circunferencia, mod 3

Universidad Católica del Norte

PROFESOR: LUIS RAMIREZ CORTEZ Página 1

Lectura Obligatoria 2

CIRCUNFERENCIA

La circunferencia dentro el espectro geométrico, cobra vida en varios elementos

de la vida diaria.

DEFINICION: La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un

mismo plano y a igual distancia de otro fijo que se llama centro.

Se llama CÍRCULO al conjunto de los puntos interiores de la circunferencia.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

RADIO: Es el trazo que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.

CUERDA: Es el trazo que une dos puntos de la circunferencia.

DIAMETRO: Es la mayor cuerda o bien el trazo que une dos puntos de la

circunferencia y pasa por su centro.

ARCO: Es una parte de la circunferencia.

SEMI CIRCUNFERENCIA: Es un arco igual a la mitad de la circunferencia.

SECANTE: Es cualquier línea recta que corta a la circunferencia en dos puntos L2.

TANGENTE: Es cualquier línea recta que toca a la circunferencia en un solo

punto, que se denomina “punto de tangencia” L1.



La figura a continuación muestra estos elementos.

ANGULO CENTRAL:

El ángulo central es el formado por dos radios, en la figura el O es el ángulo del

centro, o bien, ROS

L1

L2



ANGULO INSCRITO:

El ángulo inscrito es el ángulo cuyo vértice esta en la circunferencia y sus lados son dos cuerdas, o bien una cuerda y una tangente, a este ultimo se le llama

“ángulo semi inscrito”.

De los elementos anteriores se desprenden los siguientes TEOREMAS.

TEOREMA

Todo ángulo central es igual a la medida del arco que subtiende, es decir:

m AOB = m (arco AB) =

A

B

C

A

B

C

O

A B



EJEMPLO:

En este caso, la medida del ángulo central AOB = es igual a 80º, ya que, todo

ángulo central es igual al arco que subtiende.

TEOREMA

Todo ángulo inscrito o semi inscrito es igual a la mitad del arco que subtiende, es

decir:

Medida del ángulo ACB = = (1/2) MEDIDA DEL ARCO AB

O

A

B

80º

A

B

C



EJEMPLO:

En el ejemplo, podemos apreciar que el arco mide 50º, por lo que el ángulo

inscrito mide 25º, pues es la mitad del arco que mide 50º.

TEOREMA

Todo ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco, es decir:

m inscrito = (1/2) m central AOB = (1/2)

50º

A

B

C

O

A

B



EJEMPLO:

En la figura el ángulo inscrito es el ángulo , como 70º es la medida del ángulo

central, aplicando el TEOREMA.

Medida del ángulo = (1/2)*70º = 35º

TEOREMA

Toda tangente a la circunferencia es perpendicular al radio.

TEOREMA

Una recta es tangente a una circunferencia si es perpendicular al radio.

TEOREMA

Dos circunferencias son iguales si tienen el mismo centro y el mismo radio (o

diámetro).

Estudiaremos ahora algunos ángulos exteriores.

70º

O



TEOREMA El ángulo que forman:

a) Dos secantes que se cortan fuera de la circunferencia.

b) Una tangente y una secante que se cortan fuera de la circunferencia.

c) Dos tangentes que se cortan fuera de la circunferencia.

Tienen por medida la semi diferencia de los arcos que subtienden, es decir, medida E = (1/2) ( A - B)

Nota: la semi diferencia del arco mayor menos el arco menor.

a) dos secantes

b) Tangente y secante

E

Aº

Bº

Eº

Aº

Bº



c) dos tangentes

EJEMPLOS:

Hallar las incógnitas. En este caso se trata

de un ángulo exterior, formado por dos

secantes.

x =(1/2)(80-50)= = (1/2)(30) = 15º

Este problema esta formado por una tangente y una

secante, pero x es la medida de un arco.

30º = (1/2)(X-20)

== > 60º = (X-20)

== > 60º+20º = X == > 80º = X

Eº

Aº

Bº

X

80º

50º

30º X 20º



En este ejercicio la incógnita x, es el arco

menor, pero se aplica la formula igual.

20º = (1/2)(70-x)

== > 40º= (70-x) == > 40-70=-x

== > -30º = -x

== > 30º = x

DEFINICION: Se llama circunferencia CIRCUNSCRITA a la que pasa por los

vértices de un polígono.

O sea la circunferencia circunscribe al polígono.

DEFINICION: Se llama circunferencia INSCRITA a la que es tangente a los

lados de un polígono.

X

70º

20º



O sea la circunferencia esta dentro del polígono.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

Dos circunferencias pueden tener las siguientes posiciones.

1) Circunferencias Concéntricas: Son aquellas que tienen un mismo centro.

2) Circunferencias tangentes: Son aquellas que tienen solamente un punto en

común; pueden ser tangentes interiormente o exteriormente.

Las primeras son tangentes interiormente, las segundas son tangentes exteriormente.

3) Circunferencias secantes: Son aquellas circunferencias que tienen dos puntos en común.

O



A continuación veremos otros TEOREMAS DE IMPORTANCIA para las circunferencias

TEOREMA

Todo ángulo interior que se forma por dos cuerdas, es igual a la semi suma de los

arcos que subtiende.

Medida ángulo = (1/2)(Aº + Bº)

Ejemplo:

Supongamos que el arco Aº = 30º y

el arco Bº = 50º, luego el ángulo debe ser igual a 40º, pues:

= (1/2)(30+50)=(1/2)(80)=40º

TEOREMA

Todo triangulo inscrito en una circunferencia, donde un lado es el diámetro de ella, es un triangulo rectángulo.

Aº

Bº

O



TEOREMA

Todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, tiene sus ángulos opuestos suplementarios.

Es decir:

+ = 180º

+ = 180º

TEOREMA

En una circunferencia los ángulos inscritos que subtienden arcos iguales, son

iguales.

Si arco AB = arco BC < == > =

TEOREMA

Ángulos inscritos que subtienden un mismo arco, son iguales entre si.

Si

= (1/2) arco AB

= (1/2) arco AB

= (1/2) arco AB

Entonces: = =

A

B

C

A

B



TEOREMA

En una circunferencia, rectas paralelas determinan arcos iguales.

Siendo L1 y L2 paralelas, entonces arco AC = arco BD

Los teoremas que vienen a continuación, están relacionados con la proporción de trazos en una circunferencia.

TEOREMA

Por un punto exterior a una circunferencia, se trazan una secante y una recta

tangente, entonces la medida del segmento tangente elevado al cuadrado, es igual al producto entre la medida del segmento externo y el segmento secante

PT2 = PA PB

A este teorema se le conoce como PUNTO POTENCIA.

A B

C D

L1

L2

P

T

A B



EJEMPLO:

X2 = 4 (4+5)

X2 = 4 9 = 36

X = 6

TEOREMA

Dada una circunferencia y un punto externo a ella, se trazan dos secantes que

pasan por dicho punto, entonces tenemos que el producto entre la medida del segmento exterior y la medida del segmento secante de la primera recta, va a ser

igual al producto entre la medida del segmento exterior y la medida del segmento secante de la segunda recta.

PA PB = PC PD

EJEMPLO

4 (4 + X) = 3 (3+5)

4 (4 + X) = 3 8 =24

16 + 4X = 24

4X = 24 – 16 = 8

X = 2

P

T

A B

X

4

5

P

A

B

C D

P

A

B

C D

X

4

3 5



TEOREMA

Dadas dos cuerdas internas, las cuales al intersectarse forman trazos proporcionales, es decir:

AE EB = DE EC

EJEMPLO:

X 12 = 4 9

X 12 = 36

X = 36/12

X = 3

TEOREMA

Dada una circunferencia y un punto externo a ella, se trazan dos tangentes que

pasan por dicho punto, entonces la medida del segmento tangencial de la primera

recta es de igual medida que el segmento tangencial de la segunda recta.

Es decir: PA = PB

A

E C

D

B

4

9 12

X

P

A

B



50º

X 40º

X

70º

X

40º

X

EJERCICIOS

En cada uno de estas circunferencias están el ángulo central y el ángulo inscrito.

1 2 3

4

SOLUCION:

1. Como x es ángulo central, vale el doble que el ángulo inscrito, o sea, x

= 80º

2.-Como x es ángulo central, vale el doble que el ángulo inscrito, o sea, x

= 100º

3.- Como x es ángulo inscrito vale la mitad del ángulo central, o sea, x =20

4.- Como x es ángulo inscrito vale la mitad del ángulo central, o sea, x

=35

5.- Si el arco AB = 100º, hallar el ángulo ABC.(AD diámetro)

A

B

C

D



SOLUCION:

Como el arco AB = 100º, por lo tanto, ADB = 50º (por ser ángulo inscrito),

además el ABD = 90º (triangulo inscrito en una semicircunferencia), por lo

tanto el DAB = 40º, lo que significa que el arco BD = 80º y el ACB =

(1/2)(100-80)=10

Como todo triangulo debe sumar 180º, entonces:

ACB + DAB + ABC = 180º, reemplazando

10 + 40 + ABC = 180º === > ABC = 180 – 50 = 130º.

6.- Hallar BAC

SOLUCION

En este caso BAC Mide la mitad del

ángulo Central , o sea, BAC = 23

7.- BOA = 112º ABO = ?

SOLUCION

BO = AO =RADIOS

Por lo que:

ABO = BAO = 34

8.- x = 75 y =

x

B

C

O 46º

A

x

C

B

y

x

A

O

x

C

B

O

A D

x

60º

y



SOLUCION:

EL ABC = x =75 = (1/2)(60+y) == > 150 = 60 + y

== > 150-60 = y == > 90 = y

9.- x = y =

SOLUCION

El cuadrilátero ABCD es un deltoide, por lo que las cuerdas AD y DC son iguales, por consiguiente son iguales los arcos, es decir x = 65º

Además el DBC = 32,5, por ser ángulo inscrito. Y el ángulo DCB = 90º, por ser

DB diámetro, por lo tanto el y = 57,5

10.- = 72º

x = y =

x

C

B

O

A

D

x 65º y

x

C

B

O

x A

y



SOLUCION

El triangulo ABC es recto en A , por tener un lado en el diámetro de la circunferencia, es decir, x = 90º.

Además “y” es el arco que subtiende al ángulo alfa, cuyo valor es 72º, es decir, y = 144º.

11.- y = 140º

BDC =

SOLUCION

De acuerdo a la figura el triangulo ABC es isósceles, teniendo como base al lado BD, como el arco y vale 140º, entonces el ADB = 70º, lo mismo que el ABD

= 70º, por lo que el BAD = 40º.

Es decir el arco BD mide 80º, como el BDC es semi inscrito y subtiende este

arco, vale 40º.

12.- x = 61º,

y =

SOLUCION

Podemos dibujar dos triángulos

Rectángulos, AOB y BCO, BO es Bisectriz del ABC, es decir,

ABO=30,5 y OAB=90º, recta tangente

Por lo tanto, AOB=59,5, como es central,

El arco mide lo mismo, repitiéndose el procedimiento con el triangulo BOC, se obtiene que el ARCO AC = y = 59,5+59,5 = 119º

y

x

C

B

O

D

A

x y

O

x

A

C

B



13.- x =

y =

SOLUCION

Como el ángulo 25º es exterior, se aplica la propiedad.

25º = (1/2)(y – x) == > 50 = y – x (1)

Además 70º es un ángulo interior entre las cuerdas, aplicando la propiedad de

estas, se tiene:

70º = (1/2)(y+x) == > 140 = y+x (2)

Haciendo un sistema de ecuaciones entre (1) y (2), se tiene:

50 = y - x 140 = y + x === > sumando == > 190 = 2y == > 95º = y, lo que significa

que x = 45º

14.- x = y =

SOLUCION

Sabemos que la circunferencia completa vale 360º, y como todos los arcos tienen

valores en función de x, se pueden despejar:

X + 2x+ 3x +3x+6=360 = > 9x+6=360 => 9x = 354 = > x = 39,33333

“y” es un ángulo exterior, aplicando la propiedad.

“y” = (1/2)(3x-x) = (1/2)2x = x = 39,33333

x

D

C

O

x

A

B

E

y

70º

25º

x

D

C

O

x

A

B

E

y

3x

2x

3x+6

circunferencia, mod 3

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