Construcción del IC para razón de ivarianzas

2 2 21 1 1 1S SIC F Fσ α

⎡ ⎤⋅ ≤ ≤ ⋅ = −⎢ ⎥

2 1 2 12 2 2, 1, 1 1 , 1, 12 2 22 2

1n n n n

IC F FS Sα α α

σ− − − − −≤ ≤ =⎢ ⎥

⎣ ⎦

2 2 21 1 12 2 2

1 1S SIC FS S α

σ α⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ ≤ ≤ ⋅ = −⎢ ⎥

2 1

1 2

2 2 2 1 , 1, 12 2 2 21 , 1, 1

2

n nn n

S F S αα σ − − −

− − −

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


3. Poblaciones normalmente distribuidas i d id dif tcon varianzas desconocidas y diferentes

•Cuando se determina, mediante el IC para la razón de varianzas, que, p , qéstas difieren se debe modificar el estadístico de prueba.

•De esta manera los grados de libertad del estadístico Tcrítico (teórico) sed i d f difdeterminan de una forma diferente.

• La Ho sigue siendo: μx – μy = 0 (Contraste bilateral).

El estadístico es el siguiente:El estadístico es el siguiente:

022

X YTSδ− −

= 222yx SS⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟22yx

x y

SSn n

+22 22

. ( ) x y

yx

n nG L v

SS

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Y los grados de libertad:

1 1yx

x y

nnn n

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

− −


Poblaciones que se distribuyen normalmente y las varianzas poblacionales son desconocidas pero igualesvarianzas poblacionales son desconocidas pero iguales

Ejercicio: dos profesores en una escuela desean compararEjercicio: dos profesores en una escuela desean compararel rendimiento de los alumnos de octavo año que hansido móviles (población 1) con los puntajes de los

( )alumnos que no lo han sido (población 2). ¿Se puedeconcluir con los datos de las muestras si el puntaje derendimiento promedio es diferente en los dos grupos?rendimiento promedio es diferente en los dos grupos?

Grupo1 n= 15 Promedio= 85 S2 =30Grupo 2 n= 22 Promedio= 87 S2 =25Grupo 2 n= 22 Promedio= 87 S =25Móviles= estudiantes que asistieron a dos o más escuelasNo móviles= estudiantes que permanecen en la mismaNo móviles= estudiantes que permanecen en la misma

escuela


Procedimiento de verificación de hi ót ihipótesis

1.‐ Planteamiento de las hipótesis1. Planteamiento de las hipótesis

Ho: µ1 = µ2 Ho: µ1 ‐ µ2 = 0

H1: µ1 ≠ µ2 H1: µ1 ‐ µ2 ≠ 0µ µ µ µ

2.‐ Nivel se significación: α = 0,05

3.‐ Descripción de la población y supuestos: ambas poblaciones sedistribuyen normalmente

Las σ2 son desconocidas. Las muestras son independientes. M.a.s.i

b l 2 bl l l l lPara saber si las σ2 poblacionales son iguales, es preciso realizar el ICpara la razón de varianzas

IC[ S21 / S22 * Fα/2 ; gl2, gl1 ≤ σ21/σ22 ≤ S21 / S22 * F1‐α/2 ; gl2, gl1 ]= 1‐α


Fα/2 ; gl2 gl1 = 1 Fα/2 ; gl2 gl1 = 1 = 0,39Fα/2 ; gl2, gl1 1 Fα/2 ; gl2, gl1 1 0,39

F1‐α/2; gl1, gl2 2,5632

IC [ 30/25*0,39≤ σ12/σ22 ≤ 30/25*2,8437]= 1‐α

IC [ 0,468≤ σ12/σ22 ≤ 3,4124 ]= 0,95

Como el intervalo contiene al 1, las varianzas son iguales.

4.‐ El estadístico pertinente: Diferencia de medias muestrales.

5.‐ El estadístico de prueba: t de student con n1+n2‐2 gl.

6.‐ RR y RA: la hipótesis es bilateral.

Para 35 gl y alfa= 0,05 el t crítico es 2,0301


7.‐ Recolección de datos y cálculos:7. Recolección de datos y cálculos:

0X YT δ− −= 2 14(30) 21(25) 27S +

= =1 1x y

Spn n

⋅ +27

35pS = =

27 27 85 87 2− −1 2

27 27 1.7615 22X Xσ − = + =

85 87 2 1.141.76 1.76

T = = = −


8 ‐ Decisión Estadística:8. Decisión Estadística:

• Como 2 03 < 1 14 < 2 03 no es posible rechazar Ho• Como ‐2.03 < ‐1.14 < 2.03 no es posible rechazar Ho.

• Por lo tanto, se acepta.

9.‐ Conclusión:

• No hay diferencia entre las medias poblacionales.


Muestreo en poblaciones no distribuidas l tnormalmente.

Ejercicio:Ejercicio:• Un equipo de consejeros de rehabilitación juvenil tiene la impresión

de que los jóvenes no reincidentes (NR) son mayores en cuanto alpromedio de edad que los sujetos reincidentes (R) al momento enque caen en poder de las autoridades.

El eq ipo obtiene na m a de n1 50 registros de reincidentes• El equipo obtiene una m.a. de n1= 50 registros de reincidentes yn2= 60 no reincidentes.

Estadísticos:Estadísticos:

• Promedio NR = 14.3; Varianza = 4.

• Promedio R = 12.3; varianza = 6.25

• Alfa = 0.05


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